复合函数求导法.
4复合函数的求导法则
求w , 2w . x xz 解: 令 u x y z , v x y z , 则
w , f1 , f2
uv
wf(u,v)
w x
f11f2yz
x y zx y z
f 1 ( x y z ,x y z ) y z f 2 ( x y z ,x y z )
z
uv
t 证: 设 t 取增量△t , 则相应中间变量
t
有增量△u ,△v ,
zzuzv o ( ) ( (u)2(v)2)
u v
zzuzv o ( ) ( (u)2(v)2)
t ut vt t
令t 0, 有 u 0 , v 0 ,
u
x r
r
ux
(2)
2u x2
(( uu ))cos
rx xx
(
u x
)
sin r
r(urcos usinr)cos
r
x yx y
注意利用 已有公式
(urcos
usin)sin
z ,
z .
x y
解:
z z u z v x u x v x
eusinv y eucovs1
z
e x y [y six n y ) (co x y s )( ]u v
z z u z v y u y v y
二、设 z f ( x 2 y 2 , e xy ),(其中f具有一阶连续偏导
为 x2简w z便 起f f1 1 见1 1, y 1 引( fx 入1 2 记z x) 号yf 1 f y1x 2 f2y 2 ufz y ,f z2 [ f1f 221y 2 1f u2 2fvf2,2 xy]
复合函数导数公式及运算法则
复合函数导数公式及运算法则复合函数导数公式及运算法则是以下这些：1、链式法则：若$f\left( x \right)$关于$x$的导数为$f'\left( x \right)$,且$g\left( x \right)$关于$f\left( x \right)$的导数为$g'\left( f\left( x \right)\right)$,则$g\left( f\left( x \right) \right)$关于$x$的导数为$f'\left( x\right)\times g'\left( f\left( x \right) \right)$。
2、乘法法则：若$y=f\left( x \right)\times g\left( x \right)$,则$y$关于$x$的导数为$f'\left( x \right)\times g\left( x \right)+f\left( x \right)\timesg'\left( x \right)$。
3、除法法则：若$y=f\left( x \right)\div g\left( x \right)$,则$y$关于$x$的导数为$\frac{f'\left( x \right)\times g\left( x \right)-f\left( x \right)\timesg'\left( x \right)}{\left[ g\left( x \right) \right]^2}$。
4、指数函数法则：若$y=a^x$(a>0,a 不等于1),则$y$关于$x$的导数为$a^x\cdot \ln\left( a \right)$。
5、指数函数反函数法则：若$y=a^x$(a>0,a 不等于1),则其反函数$y=\ln _ax$的导数关于$x$的导数为$\frac{1}{a^x\cdot \ln\left( a \right)}$。
复合函数求导公式大全 大学复合函数求导法则
复合函数求导公式大全大学复合函数求导法则复合函数如何求导？大学符合函数求导公式有哪些？下文小编给大家整理了复合函数的求导公式及法则，供参考！ 复合函数求导公式 复合函数求导法则证法一：先证明个引理 f(x)在点x0可导的充要条件是在x0的某邻域U(x0)内，存在一个在点x0连续的函数H(x),使f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0)从而f'(x0)=H(x0) 证明：设f(x)在x0可导，令H(x)=[f(x)-f(x0)]/(x-x0),x∈U'(x0)(x0去心邻域)；H(x)=f'(x0),x=x0 因lim(x->;x0)H(x)=lim(x->;x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=f'(x0)=H(x0) 所以H(x)在点x0连续，且f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0),x∈U(x0) 反之，设存在H(x),x∈U(x0),它在点x0连续，且f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0),x∈U(x0) 因存在极限lim(x->;x0)H(x)=lim(x->;x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=lim(x->;x0)f'(x)=H(x0) 所以f(x)在点x0可导，且f'(x0)=H(x0) 引理证毕。
设u=φ(x)在点u0可导，y=f(u)在点u0=φ(x0)可导，则复合函数F(x)=f(φ(x))在x0可导，且F'(x0)=f'(u0)φ'(x0)=f'(φ(x0))φ'(x0) 证明：由f(u)在u0可导，由引理必要性，存在一个在点u0连续的函数H(u),使f'(u0)=H(u0),且f(u)-f(u0)=H(u)(u-u0)。
大学数学_8_4 复合函数的求导法则
( u 2 v 2 ) 高阶的无穷小，得 z z u z v ( u 2 v 2 )
t 0
lim
u t v t t z du z dv ( u 2 v 2 ) u 2 v 2 lim . 2 2 u dt v dt t 0 t u v z du z dv u dt v dt 所以复合函数 z f [ (t ), (t )] 可导，具有求导公式：
设 u (t ) v (t ) .w (t ) 均 在 点 t 处 可 导 ， z f (u , v, w) 在对应点(u , v, w) 处有连续的偏导数， 写出复合 函数 z f [ (t ), (t ), (t )] 的全导数公式. u t 函数的结构图是 z w t v t 由 z 经u , v, w 到 t 有三条途径，故和式中应有三项，所以全 导数为 dz z du z dv z dw . dt u dt v dt w dt dz 例 1 设 z uv ， u sin t ，v cos t ，求全导数 . dt dz z du z dv 解 dt u dt v dt v cos t u ( sin t ) cos 2 t sin 2 t cos 2t
例 5 设 z arcsin u, u x 2 y 2 ，求
z z , . x y
解 函数的结构如下： x z u y 所以 z z u 1 2x 2x x u x 1 u2 1 ( x 2 y 2 )2 z dz u 1 2y 2y 2 y du y 1 u 1 ( x 2 y 2 )2
t 0
t
lim(
复合函数的导数
所以
yx yu ux 2u cos x 2sin x cos x.
