【高一数学】山东省肥城市2019-2020学年高一下学期期中考试试题
2019-2020学年山东省泰安市肥城市高一下学期期中数学试卷 (解析版)
2019-2020学年高一第二学期期中数学试卷一、选择题（共8小题）1．设i 是虚数单位，复数z 1＝1+2i ，z 2＝1﹣3i ，那么z 1+z 2＝（ ） A ．2﹣iB ．2+iC ．﹣2﹣iD ．﹣2+i2．AB →+BC →−AD →=（ ） A ．AD →B ．CD →C ．DB →D ．DC →3．若a →=（x ，﹣1），b →=（﹣3，2），且a →∥b →，则x 的值为（ ） A ．12B ．32C ．2D ．524．2020年2月8日，在韩国首尔举行的四大洲花样滑冰锦标赛双人自由滑比赛中，中国组合隋文静/韩聪以总分217.51分拿下四大洲赛冠军，这也是他们第六次获得四大洲冠军．中国另一对组合彭程/金杨以213.29分摘得银牌．颁奖仪式上，国歌奏响！五星红旗升起！团结一心！中国加油！花样滑冰锦标赛有9位评委进行评分，首先这9位评委给出某对选手的原始分数，评定该对选手的成绩时从9个原始成绩中去掉一个最高分、一个最低分，得到7个有效评分，7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是（ ） A ．中位数B ．平均数C ．方差D ．极差5．某工厂抽取100件产品测其重量（单位：kg ）．其中每件产品的重量范围是[40，42]．数据的分组依据依次为[40，40，5），[40，5，41），[41，41，5），[41，5，42），据此绘制出如图所示的频率分布直方图，则重量在[40，41）内的产品件数为（ ）A ．30B ．40C ．60D ．806．已知作用在坐标原点的三个力F 1→=（3，4），F 2→=（2，﹣5），F 3→=（3，1），则作用在原点的合力F →=F 1→+F 2→+F 3→的坐标为（ ）A ．（8，0）B ．（8，8）C ．（﹣2，0）D ．（﹣2，8）7．已知a ∈C ，关于x 的方程x 2−ax +2−4√2i =0有实根，则|a |的最小值是（ ） A ．2B ．4C ．8D ．168．著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理．设点O ，H 分别是△ABC 的外心、垂心，且M 为BC 中点，则（ ） A ．AB →+AC →=3HM →+3MO →B ．AB →+AC →=3HM →−3MO →C ．AB →+AC →=2HM →+4MO →D ．AB →+AC →=2HM →−4MO →二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则下列关系式中，一定成立的有（ ） A ．a sin B ＝b sin A B ．a ＝b cos C +c cos B C ．a 2+b 2﹣c 2＝2ab cos C D ．b ＝c sin A +a sin C10．下面是关于复数z =2−1+i（i 为虚数单位）的命题，其中真命题为（ ） A ．|z|=√2B ．z 2＝2iC ．z 的共轭复数为1+iD ．z 的虚部为﹣111．如图，已知点O 为正六边形ABCDEF 中心，下列结论中正确的是（ ）A ．OA →与FE →是共线向量 B ．OA →=CB →=DO →C ．(OA →−OE →)⋅(EF →−FA →)=0D ．(OA →⋅AF →)BC →=OA →(AF →⋅BC →)12．在△ABC 中，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ） A ．b ＝10，A ＝45°，C ＝70° B ．b ＝45，c ＝48，B ＝60° C ．a ＝14，b ＝16，A ＝45°D ．a ＝7，b ＝5，A ＝80°三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知a →=（1，2），b →=（﹣2，1），则a →+b →的坐标为 ，（a →+b →）•（a →−b →）＝ ．14．数据：18，26，27，28，30，32，34，40的75%分位数为 ．15．某校田径队共有男运动员45人，女运动员36人．若采用分层抽样的方法在全体运动员中抽取18人进行体质测试，则抽到的女运动员人数为 ．16．如图，定圆C 半径为2，A 为圆C 上的一个定点，B 为圆C 上的动点，若点A ，B ，C 不共线，且|AB →−tAC →|≥|BC →|对任意t ∈（0，+∞）恒成立，则 AB →⋅AC →= ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．在①b =√7，sin B =√155，②b =√7，AB →⋅AC →=−1，③c ＝1，△ABC 的面积是√62三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并加以解答．已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ．若 ______，cos A =−√77，求a 的值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．为了了解某校初三年级500名学生的体质情况，随机抽查了10名学生，测试1min 仰卧起坐的成绩（次数），测试成绩如下：30 35 42 33 34 36 34 37 29 40 （1）这10名学生的平均成绩x 是多少？标准差s 是多少？（2）次数位于x −s 与x +s 之间有多少名同学？所占的百分比是多少？（参考数据：3.82≈14.6）19．在复平面内，复数z 1，z 2，z 3对应的点分别为A(4，0)，B(5，√3)，C(3，3√3)． （1）计算：z 2z 3，并求z 2z 3的模；（2）求向量BC →在向量OA →上的投影向量，其中O 为复平面的原点．20．已知平面上三个向量a→，b→，c→的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°．（1）求证：(a→−b→)⊥c→；（2）若|k a→+b→+c→|＞1 （k∈R），求k的取值范围．21．已知复数ω=−1+√32i（i是虚数单位），ω是ω的共轭复数．2（1）证明：ω2=ω；（2）分别求ω3和ω2+ω+1的值；（3）求（ω+2ω2）2+（2ω+ω2）2的值．22．已知△ABC内接于以O为圆心，1为半径的圆，且3OA→+4OB→+5OC→=0→（1）求数量积，OA→⋅OB→，OB→⋅OC→，OC→⋅OA→；（2）求△ABC的面积．参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设i是虚数单位，复数z1＝1+2i，z2＝1﹣3i，那么z1+z2＝（）A．2﹣i B．2+i C．﹣2﹣i D．﹣2+i【分析】利用复数的加法运算即可求解．解：∵复数z1＝1+2i，z2＝1﹣3i，∴z1+z2＝2﹣i，故选：A．【点评】本题主要考查了复数的基本运算，是基础题．2．AB→+BC→−AD→=（）A．AD→B．CD→C．DB→D．DC→【分析】根据向量加减的运算性质直接计算即可．解：AB→+BC→−AD→=AC→−AD→=DC→故选：D．【点评】本题考查了向量的加减运算，是基础题．3．若a→=（x，﹣1），b→=（﹣3，2），且a→∥b→，则x的值为（）A．12B．32C．2D．52【分析】若两个向量a→∥b→，则a1b2﹣a2b1＝0，又由向量a→=（x，﹣1），b→=（﹣3，2），将两个向量的坐标代入可得到一个关于x的方程，解方程易得x值．解：∵向量a→=（x，﹣1），b→=（﹣3，2），且a→∥b→，2x﹣3＝0x=3 2故选：B．【点评】本题考查两个向量平行的充要条件的坐标形式，要记住两个向量平行的坐标形式的充要条件，注意数字的运算，本题是一个基础题．4．2020年2月8日，在韩国首尔举行的四大洲花样滑冰锦标赛双人自由滑比赛中，中国组合隋文静/韩聪以总分217.51分拿下四大洲赛冠军，这也是他们第六次获得四大洲冠军．中国另一对组合彭程/金杨以213.29分摘得银牌．颁奖仪式上，国歌奏响！五星红旗升起！团结一心！中国加油！花样滑冰锦标赛有9位评委进行评分，首先这9位评委给出某对选手的原始分数，评定该对选手的成绩时从9个原始成绩中去掉一个最高分、一个最低分，得到7个有效评分，7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是（）A．中位数B．平均数C．方差D．极差【分析】根据题意，由平均数、方差、中位数、极差的统计意义分析可得答案．解：根据题意，从9个原始成绩中去掉一个最高分、一个最低分，得到7个有效评分，其中位数是不变的；故选：A．【点评】本题考查平均数、方差、中位数、极差的统计意义，注意平均数、方差、中位数、极差的定义．5．某工厂抽取100件产品测其重量（单位：kg）．其中每件产品的重量范围是[40，42]．数据的分组依据依次为[40，40，5），[40，5，41），[41，41，5），[41，5，42），据此绘制出如图所示的频率分布直方图，则重量在[40，41）内的产品件数为（）A．30B．40C．60D．80【分析】由频率分布直方图得重量在[40，41）内的频率为0.4．由此能求出重量在[40，41）内的产品件数．解：由频率分布直方图得：重量在[40，41）内的频率为：（0.1+0.7）×0.5＝0.4．∴重量在[40，41）内的产品件数为0.4×100＝40．故选：B．【点评】本题考查产品件数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6．已知作用在坐标原点的三个力F 1→=（3，4），F 2→=（2，﹣5），F 3→=（3，1），则作用在原点的合力F →=F 1→+F 2→+F 3→的坐标为（ ） A ．（8，0）B ．（8，8）C ．（﹣2，0）D ．（﹣2，8）【分析】根据平面向量的坐标运算公式，计算即可． 解：F 1→=（3，4），F 2→=（2，﹣5），F 3→=（3，1）， 则F →=F 1→+F 2→+F 3→=（3+2+3，4﹣5+1）＝（8，0）． 故选：A ．【点评】本题考查了平面向量的坐标运算公式应用问题，是基础题．7．已知a ∈C ，关于x 的方程x 2−ax +2−4√2i =0有实根，则|a |的最小值是（ ） A ．2B ．4C ．8D ．16【分析】求出a 的表达式，然后利用复数的模得到关系式，转化求解通过基本不等式求解函数的最值即可．解：a ∈C ，关于x 的方程x 2−ax +2−4√2i =0有实根，可得a ＝x +2x −4√2i x，|a |=(x +2x )2+(42x)2=√x 2+36x2+4≥√4+2√x 2⋅36x2=√16=4．当且仅当x ＝6时取等号．则|a |的最小值是：4． 故选：B ．【点评】本题考查函数的最值的求法，复数的模的运算法则以及基本不等式的应用，是中档题．8．著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理．设点O ，H 分别是△ABC 的外心、垂心，且M 为BC 中点，则（ ） A ．AB →+AC →=3HM →+3MO →B ．AB →+AC →=3HM →−3MO →C ．AB →+AC →=2HM →+4MO →D ．AB →+AC →=2HM →−4MO →【分析】构造符合题意的特殊三角形（例如直角三角形），然后利用平面向量的线性运算法则进行计算即可得解．解：如图所示的Rt △ABC ，其中角B 为直角，则垂心H 与B 重合，∵O 为△ABC 的外心，∴OA ＝OC ，即O 为斜边AC 的中点， 又∵M 为BC 中点，∴AH →=2OM →，∵M 为BC 中点，∴AB →+AC →=2AM →=2(AH →+HM →)=2(2OM →+HM →)=4OM →+2HM →=2HM →−4MO →． 故选：D ．【点评】本题考查平面向量的线性运算，以及三角形的三心问题，解题的关键是找到符合题意的欧拉三角形，考查学生分析问题的能力和推理论证能力，属于中档题． 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则下列关系式中，一定成立的有（ ） A ．a sin B ＝b sin A B ．a ＝b cos C +c cos B C ．a 2+b 2﹣c 2＝2ab cos CD ．b ＝c sin A +a sin C【分析】对于A 由正弦定理可得a sin B ＝b sin A ．即可判断是否成立；对于B 由于sin A ＝sin （B +C ）＝sin B cos C +sin C cos B ，根据正弦定理可得a ＝b cos C +c cos B ，即可判断是否成立；对于C 由余弦定理可得：a 2+b 2﹣c 2＝2ab cos C ；即可判断是否成立；对于D 由正弦定理可得c sin A ＝a sin C ，b ＝c sin A +a sin C ＝2c sin A 不一定成立． 解：对于A ，由正弦定理a sinA=b sinB，可得a sin B ＝b sin A ，故成立；对于B，由于sin A＝sin（B+C）＝sin B cos C+sin C cos B，根据正弦定理可得a＝b cos C+c cos B，故成立；对于C，由余弦定理可得a2+b2﹣c2＝2ab cos C，故成立；对于D，由正弦定理可得c sin A＝a sin C，可得：b＝c sin A+a sin C＝2c sin A不一定成立．综上可得：只有ABC成立．故选：ABC．【点评】本题考查了正弦定理、余弦定理的应用，考查了推理能力，属于基础题．10．下面是关于复数z=2−1+i（i为虚数单位）的命题，其中真命题为（）A．|z|=√2B．z2＝2iC．z的共轭复数为1+i D．z的虚部为﹣1【分析】利用复数的运算法则可得复数z=2−1+i=−1﹣i，进而判断出结论．解：复数z=2−1+i=−2(1+i)(1−i)(1+i)=−1﹣i，∴|z|=√2，z2＝（﹣1﹣i）2＝2i，z=−1+i，z的虚部为﹣1．其中真命题为ABD．故选：ABD．【点评】本题考查了复数的运算性质及其有关知识，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11．如图，已知点O为正六边形ABCDEF中心，下列结论中正确的是（）A．OA→与FE→是共线向量B．OA→=CB→=DO→C．(OA→−OE→)⋅(EF→−FA→)=0D．