偶完全数
自然数约数的个数及所有约数的和
自然数约数的个数及所有约数的和我们知道：一个数ɑ，如果能被数b整除，b就是ɑ的约数。
自然数(除了1以外)按照约数的多少，可以分成质数与合数两类：质数只有1和它自己两个约数；合数除了1和它自己以外，还有其它的约数；上面这些知识都是非常浅显的，连小学生都知道。
殊不知，在这些人们耳熟能详的知识中，却隐藏着许多饶有兴味的问题。
一、约数的个数一个数的约数的个数，与这个数由哪些质因数组成有关。
以12为例，分解质因数得到12＝22×3。
在构成12的约数时，质因数2，可以取2个(即22＝4)、1个(即21＝2)或者不取(即20＝1)，有3种方法，“3”比质因数2的幂指数“2”多1；对于质因数3，可以取1个(即31＝3)或者不取(即30＝1)，有2种方法，“2”比质因数3的幂指数“1”多1。
所以，总共可以组成3×2＝6个约数，分别是22×31＝4×3＝12，21×31＝2×3＝6，20×31＝1×3＝3，22×30＝4×1＝4，21×30＝2×1＝2，20×30＝1×1＝1。
推广到一般：如果一个数N＝ɑi b j…c k，其中，ɑ、b、…、c是N的质因数，i、j、…、k 是这些质因数的幂指数。
N的约数的个数等于：(i＋1)(j＋1)…(k＋1)以360为例，360＝23×32×5。
质因数2、3、5的幂指数分别是3、2、1，所以360的约数有(3＋1)(2＋1)(1＋1)＝24个。
检验：360的约数有360、180、120、90、72、60、45、40、36、30、24、20、18、15、12、10、9、8、6、5、4、3、2、1，共24个。
二、约数的总和仍以12为例，12＝22×3。
根据上面所说的12的约数的构成，这些约数的总和等于：22×31＋21×31＋20×31＋22×30＋21×30＋20×30，化简后得到：(22＋21＋20)(31＋30)。
数学实验素数
素数姓名：学号：班级：数学与应用数学4班实验报告实验目的：素数(Prime)是构造所有数的“基本材料”，犹如化学上的化学元素和物理学中的基本粒子，有关素数的许多看似简单却极富刺激性的奇妙问题，向一代代数学家提出了挑战，始终吸引着他们的目光。
本实验将探讨素数的规律及其相关的某些有趣问题，如素数的判别，求素数的个数等。
实验环境：Mathematica软件实验基本理论和方法：素数：如果一个大于1的自然数只能被1及它本身整除，则该数称为素数，否则被称为合数。
算数基本定理：从数学史的黎明时期开始，数学家就一直在探索自然数的奥秘，远在古希腊时代，欧几里得就证明了每一个合数都可以分解为若干个素数的乘积，并且在不计较素数排列顺序时这种分解是唯一的，这就是所谓的算数基本定理。
算数基本定理表明素数是构造自然数的基石，正如物质的基本粒子一样。
Mathematica的素数函数：Mathematica系统提供了两个常用的与素数有关的函数：（1）[n]，就是返回从第一个素数2数起的第n个素数；（2）PrimeQ[n]，就是判断自然数n是否为素数，是则返回True，否则返回False。
使用系统函数输出某个指定范围内的所有素数，只要定义如下的函数即可：筛法求素数：2000多年前，希腊学者埃拉托色尼(Eratosthenes 公元前约284-192年)给出了一个寻找素数的简便方法—筛法：写下从2、3、…、N，注意到2是一个素数，划去后面所有2的倍数，越过2，第一个没有被划去的数是3，它是第二个素数，接下来再划掉所有3的倍数，3之后没有被划去的数是5，然后再划掉除5外所有5的倍数，以此类推。
显然，划掉的都是较小整数的倍数，它们都不是素数，都被筛掉了，而素数永远不会被筛掉，它们就是要寻找的不超过N的所有素数。
试除法求素数：假设我们已经找到了前n个素数，为了下一个素数我们从开始一次检验每一个整数N，看N是否能被某个整除。
如果N能被前面的某个素数整除，则N为合数，否则N即为下一个素数。
完全数的前世今生
公元前3世纪时，古希腊数学家对数字情有独钟。
他们在对数的因数分解中，发现了一些奇妙的性质，如有的数的真因数之和彼此相等，于是诞生了亲和数;而有的真因数之和居然等于自身，于是发现了完全数。
6是人们最先认识的完全数。
发现完全数研究数字的先师毕达哥拉斯发现6的真因数1、2、3之和还等于6，他十分感兴趣地说：6象征着完满的婚姻以及健康和美丽，因为它的部分是完整的，并且其和等于自身。
古希腊哲学家柏拉图在他的《共和国》一书中提出了完全数的概念。
约公元前300年，几何大师欧几里得在他的巨著《几何原本》第九章最后一个命题首次给出了寻找完全数的方法，被誉为欧几里得定理：如果2n-1是一个素数，那么自然数2n-1一定是一个完全数。
并给出了证明。
