1.4.1 全称量词与存在量词
1.4.1全称量词与存在量词教学设计1
课题内容全称量词与存在量词1教学目标知识与技能：1.通过生活和数学中的丰富实例理解全称量词与存在量词的含义，熟悉常见的全称量词和存在量词．2.了解含有量词的全称命题和特称命题的含义，并能用数学符号表示含有量词的命题及判断其命题的真假性．过程与方法：使学生体会从具体到一般的认知过程，培养学生抽象、概括的能力．情感态度价值观：通过学生的举例，培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质，在练习过程中进行辩证唯物主义思想教育．重点分析：理解全称量词与存在量词的意义难点分析：全称命题和特称命题真假的判定.教学方法：激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神．教学过程学生探究过程：1．思考、分析下列语句是命题吗？假如是命题你能判断它的真假吗？（1）2x＋１是整数；(2) x＞３；(3) 如果两个三角形全等，那么它们的对应边相等；（4）平行于同一条直线的两条直线互相平行；（5）一中今年所有高二年级的学生数学课本都是采用人民教育出版社A版的教科书；（6）所有有中国国籍的人都是黄种人；（7）对所有的x∈Ｒ, x＞３；（8）对任意一个x∈Ｚ，2x＋１是整数。
2.推理、判断（让学生自己表述）（1）、（2）不能判断真假，不是命题。
（3）、(4)是命题且是真命题。
（5）－（8）如果是假，我们只要举出一个反例就行。
注：对于（5）－（8）最好是引导学生将反例用命题的形式写出来。
因为这些命题的反例涉及到“存在量词”“特称命题”“全称命题的否定”这些后续内容。
（5）的真假就看命题：一中今年存在个别（部分）高二学生数学课本不是采用人民教育出版社A版的教科书；这个命题为假，所以命题（5）为真；命题（6）是假命题．事实上，存在一个（个别、部分）有中国国籍的人不是黄种人．命题（7）是假命题．事实上，存在一个（个别、某些）实数（如x＝2）， x＜３．（至少有一个x ∈Ｒ, x ≤３）命题（8）是真命题。
课时作业22：1.4.1 全称量词~1.4.2 存在量词
§1.4全称量词与存在量词1．4.1全称量词1．4.2存在量词一、选择题1．下列说法正确的个数是()①命题“所有的四边形都是矩形”是特称命题；②命题“∀x∈R，x2＋2<0”是全称命题；③命题“∃x0∈R，x20＋4x0＋4≤0”是特称命题．A．0 B．1 C．2 D．3考点全称命题与特称命题的综合问题题点全称命题与特称命题的辨析答案 C解析只有②③正确．2．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是()A．锐角三角形的内角是锐角或钝角B．至少有一个实数x0，使x20≤0C．两个无理数的和必是无理数D．存在一个负数x0，使1x0>2考点特称命题的真假判断题点特称命题的真假判断答案 B3．已知命题p：∀x∈R,2x2－2x＋1≤0，命题q：∃x0∈R，sin x0＋cos x0＝2，则下列判断正确的是()①“p且q”是真命题；②“p 或q ”是真命题；③q 是假命题；④“非p ”是真命题．A ．①④B ．②③C ．③④D ．②④考点 含有一个量词的命题题点 含有一个量词的命题的真假判断答案 D解析 由题意知p 假q 真．故②④正确．4．已知命题“∃x 0∈R ，x 20＋ax 0－4a <0”是真命题，则实数a 的取值范围为() A ．a <－16或a >0 B ．a ≤－16或a ≥0C ．－16<a <0D ．－16≤a ≤0考点 特称命题题点 由命题的真假求参数范围答案 A解析 由题意知Δ＝a 2＋16a >0，即a <－16或a >0.5．下列命题是真命题的是( )A ．∀x ∈R ，x 3≥xB ．∃x 0∈R ，x 20＋1<2x 0C ．∀xy >0，x －y ≥2xyD ．∃x 0，y 0∈R ，sin(x 0＋y 0)＝sin x 0－sin y 0考点 含有一个量词的命题题点 含有一个量词的命题的真假判断答案 D6．若“∀x ∈⎣⎡⎦⎤π3，2π3，cos x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为( )A ．－12 B.12 C ．－32 D.32考点 全称命题的真假判断题点 恒成立求参数的范围答案 B7．下列全称命题中真命题的个数为( )①负数没有对数；②对任意的实数a，b，都有a2＋b2≥2ab；③二次函数f(x)＝x2－ax－1与x轴恒有交点；④∀x∈R，y∈R，都有x2＋|y|>0.A．1 B．2 C．3 D．4考点全称命题与特称命题的综合问题题点全称命题与特称命题的真假判断答案 C解析①②③为真命题；当x＝y＝0时，x2＋|y|＝0，④为假命题．8．命题“∀x∈[1,2]，x2－a≤0”是真命题的一个充分不必要条件是()A．a≥4 B．a≤4C．a≥5 D．a≤5考点全称命题题点由命题的真假求参数范围答案 C解析当该命题是真命题时，只需a≥(x2)max，x∈[1,2]．又y＝x2在[1,2]上的最大值是4，所以a≥4.因为a≥4⇏a≥5，a≥5⇒a≥4，故选C.二、填空题9．命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x)2>0”用“∃”写成特称命题为_____________．考点特称命题题点特称命题的符号书写答案∃x0<0，(1＋x0)(1－9x0)2>010．命题p：∃x0∈R，x20＋2x0＋5<0是________命题(填“全称”或“特称”)，它是________命题．(填“真”或“假”)考点特称命题题点特称命题的真假判断答案特称假11．命题p ：∃x 0∈[0，π]，使sin ⎝⎛⎭⎫x 0＋π3<a ，若p 是真命题，则实数a 的取值范围为________． 考点 特称命题题点 由命题的真假求参数范围答案 ⎝⎛⎭⎫－32，＋∞ 解析 由0≤x ≤π，得π3≤x ＋π3≤4π3， 所以－32≤sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3≤1. 而命题p 为真命题，所以a >－32. 三、解答题12．指出下列命题中哪些是全称命题，哪些是特称命题，并判断真假．(1)若a >0，且a ≠1，则对任意实数x ，a x >0；(2)对任意实数x 1，x 2，若x 1<x 2，则tan x 1<tan x 2；(3)∃T 0∈R ，|sin(x ＋T 0)|＝|sin x |；(4)∃x 0∈R ，x 20＋1<0.考点 全称命题与特称命题的综合问题题点 全称命题与特称命题的真假判断解 (1)(2)是全称命题，(3)(4)是特称命题．(1)中，∵a x >0(a >0，且a ≠1)恒成立，∴命题(1)是真命题．(2)中，当x 1＝0，x 2＝π时，x 1<x 2，但tan 0＝tan π，∴命题(2)是假命题．(3)中，y ＝|sin x |是周期函数，π就是它的一个最小正周期，∴命题(3)是真命题．(4)中，对∀x ∈R ，x 2＋1>0，∴命题(4)是假命题．13．已知命题p ：“∀x ∈[0,1]，a ≥e x ”；命题q ：“∃x 0∈R ，使得x 20＋4x 0＋a ＝0”．若命题“p ∧q ”是真命题，求实数a 的取值范围．考点 简单逻辑联结词的综合应用题点 由含量词的复合命题的真假求参数的范围解 若命题“p ∧q ”是真命题，那么命题p ，q 都是真命题．由∀x ∈[0,1]，a ≥e x ，得a ≥e ；由∃x 0∈R ，使x 20＋4x 0＋a ＝0，知Δ＝16－4a ≥0，则a ≤4，因此e ≤a ≤4.则实数a 的取值范围为[e,4]．14．有下列四个命题：p 1：∃x 0∈(0，＋∞)，⎝⎛⎭⎫120x <⎝⎛⎭⎫130x ；p 2：∃x 0∈(0,1)，12log x 0>13log x 0；p 3：∀x ∈(0，＋∞)，⎝⎛⎭⎫12x >12log x ；p 4：∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，13，⎝⎛⎭⎫12x <13log x . 其中为真命题的是________．考点 全称命题与特称命题的综合应用题点 全称命题与特称命题的真假判断答案 p 2，p 4解析 因为幂函数y ＝x α(α>0)在(0，＋∞)上是增函数，所以命题p 1是假命题；因为对数函数y ＝log a x (0<a <1)在定义域上是减函数，所以当x ∈(0,1)时，0<log x 12<log x 13，所以0<121log x <131log x ，即12log x >13log x ，所以命题p 2是真命题；因为函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 在(0，＋∞)上单调递减，所以有0<y <1，当x ∈(0,1]时，y ＝12log x ≥0，当x ∈(1，＋∞)时，y ＝12log x <0，所以命题p 3是假命题；因为函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 在⎝⎛⎭⎫0，13上单调递减，所以有0<y <1，而函数y ＝13log x 在⎝⎛⎭⎫0，13上的函数值y >1，所以命题p 4是真命题． 15．已知f (t )＝log 2t ，t ∈[2，8]，若命题“对于函数f (t )值域内的所有实数m ，不等式x 2＋mx ＋4>2m ＋4x 恒成立”为真命题，求实数x 的取值范围． 考点 全称命题题点 由命题的真假求参数范围解 易知f (t )∈⎣⎡⎦⎤12，3.由题意知，令g (m )＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4＝(x －2)m ＋(x －2)2，则g (m )>0对任意m ∈⎣⎡⎦⎤12，3恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧ g ⎝⎛⎭⎫12>0，g (3)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 12(x －2)＋(x －2)2>0，3(x －2)＋(x －2)2>0，解得x >2或x <－1.故实数x 的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞).。
1.4 全称量词与存在量词
1.4 全称量词与存在量词1. 全称量词、全称命题定义：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“ ”表示。
（常见的全称量词还有“一切” “每一个” “任给” “所有的”等。
）含有全称量词的命题，叫做全称命题。
如：全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为：简记为读作“对任意x属于M，有p(x)成立”。
2. 存在量词、特称命题定义：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示。
(常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某个”“有的”等。
