高三数学课件：函数的极值课件
合集下载
《函数极值》课件
三、求函数极值的步骤
y
o
x0
极值点
y
xo
x0
x
极值点
y
y
o
xo
极值点
x0
x
不是极值点
三、求函数极值的步骤
y
y
y
y
o
x0
xo
x0
xo
xo
x0
x
（1）求函数f(x)的定义域
(2) 求导数f/(x)，找出f(x)的所有驻点及导数不存在的点；
（3）用驻点及导数不存在的点划分定义域区间成若干子区间
判定导数f/(x)在每个区间的符号及函数在每个区间的单调性；
函数的极值及求法
问题引入：
在连绵群山之中，各个山峰 的顶端，虽然不一定是群山的最 高处，但它却是其附近所有点的 最高点．同样，各个谷底虽然不 一定是群山之中的最低处，但它 却是附近所有点的最低点．
一、函数的极值定义
y
我在这里哦！
ao
()
x0 b x
已知函数y=f(x)，设x0是定义域（a,b)内任一点，如果 对x0附近的所有点x(x≠x0)，都有
（4）根据定理，判定驻点和导数不存在的点是否为极值点，从而 求出函数的极值。
练习题
函数y=1 +3x－x3有( D ) (A) 极小值－1，极大值1 (B) 极小值－2，极大值3 (C) 极小值－2，极大值2 (D) 极小值－1，极大值3
1.极值的定义： 2.y=f(x)在x0处有极值的判定： 3.求极值的步骤:
函数的极大值与极小值统称为极值， 极大值点与极小值点统称为极值点
思考
极大值一定大于极小值吗？
极值是对某一点附近的小区间而言的 极大值与极小值没有必然关系，极大 值可能比极小值小，如图所示。
导数的应用：函数的极值问题 高中数学课堂教学ppT课件
练习1.函数f (x) 2x3 3x2 a的极大值为6，则a （C ）
A.5
B.0
C.6
D.1
练习2.函数f (x) x3 ax2 3x 9，已知f (x)在x 3时取得极值，
则a （A）
A.5
B.0
C.6
D.1
练习3，若函数f (x) x3 ax2 3x 9无极值，则a的
(2)如果函数 y＝f(x)在区间(a，x0)上是 单调递减 的，在区 间(x0，b)上是 单调递增 的，则 x0 是极小值点，f(x0)是极小值.
注：在不为单调函数的前提下，极值点是导函数的零点，即方程 的根。
如：已知函数f (x)的图象如下,则函数f (x)在区间[a, h] 上的极大值点和极小值点分别有（ ）个
取值范围为（ C）
注：以下五点点加深对极值的理解 ，所有函数为可导函数
四、课堂小结
1.函数的极值的概念 2.会求函数的极值
答：极大值点有c,e,g 极小值点有：b,d,f
o
abc d e f
gh x
A.2,没有 C.4,0
B.(0,0), (4,0) D.(4,0), (0,0)
三、求函数的极值
注：求函数极值的步骤 (1)确定函数的定义域； (2)求方程 f′(x)＝0 的根； (3)用方程 f′(x)＝0 的根顺次将函数的定义域分成若干个 小开区间，并列成表格；(写出单调区间) (4)由 f′(x)在方程 f′(x)＝0 的根左右的符号，来判断 f(x) 在这个根处取极值的情况．
提示：f(x)在(a，x0)上单调递增，导数大于零，在(x0，b)上单 调递减，导数小于零．
问题 4：函数 y＝g(x)在(a，b)上，结论如何？ 提示：与 y＝f(x)在(a，b)上结论相反．
3.3导数与函数的极值最值课件高三数学一轮复习2
提醒：(1)极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质．极 值点是函数在区间内部的点，不会是端点．
(2)对于可导函数f(x)，f ′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件． 例如f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是极值点． (3)极大值(或极小值)可能不止一个，可能没有，极大值不一定大于极小值．
提醒：(1)极值是一个局部性概念，反映的是函数在某个点附近的大小情况，并不意 味它在函数的整个定义域内最大或最小；最值是一个整体性的概念，函数的最值是比较 某个区间内的所有函数值得出的．
(2)若函数在开区间(a，b)内的极值点只有一个，则相应极值点为函数最值点． (3)若函数在闭区间[a，b]的最值点不是端点，则最值点必为极值点． (4)连续函数的极值个数不确定，而函数在某一闭区间上的最大和最小值是唯一的．
②若 a<0，要使函数 f(x)在 x＝a 处取得极大值，则需 f(x)在a＋32b，a上单调递增，在 (a，＋∞)上单调递减，此时需满足 a>a＋32b，得 b<a<0，∴a2<ab.
