[精品]2019学年高中数学第二讲3参数方程和普通方程的互化学案含解析新人教A版选修4
《参数方程和普通方程的互化》导学案3
《参数方程和普通方程的互化》导学案31. 了解参数方程化为普通方程的意义.2 •理解参数方程与普通方程的互相转化与应用.课标解读3 .掌握参数方程化为普通方程的方法知识梳理参数方程与普通方程的互化(1) 曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式•一般地，可以通过消去参数从参数方程得到普通方程.(2) 如果知道变数x, y中的一个与参数t的关系，例如x =f(t)，把它代入普通方程,|x= f t求出另一个变数与参数的关系y= g(t)，那么就是曲线的参数方程.在参数i y= g t方程与普通方程的互化中，必须使x, y的取值范围保持一致.思考探究普通方程化为参数方程，参数方程的形式是否惟一？【提示】不一定惟一.普通方程化为参数方程，关键在于适当选择参数，如果选择的参数不同，那么所得的参数方程的形式也不同课堂互动|x= a+1 cos 0 ,例题1在方程y= »+ t sin 0, （a，b为正常数）中，(1) 当t为参数，0为常数时，方程表示何种曲线?(2) 当t为常数，0为参数时，方程表示何种曲线?非零常数时，利用平方关系消参数0，化成普通方程，进而判定曲线形状.x = a + t cos 0 ,①【自主解答】方程*(a , b 是正常数)，|y = b + t sin 0 ,②(1) ①x sin 0 —②x cos 0 得x sin 0 — y cos 0 — a sin 0 + b cos 0 = 0.■/ cos 0、sin 0不同时为零， •••方程表示一条直线.(2) ( i )当t 为非零常数时，即(x — a )2+ (y — b )2= t 2,它表示一个圆.(ii)当t = 0时，表示点(a , b ).1•消去参数的常用方法将参数方程化为普通方程，关键是消去参数，如果参数方程是整式方程，常用的消元法有代入消元法、加减消元法.如果参数方程是分式方程， 在运用代入消元或加减消元之前要做必要的变形•另外，熟悉一些常见的恒等式至关重要，如sin 2a+ cos 2a = 1，(e X + e —x )22x —x 21 — k2 2k 2-(e -e )=4,("+ E=1 等.2•把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普 通方程中x 及y的取值范围的影响.本题启示我们，形式相同的方程，由于选择参数的不同， 可表示不同的曲线.将下列参数方程分别化为普通方程，并判断方程所表示曲线的形状:x = 2cos 0 ⑴彳 (0为参数，0W 0 < n );|y = 2s in 0r44x = sin 0 + cos 0 ⑵f . 2 2( 0为参数)；|y = 1 — 2sin 0 cos 02 2x — a③2+④得—cos 0，—sin0 . 2y — b2■=1, ④「X —a I t原方程组为\¥（a , b 为大于零的常数，1为参数）•x = 1 — 2sin 22 0 ,• x — y = 0. 2T 0W sin 2 0 W 1, • f w 1 — ^sin 22 0 W 1.2 21 一所以方程x — y = 0（2W x W 1）表示一条线段.⑶ T x = |(t + p),由 x =a (t +1),2 a 21两边平方可得x = -（t + 2 +严）①b 1由y = 2（t — 1）两边平方可得 2 b 2 2 1y 2= 7( t 2— 2+右)②2 211x y①xp —②x 亡并化简，得——2= 1(a , b 为大于 a b a b1t +1【解】x= 2cosy = 2sin两式平方相加，得x 2+ y 2= 4.T O W 0 W n ,• — 2W x < 2,0 W y < 2.所以方程的曲线表示圆心为（0,0），半径为2的圆的上半部分. （2）由彳f・ 4 c 4小x = sin 0 + cos 0 ,I I2 2y = 1 — 2sin 0 cos 0 ,x= 1 — 2sin 2 得 y = 1 — 2si n 22 0 cos 0 ,20 cos 0 ,即』| y = 1 — 2sin 22 0 ,••• t >0 时，x € [a , +) , t <0 时，x € ( —a.a ] •0的常数），这就是所求的曲线方程,【思路探究】 设圆的参数方程，将问题转化为求三角函数的最大值和最小值问题来解【思路探究】 联想sin 2 B+ cos 2 0 = 1可得参数方程.x — 1y + 2【自主解答】 设 =cos 0 ,= sin 0 ,x = 1 + 3cos 0 ,则^( 0为参数)，即为所求的参数方程.y = — 2 + 5sin 0 ,1•将圆的普通方程化为参数方程 (1) 圆x 2 + y 2 = r 2的参数方程为x = r cos 0 (0为参数);y = r sin 0222x= a + r cos 0(2) 圆(x — a ) + (y — b ) = r 的参数方程为*」 (0为参数).y = b + r si n 02.普通方程化为参数方程关键是引入参数(例如x = f (t ),再计算y = g (t )),并且要保 证等价性.若不可避免地破坏了同解变形，则一定要通过 x = f (t ),y = g (t )，调整t 的取值范围，使得在普通方程转化为参数方程的过程中，x , y 的取值范围保持一致.设y = tx (t 为参数)，则圆x 2+ y 2—4y = 0的参数方程是 _______________4tx= 1 + t 2利用参数思想解题例题3 已知x 、y 满足x 2 + (y — 1) 2= 1,求:(1) 3 x + 4y 的最大值和最小值；例题2曲线的普通方程为 x-1 3 y+2 51，写出它的参数方程.【解析】 把 y = tx 代入 x 2+ y 2— 4y = 0 得 x = +孑,4t2,4t (t 为参数).【答案】4t 2y= 1+2・(t 为参数)•••参数方程为1 + t4t 2 1 + t 2.(2) ( x—3)2+ (y+ 3)2的最大值和最小值.【思路探究】 设圆的参数方程，将问题转化为求三角函数的最大值和最小值问题来解rAx = cos 0 ,【自主解答】 由圆的普通方程 X 1 2 3+ (y — 1)2= 1得圆的参数方程为＜y = 1 + sin 0 ,(0 € [0,2 n )).(1)3 x + 4y = 3cos 0 + 4sin0 + 4=4+ 5sin( 0+0 ),3其中tan 0 = 4,且0的终边过点(4,3)-—5W 5sin( 0 + 0 ) w 5,••• — 1w 4+ 5sin( 0 + 0 ) w 9,••• 3x + 4y 的最大值为9,最小值为一1.2 2(2)( x — 3) + (y + 3)=26 + 8sin 0 — 6cos 0=26 + 10sin( 0 + 0 )・ 其中 tan 0 = — ^, 且0的终边过点(4 , — 3).••• — 10w 10sin( 0 + 0 ) w 10,•- 16w 26+ 10sin( 0 + 0 ) w 36所以(x — 3)2 + (y + 3)2的最大值为36,最小值为16.1 参数思想是解决数学问题的重要思想， 在参数方程中，参数(参变量)起着媒介作用, 它是联系曲线上任意一点的横坐标与纵坐标的桥梁.通过参数 0，间接建立曲线上任意一 点的坐标间的联系，拓宽了解题思路，简化了思维过程.它是研究解析几何问题的重要工具.2 运用参数思想解题的关键在于参数的选择.选择参数时，应注意所选择的参数易于 与两个坐标产生联系.由于三角函数的巨大作用， 选择时间为参数.3 (1)解决与圆有关的最大值和最小值问题， 函数的最大值和最小值问题. (2)注意运用三角恒等式求最值：a sin 0 +b cos 0 = , a 2 + b 2sin( 0+0 ).决.2=(cos 0 — 3) + (sin 0 + 4)常选择角为参数，若轨迹与运动有关，常常常设圆的参数方程， 然后转化为求三角b其中tan 0 =-（a z 0），且0的终边过点（a , b ）.a若本例条件不变，如何求 缶的取值范围?k =凹=3 +前0x + 1 1 + cos 0/• sin 0 — k cos 0 = k —3即钉 1 + k sin( 0 + 0 ) = k — 3.( © 由 tan 0 = — k 确定)k 一 3sin( 0 + 0 ) = ----------- 2k — 3依题意，得I —” k 』w 1, •••(-门2w 4, 解得 k 》3. 所以缶的取值范围是［|，+m ）.）课堂练习l|x= 2 + sin 5 01 .将参数方程 2（ 0为参数）化为普通方程为（）|y = sin 0C. y = x — 2(2 w x w 3) D . y = x + 2(0 < y w 1)【解析】 消去sin 20，得x = 2 + y ,2又 0w sin【答案】4x= t 1【解】 由于 =cos 0 ,y = 1 + sin 0,( 0C [0'2 n ))，2.把方程 xy = 1化为以t 为参数的参数方程是（） x = sin t A. 5 y = t —B. 1 y= sin tA. y = x — 2B . y = x + 20 w 1,.・.2w x w 3.x = cos t1y = -------cos t,=tan t1 y= ta n t【答案】 D【答案】 D数），若以原点 O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则圆C 的极坐标方程为【解析】 消去a 得圆的方程为x 2 + (y — 2)2= 4. 2 20 代入得(p cos 0 ) + ( p sin 0 — 2) = 4,整理得 p4sin 0 .【答案】p = 4sin 0课后练习（时间40分钟，满分60分）x = |sin 0 |1 .曲线（0为参数）的方程等价于（ ）y = cos 0C.<3.圆 x 2 + (y + 1) =2的参数方程为（）x = 2cos 0y = 1 + 2si n 00为参数）B. *X = ^J2cos 0 y = 1 + 2sin（0为参数）x = 2cos 0叫=—1 + 2sin（0为参数）x = ^/2cos 0 y = —1 + *.』2si n（0为参数）【解析】 由x = 2cos0 , y + 1= 2sin 0知参数方程为x = ^2cos 0 ,y =— 1 + 2sin 0 .（0为参数）.故选D.4. （2013 •郑州模拟）在直角坐标系中，圆 C 的参数方程为x = 2cos a , y = 2 + 2si n a（a 为参将 x =p cos 0 , y =p sin、选择题（每小题5分,20分)2C . x = 1 -1x = cos 0D. i y = sin 2 0【答案】3sin 0 + cos 0 = 2sin( 0+^6),故x + . 3y 的最大值为2.故选B. 【答案】 B二、填空题（每小题5分，共10分）x = 3+ cos 0 ,5.曲线/（ 0为参数）上的点到原点的最大距离为y = — 4 + sin 0 ,A. x =1 — y 2C. y =±1 — x 2D .【解析】 由x = |sin B . y = 1 —x 20 | 得 O w x w 1;由 y = cos 得—K y w 1.故选A.【答案】 A 2. 参数方程= 3t + 2yd -1,（0w t w 5）表示的曲线是A. 线段 •双曲线的一支 C. 圆弧.射线【解析】消去t , 得 x — 3y — 5 =0.•/ 0w t w 5,【答案】 A3.能化为普通方程x 2 + y — 1 = 0的参数方程为（x = sin t A. i 2 y = cos tB. x = tan © 4y = 1 一 tan ©【解析】 排除A D,只有B 符合.4. 右x , y 满足x 2 + y 2= 1，则x + 3y 的最大值为 A. C.【解析】由于圆x 2+ y 2= 1的参数方程为x = cos y = sin（0 为参数），则 x +'：；：；： 3y =【解析】 设Mx , y )是曲线 上任意一点,y =— 4+ sin 03 + cos~02+ — 4+ sin 0 2= 26 + 6cos 0 — 8sin 0 --------- -- ------------------ 3=\ '26 + [1 ]] 0 + $ ( $ 由 tan $= — 确定)当sin （ 0 + $ ） = 1时，|OM 取最大值6.【答案】 66. （2013 •重庆高考）在直角坐标系xOy 中，以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建 ,，一十 亠,，一、十,,，亠八,,,,, x = t 2, ,、 立极坐标系.若极坐标方程为 p cos 0 = 4的直线与曲线 3（t 为参数）相交于A ,i y =t B 两点，贝U | AB = _______ . 【解析】由P c os 0 = 4，知 x = 4. 又严t 2,• x 3= y 2(x >0). y =t ，x = 4,x= 4, x = 4, 由3 2 得* 或* x = y , y = 8y = — 8 •••I AB = 1—1 2+ 屮 2= 16.【答案】 16三、解答题（每小题10分，共30分）通方程.— 1 2 1【解】 由x = t —一两边平方得x = t + - — 2,1 1 y又 y = 3(t + f )，则 t +1 = 3(y 》6).代入 x 2= t +1 — 2,得 x 2 = y — 2.2• 3x — y + 6 = 0( y >6).故曲线C 的普通方程为3x 2— y + 6= 0(y >6).8.已知P (x , y )是圆x + y — 2y = 0上的动点.(1)求2x + y 的取值范围；x = 3+ cos 0 （t 为参数，t >0） •求曲线C 的普7.已知曲线C 的参数方程为 y = t +⑵若X+ y + O0恒成立，求实数c的取值范围.【解】方程X2+ y2— 2y = 0变形为x2+ (y —1) 2= 1.「•1 — W2 x+ y w 1 +、..:5.(2)若x+ y + O0 恒成立，即c>— (cos 0 + sin 0 + 1)对一切0 € R恒成立.一(cos 0 + sin 0 + 1)的最大值是i'2 —1.•••当且仅当O 2—1时，x + y+ c>0恒成立.9. (2012 •福建高考)在平面直角坐标系中，以坐标原点0为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l上两点M N的极坐标分别为(2,0),(学，寺)，圆C的参数"x = 2 + 2cos 0 ,方程为(0为参数).①设P为线段MN勺中点，求直线OP的平面直角坐标方程;②判断直线I与圆C的位置关系.【解】①由题意知，M N的平面直角坐标分别为(2,0) , (0 ,l上两点M N的平面直角坐标分别为(2,0) , (0 , —),所以直线l的平面直角坐标方程为x+ 3y —2 = 0.又圆C的圆心坐标为(2 , —3)，半径为r = 2,|2 一3 一2| 3圆心到直线I的距离d= _2—= 2<r,故直线l与圆C相交.2x + y—1 = 0,知x € R, y w 1.其参数方程为X = cos 0 ,为参数).乎).又P为线段MN 的中点，从而点P的平面直角坐标为(1 , ，故直线OP的平面直角坐标方程为②因为直线所以直线y = 1 + sin 0 .。
参数方程和普通方程的互化教案
情景引入 精讲例题 学生板演 当堂练习
情景引入：
解析：
可以通过消去参数而参数方程得到普通方程，普通方程通过引入参数转化参数方程，在参数方程与普通方程的互化中，必须使x,y的取值范围保持一致。
例题讲解：
例1、把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线；
练习、将下列参数方程化为普通方程：
课后反思：把参数方程化为普通方程是学生必须掌握的基本方法。从第一节课情况来看，学生的观察能力还需提高。
讲练结合
当堂掌握
教学
后记
媒体设计思路：
激发兴趣是推动学生学习的动力。现代信息技术以其本身特有的新颖性、趣味性等特点，对激发学生学习兴趣有着不可估量的优势，利用信息技术与学科融合教学的关键是创设情境，激发学生学习兴趣，从而调动学生的学习积极性、主动性、创造性。在课前教学准备中，我按照学生的认知规律设计脚本，在情景中激发兴趣，帮助学生认知，引发学生真实的情感体验，培养学生的认知能力。
