动量和角动量

3.15 10 s 。
7
质量为 m 的小球系在绳子的一端，绳穿过水平面上一小孔，使小球限制在一光滑水平面
上运动，先使小球以速度 0 绕小孔做半径为 r0 的圆周运动，然后缓慢向下拉绳使圆周半径减小为 r1 ， 求此时小球的速度。

0
查看答案问题 3-8 教材图 3-11 问题 3-8 图 问题 3-9 做匀速圆周运动的质点，对于圆周上某一定点，它的角动量 是否守恒？对于通过圆心而与圆面垂直的轴上的任一点， 它的角动量是否守 恒？对于哪一个定点，它的角动量守恒？ 问题 3-10 写出（1）质量为 m、长为 l 的匀质细杆绕中心或棒端的垂直 轴以角速度 转动； （2）质量为 m、半径为 R 的匀质薄圆面绕中心垂直轴 以角速度 转动时对转轴的角动量。 问题 3-11 在文艺体育活动中，有很多应用角动量守恒定律的实例如： （1） 跳水运动员完美地完成空翻动作并很好地压水； （2） 花样滑冰运动员或芭蕾舞蹈演员想加速旋转时， 先把两臂张和一条腿伸开，并绕通过足尖的垂直轴转以 0 旋转，然后再收 拢腿和臂等。说明他们做法中蕴含的物理原理。 2 查看答案问题 3-11 查看答案问题 3-10 查看答案问题 3-9
返回问题 3-2
p0 m0 j p m0 sin i m0 cos j
问题 3-3 解用图
t2 时刻
根据 I p p0 得
I (m0 sin i m0 cos j ) m0 j m0 sin i m0 (1 cos ) j
m
02 [sin ti (1 cos t ) j ] m0 sin i m0 (1 cos ) j R
问题 3-4 解 如问题 3-4 解用图， 以 B 为坐标原点建立坐标系 Ox ， 设车相对于地面向右运动的距离为 S M ， 则 人 相 对 于 地 面 运 动 的 距 离
Sm l SM
l ml 2 xC M m M
开始时人和车的质心 结束时人和车的质心
l M ( S M ) mS M ' 2 xC M m
质心保持静止，即 xC
' 解得 xC
问题 3－4 解用图
m M SM l ， Sm l M m M m
问题 3-5
返回问题 3-4
问题 3-8
解 小球在运动过程中，除受重力、支持力这一对平衡力外，只受绳子拉力的作用，而拉力的作用 线通过孔心，力矩为零，所以小球对小孔的角动量守恒， 即
rm0 r1m1 ，解得
问题 3-9

r0 0 r1
返回问题 3-8
答 作匀速圆周运动的质点所受向心力大小不变，方向时刻在变（始终指向圆心） 。对于圆周上某一 定点 O ， 如问题 3-9 解用图 1， 当质点处于圆周上任一点 P 时， 相对于该定点， 质点所受力矩垂直纸面， 质点所受的力矩大小一般不为零 （仅当质点位于 O 以及过 O 的直径的另一端点 O 时为零） ， 方向在垂 直纸面向内与向外的两个方向之间变化（以图中直径 O ，所以质点的角动量不守恒。 O 为分界） 对于通过圆心而与圆面垂直的轴上的任一定点 O ， 如问题 3-9 解用图 2， 质点所受的力矩大小不变、 方向沿圆周的切线，从而时刻在变，因而质点的角动量不守恒。 对于圆心，质点所受的力矩为零，所以角动量守恒（始终在垂直圆面的方向上） 。
问题 3-12 试讨论角动量守恒定律的工程应用。
查看答案问题 3-12
第 3 章 动量和角动量
问题 3-1 答 质点从点 A 到点 B 这一过程中动量的变化为
mB mA m (i ) j m i j
矢量图如问题 3-1 解用图。 问题 3-2
因为系统在水平方向不受外力，质心位置不动，即
m1 x x m2 x ' x ' 0 m1 m2
代入 x 、 x ' 和 s 的关系与具体数据得 4
返回问题 3-5
s 0.266m
问题 3-6 答 (1)4 个质点的动量分别为 角动量全部相等为 m
p1 m j ， p2 mi p3 m j ， p4 mi ；
（方法二）应用冲量的定义式 I ＝ 设小球的角速度为 ，则

