九年级数学下册2.6第1课时弧长试题新版湘教版
九年级数学下册第二章2-6弧长与扇形面积练习新版湘教版
2．6弧长与扇形面积第1课时弧长基础题nπ r知识点弧长公式 (l ＝180 ) 及其应用1．已知扇形的圆心角为60°，半径为 1，则扇形的弧长为 (D)πππA. 2 B．π C. 6 D. 32．已知一弧的半径为3，弧长为 2π，则此弧所对的圆心角为(C)A． 300°B． 240°C． 120°D． 60°3．圆心角为 120°，弧长为 12π的扇形半径为 (C)A． 6 B． 9 C． 18 D． 36︵4． (2018 ·黄石 ) 如图， AB是⊙ O的直径，点 D为⊙ O上一点，且∠ ABD＝ 30°， BO＝4，则 BD的长为(D)2 4 8A. 3πB. 3πC． 2π D. 3π5． ( 教材 P78 例 2 变式 ) 如图，在△ ABC中，∠ ACB＝ 90°，∠ ABC＝ 30°， AB＝ 2. 将△ ABC绕直角极点C 逆时针旋转 60°获得△ A′B′ C，则点 B 转过的路径长为 (B)π3π 2A. 3B. 3C. 3πD．Π︵6．如下图，小亮坐在秋千上，秋千的绳长OA为 2 米，秋千绕点O旋转了 60°，点 A 旋转到点 A′，则 AA′的2π长为 3 米．(结果保存π)7．如图，已知正方形的边长为 2 cm，以对角的两个极点为圆心， 2 cm长为半径画弧，则所获得的两条弧长度之和为 2π__cm.( 结果保存π )︵3 28．如图，网格图中每个小正方形的边长为1，则 AB的长l ＝ 2 π.︵9．如图，一根绳索与半径为30 cm 的滑轮的接触部分是CMD，绳索 AC和 BD所在的直线成30°角．请你测算一︵下接触部分 CMD的长． ( 结果保存π )解：连结OC， OD，则 OC⊥AC， BD⊥ OD.又∵ AC与 BD的夹角为30°，∴∠ COD＝150° .︵150π× 30∴ CMD的长为180＝ 25π (cm) ．易错点忽略题中条件10．如图，一扇形纸扇完整翻开后，外侧两竹条AB和 AC的夹角为120°， AB长为 25 cm ，贴纸部分的宽BD 为15 cm. 若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为2 350πcm.中档题︵11． (2017 ·烟台 ) 如图，在 ?ABCD中，∠ B＝ 70°， BC＝6，以 AD为直径的⊙ O交 CD于点 E，则 DE的长为 (B)π2π7π4πA. 3B. 3C. 6D. 312．如图，用一个半径为 5 cm 的定滑轮带动重物上涨，滑轮上一点P 旋转了 108°，假定绳索 ( 粗细不计 ) 与滑轮之间没有摩擦，则重物上涨了(B)A． 5π cm B． 3π cm C． 2π cm D．π cm13．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝ 4，BC＝ 3，矩形在直线l 上绕其右下角的极点 B 向右旋转90°至图①位置，再绕右下角的极点持续向右旋转90°至图②地点，，以此类推，这样连续旋转 2 018次后，极点 A 在整个旋转过程中所经过的行程之和是(D)A． 2 018 πB． 3 024 πC． 3 025.5 πD． 3 028.5 π14．如图，圆心角∠AOB＝ 120°，弦 AB＝ 2 3 cm.(1)求⊙ O的半径 r ；︵(2)求劣弧 AB的长． ( 结果保存π )解： (1) 过点 O作 OC⊥ AB 于点 C，1则 AC＝2AB＝ 3 cm.∵∠ AOB＝120°， OA＝ OB，∴∠ A＝ 30° .∴在 Rt △AOC中，ACr ＝ OA＝cos30°＝ 2 cm.︵120× π × 2 4π(2) 劣弧 AB的长为180＝3cm.15．图 1， 2，， m分别是边长均大于 2 的三角形，四边形，，凸n 边形，分别以它们的各极点为圆心，以 1为半径画弧与两邻边订交，获得 3 条弧， 4 条弧，， n 条弧．(1) 图 1 中 3 条弧的弧长的和为π ，图2中4条弧的弧长的和为2π；(2)求图 m中 n 条弧的弧长的和． ( 用 n 表示 )解： (n －2) π .综合题16．某商场为了迎接“六一”小孩节的到来，制造了一个超大的“不倒翁”．小灵对“不倒翁”很感兴趣，原来“不倒翁”的底部是由一个空心的半球做成的，并在底部的中心( 即图中的 C 处) 固定一个重物，再从正中心立起一根杆子，在杆子上做些装修，在重力和杠杆的作用下，“不倒翁”就会左摇右晃，又不会完整倒下去．小灵画出剖面图，进行仔细研究：圆弧的圆心为点O，过点 O 的木杆 CD长为 260 cm， OA，OB 为圆弧的半︵径，长为 90 cm( 作为木杆的支架 ) ，且 OA， OB对于 CD对称， AB的长为 30π cm. 当木杆 CD向右摇动使点 B 落在地面上 ( 即圆弧与直线 l 相切于点 B)时，木杆的顶端点 D到直线 l 的距离 DF是多少厘米？︵30π cm， OA， OB为圆弧的半径，长为90 cm ，解：∵ AB的长为依据弧长公式 l ＝nπ r nπ× 90 ，得 30π＝，180 180解得 n＝60° .即∠ AOB＝60°，进而∠ BOE＝∠ COA＝30° . ∵ OB＝ 90 cm，∴ OE＝ 60 3 cm.∴ DE＝ (170 ＋ 60 3)cm.∴ DF＝ (90 ＋ 85 3 )cm.第 2 课时扇形的面积基础题知识点 1 扇形的面积1．已知扇形的半径为 6 cm，圆心角为 120°，则这个扇形的面积是 (B)A． 36π cm2 B． 12π cm 2C． 9π cm2 D． 6π cm22．假如扇形的圆心角为150°，它的面积为 240π cm 2，那么扇形的半径为 (B)A． 48 cm B． 24 cmC． 12 cm D． 6 cm3．若一个扇形的面积是12π，它的弧长是 4π，则它的半径是 (D)A． 3 B． 4 C． 5 D． 64．圆心角是 60°且半径为 2 的扇形面积为23π． ( 结果保存π )5．已知扇形的圆心角为150°，它所对应的弧长为20π cm，则此扇形的半径是24cm，面积是240π cm2.( 结果保存π )6．如下图，在3× 3 的方格纸中，每个小方格都是边长为 1 的正方形，点O， A，B 均为格点，则扇形OAB的面积大小是5π．47． (2018 ·巴中 ) 如下图，以六边形的每个极点为圆心， 1 为半径画圆，则图中暗影部分的面积为2π ．知识点 2 与扇形相关的暗影部分的面积8．如图，点 C 是以 AB 为直径的半圆 O的三均分点， AC＝2，则图中暗影部分的面积是(A) 4π4π2π2π3A.3－3B.3－2 3C.3－3D.3－29． (2017 ·湘潭 ) 如图，在半径为 4 的⊙ O中， CD是直径， AB是弦，且CD⊥ AB，垂足为E，∠ AOB＝ 90°，则阴影部分的面积是(D)A． 4π －4B． 2π －4C． 4πD． 2π10． (2018 ·重庆 A 卷 ) 如图，在矩形ABCD中， AB＝3， AD＝2，以点 A 为圆心，AD长为半径画弧，交AB于点E，图中暗影部分的面积是6－π ． ( 结果保存π )11．如图， PA， PB分别与⊙ O相切于点A， B，∠ APB＝ 60°，连结AO， BO.︵(1)AB 所对的圆心角∠AOB＝120°；(2)若 OA＝ 3，求暗影部分的面积．