天津市津南区2009届高三模拟考试数学试卷(文史类)

天津市津南区2009届高三模拟考试数学试卷（文史类）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号选出涂在答题卡上.1. 已知全集S={0，1，3，5，7，9}，C S A={0，5，9}，B={3，5，7}，则B A 等于A ．{5，7}B ．{3，7}C ．{3，5，7}D ．φ2. 在等差数列}{n a 中，n S 表示前n 项和，58218a a a -=+，则=9SA ．18B ．54C ．27D ．60 3. 函数2-=x y （x ≥6）的反函数为A ．22-=x y （x ≥2）B ．22-=x y （x ≥0）C ．22+=x y （x ≥2）D ．22+=x y （x ≥0）4. 设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧+≤≥-+≤6302y x y x x y ，则目标函数y x Z +=2的最小值为A. 3B. 4C. 9D. 255. 实数0=a 是直线12=-ay x 和122=-ay x 平行的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6. 给出下列四个命题：①过平面外一点，作与该平面成θ角的直线一定有无穷多条；②一条直线与两个相交平面都平行，则它必与这两个平面的交线平行；③对确定的两条异面直线，过空间任意一点有且只有一个平面与这两条异面直线都平行； ④对两条异面的直线，都存在无穷多个平面与这两条直线所成的角相等； 其中正确的命题序号为A ．①② B．③④ C．②④ D．②③7. 已知12F F 、分别为双曲线()2222 1 0,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，P 为双曲线右支上的任意一点，若5PF a =，则双曲线的离心率的取值范围是A ．(]1,4B ．（1，2）C ．（1，4） D. (1,)+∞ 8. 设)1lg(,2,2.02.02-+===b a c b a,则a 、b 、c 的大小关系为A. a ＞b ＞cB. b ＞a ＞cC. c ＞b ＞aD. b ＞c ＞a9. 已知)(x f 是定义在R 的奇函数，当0<x 时，xx f )21()(=，那么)8()1(11-+--f f的值为A ．-2B ．－3C ．2D ．3 10．函数()f x 由下表定义：若05a =，1()n n a f a +=，0,1,2,n = ，则2008a =A ．1B ．2C ．4D ．5 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上11．已知二项式7的展开式的第四项与第五项之和为零，那么x 等于 ．12．为了解某地区甲、乙、丙三所学校高三数学模拟考试的成绩，采取分层抽样方法从甲校的1260份试卷、乙校的720份试卷、丙校的900份试卷中进行抽样调研。

如果从丙校的900份试卷中抽取了50份试卷，那么这次调研一共抽查的试卷份数为 .13. 直线1-=x y 上的点到圆042422=+-++y x y x 的最近距离是 .14. 设O 是△ABC 内部一点，且2OA OC OB +=-，则△AOB 与△AOC 的面积之比为 .15．设三棱锥的3个侧面两两互相垂直，且侧棱长均为32，则其外接球的表面积是 . 16．某校的多媒体教室周二上午排4节课，下午排2节课，安排的科目有2节不同的数学课，语文、英语、物理、生物各一节，那么数学课要连续上的不同排课方法有 （用数字作答）.三、解答题：本大题共6小题，共76分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17．（本小题满分12分）在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，且3,3=+=c b a ，求当2cos 2cos CB A ++取得最大值时的边b 和c 的长.在某次测试中，甲、乙、丙三人能达标的概率分别为4.0、5.0、0.6，在测试过程中，甲、乙、丙能否达标彼此间不受影响．⑴ 求甲、乙、丙三人均达标的概率；⑵ 求甲、乙、丙三人中至少一人达标的概率.B D 119．（本小题满分12分）已知长方体1AC 中，棱1,AB BC ==棱12BB =，连结1B C ，过B 点作1B C 的CC垂线交1B C于F．于E，交1AC 平面EBD；（1）求证：1A B C的距离；（2）求点A到平面11A B C所成角的正弦值．（3）求直线DE与平面1120．（本小题满分12分）已知函数321()10().3f x x ax x x =-+∈R （1）当 a =3时,若ABC 点P 为曲线)(x f y =上的一个动点，求以点P 为切点的切线斜率取最小值时的切线方程；（2）若函数)(x f y =在),0(+∞上为单调增函数，试求a 的取值范围.21．（本小题满分14分）已知数列{}n a 满足：()()⎪⎩⎪⎨⎧-+==+为偶数为奇数n n a n n a a a n n n 221,111 （1）求；432,,a a a（2）设*+∈-+=N n n a b n n ,2412，求证：数列{}n b 是等比数列，并求其通项公式； （3）求数列{}n a 前100项中的所有奇数项的和S ．22．（本小题满分14分）如图，设抛物线C ：y x 42=的焦点为F ，),(00y x P 为抛物线上的任一点（其中0x ≠0），过P 点的切线交y 轴于Q 点． （1）证明：FQ FP =；（2）Q 点关于原点O 的对称点为M ，过M 点作平行于PQ 的直线 交抛物线C 于A 、B 两点，若)1(>=λλMB AM ，求λ的值．参考答案一、选择题：11．2 12．160 13． 