教学目的连续函数及其性质教学重点点连续与间断点教学难点解读
第八节函数的连续性与间断点
第八节 函数的连续性与间断点教学目的：使学生理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判断函数间断点的类型。
教学重点：分段函数在分界点处的连续性教学过程：一、讲解新课（一） 函数的连续性连续性是函数的重要性态之一，在实际问题中普遍存在连续性问题，从图形上看，函数的图象连绵不断。
在数学上，我们有：定义 1：设)(x f y =在0x 的某邻域内有定义，若)()(lim 00x f x f x x =→，就称函数)(x f y =在0x 点处连续注 1：)(x f 在0x 点连续，不仅要求)(x f 在0x 点有意义，)(lim 0x f x x →存在，而且要)()(lim 00x f x f x x =→，即极限值等于函数值。
2：若)()0()(lim 00x f x f x f x x =-=-←→，就称)(x f 在0x 点左连续。
若)()0()(lim 00x f x f x f x x =+=+→，就称)(x f 在0x 点右连续。
3：如果)(x f 在区间I 上的每一点处都连续，就称)(x f 在I 上连续；并称)(x f 为I 上的连续函数；若I 包含端点，那么)(x f 在左端点连续是指右连续，在右端点连续是指左连续。
定义1ˊ：设)(x f y =在0x 的某邻域内有定义，若对0,0>∃>∀δε，当δ<-0x x 时，有ε<-)()(0x f x f ，就称)(x f 在0x 点连续。
下面再给出连续性定义的另一种形式：先介绍增量：变量x 由初值1x 变到终值2x ，终值2x 与初值1x 的差12x x -称为x 的增量，记为x ∆，即=∆x 12x x -；x ∆可正、可负、也可为零，这些取决于1x 与2x 的大小。
我们称0x x -为自变量x 在0x 点的增量，记为x ∆，即0x x x -=∆或x x x ∆+=0；00→∆⇔→x x x 相应函数值差，)()(0x f x f -称为函数)(x f 在0x 点的增量，记为y ∆，即00)()(y y x f x f y -=-=∆，即y x f x f ∆+=)()(0或y y y ∆+=0，00)()()()(000→∆⇔→-∆+⇔→y x f x x f x f x f 。
11.8函数的连续性与间断点 函数的连续性与间断点
11.8函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点课时授课计划课次序号： 07一、课题：§ 1.8 函数的连续性与间断点二、课型：新授课三、目的要求：1.理解函数在一点连续、左右连续及区间上连续的概念；2.会判定函数间断点的类型；四、教学重点：连续的概念与间断点类型的判定.教学难点：间断点类型的判定.五、教学方法及手段：启发式教学，传统教学与多媒体教学相结合．六、参考资料：1.《高等数学附册学习辅导与习题选解》，同济大学数学系编，高等教育出版社；2.《高等数学教与学参考》，张宏志主编，西北工业大学出版社．七、作业：标准化作业八、授课记录：授课日期班次九、授课效果分析：十、教学进程（教学内容、教学环节及时间分配等） 1.复习（约5min）极限的存在准则：夹逼准则、单调有界准则；两个重要极限的应用；无穷小的比较：高阶、低阶、同阶、等价、k阶；等价无穷小替换求极限的方法.2.导入课题在实际问题中，我们遇到的函数常常具有另一类重要特性，如运动着的质点，其位移s是时间t的函数，时间产生微小改变时，质点也将移动微小的距离（从其运动轨迹来看是一条连绵不断的曲线），函数的这种特性称为函数的连续性，与连续相对立的一个概念，我们称之为间断.3.教学内容§1.8 函数的连续性与间断点一、函数的连续性（约45min）1. 增量变量x从初值x1变到终值x2，终值与初值的差叫变量x记作?x，即?x＝x1－x2.（增量可正可负）.一般地，当自变量从x0变到x，称?x?x?x0叫自变量x对于函数y?fx，而?y?fx?x0?fx0叫函数y若保持x0不变而让?x变动，一般来说，函数y的增量?y也要变动，若当?x趋于零时，?y也趋于零，即lim?y?0，此时就称函数y?fx在x0连.?x?02. 函数在一点处连续定义1 设函数y＝fx在Ux0有定义，如果lim?y?0，则称函数y＝fx在?x?0o点x0处连续.定义２设函数y＝fx在Ux0有定义，如果limfx?fx0，则称函数y＝x?x0ofx在点x0处连续.注① 上述两个定义在本质上是一致的，即函数fx在点x0连续，必须同时满足下列三个条件：（I）fx在点x0有定义，（II）limfx存在；（III）limfx?fx0.x?x0x?x0② 函数fx在点x0处连续是limfx存在的充分非必要条件.x?x0③ 函数fx在点x0处左连续、右连续的定义：fx?fx0，则函数y＝fx在点x0处左连续若lim?x?x0若limfx?fx0，则函数y＝fx在点x0处右连续?x?x0例1 设函数fx1,x?0，试问在x?0处函数fx是否连续？ x?1,0?x?0解由于f0?1，而limfx1，于是函数fx在点x?0不是左连续的， ?从而函数fx在x?0处不连续.?x2?3,x?0例2 设函数fx，问a为何值时，函数fx在点x?0处连续？?a?x,x?0解因为f0?3，且limfx?lima?x?a，limfx?limx?3?3，x?0x?0x?0x?02故由函数fx在点x?0处连续知，a?3.3. 函数在区间上连续定义3 如果函数y＝fx在某一区间上每一点都是连续的（如果此区间包含端点，且在左端点处右连续，在右端点处左连续），则称函数y＝fx在该区间上是连续的，或者说函数在该区间上是连续函数.函数y＝fx在其连续区间上的图形是一条连绵不断的曲线. 例3 证明函数y?3x?5x?3在,内连续. 证设?x0?,，由极限运算法则可知，2x?x02limfx?lim3x?5x?3?3x0?5x0?3?fx0，x?x022故y?3x?5x?3在点x0处连续，由x0的任意性可知，y?3x?5x?3在,内连续.2二、函数的间断点（约45min）定义4 若函数y＝fx在x0处不连续，则x0为函数fx的一个间断点注只要（I）（II）（III）三个条件有一个不满足，则x0为函数的间断点. 下面来观察下述几个函数的曲线在x?1点的情况，给出间断点的分类.x2?1y?y?x?1① ②x?1在x?1连续在x?1间断，x?1极限为2 ?x?1，x?1?x?1，x?1y?y?③ ④?1，x?1?x，x?1在x?1间断，x?1极限为2. 在x?1间断，x?1左极限为2，右极限为1.在x?0间断，x?0极限不存在.像②③④这样在x0点左、右极限都存在的间断点，称为第一类间断点，其中极限存在的②③称作第一类间断点的可去间断点，此时只要令y1?2，则函数在x?1就变成连续的；④被称作第一类间断点中的跳跃间断点；⑤⑥被称作第二类间断点，其中⑤也称作无穷间断点，而⑥称作震荡间断点.就一般情况而言，通常把间断点分成两类：如果x0是函数fx的间断点，但左极限fx0?0及右极限fx0?0都存在，那么x0称为函数fx间断点的任何间断点，称为第二类间断点.在第一类间断点中，左、右极限相等者称为可去间断点，不相等者称为跳跃间断点. 显然，无穷间断点和振荡间断点属于第二类间断点.练习讨论下列函数的连续性，若有间断点，指出其类型.x2?1sin2x（2）fx?2 （1）fx?x?3x?2x答案：（1）x?0 可去间断点（2）x?1 可去间断点，x?2 第二类间断点4.课堂总结（约5 min）（1）连续的定义：limfx?fx0，三个条件缺一不可；x?x0（2）间断点的分类：第一类可去型、跳跃型，第二类（无穷型、振荡型）.5.布置作业标准化作业感谢您的阅读，祝您生活愉快。
高中数学备课教案函数的连续与间断点
高中数学备课教案函数的连续与间断点高中数学备课教案函数的连续与间断点一、引言函数的连续性和间断点是高中数学中重要的概念，对于理解和应用函数具有重要作用。
本教案将详细介绍函数的连续性和间断点的概念、判定方法以及相关性质。
二、函数的连续性连续性是函数概念中最基本的性质之一，它表示函数在某个点上的值与其邻近点上的函数值之间存在接近的关系。
1. 连续的定义在数学中，若函数 f(x) 在点 x=a 处的极限存在且与 f(a) 的值相等，则称函数在点 x=a 处连续。
2. 连续的判定函数在某一点处连续的判定方法有三种：利用定义、利用函数的性质、利用间断点的概念。
3. 连续函数的性质连续函数具有以下性质：- 连续函数的和、差、积仍然是连续函数。
- 连续函数的复合函数仍然是连续函数。
- 有界闭区间上的连续函数必定有最大值和最小值。
三、函数的间断点在函数的定义域内，存在使函数值发生突变的点，这些点被称为函数的间断点。
1. 第一类间断点若函数 f(x) 在点 x=a 处的左、右极限存在，但左、右极限不相等，则称点 x=a 为函数的第一类间断点。
2. 第二类间断点若函数 f(x) 在点 x=a 处的左、右极限至少有一个不存在，则称点x=a 为函数的第二类间断点。
3. 可去间断点若函数 f(x) 在点 x=a 处的极限存在，但与 f(a) 的值不相等，则称点x=a 为函数的可去间断点。
4. 跳跃间断点若函数 f(x) 在点 x=a 处的左、右极限存在且不相等，则称点 x=a 为函数的跳跃间断点。
四、连续性与间断点的应用函数的连续性和间断点有广泛的应用，涉及到极限、导数、积分等数学领域。
1. 连续函数的导数连续函数在其定义域内的导函数仍然是连续函数。
2. 连续函数的积分连续函数在其定义域内的积分仍然是连续函数。
3. 最值问题利用连续函数的性质，可以解决最值问题，如求函数在闭区间上的最大值和最小值。
五、综合练习通过综合练习，巩固对函数的连续性和间断点的理解和应用。
高等数学教案第一章
第一章函数与极限一、教学内容1．函数：常量与变量、函数的定义；2．函数的表示方法：解析法、图示法、表格法；函数的性质：单调性、奇偶性、有界性和周期性；3．初等函数：基本初等函数、反函数、复合函数、初等函数、分段表示的函数，并会建立函数关系；4．极限：数列极限、函数极限、左右极限、极限四则运算法则、两个重要极限、无穷小量、无穷大量、无穷小量的性质；5．连续：连续、间断、初等函数的连续性、闭区间上连续函数的性质。
二、教学目的1．理解函数的概念及其性质，熟练掌握求函数定义域和函数值的方法；2．掌握基本初等函数的解析表达式、定义域、主要性质和图形；3．了解反函数的概念及互为反函数的函数图象之间的关系；理解复合函数、分段函数的概念；了解初等函数的概念；会建立函数关系；4．了解数列极限与函数极限的概念(描述性定义)；会求左右极限；5．掌握极限四则运算法则；掌握用两个重要极限求极限的方法；能熟练进行极限运算；6．理解无穷小量、无穷大量的概念及相互关系；7．理解函数连续概念；掌握由初等函数的连续性求极限的方法；了解闭区间上连续函数的性质。
三、教学重点1．函数的概念及其性质、基本初等函数、复合函数；2．极限的运算。
3．无穷小量、无穷大量的概念及相互关系；4．函数连续概念、闭区间上连续函数的性质。
四、教学难点1．极限的概念；2．无穷小量、无穷大量的概念及相互关系； 3．函数连续概念。
第一节 函数一、集合 1、集合概念具有某种特定性质的事物的总体叫做集合。
组成这个集合的事物称为该集合的元素。
表示方法：用A ，B ，C ，D 表示集合；用a ，b ，c ，d 表示集合中的元素1)},,,{321 a a a A = 2)}{P x x A 的性质=元素与集合的关系：A a ∉ A a ∈一个集合，若它只含有有限个元素，则称为有限集；不是有限集的集合称为无限集。
常见的数集：N ，Z ，Q ，R ，N + 元素与集合的关系：A 、B 是两个集合，如果集合A 的元素都是集合B 的元素，则称A 是B 的子集，记作B A ⊂。
《数学分析》第四章 函数的连续性教案
定理 4.3（局部保号性）若函数 f (x) 在 x0 点连续，且 f (x0 ) 0 ，
则对任意 0 存在 x0 某邻域 U (x0 ) , x U (x0 ) 时， f (x) 0
. 5.