)含有存在量词的命题，叫做特称命题。
特称命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为：读作“存在一个x0属于M，使p(x0)成立”。
3. 同一全称命题、特称命题，由于自然语言的不同，可能有不同的表述方法：4. 全称命题、特称命题（含有全称量词的命题叫全称命题，含有存在量词的命题叫特称命题）（1）关系：全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题。
关键词否定词关键词否定词关键词否定词关键词否定词都是不都是至少一个一个都没有至多一个至少两个属于不属于1．全称量词和全称命题(1)短语“______________”“____________”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“______”表示，常见的全称量词还有“对一切”“对每一个”“任给”“所有的”等．∀(),x M p x∀∈，00(),x M p x∃∈，(2)含有______________的命题，叫做全称命题．(3)全称命题：“对M中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为____________．2．存在量词和特称命题(1)短语“______________”“________________”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“________”表示，常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某个”“有的”等．(2)含有______________的命题，叫做特称命题．(3)特称命题：“存在M中的一个x0，有p(x0)成立”，可用符号简记为 ____________．3．含有一个量词的命题的否定(1)全称命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定綈p：____________；(2)特称命题p：∃x0∈M，p(x0)，它的否定綈p：____________.4．命题的否定与否命题命题的否定只否定________，否命题既否定______，又否定________．一、选择题1．下列语句不是全称命题的是( )A．任何一个实数乘以零都等于零B．自然数都是正整数C．高二(一)班绝大多数同学是团员D．每一个向量都有大小2．下列命题是特称命题的是( )A．偶函数的图象关于y轴对称B．正四棱柱都是平行六面体C．不相交的两条直线是平行直线D．存在实数大于等于33．下列是全称命题且是真命题的是( )A．∀x∈R，x2>0 B．∀x∈Q，x2∈QC．∃x0∈Z，x20>1 D．∀x，y∈R，x2＋y2>04．下列四个命题中，既是特称命题又是真命题的是( )A．斜三角形的内角是锐角或钝角B．至少有一个实数x0，使x20>0C．任一无理数的平方必是无理数D．存在一个负数x0，使1x0>25．已知命题p：∀x∈R，sin x≤1，则( )A．綈p：∃x0∈R，sin x0≥1B．綈p：∀x∈R，sin x≥1C．綈p：∃x0∈R，sin x0>1D．綈p：∀x∈R，sin x>16．“存在整数m0，n0，使得m20＝n20＋2 011”的否定是( )A．任意整数m，n，使得m2＝n2＋2 011B．存在整数m0，n0，使得m20≠n20＋2 011C．任意整数m，n，使得m2≠n2＋2 011D．以上都不对二、填空题7．命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x)>0”用“∃”或“∀”可表述为________________．8．写出命题：“对任意实数m，关于x的方程x2＋x＋m＝0有实根”的否定为：________________________________________________________________________.9．下列四个命题：①∀x∈R，x2＋2x＋3>0；②若命题“p∧q”为真命题，则命题p、q都是真命题；③若p是綈q的充分而不必要条件，则綈p是q的必要而不充分条件．其中真命题的序号为________．(将符合条件的命题序号全填上)三、解答题10．指出下列命题中哪些是全称命题，哪些是特称命题，并判断真假．(1)若a>0，且a≠1，则对任意实数x，a x>0.(2)对任意实数x1，x2，若x1<x2，则tan x1<tan x2.(3)∃T0∈R，使|sin(x＋T0)|＝|sin x|.(4)∃x0∈R，使x20＋1<0.11．写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)有些质数是奇数；(2)所有二次函数的图象都开口向上；(3)∃x0∈Q，x20＝5；(4)不论m取何实数，方程x2＋2x－m＝0都有实数根．能力提升12．命题“对任何x∈R，|x－2|＋|x－4|>3”的否定是____________________________．13．给出两个命题：命题甲：关于x的不等式x2＋(a－1)x＋a2≤0的解集为∅，命题乙：函数y＝(2a2－a)x为增函数．分别求出符合下列条件的实数a的范围．(1)甲、乙至少有一个是真命题；(2)甲、乙中有且只有一个是真命题．同步提升1、下列全称命题中真命题的个数是（）①末位是0的整数，可以被2整除②角平分线上的点到这个角的两边的距离相等③正四面体中两侧面的夹角相等A 1B 2C 3D 42、 下列特称命题中假命题的个数是（ ）① 有的实数是无限不循环小数②有些三角形不是等腰三角形③有的菱形是正方形 A 0 B 1 C 2 D 33、 下列特称命题中真命题的个数是（ ）①0x R,x ≤∈∃②至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数③是无理数是无理数｝，│｛2x x x x ∈∃A 0B 1C 2D 34、 下列全称命题中假命题的个数是（ ）① 2x+1是整数（x ∈R ）②对所有的x ∈R ，x>3③对任意一个x ∈z ，2x 2+1为奇数 A 0 B 1 C 2 D 35、 下列命题为特称命题的是（ ）A 偶函数的图象关于y 轴对称B 正四棱柱都是平行六面体C 不相交的两条直线是平行直线D 存在实数大于等于36、命题“原函数与反函数的图象关于y=x 对称”的否定是（ ） A 原函数与反函数的图象关于y=-x 对称 B 原函数不与反函数的图象关于y=x 对称C 存在一个原函数与反函数的图象不关于y=x 对称D 存在原函数与反函数的图象关于y=x 对称7、命题“03x -x R,x 2>+∈∀”的否定是______________ 8、命题“01x R,x 2<+∈∃”的否定是______________ 9、命题“23x x N,x >∈∀”的否定是______________10、命题“存在一个三角形没有外接圆”的否定是___________________ 11、把下列命题改成含有量词的命题： （1）余弦定理 （2）正弦定理12、用符号“∀”与“∃”表示含有量词的命题 （1）实数的平方大于等于0（2）存在一对实数，使2x ＋3y ＋3>0成立 （3）勾股定理13、写出下列命题的否定： （1）所有自然数的平方是正数（2）任何实数x 都是方程5x-12＝0的根（3）对于任意实数x ，存在实数y ，使x ＋y>0（4）有些质数是奇数14、写出下列命题的否定 （1）若2x>4，则x>2（2）若m 0,则x 2＋x －m ＝0有实数根（3）可以被5整除的整数，末位是0（4）若一个四边形是正方形，则它的四条边相等15、已知f(x)=ax 2+bx+c 的图象过原点（－1，0），是否存在常数a 、b 、c ，使不等式x ≤f(x)≤2x 12＋对一切实数x 均成立？16、写出下列命题的否定，并判断其真假 （1）3＝2（2）5>4（3）对任意实数x ，x>0（4）每个正方形是平行四边形1.4 全称量词与存在量词参考答案当堂训练知识梳理1．(1)对所有的 对任意一个 ∀ (2)全称量词 (3)∀x ∈M ，p (x ) 2．(1)存在一个 至少有一个 ∃ (2)存在量词 (3)∃x 0∈M ，p (x 0) 3．(1)∃x 0∈M ，綈p (x 0) (2)∀x ∈M ，綈p (x ) 4．结论 结论 条件 作业设计1．C [“高二(一)班绝大多数同学是团员”，即“高二(一)班有的同学不是团员”，是特称命题．]2．D [“存在”是存在量词．]3．B [A 、B 、D 中命题均为全称命题，但A 、D 中命题是假命题．] 4．B5．C [全称命题的否定是特称命题，应含存在量词．] 6．C [特称命题的否定是全称命题，应含全称量词．] 7．∃x 0<0，使(1＋x 0)(1－9x 0)>08．存在实数m ，关于x 的方程x 2＋x ＋m ＝0没有实根 9．①②③10．解 (1)(2)是全称命题，(3)(4)是特称命题．(1)∵a x>0 (a >0，a ≠1)恒成立， ∴命题(1)是真命题．(2)存在x 1＝0，x 2＝π，x 1<x 2，但tan 0＝tan π，∴命题(2)是假命题．(3)y ＝|sin x |是周期函数，π就是它的一个周期， ∴命题(3)是真命题．(4)对任意x 0∈R ，x 20＋1>0， ∴命题(4)是假命题．11．解 (1)“有些质数是奇数”是特称命题，其否定为“所有质数都不是奇数”，假命题．(2)“所有二次函数的图象都开口向上”是全称命题，其否定为“有些二次函数的图象不是开口向上”，真命题．(3)“∃x 0∈Q ，x 20＝5”是特称命题，其否定为“∀x ∈Q ，x 2≠5”，真命题．(4)“不论m 取何实数，方程x 2＋2x －m ＝0都有实数根”是全称命题，其否定为“存在实数m ，使得方程x 2＋2x －m ＝0没有实数根”，真命题．12．存在x ∈R ，使得|x －2|＋|x －4|≤3解析 全称命题的否定是特称命题，全称量词“任何”改为存在量词“存在”，并把结论否定．13．解 甲命题为真时，Δ＝(a －1)2－4a 2<0，即a >13或a <－1.乙命题为真时，2a 2－a >1，即a >1或a <－12.(1)甲、乙至少有一个是真命题时，即上面两个范围取并集，∴a 的取值范围是{a |a <－12或a >13}．(2)甲、乙有且只有一个是真命题，有两种情况：甲真乙假时，13<a ≤1，甲假乙真时，－1≤a <－12，∴甲、乙中有且只有一个真命题时a 的取值范围为{a|13<a≤1或－1≤a<－12}．同步提升答案： C A D C D C 7、03x -x R,x 2≤+∈∃ 8、01x R,x 2≥+∈∀ 9、23x x N,x ≤∈∃10、任意一个三角形都有外接圆11、任意一个三角形的三边和三角，2abc b a cosC 222-+=12、（1）0x R,x 2≥∈∀13、（1）有些自然数的平方不是正数 14、（1）存在实数x 0，虽然满足2 x 0>4，但x 0≤2。
1.4.1全称量词与存在量词
结论二：
判断全称命题“ x∈M，p（x）” 是假命题的方法：
只需在集合M中找到一个元素x0，使得 p(x0)不成立即可 . （举反例）
小练习
判断下列全称命题的真假：
（1）末位是0的整数，可以被5整除;
（2）梯形的对角线相等.