综上可知，a2<ab，故选 D.
3．(角度 2)已知函数 f(x)＝x3＋6lnx，f ′(x)为 f(x)的导函数．求函数 g(x)＝f(x)－f ′(x) ＋9的单调区间和极值．
3 值点，则实数 a 的取值范围是____－__∞__，__－__14_∪___14_，__＋__∞__ ___．
【解析】
(1) 因 为
f′(x)
＝
3x2
＋
6mx
＋
n
，
由
题
有
f′－1＝0， f－1＝0，
即
3－6m＋n＝0， －1＋3m－n＋m2＝0，
函数的极值-课件
函数的极值-PPT课件
这份PPT课件介绍了函数的极值，包括引言、函数的极值点、函数的极值定理、 函数的极值应用等内容。通过本课件，你将深入了解这一重要数学概念的定 义、分类和应用。
一、引言
函数的极值是指函数在特定范围内的最大值或最小值。本节将讨论函数的极 值的定义以及不同类型的极值。
二、函数的极值点
极大值点和极小值点的定义
极大值点是函数在某个范围内的最大值，极小值点是函数在某个范围内的最小值。
函数求极值的步骤
求函数的极值需要确定函数的驻点和临界点，并通过对函数求导来判断是极大值还是极小值。
三、函数的极值定理
第一极值定理
如果函数在某个区间内连续且可导，那么在这个区 间内一定存在至少一个极值点。
六、参考文献
1 数学分册
数学分册中关于函数和极 值的相关章节提供了更深 入的理论和应用。
2 数学课程
数学课程中有关函数极值 的教材和讲义提供了更详 细的学习材料。
3 数学学习资料
网络上有很多关于函数的 极值的学习资料，可以进 一步加深对这一概念的理 解。
第二极值定理
如果函数在某个区间内可导，并且在驻点处的导数 不等于零，那么这个驻点必定不是极值点。
四、函数的极值应用
数学实际问题中的应 用
函数的极值在物理、经济学等 领域中的实际问题中有着广泛 的应用，如求解最大利润、最 小费用等。
OA题型解析
函数的极值常出现在各类OA题 目中，掌握函数的极值求解方 法有助于解答相关题目。
PSAT、SAT、GRE题 型解析
函数的极值是PSAT、SAT、GRE 等考试中经常出现的题型，熟 悉函数的极值概念和求解方法 对应试有帮助。
五、总结
1 函数的极值常见考点
这份PPT课件介绍了函数的极值，包括引言、函数的极值点、函数的极值定理、 函数的极值应用等内容。通过本课件，你将深入了解这一重要数学概念的定 义、分类和应用。
一、引言
函数的极值是指函数在特定范围内的最大值或最小值。本节将讨论函数的极 值的定义以及不同类型的极值。
二、函数的极值点
极大值点和极小值点的定义
极大值点是函数在某个范围内的最大值，极小值点是函数在某个范围内的最小值。
函数求极值的步骤
求函数的极值需要确定函数的驻点和临界点，并通过对函数求导来判断是极大值还是极小值。
三、函数的极值定理
第一极值定理
如果函数在某个区间内连续且可导，那么在这个区 间内一定存在至少一个极值点。
六、参考文献
1 数学分册
数学分册中关于函数和极 值的相关章节提供了更深 入的理论和应用。
2 数学课程
数学课程中有关函数极值 的教材和讲义提供了更详 细的学习材料。
3 数学学习资料
网络上有很多关于函数的 极值的学习资料，可以进 一步加深对这一概念的理 解。
第二极值定理
如果函数在某个区间内可导，并且在驻点处的导数 不等于零，那么这个驻点必定不是极值点。
四、函数的极值应用
数学实际问题中的应 用
函数的极值在物理、经济学等 领域中的实际问题中有着广泛 的应用，如求解最大利润、最 小费用等。
OA题型解析
函数的极值常出现在各类OA题 目中，掌握函数的极值求解方 法有助于解答相关题目。
PSAT、SAT、GRE题 型解析
函数的极值是PSAT、SAT、GRE 等考试中经常出现的题型，熟 悉函数的极值概念和求解方法 对应试有帮助。
五、总结
1 函数的极值常见考点
高中数学北师大版选修1-1第三章《函数的极值》ppt课件
④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、 语文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面 的内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
当 2 x 3时, f (x) 0,函数在(2,3)上是递减的, 当x 3时, f (x) 0,函数在(3,)上是递增的; 因此, x2 3是函数的极小值点.