解：连结OP，1则∠ OPA＝∠ OPB＝2∠ APB＝30° .在 Rt △ OAP中， OA＝ 3，∴ AP＝ 3 3.1 9 3△OPA3＝2.∴S ＝2×3×39 3 120π× 32∴S 暗影＝2×2 －360 ＝ 9 3－ 3π .中档题12． (2018 ·德州) 如图，从一块直径为 2 m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，则此扇形的面积为(A)A. π2 2m B.3π2m 2 C．π2m D． 2π2m13．如图， CD是半圆 O的直径，弦AB∥ CD，且 CD＝ 6，∠ ADB＝ 30°，则暗影部分的面积是(B)A．π3B.C． 3πD． 6π2π14．如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标 ( － 2， 0) ，△ ABO是直角三角形，∠AOB＝ 60° . 现将 Rt △ ABO绕原1点 O按顺时针方向旋转到Rt △ A′ B′O的地点，则此时边OB扫过的面积为4π ．15． (2017 ·郴州 ) 如图， AB是⊙ O的弦， BC切⊙ O于点 B， AD⊥ BC，垂足为D， OA是⊙ O的半径，且OA＝ 3.(1)求证： AB 均分∠ OAD；︵(2)若点 E 是优弧 AEB上一点，且∠ AEB＝ 60°，求扇形 OAB的面积． ( 计算结果保存π )解： (1) 证明：连结OB，∵BC切⊙ O于点 B，∴ OB⊥ BC.∵AD⊥ BC，∴AD∥ OB.∴∠ DAB＝∠ OBA.∵OA＝ OB，∴∠ OAB＝∠ OBA.∴∠ DAB＝∠ OAB.∴AB 均分∠ OAD.︵(2)∵点 E 是优弧 AEB上一点，且∠ AEB＝60°，∴∠ AOB＝2∠ AEB＝120°，∴扇形 OAB的面积为120π ×32＝ 3π.36016．如图，线段AB与⊙ O相切于点C，连结 OA， OB， OB交⊙ O于点 D，已知 OA＝ OB＝6， AB＝6 3.(1)求⊙ O的半径；(2)求图中暗影部分的面积．解： (1) 连结 OC，则 OC⊥ AB.∵ OA＝ OB，1 1∴AC＝ BC＝2AB＝2× 6 3 ＝3 3.在 Rt △ AOC中， OC＝ OA2－ AC2＝ 3，∴⊙ O的半径为 3.1(2) ∵ OC＝2OB，∴∠ B＝ 30°，∠ COD＝ 60° .60π × 32 3∴ S 扇形OCD＝＝360 2π .1 39 3 3π∴S 暗影＝ S Rt△OBC－ S 扇形OCD＝2OC· CB－2π＝2－2 .综合题17．如图，圆心角都是90°的扇形OAB与扇形 OCD叠放在一同，连结AC， BD.(1) 求证： AC＝ BD；(2) 若图中暗影部分的面积是 3 2，OA＝ 2 cm，求 OC的长．4π cm解： (1) 证明：∵∠ AOB＝∠ COD＝ 90°，∴∠ AOC＋∠ AOD＝∠ BOD＋∠ AOD.∴∠ AOC＝∠ BOD.∵AO＝ BO， CO＝ DO，∴△ AOC≌△ BOD(SAS)．∴AC＝ BD.(2)依据题意，得90π · OA2 90π ·OC290π（ OA2－OC2）S暗影＝－＝，3603603603 90π（22－OC2）∴ 4π＝360 ，解得OC＝1.∴OC＝ 1cm.。
九年级数学下册第二章2.6弧长与扇形面积练习湘教版
2．6 弧长与扇形面积第1课时 弧长基础题知识点 弧长公式(l ＝n πr180)及其应用1．已知扇形的圆心角为60°，半径为1，则扇形的弧长为(D) A.π2B ．πC.π6D.π32．已知一弧的半径为3，弧长为2π，则此弧所对的圆心角为(C) A ．300°B ．240°C ．120°D ．60°3．圆心角为120°，弧长为12π的扇形半径为(C) A ．6B ．9C ．18D ．364．(2018·黄石)如图，AB 是⊙O 的直径，点D 为⊙O 上一点，且∠ABD ＝30°，BO ＝4，则BD ︵的长为(D) A.23πB.43πC ．2πD.83π5．(教材P78例2变式)如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝30°，AB ＝2.将△ABC 绕直角顶点C 逆时针旋转60°得到△A ′B ′C ，则点B 转过的路径长为(B) A.π3B.3π3C.23πD ．Π6．如图所示，小亮坐在秋千上，秋千的绳长OA 为2米，秋千绕点O 旋转了60°，点A 旋转到点A ′，则AA ′︵的长为2π3米．(结果保留π)7．如图，已知正方形的边长为2 cm ，以对角的两个顶点为圆心，2 cm 长为半径画弧，则所得到的两条弧长度之和为2π__cm.(结果保留π)8．如图，网格图中每个小正方形的边长为1，则AB ︵的长l 2π.9．如图，一根绳子与半径为30 cm 的滑轮的接触部分是CMD ︵，绳子AC 和BD 所在的直线成30°角．请你测算一下接触部分CMD ︵的长．(结果保留π)解：连接OC ，OD ，则OC ⊥AC ，BD ⊥OD. 又∵AC 与BD 的夹角为30°， ∴∠COD ＝150°.∴CMD ︵的长为150π×30180＝25π(cm)．易错点 忽视题中条件10．如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB 和AC 的夹角为120°，AB 长为25 cm ，贴纸部分的宽BD 为15 cm.若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为350πcm 2.中档题11．(2017·烟台)如图，在▱ABCD 中，∠B ＝70°，BC ＝6，以AD 为直径的⊙O 交CD 于点E ，则DE ︵的长为(B)A.π3B.2π3C.7π6D.4π312．如图，用一个半径为5 cm 的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点P 旋转了108°，假设绳索(粗细不计)与滑轮之间没有摩擦，则重物上升了(B)A ．5π cmB ．3π cmC ．2π cmD ．π cm13．如图，在矩形ABCD 中，已知AB ＝4，BC ＝3，矩形在直线l 上绕其右下角的顶点B 向右旋转90°至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转90°至图②位置，…，以此类推，这样连续旋转 2 018次后，顶点A 在整个旋转过程中所经过的路程之和是(D)A ．2 018πB ．3 024πC ．3 025.5πD ．3 028.5π14．如图，圆心角∠AOB ＝120°，弦AB ＝2 3 cm. (1)求⊙O 的半径r ；(2)求劣弧AB ︵的长．(结果保留π)解：(1)过点O 作OC ⊥AB 于点C ，则AC ＝12AB ＝ 3 cm.∵∠AOB ＝120°，OA ＝OB ， ∴∠A ＝30°. ∴在Rt △AOC 中， r ＝OA ＝ACcos30°＝2 cm.(2)劣弧AB ︵的长为120×π×2180＝4π3 cm.15．图1，2，…，m 分别是边长均大于2的三角形，四边形，…，凸n 边形，分别以它们的各顶点为圆心，以1为半径画弧与两邻边相交，得到3条弧，4条弧，…，n 条弧．