随堂练习
1.填空题
(1)命题“ x ∈R,x2-x+3>0 ”是_____(真、
在许多命题中，都会出现“对所有 的”“对任意一个”这样的短语，这样的短 语就是全称量词.
全称量词（universal quantifier）的 定义：短语“所有的”“任意一个”在逻辑 中通常叫做全称量词，并用符号“ ”表示.
小小提示:
常见的全称量词还有“一切”“每一 个”“任给”“所有的”等.
假）命题.
(2)命题“ x ∈R,x3>x2 ”是_____(真、
假）命题.
例 2：
用符号“ ”表示下列含有量 词的命题：
（1）自然数的平方大于零； （2）实数的平方大于等于0 ； （3）圆x2+y2=r2上任一点到圆心的距离 是r.
(1)有一天，我吃肯德基了
(2)至少有一天，我好好的学习了
例1：
判断下列特称命题的真假： （1）有一个实数x0，使x02+2x0+3=0；
（2）存在两个相交平面垂直于同 一条直线；
（3）有些整数只有两个正因数.
结论一:
判断特称命题“ x0 ∈M， p（x0）”是真命题的方法：
只需在集合M中找到一个元素x0， 使p（x0）成立即可（举例证明）.
结论二：
短语“所有的”“任意一个”在逻 辑中通常叫做全称量词.
2.全称命题
《全称量词与存在量词量词》教案(新人教)
1.4.1全称量词与存在量词（一）量词教学目标：了解量词在日常生活中和数学命题中的作用，正确区分全称量词和存在量词的概念，并能准确使用和理解两类量词。
教学重点：理解全称量词、存在量词的概念区别；教学难点：正确使用全称命题、存在性命题；课型：新授课教学手段：多媒体教学过程：一、创设情境在前面的学习过程中，我们曾经遇到过一类重要的问题：给含有“至多、至少、有一个┅┅”等量词的命题进行否定，确定它们的非命题。
大家都曾感到困惑和无助，今天我们将专门学习和讨论这类问题，以解心中的郁结。
问题1：请你给下列划横线的地方填上适当的词①一纸；②一牛；③一狗；④一马；⑤一人家；⑥一小船①张②头③条④匹⑤户⑥叶什么是量词？这些表示人、事物或动作的单位的词称为量词。
汉语的物量词纷繁复杂，又有兼表形象特征的作用，选用时主要应该讲求形象性，同时要遵从习惯性，并注意灵活性。
不遵守量词使用的这些原则，就会闹出“一匹牛”“一头狗”“一只鱼”的笑话来。
二、活动尝试所有已知人类语言都使用量化，即使是那些没有完整的数字系统的语言，量词是人们相互交往的重要词语。
我们今天研究的量词不是究其语境和使用习惯问题，而是更多的给予它数学的意境。
问题2：下列命题中含有哪些量词？（1）对所有的实数x，都有x2≥0；（2）存在实数x，满足x2≥0；（3）至少有一个实数x，使得x2－2＝0成立；（4）存在有理数x，使得x2－2＝0成立；（5）对于任何自然数n，有一个自然数s 使得s = n × n；（6）有一个自然数s 使得对于所有自然数n，有s = n × n；上述命题中含有：“所有的”、“存在”、“至少”、“任何”等表示全体和部分的量词。
三、师生探究命题中除了主词、谓词、联词以外，还有量词。
命题的量词，表示的是主词数量的概念。
在谓词逻辑中，量词被分为两类：一类是全称量词，另一类是存在量词。
全称量词：如“所有”、“任何”、“一切”等。
高二数学(人教版选修)教案：《全称量词与存在量词》
§1.4.1 全称量词与存在量词【学情分析】：1、 本节内容主要是通过丰富的实例,使学生了解生活和数学中经常使用的两类量词(全称量词和存在量词)的含义, 会判断含有一个量词的全称或特称命题的真假，会正确写出他们的否定形式，为我们从量的形式和范围上认识和解决问题提供了新的思路和方法；2.全称量词 ：日常生活和数学中所用的“一切的”，“所有的”，“每一个”，“任意的”，“凡”，“都”等词可统称为全称量词，记作x ∀、y ∀等；3.存在量词：日常生活和数学中所用的“存在”，“有一个”，“有的”，“至少有一个”等词统称为存在量词，记作x ∃，y ∃等；4．含有全称量词的命题称为全称命题，含有存在量词的命题称为存在性称命题； 全称命题的格式：“对M 中的所有x ，p(x)”的命题，记为:,()x M p x ∀∈存在性命题的格式：“存在集合M 中的元素x 0，q(x 0)”的命题，记为: ∃x 0∈M ，p （ x 0）5.通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义，能识别全称命题与特称命题.6．培养学生用所学知识解决综合数学问题的能力。
【教学目标】：（1）知识目标：通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义； （2）过程与方法目标：能准确地利用全称量词与存在量词叙述数学内容； （3）情感与能力目标：培养学生用所学知识解决综合数学问题的能力.【教学重点】：理解全称量词与存在量词的意义；【教学难点】：全称命题和特称命题真假的判定.课后练习1．判断下列全称命题的真假，其中真命题为（ ）A ．所有奇数都是质数B ．2,11x R x ∀∈+≥ C ．对每个无理数x ，则x 2也是无理数 D ．每个函数都有反函数 2．将“x 2+y 2≥2xy ”改写成全称命题，下列说法正确的是（ ）A ．,x y R ∀∈，都有222x y xy +≥ B ．,x y R ∃∈，都有222x y xy +≥ C ．0,0x y ∀>>，都有222x y xy +≥ D ．0,0x y ∃<<，都有222x y xy +≤ 3．判断下列命题的真假，其中为真命题的是A ．2,10x R x ∀∈+= B ．2,10x R x ∃∈+= C ．,sin tan x R x x ∀∈< D ．,sin tan x R x x ∃∈<4．下列命题中的假命题是（ ）A ．存在实数α和β，使cos(α+β)=cos αcos β+sin αsin βB ．不存在无穷多个α和β，使cos(α+β)=cos αcos β+sin αsin βC ．对任意α和β，使cos(α+β)=cos αcos β－sin αsin βD ．不存在这样的α和β，使cos(α+β) ≠cos αcos β－sin αsin β 5．下列全称命题中真命题的个数是（ ） ①末位是0的整数，可以被2整除；②角平分线上的点到这个角的两边的距离相等； ③正四面体中两侧面的夹角相等；A ．1B ．2C ．3D ．4 6．下列存在性命题中假命题的个数是（ ）①有的实数是无限不循环小数； ②有些三角形不是等腰三角形； ③有的菱形是正方形；A ．0B ．1C ．2D ．3 参考答案：1．B 2．A 3．D 4．B 5．C 6．A§1.4.2 全称量词与存在量词【学情分析】：（1）通过探究数学中的一些实例，使学生归纳总结出含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律；（2）在探究的过程中，应引导学生根据全称量词和存在量词的含义，用简洁自然的语言表述含有一个量词的命题进行否定；（3）通过例题和习题的教学，使学生能够根据含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，正确地对含有一个量词的命题进行否定。
高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.4 全称量词与存在量词 1.4.1 全称量词 1.4.2 存在量
方法技巧 (1)含参数的全称命题为真时,常转化为不等式的恒成立问题来 处理,最终通过构造函数转化为求函数的最值问题. (2)含参数的特称命题为真时,常转化为方程或不等式有解问题来处理,最 终借助根的判别式或函数等相关知识获得解决.
是错误的,故选C.