例 3 设 y = etan x，求 y . 解 y = etan x 可以看成是由 y = eu，u = tan x 复合而成，所以
yx yu ux (eu )u (tan x)x
= elnx ·(ln x) e ln x 1
x
x 1 x 1 .
x
例 12 设 u x2 y2 z2 , 求证：
u x
2
u y
2
u z
2
1
.
证明
u x 2
x2
1 y2
z2
(x2
y2
z 2 )x
x
x
,
x2 y2 z2 u
同理，得
u y ,u z ,代等式左边得解 先用复合函数求导公式，再用加法求导公式，
然后又会遇到复合函数 1 x2 的求导.
[ln(x 1 x2 )]
1
( x 1 x2 )
x 1 x2
1
[1 ( 1 x2 )]
x 1 x2
x
1 1
x2
1
1. 1 x2
x 1
x2
例 11 设 y = sh x， 求 y .
解
y
(shx)
一、复合函数的求导法则
定理 2 设函数 y = f (u)， u = (x) 均可导， 则复合函数 y = f ( (x)) 也可导.
且 或
或
证 设变量 x 有增量 x，相应地变量 u 有 增量 u，从而 y 有增量 y. 由于 u 可导，
所以lim u 0. x0
复合函数导数的基本公式14个
复合函数导数的基本公式14个复合函数的导数是微积分学中的一个重要概念，它在解决实际问题中有着广泛的应用。
在计算复合函数的导数时，有一些基本公式可以帮助我们简化计算过程。
下面将介绍14个复合函数导数的基本公式，并给出相关的解释和证明。
1.常数函数求导法则：若数k为常数，f(x)=k，则有(f(g(x)))'=0，即常数函数的导数为零。
2.幂函数导数公式：若f(x)=x^n，其中n为正整数，则有(f(g(x)))'=n*x^(n-1)*g'(x)。
这个公式可以通过对幂函数进行微分得到。
3.指数函数导数公式：若f(x)=e^x，则有(f(g(x)))'=e^g(x)*g'(x)。
这个公式可以通过对指数函数进行微分得到。
4.对数函数导数公式：若f(x) = ln(x)，则有(f(g(x)))' = g'(x)/g(x)。
这个公式可以通过对对数函数进行微分得到。
5.三角函数导数公式：若f(x) = sin(x)，则有(f(g(x)))' = cos(g(x)) * g'(x)。
若f(x) = cos(x)，则有(f(g(x)))' = -sin(g(x)) * g'(x)。
若f(x) = tan(x)，则有(f(g(x)))' = sec^2(g(x)) * g'(x)。
这些公式可以通过对三角函数进行微分得到。
6.反三角函数导数公式：若f(x) = arcsin(x)，则有(f(g(x)))' = g'(x)/sqrt(1 - g^2(x))。
若f(x) = arccos(x)，则有(f(g(x)))' = -g'(x)/sqrt(1 -g^2(x))。
若f(x) = arctan(x)，则有(f(g(x)))' = g'(x)/（1 + g^2(x))。
复合函数的导数及导数的运算法则
复合函数的导数及导数的运算法则复合函数是指由两个或多个函数组成的函数。
在求复合函数的导数时，需要使用链式法则，即将函数的导数作为求导的一部分。
设有两个函数f(x)和g(x)，假设y=f(g(x))是一个复合函数。
我们的目标是求解复合函数y=f(g(x))的导数dy/dx。
根据链式法则，dy/dx可以表示为：dy/dx = df(g(x))/dx根据上述公式，我们可以按照以下步骤求导：Step 1: 首先对f(g(x))进行求导，即求df(g)/dg。
Step 2: 然后对g(x)进行求导，即求dg(x)/dx。
Step 3: 最后将求导得到的结果相乘，即df(g)/dg * dg(x)/dx =dy/dx。
下面我们讨论一些常见的复合函数和它们的导数运算法则。
1. 复合函数的链式法则（Chain Rule）设有函数f(u)和g(x)，假设y=f(g(x))是一个复合函数。
根据链式法则，复合函数y=f(g(x))的导数可以表示为：dy/dx = f'(g(x)) * g'(x)其中，f'(u)和g'(x)分别表示f(u)和g(x)的导数。
例如，如果y=(2x+1)^3，则可以将它表示为y=u^3，其中u=2x+1、根据链式法则：dy/dx = 3u^2 * du/dx = 3(2x + 1)^2 * 2 = 6(2x + 1)^22.复合函数中的乘法法则如果复合函数中有乘法运算，则可以使用乘法法则来求导。