(OA→⋅AF→)BC→=OA→(AF→⋅BC→)【分析】根据正六边形的性质，运用平面向量的运算法则逐项判断即可．解：∵点O为正六边形ABCDEF中心，所以：OA→=EF→；故A对；∴OA→=CB→=DO→，故B对；∴（OA→−OE→）•（EF→−FA→）＝（OA→−OE→）•（EF→+AF→）＝（OA→−OE→）•（OE→+EF→）＝（OA→−OE→）•OF→=EA→•OF→=0；故C对；因为OA→=BC→；∴（OA→•AF→）BC→=OA→（AF→•BC→）成立，即D对；故选：ABCD．【点评】本题考查平面向量的加减混合运算，考查向量相等的定义，考查平面向量的数量积公式，属于基础题．12．在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（）A．b＝10，A＝45°，C＝70°B．b＝45，c＝48，B＝60°C．a＝14，b＝16，A＝45°D．a＝7，b＝5，A＝80°【分析】在△ABC中，已知a，b和角A时，A为锐角，则由正弦定理可得当b sin A＜a ＜b时，三角形有两解，由此逐项判断即可得解．解：选项B满足c sin60°＜b＜c，选项C满足b sin45°＜a＜b，所以B，C有两解，对于选项A，可求B＝180°﹣A﹣C＝65°，三角形有一解，对于选项D，由sin B=b⋅sinAa，且b＜a，可得B为锐角，只有一解，三角形只有一解．故选：BC．【点评】本题考查了正弦定理的应用问题，是基础题．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知a→=（1，2），b→=（﹣2，1），则a→+b→的坐标为（﹣1，3），（a→+b→）•（a→−b→）＝0．【分析】根据向量坐标表示的和差运算性质，以及平面向量数量积运算性质代入计算即可．解：由题得a→+b→=（1，2）+（﹣2，1）＝（﹣1，3），又a→−b→=（1，2）﹣（﹣2，1）＝（3，1）所以（a→+b→）•（a→−b→）＝（﹣1，3）•（3，1）＝﹣3+3＝0，故答案为：（﹣1，3），0．【点评】本题考查向量的坐标运算，考查平面向量数量积的运算性质，属于基础题．14．数据：18，26，27，28，30，32，34，40的75%分位数为33．【分析】根据一组数据的75%分位数的定义，求出即可．解：根据分位数定义知，8×75%＝6，所以数据18，26，27，28，30，32，34，40的75%分位数是32+342=33．故答案为：33．【点评】本题考查了分位数的定义与应用问题，是基础题．15．某校田径队共有男运动员45人，女运动员36人．若采用分层抽样的方法在全体运动员中抽取18人进行体质测试，则抽到的女运动员人数为8．【分析】根据田径队的男女运动员数目和用分层抽样要抽取的数目，得到每个个体被抽到的概率值，利用每个个体被抽到的概率乘以女运动员的数目，得到女运动员要抽取得人数．解：∵某校田径队共有男运动员45人，女运动员36人，∴这支田径队共有45+36＝81人，用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为18的样本，∴每个个体被抽到的概率是1881=29，∵女运动员36人，∴女运动员要抽取36×29=8人，故答案为：8．【点评】本题考查分层抽样，本题解题的关键是在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，本题是一个基础题．16．如图，定圆C半径为2，A为圆C上的一个定点，B为圆C上的动点，若点A，B，C 不共线，且|AB→−tAC→|≥|BC→|对任意t∈（0，+∞）恒成立，则AB→⋅AC→=4．【分析】对|AB →−tAC →|≥|BC →|＝|AB →−AC →|两边平方，并设AB →•AC →=m ，整理可得关于t 的一元二次不等式，再由不等式恒成立思想，运用判别式小于等于0，求得m 的值． 解：|AB →−tAC →|≥|BC →|＝|AB →−AC →|，两边平方可得，AB →2−2t AB →•AC →+t 2AC →2≥AB →2−2AB →•AC →+AC →2，设AB →•AC →=m ，则22t 2﹣2tm ﹣（22﹣2m ）≥0，又|AB →−tAC →|≥|BC →|对任意t ∈（0，+∞）恒成立，则判别式△＝4m 2+4×4（4﹣2m ）≤0，化简可得（m ﹣4）2≤0，解得m ＝4，即AB →•AC →=4．故答案为：4．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，以及不等式恒成立问题，是综合题．一、选择题17．在①b =√7，sin B =√155，②b =√7，AB →⋅AC →=−1，③c ＝1，△ABC 的面积是√62三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并加以解答．已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ．若 ______，cos A =−√77，求a 的值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【分析】直接利用三角函数同角三角函数关系式的变换和正弦定理的应用求出结果． 解：选①，当①b =√7，sin B =√155，cos A =−√77，所以sinA =√427， 利用正弦定理a sinA =b sinB ，整理得a =bsinA sinB=√10． 故答案为：①；√10．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，同角三角函数关系式的变换，正弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 18．为了了解某校初三年级500名学生的体质情况，随机抽查了10名学生，测试1min 仰卧起坐的成绩（次数），测试成绩如下：30 35 42 33 34 36 34 37 29 40（1）这10名学生的平均成绩x 是多少？标准差s 是多少？（2）次数位于x −s 与x +s 之间有多少名同学？所占的百分比是多少？（参考数据：3.82≈14.6）【分析】（1）先求出10名学生的平均成绩，从而能求出方差，进而能求出标准差．（2）由x −s =35−3.8=31.2，x +s =35+3.8=38.8，求出次数位于x −s 与x +s之间的有6位同学，从而能求出所占的百分比．解：（1）10名学生的平均成绩为： x =110(30+35+42+33+34+36+34+37+29+40)=35．方差：s 2=110(25+0+49+4+1+1+1+4+36+25)=14.6， 即标准差s =√14.6≈3.8．（2）x −s =35−3.8=31.2，x +s =35+3.8=38.8，所以次数位于x −s 与x +s 之间的有6位同学，所占的百分比是610=60%．【点评】本题考查平均数、标准差的求法及应用，考查平均数、方差等基础知识，考查推理论证能力能力与运算求解能力，属于基础题．19．在复平面内，复数z 1，z 2，z 3对应的点分别为A(4，0)，B(5，√3)，C(3，3√3)．（1）计算：z 2z 3，并求z 2z 3的模； （2）求向量BC →在向量OA →上的投影向量，其中O 为复平面的原点．【分析】（1）由题意可知：z 2=5+√3i ，z 3=3+3√3i ，利用复数的运算性质、模的运算性质即可得出．（2）由题意可知：OA →=(4，0)，BC →=(−2，2√3)．设向量BC →和OA →的夹角为α，BC →cos α=BC →⋅OA→|OA →|=−2，进而得出结论．解：（1）由题意可知：z 2=5+√3i ，z 3=3+3√3i ，……………………………………… ∴z 2z 3=√3i 3+3√3i =√3i)(3−3√3i)(3+3√3i)(3−3√3i)=24−12√3i 36=23−√33i ，……………… |z 2z 3|=(23)2+(−33)2=√73．…………………………………………………………… （2）由题意可知：OA →=(4，0)，BC →=(−2，2√3)．…………………………………… 设向量BC →和OA →的夹角为α，BC →cos α=BC →⋅OA →|OA →|=−84=−2 即向量BC →在向量OA →上的投影向量是−12OA →．………………………………………… 【点评】本题考查了复数的运算性质及其几何意义、向量投影，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．20．已知平面上三个向量a →，b →，c →的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°．（1）求证：(a →−b →)⊥c →；（2）若|k a →+b →+c →|＞1 （k ∈R ），求k 的取值范围．【分析】（1）利用向量的分配律及向量的数量积公式求出(a →−b →)⋅c →；利用向量的数量积为0向量垂直得证．（2）利用向量模的平方等于向量的平方及向量的数量积公式将已知等式平方得到关于k 的不等式求出k 的范围．解：（1）证明∵(a →−b →)⋅c →=a →⋅c →−b →⋅c →=|a →|•|c →|•cos120°﹣|b →|•|c →|•cos120°＝0，∴(a →−b →)⊥c →．（2）解|k a →+b →+c →|＞1⇔(ka →+b →+c →)2＞1， 即k 2a →2+b →2+c →2+2ka →⋅b →+2ka →⋅c →+2b →⋅c →＞1．∵|a →|＝|b →|＝|c →|＝1，且a →，b →，c →相互之间的夹角均为120°，∴a →2=b →2=c →2=1，a →⋅b →=b →⋅c →=a →⋅c →=−12， ∴k 2+1﹣2k ＞1，即k 2﹣2k ＞0，∴k ＞2或k ＜0．【点评】本题考查向量垂直的充要条件、向量模的平方等于向量的平方、向量的数量积公式．21．已知复数ω=−12+√32i （i 是虚数单位），ω是ω的共轭复数． （1）证明：ω2=ω；（2）分别求ω3和ω2+ω+1的值；（3）求（ω+2ω2）2+（2ω+ω2）2的值．【分析】（1）由ω是ω的共轭复数，可得ω=−12−√32i ．计算ω2，即可证明结论． （2）由ω3＝ω2•ω，由（1）可得：ω3=ω•ω代入计算即可得出．ω2+ω+1=ω+ω+1，代入计算即可得出．（3）由（ω+2ω2）2+（2ω+ω2）2＝ω2+4ω3+4ω4+4ω2+4ω3+ω4，利用（1）（2）代入即可得出．解：（1）证明：∵ω是ω的共轭复数，∴ω=−12−√32i ．………………………………………………………………………（1分） ∴ω2=(−12+√32i)2=14−√32i −34=−12−√32i ．………… ∴ω=ω2．………………………………………………………………………………… （2）∵ω3＝ω2•ω，……………………………………………………………∴由（1）可得：ω3=ω•ω＝（−12−√32i ）（−12+√32i ）=(−12)2+(√32)2=1．…… ∴ω2+ω+1=ω+ω+1＝（−12−√32i ）+（−12+√32i ）+1＝0．……………………… （3）∵（ω+2ω2）2+（2ω+ω2）2＝ω2+4ω3+4ω4+4ω2+4ω3+ω4，……………∴由（1）（2）得：ω2+4ω3+4ω4+4ω2+4ω3+ω4＝5ω2+5ω+8＝3，∴（ω+2ω2）2+（2ω+ω2）2＝3．………………………………………………………【点评】本题考查了复数的运算性质及其有关知识，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．22．已知△ABC 内接于以O 为圆心，1为半径的圆，且3OA →+4OB →+5OC →=0→ （1）求数量积，OA →⋅OB →，OB →⋅OC →，OC →⋅OA →；（2）求△ABC 的面积．【分析】（1）先根据向量的数量积运算对所求的式子移到右面一项后两边同时平方可求． （2）由已知得sin ∠AOB ＝1，sin ∠AOC =45，sin ∠BOC =35，△ABC 的面积S ＝S △AOB +S △AOC +S △BOC ．由此能求出结果．解：（1）∵3OA →+4OB →+5OC →=0→，且外接圆的半径r ＝1，∴(3OA →+4OB →)2=(−5OC →)2=25．∴9+16+24OA →⋅OB →=25，∴OA →⋅OB →=0同理可得，OB →⋅OC →=−45，OA →⋅OC →=−35． （2）∵OA →⋅OB →=0，OB →⋅OC →=−45，OA →⋅OC →=−35． △ABC 内接于以O 为圆心，1为半径的圆，∴cos ∠AOB =OA →⋅OB →|OA →|⋅|OB →|=0，cos ∠AOC =OA →⋅OC →|OA →|⋅|OC →|=−35，cos ∠BOC =OB →⋅OC →|OB →|⋅|OC →|=−45， ∴sin ∠AOB ＝1，sin ∠AOC =45，sin ∠BOC =35，∴S △AOB =12×1×1×sin∠AOB =12， S △AOC =12×1×1×sin∠AOC =25，S △BOC =12×1×1×sin∠BOC =310，∴△ABC 的面积S ＝S △AOB +S △AOC +S △BOC =65．【点评】本题主要考查向量的数量积运算和三角形的面积公式．三角函数和向量的综合题是高考的重点和热点，要给予重视．。
2022-2023学年山东省泰安市肥城市高一(下)期中数学试卷【答案版】
