2020-2021高二上学期寒假作业1+解三角形(理)
江西师大附中2020-2021学年高二上学期月考数学(理)试题
21．一般地，对于直线 及直线 外一点 ，我们有点 到直线 的距离公式为： ”
（1）证明上述点 到直线 的距离公式
（2）设直线 ，试用上述公式求坐标原点 到直线 距离的最大值及取最大值时 的值.
22．蝴蝶定理因其美妙的构图，像是一只翩翩起舞的蝴蝶，一代代数学名家蜂拥而证，正所谓花若芬芳蜂蝶自来.如图，已知圆 的方程为 ，直线 与圆 交于 ， ，直线 与圆 交于 ， .原点 在圆 内.
4．A
【分析】
由已知条件可知圆心到 轴距离为 ，运用勾股定理和弦长公式求出圆的半径，进而可得圆的方程.
【详解】
已知圆 的圆心坐标为 ，则圆心到 轴距离为 ，
又因为 轴被 截得的弦长为 ，则运用勾股定理可得 ，
所以圆 的方程为 .
故选： .
【点睛】
本题考查了求圆的标准方程，求解过程中已知弦长求半径，可由弦长公式 逆用，结合勾股定理求出半径，进而得到圆的方程，本题较为基础.
3．直线 的倾斜角不可能为（）
A． B． C． D．
4．已知圆 的圆心坐标为 ，且 轴被 截得的弦长为 ，则圆 的方程为（）
A． B．
C． D．
5．已知圆 ： ，点 在圆 内，则直线 ： 与圆 的位置关系是（）
A．相交B．相离C．相切D．不确定
6．若点 在圆 外，则实数 的取值范围是（）
A． B．
C． D．
19．设 ， 满足约束条件 .
（1）求目标函数 的最大值；
（2）若目标函数 的最大值为6，求 的最小值.
20．数学家欧拉在1765年提出：三角形的外心、重心位于同一直线上，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线，若 的顶点 ， ，且 的欧拉线的方程为 .
高二数学解三角形试题答案及解析
高二数学解三角形试题答案及解析1.的内角的对边分别为，若，则=______.【答案】【解析】先利用正弦定理化简sinC=2sinB，得到c与b的关系式，代入a2−b2＝bc中得到a2与b2的关系式，然后利用余弦定理表示出cosA，把表示出的关系式分别代入即可求出cosA的值，根据A的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A的值．【考点】解三角形.2.有一长为100米的斜坡，它的倾斜角为45°，现要把其倾斜角改为30°，而坡高不变，则坡长需伸长_____________米.【答案】100(－1)【解析】因为坡高为，所以倾斜角为30°时坡长为，因此需伸长100(－1) 米【考点】解直角三角形3.在中，，，，则 .【答案】4【解析】解法一：由正弦定理，,,所以答案应填：4.解法二：由余弦定理：整理得：解得：(舍去) ,. 所以答案应填：4.【考点】1、正弦定理、余弦定理；2、解三角形.4.在平面直角坐标系中，已知三角形顶点和，顶点在椭圆上，则 .【答案】【解析】由椭圆的标准方程，可知，此时恰好是椭圆的左、右焦点，由正弦定理可知，而由椭圆的定义可知，所以.【考点】1.正弦定理；2.椭圆的标准方程及其性质.5.在中，角所对的边分别为，且，.（1）求的值；（2）若，，求三角形ABC的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）先用正弦定理将条件中的所有边换成角得到，然后再利用两角和的正弦公式、三角形的内角和定理进行化简可得的值；（2）利用（1）中求得的结果，结合及余弦定理，可计算出的值，然后由（1）中的值，利用同角三角函数的基本关系式求出，最后利用三角形的面积计算公式即可算出三角形的面积.试题解析：（1）由已知及正弦定理可得 2分由两角和的正弦公式得 4分由三角形的内角和可得 5分因为，所以 6分(2)由余弦定理得：9分由（1）知 10分所以 12分.【考点】1.正弦定理与余弦定理；2.两角和的正弦公式；3.三角形的面积计算公式.6.在中，角的对边分别为，且满足.（1）求角；（2）求的面积.【答案】（1）；（2）或.【解析】本试题主要是考查了解三角形中正弦定理和余弦定理的综合运用，求解边和角的关系，同时也考查了三角形面积公式的运用.(1)根据已知中的边角关系可以用正弦定理将边化为角，得到角的关系式，得到角；(2)结合（1）中求出的角，运用余弦定理，求出的值，然后利用正弦面积公式可得所求.试题解析：（1）2分即4分6分（2）由余弦定理，得：即 8分即，解得或 10分∴由或 12分.【考点】1.解斜三角形；2.正、余弦定理；3.两角和差公式；4.三角形的面积计算公式.7.设是锐角三角形，分别是内角A，B，C所对边长，并且（Ⅰ）求角A的值；（Ⅱ）若，求（其中）．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）利用两角和与差的三角函数对等式的右端进行变形化简,既然目标求的是,则必可最终消去．（Ⅱ）根据及的值，可得关于的一个等式；在等式中，代入和可得关于的另一个等式，两式联立解方程组即得．试题解析：（Ⅰ）因为（Ⅱ）由可得①由（I）知所以②由余弦定理知及①代入，得③③+②×2，得，所以因此，c，b是一元二次方程的两个根．解此方程并由【考点】1．三角形内的三角恒等变换;2．向量的数量积;3．余弦定理．8.在面积为的△ABC中，角A、B、C所对应的边为成等差数列，B＝30°.（1）求；（2）求．【答案】（1）6 （2）【解析】(1)∵，又，∴，∴。
2020-2021学年四川省遂宁二中高二上学期半期考试数学(理)试题
遂宁二中2020-2021学年高二上学期半期考试数学（理科）试题本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
总分150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，满分60分）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。
并检查条形码粘贴是否正确。
2．选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
3．考试结束后，将答题卡收回。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。
） 1．过点()2,M a -和(),4N a 的直线的斜率为1，则实数a 的值为 （ ）A. 1B. 2C. 1或4D. 1或22．已知圆()()221 221:C x y ++-=，圆 ()()222 2516:C x y -+-= ，则圆C 1与圆C 2的位置关系是（ ）A. 相离B. 相交C. 外切D. 内切 3．平行线0943=-+y x 和620x my ++=的距离是（ ）A ．58 B ．2 C ．511 D ．57 4．设有直线m ，n 和平面α，β，下列四个命题中，正确的是 （ ） A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n B ．若m ?α，n ?α，m ∥β，l ∥β，则α∥β C ．若α⊥β，m ?α，则m ⊥β D ．若α⊥β，m ⊥β，m ⊄α，则m ∥α5．对于a ∈R ，直线（x +y ﹣1）﹣a （x +1）=0恒过定点P ，则以P 为圆心，5为半径的圆的方程是（ ）A ． 5)2()1(22=-++y xB ．5)2()1(22=+++y xC ．5)2()1(22=++-y xD ．5)2()1(22=-+-y x6．设P 是圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝4上的动点，Q 是直线x ＝－3上的动点，则|PQ |的最小值为（ ）A ．6B ．4C ．3D ．27．半径为R 的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为 （ ）A ．324πR 3B ．38πR 3C ．525πR 3D ．58πR 38．已知,x y 满足约束条件020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，若z ax y =+的最大值为4，则a = （ ）A ．3B ．-3C ．-2D ．29．如图，正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1=2AB ，则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为（ ）A ．51 B ．52C ．53D ．5410．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是 （ ）A ．2＋ 5B ．4＋ 51A 1B 1C 1DA BCDC ．2＋2 5D ．511．在三棱锥A BCD -中,1,AB AC ==2DB DC ==,3AD BC ==,则三棱锥A BCD -的外接球表面积为 （ ）A ．πB ．7π4C ．7πD ．4π 12．N 为圆x 2+y 2=1上的一个动点，平面内动点M （x 0，y 0）满足|y 0|≥1且∠OMN=30°（O 为坐标原点），则动点M 运动的区域面积为 （ ）A ．334-πB ．3238-π C ．332+π D ．334+π第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题四小题，每小题5分，共20分。
第19题 解三角形-2021年高考数学真题逐题揭秘与以例及类(新高考全国Ⅰ卷)(含答案解析)
第19题 解三角形一、原题呈现【原题】记ABC 是内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知2b ac =，点D 在边AC 上，sin sin BD ABC a C ∠=．（1）证明：BD b =；（2）若2AD DC =，求cos ABC ∠．解法一：（1）由sin sin BD ABC a C ∠=及正弦定理得2sin sin a C ac b BD b ABC b b ====∠（2）由余弦定理得22222223cos 2223b c b b c a A b c b c ⎛⎫+- ⎪+-⎝⎭==⨯⨯⨯⨯整理得22211203a c b +-=，即2211203a c ac +-=， 所以233c a c a ==或， 当3c a =时，由2b ac =得b =，此时)1a b a c +=<，不满足题意，当23c a =时，由2b ac =得3b a =， 所以2227cos 212ac b ABC ac +-∠==解法二：（1）由题设，sin sin a C BD ABC =∠，由正弦定理知：sin sin c bC ABC=∠，即sin sin C cABC b=∠，∴acBD b=，又2b ac =， ∴BD b =，得证．（2）由题意知：2,,33b b BD b AD DC ===， ∴22222241399cos 24233b b b c c ADB b b b +--∠==⋅，同理2222221099cos 2233b b b a a CDB b b b +--∠==⋅， ∵ADB CDB π∠=-∠， ∴2222221310994233b bc a b b --=，整理得2221123b a c +=，又2b ac =， ∴42221123b b a a +=，整理得422461130a a b b -+=，解得2213a b =或2232a b =，由余弦定理知：222224cos 232a c b a ABC ac b+-∠==-，当2213a b =时，7cos 16ABC ∠=>不合题意；当2232a b =时，7cos 12ABC ∠=；综上，7cos 12ABC ∠=． 【就题论题】本题第（1）问比较简单，利用正弦定理进行边角代换，即可得出结论．第（2）问求解的关键是利用正弦定理、余弦定理整理出,a b 的关系式，再利用余弦定理求cos ABC ∠．二、考题揭秘【命题意图】本题考查正弦定理及余弦定理的应用，考查数学运算与逻辑推理的核心素养．难度：中等偏易【考情分析】新教材高考，解三角形是必考题，一般以解答题形式考查，考查主要方式是利用正弦定理与余弦定理解三角形，有时还会涉及到三角形中的三角变换．【得分秘籍】（1）正弦定理是一个连比等式，只要知道其比值或等量关系就可以运用正弦定理通过约分达到解决问题的目的．（2）运用余弦定理时，要注意整体思想的运用．在已知三角形两边及其中一边的对角，求该三角形的其他边角的问题时，首先必须判断是否有解，如果有解，是一解还是两解，注意“大边对大角”在判定中的应用．（3）应用正弦、余弦定理的解题技巧①求边：利用公式a＝sinsinb AB，b＝sinsina BA，c＝sinsina CA或其他相应变形公式求解．②求角：先求出正弦值，再求角，即利用公式sin A＝sina Bb，sin B＝sinb Aa，sin C＝sinc Aa或其他相应变形公式求解．③已知两边和夹角或已知三边可利用余弦定理求解．④灵活利用式子的特点转化：如出现a2＋b2－c2＝λab形式用余弦定理，等式两边是关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理．（4）判定三角形形状的途径：①化边为角，通过三角变换找出角之间的关系．②化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁．（5）三角形面积公式的应用原则①对于面积公式S＝ɑb sin C＝ɑc sin B＝bc sin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．②与面积有关的问题，一般要用到正弦定理和余弦定理进行边和角的转化．（6）应用解三角形知识解决实际问题需要下列三步：①根据题意，画出示意图，并标出条件；②将所求问题归结到一个或几个三角形中(如本例借助方位角构建三角形)，通过合理运用正、余弦定理等有关知识正确求解；③检验解出的结果是否符合实际意义，得出正确答案．【易错警示】（1）已知两边及其中一边的对角解三角形时，注意要对解的情况进行讨论，讨论的根据一是所求的正弦值是否合理，当正弦值小于等于1时，还应判断各角之和与180°的关系；二是两边的大小关系．（2）等式两边都不要随意约掉公因式；要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能．三、以例及类（以下所选试题均来自新高考Ⅰ卷地区2020年1-6月模拟试卷） 解答题(2021福建省厦门市高三三模)1. 锐角ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足4sin s sin sin in C B a B C +=． （1）求A ；（2）若4b =，ABC 的面积为D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，求AD ．【答案】（1）3A π=；（2）AD =. 【解析】【分析】（1）先利用正弦定理进行边化角并化简得到sin A =，再结合锐角三角形得到角A 即可；（2）先利用面积公式求得c 边，再结合角平分线，利用BAD CAD BAC S S S +=△△△和面积公式，列式计算求得AD 即可.【详解】解：（1）在ABC 中，由正弦定理得sin sin sin a b cA B C==，4sin s sin sin in C B a B C +=，sin sin 4sin sin sin B C C B A B C +=，即sin 4sin sin sin B C A B C =又因为sin sin 0B C ≠，所以4sin A =，即sin A =， 又因为ABC 为锐角三角形，所以3A π=；（2）由1sin 2ABCSbc A ==14sin 23c π⨯⨯=3c =，因为BAC ∠的角平分线为AD ，所以126BAD CAD BAC π∠∠∠===， 又因为BAD CAD BAC S S S +=△△△，所以11sin sin 2626c AD b AD ππ⋅+⋅=113sin 4sin 2626AD AD ππ⨯⋅+⨯⋅=，所以74AD =7AD =． 【点睛】思路点睛：一般地，解有关三角形的题目时，常运用正弦定理（或余弦定理）进行边角互化，要有意识地根据已知条件判断用哪个定理更合适. 如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理.（2021福建省福州市高三5月二模） 2.ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，sin cos()6b A a B π=-.（1）求B ；（2）若D 是ABC 的外接圆的劣弧AC 上一点，且3a =，4c =，1AD =，求CD .【答案】（1）3π；（2）3. 【解析】【分析】(1)利用正弦定理边化角，再用差角的余弦公式展开化成正切即可得解； (2)利用余弦定理求出边b ，借助圆内接四边形性质求得ADC ∠，最后又由余弦定理建立方程得解.【详解】（1）ABC 中，由正弦定理有sin cos()sin sin sin cos()66b A a B B A A B ππ=-⇒=-，从而1sin sin sin sin )2B A A B B =+，化简得，1sin sin cos 22A B A B =，因为0A π<<，即sin 0A ≠，所以tan B =0B π<<，故3B π=.（2）在ABC 中，由余弦定理知，2222cos b a c ac B =+-2234234cos133π=+-⨯⨯⋅=，即 b =又由于A ，B ，C ，D 四点共圆，从而23ADC B ππ∠=-=， 在ADC 中，设DC x =，由余弦定理得，2222cos AC AD DC AD DC ADC =+-⋅⋅∠，即得22213121cos3x x π=+-⋅⋅⋅，化简得，2120x x +-=，解得3x =或 4x =-（舍去）， 故3DC =.【点睛】思路点睛：已知两边及一边的对角求第三边的三角形问题，可用余弦定理建立关于第三边的一元二次方程求解. （广东省汕头市高三二模）3. 随着人们生活水平的不断提高，人们对餐饮服务行业的要求也越来越高，由于工作繁忙无法抽出时间来享受美食，这样网上外卖订餐应运而生.现有美团外卖送餐员小李在A 地接到两份外卖单，他须分别到B 地､D 地取餐，再将两份外卖一起送到C 地，运餐过程不返回A 地.A ，B ，C ，D 各地的示意图如图所示，2km BD =，AD =，120ABD ∠=︒，45DCB ∠=︒，30CDB ∠=︒，假设小李到达B ､D 两地时都可以马上取餐(取餐时间忽略不计)，送餐过程一路畅通.若小李送餐骑行的平均速度为每小时20千米，请你帮小李设计出所有送餐路径(如：AB BD DB BC →→→)，并计算各种送餐路径的路程，然后选择一条最快送达的送餐路径，并计算出最短送餐时间为多少分钟.(各数值保留3位小数)(参考数据：1.414≈ 1.732≈)【答案】答案见解析 【解析】【分析】根据正弦定理先求解出,BC CD 的值，再根据余弦定理求解出AB 的值，然后分析每条送餐路径的路程并确定出最短送餐路径对应的送餐时间.【详解】解：在BCD △中，由正弦定理可知：sin sin BC BDBDC BCD =∠∠，即：2sin 30sin 45BC =︒︒，解得：BC =由sin sin CD BDCBD BCD =∠∠，即：2sin105sin 45CD =︒︒，解得：1CD =(由余弦定理可得22cos BC BD CD BD CD CDB =+-⋅⋅∠，解得=1CD +或者1CD ，,CBD DCB CD BD ∠>∠∴>=1CD ∴)在ABD △中，由余弦定理可知：222cos 2AB BD AD ABDAB BD即2412cos1204AB AB+-︒=，解得2AB =或4AB =-(舍)；①若送餐路径为：AB BD DB BC →→→，则总路程=67.414km +≈①若送餐路径为：AD DB BC →→，则总路程=2 6.878km ≈①若送餐路径为：AB BD DC →→，则总路程=221 6.732km ++≈①若送餐路径为：AD DB BD DC →→→，则总路程=22110.196km ++≈所以最短送餐路径为AB BD DC →→， 此路径的送餐时间为：6.7326020.19620⨯=(分钟). 【点睛】关键点点睛：本题是实际问题中解三角形的应用，解答问题的关键在于通过正余弦定理求解出每一段未知的线段长度，然后再去分析每一条路径对应的总路程并确定出最短路径以及送餐时间. （2021广东省广州市天河区高三三模）4. 在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，已知22cos c b a B -=． （1）求角A 的值； （2）若ABC的面积S c ==sin sin B C 的值 【答案】（1）3π；（2）12．【解析】【分析】（1）由正弦定理化边为角，然后由诱导公式，两角和的正弦变形可求得A 角；（2）由三角形面积求得b ，由余弦定理求得a ，然后用正弦定理可得sin sin B C ． 【详解】（1）因为22cos c b a B -=，由正弦定理得2sin sin 2sin cos C B A B -=，sin 2sin()2sin cos 2sin()2sin cos 2(sin cos cos sin )B A B A B A B A B A B A B π=---=+-=+2sin cos 2cos sin A B A B -=，又B 是三角形内角，sin 0B ≠，所以()1cos ,02A A π=∈，，3A π=； （2）11sin sin 223ABC S bc A b π===△，b =2222212cos 292a b c bc A =+-=+-⨯=，3a =，又3sin sin sin sin 3a b c A B C π==== sin 1B =，1sin 2C = 所以1sin sin 2B C =．【点睛】方法点睛：正弦定理、余弦定理、三角形面积是解三角形的常用公式，解题方法是利用正弦定理进行边角转换，化边为角，然后由诱导公式，两角和的正弦公式变形求角，然后再根据问题先用相应公式计算． （2021河北省张家口市高三三模）5. 在四边形ABCD 中，,1,2AB CD AB AC BD ===，且sin sin DBC DCB ∠∠=.（1）求AD 的长； （2）求ABC 的面积.【答案】（1）AD =（2 【解析】【分析】（1）在DBC △中，由sin sin DBC DCB ∠∠=及正弦定理可得 2.BD CD ==设.AD x =在ABD △和ACD △中，分别由余弦定理，列方程22144724x x x x+-+-=-，解得AD ；（2）在ACD △中，由222AD CD AC +=，得到AD CD ⊥，直接利用面积公式求出ABC 的面积.