122- 14．1215．π36 16． 192 三、解答题：17．解：由222:AC B C B A -=+=++ππ得 2sin 2cosAC B =+∴…………2分23)212(sin 22sin 22sin 212cos 2cos 22+--=+-=++∴A A A C B A ……4分 当2cos 2cos ,3,212sinCB A A A ++==时即π取得最大值 …………6分由2122622)(2cos 22222=-=--+=-+=bc bc bc a bc c b bc a c b A …………8分 2=∴bc …………10分3=+c b⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==∴1221c b c b 或 …………12分18. 解：⑴ 分别记“甲达标”，“乙达标”，“丙达标”为事件321,,A A A 由已知321,,A A A 相互独立，4.0)(1=A P ，,5.0)(2=A P 3()0.6P A =……3分3个人均达标的概率为)(321A A A P ⋅⋅)()()(321A P A P A P ⋅⋅=0.40.50.60.12=⨯⨯= …………6分⑵ 至少一人达标的概率为)(1321A A A P ⋅⋅-)()()(1321A P A P A P ⋅⋅-= …………9分1(10.4)(10.5)(10.6)0.88=----= …………12分19．（1）证明：由已知A 1B 1⊥面BCC 1B 1 又BE⊥B 1C∴A 1C⊥BE ………………………………2分 ∵面ABCD 是正方形，∴AC⊥BD ∴A 1C⊥BD∴A 1C⊥平面EBD ………………………………4分解（2）∵AB∥A 1B 1, ∴AB∥面11A B C∴点A 到平面11A B C 的距离与点B 到平面11A B C 的距离相等 由（1）知A 1C⊥BE，又BE⊥B 1C ∴BE⊥面11A B C∴BF 即是点B 到平面11A B C 的距离 ………………………………6分 在△BB 1C 中，55251211=⨯=⋅=C B BC BB BF ∴点A 到平面11A B C 的距离为552 ………………………………8分另解：连结1AE ,A 到平面11A B C 的距离,即三棱锥11A AB C -的高,设为h2511=∆C B A S ,1113C A B A V -=,由1111A A B C C A B A V V --=得: 1133h =,h =∴点A 到平面11A B C（3）连结FD, 由（2）知BE⊥面11A B C∴DF 是DE 在平面11A B C 上的射影∴∠EDF 即是直线DE 与平面11A B C 所成的角 ………………………………10分 由△BB 1C∽△BCE 可求得CE=21 ∴BE=DE=25, ∴EF=105 ∴1sin 5EF EDF ED ∠== 即DE 与平面11A B C 所成的角的正弦值是15………………12分 20．解：（1）设切线的斜率为k则22()610(3)1f x x x x '=-+=-+…………2分显然当3x =时切线斜率取最小值1 …………3分又(3)12f = ∴所求切线方程为123y x -=-即90.x y -+=…………6分（2）2()210f x x ax '=-+要使)(x f y =为单调递增函数，必须满足0)(>'x f即对任意的),,0(+∞∈x 恒有0)(≥'x f…………8分2()2100f x x ax '=-+≥ 210522x x a x x +∴≤=+ …………10分而52x x+≥当且仅当x =所以a ≤…………12分21.解：（1）234357,,,224a a a ==-= ………………3分（2）()()()12322412222412n n n b a n a n n +++=++-=-+++- ()222111221222n n n a a n b ++=-=++-= ………………5分∴数列{}n b 是公比为12的等比数列 ……………7分 131142,22n n b a b ⎛⎫=+-=-∴=- ⎪⎝⎭……………9分(3)由（2）得211422n n a n +⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭……………10分 ()2349139911111412492492222s a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+++=-+++-++++⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦49148022⎛⎫=- ⎪⎝⎭……………14分22. （1）证明：由抛物线定义知1||0+=y PF ， …………2分 2|00x y k x x PQ ='==，可得PQ 所在直线方程为x 0x =2(y +y 0) ……………………4分 得Q 点坐标为(0, -y 0)，∴1||0+=y QF∴ |PF |=|QF | …………………6分（2）设A (x 1, y 1)，B (x 2, y 2)，又M 点坐标为(0, y 0)∴AB 方程为002y x x y += 由⎪⎩⎪⎨⎧+==00224y x x y y x 得042002=--y x x x …………………8分 ∴,2021x x x =+200214x y x x -=-=……① …………………10分由λ=得：),(),(022101y y x y y x -⋅=--λ，∴21x x λ-= ……② …………………12分由①②知⎩⎨⎧==-2022022)1(x x x x λλ，得222224)1(x x λλ=-，由x 0≠0可得x 2≠0 ，∴λλ4)1(2=-，又1>λ，解得：223+=λ．……………………………14分。