(1)图1中3条弧的弧长的和为π，图2中4条弧的弧长的和为2π； (2)求图m 中n 条弧的弧长的和．(用n 表示) 解：(n －2)π. 综合题16．某商场为了迎接“六一”儿童节的到来，制造了一个超大的“不倒翁”．小灵对“不倒翁”很感兴趣，原来“不倒翁”的底部是由一个空心的半球做成的，并在底部的中心(即图中的C 处)固定一个重物，再从正中心立起一根杆子，在杆子上做些装饰，在重力和杠杆的作用下，“不倒翁”就会左摇右晃，又不会完全倒下去．小灵画出剖面图，进行细致研究：圆弧的圆心为点O ，过点O 的木杆CD 长为260 cm ，OA ，OB 为圆弧的半径，长为90 cm(作为木杆的支架)，且OA ，OB 关于CD 对称，AB ︵的长为30π cm.当木杆CD 向右摆动使点B 落在地面上(即圆弧与直线l 相切于点B)时，木杆的顶端点D 到直线l 的距离DF 是多少厘米？中小学教案、试题、试卷精品资料解：∵AB ︵的长为30π cm ，OA ，OB 为圆弧的半径，长为90 cm ， 根据弧长公式l ＝n πr 180，得30π＝n π×90180，解得n ＝60°.即∠AOB ＝60°，从而∠BOE ＝∠COA ＝30°. ∵OB ＝90 cm ，∴OE ＝60 3 cm. ∴DE ＝(170＋603)cm. ∴DF ＝(90＋85 3 )cm.第2课时 扇形的面积基础题知识点1 扇形的面积1．已知扇形的半径为6 cm ，圆心角为120°，则这个扇形的面积是(B) A ．36π cm 2B ．12π cm 2C ．9π cm 2D ．6π cm 22．如果扇形的圆心角为150°，它的面积为240π cm 2，那么扇形的半径为(B) A ．48 cm B ．24 cm C ．12 cmD ．6 cm3．若一个扇形的面积是12π，它的弧长是4π，则它的半径是(D) A ．3B ．4C ．5D ．64．圆心角是60°且半径为2的扇形面积为23π．(结果保留π)5．已知扇形的圆心角为150°，它所对应的弧长为20π cm ，则此扇形的半径是24cm ，面积是240πcm 2.(结果保留π)6．如图所示，在3×3的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，点O ，A ，B 均为格点，则扇形OAB 的面积大小是5π4．7．(2018·巴中)如图所示，以六边形的每个顶点为圆心，1为半径画圆，则图中阴影部分的面积为2π．知识点2 与扇形有关的阴影部分的面积8．如图，点C 是以AB 为直径的半圆O 的三等分点，AC ＝2，则图中阴影部分的面积是(A) A.4π3－ 3B.4π3－2 3C.2π3－ 3D.2π3－329．(2017·湘潭)如图，在半径为4的⊙O 中，CD 是直径，AB 是弦，且CD ⊥AB ，垂足为E ，∠AOB ＝90°，则阴影部分的面积是(D) A ．4π－4B ．2π－4C ．4πD ．2π10．(2018·重庆A 卷)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝2，以点A 为圆心，AD 长为半径画弧，交AB 于点E ，图中阴影部分的面积是6－π．(结果保留π)11．如图，PA ，PB 分别与⊙O 相切于点A ，B ，∠APB ＝60°，连接AO ，BO. (1)AB ︵所对的圆心角∠AOB ＝120°； (2)若OA ＝3，求阴影部分的面积．解：连接OP ，则∠OPA ＝∠OPB ＝12∠APB ＝30°.在Rt △OAP 中，OA ＝3，∴AP ＝3 3. ∴S △OPA ＝12×3×33＝932.∴S 阴影＝2×932－120π×32360＝93－3π.中档题12．(2018·德州)如图，从一块直径为2 m 的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，则此扇形的面积为(A) A.π2m 2B.32π m 2C ．π m 2D ．2π m 213．如图，CD 是半圆O 的直径，弦AB ∥CD ，且CD ＝6，∠ADB ＝30°，则阴影部分的面积是(B) A ．πB.32πC ．3πD ．6π14．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标(－2，0)，△ABO 是直角三角形，∠AOB ＝60°.现将Rt △ABO 绕原点O 按顺时针方向旋转到Rt △A ′B ′O 的位置，则此时边OB 扫过的面积为14π．15．(2017·郴州)如图，AB 是⊙O 的弦，BC 切⊙O 于点B ，AD ⊥BC ，垂足为D ，OA 是⊙O 的半径，且OA ＝3.(1)求证：AB 平分∠OAD ；(2)若点E 是优弧AEB ︵上一点，且∠AEB ＝60°，求扇形OAB 的面积．(计算结果保留π)解：(1)证明：连接OB ， ∵BC 切⊙O 于点B ， ∴OB ⊥BC.∵AD ⊥BC ， ∴AD ∥OB. ∴∠DAB ＝∠OBA. ∵OA ＝OB ， ∴∠OAB ＝∠OBA. ∴∠DAB ＝∠OAB. ∴AB 平分∠OAD.(2)∵点E 是优弧AEB ︵上一点，且∠AEB ＝60°， ∴∠AOB ＝2∠AEB ＝120°，∴扇形OAB 的面积为120π×32360＝3π.16．如图，线段AB 与⊙O 相切于点C ，连接OA ，OB ，OB 交⊙O 于点D ，已知OA ＝OB ＝6，AB ＝6 3. (1)求⊙O 的半径；(2)求图中阴影部分的面积．解：(1)连接OC ，则OC ⊥AB.∵OA ＝OB ， ∴AC ＝BC ＝12AB ＝12×63＝3 3.在Rt △AOC 中，OC ＝OA 2－AC 2＝3， ∴⊙O 的半径为3.(2)∵OC ＝12OB ，∴∠B ＝30°，∠COD ＝60°.∴S 扇形OCD ＝60π×32360＝32π.∴S 阴影＝S Rt △OBC －S 扇形OCD ＝12OC ·CB －32π＝932－3π2.综合题17．如图，圆心角都是90°的扇形OAB 与扇形OCD 叠放在一起，连接AC ，BD. (1)求证：AC ＝BD ；(2)若图中阴影部分的面积是34π cm 2，OA ＝2 cm ，求OC 的长．解：(1)证明：∵∠AOB ＝∠COD ＝90°， ∴∠AOC ＋∠AOD ＝∠BOD ＋∠AOD. ∴∠AOC ＝∠BOD. ∵AO ＝BO ，CO ＝DO ， ∴△AOC ≌△BOD(SAS)． ∴AC ＝BD. (2)根据题意，得S 阴影＝90π·OA 2360－90π·OC 2360＝90π（OA 2－OC 2）360，∴34π＝90π（22－OC 2）360，解得OC ＝1. ∴OC ＝1cm.。
2021春湘教版九年级数学下册 第2章 2.6.1 弧长的计算
3．【中考·黄石】如图，AB 是⊙O 的直径，点 D 为⊙O 上一点，
︵ 且∠ABD＝30°，BO＝4，则BD的长为( )
A．23π C．2π
B．43π D．83π
基础巩固练
【点拨】如图，连接 OD， ∵∠ABD＝30°，∴∠AOD＝2∠ABD＝60°， ∴∠BOD＝120°， ∴B︵D的长＝1201π80×4＝83π.
【答案】D
能力提升练
10．【中考·泰州】如图，分别以正三角形的 3 个顶点为圆心，边 长为半径画弧，三段弧围成的图形称为莱洛三角形．若正三 角形的边长为 6 cm，则该莱洛三角形的周长为___6_π____cm.