例2,参数方程
表示（）
备用例题
例3、曲线的参数方程 化为普通方程。
例4、把曲线 化为普通方程，并说明它表示什么曲线。
练习 课后 P25-26
小结：1入法 2、利用三角或代数恒等式消参
2、普通方程化为参数方程一般不唯一
3、在参数方程与普通方程的互化中，必须使x,y的取值范围保持一致。
课题
参数方程和普通方程的互化
执笔人
洪林
编写日期
6.15
执行人
洪林
执行日期
6.19
三维
教学
目标
1、了解参数方程与普通方程之间的联系与区别，掌握它们的互化法则。
2、能应用代入法和代数或三角恒等变形将参数方程化为普通方程
高中数学 第二讲《参数方程》全部教案 新人教A版选修4-4
曲线的参数方程教学目标：1．通过分析抛物运动中时间与运动物体位置的关系，写出抛物运动轨迹的参数方程，体会参数的意义。
2．分析圆的几何性质，选择适当的参数写出它的参数方程。
3．会进行参数方程和普通方程的互化。
教学重点：根据问题的条件引进适当的参数，写出参数方程，体会参数的意义。
参数方程和普通方程的互化。
教学难点：根据几何性质选取恰当的参数，建立曲线的参数方程。
参数方程和普通方程的等价互化。
教学过程一．参数方程的概念1．探究：（1）平抛运动： 为参数）t gt y tx (215001002⎪⎩⎪⎨⎧-== 练习：斜抛运动：为参数）t gt t v y t v x (21sin cos 200⎪⎩⎪⎨⎧-⋅=⋅=αα2．参数方程的概念 （见教科书第22页） 说明：（1）一般来说，参数的变化X 围是有限制的。
（2）参数是联系变量x ，y 的桥梁，可以有实际意义，也可无实际意义。
例1．（教科书第22页例1）已知曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧+==1232t y tx (t 为参数) （1）判断点M 1(0,1),M 2(5,4)与曲线C 的位置关系； （2）已知点M 3(6,a )在曲线C 上，求a 的值。
)0,1()21,21()21,31()7,2()(2cos sin 2D C B A y x ，、，、，、的坐标是表示的曲线上的一个点为参数、方程θθθ⎩⎨⎧==A 、一个定点B 、一个椭圆C 、一条抛物线D 、一条直线二．圆的参数方程)(sin cos 为参数t t r y t r x ⎩⎨⎧==ωω)(sin cos 为参数θθθ⎩⎨⎧==r y r x说明：（1）随着选取的参数不同，参数方程形式也有不同，但表示的曲线是相同的。
（2）在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值X 围。
例2．（教科书第24页例2）思考：你能回答教科书第25页的思考吗？三．参数方程和普通方程的互化1．阅读教科书第25页，明确参数方程和普通方程的互化的方法。
参数方程与普通方程的互化导学案
参数方程与普通方程的互化导学案一、引入参数方程和普通方程是解决几何问题时常用的两种方程形式。
参数方程是使用一个或多个参数来表示几何图形中各个点的坐标，而普通方程是使用变量来表示几何图形中的关系。
本文将介绍参数方程与普通方程的定义、特点、互化方法以及求解过程。
二、参数方程的定义1.一维参数方程：当几何图形只有一个自变量t时，我们可以用一维参数方程来表示，形式为x=f(t),y=g(t)，其中x和y为几何图形中其中一点的坐标。
2.二维参数方程：当几何图形有两个自变量t和u时，我们可以用二维参数方程来表示，形式为x=f(t,u),y=g(t,u)，其中x和y为几何图形中其中一点的坐标。
三、参数方程的特点1.参数方程能够灵活地表示几何图形中的各个点，因为参数可以取任意值，所以可以表达出图形中的任意点。
2.参数方程可以较为简单地表示复杂的曲线或图形，例如椭圆、双曲线等。
3.参数方程可以通过改变参数的取值范围，实现对曲线或图形的变换，例如平移、旋转等。
4.参数方程能够较为直观地表示几何图形的性质，例如曲线的对称性、渐进线等。
四、普通方程的定义普通方程是使用变量来表示几何图形中的关系，通常形式为F(x,y)=0，其中F为表示关系的函数。
五、普通方程与参数方程的互化方法1.由参数方程得到普通方程：将参数方程中的参数用变量替代，然后消去参数，得到普通方程。
例如，对于一维参数方程x=t^2，y=t+1，我们可以将t用x和y来表示，得到x^2=y-1，进一步整理得到x^2-y+1=0，即为普通方程。
2.由普通方程得到参数方程：将普通方程中的变量用参数来表示，然后整理得到参数方程。
例如，对于普通方程x^2+y^2=1，我们可以将x和y分别用参数t来表示，得到x=cos(t)，y=sin(t)，即为参数方程。
六、参数方程与普通方程的求解过程1.由参数方程得到普通方程：(1)将参数方程中的参数用变量替代，得到x=f(x,y)和y=g(x,y)。
参数方程与普通方程的互化
参数方程与普通方程的互化参数方程与普通方程是数学中常用的表达方式，它们在不同的问题中有着不同的应用。
参数方程是将一个图形的点表示为一个或多个参数的函数，而普通方程则是将一个图形表示为变量之间的关系式。
接下来，我将详细介绍参数方程与普通方程的互化。
1.参数方程转换为普通方程：将参数方程转换为普通方程的主要思想是通过消除参数化表示中的参数。
下面以一个简单的例子来说明这个过程。
考虑一个简单的参数方程：$x=2t$$y=t^2$要将它转换为普通方程，我们需要通过消除参数t来获得$x$和$y$之间的关系。
观察参数方程可以发现，$t$在$x$和$y$的表示中都存在。
我们可以利用第一个参数方程来消除$t$，得到$x=2t$。
然后将这个$x$的表达式代入第二个参数方程中，得到$y=(x/2)^2$，再对其进行化简，得到普通方程$y=x^2/4$。
2.普通方程转换为参数方程：将普通方程转换为参数方程的主要思想是引入一个新的参数，让普通方程的变量都表示为这个参数的函数。
下面同样以一个例子来说明。
考虑一个简单的普通方程：$y=x^2$要将它转换为参数方程，我们需要引入一个新的参数$t$，让$x$和$y$都表示为$t$的函数。
我们可以让$x=t$，然后将这个$x$的表达式代入到普通方程中，得到$y=t^2$。
通过这样的转换，我们可以得到参数方程$x=t$，$y=t^2$。
3.参数方程与普通方程的应用：参数方程和普通方程在不同的情况下有着不同的应用。
参数方程的主要优势是可以描述一些较复杂的曲线，尤其是含有角度或弧度的曲线。
在物理学和工程学中，参数方程常被用来描述物体在空间中的运动轨迹，例如质点在直角坐标系中的坐标随时间的变化情况。
普通方程则更适合描述一些简单的几何图形，尤其是直线和圆形。
在几何学和代数学中，普通方程常被用来解决直线和圆的性质问题，例如确定直线的斜率、直线与曲线的交点等。
4.参数方程与普通方程的优缺点分析：从以上的讨论可以看出，参数方程和普通方程各有优缺点。
2.1(第2课时)参数方程和普通方程的互化 学案(含答案)
2.1（第2课时）参数方程和普通方程的互化学案（含答案）第第2课时课时参数方程和普通方程的互化参数方程和普通方程的互化学习目标1.了解参数方程化为普通方程的意义.2.掌握参数方程化为普通方程的基本方法.3.能根据参数方程与普通方程的互化灵活解决问题知识点参数方程和普通方程的互化思考1要判断一个点是否在曲线上，你觉得用参数方程方便还是用普通方程方便答案用普通方程比较方便思考2把参数方程化为普通方程的关键是什么答案关键是消参数梳理1曲线的普通方程和参数方程的互相转化曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程；如果知道变数x，y中的一个与参数t 的关系，例如xft，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系ygt，那么xft，ygt就是曲线的参数方程2参数方程化为普通方程的三种常用方法代入法利用解方程的技巧求出参数t，然后代入消去参数；三角函数法利用三角恒等式消去参数；整体消元法根据参数方程本身的结构特征，从整体上消去特别提醒化参数方程为普通方程Fx，y0，在消参过程中注意变量x，y的取值范围，必须根据参数的取值范围，确定ft和gt的值域得x，y的取值范围.类型一参数方程化为普通方程例1将下列参数方程化为普通方程，并判断曲线的形状1xt1，y12tt为参数；2x5cos，y4sin1为参数；3x1t1t，y2t1tt1，t为参数解1由xt11，得tx1，代入y12t，得y2x3x1，这是以1,1为端点的一条射线2由x5cos，y4sin1，得cosx5，siny14，22，得x225y12161，这是椭圆3方法一xy1t1t2t1t1t1t1，又x1t1t21t1，故x1，y2t1t21t21t221t，故y2，所以所求的方程为xy1x1，y2方程表示直线去掉一点1,2方法二由x1t1t，所以xxt1t，所以x1t1x，即t1x1x，代入y中得，y2t1t21x1x11x1x21x1x1x1x，所以xy1x1，y2方程表示直线去掉一点1,2反思与感悟消去参数方程中参数的技巧1加减消参数法如果参数方程中参数的符号相等或相反，常常利用两式相减或相加的方法消去参数2代入消参数法利用方程思想，解出参数的值，代入另一个方程消去参数的方法，称为代入消参法，这是非常重要的消参方法3三角函数式消参数法利用三角函数基本关系式sin2cos21消去参数.跟踪训练1将下列参数方程化为普通方程1xt1t，yt21t2t为参数；2x23cos，y3sin为参数解1xt1t，x2t21t22，把yt21t2代入得x2y2.又当t0时，xt1t2，当且仅当t1时等号成立；当t0时，xt1t2，当且仅当t1时等号成立x2或x2，普通方程为x2y2x2或x22x23cos，y3sin可化为x23cos，y3sin，两式平方相加得x22y29，即普通方程为x22y29.类型二普通方程化为参数方程例2已知圆C的方程为x2y22x0，根据下列条件，求圆C的参数方程1以过原点的直线的倾斜角为参数；2设x2m，m为参数解1过原点且倾斜角为的直线方程为yxtan，由方程组x2y22x0，yxtan消去y，得x2x2tan22x0，解得x0或x21tan22cos2sin2cos22cos2.当x0时，y0，当x2cos2时，yxtan2cossinsin2.又x0，y0适合参数方程x2cos2，ysin2，所求圆C的参数方程为x2cos2，ysin2为参数，00，则点P的轨迹是A直线x2y3B 以3,0为端点的射线C圆x12y21D以1,1，3,0为端点的线段答案D2将参数方程x2sin2，ysin2为参数化成普通方程为Ayx2Byx2Cyx22x3Dyx20y1答案C解析由x2sin2，得sin2x2，代入ysin2，yx2.又sin2x20,1，x2,33参数方程xsin2，ysincos为参数表示的曲线的普通方程是_____________________答案y2x11x14将参数方程xt1t，yt21t2t为参数化成普通方程为____________________答案x2y2y2解析由xt1t，得x2t21t22，又yt21t2，x2y2.t21t22，y2.5参数方程x3cos4sin，y4cos3sin为参数表示的图形是________答案圆解析x2y23cos4sin24cos3sin225，表示圆1参数方程和普通方程的互化参数方程化为普通方程，可通过代入消元法和三角恒等式消参法消去参数方程中的参数，通过曲线的普通方程来判断曲线的类型，研究曲线的性质由普通方程化为参数方程要选定恰当的参数，寻求曲线上任一点M的坐标x，y和参数的关系，根据实际问题的要求，可以选择时间.角度.线段长度.直线的斜率.截距等作为参数2同一问题参数的选择往往不是惟一的，适当地选择参数，可以简化解题的过程，降低计算量，提高准确率3参数方程与普通方程的等价性把参数方程化为普通方程后，很容易改变变量的取值范围，从而使得两种方程所表示的曲线不一致，因此我们要注意参数方程与普通方程的等价性。
参数方程与普通方程互化教案
参数方程与普通方程互化教案一、教学目标1. 让学生理解参数方程与普通方程的概念及其关系。
2. 培养学生掌握参数方程与普通方程的互化方法。
3. 提高学生运用参数方程与普通方程解决实际问题的能力。
二、教学内容1. 参数方程与普通方程的定义。
2. 参数方程与普通方程的互化方法。
3. 典型例题解析。
三、教学重点与难点1. 重点：参数方程与普通方程的概念、互化方法。
2. 难点：参数方程与普通方程互化过程中的计算。
四、教学方法1. 采用讲解、演示、练习、讨论相结合的方法。
2. 利用多媒体课件辅助教学，提高学生的学习兴趣。
3. 引导学生通过合作、探究、交流，提高解决问题的能力。
五、教学过程1. 引入新课：通过实例介绍参数方程与普通方程的概念，引导学生理解二者之间的关系。
2. 讲解与演示：讲解参数方程与普通方程的互化方法，并通过演示让学生直观地感受互化过程。
3. 练习与讨论：布置一些典型例题，让学生独立完成，进行讨论，分析解题思路和方法。
5. 布置作业：布置一些有关参数方程与普通方程互化的练习题，巩固所学知识。
六、教学评价1. 课后收集学生的练习成果，评价学生的掌握程度。
2. 在下一节课开始时，进行课堂测试，检验学生对参数方程与普通方程互化的掌握情况。
3. 关注学生在解决问题时的创新意识和运用能力，给予鼓励和指导。
七、课时安排本节课计划用2课时完成。
八、教学资源1. 多媒体课件。
2. 练习题及答案。
3. 课堂测试题及答案。
九、教学建议1. 在教学过程中，注意让学生多动手、动脑，提高学生的实践能力。
2. 针对不同学生的学习情况，给予个别辅导，提高学生的学习兴趣。
3. 课后积极与学生沟通，了解学生的学习需求，不断调整教学方法。
十、课后反思本节课结束后，教师应认真反思教学效果，针对学生的掌握情况，调整教学策略，以提高教学质量。
关注学生的学习兴趣和个性发展，为下一节课的教学做好准备。
六、教学目标1. 让学生掌握将参数方程转化为普通方程的基本步骤。
参数方程和普通方程的互化(学案)
参数方程和普通方程的互化班级： 姓名： 小组： 评价： 【学习目标】1．参数方程与普通方程的互化2．掌握化参数方程为普通方程的几种方法 3．培养严谨的数学思维品质 【学习重点】 等价变形 【学习难点】 等价变形 【课堂六环节】一、“导”------教师导入新课（3分钟）二、“思”------自主学习。
学生结合课本自主学习。
完成以下有关内容。
（13分钟） 阅读课本第24-26页，将你认为重要的部分勾画出来，然后合上课本，解答以下问题： 下列曲线的参数方程化为普通方程：例1、 代入法：先由x=f(t)或y=g(t)解出t(用x,y 表示)，在代入另一个方程从而消去参数 t ，注意等价变形 )(221R t ty tx ∈⎩⎨⎧-=+=例2、三角法：利用一些三角恒等式来消去参数，注意等价变形)20(sin 4cos 5πθθθ<≤⎩⎨⎧==y x例3平方作差法：先将x=f(t)或y=g(t)两边分别平方，然后相减，即可消去参数，注意等价变形)0(2112≠⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=t t t y tt x例4、线段型：通过观察，普通方程是一条直线，注意等价变形t y t t x (31⎪⎩⎪⎨⎧=+=为参数）例5、设x=2cos )20(πθθ<≤,将曲线的普通方程x 2+y 2-4y=0化为参数方程三、“议”------学生起立讨论。
小组集体商议以上学习的内容，每位小组成员根据自己的学习思考结果核对、复述、更正、补充以上的学习内容，还可以讨论与以上学习内容相关的拓展性知识。
（9分钟）四、“展”------学生激情展示。
小组代表或教师随机指定学生展示。
（8分钟） 五、“评”------教师点评，教师总结规律，点评共性问题，或拓展延伸。
（8分钟） 六、“检”------课堂检测。
