2018版高中数学第3章不等式章末分层突破学案新人教B版必修5

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高中数学第三章不等式复习教案新人教B版必修5

第三章不等式整体设计教学分析本章知识网络本章复习建议本章为高中5个必修中的最后一章，我们在这一章中重点探究了三种不等式模型，即一元二次不等式、二元一次不等式(组)及均值不等式，在了解了这三种不等式的实际背景的前提下，重点探究了不等式的应用，那么如何复习好不等式这一章的内容呢？总纲是复习不等式要结合函数思想，数形结合思想，等价变换思想，以及分类讨论思想，类比思想，换元思想等．1．充分认识不等式的地位与作用．不等式是中学数学的重要内容，是求解数学问题的主要工具，它贯穿于整个高中数学的始终，诸如集合问题、方程(组)的解的讨论、函数性质的确定、三角、数列、立体几何中的最值问题等内容，无一不与不等式有着密切联系，它所涉及内容的深度与广度是其他章节无法相比的．因此，不等式是永不衰退的高考热点，必须加强对不等式的综合复习与所学全章知识的整合．2．加深对不等式性质的理解．不等式的基本性质在证明不等式和解不等式中有着广泛的应用，它又是高等数学的基础知识之一，因此，它是高考试题的热点，有时通过客观题直接考查不等式的某个性质，有时在解答题中的证明不等式或解不等式中，间接地考查不等式的性质，高考试题也直接或间接考查均值不等式及其他重要不等式的应用，不等式的性质更是求函数定义域、值域、求参数的取值范围等内容的重要手段．在解不等式中往往与函数概念，特别是二次函数、指数函数、对数函数等密切联系，因此在复习中对不等式性质的条件与结论要彻底弄清．解题时由于忽略某些条件而造成的错误屡见不鲜，如a ＞b ，＞bc(忘了c ＞0)， ⎭⎪⎬⎪⎫a>b c>d ⇒ac ＞bd(忘了a 、b 、c 、d∈R ＋)等等．3．加强等价变换在解不等式中的运用．解不等式是通过等价变形转化为简单不等式，从而得到解集．一定要注意变形是同解变形，即每一步变换必须既充分又必要．含参数的不等式或超越不等式必须进行讨论．在讨论时常要用到逻辑划分的思想进行分类，然后对划分的每一类分别进行求解，再综合得出答案．在确定划分标准时应本着“互斥、无漏、最简”的原则，有的问题还可能进行二次分类．另外一定要区分是“分类问题”的解集还是“分段问题”的解集．4．注重在证明不等式中推理论证能力的提高．不等式的证明非常活跃，它可以和很多内容结合，是高中数学的一个难点，又是历届高考中的热点问题．证明时不仅要用到不等式的性质，还要用到不等式证明的技能、技巧，其中，均值不等式是证明不等式的主要依据．证明不等式的方法有很多，比如常用的有比较法(归0、归1)、分析法、综合法等．5．解不等式是高考中的常见题型，尤其是含参数的指、对数不等式解法及绝对值不等式．一是绝对值不等式因与数、式、方程、集合、函数、数列等发生联系，在高考中频繁出现．这类题目思考性强，灵活新颖，对分析能力要求较高，解题的基本思路是等价转换，基本方法是化归化简．二是加强“三个二次结合”的深刻理解．一元二次方程、一元二次不等式及二次函数简称“三个二次”，它们互相联系，互相渗透，使这个“知识块”的内容异常丰富，是历年高考命题的重点．求解时，常用到的基本知识有二次方程的实根分布、韦达定理、二次函数图象及函数性质等．很多学生往往因为这个知识块的薄弱而阻碍了数学能力的提高．6．不等式的应用是本章的重点．不等式的应用主要表现在三个方面：一是研究函数的性质，如求函数定义域、值域、最大值、最小值、函数单调性等；二是方程与不等式解的讨论；三是用线性规划或均值不等式解决实际问题．对于第一个方面，要求学生运算准确．第二个方面，我们知道方程和不等式在一定条件下可以互相转化，函数与不等式在一定条件下也可以相互转化．这种对立统一的观点是我们进一步提高分析问题和解决问题的基础，使我们了解研究对象在运动过程中哪些是保持不变的规律和性质，哪些是变化的规律和性质．第三个方面，可以说在数学各章节中都存在着大量的数学模型，只要我们揭示这些模型的本质规律，就一定能培养出学生的创新能力，真正做到以不变应万变．本章复习分为两课时完成，第一课时侧重三种不等式模型的复习，第二课时侧重线性规划的复习．三维目标1．通过本章的综合复习，理解并掌握不等式的性质，理解不等关系、感受在日常生活中存在着大量的不等关系、了解不等式(组)的实际背景，能用不等式的基本性质比较代数式的大小；掌握用二元一次不等式表示平面区域的方法，会用线性规划解决实际生活中的常见问题；理解并掌握均值不等式a ＋b 2≥ab(a ＞0，b ＞0)的应用方法与技巧． 2．通过对一元二次不等式解法的复习，设计求解的程序框图，深刻理解三个二次之间的关系．以二次函数为中心，运用二次函数的图象、性质把其余两个联系起来，构成知识系统的网络结构；通过线性规划的最优解，培养学生的观察、联想、画图能力，渗透数形结合等多种数学思想，提高学生建模能力和分析问题、解决问题的能力．3．通过对全章内容的复习，培养学生严谨的思维习惯，主动积极的学习品质，通过富有挑战性问题的解决，激发学生的探究精神和严肃认真的科学态度；同时感受数学的应用性，体会数学的奥妙，感受数学的美丽生动，从而激发学生的学习兴趣并树立辩证的科学世界观．重点难点教学重点：1.进一步掌握三种不等式模型〔一元二次不等式、二元一次不等式(组)、均值不等式〕的概念、方法及应用．2．深化平面区域和线性规划的意义及约束条件、目标函数、可行域、最优解等概念的理解，加深对线性规划解决实际问题的认识．3．掌握构建均值不等式解决函数的最值问题，利用均值不等式解决实际问题．教学难点：三个二次的灵活运用；用线性规划解决实际问题的建模问题；均值不等式解函数最值的正确运用．课时安排2课时教学过程第1课时导入新课思路 1.(直接导入)通过我们的共同努力，我们学到了有关不等式更多的知识与方法，提高了我们解决实际问题的能力，认识了数学的魅力；通过上节的课后作业——阅读本章小结，你是怎样对本章的知识方法进行整合的？由此展开新课．思路 2.(问题导入)先让学生结合本章小结，回忆我们是怎样探究本章知识的？经历了怎样的探究活动？你能尝试着自己画出本章的知识网络结构图吗？根据学生回答和所画的知识网络结构图，自然地引入新课．推进新课新知探究提出问题本章共研究了几种不等式模型？不等式有哪些性质？怎样求解一元二次不等式的解集？怎样画一元二次不等式的程序框图？均值不等式a＋b2≥ab 的应用条件是什么？主要用它来解决哪些问题？三个二次”是指哪三个？它们之间具有怎样的关系？活动：教师让学生充分回忆思考，并结合以上问题用多媒体课件与学生一起探究．本章共研究了三种不等式模型，它们分别是一元二次不等式、二元一次不等式(组)、均值不等式a＋b2≥ab(a＞0，b＞0)．由实数的基本性质，我们推出了常用的不等式的4条性质5个推论，教师可结合多媒体课件给出这些性质．在这些基本性质的基础上，我们接着探究了均值不等式a＋b2≥ab(a＞0，b＞0)的代数及几何意义，以及均值不等式在求最值、证明不等式方面的应用．在温故知新的基础上，我们又探究了一元二次不等式的解法和明确了“三个二次”之间的关系，并用一个程序框图把求解一元二次不等式的过程表示了出来，为前面学过的算法找到了用武之地．对一元二次不等式的求解集问题，老师可借助多媒体给出以下表格让学生填写，加深对“三个二次”关系的理解.x1,2＝－b±Δ2ax1＝x2＝－b2a由于本章是高中必修内容的最后一章，通过对以上内容的归纳整合，我们对不等式有了全面系统的认识，也因此对高中必修内容有了整体的理解．应用示例例1已知集合A ＝{x|x 2＋2x －8＜0}，B ＝{x|| x ＋2|＞3}，C ＝{x|x 2－2mx ＋m 2－1＜0，m∈R }．若(1)A∩C＝Ø，(2)A∩B ⊆C ，分别求出m 的取值范围．活动：本例可让学生自己探究解决，或可让两名学生到黑板板演，教师针对出现的问题作点评．解：(1)∵A＝{x|－4＜x ＜2}，B ＝{x|x ＞1或x ＜－5}，C ＝{x|m －1＜x ＜m ＋1}，欲使A∩C＝Ø，只需m －1≥2或m ＋1≤－4.∴m≥3或m≤－5.(2)欲使A∩B ⊆C ，∵A∩B＝{x|1＜x ＜2}，只需⎩⎪⎨⎪⎧ m －1≤1，m ＋1≥2，即⎩⎪⎨⎪⎧ m≤2，m≥1，即1≤m≤2.点评：本例体现了一元二次不等式与集合的交汇．变式训练设集合A ＝{x|(x －1)2＜3x ＋7，x∈R }，则集合A∩Z 中有__________个元素．答案：6解析：由(x －1)2＜3x ＋7可得－1＜x ＜6，结合题意可得A ＝(－1,6)．例2若正数x 、y 满足6x ＋5y ＝36，求xy 的最大值．活动：均值不等式的功能就是“和积互化”．通过此例，教师引导学生回忆如何用均值不等式求最值．本例中把积化为和而和恰好为定值，应联想均值不等式．解：∵x、y 为正数，则6x 、5y 也是正数，∴6x ＋5y 2≥6x·5y＝30xy ，当且仅当6x ＝5y 时，取“＝”．∵6x＋5y ＝36，则30xy ≤362，即xy≤545.∴xy 的最大值为545. 点评：本例旨在说明均值不等式的应用．事实上，∵6x＋5y ＝36，∴y＝36－6x 5.代入xy ，得xy ＝x·15(36－6x)＝－65x 2＋365x(x ＞0)，利用二次函数的图象和性质也很容易解出来，教师可在活动前向学生说明．学生用均值不等式解完此题后，结合学生的板书，对出现的漏洞或错误进行一一点拨．变式训练已知2x ＋3y＝2(x ＞0，y ＞0)，则xy 的最小值是__________．解法一：由x ＞0，y ＞0，得2＝2x ＋3y ≥22x ·3y. ∴xy≥6，当且仅当2x ＝3y＝1，即x ＝2，y ＝3时，xy 取得最小值为6. 解法二：令2x ＝2cos 2θ，3y ＝2sin 2θ，θ∈(0，π2)，∴x＝22cos 2θ，y ＝32sin 2θ. ∴x·y＝64sin 2θcos 2θ＝6sin 22θ. ∵sin 22θ≤1，当且仅当θ＝π4时等号成立，这时x ＝2，y ＝3.∴xy 的最小值是6. 解法三：由2x ＋3y ＝2，得y ＝3x 2x －2.∴xy＝3x 2－(x ＞1)．令x －1＝t ，t ＞0，x ＝t ＋1.∴3x 2－＝＋22t ＝32(t ＋1t ＋2)≥32(2t·1t＋2)＝6.当且仅当t ＝1时等号成立，即x －1＝1，x ＝2.∴xy 有最小值6.答案：6例3不等式ax x －1＜1的解集为{x|x ＜1或x ＞2}，求a. 活动：本例不是一元二次不等式，但可转化为一元二次不等式的形式来思考．训练学生的等价转化能力．解法一：将ax x －1＜1化为－＋1x －1＜0，即[(a －1)x ＋1](x －1)＜0. 由已知，解集为{x|x ＜1或x ＞2}可知a －1＜0，∴[(1－a)x －1](x －1)＞0.∴(1－a)x －1＜0，x ＞11－a .于是有11－a ＝2.解得a ＝12. 解法二：原不等式转化为[(a －1)x ＋1](x －1)＜0，即(a －1)x 2＋(2－a)x －1＜0. 依题意，方程(1－a)x 2＋(a －2)x ＋1＝0的两根为1和2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 11－a ＝2，a －2a －1＝3，解得a ＝12. 点评：本例是一道经典题目，学生完成后，可让他们互相交流一下解法，体会等价转化的意义．变式训练若关于x 的不等式x －a x ＋1＞0的解集为(－∞，－1)∪(4，＋∞)，则实数a ＝__________. 答案：4例4为了保护环境，造福人类，某县环保部门拟建一座底面积为200 m2的长方体二级净水处理池(如图)，池深度一定，池的外壁建造单价为每平方米400元，中间一条隔墙建造单价为每平方米100元，池底建造单价为每平方米60元．一般情形下，净水处理池的长设计为多少米时，可使总造价最低？活动：教师引导学生观察题目的条件，可以先建立目标函数，再求解．可让学生独立探究，必要时教师给予适当的点拨．解：设净水池长为x m ，则宽为200xm ，高为h m ，则总造价 f(x)＝400(2x ＋2·200x )·h＋100·200x ·h＋60×200＝800h(x ＋225x)＋12 000(x ＞0)，当且仅当x ＝225x(x ＞0)，即x ＝15时上述不等式取到等号．故当净水池的长设计为15 m 时总造价最低．点评：对应用问题的处理，关键是把实际问题转化成数学问题，列好函数关系式是求最值的基本保证．用均值不等式创设不等量关系，也是经常采用的方式方法，让学生以后在解决有关最值问题时注意这条解题思路的灵活应用．知能训练1．已知集合A ＝{x||2x ＋1|＞3}，B ＝{x|x 2＋x －6≤0}，则A∩B 等于( )A ．[－3，－2)∪(1,2]B ．(－3，－2]∪(1，＋∞)C ．(－3，－2]∪[1,2) D．(－∞，－3)∪(1,2]2．已知a∈R ，二次函数f(x)＝ax 2－2x －2a ，设不等式f(x)＞0的解集为A ，又知集合B ＝{x|1＜x ＜3}，若，求a 的取值范围． 3．已知关于x 的不等式x ＞ax 2＋32的解集是{x|2＜x ＜m}，求不等式ax 2－(5a ＋1)x＋ma ＞0的解集．4．解关于x 的不等式(x －2)(ax －2)＞0.5．已知a 、b 、c 、d∈R ，求证：ac ＋bd≤2＋b 22＋d 2.答案：1．A 解析：易得A ＝{x|x ＞1或x ＜－2}，B ＝{x|－3≤x≤2}．则A∩B＝{x|1＜x≤2或－3≤x＜－2}．2．解：由f(x)为二次函数，知a≠0.令f(x)＝0，解得其两根为x 1＝1a －2＋1a 2，x 2＝1a ＋2＋1a 2.由此可知x 1＜0，x 2＞0. (1)当a ＞0时，A ＝{x|x ＜x 1}∪{x|x＞x 2}．的充要条件是x 2＜3，即1a ＋2＋1a 2＜3，解得a ＞67. (2)当a ＜0时，A ＝{x|x 1＜x ＜x 2}．的充要条件是x 2＞1，即1a ＋2＋1a 2＞1，解得a ＜－2. 综上，使成立的a 的取值范围为(－∞，－2)∪(67，＋∞)． 3．解：x ＞ax 2＋322－x ＋32＜0,2＜x ＜m －2)(x －m)＜2－(2＋m)x ＋2m ＜0.对照不等号方向及x 2的系数可知a ＞0且a 1＝12＋m ＝322m ，解得a ＝18，m ＝36. ∴ax 2－(5a ＋1)x ＋ma ＞18x 2－(5×18＋1)x ＋36×18＞2－13x ＋36＞－4)(x－9)＞＜4或x ＞9. 点评：条件中的不等式含参数a ，而其解集中又含有参数m ，似乎有较大难度．策略之一，求出原不等式的解集，与{x|2＜x ＜m}比较；策略之二，抓住解集，即写出解集为{x|2＜x ＜m}的一元二次不等式，再与原不等式比较，若只求原不等式的解集，需讨论．4．解：(1)当a ＝0时，原不等式化为x －2＜0，解集为{x|x ＜2}．(2)当a ＜0时，原不等式化为(x －2)(x －2a )＜0，这时两根的大小顺序为2＞2a，所以解集为{x|2a＜x ＜2}． (3)当a ＞0时，原不等式化为(x －2)(x －2a)＞0，①当0＜a ＜1时，两根的大小顺序为2＜2a ，所以原不等式的解集为{x|x ＞2a或x ＜2}；②当a ＝1时，2＝2a，所以原不等式的解集为{x|x≠2且x∈R }； ③当a ＞1时，两根的大小顺序为2＞2a ，解集为{x|x ＞2或x ＜2a}．综上所述，不等式的解集为a ＝0时，{x|x ＜2}，a ＝1时，{x|x≠2}，a ＜0时，{x|2a＜x ＜2}，0＜a ＜1时，{x|x ＞2a 或x ＜2}，a ＞1时，{x|x ＞2或x ＜2a}．点评：本例应对字母a 分类讨论，分类的原则是不重、不漏．解完后教师引导学生思考本例的解法并注意书写的规范性．5．证明：∵(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)＝a 2c 2＋b 2c 2＋a 2d 2＋b 2d 2＝(a 2c 2＋2abcd ＋b 2d 2)＋(b 2c 2－2abcd ＋a 2d 2)＝(ac ＋bd)2＋(bc －ad)2≥(ac＋bd)2， ∴2＋b 22＋d 2≥|ac＋bd|≥ac＋bd. 点评：能否联想到均值不等式ab ≤a ＋b 2或其变形形式上来？关键是探究根号里面的(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)的变形问题．课堂小节1．由学生回顾本节课我们复习了哪些知识、方法？解决了哪些问题？通过本节复习，你有哪些收获？2．通过本节复习，深化了“三个二次”之间的关系，加深了不等式基本性质的理解，进一步熟悉了数形结合、方程等数学思想方法；熟悉了简单不等式的证明思路，沟通了各知识点之间的关系．从更高的角度理解了相等和不等的关系，体会了数学来源于生活的道理，也认识到了数学的系统美、严谨美与简洁美．作业本章巩固与提高A 组3、4、7、8、9；B 组6、7、8、9.设计感想1．本课时设计体现了复习课的特点，从更高的角度对本章知识方法进行整合．复习不是简单的重复或阅读课本，把“发展为本”作为教学设计的中心，使各层次的学生在各个方面都有所提高，达到“温故而知新”的目的．2．本课时设计重视了学生的探究活动，让学生在教师的引导下自主探究，避免了学生只当观众、听众．设计中体现把复习的机会还给学生，充分让学生在知识整合的基础上，再发展、再创造．3．本课时设计体现了复习中前后知识的联系．注重了复习应涉及哪些内容？重难点是什么？与其前沿知识和后继知识有哪些联系？在复习过程中应该注意什么等．针对这些情况，教师应该做到心中有数，这样，在复习过程中，才能够做到步步到位，使学生在复习中不至于盲目无从．(设计者：郑吉星)第2课时导入新课思路 1.(复习导入)上节课我们重点复习了不等式的基本性质，一元二次不等式的解法及均值不等式的应用．本节将重点对平面区域和线性规划问题做一归纳整合，由此展开复习．思路 2.(直接引入)我们曾对平面区域，线性规划问题进行了探究，解决了我们日常生活中有关资源的分配，人力、物力的合理利用等最优问题．本节课我们将对这些内容做进一步的回顾与提高，进一步提高线性规划这一数学工具的应用．推进新课新知探究提出问题在直角坐标系中，怎样用二元一次不等式组的解集表示平面上的区域？确定二元一次不等式表示的区域的方法是什么？利用线性规划可解决哪些实际问题？渗透了哪些数学思想方法？解线性规划实际问题的方法步骤是什么？活动：教师引导学生回忆并思考以上问题．我们知道二元一次方程ax＋by＋c＝0表示平面坐标系中的一条直线．这条直线把直角坐标系内的点分成了三部分：在直线ax＋by＋c ＝0上或两侧．在直线上的点的坐标满足ax＋by＋c＝0，两侧点的坐标则满足ax＋by＋c＞0或ax＋by＋c＜0.这样，二元一次不等式ax＋by＋c＞0在平面直角坐标系中表示直线ax ＋by＋c＝0某一侧所有点组成的平面区域，把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线；若画不等式ax＋by＋c≥0表示的平面区域时，此区域包括边界直线，则把边界直线画成实线．由于对在直线ax＋by＋c＝0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入ax＋by＋c，所得的实数的符号都相同，故只需在这条直线的某一侧取一个特殊点(x0，y0)，以a0x＋b0y＋c的正负情况便可判断ax＋by＋c＞0表示这一直线哪一侧的平面区域，特殊地，当c≠0时，常把原点作为此特殊点．(此时，教师用投影仪给出下面的图形归纳)用二元一次不等式表示平面区域可分为如下四种情形：Ax＋By＋C≥0 (A＞0，B＞0，C＜0)Ax＋By＋C≤0(A＞0，B＞0，C＜0)Ax＋By＋C≥0(A＞0，B＜0，Ax＋By＋C≤0(A＞0，B＜0，本节课内容渗透了多种数学思想，是向学生进行数学思想方法教学的好教材，也是培养学生观察、作图等能力的好教材．通过本节课的复习，让学生进一步了解到线性规划是利用数学为工具，来研究一定的人、财、物等资源在一定条件下，如何精打细算巧安排，用最少的资源，取得最大的经济效益．它是数学规划中理论较完整、方法较成熟、应用较广泛的一个分支，并能解决科学研究、工程设计、经济管理等许多方面的实际问题．这部分内容体现了数学的工具性、应用性，同时也渗透了化归、数形结合的数学思想，为学生今后解决实际问题提供了一种重要的解题方法——数学建模法．简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：(1)阅读题意，寻找线性约束条件，线性目标函数；(2)由二元一次不等式表示的平面区域作出可行域(即画出不等式组所表示的公共区域)；(3)在可行域内求目标函数的最优解(设t＝0，画出直线l0，观察、分析，平移直线l0，从而找到最优解)；(4)由实际问题的实际意义作答．讨论结果：(1)～(4)略．应用示例例1画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －6≥0，x －y≥0，y≤3，x ＜5表示的平面区域．活动：为了让全体学生都能准确地画出平面区域，教师可请两名学生上黑板板演，然后对出现的问题作点评．解：不等式x ＋y －6≥0表示在直线x ＋y －6＝0上及右上方的点的集合，x －y≥0表示在直线x －y ＝0上及右下方的点的集合，y≤3表示在直线y ＝3上及其下方的点的集合，x ＜5表示直线x ＝5左方的点的集合，所以不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －6≥0，x －y≥0，y≤3，x ＜5表示的平面区域如图所示．点评：画平面区域是学生易错的地方，也是用线性规划解决实际问题的关键步骤，一定让学生准确掌握．变式训练已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x≥1，y≤2x－1，x ＋y≤m，如果目标函数z ＝x －y 的最小值为－1，则实数m 等于( )A ．7B ．5C ．4D ．3 答案：B解析：画出x ，y 满足的可行域，可得直线y ＝2x －1与直线x ＋y ＝m 的交点使目标函数z ＝x －y 取得最小值．故由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，x ＋y ＝m ，解得x ＝m ＋13，y ＝2m －13.代入x －y ＝－1，得m ＋13－2m －13＝－1，解得m ＝5.例2某机械厂的车工分Ⅰ、Ⅱ两个等级，各级车工每人每天加工能力、成品合格率及日工资数如下表所示：工厂要求每天至少加工配件2 400个，车工每出一个废品，工厂要损失2元，现有Ⅰ级车工8人，Ⅱ级车工12人，且工厂要求至少安排6名Ⅱ级车工，试问如何安排工作，使工厂每天支出的费用最少．活动：学生对求解简单线性规划实际应用问题的步骤已经是很熟悉，让学生独立解决问题，有助于学生解题能力的锻炼与培养．本例的关键是列出约束条件和目标函数，再就是画平面区域．解：根据题意列出线性约束条件和目标函数．设需Ⅰ、Ⅱ级车工分别为x 、y 人．线性约束条件：⎩⎪⎨⎪⎧97%·240x＋95.5%·160y≥2 400，0≤x≤8，6≤y≤12，化简即为⎩⎪⎨⎪⎧29.1x ＋19.1y≥300，0≤x≤8，6≤y≤12.目标函数为z ＝[(1－97%)·240x＋(1－95.5%)·160y]×2＋5.6x ＋3.6y ，化简即为z ＝20x ＋18y.根据题意知即求目标函数z 的最小值．画出约束条件的可行域，如图，根据图知，点A(6,6.3)应为既满足题意，又使目标函数最小．然而A 点非整数点．故在点A 上侧作平行直线经过可行域内的整点，且与原点距离最近，可知(6,7)为满足题意的整数解．此时zmin＝20×6＋18×7＝246(元)，即每天安排Ⅰ级车工6人，Ⅱ级车工7人时，工厂每天支出费用最少．答：每天安排Ⅰ级车工6人，Ⅱ级车工7人，工厂每天支出费用最少．点评：通过本例的求解我们可以看出，处理简单的线性规划的实际问题，关键之处在于从题意中建立目标函数和相应的约束条件，实际上就是建立数学模型．这样解题时，将所有的约束条件罗列出来，弄清目标函数与约束条件的区别，得到目标函数的最优解．例3A、B两个产地分别生产同一规格产品12千吨、8千吨，而D、E、F三地分别需要8千吨、6千吨、6千吨，每千吨的运费如下表所示：怎样确定调运方案，使总的运费最少？点评：本例表中的数据较多．可设从A运到D为x，从A运到E为y，则从A运到F就可用x、y表示，即12－x－y，则B运到D、E、F分别为8－x,6－y，x＋y－6.目标函数为f＝－3x＋y＋100.解：设从A运到D为x，从A运到E为y，则从A运到F为12－x－y，B运到D、E、F 分别为8－x,6－y，x＋y－6.约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x≥0，y≥0，12－x －y≥0，8－x≥0，6－y≥0，x ＋y －6≥0.目标函数为f ＝－3x ＋y ＋100.可行域为如图所示的阴影部分(包括边界)．易知，当x ＝8，y ＝0时，f 最小，即运费最省．故当从A 运到D8千吨、从A 运到F4千吨、从B 运到E6千吨、从B 运到F2千吨时，总的运费最少．点评：通过本例的训练，让学生学会对多个数据的处理，进一步明确线性规划的应用性．变式训练行驶中的汽车在刹车时，由于惯性作用，要继续向前滑行一段距离才能停下来，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y(m)与汽车的车速x(km/h)满足下列关系：y ＝nx 100＋x 2400(n 为常数，n∈N )．做两次刹车试验，有数据如图，其中5＜y 1＜7,13＜y 2＜15.(1)求出n 的值；(2)要求刹车距离不超过18.4 m ，则行驶的最大速度应为多少？解：(1)将x 1＝40，x 2＝70分别代入y ＝nx 100＋x 2400，有y 1＝25n ＋4，y 2＝710n ＋494.依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧5<25n ＋4<7，13<710n ＋494<15(n∈N )．解得n ＝3.(2)y ＝3x 100＋x2400≤18.4，解得x≤80，即最大行驶速度为80 km/h.知能训练1．实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y≥0，x －y≥0，2x －y －2≥0，则ω＝y －1x ＋1的取值范围是( )A ．[－1，13]B ．[－12，13]C ．[－12，＋∞) D．[－12，1)2．如图所示，在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x≥0，y≥0，y ＋x≤s，y ＋2x≤4下，当3≤s≤5时，目标函数z ＝3x ＋2y的最大值的变化范围是()A ．[7,8]B ．[7,15]C ．[6,8]D ．[6,15] 3．购买8角和2元的邮票若干张，并要求每种邮票至少要两张，如果小明带有10元钱，问有多少种买法？答案：1.D 解析：设点D(x ，y)在图中阴影部分内，如图．ω＝y －1x ＋1，即动点(x ，y)与定点A(－1,1)连线的斜率．当动点为B 点时，ω取得最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，2x －y －2＝0，得B 点坐标为(1,0)．∴ω＝－12.当动点在x －y ＝0上，且x→＋∞时，ω趋向于最大值，即经过A 点，斜率为ω的直线与x －y ＝0平行．∴ω∈[－12，1)．2．A 解析：由题意知要求在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x≥0，y≥0，y ＋x≤s，y ＋2x≤4下，目标函数z ＝3x ＋2y 的取值范围，作出如图所示目标函数取最大值时的可行域．由z ＝3x ＋2y 得y ＝－32x ＋z2，∴当x ＋y ＝3时，在B 点处z 取最大值；随着x ＋y ＝3的上移，z 的最大值也随着增大．当平移经过C 点时，z 的最大值达到最大，且B(1,2)，C(0,4)．∴当3≤s≤5时，目标函数z ＝3x ＋2y 的最大值的变化范围是[7,8]． 3．解：设8角邮票可买x 张，2元邮票可买y 张，根据题意有⎩⎪⎨⎪⎧8x ＋20y≤100，x≥2，y≥2，x 、y∈N .不等式表示的平面区域如图所示，而在该区域内，x 、y 都是不小于2的整数，这样的点的个数为11，所以小明有11种购买方法，分别是(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,2)，(3,3)，(4,2)，(4,3)，(5,2)，(5,3)，(6,2)，(7,2)．课堂小节1．由学生回顾本节课复习了哪些内容？通过对这些内容的复习，你有什么新的发现？ 2．本节课重点复习了平面区域和线性规划问题，明确了用线性规划的方法解决的两种重要问题．线性规划实质上是数形结合的一种体现，即将最值问题直观、简便地寻找出来，是一种较为简捷地求最值的方法．进一步熟悉了利用线性规划解决问题的步骤．还结合一道线性规划题目，探究了利用新视角解决问题的方法，打破了思维定式，今后要注意这方面的思维训练，以培养学生思维的灵活性．作业1．本章巩固与提高A 组14、15；B 组14、15. 2．本章自测与评估．设计感想1．本课时设计注重了教师的灵活操作．在复习时，采取提问、讨论、练习等方式，引导学生再现知识点、知识的形成过程及内在联系．用表格、图示、文字的方法串成线、连成片，建立起合理的认知结构，便于学生记忆，而不是简单的重复．2．本课时设计关注了学生的层次，关注了学习要求上的分层．让学习较差层次的学生多回答一些概念识记性提问，要求学会做一些基础题目．让学习中等层次的学生，多回答一些需认真思索的提问，会做一些难度适中的综合练习．让学习较好层次的学生，多回答一些智力运用性的提问，会运用知识解决一些难度较大的综合性题目．3．本课时设计注意了数学思想方法的教学．学生的能力最终体现在数学思想方法的应用上．在讲授数学知识的同时，更加注重数学思想方法的渗透和培养，把数学思维方法和数学知识、技能融为一体，不断提高学生的思维能力、解题能力及联系实际的能力．(设计者：郑吉星)备课资料一、备用例题【例1】已知0＜x ＜13，求函数y ＝x(1－3x)的最大值．活动一：原函数式可化为y ＝－3x 2＋x ，利用二次函数求某一区间的最值．解法一：(利用二次函数法可获得求解)(解略)。