可用下表来判断
x (,2) 2
y
+
0
y f (x)
极大值
(2,3)
3
0 极小值
(3,)
② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知 识逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。
③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等 等，这些用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网
例3求函数f (x) 3x3 3x 1的极值.
解 : 首先求出导函数,由导数公式表和求导法则可得: f (x) 9x2 3.
解方程: f (x) 0,得 : x1
3 3 , x2
3. 3
根据x1, x2列出下表 ,分析f (x)的符号, f (x)的单调性和
⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆，而且有利于抓住老师的思路。
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面 的内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
当 2 x 3时, f (x) 0,函数在(2,3)上是递减的, 当x 3时, f (x) 0,函数在(3,)上是递增的; 因此, x2 3是函数的极小值点.
可用下表来判断
x (,2) 2
y
+
0
y f (x)
极大值
(2,3)
3
0 极小值
(3,)
② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知 识逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。
③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等 等，这些用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网
例3求函数f (x) 3x3 3x 1的极值.
解 : 首先求出导函数,由导数公式表和求导法则可得: f (x) 9x2 3.
解方程: f (x) 0,得 : x1
3 3 , x2
3. 3
根据x1, x2列出下表 ,分析f (x)的符号, f (x)的单调性和
⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆，而且有利于抓住老师的思路。
高中数学《函数的极值与导数》PPT
课后课时精练
[解] (1)函数 f(x)＝3x＋3ln x 的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝－x32＋3x＝3xx－2 1，
令 f′(x)＝0 得 x＝1.
当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(0,1)
1
(1，＋∞)
f′(x) －
0
＋
f(x)
极小值 3
因此当 x＝1 时，f(x)有极小值，并且 f(1)＝3.
课前自主预习
课堂互动探究
随堂达标自测
课后课时精练
答案
拓展提升 求函数极值的方法
一般地，求函数 y＝f(x)的极值的方法是：解方程 f′(x)＝0，设解为 x0， (1)如果在 x0 附近的左侧 f′(x)>0，右侧 f′(x)<0，那么 f(x0)是极大值； (2)如果在 x0 附近的左侧 f′(x)<0，右侧 f′(x)>0，那么 f(x0)是极小值．
课前自主预习
课堂互动探究
Hale Waihona Puke 随堂达标自测课后课时精练
注意：如果在 x0 附近的两侧 f′(x)符号相同，则 x0 不是函数 f(x)的极值 点．例如，对于函数 f(x)＝x3，我们有 f′(x)＝3x2.虽然 f′(0)＝0，但由于无 论是 x>0，还是 x<0，恒有 f′(x)>0，即函数 f(x)＝x3 是单调递增的，所以 x ＝0 不是函数 f(x)＝x3 的极值点．一般地，函数 y＝f(x)在一点的导数值为 0 是 函数 y＝f(x)在这点取极值的必要条件，而非充分条件．
课前自主预习
课堂互动探究
随堂达标自测
课后课时精练
答案
[条件探究] 若将本例(2)中 a>0 改为 a<0，结果会怎样？
高二数学函数的极值课件
寻找解决方案
如何将绝对值函数分段，以将其带入不同的定义 域来确定其极值。
带参数的函数极值
1 多元函数最值定理
了解多元函数最值定理的基本原理，以及如何将其应用于带参数的函数极值问题。
2 应用实例
如何根据问题的具体要求，确定函数参数的最优值。
函数反转法求函数最值
了解函数反转法
什么是函数反转法？如何通过函数反转法来简 化找到函数的最值。
常见极值点的类型
了解峰值点和谷值点的定义以及如何区分它们。
如何确定极值点
了解如何使用导数或其他方法确定函数的极值点。
求解函数极值的方法
1
使用导数法
导数法是求解函数极值的基本方法。
2
使用二次函数分析法
了解如何使用二次函数来分析实际问题，以确定函数的极值。
3
查看函数的图像
通过观察函数的图像来确定函数的极值。
一次函数的极值
一次函数的定义
了解一次函数的数学定义以及其图像。
应用实例
如何将一次函数应用于实际问题，以确定其最值。
二次函数的极值
1
二次函数的最值
2
如何通过计算或求导数来求解二次函
数的最值。
3
了解二次函数的图像
二次函数的图像是一个拱形。了解这 一特性在确定极值时的作用。
应用实例
如何将二次函数应用到实际问题中， 以确定其最值。
如何将极值理论与实际问题联系起来。
解决实际问题的思考过程
开发解决实际问题的有效思考过程。
应用实例
如何通过将学到的技能应用到实际问题中，解决实际问题。
三次函数的极值
了解三次函数的图像
三次函数的图像是一个拱形或S形。它可能 有一个或两个极值点。
函数的极值ppt课件
●
四 、不含参数的函数求极值
变式训练 求下列函数的极值：
(1)f(x)=x²e-×;
[解析](1)函数f(X) 的定义域为R,
f(x)=2xe-×+x²·e-×.(-x)'=2xe-×-x²e-×=x(2-x)e-×.