定理 4.4（四则运算性质）若函数则 f (x) , g(x) 在区间 I 上有定义，
则称 f (x) 在点 x0 连续。
它包含着三个方面的内容：
1） f (x) 在点 x0 处有定义，即 f (x0 ) 存在。 2）极限存在即 lim f (x) A
x x0
3）极限值为函数值即 A f (x0 )
例如，函数
f
(x)
x
sin
1 x
0
x0 x0
为引入另一表述，记 x x x0 为 自变量 x （在点 x0 ）的增量或改变
. 1.
§1 连续性的概念
内容： 1 、 函数在点 x0 处连续性 2 、间断点 x0 及其的分类 3 、区间上的连续函数
重点：
函数在点 x0 的连续性；间断点的分类。
难点： 连续性的证明 要求： 1、理解连续的定义，间断点的分类，会用定义证明函数的连续性。
2、能够区分出间断点所属的类别。
3、会判断函数在区间上的连续性。
四、教学难点：连续函数的保号性；一致连续性
五、授课内容：
1、连续函数的局部性质
根据函数的在
x0
点连续性，即
lim
x x0
f (x)
f (x0 ) 可推断出函数
f (x) 在 x0
点的某邻域U (x0 ) 内的性态。
定理 4.2（局部连续性）若函数 f (x) 在 x0 点连续，则 f (x) 在 x0 点的某 邻域内有界。
高等数学(上册)教案05 函数的连续性与间断点
第1章 函数、极限与连续函数的连续性与间断点【教学目的】：1. 理解函数在一点连续的概念；2. 会求简单函数的间断点；【教学重点】：1. 函数连续、间断的概念；2. 函数在一点处连续的判定方法；3. 函数间断点的分类；【教学难点】：1. 函数在一点处连续的判定方法；2. 分段函数分段点处的连续性判断；3. 函数间断点的分类。
【教学时数】：2学时【教学过程】：1.4.1函数的连续性的概念1、函数的增量2、函数的连续性定义 1 设函数)(x f y =在点0x 及其附近有定义，且0lim 0=∆→∆y x ，则称函数)(x f 在点0x 连续，0x 称为函数)(x f y =的连续点．连续的另一等价定义是：定义2 设函数()x f y =在点0x 及其附近有定义，如果函数()x f 当0x x →时的极限存在，且等于它在点0x 处的函数值()0x f ，即()()00lim x f x f x x =→，那么就称函数()x f y =在点0x 连续.注意：由定义知函数)(x f 在0x 处连续要()()00lim x f x f x x =→成立，则必须同时满足以下三个条件(1) 函数)(x f 在0x 处有定义；(2) 极限)(lim 0x f x x →存在；(3) 极限值等于函数值，即)()(lim 00x f x f x x =→．定义3 如果函数)(x f y =在0x 处及其左邻域内有定义，且)(lim 0x f x x -→=)(0x f ，则称函数)(x f y =在0x 处左连续．如果函数)(x f y =在0x 处及其右邻域内有定义，且)()(lim 00x f x f x x =+→，则称函数)(x f y =在0x 处右连续． )(x f y =在0x 处连续 ⇔ )(x f y =在0x 处既左连续且右连续．例5 讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧+-=101)(x x x f 000>=<x x x 在点0=x 处的连续性.解 函数定义域为),(+∞-∞，)(lim 0x f x -→=1)1(lim 0-=--→x x ，1)1(lim )(lim 00=+=++→→x x f x x ， 由于左极限与右极限虽然都存在但不相等，所以)(lim 0x f x →不存在，函数)(x f 在点0=x 处不连续.定义4 若函数)(x f 在开区间),(b a 内任何一点处都连续，则称函数)(x f 在开区间),(b a 内连续；若函数)(x f 在开区间),(b a 内连续，且在左端点a 处右连续， 在右端点b 处左连续，则称函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续.可以证明，基本初等函数以及常数函数在其定义区间内都是连续的．3、函数的间断点如果函数)(x f y =在点0x 处不连续，则称)(x f 在0x 处间断，并称0x 为)(x f 的间断点．设0x 是)(x f 的间断点，若)(x f 在0x 点的左、右极限都存在，则称0x 为)(x f 的第一类间断点；其他的间断点都称为第二类间断点．在第一类间断点中，如果左、右极限存在但不相等，这种间断点又称为跳跃间断点；如果左、右极限存在且相等(即极限存在)，但函数在该点没有定义，或者虽然函数在该点有定义，但函数值不等于极限值，这种间断点又称为可去间断点．在第二类间断点中左、右极限至少有一个为无穷大的间断点称为无穷间断点.【教学小节】：通过本节的学习，理解函数连续的一系列概念，并掌握判断函数连续的方法，学会判断函数的间断点并分类。
高等数学教案各章的教学目的、重点、难点
一、前言教学目的：使学生掌握高等数学的基本概念、理论和方法，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
重点：高等数学的基本概念、理论和方法。
难点：理解和运用高等数学的知识解决实际问题。
二、极限与连续教学目的：使学生理解极限的概念，掌握极限的运算，了解函数的连续性。
重点：极限的概念和运算，函数的连续性。
难点：理解极限的的本质，熟练掌握极限的运算，理解函数的连续性。
三、导数与微分教学目的：使学生理解导数的概念，掌握导数的运算，了解函数的微分。
重点：导数的概念和运算，函数的微分。
难点：理解导数的本质，熟练掌握导数的运算，理解函数的微分。
四、积分与不定积分教学目的：使学生理解积分的概念，掌握积分的运算，了解函数的不定积分。
重点：积分的基本概念和运算，函数的不定积分。
难点：理解积分的本质，熟练掌握积分的运算，理解函数的不定积分。
五、定积分与面积教学目的：使学生理解定积分的概念，掌握定积分的运算，了解函数的面积。
重点：定积分的基本概念和运算，函数的面积。
难点：理解定积分的本质，熟练掌握定积分的运算，理解函数的面积。
六、微分方程教学目的：使学生了解微分方程的基本概念，掌握一阶微分方程的解法，了解微分方程在实际问题中的应用。
重点：微分方程的基本概念，一阶微分方程的解法。
难点：理解并掌握一阶微分方程的解法，解决实际问题中的微分方程。
七、级数教学目的：使学生理解级数的基本概念，掌握级数的收敛性判断，了解级数在数学分析中的应用。
重点：级数的基本概念，级数的收敛性判断。
难点：理解并掌握级数的收敛性判断，解决实际问题中的级数问题。
八、常微分方程教学目的：使学生掌握常微分方程的基本概念和解法，了解常微分方程在自然科学和工程中的应用。
重点：常微分方程的基本概念和解法。
难点：理解并掌握常微分方程的解法，解决实际问题中的常微分方程。
九、线性代数教学目的：使学生掌握线性代数的基本概念、理论和方法，培养学生运用线性代数知识解决实际问题的能力。
高等数学教案 1.6 函数的连续性与间断点
§1.6 函数的连续性与间断点【教学内容】：1、函数的连续性2、函数的间断点及其分类3、初等函数的连续性【教学目的】：1、理解函数在某一点处连续的概念2、会判断函数间断点的类型3、了解初等函数的连续性【教学重点】:函数连续的概念、函数间断点分类【教学难点】函数间断点分类【教学设计】:首先介绍连续的两种定义（极限定义和增量定义）（20分钟），在理解函数连续性概念的基础上，介绍函数的间断点的定义及其分类，第一类间断点（30分钟），第二类间断点（15分钟），让学生重点掌握求函数的间断点并分类。
最后介绍初等函数的连续性（15分钟），课堂练习及小结（20分钟）。
【授课内容】：引入：自然界中有许多现象，如气温的升高、河水的流动、植物的生长等等，都是连续变化着的。
这种现象的函数关系上的反映，就是函数的连续性。
例如就气温变化而言，当时间变动很微小时，气温的变化也很微小，这种特点就是所谓的连续性。
一、 函数的连续性00000()(),(),,.()(),(f x U x x U x x x x x y f x f x f x δδ∀∈∆=-∆=- 设函数在内有定义称为自变量在点的增量称为函数 如右图所示。
1、 增量定义设函数=y )(x f 在点0x 如果0000lim lim[()()]0x x y f x x f x ∆→∆→∆=+∆-=， 那么就称函数=y )(x f 在点0x 处连续。
推导：当)(x f 在点0x 处连续时，令0x x x =+∆，则lim 0x y ∆→∆=⇔[]0)()(lim 000=-∆+→∆x f x x f x ⇔[]0)()(lim 00=-→x f x f x x ⇔)()(lim 00x f x f x x =→2、 极限定义 设函数=y )(x f 在点0x 的某一邻域内有定义，如果)()(lim 00x f x f x x =→，则称函数)(x f 在0x x =处连续。
函数的连续性教案
函数的连续性教案一、教学目标1、理解函数连续性的概念，包括在一点处连续和在区间上连续的定义。
2、能够通过函数的图像和表达式判断函数在某点处的连续性。
3、掌握函数连续性的性质，如连续函数的四则运算、复合函数的连续性等。
4、能够运用函数连续性的概念和性质解决相关的数学问题。
二、教学重难点1、教学重点函数在一点处连续的定义。
函数连续性的性质及其应用。
2、教学难点函数在一点处连续的定义的理解。
运用函数连续性的定义证明函数在某点处连续。
三、教学方法讲授法、讨论法、练习法四、教学过程1、导入（通过展示一些函数的图像，如连续的曲线和不连续的折线）同学们，我们在之前的学习中已经接触过很多函数，大家观察这些函数的图像，有的曲线是平滑的，没有间断点；而有的图像则存在跳跃或者断裂的情况。
今天我们就来深入研究函数的一种重要性质——连续性。
2、函数在一点处连续的定义设函数＼（f(x)＼）在点＼（x_0\）的某一邻域内有定义，如果当自变量的增量＼（＼Delta x\）趋近于零时，对应的函数增量＼（＼Delta y ＝ f(x_0 ＋＼Delta x) f(x_0)＼）也趋近于零，那么就称函数＼（f(x)＼）在点＼（x_0\）处连续。
用数学语言可以表示为：＼（＼lim_{＼Delta x ＼to 0} ＼Delta y ＝＼lim_{＼Delta x ＼to 0} f(x_0 ＋＼Delta x) f(x_0) ＝ 0\）进一步，等价于：＼（＼lim_{x ＼to x_0} f(x) ＝ f(x_0)＼）（通过具体的函数例子，如＼（f(x) ＝ x^2\）在＼（x ＝ 1\）处，计算函数增量，帮助学生理解定义）3、函数在一点处连续的充要条件函数＼（f(x)＼）在点＼（x_0\）处连续的充要条件是：函数＼（f(x)＼）在点＼（x_0\）处既左连续又右连续。