【详解】（1）因为在四边形ABCD 中，AB CD ，所以cos cos .CDA DAB ∠∠=- 在DBC △中，由sin sin DBC DCB ∠∠=及正弦定理可得 2.BD CD == 设.AD x =在ABD △和ACD △中，由1,AB AC ==22144724x x x x+-+-=-， 所以()()2221447.x x +-=-+-解得x =AD =.（2）在ACD △中，2AD AC CD ===，得222AD CD AC +=，所以AD CD ⊥，所以12ABCSAB AD =⋅=.所以ABC 【点睛】（1）在解三角形中，选择用正弦定理或余弦定理，可以从两方面思考：①从题目给出的条件，边角关系来选择；②从式子结构来选择． （2）平面四边形问题通常转化为解三角形来处理. （2021河北省唐山市高三三模）6. 如图所示，在梯形ABCD 中，//AB CD ，2BAD π∠=，点E 是AD 上一点，2=4DE AE =，2cos cos cos BC BEC BE EBC CE ECB ∠=∠+∠.（1）求BEC ∠的大小；（2）若BCE 的面积S 为BC .【答案】（1）∠BEC ＝3π；（2）BC = 【解析】【分析】（1）利用余弦定理将角化为边，从而可得1cos 2BEC ∠=，故可求其大小. （2）设AEB α∠＝，由解直角三角形可得,BE CE ，根据面积可求α的值，利用余弦定理可求BC 的长.【详解】（1）∵2cos cos cos BC BEC BE EBC CE ECB ∠=∠+∠2222222•2•BE C BE BC CE CE BC BE BE BC CE E BC BC+-+-⋅⋅＝＋＝∴1cos 2BEC ∠=，而BEC ∠为三角形内角，故3BEC π∠=． （2）设AEB α∠＝，则23DEC πα∠=-，其中203πα<<， ∵DE ＝2AE ＝4， ∴2cos cos AE BE αα==，422cos()cos()33CE DE ππαα=--=， ∵△BCE的面积1sin 23cos cos()3S BE CE παα=⋅⋅=-==2sin(2)16πα==--，2sin(21)6α=--， ∴sin 216πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为72666πππα-<-<，故262ππα-=，即3πα=， 此时24cos BE α==，482cos()3CE πα==-， ∴在△BCE 中，由余弦定理得：2222cos 48BC BE CE BE CE BEC +⨯∠＝－＝，∴BC =（2021湖北省襄阳市高三下学期5月第二次模拟）7. 如图，设ABC 中角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，AD 为BC 边上的中线，已知1c =，12sin cos sin sin sin 4c A B a A b B b C =-+，cos 7BAD ∠=．（1）求b 边的长度；（2）求ABC 的面积．【答案】（1）4b =；（2）【解析】【分析】（1）角化边即可求解；（2）设,AB AC θ=，根据cos 7BAD ∠=列方程即可求解 【详解】（1）由条件12sin cos sin sin sin 4c A B a A b B b C =-+， 可得：2212cos 4ca B a b bc =-+，即222221224a c b ca a b bc ac +-⋅=-+， 化简可得：4c b =，因为1c =，所以4b =（2）因为D 为中点，所以()12AD AB AC =+， 设,AB AC θ=，由()()()22222211122cos 444AD AB AC AB AC AB AC c b c b θ=+=++⋅=++⋅ 得17||2AD =， 又()114cos 22AB AD AB AB AC θ+⋅=⋅+=，所以1cos 7||||17AB AD BAD AB AD ⋅=∠==⋅ 化简可得：228cos 8cos 110θθ+-=解得1cos 2θ=或11cos 14θ=-， 又14cos 0θ+>，所以1cos 2θ=，则sin θ==，所以ABC 的面积为11sin 14222bc A =⨯⨯⨯=【点睛】关键点点睛：计算线段长度，关键是找到基底，然后用基底表示，平方之后再开方即可.（2021湖北省武汉市高三下学期4月质量检测）8. 平面凸四边形ABCD 中，9034BAD BCD AD AB ∠=∠=︒==，，.（1）若45ABC ∠=︒，求CD ；（2）若BC =AC .【答案】（1）2；（2） 【解析】【分析】（1）先利用勾股定理求出BD ，利用差角公式求出sin DBC ∠，再利用直角三角形性质可求CD ；（2）先利用直角三角形及BC 求出sin cos 55CBD CBD ∠=∠=，再利用和角公式求出cos ABC ∠，结合余弦定理可得AC .【详解】（1）连接BD ，在Rt BAD 中，由4390AB AD BAD ==∠=︒，，. 得5BD =，①34sin cos 55ABD ABD ∠=∠=，. ∵45ABC ∠=︒，∴45DBC ABC ∠=︒-∠，①43sin sin 45cos cos 45sin 252510DBC ABD ABD ∠=︒⋅∠-︒⋅∠=⨯=-，在Rt BCD 中，由90BCD ∠=︒知：sin 5102CD BD DBC =⋅∠=⨯=.（2）连接AC ，由（1）知5BD =，在Rt ABD △中易知34sin cos 55ABD ABD ∠=∠=，.在Rt BCD 中，由5BC BD ==得CD =，易知sin cos CBD CBD ∠=∠= ①()cos cos cos cos sin sin ABC ABD CBD ABD CBD ABD CBD ∠=∠+∠=∠⋅∠-∠⋅∠4355=-=. 在ABC 中由余弦定理得：(222222cos 424205AC AB BC AB BC ABC =+-⋅∠=+-⨯⨯= ①AC =（2021湖南省衡阳市高三下学期毕业班联考）9. 如图，ABC 中，1302BD CD BAD =∠=︒，．（1）若AB AC =，求sin DAC ∠；（2）若AD BD =，求AC BC的值． 【答案】（1）sin 1DAC ∠=；（2）【解析】【分析】（1）利用三角形的面积比列方程，化简求得sin DAC ∠.（2）设AD x =，求得3BC x =，利用余弦定理列方程，求得AC =，从而求得AC BC. 【详解】（1）设BC 边上的高为h ，11sin 2211sin 22BAD CAD BD h AB AD BAD SS CD h AC AD CAD ⋅⋅⋅⋅∠==⋅⋅⋅⋅∠， 而1sin 302BD CD AB AC BAD ==∠=︒，，，∴sin 1DAC ∠=. （2）设AD x =，则3060AD BD x BAD ABD ADC ==∠=∠=︒∠=︒，，，2,3CD x BC x ==，在ADC 中，由余弦定理得：()()2222222cos603AC x x xx x =+-⋅︒=，∴AC =，∴33AC BC x ==. （2021湖南省株洲市高三下学期质量检测）10. 如图所示，在四边形ABCD中，tan tan BAD BAC ∠=-∠=（1）求DAC ∠的大小；（2）若2DC =，求ADC 周长的最大值.【答案】（1）3π；（2）6. 【解析】【分析】（1）根据DAC BAD BAC ∠=∠-∠，由()tan tan DAC BAD BAC ∠=∠-∠，利用两角差的正切公式求解；（2）利用正弦定理得到,in AD AC ACD ADC =∠=∠，则ADC 的周长为)22si n sin AD AC ACD ADC ++=+∠+∠，再根据23ACD ADC π∠+∠=，利用两角和与差的三角函数转化为22sin 64AD AC ACD π⎛⎫++=+∠+ ⎪⎝⎭，利用三角函数的性质求解. 【详解】（1）因为DAC BAD BAC ∠=∠-∠，且tan tan 2BAD BAC ∠=-∠= 所以()tan tan DAC BAD BAC ∠=∠-∠，tan tan 1tan BAD BAC BAD BAC∠-∠=+∠⋅∠，-== 因为()0,DAC π∠∈， 所以3DAC π∠=；（2）由正弦定理得sin si n s in DAC A DC A CD ADC D AC ∠=∠==∠所以,in 33AD AC ACD ADC =∠=∠，所以ADC 的周长为)22si n sin AD AC ACD ADC ++=+∠+∠，22sin s n 33i ACD ACD π⎛⎫⎛⎫=+∠+-∠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，32sin cos 223ACD ACD ⎛⎫=+∠+∠ ⎪ ⎪⎝⎭， 2n 64si ACD π⎛⎫=+∠+ ⎪⎝⎭， 因为203ACD π<∠<， 所以5666ACD πππ<∠+<， 所以1sin 126ACD π⎛⎫<∠+≤ ⎪⎝⎭， 所以ADC 的周长的最大值为2416+⨯=.【点睛】方法点睛：三角形周长问题，一般地是利用公式a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C (R 为ABC 外接圆半径)，将边转化为角的三角函数关系，然后利用三角函数知识进行化简，其中往往用到三角形内角和定理A ＋B ＋C ＝π，然后利用三角函数的性质求解.（2021江苏省扬州中学高三3月调研）11. 如图，某生态农庄内有一直角梯形区域ABCD ，//AB CD ，AB BC ⊥，3AB =百米，2CD =百米．该区域内原有道路AC ，现新修一条直道DP （宽度忽略不计），点P 在道路AC 上（异于A ，C 两点），6BAC π∠=，DPA θ∠=．（1）用θ表示直道DP 的长度；（2）计划在ADP △区域内种植观赏植物，在CDP 区域内种植经济作物．已知种植观赏植物的成本为每平方百米2万元，种植经济作物的成本为每平方百米1万元，新建道路DP 的成本为每百米1万元，求以上三项费用总和的最小值．【答案】（1）1sin DP θ=，566ππθ<<；（2） 【解析】【分析】（1）根据解三角形和正弦定理可得1sin DP θ=，566ππθ<<， （2）分别求出APD S △，ADC S △，可得DPC S △，设三项费用之和为f，可得()1cos 12sin 2f θθθ+=+，566ππθ<<，利用导数求出最值. 【详解】解：（1）过点D 作DD AB '⊥，垂足为D ，在Rt ABC 中，∵AB BC ⊥，6BAC π∠=，3AB =，∴BC =在Rt ADD '中，∵1AD '=，DD '=2AD =，∴sin DAD '∠=∴3DAD π'∠=， ∵6BAC π∠=， ∴6DAP π∠=， 在ADP △中，由正弦定理可得sin sin 6AD DP πθ=， ∴1sin DP θ=，566ππθ<<， （2）在ADP △中，由正弦定理可得sin sin AD AP ADPθ=∠，∴52sin6sinAPπθθ⎛⎫-⎪⎝⎭=，∴5sin16sin2sinAPDS AP PDπθθθ⎛⎫-⎪⎝⎭=⋅⋅=△，又11sin22222 ADCS AD DC ADC=⋅⋅∠=⨯⨯⨯=△∴5sin6sinDPC ADC APDS S Sπθθ⎛⎫-⎪⎝⎭=-=△△△，设三项费用之和为f，则()55sin sin1 66211 sin sin sinfπθπθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪=⨯+⨯+⨯⎪⎪⎝⎭5sin16sin sinπθθθ⎛⎫-⎪⎝⎭=+1cos12sinθθ+=+，566ππθ<<，∴()21cos2sinfθθθ-='-，令()0fθ'=，解得23πθ=，当2,63ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0fθ'<，函数f单调递减，当25,36ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0fθ'>，函数f单调递增，∴()min23f fπθ⎛⎫==⎪⎝⎭（2021江苏省南京师范大学《数学之友》高三下学期一模）12. 已知ABC中，D是AC边的中点，且①3BA=；①BC=①BD=①60A ∠=︒.（1）求AC 的长；（2）BAC ∠的平分线交BC 于点E ，求AE 的长.上面问题的条件有多余，现请你在①，①，①，①中删去一个，并将剩下的三个作为条件解答这个问题，要求答案存在且唯一.你删去的条件是___________，请写出用剩余条件解答本题的过程.【答案】删去条件见解析；（1）2；（2）5. 【解析】【分析】若删去①①，由余弦定理易得出两解，不满足题意.删①，在ABD △中和ABC 中分别利用余弦定理建立关系可求解，再利用ABE ACE ABC S S S +=可求AE的长；删①，在ABD △中，由余弦定理有2cosADB ∠=，在BCD △中，cosCDB ∠=，由cos cos ADB CDB ∠=-∠求得x ，利用ABE ACE ABC S S S +=可求AE 的长. 【详解】删①.（1）设,AD CD x BA y ===，在ABD △中，由余弦定理可得227x y xy +-=，在ABC 中，由余弦定理可得22427x y xy +-=，联立方程解得1,3x y ==，所以3,2BA AC ==；（2）设AE m =，则由ABE ACE ABC S S S +=得1113sin 302sin 3032sin 60222m m ⨯+⨯=⨯⨯，解得5m =； 删①，则在ABD △中，由余弦定理有2222cos BD AB AD AB AD A =+-⋅⋅，即2796cos60AD AD =+-⋅，解得1AD =或2AD =，则2AC =或4，有2解，不满足题意；删①，在ABC 中，由余弦定理可得2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅⋅，即2796cos60AC AC =+-⋅，解得1AC =或2，有2解，不满足题意； 删①.（1）设AD CD x ==，在ABD △中，由余弦定理有22222cos2BD AD AB ADB BD AD ∠+-===⋅， 同理，在BCD △中，cosCDB ∠=，cos cos ADB CDB ∠∠=-，2=1x =，2AC ∴=； （2）设AE m =，则由ABE ACE ABC S S S +=得1113sin 302sin 3032sin 60222m m ⨯+⨯=⨯⨯，解得m =. 【点睛】关键点睛：解决本题得关键是熟练应用余弦定理建立等量关系求解. （2021江苏省苏州市高三下学期三模）13. ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知11(0)k k a b c+=>．（1）若2k C π==，求A 的值；（2）若k =2，求当C 最大时ABC 的形状．【答案】（1）4A π=；（2）正三角形. 【解析】【分析】（1）由11a b c +=，结合2C π=，利用正弦定理化简得到c 1o 1sin s A A +=24A A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭求解；（2）由112a b c +=，得到2ab c a b =+，由余弦定理得到222cos 2a b c C ab+-=()2142a b ab b a a b ⎡⎤=+-⎢⎥+⎢⎥⎣⎦，再利用基本不等式求解. 【详解】（1）11a b +=sin 11sin si 2n 2A A π⎛⎫- ⎪⎝==⎭+即c 1o 1sin s AA +=sin cos cos A A A A +=⋅，24A A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 所以24A A π+=或24A A ππ+=-， 解得4A π=； （2）112a b c+=，即2a b ab c +=， 所以2ab c a b =+， 由余弦定理得2222222cos 22ab a b a b c a b C ab ab ⎛⎫+- ⎪+-+⎝⎭==， ()()22141412222a b ab ab b a a b ⎡⎤⎡⎤⎢⎥=+-≥-=⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦， 当且仅当a b =时，等号成立，此时3C π=，ABC 是正三角形．【点睛】方法点睛：在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．（2021山东省泰安肥城市高三三模）14. 已知锐角ABC ∆的外接圆半径为1，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，ABC ∆的面积为S2224)S c b =+-．（1）求C ；（2）求bc a的取值范围． 【答案】（1）3C π=；（2bc a<< 【解析】 【分析】（1)2224S c b =+-)2224a b c S +-=，根据余弦定理以及三角形的面积公式可得1cos 4sin 2C ab C =⨯，化简整理即可求出结果；（2）根据正弦定理把bc a变形为2sin 2sin B A，进而得到23sin A Aπ⎛⎫- ⎪⎝⎭然后以函数的思想根据角A 的范围求值域即可.【详解】解:（1)2224S c b =-)2224a b c S +-=∴1cos 4sin 2C ab C =⨯sin C C = ∵cos 0C ≠，∴tan C =又(0,)C π∈ ∴3C π=．（2）ABC ∆的外接圆半径为1 ∴2sin c C=，即2sin c C =又sin sin sin a b c A B C ==， ∴2sin a A =，2sin b B =∴bc a==23sin sin A B A Aπ⎛⎫- ⎪⎝⎭==1cos sin22sinA AA⎫+⎪⎝⎭=32tan A=+又因为ABC∆是锐角三角形∴22ABππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩，即2232AAπππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，∴62Aππ<<∴tan3>A，1tan A<<32tan2A<<，∴bca<<【点睛】解三角形中的求值域的问题，有两种解题思路：（1）找到边与边之间的关系，利用均值不等式求出最值，再结合三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边来确定范围；（2）利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，以函数的思想求值域，注意转化的角的范围是关键.（2021山东省潍坊市高三三模）15. 在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，M是AC上的点，BM平分ABC∠，ABM的面积是BCM面积的2倍．（1）求sinsinCA；（2）若1cos4B=，2b=，求ABC的面积．【答案】（1）2；（2）4．【解析】【分析】（1）由2ABM BCMS S=△△，ABM MBC∠=∠，得到2AB BC=，由正弦定理得sin2sinC ABA BC==；（2）由（1）知2c a =，代入满足1cos 4B =的余弦定理，求得a ，c ，并求得sin B ，则由面积公式1sin 2ABC S ac B =△即可求得三角形面积. 【详解】解：（1）1sin 2ABM AB S BM ABM =⋅∠△， 1sin 2BCM BC S BM MBC =⋅∠△． 因为2ABM BCM S S =△△，ABM MBC ∠=∠，所以2AB BC =． 由正弦定理得sin 2sin C AB A BC == （2）由sin 2sin C A=得2c a =， 由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-， 又因为1cos 4B =，2b =， 所以2221444a a a +-⨯4=， 所以1a =，从而2c =． 又因为1cos 4B =且0πB <<，所以sin 4B =．因此 11sin 122244ABC a S c B ==⨯⨯⨯=△． 【点睛】关键点点睛：根据角平分线及面积关系求得2c a =，并利用正弦定理，余弦定理进行边角转化，解得三角形中的参数.。
专题04 三角函数与解三角形A辑(解析版)-2021年高考数学压轴必刷题(第一辑)