（3分钟）1、把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线？（1）⎪⎩⎪⎨⎧-=+=ty t x 211（t 为参数） （2）⎩⎨⎧+=+=θθθ2sin 1cos sin y x （θ为参数）（3）⎩⎨⎧--=-=t y t x 4123（t 为参数） （4）⎩⎨⎧+==12cos cos θθy x （θ为参数）（5）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=t t y t t x 11（t 为参数） （6）⎩⎨⎧==θθsin 3cos 5y x （θ为参数）（7）⎪⎩⎪⎨⎧--=+=19122t y t x （8）)2,0(sin 452cos 12⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈⎩⎨⎧-=+=πθθθy x（9）)0(112222≠⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=t t t y t t x （10）θθ(cos 21⎩⎨⎧+==y x 为参数）2、根据所给条件，把曲线的普通方程化为参数方程（1）19422=+y x ，设θcos 3=x ，θ为参数 （2）012=---y x y ，设1-=t y ，t 为参数。
3参数方程和普通方程的互化
3参数方程和普通方程的互化参数方程和普通方程是数学中两种表示曲线的方式。
参数方程是由参数表示自变量和因变量之间的关系，而普通方程则直接由自变量和因变量之间的关系表示。
在这篇文章中，我们将详细讨论这两种表示方法，并介绍如何将一个方程转化为另一个方程。
首先，我们来讨论参数方程。
参数方程是一种将自变量和因变量表示为参数的函数形式。
其中，自变量和因变量通常用参数t表示。
例如，一个曲线的参数方程可以表示为x=f(t)，y=g(t)，其中f(t)和g(t)是关于t的函数。
通过改变t的值，我们可以得到曲线上的各个点的坐标。
参数方程的优点之一是可以很容易地描述一些复杂的曲线，如椭圆、双曲线和抛物线等。
通过适当选择参数和函数，可以方便地控制曲线的形状。
此外，参数方程还可以轻松地描述一些在直角坐标系中很难表示的曲线，如极坐标方程中的螺线。
然而，参数方程也存在一些局限性。
首先，由于参数方程是通过两个独立的函数表示的，所以我们必须同时处理这两个函数。
这在解析和计算上可能会变得复杂。
另外，通过参数方程来表示曲线时，很难直观地推断出曲线的形状和特征。
因此，在一些情况下，我们更倾向于使用普通方程来描述曲线。
普通方程是通过将自变量和因变量之间的关系直接表示为一个等式来描述曲线的方法。
普通方程通常是以自变量或因变量的形式表示的。
例如，曲线方程可以写成y=f(x)，其中f(x)是一个关于x的函数。
通过将不同的x值带入方程，我们可以得到对应的y值，从而得到曲线上的各个点的坐标。
普通方程的优点之一是它直观地展示了曲线的形状和特征。
我们可以通过观察等式中的参数和函数来推断曲线的表达式和性质。
此外，由于普通方程是单一的等式，所以在解析和计算上会比参数方程更简单。
然而，普通方程也有一些局限性。
首先，普通方程有时很难表示一些复杂的曲线，如椭圆和双曲线等。
即使可以表示，通常需要进行一定的代数运算才能得到与参数方程相等的表达式。
另外，普通方程在描述一些非线性和非常规曲线时可能会变得很麻烦。
第二讲 一 第三课时 参数方程和普通方程的互化(优秀经典课时作业及答案详解)
[课时作业] [A 组 基础巩固]1．参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t 2＋2，y ＝t 2－1(0≤t ≤5)的曲线为( )A ．线段B ．双曲线的一支C ．圆弧D ．射线解析：化为普通方程为x ＝3(y ＋1)＋2， 即x －3y －5＝0， 由于x ＝3t 2＋2∈[2,77]， 故曲线为线段．故选A. 答案：A2．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)表示的曲线是( )A ．直线B ．圆C ．线段D ．射线解析：x ＝cos 2θ∈[0,1]，y ＝sin 2θ∈[0,1]，∴x ＋y ＝1，(x ∈[0,1])为线段． 答案：C3．直线y ＝2x ＋1的参数方程是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t2y ＝2t 2＋1 B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t －1y ＝4t ＋1 C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －1y ＝2t －1 D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θy ＝2sin θ＋1 解析：由y ＝2x ＋1知x ，y 可取全体实数，故排除A 、D ，在B 、C 中消去参数t ，知C 正确．答案：C4．下列各组方程中，表示同一曲线的是( ) A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan θ，y ＝1tan θ⎝⎛⎭⎫θ为参数且θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2与xy ＝1 B.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)与⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sin θ，y ＝b sin θ(θ为参数且a ≠0)与y ＝b a xD.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(a ＞0，b ＞0，θ为参数且0≤θ＜π)与x 2a 2＋y 2b 2＝1解析：A 中前者x ＞0，y ＞0，后者x ，y ∈R ，xy ≠0；C 中前者x ∈[－|a |，|a |]，y ∈[－|b |，|b |]，后者无此要求；D 中若0≤θ＜2π，则二者相同．答案：B5．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ＋21－t ，y ＝2t －1＋2－t (t 为参数且t ∈R)代表的曲线是( ) A ．直线 B ．射线 C ．椭圆D ．双曲线解析：∵x ＝2t ＋21－t ＝2－t (22t ＋2)，y ＝2t －1＋2－t ＝2－t (22t －1＋1)＝12×2－t (22t ＋2)，∴y ＝12x ，且x ≥22，y ≥2，故方程表示的是一条射线． 答案：B6．方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t 2＋2，y ＝t 2－1(t 是参数)的普通方程是________，与x 轴交点的直角坐标是________．解析：由y ＝t 2－1，得t 2＝y ＋1， 代入x ＝3t 2＋2，可得x －3y －5＝0， 又x ＝3t 2＋2，所以x ≥2， 当y ＝0时，t 2＝1，x ＝3t 2＋2＝5， 所以与x 轴交点的坐标是(5,0)． 答案：x －3y －5＝0(x ≥2) (5,0)7．设y ＝tx (t 为参数)，则圆x 2＋y 2－4y ＝0的参数方程是________． 解析：把y ＝tx 代入x 2＋y 2－4y ＝0， 得x ＝4t 1＋t 2，y ＝4t 21＋t 2，所以参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t1＋t 2，y ＝4t21＋t2(t 为参数)．答案：⎩⎨⎧x ＝4t 1＋t 2，y ＝4t21＋t2(t 为参数)8．将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，转化为普通方程是________________，该曲线上的点与定点A (－1，－1)的距离的最小值为________．解析：易得直角坐标方程是(x －1)2＋y 2＝1，所求距离的最小值应为圆心到点A 的距离减去半径，易求得为5－1.答案：(x －1)2＋y 2＝15－19．化普通方程x 2＋y 2－2x ＝0为参数方程．解析：曲线过(0,0)点，可选择(0,0)为定点，可设过这个定点的直线为y ＝kx ，选择直线的斜率k 为参数，不同的k 值，对应着不同的点(异于原点)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2x ＝0，y ＝kx ，故(1＋k 2)x 2－2x ＝0，得x ＝0或x ＝21＋k 2. 将x ＝21＋k 2代入y ＝kx 中，得y ＝2k 1＋k 2. 所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝21＋k 2，y ＝2k1＋k2(k 为参数)是原曲线的参数方程．10．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ(sin θ＋cos θ)，y ＝sin θ(sin θ＋cos θ)(θ为参数)表示什么曲线？解析：显然y x ＝tan θ，则y 2x 2＋1＝1cos 2θ，cos 2θ＝1y2x 2＋1，x ＝cos 2θ＋sin θcos θ＝12sin 2θ＋cos 2θ＝12×2tan θ1＋tan 2θ＋cos 2θ，即x ＝12×2y x 1＋y 2x 2＋11＋y 2x2， x ⎝⎛⎭⎫1＋y 2x 2＝y x ＋1，得x ＋y 2x ＝x ＋y x，即x 2＋y 2－x －y ＝0.该参数方程表示圆．[B 组 能力提升]1．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t 21＋t 2，y ＝5－t21＋t2(t 为参数)表示的图形为( )A ．直线B ．圆C ．线段(但不包括右端点)D ．椭圆解析：从x ＝3t 21＋t 2中解得t 2＝x 3－x ，代入y ＝5－t 21＋t 2中，整理得到2x ＋y －5＝0.但由t 2＝x 3－x ≥0解得0≤x <3.所以化为普通方程为2x ＋y －5＝0(0≤x <3)，表示一条线段，但不包括右端点．答案：C2．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12cos 2t ＋sin 2t ，y ＝cos t ＋sin t (t 为参数)表示的曲线( )A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．关于直线y ＝x 对称解析：方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12cos 2t ＋sin 2t ，y ＝cos t ＋sin t⇒⎩⎨⎧x ＝12(1－2sin 2t )＋sin 2t ＝12，y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫t ＋π4⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，－2≤y ≤ 2，它表示以点⎝⎛⎭⎫12，－2和点⎝⎛⎭⎫12，2为端点的线段，故关于x 轴对称． 答案：A3．已知两曲线参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝sin θ(0≤θ＜π)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝54t 2，y ＝t(t ∈R)，它们的交点坐标为________．解析：将两曲线的参数方程化为一般方程分别为x 25＋y 2＝1(0≤y ≤1，－5＜x ≤ 5)和y 2＝45x ，联立解得交点坐标为⎝⎛⎭⎫1，255.答案：⎝⎛⎭⎫1，2554．若直线l 1：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1－2t ，y ＝2＋kt (t 为参数)与直线l 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝s ，y ＝1－2s (s 为参数)垂直，则k ＝________. 解析：直线l 1化为普通方程是y －2＝－k 2(x －1)，该直线的斜率为－k2.直线l 2化为普通方程是y ＝－2x ＋1，该直线的斜率为－2， 则由两直线垂直的充要条件，得⎝⎛⎭⎫－k 2·(－2)＝－1，即k ＝－1. 答案：－15．已知方程y 2－6y sin θ－2x －9cos 2 θ＋8cos θ＋9＝0(0≤θ＜2π)． (1)试证：不论θ如何变化，方程都表示顶点在同一椭圆上的抛物线； (2)θ为何值时，该抛物线在直线x ＝14上截得的弦最长，并求出此弦长．解析：(1)证明：方程y 2－6y sin θ－2x －9cos 2θ＋8cos θ＋9＝0可配方为(y －3sin θ)2＝2(x －4cos θ)，∴图象为抛物线．设其顶点为(x ，y )，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝3sin θ，消去θ，得顶点轨迹是椭圆x 216＋y 29＝1.∴不论θ如何变化，方程都表示顶点在同一椭圆x 216＋y 29＝1上的抛物线．(2)联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝14，y 2－6y sin θ－2x －9cos 2θ＋8cos θ＋9＝0，消去x ，得y 2－6y sin θ＋9sin 2θ＋8cos θ－28＝0， 弦长|AB |＝|y 1－y 2|＝47－2cos θ ，当cos θ＝－1即θ＝π时，弦长最长为12.6.水库排放的水流从溢流坝下泄时，通常采用挑流的方法减弱水流的冲击作用，以保护水坝的坝基．如图是运用鼻坝进行挑流的示意图．已知水库的水位与鼻坝的落差为9 m ，鼻坝的鼻坎角为30°，鼻坝下游的基底比鼻坝低18 m ．求挑出水流的轨迹方程，并计算挑出的水流与坝基的水平距离．解析：建立如图所示的直角坐标系． 设轨迹上任意一点为P (x ，y )． 由机械能守恒定律，得12m v 2＝mgh .鼻坝出口处的水流速度为v ＝2gh ＝18g . 取时间t 为参数，则有x ＝v t cos 30°＝36g2t ， y ＝v t sin 30°－12gt 2＝32g 2t －12gt 2，所以，挑出水流的轨迹的参数方程为⎩⎨⎧x ＝36g 2t ，y ＝32g 2t －12gt2(t 为参数)，消去参数t ，得y ＝－127x 2＋33x .取y ＝－18，得－127x 2＋33x ＝－18，解得x ＝93＋2732＝183或x ＝93－2732＝－93(舍去)．挑出的水流与坝基的水平距离为 x ＝183≈31.2(m)． 挑出水流的轨迹方程为y ＝－127x 2＋33x ，x ∈[0,18 3 ]．。
2019年数学人教A版选修4-4优化课件：第二讲 一 第三课时 参数方程和普通方程的互化 含答案
x＋ y＝ a，设 x＝acos2φ，φ 为参数．
解析：把 x＝acos2φ 代入普通方程 x＋ y＝ a，得
a|cos φ|＋ y＝ a，
所以 y＝ a(1－|cos φ|)，
所以 y＝a(1－|cos φ|)2，所以普通方程
x＋ y＝ a化为参数方程为
x＝acos2φ， y＝a1－|cos φ|2
(2)如果知道变数 x，y 中的一个与参数 t 的关系，例如 x＝f(t) ，把它代入普通方 程，求出另一个变数与参数的关系 y＝g(t)，那么xy＝＝gftt 就是曲线的参数方程．在 参数方程与普通方程的互化中，必须使 x，y 的 取值范围 保持一致．
[双基自测]
1．将参数方程xy＝＝s2i＋n2θsin2θ， (θ 为参数)化为普通方程为(
为(－4,3)，半径为 1 的圆. ……………………………………………………………2 分
由
C2：xy＝＝38scions
θ， θ
(θ 为参数)，
cos 则
sin
θ＝x8， θ＝3y，
由 cos2θ＋sin2θ＝1 得6x42＋y92＝1，即为曲线 C2 的普通方程．C2 表示
的是中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，长半轴长为 8，短半轴长为 3 的椭圆.…5 分
参数方程化为普通方程需注意的事项 (1)参数方程化为普通方程后，x，y 的取值范围要保持绝对一致，否则就不等价， 如本例(2)中－3≤x≤5 与 y≤2 在普通方程中已经隐含着，可以不作标注，但是普 通方程中没有隐含－2≤y，因此这一条标注是必不可少的． (2)参数方程与普通方程是否等价，还可以研究图形而得出．本例(2)中的参数方程 表示的图形是直线 y＝－2 上方的半圆，因此求出的普通方程(x－1)2＋(y＋2)2＝16， 必须要标注 y≥－2.