左连续：＼（＼lim_{x ＼to x_0^｝ f(x) ＝ f(x_0)＼）右连续：＼（＼lim_{x ＼to x_0^＋｝ f(x) ＝ f(x_0)＼）（举例说明左连续和右连续的情况）4、函数在区间上连续的定义如果函数＼（f(x)＼）在区间＼（I\）内的每一点都连续，就称函数＼（f(x)＼）在区间＼（I\）上连续。
高等数学教案各章的教学目的、重点、难点
教学重点：
1、复合函数及分段函数的概念；
2、基本初等函数的性质及其图形；
3、极限的概念极限的性质及四则运算法则；
4、两个重要Leabharlann 限； 5、无穷小及无穷小的比较；
与左、右极限之间的关系。
6、掌握极限的性质及四则运算法则。
7、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重
要极限求极限的方法。
8、理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无
穷小求极限。
9、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点
的类型。
第一章函数与极限教学目的：
1、理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中
的函数关系式。
2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。
3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。
4、掌握基本初等函数的性质及其图形。
5、理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在
6、函数连续性及初等函数的连续性；
7、区间上连续函数的性质。
教学难点：
1、分段函数的建立与性质；
2、左极限与右极限概念及应用；
3、极限存在的两个准则的应用；
4、间断点及其分类；
闭区间上连续函数性质的应用。
数学《函数的连续性》讲义
第四章函数的连续性1. 教学框架与内容教学目标①掌握函数连续性概念．②掌握连续函数的局部性质和闭区间上连续函数的整体性质．③掌握初等函数的连续性．教学内容①函数在一点和在区间上连续的定义，可去间断点，跳跃间断点，第二类间断点等间断点的分类．②连续函数的局部保号性，局部有界性，四则运算；闭区间上连续函数的最大最小值定理，有界性定理，介值性定理，反函数的连续性，一致连续性．③初等函数的连续性．2. 重点和难点①用较高的分析方法、技巧证明函数的连续性.②一致连续性和非一致连续性的特征, 如何判别函数是否一致连续．③用初等函数的连续性计算极限．3. 研究性学习选题● 连续函数介值性的应用，特别是方程根的问题, 举例说明应用.● 一致连续性的判定通过自学和小组讨论，写出对函数一致连续性的理解.4. 综合性选题，写学习笔记■ 函数极限性质、连续函数局部性质、连续函数整体性质的内在联系.5. 评价方法◎课后作业，计20分.◎研究性学习布置的两个选题合计30分.●闭区间上连续函数的性质（计15分）● 一致连续性（计15分）◎学习笔记计20分.◎小测验(第三章与第四章) 计30分§1 连续函数概念一、函数在一点的连续性回顾函数在一点的极限0lim ()x x f x A →=，可以有三种情况:1) 0()f x 无定义，如000sin()limx x x x x x →--.2) 0()f x 存在但0()f x A ≠，如00()1xx x f x x x x ≠⎧=⎨+=⎩.3) 0()f x A =，如()1f x x =+, 00lim ()()x x f x f x →=.从图形上看，函数3)的图像为一条连绵不断的曲线，这种函数我们就称为连续函数.下面我们就给出这种函数的定义.定义1 设函数f 在某0()U x 内有定义，若00lim ()()x x f x f x →=，则称f 在0x 处连续.例 1 1) ()21f x x =+在2x =处连续.2) 1sin 0()00x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处连续.结论1 若f 在0x 处连续, 则f 在0x 处存在极限(0()f x ).注 1 若要f 在0x 处连续，不仅要求f 在0x 处存在极限,而且要求极限就是函数值0()f x .而以前我们讨论函数f 在0x 处的极限,其与f 在0x 处是否有定义或f 在0x 处的值为多少均无关.定义2(εδ-) 设f 在某0(,')U x δ内有定义，若任0ε>,0δ∃>(')δδ<，使得对任意0(,)x U x δ∈, 有0()()f x f x ε-<，则称f 在0x 处连续.记0x x x ∆=-，称为x 自变量在0x 处的增量(或称作改变量,可正也可负)，相应地, 函数y 在00()y f x =处的函数值增量，记为0000()()()()y y y f x f x f x x f x ∆=-=-=+∆-.定义3 f 在0x 处连续0lim 0x y ∆→⇔∆=.注 2 ()f x 在0x 处连续00lim ()()(lim )x x x x f x f x f x →→⇔==.由此可见,f 在0x 处连续0lim x x →⇔与对应法则f 可交换次序，又由左右极限,f 在0x 处连续00lim ()()x x f x f x →⇔=;0lim ()lim ()()x x x x f x f x f x +-→→⇔==;0lim ()()x x f x f x +→⇔=且00lim ()()x x f x f x -→=.(⇔f 在0x 处右、左连续).定义4 设函数f 在0()U x +(或0()U x -)内有定义，若00lim ()()x x f x f x +→=(或00lim ()()x x f x f x -→=).则称f 在0x 处右(左)连续.结论2 f 在0x 处连续⇔f 在0x 处右、左连续.例2 已知2,0,(),0,,0,x x f x A x x B x +>⎧⎪==⎨⎪-<⎩讨论()f x 在0x =处的连续性及左右连续性.二、间断点及其分类定义5 设函数f 在某00()U x 内有定义，若f 在0x 处无定义或f 在0x 处有定义但不连续，则称点0x 为f 的间断点或不连续点.若f 在0x 处不连续，则对极限必有如下情形:1) 0lim ()x x f x A →=，而f 在0x 处无定义或有定义,但00lim ()()x x f x A f x →=≠.2) 左右极限都存在但不相等，称0|lim ()lim ()|x x x x f x f x α+-→→=-为f 在0x 处的跳跃度.3) 左右极限至少有一个不存在.下面我们对间断点进行分类.1、第一类间断点------函数在此点的左右极限均存在1) 可去间断点 若00lim ()lim ()x x x x f x f x A -→+→== (此时0lim ()x x f x A →=存在，0()A f x ≠或0()f x 无意义)，则称0x 为f 的可去间断点.例3 1) 1,0,()0,0,x f x x ≠⎧=⎨=⎩在0x =处.2) sin ()xf x x=在0x =处.对可去间断点，其最大的特征是0lim ()x x f x A →=存在，因而可重新定义f 在0x 处的函数值，使新的函数f 在0x 处连续.例4 对sin ()x f x x =, 定义sin ,0,()1,0,xx f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ 则()f x 在0x =处的连续.2) 跳跃间断点 若f 的左右极限都存在但不相等,则称0x 为f 的跳跃间断点. 例5 (1)()[]f x x =，在x n =处，跳跃度为1，在R 上任一点处都是右连续的.(2) 函数 1,0()0,01,0x x f x x x x +>⎧⎪==⎨⎪-<⎩在0x =处间断，为跳跃间断点.2、第二类间断点-----f 在此点处至少有一单侧极限不存在 例6 Dirichlet 函数()D x 在R 上任一点处间断且都是第二类间断.例7 1) 求2(1)()(1)x x f x x x -=-的间断点类型.2) 举例定义在R 上且在1x =，2x =处间断的函数.思考 有无在R 上定义但仅在1x =，2x =处连续的函数?3) 考察,;(),,x x f x x x ⎧=⎨-⎩为有理数为无理数的间断点.例8 设函数f 是区间I 上的单调函数，证明: 若0x I ∈为f 的间断点， 则0x 必为f 的第一类间断点. (单调函数的间断点必为第一类间断点)三、区间上的连续函数若函数f 是区间I 上的每一点都连续，则称f 为I 上的连续函数，而对于闭区间的端点，函数在此点连续，是指在该点的左(右)连续，如f 在[,]a b 上连续df ⇔在(,)a b 上连续且在x a =,x b =处分别是右、左连续的.例9()f x =1,1x =-处分别是右、左连续的，在(1,1)x ∈-上连续，从而()f x =[1,1]-上连续.分段连续 若f 是[,]a b 上仅有有限个第一类间断点，则称f 在[,]a b 上分段连续.例10 []y x =在任一个有限区间上分段函数.例11 证明: Riemann 函数1,(,),()0,0,1p x p q q q R x x ⎧=⎪=⎨⎪=⎩既约或无理数,在(0,1)内任何无理点均连续，但在任何有理点均不连续.例12 确定,,a b c 的值，使2111,0()0011x ax bx c x x f x x x -≤-⎧⎪++<≠⎪=⎨=⎪⎪≥⎩在R 上连续.练习 设f 为R 上的连续函数, 常数0>c . 记,();()(),();,().c f x c F x f x f x c c f x c -<-⎧⎪=≤⎨⎪>⎩若若若 证明: F 在R 上连续 (一般称F 为f 的截断函数) .习 题1. 用定义证明下列函数在其定义域上连续.2)1x2. 指出下列函数的间断点并说明类型.1)1ln x2) sin x x 3) [sin ]x 4) 112121xx -+5) sgn(sin )x 6) []x x 7) 1arctan x8) 1x e -3. 确定,,a b c 的值,使()f x 连续, 其中21101()0011x ax bx c x f x x x -≤-⎧⎪++<<⎪=⎨=⎪⎪≥⎩.4. 如何补充定义使函数f 连续.1) 24()2x f x x -=- 2) 3tan sin ()x xf x x -=5. 