2018版高中数学(人教B版)必修五学案：第三章3.1.2不等式的性质

1 a－
b>
1成立的个数是 a
(
)
A ．0 B ．1 C． 2 D． 3
答案 A
解析
由题意可令
a＝ 1， b＝－ 1，此时 ① 不对， ③ 中，此时
a－ b＝ 2，此时有
1 a－
b<1a，故
③
不对，令 a＝－ 1， b＝－ 2，此时 ②不对，故选 A.
3．已知 a， b， c，d∈ R 且 ab>0，－ ca>－db，则 (
(0，
π 2)，
∴
2α∈
(0，
π，）β∈
(0
，
π 2)，
∴ － β3∈(－π6， 0)， ∴ －π6<2α－ β3<π．
你是我心中的一片彩云你是我心中的一片彩云
你是我心中的一片彩云你是我心中的一片彩云
1．不等式的性质
(1) 不等式的性质有很多是不可逆的，特别对同向不等式，只有同向不等式才可以相加，但不能相减，而且性质不可逆．只有同向且是正项的不等式才能相乘，且性质不可逆．
变换过程中要准确使用不等式的性质，不能出现同向不等式相减、相除的情况，同时，要特
别注意同向不等式相乘的条件为同为正．
跟踪演练 3
已知－
π2≤ α<β≤π2，求
α＋ 2
β，
α－ 2
β的取值范围．
解 ∵－ π2≤ α<β≤ π2，
∴
－
π4≤
α 2<
π4，－
π 4<
β2≤π4.
上面两式相加得：－ π2<αb， c>d，则 a＋ c>b＋ d.
即：几个同向不等式的两边分别相加，所得到的不等式与原不等式同向．

人教版高中必修5(B版)第三章不等式教学设计

人教版高中必修5(B版)第三章不等式教学设计一、教学目标本节课主要教授高中数学必修课5(B版)第三章——不等式。

通过本次课程的教学，学生应该能够：•理解不等式的基本概念，掌握不等式的基本性质和解不等式的方法；•能够运用已掌握的知识，解决简单的等式和不等式的应用问题；•能够培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。