高中数学_参数方程与普通方程的互化教学设计学情分析教材分析课后反思
2.3参数方程和普通方程的互化一、教学目标(一)知识目标了解参数方程与普通方程之间的联系与区别，掌握它们之间的互化法则．(二)能力目标掌握消去参数的基本方法，能熟练地将常见参数方程化为普通方程并正确解决其等价性问题(即x、y的范围)．(三)情感目标方法论在研究和解决问题中的作用．培养学生观察、猜想和灵活地进行公式的恒等变形的能力．即在“互化”训练中，提高学生解决数学问题的转化能力．二、教学重点难点：1．教学重点：参数方程与普通方程的互化法则，常见问题的消参方法．2．教学难点：整体元消参的方法，参数方程与普通方程的等价性(即x、y的范围)．三、教学方法：引导启发式四、教学手段：多媒体辅助教学五．教学过程（一）．思考探究（引入）：下面的方程各表示什么样的曲线？149)3(3)2(012)1(222=+==++y x x y y x为参数）t t y t x (21)4(⎪⎩⎪⎨⎧-==【设计意图：前3个小题学生一下就可以看出来，第4个是一个参数方程，不能直观得到其所表示的曲线，通过与普通方程的类比，引出本节课参数方程与普通方程的互化主题。
】（二）探究（一）参数方程转化为普通方程例1、将下面参数方程化为普通方程,并说明是什么样的曲线？ 为参数）t t y t x (21⎪⎩⎪⎨⎧-==问题1.1、如何消去参数？1. 代入消元法：利用解方程的技巧求出参数t,然后代入消去参数2. 加减消元法步骤归纳：(1).求x(y)的范围(2).消参数(3).结论，曲线形状问题1.2：在参数方程与普通方程互化中，要注意哪些方面？注：在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致。
否则，互化就是不等价的.跟踪训练：将下列参数方程化为普通方程为参数）t t y t x (121⎪⎩⎪⎨⎧+==例2、把下列参数方程化为普通方程，并说明表示什么曲线？)(2sin 1cos sin 为参数θθθθ+=+=⎩⎨⎧y x3.三角法：利用三角恒等式消去参数跟踪训练：把下列参数方程化为普通方程，并说明表示什么曲线？为参数）θθθ(12cos cos ⎩⎨⎧+==y x合作探究：将参数方程化为普通方程为参数）t t t y t t x (11⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=4.整体消元法：根据参数方程本身的结构特征,从整体上消去。
高中数学第二讲参数方程一曲线的参数方程3参数方程和普通方程的互化学案含解析新人教A版选修4_4
高中数学第二讲参数方程一曲线的参数方程3参数方程和普通方程的互化学案含解析新人教A版选修4_4参数方程和普通方程的互化(1)将曲线的参数方程化为普通方程，有利于识别曲线类型．曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程．(2)在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致．(1)＋＝1，x＝cos θ＋1.(θ为参数)(2)x2－y＋x－1＝0，x＝t＋1.(t为参数)(1)将x＝cos θ＋1代入＋＝1，得y＝2＋sin θ.∴(θ为参数)．这就是所求的参数方程．(2)将x＝t＋1代入x2－y＋x－1＝0，得y＝x2＋x－1＝(t＋1)2＋t＋1－1＝t2＋3t＋1，∴(t为参数)．这就是所求的参数方程．普通方程化为参数方程时，①选取参数后，要特别注意参数的取值范围，它将决定参数方程是否与普通方程等价．②参数的选取不同，得到的参数方程是不同的．如本例(2)，若令x＝tan θ(θ为参数)，则参数方程为(θ为参数)．1．求xy＝1满足下列条件的参数方程：(1)x＝t(t≠0)；(2)x＝tan θ.解：(1)将x ＝t 代入xy ＝1，得ty ＝1，∵t ≠0，∴y ＝，∴(t 为参数，t ≠0)．(2)将x ＝tan θ代入xy ＝1，得y ＝.∴.(1)(t 为参数)(2)(θ为参数)．(1)可采用代入法，由x ＝解出t 代入y 表达式．(2)采用三角恒等变换求解．(1)由x ＝，得t ＝.代入y ＝化简，得y ＝(x≠1)． (2)由得⎩⎪⎨⎪⎧ cos θ＝x 5， ①sin θ＝y ＋14. ②①2＋②2, 得＋＝1. 消去参数的方法一般有三种(1)利用解方程的技巧求出参数的表示式，然后代入消去参数；(2)利用三角恒等式消去参数；(3)根据参数方程本身的结构特征，选用一些灵活的方法从整体上消去参数．将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x 和y 取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f(t)和g(t)的值域，即x 和y 的取值范围．2．方程(t 为参数)表示的曲线是( )A ．一条直线B ．两条射线C ．一条线段D ．抛。
高中数学第2讲参数方程1.2参数方程和普通方程的互化学案新人教A版选修4_4
第2课时 参数方程和普通方程的互化1．了解参数方程化为普通方程的意义．2．理解参数方程与普通方程的互相转化与应用．(难点) 3．掌握参数方程化为普通方程的方法．(重点)[基础·初探]教材整理 参数方程和普通方程的互化 阅读教材P 24～P 26，完成下列问题．1．曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程．2．如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ft ，y ＝g t就是曲线的参数方程．在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致．1．将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋sin 2θy ＝sin 2θ(θ为参数)化为普通方程为( )A ．y ＝x －2B ．y ＝x ＋2C ．y ＝x －2(2≤x ≤3)D ．y ＝x ＋2(0≤y ≤1)【解析】 消去sin 2θ，得x ＝2＋y ， 又0≤sin 2θ≤1，∴2≤x ≤3. 【答案】 C2．圆x 2＋(y ＋1)2＝2的参数方程为( ) A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝1＋2sin θ(θ为参数)B.⎩⎨⎧x ＝2cos θy ＝1＋2sin θ(θ为参数)C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝－1＋2sin θ(θ为参数)D.⎩⎨⎧x ＝2cos θy ＝－1＋2sin θ(θ为参数)【解析】 由x ＝2cos θ，y ＋1＝2sin θ知参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝－1＋2sin θ(θ为参数)．故选D.【答案】 D[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：[小组合作型]曲线的普通方程为3＋5＝1，写出它的参数方程．【思路探究】 联想sin 2θ＋cos 2θ＝1可得参数方程． 【自主解答】 设x －13＝cos θ，y ＋25＝sin θ，则⎩⎨⎧x ＝1＋3cos θ，y ＝－2＋5sin θ(θ为参数)，即为所求的参数方程．1．将圆的普通方程化为参数方程： (1)圆x 2＋y 2＝r 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θy ＝r sin θ(θ为参数)；(2)圆(x －a )2＋(y －b )2＝r2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋r cos θy ＝b ＋r sin θ(θ为参数)．2．普通方程化为参数方程关键是引入参数(例如x ＝f (t )，再计算y ＝g (t ))，并且要保证等价性．若不可避免地破坏了同解变形，则一定要通过x ＝f (t )，y ＝g (t )调整t 的取值范围，使得在普通方程转化为参数方程的过程中，x ，y 的取值范围保持一致．[再练一题]1．设y ＝tx (t 为参数)，则圆x 2＋y 2－4y ＝0的参数方程是________． 【解析】 把y ＝tx 代入x 2＋y 2－4y ＝0得x ＝4t 1＋t 2，y ＝4t21＋t2，∴参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4t1＋t 2，y ＝4t21＋t2(t 为参数)．【答案】 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t 1＋ty ＝4t21＋t2(t 为参数)已知x (1)3x ＋4y 的最大值和最小值；(2)(x －3)2＋(y ＋3)2的最大值和最小值.【导学号：91060018】【思路探究】 设圆的参数方程，将问题转化为求三角函数的最大值和最小值问题来解决．【自主解答】 由圆的普通方程x 2＋(y －1)2＝1得圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝1＋sin θ(θ∈[0,2π))．(1)3x ＋4y ＝3cos θ＋4sin θ＋4 ＝4＋5sin(θ＋φ)，其中tan φ＝34，且φ的终边过点(4,3)．∵－5≤5sin(θ＋φ)≤5，∴－1≤4＋5sin(θ＋φ)≤9， ∴3x ＋4y 的最大值为9，最小值为－1. (2)(x －3)2＋(y ＋3)2＝(cos θ－3)2＋(sin θ＋4)2＝26＋8sin θ－6cos θ ＝26＋10sin(θ＋φ)． 其中tan φ＝－34，且φ的终边过点(4，－3)． ∵－10≤10sin(θ＋φ)≤10， ∴16≤26＋10sin(θ＋φ)≤36，所以(x －3)2＋(y ＋3)2的最大值为36，最小值为16.1．参数思想是解决数学问题的重要思想，在参数方程中，参数(参变量)起着媒介作用，它是联系曲线上任意一点的横坐标与纵坐标的桥梁．通过参数θ，间接建立曲线上任意一点的坐标间的联系，拓宽了解题思路，简化了思维过程．它是研究解析几何问题的重要工具．2．运用参数思想解题的关键在于参数的选择．选择参数时，应注意所选择的参数易于与两个坐标产生联系．由于三角函数的巨大作用，常选择角为参数，若轨迹与运动有关，常选择时间为参数．3．(1)解决与圆有关的最大值和最小值问题，常常设圆的参数方程，然后转化为求三角函数的最大值和最小值问题．(2)注意运用三角恒等式求最值：a sin θ＋b cos θ＝a 2＋b 2sin(θ＋φ)．其中tan φ＝b a(a ≠0)，且φ的终边过点(a ，b )．[再练一题]2．若本例条件不变，如何求y ＋2x ＋1的取值范围？ 【解】 由于⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝1＋sin θ(θ∈[0,2π))，∴k ＝y ＋2x ＋1＝3＋sin θ1＋cos θ， ∴sin θ－k cos θ＝k －3，即1＋k 2sin(θ＋φ)＝k －3(φ由tan φ＝－k 确定)， ∴sin(θ＋φ)＝k －31＋k2. 依题意，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪k －31＋k 2≤1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫k －31＋k 22≤1，解得k ≥43， 即y ＋2x ＋1的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞. [探究共研型]探究1 【提示】 参数方程直接判断点的轨迹的曲线类型并不容易，如果将参数方程转化为熟悉的普通方程，就容易判断了．探究2 将参数方程化为普通方程时，常用的方法有哪些？【提示】 (1)代入法．先由一个方程中求出参数的表达式(用直角坐标变量表示)，再代入另一个方程．教科书例3(1)用的就是代入法．(2)利用代数或三角函数中的恒等式消去参数．教科书例3(2)就用此法．例如对于参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t cos θ，y ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1t sin θ.如果t 是常数，θ是参数，那么可以利用公式sin 2θ＋cos 2θ＝1；如果θ是常数，t 是参数，那么适当变形后可以利用(m ＋n )2－(m －n )2＝4mn .在方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋t cos θ，y ＝b ＋t sin θ(a ，b 为正常数)中，(1)当t 为参数，θ为常数时，方程表示何种曲线？ (2)当t 为常数，θ为参数时，方程表示何种曲线？【思路探究】 (1)运用加减消元法，消t ；(2)当t ＝0时，方程表示一个点，当t 为非零常数时，利用平方关系消参数θ，化成普通方程，进而判定曲线形状．【自主解答】 方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋t cos θ， ①y ＝b ＋t sin θ， ②(a ，b 是正常数)，(1)①×sin θ－②×cos θ得x sin θ－y cos θ－a sin θ＋b cos θ＝0.∵cos θ、sin θ不同时为零，∴方程表示一条直线． (2)(ⅰ)当t 为非零常数时，原方程组为⎩⎪⎨⎪⎧x －at＝cos θ， ③y －bt ＝sin θ. ④③2＋④2得x －a2t 2＋y －b 2t 2＝1，即(x －a )2＋(y －b )2＝t 2，它表示一个圆． (ⅱ)当t ＝0时，表示点(a ，b )．1．消去参数的常用方法：将参数方程化为普通方程，关键是消去参数，如果参数方程是整式方程，常用的消元法有代入消元法、加减消元法．如果参数方程是分式方程，在运用代入消元或加减消元之前要做必要的变形．另外，熟悉一些常见的恒等式至关重要，如sin 2α＋cos 2α＝1，(e x ＋e －x )2－(e x－e －x )2＝4，⎝ ⎛⎭⎪⎫1－k 21＋k 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 1＋k 22＝1等．2．把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x 及y 的取值范围的影响．本题启示我们，形式相同的方程，由于选择参数的不同，可表示不同的曲线．[再练一题]3．将下列参数方程分别化为普通方程，并判断方程所表示曲线的形状：(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝2sin θ(θ为参数，0≤θ≤π)；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin 4θ＋cos 4θy ＝1－2sin 2θcos 2θ(θ为参数)；(3)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t y ＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1t (a ，b 为大于零的常数，t 为参数)．【解】 (1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝2sin θ两式平方相加，得x 2＋y 2＝4.∵0≤θ≤π，∴－2≤x ≤2,0≤y ≤2.即方程的曲线表示圆心为(0,0)，半径为2的圆的上半部分．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin 4θ＋cos 4θ，y ＝1－2sin 2θcos 2θ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2sin 2θcos 2θ，y ＝1－2sin 2θcos 2θ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－12sin 22θ，y ＝1－12sin 22θ，∴x －y ＝0. ∵0≤sin 22θ≤1， ∴12≤1－12sin 22θ≤1. 即方程x －y ＝0⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤x ≤1表示一条线段．(3)∵x ＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t ，∴t >0时，x ∈[a ，＋∞)，t <0时，x ∈(－∞，－a ]．由x ＝a 2⎝⎛⎭⎪⎫t ＋1t ，两边平方可得x 2＝a 24⎝⎛⎭⎪⎫t 2＋2＋1t 2，①由y ＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1t 两边平方可得y 2＝b 24⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2－2＋1t2， ②①×1a 2－②×1b 2并化简，得x 2a 2－y 2b2＝1(a ，b 为大于0的常数)，这就是所求的曲线方程，它表示的曲线是中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线．[构建·体系]参数方程与普通方程的互化—⎪⎪⎪—参数方程化为普通方程—普通方程化为参数方程—参数方程中的最值、范围问题1．