2022-2023学年山东省泰安市肥城市高一（下）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设z ＝﹣2+3i ，则在复平面内z 对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．下列向量的运算结果不正确的是（ ） A ．AB →+BC →+CA →=0→B ．AB →−BD →−DA →=0→C ．OA →−OD →+AD →=0→D ．AB →−AC →+BD →−CD →=0→3．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝3，b ＝5，sin A =13，则sin B ＝（ ） A ．15B ．59C ．√53D ．14．为了得到函数y =3sin(x −π5)的图象，只要把y =3sin(x +π5)上所有的点（ ） A ．向右平行移动π5的单位长度B ．向左平行移动π5的单位长度C ．向右平行移动2π5的单位长度D ．向左平行移动2π5的单位长度5．湖南岳阳市岳阳楼与湖北武汉黄鹤楼、江西南昌滕王阁并称为“江南三大名楼”，是“中国十大历史文化名楼”之一，世称“天下第一楼”．因范仲淹作《岳阳楼记》使得岳阳楼著称于世．如图，为了测量岳阳楼的高度CD ，选取了与底部水平的直线AC ，测得∠DAC ＝30°，∠DBC ＝60°，AB ＝22米，则岳阳楼的高度CD 为（ ）A ．8√3米B ．9√3米C ．10√3米D ．11√3米6．在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →=（ ） A ．34AB →−14AC →B ．14AB →−34AC →C ．34AB →+14AC →D ．14AB →+34AC →7．已知cos α＝﹣2sin α，则sin2α+2cos2α4cos2α−4sin2α的值是（ ）A ．114B ．−114C ．52D ．−528．已知AB →=(a ，b)，向量AB →绕着A 点顺时针方向旋转θ角得到AP →，则AP →=（ ）A ．（b cos θ﹣a sin θ，b cos θ+a sin θ）B ．（a cos θ+b sin θ，b cos θ﹣a sin θ）C ．（b cos θ+a sin θ，b cos θ﹣a sin θ）D ．（a cos θ﹣b sin θ，a cos θ+b sin θ）二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．若z 1，z 2是方程x 2+ax +1＝0的两个虚数根，则（ ） A ．a 的取值范围为[﹣2，2] B ．z 1的共轭复数是 z 2 C ．z 1z 2＝1D ．z 1+a2为纯虚数10．已知向量AB →=(k ，2)，AC →=(2，1)，则（ ） A ．当k ＝﹣1时，AB →⊥AC →B ．当k ＝4时，A ，B ，C 三点共线C ．当k ＝1时，|BC →|=√2D ．当k ＞﹣1时，∠BAC 是锐角11．△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，则（ ） A ．若a cosB=b cosA ，则△ABC 为等腰直角三角形B ．若a sinB=b sinA，则△ABC 为等腰三角形C ．若a 2＝b 2+c 2﹣bc ，则C =π6 D ．若c ＝b sin A +a cos B ，则A =π412．某简谐运动的图象如图所示．若A ，B 两点经过x 秒后分别运动到图象上E ，F 两点，则（ ）A ．AB →⋅GB →=EF →⋅GB →B ．AB →⋅AG →＞EF →⋅AG →C ．AE →⋅GB →=BF →⋅GB →D ．AB →⋅EF →＞BF →⋅AG →三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．已知a ，b ∈R ，复数a +bi =2i2+i ，则a +b ＝ ．14．已知向量e 1→，e 2→是平面内的一组基底，若向量a→=4e 1→−2e 2→与b→=−2e 1→+λe 2→共线，则λ＝ ．15．已知函数f(x)=√3sin(x +θ)+cos(x +θ)是偶函数，写出满足条件的角θ的一个取值 ． 16．如图，在等边三角形ABC 中，AB ＝2，点N 为AC 的中点，点M 是边CB （包括端点）上的一个动点，则AM →⋅NM →的最小值为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知复数z ＝（2sin θ+cos θ）+（sin θ+2cos θ）i ，其中θ∈（0，π）． （1）当θ＝α时，z 表示实数；当θ＝β时，z 表示纯虚数．求tan （α﹣β）的值． （2）复数z 的长度记作|z |，求|z |的最大值．18．（12分）已知梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，三个顶点A （4，2），B （2，4），C （1，2）． （1）求顶点D 的坐标； （2）求AB →在AD →上的投影向量．19．（12分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，√3acosC +asinC =√3b ． （1）求A ；（2）若点D 在BC 边的延长线上，且∠CAD ＝∠BAC ，证明：1AC=1AB+1AD．20．（12分）在直角坐标系xOy 中，以Ox 为始边分别作角α，β，其终边分别与单位圆交于点A ，B ． （1）证明：cos （α﹣β）＝cos αcos β+sin αsin β； （2）已知α，β为锐角，cosα=17，cos(α+β)=−1114，求cos β的值． 21．（12分）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图1）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．如图2，将筒车抽象为一个半径为4米的圆，筒车按逆时针方向每旋转一周用时120秒，当t ＝0时，筒车上的某个盛水筒M 位于点P 0(2，−2√3)处，经过t 秒后运动到点P （x ，y ），点P 的纵坐标满足y ＝f （t ）＝A sin （ωt +φ）(t ≥0，ω＞0，|φ|＜π2)．已知筒车的轴心O 距离水面的高度为2米，设盛水筒M 到水面的距离为h （单位：米） （盛水筒M 在水面下时，则h 为负数）． （1）将距离h 表示成旋转时间t 的函数；（2）求筒车在[0，240]秒的旋转运动过程中，盛水筒M 位于水面以下的时间有多长？22．（12分）如图在五边形ABCDE中，CD＝3AB＝3BC=910，∠ABC＝∠BCD=23π，∠AED=π3．（1）求线段AD的长；（2）设∠DAE＝α，△ADE的面积记为S，则有S＝f（α），求f（α）的表达式，并求S的最大值．2022-2023学年山东省泰安市肥城市高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设z ＝﹣2+3i ，则在复平面内z 对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解：∵z ＝﹣2+3i ，∴z =−2−3i ，则在复平面内z 对应的点的坐标为（﹣2，﹣3），位于第三象限． 故选：C ．2．下列向量的运算结果不正确的是（ ） A ．AB →+BC →+CA →=0→B ．AB →−BD →−DA →=0→C ．OA →−OD →+AD →=0→D ．AB →−AC →+BD →−CD →=0→解：对于A ，AB →+BC →+CA →=AC →−AC →=0→，故A 正确；对于B ，AB →−BD →−DA →=AB →−(BD →+DA →)=AB →−BA →=2AB →，故B 错误； 对于C ，OA →−OD →+AD →=OA →+DO →+AD →=DA →+AD →=DA →−DA →=0→，故C 正确； 对于D ，AB →−AC →+BD →−CD →=CB →+BD →+DC →=CB →+BC →=CB →−CB →=0→，故D 正确． 故选：B ．3．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝3，b ＝5，sin A =13，则sin B ＝（ ） A ．15B ．59C ．√53D ．1解：∵a ＝3，b ＝5，sin A =13，∴由正弦定理可得：sin B =b⋅sinA a =5×133=59．故选：B ．4．为了得到函数y =3sin(x −π5)的图象，只要把y =3sin(x +π5)上所有的点（ ） A ．向右平行移动π5的单位长度B ．向左平行移动π5的单位长度C ．向右平行移动2π5的单位长度D ．向左平行移动2π5的单位长度解：平移后的函数的初相是：−π5， 平移前的初相是π5，∵−π5−π5=−2π5． ∴为了得到函数y =3sin(x −π5)的图象，只要把y =3sin(x +π5)上所有的点：向右平行移动2π5的单位长度． 故选：C ．5．湖南岳阳市岳阳楼与湖北武汉黄鹤楼、江西南昌滕王阁并称为“江南三大名楼”，是“中国十大历史文化名楼”之一，世称“天下第一楼”．因范仲淹作《岳阳楼记》使得岳阳楼著称于世．如图，为了测量岳阳楼的高度CD ，选取了与底部水平的直线AC ，测得∠DAC ＝30°，∠DBC ＝60°，AB ＝22米，则岳阳楼的高度CD 为（ ）A ．8√3米B ．9√3米C ．10√3米D ．11√3米解：因为∠DAC ＝30°，∠DBC ＝60°， 所以∠ADB ＝30°， 所以△ABD 为等腰三角形， 所以BD ＝AB ＝22米，在Rt △BCD 中，∠BDC ＝90°﹣60°＝30°， 所以CD =BD ⋅cos ∠BDC =22×cos30°=10√3米． 故选：C ．6．在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →=（ ） A ．34AB →−14AC →B ．14AB →−34AC →C ．34AB →+14AC →D ．14AB →+34AC →解：在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，EB →=AB →−AE →=AB →−12AD →=AB →−12×12（AB →+AC →）=34AB →−14AC →， 故选：A ．7．已知cos α＝﹣2sin α，则sin2α+2cos2α4cos2α−4sin2α的值是（ ）A ．114B ．−114C ．52D ．−52解：因为cos α＝﹣2sin α，即tan α=−12，则sin2α+2cos2α4cos2α−4sin2α=2sinαcosα+2cos 2α−2sin 2α4cos 2α−4sin 2α−8sinαcosα=2tanα+2−2tan 2α4−4tan 2α−8tanα=−2×12+2−2×144−4×14−8×(−12)=114．故选：A ．8．已知AB →=(a ，b)，向量AB →绕着A 点顺时针方向旋转θ角得到AP →，则AP →=（ ） A ．（b cos θ﹣a sin θ，b cos θ+a sin θ） B ．（a cos θ+b sin θ，b cos θ﹣a sin θ） C ．（b cos θ+a sin θ，b cos θ﹣a sin θ）D ．（a cos θ﹣b sin θ，a cos θ+b sin θ）解：作OC →=AB →，OD →=AP →， 设点C 在角α的终边上，则cos α=√a 2+b ，sin α=√a 2+b ，则x D =√a 2+b 2cos （α﹣θ）=√a 2+b 2（cos αcos θ+sin αsin θ）＝a cos θ+b sin θ， y D =√a 2+b 2sin （α﹣θ）=√a 2+b 2（sin αcos θ﹣cos αsin θ）＝b cos θ﹣a sin θ， 即OD →=AP →=（a cos θ+b sin θ，b cos θ﹣a sin θ）． 故选：B ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．若z 1，z 2是方程x 2+ax +1＝0的两个虚数根，则（ ） A ．a 的取值范围为[﹣2，2] B ．z 1的共轭复数是 z 2 C ．z 1z 2＝1D ．z 1+a2为纯虚数解：∵z 1，z 2是方程x 2+ax +1＝0的两个虚数根，∴Δ＝a 2﹣4＜0，∴﹣2＜a ＜2，∴方程x 2+ax +1＝0的两个虚数根为z =−a±√4−a 2i2， 不妨取z 1=−a 2+√4−a 22i ，z 2=−a 2−√4−a 22i ，对于A ，﹣2＜a ＜2，故A 错误；对于B ，z 1=−a 2+√4−a 22i 和z 2=−a 2−√4−a 22i 互为共轭复数，故B 正确；对于C ，z 1z 2=(−a 2+√4−a 22i)(−a 2−√4−a 22i)=a 24+4−a 24=1，故C 正确；对于D ，z 1+a 2=√4−a 22i ，∵√4−a 2≠0，∴z 1为纯虚数，故D 正确．故选：BCD ．10．已知向量AB →=(k ，2)，AC →=(2，1)，则（ ） A ．当k ＝﹣1时，AB →⊥AC →B ．当k ＝4时，A ，B ，C 三点共线C ．当k ＝1时，|BC →|=√2D ．当k ＞﹣1时，∠BAC 是锐角解：对于A ，当k ＝﹣1时，AB →=(−1，2)，AC →=(2，1)， 则AB →⋅AC →=0，即AB →⊥AC →，故A 正确；对于BD ，当k ＝4时，AB →=2AC →，A ，B ，C 三点同向共线，故B 正确，D 错误， 当k ＝1，AB →=（1，2），AC →=(2，1)，则BC →=AC →−AB →=（1，﹣1）， 故|BC →|=√1+1=√2，故C 正确． 故选：ABC ．11．△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，则（ ） A ．若a cosB=b cosA ，则△ABC 为等腰直角三角形B ．若a sinB=b sinA，则△ABC 为等腰三角形C ．若a 2＝b 2+c 2﹣bc ，则C =π6D ．若c ＝b sin A +a cos B ，则A =π4解：对于B ，由正弦定理得a sinA=b sinB，又a sinB=b sinA，∴sin A ＝sin B ，而A +B +C ＝π，∴只能A ＝B ，即△ABC 为等腰三角形，故B 正确；对于A ，由正弦定理得asinA=b sinB，∴a cosB=b cosA可化为sin A cos A ＝sin B cos B ，即sin2A ＝sin2B ，∴2A ＝2B 或2A +2B ＝π，∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形，故A 错误； 对于D ，∵c ＝b sin A +a cos B ，由正弦定理得sin C ＝sin B sin A +sin A cos B ，即sin A cos B +sin B cos A ＝sin B sin A +sin A cos B ， ∵sin B ≠0，∴cos A ＝sin A ，∵A ∈（0，π），∴A =π4，故D 正确；对于C ，∵a 2＝b 2+c 2﹣bc ，∴cos A =b 2+c 2−a 22bc =bc 2bc =12，∵A ∈（0，π），∴A =π3，不能得到C =π6，故C 错误． 