公元1世纪，毕达哥拉斯学派成员、古希腊著名数学家尼可马修斯在他的数论专著《算术入门》一书中，正确地给出了6、28、496、8128这四个完全数，并且通俗地复述了欧几里得寻找完全数的定理及其证明。
他还将自然数划分为三类：富裕数、不足数和完全数，其意义分别是小于、大于和等于所有真因数之和。
千年跨一步完全数在古希腊诞生后，吸引着众多数学家和数学爱好者像淘金般去寻找。
可是，一代又一代人付出了无数的心血，第五个完全数没人找到。
后来，由于欧洲不断进行战争，希腊、罗马科学逐渐衰退，一些优秀的科学家带着他们的成果和智慧纷纷逃往阿拉伯、印度、意大利等国，从此，希腊、罗马文明一蹶不振。
直到1202年才出现一线曙光。
意大利的斐波那契，青年时随父游历古代文明的希腊、埃及、阿拉伯等地区，学到了不少数学知识。
他才华横溢，回国后潜心研究所搜集的数学，写出了名著《算盘书》，成为13世纪在欧洲传播东方文化和系统将东方数学介绍到西方的第一个人，并且成为西方文艺复兴前夜的数学启明星。
斐波那契没有放过完全数的研究，他经过推算宣布找到了一个寻找完全数的有效法则，可惜没有人共鸣，成为过眼烟云。
光阴似箭，1460年，还当人们迷惘之际，有人偶然发现在一位无名氏的手稿中，竟神秘地给出了第五个完全数33550336。
特殊数
如 M 13 213 1 8191, 8191 的素因子形如
Mersenne数的由来 Marin Mersenne(1588–1648） 17世纪法国著名的数学家和修道士
1640年6月,Fermat在给Mersenne的一封信中
讨论了形如 2 p 1 的数 Mersenne断言 对于p=2，3，5，7，13， 17，19，31，67，127，257，2 1 是素数
/
1996年-2009年4月12日, GIMPS 找到了20个Mersenne素数
##
p
M 的位数
P 的位数 14471465 15632458 18304103 19616714 25956377 22370543 25674127
年份 2004 2005 2005 2006 2008 2008 2009
Mersenne数的探索历程
美国电子前沿基金会（IEFF）宣布 第一个找到超过一百万位数Mersenne素数 个人或机构颁发5万美元, 超过一千万位数, 10万美元, 超过1亿位数, 15万美元, 超过10亿位数, 25万美元.
Mersenne数的探索历程 1999年6月1日, Nayan Gahratwaka 发现第38个Mersenne素数 M 6972593 (2098960位) 2008年8月23日，Edson Smith 发现第45个Mersenne素数 M 43112609 (12978189位) 2013年1月25日，Curtis Cooper 发现第45个Mersenne素数 M 57885161 (17425170位)
定理4
n 是偶完全数 n 2
其中
p 1
Mp
p, M p
都是素数.
初等数论-绪论
8、测圆海镜
《测圆海镜》由中国金、元时期数学家 李冶所著，成书于 1248年。全书共有12卷，170问。这是中国古代论述容圆的一 部专箸，也是天元术的代表作。《测圆海镜》所讨论的问题 大都是已知 勾股形而求其内切圆、旁切圆等的直径一类的问 题。在《测圆海镜》问世之前，我国虽有文字代表未知数用 以列方程和多项式的工作，但是没有留下很有系统的记载。
若2n 1是素数，则2n1(2n 1)是完全数
注意以上谈到的完全数都是偶完全数,至今仍然 不知道有没有奇完全数。
四、我国古代数学的伟大成就
1、周髀算经 公元前100多年，汉朝人撰，是一部既谈天体又
谈数学的天文历算著作，主要讨论盖天说，提出了 著名的“勾三股四弦五”这个勾股定理的一个特例。
广泛的应用，无疑同时也促进着数论的发展。
三 几个著名数论难题
初等数论是研究整数性质的一门学科，历史上遗 留下来没有解决的大多数数论难题其问题本身容易搞 懂，容易引起人的兴趣，但是解决它们却非常困难。
其中，非常著名的问题有：哥德巴赫猜想 ； 费尔马大定理 ；孪生素数问题 ；完全数问题等。
1、哥德巴赫猜想：
1742年,由德国中学教师哥德巴赫在教学中首先 发现的。1742年6月7日，哥德巴赫写信给当时的大数 学家欧拉,正式提出了以下的猜想：
一个大于6的偶数可以表示为不同的两个质数之和。
陈景润在1966年证明了“哥德巴赫猜想”的“一 个大偶数可以表示为一个素数和一个不超过两个素数 的乘积之和”〔所谓的1+2〕，是筛法的光辉顶点， 至今仍是“哥德巴赫猜想”的最好结果。
2
许多领域中都有极大的贡献，因为他的本行是专业的 律师，世人冠以“业余王子”之美称。在三百七十多 年前的某一天，费马正在阅读一本古希腊数学家戴奥 芬多斯的数学书时，突然心血来潮在书页的空白处， 写下一个看起来很简单的定理。
常见数量关系
常见数量关系数量是描述物质和事物之间、或客观事物与主观世界之间最基本的关联。