二、教学重点•不等式的基本概念和性质；•不等式解法；•一元一次不等式和二元一次不等式的解法。

三、教学难点•不等式解法的灵活运用；•二元一次不等式的解法。

四、教学过程4.1 导入1.通过白板或幻灯片展示一组简单的不等式，比如x+4<10，让学生回顾并思考之前学过的等式。

2.引导学生讲述等式和不等式的联系和区别，并引导学生从生活实际中思考不等式的应用。

4.2 讲授1.教师讲解不等式的基本概念和性质，以及不等式解法，引导学生深入理解学习内容。

2.引导学生先从一元一次不等式入手，讲解一元一次不等式的解法，并让学生进行多组练习。

3.引导学生学习二元一次不等式的解法，引导学生重点思考如何用图示法求解。

4.让学生通过练习，掌握不等式解法的具体技巧和应用方法。

4.3 拓展本节课结束后，学生可以自行探索如何用不等式来解决实际问题，例如分部门开支问题、生产效益提升问题等。

4.4 总结1.教师对本节课所学内容进行总结，并提醒学生留意其中易误解的点，引导学生归纳总结学习体会。

2.对于存在误解的同学，教师要及时纠正并逐一解决疑问。

五、课堂互动1.在讲解过程中穿插抛出简单问题，引导学生积极参与答题，加深对知识点的记忆和理解。

对于答对或答错的同学，教师进行不同程度的点评。

2.在教学中多与学生互动交流，让课堂变得更加生动有趣。

例如请学生发表自己的观点、听取学生分享自己的解题心得、讨论解题思路等。

六、板书设计1.不等式的基本概念和性质；2.不等式解法；3.一元一次不等式和二元一次不等式的解法。

七、教学评价本次课程的教学效果通过考试和家庭作业来进行评价，同时可以通过学生反馈、课堂测验和讨论等方式来了解教学效果。

2018版高中数学第三章不等式疑难规律方法学案新人教B版必修5

第三章不等式1 实数大小比较的方法知多少实数比较大小是一种常见题型，解题思路较多，广泛灵活多变，下面结合例子介绍几种比较大小的方法供同学们学习时参考． 1．利用作差法比较实数大小方法链接：作差比较法比较两个实数大小，步骤可按如下四步进行，作差——变形——判断差的符号——得出结论．比较法的关键在于变形，变形过程中，常用的方法为因式分解法和配方法．例1 已知a <b <c ，试比较a 2b ＋b 2c ＋c 2a 与ab 2＋bc 2＋ca 2的大小．解 a 2b ＋b 2c ＋c 2a －(ab 2＋bc 2＋ca 2) ＝(a 2b －ab 2)＋(b 2c －bc 2)＋(c 2a －ca 2) ＝ab (a －b )＋bc (b －c )＋ca (c －a )＝ab (a －b )＋bc [(b －a )＋(a －c )]＋ca (c －a ) ＝ab (a －b )＋bc (b －a )＋bc (a －c )＋ca (c －a ) ＝b (a －b )(a －c )＋c (a －c )(b －a ) ＝(a －b )(a －c )(b －c )．∵a b ⇔a b>1；a b ⇔ab<1.a 1；a ＝b ⇔ab＝1.作商比较法的基本步骤：①作商；②变形；③与1比较大小；④下结论．例2 设a >0，b >0，且a ≠b ，试比较a a b b ，a b b a，(ab )a ＋b2三者的大小．解a ab b aba ＋b 2＝aa －a ＋b 2·bb －a ＋b 2＝a a －b 2·b b －a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b2. 当a >b >0时，a b>1，a －b >0，a －b2>0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b 2>⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 0＝1，∴a a b b >(ab )a ＋b 2.当0<a ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 0＝1，∴a a b b >(ab )a ＋b 2.所以，不论a >b >0还是0<a (ab )a ＋b2.同理，(ab )a ＋b2>a b b a.综上所述，a a b b>(ab )a ＋b2>a b b a.3．构造中间值比较实数大小方法链接：由传递性知a >b ，b >c ⇒a >c ，所以当两个数直接比较不容易时，我们可以找一个适当的中间值为媒介来间接地比较．例3 设a ＝log 3π，b ＝log 23，c ＝log 32，则( ) A ．a >b >c B ．a >c >b C ．b >a >cD ．b >c >a解析 a ＝log 3π>log 33＝1，∴a >1.b ＝log 23＝12log 23<12log 24＝1，∴b <1.c ＝log 32＝12log 32<1，∴a >b ，a >c .又b ＝log 23＝12log 23>12，c ＝log 32＝12log 32<12，∴b >c ，∴a >b >c . 答案 A4．特殊值法比较实数大小方法链接：一些比较实数大小的客观性题目，先通过恰当地选取符合题目要求的一组特例，从而确定出问题的答案．这种取特殊值法往往能避重就轻，避繁从简，快速获得问题的解．一些解答题，也可以先通过特例为解答论证提供方向．例4 若0<a 1<a 2,012>38，∴最大的数应是a 1b 1＋a 2b 2. (注：本题还可以利用作差法比较大小，此答略) 答案 A5．利用函数单调性比较实数大小方法链接：有些代数式的大小比较很难直接利用不等式性质完成，可以考虑构建函数，借助函数的单调性加以判断．例5 当0<a (1－a )bB ．(1＋a )a >(1＋b )bC ．(1－a )b>(1－a )b2D ．(1－a )a>(1－b )b解析对于A ，∵0<a b ，∴(1－a )1b<(1－a )b，A 错误；对于B ，∵函数y ＝(1＋a )x为R 上的单调递增函数， ∴(1＋a )a<(1＋a )b.又函数y ＝x b 在(0，＋∞)上为单调递增函数， ∴(1＋a )b<(1＋b )b，从而(1＋a )a<(1＋b )b，B 错误；对于C ，∵函数y ＝(1－a )x为R 上的单调减函数，且b >b2，∴(1－a )b<(1－a )b2，C 错误；对于D ，∵函数y ＝(1－a )x为R 上的单调减函数，且a (1－a )b.又函数y ＝x b为(0，＋∞)上的单调递增函数，且1－a >1－b >0，从而(1－a )b>(1－b )b，所以(1－a )a>(1－b )b，D 正确，故选D. 答案 D6．借助函数的图象比较实数大小方法链接：借助函数的图象比较实数大小，要从题目的条件与结论出发，着重分析其几何含义，善于构造函数图象，从图象上找出问题的结论．例6 设a 、b 、c 均为正数，且2a＝log 12a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＝log 12b ，⎝ ⎛⎭⎪⎫12c ＝log 2c ，则( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <a <c解析由函数y ＝2x，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，y ＝log 2x ，y ＝log 12x 的图象(如图所示)知0<a <b <1<c ，故选A.答案 A2 解含参不等式的利器——分类讨论解含参数的一元二次不等式，要把握分类讨论的层次，一般按下面次序进行讨论：首先根据二次项系数与0的关系；其次根据根是否存在，即根据Δ的符号进行讨论；最后在根存在时，根据根的大小关系进行讨论．分类时要保证“不重不漏”，按同一标准进行划分后，不等式的解集的表达式是确定的． 1．对判别式“Δ”进行讨论当含参数的一元二次不等式的二次项系数为常数，但不知道与之对应的一元二次方程是否有解时，需要对判别式“Δ”进行讨论．例1 解关于x 的不等式x 2＋ax ＋1>0(a ∈R )．解对于方程x 2＋ax ＋1＝0，Δ＝a 2－4，(1)当Δ>0，即a >2或a <－2时，方程x 2＋ax ＋1＝0有两个不等实根，x 1＝－a －a 2－42，x 2＝－a ＋a 2－42，且x 1<x 2，所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x <－a －a 2－42或x >－a ＋a 2－42； (2)当Δ＝0，即a ＝±2时，①若a ＝2，则原不等式的解集为{x |x ≠－1}，②若a ＝－2，则原不等式的解集为{x |x ≠1}；(3)当Δ<0，即－2<a <2时，方程x 2＋ax ＋1＝0没有实根，结合二次函数y ＝x 2＋ax ＋1的图象，易知此时原不等式的解集为R . 2．对方程的解的大小进行讨论当含参数的一元二次不等式的二次项系数为常数，且与之对应的一元二次方程一定有两个解，但不知道两个解的大小时，需要对解的大小进行讨论．例2 解关于x 的不等式x 2－⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a x ＋1>0(a ∈R ，且a ≠0)．解原不等式可变形为(x －a )⎝⎛⎭⎪⎫x －1a >0，易求得方程(x －a )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＝0的两个解分别为x 1＝a和x 2＝1a，所以(1)当a >1a，即a ∈(－1,0)∪(1，＋∞)时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <1a或x >a ； (2)当a ＝1a，即a ＝±1时，①若a ＝1，则原不等式的解集为{x |x ≠1}， ②若a ＝－1，则原不等式的解集为{x |x ≠－1}；(3)当a <1a，即a ∈(－∞，－1)∪(0,1)时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <a 或x >1a .3．对二次项系数进行讨论当含参数的不等式的二次项系数含有参数时，首先要对二次项系数进行讨论；其次，有时要对判别式进行讨论，有时还要对方程的解的大小进行讨论．例3 解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (a ∈R )．解原不等式可变形为ax 2＋(a －2)x －2≥0. (1)当a ＝0时，原不等式的解集为{x |x ≤－1}．(2)当a ≠0时，原不等式可变形为(ax －2)(x ＋1)≥0，方程(ax －2)(x ＋1)＝0的解为x 1＝2a，x 2＝－1.①当a >0时，2a>－1，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≥2a或x ≤－1；②当a <0时，a ．当－2<a <0时，2a<－1，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2a ≤x ≤－1； b ．当a ＝－2时，原不等式的解集为{x |x ＝－1}； c ．当a <－2时，2a>－1，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1≤x ≤2a . 综上，当a ＝0时，原不等式的解集为{x |x ≤－1}；当a >0时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≥2a或x ≤－1；当－2<a <0时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2a ≤x ≤－1；当a ＝－2时，原不等式的解集为{x |x ＝－1}；当a <－2时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1≤x ≤2a .4．对含参数的分式不等式转化后再讨论对含有参数的分式不等式，利用不等式的同解原理等价转化为一元二次不等式的形式后，再按照上面的方法分类讨论，逐类求解．例4 解不等式x －k x ＋3x ＋2<x ＋1 (k ∈R )．解原不等式⇔kx ＋3k ＋2x ＋2>0⇔(x ＋2)(kx ＋3k ＋2)>0.当k ＝0时，原不等式解集为{x |x >－2}；当k >0时，(kx ＋3k ＋2)(x ＋2)>0，变形为⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3k ＋2k (x ＋2)>0，因为3k ＋2k ＝3＋2k>3>2，所以－3k ＋2k<－2.所以x <－3k ＋2k或x >－2.故不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >－2或x <－3k ＋2k ；当k <0时，原不等式⇔(x ＋2)⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3k ＋2k <0，由于(－2)－⎝⎛⎭⎪⎫－3k ＋2k ＝k ＋2k.所以当－2<k <0时，k ＋2k <0，－2<－3k ＋2k，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－2<x <－3k ＋2k ；当k ＝－2时，－3k ＋2k＝－2，原不等式⇔(x ＋2)2<0，不等式的解集为∅；当k <－2时，k ＋2k >0，－2>－3k ＋2k. 不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－3k ＋2k <x <－2. 综上所述，当k ＝0时，不等式的解集为{x |x >－2}；当k >0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－3k ＋2k 或x >－2；当－2<k <0时，不等式的解集为{x |－2<x <－3k ＋2k}；当k ＝－2时，不等式的解集为∅；当k <－2时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－3k ＋2k<x <－2. 回顾与提升含有参数的一元二次不等式，问题看似简单，但因为含有参数，便大大增加了问题的复杂程度．分类讨论是解决这类问题的主要方法，确定分类讨论的标准时，要着重处理好以下三点：①讨论的“时刻”，即在什么时候才开始进行讨论．要求转化必到位，过早或过晚讨论都会使问题更加复杂化．②讨论的“点”，即以哪个量为标准进行讨论．若把握不好这一类，问题就不能顺利解决． ③考虑要周到，即讨论对象的各种情况都要加以分析，给出结论.3 一元二次不等式恒成立问题的求解策略含参数的一元二次不等式恒成立问题是高中阶段最简单、最常见的恒成立问题，是研究恒成立问题的典型素材，也是近几年高考考查的热点之一．下面结合例子，介绍几种常用的求解策略：1．利用一元二次不等式的判别式求解代数式ax 2＋bx ＋c >0的等价条件是⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0，c >0或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝b 2－4ac <0.例1 已知不等式kx 2＋kx ＋6x 2＋x ＋2>2对任意x ∈R 恒成立，求k 的取值范围．解 ∵x 2＋x ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋74>0. ∴原不等式等价于kx 2＋kx ＋6>2x 2＋2x ＋4，即(k －2)x 2＋(k －2)x ＋2>0. 当k ＝2时，2>0，结论显然成立；当k ≠2时，k 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧k －2>0，Δ＝k －22－4×2k －2<0，解得2<k <10.综上所述，k 的取值范围是2≤k <10.2．转化为二次函数在闭区间上的最值问题求解一般地，f (x )≥a ，x ∈D 恒成立⇔f (x )min ≥a ，x ∈D 恒成立；f (x )≤a ，x ∈D 恒成立⇔f (x )max ≤a ，x ∈D 恒成立．例2 已知不等式sin 2x －2a sin x ＋a 2－2a ＋2>0对一切x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围．解设f (x )＝sin 2x －2a sin x ＋a 2－2a ＋2，则f (x )＝(sin x －a )2＋2－2a .当a <－1时，f (x )在sin x ＝－1时取到最小值，且f (x )min ＝a 2＋3，a 2＋3>0显然成立；∴a <－1；当－1≤a ≤1时，f (x )在sin x ＝a 时取到最小值，且f (x )min ＝2－2a ，由2－2a >0，解得a <1， ∵－1≤a ≤1，∴－1≤a <1；当a >1时，f (x )在sin x ＝1时取到最小值，且f (x )min ＝a 2－4a ＋3，由a 2－4a ＋3>0，解得a <1或a >3，∵a >1，∴a >3.综上所述，a 的取值范围为a <1或a >3. 3．利用直线型函数图象的保号性求解函数f (x )＝kx ＋b ，x ∈[α，β]的图象是一条线段，此线段恒在x 轴上方的等价条件是⎩⎪⎨⎪⎧f α>0，f β>0；此线段恒在x轴下方的等价条件是⎩⎪⎨⎪⎧fα<0，f β<0；此线段与x 轴有交点的等价条件是f (α)·f (β)≤0.例3 已知当x ∈[0,1]时，不等式2m －1<x (m 2－1)恒成立，试求m 的取值范围．解设f (x )＝(m 2－1)x ＋(1－2m )，则原不等式恒成立 ⇔f (x )>0，x ∈[0,1]恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧f 0>0，f1>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧1－2m >0，m 2－2m >0⇔m <0.4．分离参数后，利用均值不等式求解如果直接求参数的取值范围比较困难，而且参数容易从式子中分离出来，可以考虑分离参数后，再利用等价条件f (x )≥a ⇔a ≤f (x )min 或f (x )≤a ⇔a ≥f (x )max 求解．例4 已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋3，当x ∈[－1,1]时，不等式f (x )>a 恒成立，求a 的取值范围．解不等式f (x )>a ⇔x 2＋ax ＋3>a ⇔x 2＋3>a (1－x )，x ∈[－1,1]．∵－1≤x ≤1，∴0≤1－x ≤2.当x ＝1时，1－x ＝0，x 2＋3>a (1－x )对一切a ∈R 恒成立；当x ≠1时，0<1－x ≤2，则a <x 2＋31－x .∵x 2＋31－x＝1－x 2－21－x ＋41－x＝(1－x )＋41－x－2≥21－x ·41－x－2＝2，当且仅当1－x ＝41－x，即x ＝－1时，取到等号．∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋31－x min＝2.从而a <2. 综上所述，a 的取值范围为a <2.4 求最优解为整点的方法处理实际问题中的最优解时，有时需满足x ，y ∈N ，这种最优解称为整点最优解，下面举例探讨整点最优解的方法．一、平移法在可行域内找整点最优解，一般采用平移法，即打网格，描整点，平移直线，找出最优解．先按“平移法”求出非整点最优解及最值，再调整最值，最后筛选出整点最优解．例1 某中学准备组织学生去“鸟巢”参观．参观期间，校车每天至少要运送480名学生．该中学后勤有7辆小巴、4辆大巴，其中小巴能载16人、大巴能载32人．已知每辆客车每天往返次数小巴为5次、大巴为3次，每次运输成本小巴为48元，大巴为60元．请问每天应派出小巴、大巴各多少辆，才能使总费用最少？分析可以填表理解题意．这样便于列约束条件和目标函数．辆数载人数往返次数每次成本大巴小巴解设每天派出小巴x辆、大巴y辆，总运费为z元，则⎩⎪⎨⎪⎧5×16x＋3×32y≥480，0≤x≤7，0≤y≤4，x，y∈N，目标函数z＝240x＋180y.作出不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图阴影部分的整点．作出直线l：240x＋180y＝0，即4x＋3y＝0，把直线l向右上方平移，使其经过可行域上的整点，且使其在y轴上的截距最小．观察图形，可知当直线l经过点B(2,4)时，满足上述要求．此时，z＝240x＋180y取得最小值，即当x＝2，y＝4时，z min＝240×2＋180×4＝1 200(元)．答派2辆小巴、4辆大巴总费用最少．点评用平移法解线性规划题时，求整数最优解是个难点，对作图精度要求较高，平行直线系f(x，y)＝t的斜率要画准，可行域内的整点要找准，最好使用“网格法”先作出可行域中的各整点．二、检验法由于作图难免有误差，所以仅靠图象不一定能准确而迅速地找到最优解，此时可将若干个可能解逐一检验．例2 现有一根长4 000 mm的条形高新材料，需要将其截成长分别为518 mm与698 mm的甲、乙两种零件毛坯，求高新材料的最大利用率．解设甲种毛坯截x 根，乙种毛坯截y 根，高新材料的利用率为P ，则线性约束条件为518x ＋698y ≤4 000，其中x 、y ∈N ，目标函数为P ＝518x ＋698y4 000×100%，可行域是图中阴影部分的整点，目标函数表示与直线518x ＋698y ＝4 000平行的直线系．所以使P 取得最大值的最优解是阴影内最靠近直线518x ＋698y ＝4 000的整点坐标．如图可得点(0,5)，(1,4)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,2)，(6,1)，(7,0)都可能是最优解，逐一代入目标函数，可知当x ＝5，y ＝2时，P max ＝99.65%.答当甲种毛坯截5根，乙种毛坯截2根，高新材料的利用率最大，且最大为99.65%. 点评解线性规划问题作图时应尽可能精确，但考虑到作图时必然会有误差，假如图上的最优解并不十分明显时，不妨将几个有可能是最优解的坐标都求出来，然后逐一进行检验，确定整点最优解．5 例析以线性规划为载体的交汇问题1．线性规划与函数交汇例1 设二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －19≥0，x －y ＋8≥0，2x ＋y －14≤0所表示的平面区域为M ，使函数y ＝a x(a >0，a ≠1)的图象过区域M 的a 的取值范围是( )A ．(1,3]B ．[2，10]C ．[2,9]D ．[10，9]解析作二元一次不等式组的可行域如图所示，由题意得A (1,9)，C (3,8)．当y ＝a x过A (1,9)时，a 取最大值，此时a ＝9；当y ＝a x 过C (3,8)时，a 取最小值，此时a ＝2，∴2≤a ≤9.答案 C点评准确作出可行域，熟知指数函数y ＝a x的图象特征是解决本题的关键． 2．线性规划与概率交汇例2 两人约定下午4点到5点在某一公园见面，他们事先约定先到者等候另一个人20分钟，过时就离去．请问这两个人能见面的概率有多大？解用x 、y 分别表示两人到公园的时间，若两人能见面，则有|x －y |≤20，又0≤x ≤60,0≤y ≤60，即有⎩⎪⎨⎪⎧x －y －20≤0，x －y ＋20≥0，0≤x ≤60，0≤y ≤60，作出点(x ，y )的可行域如图所示中阴影部分．由图知，两人能见面的概率为阴影部分的面积比大正方形的面积，所以所求概率为P ＝602－40×40602＝59. 点评这是一道几何概型的题目，关键在于确定两人能见面的时间区域，利用线性规划的思想简洁、直观、明了．3．线性规划与一元二次方程交汇例3 已知方程x 2＋(2＋a )x ＋1＋a ＋b ＝0的两根为x 1、x 2，且0<x 1<1<x 2，则ba的取值范围是__________．解析令f (x )＝x 2＋(2＋a )x ＋1＋a ＋b ，并且0<x 1<1<x 2，则由题意知函数f (x )在(0,1)及(1，＋∞)内各有一个零点，得⎩⎪⎨⎪⎧f0>0，f 1<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋1>0，2a ＋b ＋4<0.作出可行域，如图所示．而令k ＝ba，则表示可行域内的点与原点连线的斜率．设M (x 0，y 0)，则由⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋y 0＋1＝0，2x 0＋y 0＋4＝0，得M (－3,2)，k OM ＝－23，结合图可知－2<k <－23.答案 ⎝⎛⎭⎪⎫－2，－23 点评本题以一元二次方程的根的取值范围为背景，并通过与二次函数的联系转化为关于a 、b 的线性约束条件来求解．其中理解ba表示可行域内的点与原点连线的斜率是解题的关键．4．线性规划与圆交汇例4 若{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋5≥0，3－x ≥0，x ＋y ≥0}⊆{(x ，y )|x 2＋y 2≤m 2(m >0)}，求实数m 的取值范围．解设A ＝{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋5≥0，3－x ≥0，x ＋y ≥0}B ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤m 2 (m >0)}，则集合A 表示的区域为图中阴影部分，集合B 表示以坐标原点为圆心，m 为半径的圆及其内部，由A ⊆B 得，m ≥|PO |，由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋5＝0，3－x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝4，即P (3,4)， ∴|PO |＝5，即m ≥5.点评集合{(x ，y )|x 2＋y 2≤m 2(m >0)}的几何含义是以原点(0,0)为圆心，m 为半径的圆及其内部区域．5．线性规划与平面向量交汇例5 已知O 为坐标原点，定点A (3,4)，动点P (x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ＋1≥x ，x ＋y ≤3，则向量OP →在OA →上的射影的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤35，75B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤35，95C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤75，95 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤35，115 解析画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ＋1≥x ，x ＋y ≤3所表示的平面区域，如图所示．向量OP →在向量OA →上的射影为|OP →|cos∠AOP ＝|OP →|·OP →·OA →|OP →|·|OA →|＝OP →·OA →|OA →|＝3x ＋4y 5.令z ＝3x ＋4y ，易知直线3x ＋4y ＝z 过点G (1,0)时，z min ＝3；直线3x ＋4y ＝z 过点N (1,2)时，z max ＝11. ∴⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋4y 5min ＝35，⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋4y 5max ＝115.故选D. 答案 D点评向量OP →在OA →上的射影为|OP →|·cos〈OP →，OA →〉＝|OP →|·OP →·OA →|OP →|·|OA →|＝OP →·OA →|OA →|＝3x ＋4y 5.清楚这一点对解答本题至关重要．6 运用均值不等式求最值的7种常见技巧在利用均值不等式求最大值或最小值时，为满足“一正、二定、三相等”的条件，需要作一些适当的变形，用到一些变换的技巧，下面举例说明． 1．凑和为定值例1 若a ，b ，c >0，且2a ＋b ＋c ＝6，则a (a ＋b ＋c )＋bc 的最大值为( ) A.34 B. 3 C.32D ．2分析注意a (a ＋b ＋c )＋bc ＝(a ＋b )(a ＋c )，而2a ＋b ＋c ＝(a ＋b )＋(a ＋c )，从而沟通了问题与已知的联系，然后利用均值不等式求最值．解析 ∵a (a ＋b ＋c )＋bc ＝a 2＋ab ＋ac ＋bc ＝(a 2＋ac )＋(ab ＋bc )＝a (a ＋c )＋b (a ＋c ) ＝(a ＋b )(a ＋c )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ＋b ＋a ＋c 22＝⎝⎛⎭⎪⎫2a ＋b ＋c 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝32.当且仅当a ＋b ＝a ＋c ＝62时，取“＝”， ∴a (a ＋b ＋c )＋bc 的最大值为32.故选C.答案 C 2．凑积为定值例2 设a >b >c >0，则2a 2＋1ab ＋1a a －b －10ac ＋25c 2的最小值是( )A ．2B ．4C ．2 5D ．5 分析注意到2a 2＋1ab ＋1aa －b－10ac ＋25c 2＝a 2－ab ＋1aa －b ＋ab ＋1ab＋a 2－10ac ＋25c 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤aa －b ＋1a a －b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫ab ＋1ab ＋(a －5c )2，然后分别利用均值不等式和平方数的性质求最值．由于代数式比较复杂，要注意等号取到的条件．解析 ∵a >b >c >0， ∴原式＝a 2＋1ab ＋1aa －b－10ac ＋25c 2＋a 2＝a 2－ab ＋1aa －b＋ab ＋1ab＋(a －5c )2≥2＋2＋0＝4，当且仅当a (a －b )＝1，ab ＝1，a －5c ＝0时取等号．即当a ＝2，b ＝22，c ＝25时，所求式的最小值为4. 答案 B 3．化负为正例3 已知x <54，求函数y ＝4x －2＋14x －5的最大值．分析因为4x －5<0，所以要先“调整”符号，又(4x －2)·14x －5不是常数，所以对4x －2要添项“配凑”．解 ∵x <54，∴5－4x >0，∴y ＝4x －2＋14x －5＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2＋3＝1，当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，上式等号成立，故当x ＝1时，y max ＝1. 4．和积互“化”例4 若正实数x ，y 满足2x ＋y ＋6＝xy ，则2x ＋y 的最小值是________．分析可以利用均值不等式的变形形式ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22进行和或积的代换，这种代换目的是消除等式两端的差异，属不等量代换，带有放缩的性质．解析方法一 ∵x >0，y >0， ∴xy ＝12·(2x )·y ≤12·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋y 22，∴2x ＋y ＋6＝(2x ＋y )＋6≤18(2x ＋y )2，∴(2x ＋y )2－8(2x ＋y )－48≥0，令2x ＋y ＝t ，t >0，则t 2－8t －48≥0， ∴(t －12)(t ＋4)≥0， ∴t ≥12，即2x ＋y ≥12.方法二由x >0，y >0,2x ＋y ＋6＝xy ，得xy ≥22xy ＋6(当且仅当2x ＝y 时，取“＝”)，即(xy )2－22xy －6≥0， ∴(xy －32)·(xy ＋2)≥0. 又∵xy >0，∴xy ≥32，即xy ≥18. ∴xy 的最小值为18， ∵2x ＋y ＝xy －6， ∴2x ＋y 的最小值为12. 答案 12 5．消元法例5 若正实数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的最小值为________．分析从ab ＝a ＋b ＋3中解出b ，即用a 的代数式表示b ，则ab 可以用a 来表示，再求关于a 的代数式的最值即可．解析 ∵ab ＝a ＋b ＋3， ∴b ＝a ＋3a －1. ∵a >0，b >0， ∴a ＋3a －1>0，∴a >1. ∴ab ＝a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋3a －1＝a 2＋3a a －1＝a －12＋5a －1＋4a －1＝(a －1)＋4a －1＋5. ∵a >1， ∴a －1＋4a －1≥2a －1·4a －1＝4，当且仅当a －1＝4a －1，即a ＝3时，取等号，此时b ＝3，∴ab ≥9.∴ab 的最小值为9. 答案 9 6．平方法例6 若x >0，y >0，且2x 2＋y 23＝8，求x 6＋2y 2的最大值．分析仔细观察题目已知式中x 与y 都是二次的，而所求式中x 是一次的，而且还带根号，初看让人感觉无处着手，但是如果把x 6＋2y 2平方，则豁然开朗，思路就在眼前了．解 (x 6＋2y 2)2＝x 2(6＋2y 2)＝3·2x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋y 23≤3·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x 2＋1＋y 2322＝3·⎝ ⎛⎭⎪⎫922.当2x 2＝1＋y 23，即x ＝32，y ＝422时，等号成立．故x 6＋2y 2的最大值为932.7．换元法例7 某商品进货价每件50元，据市场调查，当销售价格(每件x 元)为50<x ≤80时，每天售出的件数为P ＝105x －402，若要使每天获得的利润最多，销售价格每件应定为多少元？解设销售价格为每件x 元(50<x ≤80)，每天获得的利润为y 元，则y ＝(x －50)·P ＝105x －50x －402.令x －50＝t ， ∴y ＝105tt ＋102＝105tt 2＋20t ＋100＝105t ＋100t＋20≤10520＋20＝2 500.当且仅当t ＝10，即x ＝60时，y max ＝2 500. 答销售价格每件应定为60元．7 不等式易错备忘录1．多次非同解变形，导致所求范围扩大而致错例1 已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx (a ≠0)满足1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，则f (－2)的范围是( ) A ．[3,12] B ．(3,12) C ．(5,10)D ．[5,10][错解] 由于f (－2)＝4a －2b ，要求f (－2)的范围，可先求a 与b 的范围．由f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧1≤a －b ≤2 ①2≤a ＋b ≤4 ②两式相加得32≤a ≤3，又－2≤b －a ≤－1 ③②式与③式相加得0≤b ≤32.∴6≤4a ≤12，－3≤－2b ≤0. ∴3≤4a －2b ≤12.即3≤f (－2)≤12.故选A 项．[点拨] 这种解法看似正确，实则使f (－2)的范围扩大了，事实上，这里f (－2)最小值不可能取到3，最大值也不可能是12.由上述解题过程可知，当a ＝32且b ＝32时才能使4a －2b ＝3，而此时a －b ＝0，不满足①式．同理可验证4a －2b 也不能等于12.出现上述错误的原因是“同向不等式两边分别相加所得不等式与原不等式同向”这一性质是单向的，用它来作变形，是非同解变形．以上解法为了求a ，b 的范围，多次应用了这一性质，使所求范围扩大了．[正解] 方法一 ∵⎩⎪⎨⎪⎧f－1＝a －b f 1＝a ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12[f 1＋f －1]b ＝12[f1－f －1]，∴f (－2)＝4a －2b ＝2[f (1)＋f (－1)]－[f (1)－f (－1)] ＝3f (－1)＋f (1)．∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4. ∴5≤f (－2)≤10，故选D 项．方法二数形结合法在坐标平面aOb 上，作出直线a ＋b ＝2，a ＋b ＝4，a －b ＝1，a －b ＝2，则⎩⎪⎨⎪⎧2≤a ＋b ≤41≤a －b ≤2表示平面上的阴影部分(包括边界)，如图所示：令m ＝4a －2b ，则b ＝2a －m2.显然m 为直线系4a －2b ＝m 在b 轴上截距2倍的相反数．当直线b ＝2a －m 2过阴影部分中点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12时，m 取最小值5；过点C (3,1)时，m 取最大值10. ∴f (－2)∈[5,10]，选D 项．温馨点评利用不等式的变换求取值范围时，要使变换符合等价性.像此类题一般是运用待定系数法或线性规划中最优解方法求解.切勿像误区中解法那样先求a 、b 的范围，再求f －2的范围，这样求出的范围会扩大.2．混淆“定义域为R ”与“值域为R ”的区别而致错例2 若函数y ＝lg(ax 2－2x ＋a )的值域为R ，求a 的取值范围． [错解1] ∵函数y ＝lg(ax 2－2x ＋a )的值域为R . ∴ax 2－2x ＋a >0对x ∈R 恒成立．∴⎩⎪⎨⎪⎧a >0Δ<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >04－4a 2<0，∴a >1.[错解2] ∵函数y ＝lg(ax 2－2x ＋a )的值域为R . ∴代数式ax 2－2x ＋a 能取遍一切正值． ∴Δ＝4－4a 2≥0，∴－1≤a ≤1.[点拨] 上述解法1把值域为R 误解为定义域为R ；解法2虽然理解题意，解题方向正确，但是忽略了a <0时，代数式ax 2－2x ＋a 不可能取到所有正数，从而也是错误的． [正解] 当a ＝0时，y ＝lg(－2x )值域为R ，a ＝0适合．当a ≠0时，ax 2－2x ＋a ＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x －1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a 为使y ＝lg(ax 2－2x ＋a )的值域为R ，代数式ax 2－2x ＋a 应取到所有正数．所以a 应满足⎩⎪⎨⎪⎧a >0a －1a≤0，解得0<a ≤1.综上所述，0≤a ≤1.3．忽略截距与目标函数值的关系而致错例3 设E 为平面上以A (4,1)，B (－1，－6)，C (－3，2)为顶点的三角形区域(包括边界)，求z ＝4x －3y 的最大值与最小值． [错解]把目标函数z ＝4x －3y 化为y ＝43x －13z . 根据条件画出图形如图所示，当动直线y ＝43x －13z 通过点C 时，z 取最大值；当动直线y ＝43x －13z 通过点B 时，z 取最小值． ∴z min ＝4×(－1)－3×(－6)＝14；z max ＝4×(－3)－3×2＝－18.[点拨] 直线y ＝43x －13z 的截距是－13z ，当截距－13z 最大即过点C 时，目标函数值z 最小；而当截距－13z 最小即过点B 时，目标函数值z 最大．此处容易出错． [正解] 把目标函数z ＝4x －3y 化为y ＝43x －13z . 当动直线y ＝43x －13z 通过点B 时，z 取最大值；当动直线y ＝43x －13z 通过点C 时，z 取最小值． ∴z min ＝4×(－3)－3×2＝－18；z max ＝4×(－1)－3×(－6)＝14.温馨点评由目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)，得y ＝－a b x ＋z b .直线y ＝－a b x ＋z b 在y 轴上的截距为z b .当b >0时，目标函数值与直线在y 轴上的截距同步达到最大值和最小值；当b <0时，情形正好相反．4．最优整数解判断不准而致错例4 设变量x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋2y ≤10，x ＋4y ≤11，x ∈Z ，y ∈Z ，x >0，y >0，求S ＝5x ＋4y 的最大值．[错解] 依约束条件画出可行域如图阴影部分所示，如先不考虑x 、y 为整数的条件，则当直线5x ＋4y ＝S 过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫95，2310时， S ＝5x ＋4y 取最大值，S max ＝18 15.因为x 、y 为整数，所以当直线5x ＋4y ＝t 平行移动时，从点A 起通过的可行域中的整点是C (1,2)，此时S max ＝13.[点拨] 上述错误是把C (1,2)作为可行域内唯一整点，其实还有整点(0,2)，(2,1)，(2,2)，此时S ＝14才是最大值．[正解] 在可行域内靠近5x ＋4y ＝1815的整点有(0,2)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，分别验证可得(2,2)为最优解，此时，S max ＝2×5＋2×4＝18. 温馨点评求最优整数解时，要结合可行域，对所有可能的整数解逐一检验，不要漏掉解.5．忽略等号成立的条件而致错例5 已知m 2＋n 2＝a ，x 2＋y 2＝b (a 、b 为大于0的常数且a ≠b )，求mx ＋ny 的最大值．[错解] ∵mx ≤m 2＋x 22，ny ≤n 2＋y 22， ∴mx ＋ny ≤m 2＋x 22＋n 2＋y 22 ＝m 2＋n 2＋x 2＋y 22＝a ＋b 2.当且仅当m ＝x ，n ＝y 时取“＝”．[点拨] 如果m ＝x ，n ＝y ，则会有m 2＋n 2＝x 2＋y 2＝a ＝b ，这与条件“a ≠b ”矛盾，如果m ＝x ，n ＝y 中有一个不成立，则“＝”取不到，则不满足使用均值不等式的条件．[正解] 利用三角代换可避免上述问题． ∵m 2＋n 2＝a ，∴设⎩⎨⎧ m ＝a cos αn ＝a sin α (α∈[0,2π))， ∵x 2＋y 2＝b ，∴设⎩⎨⎧ x ＝b cos βy ＝b sin β(β∈[0,2π))，∴mx ＋ny ＝ab cos αcos β＋ab sin αsin β ＝ab (cos αcos β＋sin αsin β)＝ab cos(α－β)≤ab ，∴(mx ＋ny )max ＝ab ，当且仅当cos(α－β)＝1，α＝β时取“＝”．6．两次利用均值不等式而致错例6 已知x >0，y >0，且x ＋2y ＝1，求1x ＋1y的最小值． [错解] 因为x >0，y >0，且x ＋2y ＝1， 1x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y (x ＋2y )≥21x ·1y ×22xy ＝4 2. 所以1x ＋1y的最小值为4 2. [点拨] 上述解答是错误的，错因是连续两次使用均值不等式，忽视了等号成立的一致性．[正解] 因为x >0，y >0，且x ＋2y ＝1，所以1x ＋1y ＝x ＋2y x ＋x ＋2y y ＝1＋2＋2y x ＋x y≥3＋22y x ·x y＝3＋2 2. 当且仅当2y x ＝x y且x ＋2y ＝1，即x ＝2－1，y ＝1－22时，取得等号．所以1x ＋1y的最小值为3＋2 2. 温馨点评在多次使用均值不等式时，一定要注意等号成立的条件是否相同.。