2021年高考数学压轴必刷题（第一辑）专题04三角函数与解三角形A辑1．【2020年全国3卷文科12】已知函数f(x)=sin x+1sinx，则（）A．f(x)的最小值为2B．f(x)的图像关于y轴对称C．f(x)的图像关于直线x=π对称D．f(x)的图像关于直线x=π2对称【答案】D【解析】∵sinx可以为负，所以A错；∵sinx≠0∴x≠kπ(k∈Z)∵f(−x)=−sinx−1sinx=−f(x)∴f(x)关于原点对称；∵f(2π−x)=−sinx−1sinx ≠f(x),f(π−x)=sinx+1sinx=f(x),故B错；∴f(x)关于直线x=π2对称，故C错，D对故选：D2．【2020年北京卷10】2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（πDay）．历史上，求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数n充分大时，计算单位圆的内接正6n边形的周长和外切正6n边形（各边均与圆相切的正6n边形）的周长，将它们的算术平均数作为2π的近似值．按照阿尔·卡西的方法，π的近似值的表达式是（）．A．3n(sin30°n +tan30°n)B．6n(sin30°n+tan30°n)C．3n(sin60°n +tan60°n)D．6n(sin60°n+tan60°n)【答案】A 【解析】单位圆内接正6n边形的每条边所对应的圆周角为360°n×6=60°n，每条边长为2sin30°n，所以，单位圆的内接正6n边形的周长为12nsin30°n，单位圆的外切正6n边形的每条边长为2tan30°n ，其周长为12ntan30°n，∴2π=12nsin30°n +12ntan 30°n2=6n (sin 30°n+tan30°n)，则π=3n (sin 30°n+tan30°n).故选：A.3．【2019年天津文科07】已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，|φ|＜π）是奇函数，且f （x ）的最小正周期为π，将y ＝f （x ）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为g （x ）．若g （π4）=√2，则f （3π8）＝（ ）A ．﹣2B ．−√2C ．√2D ．2【答案】解：∵f （x ）是奇函数，∴φ＝0， ∵f （x ）的最小正周期为π， ∴2πω=π，得ω＝2，则f （x ）＝A sin2x ，将y ＝f （x ）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为g （x ）． 则g （x ）＝A sin x ，若g （π4）=√2，则g （π4）＝A sinπ4=√22A =√2，即A ＝2，则f （x ）＝A sin2x ，则f （3π8）＝2sin （2×3π8=2sin 3π4=2×√22=√2，故选：C ．4．【2019年天津理科07】已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，|φ|＜π）是奇函数，将y ＝f （x ）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为g （x ）．若g （x ）的最小正周期为2π，且g （π4）=√2，则f （3π8）＝（ ）A ．﹣2B ．−√2C ．√2D ．2【答案】解：∵f （x ）是奇函数，∴φ＝0， 则f （x ）＝A sin （ωx ）将y ＝f （x ）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为g （x ）． 即g （x ）＝A sin （12ωx ）∵g （x ）的最小正周期为2π， ∴2π12ω=2π，得ω＝2，则g （x ）＝A sin x ，f （x ）＝A sin2x ，若g （π4）=√2，则g （π4）＝A sinπ4=√22A =√2，即A ＝2，则f （x ）＝2sin2x ，则f （3π8）＝2sin （2×3π8=2sin 3π4=2×√22=√2，故选：C ．5．【2019年新课标2文科11】已知α∈（0，π2），2sin2α＝cos2α+1，则sin α＝（ ）A ．15B ．√55 C ．√33 D ．2√55【答案】解：∵2sin2α＝cos2α+1， ∴可得：4sin αcos α＝2cos 2α， ∵α∈（0，π2），sin α＞0，cos α＞0，∴cos α＝2sin α，∵sin 2α+cos 2α＝sin 2α+（2sin α）2＝5sin 2α＝1， ∴解得：sin α=√55． 故选：B ．6．【2019年新课标1文科11】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知a sin A ﹣b sin B ＝4c sin C ，cos A =−14，则bc =（ ）A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】解：∵△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ， a sin A ﹣b sin B ＝4c sin C ，cos A =−14， ∴{a 2−b 2=4c 2cosA =b 2+c 2−a 22bc =−14，解得3c 2=12bc ， ∴bc =6．故选：A ．7．【2019年新课标3理科12】设函数f （x ）＝sin （ωx +π5）（ω＞0），已知f （x ）在[0，2π]有且仅有5个零点．下述四个结论：①f （x ）在（0，2π）有且仅有3个极大值点 ②f （x ）在（0，2π）有且仅有2个极小值点③f （x ）在（0，π10）单调递增④ω的取值范围是[125，2910）其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①④B ．②③C ．①②③D ．①③④【答案】解：当x ∈[0，2π]时，ωx +π5∈[π5，2πω+π5]， ∵f （x ）在[0，2π]有且仅有5个零点， ∴5π≤2πω+π5＜6π， ∴125≤ω＜2910，故④正确，因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案， 下面判断③是否正确， 当x ∈（0，π10）时，ωx +π5∈[π5，(ω+2)π10]，若f （x ）在（0，π10）单调递增，则(ω+2)π10＜π2，即ω＜3，∵125≤ω＜2910，故③正确．故选：D ．8．【2019年新课标1理科11】关于函数f （x ）＝sin|x |+|sin x |有下述四个结论： ①f （x ）是偶函数②f （x ）在区间（π2，π）单调递增③f （x ）在[﹣π，π]有4个零点 ④f （x ）的最大值为2其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①②④ B ．②④C ．①④D ．①③【答案】解：f （﹣x ）＝sin|﹣x |+|sin （﹣x ）|＝sin|x |+|sin x |＝f （x ）则函数f （x ）是偶函数，故①正确， 当x ∈（π2，π）时，sin|x |＝sin x ，|sin x |＝sin x ，则f （x ）＝sin x +sin x ＝2sin x 为减函数，故②错误， 当0≤x ≤π时，f （x ）＝sin|x |+|sin x |＝sin x +sin x ＝2sin x ，由f （x ）＝0得2sin x ＝0得x ＝0或x ＝π，由f （x ）是偶函数，得在[﹣π，）上还有一个零点x ＝﹣π，即函数f （x ）在[﹣π，π]有3个零点，故③错误， 当sin|x |＝1，|sin x |＝1时，f （x ）取得最大值2，故④正确， 故正确是①④， 故选：C ．9．【2019年北京文科08】如图，A ，B 是半径为2的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，∠APB 是锐角，大小为β，图中阴影区域的面积的最大值为（ ）A ．4β+4cos βB ．4β+4sin βC ．2β+2cos βD ．2β+2sin β 【答案】解：由题意可得∠AOB ＝2∠APB ＝2β， 要求阴影区域的面积的最大值，即为直线QO ⊥AB ， 即有QO ＝2，Q 到线段AB 的距离为2+2cos β， AB ＝2•2sin β＝4sin β，扇形AOB 的面积为12•2β•4＝4β，△ABQ 的面积为12（2+2cos β）•4sin β＝4sin β+4sin βcos β＝4sin β+2sin2β，S △AOQ +S △BOQ ＝4sin β+2sin2β−12•2•2sin2β＝4sin β， 即有阴影区域的面积的最大值为4β+4sin β． 故选：B ．10．【2018年新课标1文科11】已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A（1，a ），B （2，b ），且cos2α=23，则|a ﹣b |＝（ ） A ．15B ．√55 C ．2√55D ．1 【答案】解：∵角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合， 终边上有两点A （1，a ），B （2，b ），且cos2α=23， ∴cos2α＝2cos 2α﹣1=23，解得cos 2α=56， ∴|cos α|=√306，∴|sin α|=√1−3036=√66，|tan α|＝|b−a2−1|＝|a ﹣b |=|sinα||cosα|=√66√306=√55． 故选：B ．11．【2018年新课标2文科10】若f （x ）＝cos x ﹣sin x 在[0，a ]是减函数，则a 的最大值是（ ） A ．π4B ．π2C ．3π4D ．π【答案】解：f （x ）＝cos x ﹣sin x ＝﹣（sin x ﹣cos x ）=−√2sin （x −π4）， 由−π2+2k π≤x −π4≤π2+2k π，k ∈Z ， 得−π4+2k π≤x ≤34π+2k π，k ∈Z ， 取k ＝0，得f （x ）的一个减区间为[−π4，3π4]，由f （x ）在[0，a ]是减函数， 得a ≤3π4． 则a 的最大值是3π4．故选：C ．12．【2018年新课标3文科11】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若△ABC 的面积为a 2+b 2−c 24，则C ＝（ ） A ．π2B ．π3C ．π4D ．π6【答案】解：∵△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ． △ABC 的面积为a 2+b 2−c 24，∴S△ABC=12absinC=a2+b2−c24，∴sin C=a2+b2−c22ab=cos C，∵0＜C＜π，∴C=π4．故选：C．13．【2018年北京理科07】在平面直角坐标系中，记d为点P（cosθ，sinθ）到直线x﹣my﹣2＝0的距离．当θ、m变化时，d的最大值为（）A．1B．2C．3D．4【答案】解：由题意d=√1+m2=|√m2+1sin(θ+α)−2|√m+1，tanα=1m=y x，∴当sin（θ+α）＝﹣1时，d max＝1√m+1≤3．∴d的最大值为3．故选：C．14．【2018年北京文科07】在平面直角坐标系中，AB̂，CD̂，EF̂，GĤ是圆x2+y2＝1上的四段弧（如图），点P其中一段上，角α以Ox为始边，OP为终边．若tanα＜cosα＜sinα，则P所在的圆弧是（）A．AB̂B．CD̂C．EF̂D．GĤ【答案】解：A．在AB段，正弦线小于余弦线，即cosα＜sinα不成立，故A不满足条件．B．在CD段正切线最大，则cosα＜sinα＜tanα，故B不满足条件．C．在EF段，正切线，余弦线为负值，正弦线为正，满足tanα＜cosα＜sinα，D．在GH段，正切线为正值，正弦线和余弦线为负值，满足cosα＜sinα＜tanα不满足tanα＜cosα＜sinα．故选：C．15．【2017年新课标1文科11】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin B+sin A（sin C﹣cos C）＝0，a＝2，c=√2，则C＝（）A．π12B．π6C．π4D．π3【答案】解：sin B＝sin（A+C）＝sin A cos C+cos A sin C，∵sin B+sin A（sin C﹣cos C）＝0，∴sin A cos C+cos A sin C+sin A sin C﹣sin A cos C＝0，∴cos A sin C+sin A sin C＝0，∵sin C≠0，∴cos A＝﹣sin A，∴tan A＝﹣1，∵π2＜A＜π，∴A=3π4，由正弦定理可得csinC =asinA，∴sin C=csinA a，∵a＝2，c=√2，∴sin C=csinAa=√2×√222=12，∵a＞c，∴C =π6， 故选：B ．16．【2017年天津理科07】设函数f （x ）＝2sin （ωx +φ），x ∈R ，其中ω＞0，|φ|＜π．若f （5π8）＝2，f （11π8）＝0，且f （x ）的最小正周期大于2π，则（ ） A ．ω=23，φ=π12 B ．ω=23，φ=−11π12 C ．ω=13，φ=−11π24 D ．ω=13，φ=7π24【答案】解：由f （x ）的最小正周期大于2π，得T4＞π2，又f （5π8）＝2，f （11π8）＝0，得T 4=11π8−5π8=3π4，∴T ＝3π，则2πω=3π，即ω=23．∴f （x ）＝2sin （ωx +φ）＝2sin （23x +φ）， 由f （5π8）=2sin(23×5π8+φ)=2，得sin （φ+5π12）＝1．∴φ+5π12=π2+2kπ，k ∈Z ． 取k ＝0，得φ=π12＜π． ∴ω=23，φ=π12． 故选：A ．17．【2017年天津文科07】设函数f （x ）＝2sin （ωx +φ），x ∈R ，其中ω＞0，|φ|＜π．若f （5π8）＝2，f （11π8）＝0，且f （x ）的最小正周期大于2π，则（ ） A ．ω=23，φ=π12 B ．ω=23，φ=−11π12 C ．ω=13，φ=−11π24 D ．ω=13，φ=7π24【答案】解：由f （x ）的最小正周期大于2π，得T4＞π2， 又f （5π8）＝2，f （11π8）＝0，得T 4=11π8−5π8=3π4，∴T ＝3π，则2πω=3π，即ω=23．∴f （x ）＝2sin （ωx +φ）＝2sin （23x +φ），由f （5π8）=2sin(23×5π8+φ)=2，得sin （φ+5π12）＝1． ∴φ+5π12=π2+2kπ，k ∈Z ． 取k ＝0，得φ=π12＜π． ∴ω=23，φ=π12． 故选：A ．18．【2016年新课标1理科12】已知函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞0，|φ|≤π2），x =−π4为f （x ）的零点，x =π4为y ＝f （x ）图象的对称轴，且f （x ）在（π18，5π36）上单调，则ω的最大值为（ ）A ．11B ．9C ．7D ．5【答案】解：∵x =−π4为f （x ）的零点，x =π4为y ＝f （x ）图象的对称轴， ∴2n+14⋅T =π2，即2n+14⋅2πω=π2，（n ∈N ）即ω＝2n +1，（n ∈N ） 即ω为正奇数， ∵f （x ）在（π18，5π36）上单调，则5π36−π18=π12≤T2，即T =2πω≥π6，解得：ω≤12， 当ω＝11时，−11π4+φ＝k π，k ∈Z ， ∵|φ|≤π2， ∴φ=−π4， 此时f （x ）在（π18，5π36）不单调，不满足题意；当ω＝9时，−9π4+φ＝k π，k ∈Z ， ∵|φ|≤π2， ∴φ=π4， 此时f （x ）在（π18，5π36）单调，满足题意；故ω的最大值为9， 故选：B ．19．【2016年新课标2文科11】函数f （x ）＝cos2x +6cos （π2−x ）的最大值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】解：函数f （x ）＝cos2x +6cos （π2−x ） ＝1﹣2sin 2x +6sin x ， 令t ＝sin x （﹣1≤t ≤1）， 可得函数y ＝﹣2t 2+6t +1 ＝﹣2（t −32）2+112，由32∉[﹣1，1]，可得函数在[﹣1，1]递增，即有t ＝1即x ＝2k π+π2，k ∈Z 时，函数取得最大值5． 故选：B ．20．【2016年天津文科08】已知函数f （x ）＝sin 2ωx 2+12sin ωx −12（ω＞0），x ∈R ，若f （x ）在区间（π，2π）内没有零点，则ω的取值范围是（ ） A ．（0，18]B ．（0，14]∪[58，1）C ．（0，58]D ．（0，18]∪[14，58]【答案】解：函数f （x ）=sin 2ωx 2+12sin ωx −12=1−cosωx 2+12sin ωx −12=√22sin(ωx −π4)， 由f （x ）＝0，可得sin(ωx −π4)=0，解得x =kπ+π4ω∉（π，2π），∴ω∉(18，14)∪(58，54)∪(98，94)∪⋯=(18，14)∪(58，+∞)， ∵f （x ）在区间（π，2π）内没有零点， ∴ω∈(0，18]∪[14，58]． 故选：D ．21．【2014年天津文科08】已知函数f （x ）=√3sin ωx +cos ωx （ω＞0），x ∈R ，在曲线y ＝f （x ）与直线y ＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为π3，则f （x ）的最小正周期为（ ）A ．π2B ．2π3C ．πD ．2π【答案】解：∵已知函数f （x ）=√3sin ωx +cos ωx ＝2sin （ωx +π6）（ω＞0），x ∈R ，在曲线y ＝f （x ）与直线y ＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为π3，正好等于f （x ）的周期的13倍，设函数f （x ）的最小正周期为T ，则13⋅T =π3，∴T ＝π，故选：C ．22．【2013年新课标2理科12】已知点A （﹣1，0），B （1，0），C （0，1），直线y ＝ax +b （a ＞0）将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是（ ） A ．（0，1） B ．(1−√22，12) C ．(1−√22，13] D ．[13，12) 【答案】解：解法一：由题意可得，三角形ABC 的面积为 12⋅AB ⋅OC =1，由于直线y ＝ax +b （a ＞0）与x 轴的交点为M （−ba ，0），由直线y ＝ax +b （a ＞0）将△ABC 分割为面积相等的两部分，可得b ＞0， 故−ba≤0，故点M 在射线OA 上．设直线y ＝ax +b 和BC 的交点为N ，则由{y =ax +b x +y =1可得点N 的坐标为（1−b a+1，a+b a+1）．①若点M 和点A 重合，则点N 为线段BC 的中点，故N （12，12），把A 、N 两点的坐标代入直线y ＝ax +b ，求得a ＝b =13．②若点M 在点O 和点A 之间，此时b ＞13，点N 在点B 和点C 之间， 由题意可得三角形NMB 的面积等于12，即12⋅MB ⋅y N =12，即 12×(1+ba )⋅a+ba+1=12，可得a =b 21−2b ＞0，求得 b ＜12， 故有13＜b ＜12．③若点M 在点A 的左侧，则b ＜13，由点M 的横坐标−b a＜−1，求得b ＞a ．设直线y ＝ax +b 和AC 的交点为P ，则由 {y =ax +by =x +1求得点P 的坐标为（1−b a−1，a−b a−1），此时，由题意可得，三角形CPN 的面积等于12，即 12•（1﹣b ）•|x N ﹣x P |=12，即12（1﹣b ）•|1−ba+1−1−ba−1|=12，化简可得2（1﹣b ）2＝|a 2﹣1|．由于此时 b ＞a ＞0，0＜a ＜1，∴2（1﹣b ）2＝|a 2﹣1|＝1﹣a 2 ．两边开方可得 √2（1﹣b ）=√1−a 2＜1，∴1﹣b 2，化简可得 b ＞1−√22， 故有1−√22＜b ＜13． 再把以上得到的三个b 的范围取并集，可得b 的取值范围应是 (1−√22，12)， 故选：B ．解法二：当a ＝0时，直线y ＝ax +b （a ＞0）平行于AB 边，由题意根据三角形相似且面积比等于相似比的平方可得(1−b 1)2=12，b ＝1−√22，趋于最小． 由于a ＞0，∴b ＞1−√22． 当a 逐渐变大时，b 也逐渐变大，当b =12时，直线经过点（0，12），再根据直线平分△ABC 的面积，故a 不存在，故b ＜12．综上可得，1−√22＜b ＜12，故选：B ．23．【2012年天津文科07】将函数y ＝sin ωx （其中ω＞0）的图象向右平移π4个单位长度，所得图象经过点(3π4，0)，则ω的最小值是（ ） A ．13B ．1C ．53D ．2【答案】解：将函数y ＝sin ωx （其中ω＞0）的图象向右平移π4个单位长度，所得图象对应的函数为y ＝sin ω（x −π4）．再由所得图象经过点(3π4，0)可得sin ω（3π4−π4）＝sin （ωπ2）＝0，∴ω•π2=k π，k ∈z ．故ω的最小值是2， 故选：D ．24．【2011年新课标1理科11】设函数f （x ）＝sin （ωx +φ）+cos （ωx +φ）(ω＞0，|φ|＜π2)的最小正周期为π，且f （﹣x ）＝f （x ），则（ ） A ．f （x ）在(0，π2)单调递减B ．f （x ）在（π4，3π4）单调递减C ．f （x ）在（0，π2）单调递增D ．f （x ）在（π4，3π4）单调递增【答案】解：由于f （x ）＝sin （ωx +ϕ）+cos （ωx +ϕ）=√2sin(ωx +ϕ+π4)， 由于该函数的最小正周期为T =2πω，得出ω＝2， 又根据f （﹣x ）＝f （x ），得φ+π4=π2+k π（k ∈Z ），以及|φ|＜π2，得出φ=π4． 因此，f （x ）=√2sin(2x +π2)=√2cos2x ，若x ∈(0，π2)，则2x ∈（0，π），从而f （x ）在(0，π2)单调递减， 若x ∈（π4，3π4），则2x ∈（π2，3π2），该区间不为余弦函数的单调区间，故B ，C ，D 都错，A 正确． 故选：A ．25．【2010年浙江理科09】设函数f （x ）＝4sin （2x +1）﹣x ，则在下列区间中函数f （x ）不存在零点的是（ ） A ．[﹣4，﹣2]B ．[﹣2，0]C ．[0，2]D ．[2，4]【答案】解：在同一坐标系中画出g （x ）＝4sin （2x +1）与h （x ）＝x 的图象 如下图示：由图可知g （x ）＝4sin （2x +1）与h （x ）＝x 的图象在区间[﹣4，﹣2]上无交点，由图可知函数f（x）＝4sin（2x+1）﹣x在区间[﹣4，﹣2]上没有零点故选：A．26．【2010年上海理科18】某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为113，111，15，则此人将（）A．不能作出这样的三角形B．作出一个锐角三角形C．作出一个直角三角形D．作出一个钝角三角形【答案】解：设三边分别为a，b，c，利用面积相等可知1 13a=111b=15c，∴a：b：c＝13：11：5令a＝13，b＝11，c＝5由余弦定理得cos A=52+112−1322×5×11＜0，所以角A为钝角，故选：D．27．【2010年北京文科07】某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，顶角为α的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为（）A．2sinα﹣2cosα+2B．sinα−√3cosα+3C．3sinα−√3cosα+1D．2sinα﹣cosα+1【答案】解：由正弦定理可得4个等腰三角形的面积和为：4×12×1×1×sinα＝2sinα由余弦定理可得正方形边长为：√12+12−2×1×1×cosα=√2−2cosα故正方形面积为：2﹣2cosα所以所求八边形的面积为：2sinα﹣2cosα+2故选：A．。
山西省运城市2020-2021学年高二上学期期末考试数学(理+文)+语文试题 含答案
高二数学（理）参考答案 第1页（共5页）
19.解：(1)取 AB 中点 H ,连接 EH, HD ,在直三棱柱
ABC
−
A1B1C1
中,
EC1∥
1 2
AC
.