数量关系体现了事物间的异同，是数学理论和应用的重要基础。
一些数量关系是定量的，如奇偶性、约数、质数、完全数、立方数等，是数学基础理论之一。
定量关系是描述数量关系的基本概念，它表示数量之间具有形成等价集合的定义。
例如，定义一个奇数是一个除了1以外的大于1的正整数，则一个数是奇数的条件就完成了，这就是定量数量关系。
另一些数量关系是定性的，如大小关系、增减关系、增减分类等，它通过描述“大”“小”“增”“减”等关系来解释数量变化。
例如，当一个数比另一个数大时，可以说它的值“增加”；当一个数比另一个数小时，可以说它的值“减少”。
此外，还有一些更复杂的数量关系，如比例和比率关系、计算关系、函数关系、图像关系等，它们可以用来描述不同类型的数量关系。
例如，比例关系可以描述两个数量之间的变化比值；比率关系可以描述物质量或质量单位之间的改变；函数关系可以描述某一特定变量之间的关系；图像关系可以描述一组数据的变化趋势。
所以，数量关系的研究，可以帮助我们更好地理解客观事物的特性及其之间的关系，以及主观世界中的规律和潜在的变化。
它为科学研究提供了可靠的数学基础，为各种科学技术工作提供了有效的支持。
比较属于数量关系的一部分，主要包括排序关系、分类关系、数量比较关系等。
排序是一种有序关系，也是一种简单的数学关系。
例如，按颜色对球排序，将它们排序为红色，白色，橙色，兰色的排序，这就是排序关系。
分类关系指的是将物体分类成几类，这些分类可以根据特征或其他标准来进行。
例如，将物体按形状分类：圆形、三角形、矩形、等边形，这就是分类关系。
数量比较关系是比较两个数量的大小。
例如，比较苹果和橘子的数量，可以得出苹果数量大于橘子，这就是数量比较关系。
从上述，可以看出，数量关系是十分广泛的，它不仅可以应用在数学课堂，也可以用于生活中的比较和判断。
比如可以用数量关系来比较几件礼物的价格、服装的大小、食物的份量、事物的时间等等。
五年级下册数学课件-完全数 (共19张PPT) 人教版
数学宝库中的一颗璀璨明珠
哇！ 好漂亮啊！
我们一起去 看看吧!
数学宝库中的一颗璀 璨的明珠—完全数（也叫 完美数）
完全数？数还有 “完全”和“不
完全” ？
入口1: 什么是完全数？
入口2: 有不完全数吗？
欢迎来到“完全数的世界”！
入口3: 完全数有多少？
入口4: 完全数的特性？
一 什么是完全数？
神秘的完全数
完美数这颗数学宝库中的璀璨明 珠正以其独特魅力，吸引着更多的有 志者去探寻和研究。
神秘的完全数
人无完人，但数有完美数，它就 在那里静静等着我们去发现，你能发 现下一个完美数吗？
未来已来，让我 们一起努力！
谢谢观看！
主题：《完全数》 教材：人教版教材 年段：五年级下册
亏数：“4”这个数，它的因数有1， 2，4。而1+2<4，像这样的自然数叫做亏数；
所以，完全数就是既不盈余，也不亏 欠的自然数。
三 完全数知多少？
28也是完全数。
入口3: 完全数有多少？
1+2+4+7+14=28
公元6世纪的毕达哥拉斯是最早研 研究完全数的人，他已经知道6和28就是完 全数。在中国文化里有：六谷、六畜、六 国、六常、二十八星宿等，6和28在中国历 史长河中，之所以熠熠生辉，是因为它们 是完全数。可见，中国发现完全数比西方 还早呢。
请输入6的因数！
咦， 还要输入密码？
入口1: 什么是完全数？
6的因数有： 1 ，2 ，3 ，6。
完全数（Perfect number）， 又称完美数或完备数，是一些特殊 的自然数。它所有的真因数（小于 它本身的因数）的和，恰好等于它 本身。这样的数称为“完全数”。
【人教版】小学数学五年级下册知识点总结
【人教版】小学数学五年级下册知识点总结【编者按】人教版小学数学五年级下册设计到因数与倍数、分数的意义和性质、分数的加法和减法、图形的变换、长方体和正方体以及复式折线统计图等知识点。
同学们通过这些知识的学习能够深刻的体会到解决问题策略的多样性，感受数学的魅力。
一、目标与要求1.理解分数的意义和基本性质，会比较分数的大小，会把假分数化成带分数或整数，会进行整数、小数的互化，能够比较熟练地进行约分和通分；2.掌握因数和倍数、质数和合数、奇数和偶数等概念，以及2、3、5的倍数的特征；会求100以内的两个数的最大公因数和最小公倍数；3.理解分数加、减法的意义，掌握分数加、减法的计算方法，比较熟练地计算简单的分数加、减法，会解决有关分数加、减法的简单实际问题；4.知道体积和容积的意义以及度量单位，会进行单位之间的换算，感受有关体积和容积单位的实际意义；5.结合具体情境，探索并掌握长方体和正方体的体积和表面积的计算方法，探索某些实物体积的测量方法；6.能在方格纸上画出一个图形的轴对称图形，以及将简单图形旋转90度；欣赏生活中的图案，灵活运用平移、对称和旋转在方格纸上设计图案；7.通过丰富的实例，理解众数的意义，会求一组数据的众数，并解释结果的实际意义；根据具体的问题，能选择适当的统计量表示数据的不同特征；8.认识复式折线统计图，能根据需要选择合适的统计图表示数据。