方法技巧 (1)全称命题的真假判断
要判定一个全称命题“∀x∈M,p(x)”是真命题,必须对限定集合M中的每个
元素x验证p(x)成立;但要判定全称命题是假命题,只要能举出集合M中的一
个x=x0,使得p(x0)不成立即可. (2)特称命题的真假判断 要判断特称命题“∃x0∈M,p(x0)”为真命题,只需在限定集合M中找出一个 x=x0,使得p(x0)成立即可;要判断特称命题为假命题,就要验证集合M中的每 个元素x都不能满足p(x),即在集合M中,使p(x0)成立的元素x0不存在.
新知探求 课堂探究
新知探求 素养养成
知识点一 全称量词与全称命题
问题1:结合你学过的知识,谈谈你对全称量词的含义的理解.
答案:短语“所有”在陈述中表示所述事物的全体,在逻辑中通常叫做全称量
词.
∀
梳理 全称量词有:所有的、任意一个、任给一个,用符号“
”表示,含
有全∀称x∈量M词,p的(x命) 题,叫做全称命题.“对M中的所有x,p(x)”用符号简记为:
解析:(1)可以改为所有的凸多边形的外角和等于360°,故为全称命题.
(2)含有全称量词“任意”,故是全称命题;
(3)是命题,但既不是全称命题,也不是特称命题;
(4)有一个实数a,a不能取对数. (5)任何数的0次方都等于1吗?
解析:(4)含有存在量词“有一个”,因此是特称命题; (5)不是命题.
1.4.1全称量词与存在量词的意义
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解析：(1)由于∀x∈R，都有x2≥0，所以有x2＋1≥1＞0， 所以“∀x∈R，x2＋1＞0”是真命题．
(2)因为对集合{3,5,7}中的每一个值，都有3x＋1是偶
数，所以“∀x∈{3,5,7},3x＋1是偶数”是真命题． (3)由于使x2＝3成立的实数只有± 3 ，且它们都不是 有理数，因此，没有任何一个有理数的平方能等于3，所以 “∃x∈Q，x2＝3”是假命题．
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自测自评 1．下列命题： (1)今天有人请假； (2)中国公民都有受教育的权利； (3)每一个中学生都要接受爱国主义教育；
(4)有人既能写小说，也能搞发明创造；
(5)任何一个数除0都等于0. 其中全称命题的个数是( C ) A．1 C．3 金品质•高追求 B．2 D．不少于4个 我们让你更放心！
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判断一个命题是全称命题还是特称命题，关键是看命 题中是否含有全称量词或特称量词．有些全称命题在文字 叙述上省略了全称量词，在判断是否为全称命题时要注 意．
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祝
B．∃m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是奇函数 C．∀m∈R，函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是偶函数 D．∀m∈R，函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是奇函数 金品质•高追求 我们让你更放心！
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(经典)1.4.1全称量词与存在量词
“或”,“且”, “非”称为逻辑联结词.含 有逻辑联结词的命题称为复合命题,不含逻辑联 结词的命题称为简单命题.
注意
逻辑联结词中的”或”相当于集合中的”并集”, 它与日常用语中的”或”的含义不同.日常用语中的” 或”是两个中任选一个,不能都选,而逻辑联结词中的” 或”,可以是两个都选,但又不是两个都选,而是两个中 至少选一个,因此,有三种可能的情况.
至少 有n个
至多 有一 个
所有x成 所有x 立 不成立
词语 一个 至多 至少 存在一 存在有
的否 也没 有n-1 有两 个x不成 一个成
定
有个个
立
立
第三十一页，共36页。
同一个全称命题、特称命题，由于自然语言的不同，可
以有不同的表述方法。
总结如下：
命 题
全称命题 “ x∈A， p(x)”
特称命题“ x∈A，p(x)”
2.已知U=R，A U,B U,命题
p：a∈AUB，则┑p为( )
A.aA
C.a A∩B
B.a∈CuA D.a∈CuA∩CuB
3.设语句p：x=1，非q：x2+8x-9=0
则下列命题为真命题的是（ ）
A.p∧q
B.p∨q
C.若p则非q
D.若非p则q
第十四页，共36页。
小结：
对逻辑联结词或、且、非含义的理解
p∨q是真命题.
（3）当p、q都是假命题时, p∨q是假命题；
第三页，共36页。
p
q
p∨q
真
真
真
真
假
真
假
真
真
假
假
假
一真必真
注: “或”的理解：相似于集合中“并集”的概念，两个
(经典)1.4.1全称量词与存在量词教学提纲
（1）p:y=sin x是周期函数； （2）p:3<2； （3）p：空集是集合A的子集.
（4）1的平方是正数； （5） 1和2的平方是正数；
小结： 一些常用词语的否定：
原词语 等于 大于(>) 小于(<) 是
都是
否定词语 不等于 不大于 不小于
存在量词: “有”、“有的”、“有些”等。 其表达的逻辑为：“宇宙间至少有一个事物 E，E是F。”
全称命题：其公式为“所有S是P”。 全称命题，可以用全称量词，也可以用
“都”等副词、“人人”等主语重复的形式来 表达，甚至有时可以没有任何的量词标志，如 “人类是有智慧的。”
特称命题 :其公式为“有的S是P”。 特称命题使用存在量词，如“有些”、
“很
少” 等，也可以用“基本上”、“一般”、 “只是
有些”等。含有存在性量词的命题也称存在性
通 常 ， 将 含 有 变 量 x 的 语 句 用 p (x ) 、 q (x ) 、 r (x ) 表 示 ， 变 量 x 的 取 值 范 围 用 M 表 示 。
全 称 命 题 “ 对 M 中 任 意 一 个 x ， 有 p ( x ) 成 立 .
概念： 一般地，对一个命题的全盘否定，就得
到一个新的命题， 记作： p
读作：“非p”或者“p的否定”.
p 命题真假的判断：
若p是真命题，则 p 必是假命题；若p是假命题， 则 p 必是真命题.
p
p
真
假
假
真
你真我假
注: （1）“非”的理解：相似于集合中“补集”的概念
（2）“命题的否定”与“否命题“是两个不同的概 命题否定为非p，而否命题既否定原命题结论，又 否定原命题的条件。
全称量词与存在量词
x M,p(x) x M,p(x)
结论
从形式看，全称命题的否定是特称命题。
含有一个量词的全称命题的否定, 有下面的结论
全称命题 p :
它的否定p :
x M,p(x)
全称命题பைடு நூலகம்否 定是特称命题
x0
M,p(x
)
0
探究2
写出下列命题的否定
1)有些实数的绝对值是正数；x M,p(x)
(x)
x2
bx
x
b 2
2
b2 4
,
最小值为
b2 4
,
令t
x2
bx, 则f
(f
(x))
f
(t) t 2
bt
t
b 2
2
b2 4
,t
b2 4
,当
b 0时, f ( f (x))的最小值为 b2 ,所以"b 0"能推出" f ( f (x))的最 4
2 特称命题p： x∈M，p(x) 它的否定 p ： x∈M， p(x)
全称命题的否定是特称命题, 特称命题的否定是全称命题.
例1写出下列全称命题的否定： 1）p:所有能被3整除的整数都是奇数；
2）p:每一个四边形的四个顶点共圆 3）p:对任意x Z，x2的个位数字不等于3。 解：1）p : 存在一个能被3整除的整数不是奇数.
它的否定 p : x0 M,p(x0 )
一般地，对于含有一个量词的特称命题的否定,有下
面的结论：
特称命题 p : x0 M,p(x0)
高中数学第一章常用逻辑用语4全称量词与存在量词12全称量词与存在量词1课件新人教A版选修2
[点评] 解题时要注意存在性量词、全称量词的不同表示形式． 存在性命题p：∃x∈A，p(x)，其否定为¬p：∀x∈A，¬p(x)． 全称命题q：∀x∈A，q(x)，其否定为¬q：∃x∈A，¬q(x)．
命题方向二：含有一个量词的命题的否定的真 假判断
[例3] 写出下列命题的否定并判断真假： (1)不论m取何实数，方程x2＋x－m＝0必有实数根； (2)所有末位数字是0或5的整数都能被5整除； (3)每一个非负数的平方都是正数； (4)有的四边形没有外接圆； (5)某些梯形的对角线互相平分； (6)被8整除的数能被4整除．
因为 x∈0，12，所以 f(x)＋2∈0，34.
要使 x∈0，12时 f(x)＋2<logax 恒成立． 显然当 a>1 时不可能．
0<a<1， 所以loga12≥34.
解得344≤a<1.
课堂巩固训练
一、选择题
1．判断下列全称命题的真假，其中真命题为( )
A．所有奇数都是素数
B．∀x∈R，x2＋1≥1
知能自主梳理
1．短语“对所有的”“ 对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量 词，并用符号“ ∀ ”表示，含有全称量词的命题，叫做 全称命题． 2．短语“存在一个”“ 至少有一个 ”在逻辑中通常叫做存在量 词，并用符号“ ∃”表示，含有存在量词的命题，叫做 特称．命题 3．全称命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定¬p： ∃x∈M，非p(x) ． 4．特称命题p：∃x∈M，p(x)，它的否定¬p： ∀x∈M，非p(x) <logax在x∈
上恒成立时，求a的取值范围．
[解析] (1)由已知f(x＋y)－f(y)＝(x＋2y＋1)x，令x＝1，y＝0， 得f(1)－f(0)＝2，又因为f(1)＝0，所以f(0)＝－2.
