复合函数求导法.

eu sin v x eu cos v 1
e xy [ x sin( x y ) cos( x y )].
解法2 对于具体的二元复合函数，可将中间变量 u，v，
用x，y代入，则得到
z e xy sin( x y ) ，z 是x，y二元函数，
直接计算得
z ye xy sin( x y ) e xy cos( x y ) x
u
解法1 根据复合函数的链式法则，得
z z u z v x u x v x
eu sin v y eu cos v 1
e xy [ y sin( x y) cos( x y)]，
z z u z v y u y v y
u 同样可以得到 y
z
u
z z u z v y u y v y
v
y
复合函数结构虽然是多种多样，求复合函数的偏 导数公式也不完全相同，但借助函数的结构图，运用 上面的法则，可以直接写出给定的复合函数的偏导数 的公式。这一法则通常形象地称为链式法则。
下面借助于函数的结构图，利用链式法则导出全 导数公式. 又比如：设函数w =f (u,v)有连续偏导数，而
二、函数全微分的形式不变性
三、隐含数的微分法
一. 多元复合函数的微分法
1. 多元函数的复合过程
比如：设z=f(u,v)是变量u，v的函数， 而u，v又是x，y的函数，即： u ( x , y ), v ( x , y ) 于是能构成 z 是x ,y 的复合函数：
z f [ ( x , y ), ( x , y )],
问题：如何求出函数 z 对自变量 x，y 的偏导数呢？
又比如： 设函数z =f(u,v)是变量u，v的函数， 而 u ( t ), v ( t ) 是自变量t的函数，则复合函数
z f [ ( t ), ( t )]
只是自变量t 的函数。 问题：如何求z 对t 的导数 dz
.
第8章 多元函数微积分
8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 空间解析几何简介 多元函数的概念 多元函数的极限与连续 偏导数与全微分 多元复合函数与隐函数微分法 多元函数极值与最值 重积分
第八章
8.5 多元复合函数与隐含数的微分法
一元复合函数
求导法则 微分法则
本节内容: 一、多元复合函数求导的链式法则
dt
2. 多元复合函数的微分法
定理 设函数 u ( x, y ), v ( x, y )在点(x,y)处有偏 导数，而函数z=f(u,v)在对应点(u,v)有连续偏导数，则 复合函数 z f [ ( x, y ), ( x, y )] 在点(x,y)处的偏导数
z z , x y
u ( t ), v ( t )
可导，则复合函数
z f [ ( t ), ( t )]
dz 则 z 对x的导数 dt
有
只是自变量x的函数，
z
u
dz z du z dv dt u dt v dt
v
t
在这里，函数z是通过二元函数z=f(u,v)而成为t的
e xy [ y sin( x y) cos( x y)]，
z xy xy xe sin( x y ) e cos( x y ) y
e xy [ x sin( x y ) cos( x ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱy )].
例2 设 z (3x
2
2
y )
2
2 4 x2 y
(*)
z v 在公式(*)中 ：偏导数 x 是由两项组成的，每项又是两个偏导数的乘积，公式
(*)的这复杂的规律，可以通过函数变量的结构关系图
z
u
x
得到。与结构图两者之间的对应关系是：
(1) 在公式(*)的项数，等于结构图中自变量x到达z 路径的个数.函数结构中自变量x到达z的路径有两条. 第一条是 x u z，第二条是 x v z ，所以公 式(*)由两项组成. (2) 公式(*)每项乘积的写法，等同于一元函数情况 下的复合函数求导公式，如第一条路径 z u x , 有一个函数 z 和一个中间变量 u，因此，对应与第一 z u 条路径的第一项就是两个偏导数 与 的乘积. u x
存在，且
z z u z v , x u x v x z z u z v . y u y v y
复合函数的变量结构图是：
z
u
x
y
v
公式(1)给出z对x的偏导数是
z z u z v x u x v x
,求z 的偏导数。
解：设 u (3x
y ) ，v 4 x 2 y
则 z uv z z u z v x u x v x
v 1 v
z
u
x
y
v
v u 6 x u ln u 4
(4 x 2 y)(3x 2 y 2 ) 4 x 2 y 1 6 x (3x 2 y 2 ) 4 x 2 y ln (3x 2 y 2 )4 z z u z v v 1 v v u 2 y u ln u 2 y u y v y
一元复合函数.因此，z对t的导数
数.对公式(2)应注意，由于 z，u，v 这三个函数都是t
dz 又称为z对t的全导 dt
的一元函数，故对t的导数应写成 dz , du , dv，而不能 dt dt dt z u v 写成 , , . t t t
（2）如果 z f (u, v, w) 而
u ( x), v ( x), w ( x)
则对复合函数 z f [ ( x), ( x), ( x)] 则
dz ? dt
z
u v
w
x
dz z du z dv z dw dx u dx v dx w dx
z z 例1 设 z e sin v, u xy, v x y, 求 , . x y