二、重点、难点1.用轴对称的知识画对称图形；2.确区别平移和旋转的现象，并能在方格纸上画出一个简单图形沿水平方向、竖直方向平移后的图形；3.理解因数和倍数的意义；因数和倍数等概念间的联系和区别；正确判断一个常见数是质数还是合数；4.长方体表面积的计算方法；长方体、正方体体积计算；5.理解、归纳分数与除法的关系；用除法的意义理解分数的意义；6.理解真分数和假分数的意义及特征；7.理解和掌握分数和小数互化的方法。
三、知识点概括总结1.轴对称：如果一个图形沿一条直线折叠,直线两侧的图形能够互相重合,这个图形就叫做轴对称图形，这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。
数字6的知识点总结
数字6的知识点总结数字6的特性数字6是一个偶数，是2的倍数。
数字6是一个质数，只有1和6两个正因数。
数字6的因数有1、2、3和6，因此6是一个完全数。
数字6的平方是36，立方是216。
6的倍数的最后一位一定是0、2、4、6、或8。
6的所有倍数的数字和一定能被3整除。
数字6的幂结果的末尾一定是6、6、5或1。
6的正弦值约为-0.279；余弦值约为0.960；正切值约为-0.291。
6的二进制表示为110，八进制表示为6，十六进制表示为6。
数字6在罗马数字中表示为"VI"。
数字6的应用数字6在数学中有着广泛的应用，比如在算术运算、几何学中常出现它的身影。
在生活中，我们也经常用到数字6，例如在时间、日期、年龄、人数等方面的表示。
在科学中，数字6也是一个重要的数字，它在化学元素分类周期表中的硫(S)就是第6号元素，原子序数是16。
在物理中，6也是电子轨道的一个重要数字，比如第一周期第六个元素的原子序数是6的碳元素。
此外，在经济学、统计学、商业等领域，数字6也经常被用到。
数字6的文化象征数字6在世界各地的文化中都有着不同的象征意义。
在中国，数字6的发音与“溜”的发音相似，因此被视为好运数字，常用于祝福他人。
在西方，数字6常被视为大吉大利的象征，即"六六大顺"的说法。
在基督教中，数字6常被视为不吉利的数字，因为圣经中提到六是“邪恶之数”，有“666”的说法表示邪恶的象征。
在古埃及文明中，数字6则被视为圣洁的数字，代表天然的完美和和谐。
结语总的来说，数字6是一个自然数中的重要数字，在生活、科学、文化等方面都有着广泛的应用和象征意义。
我们应该对数字6有更深入的了解，以更好地应用它在我们的生活中。
同时，也应该注意到不同文化中对数字6的不同理解，避免对数字6的误解和偏见。
世界近代三大数学难题之一----哥德巴赫猜想
世界近代三大数学难题之一----哥德巴赫猜想哥德巴赫是德国一位中学教师，也是一位著名的数学家，生于1690年，1725年当选为俄国彼得堡科学院院士。
1742年，哥德巴赫在教学中发现，每个不小于6的偶数都是两个素数(只能被和它本身整除的数)之和。
如6＝3＋3，12＝5＋7等等。
1742年6月，哥德巴赫写信将这个问题告诉给意大利大数学家欧拉，并请他帮助作出证明。
欧拉在6月30日给他的回信中说，他相信这个猜想是正确的，但他不能证明。
叙述如此简单的问题，连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明，这个猜想便引起了许多数学家的注意。
他们对一个个偶数开始进行验算，一直算到3.3亿，都表明猜想是正确的。
但是对于更大的数目，猜想也应是对的，然而不能作出证明。
欧拉一直到死也没有对此作出证明。
从此，这道著名的数学难题引起了世界上成千上万数学家的注意。
200年过去了，没有人证明它。
哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”。
到了20世纪20年代，才有人开始向它靠近。
1920年、挪威数学家布爵用一种古老的筛选法证明，得出了一个结论：每一个比大的偶数都可以表示为(99)。
这种缩小包围圈的办法很管用，科学家们于是从(9十9)开始，逐步减少每个数里所含质数因子的个数，直到最后使每个数里都是一个质数为止，这样就证明了“哥德巴赫”。
1924年，数学家拉德马哈尔证明了(7＋7)；1932年，数学家爱斯尔曼证明了(6＋6)；1938年，数学家布赫斯塔勃证明了(5十5)，1940年，他又证明了(4＋4)；1956年，数学家维诺格拉多夫证明了(3＋3)；1958年，我国数学家王元证明了(2十3)。
随后，我国年轻的数学家陈景润也投入到对哥德巴赫猜想的研究之中，经过10年的刻苦钻研，终于在前人研究的基础上取得重大的突破，率先证明了(l十2)。
