偶完全数

每一个偶完全数，它的所有的因子的倒数之和都等于2；反之，也成立。

证明：方法一：充分性：由于偶完全数的通项公式为

M=2n-1(2n-1),2n-1为素数。

则它的所有因子的倒数之和

S=（1+1/2+٠٠٠+1/2n-1)(1+1/(2n-1))

=(1-(1/2)n)/(1-1/2)*2n/(2n-1)

=(2n-1)/2n-1*2n/(2n-1)=2

故充分性得证。

必要性：设满足条件的偶数为M=2n-1p(p为奇数），

则它的所有因子的倒数之和

S=（1+1/2+٠٠٠+1/2n-1)S1=2

S1表示p的所有因子的倒数之和。

由上式解得：S1=1+1/(2n-1).显然2n-1是素数;

否则，p的所有因子的倒数之和大于S1，矛盾。

故p的因子为1,2n-1.则p=2n-1.

即M=2n-1(2n-1),2n-1为素数。故M是偶完全数。

即证:原命题成立。

方法二：

引理：设任意正整数为M，它的所有因子之和为S，

则S/M表示Ｍ的所有因子的倒数之和.

证明：设Ｍ的所有因子分别为p1,p2,p3,***,p n.

则显然M/p 1,M/p 2,M/p 3,***,M/p n 是M 的因子，且各不相同。 （因为若M/p i =M/p j ,则p i =p j,矛盾）

同时，M/p i(i=1,2,3,***,n)共有n 项，

故M/p i (i=1,2,3,***,n)是M 的所有因子。

则S/M=(p 1+p 2+p 3+***+p n )/M

=p 1/M+p 2/M+p 3/M+***+p n /M=∑

=n i i M p 1/

引理得证。

推论：∑=n

i i p

1/M 表示

充分性：若M 是完全数，则它的所有因子的倒数之和为 S/M=∑

=n i i M p 1/=2成立。

必要性：由于任意正整数M 的所有因子的倒数之和为 S/M=2,故M 是完全数。