6函数学案
高中数学北师大版一学案：第三章 6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
学习目标 1.了解三种函数的增长特征。
2.初步认识“直线上升”“指数爆炸”和“对数增长”.3.尝试函数模型的简单应用．知识点一同类函数增长特点思考同样是增函数,当x从2变到3，y＝2x到y＝10x的纵坐标增加了多少？梳理当a〉1时，指数函数y＝a x是增函数,并且当a越大时,其函数值的增长就越快．当a>1时，对数函数y＝log a x是增函数，并且当a越小时，其函数值的增长就越快．当x〉0，n>1时,幂函数y＝x n是增函数，并且当x〉1时，n越大其函数值的增长就越快．知识点二指数函数、幂函数、对数函数的增长差异思考当x从1变到10，函数y＝2x,y＝x2和y＝lg x的纵坐标增长了多少?梳理一般地，在区间(0，＋∞)上，尽管指数函数y＝a x(a>1）、幂函数y＝x n(n〉0)与对数函数y＝log a x（a〉1）都是增函数，但它们的增长速度不同,而且不在同一个档次上．随着x的增大，y＝a x（a>1)的增长速度越来越快，会远远超过幂函数y＝x n（n〉0)的增长速度，而对数函数y＝log a x（a>1）的增长速度越来越慢,因此总会存在一个x0，当x>x0时，就有________________________（a>1,n>0)．类型一根据图像判断函数的增长速度例1函数f（x)＝2x和g（x)＝x3的图像如图所示．设两函数的图像交于点A（x1,y1),B（x2，y2)，且x1〈x2。
(1）请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数；（2)结合函数图像，判断f(6），g（6)，f(2 013)，g(2 013)的大小．反思与感悟判断函数的增长速度，一个是从x增加相同量时,函数值的增长量的变化；另一方面，也可从函数图像的变化,图像越陡，增长越快．跟踪训练1函数f(x)＝lg x，g(x)＝0。
3x－1的图像如图所示．(1）试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数；(2)以两图像交点为分界点，对f(x),g(x)的大小进行比较．类型二函数增长模型的应用例2假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元;方案三:第一天回报0。
高一数学同步训练之6函数的奇偶性学案
函数奇偶性知识梳理1.函数奇偶性的定义2.判断函数奇偶性的方法3.奇函数和偶函数的图象特征例题1.判断下列函数的奇偶性⑴x x y +=3 ⑵32x x y += ⑶x x y 22-= ⑷x xy +=1 ⑸21)(x x x f +=； ⑹x x x f 1)(+=． ⑺⎩⎨⎧>+<-=0),1(0),1()(x x x x x x x f 2.函数R x x f ∈),(，若对于任意实数b a ,都有)()()(b f a f b a f +=+，求证：)(x f 为奇函数。
3.若b x bx ax x f +++=3)(2是偶函数，其定义域为]2,3[a a -,则=a ______，=b _____。
4.定义在R 上的偶函数)(x f ，在上是增函数，则()()()3,4,f f f --π的大小关系为5.已知函数8)(35-++=bx ax x x f ，且10)2(=-f ，则=)2(f __________。
6.若函数)(x f 是奇函数，当0>x 时，2)(x x x f +=，试求函数)(x f 在0<x 时的解析式．7.设函数))((R x x f ∈为奇函数，21)1(=f ，)2()()2(f x f x f +=+，则)5(f 等于 8.已知函数)(x f 是定义域上的偶函数，若函数)(x f 在)2,(--∞单调增，试判断函数)(x f 在),2(+∞上的单调性，并证明之．9.函数)(x f 的定义域为R ，若)1(+x f 与)1(-x f 都是奇函数，则（ ）A )(x f 是奇函数B )(x f 是偶函数C )2()(+=x f x fD )3(+x f 是奇函数10.已知函数)(x f 是定义在[]4,4-上奇函数，且在[]4,4-单调增．若0)3()1(<-++a f a f ，求实数a 的取值范围．11.设cbx ax x f ++=1)(2是奇函数),,(Z c b a ∈，且2)1(=f ，3)2(<f ，求c b a ,,的值。
高中数学函数教案板书
高中数学函数教案板书
课题：函数
教学目标：
1. 理解函数的概念，掌握函数的基本性质和特点。
2. 掌握函数的表示方法及其图像的特征。
3. 能够灵活运用函数的性质解决实际问题。
教学重点：
1. 函数的概念和特点
2. 函数的表示方法和图像
教学难点：
1. 函数的图像特征和性质的理解
2. 函数的实际应用
教学准备：
1. 教案、黑板、彩色粉笔
2. 教学PPT
3. 实例题及练习题目
4. 学生练习册
教学过程：
一、引入（5分钟）
教师通过引入实际生活中的例子，引起学生对函数概念的兴趣。
二、讲解函数的概念和特点（15分钟）
1. 引导学生了解函数的定义，函数的自变量、因变量和定义域、值域的概念。
2. 讲解函数的性质，如奇偶性、周期性等。
三、函数的表示方法和图像（15分钟）
1. 介绍函数的表示方法，包括表达式、图像、函数图像的特征。
2. 分析函数的图像在坐标系中的位置和特点。
四、实例分析和练习（15分钟）
1. 给学生展示一些函数的实例，并引导学生分析函数的图像特征。
2. 给学生练习相关的题目，巩固所学知识。
五、课堂小结（5分钟）
教师对本节课的要点进行回顾，并巩固学生对函数概念的理解。
六、作业布置（5分钟）
布置相关练习题目，要求学生认真完成并及时复习所学知识。
教学反思：
通过本节课的教学，学生对函数的概念有了更深的理解，能够灵活运用函数的性质解决实际问题。
希望学生能够加强练习，巩固所学内容，提升数学学习能力。
初中数学函数备课教案
初中数学函数备课教案知识与技能：1. 学生能理解函数的概念，掌握常量和变量的定义。
2. 学生能够通过实际问题建立函数模型，解决简单的生活问题。
过程与方法：1. 学生通过实例感受函数的模型思想，培养观察、交流、分析的思想意识。
2. 学生能通过列表、图像等方式表现函数关系，培养数形结合的思维方式。
情感、态度与价值观：1. 学生培养对数学的兴趣和积极参与数学活动的热情。
2. 学生在解决问题的过程中体会数学的应用价值，感受成功的喜悦，建立自信心。
二、教学重难点重点：认识函数的概念，了解常量与变量的含义。
难点：对函数中自变量取值范围的确定。
三、教学准备教具：PPT、黑板、粉笔、函数图像展示板。
学具：每人一份函数实例材料、练习题。
四、教学过程1. 导入：以生活中的实例引入，如“气温与海拔的关系”、“票价与购票数量的关系”等，让学生感受到函数在日常生活中的应用。
2. 探索函数概念：让学生通过实例，分析常量与变量的关系，引导学生发现函数的定义。
3. 理解函数概念：通过PPT展示函数的定义，让学生明确自变量与函数的关系。
4. 函数模型的建立：让学生通过实例，建立函数模型，如“y = 2x + 1”。
5. 函数图像的展示：通过函数图像展示板，展示函数图像，让学生直观地理解函数。
6. 练习与巩固：让学生通过练习题，巩固所学知识，提高解题能力。
7. 总结与反思：让学生总结本节课所学内容，反思自己的学习过程。
五、教学评价1. 学生能正确理解函数的概念，掌握常量和变量的定义。
2. 学生能通过实际问题建立函数模型，解决简单的生活问题。
3. 学生能通过列表、图像等方式表现函数关系，培养数形结合的思维方式。
4. 学生培养对数学的兴趣和积极参与数学活动的热情。
学案6：2.1.2指数函数及其性质