若f 在0x 处连续, 则||f 在0x 处连续. 反之呢? 又2f 呢？6. 若偶函数()f x 在x a =处连续，则f 在x a =-处也连续.(0)a ≠.7. 构造满足下列条件的R 上定义的函数1) 仅在1,2x =处不连续的函数; 2) 仅在1,2x =处连续的函数; 3) 仅在1()x n N n=∈处间断的函数. 8. 若对任何0ε>,f 在[,]a b εε+-上连续,则f 在(,)a b 上连续.9. 设()sin f x x =,,0,(),0,x x g x x x ππ-≤⎧=⎨+>⎩, 求证: (())f g x 在0x =处连续,而g 在0x =处间断.10. 设f 为R 上的单调函数,定义)0()(+=x f x g .证明:g 在R 上每一点都右连续.§2 连续函数性质一、连续函数的局部性质若函数f 在0x 处连续，则f 在0x 处有极限且极限等于函数值，由函数极限性质，有(复习极限性质,然后估计那些性质会减少或有什么不同) 定理 (局部有界性) 若函数f 在0x 处连续，则f 在0()U x 内有界.定理 (局部保号性) 若函数f 在0x 处连续,且0()0f x >(或0<)，则对任何正数00()r f x <<(或00()r f x <<-), 存在0()U x , 使得对一切0()x U x ∈有()f x r >(或()f x r <-).注 1 一般可取01()2r f x =. 定理 (四则运算) 若函数f 和g 在0x 处连续，则f g +、f g ⋅、fg0(()0)g x ≠均 在0x 处连续.例1 1) ()f x c =，()f x x =连续，从而 多项式函数 1110()n n n n P x a x a x a x a --=++⋅⋅⋅++， 有理函数()()P x Q x (P 、Q 为多项式) 在其定义域上连续. 2) sin x 、cos x 连续，从而tan x 、cot x 在其定义域上连续.定理 (复合函数连续性) 若函数f 在0x 处连续，g 在00()u f x =连续，则复合函数g f 在0x 处连续.注 2 定理4可简写成 00lim (())(lim ())((lim ))(())x x x x x x g f x g f x g f x g f x →→→===.注 3 由上章变量代换法则定理,当内层函数f 0x x →时极限为a 而0()a f x ≠ 或()f x 在0x 无意义(即0x 为f 的可去间断点)，又外层函数g 在u a =连续， 仍有上述定理结论成立，即 0lim (())(lim ())x x x x g f x g f x →→=.例2 1) 21limsin(1)x x →-; 2) x3) 0x →; 4) 0lim x x x a →, (0,1)a a >≠.二、反函数的连续性定理 若函数f 在[,]a b 上严格单调且连续，则反函数1f -在其定义域[(),()]f a f b (或[(),()]f b f a )上连续.例 3 由sin y x =在[,]22ππ-上严格单调且连续，则其反函数sin y arc x =在[1,1]-上连续. 类似地可证1ny x =，q py x =在[0,]+∞上连续.思考 反函数在其定义域上连续能否推出函数本身连续? 三、有限闭区间上连续函数的性质 (整体性质)设f 为闭区间[,]a b 上的连续函数，下面我们讨论f 在[,]a b 上的整体性质. 1、最值性定义1 设f 为定义在数集D 上的函数，若存在0x D ∈,使得对一切x D ∈,有0()()f x f x ≥(或0()()f x f x ≤) ，则称f 在D 上有最小(大)值, 0()f x 称为f 在D 上有最小(大)值, 而0x 相应地称为最小(大)值点.注4 一般而言,函数在其定义域上未必有最大值、最小值(即使f 在D 上有界)，如 ()f x x =，(0,1)x ∈，-----上下确界存在.又如1,(0,1),()2,0,1.x g x x x ⎧∈⎪=⎨⎪=⎩ 在[0,1]上无最大、最小值.定理 (最值定理) 若函数f 在闭区间上[,]a b 上的连续，则f 在[,]a b 上存在最大值和最小值，即存在01,[,]x x a b ∈，使得10()()()f x f x f x ≤≤ [,]x a b ∀∈.推论 (有界性定理) 若函数f 在闭区间上[,]a b 上的连续，则f 在[,]a b 上有界. [分析 注4中两个例子为什么无界？]练习 举例说明最值定理的条件仅是充分的,易见最值点存在也未必唯一.在中学二次函数2y ax bx c =++常遇到方程20ax bx c ++=根的问题，一般找一个值0>，一个值0<(作图解释) .这实际上就是应用了连续函数的介值性. 2、介值性定理(介值性定理) 若函数f 在闭区间[,]a b 上连续且()()f a f b ≠，若μ为介于()f a 与()f b 之间的任一实数(()()f a f b μ<<，或()()f b f a μ<<) ，则至少存在一点(,)a b ξ∈，使得()f ξμ=.推论 (根的存在性定理) 若函数f 在闭区间[,]a b 上连续,且()f a 与()f b 异号， 则至少存在一点(,)a b ξ∈，使得()0f ξ=. 注 5 介值性定理与根的存在性定理是等价的.注 6 由介值性定理，若f 在[,]a b 上的连续，()()f a f b <，则f 在[,]a b 上能取到 区间[(),()]f a f b 之间的一切值，则([,])[(),()]f a b f a f b ⊃.特别地，若f 在[,]a b 上的最大值M 、最小值m ，则([,])[,]f a b m M =.结论 若f 是闭区间I 上连续且不恒为常数，则值域()f I 亦为一个闭区间.例4 证明: 方程cos x x x =在0到2π之间有实根.例5 证明: 若0r >，n 为正整数，则存在唯一正数0x 使得0n x r =(0x 称为r 的n 次正根，记作0x =).例6 设f 在[,]a b 上的连续，([,])[,]f a b a b ⊂，证明：存在0[,]x a b ∈，使得0()f x x =.注 对上述问题的根的存在性，一般可构造函数使得函数在适当区间上连续， 且在端点处的值异号，而对唯一性，一般可利用函数严格单调性说明. 练习 若f 在[0,2]a 上的连续,(0)(2)f f a =，证明: 存在点0[0,]x a ∈, 使00()()f x f x a =+.3、一致连续性----整体性质 1) 连续性定义中δ对0x 的依赖性 例7 考察函数1()f x x=在(0,1]上的连续性.例8 考察函数1()f x x=在[1,)+∞上的连续性.2) 一致连续性定义定义 设f 定义在区间I 上的函数，若对任给的0ε>，存在()0δδε=>，使得对任何',''x x I ∈，只要'''x x δ-<，就有(')('')f x f x ε-<，则称函数f 定义在I 上一致连续.注 7 若固定0''x x =，则易见f 在I 上一致连续，则f 在I 上必连续(一致连续性 定义中存在的δ与0x I ∈的选择无关).注 8 直观上说，f 在I 上一致连续⇔不论两点',''x x 在I 中什么位置，只要'''x x δ-<，就有(')('')f x f x ε-<.例9 1) 验证函数()f x ax b =+ (0)a ≠在R 上一致连续.2) 验证函数1()sin f x x=在(,1)c (01)c <<上一致连续.思考 c 能否等于0?注 9 用定义确定一致连续性时，关键是确定δ的存在，我们一般从(')('')f x f x - 入手，放大此式，除因子'''x x -外，其余不含',''x x , 再解出'''x x -. 例10 验证()ln f x x =在[1,)+∞上一致连续.例11 若函数f 在有限区间(,)a b 上一致连续，则f 在(,)a b 上必有界.3) 一致连续性的否定f 在I 上不一致连续012121200,,,, :()()x x I x x f x f x εδδε⇔∃>∀∃∈-<-≥.例12 1) 证明函数1()sin f x x=在(0,1)内非一致连续. 2) 证明函数1()f x x=在(0,1)内非一致连续. 3) 验证函数2()f x x =在[1,)+∞上非一致连续.4) Lipschitz 连续与一致连续性定义 设函数f 定义在区间I 上，若存在0L >,使得在I 上12,x x I ∀∈, 有1212()()f x f x L x x -≤-,则称f 在I 上Lipschitz 连续(或称f 在I 上满足Lipschitz 条件)，而L 称为Lipschitz 常数.定理 若函数f 在区间I 上Lipschitz 连续，则f 在I 上一致连续.例13 ()sin f x x =在R 上一致连续，()f x =[,)a +∞ (0)a >上一致连续.思考 a 能否等于0? 如果能, 0a =时怎么处理? 5) 一致连续函数的判定定理 (一致连续性) 函数f 在闭区间[,]a b 上连续，则f 在[,]a b 上一致连续. 例14 f 在(,)a b 上一致连续⇔f 在(,)a b 上连续且(0),(0)f a f b ++存在. 由此说明1()f x x=在(0,1)内非一致连续.思考 上述结论对无穷区间是否成立? 即设()f x 在[,)a +∞上的连续函数，则f 在[,)a +∞上一致连续⇔lim ()x f x →∞存在且为有限值?例15 f 在I 上一致连续{},{},0()()0n n n n n n x y I x y f x f y ⇔∀⊂-→⇒-→.6) 一致连续函数的性质定理 若f 、g 在区间I 上一致连续，则||f 、f g +仍为一致连续.又若I 为有限区间，则f g ⋅也是一致连续.例16 当I [,)a =+∞，举例说明乘积f g ⋅在I 上未必一致连续.思考* 一致连续函数的复合是否仍然一致连续?例17* 设区间1I 的右端点为1c I ∈，区间2I 的左端点也为2c I ∈，用一致连续性定义证明：若f 在1I 、2I 上分别一致连续，则f 在12I I I =一致连续.特别地，若f 在[,]a c 、[,]c b 上连续，则f 在[,]a b 上一致连续(而这是显然的，关键在于1I 、2I 可能为无限区间) ， 由此可得()f x =[0,)+∞上必一致连续.思考 若f 在[,)a c 、[,]c b 上连续，是否仍然有f 在[,]a b 上(一致)连续?习 题1. 求极限: 1) x x x tan )(lim 4-→ππ; 2) 1121lim 21+--++→x x x x x2. 