高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.4 全称量词与存在量词 1.4.1、1.4.2 全称量词 存在量
第一章 1.4 1.4.1 1.4.2A 级 基础巩固一、选择题1．下列命题中，全称命题的个数为( C )①平行四边形的对角线互相平分；②梯形有两边平行；③存在一个菱形，它的四条边不相等．A ．0B ．1C ．2D ．3[解析]①②是全称命题，③是特称命题．2．下列特称命题中真命题的个数是( D )①∃x ∈R ，x ≤0；②至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数；③∃x ∈{x |x 是整数}，x 2是整数．A ．0B ．1C ．2D ．3 [解析]①②③都是真命题．3．下列命题中，既是真命题又是特称命题的是( A )A ．存在一个α0，使tan(90°－α0)＝tan α0B ．存在实数x 0，使sin x 0＝π2C ．对一切α，sin(180°－α)＝sin αD ．sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β[解析]选项A ，B 为特称命题，故排除C 、D ．因π2>1，则不存在实数x 0，使sin x 0＝π2，故排除B ，故选A ．4．下列命题：①至少有一个x 使x 2＋2x ＋1＝0成立；②对任意的x 都有x 2＋2x ＋1＝0成立；③对任意的x 都有x 2＋2x ＋1＝0不成立；④存在x 使得x 2＋2x ＋1＝0成立．其中是全称命题的有( B )A ．1个B ．2个C．3个D．0个[解析]②③含有全称量词，所以是全称命题．5．下列命题中为特称命题的是(C)A．所有的整数都是有理数B．三角形的内角和都是180°C．有些三角形是等腰三角形D．正方形都是菱形[解析]A、B、D为全称命题，C中含有存在量词“有些”，故为特称命题．6．已知命题p：∃x0∈R，x20＋ax0＋a<0，若命题p是假命题，则实数a的取值X围是(A) A．[0,4] B．(0,4)C．(－∞，0)∪(4，＋∞) D．(－∞，0]∪[4，＋∞)[解析]假设p为真，Δ＝a2－4a>0即a>4或a<0∵p为假，∴0≤a≤4∴实数a的取值X围[0,4]．二、填空题7．命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x)2>0”用“∃”写成特称命题为__∃x0<0，(1＋x0)(1－9x0)2>0__.[解析]根据特称命题的定义改写．8．四个命题：①∀x∈R，x2－3x＋2>0恒成立；②∃x∈Q，x2＝2；③∃x∈R，x2＋1＝0；④∀x∈R,4x2>2x－1＋3x2.其中真命题的个数为__0__.[解析]x2－3x＋2>0，Δ＝(－3)2－4×2>0，∴当x>2或x<1时，x2－3x＋2>0才成立，∴①为假命题．当且仅当x＝±2时，x2＝2，∴不存在x∈Q，使得x2＝2，∴②为假命题，对∀x∈R，x2＋1≠0，∴③为假命题，4x2－(2x－1＋3x2)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，即当x＝1时，4x2＝2x－1＋3x2成立，∴④为假命题．∴①②③④均为假命题．三、解答题9．用符号表示下列全称命题：(1)对任意a >1，都有函数f (x )＝a x 在R 上是增函数；(2)对所有实数m ，都有2－m 2－1<0； (3)对每一个实数x ，都有cos x <1.[解析](1)∀a >1，函数f (x )＝a x 在R 上是增函数．(2)∀m ∈R ，2－m 2－1<0. (3)∀x ∈R ，cos x <1.B 级 素养提升一、选择题1．下列命题为特称命题的是( D )A ．偶函数的图象关于y 轴对称B ．正四棱柱都是平行六面体C ．不相交的两条直线是平行直线D ．存在大于等于3的实数[解析]选项A ，B ，C 是全称命题，选项D 含有存在量词．故选D ．2．下列命题是真命题的是( D )A ．∀x ∈R ，(x －2)2>0B ．∀x ∈Q ，x 2>0C ．∃x 0∈Z,3x 0＝812D ．∃x 0∈R,3x 20－4＝6x 0[解析]A 中当x ＝2时不成立，B 中由于0∈Q ，故B 不正确，C 中满足3x 0＝812的x 0不是整数，故只有D 正确．3．(多选题)已知命题p ：∃x ∈R ，mx 2＋1≤0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0，若p ∧q 为真命题，则实数m 的取值可以是( BC )A ．－2B ．－1C ．－12D ．1[解析]p 真：m <0.q 真：Δ＝m 2－4<0，∴－2<m <2.∵p ∧q 为真命题，∴p 、q 均为真命题，∴－2<m <0，故选BC ．4．(多选题)已知命题p ：∃x 0∈N ，x 30<x 20；命题q ：∀a ∈(0,1)∪(1，＋∞)，函数f (x )＝log a (x －1)的图象过点(2,0)，则下列说法错误的是( BCD )A ．p 假q 真B ．p 真q 假C ．p 假q 假D ．p 真q 真[解析]由x 30<x 20，得x 20(x 0－1)<0，解得x 0<0或0<x 0<1，在这个X 围内没有自然数， ∴命题p 为假命题；∵对任意的a ∈(0,1)∪(1，＋∞)，均有f (2)＝log a 1＝0，∴命题q 为真命题．故选BCD ．二、填空题5．下列特称命题是真命题的序号是__①③④__.①有些不相似的三角形面积相等；②存在一实数x 0，使x 20＋x 0＋1<0；③存在实数a ，使函数y ＝ax ＋b 的值随x 的增大而增大；④有一个实数的倒数是它本身．[解析]①为真命题，只要找出等底等高的两个三角形，面积就相等，但不一定相似；②中对任意x ∈R ，x 2＋x ＋1＝(x ＋12)2＋34>0，所以不存在实数x 0，使x 20＋x 0＋1<0，故②为假命题；③中当实数a 大于0时，结论成立，为真命题；④中如1的倒数是它本身，为真命题，故选①③④.6．给出下列语句：①所有的偶数都是素数；②有些二次函数的图象不过坐标原点；③|x －1|<2；④对任意的实数x >5，都有x >3.其中是全称命题的是__①④__.(填序号)[解析]①④是全称命题，②是特称命题，③不是命题．三、解答题7．判断下列命题的真假：(1)任给x ∈Q ，13x 2＋12x ＋1是有理数； (2)存在α、β∈R ，sin (α＋β)＝sin α＋sin β；(3)存在x 、y ∈Z,3x －2y ＝10；(4)任给a 、b ∈R ，方程ax ＋b ＝0恰有一个解．[解析](1)∵x ∈Q ，∴13x 2与12x 均为有理数，从而13x 2＋12x ＋1是有理数，∴(1)真； (2)当α＝0，β＝π3时，sin (α＋β)＝sin α＋sin β成立， ∴(2)真；(3)当x ＝4，y ＝1时，3x －2y ＝10，∴(3)真；(4)当a ＝0，b ＝1时，0x ＋1＝0无解，∴(4)假．8．已知命题p ：“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”，命题q ：“∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0”，若命题“p 且q ”是真命题，某某数a 的取值X 围．[解析]由“p 且q ”是真命题，知p 为真命题，q 也为真命题．若p 为真命题，则a ≤x 2对于x ∈[1,2]恒成立．所以a ≤1.若q 为真命题，则关于x 的方程x 2＋2ax ＋2－a ＝0有实根，所以Δ＝4a 2－4(2－a )≥0，即a ≥1或a ≤－2.综上，实数a 的取值X 围为a ≤－2或a ＝1.。
全称量词、存在量词
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第一章 常用逻辑用语
栏目导引
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第一章 常用逻辑用语
栏目导引
[解题过程]
π (1)特称命题． 2时， α 不存在， α＝ tan 所以，
特称命题“有一个实数 α，tan α 无意义”是真命题． (2)不是命题． (3)含有全称量词，所以该命题是全称命题，又任何一个 圆的圆心到切线的距离都等于半径， 所以，全称命题“所有圆的圆心到其切线的距离都等于 半径”是真命题．
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第一章 常用逻辑用语
栏目导引
(4)“圆内接四边形，其对角互补”的实质是“所有的圆内
接四边形，其对角都互补”， 所以该命题是全称命题且为真命题． (5)虽然不含逻辑联结词，其实“指数函数都是单调函数” 中省略了“所有的”， 所以该命题是全称命题且为真命题．
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第一章 常用逻辑用语
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[题后感悟]
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第一章 常用逻辑用语
栏目导引
4．指出下列命题中，哪些是全称命题，哪些是特称命题，
并判断真假： (1)当a＞1时，则对任意x，曲线y＝ax 与曲线y＝logax有交 点． (2)∃x∈R，使得x2－x＋1≤0. (3)被5整除的整数的末位数字都是0. (4)有的四边形没有外接圆．
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第一章 常用逻辑用语
①存在x∈A，使p(x)成立 ②至少有一个x∈A，使 p(x)成立 ③对有些x∈A，p(x)成立 ④对某个x∈A，p(x)成立 ⑤有一个x∈A，使p(x)成 立
工具
第一章 常用逻辑用语
栏目导引
2.(1)用“量词”表述下列命题，并判断真假： ①存在实数对(x，y)，使 2x＋3y＋2<0 成立； ②有些三角形不是等腰三角形； ③至少有一个实数使不等式 x2－3x＋6<0 成立； ④对所有正实数 t， t为正且 t<t. (2)用文字语言表述下列命题： ①∀x∈R，x2≥0；②∃α∈R，sin α＝cos α.