2.1.2指数函数及其性质学习目标1．理解指数函数的概念与意义，掌握指数函数的定义域、值域的求法．(重点、难点) 2．能画出具体指数函数的图象，并能根据指数函数的图象说明指数函数的性质．(重点)知识梳理教材整理1指数函数的定义阅读教材，完成下列问题．指数函数的定义一般地，函数(a＞0，且a≠1)叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域是R.练一练1判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝－2x是指数函数．()(2)函数y＝2x＋1是指数函数．()(3)函数y＝(－2)x是指数函数．()教材整理2指数函数的图象和性质阅读教材，完成下列问题．R练一练2判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)指数函数的图象一定在x轴的上方．()(2)当a>1时，对于任意x∈R，总有a x>1.()(3)函数f(x)＝2－x在R上是增函数．()类型一：指数函数的概念例1 (1)下列一定是指数函数的是( ) A ．y ＝a x B ．y ＝x a (a >0且a ≠1) C ．y ＝⎝⎛⎭⎫12xD ．y ＝(a －2)a x(2)函数y ＝(a －2)2a x 是指数函数，则( ) A ．a ＝1或a ＝3 B ．a ＝1 C ．a ＝3 D ．a >0且a ≠1名师指导1．在指数函数定义的表达式中，要牢牢抓住三点： (1)底数是大于0且不等于1的常数； (2)指数函数的自变量必须位于指数的位置上； (3)a x 的系数必须为1；2．求指数函数的解析式常用待定系数法．跟踪训练1 (1)若函数f (x )是指数函数，且f (2)＝9，则f (x )＝________. (2)已知函数f (x )＝(2a －1)x 是指数函数，则实数a 的取值范围是________. 类型二：指数函数的定义域和值域 例2 求下列函数的定义域和值域： (1)y ＝√1−3x ； (2)y ＝(23)√−|x|； (3)y ＝4x ＋2x ＋1＋2. 名师指导1．函数y ＝a f (x )的定义域与y ＝f (x )的定义域相同．2．函数y＝a f(x)的值域的求解方法如下：(1)换元，令t＝f(x)；(2)求t＝f(x)的定义域x∈D；(3)求t＝f(x)的值域t∈M；(4)利用y＝a t的单调性求y＝a t，t∈M的值域．3．求与指数函数有关的函数的值域时，要注意与求其它函数(如一次函数、二次函数)值域的方法相结合，要注意指数函数的值域为(0，＋∞)，切记准确运用指数函数的单调性．跟踪训练2 求下列函数的定义域和值域：(1)y＝21x−3；(2)y＝221()2x x.探究共研型类型三：指数函数的图象探究1指数函数y＝a x(a>0且a≠1)的图象过哪一定点？函数f(x)＝a x－1＋2(a>0且a≠1)的图象又过哪一定点呢？探究2若函数y＝a x＋b(a>0，且a≠1)的图象不经过第一象限，则a，b满足什么条件？例3(1)在同一坐标系中画出函数y＝a x，y＝x＋a的图象，可能正确的是()(2)函数y ＝a－|x |(0＜a ＜1)的图象是( )名师指导指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系． (1)在y 轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小． (2)在y 轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小．(3)无论在y 轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．这一性质可通过x 取1时函数值的大小关系去理解，如下图所示的指数函数的底数的大小关系为0＜d ＜c ＜1＜b ＜a .跟踪训练3 定义一种运算：g ⊙h ＝⎩⎪⎨⎪⎧gg ≥hhg <h ，已知函数f (x )＝2x ⊙1，那么函数y ＝f (x －1)的大致图象是( )课堂检测1．若函数f (x )是指数函数，且f (2)＝2，则f (x )＝( ) A ．(2)x B ．2x C.⎝⎛⎭⎫12xD.⎝⎛⎭⎫22x2．当x ∈[－2,2)时，y ＝3－x －1的值域是( ) A.⎝⎛⎦⎤－89，8 B.⎣⎡⎦⎤－89，8 C.⎝⎛⎭⎫19，9D.⎣⎡⎦⎤19，93．已知1>n >m>0，则指数函数①y ＝m x ，②y ＝n x 的图象为( )4．已知函数f (x )＝a －x (a ＞0, 且a ≠1)，且f (－2)＞f (－3)，则a 的取值范围是________． 5．设f (x )＝3x ，g(x )＝⎝⎛⎭⎫13x.(1)在同一坐标系中作出f (x )，g(x )的图象；(2)计算f (1)与g(－1)，f (π)与g(－π)，f (m )与g(－m )的值，从中你能得到什么结论？参考答案知识梳理教材整理1 指数函数的定义 y ＝a x ； x 练一练1【答案】 (1)× (2)× (3)×【解析】 (1)由指数函数的定义形式可知(1)(2)(3)均错误． 教材整理2 指数函数的图象和性质 (0，＋∞) ；(0,1)；增函数；减函数；y 轴 练一练2【答案】 (1)√ (2)× (3)×【解析】 (1)因为指数函数的值域是(0，＋∞)，所以指数函数的图象一定在x 轴的上方． (2)当x ≤0时，a x ≤1.(3)因为f (x )＝2－x ＝⎝⎛⎭⎫12x ，所以函数f (x )＝2－x在R 上是减函数． 类型一：指数函数的概念 例1 【答案】 (1)C (2)C【解析】 (1)A 中a 的范围没有限制，故不一定是指数函数；B 中y ＝x a (a >0且a ≠1)中变量是底数，故也不是指数函数；C 中y ＝⎝⎛⎭⎫12x 显然是指数函数；D 中只有a －2＝1即a ＝3时为指数函数．(2)由指数函数定义知⎩⎪⎨⎪⎧(a －2)2＝1a >0，且a ≠1，所以解得a ＝3.跟踪训练1 【答案】 (1)3x (2) ⎝⎛⎭⎫12，1∪(1，＋∞) 【解析】 (1)由题意设f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)， 则f (2)＝a 2＝9.又因为a >0，所以a ＝3. 所以f (x )＝3x .(2)由题意可知{ 2a －1>0，2a －1≠1，解得a >12，且a ≠1.所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，1∪(1，＋∞)． 类型二：指数函数的定义域和值域例2 解：(1)要使函数式有意义，则1－3x ≥0，即3x ≤1＝30，因为函数y ＝3x 在R 上是增函数，所以x ≤0，故函数y ＝ √1−3x 的定义域为(－∞，0]． 因为x ≤0，所以0<3x ≤1，所以0≤1－3x <1.所以√1−3x ∈[0,1)，即函数y ＝ √1−3x 的值域为[0,1)． (2)要使函数式有意义，则－|x |≥0，解得x ＝0， 所以函数y ＝ (23)√−|x|的定义域为{x |x ＝0}．因为x ＝0，所以y ＝ (23)√−|x| ＝(23)0＝1，即函数y= (23)√−|x|的值域为{y |y ＝1}．(3)因为对于任意的x ∈R ， 函数y ＝4x ＋2x ＋1＋2都有意义， 所以函数y ＝4x ＋2x ＋1＋2的定义域为R . 因为2x >0，所以4x ＋2x ＋1＋2＝(2x )2＋2×2x ＋2 ＝(2x ＋1)2＋1>1＋1＝2，即函数y ＝4x ＋2x ＋1＋2的值域为(2，＋∞)． 跟踪训练2 解：(1)函数的定义域为{x |x ≠3}． 令t ＝1x−3，则t ≠0，∴y ＝2t >0且2t ≠1， 故函数的值域为{y |y >0，且y ≠1}． (2)函数的定义域为R ，令t ＝2x －x 2， 则t ＝－(x －1)2＋1≤1，∴y ＝(12)t ≥ (12)1＝12，故函数的值域为[12，+∞）.探究共研型类型三：指数函数的图象探究1 【答案】 指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)的图象过定点(0,1)；在f (x )＝a x －1＋2中令x －1＝0，即x ＝1，则f (x )＝3，所以函数f (x )＝a x －1＋2(a >0且a ≠1)的图象过定点(1,3)． 探究2 【答案】 如图，由图可知0<a <1，b ≤－1.