…………2
∵ D 为 BC 中点, H 为 AB 中点,
∴ HD∥ 1 AC, 2
HD∥EC1 ,
…………4
∴四边形 DHEC1 为平行四边形,∴ DC1 ∥ HE .…………5
6(1 + 2k 2 ) = 6 2 ………9 分
3 + 4k 2
7
解得 k 2 = 1 或 k 2 = − 11 （舍去） ∴ k = ±1 24
∴直线 l 的方程为 y = x +1或y = −x +1
…………………………12 分
20. (1)证明：如图所示，取 PB 中点 M，连接 MF，AM.
且 BC = 2 AD = 2CD = 2 2 ∴ AB = AC = 2,∴ AB ⊥ AC …………2 又 AB ⊥ PC , AC ∩ PC = C, AC ⊂ 平面 PAC , PC ⊂ 平面 PAC ∴ AB ⊥ 平面 PAC …………3 ∴PA = AC = 2, PC = 2 2,∴ PA ⊥ AC …………4 又Q PA ⊥ AB, AB ∩ AC = A, AB ⊂ 平面 ABCD , AC ⊂ 平面 ABCD ,…………5 ∴ PA ⊥ 平面 ABCD …………6 (2)解:在线段 AD 上取点 N,连接见 MN ,使 MN / / PA ，取 BC 的中点 E，则 AE, AD, AP
高二数学（理）参考答案 第4页（共5页）
则
x1
+
2020-2021学年高二上学期数学寒假作业全套(共16套)
第一章 数列（寒假第1天）一、选择题1．已知等差数列{a n }中，a 2＋a 4＝6，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝( )A ．30B ．15C ．5 6D ．10 62.等比数列{a n }中，a 2＝4，a 7＝116，则a 3a 6＋a 4a 5的值是( ) A ．1B ．2C ．12D ．143.设{a n }是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是( )A ．1B ．2C ．4D ．64.记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( )A ．1B ．2C ．4D ．85.已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝23a n ，n ∈N ＋，其前n 项和为S n ，则( ) A ．S n ＝2a n －1B ．S n ＝3a n －2C ．S n ＝4－3a nD ．S n ＝3－2a n二、填空题6.在等差数列{a n }中，a 9＝8，a 12≥23，则公差d 的取值范围为 .7.等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋3S 2＝0，则公比q ＝ .8．若数列{a n }满足2a n ＝a n ＋1＋a n －1，且a 15＝8，a 60＝20，则a 75＝ .9.已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝a n －1＋12(n ≥2)，则数列{a n }的前9项和等于 . 10.已知数列{}n a 中22n n a =+，求前n 项和n S = .三、解答题11.(1)已知{a n}是等差数列，且a1－a4＋a8－a12＋a15＝2，求a3＋a13的值；(2)已知在等差数列{a n}中，若a49＝80，a59＝100，求a79．12.已知{a n}为等比数列．(1)若a n＞0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5；(2)若a n＞0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值第二章 解三角形（寒假第2天）一、选择题1．在△ABC 中，若3a ＝2b sin A ，则B ＝( )A ．π3B ．π6C ．π3或2π3D ．π6或5π62．已知△ABC 的三个内角之比为A ∶B ∶C ＝3∶2∶1，那么，对应的三边之比a ∶b ∶c 等于( )A ．3∶2∶1B ．3∶2∶1C ．3∶2∶1D ．2∶3∶13．在△ABC 中，已知a ＝4，b ＝6，C ＝120° ，则边c 的值是( )A ．8B ．217C ．6 2D ．219 4．在△ABC 中，sin(A ＋B )sin(A －B )＝sin 2C ，则此三角形的形状是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形5．在△ABC 中，a ＝5，b ＝15，A ＝30°，则c 等于( )A ．2 5 B. 5 C ．25或 5 D ．以上都不对二、填空题6.在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝4b sin A ，则cos B ＝ .7．在△ABC 中，若a ＝2，b ＝3，C ＝60°，则sin A ＝ .8．在△ABC 中，若m ＝(sin A ，cos A )，n ＝(cos B ，sin B )，m ·n ＝sin 2C ，则角C ＝ .9.在C ∆AB 中，3a =，b =23π∠A =，则∠B = . 10.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知A ＝6π，a ＝1，b ＝3，则B ＝ .三、解答题11．在△ABC 中，3sin 2B ＝2sin 2B ，(1)求角B 的值；(2)若a ＝4，b ＝27，求c 的值．12.设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π6，求b ．第三章 不等式（寒假第3天）一、选择题1．(x －2)(3x ＋5)<0的解集为( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－53，＋∞ B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－53∪(2，＋∞) C ．(2，＋∞)D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－53，2 2．若不等式ax 2＋5x ＋c ＞0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 13＜x ＜12，则a ，c 的值为( ) A ．a ＝6，c ＝1B ．a ＝－6，c ＝－1C ．a ＝1，c ＝6D ．a ＝－1，c ＝－6 3.已知集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＋3x －1<0，N ＝{x |x ≤－3}，则集合{x |x ≥1}等于( ) A ．M ∩N B ．M ∪N C ．∁R (M ∩N ) D ．∁R (M ∪N ) 4.设x >0，则y ＝3－3x －1x 的最大值是( )A ．3B ．3－2 2C ．3－2 3D ．－1 5.若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ≤0x ＋y ≤3x ≥0，则2x ＋y 的最大值为( )A ．0B ．3C ．4D ．5二、填空题6.不等式x 2＋x －2<0的解集为 .7.不等式2x ＋13－x≥1的解集为 . 8.函数f (x )＝x (4－2x )的最大值为 . 9.已知x ，y 满足约束条件04,03,28,x y x y ≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪+≤⎩则25z x y =+的最大值为 .10.已知06x <<，则(6)x x -的最大值是 .三、解答题11.解下列不等式(1)2x 2＋7x ＋3＞0； (2)－x 2＋8x －3＞0；12.若1->x ，则x 为何值时11++x x 有最小值，最小值为几？第四章 圆锥曲线与方程（寒假第4天）一、选择题1．椭圆2213y x +=的焦点坐标是（ ）A ．()2,0，()2,0-B ．)，()C ．(，(0,D ．()0,2，()0,2-2．椭圆22143x y +=的焦距为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．下列双曲线中离心率为2的是（ ） A ．22124x y -= B ．22142x y -= C ．22146x y -= D ．221410x y -= 4．已知双曲线2222:14x y C t t-=，则双曲线C 的离心率是（ ）A ．2BCD 5．过抛物线24y x =的焦点作直线交抛物线于()11,A x y ，()22,B x y 两点，如果126x x +=，那么||AB =（ ）A ．10B ．9C ．8D ．6二、填空题6．已知椭圆方程221516x y +=表示椭圆，焦点1F ，2F ，椭圆上有一动点P ，则12PF PF += . 7．过椭圆221169x y +=的焦点F 的弦中最短弦长是 . 8．若抛物线24y x =上一点M 到焦点F 的距离为4，则M 点的横坐标为 .9．已知抛物线方程为2x y =，则其焦点坐标为 . 10．已知双曲线的方程为2213x y -=，则焦点到渐近线的距离为 .三、解答题11．求椭圆22925225x y +=长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标、和顶点坐标.12．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线24y x =相交于不同的,A B 两点.（1）如果直线l 的方程为1y x =-，求弦AB 的长；（2）如果直线l 过抛物线的焦点，求OA OB ⋅的值.第五章 变化率与导数（寒假第5天）一、选择题1．若曲线2y ax =在x a =处的切线与直线210x y --=平行，则a =（ ）A ．1-B ．1C ．1-或1D ．12-或12．曲线()ln f x x =在点()1,0处的切线方程为（ ）A ．10x y --=B ．10x y -+=C ．10x y +-=D ．10x y ++=3．函数f （x ）＝1﹣x +x 4的导数记为()f x '，则()1f '-等于（ ）A ．﹣2B ．﹣3C ．﹣4D ．﹣54．已知函数()y f x =在0x x =处的导数为1，则()()000lim 2x f x x fx x ∆→+∆-=∆（）A ．0B ．12 C ．1 D ．25．已知ln ()xf x x =，则()f x '=（ ）A ．21xB ．11x - C ．1ln x - D ．21ln xx -二、填空题6．曲线ln 1y x x =++的一条切线的斜率为2，则切点坐标为 .7．函数()ln f x x x =，在点(),P e e 处的切线方程为 .8．函数y ＝f （x ）的图象在A （2，f （2））处的切线方程是y ＝3x ﹣1，则f （2）+f ′（2）＝ . 9．已知函数()sin f x x =的导函数为f x ，则π()2f '= .10．已知()()32'0f x x xf =+，则()'1f = .三、解答题11．已知()ln f x x x =，求函数()y f x =的图象在e x =处的切线方程．12．()32f x ax bx cx d =+++，且()03f =，()00f '=，()13f '=-，()20f '=；求a b c d ,,,的值第六章 导数应用（寒假第6天）一、选择题1．函数22y x x=+的单调递增区间为（ ） A ．(),1-∞B ．2,)+∞C ．()1,+∞D ．(),0-∞2．函数()22ln f x x x =-的递增区间是（ ） A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,02⎛⎫-⎪⎝⎭和1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭D ．1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭和10,2⎛⎫⎪⎝⎭3．函数4()3ln f x x x x=+-的单调递减区间是（ ） A ．(1,4)-B ．(0,1)C ．(4,)+∞D ．(0,4)4．如图是函数y ＝f （x ）的导数y ＝f '（x ）的图象，则下面判断正确的是（ ） A.在（﹣3，1）内f （x ）是增函数 B ．在x ＝1时，f （x ）取得极大值C.在（4，5）内f （x ）是增函数 D ．在x ＝2时，f （x ）取得极小值5．函数()sin xf x ae x =-在0x =处有极值,则a 的值为( )A ．1-B ．0C ．1D ．e二、填空题6．函数()43ln f x x x x=++的单调递减区间是 . 7．函数()52ln f x x x =-的单调递减区间是 . 8．函数()21xf x x =+的单调递增区间为 . 9．函数322611y x x =-+的单调减区间是 . 10．函数32()34f x x x =-+在x = 处取得极小值．三、解答题11．函数()ln 1f x x x ax =-+在点(1,(1))A f 处的切线斜率为2-． （1）求实数a 的值；（2）求()f x 的单调区间和极值．12．已知函数3()31f x x x =-+. （1）求()f x 的单调区间； （2）求函数的极值；(要列表).第七章 综合作业一（寒假第7天）一、选择题1．已知等差数列{}n a 中，7916+=a a ，41a =，则12a 的值是（ ） A ．15B ．30C ．3D ．642．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且310179a a a ++=，则19S =（ ） A ．51B ．57C ．54D ．723．在ABC 中，已知30A =，60B =，10a =，则b 等于（ ）A ．B ．C D ．4．不等式2230x x +->的解集是（ ）A ．{13}xx -<<∣ B ．{31}xx -<<∣ C ．{1xx <-∣ 或3}x > D ．{3}xx <∣ 5．已知直线:30l x y +-=，椭圆2214x y +=，则直线与椭圆的位置关系是（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．相切或相交二、填空题6．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，42S S =2，则数列{}n a 的公比q = . 7．若实数列1，a ，b ，c ，4是等比数列，则b 的值为 .8．已知a ，b ，c 为ABC 的三边，120B =︒，则222a c ac b ++-= . 9．已知1x >，函数41y x x =+-的最小值是 .． 10．在等差数列{a n }中，a 2＝1，a 4＝3，则a 3＝ .三、解答题11．已知曲线 y = x 3 + x －2 在点 P 0 处的切线 1l 平行于直线4x －y －1=0，且点 P 0 在第三象限, ⑴求P 0的坐标;⑵若直线 1l l ⊥ , 且 l 也过切点P 0 ,求直线l 的方程.12．求适合下列条件的抛物线的标准方程: （1）过点()6,6M -;（2）焦点F 在直线:3260l x y --=上 .第八章 综合作业二（寒假第8天）一、选择题1．已知{}n a 中，11a =，112n n a a +=，则数列{}n a 的通项公式是（ ） A ．2n a n = B ．12n a n =C ．112n n a -=D ．21n a n=2．若数列{}n a 是等比数列，且17138a a a =，则311a a =（ ） A ．1B ．2C ．4D ．83．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，右a =1，c =2，∠B =600，则b =（ ） A ．1BC．D ．24．已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2a =，b =c =，则C =（ ）A ．3π B ．23π C ．34π D ．56π 5．已知不等式210ax bx +->的解集为{|34}x x <<，则a b +=（ ） A ．12B ．12-C ．34D ．34-二、填空题6．若关于x 的二次不等式210x mx ++≥的解集为实数集R ，则实数m 的取值范围是 . 7．若0a >，0b >且240a b +-=，则12a b+的最小值为 . 8．数列{}n a 的前n 项和28n S n n =-，则该数列的通项公式为 .9．已知等差数列{a n }满足a 1=1，a 2=2，则{ a n }的前5项和S 5= . 10．求111112233420192020++++=⨯⨯⨯⨯ .三、解答题11．若实数x ，y 满足约束条件02030x y x y x -≥⎧⎪++≥⎨⎪-≤⎩（1）在平面直角坐标系中画出此约束条件所表示的平面区域； （2）若2z x y =-，求z 的最大值.12．如图，已知△ABC 中，AB ＝362，∠ABC ＝45°，∠ACB ＝60°．（1）求AC 的长；（2）若CD ＝5，求AD 的长．第九章 综合作业三（寒假第9天）一、选择题1．“3x >”是“5x >”成立的是（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．若p ：1x >，q ：12x <<，则p 是q 成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．椭圆2213y x +=的焦点坐标是（ ）A ．()2,0，()2,0-B ．)，()C ．(，(0,D ．()0,2，()0,2-4．已知双曲线2222:14x y C t t-=，则双曲线C 的离心率是（ ）A ．2B C D 5．函数()25xf x e x =-+的图像在点()()0,0f 处的切线方程是（ ） A ．60x y +-= B ．60x y --=C ．60x y ++=D ．60x y -+=二、填空题6．抛物线2x y =-的准线方程是 .7．抛物线的焦点为椭圆22154x y +=的右焦点，顶点在椭圆的中心，则抛物线方程为 .8．已知函数()ln f x x x =，则()y f x =的极小值为 .9．已知0a >，函数3()2f x x ax =-在[1,)+∞上是单调增函数，则a 的最大值是 .10．已知方程22153x y m m +=-+表示椭圆，则m 的取值范围为 .三、解答题11．求与椭圆221259x y +=有相同焦点，且过点的椭圆的标准方程.12．求导：（1）()33cos f x x x x =+；（2）()212x x f x ee e -+=++第十章 综合作业四（寒假第10天）一、选择题1．已知角α的终边上有一点()1,2P -，则tan α的值为（ ） A ．-2B ．12-CD． 2．已知向量(1,2)a =，(2,1)b =-，则a b +等于（ ） A ．(3,1)--B ．(1,3)-C ．(1,3)D ．(3,1)3．sin160cos10cos20sin10︒︒+︒︒=（ ） A． B ．12-C ．12D．24．已知直线过()31A m +,，()4,21B m +两点且倾斜角为56π，则m 的值为（ ）A．BC．3-D．35．已知直线210x ay +-=与直线(2)20a x ay --+=平行，则a 的值是（ ）A ．23-B ．23-或0 C ．0或32D ．32二、填空题6．函数f (x )=a x +1+1(a >0且a ≠1)的图象恒过定点 . 7．函数2()log (3)f x x =-的定义域为 .8．设函数()122,11log ,1x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩，则()4f f =⎡⎤⎣⎦. 9．函数()1lg 2y x =-的定义域为 .10．已知实数x ，y 满足2525x y x y x ≥⎧⎪≤-⎨⎪≥-⎩，则2z x y =-的最大值为 .三、解答题11．已知对数函数()log (0,1)a f x x a a =>≠的图象经过点（9,2）. (1)求函数()f x 的解析式；（2）如果不等式(1)1f x +<成立，求实数x 的取值范围．12．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知8b =，3c =，3A π=.（1）求a ；（2）求ABC 的面积.第十一章 综合作业五（寒假第11天）一、选择题1．已知集合{}2,3,4A =，{}2,5B =，则A B =（ ）A ．{}5B ．{}1,2,5C ．{}2D ．∅2．函数()()2lg 4x f x x -=-的定义域是（ ） A ．()2,4 B ．()3,4C ．()(]2,33,4 D ．[)()2,33,43．已知函数21,0(),0x x f x x x +≥⎧=⎨<⎩，则()()1f f -=（ ）A ．2B ．1C ．0D ．124．与函数y x =表示同一个函数的是（ ） A ．2y x =B ．2y xC ．2log 2xy =D ．2log 2xy =5．如果直线l 的倾斜角为6π，则该直线的斜率为（ ） A ．12B ．33C ．32D 3二、填空题6．点()2,3P 到直线320x -=的距离为 .7．如图，1111ABCD A B C D -为正方体，异面直线AD 与1CB 所成的角为_ . 8．已知向量4,a m m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，(),4b m m =--，若//a b ，则m = . 9．已知1tan 2α=，则2cos πcos 22αα=⎛⎫- ⎪⎝⎭ . 10．函数224y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期为 .三、解答题11．已知数列{}n a 满足11(1)(1)3()n n n n a a a a ++--=-，12a =，令11n n b a =-. （1）证明：数列{}n b 是等差数列； （2）求数列{}n a 的通项公式．12．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2222sin sin sin sin sin 3A CB AC +-=，2c =. （1）求sin B 的值；（2）设D 在BC 边上，且2BD AD DC ==，求ABC 的面积.第十二章 综合作业六（寒假第12天）一、选择题1．平面上动点M 到点F (3，0)的距离等于M 到直线l ：x=-3的距离，则动点M 满足的方程是（ ） A ．y 2=6xB ．y 2=12xC ．x 2=6yD ．x 2=12y2．命题“x R ∀∈，2210x x ++>”的否定是（ ） A ．0x R ∃∈，使得200210x x ++> B ．0x R ∃∈，使得200210x x ++≤ C ．x R ∀∈，2210x x ++≤ D ．x R ∀∈，2210x x ++<3．