把方程xy ＝1化为以t 为参数的参数方程是( ) A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 12y ＝t －12B.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝sin t y ＝1sin tC.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t ，y ＝1cos tD.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan t ，y ＝1tan t【答案】 D2．下列在曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin 2θy ＝cos θ＋sin θ(θ为参数)上的点是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，12C ．(2，3)D ．(1，3)【解析】 化为普通方程：y 2＝1＋x (－1≤x ≤1)， 当x ＝－34时，y ＝±12.【答案】 B 3．与参数方程⎩⎨⎧x ＝ty ＝21－t(t 为参数)等价的普通方程为( )A ．x 2＋y 24＝1 B ．x 2＋y 24＝1(0≤x ≤1)C ．x 2＋y 24＝1(0≤y ≤2)D ．x 2＋y 24＝1(0≤x ≤1,0≤y ≤2)【解析】 x 2＝t ，y 24＝1－t ＝1－x 2，x 2＋y 24＝1，而由⎩⎪⎨⎪⎧t ≥01－t ≥0得0≤t ≤1，从而0≤x ≤1,0≤y ≤2. 【答案】 D4．在极坐标系中，圆C 1的方程为ρ＝42cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面坐标系，圆C 2的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋a cos θy ＝－1＋a sin θ(θ为参数)，若圆C 1与C 2相外切，则实数a ＝________.【导学号：91060019】【解析】 圆C 1的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4x ＋4y ，其标准方程为(x －2)2＋(y －2)2＝8，圆心为(2,2)，半径长为22，圆C 2的圆心坐标为(－1，－1)，半径长为|a |，由于圆C 1与圆C 2外切，则|C 1C 2|＝22＋|a |＝32⇒a ＝± 2.【答案】 ± 25．化下列参数方程为普通方程．(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t 1＋ty ＝2t1＋t(t ∈R 且t ≠－1)；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan θ＋1tan θy ＝1cos θ＋1sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ≠k π，k π＋π2，k ∈Z .【解】 (1)变形为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋21＋t，y ＝2－21＋t，∴x ≠－1，y ≠2，∴x ＋y ＝1(x ≠－1)．(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1sin θcos θ， ①y ＝sin θ＋cos θsin θ·cos θ， ②②式平方结合①得y 2＝x 2＋2x ，由x ＝tan θ＋1tan θ知|x |≥2，所以方程为(x ＋1)2－y 2＝1(|x |≥2)．我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2)学业分层测评(六) (建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝|sin θ|y ＝cos θ(θ为参数)的方程等价于( )A ．x ＝1－y 2B ．y ＝1－x 2C ．y ＝±1－x 2D ．x 2＋y 2＝1【解析】 由x ＝|sin θ|得0≤x ≤1；由y ＝cos θ得－1≤y ≤1.故选A. 【答案】 A2．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t 2＋2，y ＝t 2－1(0≤t ≤5)表示的曲线是( )A ．线段B ．双曲线的一支C ．圆弧D ．射线【解析】 消去t ，得x －3y －5＝0. ∵0≤t ≤5， ∴－1≤y ≤24.【答案】 A3．直线y ＝2x ＋1的参数方程是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2y ＝2t 2＋1B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t －1y ＝4t ＋1C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －1y ＝2t －1D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θy ＝2sin θ＋1【解析】 由y ＝2x ＋1知x ，y 可取全体实数，故排除A 、D ，在B 、C 中消去参数t ，知C 正确．【答案】 C4．若x ，y 满足x 2＋y 2＝1，则x ＋3y 的最大值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【解析】 由于圆x2＋y 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，则x ＋3y ＝3sin θ＋cos θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6，故x ＋3y 的最大值为2.故选B.【答案】 B5．能化为普通方程x 2＋y －1＝0的参数方程为( ) A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin t y ＝cos 2tB.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan φy ＝1－tan 2φC.⎩⎨⎧x ＝1－ty ＝tD.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θy ＝sin 2θ【解析】 对A ，可化为x 2＋y ＝1(y ∈[0,1])；对B ，可化为x 2＋y －1＝0；对C ，可化为x 2＋y －1＝0(x ≥0)；对D ，可化为y 2＝4x 2－4x 4(x ∈[－1,1])．【答案】 B 二、填空题6．已知曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝1＋5cos α，y ＝2＋5sin α(α为参数)，以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，并取相同的长度单位建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程是________.【导学号：91060020】【解析】 曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋5cos αy ＝2＋5sin α(α为参数)，它表示以点(1,2)为圆心，以5为半径的圆，则曲线C 的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5，化为一般方程即x 2＋y 2－2x －4y ＝0，化为极坐标方程得ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＝0，即ρ2＝2ρcos θ＋4ρsin θ，两边约去ρ得ρ＝2cos θ＋4sin θ.【答案】 ρ＝2cos θ＋4sin θ7．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcos θ＝4的直线与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝t3(t 为参数)相交于A ，B 两点，则|AB |＝________.【解析】 由ρcos θ＝4，知x ＝4.又⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t 2，y ＝t 3，∴x 3＝y 2(x ≥0)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，x 3＝y 2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－8，∴|AB |＝－2＋＋2＝16.【答案】 168．点(x ，y )是曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数，0≤θ＜2π)上任意一点，则yx的取值范围是________．【解析】 曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋cos θ，y ＝sin θ是以(－2,0)为圆心，1为半径的圆，即(x＋2)2＋y 2＝1.设yx＝k ，∴y ＝kx .当直线y ＝kx 与圆相切时，k 取得最小值与最大值， ∴|－2k |k 2＋1＝1，k 2＝13，∴y x的范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33. 【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33 三、解答题9．已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －1t，y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t ，(t 为参数，t >0)，求曲线C 的普通方程．【解】 由x ＝t －1t两边平方得x 2＝t ＋1t－2，又y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t ，则t ＋1t ＝y 3(y ≥6)． 代入x 2＝t ＋1t －2，得x 2＝y 3－2，∴3x 2－y ＋6＝0(y ≥6)．故曲线C 的普通方程为3x 2－y ＋6＝0(y ≥6)． 10．已知P (x ，y )是圆x 2＋y 2－2y ＝0上的动点． (1)求2x ＋y 的取值范围；(2)若x ＋y ＋c ≥0恒成立，求实数c 的取值范围． 【解】 方程x 2＋y 2－2y ＝0变形为x 2＋(y －1)2＝1，其参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝1＋sin θ(θ为参数)．(1)2x ＋y ＝2cos θ＋sin θ＋1＝5sin(θ＋φ)＋1其中φ由tan φ＝2确定， ∴1－5≤2x ＋y ≤1＋ 5.(2)若x ＋y ＋c ≥0恒成立，即c ≥－(cos θ＋sin θ＋1)对一切θ∈R 恒成立． ∵－(cos θ＋sin θ＋1)的最大值是2－1， ∴当且仅当c ≥2－1时，x ＋y ＋c ≥0恒成立．[能力提升]1．已知在平面直角坐标系xOy 中圆C 的参数方程为：⎩⎨⎧x ＝3＋3cos θ，y ＝1＋3sin θ(θ为参数)，以Ox 为极轴建立极坐标系，直线极坐标方程为：ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝0，则圆C 截直线所得弦长为( )A. 2 B ．2 2 C ．3 2D ．4 2【解析】 圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋3cos θy ＝1＋3sin θ的圆心为(3，1)，半径为3，直线普通方程为ρcos θcos π6－sin θsin π6＝32x －12y ＝0，即3x －y ＝0，圆心C (3，1)到直线3x －y ＝0的距离为d ＝|32－1|3＋1＝1，所以圆C 截直线所得弦长|AB |＝2r 2－d 2＝232－12＝4 2.【答案】 D2．已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C 的参数方程为________．【解析】 ρ＝2cos θ化为普通方程为x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1，则其参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝cos α，y ＝sin α(α为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α＋1，y ＝sin α(α为参数)．【答案】 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α＋1，y ＝sin α(α为参数)3．若点(x ，y )在圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋2cos θ，y ＝－4＋2sin θ(θ为参数)上，则x 2＋y 2的最小值是________．【解析】 法一：由题意可知，x 2＋y 2＝(3＋2cos θ)2＋(－4＋2sin θ)2＝29＋12cos θ－16sin θ＝29＋20cos(θ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫tan φ＝－34，当cos(θ＋φ)＝－1时最小，因此可得最小值为9.法二：将原式转化为普通方程(x －3)2＋(y ＋4)2＝4，它表示圆．令t ＝x 2＋y 2，则t 可看做圆上的点到点(0,0)的距离的平方，圆外一点与圆上点的最近距离为该点与圆心的距离减去半径，t min ＝(－2＋＋2－2)2＝9，所以x 2＋y 2的最小值为9.【答案】 94．在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 上两点M ，N 的极坐标分别为(2,0)，⎝⎛⎭⎪⎫233，π2，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝－3＋2sin θ(θ为参数)．(1)设P 为线段MN 的中点，求直线OP 的平面直角坐标方程； (2)判断直线l 与圆C 的位置关系．【解】 (1)由题意知，M ，N 的平面直角坐标分别为(2,0)，⎝⎛⎭⎪⎫0，233.又P 为线段MN的中点，从而点P 的平面直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，33，故直线OP 的平面直角坐标方程为y ＝33x . (2)因为直线l 上两点M ，N 的平面直角坐标分别为(2,0)，⎝⎛⎭⎪⎫0，233，所以直线l 的平面直角坐标方程为x ＋3y －2＝0. 又圆C 的圆心坐标为(2，－3)，半径为r ＝2，圆心到直线l 的距离d ＝|2－3－2|2＝32<r ，故直线l 与圆C 相交．。
《参数方程与普通方程互化(2)》教学案3
第二讲《参数方程与普通方程互化》教学案教学目的：知识目标：掌握参数方程化为普通方程几种基本方法；能力目标：选取适当的参数化普通方程为参数方程.教学重点：参数方程与普通方程的互化.教学难点：参数方程与普通方程的等价性.授课类型：新授课教学模式：启发、诱导发现教学.教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：将参数方程⎩⎨⎧=+=θθsin cos y x 3化成普通方程，并判断它的曲线类型. 二、讲解新课：1、参数方程化为普通方程的过程就是消参过程常见方法有三种：(1)代入法：利用解方程的技巧求出参数t ，然后代入消去参数；(2)三角法：利用三角恒等式消去参数；(3)整体消元法：根据参数方程本身的结构特征，从整体上消去.化参数方程为普通方程为0),(=y x F ：在消参过程中注意变量x 、y 取值范围的一致性，必须根据参数的取值范围，确定)(t f 和)(t g 值域得x 、y 的取值范围. 2、常见曲线的参数方程(1)圆222r y x =+参数方程⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x (θ为参数) (2)圆22020r y y x x =-+-)()(参数方程为：⎩⎨⎧+=+=θθsin cos r y y r x x 00 (θ为参数)(3)椭圆12222=+b y a x 参数方程 ⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x (θ为参数)(4)双曲线12222=-b y a x 参数方程 ⎩⎨⎧==θθtan sec b y a x (θ为参数)(5)抛物线Px y 22=参数方程⎩⎨⎧==Pt y Pt x 222(t 为参数)(6)过定点),(00y x P 倾斜角为α的直线的参数方程⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x (t 为参数) 典型例题1、 将下列参数方程化为普通方程(1)⎪⎩⎪⎨⎧+=-=2222t y t t x (2)⎩⎨⎧=+=θθθ2sin cos sin y x(3)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++=2221t t y t t x (4)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=221212t t y t x(5)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=)()(221312t t y t t x例2化下列曲线的参数方程为普通方程，并指出它是什么曲线.(1) ⎪⎩⎪⎨⎧-=-=ty tx 4321 (t 是参数)(2) ⎩⎨⎧==θθ22cos cos y x (θ是参数)(3) 222212121t ty t tx +-=-= (t 是参数)例3、已知圆O 半径为1，P 是圆上动点，Q (4，0)是x 轴上的定点，M 是PQ 的中点，当点P 绕O 作匀速圆周运动时，求点M 的轨迹的参数方程.三、巩固与练习1 方程⎪⎩⎪⎨⎧=+=21y t t x 表示的曲线 ( )A 、一条直线B 、两条射线C 、一条线段D 、抛物线的一部分(2)下列方程中，当方程x y =2表示同一曲线的点 ( ) A 、⎩⎨⎧==2t y t x B 、⎪⎩⎪⎨⎧==t y t x sin sin 2 C 、⎪⎩⎪⎨⎧=+=t y x 11 D 、⎪⎩⎪⎨⎧=+-=t y t t xos x tan cos 2121 2．P 是双曲线⎩⎨⎧==θθtan sin 34y x (t 是参数)上任一点，1F ，2F 是该焦点：求△F 1F 2的重心G 的轨迹的普通方程.3．已知),(y x P 为圆41122=-+-)()(y x 上任意一点，求y x +的最大值和最小值.四、小结：本节课学习了以下内容：参数方程与普通方程的互化.五、课后作业：。
