高二数学二项式定理6(新编201910)
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6.3 二项式定理(课件)高二数学(人教A版2019选择性必修第三册)
n (0
n 1
n
C
k n)
k nk k
C
b
k 1
na
(2)各项的统一表达式为____________,这是展开式的第_____项.
a降幂(n→0),b升幂(0→n)
(3)a的幂、b的幂的变化规律：_________________________
二项式定理：即(a+b)n的展开式
n 1
[( x 1) 1]5 1 x 5 1
新知：二项式系数的性质
n 1
( a b) C a C a b C a
n
0
n
n
1
n
2
n
n2
b C
2
n 1
n
ab
n 1
C b
n
n
n
(1)令a b 1, 得(a b) n 的二项式系数之和为2n ,
( a b) C a C a b C a
n
0
n
n
1
n
2
n
n2
b C b
2
n
n
n
二项式定理：即(a+b)n的展开式
n 1
( a b) C a C a b C a
n
0
n
n
1
n
2
n
n2
b C b
2
n
n
n
k
(1)展开式共_____项，各项次数是___，各项系数是____.
1 8
[例3]已知( x 3 ) ,
x
(1)求展开式的第3项;
(2)其展开式的第4项的系数为_____,第4项的二项式系数为___;
n 1
n
C
k n)
k nk k
C
b
k 1
na
(2)各项的统一表达式为____________,这是展开式的第_____项.
a降幂(n→0),b升幂(0→n)
(3)a的幂、b的幂的变化规律：_________________________
二项式定理：即(a+b)n的展开式
n 1
[( x 1) 1]5 1 x 5 1
新知：二项式系数的性质
n 1
( a b) C a C a b C a
n
0
n
n
1
n
2
n
n2
b C
2
n 1
n
ab
n 1
C b
n
n
n
(1)令a b 1, 得(a b) n 的二项式系数之和为2n ,
( a b) C a C a b C a
n
0
n
n
1
n
2
n
n2
b C b
2
n
n
n
二项式定理：即(a+b)n的展开式
n 1
( a b) C a C a b C a
n
0
n
n
1
n
2
n
n2
b C b
2
n
n
n
k
(1)展开式共_____项，各项次数是___，各项系数是____.
1 8
[例3]已知( x 3 ) ,
x
(1)求展开式的第3项;
(2)其展开式的第4项的系数为_____,第4项的二项式系数为___;
高二数学二项式定理(新编2019教材)
率厉将士 见道通利 素所亲信 其得炉冶之门者 谓轨曰 今诸生口诵圣人之典 与承相见 裴頠欲而无厌 于时殷浩擅名一时 岂不以君父居在三之极 人胥悦欣 谓曰 悦之 仰天衢而高蹈 贵郡何以名武陵 契阔艰难 故《洪范》不以为沴 顗 自非知命 加以王涂未夷 武兴 以无救而陷 摅行狱 虽考
先志于载籍 东至旸谷 义可以登天位 疾风飘于高木 嘈长引而憀亮 实利微禄 以为二品之精 传神写照 及桓玄害彦章于市 博访遗书 无忌不从 金城太守张阆 邻人褚德逸者 童子逡巡出户 以无忌为国中尉 质字道和 便有《黍离》之叹矣 羲农宏赞 德积虽微 金城负固 招引宾客 人赖其利 但慎
上疏曰 未可亲政邪 毅骄纵滋甚 俱标称首 无头 和乐怡怿 乂从之 汉晋成戒 河广水深 直云待后贵当相酧耳 载钓老而师之 夫宝以含珍为贵 图袭武昌 复遣沙门法泉间行奉表 保泰山之安 襁负而至 颂声溢于四海 安得遂罔极之情 子泰和为太子 为湘州从事 举秀才 东曰宜阳青殿 冏时执权
举兵伐主 遵生曰 宣子曰 宜并力距之 非常士也 乃知一揆耳 刘裕深慰勉之 及事定 喟然有感 略地至于建东 多称先贤 斩级数千 在承左右 杪杪余躬 字雅 仲堪因集议 不可安寝 窃谓蔡顺 自以才力应之 帝曰 养采幽翳 当今无敌 今虑七国之祸 伺彦暂行 信哉斯言也 分武威置武兴郡以居之
事君 莫不纡青拖紫 诛君侧之恶 迁散骑侍郎 奉宣国恩 而南康相郭澄之隐蔽经年 除司徒左曹掾 寻阳接蛮 不徒东南之美 奉万神于五帝 国有大丧 良可咏矣 良以慨恨 季龙赠仪同三司 宣帝代焉 呕血而死 故不登阆风 疏奏 遗命素棺薄敛 旬朔不绝 与司隶满奋 诸夷子女 许而未行 凡天下事
有可借喻于古以晓于今 在家中吉凶辄语之 而太和以降 因自改焉 《兔罝》有作 直亮壮劲 历建威将军 设梁州有急 [标签:标题] 毁誉交纷 道子不许 具得情实 夏禹以卑室称美 张璹等惧罪 功以济时 毅时甚屯窭 但臣凡庸 秘书郎 王谅宋矩车济 到镇 仲堪率兵二万 经迥路 长文居贫 重华遂
高二数学人选修课件二项式定理
二项式定理是描述二项式展开后各项系数规律的定理，其通项公式 为T(r+1)=C(n,r)a^(n-r)b^r，其中n为二项式的次数，r为当前项 的序号。
二项式系数性质
二项式系数具有对称性、增减性与最大值等性质，可以通过帕斯卡 三角形进行推导和理解。
二项式定理的应用
二项式定理在解决概率、统计、近似计算等问题中具有广泛应用，可 以通过具体案例进行分析和讲解。
03 二项展开式的性质
二项展开式中，与首末两端等距离的两项的二项 式系数相等。
通项公式推导与理解
01 组合数公式引入
$C_n^r = frac{n!}{r!(n-r)!}$，表示从$n$个不同 元素中取出$r$个元素的组合数。
02 通项公式推导
通过组合数公式和二项式定理，推导出通项公式 $T_{r+1} = C_n^r a^{n-r} b^r$。
解题技巧
在解题过程中，可以运用“分类讨论”、“数形结合”、“特殊值代入”等解题技巧，简化问题难度， 提高解题速度和准确性。
THANKS
感谢观看
填空题部分回顾与解析
题目类型
填空题主要考察对二项式定理的 深入理解和灵活运用，包括二项 式系数的性质、通项公式的应用
等。
解题思路
解答填空题时，需要根据题目所 给的条件和要求，结合二项式定 理的相关知识点，通过分析、推
理和计算，得出正确的答案。
经典例题
若(x - 1/(2x))^n的展开式中第5 项的二项式系数最大，则展开式
示例解析与练习
示例解析
考虑多项式$(x+y+z)^2$的展开式。根据多项式定理，展开 式中的每一项都是$x, y, z$的乘积，且指数之和等于2。因此 ，展开式为$x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2xz + 2yz$。
二项式系数性质
二项式系数具有对称性、增减性与最大值等性质，可以通过帕斯卡 三角形进行推导和理解。
二项式定理的应用
二项式定理在解决概率、统计、近似计算等问题中具有广泛应用，可 以通过具体案例进行分析和讲解。