能力提升练
11．【中考·盐城】图①是由若干个相同的图形(图②)组成的美丽 图案的一部分．图②中，图形的相关数据：半径 OA＝2 cm， 8π ∠AOB＝120°，则图②的周长为____3____cm.(结果保留 π)
＝
77 2
π(cm)
．
本
题
的
易
错
点
是
未
将
115°30′化为以度为单位代入公式计算而出错．
【答案】727π
基础巩固练
6．【中考·天门】75°的圆心角所对的弧长是 2.5π cm，则此弧所 在圆的半径是____6____cm.
基础巩固练
7．一个扇形的弧长是 11π cm，半径是 18 cm，则此扇形的圆心 角是___1_1_0___度．
基础巩固练
︵︵ 1．【中考·盘锦】如图，一段公路的转弯处是一段圆弧(AB)，则AB
的展直长度为( B )
A．3π m
B．6π m
C．9π m
D．12π m
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
九下第2章圆2-6弧长与扇形面积2-6-1弧长习题新版湘教版
没有滑动，则重物上升了
1
2
3
4
5
6
4π
7
cm.(结果保留π)
8
9
10
11
12
13
10.[2023·岳阳一模]如图，分别以等边三角形的每个顶点为
圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段
圆弧围成的曲边三角形称为勒洛三角形.若等边三角形的
边长为3，则勒洛三角形的周长为(
A.2π－2
B.3π
4π
的弧长为
1
2
3
.
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
3.如图，☉O的半径为2，点A，B，C都在☉O上，若∠B＝
π
30°，则的长为
.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
【变式题】如图，AB是☉O的直径，D为☉O上一点，且
π
∠ABD＝30°，BO＝4，则的长为 π .
1
2
3
4
5
6
7
8
11
12
13
4.如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐
标分别为A(－1，1)，B(－4，0)，C(－2，2).将△ABC绕原
点O顺时针旋转90°后得到△A1B1C1.
的长.
(2)求
的长为
解：
1
2
3
×π×4＝2π.
4
5
6
7
九年级数学下册 2.6 弧长与扇形面积 第1课时 弧长习题 (新版)湘教版
2.6 弧长与扇形面积第1课时 弧长基础题 知识点 弧长公式(l ＝n πr180)及应用1．(岳阳中考)已知扇形的圆心角为60°，半径为1，则扇形的弧长为( ) A.π2 B ．π C.π6 D.π32．已知一弧的半径为3，弧长为2π，则此弧所对的圆心角为( ) A ．300° B ．240° C ．120° D ．60° 3．(衡阳中考)圆心角为120°，弧长为12π的扇形半径为( ) A ．6 B ．9 C ．18 D ．364．如图，PA 切⊙O 于点A ，PB 切⊙O 于点B ，若∠APB＝60°，⊙O 半径是3，则劣弧AB 的长为( ) A.π2B ．ΠC ．2πD ．4π5．(兰州中考)如图，在△AB C 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝30°，AB ＝2.将△ABC 绕直角顶点C 逆时针旋转60°得△A′B′C，则点B 转过的路径长为( ) A.π3 B.3π3 C.23π D ．Π6．如图所示，小亮坐在秋千上，秋千的绳长OA 为2米，秋千绕点O 旋转了60°，点A 旋转到点A′，则AA′︵的长为____________米．(结果保留π)7．如图，已知正方形的边长为2 cm ，以对角的两个顶点为圆心，2 cm 长为半径画弧，则所得到的两条弧长度之和为____________(结果保留π)．8．(西宁中考)如图，网格图中每个小正方形的边长为1，则弧AB 的长l ＝____________.9．如图，一根绳子与半径为30 cm 的滑轮的接触部分是CMD ︵，绳子AC 和BD 所在的直线成30°的角．请你测算一下接触部分CMD ︵的长．(结果保留π)中档题10．如图，已知⊙O 的半径为2 cm ，弦AB 所对的劣弧长为圆周长的16，则弦AB 为( )A ．1 cmB ．2 cmC ．3 cmD ．4 cm11．(绍兴中考)如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，⊙O 的半径为2，∠B ＝135°，则AC ︵的长为( ) A ．2π B ．π C.π2 D.π312．如图，在6×6的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，其中A ，B ，C 为格点．作△ABC 的外接圆⊙O，则AC ︵的长等于( )A.34π B.54π C.32π D.52π 13．(邵阳中考)如图，在矩形ABCD 中，已知AB ＝4，BC ＝3，矩形在直线l 上绕其右下角的顶点B 向右旋转90°至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转90°至图②位置，…，以此类推，这样连续旋转2 015次后，顶点A 在整个旋转过程中所经过的路程之和是( )A ．2 015πB ．3 019.5πC ．3 018πD ．3 024π14．如图，⊙O 的半径为6 cm ，直线AB 是⊙O 的切线，切点为B ，弦BC∥AO.若∠A＝30°，求劣弧BC ︵的长．15．图1，2，…，m 分别是边长均大于2的三角形、四边形、…凸n 边形，分别以它们的各顶点为圆心，以1为半径画弧与两邻边相交，得到3条弧、4条弧、…、n 条弧．(1)图1中3条弧的弧长的和为____________，图2中4条弧的弧长的和为____________； (2)求图m 中n 条弧的弧长的和(用n 表示)．综合题16．如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C ，D 在⊙O 上，点E 在⊙O 外，∠EAC ＝∠D＝60°. (1)求∠ABC 的度数；(2)求证：AE 是⊙O 的切线；(3)当BC ＝4时，求劣弧AC ︵的长．参考答案1．D 2.C 3.C 4.C 5.B 6.2π3 7.2π cm 8.322π 9．连接OC ，OD ，则OC⊥AC，BD ⊥OD.又AC 与BD 夹角为30°， ∴∠COD ＝150°. ∴CMD ︵的弧长为150π×30180＝25π(cm)．10．B 11.B 12.D 13.D 14．连接OB ，OC. ∵AB 是⊙O 的切线， ∴AB ⊥BO. ∵∠A ＝30°， ∴∠AOB ＝60°. ∵BC ∥AO ，∴∠OBC ＝∠A OB ＝60°. 又∵OB ＝OC ，∴△OBC 是等边三角形． ∴∠BOC＝60°.∴劣弧BC ︵的长为60×π×6180＝2π(cm)．15．(1)π 2π (2)(n －2)π.16．(1)∵∠ABC 与∠D 都是AC ︵所对的圆周角，∴∠ABC ＝∠D＝60°.(2)证明：∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°. ∴∠BAC ＝30°.∴∠BAE ＝∠BAC＋∠EAC＝30°＋60°＝90°，即BA⊥AE. ∴AE 是⊙O 的切线． (3)连接OC.∵OB ＝OC ，∠ABC ＝60°， ∴△OBC 是等边三角形． ∴O B ＝BC ＝4，∠BOC ＝60°. ∴∠AOC ＝120°，∴劣弧AC ︵的长为120×π×4180＝83π.。