故选：BD ．12．某简谐运动的图象如图所示．若A ，B 两点经过x 秒后分别运动到图象上E ，F 两点，则（ ）A ．AB →⋅GB →=EF →⋅GB →B ．AB →⋅AG →＞EF →⋅AG →C ．AE →⋅GB →=BF →⋅GB →D ．AB →⋅EF →＞BF →⋅AG →解：设f （x ）＝A sin ωx ， 由题设知A ＝1，T =4=2πω，解得 ω=π2，所以f(x)=sin π2x ． 假设E （sin x 0，sin π2x 0），则F(x 0+1，sin π2(x 0+1))，即 F （x 0+1，cos π2x 0）， 则 AB →=(1，1)，GB →=(1.0)，EF →=（1，cos π2x 0−sinπ2x 0），AG →=（0，1），AE →=（x 0．sin π2x 0），BF →=（x 0，cos π2x 0−1），对于选项A ：AB →⋅GB →=1×1+1×0＝1，EF →⋅GB →=1×1+0×（cos π2x 0−sin π2x 0）＝1，所以 AB →⋅GB →=EF →⋅GB →，故选项A 成立；对于选项B ：AB →⋅AG →=1×0+1×1＝1，EF →⋅AG →=cos π2x 0−sin π2x 0=√2cos （π2x 0+π4）， 显然EF →⋅AG →最大值为√2，AB →⋅AG →＞EF →⋅AG →不成立，故选项B 不成立；对于选项C ：AE →⋅GB →=x 0，BF →⋅GB →=x 0，所以AE →⋅GB →=BF →⋅GB →，故选项C 成立；对于选项D ：AB →⋅EF →=1+cos π2x 0−sin π2x 0，BF →⋅AG →=cos π2x 0−1，所以 AB →⋅EF →−BF →⋅AG →=2−sin π2x 0，因为 sin π2x 0≤1，所以2−sin π2x 0＞0， 即AB →⋅EF →＞BF →⋅AG →，故选项D 成立． 故选：ACD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．已知a ，b ∈R ，复数a +bi =2i2+i ，则a +b ＝ 65．解：a +bi =2i2+i =2i(2−i)(2+i)(2−i)=25+45i ，故a =25，b =45，所以a +b =65． 故答案为：65．14．已知向量e 1→，e 2→是平面内的一组基底，若向量a →=4e 1→−2e 2→与b →=−2e 1→+λe 2→共线，则λ＝ 1 ．解：∵向量e 1→，e 2→是平面内的一组基底，且向量a→=4e 1→−2e 2→与b→=−2e 1→+λe 2→共线，∴存在非零实数μ，使得4e 1→−2e 2→=μ（﹣2e 1→+λe 2→）=−2μe 1→+λμe 2→， 则{−2μ=4λμ=−2，解得{λ=1μ=−2．故答案为：1．15．已知函数f(x)=√3sin(x +θ)+cos(x +θ)是偶函数，写出满足条件的角θ的一个取值 θ=π3（满足：θ=π3+kπ，k ∈Z 都可以） ．解：f(x)=√3sin(x +θ)+cos(x +θ)=2sin(x +θ+π6)，∵f （x ）是偶函数，f(0)=sin(θ+π6)=±2，θ+π6=kπ+π2，k ∈Z ， 解得：θ=π3+kπ，k ∈Z ，综上所述，结论为：θ=π3+kπ，k ∈Z ． 令k ＝0，θ=π3．故答案为：θ=π3．（满足：θ=π3+kπ，k ∈Z 都可以）．16．如图，在等边三角形ABC 中，AB ＝2，点N 为AC 的中点，点M 是边CB （包括端点）上的一个动点，则AM →⋅NM →的最小值为2316．解：以AB 中点为原点，AB 边所在的直线为x 轴，AB 边的垂直平分线为y 轴，建系如图， 则A （﹣1，0），B （1，0），C （0，√3，则N （−12，√32）， 设M （x ，y ），AM →=（ x +1，y ），NM →=（x +12，y −√32），∴AM →•NM →=（x +1）（x +12）+y （y −√32）．由于点M 在直线BC ：y =−√3x +√3 上，直线BC 的方程即x ＝1−√33y ， ∴AM →•NM →=（1−√33y +1）（1−√33+12）+y （y −√32）=43•y 2−5√33y +3，0≤y ≤√3， 故当y =5√38时，AM →•NM →取得最小值为2316．故答案为：2316．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知复数z ＝（2sin θ+cos θ）+（sin θ+2cos θ）i ，其中θ∈（0，π）． （1）当θ＝α时，z 表示实数；当θ＝β时，z 表示纯虚数．求tan （α﹣β）的值． （2）复数z 的长度记作|z |，求|z |的最大值．解：（1）由已知得sin α+2cos α＝0，若cos α＝0，则sin α＝0，与sin 2α+cos 2α＝1矛盾，所以cos α≠0，所以tan α＝﹣2，又{2sinβ+cosβ=0sinβ+2cosβ≠0，同理，cos β≠0，所以tanβ=−12，所以tan(α−β)=tanα−tanβ1+tanαtanβ=−2+121+1=−34； （2）|z |=√(2sinθ+cosθ)2+(sinθ+2cosθ)2=√5+8sinθcosθ=√5+4sin2θ， 因为θ∈（0，π），所以 2θ∈（0，2π），所以当2θ=π2时，即θ=π4时，|z |取得最大值为3．18．（12分）已知梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，三个顶点A （4，2），B （2，4），C （1，2）． （1）求顶点D 的坐标； （2）求AB →在AD →上的投影向量． 解：（1）设顶点D （x ，y ），梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，则AB →=2DC →， ∵A （4，2），B （2，4），C （1，2）， ∴AB →=(−2，2)，DC →=(1−x ，2−y)， ∴{2(1−x)=−22(2−y)=2，解得x ＝2，y ＝1， 故D 的坐标为（2，1）；（2）AB →=（﹣2，2），AD →=（﹣2，﹣1）， 则AB →⋅AD →=4﹣2＝2，AD →=√4+1=√5，故AB →在AD →上的投影向量为：AB →⋅AD →|AD →|×AD →|AD →|=25AD →=(−45，−25)．19．（12分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，√3acosC +asinC =√3b ． （1）求A ；（2）若点D 在BC 边的延长线上，且∠CAD ＝∠BAC ，证明：1AC=1AB+1AD．解：（1）在△ABC 中，由正弦定理得√3sinAcosC +sinAsinC =√3sinB ， 因为sin B ＝sin （A +C ）＝sin A cos C +cos A sin C ，所以化简为sinAsinC =√3sinCcosA ，又sin C ≠0，所以tanA =√3， 因为A ∈（0，π），所以A =π3；（2）证明：因为S △ABD ＝S △ABC +S △ACD ， 所以12AB ⋅ADsin∠BAD =12AB ⋅ACsin∠BAC +12AC ⋅ADsin∠CAD ，所以sin∠BAD AC=sin∠AC AD+sin∠CD AB，由（1）可知：∠BAC =π3， 所以sin ∠BAD =sin 2π3=√32，sin ∠BAC =sin ∠CAD =√32， 所以1AC=1AB+1AD．20．（12分）在直角坐标系xOy 中，以Ox 为始边分别作角α，β，其终边分别与单位圆交于点A ，B ． （1）证明：cos （α﹣β）＝cos αcos β+sin αsin β；（2）已知α，β为锐角，cosα=17，cos(α+β)=−1114，求cos β的值． 证明：（1）由三角函数的定义知，A ＝（cos α，sin α），B ＝（cos β，sin β）， 设a →=OA →=(cosα，sinα)，b →=OB →=(cosβ，sinβ)， 设a →与b →的夹角为θ，则θ＝α﹣β， 得a →⋅b →=|a →||b →|cos(α−β)=cos(α−β)， 又a →⋅b →=cosαcosβ+sinαsinβ， 所以cos θ＝cos αcos β+sin αsin β，又α＝β+2k π±θ，k ∈Z ，得α﹣β＝2k π±θ，k ∈Z ， 因此cos （α﹣β）＝cos （2k π±θ）＝cos θ， 所以cos （α﹣β）＝cos αcos β+sin αsin β；（2）解：由α，β为锐角，得0＜α+β＜π， 由cosα=17，cos(α+β)=−1114， 得sinα=√1−cos 2α=4√37，sin(α+β)=√1−cos 2(α+β)=5√314， 所以cosβ=cos[(α+β)−α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=12．21．（12分）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图1）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．如图2，将筒车抽象为一个半径为4米的圆，筒车按逆时针方向每旋转一周用时120秒，当t ＝0时，筒车上的某个盛水筒M 位于点P 0(2，−2√3)处，经过t 秒后运动到点P （x ，y ），点P 的纵坐标满足y ＝f （t ）＝A sin （ωt +φ）(t ≥0，ω＞0，|φ|＜π2)．已知筒车的轴心O 距离水面的高度为2米，设盛水筒M 到水面的距离为h （单位：米） （盛水筒M 在水面下时，则h 为负数）． （1）将距离h 表示成旋转时间t 的函数；（2）求筒车在[0，240]秒的旋转运动过程中，盛水筒M 位于水面以下的时间有多长？解：（1）由题意知，A ＝4，T ＝120，所以ω=2πT =π60， t ＝0时，y ＝f （0）＝4sin φ＝﹣2√3，解得sin φ=−√32，又因为|φ|＜π2，所以φ=−π3，所以点P 的纵坐标满足y ＝f （t ）＝4sin （π60t −π3），t ＞0．所以距离h 关于时间t 的函数为h （t ）＝f （t ）+2√3=4sin （π60t −π3）+2√3，t ＞0；（2）t ∈[0，120]时，令h （t ）≤0，得sin （π60t −π3）≤−√32， 所以4π3≤π60t −π3≤5π3，解得100≤t ≤120，所以筒车在[0，240]秒的旋转运动过程中，盛水筒M 位于水面以下的时间是 2×（120﹣100）＝40（秒）．22．（12分）如图在五边形ABCDE 中，CD ＝3AB ＝3BC =910，∠ABC ＝∠BCD =23π，∠AED =π3． （1）求线段AD 的长；（2）设∠DAE ＝α，△ADE 的面积记为S ，则有S ＝f （α），求f （α）的表达式，并求S 的最大值．解：（1）由题意可得AB →与BC →的夹角是π3，BC →与CD →的夹角是π3，AB →与CD →的夹角是2π3，又知AB =BC =310，CD =910， 可求得AB →⋅BC →=9200，BC →⋅CD →=27200，AB →⋅CD →=−27200，因为AD →=AB →+BC →+CD →，所以有AD →2=(AB →+BC →+CD →)2=AB →2+BC →2+CD →2+2AB →⋅BC →+2BC →⋅CD →+2AB →⋅CD →=9100+9100+81100+2(9200+27200−27200)=2725， 所以AD =3√35； （2）在△ADE 中，因为∠DAE =α，∠AED =π3，所以∠ADE =2π3−α， 由正弦定理得AD sin∠AED=AE sin∠ADE=DE sin∠DAE=65，所以AE =65sin(2π3−α)，DE =65sinα， 所以S =12AE ⋅DEsin π3=9√325sin(2π3−α)sinα=9√325(√32cosα+12sinα)sinα=9√325(√34sin2α+121−cos2α2)=9√325[12sin(2α−π6)+14]， 因为0＜α＜2π3，所以−π6＜2α−π6＜7π6，所以当2α−π6=π2，用α=π3时，S ≤9√325(12+14)=27√3100， 所以S 最大值是27√3100．。
2020年山东省泰安市肥城市高一(下)期中数学试卷解析版(A卷)
19. 已知圆 C 经过点（0，1），且圆心为 C（1，2）． （1）求圆 C 的标准方程； （2）过点 P（2，-1）作圆 C 的切线，求该切线的方程及切线长．
20. 已知函数 （1）求常数 a，b 的值； （2）当 a＜0 时，设
，当
时，-5≤f（x）≤1．
，判断函数 g（x）在
上的单调性．
21. 青岛市黄岛区金沙滩海滨浴场是一个受广大冲浪爱好者喜爱的冲浪地点．已知该海 滨浴场的海浪高度 y（m）是时间 t（0≤t≤24，单位：小时）的函数，记作 y=f（t）． 经长期观察，y=f（t）的曲线可近似地看成是函数 y=Asin（ωt+φ）+B 的图象，其中
11. 向量 满足 ）
A.
，
，且
B.
，则 的夹角 θ 的取值范围（
C.
D.
12. 已知函数 f（x）=2sin（ωx+φ）-1，（ω＞0，|φ|＜π）的一个零点是 ，并且 y=f（x
）图象的一条对称轴是 是（ ）
A.
，则当 ω 取得最小值时，函数 f（x）的单调递减区间
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）
A＞0，ω＞0，0＜φ≤ ．用“五点法”函数 y=Asin（ωt+φ）+B 在某一个周期内的图
象时，列表并填入了部分数据，如表：
ωt+φ
π
2π
t
0
6
12
Asin（ωt+φ）+B
1.5
1
0.5
1
1.5
（1）请将上表数据补充完整，填写在相应位置，并求出函数 y=Asin（ωt+φ）+B 的 函数表达式； （2）依据规定，当海浪高度高于 1m 时才对冲浪爱好者开放，请依据（1）中的结 论，判断一天内的上午 8：00 到晚上 20：00 之间有多少时间可供冲浪者进行运动？
2019-2020学年山东省肥城市高一下学期期中考试化学试题
山东省肥城市2019-2020学年高一下学期期中考试试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页。