至此，哥德巴赫猜想只剩下最后一步(1＋1)了。
陈景润的论文于1973年发表在中国科学院的《科学通报》第17期上，这一成果受到国际数学界的重视，从而使中国的数论研究跃居世界领先地位，陈景润的有关理论被称为“陈氏定理”。
完全数
《完全数》数学离不开数，数有时候很简单，有时候有很神秘，今天我们就来分享一种神奇的数——《完全数》古时候，自然数6是一个备受宠爱的数。
有人认为，6是属于美神维纳斯，它象征着美满的婚姻；也有人认为，宇宙之所以这样完美，是因为上帝创造它时花了6天时间……自然数6为什么备受人们青睐呢？原来，6是一个非常"完善"的数，与它的因数之间有一种奇妙的联系。
6的因数共有4个：l、2、3、6，除了6自身这个因数以外，其他的3个都是它的真因数，数学家们发现：把6的所有真因数都加起来，正好等于6这个自然数本身！数学上，具有这种性质的自然数叫做完全数。
例如，28也是一个完全数，它的真因数有1、2、4、7、14，而1＋2＋4＋7＋14正好等于28。
在自然数里，完全数非常稀少，用沧海一粟来形容也不算太夸张。
有人统计过，直到1952年，在2000多年的时间，已被发现的完全数总共才有12个。
并不是数学家不重视完全数，实际上，在非常遥远的古代，他们就开始探索寻找完全数的方法了。
公元前6世纪的毕达哥拉斯是最早研究完全数的人，他已经知道6和28是完全数。
公元前3世纪，古希腊著名数学家欧几里得甚至发现了一个计算完全数的公式：如果n是一个质数，也是一个质数，那么，由公式的出来的就是一个完全数。
例如：n=2时，=3都是质数，那么，=6,6就是一个完全数。
当n=3时，=7，都是质数，那么，=28,28就是一个完全数。
当n=5时，=31，都是质数，那么，=496,28就是一个完全数。
尽管如此，寻找完全数的工作仍然非常艰巨。
直到20世纪中叶，随着电子计算机的问世，寻找完全数的工作才取得了较大的进展。
1952年，数学家凭借计算机的高速运算，一下子发现了5个完全数，它们分别对应于欧几里得公式中n＝521、607、1279、2203和2281时的答案。
以后数学家们又陆续发。
当n=3217、4253、4423、9689、9941、11213和19937时，到1975年，人们在无穷无尽的自然数里，总共找出了24个完全数。
完美数
完美数完美数又称为完全数,最初是由毕达哥拉斯(Pythagoras)的信徒发现的,他们注意到:数6有一个特性,它等于它自己的因子(不包括它自身)的和: 6=1+2+3,下一个具有同样性质的数是28,28=1+2+4+7+14，接着是496和8128.他们称这类数为完美数. 欧几里德在大约公元前350-300年间证明了:若n 是素数，且2n -1也是素数,则数12)12(--n n 是完全数.两千年后,欧拉证明每个偶完全数都具有这种形式.这就在完全数与梅森数(形式为12-n 的素数)之间建立了紧密的联系, 到2013年2月6日为止，人类仅发现48个梅森素数。
完全数有一些特有性质：1、完全数是非常奇特的数,它们有一些特殊性质,例如每个完全数都是三角形数,即都能写成2)1(+n n ，例如： 6=1+2+3=243⨯ 28=1+2=3+4+5+6+7=287⨯ 496=1+2+3+4+...+31=23231⨯ .... )12(21--n n =1+2+3+...+(2n -1)=()2212n n - 2、把它们(6除外)的各位数字相加,直到变成一位数,那么这个一位数一定是1;它们都是连续奇数的立方和(6除外),例如：22(23-1)=28=13+3324(25-1)=496=13+33+53+7326(27-1)=8128=13+33+53+73+93+113+133+153 ....2n-1(2n -1)=13+33+53+...+(2(n+1)/2-1)33、除了因子1之外,每个完全数的所有因子(包括自身)的倒数和等于1,比如:1613121=++ 1281141714121=++++.... 4、完全数都是以6或8结尾的,如果以8结尾,那么就肯定是以28结尾.5、各位数字辗转式相加个位数是1除6以外的完全数，把它的各位数字相加，直到变成个位数，那么这个个位数一定是1。
例如：28：2+8=10，1+0=1496：4+9+6=19，1+9=10，1+0=18128：8+1+2+8=19，1+9=10，1+0=133550336:3+3+5+5+0+3+6=28,2+8=10,1+0=1注意以上谈到的完全数都是偶完全数, 时至今日，人们一直没有发现有奇完全数的存在。
初等数论简介
初等数论
勒让德[法]1752～1833，在分 析学、数论、初等几何与天体 力学，取得了许多成果，是椭 圆积分理论奠基人之一。对数 论的主要贡献是二次互反律， 还是解析数论的先驱者之一.