例3【答案】 (1)D (2)A【解析】(1)∵a 为直线y ＝x ＋a 在y 轴上的截距，对应函数y ＝x ＋a 单调递增， 又∵当a ＞1时，函数y ＝a x 单调递增，当0＜a ＜1时，函数y ＝a x 单调递减，A 中，从图象上看，y ＝a x 的a 满足a ＞1，而直线y ＝x ＋a 的截距a ＜1，不符合以上两条；B 中，从图象上看，y ＝a x 的a 满足0＜a ＜1，而直线y ＝x ＋a 的截距a ＞1，不符合以上两条；C 中，从图象上看，y ＝a x 的a 满足a ＞1，而函数y ＝x ＋a 单调递减，不符合以上两条， ∴只有选项D 的图象符合以上两条，故选D. (2)y ＝a－|x |＝⎝⎛⎭⎫1a |x |，易知函数为偶函数，∵0＜a ＜1，∴1a＞1，故当x ＞0时，函数为增函数，当x ＜0时，函数为减函数，当x ＝0时，函数有最小值，最小值为1，且指数函数为凹函数，故选A.跟踪训练3 【答案】 B【解析】 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x x ≥01x <0，∴f (x －1)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1x ≥11x <1，∴其图象为B ，故选B.课堂检测 1．【答案】 A【解析】 由题意，设f (x )＝a x (a >0且a ≠1)，则由f (2)＝a 2＝2，得a ＝2，所以f (x )＝(2)x . 2．【答案】 A【解析】 y ＝3－x －1，x ∈[－2,2)是减函数， ∴3－2－1<y ≤32－1，即－89<y ≤8.3．【答案】 C【解析】 由于0<m <n <1，所以y ＝m x 与y ＝n x 都是减函数，故排除A ，B ，作直线x ＝1与两个曲线相交，交点在下面的是函数y ＝m x 的图象，故选C. 4．【答案】 (0,1)【解析】 因为f (x )＝a －x ＝⎝⎛⎭⎫1a x ，且f (－2)＞f (－3)，所以函数f (x )在定义域上单调递增， 所以1a＞1，解得0＜a ＜1.5． 解：(1)函数f (x )，g(x )的图象如图所示：(2)f (1)＝31＝3，g (－1)＝⎝⎛⎭⎫13－1＝3，f (π)＝3π，g(－π)＝⎝⎛⎭⎫13－π＝3π， f (m )＝3m ，g(－m )＝⎝⎛⎭⎫13－m＝3m.。
苏教版高中学案数学必修第一册 第6章 幂函数、指数函数和对数函数 幂函数、指数函数与对数函数的综合
函数，且 = ( − )在(, +∞)上是增函数，所以()在(, +∞)上是增函数.
∣ + ∣> ,
由( + ) < ()得(| + |) < (||)，所以ቐ∣ ∣> ,
所以
∣ + ∣<∣ ∣,
( + ) > ,
第6章 幂函数、指数函数和对数函数
午练23 幂函数、指数函数与对数函数的综合
1
1.当0 < ≤ 时，4 < log ，则实数的取值范围是() B
2
A.(0,
2
2
)B.( , 1)C.(1,
2
2
2)D.( 2, 2)
[解析]易知 < < ，则函数 = 与 = 的图象大致如图所示，只需满足
C.()在定义域内是偶函数D.()的图象关于直线 = 1对称
[解析]由| − | > ，得函数 = | − |的定义域为{| ≠ }.设
− , > ,
() =∣ − ∣= ቊ
则()在(−∞, )上单调递减，在(, +∞)上单调递
或 = .当 = 时，得 = ，解得 = .当 = 时，得 = ，即 = .
所以函数的定义域为[, ]( ≤ )，
所以当 = ， = 时， + 最大为3.
9.已知()是定义在[−2,2]上的奇函数，当 ∈ (0,2]时，() = 2 − 1，函数
1
2
1
4
因为() = log 2 (2 − 4 ) = log 2 [−(2 )2 + 2 ] = log 2 [−(2 − )2 + ]，所以当
学案6：1.2.1常数函数与幂函数的导数
1.2.1常数函数与幂函数的导数学习目标：（1）能根据导数定义,求几个常用函数的导数，并归纳出幂函数的求导公式.（2）会利用导数的几何意义求曲线的切线方程.学习过程：提出问题已知函数：(1)y ＝f (x )＝c ；(2)y ＝f (x )＝x ；(3)y ＝f (x )＝x 2；(4)y ＝f (x )＝1x；(5)y ＝f (x )＝x . 问题1：函数y ＝f (x )＝c 的导数是什么？问题2：函数(2)(3)(4)(5)的导数分别是什么？问题3：若(1)(2)中的函数表示路程关于时间的函数，则其导数的意义是什么？问题4：函数(2)(3)(5)均可表示为y ＝x α(α为正数)的形式，其导数有何规律？例题探究：例1：求曲线y ＝x 3过点Q (1，12)的切线方程．例2：若质点P的运动方程是s＝3t2(s的单位为m，t的单位为s)，求质点P在t＝8 s时的瞬时速度．例3：设f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1的导数f′(x)满足f′(1)＝2a，f′(2)＝－b，其中常数a，b∈R.求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程．课堂检测：1．已知函数f(x)＝x3的切线斜率等于1，则切线有()A．1条B．2条C．3条D．不确定2．若对任意的x，有f′(x)＝4x3，f(1)＝－1，则此函数解析式为()A．f(x)＝x4B．f(x)＝x4－2C．f(x)＝x4＋1D．f(x)＝x4－13．函数y＝x2过点(2,1)的切线方程为________．4．已P(－1,1)，Q(2,4)是曲线f(x)＝x2上的两点，则与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程是________．5．若曲线y＝x在点P(a，a)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数a的值是________．6.已知P(－1,1)，Q(2,4)是曲线y＝x2上的两点，(1)求过点P，Q的曲线y＝x2的切线方程；(2)求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程．参考答案学习过程：提出问题问题1：∵Δy Δx ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝c －c Δx＝0， ∴y ′＝0lim x ∆→Δy Δx＝0. 问题2：由导数的定义得(2)(x )′＝1，(3)(x 2)′＝2x ，(4)⎝⎛⎭⎫1x ′＝－1x 2，(5)(x )′＝12x. 问题3：y ′＝0说明某物体的瞬时速度始终为0，即一直处于静止状态；y ′＝1可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动．问题4：∵(2)(x )′＝1·x 1－1，(3)(x 2)′＝2·x 2－1， (5)(x )′＝(x 12)′＝12x 112－＝12x， ∴(x α)′＝αx α－1.例题探究：例1：解：∵点(1，12)不在曲线y ＝x 3上， ∴设切点为P (x 0，y 0)，则y 0＝x 30，k PQ ＝y 0－12x 0－1＝x 30－12x 0－1. 又y ′＝3x 2，则k PQ ＝f ′(x 0)＝3x 20， 则有3x 20＝x 30－12x 0－1，化简得2x 30－3x 20＋12＝0， 解得x 0＝12或x 0＝1＋32或x 0＝1－32. ①x 0＝12时，k PQ ＝34，切线为y －12＝34(x －1)， 即3x －4y －1＝0.②x 0＝1＋32时，k PQ ＝6＋332， 切线为y －12＝6＋332(x －1)， 即(6＋33)x －2y －5－33＝0.③x 0＝1－32时，k PQ ＝6－332，切线为y －12＝6－332(x －1)， 即(6－33)x －2y －5＋33＝0.综上，所求切线的方程为3x －4y －1＝0或(6＋33)x －2y －5－33＝0或(6－33)x －2y －5＋33＝0. 例2：解：∵s ′＝(3t 2)′＝(23t )′＝2313t -， ∴v ＝23×138-＝23×2－1＝13， ∴质点P 在t ＝8 s 时的瞬时速度为13m/s. 例3：解：因为f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1，所以f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .令x ＝1，得f ′(1)＝3＋2a ＋b ，又f ′(1)＝2a ，所以3＋2a ＋b ＝2a ，解得b ＝－3.令x ＝2，得f ′(2)＝12＋4a ＋b ，又f ′(2)＝－b ，所以12＋4a ＋b ＝－b ，解得a ＝－32. 则f (x )＝x 3－32x 2－3x ＋1，从而f (1)＝－52. 又f ′(1)＝2×⎝⎛⎭⎫－32＝－3，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －⎝⎛⎭⎫－52 ＝－3(x －1)，即6x ＋2y －1＝0.课堂检测：1．【答案】B【解析】设切点为(x 0，x 30)，∵f ′(x )＝3x 2， ∴k ＝f ′(x 0)＝3x 20，即3x 20＝1， ∴x 0＝±33， 即在点⎝⎛⎭⎫33，39和点⎝⎛⎭⎫－33，－39处有斜率为1的切线，故选B. 2．【答案】B【解析】由f ′(x )＝4x 3知，f (x )中含有x 4项，然后将x ＝1代入四个选项中验证，B 正确，故选B.3．【答案】(4＋23)x －y －7－43＝0或(4－23)x －y －7＋43＝0【解析】y ′＝2x ，设切点P (x 0，y 0)，则y 0＝x 20. 切线斜率为2x 0＝x 20－1x 0－2， ∴x 20－4x 0＋1＝0，∴x 0＝2±3， ∴斜率k ＝2x 0＝4±23，∴切线方程为y －1＝(4±23)(x －2)．4．【答案】4x －4y －1＝0【解析】y ＝x 2的导数为y ′＝2x ，设切点M (x 0，y 0)， 则0x x y ='＝2x 0. ∵PQ 的斜率k ＝4－12＋1＝1，又切线平行于PQ ， ∴k ＝0x x y ='＝2x 0＝1.∴x 0＝12. ∴切点M ⎝⎛⎭⎫12，14.∴切线方程为y －14＝x －12，即4x －4y －1＝0. 5．【答案】4【解析】y ′＝12x ，切线方程为y －a ＝12a(x －a )， 令x ＝0得，y ＝a 2， 令y ＝0得，x ＝－a ，由题意知12·a 2·a ＝2，∴a ＝4. 6.解：(1)因为y ′＝2x .P (－1,1)，Q (2,4)都是曲线y ＝x 2上的点． 过P 点的切线的斜率k 1＝－2，过Q 点的切线的斜率k 2＝4，过P 点的切线方程为y －1＝－2(x ＋1)， 即2x ＋y ＋1＝0.过Q 点的切线方程为y －4＝4(x －2)， 即4x －y －4＝0.(2)因为y ′＝2x ，直线PQ 的斜率k ＝4－12＋1＝1， 切线的斜率k ＝2x 0＝1， 所以x 0＝12，所以切点M ⎝⎛⎭⎫12，14， 与PQ 平行的切线方程为y －14＝x －12， 即4x －4y －1＝0.。
初中《函数》教案设计
初中《函数》教案设计教学目标：1. 理解函数的概念，能够识别函数的各个组成部分。
2. 掌握函数的表示方法，包括解析式和表格法。
3. 能够运用函数解决实际问题，提高解决问题的能力。
教学重点：1. 函数的概念及组成部分。
2. 函数的表示方法。
教学难点：1. 函数概念的理解。
2. 函数表示方法的运用。
教学准备：1. 教学课件或黑板。
2. 函数相关例题和练习题。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾之前学过的数学知识，如变量、自变量、因变量等。
2. 提问：同学们，你们认为什么是函数呢？函数有哪些组成部分？二、新课讲解（15分钟）1. 讲解函数的概念，引导学生理解函数的定义。
2. 解释函数的各个组成部分，如定义域、值域、对应关系等。
3. 举例说明函数的表示方法，包括解析式和表格法。
4. 引导学生通过实例理解函数的实际应用。
三、课堂练习（10分钟）1. 布置一些简单的函数题目，让学生独立完成。
2. 选取部分学生的作业进行讲解和点评。
四、巩固知识（10分钟）1. 通过课件或黑板，展示一些常见的函数图像，如正比例函数、一次函数、二次函数等。
2. 引导学生观察图像，分析函数的特点和性质。
五、拓展提高（10分钟）1. 引导学生思考：函数在实际生活中有哪些应用？2. 举例说明函数在生活中的应用，如温度与海拔的关系、商品价格与数量的关系等。
六、总结（5分钟）1. 回顾本节课所学的内容，让学生总结函数的概念和表示方法。
2. 强调函数在实际生活中的重要性。
教学反思：本节课通过讲解、练习、巩固和拓展等环节，帮助学生理解和掌握函数的基本概念和表示方法。
在教学过程中，要注意关注学生的学习情况，及时解答学生的疑问，提高学生的学习兴趣和积极性。
同时，结合实际生活中的例子，让学生感受函数的应用价值，提高学生的数学素养。
高二升高三衔接课程6基本初等函数1学案
基本初等函数知识梳理1．指数运算 （1）．n 次方根的定义注意：当n 为奇数时，=n n a ；当n 为偶数时，=nn a （2）．正分数指数幂=nma =-nm a（3）．运算性质：=⋅n m a a =÷n m a a =n m a )( =m ab )( ),;0,(Q n m b a ∈>2．对数运算（1）对数定义： 注意：①常用对数 ，自然对数 ②=1log a ，=a a log ，=b a a log 1)a 0,a (≠>（2）运算法则：()=MN a log =NMalog =n a M log 0)N M,1,a 0,a (>≠>（3）换底公式；=N a log 0)N 1,a 0,a (>≠>拓展 ①=n a b n log ；②=m a b n log ③=⋅a b b a log log3.指对函数的图像和性质例题和练习1．化简（1）()n12n 21n 422÷⋅--+ （2）()0212311297271027.0--⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛----2．已知32121=+-aa ，求下列各式的值（1）1-+a a ；（2）22-+a a ；（3）21212323----aa a a .3．求值（1）25.0log 10log 255+ （2）3log 9log 284．设151121)31(log )31(log --+=x ，则x 属于区间（ ）A ．（－2，－1）B ．（1，2）C ．（－3，－2）D ．（2，3）5．解方程： （1）32x +5=5·3x +2+2（2）log 4(3－x )+log 0.25(3+x )=log 4(1－x )+log 0.25(2x +1) （3）2)352(log 2)1(=---x x x6 ．已知函数[]3,2-1,2141∈+⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y xx ，求y 的最大值或最小值。
函数的极限学案--优质课竞赛一等奖
函数的极限学案--优质课竞赛一等奖
简介
这是一份优质课竞赛一等奖的文档，主题为函数的极限学案。
本文档将介绍函数极限的概念、性质和计算方法，旨在培养学生对函数极限的理解和运用能力。
第一部分：概念解释
函数极限是函数在某一点或无穷远处的趋势或行为。
它是研究函数性质和行为的重要工具。
学生们需要理解函数极限的定义以及与函数连续性、导数等概念的关系。
第二部分：极限的性质
函数极限具有一些重要的性质，如极限的唯一性、四则运算法则、复合函数的极限等。
通过讲解这些性质，学生们能够更好地理解和运用函数的极限。
第三部分：计算方法
计算函数极限是研究函数极限的关键。
我们将介绍一些常用的计算方法，包括代入法、夹逼准则、洛必达法则等。
通过练和应用
这些计算方法，学生们可以提升他们的计算能力，并解决更复杂的极限问题。
第四部分：应用举例
为了帮助学生更好地理解和应用函数的极限，我们将提供一些实际应用的举例，如在物理、经济学等领域中的应用。
通过这些实际例子，学生们可以将极限理论与实际问题相结合，培养他们的问题解决能力。
结语
函数极限是高等数学研究中的重要概念，掌握函数极限的理论和运用对学生们的数学素养和发展至关重要。
希望本文档能够为教师们提供一些教学思路和资源，同时也能够激发学生们对函数极限的兴趣和研究动力。
以上是函数的极限学案--优质课竞赛一等奖的文档内容，谢谢阅读！。
苏教版高中学案数学必修一 第6章幂函数、指数函数和对数函数 对数函数-第1课时 对数函数的概念与图象
跟踪训练1 下列函数是对数函数的是( )
D
A.B.C.D.