满分100分，考试时间90分钟。
相对原子质量：H 1 C 12 N 14 O 16 Na 23 Mg 24 Al 27 Si 28 S 32 Cl 35.5第Ⅰ卷（选择题共50分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考号、试卷类型、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2．每小题选出『答案』后，用铅笔把答题卡上对应题目的『答案』标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他『答案』，不能答在试卷上。
一、选择题：本题共10小题，每小题2分，共20分。
每小题只有一个选项符合题意。
1．我国探月的“嫦娥工程”已启动，人类探月的重要目的之一是勘察、获取地球上蕴藏量很小而月球上却极为丰富的核聚变燃料3He，以解决地球能源危机。
关于3He的叙述正确的是（）A．含有3个质子，没有中子B．1个3He原子的质量是3gC．He元素的相对原子质量是3 D．是4He的同位素2．下列我国科研成果所涉及材料，其主要成分为同主族元素形成的无机非金属材料的是（）A．2022年冬奥会聚氨酯速滑服B．4.03米大口径碳化硅反射镜C．能屏蔽电磁波的碳包覆银纳米线D．“玉兔二号”钛合金筛网轮34其中正确的是（）A．NH3的结构式：B．HCl 的电子式：C．中子数为8的氮原子：87N D．Cl−的结构示意图：4．控制变量法是化学实验的常用方法之一，下图所示实验探究影响反应速率的因素是（）A．催化剂B．温度C．浓度D．压强5．下列关于化学观或化学研究方法的叙述中，错误的是（）A．在化工生产中应遵循“绿色化学”的思想B．根据元素周期律，由HClO4可以类推出氟元素的最高价氧化物的水化物为HFO4 C．在元素周期表的金属和非金属分界线附近寻找半导体材料D．在过渡元素中寻找优良的催化剂6．下列变化属于吸热反应的是（）A B C D盐酸加入到氢氧化钠溶液中氢氧化钙固体与氯化铵固加热使碘升华氧化钙溶于水A．MgCl2B．Cl2 C．Na2O2D．NH3·H2O8．对于合成氨反应：N2(g)＋3H2(g)2NH3(g)，下列某项中的化学反应速率与其他三项的化学反应速率不匹配，该项是（）A．v (H2)＝0.35 mol·L-1·min-1 B．v (NH3)＝0.3 mol·L-1·min-1C．v(N2)＝0.15 mol·L-1·min-1 D．v (H2)＝0.45 mol·L-1·min-19．原电池原理的发现和各式各样电池装置的发明是化学对人类的一项重大贡献。
山东省肥城市2019-2020学年高一下学期期中考试化学试题
肥城市2019-2020学年高一下学期期中考试化学试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页。
满分100分，考试时间90分钟。
相对原子质量：H 1 C 12 N 14 O 16 Na 23 Mg 24 Al 27 Si 28 S 32 Cl 35.5第Ⅰ卷（选择题共50分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考号、试卷类型、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试卷上。
一、选择题：本题共10小题，每小题2分，共20分。
每小题只有一个选项符合题意。
1．我国探月的“嫦娥工程”已启动，人类探月的重要目的之一是勘察、获取地球上蕴藏量很小而月球上却极为丰富的核聚变燃料3He，以解决地球能源危机。
关于3He的叙述正确的是A．含有3个质子，没有中子B．1个3He原子的质量是3gC．He元素的相对原子质量是3 D．是4He的同位素2．下列我国科研成果所涉及材料，其主要成分为同主族元素形成的无机非金属材料的是A．2022年冬奥会聚氨酯速滑服B．4.03米大口径碳化硅反射镜C．能屏蔽电磁波的碳包覆银纳米线D．“玉兔二号”钛合金筛网轮334其中正确的是A．NH3的结构式：B．HCl 的电子式：C．中子数为8的氮原子：87N D．Cl−的结构示意图：4．控制变量法是化学实验的常用方法之一，下图所示实验探究影响反应速率的因素是A．催化剂B．温度C．浓度D．压强5．下列关于化学观或化学研究方法的叙述中，错误的是A．在化工生产中应遵循“绿色化学”的思想B．根据元素周期律，由HClO4可以类推出氟元素的最高价氧化物的水化物为HFO4 C．在元素周期表的金属和非金属分界线附近寻找半导体材料D．在过渡元素中寻找优良的催化剂6．下列变化属于吸热反应的是A B C D盐酸加入到氢氧化钠溶液中氢氧化钙固体与氯化铵固加热使碘升华氧化钙溶于水A． MgCl2B．Cl2 C． Na2O2 D．NH3·H2O8．对于合成氨反应：N2(g)＋3H2(g)2NH3(g)，下列某项中的化学反应速率与其他三项的化学反应速率不匹配，该项是A．v (H2)＝0.35 mol·L-1·min-1 B．v (NH3)＝0.3 mol·L-1·min-1C．v(N2)＝0.15 mol·L-1·min-1 D．v (H2)＝0.45 mol·L-1·min-19．原电池原理的发现和各式各样电池装置的发明是化学对人类的一项重大贡献。
山东省肥城市2018-2019学年下学期期中考试高一数学试题A
高一数学试题第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.若角3πα=-，则角α是第几象限角（） A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角2.在平行四边形ABCD 中，AB BD +=u u u r u u u r（）A.BA AC +u u u r u u u rB.DC CB +u u u r u u u rC.AD AC +u u u r u u u rD.AB AD +u u u r u u u r3.下列各角中与角390°终边相同的是（） A.18030,k k Z ⋅︒+︒∈ B. 36030,k k Z ⋅︒+︒∈ C. 18030,k k Z ⋅︒-︒∈D. 36030,k k Z ⋅︒-︒∈4.圆心在x 轴上，半径为1，且过点()2,1的圆的方程是（） A.22(2)1x y -+= B.22(3)(1)1x y -+-= C.22(2)1x y ++=D.22(3)1x y -+=5.已知54πα=，则角α的终边与单位圆的交点坐标是（）A.22⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭B.22⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭C.⎛ ⎝⎭D.12⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭6.已知1cos()2πα-=-，则sin 2πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A.2-B.12-C.2D.127.在ABC ∆中，点D 是BC 边上的一个三等分点，并且D 是靠近点B .若AB a =u u u r r ，AC b =u u u r r ，则AD =u u u r（）A.1233a b +r rB. 3321a b +r rC.3455a b +r rD. 4355a b +r r8.在2345tan,tan ,tan ,tan7777ππππ中值最大的是（） A. 2tan 7π B.3tan 7π C.4tan 7πD.5tan7π9.直线10x y --=上的点到圆22(2)(1)1x y ++-=的最大距离是（）A.1B.1C.1D.110.已知函数()2tan 23f x x ππ⎛⎫=-+⎪⎝⎭.下列说法中错误的是（）A.函数()f x 的定义域是12,3x x k k Z ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭.B.函数()f x 图象与直线12,3x k k Z =+∈没有交点 C.函数()f x 的单调增区间是512,2,33k k k Z ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭D.函数()f x 的周期是211.向量,a b r r 满足2a =r ，1b =r ，且(2a b -∈r r ，则,a b r r的夹角θ的取值范围（）A.5,66ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.5,66ππ⎛⎤⎥⎝⎦C.2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.2,33ππ⎛⎤⎥⎝⎦ 12.已知函数()2sin()1,(0,||)f x x ωϕωϕπ=+-><的一个零点是6π-，并且()y f x =图象的一条对称轴是3x π=，则当ω取得最小值时，函数()f x 的单调递减区间是（）A.73,3()63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦B.113,3()36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦C.22,2()36k k k Z ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦D.2,2()36k k k Z ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上. 13.若一扇形的圆心角为34π，半径为2cm ，则该扇形的面积为___________2cm . 14.将函数2sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为____________.15.已知圆221:10C x y +=与圆222:22140C x y x y +++-=相交，则两圆的公共弦长为__________.16.如图，O 为ABC ∆的外心，AB =AC =BAC ∠为钝角，M 是BC 中点，则AM AO ⋅=u u u u r u u u r____________.三、解答题：本题共6个题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（10分）（1）已知cos α=，且α为第三象限角，求sin ,tan αα的值； （2）已知tan 7α=，求2sin cos sin cos αααα-+的值.18.（12分）已知向量(1,1)a =r ，(2,3)b =-r.（1）若2a kb -r r 与a b +r r平行，求k 的值； （2）若2a b λ-r r 与a r垂直，求λ的值.19.（12分）已知圆C 经过点()0,1，且圆心为()1,2C . （1）求圆C 的标准方程；（2）过点()21P -，作圆C 的切线，求该切线的方程及切线长. 20.（12分）已知函数()2sin 226f x a x a b π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()51f x -≤≤. （1）求常数,a b 的值；（2）当0a <时，设()2g x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，判断函数()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性. 21.（12分）青岛市黄岛区金沙滩海滨浴场是一个受广大冲浪爱好者喜爱的冲浪地点.已知该海滨浴场的海浪高度()y m 是时间t （024t ≤≤，单位：小时）的函数，记作()y f t =.经长期观察，()y f t =的曲线可近似地看成是函数sin()y A t B ωϕ=++的图象，其中0,0,02A πωϕ>><≤.用“五点法”函数sin()y A t B ωϕ=++在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：（1）请将上表数据补充完整，填写在相应位置，并求出函数sin()y A t B ωϕ=++的函数表达式； （2）依据规定，当海浪高度高于1m 时才对冲浪爱好者开放，请依据（1）中的结论，判断一天内的上午8:00到晚上20:00之间有多少时间可供冲浪者进行运动？ 22.（12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以C 为圆心的圆22:1214600C x y x y +-++=及其上一点()2,4A -.（1）设平行于OA 的直线l 与圆C 相交于,B D 两点，且BD OA =，求直线l 的方程；（2）设点(),0M t 满足：存在圆C 上的两点,P Q 使得MA MP MQ +=u u u r u u u r u u u u r，求实数t 的取值范围.。
山东省泰安肥城市2020-2021学年高一数学下学期期中试题
山东省泰安肥城市2020-2021学年高一数学下学期期中试题年级：姓名：山东省泰安肥城市2020-2021学年高一数学下学期期中试题注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 若复数()32i i z =--，则z 的虚部为A. 3-B. 3i -C. 2D. 2i2. 如图所示的螺母可以看成一个组合体，对其结构特征最接近的表述是A. 一个六棱柱中挖去一个棱柱B. 一个六棱柱中挖去一个棱锥C. 一个六棱柱中挖去一个圆柱D. 一个六棱柱中挖去一个圆台3. 下列命题正确的是A. 铺的很平的一张纸是一个平面B. 四边形一定是平面图形C. 三点确定一个平面D. 梯形可以确定一个平面4. 用斜二测画法画平面图形时，下列说法正确的是A. 正方形的直观图为平行四边形B. 菱形的直观图是菱形C. 梯形的直观图可能不是梯形D. 正三角形的直观图一定为等腰三角形5. 如果用,i j 分别表示x 轴和y 轴正方向上的单位向量，且()()2,3,4,2A B ，则AB 可以表示为 A ．2-i jB ．42+i jC ．23+i jD ．2-+i j6. 已知12,z z 为复数，则下列命题正确的是A ．若12||||z z =，则12z z =B ．若11z z =，则1z 为实数C ．若220z >，则2z 为纯虚数D ．若()()2212110z z -+-=，则121z z == 7. 已知一个平面α，那么对于空间内的任意一条直线l ， 在平面α内一定存在一条直线m ，使得直线l 与直线m A ．平行B ．相交C ．异面D ．垂直8. 如图，在等腰ABC ∆中，已知o 1,120,,AB AC A E F ==∠=分别是边,AB AC 的点，且,AE AB AF AC λμ==,其中(),0,1λμ∈且21λμ+=，若线段,EF BC 的中点分别为,M N ，则MN 的最小值是二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