人教版高中必修5(B版)第三章不等式教学设计 (2)

人教版高中必修5(B版)第三章不等式教学设计教学背景本次教学设计针对高中必修课程《数学B》中的第三章不等式进行，此章内容为不等式的化简、比较大小以及解不等式等内容，是一门基础而又重要的数学知识。

在本教学设计中，我们通过引入实际生活中的问题，加深学生对不等式的理解和应用，从而提高学习效果。

教学目标本次教学的主要目标是帮助学生：1.掌握不等式的基本概念、性质和解法。

2.了解不等式在实际生活中的应用，提高学生对数学的兴趣。

3.通过分组与合作，培养学生团队合作能力与口头表达能力。

教学内容1. 引入首先，我们可以通过题目来引入不等式的基本概念，例如：“小明和小红参加一个射箭比赛，小明射出20只，小红射出25只。

请问，小红比小明多射了几只箭呢？”通过这个例子，引出不等式的基本概念：小红射箭的数量比小明多。

然后，引导学生将“小红射箭的数量”记为x，将“小明射箭的数量”记为y，则有不等式x>y。

2. 基本概念接着，我们需要讲解不等式的基本概念与性质。

具体来说，讲解的内容应包括：1.不等式的符号及其含义。

2.不等式的加减乘除性质。

3.不等式的移项、合并和消去绝对值等基本方法。

为了方便学生理解，我们可以通过练习题来进行演示和讲解。

3. 实际应用为了加深学生对不等式的理解，我们可以引入实际生活中的问题，让学生通过解决实际问题来理解不等式的应用。

例如：“一家工厂每天生产3000件产品，如果员工的平均生产量不低于50件/天，那么至少需要多少员工才能完成生产任务？”通过这个问题，我们可以引导学生列出不等式$3000\\leq50x$，其中x表示员工的数量。

然后，通过移项和求商，得出$x\\geq60$，也就是需要至少60名员工才能完成生产任务。

4. 合作探究为了提高学生的团队合作能力与口头表达能力，我们可以将学生分为小组，让他们合作完成一道相应的不等式问题。

例如：“现在有1000元钱，要买3种物品，第一种物品每件150元，第二种物品每件100元，第三种物品每件50元。

2018版高中数学(人教B版)必修五学案第三章 3.4 不等式的实际应用 Word版含答案

．不等式的实际应用[学习目标].能根据实际情境建立不等式模型，并能用相关知识作出解答.掌握一元二次不等式与均值不等式在实际问题中的应用．[知识链接]下列各命题正确的有．()(－)(－)≤的解集是{≤≤}；()<的解集是{－<<}；()(－)≤的解集是{}；()>的解集是{<或>}；()不等式＋＋>的解集是全体实数的条件是>且Δ＝－<.答案()()()解析对于(), (－)(－)≤⇔(－)(－)≥，所以解集是{≥或≤}，故不正确；()，()显然正确；对于()，>⇔(－)(－)>，所以解集是{<或>}；对于()，当＝＝且>也满足题意，故不正确．[预习导引]．解不等式的应用题解有关不等式的应用题，首先要选用合适的字母表示题中的未知数，再由题中给出的不等量关系，列出关于未知数的不等式(组)，然后解所列出的不等式(组)，最后再结合问题的实际意义写出答案．．一元二次不等式恒成立问题()转化为一元二次不等式解集为的情况，即＋＋>(≠)恒成立⇔＋＋<(≠)恒成立⇔()分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题，即：≥()恒成立⇔≥()；≤()恒成立⇔≤().要点一利用比较法解决实际生活问题例某商品计划两次提价，有甲、乙、丙三种方案如下，其中>>，方案第一次(提价)第二次(提价)甲乙丙(＋)(＋)经过两次提价后，哪种方案提价幅度大？解设商品原价为，设按甲、乙、丙三种方案两次提价后价格分别为甲、乙、丙，则甲＝(＋)(＋)，乙＝(＋)(＋)，丙＝[＋(＋)][＋(＋)]＝(＋).显然甲、乙两种方案最终价格是一致的，因此，只需比较(＋)与(＋)(＋)的大小．甲－丙＝[＋＋＋－－－]＝(－－)＝－(－)<.∴丙>甲，∴按丙方案提价比甲、乙方案提价幅度大．规律方法一般说来，谁优、谁劣、谁省，哪一种方案更好，涉及比较的应用题，常常作差比较得出正确结论．。

2018学年高中数学北师大版必修五课件：第三章不等式章末阶段分层突破精品

∵x1＞x2≥0，∴x1－x2＞0，x1＋1＞1，x2＋1≥1， ∴(x1＋1)(x2＋1)＞1，而 0＜a＜1， ∴x1＋1ax2＋1＜1，∴f(x1)－f(x2)＞0， ∴f(x)在[0，＋∞)上单调递增，∴f(x)min＝f(0)＝a.
[再练一题] 2．某企业准备投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内预计年销售量 Q(万件)与广告费 x(万元)之间的函数关系式为 Q＝3xx＋＋11(x≥0)，已知生产此产品的年固定投入为 3 万元，每生产 1 万件此产品仍需再投入 32 万元，若每件销售价为“年平均每件生产成本的 150%”与“年平均每件所占广告费的 50%”之和． (1)试将年利润 W 万元表示为年广告费 x 万元的函数； (2)当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？最大利润为多少？
作出(x，y)的可行域如图所示．
由3x＝x＋15，y－25＝0，解得 A1，252. 由xx－＝41y，＋3＝0，解得 C(1,1)．由3x－x＋45y＋y－32＝5＝0，0，解得 B(5,2)．
(1)∵z＝yx＝yx－－00， ∴z 的值即是可行域中的点与原点 O 连线的斜率．观察图形可知 zmin＝kOB＝25. (2)z＝x2＋y2＋6x－4y＋13＝(x＋3)2＋(y－2)2 的几何意义是可行域上的点到点(－3,2)的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到(－3,2)的距离中， dmin＝1－(－3)＝4，dmax＝－3－52＋2－22＝8， ∴16≤z≤64.
则目标函数
z＝x＋6y 的最大值为( )
A．3
B．4
C．18
D．40
【解析】由题意作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示．
作直线 x＋6y＝0 并向右上平移，由图可知，过点 A(0,3)时 z＝x＋6y 取得最大值，最大值为 18.