已知点P 为双曲线2214y x -=右支上一点，12,F F 分别为双曲线左右焦点，若2||4PF =，则1||PF =（ ）A ．2B ．3C ．5D ．64．若点P 在抛物线2y x =上，点Q 在圆M :()2231x y -+=上，则|PQ|的最小值是（ ）A 1B 1-C ．2D ．12- 5．已知函数()f x 的导函数为()'f x ，且满足()3(1)ln f x xf x '=+，则(1)f '=A ．12-B ．12C ．1-D ．e二、填空题6．设函数e ()xf x x a =+.若(1)4e f '=，则a = .7．已知函数f （x ）＝2f π⎛⎫'⎪⎝⎭sin x ＋cos x ，则4f π⎛⎫' ⎪⎝⎭＝ . 8．已知点F 1(4-，0)和F 2(4，0)，一曲线上的动点P 到F 1，F 2的距离的差的绝对值是6，该曲线方程是 .9．已知双曲线的方程为2213x y -=，则焦点到渐近线的距离为 .10．函数32()34f x x x =-+在x = 处取得极小值．三、解答题11．已知函数()()ln ,f x x a x a R =+∈． （1）讨论函数()f x 的单调性； （2）当1a =时，如果函数()()212g x f x x tx =++在定义域内单调递增，求实数t 的取值范围．12．已知椭圆的两个焦点坐标分别是()2,0-，()2,0，并且经过点53,22⎛⎫- ⎪⎝⎭. （1）求椭圆的标准方程；（2）若直线1y x =+与椭圆交于A ､B 两点，求AB 中点的坐标和AB 长度.第十三章 综合作业七（寒假第13天）一、选择题1．若,,a b c ∈R 且a b >，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．ac bc >B ．2()0a b c ->C ．11a b< D ．22c a c b -<-2．不等式2230x x +->的解集是（ ）A ．{13}xx -<<∣ B ．{31}xx -<<∣ C ．{1xx <-∣ 或3}x > D ．{3}xx <∣ 3．已知等比数列{}n a 中，21274a a a =，数列{}n b 是等差数列，且77b a =，则311b b +=（ ） A ．3B ．6C ．7D ．84．在等比数列{}n a 中，11a =，12q =，132n a =，则项数n 为（ ） A ．5B ．6C ．15D ．165．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，右a =1，c =2，∠B =600，则b =（ ） A ．1BC．D ．2二、填空题6．在ABC中，若3,4b c C π===，则角B 的大小为 .7．设等差数列{}n a 的前n 项为n S ，若533a a =，则64S S = . 8．已知等差数列{}n a 中，5a ，13a 是方程2610x x --=的两根，则7891011a a a a a ++++= .9．已知实数x ，y 满足不等式组2034802x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则区域面积是 .10．数列{－n 2＋12n －7}的最大项为第 项．三、解答题11．已知数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，数列{}n b 是等比数列，且112a b ==，4427a b +=，4410S b -=.（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）设n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项的和n T .12．若二次函数()f x 满足()1()2f x f x x +-=，且()02f =. （1）求()f x 的解析式；（2）若不等式2()0f x mx mx -+>对于x ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围.第十四章 综合作业八（寒假第14天）一、选择题1．下列函数既是幂函数又是偶函数的是（ ） A ．2()3f x x = B ．()f x x =C ．41()f x x =D ．3()-=f x x2．已知函数()2141f x x -=- ()x R ∈，若()15f a =，则a 的值为（ ） A ．5B ．6C ．7D ．83．已知直线420ax y +-=与直线250x y b -+=互相垂直，垂足为()1,c ，则a b c ++的值为（ ） A ．0B ．－4C ．24D ．－224．函数()()2,0,2f x x x πωϕωϕ⎛⎫=+∈>< ⎪⎝⎭R 的部分图象如图所示，则ω的值是（ ） A ．4B ．2C ．65D ．1255．已知数列{}n a 中，11a =，134n n a a -=+（n *∈N 且2n ≥），则数列{}n a 通项公式n a 为（ ） A ．13n -B ．132n +-C ．32n -D ．3n二、填空题6．若2παπ<<且1cos 3α=-，则tan α= . 7．已知向量(,12,1)OA k =，(4,5,1)OB =，(,10,1)OC k =-，且A 、B 、C 三点共线，则k = .8．若关于x 的不等式()()0x m x n --≤的解集为{}24x x ≤≤，则m n += .9．在ABC 中，三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若5,4b B π==，tan 2C =，则c = .10．经过点((),P Q -的双曲线的标准方程为 .三、解答题11．已知命题p ：22310x x -+≤和命题q ：2(21)(1)0x a x a a -+++≤（1）若12a =，且p 和q 都是真命题，求实数x 的取值范围. （2）若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.12．已知函数323()2f x x x a =-+的极大值为2. （1）求a 的值和()f x 的极小值； （2）求()f x 在2x =处的切线方程.第十五章 综合作业九（寒假第15天）一、选择题1．已知点P (－3，1)，点Q 在y 轴上，且直线PQ 的倾斜角为120° ，则Q 点的坐标为( ) A ．(0,2) B ．(0，－2) C ．(2,0)D ．(－2,0)2.数列{a n }的通项公式a n ＝2n ＋5，则此数列( ) A ．是公差为2的递增等差数列B ．是公差为5的递增等差数列C ．是首项为7的递减等差数列D ．是公差为2的递减等差数列3.若a =（2，3），b =（―4，7），则a 在b 方向上的投影为（ ）A ．5C ．5D 4．在)2,0(π内，使x x cos sin >成立的x 取值范围为( ) A.)45,()2,4(ππππ B.),4(ππC.)45,4(ππ D.)23,45(),4(ππππ 5.设圆x 2＋y 2－8x －9＝0的弦AB 的中点为P (5,2)，则直线AB 的方程为( ) A ．2x －5y ＝0 B ．2x －y －8＝0 C ．x ＋2y －9＝0D ．5x －2y －21＝0二、填空题6.当a 为任意实数时，直线ax －y ＋1－3a ＝0恒过定点 .7.等比数列中S n ＝48，S 2n ＝60，则S 3n 等于 . 8.函数)32cos(π--=x y 的单调递增区间是 .9.若关于x 的不等式2260ax x a -+<的解集为(1,)m ，则实数m 等于 . 10.函数f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6的递减区间为 .三、解答题11.已知tan()34πθ+=，求2sin 22cos θθ-的值．12.已知函数()2cos()(0)3f x x πωω=+>的最小正周期为π．（1）求ω的值； （2）求()f x 在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的取值范围．。
2020-2021学年高二上学期期末考试数学试卷(含解析)
2020-2021学年高二上学期期末考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若3324A 10A n n =，则n =（ ）A ．1B ．8C ．9D ．102．期末考试结束后，某班要安排6节课进行试卷讲评，要求课程表中要排入语文、数学、英语、物理、化学、生物共六节课，如果第一节课只能排语文或数学，最后一节不能排语文，则不同的排法共有（ ） A ．192种B ．216种C ．240种D ．288种3．一台X 型号自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为0.8，有4台这种型号的自动机床各自独立工作，则在一小时内至多2台机床需要工人照看的概率是（ ） A ．0.1536B ．0.1808C ．0.5632D ．0.97284．某市气象部门根据2021年各月的每天最高气温平均值与最低气温平均值（单位：℃）数据，绘制如下折线图：那么，下列叙述错误的是（ ）A ．各月最高气温平均值与最低气温平均值总体呈正相关B ．全年中，2月份的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大C ．全年中各月最低气温平均值不高于10℃的月份有5个D ．从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值都呈下降趋势5．若()2N 1,X σ~，则()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=，已知()21,3X N ~，则(47)P X <≤=（ ）A ．0.4077B ．0.2718C ．0.1359D ．0.04536．为了评价某个电视栏目的改革效果，在改革前后分别从居民点抽取了100位居民进行调查，经过计算()200.01P K k ≥=，根据这一数据分析，下列说法正确的是（ ）A ．有1%的人认为该栏目优秀；B ．有1%的把握认为该栏目是否优秀与改革有关系；C ．有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系；D ．没有理由认为电视栏目是否优秀与改革有关系.7．若1021001210)x a a x a x a x =++++，则012310a a a a a -+-++的值为．A 1B 1C ．101)D ．101)8．关于()72x +的二项展开式，下列说法正确的是（ ） A ．()72x +的二项展开式的各项系数和为73B ．()72x +的二项展开式的第五项与()72x +的二项展开式的第五项相同C ．()72x +的二项展开式的第三项系数为4372CD ．()72x +的二项展开式第二项的二项式系数为712C9．如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个3×2×3的长方体框架，一个建筑工人欲从A 处沿脚手架攀登至B 处，则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为（ ）A ．528B ．514C ．29D ．1210．三棱锥P ABC -中P A ､PB ､PC 两两互相垂直，4PA PB +=，3PC =，则其体积（ ） A ．有最大值4B ．有最大值2C ．有最小值2D ．有最小值4二、填空题11．最小二乘法得到一组数据(),(1,2,3,4,5)i i x y i =的线性回归方程为ˆ23yx =+，若5125ii x==∑，则51i i y ==∑___________.12．某班举行的联欢会由5个节目组成,节目演出顺序要求如下: 节目甲不能排在第一个,并且节目甲必须和节目乙相邻.则该班联欢会节目演出顺序的编排方案共有____种. 13．若随机变量X 的概率分布如表，则表中a 的值为______.14．设随机变量ξ~B (2，p )，若P (ξ≥1)=59，则D (ξ)的值为_________.15．已知等差数列{}n a 中，33a =，则1a 和5a 乘积的最大值是______.16．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮的概率为___________.17．经统计，在银行一个营业窗口每天上午9点钟排队等候的人数及相应概率如下：则该营业窗口上午9点钟时，至少有2人排队的概率是_____．18．点A ，B ，C 在球O 表面上，2AB =，BC =90ABC ∠=︒，若球心O 到截面ABC的距离为___________.19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11AAC C 是边长为4的正方形，平面ABC ⊥平面11AAC C ，3AB =，5BC =.（℃）求证：1AA ⊥平面；（℃）若点E 是线段的中点，请问在线段是否存在点E ，使得面11AAC C ？若存在，请说明点E 的位置，若不存在，请说明理由； （℃）求二面角的大小.20．四根绳子上共挂有10只气球,绳子上的球数依次为1,2,3,4，每枪只能打破一只球,而且规定只有打破下面的球才能打上面的球,则将这些气球都打破的不同打法数是________.三、解答题21．已知集合(){}()12,,,|,1,2,,1nn i R x x x x R i n n =∈=≥，定义n R 上两点()12,,,n A a a a ，()12,,,n B b b b 的距离()1,ni i i d A B a b ==-∑.（1）当2n =时，以下命题正确的有__________（不需证明）： ℃若()1,2A ，()4,6B ，则(),7d A B =；℃在ABC 中，若90C =∠，则()()()222,,,d A C d C B d A B ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=⎣⎦⎣⎦⎣⎦； ℃在ABC 中，若()(),,d A B d A C =，则B C ∠=∠;（2）当2n =时，证明2R 中任意三点A B C ，，满足关系()()(),,,d A B d A C d C B ≤+；（3）当3n =时，设()0,0,0A ，()4,4,4B ，(),,P x y z ，其中x y z Z ∈，，，()()(),,,d A P d P B d A B +=.求满足P 点的个数n ，并证明从这n 个点中任取11个点，其中必存在4个点，它们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于83.22．今年4月，教育部办公厅印发了《关于加强义务教育学校作业管理的通知》，规定初中学生书面作业平均完成时长不超过90分钟．某市为了更好地贯彻落实“双减”工作要求，作教育决策，该市教育科学研究院就当前全市初三学生每天完成书面作业时长抽样调查，结果是学生书面作业时长（单位：分钟）都在区间[]50,100内，书面作业时长的频率分布直方图如下：(1)若决策要求：在国家政策范围内，若当前初三学生书面作业时长的中位数估计值大于或等于平均数（计算平均数时，同一组中的数据用该区间的中点值代表）估计值，则减少作业时长；若中位数估计值小于平均数，则维持现状．请问：根据这次调查，该市应该如何决策？(2)调查统计时约定：书面作业时长在区间[]90,100内的为A 层次学生，在区间[)80,90内的为B 层次学生，在区间[70,80)内的为C 层次学生，在其它区间内的为D 层次学生．现对书面作业时长在70分钟以上（含70分钟）的初三学生，按作业时长出现的频率用分层抽样的方法随机抽取8人，再从这8人中随机抽取3人作进一步调查，设这3人来自X 个不同层次，求随机变量X 的分布列及数学期望．23．国家文明城市评审委员会对甲､乙两个城市是否能入围“国家文明城市”进行走访调查.派出10人的调查组.先后到甲､乙两个城市的街道､社区进行问卷调查，然后打分（满分100分）.他们给出甲､乙两个城市分数的茎叶图如图所示：(1)请你用统计学的知识分析哪个城市更应该入围“国家文明城市”，请说明理由；(2)从甲､乙两个城市的打分中各抽取2个，在已知有大于80分的条件下，求抽到乙城市的分数都小于80分的概率；(3)从对乙城市的打分中任取2个，设这2个分数中不小于80分的个数为X，求X的分布列和期望.参考答案：1．B【分析】根据排列数的运算求解即可.【详解】由332A 10A n n =得，2(21)(22)10(1)(2)n n n n n n --=--，又3,n n *≥∈N ，所以2(21)5(2)n n -=-，解得8n =， 所以正整数n 为8． 故选：B. 2．B【分析】对第一节课的安排进行分类讨论，结合分步乘法计数原理和分类加法计数原理可得结果.【详解】分以下两种情况讨论：℃若第一节课安排语文，则后面五节课的安排无限制，此时共有55A 种；℃若第一节课安排数学，则语文可安排在中间四节课中的任何一节，此时共有444A 种.综上所述，不同的排法共有54544216A A +=种.故选：B. 3．D【详解】设在一个小时内有ξ台机床需要工人照看，则ξ～B (4,0.2)，所以P (ξ≤2)＝04C (0.8)4＋14C (0.8)3×0.2＋24C (0.8)2×(0.2)2＝0.972 8. 故选D 4．D【分析】利用折线图可以判断选项ABC 正确，从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，所以选项D 错误.【详解】解：由2021年各月的每天最高气温平均值和最低气温平均值（单位：C)︒数据，绘制出的折线图，知：在A 中，各月最高气温平均值与最低气温平均值为正相关，故A 正确；在B 中，全年中，2月的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大，故B 正确； 在C 中，全年中各月最低气温平均值不高于10C ︒的月份有1月，2月，3月，11月，12月，共5个，故C 正确；在D 中，从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，故D 错误. 故选：D ． 5．C【分析】由题意，得(47)(2)P X P X μσμσ<≤=+<≤+，再利用3σ原则代入计算即可.【详解】℃()21,3X N ~，由()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=，℃1(47)(2)(0.95450.6827)0.13592P X P X μσμσ<≤=+<≤+=-=.故选：C 6．C【分析】利用独立性检验的基本原理即可求出答案．【详解】解：℃()200.01P K k ≥=表示“电视栏目是否优秀与改革没有关系”的概率，℃有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系， 故选：C ．【点睛】本题主要考查独立性检验的基本应用，准确的理解判断方法是解决本题的关键，属于基础题． 7．D【详解】分析：令1021001210())f x x a a x a x a x ==++++，再求f(-1)的值得解.详解：令1021001210())f x x a a x a x a x ==++++，1001210(1)1)f a a a a -==-+++．故答案为D ．点睛：（1）本题主要考查二项式定理中的系数求法问题，意在考查学生对这些基础知识 的掌握水平.(2) 二项展开式的系数0123,,,,n a a a a a ⋅⋅⋅的性质：对于2012()?··n n f x a a x a x a x =++++，0123(1)n a a a a a f ++++⋅⋅⋅+=， 0123(1)(1)n n a a a a a f -+-+⋅⋅⋅+-=-.8．A【分析】利用赋值法求出展开式各项系数和，即可判断A ，根据二项式展开式的通项，即可判断B 、C 、D ；【详解】解：()72x +展开式的通项为7172rrr r T C x -+=⋅⋅，故第二项的二项式系数为177C =，故D 错误； 第三项的系数为2572C ⋅，故C 错误；()72x +的展开式的第五项为43472C x ⋅⋅，()72x +的展开式的第五项为44372C x ⋅⋅，故B 错误； 令1x =则()7723x +=，即()72x +的二项展开式的各项系数和为73，故A 正确； 故选：A 9．B【解析】将问题抽象成“向左三次，向前两次，向上三次”，计算出总的方法数，然后利用插空法计算出最近的行走路线中不连续向上攀登的事件数，最后根据古典概型概率计算公式，计算出所求概率.【详解】从A 的方向看，行走方向有三个：左、前、上. 从A 到B 的最近的行走线路，需要向左三次，向前两次，向上三次，共8次.所以从A 到B 的最近的行走线路，总的方法数有88332332560A A A A =⋅⋅种. 不连续向上攀登的安排方法是：先将向左、向前的安排好，再对向上的方法进行插空.故方法数有：53563232200A C A A ⨯=⋅.所以最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为200556014=. 故选：B【点睛】本小题主要考查古典概型的计算，考查有重复的排列组合问题，考查插空法，属于中档题. 10．B【分析】依题意可得1113332P ABC PABV PC SPA PB -=⋅=⨯⨯⋅再利用基本不等式计算可得； 【详解】解：依题意21111132332222P ABCPABPA PB V PC S PA PB PA PB -+⎛⎫=⋅=⨯⨯⋅=⋅≤= ⎪⎝⎭，当且仅当2PA PB ==时取等号，所以()max 2P ABC V -=， 故选：B11．65【分析】由最小二乘法得到的线性回归方程过点(),x y ，代入即可解决 【详解】由5125i i x ==∑可知，数据的平均数2555x ==， 又线性回归方程ˆ23yx =+过点(),x y ， 所以25313y =⨯+=，故51551365i i y y ===⨯=∑故答案为：65 12．42【分析】由题意可知，甲可排在第二、三、四、五个，再根据甲、乙相邻，分别计算. 【详解】由题意可知，甲可排在第二、三、四、五个，当甲排在第二、三、四个时，甲乙相邻，有22A 种排法，将甲乙当做一个整体，剩下三个节目全排列，共3×22A ×33A =36种当甲排在第五个时，甲乙相邻，只有一种排法，剩下三个节目全排列，共33A =6种 综上，编排方案共36+6=42种【点睛】本题考查了分类计数原理，分类时要注意不重不漏；解决排列问题时，相邻问题常用捆绑法，特殊位置要优先考虑. 13．0.2【解析】利用概率和为1可求出答案. 【详解】由随机变量X 的概率分布表得： 0.20.30.31a +++=，解得0.2a =. 故答案为：0.2【点睛】本题考查的是分布列的性质，较简单. 14．49【分析】由二项分布的特征，先求出13p =，套公式即可求出D (ξ). 【详解】因为随机变量ξ~B (2，p )，且P (ξ≥1)=59，所以P (ξ≥1)=()11P ξ-<= ()10P ξ-==()25119p --=. 解得：13p =. 所以D (ξ)()12412339np p =-=⨯⨯=.