九年级数学下册2-6第1课时弧长试题新版湘教版
2．6 弧长与扇形的面积第1课时 弧 长知识要点 弧长如图，PA 切⊙O 于点A ，PB 切⊙O于点B ，如果∠APB ＝60°，⊙O 的半径是3，则劣弧AC ︵的长为_________. 分析：连接OA ，OB ，则OA ⊥PA ，OB ⊥PB .在四边形APBO 中，求出∠AOB 的度数，然后直接利用公式l ＝n πr 180即可求出AB ︵的长． 方法点拨：半径为r 的圆中，n °的圆心角所对的弧长为l ＝n πR 180，要求出弧长,关键要弄清公式中各项字母的含义．(教材P78例2变式)如图，Rt△ABC 的边BC 位于直线l 上，AC ＝3，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°.若Rt△ABC 由现在的位置向右无滑动地翻转，当点A 第3次落在直线l 上时，点A 所经过的路线的长为________(结果用含π的式子表示)． 分析：点A 所经过的路线的长为三个半径为2，圆心角为120°的扇形弧长与两个半径为3，圆心角为90°的扇形弧长之和，利用弧长公式即可求得点A 所经过的路线长．方法点拨：此类翻转求路线长的问题，通过归纳探究出这个点经过的路线情况，并以此推断整个运动路径，从而利用弧长公式求出运动的路线长．1．在半径为6的⊙O 中，60°的圆心角所对的弧长是( )A ．πB ．2πC ．4πD ．6π2．如图，点A 、B 、C 在半径为9的⊙O 上，AB ︵的长为2π，则∠ACB 的度数是________． 3.如图，以AB 为直径的⊙O 与弦CD 相交于点E ，且AC ＝2，AE ＝3，CE ＝1.则BD ︵的长是________．4．如图，一根绳子与半径为30cm 的滑轮的接触部分是CmD ︵，绳子AC 和BD 所在的直线成30°的角．请你测算一下接触部分CmD ︵的长．参考答案:要点归纳知识要点：n πr 180 典例导学 例1 2π 例2 (4＋3)π 当堂检测 1．B 2.20° 3.239π 4．解：连接OC 、OD ，由题可知OC ⊥AC ，BD ⊥OD .又AC 、BD 夹角为30°， 所以∠COD ＝150°，所以CmD ︵的长＝150π×30180＝25π(cm)．。
最新湘教版初中数学九年级下册2.6第1课时弧长重点习题
26 弧长与扇形的面积
第1课时 弧 长
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2.一个扇形的圆心角为60°，弧长为2π厘米，则这个扇形的半径为（ ）
A ．6厘米
B ．12厘米 ．厘米
4．在半径为错误!的圆中，45°的圆心角所对的弧长等于 ．
5如图，⊙O 过△AB 的顶点A 、B 、，且∠=30°，AB=3，则弧AB 长为__________
6.如图，将半径为1、圆心角为︒60的扇形纸片AOB ，在直线l 上向右作无滑动的滚动至扇形B O A '''处，则顶点O 经过的路线总长为_________
7如图，在△AB中，AB=4c，∠B=30°，∠=45°，以A为圆心，以A长为半径作弧与AB相交于点E，与B相交于点F．
（1）求弧E的长；
（2）求F的长．
8如图，秋千拉绳长AB为3米，静止时踩板离地面05米，某小朋友荡该秋千时，秋千在最高处时踩板离地面2米（左右对称），请计算该秋千所荡过的圆弧长（精
确到01米）？
9一段圆弧形公路弯道，圆弧的半径为2，弯道所对圆心角为10°，一辆汽车从此弯道上驶过，用时20s，弯道有一块限速警示牌，限速为40/h，问这辆汽车经过弯道时有没有超速？（π取3）。
2020年春湘教版九年级数学下册 2.6 第1课时 弧长
2.6 弧长与扇形的面积
第1课时 弧 长 5
5
2.一个扇形的圆心角为60°，弧长为2π厘米，则这个扇形的半径为（ ）
A ．6厘米
B ．12厘米 C
．
厘米
4．在半径为4π
的圆中，45°的圆心角所对的弧长等于 ． 5.如图，⊙O 过△ABC 的顶点A 、B 、C ，且∠C=30°，AB=3，则弧AB 长为__________.
6.如图，将半径为1、圆心角为︒
60的扇形纸片AOB ，在直线l 上向右作无滑动的滚动至扇形B O A '''处，则顶点O 经过的路线总长为_________.
7.如图，在△ABC中，AB=4cm，∠B=30°，∠C=45°，以A为圆心，以AC长为半径作弧与AB相交于点E，与BC相交于点F．
（1）求弧CE的长；
（2）求CF的长．
8.如图，秋千拉绳长AB为3米，静止时踩板离地面0.5米，某小朋友荡该秋千时，秋千在最高处时踩板离地面2米（左右对称），请计算该秋千所荡过的圆弧长（精确到0.1米）？
9.一段圆弧形公路弯道，圆弧的半径为2km，弯道所对圆心角为10°，一辆汽车从此弯道上驶过，用时20s，弯道有一块限速警示牌，限速为40km/h，问这辆汽车经过弯道时有没有超速？（π取3）。
九年级数学下册 第2章 圆 2.6 弧长与扇形面积 2.6.1 弧长公式同步练习 (新版)湘教版
图 K－21－11
素养提升
思维拓展 能力提升
探究题某课题小组进行了如下探索，请逐步思考并解答： (1)如图 K－21－12①，两个大小一样的传送轮连接着一条传送带，两个传送 轮中心的距离是 10 m，则这条传送带的长为________． （2)改变图形的数量: 如图②，将传送轮增加到 3 个，每个传送轮的直径是 3 m
图 K－21－12
1．D＝2∠ABD＝60°,∴∠BOD＝120°， ∴弧 BD 的长为错误!＝错误!。故选 D。
4．[解析] C ∵PA，PB 是⊙O 的切线，∴∠OBP＝∠OAP＝90°.在四边形 APBO 中，∠P＝60°，∴∠AOB＝120°。∵OA＝2，∴错误!的长为错误!＝ 错误!π.