全称量词-存在量词
探究点2 存在量词
下列语句是命题吗？(1)与(3)，(2)与(4)之间 有什么关系？ (1)2x+1=3； (2)x能被2和3整除； (3)存在一个x0∈R，使2x+1=3； (4)至少有一个x0∈Z，x能被2和3整除。 语句(1)(2)不能判断真假，不是命题； 语句(3)(4)可以判断真假，是命题。
2．下列全称命题中真命题的个数为( C )
①末位是0的整数，可以被2整除．
②角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．
③正四面体中两侧面的夹角相等．
A．1
B．2
C．3
D．0
3．在下列特称命题中假命题的个数是( A )
①有的实数是无限不循环小数
②有些三角形不是等腰三角形
③有的菱形是正方形
A．0
B．1
例1 判断下列全称命题的真假： （1）所有的素数都是奇数；
（2）x R, x2 1 1;
（3）对每一个无理数x，x2也是无理数。
解：（1）2是素数，但2不是奇数，所以为假命题. （2）真命题. （3） 是2 无理数，但 （=22）是2 有理数.所以
为假命题.
【变式练习】
判断下列全称命题的真假： （1）每个指数函数都是单调函数； （2）任何实数都有算术平方根； （3） x { x |x 是 有 理 数 } ， x 2 是 有 理 数 。
(3)对所有的x∈R，x>3； (4)对任意一个x∈Z，2x+1是整数。
短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做
全称量词，并用符号“ ”表示
含有全称量词的命题，
叫做全称命题。
常见的全称量词还有 “一切” “每一个” “任给” “所有的”等
1.4.1 全称量词与存在量词
1.4.1全称量词与存在量词学习目标 1.理解全称量词与存在量词的含义.2.理解并掌握全称命题和特称命题的概念.3.能判定全称命题和特称命题的真假并掌握其判断方法．知识点一全称量词与全称命题思考观察下列命题：(1)每一个三角形都有内切圆；(2)所有实数都有算术平方根；(3)对一切有理数x,5x＋2还是有理数．以上三个命题中分别使用了什么量词？根据命题的实际含义能否判断命题的真假．答案命题(1)(2)(3)分别使用量词“每一个”“所有”“一切”．命题(1)(3)是真命题，命题(2)是假命题，三个命题中的“每一个”“所有”“一切”都有全部、所有的意义，要求命题对某个集合的所有元素都成立，而负实数没有算术平方根，故命题(2)为假命题.M中的每个元素x，证明p(x)成立；要判断它为假，只需在M中找到一个x，使p(x)不成立，即“∃x0∈M，p(x0)不成立”．知识点二存在量词与特称命题思考观察下列命题：(1)有些矩形是正方形；(2)存在实数x，使x>5.(3)至少有一个实数x，使x2－2x＋2<0.以上三个命题分别使用了什么量词？根据命题的实际含义能否判断命题的真假．答案命题(1)(2)(3)分别使用了量词“有些”“存在”“至少有一个”．命题(1)(2)是真命题，命题(3)是假命题．三个命题中的“有些”“存在”“至少有一个”等词都是对某个集合内的个别元素而言，要说明这些命题是真命题，只要举出一个例子即可．所以命题(1)(2)是真命题，而任意实数x，x2－2x＋2都大于0，所以命题(3)为假命题.能找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可，否则，这一特称命题是假命题．类型一全称量词与全称命题的判断例1(1)判断下列语句是不是全称命题，如果是，用量词符号表达出来．①我们班同学都很棒．②被开方数不能是负数．③任何一个实数平方都大于等于0.④x<3.(2)判断下列全称命题的真假：①所有的素数是奇数；②∀x∈R，x2＋1≥1；③对每一个无理数x，x2也是无理数．解(1)①是全称命题，用量词表示：∀一个人x∈{我们班同学}，这个同学x很棒．②是全称命题，用量词表示：∀一个数x∈{被开方数}，这个数x≥0.③是全称命题，用量词表示：∀x∈R，x2≥0.④不是命题．(2)①2是素数，但2不是奇数．所以，全称命题“所有的素数是奇数”是假命题．②∀x∈R，总有x2≥0，因而x2＋1≥1.所以，全称命题“∀x∈R，x2＋1≥1”是真命题．③2是无理数，但(2)2＝2是有理数．所以，全称命题“对每一个无理数x，x2也是无理数”是假命题．反思与感悟判定一个语句是全称命题的三个步骤(1)首先判定语句是否为命题，若不是命题，就当然不是全称命题．(2)若是命题，再分析命题中所含的量词，含有全称量词的命题是全称命题．(3)当命题中不含量词时，要注意理解命题含义的实质．要根据命题所涉及的意义去判断，如负数是指全部的负数，而不是某些或某个负数，需要对有关的知识点理解透彻．跟踪训练1(1)下列命题是全称命题的有________．①偶函数的图象关于y轴对称．②正四棱柱都是平行六面体．③不相交的两条直线是平行直线．④存在实数大于等于3.答案①②③解析改写为：①所有的偶函数的图象关于y轴对称．②每一个正四棱柱都是平行六面体．③凡不相交的两条直线都是平行直线．故①②③都是全称命题．④不是全称命题．(2)试判断下列全称命题的真假：①∀x∈R，x2＋2>0；②∀x∈N，x4≥1.③对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1.解①由于∀x∈R，都有x2≥0，因而有x2＋2≥2>0，即x2＋2>0，所以命题“∀x∈R，x2＋2>0”是真命题．②由于0∈N，当x＝0时，x4≥1不成立，所以命题“∀x∈N，x4≥1”是假命题．③由于∀α∈R，sin2α＋cos2α＝1成立．所以命题“对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1”是真命题．类型二存在量词和特称命题的判断例2判断下列特称命题的真假：(1)有一个实数x0，使x20＋2x0＋3＝0；(2)存在两个相交平面垂直于同一条直线；(3)有些整数只有两个正因数．解(1)由于∀x∈R，x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2，因此使x2＋2x＋3＝0的实数x不存在．所以，特称命题“有一个实数x0，使x20＋2x0＋3＝0”是假命题．(2)由于垂直于同一条直线的两个平面是互相平行的，因此不存在两个相交的平面垂直于同一条直线．所以，特称命题“存在两个相交平面垂直于同一条直线”是假命题．(3)由于存在整数3只有两个正因数1和3，所以特称命题“有些整数只有两个正因数”是真命题．反思与感悟特称命题是含有存在量词的命题，判定一个特称命题为真，只需在指定集合中找到一个元素满足命题结论即可．跟踪训练2判断下列命题是全称命题还是特称命题，并用符号“∀”或“∃”表示下列命题．(1)自然数的平方大于或等于零；(2)圆x 2＋y 2＝1上存在一个点到直线y ＝x ＋1的距离等于圆的半径； (3)有的函数既是奇函数又是增函数；(4)对于数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n n ＋1，总存在正整数n 0，使得an 0与1之差的绝对值小于0.01.解 (1)是全称命题，表示为∀x ∈N ，x 2≥0.(2)是特称命题，表示为∃(x 0，y 0)∈{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，满足|x 0－y 0＋1|2＝1.(3)是特称命题，∃f (x )∈{函数}，f (x )既是奇函数又是增函数． (4)是特称命题，∃n 0∈N *，| －1|＜0.01，其中 ＝n 0n 0＋1. 类型三 全称命题、特称命题的应用例3 (1)已知关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集非空，求实数a 的取值范围； (2)令p (x )：ax 2＋2x ＋1>0，若对∀x ∈R ，p (x )是真命题，求实数a 的取值范围．解 (1)关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集非空，∴Δ＝(2a ＋1)2－4(a 2＋2)≥0，即4a －7≥0，解得a ≥74，∴实数a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫74，＋∞. (2)∵对∀x ∈R ，p (x )是真命题． ∴对∀x ∈R ，ax 2＋2x ＋1>0恒成立， 当a ＝0时，不等式为2x ＋1>0不恒成立，当a ≠0时，若不等式恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝4－4a ＜0，∴a >1.即a 的取值范围是(1，＋∞)．反思与感悟 有解和恒成立问题是特称命题和全称命题的应用，注意二者的区别． 跟踪训练3 (1)对于任意实数x ，不等式sin x ＋cos x >m 恒成立，求实数m 的取值范围； (2)存在实数x ，不等式sin x ＋cos x >m 有解，求实数m 的取值范围． 解 (1)令y ＝sin x ＋cos x ，x ∈R ， ∵y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≥－2， 又∵∀x ∈R ，sin x ＋cos x >m 恒成立， ∴只要m <－2即可．∴所求m 的取值范围是(－∞，－2)． (2)令y ＝sin x ＋cos x ，x ∈R ，∵y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4∈[]－2，2， o n a on a又∃x∈R，sin x＋cos x>m有解，∴只要m<2即可，∴所求m的取值范围是(－∞，2)．1．下列命题中，不是全称命题的是()A．任何一个实数乘以0都等于0B．自然数都是正整数C．每一个向量都有大小D．一定存在没有最大值的二次函数答案 D解析D选项是特称命题．2．命题“有的质数是奇数”中的量词是________．答案“有的”3．