设f ,g 在区间I 上连续, 记()max{(),()}, ()min{(),()}F x f x g x G x f x g x == 证明: F 和G 也都在I 上连续.3. 设0≠x 时, )()(x g x f ≡, 而)0()0(g f ≠. 证明: f 与g 两者中至多有一个在0=x 连续.4. 设f ,g 在点0x 连续, 证明:1) 若)()(00x g x f >, 则存在);(0δx U , 使在其内有)()(x g x f >; 2) 若在某)(00x U 内有)()(x g x f >, 则)()(00x g x f ≥.5. 证明：若f 在[,]a b 上连续,且对任何[,]x a b ∈,()0f x ≠,则f 在[,]a b 上 恒正或恒负.6. 证明: 方程sin x a x b =+(,0)a b >在(0,]a b +内至少一个实根. 7． 设f 在],[b a 上连续,12,,...,[,]n x x x a b ∈.证明:存在],[b a ∈ξ,使得121()[()()()]n f f x f x f x nξ=++⋅⋅⋅+8．设f 为],[b a 上的增函数,其值域为)](),([b f a f .证明: f 在],[b a 上连续. 9. 证明: 奇次多项式必有实根,而偶次多项式必有最大值或最小值.10．设f 在),[+∞a 上连续, 且)(lim x f x +∞→存在, 证明: f 在),[+∞a 上有界, 又f 在),[+∞a 上必有最大值或最小值吗?11. 证明: 2()f x x =在[,]a b (,)a b R ∀∈上一致连续,而在(,)-∞+∞上不一致连续.12. 证明: ()f x =[1,)+∞上一致连续. 13．证明: x x f cos )(=在),0[+∞上一致连续. 14．证明: x x f =)(在),0[+∞上一致连续.§3 初等函数的连续定理 基本初等函数在其定义域上连续. 定理 任何初等函数在其定义域上连续.例1 求()ln(2)f x x =-的连续区间和间断点.例2 利用函数的连续性求下列极限1) 20ln(1)lim cos x x x →+ 2) 0lim x +→3) sec tan 0lim(1tan )x x x x ⋅→+ 4) sin x →∞习 题1. 求下列极限:1) )1ln(15cos lim 20x x x e x x -+++→;2) )(lim x x x x x -+++∞→;3) )111111(lim 0xx x x x x x +--+++→; 4) 1lim++++∞→x xx x x ;5) x x x cot 0)sin 1(lim +→.习题课一、连续性概念 设f 在某0x 的某邻域内有定义f 在0x 处连续d⇔0ε∀>，0δ∃> ，0x x δ-<，0()()f x f x ε-<.0lim ()()x x f x f x →⇔=.000(0)(0)()f x f x f x ⇔+=-=.(其中000(0)lim (),(0)lim ()x x x x f x f x f x f x +-→→+=-=).⇔f 在0x 处左、右连续.00{}(),n n x U x x x ⇔∀⊂→，有0()()n f x f x →.f 在,a b 〈〉处连续⇔f 在(,)a b 上连续，而在端点处，若端点属于,a b 〈〉，则要求相应的单侧连续性二、连续函数的性质 1. 局部性质1) 若f 在0x 处连续，则f 在0x 处局部有界.2) 若f 在0x 处连续，0()f x c <，则00,(,):()<x U x f x c δδ∃>∀∈. 3) 若f 、g 在0x 处连续，则f g +、f g ⋅、fg0(()0)g x ≠在0x 处连续. 4) 若()f x 在0x x =连续,()g u 在0()u f x =连续,则(())g f x 在0x x =处连续. 2. 闭区间上连续函数性质1) 若f 在[,]a b 上连续，则f 在[,]a b 上有界.2) 若f 在[,]a b 上连续，则f 在[,]a b 上有最大值和最小值.3) 若f 在[,]a b 上连续，12,[,]x x a b ∈,12x x <,12()()f x f x ≠，则对任何12((),())c f x f x ∈或21((),())c f x f x ∈，必存在(,)a b ξ∈，使得()f c ξ=.4) 若f 在[,]a b 上的连续，且()()0f a f b ⋅<, 则方程()0f x =必在(,)a b 上 至少有一个根.5) 设f 在[,]a b 上严格递增(或减) 连续函数，则其反函数在其定义域[(),()]f a f b (或[(),()]f b f a )上连续.6) f 在[,]a b 上连续f ⇔在[,]a b 上一致连续 7) 任何初等函数在其定义域上都是连续的. 三、一致连续函数的性质f 在I 上一致连续1212120,0,,,:()()dx x I x x f x f x εδδε⇔∀>∃>∀∈-<-<.1、判定1) 必要条件 若f 在有限区间I 上一致连续, 则f 在I 上有界连续.(证明：1、用极限方法 2、用延拓)2) 充分条件 若f 在I 上Lipschitz 连续，则f 在I 上一致连续. 3) 充要条件a) f 在I 上一致连续{},{},0()()0n n n n n n x y I x y f x f y ⇔⊂-→⇒-→ b) f 在(,)a b 上一致连续⇔f 在(,)a b 上连续且(0),(0)f a f b ++存在且都为有限值c) 12,], [,I a b I b c =<=> (,a c 可为∞)f 在12,I I 上一致连续⇔f 在12I I I =上一致连续2、性质1) 若f 、g 在I 上一致连续，则f g +、f 在I 上一致连续. 此时, 若f 、g 还是有界的(或I 为有限区间), 则f g ⋅在I 上一致连续. 2) 设f 在(,)a +∞上连续，且lim (),(0)x f x f a →+∞+存在，则f 在(,)a +∞上一致连续，但反之未必. 3) f 在(,)-∞+∞上…4) 若f 在I 上一致连续，J I ⊂，则f 在J 上一致连续. 5) 若f 在(,)a b 上单调有界连续，则f 在(,)a b 上一致连续.3、一致连续的否定四、间断点的分类若单调函数具有介值性,则其必连续. (单调函数仅有第一类间断点)五、一些例子例1 若对任意0ε>，f 在[,]a b εε+-上连续，能否推出f 在(,)a b 上连续， 一致连续呢？例2 若f 在0x 处连续，则2||,f f 在0x 也连续，又若2||,f f 都在I 上连续， 则f 在I 上是否连续?思考 若3f 在I 上连续，则f 在I 上是否连续?例3 举出定义在[0,1]分别符合下列要求的函数1) 只在11,23和14不连续的函数，2) 只在11,23和14连续的函数，3) 只在1n(1,2,3,)n =⋅⋅⋅上间断的函数，4) 只在0x =右连续，而在其它点不连续的函数.例4 讨论复合函数g f 与f g 的连续性, 设1)21)(,sgn )(x x g x x f +==; 2) x x x g x x f )1()(,sgn )(2-==.例5 设f 、g 在区间I 上连续，记()max{(),()}F x f x g x =，()min{(),()}G x f x g x =证明：,F G 也都在I 上连续.例6 设f 在区间[,]a b 上连续，记()max{(),}F x f t a t x =≤≤，()min{(),}G x f t a t x =≤≤证明：,F G 也都在[,]a b 上连续.例7 若f 在[,]a b 上连续且对任何[,]x a b ∈,()0f x ≠, 则f 在[,]a b 上恒正 或恒负.例8 若f 在[,]a b 上连续且对任何[,]x a b ∈,()0f x ≠,则存在0c >, 使得 f 在[,]a b 上()0f x c ≥>或()0f x c ≤-<.例9 若f 在(,)a b 上连续,lim ()lim ()0x a x bf x f x +-→→⋅<，则存在(,)a b ξ∈，使得 ()0f ξ=.(或lim (), lim ()x a x bf x f x +-→→=+∞=-∞)例10 若f 在(,)a b 上连续，a c d b <<<，()()k f c f d =+，则1) 存在(,)a b ξ∈，使2()k f ξ=，2) 存在(,)a b ξ∈，使()()()()m n f mf c nf d ξ+=+ (,0)m n >.例11 若f 在[,]a b 上连续，12n a x x x b <<<⋅⋅⋅<<，则1) 1[,]n x x ξ∃∈，使11()[()()]n f f x f x nξ=+⋅⋅⋅+， 2) 1[,]n x x ξ∃∈，使11()()()n n f f x f x ξλλ=+⋅⋅⋅+.其中 12,,0n λλλ⋅⋅⋅≥ 满足121n λλλ++⋅⋅⋅+=，例12 设f 在[0,1]上连续，(0)(1)f f =，证明：对任何正数n ，存在[0,1]ξ∈,使得 1()()f f nξξ=+.例13 设f 在[,]a b 上单调递增,值域为[(),()]f a f b ,求证:f 在[,]a b 上连续.例14 设f 在区间I 上连续，证明1) 若对任何的有理数r I ∈有()0f r =，则在I 上()0f x =，2) 若对任意两个有理数12,r r 且12r r <，有12()()f r f r <，则f 为严格增函数.例15 f 在[0,)+∞上连续，满足0()f x x ≤≤，[0,)x ∈+∞，设10a ≥， 1()n n a f a +=，1,2,3,n =⋅⋅⋅，证明1) {}n a 为收敛数列; 2) 设lim n n a t →∞=，则有()f t t =; 3) 若条件改为0()f x x <<，(0,]x ∈+∞，则0t =.例16 设f 在0x =处连续，且对任何,x y R ∈有()()()f x y f x f y +=+ 证明： 1) f 在R 上连续; 2) ()(1)f x f x =⋅.例17 设f 在R 上连续且lim (),lim ()x x f x A f x B →-∞→+∞==，求证：()f x 在R 上 一致连续.例18 设f 在R 上连续有渐近线y kx b =+,求证:()f x 在R 上一致连续.例19 设f 在R 上连续, g 在R 上一致连续且lim ()()0x f x g x →∞-=，求证： ()f x 在R 上一致连续.。
(整理)第六讲 函数的连续性
第六讲：函数连续性教学目标：1、要求学生进一步理解函数连续性，能判断函数的间断点。
2、理解，应用连续函数的性质进行四则运算3、掌握，应用闭区间上连续函数的性质4、复习全章内容，加以系统化教学重点与难点：1、 函数间断点的判定2、 闭区间上连续函数性质应用。