，每两个传送轮中心的距离是 10 m，则这条传送带的长为________． （3)改变动态关系，将静态问题升华为动态问题： 如图③,一个半径为 1 cm 的⊙P 沿边长为 2π cm 的等边三角形 ABC 的外沿作 无滑动滚动一周,求圆心 P 经过的路径长．⊙P 自转了多少周？ (4)拓展与应用: 如图④，一个半径为 1 cm 的⊙P 沿半径为 3 cm 的⊙O 外沿作无滑动滚动一 周，则⊙P 自转了多少周？
图 K－21－4 7．2017·凉州区如图 K－21－5 所示,在△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝1,AB
＝2，以点 A 为圆心、AC 的长为半径画弧，交 AB 边于点 D，则弧 CD 的长等 于________（结果保留π)．
图 K－21－5 8．如图 K－21－6，⊙P 与 x 轴相切于点 O,点 P 的坐标为(0，错误!），点 A
又∵∠D′AC′＝∠CAD＝30°, ∴∠C′AD＝30°. 在△ACD 和△AC′D 中，∵AC＝AC′， ∠CAD＝∠C′AD，AD＝AD， ∴△ADC≌△ADC′。 (2)连接 BD 交 AC 于点 O。在△ABO 中， ∵∠BAO＝30°，AB＝6， ∴AO＝AB·cos30°＝3 3，∴AC＝6 错误!。 又∵∠CAC′＝60°， ∴l错误!＝错误!＝2 错误!π。 13．［解析] (1)错误!的半径 OB，OA 应分别与 BD，AC 垂直，并且点 O 在线 段 AB 的垂直平分线上; (2）因为∠ABD＝150°，且 OB⊥BD，所以∠OBA＝60°，所以∠OAB＝ 60°，所以△OAB 是等边三角形，则∠O＝60°，OA＝OB＝AB＝180 m， 由弧长公式可以求出从 A 到 B 这段弧形公路的长．
湘教版九年级下册数学同步练习2.6 第1课时 弧长
第 1 页 共 2 页 湘教版九年级下册数学同步练习2.6 弧长与扇形的面积第1课时 弧 长1.如图，⊙O 的半径为1，A、B 、C 是圆周上的三点，∠BAC=36°，则劣弧BC 的长是（ ）A.15π B.25π C.35π D.45π2.一个扇形的圆心角为60°，弧长为2π厘米，则这个扇形的半径为（ ） A ．6厘米 B ．12厘米 C ．23厘米 D.6厘米3..如图，在⊙O 中，∠C=30°，AB=2，则弧AB 的长为（ ）A.πB.16π C.14π D.23π4．在半径为4π的圆中，45°的圆心角所对的弧长等于 ． 5.如图，⊙O 过△ABC 的顶点A 、B 、C ，且∠C=30°，AB=3，则弧AB 长为__________.6.如图，将半径为1、圆心角为︒60的扇形纸片AOB ，在直线l 上向右作无滑动的滚动至扇形B O A '''处，则顶点O 经过的路线总长为_________.O B A B ' A ' O '︒607.如图，在△ABC中，AB=4cm，∠B=30°，∠C=45°，以A为圆心，以AC长为半径作弧与AB相交于点E，与BC相交于点F．（1）求弧CE的长；（2）求CF的长．8.如图，秋千拉绳长AB为3米，静止时踩板离地面0.5米，某小朋友荡该秋千时，秋千在最高处时踩板离地面2米（左右对称），请计算该秋千所荡过的圆弧长（精确到0.1米）？9.一段圆弧形公路弯道，圆弧的半径为2km，弯道所对圆心角为10°，一辆汽车从此弯道上驶过，用时20s，弯道有一块限速警示牌，限速为40km/h，问这辆汽车经过弯道时有没有超速？（π取3）第 2 页共2 页。
2018_2019学年九年级数学下册第2章圆2.6弧长与扇形面积2.6.1弧长公式练习(新版)湘教版
2.6 弧长与扇形面积第1课时 弧长公式知|识|目|标1．经过对教材“动脑筋”的讨论、思考、猜想，归纳与理解弧长的计算公式并用于计算弧长．2．在掌握弧长公式的基础上，会运用弧长公式解决实际生活中涉及弧长或半径的问题.目标一 理解弧长公式并能计算弧长例1 教材例1针对训练如图2－6－1，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝15°，以点C 为圆心，CA 长为半径的圆交AB 于点D ，若AC ＝6，求AD ︵的长．图2－6－1【归纳总结】弧长公式：(1)弧长计算公式是已知弧所对的圆心角的度数和圆弧的半径计算弧长，在运用公式时必须先求出弧所对的圆心角与弧所在圆的半径；(2)弧长计算公式l ＝n πr 180中，圆心角不是以“度”为单位时，必须先将单位“′”“″”转化为“°”．注意：半径r 与弧长l 的单位要一致．例2 教材补充例题半径为6 cm 的圆上有一段长度为2.5π cm 的弧，则此弧所对的圆心角的度数为( )A ．35°B ．45°C ．60°D ．75°【归纳总结】弧长公式的应用及变形：(1)弧长计算公式l ＝n πr 180体现了圆弧的半径r 、弧长l 、圆心角n 之间的关系，它的作用如下：①在三个量中已知其中任意两个量可以求出第三个量；②以计算公式l ＝n πr 180为等量关系建立方程．(2)弧长计算公式l ＝n πr 180常见的变形式： ①圆心角的度数n ＝180·l π·r；②圆弧的半径r ＝180·l π·n.目标二 能运用弧长公式解决实际生活中涉及弧长或半径的问题例3 教材例2针对训练如图2－6－2，秋千拉绳AB 长为3米，静止时踩板离地面0.5米，某小朋友荡该秋千时，秋千在最高处时踩板离地面2米(左右对称)，请计算该秋千所荡过的圆弧长(精确到0.1米)．图2－6－2【归纳总结】运用弧长公式解决实际问题：利用建模思想，把实际问题转化成扇形或弓形问题，找到所求弧所在的圆及圆心的位置，并求出弧所对的圆心角的度数及半径，进而解决问题．知识点 弧长公式弧长计算公式：半径为r 的圆中，n °的圆心角所对的弧长为l ，则l ＝n 360·2πr ＝________． [注意] ①由圆的周长公式可以看出，圆周长只与半径有关，因此与圆周长有关的计算问题往往转化为半径问题来解决；②在弧长公式中，n 表示1°的圆心角的倍数，在应用公式时，“n ”和“180”不应再写单位；③应区分弧、弧的度数、弧长这三个概念：度数相等的弧，弧长不一定相等，长度相等的弧不一定是等弧．若扇形的圆心角为20°15′，直径为16，求扇形的弧长l (结果保留π)．解：∵直径为16，∴半径r ＝8.根据弧长公式，得l ＝n πr 180 ＝20.15×8×π180＝403π450. 上述解答过程是否正确？若不正确，错误的原因是什么？如何改正？教师详解详析【目标突破】例1 [解析] 先求得AD ︵所对的圆心角的度数，再由弧长公式l ＝n πr 180求得AD ︵的长．解：连接CD.∵AC ＝CD ，∴∠CAD ＝∠CDA.在Rt △ABC 中，∵∠B ＝15°，∴∠CAD ＝75°，∴∠ACD ＝30°.∵AC ＝6，∴lAD ︵的长度＝30×π×6180＝π. 例2 [解析] D 由题意，得2.5π＝n π×6180，解得n ＝75°.故选D .例3 解：由题意，得BE ＝2米，AC ＝3米，CD ＝0.5米，过点B 作BG ⊥AC 于点G ，则AG ＝AD －GD ＝AC ＋CD －BE ＝1.5米．因为AB ＝3米，所以在Rt △ABG 中，∠BAG ＝60°，根据对称性，知∠BAF ＝120°，故秋千所荡过的圆弧长是120π×3180＝2π≈6.3(米)． 【总结反思】[小结] 知识点 n πr 180[反思] 解答过程有错误，错误原因是没有将圆心角的单位统一为“度”．正确解答：∵直径为16，∴半径r ＝8.而n ＝20°15′＝20.25°，根据弧长公式l ＝n πr 180，有l ＝n πr 180＝20.25π×8180＝9π10.∴扇形的弧长为9π10.。
九年级数学第2章圆2.6弧长与扇形面积2.6.1弧长与扇形面积同步检测新版湘教版