2018版高中数学人教B版必修五学案：第三章 3-4 不等式

3．4 不等式的实际应用[学习目标] 1.能根据实际情境建立不等式模型，并能用相关知识作出解答.2.掌握一元二次不等式与均值不等式在实际问题中的应用．[知识链接]下列各命题正确的有________．(1)(x －1)(2－x )≤0的解集是{x |1≤x ≤2}； (2)x 2< 9的解集是{x |－3<x <3}； (3)(x －1)2≤0的解集是 {1}； (4)x －1x －3>0的解集是{x |x <1或x >3}； (5)不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集是全体实数的条件是a >0且Δ＝b 2－4ac <0. 答案 (2)(3)(4)解析对于(1), (x －1)(2－x )≤0⇔(x －1)(x －2)≥0，所以解集是{x |x ≥2或x ≤1 }，故不正确；(2)，(3)显然正确；对于(4)，x －1x －3>0⇔(x －1)(x －3)>0，所以解集是{x |x <1或x >3}；对于(5)，当a ＝b ＝0且c >0也满足题意，故不正确． [预习导引]1．解不等式的应用题解有关不等式的应用题，首先要选用合适的字母表示题中的未知数，再由题中给出的不等量关系，列出关于未知数的不等式(组)，然后解所列出的不等式(组)，最后再结合问题的实际意义写出答案．2．一元二次不等式恒成立问题(1)转化为一元二次不等式解集为R 的情况，即ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0.ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0.(2)分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题，即： k ≥f (x )恒成立⇔k ≥f (x )max ；k ≤f (x )恒成立⇔k ≤f (x )min .要点一利用比较法解决实际生活问题例1 某商品计划两次提价，有甲、乙、丙三种方案如下，其中p >q >0，解设商品原价为a ，设按甲、乙、丙三种方案两次提价后价格分别为N 甲、N 乙、N 丙，则 N 甲＝a (1＋p %)(1＋q %)， N 乙＝a (1＋q %)(1＋p %)，N 丙＝a [1＋12(p ＋q )%][1＋12(p ＋q )%]＝a (1＋p ＋q 200)2.显然甲、乙两种方案最终价格是一致的，因此，只需比较a (1＋p ＋q 200)2与a (1＋p %)(1＋q %)的大小．N 甲－N 丙＝a [1＋p 100＋q 100＋pq1002－1－p ＋q 100－(p ＋q )22002]＝a 2002(2pq －p 2－q 2) ＝－a2002(p －q )2<0.∴N 丙>N 甲，∴按丙方案提价比甲、乙方案提价幅度大．规律方法一般说来，谁优、谁劣、谁省，哪一种方案更好，涉及比较的应用题，常常作差比较得出正确结论．跟踪演练1 有一批货物的成本为A 元，如果本月初出售，可获利100元，然后可将本利都存入银行．已知银行的月利息为2%，如果下月初出售，可获利120元，但货物贮存要付5元保管费，试问是本月初还是下月初出售好？并说明理由．解若本月初出售到下月初获利为m 元，下月初出售获利为n 元．则m ＝100＋(100＋A )·2% ＝102＋0.02A .n ＝120－5＝115，故n －m ＝13－0.02A ，令n －m ＝0，得A ＝650. ①当A ＝650元时，本月初、下月初出售获利相同． ②当A >650元时，n －m <0即n <m ，本月初出售好． ③当A <650元时，n >m ，下月初出售好．要点二均值定理在实际生活中的应用例2 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v (单位：千米/时)是车流密度x (单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时，研究表明：当20≤x ≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数． (1)当0≤x ≤200时，求函数v (x )的表达式；(2)当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时)f (x )＝x ·v (x )可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/时)解 (1)由题意知，当0≤x ≤20时，v (x )＝60；当x ＝200，v ＝0；当20≤x ≤200时，设v (x )＝ax ＋b .由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧200a ＋b ＝0，20a ＋b ＝60，解得⎩⎨⎧a ＝－13，b ＝2003.故函数v (x )的表达式为v (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60 (0≤x ≤20)，13(200－x ) (20<x ≤200).(2)根据题意，由(1)可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60x (0≤x ≤20)，13x (200－x ) (20<x ≤200).当0≤x ≤20时，f (x )为增函数，∴当x ＝20时，其最大值为60×20＝1 200；当20<x ≤200时，f (x )＝13x (200－x )≤13[x ＋(200－x )2]2＝10 0003，当且仅当x ＝200－x ，即x ＝100时，等号成立． ∴当x ＝100时，f (x )在区间(20,200]上取得最大值10 0003.综上可知，当x ＝100时，f (x )在区间[0,200]上取得最大值10 0003≈3 333，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/时．规律方法 (1)求最值或者求取值范围问题，首先考虑建立函数关系，通过函数的方法来求．均值不等式也是求最值的重要方法，尤其是出现和与积的形式，把所求的量放在不等式中去考查．(2)建立函数时一定要注意函数的定义域，定义域是函数的三要素之一，不能忽视．在利用均值不等式解题时，要注意“一正、二定、三相等”，若取等号时的自变量的值取不到，此时应考虑用函数的单调性．跟踪演练2 某单位决定投资3 200元建一长方体仓库，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米造价40元，两侧用砖墙，每米造价45元，顶部每平方米造价20元． (1)仓库底面积S (m 2)的最大允许值是多少？(2)为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？解 (1)设铁栅长为x m ，一侧砖墙长为y m ，则有S ＝xy . 由题意得40x ＋2×45y ＋20xy ＝3 200. 由均值不等式，得 3 200≥240x ·90y ＋20xy ＝120xy ＋20xy ＝120S ＋20S ，∴S ＋6S ≤160，即(S ＋16)(S －10)≤0. ∵S ＋16>0，∴S －10≤0，∴S ≤100. ∴S 的最大允许值是100 m 2.(2)取得此最大值的条件是40x ＝90y ，而xy ＝100，由此求得x ＝15，即铁栅的长应是15 m. 要点三一元二次不等式在生活中的应用例3 某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x (0＜x ＜1)，则出厂价相应地提高比例为0.75x ，同时预计年销售量增加的比例为0.6x ，已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量． (1)写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式；(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x 应在什么范围内？解 (1)由题意得y ＝[12(1＋0.75x )－10(1＋x )]×10 000×(1＋0.6x )(0＜x ＜1)，整理得y ＝－6 000x 2＋2 000x ＋20 000(0＜x ＜1)． (2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，必须有⎩⎪⎨⎪⎧y －(12－10)×10 000>0，0<x <1，即⎩⎪⎨⎪⎧－6 000x 2＋2 000x >0，0<x <1，解得0＜x ＜13，所以投入成本增加的比例应在(0，13)范围内．规律方法不等式应用题常以函数、数列为背景出现，多是解决现实生活、生产中的最优化问题，在解题中主要涉及到不等式的解法等问题，构造数学模型是解不等式应用题的关键．跟踪演练3 在一个限速40 km /h 以内的弯道上，甲，乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m ，乙车的刹车距离略超过10 m ．又知甲、乙两种车型的刹车距离S m 与车速x km/h 之间分别有如下关系：S 甲＝0.1x ＋0.01x 2，S 乙＝0.05x ＋0.005x 2.问超速行驶谁应负主要责任．解由题意列出不等式S 甲＝0.1x ＋0.01x 2>12，解得x <－40，或x >30. S 乙＝0.05x ＋0.005x 2>10. 解得x <－50，或x >40.由于x >0，从而得x 甲>30 km /h ，x 乙>40 km/h. 经比较知乙车超过限速，应负主要责任．要点四不等式的恒成立问题例4 设函数f (x )＝mx 2－mx －1.(1)若对于一切实数x ，f (x )<0恒成立，求实数m 的取值范围． (2)对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求实数m 的取值范围．解 (1)要使mx 2－mx －1<0恒成立，若m ＝0，显然－1<0.若m ≠0，⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝m 2＋4m <0⇒－4<m <0.∴－4<m ≤0. 故实数m 的取值范围是(－4,0]．(2)方法一要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立．就要使m (x －12)2＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立．令g (x )＝m (x －12)2＋34m －6，x ∈[1,3]．当m >0时，g (x )在x ∈[1,3]上是增函数， ∴g (x )max ＝g (3)⇒7m －6<0，∴0<m <67；当m ＝0时，－6<0恒成立；当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数，∴g (x )max ＝g (1)＝m －6<0，得m <6，∴m <0. 综上所述：实数m 的取值范围是(－∞，67)．方法二当x ∈[1,3]时，f (x )<－m ＋5恒成立，即当x ∈[1,3]时，m (x 2－x ＋1)－6<0恒成立． ∵x 2－x ＋1＝(x －12)2＋34>0，又m (x 2－x ＋1)－6<0，∴m <6x 2－x ＋1.∵函数y ＝6x 2－x ＋1＝6(x －12)2＋34在[1,3]上的最小值为67，∴只需m <67 即可．故实数m 的取值范围是(－∞，67)．规律方法有关不等式恒成立求参数的取值范围，通常处理方法有两种：(1)首先考虑能否进行参变量分离，若能，则构造关于变量的函数，转化为求函数的最大(小)值，从而建立参变量的不等式；(2)若参变量不能分离，则应构造关于变量的函数(如一元一次、一元二次函数)，并结合图象建立参变量的不等式求解．跟踪演练4 当a 为何值时，不等式(a 2－1)x 2－(a －1)x －1<0的解集为R? 解 ①当a 2－1＝0时，a ＝1或－1. 若a ＝1，则原不等式为－1<0，恒成立．若a ＝－1，则原不等式为2x －1<0，即x <12，不合题意，舍去．②当a 2－1≠0时，即a ≠±1时，原不等式的解集为R 的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1<0，Δ＝[－(a －1)]2＋4(a 2－1)<0. 解得－35<a <1.综上a 的取值范围是(－35，1]．1．某工厂第一年产量为A ，第二年增长率为a ，第三年的增长率为b ，这两年的平均增长率为x ，则( ) A ．x ＝a ＋b2B ．x ≤a ＋b2C ．x >a ＋b 2D ．x ≥a ＋b2答案 B解析由题意知A (1＋x )2＝A (1＋a )(1＋b )，即x ＝(1＋a )(1＋b )－1≤1＋a ＋1＋b 2－1＝a ＋b2.2．若产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系式是y ＝3 000＋20x －0.1x 2(0<x <240)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是 ( )A ．100台B ．120台C ．150台D ．180台答案 C解析 y －25x ＝－0.1x 2－5x ＋3 000≤0，∴x 2＋50x －30 000≥0，解得x ≥150或x ≤－200(舍去)．3．某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10公里处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________公里．答案 5解析设仓库到车站距离为x 公里，则y 1＝k 1x ，y 2＝k 2x 且 k 1＝20，k 2＝45，则两项费用之和S ＝20x ＋45x ≥8(万元)，当且仅当20x ＝45x .即x ＝5公里时，两项费用之和最小为8万元．4．某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x 件与单价P 元之间的关系为P ＝160－2x ，生产x 件所需成本为C ＝500＋30x 元，该厂日产量多大时，每天获利不少于1 300元？解由题意得(160－2x )x －(500＋30x )≥1 300，化简得x 2－65x ＋900≤0，解得20≤x ≤45.答该厂每天产量在20件至45件之间时，每天获利不少于1 300元.1．解不等式实际应用题的解题思路实际问题―――――――――→建模审题、抽象概括、转化数学问题―――→建模推理演算数学模型答案――→验证实际问题结论 2．建立一元二次不等式模型求解实际问题操作步骤为：(1)理解题意，搞清量与量之间的关系；(2)建立相应的不等关系，把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题； (3)解这个一元二次不等式，得到实际问题的解． 3．应用均值不等式解决实际问题(1)理解题意，设出变量(必要时可画出示意图帮助理解)； (2)建立相应的等量或不等量关系，把实际问题抽象为数学问题； (3)对建立起来的关系式进行整理、变形，使之能应用均值不等式求最值；(4)回扣实际问题，写出准确答案．。