雅可比[德]1804～1851，在偏 微分方程中，引进了“雅可比 行列式。对行列式理论作了奠 基性的工作，在代数学、变分法 复变函数论、分析力学 、动 力学及数学物理方面也有贡献。
初等数论
陈景润1933－1996，主要研究 解析数论，他研究哥德巴赫猜 想和其他数论问题的成就，至 今仍然在世界上遥遥领先。其 成果也被称之为陈氏定理。
王元1930－50年代至60年 代初，首先在中国将筛法 用于哥德巴赫猜想研究， 并证明了命题3+4，1957年 又证明2+3，这是中国学者 首次在此研究领域跃居世 界领先地位.
初等数论
欧几里得[前330年～前275年] 丢番图Diophante 246～330 欧氏几何学的开创者 ， “代数学之父” 古希腊数学家，以其所著的 古希腊数学家，著《算术》 《几何原本》闻名于世。
初等数论
刘徽，生于公元250年左右， 三国时期数学家，是世界上最 早提出十进小数概念的人，著 《九章算术注》10卷；《海岛 算经》；《九章重差图》.割圆 术求圆面积和圆周率.
初等数论 三 、 几个著名数论难题 初等数论是研究整数性质的一门学科，历史上遗
留下来没有解决的大多数数论难题其问题本身容易搞
懂，容易引起人的兴趣，但是解决它们却非常困难。 其中，非常著名的问题有：哥德巴赫猜想 ；费 尔马大定理 ；孪生素数问题 ；完全数问题等。
初等数论 1、哥德巴赫猜想： 1742年,由德国中学教师哥德巴赫在教学中首先发 现的。1742年6月7日，哥德巴赫写信给当时的大数学
偶完全数欧拉定理证明
偶完全数和欧拉定理是数学中的两个重要概念，它们的存在和性质在数学研究中具有重要意义。
下面将分别介绍偶完全数和欧拉定理，并对其证明进行阐述。
一、偶完全数偶完全数是指一个正整数等于其所有因子（包括1，但不包括其自身）之和。
例如，4是一个偶完全数，因为4的因子是1、2、4，而1+2+4=7。
偶完全数在数学中具有重要的应用价值，例如在组合数学、计算机科学等领域都有广泛的应用。
证明偶完全数存在的一个常见方法是使用哥德巴赫猜想的证明方法。
哥德巴赫猜想指出，任何一个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和。
由于偶数可以表示为两个奇质数之和的“余数”，所以偶完全数必然存在。
二、欧拉定理欧拉定理是数学中的一个重要定理，它描述了弦图（一种由正方形和直角三角形组成的图形）上的多边形面积与构成该多边形的弦长之间的关系。
欧拉定理指出，在一个弦图上，如果一个凸多边形的所有边都垂直于弦图上的弦，那么这个多边形的面积等于构成该多边形的弦的长度之和乘以一个常数。
这个常数被称为欧拉函数φ（x）。
证明欧拉定理的方法有很多，其中一种常见的方法是通过构造一个包含该多边形的正方形，并利用正方形和多边形之间的关系来证明欧拉定理。
具体来说，可以通过将多边形分割成若干个小正方形和直角三角形，并利用这些小图形的面积关系来证明欧拉定理。
三、欧拉定理的证明下面是一个证明欧拉定理的例子：假设有一个凸四边形ABCD，其中AB=a，BC=b，CD=c，DA=d（a>b>0,c>d>0）。
将四边形ABCD 分割成四个小正方形和四个直角三角形（如图所示），其中小正方形的边长分别为x和y （x>y>0），直角三角形的斜边长为z（z>0）。
根据面积关系，可以得到以下等式：AB*BC=xy+a*b；CD*DA=cd+z^2；BC*DA=(xy+c*d) z^2/(a+c)；ABC的面积= AB + BC = (x + y) + a + b + z^2/(a + c)；ADB的面积= CD + DA = (x + z) + b + c + d/(a + c)；四边形面积= AB*BC + ADB*ABC + ADC*CD = 3(x+y) + 3(a+b+c+d) - z^2/a - z^2/c；因此，凸四边形ABCD的面积为：3(x+y) + 3(a+b+c+d) - z^2/(x+y)。
关于奇完全数的研究
关于奇完全数的研究关于奇完全数的研究姓名：XXX 专业班级：信息与计算科学2005XXXXXX 指导教师：XXX摘要本文首先介绍了完全数的一些基本性质和当前研究状况，鉴于偶完全数与梅森素数一一对应的特殊关系,接着对梅森素数进行了介绍。
完全数各因子（除1）的倒数和等于1，也就是有若干个循环小数相加，它们的和是1。
于是本文又对循环小数的性质进行了讨论，并得出了可喜的结果：两个循环节位数不相等的小数相加，它们的和不会等于1；偶完全数的非2幂因子项的倒数的循环节位数相等。
在这个过程中意外的得到了“一个素数，只要非2与5，那么它就会整除一个全1数”。
迄今为止,人类共发现46个完全数,且均为偶完全数.是否有奇完全数存在,至今尚未解决。
本文在奇完全数存在的条件下,研究了奇完全数的各因子倒数循环节的规律，得到两个性质：奇完全数的各因子倒数的循环节位数不会是互异的素数；奇完全数的各因子倒数的循环节位数不会相等。
【关键词】完全数；梅森素数；循环节；奇完全数Study on the Odd Perfect NumberAbstract：This thesis firstly introduce some of the basic nature and current research status of the Perfect Number.In view of Even Perfect Number correspondence with Mersenne prime,then Mersenne prime to have been introduced.The toal multiplicative inverse of all factor (except 1)of Odd Perfect Number equal 1,in other words,some recurring decimal for adder,the sum equal 1.Then reserth on the recurring decimal,have some encouraging conclusions:if two recurring decimal for adder,have unequal recurrent length,then sum ofthem