北京东城区2011-2012学年第二学期高三综合练习(一)--数学文

北京市东城区
2011—2012学年度第二学期高三综合练习（一）
数学（文）试题
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一
项。

1．若a ，b ∈R ，i 是虚数单位，且(2)i 1i b a +-=+，则a b +的值为
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2．若集合},0{2m A =，}2,1{=B ，则“1=m ”是“}2,1,0{=B A ”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
3．若点(,)P x y 在不等式组,,2y x y x x ≤⎧⎪
≥-⎨⎪≤⎩
表示的平面区域内，则2z x y =+的最大值为
A ．0
B ．2
C ．4
D ．6
4．已知x ，y ，z ∈R ，若1-，x ，y ，z ，3-成等差数列，则x y z ++的值为
A ．2-
B ．4-
C ．6-
D ．8-
5．右图给出的是计算
100
1...81614121+
++++
的值的一个程序框图，
其中判断框内应填入的条件是 A ．50>i B ．25>i
C ．50<i
D ．25<i
6
．已知sin(45)10
α-=-
，且090<<
α，则cos α的值为
A ．513
B ．1213
C ．35
D ．
45
7．已知函数()()()f x x a x b =--(其中)a b >的图象如右图所示，则函数()x g x a b =+的 图象大致为
A ．
B ．
C ．
D ．
8．设集合1
[0,)2A =，1
[,1]2B =，函数1,,()2
2(1),
.
x x A f x x x B ⎧+∈⎪
=⎨⎪-∈⎩
若0x A ∈，且0
[()]f f x A ∈， 则0x 的取值范围是
A ．（4
1,
0] B ．（
21,41] C ．（2
1
,41） D ．[0，
8
3]
第Ⅱ卷（共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

9
10．命题“000(0,),tan sin 2
x x x π
∃∈>”的否定是 ．
11．在如图所示的茎叶图中，乙组数据的中位数是 ； 若从甲、乙两组数据中分别去掉一个最大数和一个最小数 后，两组数据的平均数中较大的一组是 组．
12．双曲线2
2
2x y -=的离心率为 ；若抛物线2
y ax =的焦点恰好为该双曲线的右焦点，则a 的
值为 ．
13．已知△ABC 中，AD BC ⊥于D ，2AD BD ==，1CD =，则AB AC ⋅
=___．
14．已知数列{}n a ，1a m =，m *∈N ，1
,2
1,2
n
n n n n a a a a a +⎧⎪⎪=⎨
+⎪⎪⎩为偶数,
为奇数.
若{}n a 中有且只有5个不同的
数字，则m 的不同取值共有 个．
三、解答题：本大题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

15．（本小题共13分） 已知函数22()(sin2cos2)2sin 2f x x x x =+-． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期；
（Ⅱ）若函数()y g x =的图象是由()y f x =的图象向右平移8
π个单位长度得到的，当
x ∈[0,
4
π]时，求()y g x =的最大值和最小值．
16．（本小题共13分） 某班同学利用寒假在5个居民小区内选择两个小区逐户进行一次“低碳生活习惯”的调查，以计算每户的碳月排放量．若月排放量符合低碳标准的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”．若小区内有至少%75的住户属于“低碳族”，则称这个小区为“低碳小区”，否则称为“非低碳小区” ．已知备选的5个居民小区中有三个非低碳小区，两个低碳小区． （Ⅰ）求所选的两个小区恰有一个为“非低碳小区”的概率；
（Ⅱ）假定选择的“非低碳小区”为小区A ，调查显示其“低碳族”的比例为
2
1，数据如图1所示，
经过同学们的大力宣传，三个月后，又进行了一次调查，数据如图2所示，问这时小区A 是否
达到“低碳小区”的标准？
（百千克/户
图2
（百千克/户
图1
如图1，在边长为3的正三角形ABC 中，E ，F ，P 分别为A B ，AC ，BC 上的点，且满足1AE FC CP ===．将△A E F 沿E F 折起到△1A EF 的位置，使平面1A EF ⊥平面E F B ，连结
1A B ，1A P ．（如图2） （Ⅰ）若Q 为1A B 中点，求证：P Q ∥平面1A EF ； （Ⅱ）求证：1A E ⊥E P ．
图 1 图2
18．（本小题共13分） 已知1=x 实数是函数()(2)e x
f x ax =-的一个极值点． （Ⅰ）求a 的值；
（Ⅱ）当1x ，[]20,2x ∈时，证明：12()()e f x f x -≤．
19．（本小题共13分） 已知椭圆222
2
:
1(0)x y C a b
a
b
+
=>>过点()0,1，且离心率为
2
．
（Ⅰ）求椭圆
C 的方程；
（Ⅱ）12,A A 为椭圆C 的左、右顶点，直线:l x =与x 轴交于点D ，点P 是椭圆C 上异于
12,A A 的动点，直线12,A P A P 分别交直线l 于,E F 两点．证明：DE DF ⋅恒为定值．
对于函数()f x ，若00()f x x =，则称0x 为()f x 的“不动点”；若[]00()f
f x x =
，
则称0x 为()f x 的“稳定点”．函数()f x 的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A 和B ,即{}()A x f x x ==, []{
}
()B x f
f x x ==
．
（Ⅰ）设函数()34f x x =+，求集合A 和B ； （Ⅱ）求证：A B ⊆；
（Ⅲ）设函数2()(0)f x ax bx c a =++≠，且A =∅，求证：B =∅．。