2017学年第二学期浙江省名校协作体 高三年级数学 试卷及答案

∴ ( ) = { (−1), (2)} = (−1) = − ……（6 分）
（1）证明：{an
+
(−1)n 3
}是等比数列；
（2）当 k
1
是奇数时，证明：
ak
+
1 ak +1
<
9 2k +1
；
7 千里之行 始于足下
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2017 学年第二学期浙江省名校协作体参考答案
高三年级数学
首命题：长兴中学 次命题兼审校：温岭中学
审核：嘉兴市第一中学
一、选择题（每小题 4 分，共 40 分）
= 1(a
> 0, b
>
0) 的右焦点为 F
，过 F
的直线 l 与双曲线的渐近线交于
A, B 两点，且与其中
一条渐近线垂直，若 AF = 3FB ，则此双曲线的离心率为_______.
18.（本题满分 14 分）函数 f (x) = 2 sin(ωx + ϕ) +1(ω > 0,0 < ϕ < π ) 的图像过点 (π , 2 +1) ，且相邻的最高点与
C. 若θ 确定，则| a |≥| b |
D. 若θ 不确定，则| a | 与| b | 的大小关系不确定
9.如图所示，在棱长为 1 的正方体 ABCD − A1B1C1D1 中，P, Q 分别为 BD1, BB1 上的动点，则 ∆C1PQ 周长的最小值
为（ ）
1 千里之行 始于足下
2 15
A.
3
∵
=
√7 2
,
=
=
√3 2
∴ =√ , =√
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E
F
D C
O
B
N M
4 千里之行 始于足下
∴ + = 即△ 为直角三角形
∴ △ =√
………………（12 分）
∴ℎ = | | △
√ ×√
=√
=√
…………（14 分）
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设直线 与平面 所成角为θ，则sin = = √ ……（15 分）
；
17.
8√2
三、解答题（18 题 14 分，19-22 题每题 15 分，共 74 分）
18. （14 分）（1）由已知相邻的两个最高点和最低点的距离为√ ，
9
10
B
C
可得
+4 = √
，解得ω =2 ……（2 分）
∵
= 2 sin + + 1 = √2 + 1∴sin + = √
1
千里之行 始于足下
∴ ( ) ∈ −1, √3 + 1 ……（14 分）
19. （15 分） （1）在线段 上存在点 ,使得 ∥平面
A ,且 是 的中点.
证明如下：
如图，连接 交 于点 ,连接 .
∵四边形
为菱形，
∴ 为 的中点.
在△ 中，由中位线定理可得 ∥ .……（4 分）
∵ ⊂平面 ， ⊄平面
∴ ∥平面
千里之行 始于足下
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8.设θ 为两个非零向量 a,b 的夹角且 0 < θ < π ，已知对任意实数 t ∈ (−1,1) ，| b + ta | 无最小值，则以下说法正确的 2
是（ ）
A. 若θ 和| b | 确定，则| a | 唯一确定 B. 若θ 和| b | 确定，则| a | 有最大值
平面
内.
可得 √ , − , 0 ， − √ , , 0 ， − √ , , 0 ， 0,0, √
∴ ⃗ = − √ , , 0 ， ⃗ = √ , − , 0 ，……………（9 分）
⃗ = ⃗ + ⃗ = ⃗ + ⃗ = √ , − , √ + (0,1,0) = √ , , √ …………（11 分）
AP = x AB + y AC + z AD(x ≥ 1, y ≥ 1, z ≥ 1) 的点 P 构成，且区域 Ω 的体积为16 2 ，则 xy − x − y + z 的最小值为
_______.
3 千里之行 始于足下
19.（本题满分 15 分）在如图所示几何体中，平面 DAE ⊥ 平面 ABCD ，四边形 ABCD 为等腰梯形，四边形 DCFE
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
答案 B
A
D
D
D
B
C
B
二、填空题（11-14 题每题 6 分；15-17 题每题 4 分，共 36）
11. 96 + 4√13 ，
80 ； 12. 19
， 10
；
13.
32
， 144 ； 14.
3/8
， √5/5
；
15. (−∞, −1/3) ∪ (1, +∞) ； 16.