can't equal 1; Even Perfect Number non-2 factor have equal recurent length.And have a surprise conclusion:a prime,if it is not 2、5,can divide a all 1 number.So far, 46 perfect numbers have been found, and they are all Even Perfect Numbers. It is not known whether or not there exists an Odd Perfect Number. In the paper, on the supposition that Odd Perfect Number do exist,give two conclusions:the length of factor's multiplicative inverse of Odd Perfect Number can't all prime number,and can't all equal!Keywords: perfect number; Mersenne prime; recurrent number; odd perfect number目录符号说明.................................................................................................................... - 1 - 第1章前言.............................................................................................................. - 2 - 第2章预备知识...................................................................................................... - 5 - 第3章梅森素数...................................................................................................... - 7 -3.1有关概念、定理.......................................................................................... - 8 -3.2 梅森素数判定法的算法设计..................................................................... - 8 -3.3有关梅森素数分布规律的研究.................................................................. - 9 -3.4现今的46个梅森素数...............................................................................- 10 - 第4章循环小数.....................................................................................................- 12 - 第5章奇完全数.....................................................................................................-19 - 结论.........................................................................................................................- 21 - 致谢.........................................................................................................................- 22 - 参考文献...................................................................................................................- 23 -符号说明本文中未加说明的字母均表整数，以下是全篇通用符号，如在个别地方有不同含义则将明确说明。
五年级：完美的数和谐的数
五年级:完美的数·和谐的数这是古希腊的一个神话故事。
战神瓦尔骑在高头大马上，指挥着部队操练。
队形按照瓦尔的命令变换着，既整齐，又威武。
当各队都是6人的4个分队，排成4种不同的方阵（允许排成一行或一列）时，瓦尔发现：每个方阵最前排的人数的和1＋2＋3＋6＝12，恰恰是每队人数6的2倍。
瓦尔又命令：各队都是28人的6个分队，排成6种不同的方阵，奇迹再次出现：每个方阵最前排的人数之和1＋2＋4＋7＋14＋28＝56，恰恰也是28的2倍。
战神为他的杰作振发。
可是，除了6和28以外，瓦尔再也没有找到一个类似的数。
例如，每队20人的分队可以排成6种不同的方阵，每个方阵最前排的人数之和1＋2＋4＋5＋10＋20＝42，而不是20的2倍。
显然，在上面的排列中，每个方阵最前排的人数都一定是这个方阵总人数的约数。
并且，方阵的人数有几个约数，就可以排成几种不同的方阵。
这就是说，6和28的美妙之处在于：它的所有约数的和，正好等于本身的2倍。
或者说，它的所有真因子（除了本身以外的约数）之和恰好等于它本身。
数学家们给这种数起了一个好听的名字：完全数。
6和28是完全数中最小的两个。
还有没有其他的完全数呢？数学家们发现，在自然数里，完全数非常稀少，在1到40000000这么大的范围里，已被发现的完全数也不过寥寥5个；另外，直到1952年，已被发现的完全数总共才有12个。