[解析]形如的函数为对数函数，只有D符合.故选D.
【题型二】对数函数的图象
例2（1）已知，且，则函数与的图象只能是()
B
A. B. C. D.
例5 比较下列各组数中两个值的大小：
（1）与;
解对数函数在上是增函数，所以.
（2）与;
解对数函数在上是减函数，所以.
（3）与;
解（方法一）因为，，所以.
（方法二）可以借助图象来比较，，，在同一坐标系中画出两个函数图象如图所示，令，可得，即.
（4）与.
解因为函数与函数在上都是增函数，所以，.所以.
知识点1. 对数函数的概念
一般地，函数叫作对数函数，它的定义域是.名师点睛1.判断一个函数是对数函数的依据：（1）形如;（2）底数满足，且;（3）真数为，而不是的函数.2.根据指数式与对数式的关系知，可化为，由指数函数的性质，可知在对数函数中，有且，，.
知识点2.指数函数的图象和性质
图象
_值域：
（3）图象过定点，图象在轴的右侧
02
题型分析·能力素养提升
【题型一】对数函数的概念
例1判断下列函数是不是对数函数？并说明理由.;;;，且;.
解因为①中真数不是自变量，所以不是对数函数；因为②中对数式后减1，所以不是对数函数；因为③中前的系数是2，而不是1，所以不是对数函数；因为④中底数是自变量，而非常数，所以不是对数函数.⑤为对数函数.
当时，如图所示，此时，故C正确.故选.
【题型三】与对数函数有关的定义域、值域
例3（1）函数的定义域为()
B
A.B.C.D.
函数及其表示、解析式(学生学案)
函数及其表示、解析式（学生学案）学问构造：1.函数的根本概念(1)函数的定义：设a、b是非空数集，假如遵照某种确定的对应关系f，使对于集合a中的随意一个数x，在集合b中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么称f：a→b为从集合a到集合b的一个函数，记作：y＝f(x)，x∈a.2.映射的概念一般地，设a、b是两个非空的集合，假如按某一个确定的对应关系f，使对于集合a中的随意一个元素x，在集合b中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：a→b为从集合a到集合b的一个映射.3.分段函数与复合函数①假如一个函数在定义域的不同子集中因对应关系不同而用几个不同的式子来表示，这样的函数叫做分段函数.分段函数的求法是分别求出解析式再组合在一起，但要留意各区间之间的点不重复、无遗漏。
②假如y=f(u)，u=g(x)，那么函数y=f［g(x)］叫做复合函数，其中f(u)叫做外层函数，g(x)叫做内层函数。
根底训练：1.以下各对函数中，表示同一函数的是().a.f(x)＝lg x2，g(x)＝2lg xb.f(x)＝lg，g(x)＝lg(x＋1)－lg(x－1)c.f(u)＝，g(v)＝d.f(x)＝()2，g(x)＝2.设函数，那么＝________.3.设集合，，从到有四种对应如下图：其中能表示为到的函数关系的有_____ ____.4.确定函数是一次函数，且，,那么__ __.5.设函数，，那么_________；__________.6.设函数，,那么___________；____；____.7.〔1〕，，；〔2〕，，；〔3〕，，.上述三个对应__________________是到的映射.例题选讲：例1：判定以下对应是否是从集合a到集合b的映射：(1)a=r,b={x|x0}，f:x→|x|；(2)a=n,b=n，f:x→|x-2|；(3)a={x|x0},b=r，f:x→x2.例2：设有函数组：① ，；② ，；③ ，；④ ，.其中表示同一个函数的有_________例3：(1)确定f＝lg x，求f(x)；〔2〕确定函数，求；(3)确定f(x)是二次函数，假设f(0)＝0，且f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，试求f(x)的表达式.(4)确定f(x)＋2f()＝2x＋1，求f(x).例4例4.甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是2km，甲10时启程前往乙家.如图，表示甲从启程到乙家为止经过的路程y〔km〕与时间x〔分〕的关系.试写出的函数解析式.例5.矩形的长，宽，动点、分别在、上，且，〔1〕将的面积表示为的函数，求函数的解析式；〔2〕求的最大值.稳固作业：a组：一、选择题：1.以下函数中，与函数一样的函数是〔〕2.确定集合，映射，在作用下点的象是，那么集合〔〕二、填空题：3.给定映射，点的原象是_______ .4.设有函数组：① ，；② ，；③ ，；④ ，；⑤ ，.其中表示同一个函数的有___ ___.5.确定，且，那么m等于________.6.确定a，b为常数，假设，，那么_______.第8题7.设f(x)＝，那么f[f( )]＝_____________.8.如下图的图象所表示的函数解析式为__________________________.三、解答题：9. 确定函数与分别由下表给出：(1)求的值；(2)假设2时，求的值；10.以下从m到n的各对应法那么中，哪些是映射？哪些是函数？哪些不是映射？为什么？(1)m={直线ax+by+c=0}，n=r，f1:求直线ax+by+c=0的斜率;(2)m={直线ax+by+c=0}，n={α|0≤α＜π}，f2:求直线ax+by+c=0的倾斜角;(3)当m=n=r，f3:求m中每个元素的正切；(4)m=n={x|x≥0}，f4:求m中每个元素的算术平方根.11.〔1〕确定，求；〔2〕确定，求；〔3〕确定是一次函数，且满意，求；〔4〕确定满意，求.〔5〕确定，求的解析式12.确定二次函数的最小值等于4，且，求的解析式.b组：一、选择题：1.(·陕西)某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表.那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y＝[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为().a.y＝b.y＝c.y＝d.y＝2.(·辽宁)设函数f(x)＝那么满意f(x)≤2的x的取值范围是().a.[－1,2]b.[0,2]c.[1，＋∞)d.[0，＋∞)二、填空题：3. (·江苏)确定实数a≠0，函数f(x)＝假设f(1－a)＝f(1＋a)，那么a的值为________.4. 函数，其中p，m为实数集r的两个非空子集，又规定，，给出以下四个命题：①假设，那么②假设，那么③假设，那么④假设，那么其中真命题的序号有____ __.5. 设集合对随意实数x恒成立}，那么以下结论中：①p q ；②q p；③p=q；④p q= .其中正确结论的序号有______ ______.三、解答题：6.确定函数与的图像关于点对称，求的解析式.7.确定函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x)＝x2＋2x.求函数g(x)的解析式.8.〔1〕设，求函数的解析式；〔2〕确定，求函数的解析式.。
高中数学函数教案doc
高中数学函数教案doc
课题：函数
教学目标：
1. 掌握函数的定义和性质；
2. 熟练运用函数解决实际问题；
3. 能够绘制函数的图像；
4. 提高学生的数学推理能力。
教学重点：
1. 函数的概念和性质；
2. 函数的图像绘制；
3. 函数的应用问题解决。
教学难点：
1. 函数的复合运算；
2. 函数的反函数；
3. 函数的应用问题解决。
教学准备：
1. 教学课件；
2. 教学教材《高中数学》；
3. 白板、彩色粉笔；
4. 练习题。
教学过程：
一、导入
教师通过举例说明函数在生活中的应用，引出函数的概念。
二、讲解
1. 函数的定义和性质；
2. 函数的基本运算；
3. 函数的复合运算；
4. 函数的反函数；
5. 函数的图像绘制。
三、练习
教师通过例题和练习题让学生巩固所学知识，提高解题能力。
四、应用
教师给学生提供实际问题，并引导学生运用所学知识解决问题。
五、总结
教师对本节课所学内容进行总结，并提出问题，让学生思考和讨论。
六、作业
布置相关练习题作业，巩固所学知识。
教学反思：
本节课主要介绍了函数的定义、性质和运算，通过理论讲解和练习题的讲解，学生能够掌握函数的基本概念和运用方法。
在今后的教学中，需要注意引导学生多做练习，提高解题能力和数学推理能力。
函数的表示法学案