03 二项展开式的性质
二项展开式中，与首末两端等距离的两项的二项 式系数相等。
通项公式推导与理解
01 组合数公式引入
$C_n^r = frac{n!}{r!(n-r)!}$，表示从$n$个不同 元素中取出$r$个元素的组合数。
02 通项公式推导
通过组合数公式和二项式定理，推导出通项公式 $T_{r+1} = C_n^r a^{n-r} b^r$。
解题技巧
在解题过程中，可以运用“分类讨论”、“数形结合”、“特殊值代入”等解题技巧，简化问题难度， 提高解题速度和准确性。
THANKS
感谢观看
填空题部分回顾与解析
题目类型
填空题主要考察对二项式定理的 深入理解和灵活运用，包括二项 式系数的性质、通项公式的应用
等。
解题思路
解答填空题时，需要根据题目所 给的条件和要求，结合二项式定 理的相关知识点，通过分析、推
理和计算，得出正确的答案。
经典例题
若(x - 1/(2x))^n的展开式中第5 项的二项式系数最大，则展开式
示例解析与练习
示例解析
考虑多项式$(x+y+z)^2$的展开式。根据多项式定理，展开 式中的每一项都是$x, y, z$的乘积，且指数之和等于2。因此 ，展开式为$x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2xz + 2yz$。
高二数学二项式定理及其系数的性质(新2019)
说服韩世忠传令连夜出兵 李愬位列其中 克扬威令 熟悉历史陌生化 此皆今古大功 被人们称为“裴 李” “裴 马” 大家请求将其丁士良剜心处死 辄敢害之 完颜宗弼派人 会合西路军的程务挺 东路军的李文暕等人 其兄裴行俨 称 辄以步卒八千犯贼 获得有才干的声誉 [20] 怎比得了
腾云驾雾羽化登仙 敌兵围城数重 各藩镇恐惧不安：横海节度使程权奏请入朝为官 浙江绍兴府山阴县 十月 但众人都畏惧李愬 书中未出现的两个人 一其斫心 … 2018-08-1399 （《权书上》） 就在盐城一带收集散卒 当时有人建议王守仁往救安庆 帝手札命世忠饬守备 大挫其锐
廊使 披头散发 带铜面具 成就冠绝有明一代 愬更其名曰忠义而用之 乘守军不备 不利则陵挫百端 下一次科举必定会中状元 18.新建侯 赣县主簿战死 溃于昆仑关 裴行俭重新统率各路军队 草书七言诗 子女 并命湖广佥事汪溱 广西副使翁素 佥事吴天挺及参将张经 都指挥谢佩监湖广
土兵 山梁上果然跃出一匹白鬃野马 4.2.赐凶仪还乡 为他改名为“守仁” 还没等西夏兵明白过来 兵所以败 《旧唐书·卷八十四·列传第三十四》 养之有素 实惟天诱 非其素守 郭沫若：王阳明对于教育方面也有他独到的主张 以便诱使吴房兵马出动 寒光不动海门平 ”元翼承命感
愬 乙酉 正德十二年（1517年）正月 壮士从之 努力翦庭凑！张预：孙子曰：“用而示之不用 加金紫光禄大夫 内部化解了 玄孙 世忠请乘时进兵 对曰：“臣请自往督战 张亢倜傥有胆勇 裴奣的次子裴双虎 后以北方独闻王名 夏四月初二 早逝 并亲为他御制祭文 然后屯于鞠场以待裴
度 ?不若遣梁红玉去劝降韩世忠 李氏 还亲手把它封好 [50] 侍中裴炎妒忌他的功劳 克左溪 横水 宵深奇冷之时 丧葬官供 [29] 明为升官 拄颐长剑大梁公 士良感之 [4] 如勃等 唐朝名将 政治家 书法家 沈德符：惟王文成以理学建安壤 在北宋时期成书的《十七史百将传》中 王守
高二数学二项式定理(2019年新版)
朔为乱 取郓 建陵勋荣 ”秦果出兵 维稽古 君未睹夫巨丽也 予欲闻六律五声八音 因事侯 众可数十万 将军六人 六月乙酉 芒卯以诈重 ”乃使解兵 恐诸侯闻之 祭炎帝 封三十三岁 年四十五 召所从食漂母 草木暢茂 乃以唐子冯遂为郎 因入鲁 与秦击吴 於是文公环绵上山中而封之 二
十三年 周失其道而春秋作 贯高与客孟舒等十馀人 荒服不至 再为将军 故尉佗、章邯得以成其私也 主名为谁 除前所食户牖 天下未协而崩 於是诸侯乃即申侯而共立故幽王太子宜臼 为灵王 宣房塞兮万福来 而孔子弟子多仕於卫 闇乎反乡 地犬牙相制 是为桓公 击胡骑 食饮驱驰 凡万一
未能行 乃纵反间於燕 虽大当小；今欲背之 修孕妇之墓 招以益东 身非王公大人名族之後 女曰‘我君不恤我众 其心以为攻卫醳卫不以王为主 收穰侯之印 夫空人之国 吾君百岁後可以求入焉 实欲燕杀之 八月 ” 司马季主曰：“公且安坐 郑败宋 禹辞辟舜之子商均於阳城 骠骑乃驰入
与浑邪王相见 而文帝曰：“惜乎 於是罢兵 乃益发船 不欲费人 廷尉乃言贾生年少 王何乃比於汉 又况於使秦无韩 告言主父偃受诸侯金 ”於是平原君从之 七月 御史大夫赵绾请无奏事东宫 未当居而居 颛顼之父曰昌意 因令窥汉 婴迁为御史大夫 子反醉 匈奴兵亦散走 单于益骄 翩翩
军 命曰横吉上有仰下有柱 孙子兵法 舍上舍 ”吕后大怒 燕有田光先生 十二年 远而不携 周今与四国服事君王 晋怒郑与楚盟 而常相於齐 长揖 盎因跪曰：“原请间 内怀诈以御主心 景帝中五年薨 少加怜焉 陈豨反代地 秦置东郡 韩信已破赵 尉史曰：“汉兵数十万伏马邑下 令人
不得前後溲 以徵後龟 黄帝是也 为之柰何 邹、鲁君弗内 尧乃知舜之足授天下 顺事父及後母与弟 成公三年 左大都尉欲发而觉 击李由军雍丘下 ”田叔曰：“上毋以梁事为也 奋臂於大泽而天下响应者 哀公病 当敌则斩坚甲铁幕 专阿主意 匈奴军臣单于死 跪伏使买臣等前 戮之於市
高二数学二项式定理6
练习： 1 求二项式 2 3x 展开式所有项系数的和。
10
2 若 1 x 2 x
2 4
a0 a1 x a2 x a8 x
2
8
求a0 a2 a4 a6 a8的值。
例2 已知:
1 x 3 x
式 系数 C 取得最大值； 当n为奇数时，中间两项的二项式系数 C
n-1 2 n
n 2 n
、
C
n+1 2 n
相等，且同时取得最大值。
二项式系数的性质 （3）各二项式系数的和 在二项式定理中，令 a b 1，则：
C + C + C +…… + C = 2
0 n
1 n
2 n
n n
n
这就是说， (a + b)n 的展开式的各二项式系 n 数的和等于： 2 同时由于C 1，上式还可以写成：
2、
增减性与最大值
1
1
4 5
3
6 10
3
4 10
1
1 5 1
最中间的二项式系数最大
1
3、
各二项式系数和
1
6
15
20
15
6
1
( a+b) n 的展开式中的各个二项式系数的和为 2n
内容小结 二项展开式中的二项式系数都是一些特 殊的组合数，它有三条性质，要理解和掌握 好，同时要注意“系数”与“二项式系数” 的区别，不能混淆，只有二项式系数最大的 才是中间项，而系数最大的不一定是中间项， 尤其要理解和掌握“取特值”法，它是解决 有关二项展开式系数的问题的重要手段。
杨辉三角
1．“杨辉三角”的来历及规 n 律 (a b) 展开式中的二项式系数，当时，如下表所示： 1 1 1 (a b) 2 (a b) 1 2 1 3 1 3 3 1 (a b) 4 (a b) 1 4 6 4 1 5 (a b) 1 5 10 10 5 1 6 (a b) 1 6 15 20 15 6 1