高中数学第2讲参数方程第3课时参数方程和普通方程的互化课后提能训练含解析新人教A版选修4_
第二讲第3课时A．基础巩固1．（2017年钦州期末）若直线的参数方程为错误!（t为参数),则直线的斜率为(）A．错误!B．－错误!C．2 D．－2【答案】D【解析】∵直线的参数方程为错误!（t为参数），消去参数化为普通方程可得y＝－2x＋4。
故直线的斜率等于－2.故选D．2．(2017年资阳期末)曲线C的参数方程为错误!（θ是参数），则曲线C的形状是(）A．线段B．直线C．射线D．圆【答案】A【解析】∵曲线C的参数方程为错误!(θ是参数），∴x＝2＋y,即x－y－2＝0，且0≤y≤1,2≤x≤3.∴曲线C的形状是线段．故选A．3．(2017年钦州期末）曲线y＝x2的参数方程是（）A．错误!（t为参数）B．错误!(t为参数）C．错误!（t为参数）D．错误!(t为参数）【答案】C【解析】A，B，D中x的范围都有限定，只有C中x∈R，与原方程中范围等价．4．已知直线错误!（t为参数)与曲线M：ρ＝2cos θ交于P，Q两点，则|PQ|＝（) A．1B．错误!C．2D．2错误!【答案】C【解析】直线错误!(t为参数)即为直线x－y－1＝0.由x＝ρcos θ，x2＋y2＝ρ2，曲线M：ρ＝2cos θ,可化为x2＋y2－2x＝0，即圆心为(1,0）,半径为1，由圆心在直线上，则｜PQ|＝2r＝2。
故选C．5．若P（2，－1）为曲线错误!（θ为参数）的弦的中点，则该弦所在直线的普通方程为__________．【答案】x－y－3＝0【解析】曲线错误!（θ为参数）是圆心为C(1，0）的圆,k CP＝错误!＝－1,则弦所在直线的斜率为1，方程为y＋1＝x－2,即x－y－3＝0。
6．在平面直角坐标系xOy中,直线错误!(t为参数）与圆错误!（θ为参数）相切，切点在第一象限，则实数a的值为________．【答案】错误!＋1【解析】圆的普通方程为（x－1）2＋y2＝1，直线的普通方程为x＋y＝a,由直线与圆相切,则圆心C（1,0）到直线的距离d＝r，即错误!＝1，解得a＝±错误!＋1.∵切点在第一象限，∴a ＝错误!＋1。
人教A版选修4-4第二讲一3.参数方程与普通方程的互化教案设计
参数方程和一般方程的互化教课目的1．理解参数方程和消去参数后所得的一般方程是等价的．2．基本掌握消去参数的方法．3．培育学生察看、猜想和灵巧地进行公式的恒等变形的能力．即在“互化”训练中，提升学生解决数学识题的转变能力．教课要点与难点使学生掌握参数方程与一般方程之间的互化法例，明确新旧知识之间的联系，掌握消去参数的基本方法．教课过程师：前面的课程里，我们学习了参数方程，下边请看这样一个问题： ( 放投电影 )由圆外一点 Q(a，b) 向圆 x2+y2 =r 2作割线，交圆周于 A、B 两点，求 AB中点P 的轨迹的参数方程 ( 如图 3-5) ．剖析割线过点 Q(a，b) ，故割线 PQ方程为：此斜率 k 可作为参数． ( 投影 )解设过点 Q的直线方程是 y-b=k(x-a)，则圆心O与AB中点P的即为所求点 P 的轨迹的参数方程．师：你能依据点 P 的参数方程说出点P 的轨迹吗？生： ( 无话可说 ) 看不出来．( 启迪学生猜想，培育参加意识．)师：你经过题目中点P 切合的条件，多画几个点，猜想一下它的形状．( 学生在纸上画，议论． )生：点 P 的轨迹 (1) 过坐标原点，也就是已知圆的圆心．(2) 轨迹不是直线．师：参数方法是研究曲线和方程的又一种方法，是一种利用参数成立两个变量之间的间接联系的方法．也就是说，参数方程里的参数能够协调 x、y 的变化．鉴于这点理论，有时为了判断曲线的种类、研究曲线的几何性质，需要把参数方程化为一般方程．即想方法消去参数 k，把参数方程转变为我们熟知的一般方程，再去研究它的几何性质就简单了．把(3) 代入 (2) 得： x2-ax+y 2-by=0 ．(4)方程 (4) 证明了我们的猜想是正确的，详细地说：点 P 的轨迹是一个过圆心的圆弧 ( 在圆 x2 +y2=r 2的内部 ) ．师：以上案例说明，有时为了判断曲线的种类，研究曲线的几何性质，的确需要把参数方程化为我们认知的一般方程．这节课我们就来学习把参数方程化为一般方程的法例．例 1 炮弹从点 (0 ，0) 以初速度 v0向倾斜角为α的方向发射，问： (1) 在时辰t 的高度和水平距离怎样？ (2) 炮弹描述的 ( 弹道 ) 是一条什么样的曲线？( 学生经过物理知识，很简单解决这个问题．)解 (1) 设炮弹发射后的地点在点 M(x，y)( 如图 3-6) ，因为炮弹在 Ox 方向是以v0cosα为速度的匀速直线运动，在 Oy 方向是以 v0 sin α为初速度的竖直上抛运动，因此按匀速直线运动的公式知：炮弹在时辰 t 的水平距离是 x=v0cosα·t ，按竖直上抛运动的位移公式知：炮弹在时即弹道曲线的参数方程上看不出来，那么怎么办呢？生：消去参数 t ，转变成为一般方程后，便可看出曲线的形状了．故炮弹描述的曲线是一条抛物线． ( 含极点在内的一部分．因为二次项系数是负值，因此这是张口向下的抛物线，与实质问题相符合． )例 2把参数方程即 3x+5y-11=0 是所求的一般方程，它的轨迹是一条直线．师：这个同学理解了消参的基本方法——代入消参法．这正与解方程组中代入消元法相近似．他用学过的知识解决了新问题．你以为他的解题过程有问题吗？生：挺好的．我与他解的同样，没问题．师：同学们在解题时注意参数t 的取值范围了吗？生： t 为不等于 -1 的实数，即 t ≠-1 ．师：答案能否有何不当？生：没感觉哪儿不当，轨迹的确是一条直线．师：一般方程是相对于参数方程而言的，它反应了坐标变量 x 与 y 之间的直接关系，而参数方程是经过参数反应坐标变量 x 与 y 之间的间接关系．如能消去参数( 不是全部的参数方程都能化为一般方程 ) ，参数方程就转变为一般方程，因此一般方程和参数方程是同一曲线的两种不一样的表达形式．为此，在化参数方程为一般方程时，一定注意变数的范围不该扩大或减小，也就是对应曲线上的点不该增添也不该减小．这就要求参数方程和消去参数后的一般方程等价．请修正一下你的答案．(-3生： 3x+5y-11=0(x ≠ -3) ，4)) ．是所求的一般方程，它的轨迹是一条直线( 去掉点师：察看一下方程 (1) 、 (2) 的形式与你学过的知识中哪个式子近似？( 供给类比，用以理解直线的参数方程形式不仅一种，它与选定的参数有关．) 至此，想必学生悟到t 的几何意义：动点P 分 P1P2所成的比，即 t=解过点 (2 ，1) ，(-3 ，4) 的直线方程是：化简，得 3x+5y-11=0 ．师：这个事实说明，据参数的几何意义，也能达到消参的目的．师：例 2 表示，直线的参数方程的形式不仅一种．那么对同一个参数方程来说，指定的参数不一样，会带来曲线的形状不一样吗？你试一试看． ( 激发学生探究问题的兴趣 )生：对同一个参数方程来讲，因为指定的参数不一样，会带来曲线形状的变化．例 4化以下参数方程为一般方程．( 让学生按小组议论求解，而后在投影仪上打出答案．)略解(1)(x+1) 2+y=sin 2θ +cos2θ，因此(x+1) 2+y=1，(0 ≤ y≤ 1) ．因此 x2-y 2=4．师：消去参数的方法常用的有哪些？转变过程中应注意什么？( 学生议论后教师板书 )消去参数的方法常用的有以下两种：(1)代入法：先求出参数的表达式，而后辈入另一个方程中去( 如例 1) ．(2)利用代数或三角函数中的恒等式消去参数． ( 如例 4)转变过程中应注意参数的范围不可以扩大也不可以减小．也就是对应曲线上的点，不该增添也不该减少，保证参数方程和消参后的一般方程等价．师：方程组中有 3 个变量，此中的 x 和 y 表示曲线上点的坐标；θ是参变量．参数方程之因此能描述出动点的轨迹，是因为当给出一个参数值时，就能独一地求出相应的 x 与 y 的值，因此也就确立了这时点所在的地点．因此问题可转变为议论当θ为何值时，点 P 到直线的距离最小问题．因为 tan θ、 cot θ同号，又|tan θ+2cot θ +2| ≥|tan θ+2cot θ |-|2|，从例 5 的结论知道，参数θ不是问题的主要对象，却能牵动主要对象的根天性质．这个问题的解决再一次说明：参数方程能明确地揭露点的运动规律，对解决某些问题有不行代替的优胜性．师：这节课我们学习了参数方程化为一般方程的法例．第一经过问题的提出，我们知道有时为了判断曲线的种类，研究曲线的几何性质，需要把参数方程化为一般方程．又在将参数方程化为一般方程的过程中，掌握了消去参数的常用方法，而且理解了参数方程和消去参数后所得的一般方程为何要等价．家庭作业：一、把以下参数方程化为一般方程，并说明它们各表示什么曲线．二、对于 t 的方程 t 2+(2+i)t+4xy+(2x-y)i=0(x ，y∈R，i 是虚数单位 ) 有实根，求动点 P(x ，y) 的轨迹的一般方程．下边是作业题略解．一、 (1)(x-x 0) 2+(y-y 0) 2=t 2，0 0以(x ，y) 为圆心， |t| 为半径的圆．(2)y-y 0=tanθ(x-x 0)，过点(x 0，y0)，斜率是tanθ的直线．(3)2x+y-5=0(0 ≤ x＜ 3) ，缺一个端点的线段．(4)y 2-x 2=4(y ≥2) ，双曲线的上支．二、已知方程整理为：(t 2+2t+4xy)+i(2x-y+t)=0因为 x，y， t ∈ R，得 4x2+y2 +4x-2y=0 为所求．设计说明参数方程与一般方程的互化，应当是两课时，这是第一课时的内容：参数方程化为一般方程．对这一问题课本仅用3／2 页的篇幅介绍了互化的方法共3 个例题．纵观全章《参数方程、极坐标》也不过对参数方程进行了初步研究．而事实上，参数方程也是分析几何的重要内容之一，是持续学习数学知识的基础，在生产实践中也有宽泛的应用．我们知道，参数方程与带有参数的问题诚然不一样，可是学习参数方程对于娴熟参数的运用却很有帮助．更有一类问题，看来不是参数方程，而实质上是参数方程问题．这就是所求轨迹的方程，轨迹是双曲线．这解法有些令人无缘无故，实质上这是参数方程．原来我们应当先把对应直线的交点求出来：这就是所求轨迹的参数方程．为了求 x、y 的方程而消 t 的话，能够照这样进行：数学中的参数仿佛是一种开朗的元素，有它的时候能够添一些麻烦，但这麻烦却多数是风趣的现象．它能使一些问题化繁为简．故活用参数，问题，惯例解法是：这一问题也碰巧用参数，把它转变成求过动点 (cos θ，sin θ) 和定点 (1 ，2)直线的斜率取值范围问题．动点 P(cos θ， sin θ) 的轨迹是以坐标原点为圆心， 1 为半径的圆 ( 挖去 (1 ， 0) 点) ．如图 3-7 知：。
2019学年高中数学第二讲参数方程一第二课时参数方程和普通方程的互化学案新人教A版选修4_4
第2课时 参数方程和普通方程的互化学习目标 1.了解参数方程化为普通方程的意义.2.掌握参数方程化为普通方程的基本方法.3.能根据参数方程与普通方程的互化灵活解决问题．知识点 参数方程和普通方程的互化思考1 要判断一个点是否在曲线上，你觉得用参数方程方便还是用普通方程方便？ 答案 用普通方程比较方便．思考2 把参数方程化为普通方程的关键是什么？ 答案 关键是消参数．梳理 (1)曲线的普通方程和参数方程的互相转化①曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程；②如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )就是曲线的参数方程．(2)参数方程化为普通方程的三种常用方法①代入法：利用解方程的技巧求出参数t ，然后代入消去参数； ②三角函数法：利用三角恒等式消去参数；③整体消元法：根据参数方程本身的结构特征，从整体上消去．特别提醒：化参数方程为普通方程F (x ，y )＝0，在消参过程中注意变量x ，y 的取值范围，必须根据参数的取值范围，确定f (t )和g (t )的值域得x ，y 的取值范围.类型一 参数方程化为普通方程例1 将下列参数方程化为普通方程，并判断曲线的形状．(1)⎩⎨⎧x ＝t ＋1，y ＝1－2t(t 为参数)；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θ，y ＝4sin θ－1(θ为参数)；(3)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t1＋t，y ＝2t1＋t(t ≠－1，t 为参数)．解 (1)由x ＝t ＋1≥1，得t ＝x －1，代入y ＝1－2t ， 得y ＝－2x ＋3(x ≥1)，这是以(1,1)为端点的一条射线．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θ，y ＝4sin θ－1，得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝x5， ①sin θ＝y ＋14， ②①2＋②2，得x 225＋(y ＋1)216＝1，这是椭圆．(3)方法一 x ＋y ＝1－t 1＋t ＋2t 1＋t ＝1＋t1＋t ＝1，又x ＝1－t 1＋t ＝21＋t－1，故x ≠－1，y ＝2t 1＋t ＝2(1＋t )－21＋t ＝2－21＋t，故y ≠2， 所以所求的方程为x ＋y ＝1(x ≠－1，y ≠2)． 方程表示直线(去掉一点(－1,2))． 方法二 由x ＝1－t 1＋t ，所以x ＋xt ＝1－t ，所以(x ＋1)t ＝1－x ，即t ＝1－x1＋x，代入y 中得， y ＝2t 1＋t ＝2×1－x 1＋x 1＋1－x 1＋x ＝2(1－x )1＋x ＋1－x＝1－x ， 所以x ＋y ＝1(x ≠－1，y ≠2)． 方程表示直线(去掉一点(－1,2))． 反思与感悟 消去参数方程中参数的技巧(1)加减消参数法：如果参数方程中参数的符号相等或相反，常常利用两式相减或相加的方法消去参数．(2)代入消参数法：利用方程思想，解出参数的值，代入另一个方程消去参数的方法，称为代入消参法，这是非常重要的消参方法．(3)三角函数式消参数法：利用三角函数基本关系式sin 2θ＋cos 2θ＝1消去参数θ. 跟踪训练1 将下列参数方程化为普通方程：(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t ，y ＝t 2＋1t2(t 为参数)；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．解 (1)∵x ＝t ＋1t，∴x 2＝t 2＋1t2＋2，把y ＝t 2＋1t2代入得x 2＝y ＋2.又∵当t >0时，x ＝t ＋1t ≥2，当且仅当t ＝1时等号成立；当t <0时，x ＝t ＋1t≤－2，当且仅当t ＝－1时等号成立．∴x ≥2或x ≤－2， ∴普通方程为x 2＝y ＋2(x ≥2或x ≤－2)．(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋3cos θ，y ＝3sin θ可化为⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝3cos θ，y ＝3sin θ，两式平方相加得(x －2)2＋y 2＝9， 即普通方程为(x －2)2＋y 2＝9. 类型二 普通方程化为参数方程例2 已知圆C 的方程为x 2＋y 2－2x ＝0，根据下列条件，求圆C 的参数方程． (1)以过原点的直线的倾斜角θ为参数； (2)设x ＝2m ，m 为参数．解 (1)过原点且倾斜角为θ的直线方程为y ＝x tan θ，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2x ＝0，y ＝x tan θ消去y ，得x 2＋x 2tan 2θ－2x ＝0，解得x ＝0或x ＝21＋tan 2θ＝2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝2cos 2θ. 