2.6.1弧长与扇形面积同步检测一、选择题：1.已知一条弧长为l ，它所对的圆心角为n °，则这条弧所在圆的半径为( ). A.180n l π B.180l n π C.360l n π D.180lnπ 2.一个扇形的弧长为20π，面积为240π，则扇形的圆心角为等于( ). A.120° B.150° C.210° D.240° 3.弦心距为 4 ，弦长为 8 的弦所对的劣弧长是（ ）. A.8л B.4л C.2л D.22π4.如图2,Rt△ABC 中,∠ABC=90°,AB=BC=2,以BC 为直径的圆交AC 于点D, 则图中阴影部分的面积为( ).A.2B.12π+ C.1 D.24π-二、填空题：5.一个扇形的半径为3，扇形的圆心角为120°，则它的弧长为 .6.扇形的弧长为20cm,半径为5cm,则其面积为_____cm 2.7.半径为9cm 的圆中,长为12πcm 的一条弧所对的圆心角的度数为______;60°的圆心角所对的弦的长为________cm.8.弯制管道时,先按中心线计算其“展直长度”,再下料. 根据如图3所示的图形可算得管道的展直长度为_______.(单位:mm,精确到1mm).三、解答题：9.铅球比赛要求运动员在一固定圆圈内投掷，推出的铅球必须落在40°角的扇形区域内(以投掷圈的中心为圆心).如果运动员最多可投7 m ，那么这一比赛的安全区域的面积至少应是多少？(结果精确到0.1 m 2)10.如图4，扇形AOB 中，⊙O 1与»AB 、OA 、OB 相切于C 、D 、E ，若OO 1=2O 1C=4，求»AB 的长度.100︒R120180图3 A BODCE O 1图4OCDBA图2参考答案:1.B.提示:对弧长公式变形,可得πn lR 180=. 2.B.提示:先根据公式lR S 21=扇形求得扇形的半径为24,再根据弧长公式180Rn l π=求得圆心角为150°.3.D.提示:根据垂径定理,可得圆的半径为该劣弧所对的圆心角为90°,由弧长公式可求得该弦所对的弧长为.4.C.提示:由题意BD=CD,因此阴影部分的面积经过割补后就等于△ABD 的面积,易求得结果为1.5.2π.提示:直接利用弧长公式.6.50.提示:直接根据公式lR S 21=扇形计算. 7.240°,9.提示:由题意,240912180180=⨯==πππR l n ,60°的圆心角所对的弦长等与圆的半径.8.389.提示:管道的长度为180+180120100π⨯=3200180π+≈389.9.S 扇形=3607402⨯⨯π≈17.2 m 2.10.连结O 1D,由OA 与⊙O 1切于点D,所以OO 1=2O 1D,因此∠AOC=30°,由切线长定理,得∠AOB=60°,OC=3O 1C=6,所以»AB 的长=ππ2180660=⨯.。
2019-2020【提分必做】九年级数学下册 第二章 2.6 弧长与扇形面积练习 (新版)湘教版
2．6 弧长与扇形面积第1课时 弧长基础题知识点 弧长公式(l ＝n πr180)及其应用1．已知扇形的圆心角为60°，半径为1，则扇形的弧长为(D) A.π2B ．πC.π6D.π32．已知一弧的半径为3，弧长为2π，则此弧所对的圆心角为(C) A ．300°B ．240°C ．120°D ．60°3．圆心角为120°，弧长为12π的扇形半径为(C) A ．6B ．9C ．18D ．364．(2018·黄石)如图，AB 是⊙O 的直径，点D 为⊙O 上一点，且∠ABD ＝30°，BO ＝4，则BD ︵的长为(D) A.23πB.43πC ．2πD.83π5．(教材P78例2变式)如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝30°，AB ＝2.将△ABC 绕直角顶点C 逆时针旋转60°得到△A ′B ′C ，则点B 转过的路径长为(B) A.π3B.3π3C.23πD ．Π6．如图所示，小亮坐在秋千上，秋千的绳长OA 为2米，秋千绕点O 旋转了60°，点A 旋转到点A ′，则AA ′︵的长为2π3米．(结果保留π)7．如图，已知正方形的边长为2 cm ，以对角的两个顶点为圆心，2 cm 长为半径画弧，则所得到的两条弧长度之和为2π__cm.(结果保留π)8．如图，网格图中每个小正方形的边长为1，则AB ︵的长l 2π.9．如图，一根绳子与半径为30 cm 的滑轮的接触部分是CMD ︵，绳子AC 和BD 所在的直线成30°角．请你测算一下接触部分CMD ︵的长．(结果保留π)解：连接OC ，OD ，则OC ⊥AC ，BD ⊥OD. 又∵AC 与BD 的夹角为30°， ∴∠COD ＝150°.∴CMD ︵的长为150π×30180＝25π(cm)．易错点 忽视题中条件10．如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB 和AC 的夹角为120°，AB 长为25 cm ，贴纸部分的宽BD 为15 cm.若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为350πcm 2.中档题11．(2017·烟台)如图，在▱ABCD 中，∠B ＝70°，BC ＝6，以AD 为直径的⊙O 交CD 于点E ，则DE ︵的长为(B)A.π3B.2π3C.7π6D.4π312．如图，用一个半径为5 cm 的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点P 旋转了108°，假设绳索(粗细不计)与滑轮之间没有摩擦，则重物上升了(B)A ．5π cmB ．3π cmC ．2π cmD ．π cm13．如图，在矩形ABCD 中，已知AB ＝4，BC ＝3，矩形在直线l 上绕其右下角的顶点B 向右旋转90°至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转90°至图②位置，…，以此类推，这样连续旋转 2 018次后，顶点A 在整个旋转过程中所经过的路程之和是(D)A ．2 018πB ．3 024πC ．3 025.5πD ．3 028.5π14．如图，圆心角∠AOB ＝120°，弦AB ＝2 3 cm. (1)求⊙O 的半径r ；(2)求劣弧AB ︵的长．(结果保留π)解：(1)过点O 作OC ⊥AB 于点C ，则AC ＝12AB ＝ 3 cm.∵∠AOB ＝120°，OA ＝OB ， ∴∠A ＝30°. ∴在Rt △AOC 中， r ＝OA ＝ACcos30°＝2 cm.(2)劣弧AB ︵的长为120×π×2180＝4π3 cm.15．图1，2，…，m 分别是边长均大于2的三角形，四边形，…，凸n 边形，分别以它们的各顶点为圆心，以1为半径画弧与两邻边相交，得到3条弧，4条弧，…，n 条弧．(1)图1中3条弧的弧长的和为π，图2中4条弧的弧长的和为2π； (2)求图m 中n 条弧的弧长的和．(用n 表示) 解：(n －2)π. 综合题16．某商场为了迎接“六一”儿童节的到来，制造了一个超大的“不倒翁”．小灵对“不倒翁”很感兴趣，原来“不倒翁”的底部是由一个空心的半球做成的，并在底部的中心(即图中的C 处)固定一个重物，再从正中心立起一根杆子，在杆子上做些装饰，在重力和杠杆的作用下，“不倒翁”就会左摇右晃，又不会完全倒下去．小灵画出剖面图，进行细致研究：圆弧的圆心为点O ，过点O 的木杆CD 长为260 cm ，OA ，OB 为圆弧的半径，长为90 cm(作为木杆的支架)，且OA ，OB 关于CD 对称，AB ︵的长为30π cm.当木杆CD 向右摆动使点B 落在地面上(即圆弧与直线l 相切于点B)时，木杆的顶端点D 到直线l 的距离DF 是多少厘米？解：∵AB ︵的长为30π cm ，OA ，OB 为圆弧的半径，长为90 cm ， 根据弧长公式l ＝n πr 180，得30π＝n π×90180，解得n ＝60°.即∠AOB ＝60°，从而∠BOE ＝∠COA ＝30°. ∵OB ＝90 cm ，∴OE ＝60 3 cm. ∴DE ＝(170＋603)cm. ∴DF ＝(90＋85 3 )cm.