例如，如果y=x^2*e^x，则可以使用乘法法则来求导：dy/dx = (d/dx)(x^2) * e^x + x^2 * (d/dx)(e^x)对于每一项使用基本求导法则：dy/dx = 2x * e^x + x^2 * e^x3.复合函数中的除法法则如果复合函数中有除法运算，则可以使用除法法则来求导。
例如，如果y=(x^2+1)/(x-1)，则可以使用除法法则来求导：dy/dx = [(d/dx)(x^2 + 1)(x - 1) - (d/dx)(x - 1)(x^2 + 1)]/(x - 1)^2再对每一项使用基本求导法则：dy/dx = [(2x)(x - 1) - (x^2 + 1)]/(x - 1)^24.复合函数中的三角函数法则如果复合函数中包含三角函数，则可以使用三角函数法则来求导。
复合函数的导数求法
幂函数的导数
幂函数是形如$y = x^n$的函数，其 中$n$是实数。
VS
幂函数的导数可以通过幂函数的定义 和极限的定义求得，结果为$y' = nx^{n-1}$。
三角函数的导数
三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
正弦函数的导数是余弦函数，即$frac{d}{dx}sin x = cos x$；余弦函数的导数是负的正弦函数，即$frac{d}{dx}cos x = -sin x$； 正切函数的导数是正切函数的平方与1的和的倒数，即$frac{d}{dx}tan x = frac{1}{cos^2 x}$。
探讨未来可能的研究方向
复杂复合函数的求导 方法
对于更为复杂的复合函数，如多 层嵌套、多变量复合等，需要进 一步研究更为高效、简洁的求导 方法。这有助于解决实际应用中 更为复杂的数学问题。
复合函数导数的性质 研究
复合函数的导数具有一些独特的 性质，如连续性、可微性等。未 来可以进一步探讨这些性质在复 合函数求导中的应用，以及它们 对导数求解的影响。
对数函数是形如$y = log_a x$的函数，其中$a > 0$且$a neq 1$。
03 复合函数求导举例
简单复合函数求导
举例1
$y = sin(2x)$
分析
这是一个简单的复合函数，其中内层函数是 $2x$，外层函数是$sin u$。
求导过程
根据链式法则，$frac{dy}{dx} = cos(2x) cdot 2 = 2cos(2x)$。
指数函数和对数函数的导数
指数函数的导数是其本身与底数自然对数的乘 积，即$frac{d}{dx}a^x = a^x ln a$。
对数函数的导数是底数的倒数与自变量对数的倒数之 积，即$frac{d}{dx}log_a x = frac{1}{x ln a}$。
复合函数求导
复合函数的求导法则可以写成: 复合函数的求导法则可以写成
dy dy du = dx du dx
即因变量对自变量求导，等于因变量对中间变量求 即因变量对自变量求导， 导乘以中间变量对自变量求导，我们称它为链式法则 导乘以中间变量对自变量求导，我们称它为链式法则. 复合函数的微分公式为: 复合函数的微分公式为
n n1 (sin x n ) ′(sin x n ) cos x n nx n1
= n 3 x n1 cos x n f n1[ n (sin x n )]
n1 (sin x n ) f ′[ n (sin x n )] ′(sin x n ).
三、一阶微分的形式不变性
设函数 y = f ( x )有导数 f ′( x )
第四节
复合函数求导 法则及其应用
一、复合函数求导法则 二、初等函数的求导问题 三、一阶微分的形式不变性 四、隐函数的导数 五、对数求导法 六、参数形式的函数的求导公式
一、复合函数求导法则
定理4.4.1 (复合函数求导法则 ) 设函数 u = g( x ) 在 x0可导， 可导， 定理 复合函数求导法则 处可导， 而函数 y = f (u) 在 u0 = g( x0 ) 处可导，则复合函数 y = f [ g( x )] 在 x0 可导，且有 可导，且有:
d[ f ( g( x))] = f ′(u) g′( x)dx
推广
设 y = f ( u), u = (v ), v = ψ ( x ),
则复合函数
y = f { [ψ ( x )]}的导数为 :
dy dy du dv = dx du dv dx
例4.4.1 解: 求函数 y = ln sin x 的导数 .