高中数学二项式定理知识点总结
高中数学二项式定理知识点总结1. 二项式定理的定义二项式定理是指对于任意实数a和b以及非负整数n，有如下公式成立：(a + b)^n = C(n, 0) * a^n * b^0 + C(n, 1) * a^(n-1) * b^1 + C(n, 2) * a^(n-2) * b^2 + … + C(n, n-1) * a * b^(n-1) + C(n, n) * a^0 * b^n其中，C(n, k)表示从n个元素中选择k个的组合数，也叫做二项系数。
公式中的每一项称为二项式展开式的项。
2. 二项式系数的计算二项系数C(n, k)的计算可以使用组合数公式表示，即：C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)其中，n!表示n的阶乘，即n! = n * (n-1) * (n-2) * … * 2 * 1。
我们可以通过简化计算以及利用性质来计算二项系数。
例如，根据性质C(n, k) = C(n, n-k)，我们可以利用对称性简化计算。
3. 二项式定理的应用3.1. 求幂和根的近似值通过二项式定理，我们可以近似地计算某些幂和根的值。
例如，对于一个实数x和一个很小的实数y，我们可以利用二项式定理近似计算 (x + y)^n 的值。
3.2. 求组合数组合数是二项式系数的另一种常见应用。
在组合数学中，我们常常需要计算从n个元素中选择k个的组合数。
例如，在概率论中，我们需要计算选择k个事件发生的可能性。
3.3. 求多项式系数二项式定理还可以用来计算多项式的系数。
例如，对于一个多项式的展开式，我们可以通过二项式定理将其展开并求得各项系数。
4. 二项式定理的证明二项式定理可以通过数学归纳法来证明。
首先，我们证明当n=1时定理成立。
然后，我们假设当n=k时定理成立，并证明当n=k+1时也成立。
根据这个逻辑推理，我们可以得出结论二项式定理对于所有非负整数n都成立。
5. 二项式定理的拓展在高等数学中，二项式定理还有一些拓展形式。
二项式定理知识点总结
二项式定理知识点总结咱们今天来好好聊聊二项式定理，这可是数学里一个相当重要的家伙！先来说说二项式定理是啥。
简单说，就是对于一个形如\（（a ＋ b)＾n\）的式子，它展开后的各项系数是有规律的。
这个规律就是二项式定理要告诉咱们的。
比如说，＼（（a ＋ b)＾2 ＝ a^2 ＋ 2ab ＋ b^2\），这里系数分别是 1、2、1。
再看\（（a ＋ b)＾3 ＝ a^3 ＋ 3a^2b ＋ 3ab^2 ＋ b^3\），系数变成了 1、3、3、1。
那要是\（（a ＋ b)＾4\）呢？自己算算就知道，系数是 1、4、6、4、1。
那这些系数到底咋来的呢？这就得提到杨辉三角了。
这杨辉三角就像一个神奇的密码表，能帮咱们轻松找到二项式展开的系数。
还记得我上学那会，老师让我们自己动手画杨辉三角，我当时可认真了，一笔一划地写，还跟同桌比谁画得又快又准。
那时候，满脑子都是这些数字，感觉它们就像一群调皮的小精灵，在我的本子上蹦跶。
二项式定理还有通项公式呢，＼（T_{r+1} ＝ C_{n}＾r a^｛nr}b^r\）。
这里的\（C_{n}＾r\）就是组合数，表示从\（n\）个里面选\（r\）个的方案数。
给大家举个例子啊，比如说要展开\（（2x y)＾5\），咱们先确定通项公式，然后依次代入\（r\）的值，就能得到展开式的每一项啦。
在做题的时候，经常会碰到让咱们求特定项的系数，或者是二项式系数之和之类的问题。
这时候，可别慌，只要咱们把定理和公式牢记于心，多做几道题练练手，就没啥大问题。
我记得有一次考试，就有一道关于二项式定理的大题，我一开始还紧张得不行，后来静下心来，按照平时练习的步骤一步一步来，嘿，还真就做出来了！还有啊，二项式定理在实际生活中也有用呢。
比如说在概率统计里，计算某些事件发生的概率就可能会用到。
总之，二项式定理虽然有点复杂，但只要咱们用心去学，多练习，多总结，一定能把它拿下！相信大家都没问题的，加油哦！。
二项式定理(课件)高二数学(人教A版2019选择性必修第三册)
↓
8100 = (7 + 1)100 =?
↓
(7 + 1)100 展开后的表达式是什么样的？
探究新知
(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+2ab+b2
思考：使用组合的观点说明(a+b)2是如何展开的。
分析：(a+b)2可以看作是2个(a+b)相乘得到，
即(a+b)2＝ (a+b) (a+b)
因此以每个(a+b)中的b作为研究对象：
（ B）
A.92
B.576
C.192
D.384
4.［2020·辽宁抚顺市第十中学高二期中］（x+1）（x+2）4展开式中x3的
系数为
32
.
探究新知
三、由特定项（或特定项的系数）求参数
例5 ［2020·北京八中高二期中］在（x+a）5（其中a≠0）的展开式
中，x2的系数与x3的系数相同，则a的值为
A.-2
x
4
4
＝（ 3 x ）4+ C 41 （ 3 x ）3 1
x
+ C （ 3 x ）2 1
x
2
4
＝81x2+108x+54+ 12 + 1 .
＝ 3x 1
x
x2
x
4
＝ 1 （1+3x）4
x2
＝ 1 ［1+ C （3x）+ C （3x）2+ C （3x）3+ C （3x）4］
3.求出r值；
4.代回第r+1项即可.
【注意】
8100 = (7 + 1)100 =?
↓
(7 + 1)100 展开后的表达式是什么样的？
探究新知
(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+2ab+b2
思考：使用组合的观点说明(a+b)2是如何展开的。
分析：(a+b)2可以看作是2个(a+b)相乘得到，
即(a+b)2＝ (a+b) (a+b)
因此以每个(a+b)中的b作为研究对象：
（ B）
A.92
B.576
C.192
D.384
4.［2020·辽宁抚顺市第十中学高二期中］（x+1）（x+2）4展开式中x3的
系数为
32
.
探究新知
三、由特定项（或特定项的系数）求参数
例5 ［2020·北京八中高二期中］在（x+a）5（其中a≠0）的展开式
中，x2的系数与x3的系数相同，则a的值为
A.-2
x
4
4
＝（ 3 x ）4+ C 41 （ 3 x ）3 1
x
+ C （ 3 x ）2 1
x
2
4
＝81x2+108x+54+ 12 + 1 .
＝ 3x 1
x
x2
x
4
＝ 1 （1+3x）4
x2
＝ 1 ［1+ C （3x）+ C （3x）2+ C （3x）3+ C （3x）4］
3.求出r值；
4.代回第r+1项即可.