高中数学第3章不等式章末复习课学案新人教B版必修5

第3章不等式) A ．ab >ac B ．c (b －a )>0 C ．cb 2<ab 2D ．ac (a －c )<0(2)已知2<a <3，－20. A 成立，因为c ac ． B 成立，因为b <a ，b －a <0，所以c (b －a )>0. C 不一定成立，当b ＝0时，cb 2<ab 2不成立． D 成立，因为c <a ，所以a －c >0，所以ac (a －c )<0.] (2)解：因为－2<b <－1，所以1<－b <2.又因为2<a <3，所以2<－ab <6，所以－6<ab <－2. 因为－20，b >0，且a ≠b ，比较a 2b ＋b 2a与a ＋b 的大小．[解] 因为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2b ＋b 2a －(a ＋b ) ＝a 2b －b ＋b 2a －a ＝a 2－b 2b ＋b 2－a 2a＝(a 2－b 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1a ＝(a 2－b 2)a －b ab＝(a －b )2(a ＋b )ab，因为a >0，b >0，且a ≠b ，所以(a －b )2>0，a ＋b >0，ab >0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2b ＋b 2a －(a ＋b )>0，即a 2b ＋b 2a>a ＋b ．a 的取值范围．[思路探究] 因为(x －1)的符号不确定，所以参变量 a 不能分离，只好研究二次函数 y ＝x 2＋ax ＋3－a ．[解] 设 f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，其函数图象为开口向上的抛物线，要使得对于满足－2≤x ≤2的一切实数 x 恒有f (x )>0，只需满足：(1)Δ＝a 2－4(3－a )<0；(2)⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝a 2－4(3－a )≥0，f (－2)＝7－3a >0， f (2)＝7＋a >0，－a 2－2>0，或⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝a 2－4(3－a )≥0，f (－2)＝7－3a >0，f (2)＝7＋a >0，－a 2＋2<0.解(1)(2)得，当－7<a <2时，不等式x 2＋ax ＋3－a >0对于满足－2≤x ≤2的一切实数x 恒成立．对于恒成立不等式求参数范围的问题常见的类型及解法有以下几种： (1)变更主元法根据实际情况的需要确定合适的主元，一般知道取值范围的变量要看做主元．(2)分离参数法若f (a )<g (x )恒成立，则f (a )<g (x )min . 若f (a )>g (x )恒成立，则f (a )>g (x )max . (3)数形结合法利用不等式与函数的关系将恒成立问题通过函数图象直观化．2．在R 上定义运算：⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d＝ad －bc ．若不等式⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －1a ＋1a －2x ≥1对任意实数 x 恒成立，则实数a 的最大值为( )A ．－12B ．－32C ．13D ．32D [原不等式等价于x (x －1)－(a －2)(a ＋1)≥1，即x 2－x －1≥(a ＋1)(a －2)对任意x 恒成立，x 2－x －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－54≥－54，所以－54≥a 2－a －2，－12≤a ≤32.故选D ．]【例3】设函数 f (x )＝x ＋x ＋1，x ∈[)0，＋∞.(1)当a ＝2时，求函数 f (x ) 的最小值； (2)当0<a <1时，求函数 f (x ) 的最小值．[思路探究] (1)将原函数变形，利用均值不等式求解． (2)利用函数的单调性求解． [解] (1)把a ＝2代入 f (x ) ＝x ＋ax ＋1，得 f (x )＝x ＋2x ＋1＝(x ＋1)＋2x ＋1－1， ∵x ∈[)0，＋∞， ∴x ＋1>0，2x ＋1>0， ∴x ＋1＋2x ＋1≥22，当且仅当x ＋1＝2x ＋1，即x ＝2－1时， f (x ) 取最小值，此时f (x ) min ＝22－1.(2)当0<a <1时， f (x ) ＝x ＋1＋ax ＋1－1，若x ＋1＋ax ＋1≥2a ，则当且仅当x ＋1＝ax ＋1时取等号，此时x ＝a －1<0(不合题意)， ∴上式等号取不到．f (x ) 在[)0，＋∞上单调递增，∴ f (x ) min ＝ f (0)＝a ．均值不等式是证明不等式、求某些函数的最大值及最小值的理论依据，在解决数学问题和实际问题中应用广泛．(1)均值不等式通常用来求最值，一般用a ＋b ≥2ab (a >0，b >0)解“定积求和，和最小”问题，用ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22解“定和求积，积最大”问题．(2)在实际运用中，经常涉及函数f (x )＝x ＋k x(k >0)，一定要注意适用的范围和条件：“一正、二定、三相等”．特别是利用拆项、添项、配凑、分离变量、减少变元等，构造定值条件的方法和对等号能否成立的验证．3．(1)若x ，y 都是正数，且满足4x ＋16y＝1，求x ＋y 的最小值；(2)若正实数x ，y 满足x ＋y ＋1x ＋1y＝5，求x ＋y 的最大值．[解] (1)∵x ＋y ＝1·(x ＋y )＝⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋16y(x ＋y ) ＝20＋⎝⎛⎭⎪⎫4y x ＋16x y ≥20＋24y x ·16xy＝36，当且仅当x ＝12，y ＝24时，等号成立， ∴x ＋y 的最小值为36. (2)∵xy ≤(x ＋y )24，x >0，y >0，∴1xy ≥4(x ＋y )2，x ＋y xy ≥4x ＋y ，∴x ＋y ＋4x ＋y ≤5.设x ＋y ＝t ，即t ＋4t≤5，得到t 2－5t ＋4≤0. 解得1≤t ≤4.∴x ＋y 的最大值为4.距离A 港50海里的B 港去，然后乘汽车以u 千米/时(30≤u ≤100)的速度从B 港向距离B 港300千米的C 市匀速驶去，应该在同一天下午4时至9时到达C 市．设乘汽车、摩托艇所花费的时间分别是x ，y 小时．如果已知所需经费p ＝[100＋3(5－x )＋2(8－y )](元)，那么v ，u 分别是多少时最经济？此时需花费多少元？[思路探究] 由题设知v ＝50y ，u ＝300x ，4≤v ≤20,30≤u ≤100.所以4≤50y ≤20,30≤300x≤100，所以3≤x ≤10，52≤y ≤252，又由于乘汽车、摩托艇所需时间的和x ＋y 应在9小时至14小时之间，也就是9≤x ＋y ≤14，由此说明x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧3≤x ≤10，52≤y ≤252，9≤x ＋y ≤14，所以问题就转化为一个线性规划问题．[解] 分析题中条件可知约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧3≤x ≤10，52≤y ≤252，9≤x ＋y ≤14，目标函数为p ＝100＋3(5－x )＋2(8－y )，即p ＝－3x －2y ＋131.作出可行域，如图中阴影部分．设131－p ＝k ，则k 最大时，p 最小．作一组平行直线l ：3x ＋2y ＝k ，当直线过可行域上的点A (10,4)时，k 最大，即当x ＝10，y ＝4时，p 最小，此时v ＝50y ＝12.5，u ＝300x＝30，p的最小值为p min ＝－3×10－2×4＋131＝93(元)．故当v 为12.5海里/时，u 为30千米/时时最经济，此时需花费93元．1．线性规划在实际中的类型主要有：(1)给定一定数量的人力、物力资源，如何运用这些资源，使完成任务量最大，收到的效益最高；(2)给定一项任务，怎样统筹安排，使得完成这项任务耗费的人力、物力资源最少． 2．解答线性规划应用题的步骤：(1)列：设出未知数，列出约束条件，确定目标函数． (2)画：画出线性约束条件所表示的可行域．(3)移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线．(4)求：通过解方程组求出最优解． (5)答：作出答案．4．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －y ≤0，x ＋y －4≤0，则y x的最大值为_______．3 [画出可行域如图阴影所示，∵yx表示过点(x ，y )与原点(0,0)的直线的斜率， ∴点(x ，y )在点A 处时yx最大．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x ＋y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3.∴A (1,3)，∴yx的最大值为3.]围．[思路探究] 由题意，知方程x 2－2ax ＋a ＋2＝0的两根均在区间[1,4]内，由此可知，函数f (x )＝x 2－2ax ＋a ＋2的图象与x 轴的交点在区间[1,4]内，因此可得函数的系数应满足的条件不等式，即可求解．[解] 当M ＝∅时，满足M ⊆[1,4]，有Δ＝4a 2－4(a ＋2)＜0，所以－1＜a ＜2.当M ≠∅时，因为M ⊆[1,4]，所以方程x 2－2ax ＋a ＋2＝0的两根x 1，x 2均在区间[1,4]内．因此函数f (x )＝x 2－2ax ＋a ＋2与x 轴的两交点均在区间[1,4]内，如图所示．则有⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)≥0，f (4)≥0，Δ≥0，1≤2a 2≤4，所以⎩⎪⎨⎪⎧3－a ≥0，18－7a ≥0，4a 2－4(a ＋2)≥0，1≤a ≤4，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≤3，a ≤187，a ≤－1或a ≥2，1≤a ≤4，解得2≤a ≤187.综上可知，实数a 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪－1＜a ≤187 .一元二次方程、一元二次不等式与二次函数三者之间形成一个关系密切、互为关联、互为利用的知识体系．将二次函数看作主体，一元二次方程和一元二次不等式分别为二次函数的函数值为零(零点)和不为零的两种情况．一般讨论二次函数主要是将其通过一元二次方程和一元二次不等式来讨论，而讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象揭示其解(或解集)的几何特征．5．若关于x 的方程4x ＋a ·2x＋a ＋1＝0有实数解，求实数a 的取值范围．[解] 法一：令2x ＝t ，则t ＞0，方程4x ＋a ·2x ＋a ＋1＝0有实数解转化为方程t 2＋at ＋a ＋1＝0在(0，＋∞)上有实数解．令f (t )＝t 2＋at ＋a ＋1.①若方程t 2＋at ＋a ＋1＝0有一正一负两根，则必须只需f (0)＜0，即a ＋1＜0，a ＜－1；②若方程t 2＋at ＋a ＋1＝0有两个正根，则必须且只需⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，f (0)＞0，－a 2＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4a －4≥0，a ＋1＞0，a ＜0，解得－1＜a ≤2－22；③若方程t 2＋at ＋a ＋1＝0有零根，则a ＝－1，方程变为t 2－t ＝0，解得t ＝0或t ＝1，符合题意．综上所述，实数a 的取值范围是(－∞，2－22]．法二：令2x ＝t ＞0，原方程化为t 2＋at ＋a ＋1＝0.所以a ＝－t 2＋11＋t ＝－(t 2－1)＋2t ＋1＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(t －1)＋2t ＋1＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(t ＋1)＋2t ＋1－2 ≤－22＋2＝2－2 2. 当且仅当t ＋1＝2t ＋1，即t ＝2－1时，取等号，所以实数a 的取值范围是(－∞，2－22].【例6】若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －x －2>0，2x 2＋(2k ＋5)x ＋5k <0的整数解只有－2，求k 的取值范围．[思路探究] 不等式组的解集是各个不等式解集的交集，分别求解两个不等式，取交集判断．[解] 由x 2－x －2>0，得x <－1或x >2. 对于方程2x 2＋(2k ＋5)x ＋5k ＝0有两个实数解，x 1＝－52，x 2＝－k .(1)当－52>－k ，即k >52时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－k <x <－52，显然－2∉⎝ ⎛⎭⎪⎫－k ，－52.(2) 当－k ＝－52时，不等式2x 2＋(2k ＋5)x ＋5k <0的解集为∅.(3)当－52<－k ，即k <52时，不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－52<x <－k .∴不等式组的解集由⎩⎪⎨⎪⎧x <－1，－52<x <－k或⎩⎪⎨⎪⎧x >2，－52<x <－k 确定．∵原不等式组整数解只有－2， ∴－2<－k ≤3，故所求k 的范围是[－3,2)．含参数的一元二次不等式的分类和讨论步骤：(1)对二次项系数含有参数的一元二次不等式，要注意对二次项系数是否为零进行讨论，特别当二次项系数为零时需转化为一元一次不等式问题来求解．(2)对含参数的一元二次不等式，在其解的情况不明确的情况下，需要对其判别式分Δ>0，Δ＝0，Δ<0三种情况并加以讨论．(3)若含参数的一元二次不等式可以转化成用其根x 1，x 2表示的形如a (x －x 1)(x －x 2)的形式时，往往需要对其根分x 1>x 2，x 1＝x 2，x 1<x 2三种情况进行讨论或用根与系数的关系帮助求解．6．解关于x 的不等式a (x －1)x －2>1(a ≠1)． [解] 原不等式可化为a (x －1)x －2－1>0，即(a －1)⎝⎛⎭⎪⎫x －a －2a －1(x －2)>0(*)， (1)当a >1时，(*)式即为⎝⎛⎭⎪⎫x －a －2a －1(x －2)>0，而a －2a －1－2＝－a a －1<0，所以a －2a －1<2，此时x >2或x <a －2a －1.(2)当a <1时，(*)式即为⎝⎛⎭⎪⎫x －a －2a －1(x －2)<0，而2－a －2a －1＝aa －1， ①若0<a <1，则a －2a －1>2，此时2<x <a －2a －1； ②若a ＝0，则(x －2)2<0，此时无解； ③若a <0，则a －2a －1<2，此时a －2a －1<x <2.。

2018版高中数学第3章不等式章末分层突破教案新人教B版必修5

法二：令 2x＝t＞0，原方程化为 t2＋at＋a＋1＝0. 所以 a＝－t12＋＋1t ＝－t2－t＋11＋2 ＝－t－1＋t＋2 1＝－t＋1＋t＋2 1－2 ≤－2 2＋2＝2－2 2. 当且仅当 t＋1＝t＋2 1，即 t＝ 2－1 时，取等号，所以实数 a 的取值范围是(－ ∞，2－2 2].
Δ＝a2－43－a≥0，

f－2＝7－3a>0，
(2) f2＝7＋a>0，

－a2－2>0
Δ＝a2－43－a≥0，

f－2＝7－3a>0，
或 f2＝7＋a>0，
－a2＋2<0.
解(1)(2)得，当－7<a<2 时，不等式 x2＋ax＋3－a>0 对于满足－2≤x≤2 的
巩
固
拓
层
展
· 知识整合
层
· 链接
章末分层突破
提
升层
· 能力强化
章末综合测评章末综合测评
[自我校对] ①作商法 ②a＋2 b≥ ab(a>0，b>0) ③一元二次不等式及其解法 ④均值不等式的实际应用 ⑤简单线性规划的应用
不等式的恒成立问题
对于恒成立不等式求参数范围的问题常见的类型及解法有以下几种： 1.变更主元法根据实际情况的需要确定合适的主元，一般知道取值范围的变量要看做主元.
x2＋y2－2x－2y＋1≥0， 1≤x≤2， 1≤y≤2，
则O→A·O→B的最小值是________.
【精彩点拨】画出不等式组表示的平面区域，用坐标表示O→A·O→B，数形
结合求其最小值.
x－12＋y－12≥1，【规范解答】不等式组变形为 1≤x≤2，

【高中】高中数学人教B版必修五第3章不等式学案

【关键字】高中本章回顾1．不等式的基本性质(1)比较两个实数的大小两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的，有a－b>0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b<0⇔a<b.另外，若b>0，则>1⇔a>b；＝1⇔a＝b；<1⇔a<b.(2)不等式的性质①对称性：a>b⇔b<a；②传递性：a>b，b>c⇒a>c；③加法法则：a>b⇔a＋c>b＋c；④移项法则：a＋b>c⇔a>c－b；⑤同向可加性：a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；⑥乘法法则：a>b，c>0⇒ac>bc或a>b，c<0⇒ac<bc；⑦同向正数不等式可乘性：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；⑧乘方法则：a>b>0，n∈N*⇒an>bn；⑨开方法则：a>b>0，n∈N*⇒>.2．不等式的解法(1)一元一次不等式的解法一元一次不等式ax＋b>0 (a≠0)的解集为①当a>0时，；②当a<0时，.(2)一元二次不等式的一般形式为ax2＋bx＋c>0，或ax2＋bx＋c<0 (a≠0)．(1)二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧的平面区域(半平面)且不含边界直线；不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域(半平面)包含边界直线．(2)对于直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，使得Ax＋By＋C的值的符号相同，也就是位于同一半平面内的点，其坐标适合同一个不等式Ax＋By＋C>0(或Ax＋By＋C<0)，而位于另一个半平面内的点，其坐标适合另一个不等式Ax＋By＋C<0(或Ax＋By＋C>0)．(3)判断不等式Ax＋By＋C>0所表示的平面区域，可在直线Ax＋By＋C＝0的某一侧的半平面内选取一个特殊点，如选原点或坐标轴上的点来验证Ax＋By＋C的符号的正负．当C≠0时，常选用原点(0,0)；当C＝0时，选用点(1,0)或(0,1)．这种方法概括为“直线定边界，特殊点定区域”．4．均值不等式及常用变形(1)对于任意实数a、b，都有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．(2)如果a≥0，b≥0，那么≤，当且仅当a＝b时，等号成立．(3)设a ，b 为正实数，则有：min{a ，b}≤≤ ≤≤ ≤max{a ，b}．(4)若ab>0，则＋≥2.(5)a ，b ∈R ，都有ab ≤≤成立．(6)a ，b ，c ∈R ，都有a2＋b2＋c2≥ab ＋bc ＋ca.一、分类讨论思想在解含参数不等式中的应用例1 解关于x 的不等式ax2－(a ＋1)x ＋1<0.分析先求出相应方程的根，再就两根的大小进行讨论．解原不等式可化为(x －1)(ax －1)<0.(1)当a ＝0时，原不等式化为－x ＋1<0，∴x>1，所以原不等式的解集为{x|x>1}；(2)当a<0时，原不等式化为(x －1)>0，又<0，∴x<或x>1，所以原不等式的解集为；(3)当a>0时，原不等式化为(x －1)<0，对应方程(x －1)＝0的两根为1和.①当0<a<1时，>1，∴1<x<； ②当a ＝1时，原不等式可化为(x －1)2<0，无解； ③当a>1时，<1，∴<x<1.综上所述，当a<0时，原不等式的解集为；当a ＝0时，原不等式的解集为{x|x>1}；当0<a <1时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1<x <1a ；当a ＝1时，原不等式的解集为∅；当a >1时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1a <x <1. 二、数形结合思想在线性规划中的应用例2 已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －3≥0，x －y ＋1≥0，x ≤2，(1)若z ＝2x ＋y ，求z 的最大值和最小值；(2)若z ＝x 2＋y 2，求z 的最大值和最小值；(3)若z ＝y x，求z 的最大值和最小值．分析 x 2＋y 2表示点(x ，y )与原点(0,0)的距离，y x表示点(x ，y )与原点(0,0)连线的斜率．解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －3≥0x －y ＋1≥0x ≤2表示的平面区域如图所示．图中阴影部分即为可行域．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，x －y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2， ∴A (1,2)；由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，x ＋y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝1，∴B (2,1)；由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，x －y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3， ∴M (2,3)． (1)∵z ＝2x ＋y ，∴y ＝－2x ＋z ，当直线y ＝－2x ＋z 经过可行域内点M (2,3)时，直线在y 轴上的截距最大，此时z 也最大，z max ＝2×2＋3＝7.当直线y ＝－2x ＋z 经过可行域内点A (1,2)时，直线在y 轴上的截距最小，此时z 也最小，z min ＝2×1＋2＝4.所以z 的最大值为7，最小值为4.(2)过原点(0,0)作直线l 垂直直线x ＋y －3＝0，垂足为N ，则直线l 的方程为y ＝x ，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，x ＋y －3＝0，得⎩⎨⎧x ＝32，y ＝32， ∴N ⎝⎛⎭⎫32，32，点N ⎝⎛⎭⎫32，32在线段AB 上，也在可行域内．此时可行域内点M 到原点的距离最大，点N 到原点的距离最小．又OM ＝13，ON ＝ 92，即 92≤x 2＋y 2≤13.∴92≤x 2＋y 2≤13，所以，z 的最大值为13，最小值为92. (3)∵k OA ＝2，k OB ＝12，∴12≤y x≤2，所以z 的最大值为2，最小值为12. 三、分离参数在恒成立问题中的应用例3 设函数f (x )＝lg 1＋2x ＋3x ＋…＋(n －1)x ＋n x ·a n，其中a ∈R ，n ∈N *且n ≥2，如果当x ∈(－∞，1]时，f (x )有意义，求a 的取值范围．解由题意知，当x ∈(－∞，1]时，1＋2x ＋3x ＋…＋(n －1)x ＋n x ·a >0恒成立(n ∈N *且n ≥2)．所以a >－⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1n x ＋⎝⎛⎭⎫2n x ＋…＋⎝⎛⎭⎫n －1n x ，令g (x )＝－⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1n x ＋⎝⎛⎭⎫2n x ＋…＋⎝⎛⎭⎫n －1n x ，因为函数y ＝－⎝⎛⎭⎫k n x (1≤k ≤n －1)在(－∞，1]上递增，所以g (x )在(－∞，1]上递增，所以g (x )≤g (1)＝－⎝⎛⎭⎫1n ＋2n＋…＋n －1n ＝－12(n －1)，所以a >－12(n －1)即为所求．例4 若关于x 的方程4x ＋a ·2x ＋a ＋1＝0有实数解，求实数a 的取值范围．解令2x ＝t >0，换元后转化为一元二次方程在(0，＋∞)上有实数解．求a 的范围，另外若将参数a 分离出来，则问题转化为求函数值域问题，用均值不等式很容易求解．令2x ＝t >0，原方程化为t 2＋at ＋a ＋1＝0∴a ＝－t 2＋11＋t ＝－(t 2－1)＋2t ＋1＝－⎣⎡⎦⎤(t －1)＋2t ＋1 ＝－⎣⎡⎦⎤(t ＋1)＋2t ＋1－2≤－22＋2＝2－2 2. ∴a 的取值范围是a ≤－2 2.四、函数单调性在求最值中的应用例5 已知a ，b 为正实数，且a ＋b ＝1，求y ＝⎝⎛⎭⎫a ＋1a ⎝⎛⎭⎫b ＋1b 的最小值．解 y ＝⎝⎛⎭⎫a ＋1a ⎝⎛⎭⎫b ＋1b ＝ab ＋1ab ＋b a ＋a b＝ab ＋1ab ＋a 2＋b 2ab ＝ab ＋1ab ＋(a ＋b )2－2ab ab＝ab ＋2ab－2. 令ab ＝t ，∵a ＋b ＝1，∴ab ≤(a ＋b )24＝14. ∴t ∈⎝⎛⎦⎤0，14，∵y ＝ab ＋2ab －2＝t ＋2t－2 在⎝⎛⎦⎤0，14上单调递减，∴y min ＝14＋8－2＝254. 当且仅当t ＝14，ab ＝14，即a ＝b ＝12时取“＝”．例6 (综合应用)某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200 m 2的三级污水处理池(平面图如图所示)．如果池四周围墙建造单价为400元/m ，中间两道隔墙建造单价为248元/m ，池底建造单价为80元/m 2，水池所有墙的厚度忽略不计．(1)试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；(2)若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16 m ，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价．分析首先把造价表示为某一变量的函数，再利用均值不等式、函数单调性等知识求出最小值．解设污水处理池的长为x m ，则宽为200xm ，再设总造价为y 元，则有 (1)y ＝2x ×400＋200x ×2×400＋248×2×200x＋80×200 ＝800x ＋259 200x ＋16 000≥2800x ·259 200x＋16 000＝2×800×18＋16 000＝44 800，当且仅当800x ＝259 200x，即x ＝18 m 时，y 取得最小值． ∴当污水池的长为18 m ，宽为1009m 时总造价最低，为44 800元．(2)∵0<x ≤16,0<200x≤16， ∴12.5≤x ≤16，x ≠18，∴不能用均值不等式，但我们可用函数单调性定义证明上述目标函数在区间[12.5,16]上是减函数，从而利用单调性求得最小值．由(1)知，y ＝φ(x )＝800⎝⎛⎭⎫x ＋324x ＋16 000 (12.5≤x ≤16)．对任意x 1、x 2∈[12.5,16]，设x 1<x 2，则φ(x 1)－φ(x 2)＝800⎣⎡⎦⎤(x 1－x 2)＋324⎝⎛⎭⎫1x 1－1x 2＝800(x 1－x 2)(x 1x 2－324)x 1x 2>0.∴φ(x 1)>φ(x 2)，故y ＝φ(x )在[12.5,16]上为减函数．从而有φ(x )≥φ(16)＝45 000， ∴当污水池的长度为16 m ，宽为12.5 m 时有最低总造价，最低总造价为45 000元．五、放缩法在证明不等式中的应用例7 已知0<a <1，x 2＋y ＝0，求证：log a (a x ＋a y )≤log a 2＋18. 证明 ∵0<a <1，∴左边＝log a (a x ＋a y )≤log a (2a x a y )＝log a 2＋log a a x ＋y 2＝log a 2＋12(x ＋y )＝log a 2＋12(x －x 2) ＝log a 2＋18－12⎝⎛⎭⎫x －122≤log a 2＋18＝右边 ∴log a (a x ＋a y )≤log a 2＋18. 六、比较法在证明不等式中的应用例8 如果a 2＋b 2＋c 2＝1，a ，b ，c 是实数，试证：－12≤ab ＋bc ＋ca ≤1. 证明先证：ab ＋bc ＋ca ≤1∵1－(ab ＋bc ＋ca )＝(a 2＋b 2＋c 2)－(ab ＋bc ＋ca )＝12[(a 2＋b 2－2ab )＋(b 2＋c 2－2bc )＋(c 2＋a 2－2ca )] ＝12[(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2]≥0 ∴1≥ab ＋bc ＋ca即ab ＋bc ＋ca ≤1.再证：ab ＋bc ＋ca ≥－12. ∵ab ＋bc ＋ca －⎝⎛⎭⎫－12＝ab ＋bc ＋ca ＋12＝ab ＋bc ＋ca ＋a 2＋b 2＋c 22＝12(a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ) ＝12(a ＋b ＋c )2≥0. ∴ab ＋bc ＋ca ≥－12.即－12≤ab ＋bc ＋ca 综上所述，－12≤ab ＋bc ＋ca ≤1. 1．灵活拆项求函数最值例1 求函数y ＝x 2＋5x 2＋4的最小值．解 y ＝x 2＋5x 2＋4＝x 2＋4＋1x 2＋4＝x 2＋4＋4x 2＋4－3x 2＋4. ∵x 2＋4＋4x 2＋4≥24＝4. 当且仅当x 2＋4＝4x 2＋4，即x ＝0时，取到最小值4.因为－3x 2＋4≥－32，当x ＝0时，－3x 2＋4取到最小值－32. 所以，y min ＝4－32＝52. 当且仅当x ＝0时取到这一最小值． 2．分数的小性质有着大用途例2 求证：12·34·56·…·99100<110. 证明由真分数的性质知：12<23<34<45<56<67<…<99100<100101设A ＝12·34·56·…·9798·99100B ＝23·45·67·…·9899·100101易知：0<A <B ，∴A 2<AB .即⎝⎛⎭⎫12·34·56·…·991002 <⎝⎛⎭⎫12·34·56·…·99100·⎝⎛⎭⎫23·45·67·…·100101 ∴⎝⎛⎭⎫12·34·56·…·991002 <12·23·34·45·56·…·9899·99100·100101即⎝⎛⎭⎫12·34·56·…·991002<1101<1100∴12·34·56·…·99100<110. 3．利用一次函数的保号性证明不等式例3 设|a |<1，|b |<1，|c |<1，求证：ab ＋bc ＋ca ＋1>0.证明设f (x )＝(a ＋b )x ＋ab ＋1当x ∈(－1,1)时，f (x )>0恒成立⇔f (－1)>0且f (1)>0∵f (－1)＝ab ＋1－a －b ＝(a －1)(b －1)>0且f (1)＝a ＋b ＋ab ＋1＝(a ＋1)(b ＋1)>0∴当x ∈(－1,1)时，f (x )＝(a ＋b )x ＋ab ＋1>0恒成立．∵c ∈(－1,1)，∴f (c )＝ac ＋bc ＋ab ＋1>0成立．即ab ＋bc ＋ca ＋1>0成立．此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word 可编辑版本！。