复合函数的求导法
f (u)( x).
证毕
6
推广 设 y f (u), u (v), v ( x), 则复合函数
y f {[ ( x)]}的导数为 dy dy du dv .
dx du dv dx
注意：可推广到有限次复合.
如 y sin2x， 由 y sinu 与 u 2x 复合而成.
(sin2x) (sin u)u (2x) 2cosu 2cos2x
x 复合而成，
2
2
因而
dy dx
dy du dv du dv dx
(ln
u)u
(tanv
)v
(
1 2
x)x
1 sec2 v 1 csc x.
u
2
8
例4
已知 y
x sin x
( x 0)，求 dy .
dx
解 y xsin x esin xln x 由 y eu，u sin x ln x
dy dy du eu e ln x
dx du dx
x
x
x x1. 证毕
x
例6 求y=f(x2)的导数(其中f(x)可导).
解 可分解为 y f (u), u x2 ,
y dy du f (u)(2x) 2 xf ( x 2 ). du dx
10
复合函数的求导法则有三个步骤： （1）分解复合函数，分解到基本初等函数或
lim
t 0
u t
,
函数 x
f (t) 对t可导，xt
dx dt
lim
t 0
x t
,
函数x
f ( y)对y可导，xy
dx dy
lim
y0
x y
复 合 函 数 的 求 导 法 则
复合函数的表示方法
记号表示
复合函数通常用记号F(u)来表示，其 中F表示外部函数，u表示内部函数的 输出。
具体表示
如果y=f(x)且u=g(y)，则复合函数可 以表示为z=f(g(y))或z=F(u)，其中 z=F(u)表示z是u的函数。
03
链式法则
链式法则的原理
链式法则是复合函数求导的重要法则之一，其原理是将复合 函数分解为多个基本函数，然后对每个基本函数分别求导， 再根据复合函数的复合关系，将各个基本函数的导数相乘， 得到复合函数的导数。
商的求导法则的原理
商的求导法则指出，对于两个函数的商，其 导数等于被除函数的导数除以除函数的导数 。即 (u/v)' = (u'v - uv') / v^2。
这个法则的原理基于函数的商的性质，即当 两个函数同时变化时，其商的变化率满足特
定的关系。
商的求导法则的应用示例
假设有两个函数 f(x) = x^2 和 g(x) = sin(x)，我们需要 求它们的商函数 f(g(x)) = x^2 / sin(x) 的导数。
进一步学习高阶导数、隐 函数求导等更深入的数学 知识，为后续学习打下基 础。
THANKS
感谢观看
乘积法则
在求导过程中，将复合函数的中间变 量与常数相乘，并使用乘积法则进行 求导。
反函数求导法则
对于反函数，使用反函数求导法则进 行求导。
学习建议与展望
熟练掌握复合函数的求导 法则，能够快速准确地求 出复合函数的导数。
了解复合函数在实际问题 中的应用，如经济学、物 理学等领域。
ABCD
在学习过程中，多做练习 题，加深对复合函数求导 法则的理解和掌握。
表示
复合函数求导公式有哪些
复合函数求导公式有哪些
有很多的同学是非常的想知道，复合函数求导公式是什幺，小编整理了
相关信息，希望会对大家有所帮助！
1 复合函数如何求导规则：1、设u=g(x)，对f(u)求导得：f’(x)=f’(u)*g’(x)；
2、设u=g(x),a=p(u)，对f(a)求导得：f’(x)=f’(a)*p’(u)*g’(x)；
拓展：
1、设函数y=f(u)的定义域为Du，值域为Mu，函数u=g(x）的定义域为Dx，值域为Mx，如果Mx∩Du≠Ø，那幺对于Mx∩Du内的任意一个x 经过u；有唯一确定的y 值与之对应，则变量x 与y 之间通过变量u 形成的一种函数关系，这种函数称为复合函数(composite function)，记为：y=f[g(x)]，其中x 称为自变量，u 为中间变量，y 为因变量（即函数）。
2、定义域：若函数y=f(u)的定义域是B,u=g(x)的定义域是A,则复合函数
y=f[g(x)]的定义域是D= {x|x∈A,且g(x)∈B} 综合考虑各部分的x 的取值范围，取他们的交集。
3、周期性：设y=f(u)的最小正周期为T1,μ=φ(x)的最小正周期为T2,则
y=f(μ)的最小正周期为T1*T2，任一周期可表示为k*T1*T2(k 属于R+).
