湖南省2017中考数学第一部分教材知识梳理第二单元方程组与不等式组第7课时一元二次方程及其应用试题

第二单元方程(组)与不等式(组)第7课时一元二次方程及其应用湖南3年中考（2014～2016）命题点1 解一元二次方程1. (2014岳阳10题4分)方程x2-3x+2=0的根是________.命题点2 一元二次方程根的判别式2. (2016邵阳7题3分)一元二次方程2x2-3x+1=0的根的情况是( )A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根C. 只有一个实数根D. 没有实数根3. (2016衡阳10题3分)关于x的一元二次方程x2+4x+k=0有两个相等的实根，则k的值为( )A. k=-4B. k=4C. k≥-4D. k≥44. (2015湘西州13题4分)下列方程中，没有实数根的是( )A. x2-4x+4=0B. x2-2x+5=0C. x2-2x=0D. x2-2x-3=05. (2015张家界6题3分)若关于x的一元二次方程kx2-4x+3=0有实数根，则k的非负整数值是( )A. 1B. 0，1C. 1，2D. 1，2，36. (2016长沙14题3分)若关于x的一元二次方程x2-4x-m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是________.7. (2016岳阳22题8分)已知关于x的方程x2-(2m+1)x+m(m+1)=0.(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；(2)已知方程的一个根为x=0，求代数式(2m-1)2+(3+m)(3-m)+7m-5的值(要求先化简再求值).8. (2014株洲21题6分)已知关于x的一元二次方程(a+c)x2+2bx+(a-c)=0，其中a、b、c 分别为△ABC三边的长.(1)如果x=-1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；(3)如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根.命题点3 一元二次方程根与系数的关系9. (2015衡阳8题3分)若关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为-1，则另一个根为( )A. -2B. 2C. 4D. -310. (2015怀化7题4分)设x1，x2是方程x2+5x-3=0的两个根，则x12+x22的值是( )A. 19B. 25C. 31D. 3011. (2015株洲8题3分)有两个一元二次方程：M：ax2+bx+c=0，N：cx2+bx+a=0，其中a·c ≠0，a≠c，以下四个结论中，错误的是( )A. 如果方程M有两个相等的实数根，那么方程N也有两个相等的实数根B. 如果方程M有两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同C. 如果5是方程M的一个根，那么15是方程N的一个根D. 如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x=112. (2016湘潭20题6分)已知关于x的一元二次方程x2-3x+m=0有两个不相等的实数根x1、x2.(1)求m 的取值范围；(2)当x 1=1时，求另一个根x 2的值.13. (2014怀化23题10分)设m 是不小于-1的实数，使得关于x 的方程x 2+2(m -2)x +m 2-3m +3=0有两个不相等的实数根x 1，x 2.(1)若12111x x +=，求132m -的值； (2)求2121211mx mx m x x +---的最大值.命题点4 一元二次方程的实际应用14. (2015益阳7题5分)沅江市近年来大力发展芦笋产业，某芦笋生产企业在两年内的销售额从20万元增加到80万元．设这两年的销售额的年平均增长率为x ，根据题意可列方程为()A. 20(1+2x )=80B. 2×20(1+x )=80C. 20(1+x 2)=80D. 20(1+x )2=8015. (2015衡阳11题3分)绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间，设置一块面积为900平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米.设绿地的宽为x 米，根据题意，可列方程为( )A. x(x-10)=900B. x(x+10)=900C. 10(x+10)=900D. 2［x+(x+10)］＝90016. (2015长沙23题9分)现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展.据调查，长沙市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同.(1)求该快递公司投递快递总件数的月平均增长率；(2)如果平均每人每月最多可投递快递0.6万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？答案1. 1或2 【解析】∵x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)＝0，∴x－1＝0或x－2＝0，∴x＝1或x ＝2.2. B 【解析】∵b 2－4ac ＝(－3)2－4×2×1＝1＞0，∴该方程有两个不相等的实数根． 3. B 【解析】∵方程有两个相等的实根，∴b 2－4ac ＝42－4k ＝0，解得k ＝4.4. B 【解析】方程x 2－4x ＋4＝0的判别式(－4)2－4×4＝0，∴方程有两个相等的实数根；方程x 2－2x ＋5＝0的判别式(－2)2－4×5＝－16＜0，∴方程没有实数根；方程x 2－2x ＝0的判别式(－2)2－4×0＝4＞0，∴方程有两个不相等的实数根；方程x 2－2x －3＝0的判别式(－2)2－4×(－3)＝16＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选B.5. A 【解析】∵关于x 的一元二次方程kx 2－4x ＋3＝0有实数根，∴k ≠0，且b 2－4ac ＝(－4)2－4k ·3＝16－12k ≥0，解得k ≤43，且k ≠0，∴k 的非负整数值为1.6. m >－4 【解析】∵一元二次方程有两个不相等的实数根，则b 2－4ac >0，即16＋4m >0，解得m >－4.7. (1)证明：∵b 2－4ac ＝[－(2m ＋1)]2－4m (m ＋1)＝4m 2＋4m ＋1－4m 2－4m＝1＞0， ∴方程总有两个不相等的实数根；...................................................................(3分) (2)解：将x ＝0代入方程x 2－(2m ＋1)x ＋m (m ＋1)＝0得， 0－(2m＋1)·0＋m (m ＋1)＝0，即m 2＋m ＝0，..................................................(5分) 原式＝4m 2－4m ＋1＋9－m 2＋7m －5＝3m2＋3m ＋5＝3(m2＋m )＋5，................................................................