14.2 三角形全等的判定

14.2 三角形全等的判定
专题一 利用全等进行测量
1. 1805年，法国拿破仑率军与德军在莱茵河激战，德军在河北岸Ｑ处，如图，因不知河宽，法军很难瞄准敌军，聪明的拿破仑站在南岸Ｏ处调整好自己的帽子，使视线恰好擦过帽舌边沿看到敌军兵营Ｑ处，然后后退到B 点，这时他的视点恰好能落在O 处，于是他命令部下测量他脚站的B 处与O 点之间的距离，并下令按这个距离炮轰敌兵营，法军能命中吗？说明理由．
2.某同学根据数学知识原理制作了如图所示的一个测量工具----拐尺,其中O 为AB 的中点,CA ⊥AB ,BD ⊥AB ,CA =BD ,现要测量一透明隔离房间的深度,如何使用此测量工具,说明理由.
专题二 全等三角形中的探究题
3.如图所示,在△ABC 中, ∠C ＝90,AC =10㎝,BC =5㎝,一条线段PQ =AB ,P ,Q 两点分别在AC 和过A 点且垂直于AC 的射线上运动.问P 点运动到AC 上什么位置时, △ABC 才能和△APQ 全等?
4.如图(1)，已知AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，AB ＝CD ，BC ＝DE . （1）试判断AC 与CE 的位置关系，并说明理由． （2）若将CD 沿CB 方向平移得到图(2)(3)(4)(5)的情形，其余条件不变，此时第（1）问中AC 与CE 的位置关系还成立吗？结论还成立吗？请说明理由．
B
A O
P Q
C
A B
D
O
x 隔离房
5.能够互相重合的多边形叫做全等形，即如果两个多边形对应角相等，对应边相等，那么两个多边形一定全等。

但判定两个三角形全等只需三组对应量相等即可，如SAS，SSS等，但如果要判定两个四边形全等仅有四组量对应相等是不够的，必须具备至少五组量对应相等.
（1）请写出两个四边形全等的一种判定方法（五组量对应相等）;
（2）如图，简要说明你的判定方法是正确的;
（3）举例说明仅有四边对应相等的两个四边形不一定全等（画出图形并简要说明理由）.
【知识要点】
1.判断两个三角形全等的方法有:SAS,ASA,AAS,SSS,直角三角形除了上述判断方法外,还可以利用“HL”判断.
2.在已知三边或两边及其夹角或两角及其夹边的情况下,可以利用尺轨作图作出符合条件的三角形.
3.三角形具有稳定性,即三角形三边确定的情况下,其形状和大小就固定了.
【温馨提示】
1.在书写两个三角形全等时,对应的顶点要写在对应的位置上.
2.判断两个直角三角形全等共有五种判定方法,除“HL”外,还可以利用一般三角形全等的方法进行判断.
3.注意全等三角形性质和判定的综合运用.
【方法技巧】
1.证明三角形全等的一般思路是:
(1)如果有两条对应边相等,还应寻找它们的夹角或第三边对应相等; (2)如果有一个角和一条边对应相等,还应寻找另一个角相等; (3)如果有两个角对应相等,还应寻找一条边对应相等.
2.证明线段或角相等时,常常先证明线段或角所在的三角形全等.当图形中找不到这些线段或角所在的全等三角形时,应考虑添加适当的辅助线.
参考答案
1.能.因为AO ∥PQ ，所以∠AOB =∠Q ．因为AB =OP ，∠ABO =∠POQ ，
所以△ABO ≌△POQ ，所以BO = OQ ，即距离敌营距离等于BO ，所以法军
能命中．
2.解:如图,使AC 与房间内壁在一条直线上,且C 与一端点接触,然后
人在BD 的延长线上移动至F ,使F 、O 、E 三点正好在一条直线上,记下F 点,
这时量出DF 长,即为房间深度CE .理由如下:由∠A =∠B =90°,OA =OB ,
∠EOA =∠FOB ,所以△EAO ≌△FBO ,得BF =AE ,则BF -BD =AE -AC ,即DF =CE .
3.解:要使△ABC 和△APQ 全等,由于∠PAQ =∠C ＝90,PQ =AB ,则只需
AP =BC 或AP =AC ,由HL 即知它们全等,从而得P 点在A 点或AC 的中点处时
△APQ 和△ABC 全等.
4.解:（1）AC ⊥CE ，可确定△ABC ≌△CDE ，得∠ACB ＝∠E ，因为∠ACB ＋∠ECD ＝∠E ＋∠ECD ＝90°，所以∠ACE ＝180°－90°＝90°，所以AC ⊥CE ．图(2)(3)(4)(5)四种情况，结论仍然成立，理由同上．
5.解:（1）∠D ＝∠D ′,AD=A ′D ′,DC =D ′C ′,BC =B ′C ′,AB =A ′B ′,（2）连接AC , 在△ADC 和△A ′D ′C ′中,因为AD =A ′D ′,∠D ＝∠D ′,DC =D ′C ′,所以△ADC ≌△A ′D ′C ′,则AC =A ′C ′,从而得△ACB ≌△A ′C ′B ′,从而得到四边形ABCD 和四边形A′B′C′D′的对应角,对应边均相等,即有四边形ABCD ≌四边形A′B′C′D′;（3）举一个凸四边形和凹四边形.
感谢您的阅读，祝您生活愉快。

E C A O
B D F。