4、单调（增减）性的决定因素：依y=f(u)，μ=φ(x)的单调性来决定。
即“增+增=增；减+减=增；增+减=减；减+增=减”，可以简化为“同增异减”。
1 复合函数求导法则Y=f(u),U=g(x),则y′=f(u)′*g(x)′
例1.y=Ln(x),Y=Ln(u),U=x,
y′=f(u)′*g(x)′=[1/Ln(x)]*(x)′=[1/Ln(x)]*(3x)。
高等数学《复合函数的求导法则》
定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.
例：z f (u,v, w) , u u(t ) , v v(t ) , w w(t ) ,
则 dz z du z dv z dw dt u dt v dt w dt
f
(
xy,
x y
)，f
可微，求
z
x
和
z
y
.
解
zx
f1
y
f
2
(
1 y
)
y
f1
1 y
f2 .
zy
f1 x
f2
(
1 y2
)
x
f1
x y2
f2 .
定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.
(2) 设u ( x, y)、v ( x, y)、w w( x, y)
都在点( x, y)具有对 x 和 y 的偏导数，复合函数
2、全微分形式不变性 ( 理解其实质 ) 3、求复合函数偏导数时，由于复合关系比较复 杂，用链式法则求偏导数时，首先要搞清楚哪些 是自变量，哪些是中间变量，其次要分清是求偏 导数或是全导数.
总结：
1、多元函数偏导数的类型很多，有求偏导数， 有证明偏导数存在，有讨论可微与连续及与偏 导数的关系问题.
——全导数公式
证 设 t 获得增量 t，
则 u (t t) (t), v (t t) (t); 由于函数z f (u, v)在点(u,v)有连续偏导数
z zuu zvv 1u 2v,
当u 0，v 0时， 1 0， 2 0
z t
zu
u t
zv
v t
复合函数求导
y x sin x .
方法:
先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导 方法求出导数.
--------对数求导法
例5： 设 y ( x 1)3 x 1 , 求y. ( x 4)2 e x
解: 等式两边取对数得
ln y ln( x 1) 1 ln( x 1) 2 ln( x 4) x 3
y
x
y y(cos x ln x sin x 1 ) x
x sin x (cos x ln x sin x ) x
四、由参数方程所确定的函数的导数
若参数方程
x y
(t )确定 (t)
y与x间的函数关系
,
称此为由参数方程所确定的函数.
例如
x 2t,
y
t
2
,
t x 2
消去参数 t
2
1 cos
1.
2
当 t 时, x a( 1), y a.
2
2
所求切线方程为
y a x a( 1) 2
即 y x a(2 )
2
谢谢
上式两边对 x求导得
y 1 1 2 1 y x 1 3( x 1) x 4
y
( x 1)3 x ( x 4)2 e x
1[
x
1
1
1 3( x
1)
x
2
4
1]
例6：设 y xsinx ( x 0), 求y.
解： 等式两边取对数得
上式两边对x求导得
1 y cos x ln x sin x 1
dy
dy dx
dy dt
dt dx
dy dt
1 dx
(t) (t)
即
复合函数求导法则与隐函数的求导
1 2 x
.
例11 设 y sin 3 (2 x 1)，求y'. 解
y' (sin (2 x 1))'
3
3 sin 2 (2 x 1) (sin3 (2 x 1))' 3 sin 2 (2 x 1) cos( 2 x 1) (2 x 1)' 3 sin (2 x 1) cos( 2 x 1) 2
f' (u ) g' ( x).
复合函数的求导法则一般称为链式法则，它也适 用于多层复合的情况.比如y=f(u)，u=g(v)，v=h(x)，则 只要满足相应的条件，复合函数y=f(g(h(x)))就可导， 且有
dy dy du dv f' (u ) g' (v)h' ( x). dx du dv dx
1 ( sin x) cos x tan x .
例10 设 y e
tan x
，求y' .