令f'(x)=0,得x(2-x)e-×=0,解得x=0 或x=2. 当x变化时，f'(x),f(x) 的变化情况如表所示：
2.对极值概念的再理解 (1 )极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数值，与它附近点的函数值比较它是 最大值或最小值，但并不意味着它在函数的整个定义域内是最大值或最小值；
(2 ) 一个函数在某区间上或定义域内的极大值或极小值可以不止一个； (3)函数的极大值与极小值之间无确定的大小关系； (4)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点； (5)单调函数一定没有极值.
e
f'(x)
十
0
f(x)
1
e
故当- 时，函数(x)取得极大值，且极大值为
●
(e,+0)
《
3求含参函数的极值
例2 已知函数f(x)=x-aln x(a∈R) ,求函数f(x)的极值.
①当a ≤0时，f(x)>0, 函数f(x)为(0,+0)上的增函数，函数f(x)无极值； ②当a>0 时，令f'(x)=0, 解得x=a,
课堂小结
y
f'(x₀)=0
f'(x)>0
f'(x)<0
y
f'(x <0
f'(x,)=0 f(x)
>0
a Xo b
《高二数学函数极值》PPT课件
f(x) 0 f(x) 0
x0,b
f(x)
极大值
f(x)
极小值
左正右负
左负右正
f(x) 1x34x4 3
（2） fx3xx3
（3）fxx2131
y
f(x)=
1 3
x3-4x+4
2
-2 O
x
h
9
归纳 求函数的极值的步骤:
(1)求导数 f(x)； (2)求方程 f(x)=0的根； (3)检查 f(x)在方程根左右的值的符号，如
❖探索: x =0是否为函数 fxx3的极值点?
y f(x)x3
Ox
f(x0) =0
x0 是函数f(x)的极值点
h
7
3.函数极值与导数的关系
y
几何说明：曲线在极值点
y 处的切线斜率为0，极大值
点左侧切线斜率为正，右 侧为负；极小值点反之。
o a x0
b
x
oa
x0
bx
x a, x0 x 0
x0,b
x a, x0 x 0
的函数
x 0)为函
数的极大值。
（数2）y=极f(小x)值在：任在何包一含点x的0的函一数个值区都间不（小a于,b点）x内0 的，函函数 值，称x 0 点为函数的极小值点，其函数值f(x 0)为函
数的极小值。
（3）极值：极大值与极小值统称为极值。
函数值
自变
量
（4）极值点：极大值点与极小值点统称为极值点。
h
5
2.定义再理解 y
识图说出 极值点？
m
x2
x1
o
x3 x4 x5
n x
（1）极值是一个局部概念。 （2）函数的极值不是唯一的 。 （3）极大值与极小值之间无确定的大小关系 。
【优】高中数学函数的极值和最值PPT资料
高中数学函数的极值和最值
本节重点: 极值的定义,极值存在的必要条件和充分条件,求极 值的方法,求最值的方法
本节难点: 极值和最值的关系,极值点和驻点、不可导点之间的 关系, 求极值和最值的方法
一、极值及其求法
1.极值的定义:
定内义异:于设xy0=的f(任x)在意点x 0 x某都一有邻: 域内有定义,如果对于该邻域
(2) 极值不唯一,极大值不一定比极小值大
2.极值存在的必要条件和充分条件:
(1)必要条件
x x 定理 若函数f(x)在 例 x=0是函数
的驻点而非极值点;
（2）极值存在的第一充分条件
0 可导,且在
0 处取得
极值,则 f (x ) 0 极大值,极小值统称为极值;极大值点,极小值点统称为极值点.