Fdt
t0
t

t ，0 R
2 F m 0 (cos ti sin tj ) R t 2 I m 0 (cos ti sin tj )dt 0 R
3
返回问题 3-3
返回问题 3-11
返回问题 3-12
6
问题 3-11 答 （1）当跳水运动员完美地完成空翻动作准备入水时，由于身体已经
返回问题 3-10
尽可能打开了，他（或她）对其质心的转动惯量最大，根据角动量守恒定律，转动角速度最小，故很好 地压水； （2） 花样滑冰运动员或芭蕾舞蹈演员收拢腿和臂时， 其转动惯量将减小， 根据角动量守恒定律， 他（或她）绕通过足尖的垂直轴转动的角速度将增大，可以看到他（或她）越转越快的现象。 问题 3-12 答 如啮合器等。
y
2 1 x
3
O
查看答案问题 3-6
3
教材图 3-11 问题 3-6 图
问题 3-7 地球绕太阳的运动可以近似地看作是匀速圆周运动,求地球对太阳中心的角动量。已知地 球的质量 me
6.0 1024 kg ，地球到太阳的距离 d 1.5 1011 m ，地
查看答案 问题 3-7
球绕太阳公转周期 T 问题 3-8
返回问题 3-6
l l l 如对质点 1，L1 i m j m k k 。 2 2 2
（2）动量不变，角动量增大。 问题 3-7
L me d 2
解
6.0 1024 1.5 1011
2
2 3.15 107
返回问题 3-7
2.69 1040 (kg m 2 /s)
水的阻力不计, 求起重杆 OA 与铅直位置成角 2 300 时船移动的位移。
A
G2
查看答案问题 3-5
O
G1
教材图 3-7 问题 3－5 图
1
问题 3-6 如图 3-11,两刚性轻杆互相垂直,且在中点 O 处固接,4 个质量均为 m 的质点分别固定于 两杆的 4 个端点。如系统绕过 O 点且与两杆均垂直的轴做逆时针转动。 （1）当处于如图情况时，写出每 杆的长度均为 l 。 个质点的动量、角动量，设质点的速率为 。 （2）如系统做加速转动，系统的动量和角动量变化吗？设
解 取浮动起重机、起重杆和重物组成的系统为研究对象，系统质心位置为原点,向右为位移的正方 向。初始时，船的质心坐标为 x ，物体的质心坐标为 x ' ，有
m1 x m2 x ' 0 m1 m2
设船相对于地面向左运动的距离为 s ，则位移 x
s ，重物的位移
x' s l sin 600 l sin 300
O
r
O
FN
P
O
r
O
P
FN
M

O
问题 3-9 解用图 1
问题 3-9 解用图 2
返回问题 3-9
5
问题 3-10 答 （1）匀质细杆绕中心转动时，角动量 L 1 ml 2 ；绕棒端的垂直轴转动时， L 1 ml 2 。 （2）
12
3
1 L mR 2 。 2
第 3 章 动量和角动量
问题 3-1 如图 3-1，质点 m 以速率 绕坐标原点 O 沿逆时针方向作半径为 R 的匀速圆周运动，试 计算质点从点 A 到点 B 这一过程中动量的变化。
教材图 3-1 问题 3-1 图 教材图 3-1 问题 3-1 图 问题 3-2 一个人躺在地上，身上压一块重石板，另一人用锤猛击石板，但见石 板碎裂，而下面的人却毫无损伤。何故？ 问题 3-3 质量为 m 的小球在水平面内作速率为 0 的匀速圆周运动。请用（1） 动量定理； （2）冲量的定义式 I ＝ 到的冲量。 问题 3-4 用“原来处于静止的质点系，当其所受合外力等于零时，质心位置保 持不变（即质心保持静止） ”的结论，重新计算例 3-3。 问题 3-5 如图 3-7，浮动起重船的质量 m1 的质量 m2
查看答案问题 3-1
查看答案问题 3-2

Fdt 分别求转过任意角 的过程中，小球所受
t0
t

查看答案问题 3-3
查看答案 问题 3-4
，起吊物体 2 104 kg ，起重杆长 l 8m （质量不计）
0 设开始起吊时整个系统处于静止， 起重杆 OA 与铅直位置的夹角为 1 60 , 2 103 kg 。
返回问题 3-1
答 锤猛击石板， “猛击”之意是二者碰撞力很大而碰撞时间极短。碰撞力很大而锤与石板撞击面积 较小，进一步增大了被打击处单位面积的受力，从而使得石板破碎；碰撞时间极短说明重石板获得的动 量很小（由于石板质量远大于重锤） 。在此时间，由于石板惯性很大，向下位移较小，不足以造成人的损 伤。同时也由于人是弹性体，延长了作用时间，和石板的静态压力相比平 均冲击力不太大，所以下面的人毫无损伤。 问题 3-3 解 （方法一）应用动量定理 建立如问题 3-3 解用图坐标系，设小 球在 t1 时刻在点 A ， t2 时刻转过角 至点 B 。 则 t1 时刻