命题“矩形的对角线垂直平分”是________(填“全称”或“特称”)命题．答案全称解析命题“矩形的对角线垂直平分”改写为“每一个矩形的对角线都垂直平分”是全称命题．4．特称命题“∃x0∈R，|x0|＋2≤0”是________命题(填“真”或“假”)．答案假解析不存在任何实数，使得|x|＋2≤0，所以是假命题．5．用存在量词表示下列语句：“有一个实数乘以任意一个实数都等于0”表示为________________________________________________________________________．答案∃实数x0，x0乘以任意一个实数都等于06．用量词符号“∀”“∃”表述下列命题：(1)凸n边形的外角和等于2π.(2)有一个有理数x0满足x20＝3.解(1)∀x∈{x|x是凸n边形}，x的外角和是2π.(2)∃x0∈Q，x20＝3.1．判断命题是全称命题还是特称命题，主要是看命题中是否含有全称量词和存在量词，有些全称命题虽然不含全称量词，可以根据命题涉及的意义去判断．2．要确定一个全称命题是真命题，需保证该命题对所有的元素都成立；若能举出一个反例说明命题不成立，则该全称命题是假命题．3．要确定一个特称命题是真命题，举出一个例子说明该命题成立即可；若经过逻辑推理得到命题对所有的元素都不成立，则该特称命题是假命题．一、选择题1．下列命题中，全称命题的个数为( )①平行四边形的对角线互相平分；②梯形有两边平行；③存在一个菱形，它的四条边不相等． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案 C解析 ①②是全称命题，③是特称命题． 2．下列特称命题中真命题的个数是( )①∃x ∈R ，x ≤0；②至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数；③∃x ∈{x |x 是整数}，x 2是整数． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 D解析 ①②③都是真命题．3．下列命题中，是真命题且是全称命题的是( ) A ．对任意的a 、b ∈R ，都有a 2＋b 2－2a －2b ＋2<0 B ．菱形的两条对角线相等 C ．∃x ∈R ，x 2＝xD ．对数函数在定义域上是单调函数 答案 D解析 A 中含有全称量词“任意的”，因为a 2＋b 2－2a －2b ＋2＝(a －1)2＋(b －1)2≥0，故是假命题．B 、D 在叙述上没有全称量词，但实际上是指“所有的”，菱形的对角线不一定相等，所以B 是假命题，C 是特称命题，故选D. 4．下列命题中的假命题是( ) A ．∃x ∈R ，lg x ＝0 B ．∃x ∈R ，tan x ＝1 C ．∀x ∈R ，x 3>0 D ．∀x ∈R,2x >0 答案 C解析 对于A ，当x ＝1时，lg x ＝0，正确；对于B ，当x ＝π4时，tan x ＝1，正确；对于C ，当x <0时，x 3<0，错误；对于D ，∀x ∈R,2x >0，正确． 5．下列命题中，真命题是( )A ．∃m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是偶函数B ．∃m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是奇函数C ．∀m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是偶函数D ．∀m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是奇函数 答案 A解析 显然当m ＝0时，f (x )＝x 2为偶函数，故选A. 6．下列命题中，既是真命题又是特称命题的是( ) A ．存在一个角α，使得tan(90°－α)＝tan α B ．存在实数x 0，使得sin x 0＝π2C ．对一切α，sin(180°－α)＝sin αD ．sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β 答案 A解析 ∵α＝45°时，tan(90°－45°)＝tan 45°， ∴A 为真命题，且为特称命题，故选A.B 中对∀x ∈R ，有sin x ≤1<π2；C 、D 都是全称命题．7．若存在x 0∈R ，使ax 20＋2x 0＋a <0，则实数a 的取值范围是( ) A ．a <1 B ．a ≤1C ．－1<a <1D ．－1<a ≤1 答案 A解析 当a ≤0时，显然存在x 0∈R ， 使ax 20＋2x 0＋a <0；当a >0时，由Δ＝4－4a 2>0， 解得－1<a <1，故0<a <1.综上所述，实数a 的取值范围是a <1. 二、填空题8．已知函数f (x )＝x 2＋mx ＋1，若命题“∃x 0>0，f (x 0)<0”为真，则m 的取值范围是______________． 答案 (－∞，－2)解析 由条件知⎩⎪⎨⎪⎧－m 2>0，m 2－4>0，∴m <－2.9．下列命题中真命题为________，假命题为________．①末位是0的整数，可以被2整除；②角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；③有的实数是无限不循环小数；④有些三角形不是等腰三角形；⑤所有的菱形都是正方形． 答案 ①②③④ ⑤10．命题：①∀x ∈R ，x 2－3x ＋2>0恒成立；②∃x ∈Q ，x 2＝2；③∃x ∈R ，x 2＋1＝0；④∀x ∈R,4x 2>2x －1＋3x 2.其中真命题的个数为________． 答案 0解析 对于方程x 2－3x ＋2＝0，Δ＝(－3)2－4×2>0， ∴当x >2或x <1时，x 2－3x ＋2>0才成立， ∴①为假命题．当且仅当x ＝±2时，x 2＝2， ∴不存在x ∈Q ，使得x 2＝2， ∴②为假命题， 对∀x ∈R ，x 2＋1≠0， ∴③为假命题，4x 2－(2x －1＋3x 2)＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2≥0， 即当x ＝1时，4x 2＝2x －1＋3x 2成立， ∴④为假命题． ∴①②③④均为假命题． 三、解答题11．判断下列命题是否为全称命题或特称命题，若是，用符号表示，并判断其真假． (1)对任意实数α，有sin 2α＋cos 2α＝1； (2)存在一条直线，其斜率不存在；(3)对所有的实数a 、b ，方程ax ＋b ＝0都有唯一解； (4)存在实数x 0，使得1x 20－x 0＋1＝2.解 (1)是全称命题，用符号表示为“∀α∈R ，sin 2α＋cos 2α＝1”，是真命题． (2)是特称命题，用符号表示为“∃直线l ，l 的斜率不存在”，是真命题．(3)是全称命题，用符号表示为“∀a 、b ∈R ，方程ax ＋b ＝0都有唯一解”，是假命题． (4)是特称命题，用符号表示为“∃x 0∈R ，1x 20－x 0＋1＝2”，是假命题．12．判断下列命题的真假：(1)任给x ∈Q ，13x 2＋12x ＋1是有理数；(2)存在α、β∈R ，sin(α＋β)＝sin α＋sin β；(3)存在x 、y ∈Z,3x －2y ＝10.解 (1)∵x ∈Q ，∴13x 2与12x 均为有理数，从而13x 2＋12x ＋1是有理数，∴(1)真；(2)当α＝0，β＝π3时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立，∴(2)真；(3)当x ＝4，y ＝1时，3x －2y ＝10，∴(3)真． 13．已知f (x )＝3ax 2＋6x －1(a ∈R )．(1)当a ＝－3时，求证：对任意x ∈R ，都有f (x )≤0；(2)如果对任意x ∈R ，不等式f (x )≤4x 恒成立，求实数a 的取值范围． (1)证明 当a ＝－3时，f (x )＝－9x 2＋6x －1， 令－9x 2＋6x －1＝0，则Δ＝36－36＝0， ∴对任意x ∈R ，都有f (x )≤0. (2)解 ∵对任意x ∈R ，有f (x )≤4x ， ∴3ax 2＋2x －1≤0.∴⎩⎪⎨⎪⎧3a <0，Δ＝4＋12a ≤0.∴a ≤－13，即a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－13.。
全称量词存在量词-含有一个量词的命题的否定
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(2)用全称量词或存在量词表示下列语句： ①有理数都能写成分数形式； ②方程 x2＋2x＋8＝0 有实数解； ③有一个实数乘以任意一个实数都等于 0.
【解】 ①任意一个有理数都能写成分数形式. ②存在实数 x，使方程 x2＋2x＋8＝0 成立. ③存在一个实数 x，它乘以任意一个实数都等于 0.上一页返回首页第二十二页，共三十八页。
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【自主解答】 (1)命题的否定：“存在一个平行四边形的对边不都平行”. 由平行四边形的定义知，这是假命题.
(2)命题的否定：“存在一个非负数的平方不是正数”.因为 02＝0，不是正 数，所以该命题是真命题.
(3)命题的否定：“所有四边形都有外接圆”.因为只有对角互补的四边形才 有外接圆，所以原命题为真，所以命题的否定为假命题.
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全XX称X (quán chēnɡ)命题与特称命题的真假 判断
指出下列命题是全称命题还是特称命题，并判断它们的真假. (1)∀x∈N,2x＋1 是奇数； (2)存在一个 x0∈R，使x0－1 1＝0； (3)存在一组 m，n 的值，使 m－n＝1； (4)至少有一个集合 A，满足 A {1,2,3}.
(4)命题的否定：“∀x，y∈Z，都有 2x＋y≠3”. ∵当 x＝0，y＝3 时， 2x＋y＝3， ∴原命题为真，命题的否定为假命题.