最新山东省泰安市肥城市高一下学期期中数学试题(A)(解析版)
2018-2019学年山东省泰安市肥城市高一下学期期中数学试题(A)一、单选题 1．若角3πα=-，则角α是第几象限角（ ）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【答案】D【解析】根据象限角的定义判定即可. 【详解】3πα=-终边在第四象限,故3πα=-为第四象限角.故选：D 【点睛】本题主要考查了象限角的定义,属于基础题. 2．在平行四边形ABCD 中，AB BD +=u u u v u u u v（ ） A ．BA AC +u u u r u u u rB ．DC CB +u u u v u u u vC ．AD AC +u u u v u u u vD ．AB AD +u u u r u u u r【答案】A【解析】根据平面向量的基本运算与平行四边形的性质分析即可. 【详解】由题, AB BD AD +=u u u v u u u v u u ur .对A, BA AC BC +=u u u r u u u r u u u r .由平行四边形可知BC AD =u u u r u u u r.故A 正确. 对B, DC CB DB +=u u u v u u u v u u u v,故B 错误.对C, AD AC AD +≠u u u v u u u v u u ur ,故C 错误. 对D, AB AD AC AD +=≠u u u r u u u r u u u ru u u r,故D 错误.故选：A 【点睛】本题主要考查了向量的基本运算与平行四边形法则的运用.属于基础题. 3．下列各角中与角390°终边相同的是（ ） A ．18030,k k Z ⋅︒+︒∈ B ．36030,k k Z ⋅︒+︒∈ C ．18030,k k Z ⋅︒-︒∈ D ．36030,k k Z ⋅︒-︒∈【答案】B【解析】角390°终边与39036030︒-︒=︒相同,再根据角度的周期性分析即可. 【详解】角390°终边与39036030︒-︒=︒相同,又与30°终边相同的是36030,k k Z ⋅︒+︒∈. 故选：B 【点睛】本题主要考查了终边相同的角度的表达式,属于基础题.4．圆心在x 轴上，半径为1，且过点()2,1的圆的方程是（ ） A ．22(2)1x y -+= B ．22(3)(1)1x y -+-= C ．22(2)1x y ++= D ．22(3)1x y -+=【答案】A【解析】因为点()2,1到x 轴的距离为1,且圆的半径为1可得圆心为()2,0,再求解方程即可. 【详解】由题, 因为点()2,1到x 轴的距离为1,且圆的半径为1, 圆心在x 轴上即可得圆心为()2,0,故圆的方程是22(2)1x y -+=.故选：A 【点睛】本题主要考查了圆的标准方程的求解.需要根据题意判断圆心的位置,属于基础题. 5．已知54πα=，则角α的终边与单位圆的交点坐标是（ ）A ．,22⎛- ⎝⎭B ．22⎛- ⎝⎭C ．22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭D ．122⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】根据三角函数的定义直接求解即可. 【详解】由题, 角α的终边与单位圆的交点坐标是55cos ,sin 44ππ⎛⎫⎪⎝⎭,即22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭. 故选：C 【点睛】本题主要考查了单位圆与三角函数的基本定义,属于基础题. 6．已知1cos()2πα-=-，则sin 2πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．B ．12-C ．D ．12【答案】D【解析】利用诱导公式化简求解即可. 【详解】由题, 1cos()2πα-=-即1cos 2α=,所以1sin cos 22παα⎛⎫-== ⎪⎝⎭.故选：D 【点睛】本题主要考查了诱导公式的运用.属于基础题.7．在ABC ∆中，点D 是BC 边上的一个三等分点，并且D 是靠近点B 的三等分点.若AB a =u u u r r ，AC b =u u u r r ，则AD =u u u r（ ） A ．1233a b +r rB ．2133a b +r rC ．3455a b +r rD ．4355a b +r r【答案】B【解析】利用平行四边形法则求解即可. 【详解】如图,过D 分别作,AB AC 的平行线,交,AB AC 于,E F .则易得四边形AEDF 为平行四边形,故AD AE AF =+u u u r u u u r u u u r,又D 是靠近点B 的三等分点,故21213333AD AB AC a b =+=+u u u r u u u r u u u r r r .故选：B 【点睛】本题主要考查了利用平行四边形法则与基底向量表达向量的方法.属于基础题.8．在2345tan ,tan ,tan ,tan 7777ππππ中值最大的是（ ） A ．2tan 7π B ．3tan 7π C ．4tan 7πD ．5tan7π【答案】B【解析】利用正切函数的单调性与正负判断即可. 【详解】 由题,因为2345772077ππππππ<<<<<<,故23tan ,tan 077ππ>且45tan,tan 077ππ<. 又正切函数在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增,故23tan tan 77ππ<.故3tan 7π最大. 故选：B 【点睛】本题主要考查了正切函数的单调性与正负的判定,属于基础题.9．直线10x y --=上的点到圆22(2)(1)1x y ++-=的最大距离是（ ） A ．221 B ．231C ．221D ．31【答案】A【解析】易得直线到圆的距离最大值为圆心到直线的距离加半径,利用公式求解即可. 【详解】因为直线到圆的距离最大值为圆心到直线的距离加半径,又圆心()2,1-到直线10x y --=的距离d ==故直线10x y --=上的点到圆22(2)(1)1x y ++-=的最大距离是1.故选：A 【点睛】本题主要考查了直线到圆上距离的最大值问题,属于基础题. 10．已知函数()2tan 23f x x ππ⎛⎫=-+⎪⎝⎭.下列说法中错误的是（ ）A ．函数()f x 的定义域是12,3x x k k Z ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭.B ．函数()f x 图象与直线12,3x k k Z =+∈没有交点 C ．函数()f x 的单调增区间是5232,3,1k k k Z ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭D ．函数()f x 的周期是2 【答案】C【解析】根据正切函数的性质逐个判定即可. 【详解】对A, ()2tan 23f x x ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的定义域满足122323x k x k ππππ+≠+⇒≠+,k Z ∈. 故A 正确.对B,由A 可知B 正确. 对C, ()2tan 23f x x ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的单调递增区间即tan 23x ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的单调递减区间.即3,2232k x k k Z ππππππ+<+<+∈,化简得1722,33k x k k Z +<<+∈.故C 错误. 对D, ()f x 的周期是22ππ= ,故D 正确.故选：C 【点睛】本题主要考查了正切型函数的性质判定.属于基础题.11．向量,a b r r 满足2a =r ，1b =r ，且(2a b -∈r r ，则,a b r r的夹角θ的取值范围（ ） A ．5,66ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．5,66ππ⎛⎤⎥⎝⎦ C ．2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．2,33ππ⎛⎤⎥⎝⎦【答案】D【解析】分析22a b -r r的取值范围,再根据数量积的公式求解夹角θ的取值范围即可. 【详解】因为(2a b -∈r r ,故()(]224,12a b -∈r r .即2244412448cos 412a a b b θ<-⋅+≤⇒<-+≤r r r r ,化简得48cos 4θ-<-≤ 故11cos 22θ-≤<.又[]0,θπ∈,故2,33ππθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦. 故选：D 【点睛】本题主要考查了根据模长的取值范围求解向量夹角的问题,一般是将向量和与差的模长平方后,再根据数量积与夹角的关系求解不等式.属于中档题. 12．已知函数()2sin()1,(0,)f x x ωϕωϕπ=+-><的一个零点是6π-，并且()y f x =图象的一条对称轴是3x π=，则当ω取得最小值时，函数()f x 的单调递减区间是（ ） A ．73,3()63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦B ．113,3()36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦C ．22,2()36k k k Z ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦ D ．2,2()36k k k Z ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦ 【答案】B【解析】根据一个零点是6π-可求得6πωϕ-+的表达式,再根据3x π=为对称轴可求得3πωϕ+的表达式.【详解】因为函数()2sin()1,(0,)f x x ωϕωϕπ=+-><的一个零点是6π-, 故2sin()106πωϕ-+-=,解得1266k ππωϕπ-+=+或15266k ππωϕπ-+=+,1k Z ∈① 又()y f x =的一条对称轴是3x π=,故232k ππωϕπ+=+,2k Z ∈.②①-②可知()212223k k ω=-+或()212223k k ω=--,12,k k Z ∈又0,ωϕπ><,故当2120k k -=时有ω的最小值为23ω=,此时459218k k πππϕπϕπ+=+⇒=+,k Z ∈. 所以518πϕ=.故25()2sin()1318f x x π=+-. 故函数()f x 的单调递减区间是2532223182k x k πππππ+≤+≤+,化简得113336k x k ππππ+≤≤+.即单调递减区间为113,3()36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦. 故选：B 【点睛】本题主要考查了三角函数函数性质求解参数的问题,需要根据题意代入对应的零点与对称轴的解析式,同时联系参数的取值范围进行分析.属于难题.二、填空题13．若一扇形的圆心角为34π，半径为2cm ，则该扇形的面积为___________2cm . 【答案】32π 【解析】根据扇形面积公式求解即可. 【详解】由题, 该扇形的面积为23324122S =⨯ππ⨯=. 故答案为：32π 【点睛】本题主要考查了扇形的面积公式,属于基础题. 14．将函数2sin(2)6y x π=+的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为__________．【答案】2sin(2)3y x π=-【解析】由于函数226y sin x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的周期为22ππ=，故14个周期即4π，故把函数226y sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移14个周期，故把函数226y sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位，所得图象对应的函数的解析式为2246y sin x ππ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2222263sin x sin x πππ⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故答案为223y sin x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.15．已知圆221:10C x y +=与圆222:22140C x y x y +++-=相交，则两圆的公共弦长为__________.【答案】【解析】求出公共弦的方程,再利用垂径定理求解即可. 【详解】由题, 圆221:10C x y +=与圆222:22140C x y x y +++-=的公共弦方程为()()22222214100xy x y x y +++--+-=,化简得20x y +-=.又圆1C 圆心()0,0到弦20x y +-=的距离d ==.故弦长为=.故答案为：【点睛】本题主要考查了求相交圆的公共弦长问题,需要利用两个圆的方程相减求出公共弦的方程,再利用垂径定理求解.属于中档题.16．