(6分) 将m 2＋m ＝0代入得，原式＝5.........................................................................(8分) 8.解：(1)△ABC 是等腰三角形．...................................................................(1分) 理由：∵x＝－1是方程的根，∴(a＋c)×(－1)2－2b＋(a－c)＝0，∴a＋c－2b＋a－c＝0，∴a－b＝0，∴a＝b，∴△ABC是等腰三角形；............................................................................ ...(2分)(2)△ABC是直角三角形．............................................................................ ..(3分)理由：∵方程有两个相等的实数根，∴(2b)2－4(a＋c)(a－c)＝0，∴4b2－4a2＋4c2＝0，∴a2＝b2＋c2，∴△ABC是直角三角形；............................................................................ .(4分)(3)∵△ABC是等边三角形，∴a＝b＝c，∴(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0可整理为2ax2＋2ax＝0，∴x2＋x＝0，解得x1＝0，x2＝－1，∴如果△ABC 是等边三角形，则这个一元二次方程的根为0或－1......(6分)9. A 【解析】∵关于x 的方程x 2＋3x ＋a ＝0的一个根为－1，设另一个根为b ，则有x 1＋x 2＝－1＋b ＝－3，解得b ＝－2.10. C 【解析】依题意得x 1＋x 2＝－5，x 1·x 2＝－3，∴x 12＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝(－5)2－2×(－3)＝31.11. D 【解析】选项A ：∵M 有两个相等的实数根，∴b 2－4ac ＝0，而此时N 的判别式b 2－4ac ＝0，故它也有两个相等的实数根；选项B ：M 的两根符号相同，即x 1·x 2＝ca>0，而N 的两根之积为ac也大于0，故N 的两个根也是同号的；选项C ：如果5是M 的一个根，则有25a ＋5b ＋c ＝0①，我们只需要考虑将15代入方程N 看是否成立，代入得125c ＋15b ＋a ＝0②，比较①与②，可知②式是由①式两边同时除以25得到，故②式成立；选项D ：由方程M －N 可得：(a －c )x 2＝a －c ，∵a －c ≠0，解得x ＝±1，所以它们如果有同根，这个同根可能是1或－1.12. 解：(1)∵关于x 的一元二次方程x 2－3x ＋m ＝0有两个不相等的实数根， ∴b 2－4ac ＝(－3)2－4m ＝9－4m ＞0，.............................................................(2分)∴m ＜94；.............................................................................................................(3分)(2)根据根与系数的关系得：x 1＋x 2＝－b a ，即1＋x 2＝－－31＝3，...............(5分)解得x 2＝2............................................................................................................(6分)13. 解：(1)∵1211x x +＝1， ∴1212x x x x +＝1，即222(2)4213333m m m m m m ---==-+-+，解得m =，...............................................................................................(2分) ∵方程有两个不相等的实数根，∴b 2－4ac ＝[2(m －2)] 2－4(m 2－3m ＋3)>0， 解得m ＜1， 又∵m 不小于－1， ∴－1≤m ＜1， ∴m将m＝代入132m-得，原式＝－2；.............................................(5分)(2)2121211mx mx m x x +--- ＝2122112(1)(1)(1)(1)mx x mx x m x x -+----＝212121212()21()m x x mx x m x x x x +---++＝222(42)2(33)1(42)(33)m m m m m m m m m ---+---+-+ ＝3222242m m m m m m -+--- ＝222(1)(1)m m m m m ----＝－2(m －1)－m 2＝－m 2－2m ＋2 ＝－(m＋1)2＋3，.............................................................................................(8分)∵－1≤m <1， ∴当m ＝－1时，2121211mx mx m x x +---有最大值，最大值是3........................(10分)14. D 【解析】根据第一年的销售额×(1＋年平均增长率)2＝第三年的销售额，列出方程20(1＋x )2＝80.15. B 【解析】设绿地的宽为x 米，则长为(10＋x )米，根据长方形的面积公式可得x (x ＋10)＝900.16. 解：(1)设该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为x ，根据题意列方程为10(1＋x )2＝12.1，.......................................................................................(2分)解得x 1＝0.1＝10%，x 2＝－2.1＜0(不合题意，应舍去)， ∴x ＝10%.答：该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为10%；......................(4分) (2)6月份的投递快递总件数为12.1(1＋x )＝12.1×1.1＝13.31(万件)， 现有21名快递投递业务员， 最多投递快件数是0.6×21＝12.6(万件)＜13.31(万件)，...................................(7分)∴现有的快递投递业务员，不能完成6月份的快递投递业务． 至少有13.31－12.6＝0.71(万件)快递不能按时投递， ∵1＜0.71÷0.6＜2， ∴至少需要增加快递投递业务员2名．.........................................................(9分)。