故答案为：4915．9【分析】设出公差，根据等差数列的性质，表示出15,a a ，再列式即可求得结果. 【详解】因为{}n a 是等差数列，设公差为d ，可得13532,2a a d a a d =-=+，于是得()()2153322949a a a d a d d =-+=-≤，当且仅当d =0，即153a a ==时，取得最大值. 故答案为：9.【点睛】本题考查等差数列的下标和性质，属基础题. 16．1443125##0.04608 【分析】认真分析该选手所有可能的答题情况，是本题的关键【详解】由该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮，说明他第4、第5两个问题是连续答对的，第3个问题没有答对，第1和第2两个问题也没有全部答对，即他答题结果可能有三种情况：⨯⨯⨯√√或⨯√⨯√√或√⨯⨯√√，根据独立事件同时发生的概率公式，可得该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮的概率为0.20.20.20.80.8+0.20.80.20.80.8+0.80.20.20.80.8=0.04608⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯故答案为：0.04608 17．0.74【详解】试题分析：x 表示人数，(2)(2)(3)(4)(5)P x P x P x P x P x ≥==+=+=+≥0.30.30.10.040.74=+++=.考点：互斥事件的概率.18．【分析】根据截面圆性质，先求出截面圆半径，然后由求得球半径，从而求得体积．【详解】因为2AB =，BC =90ABC ∠=︒，所以4AC ==，所以三角形外接圆半径22ACr ==，又球心O 到截面ABC 的距离为R =球体积为(334433V R ππ==⨯=．故答案为：．19．（℃）（℃）（℃）见解析【详解】试题分析：（℃）由正方形的性质得1AC AA ⊥，然后由面面垂直的性质定理可证得结果；（℃）当点E 是线段1AB 的中点时，利用中位线定理可得1DE AC ，进而得出DE 面11AAC C ；（℃）利用二面角的定义先确定11C AC ∠是二面角111C A B C --的平面角，易求得11tan C A C ∠，从而求得二面角的平面角为的度数．试题解析：（℃）因为四边形11AAC C 为正方形，所以1AC AA ⊥． 因为平面ABC ⊥平面11AAC C ，且平面ABC ⋂平面11AAC C AC =， 所以1AA ⊥平面ABC ．（℃）当点E 是线段1AB 的中点时，有DE 面11AAC C ， 连结1AB 交1AB 于点E ，连结BC ，因为点E 是1AB 中点，点⊄是线段DE 的中点，所以1DE AC ． 又因为BC ⊂面11AAC C ，11A C 面11AAC C ，所以DE 面11AAC C .（℃）因为1AA ⊥平面ABC ，所以.又因为，所以面11AAC C ，所以11A B ⊥面11AAC C ，所以11A B ⊥1A C ，11A B ⊥11A C ，所以11C AC ∠是二面角111C A B C --的平面角， 易得，所以二面角111C A B C --的平面角为45°.考点：1、线面垂直的判定；2、线面平行的判定；2、二面角．【方法点睛】立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究，对条件和结论不完备的开放性问题的探究．解决这类问题时一般根据探索性问题的设问，假设其存在并探索出结论，然后在假设下进行推理，若得到合乎情理的结论就肯定假设，若得到矛盾就否定假设． 20．12600【详解】问题等价于编号为1,2,3,10的10个小球排列，其中2,3号，4,5,6号，7,8,9,10号的排列顺序是固定的，据此可得：将这些气球都打破的不同打法数是101023423412600A A A A =⨯⨯. 21．（1）℃；（2）证明见解析；（3）125n =，证明见解析．【解析】（1）℃根据新定义直接计算．℃根据新定义，写出等式两边的表达式，观察它们是否相同，即可判断；℃由新定义写出等式()(),,d A B d A C =的表达式，观察有无AB AC =； （2）由新定义，写出不等式两边的表达式，根据绝对值的性质证明；（3）根据新定义，及绝对值的性质得P 点是以AB 为对角线的正方体的表面和内部的整数点，共125个，把它们分布在五个平面(0,1,2,3,4)z =上，这五个面一个面取3个点，相邻面上取一个点，以它们为顶点构成三棱锥（能构成时），棱锥的体积不超过83，然后任取11点中如果没有4点共面，但至少有一个平面内有3个点．根据这3点所在平面分类讨论可得． 【详解】（1）当2n =时，℃若()1,2A ，()4,6B ，则(),41627d A B =-+-=，℃正确；℃在ABC 中，若90C =∠，则222AC BC AB +=，设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，所以222222131323231212()()()()()()x x y y x x y y x x y y -+-+-+-=-+-而()2221212121221212()()()2)),((x x y y x x y y d A x B x y y =⎡⎤⎣-+-+⎦=--+--， ()()22,,d A C d C B ⎡⎤⎡⎤+=⎣⎦⎣⎦22221313232313132323()()()()2()()2()()x x y y x x y y x x y y x x y y -+-+-+-+--+--，但1313232312122()()2()()2()()x x y y x x y y x x y y --+--=--不一定成立，℃错误； ℃在ABC 中，若()(),,d A B d A C =，在℃中的点坐标，有12121313x x y y x x y y -+-=-+-，但1212131322x x y y x x y y -⋅-=-⋅-不一定成立，因此AB AC =不一定成立，从而B C ∠=∠不一定成立，℃错误．空格处填℃（2）证明：设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，根据绝对值的性质有132312x x x x x x -+-≥-，132312y y y y y y -+-≥-，所以(,)(,)(,)d A C d B C d A B +≥．,（3）(,)12d A B =，44,44,44x x y y z z +-≥+-≥+-≥，所以(,)(,)12d A P d B P +≥，当且仅当以上三个等号同时成立，(,)(,)12d A P d B P +=又由已知()()(),,,d A P d P B d A B +=，℃04,04,04x y z ≤≤≤≤≤≤， 又,,x y z Z ∈，℃,,0,1,2,3,4x y z =，555125⨯⨯=，点P 是以AB 为对角线的正方体内部（含面上）的整数点，共125个，125n =． 这125个点在0,1,2,3,4z z z z z =====这五面内．这三个平面内，一个面上取不共线的3点，相邻面上再取一点构成一个三棱锥．则这个三棱锥的体积最大为118441323V =⨯⨯⨯⨯=，现在任取11个点，若有四点共面，则命题已成立，若其中无4点共面，但11个点分在5个平面上至少有一个平面内有3个点（显然不共线），若这三点在1,2,3z z z ===这三个平面中的一个上，与这个面相邻的两个面上如果有一点，那么这一点与平面上的三点这四点可构成三棱锥的四个顶点，其体积不超过83，否则还有8个点在平面0z =和4z =上，不合题意，若这三个点在平面0z =或5z =上，不妨设在平面0z =，若在平面1z =在一个点，则同样四点构成的三棱锥体积不超过83，否则剩下的8个点在2,3,4z z z ===三个平面上，只能是3，3，2分布，不管哪一种分布都有四点构成的三棱锥体积不超过83，综上，任取11个点，其中必存在4个点，它们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于83.【点睛】关键点点睛：本题新定义距离(,)d A B ，解题关键是利用新定义转化为绝对值，利用绝对值的性质解决一些问题．本题还考查了抽屉原理，11个放在5个平面上，至少有一个平面内至少有3点，由此分类讨论可证明结论成立． 22．(1)该市应该作出减少作业时长的决策； (2)分布列见解析；期望为167.【分析】（1）根据题意，结合频率分布直方图，分别求出中位数和平均数，即可求解； （2）根据题意，结合分层抽样以及离散型随机变量的分布列与期望求法，即可求解. (1)作业时长中位数的估计值为直方图中等分面积的线对立的值，设为x ．0.01100.01100.02100.5⨯+⨯+⨯<． 0.01100.01100.02100.03100.5⨯+⨯+⨯+⨯>，()0.01100.01100.02100.03800.5x ∴⨯+⨯+⨯+⨯-=．解得2503x =，即中位数的故计值2503分钟．又作业时长平均数估计值为0.0110550.0110650.021075⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 2500.0310850.031095813+⨯⨯+⨯⨯=<． 因为中位数的估计值2503分钟大于平均数估计值81分钟， 所以，根据这次调查，该市应该作出减少作业时长的决策. (2)由题，作业时长在70分钟以上（含70分钟）为[90.100]，[80,90)，[70,80)三个区间，其频率比为3：3：2，分别对应A ，B ，C 三个层次．根据分层抽样的方法，易知各层次抽取的人数分别为3，3，2， 因此X 的所有可能值为1，2，3．因为333821(1)28C P X C ⨯===，111233389(3)28C C C P X C ⋅⋅===， 121221333232382229(2)14C C C C C C P X C ⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅===， 所以X 的分在列为：故数学期望19916()1232814287E X =⨯+⨯+⨯=. 23．(1)乙城市更应该入围“国家文明城市”．理由见解析． (2)425； (3)分布列见解析，期望为1．【分析】（1）根据得分的平均值与方差说明，极差最值也可用来说明；（2）记抽到的数据中有大于80分为事件A ，甲城市抽到的分数有大于80分为事件B ，乙城市抽到的分数有大于80分为事件C ，由()()(|)()()P AC P C P C A P A P A ==计算； （2）X 的可能值是0,1,2，分别求得概率得概率分布列，由期望公式计算出期望． (1)乙城市更应该入围“国家文明城市”． 理由如下：由茎叶图，计算两个城市的得分的均值为 甲：6365987910x +++==，乙：6568927910y +++==，均值相等，方差为甲：222211[(16)(14)19]13610s =-+-++=， 乙：222221[(14)(11)13]59.810s =-+-++=，甲的方差远大于乙的方差，说明乙的得分较稳定，甲极其不稳定，因此乙城市更应该入围“国家文明城市”． (2)记抽到的数据中有大于80分为事件A ，甲城市抽到的分数有大于80分为事件B ，乙城市抽到的分数有大于80分为事件C ，262102()13C P B C =-=，252107()19C P C C =-=，2725()1(1)(1)3927P A =--⨯-=，7()()9P AC P C ==， 所以()()()()749(|)1(|)111252527P AC P C P C A P C A P A P A =-=-=-=-=；(3)乙城市10个人中5个大于80分，5个小于80，X 的可能是0,1,2，252102(0)9C P X C ===，11552105(1)9C C P X C ===，252102(2)9C P X C ===，所以X 的分布列为：52()12199E X =⨯+⨯=．。
广东省中山市2020至2021学年度第一学期期末统一考试高二数学试卷真题
xyO'()y f x =3 4-2 -4广东省中山市2020-2021学年度第一学期期末统一考试高二数学试卷（理科）本试卷分第I 卷（选择题）、第II 卷（非选择题）两部分。
共150分，考试时间120分钟。
第I 卷（选择题 共40分）注意事项：1、答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、统考考号、座位号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题上。
3、不可以使用计算器。
4、考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交。
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．不等式25x x ≥的解集是 A ．[0,5]B ．[5,)+∞C ．(,0]-∞D ．(,0][5,)-∞+∞2．已知一个数列的前四项为22221357,,,24816--，则它的一个通项公式为 A ．221(1)(2)nn n -- B ．1221(1)(2)n n n --- C ．221(1)2nn n -- D ．1221(1)2n nn --- 3．椭圆221625400x y +=的离心率为A ．35B ．45C ．34D ．16254．函数f (x )的导函数'()f x 的图象如右图所示， 则下列说法正确的是A ．函数()f x 在(2,3)-内单调递增B ．函数()f x 在(4,0)-内单调递减C ．函数()f x 在3x =处取极大值D ．函数()f x 在4x =处取极小值5．等差数列{}n a 的前n 项和12...n n S a a a =+++， 若1031S =，20122S =，则40S =A ．182B ．242C ．273D ．4846．长为3.5m 的木棒斜靠在石堤旁，木棒的一端在离堤足1.4m 的地面上，另一端在沿堤上2.8m 的地方，堤对地面的倾斜角为α，则坡度值tan α等于[3,)+∞(1,2]分）16．（13分）已知某精密仪器生产总成本C （单位：万元）与月产量x （单位：台）的函数关系为1004C x =+，月最高产量为150台，出厂单价p （单位：万元）与月产量x 的函数关系为21125801800p x x =+-. （1）求月利润L 与产量x 的函数关系式()L x ；（2）求月产量x 为何值时，月利润()L x 最大？最大月利润是多少？17．（13分）第四届中国国际航空航天博览会于2010年11月在珠海举行，一次飞行表演中，一架直升飞机在海拔800m 的高度飞行，从空中A 处测出前下方海岛两侧海岸P 、Q 处的俯角分别是45°和30°（如右图所示）. （1）试计算这个海岛的宽度PQ .（2）若两观测者甲、乙分别在海岛两侧海岸P 、Q 处同时测得飞机的仰角为45和30，他们估计P 、Q 两处距离大约为600m ，由此试估算出观测者甲（在P 处）到飞机的直线距离.18．（14分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为一直角梯形，其中,BA AD CD AD ⊥⊥，2,CD AD AB PA ==⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点．（1）试用,,AD AP AB 表示BE ，并判断直线BE 与平面PAD 的位置关系； （2）若BE ⊥平面PCD ，求异面直线PD 与BC 所成角的余弦值．19．（14分）已知函数3221()(2)3f x x ax a a x =-++，a R ∈.（1）当2a =-时，求()f x 在闭区间[]1,1-上的最大值与最小值；（2）若线段AB ：()2302y x x =+≤≤与导函数()y f x '=的图像只有一个交点，且交点在线段AB 的内部，试求a 的取值范围．20．（13分）过直角坐标平面xOy 中的抛物线()220y px p =>的焦点F 作一条倾斜角为4π的直线与抛物线相交于A 、B 两点.（1）求直线AB 的方程；（2）试用p 表示A 、B 之间的距离； （3）证明：AOB ∠的大小是与p 无关的定值. 参考公式：()()()2222224A A BB A B A B A B x y xy x x x x p x x p ⎡⎤++=+++⎣⎦中山市高二级2020-2021学年度第一学期期末统一考试数学试卷（理科）答案一、选择题：DDAB DA C B二、填空题：9. －79； 10. 22188y x -=； 11. －3； 12. 222a b r +=；13. 83； 14. 613t t ++∆，61t +.三、解答题：15. 解：（1）由题可知，8252a a a =+， ……（1分） 即741112a q a q a q =+， ……（3分）由于10a q ≠，化简得6321q q =+，即63210q q --=， ……（4分）121q -，81q -，[1(11q q----.能构成等差数列sin(4530)sin 45cos30cos45sin30==︒-︒︒︒-︒︒xzy18. 解：设,AB a PA b ==，建立如图所示空间直角坐标系，(0,0,0),(,0,0)A B a ，(0,0,)P b ,(2,2,0),(0,2,0)C a a D a ，(,,)2bE a a . ……（2分）（1）(0,,)2bBE a =，(0,2,0),(0,0,)AD a AP b ==，所以1122BE AD AP =+， ……（5分） BE ⊄平面PAD ，//BE ∴平面PAD . ……（7分）（2）BE ⊥平面PCD ，BE PC ∴⊥，即0BE PC ⋅=.(2,2,)PC a a b =-，22202b BE PC a ∴⋅=-=，即2b a =. ……（10分）(0,2,2),(,2,0)PD a a BC a a =-=， ……（11分）2410cos ,5225a PD BC a a<>==⋅， 所以异面直线PD 与BC 所成角的余弦值为105. ……（14分）19. 解：（1）当2a =-时，321()23f x x x =+. ……（1分）求导得2()4(4)f x x x x x '=+=+. ……（2分） 令()0f x '=，解得：4x =-或0x =． ……（3分）列表如下： ……（6分）x－1 （-1，0） 0 （0，1） 1 ()f x '－ 0 +()f x53 ↘↗73所以，()f x 在闭区间[]1,1-上的最大值是73，最小值是0． ……（7分） （2）22()22y f x x ax a a '==-++. ……（8分） 联立方程组2222,2 3.y x ax a a y x ⎧=-++⎨=+⎩……（9分）得()2221230.x a x a a -+++-= ……（10分）设22()2(1)23g x x a x a a =-+++-，则方程()0g x =在区间()0,2内只有一根, 相当于(0)(2)0g g ⋅<，即()()2223230,a a a a +-⋅--< ……（12分）。
2012-2013年高二数学(文)寒假作业
2012-2013年山东省宁阳二中高二数学（文）寒假作业1，解三角形练习题一、选择题：1. △ABC 中，sin 2A =sin 2B +sin 2C ，则△ABC 为( )直角三角形 B 等腰直角三角形 C 等边三角形 D 等腰三角形2. 在△ABC 中，c=3，B=300，则a 等于（ ）A ．B ．CD ．2 3. 不解三角形，下列判断中正确的是（ ）A ．a=7，b=14，A=300有两解B ．a=30，b=25，A=1500有一解C ．a=6，b=9，A=450有两解D ．a=9，c=10，B=600无解 4. 已知△ABC 的周长为9，且4:2:3sin :sin :sin =C B A ，则cosC 的值为 （ ）A ．41-B ．41 C ．32- D ．32 5. 在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，其面积为3，则C B A cb a s i n s i n s i n ++++等于( )A ．33B ．3392 C ．338D ．239 6. 在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝7，AC ＝8，则AB ²AC 的值为( ) A ．79 B ．69 C ．5D ．-57.关于x 的方程02cos cos cos 22=-⋅⋅-CB A x x 有一个根为1，则△ABC 一定是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形8. 设m 、m +1、m+2是钝角三角形的三边长，则实数m 的取值范围是( ) A.0＜m ＜3B.1＜m ＜3C.3＜m ＜4D.4＜m ＜69. △ABC 中，若c=ab b a ++22，则角C 的度数是( ) A.60°B.120°C.60°或120°D.45°10. 在△ABC 中，若b=22,a=2，且三角形有解，则A 的取值范围是( ) A.0°＜A ＜30° B.0°＜A ≤45° C.0°＜A ＜90° D.30°＜A ＜60° 11.在△ABC 中，A B B A 22s i n t a n s i n t a n ⋅=⋅，那么△ABC 一定是 （ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形12. 如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为（ ）(A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 由增加的长度决定 二、填空题13.在△ABC 中，有等式：①asinA=bsinB ；②asinB=bsinA ；③acosB=bcosA ；④sin sin sin a b cA B C+=+. 其中恒成立的等式序号为______________ 14. 在等腰三角形 ABC 中，已知sinA ∶sinB=1∶2，底边BC=10，则△ABC 的周长是 。
安徽省合肥一中2020至2021高二上学期第一次月考 数学理试题
合肥一中2020-2021学年高二上学期第一次段考理科数学试卷一选择题。