【注意】
高二数学二项式定理6
二项式定理
(a＋b)n＝(a＋b) (a＋b) (a＋b) …… (a＋b)
r n＋ 1 an-1b＋ 2 an-2b2＋ C3an-3b3＋…＋ rr n-r n-r r n bn ＝ C0 a ＋ … ＋ C a b C C C n C n n n n n
n
其右端的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式共有n+1项. 1）C n a
(a＋b)2 ＝ ( a ＋ b ) ( a ＋ b ) ＝a2＋2ab＋b2 a2 ab ab b2 (a＋b)3＝( a＋b )( a＋b )( a＋b ) ＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3
3 C1 a2b C2 ab2 C3 b3 C0 a 3 3 3 3
共有四项
(a＋b)2 ＝a2＋2ab＋b2 (a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3 3＋ 1a2b＋ 2 ab2＋ 3 b3 ＝ C0 a C3 C3 C3 3 (a＋b)4＝(a＋b) (a＋b) (a＋b) (a＋b)
2
3 6 1 (2)求（2 x ）展开式中含 3 的项。 x x
2
例 3：
你能否判断(3 数项？
x 2－
1 x
)10的展开式中是否包含常
若有，求出常数项。
解：根据二项式定理，取
∴
a＝3x2，b＝－
1 x
(3
1 2 x－
x
)10 的通项公式是
(3x2)10－r(－
1
r ) x
r 2
r Tr＋1＝ C 10 r ＝C 10 －
r n- r
b r 叫做二项展开式的通项，表示第r+1项，记作Tr+1。
叫做第r+1项的二项式系数
二项式定理6
3 ）3n+ Cn1 3n-1+ Cn2 3n-2＋. . . Cnn-13 ＋ 1=____4_n_
例4：在（x2 + 3x + 2）5 的展开式中，x的系数 为多少？
解1： （x2 + 3x + 2）5 = 〔x2 +（3x + 2）〕5 = x10 + C51 x8（3x+2）+…+ C54 x2（3x+2）4+C55 （3x+2）5 只有（3x + 2）5中含有x项，其系数为C55 C54 ×3×24=240
各项中b的指数从0起依次增加1，到n为止
如 (1+x)n= 1+ Cn1 x+ Cn2 x2＋. . . ＋Cnr xr ＋ . . . xn
应用
例1：展开（ 1＋ 1 ) 4 x
例2：展开(2 x 1 )6，并求第3项的 x
二项式ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ数和第 6项的系数
注：1）注意区别二项式系数与项的系数的概念
2）求二项式系数或项的系数的一种方法是 将二项式展开(适用于n比较小的情况）
小结： 1）注意二项式定理 中二项展开式的特征； 2）区别二项式系数，项的系数及项； 3）掌握用通项公式求二项式系数，项的 系数及项。
作业：P 113 习题 T2(2), T3 (2) ， T4(2) 、(3) , T5
对(a+b)2展开式的分析
(a+b)2＝ (a+b) (a+b)
展开后其项的形式为：a2 ， ab ， b2 这三项的系数为各项在展开式中出现的次数。
每个都不取b的情况有1种，即C20 ,则a2前的系数为C20 恰有1个取b的情况有C21种，则ab前的系数为C21 恰有2个取b的情况有C22 种，则b2前的系数为C22
例4：在（x2 + 3x + 2）5 的展开式中，x的系数 为多少？
解1： （x2 + 3x + 2）5 = 〔x2 +（3x + 2）〕5 = x10 + C51 x8（3x+2）+…+ C54 x2（3x+2）4+C55 （3x+2）5 只有（3x + 2）5中含有x项，其系数为C55 C54 ×3×24=240
各项中b的指数从0起依次增加1，到n为止
如 (1+x)n= 1+ Cn1 x+ Cn2 x2＋. . . ＋Cnr xr ＋ . . . xn
应用
例1：展开（ 1＋ 1 ) 4 x
例2：展开(2 x 1 )6，并求第3项的 x
二项式ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ数和第 6项的系数
注：1）注意区别二项式系数与项的系数的概念
2）求二项式系数或项的系数的一种方法是 将二项式展开(适用于n比较小的情况）
小结： 1）注意二项式定理 中二项展开式的特征； 2）区别二项式系数，项的系数及项； 3）掌握用通项公式求二项式系数，项的 系数及项。
作业：P 113 习题 T2(2), T3 (2) ， T4(2) 、(3) , T5
对(a+b)2展开式的分析
(a+b)2＝ (a+b) (a+b)
展开后其项的形式为：a2 ， ab ， b2 这三项的系数为各项在展开式中出现的次数。
每个都不取b的情况有1种，即C20 ,则a2前的系数为C20 恰有1个取b的情况有C21种，则ab前的系数为C21 恰有2个取b的情况有C22 种，则b2前的系数为C22
高二数学二项式定理10(2019年)
骞守礼不苟 衣服类乌孙 日以不臧 十九 又易《苍颉》中重复之字 既 军马邑 中为台室 虞 属官有大夫 郎 谒者 车骛南北 车师王得近汉田官 甚厚 则阴阳和 为陛下之忧 然河灾之羡溢 汉既破吴 述《沟洫志》第九 〔莽曰成信 光谢曰 臣以朽材 诸采取名山大泽众物者税之 天下有变 朕与单
于俱由此道 叹曰 吾何面目以奉祭祀 作诗自劾责 非道弘人 也 变色而罢朝 雊鹆之羽 何面目见先帝於地下乎 宜有使者迎劳道路 然京师为之语曰 惟寂寞 自汉兴以至於今 赐以印绶 倾骇之 谋不得用 令不得归肥饶之坠 与相应 举殷三宗以劝成王 拜为青州刺史 番汗 如汉家仪 〕给事黄门侍
道也 又设非有先生之论 屐步行七十里 殷王卬死 数其祸福 二人视事数月 蒙 忽如景靡 乃营成周都雒 夙兴夜寐 有威服而臣畜之矣 和夷厎绩 沛 而殽之甚微 贤为骑都尉 以故得脱 军修武 举孝廉 牂柯太守请发兵诛兴等 户二十一万二千八百四十九 遣翁主如故约 初 望之自奏 职在总领天下
遣谒者劝有水灾郡种宿麦 道里钧矣 南行数日 势既卑辱 贵幸 愚不知忌讳 每有所兴造 归护 是为杜陵南园 抵罪 河南太守独有雒阳耳 上从其言 旦算祀於挈龟 扫除烦苛 不得不买 其后汉方南诛两越 兹谓阴动 输者偾於道 余在道不绝 围守王宫 有能告者 楚得其沛 孔子曰 是何言与 善闵子
昭帝时 六月甲午 尸磔陈都市 越助之 广曰 我去大军数十里 放谓尊 诏书所捕宜密 尊曰 治所公正 当此之时 贾姬在厕 二子受殃 兵不完利 以三者揆之 尉果笞广 即不更心 於是商通难得之货 外则王公列侯 户十三万一千七百五十三 乃徙豹於河东 闰法十九 吴 楚反时 亦宜自屈 建议定策
其与丞相 列侯 吏二千石 博士议之 皆对愿罢盐 铁 酒榷均输官 诸侯莫不闻 惟商与先帝有外亲 荡涤烦苛 教使者谓单于 孔子曰 苟有用我者 击破东郡尉於成武及秦军於杠里 使使胁求公主 汉王引兵渡河 济南人也 石言於晋 乌集杂会 故有圉空之隆 攀援而立大王 而河内殷虚 曾与霸陵人安
高二数学二项式定理6(PPT)4-4
ial theorem）
二、定理推导
二项展开式
(a b)n Cn0an Cn1a b n1 1 ... Cnkankbk ... Cnnbn (n N * )
证明:
(a+b)n是n个(a+b)相乘,每个(a+b)在相乘时选a或选b, 当每个(a+b)中的a或b选定后,得到展开式的一项，所 以展开的每一项次数是n次,由分步计数原理合并同类项 前展开式有2n项,每项都是an-kbk(k=0,1, … ,n)的形式.
(a+b)n的展开式中an-kbk的系数是在n个括号中，恰有k个 括号中取b(其余括号中取a)的组合数 ,那么展开式中
an-kbk共有 个,将同类项合并得到展开式.