(3）若x从 的左侧变化到右侧时， 不变号，0则f (x)在 处无极值.
f ( x ) f ( x ) 例 x=0是函数
的驻点而非极值点;
0
当 x < x 时 , > 0 ; 极大值,极小值统称为极值;极大0值点,极小值点统称为极值点.
x x0
当
x>
x
时
0
,
f (x) f (x0) <0 x x0
f( x0 )
lim
x x0
f (x) f (x0 ) 0; x x0
注：此定理也可以判断不可导点是否为极值点
例1
求y (2x 5) 3
x
2
的极值点和极值
5
2
解:定义域为(-,+) y ' 2x 3 5x 3
x x x x y ' 10
2 10 3
1 3
10
本节重点: 极值的定义,极值存在的必要条件和充分条件,求极 值的方法,求最值的方法
本节难点: 极值和最值的关系,极值点和驻点、不可导点之间的 关系, 求极值和最值的方法
一、极值及其求法
1.极值的定义:
定内义异:于设xy0=的f(任x)在意点x 0 x某都一有邻: 域内有定义,如果对于该邻域
(2) 极值不唯一,极大值不一定比极小值大
2.极值存在的必要条件和充分条件:
(1)必要条件
x x 定理 若函数f(x)在 例 x=0是函数
的驻点而非极值点;
（2）极值存在的第一充分条件
0 可导,且在
0 处取得
极值,则 f (x ) 0 极大值,极小值统称为极值;极大值点,极小值点统称为极值点.
(3）若x从 的左侧变化到右侧时， 不变号，0则f (x)在 处无极值.
f ( x ) f ( x ) 例 x=0是函数
的驻点而非极值点;
0
当 x < x 时 , > 0 ; 极大值,极小值统称为极值;极大0值点,极小值点统称为极值点.
x x0
当
x>
x
时
0
,
f (x) f (x0) <0 x x0
f( x0 )
lim
x x0
f (x) f (x0 ) 0; x x0
注：此定理也可以判断不可导点是否为极值点
例1
求y (2x 5) 3
x
2
的极值点和极值
5
2
解:定义域为(-,+) y ' 2x 3 5x 3
x x x x y ' 10
2 10 3
1 3
10
【优】高中数学函数的极值与最值PPT资料
只需考虑 f ( x) 在区间 [0,2] 上的情况.
f '(x) coxssix n
令 f '(x) 0 解得 x , 5
44 f ''(x) six ncoxs
极 极ff'''大 小'((544值 值)) ff((445ss)ii )nn454 2cco2os445s 22
0 0
+
)
x
x0
+
f ( x0 ) 不是极值
f (x)
f '(x)
(
x0
x0
-
)
x
- x0 f ( x0 ) 不是极值
例1 求 f(x)36x2x3 的极值.
解 (1)定义域: ( , )
(2)
f '(x)
1
(6x2
x3
2
)3
4 (12x3x2)
3
4
2
x 3 (6 x ) 3 x(4x)
1
(2)当 f''(x0)0时, f ( x0 )是极小值
证 (1) 按定义
f
''(x0)
limf'(x)f'(x0)
xx0
xx0
lim x x0
f '(x) x x0
f''(x0)0
lim
x x0
f '(x) x x0
0
(f'(x0)0)
由函数极限的局部保号性得: 0,
当 0|xx0|时 ,就有
(3) 若当 x由小到大经过 x 0 时, f '(x)的符号不改变 则 f ( x0 ) 不是极值.
函数的极值,最大值与最小值PPT课件
m min{ f (3), f (2), f (1), f (4)} f (1) 7.
例5. 工厂C与铁路线的垂直距离AC为20km A 点到火车站B的距离为100km 欲修一条从工厂到 铁路的公路CD 已知铁路与公路每公里运费之比 为3:5 为使火车站B与工厂C间的运费最省 问D 点应选在何处？
所以
f
( x0
)
lim
x x0
f (x) f (x0 ) 0, x x0
当x
x0 时,
f (x) f (x0 ) x x0
0, 所以
f
(x0 )
lim
x x0
f (x) f (x0 ) 0, x x0
使导数f (x)为零的点(方程f (x)0的 实根)称为函数f(x)的驻点.