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对含有一个量词的命题的否定要注意以下问题 1.确定命题类型，是全称命题还是特称命题. 2.改变量词：把全称量词改为恰当的存在量词；把存在量词改为恰当的全 称量词. 3.否定结论：原命题中的 “是”“有”“存在 ”“成立”等改为“不 是”“没有”“不存在”“不成立”等. 4.无量词的全称命题要先补回量词再否定.
《1.4.1全称量词与存在量词》教学案1
《1.4.1全称量词与存在量词》教学案11.4.1《全称量词存在量词》教学案【学习目标】1．掌握全称量词与存在量词的的意义；2．掌握含有量词的命题：全称命题和特称命题真假的判断．【教学过程】一、课前预习案： (一)复习1：写出下列命题的否定，并判断他们的真假： (1)2是有理数；(2)5不是15的约数(3)8?7?15 (4)空集是任何集合的真子集 2：判断下列命题的真假，并说明理由：(1)p?q，这里p：?是无理数，q：?是实数； (2)p?q，这里p：?是无理数，q：?是实数； (3) p?q，这里p：2?3，q：8?7?15； (4) p?q，这里p：2?3，q：8?7?15．(二)探究：全称量词与存在量词的意义、全程命题与特称命题的判断 1．下列语句是命题吗？(1)与(3)，(2)与(4)之间有什么关系？ (1)x?3； (2)2x?1是整数；(3)对所有的x?R,x?3； (4)对任意一个x?Z，2x?1是整数． 2．下列语句是命题吗？(1)与(3)，(2)与(4)之间有什么关系？ (1)2x?1?3； (2)x能被2和3整除；(3)存在一个x0?R，使2x0?1?3； (4)至少有一个x0?Z，x0能被2和3整除． 3．短语“__________”,“__________”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“__________”表示，含有__________ 的命题，叫做全称命题．其基本形式为：?x?M,p(x)，读作：__________4．短语“__________”,“__________”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“__________”表示，含有__________的命题，叫做特称命题．其基本形式?x0?M,p(x0)，读作：__________.(三)试试：判断下列命题是不是全称命题或者特称命题，(1)中国所有的江河都流入大海； (2)存在一个实数不能作为除数； (3)任何一个实数除以1，仍等于这个实数； (4)每一个非零向量都有方向．拓展：注意哪些词是量词是解决本题的关键，还应注意全称命题和存在命题的结构形式．二、课堂探究案：例1 判断下列全称命题的真假：(1)所有的素数都是奇数； (2)?x?R,x2?1?1； (3)对每一个无理数x，x2也是无理数．变式：判断下列命题的真假： (1)?x?(5,8),f(x)?x2?4x?2?0(2)?x?(3,??),f(x)?x2?4x?2?0拓展：要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中每一个元素x验证p(x)成立；但要判定全称命题是假命题，却只要能举出集合M中的一个x?x0，使得p(x0)不成立即可．例2 判断下列特称命题的真假： (1) 有一个实数x0，使x02?2x0?3?0； (2) 存在两个相交平面垂直于同一条直线； (3) 有些整数只有两个正因数．变式：判断下列命题的真假：(1)?a?Z,a2?3a?2 (2)?a?3,a2?3a?2拓展：要判定特称命题“?x0?M,p(x0)” 是真命题只要在集合M中找一个元素x0，使p(x0)成立即可；如果集合M中，使P(x)成立的元素x不存在，那么这个特称命题是假命题．三、课堂反馈：1. 判断下列全程命题的真假：（1）每个指数函数都是单调函数；（2）任何实数都有算术平方根；（3）每个无理数的平方仍是无理数.、四、课后练习题：必做题：1．下列命题为特称命题的是( )．A．偶函数的图像关于y轴对称 B．正四棱柱都是平行六面体 C．不相交的两条直线都是平行线 D．存在实数大于等于3 2．下列特称命题中真命题的个数是( )．(1)?x?R,x?0；(2)至少有一个整数它既不是合数也不是素数；(3)?x?{x|x是无理数}，x2是无理数．A．0个 B．1个 C．2个 D．4个 3．下列命题中假命题的个数( )．(1)?x?R,x2?1?1；(2)?x?R,2x?1?3； (3)?x?Z,x能被2和3整除；(4)?x?R,x2?2x?3?0A．0个 B．1个 C．2个 D．4个 4．下列命题中(1)有的质数是偶数；(2)与同一个平面所成的角相等的两条直线平行；(3)有的三角形三个内角成等差数列；(4)与圆只有一个公共点的直线是圆的切线，其中全称命题是__________特称命题是__________．5．用符号“?”与“?”表示下列含有量词的命题． (1)实数的平方大于等于0：_________________. (2)存在一对实数使2x?3y?3?0成立：__________. 选做题：1．判断下列全称命题的真假： (1)每条直线在y 轴上有截距；(2)每个二次函数的图像都与x轴有交点； (3)任何一个实数乘以0都等于0； 2．判断下列特称命题的真假： (1)有些实数是无限不循环小数； (2)有些三角形不是等腰三角形； (3)有的菱形是正方形．感谢您的阅读，祝您生活愉快。
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• 1.理解全称量词和全称命题的概念、表示方法。 • 2.理解存在量词和存在命题的概念、表示方法。 • 3.会判定全称命题和存在命题的真假。
思考与探究1
下列语句是命题吗？(1)与(3),(2)与(4)之间有 什么关系？
(1) p(x)： x>3； (2) q(x)： 2x+1是整数； (3)对所有的实数 x ，x>3； ______ (4)对任意一个整数 x ，2x+1是整数。 _________
含有全称量词的命题,叫作全称命题.
全称命题举例： 正方形都是矩形。
你能举出一个吗？
全称命题的表示方法：
含有变量x的语句用p(x), q(x), r(x),… 表示，变量x的取值范围用M表示，
全称命题“对M中任意一个x，p(x) ”可用符号简记为：
x M，p( x),
读作“对任意x属于M，p(x)”。
———需要对集合M中每个元素x，证明p(x)成立
思考与探究2
1.下列语句是否是命题?
(1)有一个实数 x，x>3； _______ (2)至少有一个整数 x， 2x+1是整数。 _____________ 可以判断真假，是命题。
2.“有一个” 、“至少有一个”的含义是什么
个体或部分
常见的存在量词还有 “有些”“某个”“有 的”等 。 短语“有一个”、“至少有一个”表示个体或部分的含义，
x0 M，p( x0 ),
读作“存在一个x0属于M，p(x0)”。
例如：(1)有一个实数x，x>3；
x∈R，x>3。 记为：
(2)至少有一个整数x， 2x+1是整数
x∈Z， 2x+1是整数。 记为：
例2 . 判断下列特称命题的真假：
（1）x0 R, x0 （ 2）
0;
（3） x ∈Q ，x2=3
这样的词叫作存在量词，用符号“ ”表示，读作“存
在” 。含有存在量词的命题，叫作存在（特称）命题。
特称命题举例：
有些平行四边形是菱形
存在实数x，使得x2+x-1=0。
特称命题的表示方法：
含有变量x的语句用p(x), q(x), r(x),… 表示，变量x的取值范围用M表示， 特称命题可用符号简记为：
（1）（2）是真，（3）是假
小结:
判断特称命题“x0∈M, p(x0) ”是真命题的方法 ——只需在集合M中找到一个元素x0,使得p(x0) 成立即可(举例证明） 判断存在命题“x0∈M, p(x0) ”是假命题的方法
——需要证明集合M中，不存在使p(x)成立的元素x
练习：判断下列命题哪些是全称命题，
哪些是特称命题，并判断真假性。 （1）对顶角相等； （2）存在两个相交平面垂直于同一条直线； （3）每个指数函数都是单调函数.
（1）（3）是全称命题，（2）是特称命题。 (1) (3)ຫໍສະໝຸດ 真命题，(2) 是假命题。小结
全称命题： （1）基本形式： x M , p( x) （2）意义：对M中任意一个x，有p(x)成立 （3）真假性的判断：
反例否定
特称命题： （1）基本形式： x0 M , p( x0 ) （2）意义：M中存在一个x0，使p(x0)成立 （3）真假性的判断：
特例肯定
语句(1)(2)不能判断真假，不是命题。 语句(3)(4)可以判断真假，是命题。
2. “所有” 、 “任意一个”的含 义是什么？ 全体
常见的全称量词还有 “一切” “每一个” “任给”“ 都”等 。
短语“所有” “ 任意一个” 等表示全体或全部的含义，
这样的词叫作全称量词,并用符号 “
意”
”表示.读作“任
例如：(1)对所有的实数x ，x>3。 记为： x∈R，x>3。
(2)对任意一个整数x ，2x+1是整数。
记为： x∈Z， 2x+1是整数。
例1
判断下列全称命题的真假：
（ 1） x ∈ R, x2＋2＞0 ；
（2）任何实数都有算术平方根； （ 3） （1）是真，（2）（3）是假。
小 结： 1.判断全称命题“x∈M, p(x) ”是真命题的方法 判断全称命题“x∈M, p(x) ”是假命题的方法 ——只需在集合M中找到一个元素x0，使得p(x0) 不成立即可（举反例）