如图，O 为ABC ∆的外心，AB =AC =BAC ∠为钝角，M 是BC 中点，则AM AO ⋅=uuu r uuu r____________.【答案】7【解析】将AM u u u u r 用,AB AC u u ur u u u r 表示,再利用向量数量积的几何意义求解即可.【详解】连接,OB OC ,过O 作OE AB ⊥于E ,过O 作OF AC ⊥于F .由圆的半径相等可知,,OAB OAC VV 均为等腰三角形.故E ,F 分别为,AB AC 的中点.所以()111222AM AO AB AC AO AB AO AC AO ⋅=+⋅=⋅+⋅uuu r uuu r uu u r uuu r uuu r uu u r uuu r uuu r uuu r1111cos cos 2222AB AO OAB AC AO OAC AB AE AC AF =⋅⋅∠+⋅⋅∠=⋅+⋅uu u r uuu r uuu r uuu r uuu r uu u r uuu r uu u r 11255222722=⋅⋅=. 故答案为：7 【点睛】本题主要考查了基底向量的用法以及数量积的运用,需要根据题意转换向量的表达,再根据数量积的几何意义求解即可.属于中档题.三、解答题17．（1）已知3cos 3α=-，且α为第三象限角，求sin ,tan αα的值；（2）已知tan 7α=，求2sin cos sin cos αααα-+的值.【答案】；(2)138【解析】(1)根据同角三角函数的公式求解即可. (2)分式上下同时除以cos α再求解即可. 【详解】(1)因为α为第三象限角,故sin α===. sin tan cos ααα===.(2)2sin cos 2sin cos 2tan 127113cos cos sin cos sin cos tan 1718cos cos αααααααααααααα---⨯-====++++【点睛】本题主要考查了同角三角函数的公式,属于基础题.18．已知向量(1,1)a =r，(2,3)b =-r .（1）若2a kb -r r 与a b +r r平行，求k 的值；（2）若2a b λ-r r 与a r垂直，求λ的值.【答案】(1) 12k =-；(2) 1λ=- 【解析】(1)根据向量平行的坐标公式求解即可. (2)利用向量垂直的坐标公式求解即可. 【详解】(1) ()()()21,14,614,16a kb k k k k -=--=-+r r ,()()()1,12,33,2a b +=+-=-r r.又2a kb -r r 与a b +r r平行,故()()()1423160k k -⋅--+=.解得12k =-. (2) ()24,6a b λλλ-=-+r r ,又2a b λ-r r 与a r垂直则460λλ-++=,解得1λ=-【点睛】本题主要考查了向量平行与垂直的坐标公式运算,属于基础题. 19．已知圆C 经过点()0,1，且圆心为()1,2C . （1）求圆C 的标准方程；（2）过点()2,1-作圆C 的切线，求该切线的方程及切线长.【答案】(1) ()()22122x y -+-=；(2) 切线方程为10x y +-=或7150x y --=.切线长为【解析】(1)根据点到点的距离公式求解半径,再写出标准方程即可.(2)讨论当切线斜率不存在时是否满足题意,再讨论当切线有斜率时,设点斜式再利用直线与圆相切,根据圆心到直线的距离等于半径求解斜率即可. 【详解】(1)由题意可得,圆C 的半径r ==故圆C 的标准方程为()()22122x y -+-=.(2)当过点()2,1-的切线不存在时,方程为2x =,不满足与圆C 相切. 故设切线方程为()12210y k x kx y k +=-⇒---=.=化简得2670k k --=.解得1k =-或7k =.故切线方程为10x y +-=或7150x y --=. 此时由圆的性质可知,=【点睛】本题主要考查了圆的标准方程求解以及求过圆外一点的切线方程.需要根据题意求得半径长,再根据点斜式与圆心到直线的距离等于半径列式求解斜率即可.属于中档题. 20．已知函数()2sin 226f x a x a b π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()51f x -≤≤. （1）求常数,a b 的值；（2）当0a <时，设()2g x f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，判断函数()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性. 【答案】(1) 2a =,7b =-或2a =-,3b =；(2) ()g x 在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,在,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减. 【解析】(1)根据0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦求解26x π+的范围,再根据三角函数的性质求解()f x 的值域,进而根据()51f x -≤≤求解即可. (2)由(1)可知()4si 216n g x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭,再分析当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时26x π+的范围,再根据正弦函数的单调区间求解即可. 【详解】 (1)因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,故72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦,所以1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. ①当0a >时[]()2sin 22,46f x a x a b a b a b π⎛⎫=+++∈++ ⎪⎝⎭, 此时52417a b a a b b +=-=⎧⎧⇒⎨⎨+==-⎩⎩满足条件.②当0a <时[]()2sin 224,6f x a x a b a b a b π⎛⎫=+++∈++ ⎪⎝⎭此时45213a b a a b b +=-=-⎧⎧⇒⎨⎨+==⎩⎩满足条件.故2a =,7b =-或2a =-,3b = (2)由(1)当0a <时, ()4sin 216f x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭, 此时()4sin 22122614sin 6g x f x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎡⎤-+⎢⎝=⎣⎭-⎥⎦. 故当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦, 故当2,662x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦,即0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时()g x 为增函数. 当72,626x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦,即,62x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时()g x 为减函数. 即()g x 在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,在,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减. 【点睛】本题主要考查了根据三角函数的值域求解参数的问题以及求解三角函数在区间上的单调性问题.属于中档题.21．青岛市黄岛区金沙滩海滨浴场是一个受广大冲浪爱好者喜爱的冲浪地点.已知该海滨浴场的海浪高度()ym 是时间t （024t ≤≤，单位：小时）的函数，记作()y f t =.经长期观察，()y f t =的曲线可近似地看成是函数sin()y A t B ωϕ=++的图象，其中0,0,02A πωϕ>><≤.用“五点法”函数sin()y A t B ωϕ=++在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：（1）请将上表数据补充完整，填写在相应位置，并求出函数sin()y A t B ωϕ=++的函数表达式；（2）依据规定，当海浪高度高于1m 时才对冲浪爱好者开放，请依据（1）中的结论，判断一天内的上午8:00到晚上20:00之间有多少时间可供冲浪者进行运动？ 【答案】(1)图表见解析 ；1sin 1262y t ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ (2) 一天内的上午9:00到下午15:00之间共6个小时可供冲浪者进行运动. 【解析】(1)由表可知t ωϕ+每两个量之间的差为2π,t 一行的每两个量之间的差为3,再完成表格,再根据表中数据列式求解参数即可.(2)由题意即求上午8:00到晚上20:00之间()1y f t =>的时间,求解三角函数不等式即可. 【详解】 (1)补全表格：t ωϕ+2π π32π 2π52πt3 6 9 12 sin()A t B ωϕ++ 1.510.511.5故 1.50.5122A -==, 1.50.512B +==,再代入0,3t =时的数据有 2236ππϕϕπωϕπω⎧=⎧⎪=⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪+==⎩⎪⎩.故表达式为：1sin 1262y t ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.(2)由题,当1sin 11262y t ππ⎛⎫=++> ⎪⎝⎭,即sin 062t ππ⎛⎫+> ⎪⎝⎭时可供冲浪者进行运动.此时2262k t k πππππ<+<+()k Z ∈,解得123123k t k -<<+.()k Z ∈当1k =时有915t <<.一天内的上午9:00到下午15:00之间共6个小时可供冲浪者进行运动. 【点睛】本题主要考查了三角函数的实际运用,需要根据题意根据sin()y A t B ωϕ=++中各个参数的求解方法列式求解,再根据题中的实际意义分析需要列出的三角函数不等式进行求解.属于中档题. 、22．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以C 为圆心的圆22:1214600C x y x y +-++=及其上一点()2,4A -.（1）设平行于OA 的直线l 与圆C 相交于,B D 两点，且BD OA =，求直线l 的方程；（2）设点(),0M t 满足：存在圆C 上的两点,P Q 使得MA MP MQ +=u u u v u u u v u u u u v，求实数t 的取值范围.【答案】(1) 25y x =--或215y x =-+；(2) 221,221t ⎡∈-⎣【解析】(1)先求出BD OA =的长度与直线l 的斜率,再设直线l 的方程,利用垂径定理求解即可.(2)化简MA MP MQ +=u u u v u u u v u u u u v可得MA PQ =u u u v u u u v ,故只需满足MA PQ =u u u v u u u v 即可.再根据PQ u u u v 的范围求解MA u u u v的范围,进而得出关于实数t 的不等式求解即可.【详解】(1)由题, 直线l 的斜率422k -==-,且BD OA ===故设直线l 的方程：2y x m =-+,即20x y m +-=.又22:1214600C x y x y +-++=标准方程：()()222567x y -++=.故圆心():6,7C -到直线20x y m +-=的距离d ==.由垂径定理得22252BD d ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,即()255255m -+=,解得5m =-或15m =. 故直线l 的方程为25y x =--或215y x =-+.(2) 化简MA MP MQ +=u u u v u u u v u u u u v可得MA PQ =u u u v u u u v ,故只需MA PQ =u u u v u u u v ,,MA PQ u u u v u u u v 同向即可.又MA =u u u v10PQ ≤u u u v,10≤,解得2t ⎡∈⎣.故对任意的2t ⎡∈+⎣,欲使MA PQ =u u u v u u u v ,此时10PQ ≤u u u v ,只需作直线MA 的平行线,必然与圆交于,P Q 两点,此时MA PQ =u u u v u u uv成立.故2t ⎡∈+⎣【点睛】本题主要考查了直线与圆的综合运用,需要根据题意设直线的方程,再根据垂径定理解决圆的弦长问题,列出对应的等式或不等式求解.属于中档题.。