并不是数学家不重视完全数，实际上，在非常遥远的古代，他们就开始探索寻找完全数的方法了。
公元前3世纪，古希腊著名数学家欧几里得甚至发现了计算完全数的公式：如果2n-1是一个质数，那么由公式N=2n-1（2n－1）算出的数一定是一个完全数。
例如，当n＝2时，22－1=3是一个质数，于是N2＝22-1×（22-1）＝2×3＝6是一个完全数。
当n＝3时，N3＝28是一个完全数。
当n＝5时，N5＝496也是一个完全数。
尽管如此，寻找完全数的工作仍然非常艰巨。
核磁共振波谱法之偶合常数
（4）在1个核组中的核化学等价但磁不等价，则用2个 相同的字母表示，并在另一个字母的右上角加撇，双撇 以示区别。
如：对氯苯胺中，四个质子构成 AA' BB' 系统， (δA6.60，δB7.20，J≈6Hz)。
3．核磁图谱的分类：核磁图谱分为一级图谱和二级 图谱。
(1)一级图谱：由一级偶合产生的图谱为一级图谱或称一 级光谱(first order spectrum)； 特征：①服从n十1律；多重峰的峰高比为二项式的各项系 数比。②核间干扰弱， Δν/J>10 ，③从谱图中可直接读出 和J，多重峰的中间位置是该组质子的化学位移，多重峰的 裂矩是偶合常数。
Hb
Hb Ha Hc C C C Br Hb Ha Hc
Ha裂分为多少重峰？
4
3
2
1
0
Jba Jca
Jca Jba
Ha裂分峰:(5+1)=6 强度比近似为：1:5:10:10:5:1
' n (2)偶合常数不等：则呈现(n+1) ( +1)…个子峰。
Ha、Hb及Hc三个氢偶合， 但Jab≠Jbc≠Jac。在220兆赫的 仪器上测试，每个氢都被一 个相邻的氢分裂为二重峰， 再被另一个氢分裂，得双二 重峰，峰高比为1：1：1：1， 双二重峰不是一般的四重峰 (1：3：3：1)，不要混淆。 这种情况可以认为是n+1律 的广义形式。
H H C C H
1:2:1
1:1
（3）按n+1律分裂的图谱为一级图谱。服从n+l律的多重峰 峰高比为二项式展开式的系数比：单峰(singlet，s)，二重峰 (doublet，d；l:1)，三重峰(triplet，t；1：2：1)，四重峰 (quartet，q；1：3：3：1)，五重峰 (quintet； 1：4：6:4： 1)，六重峰(sextet； 1：5：10：10：5：1)……。
偶合与偶和常数
n
偶合常数
JXY
2.2 偶合常数的影响因素
J不因外磁场的变化而变化，受外界条件 不因外磁场的变化而变化， 如温度、浓度及溶剂等） （如温度、浓度及溶剂等）的影响也比较 它只是化合物分子结构的一种属性。 小，它只是化合物分子结构的一种属性。 与成键间隔的数目、成键类型、取代基电 与成键间隔的数目、成键类型、 负性等有关。 负性等有关。
如果邻近有多个氢核， 如果邻近有多个氢核，氢核的峰还可以裂分为 三重、四重、或多重峰，如下图所示： 三重、四重、或多重峰，如下图所示：
Hb3 Hb1 Ha Ha Ha Hb2 Hb1 Ha Hb2 Hb1
Hb
2Hb
3Hb
1.2 自旋偶合
这种分子中自旋核与自旋核之间相互作用 称自旋- 自旋偶合, 简称自旋偶合。 称自旋 - 自旋偶合 , 简称自旋偶合 。 由自旋 偶合产生的多重谱峰现象称为自旋裂分。 偶合产生的多重谱峰现象称为自旋裂分。 偶合是裂分的原因，裂分是偶合的结果。 偶合是裂分的原因，裂分是偶合的结果。 自旋－ 自旋偶合， 可反映相邻核的特征， 自旋 － 自旋偶合 ， 可反映相邻核的特征 ， 可提供化合物分子内相接和立体化学的信 息。
因偶合而产生的多重峰相对强度可用二项 展开的系数表示， 式(a+b)n 展开的系数表示，n为磁等价核的 个数； 个数； 裂分峰组的中心位置是该组磁核的化学位 移值。裂分峰之间的裂距反映偶合常数J 移值。裂分峰之间的裂距反映偶合常数J的 大小； 大小； 磁等价的核相互之间有偶合作用，但没有 磁等价的核相互之间有偶合作用， 谱峰裂分的现象。 谱峰裂分的现象。
三 偶合的类型
3.1 同碳偶合
指间隔2个单键的质子之间的偶合， 指间隔2个单键的质子之间的偶合，即 连在同一个碳上的2个质子之间的偶合。 连在同一个碳上的2个质子之间的偶合。用 2J 表示。 表示。
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每一个偶完全数，它的所有的因子的倒数之和都等于2；反之，也成立。
证明：方法一：充分性：由于偶完全数的通项公式为
M=2n-1(2n-1),2n-1为素数。
则它的所有因子的倒数之和
S=（1+1/2+٠٠٠+1/2n-1)(1+1/(2n-1))
=(1-(1/2)n)/(1-1/2)*2n/(2n-1)
=(2n-1)/2n-1*2n/(2n-1)=2
故充分性得证。
必要性：设满足条件的偶数为M=2n-1p(p为奇数），
则它的所有因子的倒数之和
S=（1+1/2+٠٠٠+1/2n-1)S1=2
S1表示p的所有因子的倒数之和。
由上式解得：S1=1+1/(2n-1).显然2n-1是素数;
否则，p的所有因子的倒数之和大于S1，矛盾。
故p的因子为1,2n-1.则p=2n-1.
即M=2n-1(2n-1),2n-1为素数。
故M是偶完全数。
即证:原命题成立。
方法二：
引理：设任意正整数为M，它的所有因子之和为S，
则S/M表示Ｍ的所有因子的倒数之和.
证明：设Ｍ的所有因子分别为p1,p2,p3,***,p n.
则显然M/p 1,M/p 2,M/p 3,***,M/p n 是M 的因子，且各不相同。
（因为若M/p i =M/p j ,则p i =p j,矛盾）
同时，M/p i(i=1,2,3,***,n)共有n 项，
故M/p i (i=1,2,3,***,n)是M 的所有因子。
则S/M=(p 1+p 2+p 3+***+p n )/M
=p 1/M+p 2/M+p 3/M+***+p n /M=∑
=n i i M p 1/
引理得证。
推论：∑=n
i i p
1/M 表示
充分性：若M 是完全数，则它的所有因子的倒数之和为 S/M=∑
=n i i M p 1/=2成立。
必要性：由于任意正整数M 的所有因子的倒数之和为 S/M=2,故M 是完全数。