（每题4分，计40分） 1、垂直于同一条直线的两条直线一定（ ）A 、平行B 、相交C 、异面D 、以上都有可能 2、过直线l 外两点作与直线l 平行的平面，可以作（ ）A ．1个B ．1个或无数个C ．0个或无数个D ．0个、1个或无数个 3．下列关于用斜二测画法画直观图的说法中，错误．．的是（ ） A 用斜二测画法画出的直观图是在平行投影下画出的空间图形 B 几何体的直观图的长、宽、高与其几何体的长、宽、高的比例相同 C 水平放置的矩形的直观图是平行四边形 D 水平放置的圆的直观图是椭圆4．正方体的外接球与内切球的球面面积分别为S 1和S 2则( )A ．S 1＝2S 2B ．S 1＝3S 2C ．S 1＝4S 2D ．S 1＝23S 25、一个棱柱是正四棱柱的条件是( ) A ．底面是正方形，有两个侧面是矩形 B ．每个侧面都是全等矩形的四棱柱C ．底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直D ．底面是正方形，有两个相邻侧面垂直于底面6. 已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上．若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12.则球O 的半径为( )A.3172 B ．210 C.132D ．3107．关于直线a 、b 、l 及平面M 、N ，下列命题中正确的是( ) A 若a ∥M ，b ∥M ，则a ∥b B 若a ∥M ，b ⊥a ，则b ⊥M C 若a M ，b M ，且l ⊥a ，l ⊥b ，则l ⊥M D 若a ⊥M ，M ∥N ，则a ⊥N 8、给出下列命题①过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直 ②过直线外一点有且仅有一个平面与已知直线平行 ③过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线垂直④过平面外一点有且仅有一条直线与已知平面垂直 其中正确命题的个数为（ ） A ．0个 B ．1个C ．2个D ．3个9．如图，在一个倒置的正三棱锥容器内，放入一个钢球，钢球恰好与棱锥的四个面都接触上，经过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是（ ）10. 有一个长方体容器1111D C B A ABCD -,装的水恰好占其容积的一半；α表示水平的桌面,容器一边BC 紧贴桌面，沿BC 将其翻转使之倾斜，最后水面(阴影部分)与其各侧棱的．．．．．交点．．分别是EFGH （如图），设翻转后容器中的水形成的几何体是M ，翻转过程中水和容器接触面积为S ,则下列说法正确．．的是 （ ） A ．M 是棱柱，S 逐渐增大 B ．M 是棱柱，S 始终不变 C ．M 是棱台，S 逐渐增大 D ．M 是棱台，S 始终不变二．填空题（每题4分，计16分）11．如下图所示，AOB ∆是平面图形M 的直观图，则M 的面积是12.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是________．45︒BO A 2213．如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角(经过圆锥旋转轴的截面中两条母线的夹角)是14.关于图中的正方体1111D C B A ABCD -，下列说法正确的有： ___________．①P 点在线段BD 上运动，棱锥11D AB P -体积不变； ②P 点在线段BD 上运动，直线AP 与平面11D AB 所成角不变； ③一个平面α截此正方体，如果截面是三角形，则必为锐角三角形；④一个平面α截此正方体，如果截面是四边形，则必为平行四边形； ⑤平面α截正方体得到一个六边形（如图所示），则截面α在平面11D AB 与平面1BDC 间平行移动时此六边形周长先增大，后减小。
高中数学2020-2021学年上学期高二寒假作业1+解三角形(理)
1．ABC△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知B=150°．（1）若a=，b=ABC△的面积；（2）若sin2inA C=，求C．【答案】（1（2）15︒．【解析】（1）由余弦定理可得2222282cos1507b ac ac c==+-⋅︒=，2c∴=，a=ABC∴△的面积1sin2S ac B==．（2）30A C+=︒，1sin sin(30)cos2A C C C C C∴=︒-+=+sin(30)2C=+︒=，030C︒<<︒，303060C∴︒<+︒<︒，3045C∴+︒=︒，15C∴=︒．2．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2π5cos()cos24A A++=．（1）求A；（2）若b c-=，证明：△ABC是直角三角形．【答案】（1）π3A=；（2）证明见解析．【解析】（1）因为25cos cos24πA A⎛⎫++=⎪⎝⎭，所以25sin cos4A A+=，即251cos cos4A A-+=，解得1cos2A=，又0πA<<，所以π3A=．（2）因为π3A =，所以2221cos 22b c a A bc +-==，即222b c a bc +-=①，又b c -=②， 将②代入①，得()2223b c b c bc +--=，即222250b c bc +-=， 而b c >，解得2b c =， 所以a =，故222b ac =+， 即ABC △是直角三角形．一、选择题．1．已知在ABC △中，b =2c =，30C =︒，那么解此三角形可得（ ） A ．一解B ．两解C ．无解D ．解得个数不确定2．在ABC △中，2cos 3C =，4AC =，3BC =，则cos B =（ ） A ．19B ．13C ．12D ．233．在ABC △中，已知4a =，b =，45A =︒，则角B 等于（ ） A ．30︒B ．30︒或150︒C ．60︒D ．60︒或120︒4．设ABC △的内角A ，B，C 的对边分别为,,a b c ，若()()sin sin B C b c +-=()sin sin B A a -，且1b =，则C 的最小值为（ ）A ．12B ．2C ．14D ．345．在ABC △中，,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边，4cos 5A =，2b =，ABC △面积3S =，则a 为（ ）A ．B C D6．在ABC △中内角A ，B ，C 所对应的边分别是a ，b ，c ，若22()4c a b =-+，π3C =，则ABC △的面积是（ ）A ．3B C ．D ．27．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos cos 4c a B b A -=， 则2222a b c-=（ ） A ．32B ．12C ．14D ．188．在ABC △中，60B =︒，2b ac =，则ABC △一定是（ ） A ．锐角三角形 B ．钝角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形二、填空题．9．在ABC △中，内角,,A B C ，所对的边分别为,,a b c ，已知ABC △的面积为4，1b c -=，1cos 4A =-，则a 的值为 ．10．在ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，tan tan 2tan b B b A c B +=-，且8a =，b c +=，则ABC △的面积为 ．11．如图，已知,,a b c 分别为ABC △内角,,A B C 的对边，cos cos a ACB c CAB∠+∠sin b B =，且CAB ∠=π6．若D 是ABC ∆外的一点，2DC =，3DA =，则四边形ABCD的面积最大值为 ．12．在ABC △中，4AB =，3AC =，90BAC ∠=︒，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得9AP =，若3()2PA mPB m PC =+-（m 为常数），则CD 的长度是 ．三、解答题．13．在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知a =5b =，c =． （1）求角C 的大小； （2）求sin A 的值； （3）求πsin 24A ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．14．ABC △中，222sin sin sin sin sin A B C B C --=． （1）求A ；（2）若3BC =，求ABC △周长的最大值．一、选择题． 1．【答案】B【解析】∵sin sin b cB C =，∴1sin 2sin 22b C B c===， 所以60B =︒或120︒，∵b c >，∴B C >，所以两解都满足题意． 2．【答案】A 【解析】在ABC △中，2cos 3C =，4AC =，3BC =， 根据余弦定理2222cos AB AC BC AC BC C =+-⋅⋅，2224322433AB =+-⨯⨯⨯，可得29AB =，即3AB =，由22299161cos 22339AB BC AC B AB BC +-+-===⋅⨯⨯，故1cos 9B =， 故选A ． 3．【答案】A【解析】在ABC △中，已知4a =，b =，可知a b >，所以A B >，由sin sin a bA B=， 又45A =︒，可知1sin 2B =，则30B =︒．4．【答案】B【解析】由题可知(sin sin )()(sin sin )B C b c B A a +-=-， 且sin sin sin a b cA B C==，则()()()b c b c b a a +-=-， 化简得222b ac ab +-=， 又1b =，所以221c a a =-+，即c =12a =时，c有最小值为2．5．【答案】B【解析】在ABC △中，4cos 5A =，∴3sin 5A ==， ∵2b =，面积3S =，∴1sin 2S bc A =， ∴133225c =⨯⨯，解得5c =， ∴由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，2222cos 13a b c bc A =+-=，即a = 6．【答案】B【解析】由22()4c a b =-+，可得22224c a b ab =+-+， 由余弦定理：22222π2cos3c a b ab a b ab =+-=+-， 所以24ab ab -+=-，解得4ab =，所以11sin 4222ABC S ab C ==⨯⨯=△ 7．【答案】D【解析】由余弦定理得222222224a cb bc a ca b ac bc +-+-⋅-⋅=， 整理可得2224c a b -=，∴222128a b c -=． 8．【答案】D【解析】ABC △中，60B =︒，2b ac =，2222221cos 20()022a cb B ac ac a c ac +-==⇒+-=⇒-=，故得到a c =，故得到角A 等于角C ，三角形为等边三角形．二、填空题．9．【解析】因为1cos 4A =-，(0,π)A ∈，所以sin A ==，由ABC △1sin 2bc A =，解得2bc =，由于1b c -=，所以2()1b c -=，即2221b c bc +-=，所以225b c +=，所以22212cos 52264a b c bc A =+-=+⨯⨯=，解得a =10．【解析】tan tan 2tan b B b A c B +=-，sin()sin 2cos cos cos A B Bb c A B B +∴⨯=-⨯，sin sin 2sin sin cos cos cos B C C B A BB =-，1cos 2A ∴=-，0πA <<，2π3A =， 由余弦定理得2264b c bc ++=，7364bc ∴-=，9bc ∴=，1sin 2ABC S bc A ∴==△．11．+【解析】cos cos sin a ACB c CAB b B ∠+∠=，∴由正弦定理可得2sin cos sin cos sin()sin sin CAB ACB ACB CAB CAB ACB B B ∴∠∠+∠∠=∠+∠==，sin 0B ≠，sin 1B ∴=，90B ∴=︒，又π6CAB ∠=，12BC AC ∴=，AB AC =， 由余弦定理可得22223cos 223AC D +-=⨯⨯，即21312cos AC D =-，∴四边形ABCD 的面积为：11123sin 3sin 12cos )222S D AC AC D D =⨯⨯⨯+⨯=-3sin )D D D ϕ=+-=++， ∴当π2D ϕ+=时，四边形ABCD的面积最大为28+． 12．【答案】0或185【解析】由向量系数33()22m m +-=为常数，结合等和线性质可知321PAPD =，故263PD PA ==，3AD PA PD AC =-==，故C CDA ∠=∠，故π2CAD C ∠=-． 在ABC △中，3cos 5AC C BC ==； 在ADC △中，由正弦定理得sin sin CD ADCAD C=∠，即sin(π2)sin 23182cos 23sin sin 55C C CD AD AD C AD C C -=⋅=⋅=⋅=⨯⨯=．∴CD 的长度为185．当0m =时，32PA PC =，,C D 重合，此时CD 的长度为0；当32m =时，32PA PB =，,B D 重合，此时12PA =，不合题意，舍去，故答案为0或185．三、解答题． 13．【答案】（1）π4C；（2（3．【解析】（1）在ABC △中，由a=5b =，c =及余弦定理得222cos22a b cCab+-===，又因为(0,π)C∈，所以π4C．（2）在ABC△中，由π4C，a=，c=及正弦定理，可得sinsin13a CAc===．（3）由a c<知角A为锐角，由sin A=cos A==，进而2125sin22sin cos,cos22cos11313A A A A A===-=，所以πππ125sin(2)sin2cos cos2sin4441313A A A+=+==．14．【答案】（1）2π3；（2）3+【解析】（1）由正弦定理可得222BC AC AB AC AB--=⋅，2221cos22AC AB BCAAC AB+-∴==-⋅，()0,πA∈，2π3A∴=．（2）由余弦定理得222222cos9BC AC AB AC AB A AC AB AC AB=+-⋅=++⋅=，即()29AC AB AC AB+-⋅=，22AC ABAC AB+⎛⎫⋅≤ ⎪⎝⎭（当且仅当AC AB=时取等号），()()()22223924AC ABAC AB AC AB AC AB AC AB+⎛⎫∴=+-⋅≥+-=+⎪⎝⎭，解得AC AB+≤（当且仅当AC AB=时取等号），ABC∴△周长3L AC AB BC=++≤+ABC∴△周长的最大值为3+11。
2020_2021学年高二数学上册单元基础练习解三角形
2020-2021学年高二数学上册单元基础练习：解三角形一、单项选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1.已知△ABC的角A，B，C所对的边为a，b，c，，则a＝（）A．B．2 C．D．3【分析】由已知结合余弦定理即可求解a．【解答】解：由余弦定理可得，cos C＝，即﹣＝，整理可得a2+a﹣6＝0，解可得a＝2．故选：B．【点评】本题主要考查了余弦定理的简单应用，属于基础试题．【知识点】正弦定理2.在三角形ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若b＝1，c＝，则S△ABC＝（）A．B．C．D．【分析】由已知结合余弦定理可求a，然后结合三角形的面积公式即可求解．【解答】解：由余弦定理可得，cos C＝，即﹣＝，解可得a＝1，则S△ABC＝＝＝．故选：B．【点评】本题主要考查了余弦定理及三角形的面积公式的简单应用，属于基础试题．【知识点】正弦定理3.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a、b、c，已知2c cos B+b cos A＝﹣a cos B，则∠B＝（）A．B．C．D．【分析】由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式，结合sin C≠0，可求cos B的值，进而可求B 的值．【解答】解：由正弦定理得：2sin C cos B+sin B cos A＝﹣sin A cos B，可得：2sin C cos B＝﹣sin（A+B）＝﹣sin C，由于sin C≠0，可得．故选：D．【点评】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式在解三角形中的综合应用，属于基础题．【知识点】正弦定理4.在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，S为△ABC的面积，，且A，、B、C成等差数列，则C的大小为（）A．B．C．D．【分析】根据题意，由诱导公式可得sin（A+C）＝sin B，进而可得sin B＝，变形可得：ac ＝b2﹣c2，又由余弦定理可得cos B＝＝，变形可得a2+c2﹣b2＝ac，联立两个式子可得a＝2c，b＝c，结合余弦定理分析可得答案．【解答】解：根据题意，在△ABC中，A+C＝π﹣B，则sin（A+C）＝sin B，又由，则有sin B＝，变形可得：ac＝b2﹣c2，①若A、B、C成等差数列，则B＝，则cos B＝＝，变形可得a2+c2﹣b2＝ac，②，联立①②可得：a2＝2ac，即a＝2c，又由ac＝b2﹣c2，则b2＝ac+c2＝3c2，即b＝c，则cos C＝＝＝，故C＝；故选：C．【点评】本题考查解三角形，涉及正弦定理、余弦定理的应用，关键是分析a、b、c的关系．【知识点】余弦定理5.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝3，b＝7，cos B＝﹣，则c＝（）A．4 B．5 C．8 D．10【分析】直接利用余弦定理求解即可．【解答】解：a＝3，b＝7，cos B＝﹣．由余弦定理：b2＝a2+c2﹣2ca cos B．即49＝9+c2﹣6×（﹣）c．解得：c＝5．故选：B．【点评】本题考查了余弦定理的灵活应用和计算能力．属于基础题．【知识点】余弦定理6.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A＝60°，b＝3c，角A的平分线交BC于点D，且BD＝，则cos∠ADB的值为（）A．﹣B．C．D．±【分析】结合角平分线性质可求CD，CB，然后结合余弦定理可得c，再结合正弦定理可求sin∠ADB，进而可求．【解答】解：因为A＝60°，角A的平分线交BC于点D，所以CAD＝BAD＝30°，又b＝3c，所以＝＝＝3，因为BD＝，所以CD＝3，a＝CB＝4，因为，a2＝b2+c2﹣2bc cos A，所以16×7＝，解可得，c＝4；在△ABD中，由正弦定理可得，，即，所以sin∠ADB＝；因为b＞c，所以B＞C，因为∠ADB＝30°+C，∠ADC＝30°+B，所以∠ADB＜∠ADC，所以∠ADB为锐角，所以cos ADB＝．故选：B．【点评】本题综合考查了正弦定理，余弦定理，角平分线性质等知识在求解三角形中的应用，解题的关键是要把图形的问题转化为数学问题．【知识点】余弦定理7.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且△ABC面积为，则△ABC面积S的最大值为（）A．B．C．D．【分析】由已知利用三角形的面积公式可求tan B，可得cos B，sin B的值，由余弦定理，基本不等式可求ac≤8（2﹣），根据三角形的面积公式即可求解其最大值．【解答】解：∵S＝（b2﹣a2﹣c2）＝•（﹣2ac cos B）＝ac sin B，∴tan B＝﹣，B＝，cos B＝﹣，sin B＝，又∵b＝2，由余弦定理可得：8＝a2+c2+ac≥（2+）ac，∴ac≤＝8（2﹣），∴S△ABC＝ac sin B≤×8（2﹣）×＝4﹣2．∴面积S的最大值为4﹣2．故选：B．【点评】本题主要考查了三角形的面积公式，余弦定理，基本不等式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．【知识点】余弦定理8.△ABC是边长为2的正三角形，D、E、F分别为AB、AC、BC上三点，且AD＝DF，∠ADE＝∠FDE，则当线段AD的长最小时，∠ADE＝（）A．B．C．D．【分析】在△BDF中利用正弦定理可得，进一步得到，然后求出AD取最小值时∠ADE的值．【解答】解：∵△ABC是边长为2的正三角形且AD＝DF，∠A DE＝∠FDE，∴在△BDF中，BD＝2﹣AD，B＝，∠BFD＝2∠ADE﹣，0＜∠ADE＜，由正弦定理，有，∴，∴，∵0＜∠ADE＜，∴当sin（2∠ADE﹣）＝1，即∠ADE＝时，AD的取得最小值．故选：C．【点评】本题考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属中档题．【知识点】三角形中的几何计算9.在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a+2b＝4，a sin A+4b sin B＝6a sin B sin C，则△ABC的面积取得最小值时有c2＝（）A．5+B．5+C．5﹣D．5﹣【分析】运用正弦定理和面积公式可得，a2+4b2＝12S，运用基本不等式，可得a＝2，b＝1，S取得最小值，求得ainC，再由同角的平方关系，求得cos C，再由余弦定理，即可得到所求值．【解答】解：由正弦定理，a sin A+4b sin B＝6a sin B sin C即为a2+4b2＝6ab sin C，又S＝ab sin C，即有a2+4b2＝12S，由于a+2b＝4，即有a2+4b2＝（a+2b）2﹣4ab＝16﹣4ab，即有4ab＝16﹣12S，由4ab≤2（）2＝8，即有16﹣12S≤8，解得S≥．当且仅当a＝2b＝2，取得等号．当a＝2，b＝1，S取得最小值，sin C＝，（C为锐角），则cos C＝＝．则c2＝a2+b2﹣2ab cos C＝4+1﹣2×2×1×＝5﹣．故选：D．【点评】本题考查正弦定理和余弦定理及面积公式的运用，同时考查基本不等式的运用，考查运算能力，属于中档题．【知识点】正弦定理10.如图，在△ABC中，，点D在线段BC上，且BD＝3DC，，则△ABC的面积的最大值为（）A．B．4 C．D．【分析】设∠BAD＝θ，则0＜θ＜∠BAC，根据三角形的面积公式求出AC，AB，然后由S△ABC＝AB•AC •sin∠BAC＝[4sin（2θ+φ）﹣1]，根据三角函数的性质求出面积的最大值．【解答】解：设∠BAD＝θ，则0＜θ＜∠BAC．∵BD＝3DC，，∴S△ABD＝S△ABC，∴，∴，同理AB＝8sin（∠BAC﹣θ），∴S△ABC＝＝＝＝（其中tanφ＝），∵0＜θ＜∠BAC，∴当2θ+φ＝时，sin（2θ+φ）max＝1，∴．故选：C．【点评】本题考查了余弦定理和基本不等式，以及三角形的面积公式，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．【知识点】三角形中的几何计算11.设a，b，c为ABC中的三边长，且a+b+c＝1，则a2+b2+c2+4abc的取值范围是（）A．[，] B．[，）C．（，] D．（，）【分析】记f（a，b，c）＝a2+b2+c2+4abc，则f（a，b，c）＝1﹣2ab﹣2c（a+b）+4abc，再根据三角形边长性质可以证得f（a，b，c）．再利用不等式和已知可得ab，所以f （a，b，c）≥1﹣﹣2c（1﹣c）＝，再利用求导根据单调性可以推得a2+b2+c2+4abc，继而可以得出结果．【解答】解：记f（a，b，c）＝a2+b2+c2+4abc，则f（a，b，c）＝1﹣2ab﹣2c（a+b）+4abc＝1﹣2ab（1﹣2c）﹣2c（1﹣c）＝2（c+ab）2﹣2a2b2﹣2（ab+c）+1＝2[c+ab﹣]2﹣2a2b2+＝4（c﹣）（a﹣）（b﹣）+又a，b，c为△ABC的三边长，所以1﹣2a＞0，1﹣2b＞0，1﹣2c＞0，所以f（a，b，c）．另一方面f（a，b，c）＝1﹣2ab（1﹣2c）﹣2c（1﹣c），由于a＞0，b＞0，所以ab，又1﹣2c＞0，所以f（a，b，c）≥1﹣﹣2c（1﹣c）＝，不妨设a≥b≥c，且a，b，c为△ABC的三边长，所以．令y＝，则y′＝3c2﹣c＝c（3c﹣1）≤0，所以y min＝﹣＝，从而，当且仅当a＝b＝c＝时取等号．故选：B．【点评】本题考查解三角形，综合了函数和不等式，属于综合性较强的题，难度较大．【知识点】余弦定理12.已知△ABC的三边分别为a，b，c，若满足a2+b2+2c2＝8，则△ABC面积的最大值为（）A．B．C．D．【分析】由三角形面积公式，同角三角函数基本关系式，余弦定理可求S2＝a2b2﹣，进而利用基本不等式，从而可求S2≤﹣（c2﹣）2，从而利用二次函数的性质可求最值．【解答】解：由三角形面积公式可得：S＝ab sin C，可得：S2＝a2b2（1﹣cos2C）＝a2b2[1﹣（）2]，∵a2+b2+2c2＝8，∴a2+b2＝8﹣2c2，可得：a2+b2＝8﹣2c2≥2ab，解得：ab≤4﹣c2，当且仅当a＝b时等号成立，∴S2＝a2b2[1﹣（）2]＝a2b2[1﹣（）2]＝a2b2﹣≤（4﹣c2）2﹣＝﹣+c2＝﹣（c2﹣）2，当且仅当a＝b时等号成立，∴当c2＝时，﹣+c2取得最大值，S的最大值为．故选：B．【点评】本题主要考查了三角形面积公式，同角三角函数基本关系式，余弦定理，基本不等式，二次函数的最值的综合应用，考查了运算能力和转化思想，难度中等．【知识点】余弦定理二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。