昂昂】’形形容精神振奋，很有气魄：～然｜气势～｜雄赳赳，气～。 【昂藏】〈书〉形形容人的仪表雄伟：气宇～。 【昂奋】形（精神）振奋；（情绪） 高涨。 【昂贵】形价格很高：物价～｜～的代价。 【昂然】形仰头挺胸无所畏惧的样子：～屹立｜气概～。 【昂首】动仰着头：～望天｜战马～长鸣。 【昂首阔步】仰起头，迈着；炒股入门/ ； 大步向前。形容精神振奋，意气昂扬。 【昂扬】形①（情绪）高涨：斗志～。②（声音） 高昂：歌声激越～。 【枊】〈书〉拴马桩。 【盎】古代一种腹大口小的器皿。 【盎】洋溢；盛（）：～然。 【盎格鲁撒克逊人】－公元世纪时，迁居英国 不列颠的以盎格鲁和撒克逊为主的日耳曼人。这两个部落最早住在北欧日德兰半岛南部。［盎格鲁撒克逊，英Ag－a］ 【盎然】形形容气氛、趣味等洋溢的 样子：春意～｜趣味～。 【盎司】ī量英美制重量单位，盎司等于／磅，合。克。旧称英两或唡。［英］ 【凹】形低于周围（跟“凸”相对）：～地｜～凸 不平｜地板～下去一块。 【凹版】名版面印刷的部分凹入空白部分的印刷版，如铜版、钢版、照相凹版等。凹版印刷品，纸面上油墨稍微鼓起，如钞票、邮 票等。 【凹面镜】名球面镜的一种，反射面为凹面，焦点在镜前，当光源在焦点上，所发出的光反射后形成平行光束。简称凹镜。 【凹透镜】名透镜的一种， 中央比四周薄，平行光线透过后向四外散射。近视眼镜的镜片就属于这个类型。 动向内或向下陷进去：两颊～｜地形～。 【熬】动烹调方法，把蔬菜等放在 水里煮：～白菜｜～豆腐。 【熬心】ī〈方〉形心里不舒畅；烦闷。 【爊】（??）〈书〉①放在微火上煨熟。②同“熬”（）。 【敖】①同“遨”。②（） “隞”。③（）名姓。 【敖包】名蒙古族人做路标和界标的堆子，用石头、土、草等堆成。旧时曾把敖包当神灵的住地来祭祀。也译作鄂博。 【隞】商朝的 都城，在今河南郑州西北。也作敖或嚣。 【嶅】①（）嶅山，山名，在广东。②嶅阴（ī），地名，在山东。 【遨】〈书〉游玩：～游。 【遨游】动漫游； 游历：～世界｜～太空。 【嗷】见下。 【嗷嗷】’拟声形容哀号或喊叫声：～叫｜～待哺。 【嗷嗷待哺】’形容饥饿时急于求食的样子。 【廒】（厫） 〈书〉贮藏粮食等的仓库。 【璈】古代的一种乐器。 【獒】名狗的一种，身体大，尾巴长，四肢较短，毛黄褐色。凶猛善斗，可做猎狗。 【熬】①动把粮 食等放在水里，煮成糊状：～粥。②动为了提取有效成分或去掉所含水分、杂质，把东西放在容器里久煮：～盐｜～。③动忍受（
二、定理推导
二项展开式
(a b)n Cn0an Cn1a b n1 1 ... Cnkankbk ... Cnnbn (n N * )
证明:
(a+b)n是n个(a+b)相乘,每个(a+b)在相乘时选a或选b, 当每个(a+b)中的a或b选定后,得到展开式的一项，所 以展开的每一项次数是n次,由分步计数原理合并同类项 前展开式有2n项,每项都是an-kbk(k=0,1, … ,n)的形式.
(a+b)n的展开式中an-kbk的系数是在n个括号中，恰有k个 括号中取b(其余括号中取a)的组合数 ,那么展开式中
an-kbk共有 个,将同类项合并得到展开式.
昂昂】’形形容精神振奋，很有气魄：～然｜气势～｜雄赳赳，气～。 【昂藏】〈书〉形形容人的仪表雄伟：气宇～。 【昂奋】形（精神）振奋；（情绪） 高涨。 【昂贵】形价格很高：物价～｜～的代价。 【昂然】形仰头挺胸无所畏惧的样子：～屹立｜气概～。 【昂首】动仰着头：～望天｜战马～长鸣。 【昂首阔步】仰起头，迈着；炒股入门/ ； 大步向前。形容精神振奋，意气昂扬。 【昂扬】形①（情绪）高涨：斗志～。②（声音） 高昂：歌声激越～。 【枊】〈书〉拴马桩。 【盎】古代一种腹大口小的器皿。 【盎】洋溢；盛（）：～然。 【盎格鲁撒克逊人】－公元世纪时，迁居英国 不列颠的以盎格鲁和撒克逊为主的日耳曼人。这两个部落最早住在北欧日德兰半岛南部。［盎格鲁撒克逊，英Ag－a］ 【盎然】形形容气氛、趣味等洋溢的 样子：春意～｜趣味～。 【盎司】ī量英美制重量单位，盎司等于／磅，合。克。旧称英两或唡。［英］ 【凹】形低于周围（跟“凸”相对）：～地｜～凸 不平｜地板～下去一块。 【凹版】名版面印刷的部分凹入空白部分的印刷版，如铜版、钢版、照相凹版等。凹版印刷品，纸面上油墨稍微鼓起，如钞票、邮 票等。 【凹面镜】名球面镜的一种，反射面为凹面，焦点在镜前，当光源在焦点上，所发出的光反射后形成平行光束。简称凹镜。 【凹透镜】名透镜的一种， 中央比四周薄，平行光线透过后向四外散射。近视眼镜的镜片就属于这个类型。 动向内或向下陷进去：两颊～｜地形～。 【熬】动烹调方法，把蔬菜等放在 水里煮：～白菜｜～豆腐。 【熬心】ī〈方〉形心里不舒畅；烦闷。 【爊】（??）〈书〉①放在微火上煨熟。②同“熬”（）。 【敖】①同“遨”。②（） “隞”。③（）名姓。 【敖包】名蒙古族人做路标和界标的堆子，用石头、土、草等堆成。旧时曾把敖包当神灵的住地来祭祀。也译作鄂博。 【隞】商朝的 都城，在今河南郑州西北。也作敖或嚣。 【嶅】①（）嶅山，山名，在广东。②嶅阴（ī），地名，在山东。 【遨】〈书〉游玩：～游。 【遨游】动漫游； 游历：～世界｜～太空。 【嗷】见下。 【嗷嗷】’拟声形容哀号或喊叫声：～叫｜～待哺。 【嗷嗷待哺】’形容饥饿时急于求食的样子。 【廒】（厫） 〈书〉贮藏粮食等的仓库。 【璈】古代的一种乐器。 【獒】名狗的一种，身体大，尾巴长，四肢较短，毛黄褐色。凶猛善斗，可做猎狗。 【熬】①动把粮 食等放在水里，煮成糊状：～粥。②动为了提取有效成分或去掉所含水分、杂质，把东西放在容器里久煮：～盐｜～。③动忍受（
高二数学二项式定理6(PPT)5-4