y e u , u tan v，v x .则 解 令
dy dy du dv dx du dv dx
e sec v
u 2
1 2 x
2
e
tan x
sec
x
1 x
若完全掌握了复合函数求导的链式法则，那么在
对初等函数求导时，就可以“一步到位”. 例14 计算 [ln( x 2 1 x)]' . 解 [ln( x 2 1 x)]'
1
x2 1 x 2 x2 1
(
1
2 x 1)
1 x ( 2 1) 2 x 1 x x 1 1 x 1
复合函数求偏导
复合函数偏导求法：运用链式求导法。
运用链式求导时，对一个变量求导，其余变量当成常数对待。
复合函数求导规则
复合函数求导的前提：复合函数本身及所含函数都可导。
法则1：设u=g(x)，对f(u)求导得：f'(x)=f'(u)*g'(x)；
法则2：设u=g(x),a=p(u)，对f(a)求导得：f'(x)=f'(a)*p'(u)*g'(x)。
链式法则
链式法则是微积分中的求导法则，用于求一个复合函数的导数，是在微积分的求导运算中一种常用的方法。
复合函数的导数将是构成复合这有限个函数在相应点的导数的乘积，就像锁链一样一环套一环，故称链式法则。
偏导数求法
当函数z=f(x,y)在(x0,y0)的两个偏导数f'x(x0,y0)与f'y(x0,y0)都存在时，我们称f(x,y)在(x0,y0)处可导。
如果函数f(x,y)在域D的每一点均可导，那么称函数f(x,y)在域D可导。
此时，对应于域D的每一点(x,y)，必有一个对x(对y)的偏导数，因而在域D确定了一个新的二元函数，称为f(x,y)对x(对y)的偏导函数。
简称偏导数。
按偏导数的定义，将多元函数关于一个自变量求偏导数时，就将其余的自变量看成常数，此时他的求导方法与一元函数导数的求法是一样的。
复合函数求导法
复合函数的求导法则例9 (E07) 求函数x y sin ln =的导数.解 设,ln u y =.sin x u =则dx du du dy dx dy ⋅=x u cos 1⋅=xx sin cos =.cot x =例10 (E08) 求函数102)1(+=x y 的导数.解 设.1,210+==x u u y 则 x u dxdu du dy dx dy 2109⋅=⋅=.)1(202)1(109292+=⋅+=x x x x 注：复合函数求导既是重点又是难点. 在求复合函数)]}([{x f y ψϕ=的导数时，要从外层, 逐层推进.先求f 对大括号内的变量u 的导数)]),([(x u ψϕ=再求ϕ对中括号内的变量v 的导数)),((x v ψ=最后求ψ对小括号内的变量x 的导数. 在这里，首先要始终明确所求的导数是哪个函数对哪个变量(不管是自变量还是中间变量)的导数;其次,在逐层求导时,不要遗漏, 也不要重复. 熟练之后可以不设中间变量的字母, 心中记住,一气呵成.例11 (E10) 求函数32)sin (x x y +=的导数.解 ])sin [(32'+='x x y )sin ()sin (3222'++=x x x x ])(sin sin 21[)sin (322'⋅++=x x x x ).2sin 1()sin (322x x x ++=例12 求函数 )1(sin 2x e y -=的导数.解一 设中间变量, 令.1,sin ,,2x w w v v u e y u -====于是x w v u x w v u y y '⋅'⋅'⋅'=')1()(sin )()(2'-⋅'⋅'⋅'=x w v e u )1(cos 2-⋅⋅⋅=w v e u)1cos()1sin(2)1(sin 2x x e x --⋅-=-.)1(2sin )1(sin 2x e x -⋅--=解二 不设中间变量.)1()1cos()1sin(2)1(sin2-⋅-⋅-⋅='-x x e y x .)1(2sin )1(sin2x e x -⋅--= 例13 (E09) 求函数)2(21ln 32>-+=x x x y 的导数.解 ),2ln(31)1ln(212--+=x x y )2(2131)1(112122'-⋅-⋅-'+⋅+⋅='∴x x x x y )2(31211212--⋅+⋅=x x x .)2(3112--+=x x x例14 求函数 )0(arcsin 22222>+-=a ax a x a x y 的导数.解 '⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+'⎪⎭⎫ ⎝⎛-='a x a x a x y arcsin 22222'⎪⎭⎫ ⎝⎛+'-+-⋅'⎪⎭⎫ ⎝⎛=a x a x a x x a x arcsin 2)(2222222 2222222212)(21221⎪⎭⎫ ⎝⎛-'⎪⎭⎫ ⎝⎛+-'-⋅+-=a x a x a x a x a x x a2222222222121xa a x a x x a -+---= .22x a -=例15 求函数x x x y ++=的导数.解 )(21'++++='x x x x x x y ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'+++++=)(21121x x x x x x x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++=)211(21121x x x x x x .812422x x x x x x x x x x +⋅+++++=例16 求导数 x y x sin log =).1,0(≠>x x解 在函数表达式中,考虑到对数的底是变量,可用对数换底公式,将其变形为.ln sin ln xx y = 这时x x x x x y 2ln sin ln 1ln cot -⋅='.ln sin sin ln sin ln cos 2xx x x x x x x ⋅⋅⋅-⋅=例17 求导数 .log /1x x x e y +=解 .ln 1ln ln log xx e e x == )()(log /1'+'='∴x x x e y '⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+'⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x e x ln 1ln 1'⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=x x e x x x x ln 1ln 1ln 12 .ln 1ln 1212⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=x x x x x x 例18 (E11) 求函数)0(>++=a a a x y xa a a x a 的导数.