第2课时 扇形的面积基础题知识点1 扇形的面积1．已知扇形的半径为6 cm ，圆心角为120°，则这个扇形的面积是(B) A ．36π cm 2B ．12π cm 2C ．9π cm 2D ．6π cm 22．如果扇形的圆心角为150°，它的面积为240π cm 2，那么扇形的半径为(B) A ．48 cm B ．24 cm C ．12 cmD ．6 cm3．若一个扇形的面积是12π，它的弧长是4π，则它的半径是(D) A ．3B ．4C ．5D ．64．圆心角是60°且半径为2的扇形面积为23π．(结果保留π)5．已知扇形的圆心角为150°，它所对应的弧长为20π cm ，则此扇形的半径是24cm ，面积是240πcm 2.(结果保留π)6．如图所示，在3×3的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，点O ，A ，B 均为格点，则扇形OAB 的面积大小是5π4．7．(2018·巴中)如图所示，以六边形的每个顶点为圆心，1为半径画圆，则图中阴影部分的面积为2π．知识点2 与扇形有关的阴影部分的面积8．如图，点C 是以AB 为直径的半圆O 的三等分点，AC ＝2，则图中阴影部分的面积是(A) A.4π3－ 3B.4π3－2 3C.2π3－ 3D.2π3－329．(2017·湘潭)如图，在半径为4的⊙O 中，CD 是直径，AB 是弦，且CD ⊥AB ，垂足为E ，∠AOB ＝90°，则阴影部分的面积是(D) A ．4π－4B ．2π－4C ．4πD ．2π10．(2018·重庆A 卷)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝2，以点A 为圆心，AD 长为半径画弧，交AB 于点E ，图中阴影部分的面积是6－π．(结果保留π)11．如图，PA ，PB 分别与⊙O 相切于点A ，B ，∠APB ＝60°，连接AO ，BO. (1)AB ︵所对的圆心角∠AOB ＝120°； (2)若OA ＝3，求阴影部分的面积．解：连接OP ，则∠OPA ＝∠OPB ＝12∠APB ＝30°.在Rt △OAP 中，OA ＝3，∴AP ＝3 3. ∴S △OPA ＝12×3×33＝932.∴S 阴影＝2×932－120π×32360＝93－3π.中档题12．(2018·德州)如图，从一块直径为2 m 的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，则此扇形的面积为(A) A.π2m 2B.32π m 2C ．π m 2D ．2π m 213．如图，CD 是半圆O 的直径，弦AB ∥CD ，且CD ＝6，∠ADB ＝30°，则阴影部分的面积是(B) A ．πB.32πC ．3πD ．6π14．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标(－2，0)，△ABO 是直角三角形，∠AOB ＝60°.现将Rt △ABO 绕原点O 按顺时针方向旋转到Rt △A ′B ′O 的位置，则此时边OB 扫过的面积为14π．15．(2017·郴州)如图，AB 是⊙O 的弦，BC 切⊙O 于点B ，AD ⊥BC ，垂足为D ，OA 是⊙O 的半径，且OA ＝3.(1)求证：AB 平分∠OAD ；(2)若点E 是优弧AEB ︵上一点，且∠AEB ＝60°，求扇形OAB 的面积．(计算结果保留π)解：(1)证明：连接OB ， ∵BC 切⊙O 于点B ， ∴OB ⊥BC.∵AD ⊥BC ， ∴AD ∥OB. ∴∠DAB ＝∠OBA. ∵OA ＝OB ， ∴∠OAB ＝∠OBA. ∴∠DAB ＝∠OAB. ∴AB 平分∠OAD.(2)∵点E 是优弧AEB ︵上一点，且∠AEB ＝60°， ∴∠AOB ＝2∠AEB ＝120°，∴扇形OAB 的面积为120π×32360＝3π.16．如图，线段AB 与⊙O 相切于点C ，连接OA ，OB ，OB 交⊙O 于点D ，已知OA ＝OB ＝6，AB ＝6 3. (1)求⊙O 的半径；(2)求图中阴影部分的面积．解：(1)连接OC ，则OC ⊥AB.∵OA ＝OB ， ∴AC ＝BC ＝12AB ＝12×63＝3 3.在Rt △AOC 中，OC ＝OA 2－AC 2＝3， ∴⊙O 的半径为3.(2)∵OC ＝12OB ，∴∠B ＝30°，∠COD ＝60°.∴S 扇形OCD ＝60π×32360＝32π.∴S 阴影＝S Rt △OBC －S 扇形OCD ＝12OC ·CB －32π＝932－3π2.综合题17．如图，圆心角都是90°的扇形OAB 与扇形OCD 叠放在一起，连接AC ，BD. (1)求证：AC ＝BD ；(2)若图中阴影部分的面积是34π cm 2，OA ＝2 cm ，求OC 的长．解：(1)证明：∵∠AOB ＝∠COD ＝90°， ∴∠AOC ＋∠AOD ＝∠BOD ＋∠AOD. ∴∠AOC ＝∠BOD. ∵AO ＝BO ，CO ＝DO ， ∴△AOC ≌△BOD(SAS)． ∴AC ＝BD. (2)根据题意，得S 阴影＝90π·OA 2360－90π·OC 2360＝90π（OA 2－OC 2）360，∴34π＝90π（22－OC 2）360，解得OC ＝1. ∴OC ＝1cm.。
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九年级数学下册2.6第1课时
弧长试题新版湘教版
2．6 弧长与扇形的面积
第1课时弧长
知识要点弧长
文字叙述图例
式半径为r的圆中，n°的圆心角所对的弧长l为l＝
________.
略(1)在弧长公式中，已知l，n，r中的任意两个量，就可以
求出第三个量.
(2)如果没有明确说明，弧的长度一般用含有π的代数式表
示.
如图，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于
点B，如果∠APB＝60°，⊙O的半径是3，则劣弧AC
︵
的长为_________.
分析：连接OA，OB，则OA⊥PA，OB⊥PB.在四
边形APBO中，求出∠AOB的度数，然后直接利用公
式l＝
nπr
180
即可求出AB
︵
的长．
方法点拨：半径为r的圆中，n°的圆心角所
对的弧长为l＝
nπR
180
，要求出弧长,关键要弄清公式
中各项字母的含义．
(教材P78例2变式)如图，Rt△ABC的边
BC位于直线l上，AC＝3，∠ACB＝90°，∠A＝
30°.若Rt△ABC由现在的位置向右无滑动地翻转，
当点A第3次落
在直线l上时，点A所经过的路线的长为
________(结果用含π的式子表示)．
分析：点A所经过的路线的长为三个半径为2，
圆心角为120°的扇形弧长与两个半径为3，圆心
角为90°的扇形弧长之和，利用弧长公式即可求得
点A所经过的路线长．
方法点拨：此类翻转求路线长的问题，通过归
纳探究出这个点经过的路线情况，并以此推断整个
运动路径，从而利用弧长公式求出运动的路线长．
1．在半径为6的⊙O中，60°的圆心角所对的弧长
是( )
A．π B．2π
C．4π D．6π
2．如图，点A、B、C在半径为9的⊙O上，AB
︵
的长
为2π，则∠ACB的度数是________．
3.如图，以AB为直径的⊙O与弦CD相交于点E，且
AC＝2，AE＝3，CE＝1.则BD
︵
的长是________．
4．如图，一根绳子与半径为30cm的滑轮的接触部
分是CmD
︵
，绳子AC和BD所在的直线成30°的角．请
你测算一下接触部分CmD
︵
的长．
参考答案:
要点归纳
知识要点：
nπr
180
典例导学 例1 2π
例2 (4＋3)π 当堂检测
1．B 2.20° 3.23
9
π
4．解：连接OC 、OD ，由题可知OC ⊥AC ，BD ⊥OD .又AC 、BD 夹角为30°， 所以∠COD ＝150°，所以CmD ︵的长＝150π×30180
＝25π(cm)．。