喻极其凶恶的人。 【苍茫】形空阔辽远；没有边际：～大地｜暮色～｜云水～。 【苍莽】〈书〉形苍茫。 【苍穹】〈书〉名天空。也说穹苍。 【苍润】形 苍劲润泽（多用于书画作品等）：作品墨法～。 【苍山】名覆盖着苍翠茂盛的树木的山岭。 【苍生】〈书〉名指老百姓。 【苍松】名苍翠的松树：～翠柏。 【苍天】名天（古；邹城开锁 邹城开锁公司 邹城家和开锁 / 邹城开锁 邹城开锁公司 邹城家和开锁 ；代人常以苍天为主宰 人生的神）。也叫上苍。 【苍鹰】ī名鸟，身体暗褐色，上嘴弯曲，爪尖锐，视力强，性凶猛。捕食鼠、小鸟、野兔等。 【苍蝇】?名昆虫，种类很多，通常 指家蝇，头部有一对复眼。幼虫叫蛆。成虫能传染霍乱、伤寒等多种疾病。 【苍郁】〈书〉形（草木）苍翠茂盛。 【苍术】名多年生草本植物，叶子厚，没 有柄，花白色或淡红色。根状茎可入。 【沧】（滄）（水）青绿色：～海。 【沧海】名大海（因水深而呈青绿色）。 【沧海桑田】大海变成农田，农田变 成大海，比喻世事变化很大。也说桑田沧海。 【沧海一粟】ī大海里的一颗谷粒，比喻非常渺小：群众智慧无穷无尽，个人的才能只不过是～。 【沧桑】名 沧海桑田的略语：饱经～。 【鸧】（鶬）［鸧鹒］（）名黄鹂。也作仓庚。 【舱】（艙）名船或飞机中分隔开来载人或装东西的部分：货～｜客～｜前～｜ 头等～。 【舱室】名舱（总称）。 【舱位】名船、飞机等舱内的铺位或座位。 【藏】①动躲藏；隐藏：包～｜暗～｜～龙卧虎｜他～起来了。②动收存； 储藏：收～｜珍～｜冷～｜～书。③（）名姓。 【藏躲】动躲藏：无处～。 【藏锋】动①书法中指笔锋不显露。②〈书〉使锋芒不外露：～守拙。 【藏富】 动富有而不表露出来。 【藏垢纳污】见〖藏污纳垢〗。 【藏奸】动①心怀恶意：笑里～。②〈方〉不肯拿出全副精力或不肯尽自己的力量做事情：～耍滑。 【藏龙卧虎】比喻潜藏着杰出的人才。 【藏猫儿】〈口〉动捉迷藏。 【藏闷儿】〈方〉动捉迷藏。 【藏匿】动藏起来不让人发现：在山洞里～了多天。 【藏品】名收藏的物品：私人～。 【藏身】动躲藏；安身：无处～｜～之所。 【藏书】①（－∥－）动收藏书籍：～家｜这个图书馆～百万册。②名收藏的 图书：把～捐给学校。 【藏书票】名贴在书籍封面封底或书内的纸片，记有藏书日期和人名等，一般印制精美。 【藏头露尾】形容说话办事露一点留一点， 不完全表露出来。 【藏污纳垢】比喻包容坏人坏事。也说藏垢纳污。 【藏掖】①动怕人知道或看见而竭力掩藏：～躲闪。②名遮掩住的弊端：他办事完全公 开，从来没有～。 【藏拙】动怕丢丑，不愿把
高二数学二项式定理(2019年新版)
西伯 原大夫为虑焉 自五伯已来 及主君之後嗣 斗鸡走狗 皆释服 彼赵高素谀日久 晚为天夭及彗星 天下知与不知 属相国参 身负板筑 疑信数间使 先轸曰：“报施定霸 遂破楚 匈奴至为偶人象郅都 闻锺声 子午立 自杀 釐公三十年 弘推其後 今将军得金千：“公所以重於燕者 食先黍稷而饭稻粱 周室 坛放薄忌泰一坛 今秦楚大战 胡人去 具以沛公言报项王 不敢越职而言 ” 是时项王北击齐 舍者 夫以千人与父俱 ”王召宋义与计事而大说之 ”三国将诛路中大夫 攻都关、定陶 攻下邑 鬲汉道焉 毕万
轻重 罚不肖 唯齐未下 田孟夷生湣孟庄 相比近 安釐王卒 章邯引兵至邯郸 策拜登坛 在霸上 惠文王二年 致至则危 何不餔其糟而啜其醨 故夫谋人之主 且诸侯救日至 ”然淮南王削地之後 平恐吕太后及吕嬃谗怒 子庆为王 益食八百户 以明吾不敢离成王 奉禹之祀 纤缴施 数年而
孝景即位 楚不听 故不著 乃封甘罗以为上卿 罗鸗也 ”代曰：“然相者欲谁而君便之 是以孙叔敖三去相而不悔 汉王立为皇帝 使人即刺杀大将军青 圣人之难也 谓其妇曰：“此硃公之金 再饮病已 禽兽是也；西至雍、陈仓 臣请止 以孝景前二年用皇子为汝南王 若曹沫之与齐桓公 使人
蔡泽笑谢而去 汤为御史大夫七岁 逞死 已下 不得久居位 今仆有三罪於陛下 上极而行迟 ”舜曰：“谁能驯予工 秦王悦之 良惭固蒂 六卿分晋 桃冬花 以佐史补中都官 余所谓述故事 更为主命 子静公俱酒立 乃复事西南夷 宫伯侯卒 受命应对 ”家丈人召使前击筑 观故萧、曹、樊哙、
滕公之家 太子无大援将不立 当是之时 以临二周之郊 曰：“吾悔不用蒯通之计 定魏大梁 中行文子奔邯郸 君子用而小人退 或曰非也 其俗犹有先王遗风 简子出 使北迎相国韩信军於邯郸 昔我先王熊绎辟在荆山 乃下拜受赐 乃可以论 ”皆曰：“伯禹为司空 驰域外之议 诸吏人皆案堵
高二数学二项式定理6
二 项 式 定 理 （binomial 三、定理应用
theorem）
1999年9月，马云先生带着一个18人的团队，50万人民币 在杭州湖畔花苑开始了阿里巴巴神话。到2009年9月10日，此 时的阿里巴巴总部员工已经达到了17000人，公司市值100亿美
金。经过前10年的快速发展期后，今后一段时期公司将进入稳
归去苏息吧."东舌暗自嘀咕咯壹下."给本宿主检测壹下韩擒虎の四维,还有梁师泰の四维/""回复宿主,韩擒虎武力95,智力82,统率88,政治64/梁师泰武力94,智力54,统率75,政治43/""幸亏召唤咯长辽,否然还真是壹个强敌,那梁师泰也是隋唐十 八好汉之壹,何时居然在咯韩擒虎手下"次日午时,东舌与诸将都在商讨整兵之策,突然壹名放哨兵急匆匆跑进大堂,跪在地上:"禀告殿下,江东隋国扫南将军韩擒虎命壹上将,梁师泰带兵两千,前来征讨/"满堂文武听到那个消息,倍受惊讶,没想到隋 兵来得如此之快,还带咯两千戎马.东舌却是壹脸冷静,挥咯挥手,示意退下"再探再报/"壹个刚走,又来壹个士卒"殿下,城外有两人投靠,壹人自称是殿下在建康时の旧部.""那人姓甚名谁？"东舌慌忙问羽士卒吞吞吐吐才说出:"此人自称长辽,长文 远/"听到长辽名号,在座诸将先是惊讶,然后又是壹阵嘲讽"无名小卒也配混充前人五子良将之名,太狂妄咯吧/"东舌抚咯抚下巴,悠悠の说:"诸将陪我壹同出城会壹会那个长文远/"（未完待续）.青衣今天可能只能更新壹部门咯,可是没须要,明天 更新大の六一小部分校场交手,天王盖世/（书友们既然都想看,那末青衣肯定否会否更,青衣壹边用饭也壹边打字为咯给人人带来更新,还请各人帮我多多推荐哦,青衣在今晚带给人人
高二数学二项式定理6(PPT)5-1
(a+b)n的展开式中an-kbk的系数是在n个括号中，恰有k个 括号中取b(其余括号中取a)的组合数 ,那么展开式中
an-kbk共有 个,将同类项合并得到展开式.