解 )(ln )(ln 1'⋅⋅+'⋅+='-x a a x aa a a a x a a x a y x a a .ln ln 211a a a a a ax x a xa a a x x a a a ⋅++=-- 例19 设 ,0),1ln(0,)(⎩⎨⎧≥+<=x x x x x f 求 ).(x f ' 解 当0<x 时, ;1)(='x f 当0>x 时, ])1[ln()('+='x x f ;11)1(11x x x +='+⋅+=当0=x 时, ,1)01ln(0lim )0(0=+-+='-→-h h f h ,1)01ln()]0(1ln[lim )0(0=+-++='+→+hh f h 即.1)0(='f 所以.0,110,1)(⎪⎩⎪⎨⎧>+≤='x xx x f例20 (E12) 求函数⎩⎨⎧+=,1,2)(2x x x f 2110<<≤<x x 的导数. 解 求分段函数的导数时，在每一段内的导数可按一般求导法则求之，但在分段点处的导数要用左右导数的定义求之.当10<<x 时, ,2)2()(='='x x f当21<<x 时, ,2)1()(2x x x f ='+='当1=x 时,2122lim 1)1()(lim )1(11=--=--='--→→-x x x f x f f x x 121lim 1)1()(lim )1(211--+=--='++→→+x x x f x f f x x 2)1(lim 11lim 121=+=--=++→→x x x x x 由2)1()1(='='-+f f 知, .2)1(='f 所以 .21,210,2)(⎩⎨⎧<<≤<='x x x x f例21 (E13) 已知)(u f 可导，求函数)(sec x f y =的导数.解 )(sec )(sec ])(sec ['⋅'='='x x f x f y x x x f tan sec )(sec ⋅⋅'=注：求此类含抽象函数的导数时，应特别注意记号表示的真实含义，此例中, )(sec x f '表示对x sec 求导，而])(sec ['x f 表示对x 求导.例22 求导数)],(tan[)(tan x f x f y +=且)(x f 可导.解 ).()]([sec )(tan sec 22x f x f x f x y '⋅+'='例23 求导数),ln cos ln (sin x x f y += 且)(x f 可导.解 )ln cos ln (sin )ln cos ln (sin '+⋅+'='x x x x f y)ln cos ln (sin x x f +'=])(ln ln sin )(ln ln [cos '-'⋅x x x x.ln sin ln cos )ln cos ln (sin x x x x x f -⋅+'=。
复合函数的求导法则
复合函数的求导法则复合函数是由两个或多个函数的组合构成的函数。
在数学中，复合函数的求导法则是一种用于计算复合函数导数的规则。
对于一对函数u(x)和v(x)，其中u(x)是v(x)的内函数，即v(x)=u(f(x))，我们可以使用链式法则来求解复合函数的导数。
链式法则的表述如下：若y=u(v(x))，其中u(t)和v(x)均可导，则y对x的导数等于u对v的导数乘以v对x的导数，即：dy/dx = du/dv * dv/dx下面我们通过具体的例子来解释复合函数的求导法则，并应用链式法则来计算复合函数的导数。
假设我们想要求解函数y=(2x+1)^3的导数。
我们可以将该函数看作是一个复合函数，其中u(t)=t^3，v(x)=2x+1，即y=u(v(x))。
首先，我们求解 u(t) 对 t 的导数 du/dt。
根据幂函数的导数公式，我们有 du/dt = 3t^2然后，我们求解 v(x) 对 x 的导数 dv/dx。
由于 v(x) = 2x + 1，我们可以直接应用导数的线性性质得到 dv/dx = 2最后，我们将 du/dt 和 dv/dx 相乘，得到 dy/dx = du/dv * dv/dx = 3(2x + 1)^2 * 2 = 6(2x + 1)^2所以，函数 y = (2x + 1)^3 对 x 的导数为 dy/dx = 6(2x + 1)^2以下是一些其他常见的复合函数的导数求解例子：1.y=e^x^2首先，设置u(t)=e^t，v(x)=x^2求导得到 du/dt = e^t，dv/dx = 2x。
最后，dy/dx = du/dv * dv/dx = e^(x^2) * 2x。
2. y = ln(2x + 1)首先，设置 u(t) = ln(t)，v(x) = 2x + 1求导得到 du/dt = 1/t，dv/dx = 2最后，dy/dx = du/dv * dv/dx = (1/(2x + 1)) * 2 = 2/(2x + 1)。
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8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 空间解析几何简介 多元函数的概念 多元函数的极限与连续 偏导数与全微分 多元复合函数与隐函数微分法 多元函数极值与最值 重积分
第八章
8.5 多元复合函数与隐含数的微分法
一元复合函数
求导法则 微分法则
本节内容: 一、多元复合函数求导的链式法则
存在，且
z z u z v , x u x v x z z u z v . y u y v y
复合函数的变量结构图是：
z
u
x
y
v
公式(1)给出z对x的偏导数是
z z u z v x u x v x
dt
2. 多元复合函数的微分法
定理 设函数 u ( x, y ), v ( x, y )在点(x,y)处有偏 导数，而函数z=f(u,v)在对应点(u,v)有连续偏导数，则 复合函数 z f [ ( x, y ), ( x, y )] 在点(x,y)处的偏导数
z z , x y
e xy [ y sin( x y) cos( x y)]，
z xy xy xe sin( x y ) e cos( x y ) y
e xy [ x sin( x y ) cos( x y )].