当x ＝0时，y ＝0，当x ＝2cos 2θ时，y ＝x tan θ＝2cos θ·sin θ＝sin2θ.又⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0适合参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos 2θ，y ＝sin2θ，∴所求圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos 2θ，y ＝sin2θ(θ为参数，0≤θ<π)．(2)把x ＝2m 代入圆C 的普通方程，得4m 2＋y 2－4m ＝0， 可得y 2＝4m －4m 2，即y ＝±2m －m 2，∴所求圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2m ，y ＝±2m －m 2(m 为参数)．反思与感悟 (1)普通方程化为参数方程时，选取参数后，要特别注意参数的取值范围，它将决定参数方程是否与普通方程等价．(2)参数的选取不同，得到的参数方程是不同的． 跟踪训练2 已知曲线的普通方程为4x 2＋y 2＝16. (1)若令y ＝4sin θ(θ为参数)，如何求曲线的参数方程？(2)若令y ＝t (t 为参数)，如何求曲线的参数方程？若令x ＝2t (t 为参数)，如何求曲线的参数方程？解 (1)把y ＝4sin θ代入方程，得到4x 2＋16sin 2θ＝16， 于是4x 2＝16－16sin 2θ＝16cos 2θ，∴x ＝±2cos θ(由θ的任意性可取x ＝2cos θ)． ∴4x 2＋y 2＝16的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)．(2)将y ＝t 代入普通方程4x 2＋y 2＝16，得4x 2＋t 2＝16， 则x 2＝16－t 24，∴x ＝±16－t 22.因此，椭圆4x 2＋y 2＝16的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝16－t 22，y ＝t和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－16－t 22，y ＝t(t 为参数)同理将x ＝2t 代入普通方程4x 2＋y 2＝16，得参数方程为⎩⎨⎧x ＝2t ，y ＝41－t 2和⎩⎨⎧x ＝2t ，y ＝－41－t 2(t 为参数)．类型三 参数方程与普通方程互化的应用例3 已知x ，y 满足圆C ：x 2＋(y －1)2＝1的方程，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝33t ，y ＝－t ＋5(t为参数)．(1)求3x ＋4y 的最大值和最小值；(2)若P (x ，y )是圆C 上的点，求P 到直线l 的最小距离，并求此时点P 的坐标．解 圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ＋1(θ为参数)，直线l 的普通方程为3x ＋y －5＝0.(1)3x ＋4y ＝3cos θ＋4sin θ＋4＝5sin(θ＋φ)＋4，tan φ＝34，∴3x ＋4y 的最大值为9，最小值为－1. (2)P 到直线l 的距离为d ＝|3cos θ＋sin θ－4|2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3－42，当θ＋π3＝π2，即θ＝π6时，d min ＝1，此时，x ＝cos π6＝32，y ＝sin π6＋1＝32，∴点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫32，32. 反思与感悟 (1)参普互化有利于问题的解决，根据需要，合理选择用参数方程还是普通方程． (2)解决与圆有关的最大值，最小值问题时，通常用圆的参数方程，将问题转化为求三角函数的最大值，最小值问题．跟踪训练3 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x －y ＋4＝0.以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ2－42ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＋6＝0.(1)求直线l 的极坐标方程，曲线C 的直角坐标方程；(2)若点P 是曲线C 上任意一点，P 点的直角坐标为(x ，y )，求x ＋2y 的最大值和最小值． 解 (1)直线l 的方程为x －y ＋4＝0， 因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以l 的极坐标方程为ρcos θ－ρsin θ＋4＝0. 又曲线C 的极坐标方程为ρ2－42ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＋6＝0，所以ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋6＝0， 因为ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 所以曲线C 的直角坐标方程为(x －2)2＋(y －2)2＝2. (2)由(1)知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2＋2sin θ(θ为参数)，所以x ＋2y ＝(2＋2cos θ)＋2(2＋2sin θ)＝6＋2(cos θ＋2sin θ)＝6＋10sin(θ＋φ)，tan φ＝12.当sin(θ＋φ)＝－1时，x ＋2y 有最小值6－10， 当sin(θ＋φ)＝1时，x ＋2y 有最大值6＋10.1．若点P 在曲线ρcos θ＋2ρsin θ＝3上，其中0≤θ≤π4，ρ>0，则点P 的轨迹是( )A ．直线x ＋2y ＝3B ．以(3,0)为端点的射线C ．圆(x －1)2＋y 2＝1D ．以(1,1)，(3,0)为端点的线段 答案 D2．将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋sin 2θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)化成普通方程为( ) A ．y ＝x －2B ．y ＝x ＋2C ．y ＝x －2(2≤x ≤3)D ．y ＝x ＋2(0≤y ≤1)答案 C解析 由x ＝2＋sin 2θ，得sin 2θ＝x －2，代入y ＝sin 2θ， ∴y ＝x －2.又sin 2θ＝x －2∈[0,1]，∴x ∈[2,3]． 3．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin2θ，y ＝sin θ＋cos θ(θ为参数)表示的曲线的普通方程是_____________________． 答案 y 2＝x ＋1(－1≤x ≤1) 4．将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t，y ＝t 2＋1t2(t 为参数)化成普通方程为____________________．答案 x 2－y ＝2(y ≥2)解析 由x ＝t ＋1t，得x 2＝t 2＋1t2＋2，又y ＝t 2＋1t 2，∴x 2＝y ＋2.∵t 2＋1t2≥2，∴y ≥2.5．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ＋4sin φ，y ＝4cos φ－3sin φ(φ为参数)表示的图形是________．答案 圆解析 x 2＋y 2＝(3cos φ＋4sin φ)2＋(4cos φ－3sin φ)2＝25，表示圆．1．参数方程和普通方程的互化参数方程化为普通方程，可通过代入消元法和三角恒等式消参法消去参数方程中的参数，通过曲线的普通方程来判断曲线的类型，研究曲线的性质．由普通方程化为参数方程要选定恰当的参数，寻求曲线上任一点M 的坐标(x ，y )和参数的关系，根据实际问题的要求，可以选择时间、角度、线段长度、直线的斜率、截距等作为参数． 2．同一问题参数的选择往往不是惟一的，适当地选择参数，可以简化解题的过程，降低计算量，提高准确率．3．参数方程与普通方程的等价性把参数方程化为普通方程后，很容易改变变量的取值范围，从而使得两种方程所表示的曲线不一致，因此我们要注意参数方程与普通方程的等价性．一、选择题1．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝|sin θ|，y ＝cos θ(θ为参数)的方程等价于( )A ．x ＝1－y 2B ．y ＝1－x 2C ．y ＝±1－x 2D ．x 2＋y 2＝1答案 A2．已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝－2－t (t 为参数)与圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ＋1，y ＝2sin θ(θ为参数)，则直线l 的倾斜角及圆心C 的直角坐标分别为( )A.π4，(1,0) B.π4，(－1,0) C.3π4，(1,0) D.3π4，(－1,0) 答案 C3．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋sin 2θ，y ＝－1＋cos2θ(θ为参数)化为普通方程是( )A ．2x －y ＋4＝0B ．2x ＋y －4＝0C ．2x －y ＋4＝0，x ∈[2,3]D ．2x ＋y －4＝0，x ∈[2,3] 答案 D解析 由条件可得cos2θ＝y ＋1＝1－2sin 2θ＝1－2(x －2)，化简可得2x ＋y －4＝0，x ∈[2,3]．4．过原点作倾斜角为θ的直线与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos αy ＝2sin α(α为参数)相切，则θ等于( )A.π6 B.5π6C.π6或5π6D.π3答案 C解析 直线为y ＝x tan θ，圆为(x －4)2＋y 2＝4，直线与圆相切时，易知tan θ＝±33，∴θ＝π6或5π6. 5．下列参数方程中，与普通方程y 2＝x 表示同一曲线的是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t 2(t 为参数)B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin 2t ，y ＝sin t (t 为参数)C.⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t(t 为参数)D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝t(t 为参数)答案 D解析 由参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝t 消去参数t ，可得y 2＝x .又参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝t 满足x ≥0，y ∈R ，故选D.二、填空题6．设y ＝tx (t 为参数)，则圆x 2＋y 2－4y ＝0的参数方程是____________________．答案 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t 1＋t 2，y ＝4t21＋t2(t 为参数)解析 把y ＝tx 代入x 2＋y 2－4y ＝0， 得x ＝4t1＋t2或x ＝0， 当x ＝0时，y ＝0，当x ＝4t 1＋t 2时，y ＝4t21＋t2，又⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0适合参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t1＋t 2，y ＝4t21＋t 2，∴参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t1＋t 2，y ＝4t21＋t2(t 为参数)．7．若曲线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－kk 2＋4，y ＝4k 2＋4(k 为参数)，则其普通方程为________________．答案 4x 2＋y 2－y ＝0(0<y ≤1) 解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－kk 2＋4，y ＝4k 2＋4(k 为参数)两式相除，得k ＝－4x y ，代入y ＝4k 2＋4，得4x 2＋y 2－y ＝0. 由于y ＝4k 2＋4∈(0,1]， 所以曲线的普通方程为4x 2＋y 2－y ＝0(0<y ≤1)．8．在平面直角坐标系中，倾斜角为π4的直角l 与曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)交于A ，B 两点，且|AB |＝2，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l 的极坐标方程是________________． 答案 ρ(cos θ－sin θ)＝1解析 设倾斜角为π4的直线l 的方程为y ＝x ＋b ，曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)的普通方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1，圆心C (2,1)到直线x －y ＋b ＝0的距离为d ＝|b ＋1|2，依题意，得|AB |＝2r 2－d 2＝2，即1－⎝⎛⎭⎪⎫|b ＋1|22＝1，解得b ＝－1，所以直线方程为x －y －1＝0，化为极坐标方程为ρcos θ－ρsin θ＝1， 即ρ(cos θ－sin θ)＝1为所求．9．过点M (2,1)作曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)的弦，使M 为弦的中点，则此弦所在直线的普通方程为________． 答案 2x ＋y －5＝0解析 由于曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ表示圆心在原点，半径为4的圆，所以过点M 的弦与线段OM 垂直，因为k OM ＝12，所以弦所在直线的斜率是－2，故所求直线方程为y －1＝－2(x －2)， 即2x ＋y －5＝0为所求．10．已知在平面直角坐标系xOy 中圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋3cos θ，y ＝1＋3sin θ(θ为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝0，则圆C 截直线所得弦长为________． 答案 4 2解析 圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋3cos θ，y ＝1＋3sin θ，圆心为(3，1)，半径为3，直线的普通方程为ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θcos π6－sin θsin π6＝32x －12y ＝0，即3x －y ＝0，圆心C (3，1)到直线3x －y ＝0的距离为d ＝|(3)2－1|3＋1＝1，所以圆C 截直线所得弦长|AB |＝2r 2－d 2＝232－12＝4 2. 三、解答题11．将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t ，y ＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1t (a ，b 为大于0的常数，t 为参数)化为普通方程，并判断曲线的形状． 解 因为x ＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t ， 所以t >0时，x ∈[a ，＋∞)，t <0时，x ∈(－∞，－a ]．由x ＝a 2⎝⎛⎭⎪⎫t ＋1t 两边平方，可得 x 2＝a 24⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2＋2＋1t 2，① 由y ＝b 2⎝⎛⎭⎪⎫t －1t 两边平方，可得 y 2＝b 24⎝⎛⎭⎪⎫t 2－2＋1t 2，② ①×1a 2－②×1b 2并化简，得x 2a 2－y 2b 2＝1(a ，b 为大于0的常数)． 所以普通方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)． 所以方程表示焦点在x 轴上的双曲线．12．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝r cos α，y ＝r sin α(α为参数，r 为常数，r >0)以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＋2＝0.若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且|AB |＝22，求r 的值．