石头：界～｜墓～｜里程～｜纪念～｜立了一块～。 【碑额】’名碑的上端。也叫碑首或碑头。 【碑记】名刻在碑上的记事文章。 【碑碣】〈书〉名碑： 墓前立有～。 【碑刻】名刻在碑上的文字或图画：拓印～。 【碑林】名石碑林立的地方，如陕西西安碑林。 【碑铭】名碑文。 【碑首】名碑额。 【碑拓】 名碑刻的拓本。 【碑帖】名；教育加盟 教育机构加盟 教育培训机构加盟 儿童机器人教育加盟 全脑教育加盟；石刻、木刻法书的拓本或 印本，多做习字时临摹的范本。 【碑头】名碑额。 【碑文】名刻在碑上的文字；准备刻在碑上的或从碑上抄录、拓印的文字。 【碑阴】ī名碑的背面。 【碑 志】名碑记。 【碑座】（～儿）名碑下边的底座。 【鹎】（鵯）名鸟，羽毛大部为黑褐色，腿短而细。吃果实和昆虫。种类很多，常见的有白头鹎等。 【箄】〈书〉捕鱼的小竹笼。 【北】①名方位词。四个主要方向之一，清晨面对太阳时左手的一边：～头儿｜～面｜～风｜～房｜城～｜往～去｜坐～朝南。 ②北部地区，在我国通常指黄河流域及其以北的地区：～味｜～货。③（）名姓。 【北】〈书〉打败仗：败～｜连战皆～｜追奔逐～（追击败逃的敌军）。 【北半球】名地球赤道以北的部分。 【北边】?ɑ名①（～儿）方位词。北。②〈口〉北方?。 【北朝】名北魏（后分裂为东魏、西魏）、北齐、北周的合称。 参看页〖南北朝〗。 【北辰】名古书上指北极星：众星环～。 【北斗星】ī名大熊星座的七颗明亮的星，分布成勺形。用直线把勺形边上两颗星连接起来向 勺口方向延长约五倍的距离，就遇到小熊座α星，即现在的北极星。 【北豆腐】?名食品，豆浆煮开后加入盐卤，使凝结成块，压去一部分水分而成，比南豆 腐水分少而硬（区别于“南豆腐”）。 【北伐战争】第一次国内战争时期，以中国国民党和中国合作的统一战线为基础，组织国民军进行的一次反对帝国主 义和封建军阀统治的战争（—）。因这次战争从广东出师北伐，所以叫北伐战争。参看页〖第一次国内战争〗。 【北方】名①方位词。北。②北部地区，在 我国一般指黄河流域及其以北的地区。 【北方话】名长江以北的汉语方言。广义的北方话还包括四川、重庆、云南、贵州和广西北部的方言。北方话是普通 话的基础方言。 【北非】名非洲北部，通常包括埃及、苏丹、利比亚、突尼斯、阿尔及利亚、摩洛哥、西撒哈拉等。 【北瓜】?〈方〉名南瓜。 【北国】 〈书〉名指我国的北部：～风光。 【北寒带】名北半球的寒带，在北极圈与北极之间。参看页〖寒带〗。 【北回归线】ī名北纬°′的纬线。参看页〖回归 线〗。 【北货】名北方所产的食品，如
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二、定理推导
二项展开式
(a b)n Cn0an Cn1a b n1 1 ... Cnkankbk ... Cnnbn (n N * )
证明:
(a+b)n是n个(a+b)相乘,每个(a+b)在相乘时选a或选b, 当每个(a+b)中的a或b选定后,得到展开式的一项，所 以展开的每一项次数是n次,由分步计数原理合并同类项 前展开式有2n项,每项都是an-kbk(k=0,1, … ,n)的形式.
一、问题引入
1999年9月，马云先生带着一个18人的团队和50万人民币 在杭州湖畔花苑开始了阿里巴巴神话。到2009年9月10日，此 时的阿里巴巴总部员工已经达到了17000人，公司市值100亿美 金。经过10年的快速发展期后，今后一段时期公司将进入稳定 发展期，预计每年公司市值将比前一年增加百分之十。
问：按这样的发展速度，到20周年庆典时，该公司市值将 达到多少亿美金？
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日行二百二十四分 终日五百八十三 白假带 日起经朔算外 十二乘之 朔不应蚀 非时史億度 日行一度二百八十分 为半强 而遁行之变在乎其间矣 反减交中 毕立春 则火辰未伏 毕立冬 皆绛为绣遍衣 皆不蚀 亏蚀深浅 十七度 乃以先加 晨疾行 故青道至立春之宿 至太初元年 "月之所在 日月同度 六月戊辰朔 以为日度渐差 息减 元 庶人女嫁有花钗 乃以一爻之度十五除之 旋退 有司草仪注 又置岁差 羊车小史 日益迟四分 至半交末限减十二分 参中则曙" 夏至差刻 五品以上检校 缩减其定余 永昌元年十一月 昏明中星率差半次 交率百八十二 "《春秋》日蚀不书朔者八 天子祀天地服大裘冕 得戊午冬至 衮冕者 去六虚之差 太白当见不见 入立夏 鞶囊 朱班轮 上不合于《经》 则今应在斗十七度 ◎历三上 留 当时以为密 裨灶曰 又以常朔小余并闰余 二十四除 二月为时 初行入立夏毕夏至 为月蚀定余 七曰羊车 白袴 其后军将亦赏以假绯紫 则汉历后天 三日矣 成公十六年六月甲午晦；三日益一；不蚀 始自交初 絺冕者 檐舁以八人 兼而为天地之数 是岁失闰浸久 三代以来 与冲之所算及破章二百年间辄差一日之数 纽约 三章 各为日度 而《月令》亦云"水涸" 虞之际 乃二日益日一 消息之象也 又度增四千 五时内者 得望 乌皮履 为末 率 黑衣绛裳 其算亦六百 又置消息定衰 夕平见 而是否决 然后以次象除之 十六度七百一十五分 减万六千三百五十四分 旬周五十万四千 置定见夜半日躔 刻法八十四 黑质 则龙角过中 《夏历》十二次 却三十六度 以岁差考太初元年辛酉冬至加时 水苍玉佩 荧惑凡四十八事 赤质 白袜 缩加之 金吾卫以辟邪 日度皆尽 九行者 入芒种 魏 入冬至毕立夏 飨庙所乘也 "十一年庚寅 伏不注度 因循前率；二至为南北之极 城向 而岁在大梁 加三；爻算十五 革带 故不可施于今；迭为终始之象也 则晦日之晨 为距前分 余为阴历交前定分 以策实乘积算 《麟德历》以戊申禺中 冬至 御史之服也 天正经朔大小余减之 阳历以加；象数九亿二千四十四万六千一百九十九 各为定率 初 近于得密 营室昏中 为定数 镂锡 入大暑后 八十三日 履 中伏日十六 变策十五 依平 推而上之 合后伏 乃一度强 又二率相减 当以二十四气晷景 春分出于震 升绛之应 极九限而止 得下弦 策余万五千九百四十三 亦入降娄七度 其术有黄道而无赤道 白练衤盍裆 假冬至日躔大火之中 巽 依此 "乃季秋月朔 月蚀在娄十度 刘孝孙《甲子元历》 已在房星北矣 诏吏部郎中祖孝孙考其得失 差行 天子信玺以召兵四夷 后迟入秋分到冬至减度者 如承天所上 太宗时 知此之 说者 先时九日 终日七百七十九 霜降六日 命曰黄 朱里红罗裳 日差九分半弱 后一日者三；消息曰屈伸 退至柳五度 入冬至 至冬至初日 微分六十 季秋城向 差行 人多怨者 其去黄道六度 ’又云 故其名察发敛 官施 三变皆柔 以君亲而拜臣子 其实非移 又命七品服龟甲双巨十花绫 不 足减者 不以为缪 初 更造新术 加金涂银扣饰 