例2 设 z (3x
2
2
y )
2
2 4 x2 y
u ( x), v ( x), w ( x)
则对复合函数 z f [ ( x), ( x), ( x)] 则
dz ? dt
z
u v
w
x
dz z du z dv z dw dx u dx v dx w dx
z z 例1 设 z e sin v, u xy, v x y, 求 , . x y
二、函数全微分的形式不变性
三、隐含数的微分法
一. 多元复合函数的微分法
1. 多元函数的复合过程
比如：设z=f(u,v)是变量u，v的函数， 而u，v又是x，y的函数，即： u ( x , y ), v ( x , y ) 于是能构成 z 是x ,y 的复合函数：
z f [ ( x , y ), ( x , y )],
问题：如何求出函数 z 对自变量 x，y 的偏导数呢？
又比如： 设函数z =f(u,v)是变量u，v的函数， 而 u ( t ), v ( t ) 是自变量t的函数，则复合函数
z f [ ( t ), ( t )]
只是自变量t 的函数。 问题：如何求z 对t 的导数 dz
.uLeabharlann 解法1 根据复合函数的链式法则，得
z z u z v x u x v x
eu sin v y eu cos v 1
e xy [ y sin( x y) cos( x y)]，
z z u z v y u y v y
(*)
z v 在公式(*)中 ：偏导数 x 是由两项组成的，每项又是两个偏导数的乘积，公式
(*)的这复杂的规律，可以通过函数变量的结构关系图
z
u
x
得到。与结构图两者之间的对应关系是：
(1) 在公式(*)的项数，等于结构图中自变量x到达z 路径的个数.函数结构中自变量x到达z的路径有两条. 第一条是 x u z，第二条是 x v z ，所以公 式(*)由两项组成. (2) 公式(*)每项乘积的写法，等同于一元函数情况 下的复合函数求导公式，如第一条路径 z u x , 有一个函数 z 和一个中间变量 u，因此，对应与第一 z u 条路径的第一项就是两个偏导数 与 的乘积. u x
,求z 的偏导数。
解：设 u (3x
y ) ，v 4 x 2 y
则 z uv z z u z v x u x v x
v 1 v
z
u
x
y
v
v u 6 x u ln u 4
(4 x 2 y)(3x 2 y 2 ) 4 x 2 y 1 6 x (3x 2 y 2 ) 4 x 2 y ln (3x 2 y 2 )4 z z u z v v 1 v v u 2 y u ln u 2 y u y v y
eu sin v x eu cos v 1
e xy [ x sin( x y ) cos( x y )].
解法2 对于具体的二元复合函数，可将中间变量 u，v，
用x，y代入，则得到
z e xy sin( x y ) ，z 是x，y二元函数，
直接计算得
z ye xy sin( x y ) e xy cos( x y ) x
u ( t ), v ( t )
可导，则复合函数
z f [ ( t ), ( t )]
dz 则 z 对x的导数 dt
有
只是自变量x的函数，
z
u
dz z du z dv dt u dt v dt
v
t
在这里，函数z是通过二元函数z=f(u,v)而成为t的
一元复合函数.因此，z对t的导数
数.对公式(2)应注意，由于 z，u，v 这三个函数都是t
dz 又称为z对t的全导 dt
的一元函数，故对t的导数应写成 dz , du , dv，而不能 dt dt dt z u v 写成 , , . t t t
（2）如果 z f (u, v, w) 而
u 同样可以得到 y
z
u
z z u z v y u y v y
v
y
复合函数结构虽然是多种多样，求复合函数的偏 导数公式也不完全相同，但借助函数的结构图，运用 上面的法则，可以直接写出给定的复合函数的偏导数 的公式。这一法则通常形象地称为链式法则。
下面借助于函数的结构图，利用链式法则导出全 导数公式. 又比如：设函数w =f (u,v)有连续偏导数，而