课型： 新授课。
课时：总第14 ~ 17课时数 学 过 程一，复习巩固。
1.函数f(x)在点x 0处连续的定义。
.()()()同时满足三个条件定义定义定义.3lim .20lim 1000x f x f y x x ==∆→→∆χ、二.新课()()()()()()()()()()()()()()为可去间断点：例的可去间断点。
为则称点处无定义或在点若间断点分类：）（不存在处设有意义在点断点）下列任何一条件均为间懂得间断点。
（即满足为称点不连续（或简断），并在点不满足连续条件，则称在点，若函数定义函数间断点定义。
一0020sin 1)(lim .12lim .3lim .2.1)(1.000000000000=⎪⎩⎪⎨⎧=≠==≠→→→x x x x x x f x f x x f x f x x f x f x f x f x x f x f x x x f x x f x x x x x x()()()()()()()数仍是连续函数两个连续函数的复合函：定理函数。
数）在定义域内是连续，三角函数，反三角函，指数函数，对数函数基本初等函数（幂函数推论：也连续。
在（）商）积）或差连续，则两个函数的和在点）与若函数定理性。
法则与初等函数的连续（二）连续函数的运算为无穷间断点。
例的无穷间断点。
为称点至少有一个不存在，则，处，在点若所示图：例的跳跃间断点为则称点处左右极限均存在，但在点若20)(/()(()(()((111111)(3)(,lim lim )(32011)(2)(,lim )(.200000020000000x x g x g x f x g x f x g x f x x g x f x x xx x x f x f x x f x f x x f x x x x x f x f x x f x f lx x f x x x x x x x x ≠⨯±⎪⎩⎪⎨⎧=≤>-=⎩⎨⎧≥<-=≠-+-+→→→→定理3：由基本初等函数经有限四则运算和复合运算得到的函数统称为初等函数。
函数的连续性与间断点
练习：证明 f (x) x 在 x 0点连续。 二、函数的间断点
定义 4 设函数 f (x) 在 x0 的某一领域内有定义，如果 f (x) 在 x0 点不
连续，就称 x0 为 f (x) 的间断点，或不连续点。
间断点有下列三种情况：
（1） f (x) 在 x x0 没有定义；
（2）虽在 x
x0 处
f (x) 在 x0
点处连续。
定义1 ：设 y f (x) 在 x0 的某邻域内有定义，若对 0, 0 ，
当 x x0 时，有 f (x) f (x0 ) ，就称 f (x) 在 x0 点连续。
注
1、 f (x) 在 x0 点连续，不仅要求
f
(
x)
在
x
0
点有意义，
lim
x x0
是函数的连续性。
设函数 y f (x) 在 x0 的某邻域内有定义，当自变量由 x0 变到 x 时，
对应的函数值从 f (x0 ) 变化到 f (x) ，这时称 x x0 为自变量的增量，
f (x) f (x0 ) 为函数的增量，分别记为：
x x x0（ x 可正、可负、也可为零，这些取决于 x 与 x0 的大小）
【例
1】证明函数
f
(x)
x sin
1 x
,
0
x 0 在 x 0 处是连续的。
x0
证明：由于 lim f (x) lim x sin 1 0 ，又 f (0) 0 得
x0
x0
x
lim f (x) 0 f (0) ，所以 f (x) 在点 x 0 处是连续的。
x0
下面给出区间内连续的定义：
f
(x)
第四章 函数的连续性
第四章函数的连续性教学目的：理解与掌握一元函数连续性的定义（点，区间），间断点及其分类，连续函数的局部性质，理解单侧连续的概念；能正确叙述和简单应用闭区间上连续函数的性质;了解反函数的连续性，理解复合函数的连续性，初等函数的连续性。
教学内容：1、函数连续的概念：一点连续的定义，区间连续的定义，单侧连续的定义，间断点及其分类；2、连续函数的性质：局部性质及运算，闭区间上连续函数的性质（最大最小值性、有界性、介值性、一致连续性），复合函数的连续性，反函数的连续性；3、初等函数的连续性。
教学重点、难点：本章重点是函数连续性的概念和闭区间上连续函数的性质；难点是一致连续性的概念与有关证明。
教学时数：14学时§１连续性概念（4学时）教学目的：使学生深刻理解函数在一点连续包括单侧连续的定义，并能熟练写出函数在一点连续的各种等价叙述；使学生从分析导致函数在一点不连续的所有可能的因素出发，理解函数在一点间断以及函数间断点的概念，从反面加深对函数在一点连续这一概念的理解力并能熟练准确地识别不同类型的间断点；明确函数在一区间上连续是以函数在一点连续的概念为基础的，使学生清楚区分“连续函数”与“函数连续”所表述的不同内涵。
教学重（难）点：函数连续性概念。
教学方法：讲授为主。
一函数在一点的连续性１．函数f 在点0x 连续的定义定义１（f 在点0x 连续）设函数f 在某0()U x 内有定义，若00lim ()()x x f x f x →=，则称f 在点0x 连续。
注 00lim ()()(lim )x x x x f x f x f x →→==，即“f 在点0x 连续”意味着“极限运算与对应法则f 可交换。
２．例子例１．0,sin ,cos x R x x ∀∈在0x 处连续。
例２．2lim(21)5(2)x x f →+==。
例３．讨论函数1sin,0()0,0x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在点x=0处连续性。
1-4函数的连续性和间断点
第一章
极限与连续
课题四 函数的连续与间断
四、复合函数的连续性
定理1 若u ( x)在点x0处连续， 且u0 ( x0 ), 函数 y f (u)在对应点u0处连续, 则复合函数
y f [ ( x )]在x0处连续.
定理2
x x0
若 lim ( x ) a , 函数 f (u ) 在点a连续,
解
y 3.75 7.5; x 0.5 (2) x 0.5 1 0.5, y f (0.5) f (1) 0.25 2 2.25,
y 2.25 4.5; x 0.5
(1) x 1.5 1 0.5, y f (1.5) f (1) 5.75 2 3.75,
y
x (或 y )的乘积,而是不可分割的整体记号;
(2)增量 x (或 y )可以是正数也可以是负数;
y (3) x 称为函数 y
y f ( x)
y
0
f ( x) 的平均变化率.
x x0 x 0 x x
第一章
极限与连续
课题四 函数的连续与间断
2
[例 1] 设 y f ( x) 3x 1 ,在下列条件下求自变量 x 的增量和函数 y 的 增量以及函数的平均变化率: (1)当 x 从 1 变到 1.5 时; (2)当 x 从 1 变到 0.5 时; (3)当 x 从 x0 变到 x1 时.
由x0变到x1时， 函数y相应地由f ( x0 )变到f ( x1 ),此时有 x x1 x0 , 称为自变量在点 x0的增量.
y f ( x1 ) f ( x0 ), 称为函数 f ( x)在x0处相应于x的增量.
函数的连续性与间断点教学备课
函数的连续性与间断点教学备课函数的连续性和间断点是高中数学中重要的概念之一，它们在数学的各个分支中都有广泛的应用。
在这篇教学备课中，我们将重点介绍函数的连续性和间断点的定义、性质以及解决相关问题的方法。
通过清晰的讲解和实例演练，帮助学生深入理解这一概念，并培养他们的解决问题的能力。
一、函数的连续性的定义与性质连续函数是指在函数的定义域上不存在断裂或跳跃的点，数学上有严格的定义。
我们首先通过直观的例子引入连续性的概念，例如常见的多项式函数、三角函数等等。
然后，我们可以引入以下连续性的定义和性质：1. 函数f在点x=a处连续的三个条件：（1）f(a)存在，（2）f(x)在x=a处存在极限值，（2）函数f(x)在x=a附近的值趋近于f(a)，即左极限和右极限存在并相等。
2. 连续函数的加减乘除以及复合仍然是连续函数。
通过提供适当的例子和图表演示，让学生具体感受到连续性的概念和性质。
引导学生理解连续函数的代数性质和图像特点，以及连续函数与不连续函数之间的区别。
二、间断点的分类与解决方法间断点是函数定义域内的某个点，使得函数在该点不连续。
根据函数在间断点处的性质不同，间断点可以分为可去间断点、跳跃间断点和无穷间断点。
我们将重点讲解如下内容：1. 可去间断点：函数在该点处的极限存在，但函数值与极限值不相等。
通过分析函数在该点的数值和极限值的关系，以及图像的特点，引导学生掌握可去间断点的判断和求解方法。
2. 跳跃间断点：函数在该点的左右极限存在，但两个极限值不相等。
通过观察函数在该点附近的数值和极限值的关系，以及图像的跳跃性质，让学生理解跳跃间断点的概念和性质。
3. 无穷间断点：函数在该点的极限不存在，可能是正无穷或负无穷。
通过讨论函数在该点无极限的原因和特点，引导学生掌握无穷间断点的判断和解决方法。
在讲解每个类型的间断点时，可以用具体的例子和图表演示，让学生直观地感受函数在不同间断点处的行为模式。
三、函数连续性与间断点的应用函数的连续性和间断点的概念在实际问题中有广泛的应用。
教学目的 连续函数及其性质教学重点 点连续与间断点教学难点 间断
初等函数在其有定义的区间上必连续
去心邻域
为了定义函数在某点的极限，必须了解邻域
a-
a+
a
心 半径
称区间(a-,a+)为点a的邻域，记做Ｕ（a,）
称Ｕ（a,）去掉点a后的集合为点a的去心邻域
间断点类型
间断点 在该点不连续
第一类间断点 左右极限存在
第二类间断点
可去间断点 左右极限相等 但不等于函数值
跳跃间断点 左右极限不相等
可去间断点
例4 判断函数f(x)0x,,xx11, 在 x1是否连续？
解 lim f(x)lim x1
x 1
x 1
f(1)0
虽然极限存在,但不等于该点函数值，故
x1 是 f (x) 的可去间断点
则至少有一点 (a,b)，使 f()0
例7 证明方程 4x2x
至少有一个正的实根．
y
y f (x)
证 令 f(x)4x2x， 则
a
f(0)10，f(1)420 o
bx
又 f (x) 在[0，1]上连续
由零点定理， f (x) = 0在(0，1)内至少有一实根．
即方程 4x2至x 少有一个正的实根
初等函数连续性
f (x0)
lim f (x)
x x0
lim f (x)
x x0
于是得到点连续的
另一等价定理
0
x0
函数 f (x) 在点 x0 连续当且仅当它在点 x0
既左连续又右连续．
间断点
函数 f (x)在x=x0的某空心邻域有定义但在 x=x0不连续,则称x0为函数 f (x)的间断点.