2018版高中数学第三章不等式3_4不等式的实际应用学案新人教B版必修5

- 让每一个人同等地提高自我不等式的本质应用学习目标 1. 掌握成立一元二次不等式模型解决本质问题.2. 掌握成立均值不等式模型解决本质问题．知识点一不等式模型思虑一般状况下，建筑民用住所时，民用住所商户的总面积应小于该住所的占地面积，而窗户的总面积与占地面积的比值越大，住所的采光条件越好，同时增添相等的窗户面积和占地面积，如何研究住所的采光条件是变好了仍是变差了？梳理成立不等式模型解决本质问题的过程：(1)理解题意，设出变量 ( 必需时可画出表示图帮助理解 ) ；(2)成立相应的等量或不等量关系，把本质问题抽象为数学识题；(3)解决数学识题；(4)回归本质问题，写出正确答案．知识点二常有的不等式模型1．一元二次不等式模型依据题意抽象出的模型是一元二次不等式或一元二次函数，需要求变量的范围或许最值，解决方法是解一元二次不等式或配方法求最值，注意本质含义对变量取值范围的影响．2．均值不等式模型a依据题意抽象出的模型是(1) y＝x＋x( a＞ 0) ， (2) a＋b，ab中有一个是定值，求另一个的最值，解决方法是应用均值不等式，注意均值不等式成立的条件a＞0， b＞0，以及等号成立的条件能否具备．种类一一元二次不等式的本质应用命题角度1范围问题例 1国家为了增强对烟酒生产的宏观调控，推行征收附带税政策．现知某种酒每瓶70 元，不加收附带税时，每年大概产销100 万瓶，若政府征收附带税，每销售100元要收税R元(叫作税率 R%)，则每年的产销量将减少10R 万瓶，要使每年在此项经营中所收取附带税金额许多于 112 万元，则R应如何确立？反省与感悟解有关不等式应用题的步骤(1)采用适合的字母表示题中的未知数．(2)由题中给出的不等量关系，列出对于未知数的不等式( 组 ) ．(3)解所列出的不等式 ( 组) ．(4)联合问题的本质意义写出答案．追踪训练1某热带风暴中心 B 位于海港城市 A 东偏南30°的方向，与 A 市相距400 km.该热带风暴中心 B 以40 km/h的速度向正北方向挪动，影响范围的半径是350 km. 问：此后时起，经多少时间后A市将受热带风暴影响，大概受影响多长时间？命题角度2最值问题例 2甲、乙两企业同时开发同一种新产品，经测算，对于函数 f ( x)， g( x)，当甲企业投入x 万元作宣传时，若乙企业投入的宣传费小于 f ( x)万元，则乙企业对这一新产品的开发有失败的风险，不然，没有失败的风险；当乙企业投入x 万元作宣传时，若甲企业投入的宣传费用小于 g( x)万元，则甲企业对这一新产品的开发有失败的风险，不然，没有失败的风险．(1)若 f (0)＝10， g(0)＝20，试解说它们的本质意义；x(2)设 f ( x)＝4＋10， g( x)＝ x＋20，甲、乙两企业为了防止恶性竞争，经过磋商，赞同在两方均无失败风险的状况下尽可能少地投入宣传花费，问甲、乙两企业应投入多少宣传费？反省与感悟与最值有关的二次函数问题的解题方法(1)此类问题一般波及最大值、最小值确实定，本质是求一元二次函数的最值，一般是依据题意列出相应的一元二次函数，再经过配方求最值．(2)需要注意一元二次函数的对称轴与本质问题中自变量范围的关系，若对称轴在取值范围内，则最值在对称轴处取，若不在取值范围内，则依据函数的单一性确立在哪一个端点处取最值．(3)对于列出的函数是分段函数的，则在每一段上求最值，再比较每个最值的大小．追踪训练2已知不等式sin 2x－ 2a sin x＋ a2－2a＋2>0对全部 x∈R恒成立，务实数 a 的取值范围．种类二均值不等式的本质应用例 3某单位决定投资 3 200 元建一长方体库房，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花费，正面用铁栅，每米造价40 元，双侧用砖墙，每米造价45 元，顶部每平方米造价20 元．(1)库房底面积 S(m2)的最大赞同值是多少？(2)为使 S 达到最大，而本质投资又不超出估算，那么正面铁栅应设计为多长？反省与感悟(1) 求最值或许求取值范围问题，第一考虑成立函数关系，经过函数的方法来求．均值不等式也是求最值的重要方法，特别是出现和与积的形式，把所求的量放在不等式中去考察．(2) 成立函数时必定要注意函数的定义域，定义域是函数的三因素之一，不可以忽略．在利用均值不等式解题时，要注意“一正、二定、三相等”，若取等号时的自变量的值取不到，此时应试虑用函数的单一性．追踪训练3把一段长16 米的铁丝截成两段，分别围成正方形，则两个正方形面积之和的最小值为()A．4 B ．8 C ．16 D ．321．某工厂第一年产量为A，第二年增添率为a，第三年的增添率为b，这两年的均匀增添率为 x，则( )a＋ b a＋ b a＋ b a＋ bA．x＝2 B ．x≤2 C ．x> 2 D ．x≥2- 让每一个人同等地提高自我22. 某校要建一个面积为392 m 的长方形游泳池，而且在周围要修筑出宽为 2 m和 4 m 的小道 ( 如下图) ，则占地面积的最小值为________m2.3．某企业租地建库房，每个月土地占用费y1与库房到车站的距离成反比，而每个月库存货物的运费 y2与到车站的距离成正比，假如在距离车站10 公里处建库房，这两项花费y1和 y2分别为 2 万元和 8 万元，那么，要使这两项花费之和最小，库房应建在离车站________公里处．4．某小型服饰厂生产一种风衣，日销售量x 件与单价 P 元之间的关系为P＝160－2x，生产 x 件所需成本为＝ 500＋ 30 元，该厂日产量多大时，每日赢利许多于 1 300 元？C x1.解不等式本质应用题的解题思路本质问题建模建模数学模型答案考证――→数学识题――→――→ 本质问题结论审题、抽象归纳、转变推理演算2．成立一元二次不等式模型求解本质问题操作步骤为：(1) 理解题意，搞清量与量之间的关系；(2) 成立相应的不等关系，把本质问题抽象为数学中的一元二次不等式问题；(3) 解这个一元二次不等式，获得本质问题的解．- 让每一个人同等地提高自我答案精析问题导学知识点一思虑设 a 和 b 分别表示住所本来窗户的总面积和占地面积，m 表示增添的面积，则只要比a a ＋ m 较与的大小即可．b b ＋ m题型研究种类一命题角度 1例 1解设产销量每年为 x 万瓶，则销售收入每年 70x 万元，从中征收的金额为70x ·R %万元，此中 x ＝100－ 10R .由题意，得 70(100 － 10R ) · R %≥112，整理，得 R 2－ 10R ＋16≤0.由于＝ 36＞ 0，2的两个实数根分别为 12因此方程 R － 10R ＋ 16＝ 0 R ＝ 2，R ＝ 8.由二次函数 y ＝R 2－ 10R ＋16 的图象，得不等式的解集为 { R |2 ≤ R ≤8} ．因此当 2≤ ≤8时，每年在此项经营中所收取附带税金额许多于112 万元．R追踪训练 1解如图，以 A 市为原点，正东方向为 x 轴成立直角坐标系，由于 AB ＝ 400，∠BAx＝30°，因此热带风暴中心B 的坐标为 (200 3，－ 200) ， x h 后热带风暴中心 B 抵达点P (200 3， 40x － 200) 处，由已知， A 市受热带风暴影响时，有 || ≤350，AP即 (200 3) 2＋ (40 x － 200) 2≤3502，整理得 16x 2－ 160x ＋375≤0，解不等式，得 3.75 ≤ x ≤6.25 ，A 市受热带风暴影响的时间为6． 25－ 3.75 ＝ 2.5 ，故在 3.75 h 后， A 市会遇到热带风暴的影响，时间长达2.5 h.命题角度 2例 2解 (1) f (0) ＝ 10 表示当甲企业不投入宣传费时，乙企业要防止新产品的开发有失败风险，起码要投入 10 万元宣传费； g (0) ＝20 表示当乙企业不投入宣传费时，甲企业要防止新产品的开发有失败的风险，起码要投入20 万元宣传费．(2) 设甲企业投入宣传费x 万元，乙企业投入宣传费 y 万元，若两方均无失败的风险，依题意，当且仅当1y ≥ f x ＝4x ＋ 10，成立．x ≥ g y ＝ y ＋ 201故 y ≥ ( y ＋ 20) ＋ 10， 4则 4y － y －60≥0，因此 ( y － 4)(4 y ＋15) ≥0，得 y ≥4，故 y ≥16， x ≥y ＋20≥24，即在两方均无失败风险的状况下尽可能少地投入宣传花费，甲企业应投入 24 万元宣传费，乙企业应投入 16 万元宣传费．追踪训练 2解设 f ( x ) ＝ sin 2x －2a sin x ＋ a 2－ 2a ＋ 2，则 f ( x ) ＝ (sin x － a ) 2＋ 2－ 2a .当 a <－ 1 时， f ( x ) 在 sin x ＝－ 1 时取到最小值，且f ( x ) min ＝ a 2＋3， a 2＋ 3>0 明显成立，∴ a <－ 1.当－ 1≤ a ≤1时， f ( x ) 在 sin x ＝a 时取到最小值，且f ( x ) min ＝ 2－ 2a ，由 2－2a >0，解得 a <1，∴－ 1≤ a <1.当 a >1 时， f ( x ) 在 sin＝ 1 时取到最小值，且f ( x ) min ＝ a 2－4 ＋ 3，xa由 a 2－4a ＋ 3>0，解得 a <1 或 a >3， ∴ a >3. 综上所述， a 的取值范围为a <1 或 a >3.种类二例 3解 (1) 设铁栅长为 x m ，一侧砖墙长为 y m ，则有 S ＝ xy .由题意得 40x ＋2×45 y ＋20xy ＝ 3 200.由均值不等式，得3 200 ≥2 40x ·90 y ＋20xy＝ 120 xy ＋ 20xy＝120 S＋ 20S，∴ S＋6 S≤160，即 (S＋16)(S－10)≤0.∵S＋16>0，∴ S－10≤0，∴ S≤100.∴ S 的最大赞同值是100 m2.(2)由 (1) 知获得最大值的条件是 40x＝ 90y，而xy＝ 100，由此求得x＝ 15，即铁栅的长应是15 m.追踪训练3 B当堂训练1． B4．解由题意得(160－2x)x－(500＋30x)≥1 300，化简得 x2－65x＋900≤0，解得 20≤x≤45.因此该厂每日产量在20 件至 45 件之间时，每日赢利许多于 1 300 元 .。

高中数学第三章不等式3.1.1不等关系与不等式学案新人教B版必修5[1](2021学年)

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３.１.1 不等关系与不等式学习目标 1。

能用不等式（组）表示实际问题的不等关系。

2。

学会作差法比较两实数的大小．知识点一不等关系思考限速４０ km/ｈ的路标,指示司机在前方路段行驶时,应使汽车的速度v不超过40 ｋm/h,用不等式如何表示？梳理试用不等式表示下列关系:（1)a大于ｂa_＿__b(2）a小于ｂﻩa＿___b（3）a不超过b a___＿b(4)a不小于ｂａ_＿__b对于任意实数a,b,在a＝b,ａ＞b，a＜b三种关系中有且仅有一种关系成立．知识点二p推出q的符号表示1．“如果p,则ｑ”为正确的命题,则简记为p____ｑ,读作“p推出q”.2．如果p⇒q,且ｑ⇒p都是正确的命题,则记为p__＿_q,读作“p等价于q"或“ｑ等价于ｐ”.知识点三作差法思考ｘ2＋1与2x两式都随ｘ的变化而变化,其大小关系并不显而易见．你能想个办法,比较x ２+１与2x的大小,而且具有说服力吗？梳理作差法的理论依据:ａ＞b⇔a-b>0；a=b⇔a-b=０；a〈b⇔a-b<0。

类型一用不等式（组)表示不等关系例1 某种杂志原以每本２。

5元的价格销售，可以售出8万本.据市场调查,若单价每提高0．１元，销售量就可能相应减少２ 000本.若把提价后杂志的定价设为x元,怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于2０万元呢?反思与感悟数学中的能力之一就是抽象概括能力，即能用数学语言表示出实际问题中的数量关系．用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时:(1）要先读懂题,设出未知量;（2)抓关键词，找到不等关系；(3）用不等式表示不等关系.思维要严密、规范．跟踪训练1 某钢铁厂要把长度为4 00０ mm的钢管截成50０ mｍ和600 mm两种.按照生产的要求,600 ｍm的钢管数量不能超过５00 mm钢管的3倍.怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢?类型二作差法命题角度1 作差法比较大小例２已知a，b均为正实数．试利用作差法比较a3+ｂ3与a2b＋ab２的大小．反思与感悟比较两个实数的大小，只要观察它们的差就可以了.作差法比较实数的大小的一般步骤是作差→恒等变形→判断差的符号→下结论.作差后变形是比较大小的关键一步,变形的方向是化成几个完全平方数和的形式或一些易判断符号的因式积的形式．跟踪训练２已知x<１,试比较x３-１与2x2-2x的大小．命题角度2 作差法证明不等式例3 证明函数f(x)＝x3(ｘ∈R)为增函数．反思与感悟有时证明a>b不易，可以转为证明其等价命题ａ－b＞０，因为作差过程中使不等号两端的信息集中到一端，从而可以使用消去、分解因式、配方等方法，使问题变得易于解决．跟踪训练3 若ａ＞b,ab>0，求证：错误!<错误!.1.某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩ｘ不低于95分，文化课总分y高于380分，体育成绩z超过４５分，用不等式表示就是（ )A。