(2)当x x0时, f (x) 0,当x x0时, f (x) 0，
则x0为f (x)的极小值点.
说明: 对于情形(1)，由判别定理可知,
当 x x0 时, f(x)单调增加, 当 x x0 时, f(x)单调减少,
因此可知x0为f(x)的极大值点. 同理可说明情形(2).
判定函数极值一般步骤
(1)求出函数f(x)在(a b)内的驻点和不可导
点 设这些点为x1 x2 xn; (2)计算函数值 f(a) f(x1) f(xn) f(b) ;
(3)判断: 最大者 M 是函数f(x)在[a b]
上的最大值 最小
者是函数f(x)在[a m
b]上的最小值
x1 x2 x3 x4 x5
第四节 函数的极值和最大、最小值
一、函数的极值及其求法 二、最大值最小值问题
一、函数的极值
1. 极值的定义
定义 设函数f(x)在x0的某邻域内有定义, 如 果对于该邻域内任何异于x0的x都有
例5. 工厂C与铁路线的垂直距离AC为20km A 点到火车站B的距离为100km 欲修一条从工厂到 铁路的公路CD 已知铁路与公路每公里运费之比 为3:5 为使火车站B与工厂C间的运费最省 问D 点应选在何处？
所以
f
( x0
)
lim
x x0
f (x) f (x0 ) 0, x x0
当x
x0 时,
f (x) f (x0 ) x x0
0, 所以
f
(x0 )
lim
x x0
f (x) f (x0 ) 0, x x0
使导数f (x)为零的点(方程f (x)0的 实根)称为函数f(x)的驻点.
(2)当x x0时, f (x) 0,当x x0时, f (x) 0，
则x0为f (x)的极小值点.
说明: 对于情形(1)，由判别定理可知,
当 x x0 时, f(x)单调增加, 当 x x0 时, f(x)单调减少,
因此可知x0为f(x)的极大值点. 同理可说明情形(2).
判定函数极值一般步骤
(1)求出函数f(x)在(a b)内的驻点和不可导
点 设这些点为x1 x2 xn; (2)计算函数值 f(a) f(x1) f(xn) f(b) ;
(3)判断: 最大者 M 是函数f(x)在[a b]
上的最大值 最小
者是函数f(x)在[a m
b]上的最小值
x1 x2 x3 x4 x5
第四节 函数的极值和最大、最小值
一、函数的极值及其求法 二、最大值最小值问题
一、函数的极值
1. 极值的定义
定义 设函数f(x)在x0的某邻域内有定义, 如 果对于该邻域内任何异于x0的x都有
《函数极值》课件
详细描述
举例
考虑函数$f(x) = x^3$，其一阶导数 为$f'(x) = 3x^2$，在$x=0$处，一 阶导数由正变负，故函数在$x=0$处 取得极小值。
当一阶导数在某点的左右两侧由正变 负或由负变正时，函数在该点取得极 值。
二阶导数判定法
总结词
通过判断二阶导数的正负来判断 函数在某点的极值。
01
02
03
04
梯度下降法
通过计算目标函数的梯度，沿 着梯度负方向寻找最小值。
牛顿法
通过构造目标函数的Hessian 矩阵，求解方程组得到最优解
。
遗传算法
模拟生物进化过程的自然选择 和遗传机制，通过迭代搜索最
优解。
模拟退火算法
模拟固体退火过程的随机搜索 算法，能够在全局范围内找不同的分类标准，可以将极值分为两类。第一类极值 是相对较小的极值，而第二类极值则是相对较大的极值。
单侧极值和双侧极值
根据定义，单侧极值是指函数在某一点的左侧或右侧存在 单调性改变的极值点；而双侧极值则是指函数在某一点的 两侧都存在单调性改变的极值点。
02
极值的判定
一阶导数判定法
总结词
通过判断一阶导数的正负来判断函数 在某点的极值。
在物理领域的应用
运动轨迹分析
在物理学中，极值原理可以用于分析物体的运动轨迹。例如，在分析行星的运动 轨迹时，可以利用极值原理确定行星在各个时刻的位置和速度。
能量最小化
在力学和电磁学等领域，极值原理可以用于寻找系统能量的最小值。例如，在分 析弹簧振荡器的运动时，可以利用极值原理确定振荡器的平衡位置和能量最小值 。
详细描述
当二阶导数在某点的左右两侧符号 相反时，函数在该点取得极值。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