√6/2
的小球的概率为 1 ，若取出小球上的数字 X 的数学期望是 2，则 X 的方差为（ ） 3
1
A.
3
2
B.
3
8
C.
3
4
D.
3
7.设函数 f (x) = a sin(2x + α ) + b sin(2x + β ) + c sin(2x + γ ) ，则“ f (π ) = 0 ”是“ f (x) 为偶函数”的（ ） 4
| MP | ⋅ | NP |
21.（本题满分 15 分）已知抛物线 C : x2 = 2 py( p > 0) ，且抛物线 C 在点 P(1, f (1)) 处的切线斜率为 1 ，直线 l 与抛 2
6 千里之行 始于足下
（3）证明： 1 + 1 + L + 1 < 3 .
a1 a2
an
（4）
22.（本题满分 15 分）已知数列{an}中， a1 = 1， an+1 = 2an +(−1)n .
又∵0 < < ∴ =
………………（4 分）
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∴ ( ) = 2 sin 2 + + 1 ……（6 分）
当 ( )单调递增时，− + 2 ≤ 2 + ≤ + 2 ， ∈
解得 ( )的单调增区间为 ∈ − + , + ， ∈ . ……（8 分） (2)由题意得到 ( )的解析式为 ( ) = −2 sin 4 + 1 ……（10 分） 当 ≤ ≤ 时， ≤ 4 ≤ ，− √ ≤ sin 4 ≤ 1
D. c < b < a
x ≤1
4.若不等式组
y≤3
表示的平面区域经过四个象限，则实数 λ 的取值范围是（ ）
λx − y + 2λ − 2 ≥ 0
A. (−∞,2)
B. [−1,1]
C. [−1,2)
D. (1,+∞)
5.已知函数 f (x) = ax3 + x2 + x + b ，下列图像一定不能表示 f (x) 的图像的是（ ）
A. 1 + 1 i 22
B. 1 − 1 i 22
C. − 1 + 1 i 22
D. − 1 − 1 i 22
3.已知 a = log2 8 ， b = log5 20 ， c = log7 28 ，则 a,b, c 的大小关系为（ ）
A. a < b < c
B. c < a < b
C. b， ∠ABC = π ， CD = 1 AB = 1 .
3
2
（1）线段 AC 上是否存在一点 N ，使得 AE // 平面 FDN ？证明你的结论；
（2）若线段 FC 在平面 ABCD 上的投影长度为 1 ，求直线 AC 与平面 ADF 所成角的正弦值. 2
4 千里之行 始于足下
解法二：
∵∥
∴ 在平面
上的投影长度为
∵平面 ⊥平面
交于
A
作 ⊥ ,则 ⊥平面
则 = ，且点 为线段 的中点
∴ = , …………（7 分）
设点 到平面 的距离为ℎ
∵
=
，
∴ ℎ △ = | | ， …………（8 分）
=√ , =√
取 的中点 ，连接 .取 的中点 ，连接 , . ∵ EF ∥ CD,且 为 的中点 ∴ ⊥平面
3
2
（1）当 a = 2 时，求 f (x) 在[−1,2] 上的最小值；
5 千里之行 始于足下
物线交于不同的两点 A, B ，且直线 AP 垂直于直线 BP . （1）求证：直线 l 过定点，并求出定点坐标； （2）直线 BP 交 y 轴于点 M ，直线 AP 交 x 轴于点 N ，求 | AP | ⋅ | BP | 的最大值.
E
F
O
D
C
N B
2
在线段 上存在点 ,使得 ∥平面 ,且 是 的中点.（6 分）
（2） z
解法一：
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∵∥
∴ 在平面
上的投影长度为
O
∵平面 ⊥平面
交于
作 ⊥ ,则 ⊥平面
则 = ，且点 为线段 的中点
以 为原点， 方向为 轴，过 平行 方向为 轴，过 以垂直 − − 平面方向为 轴， 轴在
A. {2,3,4}
B. {2,3,4,5,6}
C. {0,1,2,3,4,5}
D. {3,4,5}
2.在复平面内，复数 z 和 i 表示的点关于虚轴对称，则复数 z = （ ） 1− i