2017_2018学年高中数学第三章不等式章末温习提升学案新人教B版必修5

答案 (－4,0]
解析 (1)当a＝0时，f(x)<0恒成立，故a＝0符合题意；
(2)当a≠0时，由题意得：
⇔ ⇔－4<a<0.
综上所述：－4<a≤0.
题型三简单的线性计划问题
关注“线性计划”问题的各类“变式”：诸如求面积、距离、参数取值的问题常常显现，①“可行域”由不等式和方程一起确信，②“约束条件”由二次方程的“区间根”间接提供，③“约束条件”非线性，④目标函数非线性，如： (斜率)， (距离)等．
∴利用甲种规格原料2张，乙种规格原料1张，可使总的用料面积最小．
题型四利用均值不等式求最值
利用均值不等式求最值要知足“一正、二定、三相等”缺一不可，能够通过拼凑、换元等手腕进行变形．如不能取到最值，能够考虑用函数的单调性求解．
例4 设f(x)＝ .
(1)求f(x)在[0，＋∞)上的最大值；
(2)求f(x)在[2，＋∞)上的最大值．
例2 设不等式2x－1>p(x2－1)对知足|p|≤2的一切实数p的取值都成立，求x的取值范围．
解令f(p)＝2x－1－p(x2－1)＝(1－x2)p＋2x－1，p∈[－2,2]，可看成是一条线段，且使f(p)>0对|p|≤2的一切实数恒成立．
因此
即 ⇔
因此 <x< .
跟踪演练2f(x)＝ax2＋ax－1在R上知足f(x)<0，那么a的取值范围是________．
4．二元一次不等式(组)与简单的线性计划问题：
(1)画二元一次不等式(组)所表示的平面区域的大体方式是“直线定边界，特殊点定区域”．
关于任意的二元一次不等式Ax＋By＋C>0(或<0)，不管B为正值仍是负值，咱们都能够把y项y＋C>0表示直线Ax＋By＋C＝0上方的区域；

高中数学第三章不等式章末复习学案(含解析)新人教B版必修5-新人教B版高二必修5数学学案

第三章不等式章末复习学习目标 1.整合知识结构，进一步巩固、深化所学知识．2.能熟练利用不等式的性质比较大小、变形不等式、证明不等式．3.会用均值不等式证明不等式，求解最值问题．4.体会“三个二次”之间的内在联系在解决问题中的作用.5.能熟练地运用图解法解决线性规划问题．1．不等式的性质名称式子表达性质1(对称性)a＞b⇔b＜a性质2(传递性)a＞b，b＞c⇒a＞c性质3a＞b⇒a＋c＞b＋c推论1 a＋b＞c⇒a＞c－ba＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d推论2性质4a＞b，c＜0⇒ac＜bca＞b，c＞0⇒ac＞bc推论1 a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bda＞b＞0⇒a n＞b n(n∈N＋，n＞1)a＞b＞0⇒na＞nb(n∈N＋，n＞1)推论2推论32.均值不等式利用均值不等式证明不等式和求最值的区别(1)利用均值不等式证明不等式，只需关注不等式成立的条件．(2)利用均值不等式求最值，需要同时关注三个限制条件：一正；二定；三相等．3．三个二次之间的关系设f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac判别式Δ>0Δ＝0Δ<0解不等式求方程f(x)＝0的解有两个不等的实数解x1，x2有两个相等的实数解x1，x2没有实数解f (x )>0或f (x )<0的步骤画函数y ＝f (x )的示意图得不等式的解集f (x )>0 {x |x <x 1或x >x 2} 错误! R f (x )<0{x |x 1<x <x 2}∅∅4.线性规划问题求解步骤 (1)把问题要求转化为约束条件； (2)根据约束条件作出可行域； (3)对目标函数变形并解释其几何意义； (4)移动目标函数寻找最优解； (5)解相关方程组求出最优解．题型一利用均值不等式求最值例1 函数y ＝a1－x(a ＞0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny －1＝0(mn ＞0)上，则1m ＋1n的最小值为________．答案 4 解析 y ＝a1－x(a ＞0，a ≠1)的图象恒过定点A (1,1)，∵点A 在直线mx ＋ny －1＝0上，∴m ＋n ＝1，方法一 1m ＋1n ＝m ＋n mn＝1mn ≥1⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 22＝4，当且仅当m ＝n ＝12时，取等号．方法二 1m ＋1n＝(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n＝2＋n m ＋m n ≥2＋2n m ·mn＝4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝1，n m ＝mn，即m ＝n ＝12时取等号．∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n min ＝4.反思感悟当所给附加条件是一个等式时，常见的用法有两个：一个是用这个等式消元，化为命题角度1的类型；一个是直接利用该等式代入，或构造定值．跟踪训练1 设x ，y 都是正数，且1x ＋2y＝3，求2x ＋y 的最小值．解 ∵1x ＋2y ＝3，∴13⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2y ＝1.∴2x ＋y ＝(2x ＋y )×1＝(2x ＋y )×13⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2y＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋y x ＋4x y ≥13⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋2y x ·4x y ＝43＋43＝83. 当且仅当y x＝4xy，即y ＝2x 时，取等号．又∵1x ＋2y ＝3，∴x ＝23，y ＝43.∴2x ＋y 的最小值为83.题型二 “三个二次”之间的关系例2 若关于x 的不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，13，则a ＋b ＝________.答案－14解析 ∵x 1＝－12，x 2＝13是方程ax 2＋bx ＋2＝0的两个根，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 4－b2＋2＝0，a 9＋b 3＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝－2，∴a ＋b ＝－14.反思感悟 (1)“三个二次”之间要选择一个运算简单的方向进行转化． (2)用不等式组来刻画两根的位置体现了数形结合的思想．跟踪训练2 设不等式x 2－2ax ＋a ＋2≤0的解集为M ，如果M ⊆[1,4]，求实数a 的取值范围．解 M ⊆[1,4]有两种情况：其一是M ＝∅，此时Δ<0；其二是M ≠∅，此时Δ＝0或Δ>0，下面分三种情况计算a 的取值范围．设f (x )＝x 2－2ax ＋a ＋2，对方程x 2－2ax ＋a ＋2＝0，有Δ＝(－2a )2－4(a ＋2)＝4(a 2－a －2)，①当Δ<0时，－1<a <2，M ＝∅⊆[1,4]，满足题意； ②当Δ＝0时，a ＝－1或a ＝2.当a ＝－1时，M ＝{－1}⊈[1,4]，不满足题意；当a ＝2时，M ＝{2}⊆[1,4]，满足题意． ③当Δ>0时，a <－1或a >2.设方程f (x )＝0的两根为x 1，x 2，且x 1<x 2，那么M ＝[x 1，x 2]，M ⊆[1,4]⇔1≤x 1<x 2≤4⇔⎩⎪⎨⎪⎧ f 1≥0且f 4≥0，1＜a ＜4且Δ>0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≤3，a ≤187，1＜a ＜4，a ＜－1或a >2，解得2<a ≤187，综上可知，当M ⊆[1,4]时，a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，187. 题型三一元二次不等式的解法例3 解关于x 的不等式x 2－(a ＋a 2)x ＋a 3>0(a ∈R )．解原不等式可化为(x －a )(x －a 2)>0.当a <0时，a <a 2，原不等式的解集为{x |x <a 或x >a 2}；当a ＝0时，a 2＝a ，原不等式的解集为{x |x ≠0，x ∈R }；当0<a <1时，a 2<a ，原不等式的解集为{x |x <a 2或x >a }；当a ＝1时，a 2＝a ，原不等式的解集为{x |x ≠1，x ∈R }；当a >1时，a <a 2，原不等式的解集为{x |x <a 或x >a 2}；综上所述，当a <0或a >1时，原不等式的解集为{x |x <a 或x >a 2}；当0<a <1时，原不等式的解集为{x |x <a 2或x >a }；当a ＝1时，原不等式的解集为{x |x ≠1，x ∈R }；当a ＝0时，原不等式的解集为{x |x ≠0，x ∈R }．反思感悟对于含参数的一元二次不等式，若二次项系数为常数，则可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式分类讨论，分类要不重不漏．跟踪训练3 已知常数a ∈R ，解关于x 的不等式ax 2－2x ＋a <0. 解 (1)若a ＝0，则原不等式为－2x <0，故解集为{x |x >0}． (2)若a >0，Δ＝4－4a 2.①当Δ>0，即0<a <1时，方程ax 2－2x ＋a ＝0的两根为x 1＝1－1－a 2a ，x 2＝1＋1－a2a，∴当0<a <1时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1－1－a 2a <x <1＋1－a 2a . ②当Δ＝0，即a ＝1时，原不等式的解集为∅. ③当Δ<0，即a >1时，原不等式的解集为∅. (3)若a <0，Δ＝4－4a 2.①当Δ>0，即－1<a <0时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <1＋1－a 2a 或x >1－1－a2a . ②当Δ＝0，即a ＝－1时，原不等式化为(x ＋1)2>0， ∴当a ＝－1时，原不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠－1}． ③当Δ<0，即a <－1时，原不等式的解集为R . 综上所述，当a ≥1时，原不等式的解集为∅；当0<a <1时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1－1－a 2a <x <1＋1－a 2a ；当a ＝0时，原不等式的解集为{x |x >0}；当－1<a <0时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <1＋1－a 2a 或x >1－1－a2a ；当a ＝－1时，原不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠－1}；当a <－1时，原不等式的解集为R . 题型四线性规划问题例4 已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ≤－3，3x ＋5y ≤25，x ≥1，求z ＝2x ＋y 的最大值和最小值．解如图，阴影部分(含边界)为不等式组所表示的可行域．设l 0：2x ＋y ＝0，l ：2x ＋y ＝z ，则z 的几何意义是直线y ＝－2x ＋z 在y 轴上的截距，显然，直线越往上移动，对应在y 轴上的截距越大，即z 越大；直线越往下移动，对应在y 轴上的截距越小，即z 越小．上下平移直线l 0，可得当l 0过点A (5,2)时，z max ＝2×5＋2＝12；当l 0过点B (1,1)时，z min ＝2×1＋1＝3.反思感悟 (1)因为最优解与可行域的边界斜率有关，所以画可行域要尽可能精确． (2)线性目标函数的最值与纵截距不一定是增函数关系，所以要关注纵截距越大，z 越大还是越小．跟踪训练4 某人承揽一项业务，需做文字标牌4个，绘画标牌5个．现有两种规格的原料，甲种规格每张3m 2，可做文字标牌1个，绘画标牌2个；乙种规格每张2m 2，可做文字标牌2个，绘画标牌1个，求两种规格的原料各用多少张才能使得总用料面积最小．解设需要甲种原料x 张，乙种原料y 张，则可做文字标牌(x ＋2y )个，绘画标牌(2x ＋y )个，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥5，x ＋2y ≥4，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N .所用原料的总面积为z ＝3x ＋2y ，作出可行域如图阴影部分(含边界)所示．在一组平行直线3x ＋2y ＝z 中，经过可行域内的点A 时，z 取得最小值，直线2x ＋y ＝5和直线x ＋2y ＝4的交点为A (2,1)，即最优解为(2,1)．所以使用甲种规格原料2张，乙种规格原料1张，可使总的用料面积最小. 1．(2018·全国Ⅰ)已知集合A ＝{x |x 2－x －2>0}，则∁R A 等于( ) A ．{x |－1<x <2} B ．{x |－1≤x ≤2} C ．{x |x <－1}∪{x |x >2} D ．{x |x ≤－1}∪{x |x ≥2} 答案 B解析方法一 A ＝{x |(x －2)(x ＋1)>0}＝{x |x <－1或x >2}，所以∁R A ＝{x |－1≤x ≤2}，故选B.方法二因为A ＝{x |x 2－x －2>0}，所以∁R A ＝{x |x 2－x －2≤0}＝{x |－1≤x ≤2}，故选B.2．已知实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≤1，2x －2y ＋1≤0，若目标函数z ＝mx －y (m ≠0)取得最大值时的最优解有无穷多个，则实数m 的值为( ) A ．1B ．12C ．－12D ．－1答案 A解析作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分(包含边界)所示，由图可知当直线y ＝mx －z (m ≠0)与直线2x －2y ＋1＝0重合，即m ＝1时，目标函数z ＝mx －y 取最大值的最优解有无穷多个，故选A.3．若不等式ax 2＋bx －2>0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－2<x <－14，则a ＋b 等于( ) A ．－18B ．8C ．－13D ．1 答案 C解析 ∵－2和－14是方程ax 2＋bx －2＝0的两根．∴⎩⎪⎨⎪⎧－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝－b a，－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝－2a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝－9，∴a ＋b ＝－13.4．若不等式4(a －2)x 2＋2(a －2)x －1<0对一切x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是__________．答案 (－2,2]解析不等式4(a －2)x 2＋2(a －2)x －1<0，当a －2＝0，即a ＝2时，不等式恒成立，符合题意；当a －2≠0时，要使不等式恒成立，需⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4a －22＋16a －2<0，a －2<0，解得－2<a <2，所以a 的取值范围为(－2,2]．5．已知f (x )＝32x－k ·3x＋2，当x ∈R 时，f (x )恒为正，则k 的取值范围为________．答案 (－∞，22)解析 f (x )＝(3x )2－k ·3x＋2＞0， ∴k ＜3x2＋23x＝3x ＋23x ，3x＋23x ≥23x·23x ＝22，当且仅当3x＝23x 时，等号成立．∴k ＜2 2.1．不等式的基本性质不等式的性质是不等式这一章内容的理论基础，是不等式的证明和解不等式的主要依据．因此，要熟练掌握和运用不等式的性质． 2．一元二次不等式的求解方法对于一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(或≥0，<0，≤0)(其中a ≠0)的求解，要联想两个方面的问题：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的交点；方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根．按照Δ>0，Δ＝0，Δ<0分三种情况讨论对应的一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(或≥0，<0，≤0)(a ≠0)的解集．3．二元一次不等式表示的平面区域的判定对于在直线Ax ＋By ＋C ＝0同一侧的所有点(x ，y )，实数Ax ＋By ＋C 的符号相同，取一个特殊点(x 0，y 0)，根据实数Ax 0＋By 0＋C 的正负即可判断不等式表示直线哪一侧的平面区域，可简记为“直线定界，特殊点定域”．特别地，当C ≠0时，常取原点作为特殊点． 4．求目标函数最优解的方法通过平移目标函数所对应的直线，可以发现取得最优解对应的点往往是可行域的顶点(或边界)，于是在选择题中关于线性规划的最值问题，可采用求解方程组代入检验的方法求解．5．运用均值不等式求最值时把握三个条件①“一正”——各项为正数；②“二定”——“和”或“积”为定值；③“三相等”——等号一定能取到．这三个条件缺一不可．。

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第3章不等式
章末分层突破
,
[自我校对]
①作商法
②a ＋b 2≥ab (a >0，b >0)
③一元二次不等式及其解法
④均值不等式的实际应用
⑤简单线性规划的应用
1.变更主元法
根据实际情况的需要确定合适的主元，一般知道取值范围的变量要看做主元.
2.分离参数法
若f (a )<g (x )恒成立，则f (a )<g (x )min .
若f (a )>g (x )恒成立，则f (a )>g (x )max .
3.数形结合法
利用不等式与函数的关系将恒成立问题通过函数图象直观化
.
若不等式x 2
＋ax ＋3－a >0对于满足－2≤x ≤2的一切实数 x 恒成立，求实数 a 的取值范围.
【精彩点拨】因为(x －1)的符号不确定，所以参变量 a 不能分离，只好研究二次函数 y ＝x 2＋ax ＋3－a .
【规范解答】设 f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，其函数图象为开口向上的抛物线，要使得对于满足－2≤x ≤2的一切实数 x 恒有f (x )>0，只需满足：
(1)Δ＝a 2－4(3－a )<0； (2)⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝a 2－－a ， f －＝7－3a >0，
f ＝7＋a >0，
－a 2－2>0
或⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝a 2－－a ， f －＝7－3a >0，
f ＝7＋a >0，
－a 2＋2<0.
解(1)(2)得，当－7<a <2时，不等式x 2＋ax ＋3－a >0对于满足－2≤x ≤2的一切实数x
恒成立.
[再练一题] 1.在R 上定义运算：⎣⎢⎡⎦
⎥⎤ a b c d ＝ad －bc .若不等式⎣⎡⎦⎤x －1a ＋1 a －2x ≥1对任意实数 x 恒成立，则实数a 的最大值为( )
A.－12
B.－32
C.13
D.32
【解析】原不等式等价于x (x －1)－(a －2)(a ＋1)≥1，即x 2
－x －1≥(a ＋1)(a －2)
对任意x 恒成立，x 2－x －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－54
≥－54，所以－54≥a 2－a －2，－12≤a ≤32
.故选D.
【答案】 D
和实际问题中应用广泛.
(1)均值不等式通常用来求最值，一般用a ＋b ≥2ab (a >0，b >0)解“定积求和，和最小”问题，用ab ≤⎝ ⎛⎭
⎪⎫a ＋b 22解“定和求积，积最大”问题. (2)在实际运用中，经常涉及函数f (x )＝x ＋k
x (k >0)，一定要注意适用的范围和条件：
“一正、二定、三相等”.特别是利用拆项、添项、配凑、分离变量、减少变元等，构造定值条件的方法和对等号能否成立的验证.
设函数 f (x )＝x ＋a
x ＋1，x ∈[)0，＋∞.
(1)当a ＝2时，求函数 f (x ) 的最小值；
(2)当0<a <1时，求函数 f (x ) 的最小值.
【精彩点拨】 (1)将原函数变形，利用均值不等式求解.
(2)利用函数的单调性求解.
【规范解答】 (1)把a ＝2代入 f (x ) ＝x ＋
a x ＋1，
得 f (x )＝x ＋2x ＋1＝(x ＋1)＋2x ＋1－1， ∵x ∈[)0，＋∞，
∴x ＋1>0，
2x ＋1>0， ∴x ＋1＋2x ＋1≥22，当且仅当x ＋1＝2x ＋1
，即x ＝2－1时， f (x ) 取最小值，此时f (x ) min ＝
22－1.
(2)当0<a <1时， f (x ) ＝x ＋1＋a x ＋1－1 若x ＋1＋a x ＋1≥2a ，
则当且仅当x ＋1＝a
x ＋1时取等号，
此时x ＝a －1<0(不合题意)，
因此，上式等号取不到.。