小结： 小结：
（1）本节从函数图象出发阐述了 函数的极大值、极小值、极值、 函数的极大值、极小值、极值、极值 点的意义； 点的意义； （2）函数的极值是就函数在某一 点附近的小区间而言的， 点附近的小区间而言的，而且函数要 在这点处连续； 在这点处连续； （3）利用导数求函数的极大值和 极小值的方法。 极小值的方法。
1 3 例1.求函数y = x − 4x + 4的极值 求函数y 3
解: 令y’=0,得x=2,-2. 列表如下 得 x (-∞,-2) -2 (-2,2) 2 (2,+∞) y’ 0 + + － 0 y 增函数 极大 减函数极小 增函数 28/3 －4/3
2-4=(x+2)(x-2) y’=x
有极大值， ∴当x=-2时，y有极大值，y极大值＝ 时 有极大值 28/3 有极小值， 当x=2时，y有极小值，y极小值＝-4/3 时 有极小值
1 (1)y = x + cosx ( −2π< x < 2π) 2 (2)y = x − 2sinx ( −2π< x < 2π)
是不是导数等于0的点都是极值点？ 是不是导数等于 的点都是极值点？ 的点都是极值点
不是
是不是极值点都是导数等于0的点 是不是极值点都是导数等于 的点
不是
对于可导函数，其一点是极值点 对于可导函数， 的必要条件是这点的导数为0； 的必要条件是这点的导数为 ；其一 点是极值点的充分条件是这点两侧的 导数异号。 导数异号。
3+ax2+bx+27在 2.已知函数 已知函数y=x +bx+27在 2.已知函数y=x
x=- 有极大值， x=3有极小值， x=-1有极大值，在x=3有极小值， 有极小值 -3 则a=_____,b=______. -9 3.求函数y=x(1- 的极值. 3.求函数y=x(1-x)3的极值. 求函数y=x(1
随堂练习： 随堂练习：
1某三次函数当x=1时有极大值 某三次函数当x=1时有极大值 x=1 x=3时有极小值 时有极小值0 4，当x=3时有极小值0，且函数 图象过原点，则此函数为（ 图象过原点，则此函数为（ ） C
3+6x2+9x A.y=x
B.
3-6x2-99x D. y=x3+6x2-9x
x0 .
函数的极值
一般地，设函数 在点x 一般地，设函数f(x)在点 0附近有定义， 在点 附近有定义， 如果对x 附近的所有的点,都有 都有f(x)<f(x0), 如果对 0附近的所有的点 都有 就说f(x 是函数 是函数f(x)的一个极大值 的一个极大值. 就说 0)是函数 的一个极大值 记做 y极大值＝f(x0). 如果对x 附近的所有的点,都有 都有f(x)>f(x0), 如果对 0附近的所有的点 都有 就说f(x 是函数 是函数f(x)的一个极小值 的一个极小值. 就说 0)是函数 的一个极小值 记做 y极小值＝f(x0).
判断极大和极小值的方法： 判断极大和极小值的方法： 1.如果在 0附近的左侧 如果在x 附近的左侧f’(x)>0,右侧 如果在 右侧 f’(x)<0,那么 0)是极大值 那么f(x 是极大值 是极大值. 那么 2.如果在 0附近的左侧 如果在x 附近的左侧f’(x)<0,右侧 如果在 右侧 f’(x)>0,那么 0)是极小值 那么f(x 是极小值 是极小值. 那么 左正右负（左增右减） 左正右负（左增右减）为极大 左负右正（左减右增） 左负右正（左减右增）为极小
求极值的步骤： 求极值的步骤：
1.求导数 求导数f’(x) 求导数 2.求方程 求方程f’(x)=0的根 求方程 的根 3.检查 检查f’(x)在方程的根的左右的值 检查 在方程的根的左右的值 的正负， 的正负，由此断定极值
例2：求函数 ：求函数y=(x2-1)3+1的极值 的极值 P136练习 求下列函数的极值
5+ax3+bx+1, 4.已知函数 已知函数f(x)=x 4.已知函数f(x)=x
仅当x=-1,x=1时取得极值， 仅当x=-1,x=1时取得极值，且 x= 时取得极值 极大值比极小值大4 极大值比极小值大4，求a、b的 值。极大值＝f(1/4)=27/256 -1,-2 Y