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山东省肥城市2019-2020学年高一下学期期中考试试题本试卷共22题，满分150分，共4页．考试用时120分钟．注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上．2．考生作答时，将答案答在答题纸上．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效．3．选择题答案、非选择题答案使用5.0毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．4．保持答题纸纸面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设i 是虚数单位，复数1212i,13i z z =+=-，那么12z z +=A.2i -B.2i +C.2i --D.2i -+2.AB BC AD +-=u u u r u u u r u u u rA.AD u u u rB. CD uuu rC. DB uuu rD. DC u u u r3.若向量()(),1,3,2x =-=-a b ，且//a b ，则x 的值为 A.12 B. 32 C.2 D. 524. 2020年2月8日，在韩国首尔举行的四大洲花样滑冰锦标赛双人自由滑比赛中，中国组合隋文静/韩聪以总分217.51分拿下四大洲赛冠军，这也是他们第六次获得四大洲冠军.中国另一对组合彭程/金杨以213.29分摘得银牌.颁奖仪式上，国歌奏响！五星红旗升起！团结一心！中国加油！花样滑冰锦标赛有9位评委进行评分，首先这9位评委给出某对选手的原始分数，评定该对选手的成绩时从9个原始成绩中去掉一个最高分、一个最低分，得到7个有效评分，7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是 A.中位数B.平均数C.方差D.极差5.某工厂抽取100件产品测其重量（单位：kg ），其中每件产品的重量范围是[]40,42.数据的分组依次为[)40,40.5，[)40.5,41，[)41,41.5， []41.5,42，据此绘制出如图所示的频率分布直方图，则重量在[)40,41内的产品件数为A.30B.40C.60D.806.已知作用在坐标原点的三个力()()()1233,4,2,5,3,1==-=F F F ，则作用在原点的合力123=++F F F F 的坐标为A. ()8,0B. ()8,8C. ()2,0-D. ()2,8-7.已知a ∈C ，关于x 的方程220x ax -+-=有实根，则||a 的最小值是 A. 2 B. 4 C. 8 D. 168.瑞士著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理.设点O 、H 分别是ABC ∆的外心、垂心，且M 为BC 中点，则A.33AB AC HM MO +=+u u u r u u u r u u u u r u u u u rB.33AB AC HM MO +=-u u u r u u u r u u u u r u u u u rC.24AB AC HM MO +=+u u u r u u u r u u u u r u u u u rD.24AB AC HM MO +=-u u u r u u u r u u u u r u u u u r二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为a b c ，，，则下列关系式中，一定成立的有 A. sin sin a B b A = B. cos cos a b C c B =+ C. 2222cos a b c ab C +-= D. sin sin b c A a C =+ 10.下面是关于复数21iz =-+（i 为虚数单位）的命题，其中真命题为A ．||z =B ．22i z =C ．z 的共轭复数为1i +D ．z 的虚部为1-11.如图，已知点O 为正六边形ABCDEF 中心，下列结论中正确的是A ．OA u u u r 与FE u u ur 是共线向量B ．OA CB DO ==u u u r u u u r u u u rC ．()()0OA OE EF FA -⋅-=u u u r u u u r u u u r u u u rD ．()()OA AF BC OA AF BC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r12.在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c . 根据下列条件解三角形，其中有两解的是 A ．10,45,70b A C ==︒=︒ B ．45,48,60b c B ===︒ C ．14,16,45a b A ===︒D ．7,5,80a b A ===︒三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知()()1,2,2,1==-a b ，则+a b 的坐标为 ▲ ，()()+⋅-=a b a b ▲ .（本题第一空2分，第二空3分）14．数据：18，26，27，28，30，32，34，40的第75百分位数为 ▲ ．15．某校田径队共有男运动员45人，女运动员36人，若采用分层随机抽样的方法在该校田径队中抽取18人进行体能测试，则应抽取的女运动员的人数为 ▲ ． 16．如图，在半径为2的圆C 中，A 为圆上的一个定点，B 为圆上的一个动点.若点A 、B 、C 不共线，且B t BC A AC -≥u u u r u u u r u u u r对()0,t ∈+∞恒成立，则AB AC ⋅=u u ur u u r u ▲ .四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（10分）在①b B ==1b AB AC =⋅=-u u u r u u u r ，③1c =，ABC ∆三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并加以解答.已知ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c .若 ，cos A =，求a 的值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.18.（12分）为了了解某校初三年级500名学生的体质情况，随机抽查了10名学生，测试1min 仰卧起坐的成绩（次数），测试成绩如下：30 35 42 33 34 36 34 37 29 40 （1）这10名学生的平均成绩x 是多少？标准差s 是多少？（2）次数位于x s -与x s +之间有多少名同学？所占的百分比是多少？ （参考数据：23.814.6≈）19.（12分）在复平面内，复数123,,z z z 对应的点分别为()((4,0,,A B C . （1）计算：23z z ，并求23zz 的模； （2）求向量BC uuu r 在向量OA u u u r上的投影向量，其中O 为复平面的原点.20.（12分）已知平面上三个向量,,a b c 的模均为1，它们相互之间的夹角均为23π. （1）求证：()-⊥a b c ；（2）若|1k ++>|a b c ，求实数k 的取值范围. 21.（12分）已知复数()1i 2ω=-+是虚数单位，ω是ω的共轭复数. （1）证明：2ωω=；（2）分别求3ω和21ωω++的值； （3）求()()222222ωωωω+++的值.22.（12分）已知ABC ∆内接于以O 为圆心，1为半径的圆，且345OA OB OC ++=0u u u r u u u r u u u r.（1）求数量积OA OB ⋅u u u r u u u r ，OB OC ⋅u u u r u u u r ，OC OA ⋅u u u r u u u r；（2）求ABC ∆的面积.参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.()1,3- 0 14.3315. 816.4 四、解答题：本题共6小题，共70分. 17.（10分）解：方案一：选条件①：∵cos 7A =-，0A π<< ∴sin 7A ===.……………………………………………4分 在ABC ∆中，根据正弦定理sin sina bA B=， ………………………………………………6分 得sin sin b Aa B===. (10)分方案二：选条件②：∵1AB AC ⋅=-u u u r u u u r，∴||||cos 1AB AC A ⋅=-u u u r u u u r， …………………………………2分17c ⎛⨯-=- ⎝⎭，∴1c =. …………………………………4分 在ABC ∆中，根据余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得222121107a ⎛=+-⨯-= ⎝⎭， ……………………………9分∴a = …………………………………10分方案三：选条件③：∵cos A =，0A π<<∴sin 7A ===. ………………………3分又ABC ∆的面积1sin 22S bc A ==，∴b =. …………………………………………6分在ABC ∆中，根据余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得222121107a ⎛=+-⨯-= ⎝⎭， ………………………9分∴a = ………………………………10分 18.（12分）解：（1）10名学生的平均成绩为：()1303542333436343729403510x =+++++++++=. ………………3分 方差：()212504941114362514.610s =+++++++++=， ……………5分即标准差 3.8s =≈. ……………………6分 （2）35 3.831.2x s -=-=，35 3.838.8x s +=+=， ………………………………………8分所以次数位于x s -与x s +之间的有6位同学， …………………………10分 所占的百分比是660%10=. …………………………………12分 19.（12分）解：（1）由题意可知：2353z z ==+， …………………………2分∴235323zz+-====，……4分23||zz==. ……………………………………………5分（2）由题意可知：()(4,0,OA BC==-u u u r. ……………………7分设向量BCuuu r和OAu u u r的夹角为α，e是与OAu u u r方向相同的单位向量，则1||cos||2242||||||BC OA BC OA OABC BC OABC OA OAα⋅⋅===-=-=-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u ru u u r u u u r u u u ru u u r u u u r u u u re e e e，…11分即向量BCuuu r在向量OAu u u r上的投影向量是12OA-u u u r. ………………………………12分20.（12分）解：（1）∵||||||1===ba c，且三个向量之间的夹角均为23π，∴()22cos cos033ππ-⋅⋅==-⋅=-⋅⋅a b c a c b c|a||c||b||c|，……………3分∴()-⊥a b c. ………………………………………………………………………………4分（2）∵|1k++>|a b c，∴2|1k++>|a b c，即()21k++>a b c，……………………………………………7分∴22222221k k k+++⋅+⋅+⋅>a b c a b a c b c. …………………………………………9分又由条件可得：||||||1===ba c，12⋅=⋅=⋅=-a b a c b c，…………………………10分∴220k k->，解得0k<或2k>. …………………………………………12分21.（12分）解：（1）∵ω是ω的共轭复数，∴122ω=--.…………………………………………1分又222111122422ω⎛⎫⎫⎫⎛⎫=-=+⨯-⨯+=-⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，……2分∴2ωω=. …………………………………………………………………3分（2）∵32ωωω=⋅， ……………………………………………4分∴由（1）可得：223131313i i i 1222222ωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=-+--=--= ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=. 6分 ∴21313i i 10222112ωωωω⎛⎫++=+⎛⎫-++--+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=. ………………8分（3）∵()()2222234234224444ωωωωωωωωωω++++++++=， ……10分∴由（1）（2）得：234234244445583ωωωωωωωω+++++=++=， ∴()()2222223ωωωω+++=. ……………………………12分22.（12分）解：（1）由已知得：534OC OA OB =--u u u r u u u r u u u r， ……………………1分 ∴()()22534OCOA OB =--u u u r u u u r u u u r ，即2222591624OC OA OB OA OB =++⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r. …………………………………2分又2221OA OB OC ===u u u r u u u r u u u r ， ∴252524OA OB =+⋅u u u r u u u r，… …………………………………………3分 ∴0OA OB ⋅=u u u r u u u r； ……………………………………………………………4分同理：45OB OC ⋅=-u u u r u u u r ，35OC OA ⋅=-u u u r u u u r . ……………………………………6分（2）∵1||||sin 2ABC S AB AC A ∆=⋅u u ur u u u r ， ………………………………………7分∴()22222211||||sin ||||1cos 22ABC S AB AC A AB AC A ∆=⋅⋅=⋅⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r ()2222222211||||||||cos ||||22AB AC AB AC A AB AC AB AC =⋅-⋅⋅=⋅-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 分∵AB OB OA =-u u u r u u u r u u u r， ……………………………9分∴222||21102AB OA OB OA OB =+-⋅=+-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r. …………………10分同理可得：216||5AC =u u u r ，45AB AC ⋅=u u u r u u u r . …………………………11分∴65ABC S ∆==. …………………………………………12分。