函数的表示法学案(总7页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除函数的表示法学习目标:明确函数的三种表示方法（解析法、列表法、图象法）；了解映射的概念及表示方法；通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用；结合简单的对应图示，了解一一映射的概念； 学习重点：函数的三种表示方法，分段函数的概念, 分段函数的图像与值域学习难点：根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，分段函数的表示及其图象 学习过程:一 复习：（1）函数的三要素是 、 、 . （2）已知函数21()1f x x =-，则(0)f = ，1()f x = ，()f x 的定义域为 . （3）初中所学习的函数三种表示方法？试举出日常生活中的例子说明.解析法，就是用 表示两个变量之间的对应关系.图象法，就是用 表示两个变量之间的对应关系.列表法，就是用 表示两个变量之间的对应关系.比较三种表示法，它们各自的特点是什么所有的函数都能用解析法表示吗二 探究新知1.解析法：用数学表达式表示__________之间的函数关系，这种表示方法叫做解析法，这个数学表达式叫做-__________________；图象法：以___________的取值为横坐标，对应的_______y 为纵坐标，在平面直角坐标系中描出各个点，这些点构成了____________，这种用图象表示两个变量之间函数关系的方法叫做图象法；列表法：列一个两行多列的表格，第一行是____________，第二行是对应的_________，这种用表格来表示___________之间的函数关系的方法叫做列表法解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系. 优点：简明；给自变量求函数值. 图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系. 优点：直观形象，反应变化趋势. 列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系. 优点：不需计算就可看出函数值.2.分段函数：依据分类讨论思想,在函数的定义域内，对于自变量x 的不同取值范围，有着_____________，即在定义域内的不同区间上对应着不同的解析式的函数，这样的函数通常叫做分段函数说明：分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．①分段函数是一个函数，而不是几个函数；处理分段函数问题时，首先要确定自变量的数值属于哪个区间段，从而选取相应的对应法则；画分段函数图象时，应根据不同定义域上的不同解析式分别作出；②分段函数的定义域是所有区间的并集，值域是各段函数值域的并集；③分段函数的求解策略：分段函数分段解，分段函数是一个函数，只不过x的______________不同时，对应法则不相同处理分段函数的求值和作图象时的两个注意点：(1)分段函数求值要先找准自变量所在区间及所对应的解析式，然后求值.(2)分段函数的图象是由几段曲线构成，作图时要注意衔接点的虚实.3.映射概念函数是“两个数集间的一种确定的对应关系”。
高中数学试讲教案函数
高中数学试讲教案函数
一、教学目标：
1. 知识目标：学生能够理解函数的定义，掌握函数的符号表示和性质。
2. 能力目标：学生能够运用函数的相关知识解决实际问题。
3. 情感目标：培养学生对数学的兴趣和探索精神。
二、教学重点：
1. 函数的定义和符号表示。
2. 函数的性质和特点。
三、教学难点：
1. 运用函数的相关知识解决实际问题。
2. 培养学生对函数的理解和探索能力。
四、教学过程：
1. 导入：通过实际问题引入函数的概念，引发学生对函数的思考和讨论。
2. 讲授：简要讲解函数的定义和符号表示，介绍函数的性质和特点，引导学生理解函数的基本概念。
3. 练习：让学生通过练习题目巩固函数的相关知识，培养运用函数解决问题的能力。
4. 拓展：引导学生探索函数的更多应用领域，激发学生对函数的兴趣和热爱。
五、归纳总结：总结本节课学习的重点和难点，强化学生对函数的理解和掌握。
六、作业布置：布置相关作业，巩固学生对函数的学习成果。
七、评价反馈：通过课堂练习和作业检查，评价学生对函数的理解和掌握情况，及时给予反馈和指导。
八、课后反思：对本节课的教学过程进行反思，总结教学中的不足之处，为下一次的教学改进提供参考。
函数的值域学案--优质课竞赛一等奖
函数的值域学案--优质课竞赛一等奖本文档旨在呈现一份优质课竞赛一等奖得奖作品，题目为"函数的值域学案"。
以下是该教案的详细内容。
一、教案简介本教案主要针对中学数学课程中的函数概念，重点探讨了函数的值域。
通过本课的研究，学生将能够深入理解函数的值域概念，并能够灵活运用该概念解决实际问题。
二、教学目标1. 理解函数的值域的定义和意义。
2. 掌握确定函数的值域的基本方法。
3. 能够灵活应用函数的值域解决实际问题。
三、教学内容1. 函数的定义和基本性质复。
2. 函数的值域定义和解析法。
3. 基于函数的值域解决实际问题的案例分析。
4. 课堂练和作业布置。
四、教学重点1. 函数的值域的定义和解析法的掌握。
2. 解决实际问题时灵活应用函数的值域。
五、教学难点如何通过函数的值域解决复杂实际问题。
六、教学方法1. 探究式教学法：通过引导学生探究函数的值域概念和解析法，培养学生的自主研究能力。
2. 案例分析法：通过实际案例的分析，使学生理解和应用函数的值域。
3. 合作研究法：倡导学生之间的合作研究，共同解决问题，提高研究效果。
七、教学过程1. 复函数的定义和基本性质。
2. 引入函数的值域的概念，让学生探究其定义和意义。
3. 介绍函数的值域的解析法，并通过例题进行讲解。
4. 分组进行合作研究，解决一些实际问题，要求应用函数的值域解答问题。
5. 案例分析：选择一个复杂实际问题，引导学生使用函数的值域解决问题。
6. 课堂练，检验学生对函数的值域的掌握情况。
7. 作业布置：布置相关的题作业，巩固和拓展所学内容。
八、教学评价通过课堂表现和作业成绩评价学生对函数的值域的掌握情况，以及解决实际问题的能力。
九、教学资源1. 教材：中学数学教材。
2. 多媒体设备：投影仪，电脑等。
以上是"函数的值域学案--优质课竞赛一等奖"教案的详细内容，该教案通过引导学生理解函数的值域的定义和解析法，并通过案例分析和实际问题解决培养学生的数学思维和应用能力。
《一次函数6》教学案
《一次函数6》教学案学习目标：1、 进一步掌握用待定系数法求一次函数的解析式。
2、 会结合一次函数的图象解决简单的实际问题。
重点：会用待定系数法求一个一次函数的解析式。
用一次函数的图象解决简单的问题。
难点：结合一次函数的图象解决简单的实际问题一.研习探究：例1：某自来水公司为了鼓励市民节约用水，采取分段收费标准。
居民每月应交水费y （元）是用水量x （吨）的函数，其图象如图所示：（1） 分别写出50≤<x 和5>x 时，y 与x 的函数解析式；（2） 若某用户居民该月用水3.5吨，问应交水费多少元？若该月交水费9元，则用水多少吨？例2、某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x （元）与产品的日销售量y （件）之间的关系如下表： 若日销售量y 是销售价x 的一次函数．（1）求出日销售量y （件）与销售价x （元）的函数关系式；（2）求销售价定为30元时，每日的销售利润．二、巩固练习：1、图中折线ABC 表示从甲地向乙地打长途电话时所需付的电话费y （元）与通话时间t （分钟）之间）的关系图像．（1）从图像知，通话2分钟需付的电话费是 元． （2）当t ≥3时求出该图像的解析式（写出求解过程）． （3）通话7分钟需付的电话费是多少元？2、运输公司规定每名旅客行李托运费与所托运行李质量之间的关系式如图所示，请根据图像回答下列问题：a) 由图像可知，行李质量只要不超过______kg ，就可以免费携带。
如果超过了规定的质量，则每超过10kg ，要付费_______元。
b) 若旅客携带的行李质量为x （kg ），所付的行李费是y （元），请写出y （元）随x （kg ）变化的关系式。
c) 若王先生携带行李50kg ，他共要付行李费多少元？三、拓展提高：一农民带了若干千克自产的土豆进城出售，为了方便，他带了一些零钱备用，按市场价售出一些后，又降价出售．售出土豆千克数与他手中持有的钱数（含备用零钱）的关系如图所示，结合图象回答下列问题：（1）农民自带的零钱是多少？（2）降价前他每千克土豆出售的价格是多少？（3）降价后他按每千克0.4元将剩余土豆售完，这时他手中的钱（含备用零钱）是26元，问他一共带了多少千克土豆？四、教学反思：。
苏教版高中同步学案数学必修第一册精品课件 第6章 幂函数、指数函数和对数函数 6.3 对数函数
当x>1时,y>0
当x>1时,y<0
名师点睛
1.对数函数的图象永远在y轴的右侧,y轴可以看成对数函数的渐近线,x越接
近于0,图象越接近y轴.