高等数学教案5函数的连续性
高等数学教案5函数的连续性教学目标：1.了解函数连续性的定义。
2.掌握连续函数的性质和常见类型。
3.能够通过定义验证函数的连续性。
4.能够利用连续性解决相关问题。
教学重点和难点：1.函数连续性的定义和性质。
2.连续函数的常见类型。
教学方法：1.讲授法：通过讲解、举例等方式，让学生理解函数连续性的定义和性质。
2.探究法：通过引导学生进行研究和探究，提高学生对连续函数的理解和应用能力。
3.解决问题法：通过解决一些实际问题，培养学生运用连续函数解决实际问题的能力。
教学过程：一、引入新知（5分钟）教师通过提问引入新知：“你们对函数连续性有什么了解？”学生回答后，教师解答并说明本节课的学习目标。
二、讲授函数连续性（20分钟）1.函数连续性的定义教师讲解函数连续性的定义，引导学生理解函数在其中一点连续的含义，并通过图像展示、数学表达进行说明。
2.连续函数的性质教师讲解连续函数的性质，如连续函数在闭区间上有界、有最大值和最小值等性质，并通过例题让学生理解和掌握这些性质。
三、练习和讨论（30分钟）1.基本例题教师出示一些基本的例题，让学生运用连续函数的定义和性质进行分析和解答。
鼓励学生积极思考，并进行课堂讨论和分享。
2.实际问题教师出示一些实际问题，让学生通过建立数学模型、运用连续函数解决实际问题。
引导学生思考如何将实际问题转化成数学问题，进而利用函数的连续性进行求解。
四、总结和延伸（10分钟）教师对本节课的内容进行总结，强调函数连续性的重要性和应用，鼓励学生积极思考和延伸相关知识。
五、作业布置（5分钟）教师布置课后作业，让学生巩固和深化本节课的内容。
作业内容可以包括练习题、思考题等。
教学资源和评价方法：教学资源：投影仪、黑板、教材等。
评价方法：课堂参与、课后作业、小组讨论等。
教学反思：本节课通过引入新知、讲授函数连续性的定义和性质、练习和讨论以及总结和延伸等环节，全面培养了学生对函数连续性的理解和应用能力。
在教学过程中，考虑到学生的不同差异，通过多样化的教学方法和资源，提高了学生的学习兴趣和主动参与度。
高等数学第5课函数的连续性、闭区间上连续函数的性质7
课题函数的连续性、闭区间上连续函数的性质课时2课时（90 min）教学目标知识技能目标：（1）掌握连续函数的概念。
（2）能够判断函数的间断点，熟悉间断点的分类。
（3）理解初等函数的连续性，能够计算函数的连续区间.（4）理解闭区间上连续函数的性质。
思政育人目标：通过与实际现象联系，帮助学生理解函数的连续性，使学生体会到数学是源于生活的，是对实际问题的抽象产生的，不是脱离实际生活的；引导学生养成独立思考和深度思考的良好习惯；培养学生的逻辑思维、辩证思维和创新思维能力教学重难点教学重点：连续函数的概念、函数在某点连续性的判断教学难点：计算函数的连续区间教学方法讲授法、问答法、讨论法、演示法、实践法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学设计第1节课：考勤（2 min）→知识讲解（35 min）→问题讨论（10 min）第2节课：知识讲解（20 min）→问题讨论（10 min）→课堂测验（10 min）→课堂小结（5 min）教学过程主要教学内容及步骤设计意图第一节课考勤（2 min）⏹【教师】清点上课人数，记录好考勤⏹【学生】班干部报请假人员及原因培养学生的组织纪律性，掌握学生的出勤情况知识讲解（35 min）⏹【教师】讲解连续函数的概念，并通过例题讲解介绍其应用案例［平面内曲线］在坐标平面内画一连续曲线()y f x=，如图1-27所示．在坐标平面内画一间断曲线()y g x=，如图1-28所示．学习连续函数的概念、函数间断点的分类。
边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化图1-27 图1-28分析 对比两个图形，我们发现：对于()y f x =，当自变量x 的改变量0x ∆→时，函数相应的改变量0y ∆→，如图1-27所示；对于()y g x =，当自变量x 的改变量0x ∆→时，函数相应的改变量y ∆不能够无限变小，如图1-28所示．于是我们可以用增量来定义函数的连续性．定义1 设函数()y f x =在点0x 的某个邻域内有定义，如果000lim lim[()()]0x x y f x x f x ∆→∆→∆=+∆-=，则称函数()f x 在点0x 处连续．若记0x x x =+∆，则0x x x ∆=-，相应地函数()f x 的增量0()()y f x f x ∆=-．当0x ∆→，即0x x →时，0y ∆→，0()()0f x f x -→，也即0()()f x f x →．因此，函数()y f x =在点0x x =处连续的定义也可表述如下： 定义1' 设函数()y f x =在0x 点的某一个邻域内有定义，若0lim ()()x x f x f x →=，则称函数()f x 在0x 点连续．由函数()y f x =在0x 点连续的定义可知，函数()f x 在0x 点连续，必须同时满足下面三个条件： （1）()f x 在0x 点有定义； （2）极限值0lim ()x x f x →存在；（3）极限值0lim ()x x f x →恰好等于()f x 在该点的函数值，即目 录0lim ()()x x f x f x →=．若00()lim ()x x f x f x ++→=存在且等于0()f x ，则称函数()y f x =在0x 点右连续；若00()lim ()x x f x f x --→=存在且等于0()f x ，则称函数()y f x =在0x 点左连续．定理 1 函数()y f x =在0x 点连续⇔函数()y f x =在0x 点左右连续．例1 证明函数2()1f x x =+在1x =处连续．证明一 2()1f x x =+的定义域为R ，所以()f x 在1x =的某邻域有定义．当自变量在1x =处有改变量x ∆时，222(1)1(11)2()y x x x ∆=+∆+-+=∆+∆，因此，20lim lim[2()]0x x y x x ∆→∆→∆=∆+∆=，所以()f x 在1x =处连续．证明二 2()1f x x =+的定义域为R ，所以()f x 在1x =的某邻域有定义，211lim ()lim(1)2x x f x x →→=+=，即1x →时()f x 的极限值为2．而21(1)112lim ()x f f x →=+==，即极限值等于函数在该点的函数值，所以()f x 在1x =处连续．例 2 讨论函数320()20x x f x x x ⎧+=⎨-+<⎩，，，在点0x =的连续性．解 因为30(0)lim ()lim(2)2(0)x x f f x x f +++→→==+==，(0)lim ()lim(2)2(0)x x f f x x f ---→→==-+==， 所以()f x 在0x =点左右连续，故()f x 在点0x =处连续． 函数在一点连续的定义，可以推广到区间上．定义2 如果一个函数在某区间()a b ，内的每一点处都连续，则称这个函数在区间()a b ，内连续，或称其为区间()a b ，内的连续函数．如果函数()y f x =在()a b ，内连续，且a 点右连续，b 点左连续，则称函数()f x 在闭区间[]a b ，上连续． 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线．⏹ 【学生】掌握连续函数的概念⏹ 【教师】讲解函数间断点的分类，并通过例题讲解介绍其应用如果()y f x =在点0x 处不连续，则称点0x x =是函数()f x 的间断点．由()y f x =在0x x =处连续的定义知，如果()f x 在0x 处有以下三种情况之一，则()f x 在0x 处间断： （1）()y f x =在点0x 处无定义； （2）0x x →时0lim ()x x f x →不存在；（3）函数值0()f x 和极限值0lim ()x x f x →都存在，但0lim ()()x x f x f x →≠．例如，函数1()1f x x =+在点1x =-处没有定义，1x =-就是函数1()1f x x =+的一个间断点．如果不考虑函数()f x 在0x 是否有定义，那我们可以将函数的间断点分为以下两大类． 设函数()y f x =在点0x 处间断，但在点0x 的左右极限0()f x -与0()f x +均存在，则称0x 为()f x 的第一类间断点，其中：目 录（1）若00()()f x f x +-=，即极限0lim ()x x f x →存在，则称点0x 是()f x 的可去间断点．（2）若00()()f x f x +-≠，即极限0lim ()x x f x →不存在，则称点0x 是()f x 的跳跃间断点．设函数()y f x =在点0x 处间断，若在点0x 的左右极限0()f x -与0()f x +至少有一个不存在，则称0x 为()f x 的第二类间断点，其中：（1）若0()f x -与0()f x +至少有一个为无穷大，则称点0x 是()f x 的无穷间断点．（2）若0lim ()x x f x →振荡性地不存在，则称点0x 是()f x 的振荡间断点．例3 函数10()0010x x f x x x x +>⎧⎪==⎨⎪-+<⎩，，，，，在点0x =处有定义，且(0)0f =．但由于(0)lim(1)1x f x ++→=+=，(0)lim(1)1x f x --→=-+=，(0)(0)1(0)0f f f +-==≠=，故0x =是函数()f x 的可去间断点，如图1-29所示．但如果将函数()f x 在0x =的定义改为(0)1f =，则函数在0x =点连续．由此可见，如果函数()f x 在0x 点是可去间断点，可通过补充或改变()f x 在0x 点的函数值，使()f x 在0x 点连续．例4 符号函数10()sgn 0010x f x x x x >⎧⎪===⎨⎪-<⎩，，，，，在点0x =处有定义，且(0)0f =．但由于0(0)lim11x f ++→==，0(0)lim(1)1x f --→=-=-，即(0)f +和(0)f -都存在但不相等，故0x =是函数()f x 的跳跃间断点，如图1-30所示．图1-29 图1-30例 5 函数1y x=在点0x =处无定义，由于(0)f +=+∞，(0)f -=-∞，故0x =是函数1y x=的无穷间断点，如图1-31所示．例6 函数1siny x =在点0x =处无定义，取122n x n =ππ-，122nx n '=ππ+(12)n =，，，当n →∞时，0n x →，0n x '→，但()sin 212n f x n π⎛⎫=π-=- ⎪⎝⎭，()sin 212n f x n π⎛⎫'=π+= ⎪⎝⎭，即当0x →时，函数1sinx值在1-与1+之间变动无限多次．故0x =是函数1sinx的振荡间断点，如图1-32所示．图1-31 图1-32例7 判断下列函数在指定点处的连续性，若间断，判别间断目 录点的类型：（1）sin 0()e 10x xx f x x x ⎧<⎪=⎨⎪+⎩，，，在点0x =处；（2）221()32x f x x x -=-+在点11x =和22x =处．解 （1）函数()f x 在点0x =处有定义，且(0)2f =．但sin (0)lim 1x xf x--→==，(0)lim(e 1)2xx f ++→=+=，(0)(0)f f +-≠，故0x =为函数()f x 的跳跃间断点，属于第一类间断点．（2）221(1)(1)()32(1)(2)x x x f x x x x x --+==-+--在11x =，22x =处无定义，故11x =，22x =是()f x 的间断点． 由于111lim ()lim22x x x f x x →→+==--，故11x =是()f x 的可去间断点，属于第一类间断点． 由于221lim ()lim2x x x f x x →→+==∞-，故22x =是()f x 的无穷间断点，属于第二类间断点．⏹ 【学生】掌握函数间断点的分类问题讨论 （10 min ）⏹ 【教师】组织学生讨论以下问题1．函数()f x 在点0x 处有定义、有极限、连续三个结论有什么区别与联系．2．若函数()f x 在点0x 处无定义，则0x 点是函数()f x 的第一类间断点，还是第二类间断点？通过课堂讨论，活跃课堂气氛，加深学生对知识点的理解3．分段函数()()()g x x af xh x x a⎧=⎨<⎩，，，在分段点x a=一定是间断点吗？⏹【学生】讨论、发言第二节课知识讲解（20 min）⏹【教师】讲解初等函数的连续性，并通过例题讲解介绍其应用1．连续函数的和、差、积、商的连续性根据函数在某点连续的定义和极限的四则运算法则，可得下面的定理．定理2设函数()f x和()g x在点x连续，则它们的和、差、积、商都在点x连续．例如，由于sin x，cos x在()-∞+∞，上的每一点都连续，故sintancosxxx=和coscotsinxxx=在其各自定义域上每一点都是连续的．2．初等函数的连续性利用函数连续的定义和性质可以证明：六种基本初等函数在其定义域上都是连续的．由于初等函数是由基本初等函数经过有限次四则运算和复合而得到的函数，函数的连续性对四则运算和复合运算是封闭的，所以我们又有结论：所有初等函数在其定义区间上都是连续的．根据这一结论，求初等函数在其定义域内某点的极限时，只要求出该点的函数值即可．例8求4e cos(4)lim3xxxx→+--．解由于该函数是初等函数，且在4x=处有定义，故由初等函数的连续性可以得出学习初等函数的连续性、闭区间上连续函数的性质。
高等数学教案-函数、连续与极限教案
2、 幂级数： an x x0 n a0 a1 x x0 a2 x x0 2 an x x0 n n0
称为关于 x x0 的幂级数. 令 t x x0 ，并将 t 仍记为 x ，则有 an xn ，因此不失一般性，我们仅讨论这个形 n0
式的幂级数.