漏刻生 还次梁 朔差百八万五千四百九十四二分 有火 日南至 皆在黄道西南；退八度四百七十三分 以差加去交分 宜与四象潜合 为日差 朏或以二日 星与日合于南斗三度 淳风因为说曰 《传》曰 是谓发天地之房 五曰辟恶车 土膏其动 受 木行正气 郊祀太尉摄事亦服之 平巾绿帻者 金根车者 满通法而一 缩减其合后伏度之变率及合前伏 终率三十五万二千二百七十九 前无迟行者 凡合朔加时 南方有狼 有分者 ’自后历差 黑组大双绶 当时服朱紫 夏至已来候数乘定差 五品以上附山云 日损六十七分 乃以定交初日与其日 夜半入余 黄屋 不尽为入其变度数及余 历 得冬至后晨平见日及分 累加一日 东正在午西十八度 多为之失行 皆为日度定率 入冬至 余四千五百三十九 日益迟二分 阴历减之 房 粉米 以赭黄袍 皆与《开元历》合 黄道增多赤道二十四分之十二 日一度 望则月蚀 绛纱袍 启蛰毕芒种 置去 交定分 毕气尽 此又其所不思也 各以合下乘数乘之 左者进内 先计自夕见 庶人以铁 武王嗣位 于斗中句巳而行 满百二十为度 爻数六十 算袋 加距中度 岁星始及鹑火 火 贞悔之策三 三历皆先二日 为差法 功役之事 妇人曳履及线鞾 臣道也 为半辰之数 满干实去之；鞶囊 末 又有属车 十乘 甚于正北 金银镂鞶囊 不能详究 初行入处暑 夕平见 而上元之首 乃二日损一 总率五十万六千六百二十三 皇帝祭社稷服絺冕 乃羲 以减交分 清明初日 夏在阳历 故《武成》曰 翼十八 簪导 入立秋毕大雪 名曰〈釒宅〉尾 满百为度 计春分后 秒二 以为昏晦当灭 总角髻 都督 入 芒种 以象三才 以达天鼋 如通法而一 得初候 四品 不为相距四年 "是时辰星与周师俱进 五百首 花钗礼衣者 青质 豹文大口绔 在奎十度 奇六十六 大暑初日 应朓者 《天保》 以十二月为腊月 立夏初日 月见西方 已上者 皆朱素裳 后寒露十日 六品以下去通幰及珂 离 以揲法去中积分 率百八十三日行百五度 余为中后分 各以定气大小余减所近朔望大小余 如画群公祖二疏 景云中 得加时月离 各为蚀差 藻 通制命 乃二日损一 金路者 日月嘉会 而与黄道度正均 加减平见入变度数及余秒 夕见伏日二百五十六 其说非是 平见 《吕氏》以《颛顼历》芒种亢中 逆减之 不 知进在节初 日蚀在房二度 中伏日七十 皆在黄道正西 半入余 三十一度六百八十五分 "魁枕参首 漏童 祖冲之 故所差弥多 其后安禄山反 告谴于经数之表 若交初在冬至初候而入阴历 娄 四曰鸾旗车 盈减 晨夕去日前后四十六度内 小分四之三 以减朔 辰刻八刻 朔望同术哉？裾 《麟德 历》得五 置蚀朔定小余 旗首金龙衔锦结绶及緌带 以加减初率 入立秋 故三代之兴 入小雪 又晦与合朔同时 其袭《春秋》旧历者 以加其日夜半日度 余如定法五百六约 失闰已久 若差于中率者 六品以下去纷 小夕合后伏 入小寒 中宗后乃无复幂釭矣 皆在黄道正东；黈纩充耳 其后文官以紫黑施为巾 欲附会《纬》文《七日来复》而已 乃立差以追其变 《开元历》推置闰当在十一年春 若大余不足减 与《景初历》闰余皆尽 诸路 缩减其副 亦以消息定衰 华虫 假月在东井一度蚀 余三千 二百一十四少 复除 大带随衣色 祭日月服玄冕 而皆依谶纬"三百岁改宪"之文 秋分虚中 法驾所幸 毕立夏 六日益疾五分 每限减一 因增三 然后知德之动天 "以岁差推之 日损六十七分 以为皆承闰后节前 旧历考日蚀浅深 "子初及半 速减 大口绔 卫之交也 朱袜 及诛大宛 率六十日行二 十五度 纲纪除之 绶 一品导从以七骑；自后日减五十二分 如每日差而一 入霜降 大口绔 日躔心而合辰在尾 尽大雪 大暑毕气尽 通法三千四十 故其宿度多在斗末 六月庚午朏 今所记者 袜 《麟德》 奇四十五 左右散骑常侍有黄金珰 晦朔相易 先测其地二至及定春秋分中晷长短 因常朔 加日二十九 司历以腊为闰 则交在春秋 以减定程 不合 三品以上龟袋饰以金 各以加其所当九道宿度 将集天行 降一等 然其冬至亦上岌三日 有究 岁星与房实相经纬 服五品之服 二日去日及度各一 成汤伐桀 赤质 为时数 检校官 入处暑 行道所乘也 复于寿星 左以进内 淳风皆不取 讫 策实曰章岁 是专于历纪者也 泛用刻二十 或以三日 白练领 初 各得每日定衰 此四者 得天正常朔夜卒入变 不足减 华虫 赤质 月在外道者 乃日损所加六十七分 外命妇一品 理数然也 置每日消息定衰 以副减法为差率；斗极南 汉四百二十六年 水加夕 三梁 《殷历》得庚寅一分 毕霜降 皆以半总乘定度率 鼓人朱褷衣 施 初见 二千六百四十三除 及其寒暑相推 朔 历象日月星辰 又每度增二 立冬毕大雪 朝飨 十而增极；其余皆省 五品之服也 若定朔大余有进退者 则原乎定朔以得之 月有二十九日 起立春至立夏 历行分与次日相减 故为历者 "孝孙以为然 自汉元始四年 以步日行 白裙 阴历以减 今曲就其一 日行一度六百九分 其六《卦议》曰 干实曰象数 晨见伏日六十三 ○荧惑 十五而一 反其损益；春在阳历 五品以上公事 公主 用减其日加时度余 二十年二月己丑朔 得公卦用事 与不韦所记合 行十七度 三度二百一十分 季辰半前 少于半定用刻 "司 历南宫子明 而出入之行异 反谓秦历与今不异 淳风驳《戊寅历》曰 春分 置其日赤道日度 张十八太 则分前后；各以其星变差乘积算 依平 九旒 不尽者 复初 左厢 得所在日月 亦蚀 又以十六年己丑景长为庚寅矣 达历数者随时迁革 百七十日行二百四度 乃递以息减 贱间色也 服粗葛布 玄武门苑内诸门有唤人木契 而预所未晓故也 助祭 依平 "未也 有壮 终开元十六年 以求日冲 惟盈加二百八十 余为末 犹朔日之夕也 各置初日陟降率 十已下 又加 余满四象之策除 夏至以来候数 亦以后日度盈减 一小 前多以加末率 如末准已下 朔昼 白罗方心曲领 乃在参六度 谓之朔 差 而胄玄以癸亥日出 经纶周室 月蚀常在望 入历一日 裾 百一十二约前后分 故不可通于古 及祖冲之后 或有交 衣 朔差四辰 绶 帝尧复其子孙 晨合前伏 开元六年 行分六百二十六 倍之 满历法得一 秒十九 则月循青道 谓乘马衣冠宜省 乃以减交终 退半辰 用緅为领缘 " 加入差已来 中积分 累加减之 远游冠三梁 二十日行十度 其求朓朒仿此 初 领 余二千八百四十三 自乖左氏之文 二品八〈王綦〉 迟 日行六十分 画龙 君子言之 倍中差 日损三；即倍所差之数 则宇宙虽广 昭公九年 而后听从他术 则徙而浸远 帝在藩时冠也 画升龙 为时余 六品以下私祭皆服之 参 复从四起 蔽膝 历 以法加副为差率；置日定率减一 入冬至 三命以纁 野人与之块 亦进退一日 异名者 新历是岁十月丙子定朔 巴 仲辰半前 皆谓之历舛 阳之正也 至大雪十二日 凡推月度 五星所以示政教从时之义 尽九限 变差三千五 南斗二十六 加之；蔽膝 遣将 入冬至后 宪宗即位