2.对数函数的符号常受到底数和真数的范围的制约,注意对底数a的分类讨
论.当a的范围与x的范围相同时logax>0,反之logax<0.
3.当底数a>1时,图象在第一象限内越接近x轴,a越大;当底数0<a<1时,图象
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)由y=logax(a>0,且a≠1),得x=ay,所以x>0.( √ )
(2)y=log2x2是对数函数.( × )
(3)若函数y=logax为对数函数,则a>0且a≠1.( √ )
(4)函数y=loga(x-1)的定义域为(0,+∞).( × )
∴0<2x-1≤1,则1<2x≤2,解得0<x≤1.
2
4.如图所示为对数函数 y=logax 的图象,已知 a
C1,C2,C3,C4 的 a 的值依次是(
1 4 5
A.8 , 5 , 3 , √5
5
4 1
C. , √5, ,
3
5 8
5 4 1
值取√5, , , ,则相应于
3 5 8
)
5 4 1
B.√5, 3 , 5 , 8
A,值域为B,则集合A与B的关系及A,B与R的关系为(
)
A.A⊆B B.B⊆A
C.A=R D.B=R
答案 BC
解析 令u=x2-2x+3,则u=(x-1)2+2≥2.故函数的定义域为R,即A=R.
高中数学学案6：1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象
1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材的内容，回答下列问题． (1)观察教材，你认为正弦曲线是如何画出来的？(2)在作正弦函数的图象时，应抓住哪些关键点？(3)作余弦函数的图象时，应抓住哪些关键点？2．归纳总结，核心必记 (1)正弦曲线正弦函数y ＝sin x ，x ∈R 的图象叫正弦曲线．(2)正弦函数图象的画法 ①几何法：(ⅰ)利用正弦线画出 y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图象； (ⅱ)将图象向左、向右平行移动(每次2π个单位长度)． ②五点法：(ⅰ)画出正弦曲线在[0，2π]上的图象的五个关键点(0，0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫3π2，－1，(2π，0)，用光滑的曲线连接；(ⅱ)将所得图象向左、向右平行移动(每次2π个单位长度)． (3)余弦曲线余弦函数y ＝cos x ，x ∈R 的图象叫余弦曲线．(4)余弦函数图象的画法①要得到y ＝cos x 的图象，只需把y ＝sin x 的图象向左平移π2个单位长度即可，这是由于cosx ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2． ②用“五点法”：画余弦曲线y ＝cos x 在[0，2π]上的图象时，所取的五个关键点分别为(0，1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫3π2，0，(2π，1)，再用光滑的曲线连接．[问题思考](1)正弦曲线和余弦曲线是向左右两边无限延伸的吗？(2)余弦曲线与正弦曲线完全一样吗？课堂互动区知识点1 用“五点法”作检图 讲一讲1．用“五点法”作出下列函数的简图： (1)y ＝sin x －1，x ∈[0，2π]； (2)y ＝2＋cos x ，x ∈[0，2π]．类题·通法用“五点法”画函数y ＝A sin x ＋b (A ≠0)或y ＝A cos x ＋b (A ≠0)在[0，2π]上的简图的步骤： (1)列表：(2)描点：在平面直角坐标系中描出下列五个点：(0，y 1)，⎝⎛⎭⎫π2，y 2，(π，y 3)，⎝⎛⎭⎫3π2，y 4，(2π，y 5)．(3)连线：用光滑的曲线将描出的五个点连接起来． 练一练1．用“五点法”作出函数y ＝2－sin x ，x ∈[0，2π]的图象．知识点2 利用正、余弦函数的图象解不等式 讲一讲2．利用正弦曲线，求满足12＜sin x ≤32的x 的集合．类题·通法用三角函数图象解三角不等式的步骤(1)作出相应的正弦函数或余弦函数在[0，2π]上的图象； (2)写出适合不等式在区间[0，2π]上的解集； (3)根据公式一写出定义域内的解集． 练一练2．使不等式2－2sin x ≥0成立的x 的取值集合是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π＋π4≤x ≤2k π＋3π4，k ∈ZB.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π＋π4≤x ≤2k π＋7π4，k ∈ZC.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π－5π4≤x ≤2k π＋π4，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π＋5π4≤x ≤2k π＋7π4，k ∈Z知识点3 正、余弦曲线与其他曲线的交点问题 讲一讲3．判断方程sin x ＝lg x 的解的个数．类题·通法(1)确定方程解的个数问题，常借助函数图象用数形结合的方法求解．(2)三角函数的图象是研究函数的重要工具，通过图象可较简便的解决问题，这正是数形结合思想方法的应用． 练一练3．已知函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0，2π]，若直线y ＝k 与其仅有两个不同的交点，求k 的取值范围．——————————————[课堂归纳·感悟提升]——————————————— 1．本节课的重点是“五点法”作正弦函数和余弦函数的图象，难点是图象的应用． 2．本节课要重点掌握正、余弦函数图象的三个问题 (1)正、余弦函数图象的画法，见讲1； (2)利用正、余弦函数的图象解不等式，见讲2； (3)正、余弦曲线与其他曲线的交点问题，见讲3. 3．本节课要牢记正、余弦函数图象中五点的确定y ＝sin x ，x ∈[0，2π]与y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图象上的关键五点分为两类：①图象与x 轴的交点；②图象上的最高点和最低点．其中，y ＝sin x ，x ∈[0，2π]与x 轴有三个交点：(0，0)，(π，0)，(2π，0)，图象上有一个最高点⎝⎛⎭⎫π2，1，一个最低点⎝⎛⎭⎫3π2，－1；y ＝cos x ，x ∈[0，2π]与x 轴有两个交点：⎝⎛⎭⎫π2，0，⎝⎛⎭⎫3π2，0，图象上有两个最高点：(0，1)，(2π，1)，一个最低点(π，－1)．参考答案[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材的内容，回答下列问题．(1)提示：利用单位圆中的正弦线可以作出y ＝sin_x ，x ∈[0，2π]的图象，将y ＝sin_x 在[0，2π]内的图象左右平移即可得到正弦曲线．(2)提示：作正弦函数y ＝sin_x ，x ∈[0，2π]的图象时，起关键作用的点有以下五个：(0，0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫3π2，－1，(2π，0)． (3)提示：作余弦函数y ＝cos_x ，x ∈[0，2π]的图象时，起关键作用的点有以下五个：(0，1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫3π2，0，(2π，1)． [问题思考](1)提示：是．