解 由2ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＋2＝0， 得ρcos θ－ρsin θ＋2＝0，即直线l 的方程为x －y ＋2＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos α，y ＝r sin α，得曲线C 的普通方程为x 2＋y 2＝r 2，圆心坐标为(0,0)， 所以，圆心到直线的距离d ＝2， 由|AB |＝2r 2－d 2＝22，得r ＝2.13．已知曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝－2＋10cos θ，y ＝10sin θ(θ为参数)，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2cos θ＋6sin θ.(1)将曲线C 1的参数方程化为普通方程，将曲线C 2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)曲线C 1，C 2是否相交？若相交，请求出公共弦的长；若不相交，请说明理由．解 (1)由⎩⎨⎧x ＝－2＋10cos θ，y ＝10sin θ(θ为参数)， 得(x ＋2)2＋y 2＝10， ∴曲线C 1的普通方程为(x ＋2)2＋y 2＝10.∵ρ＝2cos θ＋6sin θ，∴ρ2＝2ρcos θ＋6ρsin θ，∴x 2＋y 2＝2x ＋6y ，即(x －1)2＋(y －3)2＝10，∴曲线C 2的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －3)2＝10.(2)∵圆C 1的圆心为C 1(－2,0)，圆C 2的圆心为C 2(1,3)，∴|C 1C 2|＝(－2－1)2＋(0－3)2＝32<210，∴两圆相交．设公共弦的长为d ，∵两圆半径相等，∴公共弦平分线段C 1C 2， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫d 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3222＝(10)2，解得d ＝22， ∴公共弦长为22. 四、探究与拓展14．在极坐标系中，圆C 1的方程为ρ＝42cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1＋a cos θ，y ＝－1＋a sin θ(θ为参数)，若圆C 1与C 2相切，则实数a ＝________.答案 ±2或±5 2解析 圆C 1的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4x ＋4y ，其标准方程为(x －2)2＋(y －2)2＝8，圆心坐标为(2,2)，半径长为2 2.圆C 2的圆心坐标为(－1，－1)，半径长为|a |，由于圆C 1与圆C 2相切，则|C 1C 2|＝22＋|a |＝32或|C 1C 2|＝|a |－22＝32⇒a ＝±2或a ＝±5 2.15．在直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝35t ，y ＝1＋45t (t 为参数)．以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)若P (x ，y )在直线l 上，且在曲线C 内，求x －y 的取值范围；(3)若Q (x ，y )在曲线C 上，求Q 到直线l 的最大距离d max . 解 (1)因为ρ＝2sin θ，所以ρ2＝2ρsin θ，所以x 2＋y 2＝2y ，即x 2＋(y －1)2＝1，所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋(y －1)2＝1.(2)因为x －y ＝35t －⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋45t ＝－15t －1，又－1<t <1，所以－15<－15t <15，所以－65<－15t －1<－45，即x －y 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，－45.(3)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝1＋sin θ(θ为参数)， 直线l 的普通方程为4x －3y ＋3＝0，d ＝|4cos θ－3sin θ|5＝|sin(θ－φ)|，tan φ＝43，所以d max ＝1.。
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3．参数方程和普通方程的互化参数方程和普通方程的互化(1)将曲线的参数方程化为普通方程，有利于识别曲线类型．曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程．(2)在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致．(1)x －23＋y －25＝1，x ＝3cos θ＋1.(θ为参数)(2)x 2－y ＋x －1＝0，x ＝t ＋1.(t 为参数) (1)将x ＝3cos θ＋1代入x －23＋y －25＝1，得y ＝2＋5sin θ.∴⎩⎨⎧x ＝3cos θ＋1，y ＝5sin θ＋2(θ为参数)．这就是所求的参数方程．(2)将x ＝t ＋1代入x 2－y ＋x －1＝0，得y ＝x 2＋x －1＝(t ＋1)2＋t ＋1－1＝t 2＋3t ＋1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t 2＋3t ＋1(t 为参数)．这就是所求的参数方程．普通方程化为参数方程时，①选取参数后，要特别注意参数的取值范围，它将决定参数方程是否与普通方程等价．②参数的选取不同，得到的参数方程是不同的．如本例(2)，若令x ＝tan θ(θ为参数)，则参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan θ，y ＝tan 2θ＋tan θ－1(θ为参数)．1．求xy ＝1满足下列条件的参数方程：(1)x ＝t (t ≠0)；(2)x ＝tan θ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ≠k π2，k ∈Z .解：(1)将x ＝t 代入xy ＝1，得ty ＝1，∵t ≠0，∴y ＝1t，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝1t(t 为参数，t ≠0)．(2)将x ＝tan θ代入xy ＝1，得y ＝1tan θ.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan θ，y ＝1tan θ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ为参数，θ≠k π2，k ∈Z .(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t －1，y ＝2tt 3－1；(t 为参数)(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θ，y ＝4sin θ－1(θ为参数)．(1)可采用代入法，由x ＝t ＋1t －1解出t 代入y 表达式． (2)采用三角恒等变换求解． (1)由x ＝t ＋1t －1，得t ＝x ＋1x －1. 代入y ＝2tt 3－1化简， 得y ＝x ＋x －23x 2＋1(x ≠1)．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θ，y ＝4sin θ－1得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝x5， ①sin θ＝y ＋14. ②①2＋②2,得x 225＋y ＋216＝1.消去参数的方法一般有三种(1)利用解方程的技巧求出参数的表示式，然后代入消去参数； (2)利用三角恒等式消去参数；(3)根据参数方程本身的结构特征，选用一些灵活的方法从整体上消去参数．将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x 和y 取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f (t )和g (t )的值域，即x 和y 的取值范围．2．方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t ，y ＝2(t 为参数)表示的曲线是( )A ．一条直线B ．两条射线C ．一条线段D ．抛物线的一部分解析：选B t ＞0时，x ＝t ＋1t≥2.当t ＜0时，x ＝t ＋1t ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－t ＋1－t ≤－2. 即曲线方程为y ＝2(|x |≥2)，表示两条射线．3．(湖南高考)在平面直角坐标系中，曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋22t ，y ＝1＋22t (t 为参数)的普通方程为________．解析：由参数方程直接消去参数t ，得x －y ＝2－1， 即x －y －1＝0. 答案：x －y －1＝0课时跟踪检测(九)一、选择题1．将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋sin 2θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)化为普通方程为( )A ．y ＝x －2B ．y ＝x ＋2C ．y ＝x －2(2≤x ≤3) D．y ＝x ＋2(0≤y ≤1) 解析：选C 代入法，将方程化为y ＝x －2，但x ∈，y ∈，故选C.2．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)表示的曲线是( )A ．直线B ．圆C ．线段D ．射线 解析：选C x ＝cos 2θ∈，y ＝sin 2θ∈， ∴x ＋y ＝1，(x ∈)为线段．3．下列参数方程中，与方程y 2＝x 表示同一曲线的是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＝t2(t 为参数) B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin 2ty ＝sin t(t 为参数)C.⎩⎨⎧x ＝|t |y ＝t(t 为参数) D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－cos 2t 1＋cot 2ty ＝tan t(t 为参数)解析：选D A 中y 有限制y ＝t 2≥0；B 中sin 2t 和sin t 都表示在一定范围内；C 中化简不是方程y 2＝x ，而是x 2＝y 且有限制条件；代入化简可知选D.4．曲线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－1t ，y ＝1－t 2(t 是参数，t ≠0)，它的普通方程是( )A ．(x －1)2(y －1)＝1 B ．y ＝x x －－x2(x ≠1)C ．y ＝1－x2－1(x ≠1) D．y ＝x1－x2(x ≠±1)解析：选B 由x ＝1－1t ，得1t＝1－x ，由y ＝1－t 2，得t 2＝1－y .所以(1－x )2·(1－y )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 2·t 2＝1，进一步整理得到y ＝x x －－x2(x ≠1)．二、填空题5．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ，y ＝cos 2θ(θ为参数)所表示的曲线的普通方程为________．解析：由于cos 2θ＝1－2sin 2θ，故y ＝1－2x 2， 即y ＝－2x 2＋1(－1≤x ≤1)． 答案：y ＝－2x 2＋1(－1≤x ≤1)6．(湖南高考)在平面直角坐标系xOy 中，若直线l 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2s ＋1，y ＝s(s 为参数)和直线l 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝at ，y ＝2t －1(t为参数)平行，则常数a 的值为________．解析：由直线l 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2s ＋1，y ＝s (s 为参数)，消去参数s 得l 1的普通方程为x －2y －1＝0，由直线l 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝at ，y ＝2t －1(t 为参数)，消去参数t 得l 2的普通方程为ay －2x ＋a ＝0，因为l 1与l 2平行，所以斜率相等，即2a ＝12，1a ≠12，所以a ＝4.答案：47．已知直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝－33＋32t (t 为参数)和圆x 2＋y 2＝16交于A ，B 两点，则AB 的中点坐标为________．解析：直线的普通方程为y ＝3x －43， 代入圆的方程，得x 2－6x ＋8＝0， 设A ，B 两点的坐标为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝6， ∴x 1＋x 22＝3，∴y 1＋y 22＝33－43＝－ 3.∴A ，B 的中点坐标为(3，－3)． 答案：(3，－3) 三、解答题8．把参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4k 1－k 2，y ＝4k21－k2(k 为参数)化为普通方程，并说明它表示什么曲线．解：法一：若x ≠0，两式相除，得k ＝yx. 代入x ＝4k 1－k 2，整理，得x 2－y 2－4y ＝0(x ≠0)．若x ＝0，则k ＝0，可得y ＝0. 显然点(0,0)在曲线x 2－y 2－4y ＝0上． 又由y ＝4k 21－k 2＝－4－4k 2－1，可知y ≠－4. 则方程所表示的曲线是双曲线x 2－y 2－4y ＝0，去掉点(0，－4)． 法二：由y ＝－4－4k 2－1，知y ≠－4， 所以可解得k 2＝yy ＋4，代入x 2的表达式，得 x 2＝16·yy ＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－y y ＋42，整理，得x 2－y 2－4y ＝0(y ≠－4)．则方程所表示的曲线是双曲线x 2－y 2－4y ＝0，除去点(0，－4)．法三：∵x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 1－k 22，y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 21－k 22， 两式相减，并整理，得x 2－y 2＝k2－k 2－k22.∵1－k 2≠0，∴x 2－y 2＝k 21－k2＝4y ，即x 2－y 2－4y ＝0.∴方程表示双曲线x 2－y 2－4y ＝0，除去点(0，－4)．9．如图所示，经过圆x 2＋y 2＝4上任一点P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，求线段PQ 中点轨迹的普通方程． 解：圆x 2＋y 2＝4的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．在此圆上任取一点P (2cos θ，2sin θ)，PQ 的中点为M (2cos θ，sin θ)，PQ 中点轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)．化成普通方程为x 24＋y 2＝1.10．化下列参数方程为普通方程． (1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t 1＋t ，y ＝2t1＋t(t ∈R 且t ≠－1)；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan θ＋1tan θ，y ＝1cos θ＋1sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ≠k π，k π＋π2，k ∈Z . 解：(1)变形为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1＋21＋t，y ＝2－21＋t ，∴x ≠－1，y ≠2， ∴x ＋y ＝1(x ≠－1)． (2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1sin θcos θ，①y ＝sin θ＋cos θsin θcos θ，②②式平方结合①，得y 2＝x 2＋2x ， 由x ＝tan θ＋1tan θ知|x |≥2. ∴普通方程为(x ＋1)2－y 2＝1(|x |≥2)．。