一般地，对于幂级数 an xn ，当给 x 以确定的值，例如 x x0 ，则幂级数称为一个常数项级数 an x0n . 若这
讲授、课堂提问、讨论、启发、自学
比较法和比值法，莱布尼兹公式
指标
课的类型 教学手段 教学难点
新知识课
黑板多媒体结合
绝对收敛和条件收敛
参考教材 同济版、人大版《高等数学》；同济版《微积分》 作业布置 课后习题
大纲要求 了解正项级数的比较审敛法，
掌握正项级数的比值审敛法，
了解交错级数的莱布尼兹定理，
会估计交错级数的截断误差， 了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系
例 19
判别级数
n1
1
n1
n n2 1
是绝对收敛还是条件收敛.
1n
例 20 讨论级数
的收敛性，若收敛，问是绝对收敛，还是条件收敛
n2 n 1 n
7
授课序号 03
教学基本指标
教学课题 教学方法 教学重点
第八章 第三节 幂级数的收敛及函数的展开式
讲授、课堂提问、讨论、启发、自学
收敛域和和函数的求法，幂级数展开
三、主要例题： 例 1 讨论级数(等比级数)
aqn a aq aq2 aqn a 0
n 0
的收敛性.
例 2 证明级数
1 + 1 + + 1 +
12 23
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lim f ( x) lim g ( x )
xa xa
f (a) g (a) h(a).
故函数h(x)在点 a 连续．
最值定理
若函数 f ( x) 在闭区间 a, b 上连续 则它在此区间上一定有最大值与最小值．
如图,
f ( x) 在
x1 处取得最小值 m
在 x2 处取得最大值 M
运算封闭性
1. 2. 3.
连续函数的和差积商(分母不为0) 仍连续 连续函数的复合函数仍然连续 连续函数的反函数连续
证 我们只证明和的情形 设 f ( x), g ( x) 均在点 则
x a
a
连续， h( x) f ( x) g ( x)
lim h( x) lim[ f ( x) g ( x)]
第四节 函数连续性
•教学目的: •教学重点: •教学难点: •副知识点: 连续函数及其性质 点连续与间断点 间断点类型 初等函数的连续性
知识结构
知识结构
连续函数
点连续
间断点
性质
闭区间上 连续函数
初等函数
左连续
单调性
最值定理
右连续
保号性
介值定理
运算封闭性
零点定理
连续函数
如果函数 f ( x) 在区间 (a, b) 内每个点连续，称 f ( x)为 ( a , b ) 上的连续函数．而 f ( x ) 在闭区间 a, b 连续除上述要求外，还要求 f ( x) 在 a 点右连续, 在 b 点左连续．
x x0
f ( x0 )
lim f ( x)
x x0
lim f ( x)
0
x0
函数 f ( x) 在点 x0 连续当且仅当它在点 x0 既左连续又右连续．
右连续
lim f ( x) lim f ( x) 称函数 f ( x0 ) 称函数 f (x)在点 fx (x )在点x0连续 0右连续 x x0 x x0
若
f ( x)在闭区间 a, b 连续,且
f (a) f (b) 0
则至少有一点 (a, b) ，使 f ( ) 0
x 4 x 2 例7 证明方程
y
y f ( x)
至少有一个正的实根．
x f ( x ) 4 x 2 证 令 ，则
f (0) 1 0 ， f (1) 4 2 0
x a 处连续．
x 1, 在x=1处连续，求a. x 1
ax 2 2 x,． f ( x) 3 x 2 6 x,
x 1 x 1
2 lim f ( x ) lim ( ax 2 x) a 2
x 1
3x lim f ( x ) lim ( 2 6 x) 2 x 1
又
f ( x)
o
a
b
x
在[0，1]上连续
x 4 x 2至少有一个正的实根
由零点定理， f (x) = 0在(0，1)内至少有一实根．
即方程
初等函数连续性
基本初等函数在其有定义的区间上必连续 连续函数关于四则运算、复合及逆运算封闭 初等函数是基本初等函数按上述运算的表示式 初等函数在其有定义的区间上必连续
x 0
lim f ( x)
故 x = 0为 f (x)的第二类间断点.
保序性
定理(保序性)
设f ( x), g ( x)在x x0连续. 若f ( x０) g ( x０), 则 0, x U ( x0 , ), 有
0
f ( x) g ( x).
推论
设f ( x), g ( x) 在x x0连续. 若 0, x U ( x0 , ), f ( x) g ( x), 则
x 1, x 0, 判断函数 f ( x) 0, x 0, x 1, x 0
x x0
在
x 0 是否间断?
lim f ( x) lim ( x 1) 1
x x0
x x0
y
x x0
x x0
lim f ( x) lim ( x 1) 1
0
f ( x0 )
x x0
lim f ( x) f ( x0 )
x0
称函数 f (x)在点x0连续
等价形式
例题
左连续
右连续ห้องสมุดไป่ตู้
点连续等价形式
x x0
lim f ( x) f ( x0 )
x x0
lim( f ( x) f ( x0 )) 0
x x0 x
y f ( x) f ( x0 ) f ( x0 x) f ( x0 )
x 0
2
x 0
lim f ( x)
2
故 x = 0为 f (x)的跳跃间断点.
第二类间断点
1 例6 指出函数 f ( x) x
的间断点并判别其类型
解 f (x) 在x = 0的去心邻域有定义,但在x = 0无定义 故 x = 0为 f (x)的间断点. 又
x 0
lim f ( x)
点连续
观察函数 f (x)在点x0的情况,看在x0连续需要什么条件
x x0
lim f ( x) lim f ( x)
x x0
x x0
lim f ( x)
x x0
lim f ( x)
x x0
lim f ( x) lim f ( x) f ( x0 )
x x0
x x0
x x0
x 0
lim y 0
lim f ( x) f ( x0 )
x 0
例题
例题
例1 证明 f ( x) 2 x 1 在任意一点 x
3
a 处连续．
证 故 例 2设 解
f ( x)
lim f ( x) 2a 3 1 f (a)
x a
f ( x) 在
y
M
m o a
x1 x2
b
x
介值定理
若函数 f ( x)在闭区间 a, b上连续，
m和
M 分别为 f ( x )在 a, b
的最小值与最大值，则对于介于
m 与 M 之间的任一数 至少有一点 a, b 使 y
f ( )
M
f ( x)
m
o a
1
2 b
x
零点定理
去心邻域
为了定义函数在某点的极限，必须了解邻域
a- a+
a
心
半径
称区间(a-,a+)为点a的邻域，记做Ｕ（a,） 称Ｕ（a,）去掉点a后的集合为点a的去心邻域 记做Ｕ０（a,） 如果用衡量点a的邻域的大小，则没有最大的
邻域，也没有最小的邻域
0
f ( x０) g ( x０)．
保号性
定理(保号性)
若f ( x)在x x0连续，f ( x０) 0( 0), 则 0,当x U 0 ( x0 , )时, f ( x) 0(或f ( x) 0).
推论
若f ( x)在x x0连续， 若 0, 当x U 0 ( x0 , )时, f ( x) 0(或f ( x) 0). 则f ( x０) 0( 0)
在 x 1 是否连续？
f ( x) lim x 1 解 lim x 1 x 1
f (1) 0
虽然极限存在,但不等于该点函数值，故
x 1 是 f ( x)
y 1
的可去间断点
O
1
x
跳跃间断点
x 例5 指出函数 f ( x) arcsin |x|
的间断点并判别其类型
解 f (x) 在x = 0的去心邻域有定义,但在x = 0无定义 故 x = 0为 f (x)的间断点. lim f ( x) 又
f (1) a 2
在 x 1 连续, 故
a22
即
a0
左连续
lim f ( x) lim f ( x) f ( x0 ) 称函数 称函数f f(x () x在点 )在点 x0 x左连续 0连续 x x x x
0 0
类似地，可以定义 右连续 于是得到点连续的 另一等价定理
O
1 -1
x
lim f ( x)
不存在． 处间断
故
f ( x) 在 x 0
间断点类型
间断点 在该点不连续
第一类间断点 左右极限存在
第二类间断点
可去间断点 左右极限相等 但不等于函数值
跳跃间断点 左右极限不相等
可去间断点
例4
x, x 1, 判断函数 f ( x) 0, x 1
类似地，可以定义 左连续 于是得到点连续的 另一等价定理
x x0
f ( x0 )
lim f ( x)
x x0
lim f ( x)
0
x0
函数 f ( x) 在点 x0 连续当且仅当它在点 x0 既左连续又右连续．
间断点
函数 f (x)在x=x0的某空心邻域有定义但在 x=x0不连续,则称x0为函数 f (x)的间断点. 例3 解