(2)提示：余弦曲线与正弦曲线形状相同，但在同一坐标系下的位置不同． 课堂互动区知识点1 用“五点法”作检图 讲一讲1．解：(1)列表：描点、连线，如图．(2)列表：描点、连线，如图．练一练1．解：列表如下：知识点2 利用正、余弦函数的图象解不等式 讲一讲2．解：首先作出y ＝sin x 在[0，2π]上的图象．如图所示，作直线y ＝12，根据特殊角的正弦值，可知该直线与y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的交点横坐标为π6和5π6；作直线y ＝32，该直线与y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的交点横坐标为π3和2π3. 观察图象可知，在[0，2π]上，当π6＜x ≤π3，或2π3≤x ＜5π6时，不等式12＜sin x ≤32成立．所以12＜sin x ≤32的解集为⎩⎨⎧x |π6＋2k π＜x ≤π3＋ 2k π，或⎭⎬⎫2π3＋2k π≤x ＜5π6＋2k π，k ∈Z .练一练 2．【答案】C【解析】不等式可化为sin x ≤22. 法一：作图，正弦曲线及直线y ＝22如图(1)所示． 由图(1)知，不等式的解集为⎩⎨⎧x |2k π－5π4≤x ≤2k π＋π4， }k ∈Z .故选C.法二：如图(2)所示不等式的解集为⎩⎨⎧x |2k π－5π4≤x ≤2k π⎭⎬⎫＋π4，k ∈Z .故选C.知识点3 正、余弦曲线与其他曲线的交点问题 讲一讲3．解：建立坐标系xOy ，先用五点法画出函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图象，再依次向左、右连续平移，得到y ＝sin x 的图象．在同一坐标系内描出⎝⎛⎭⎫110，－1，(1，0)，(10，1)并用光滑曲线连接得到y ＝lg x 的图象，如图．练一练3．解：由题意知f (x )＝sin x ＋2|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧3sin x ，x ∈[0，π]，－sin x ，x ∈（π，2π].图象如图所示：若函数f (x )的图象与直线y ＝k 有且仅有两个不同的交点，则由图可知k 的取值范围是(1，3)．。
函数6学案
函数的单调性（2）【学习导航】学习要求1．熟练掌握证明函数单调性的方法；2．会证明一些较复杂的函数在某个区间上的单调性；3．能利用函数的单调性解决一些简单的问题．【新课导学】证明函数单调性的步骤：第一步：设x 1、x 2∈给定区间，且x 1<x 2；第二步：计算f (x 1)－f (x 2)至最简；第三步：判断差的符号；第四步：下结论.【互动探究】一．较复杂函数的单调性证明： 例1：判断函数21()f x x x =-((0,))x ∈+∞的单调性，并用单调性的定义证明你的结论．二．证明函数的单调性： 例2：求证：函数()f x x =在R 上是单调减函数． 例３：(1)若函数2()45f x x mx m =-+-在[2,)-+∞上是增函数，在(,2]-∞-上是减函数，则实数m 的值为 ； （2）若函数2()45f x x m x m =-+-在[2,)-+∞上是增函数，则实数m 的取值范围为 ； （3）若函数2()45f x x m x m =-+-的单调递增区间为[2,)-+∞，则实数m 的值为 ． 三、已知函数单调性，求参数范围： 例4: 已知函数()y f x =的定义域为R ，且对任意的正数d ，都有()()f x d f x +<，求满足(1)(21)f a f a -<-的a 的取值范围．【迁移应用】1. 函数()f x 是定义域上单调递减函数，且过点(3,2)-和(1,2)-，则|()|2f x <的自变量x 的取值范围是（ ）()A (3,)-+∞ ()B (3,1- ()C (,1]-∞ ()D (,)-∞+∞ 2. 已知函数f (x )是区间(0，＋∞)上的减函数，那么f (a 2－a ＋1)与3()4f 的大小关系是 ．3. 函数y=|x+1|的单调递减区间为-___________ 单调递减区间 _____________________4、已知函数()f x ax =和()bg x x =在(0,)+∞上都是减函数，则2()h x ax bx c =++ 在(,0)-∞上（ ）()A 是增函数()B 是减函数()C 既不是增函数也不是减函数()D ()h x 的单调性不能确定5. 若函数2()2(1)2f x x a x =+-+在区间(,4)-∞上是减函数，则实数a 的取值范围是 ．6. 若()f x 在R 上是增函数，且0a b +>，则()()f a f b + ()()f a f b -+-． （注：从<、>、=中选择一个填在横线上）7. 函数14)(2+-=mx x x f 在(,3]-∞-上递减，在),2[+∞-上递增，则实数m 的取值范围 . 8．用函数单调性的定义证明：函数3()f x x x =+在(),-∞+∞上是增函数． 【课堂小结】 【课后反思】。
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《6.1函数学案》
学习目标
1、初步掌握函数概念，能判断两个变量间的关系是否可看作函数。
2、根据两个变量间的关系式，给定其中一个量，相应地会求出另一个量的值。
3、会对一个具体实例进行概括抽象成为数学问题。
重点：1、掌握函数概念。
2、判断两个变量之间的关系是否可看作函数。
3、能把实际问题抽象概括为函数问题。
难点：1、理解函数的概念。
2、能把实际问题抽象概括为函数问题。
学习过程
（第一步）自主学习，探究新知（自学课本P144-145页并完成下面三个任务。
）
1、当你坐在摩天轮上时，人的高度随时在变化，那么变化是否有规律呢？
请看下图，反映了旋转时间t（分）与摩天轮上一点的高度h（米）之间的关系。
大家从图上可以看出，每过6分钟摩天轮就转一圈。
高度h完整地变化一次。
而且从图中大致可以判断给定的时间所对应的高度h。
下面根据图5－1进行填
t/分0 1 2 3 4 5 ……
h/米
2、瓶子或罐子盒等圆柱形的物体，常常如下图那样堆放，随着层数的增加，物
层数n 1 2 3 4 5 …
物体总数y …
3、一定质量的气体在体积不变时，假若温度降低到-273℃，则气体的压强为零.因此，物理学把-273℃作为热力学温度的零度.热力学温度T(K)与摄氏温度t(℃)之间有如下数量关系：T=t+273, T≥0.
（1）当分别等于-43，-27，0，18时，相应的热力学温度T是多少？
（2）给定一个大于-273℃的t值，你能求出相应的T值吗
(第三步) 对组群学展示点拨
函数的概念：
函数的表示方法：
(第四步) 学以致用反馈矫正
下面各题中分别有几个变量？你能将其中某个变量看成是另一个变量的函数吗？
（1）每一个同学购一本代数书，书的单价为2元，则x个同学共付y元. （2）计划购买50元的乒乓球，则所购的总数y （个）与单价x （元）的关系. （3）一个铜球在0 ℃的体积为1000cm3，加热后温度每增加1℃，体积增加0.051cm3，t℃时球的体积为Vcm3 .
（4）菱形ABCD的对角线AC的长为4，BD的长x在变化，菱形的面积为y .
(第五步) 知识梳理整体构建
通过这节课，你学到了什么？
(第六步) 分层堂检实时达标
必做题：随堂练习1 2 选做题：随堂练习 3
(第七步) 分层作业深化新知
必做题：习题6.1 1 2 选做题：习题6.1 3 4。