高二数学寒假作业一：解三角形 含答案
数学寒假作业（一）测试范围：解三角形使用日期：腊月十九 测试时间：120分钟一、选择题(本大题共12个小题，每个小题5分，共60分，每小题给出的四个备选答案中，有且仅有一个是符合题目要求的)1．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( )A. 6 B ．2 C. 3 D. 22．在△ABC 中，若AB ＝3－1，BC ＝3＋1，AC ＝6，则B 等于( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．120°3．在△ABC 中，A ＝45°，AC ＝4，AB ＝2，那么cos B ＝( ) A.31010 B ．－31010 C.55D ．－554．等腰△ABC 底角B 的正弦与余弦的和为62，则它的顶角是( ) A ．30°或150° B ．15°或75° C ．30° D ．15°5．从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α、β的关系为( ) A ．α>β B ．α＝β C ．α＋β＝90°D ．α＋β＝180°6．(2012·天津理，6)在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C ＝( )A.725 B ．－725 C ．±725D.24257．△ABC 的三边分别为2m ＋3，m 2＋2m ，m 2＋3m ＋3(m >0)，则最大内角度数为( ) A ．150° B ．120° C ．90°D ．135°8．在△ABC 中，若sin A >sin B ，则A 与B 的大小关系为( ) A ．A >B B ．A <B C ．A ≥B D ．A ，B 的大小关系不能确定9．△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，则ba ＝( )A ．2 3B ．2 2 C. 3D. 210．在△ABC 中，a 2＋b 2－ab ＝c 2＝23S △ABC ，则△ABC 一定是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等边三角形 D ．等腰直角三角形11．在△ABC 中，若|AB →|＝2，|AC →|＝5，AB →·AC →＝－5，则S △ABC ＝( )A.532B. 3C.52 D ．512．如果△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值，则( ) A ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是锐角三角形 B ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是钝角三角形C ．△A 1B 1C 1是钝角三角形，△A 2B 2C 2是锐角三角形D ．△A 1B 1C 1是锐角三角形，△A 2B 2C 2是钝角三角形二、填空题(本大题共4个小题，每个小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上) 13．三角形一边长为14，它对的角为60°，另两边之比为85，则此三角形面积为________．14．在△ABC 中，若tan A ＝13，C ＝150°，BC ＝1，则AB ＝________.15.如图，已知梯形ABCD 中，CD ＝2，AC ＝19，∠BAD ＝60°，则梯形的高为__________．16．在△ABC 中，cos 2A 2＝b ＋c2c ，则△ABC 的形状为________．三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A 、B 、C 的对边，若tan A ＝3，cos C ＝55.(1)求角B 的大小；(2)若c ＝4，求△ABC 面积．18．(本题满分12分)在△ABC 中，已知a ＝6，A ＝60°，b －c ＝3－1，求b 、c 和B 、C .19．(本题满分12分)如图，某海轮以30n mile/h 的速度航行，在点A 测得海面上油井P 在南偏东60°，向北航行40min 后到达点B ，测得油井P 在南偏东30°，海轮改为北偏东60°的航向再航行80min 到达C 点，求P 、C 间的距离．20．(本题满分12分)在△ABC 中，a 、b 、c 分别为内角A 、B 、C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C . (1)求A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．21．(本题满分12分)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知cos2C ＝－14.(1)求sin C 的值；(2)当a ＝2,2sin A ＝sin C ，求b 及c 的长．22．(本题满分14分)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知3cos(B－C)－1＝6cos B cos C.(1)求cos A的值；(2)若a＝3，△ABC的面积为2，求b、c.家长签字：日期：数学寒假作业（一）答案1、[答案] D2、[答案] C[解析] cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝12，∴B ＝60°.3、[答案] D4、[答案] A5、[答案] B[解析] 仰角和俯角都是水平线与视线的夹角，故α＝β.6、[答案] A7、[答案] B8、解析：由正弦定理a sin A ＝bsin B ，∴a >b .∴A >B .答案：A 9、[答案] D[解析] ∵a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，∴由正弦定理，得sin 2A sin B ＋sin B cos 2A ＝2sin A ，∴sin B (sin 2A ＋cos 2A )＝2sin A ，∴sinB ＝2sin A ，∴sin B sin A ＝ 2.由正弦定理，得ba ＝sin Bsin A ＝ 2.10、[答案] B[解析] 由a 2＋b 2－ab ＝c 2得：cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，∴∠C ＝60°，又23S △ABC ＝a 2＋b 2－ab ，∴23×12ab ·sin60°＝a 2＋b 2－ab ，得2a 2＋2b 2－5ab ＝0，即a ＝2b 或b ＝2a . 当a ＝2b 时，代入a 2＋b 2－ab ＝c 2得a 2＝b 2＋c 2；当b ＝2a 时，代入a 2＋b 2－ab ＝c 2得b 2＝a 2＋c 2.故△ABC 为直角三角形．11、[答案] A[解析] AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos A ＝10cos A ＝－5，∴cos A ＝－12，∴sin A ＝32，∴S △ABC ＝12|AB →|·|AC →|·sin A ＝532.12、[答案] D[解析] 由条件知，△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值均大于0，则△A 1B 1C 1是锐角三角形，假设△A 2B 2C 2是锐角三角形，由⎩⎪⎨⎪⎧ sin A 2＝cos A 1＝sin π2－A 1sin B 2＝cos B 1＝sin π2－B 1sin C 2＝cos C 1＝sinπ2－C 1，得⎩⎪⎨⎪⎧A 2＝π2－A 1B 2＝π2－B1C 2＝π2－C1，那么，A 2＋B 2＋C 2＝π2，这与三角形内角和为180°相矛盾，故假设不成立， 即△A 2B 2C 2是钝角三角形，故选D.13、[答案] 403[解析] 设另两边长为8x 和5x ，则cos60°＝64x 2＋25x 2－14280x 2得x ＝2，另两边长为16和10，此三角形面积为S ＝12×16×10·sin60°＝40 3. 14、[答案]102[解析] ∵tan A ＝13，∴sin A ＝1010，由正弦定理，得AB ＝BC ·sin C sin A ＝102. 15、[答案] 332[解析] 解法一：∵∠BAD ＝60°，∴∠ADC ＝180°－∠BAD ＝120°.∵CD ＝2，AC ＝19，∴19sin120°＝2sin ∠CAD ，∴sin ∠CAD ＝5719. ∴sin ∠ACD ＝sin(60°－∠CAD )＝35738.∴AD ＝AC ·sin ∠ACD sin D＝19×35738sin120°＝3.∴h ＝AD ·sin60°＝332. 解法二：在△ACD 中，AC 2＝AD 2＋CD 2－2AD ·CD cos120°，∴AD 2＋2AD －15＝0.∴AD ＝3 (AD ＝－5舍去)．∴h ＝AD sin60°＝332.16、[答案] 直角三角形[解析] ∵cos 2A 2＝1＋cos A 2＝b ＋c 2c ＝12＋b2c ，∴cos A ＝b c .由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，∴b 2＋c 2－a 22bc ＝bc ，∴a 2＋b 2＝c 2.∴△ABC 为直角三角形．17、[解析] (1)∵cos C ＝55，∴sin C ＝255，∴tan C ＝2.∵tan B ＝－tan(A ＋C )＝－tan A ＋tan C 1－tan A tan C ＝－3＋21－3×2＝1，又0<B <π，∴B ＝π4.(2)由正弦定理，得b sin B ＝c sin C ，∴b ＝c ×sin B sin C ＝4×22255＝10.∵B ＝π4，∴A ＝3π4－C .∴sin A ＝sin(3π4－C )＝sin 3π4cos C －cos 3π4sin C ＝22×55－(－22)×255＝31010.∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×10×4×31010＝6.18、[解析] 由余弦定理，得6＝b 2＋c 2－2bc cos60°，∴b 2＋c 2－bc ＝6 ①由b －c ＝3－1平方得：b 2＋c 2－2bc ＝4－2 3 ② ①、②两式相减得bc ＝2＋2 3.由⎩⎨⎧b －c ＝3－1bc ＝2＋23，解得⎩⎨⎧b ＝3＋1c ＝2，由正弦定理，得sin B ＝b sin Aa ＝3＋1sin60°6＝6＋24.∵6<3＋1，∴B ＝75°或105°.∵a 2＋c 2>b 2，∴B 为锐角， ∴B ＝75°，从而可知C ＝45°.[点评] 求角B 时，若先求得sin C ＝c sin A a ＝22，∵a >c ，∴C ＝45°，从而得B ＝75°. 若用余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝6－24，∴B ＝75°. 19、[解析] AB ＝30×4060＝20，BC ＝30×8060＝40.在△ABP 中，∠A ＝120°，∠ABP ＝30°，∠APB ＝30°， ∴BP ＝ABsin ∠APB ·sin ∠BAP ＝20sin30°sin120°＝20 3. 在Rt △BCP 中，PC ＝BC 2＋BP 2＝402＋2032＝207.∴P 、C 间的距离为207nmile.20、[解析] (1)由已知，根据正弦定理，得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc .由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故cos A ＝－12，A ＝120°.(2)由a 2＝b 2＋c 2＋bc ，得sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C .又sin B ＋sin C ＝1，故sin B ＝sin C ＝12.因为0°<B <90°，0°<C <90°，故B ＝C . 所以△ABC 是等腰的钝角三角形．21、[解析] (1)∵cos2C ＝1－2sin 2C ＝－14，0<C <π，∴sin C ＝104.(2)当a ＝2,2sin A ＝sin C 时，由正弦定理a sin A ＝csin C ，得c ＝4. 由cos2C ＝2cos 2C －1＝－14及0<C <π，得cos C ＝±64.由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得b 2±6b －12＝0(b >0)，解得b ＝6或26，∴⎩⎨⎧b ＝6c ＝4，或⎩⎨⎧b ＝26c ＝4.22、[解析] (1)由3cos(B －C )－1＝6cos B cos C ，得3(cos B cos C －sin B sin C )＝－1，即cos(B ＋C )＝－13，∴cos A ＝－cos(B ＋C )＝13.(2)∵0<A <π，cos A ＝13，∴sin A ＝223.由S △ABC ＝22，得12bc sin A ＝22， ∴bc ＝6.由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴9＝(b ＋c )2－2bc (1＋cos A )＝(b ＋c )2－16， ∴b ＋c ＝5. 由⎩⎪⎨⎪⎧ b ＋c ＝5bc ＝6，得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝2c ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3c ＝2.。
2020_2021学年高二数学上册单元提升卷解三角形pdf含解析
∵（4 ﹣ ）⊥ ，
∴（4 ﹣ ）• ＝0；
∴（4 ﹣ ）•（ ﹣ ）＝0； 如图所示， ∴4 2﹣5 • + 2＝0，即 5 • ＝4 2+ 2；
∴cosA＝
≥
＝，
当且仅当 2| |＝| |时，“＝”成立；
此时 sinA 的最大值为
＝．
故答案为： ．
【点评】本题考查了平面向量的线性运算与数量积的运算问题，也考查了基本不等式的应用问题，是基础 题．
，∴
．
∵
，
∴ac＝4，∵a+c＝4，∴a＝c＝2，又
，
∴△ABC 是边长为 2 的等边三角形，∴△ABC 的周长为 6． 故选：B． 【点评】本题考查了余弦定理和面积公式，考查了转化思想和计算能力，属中档题． 【知识点】正弦定理
10.2009 年北京国庆阅兵式上举行升旗仪式，如图，在坡度为 15°的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一 个垂直于地面的平面上，在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为 60°和 30°，且第一 排和最后一排的距离为 10 米，则旗杆的高度为（ ）米．
ABC 的周长为（ ）
A．4+
B．6
C．4+
D．8
【分析】根据 2bcosA＝2c﹣a，利用余弦定理求出 B，再由△ABC 的面积为 ＝4，求出△ABC 的周长．
，求出 ac，然后结合 a+c
【解答】解：∵2bcosA＝2c﹣a，∴
，
∴b2+c2﹣a2＝2c2﹣ac，∴a2+c2﹣b2＝ac，
∴
，
∵
所以 S△BCD＝ BC•CD•sin∠BCD＝ BC•CD•sin ＝ BC•CD≤
黄陂区高二数学寒假作业试题 理(一)(2021年整理)
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湖北省武汉市黄陂区2016-2017学年高二数学寒假作业试题理(一) 一．填空题(共3小题)1．已知椭圆：，左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若｜BF2｜+｜AF2｜的最大值为5,则b的值是．2．如图,已知圆C与x轴相切于点T（1，0）,与y轴正半轴交于两点A，B（B在A的上方)，且｜AB|=2．(1）圆C的标准方程为．（2）圆C在点B处切线在x轴上的截距为．3．一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为．二．解答题(共3小题）4．根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立．（Ⅰ）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；（Ⅱ）求该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率．5．如图,三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC,PA=1，AB=1，AC=2，∠BAC=60°．（1）求三棱锥P﹣ABC的体积；（2）证明：在线段PC上存在点M,使得AC⊥BM，并求的值．6．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，点A（2，）在椭圆上，且AF2与x轴垂直．（1）求椭圆的方程；（2)过A作直线与椭圆交于另外一点B,求△AOB面积的最大值．寒假作业（一）参考答案1．由0＜b＜2可知，焦点在x轴上,∵过F1的直线l交椭圆于A，B两点，∴|BF2｜+|AF2|+｜BF1｜+｜AF1｜=2a+2a=4a=8∴｜BF2｜+｜AF2｜=8﹣|AB｜．当AB垂直x轴时｜AB｜最小，|BF2｜+|AF2｜值最大，此时|AB|=b2,∴5=8﹣b2，解得．故答案为．2．（1）由题意，圆的半径为=，圆心坐标为（1，）,∴圆C的标准方程为(x﹣1）2+（y﹣）2=2；（2）由（1)知，B（0，1+),∴圆C在点B处切线方程为（0﹣1）（x﹣1）+（1+﹣）（y﹣）=2，令y=0可得x=﹣1﹣．故答案为：（x﹣1）2+（y﹣）2=2；﹣1﹣．3.由题意可知几何体是底面为正方形边长为，一条侧棱垂直底面高为1的四棱锥,所以四棱锥的表面积为：=．故答案为：．4．（I）设该车主购买乙种保险的概率为p，根据题意可得p×（1﹣0.5）=0.3，解可得p=0。
2020高中高二数学上学期(理)上学期数学寒假作业12 Word版含答案
2. 解析 据题意令S＝1＋＋＋…＋＝1＋1－＋－＋…＋－＝2－，令S＝2－＝，解得k＝6，故判断框应填入k>6.
答案 B
3.解析 当a＝4时，第一次P＝0＋40＝1，Q＝3，n＝1，
第二次P＝1＋41＝5，Q＝7，n＝2，
第三次P＝5＋42＝21，Q＝15，n＝3，
此时P≤Q不成立，输出n＝3，选B.
解析 要使x2－4bx＋3b<0成立，只要方程x2－4bx＋3b＝0有两个不相等的实根，即判别式Δ＝16b2－12b>0，解得b<0或b>.
8. 【解析】y=x2-x+1=(x-)2+,
∵x∈［,2］,∴≤y≤2,
∴A={y|≤y≤2},
由x+m2≥1，得x≥1-m2,
∴B={x|x≥1-m2},
∵“x∈A”是“x∈B”的充分条件，∴A⊆B,
2020高中高二数学上学期（理）上学期数学寒假作业12 Word版含答案
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20xx最新高中高二数学上学期（理）上学期数学寒假作业12 Word版含答案
1.阅读如图所示的程序框图，输出的S值为( )．
A．0B．1＋ C．1＋D.－1
B．若函数f(x)＝ln的图象关于原点对称，则a＝3
C．∃x∈R，使得sin x＋cos x＝成立
D．已知x∈R，则“x>1”是“x>2”的充分不必要条件
5.命题“x0∈R，使得+2x0+5=0”的否定是____________________
6．已知命题p：∃a0∈R，曲线x2＋＝1为双曲线；命题q：x2－7x＋12＜0的解集是{x|3＜x＜4}．给出下列结论：①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧非q”是假命题；③命题 “非p∨q”是真命题；④命题“非p∨非q”是假命题．其中正确的是________．
2021-2021学年高二数学(文科)寒假作业训练01解三角形
寒假训练01解三角形[2021·黔东南州期末]设的内角、、的对边长分别为、、，，，求． 【答案】【解析】由及得， ，． 又由及正弦定理得，故，或〔舍去〕，于是或．又由知或，∴．一、选择题1．[2021·黔东南州期末]在中，内角、、所对的边分别是、、， 假设，，，边的长是〔〕A ．3B ．6C ．7 D2．[2021·吕梁段考]的三个内角、、所对的边长分别为、、， 假设，那么该三角形一定是〔〕 A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等边三角形 D ．等腰直角三角形3．[2021·陕西四校联考]在中，、、分别是角、、的对边，，那么角〔〕A ．B ．C ．D ．4．[2021·闽侯二中]的内角、、所对的边分别为、、，假设角、、ABC △A B C a b c ()3cos cos 2A CB -+=2b ac =B π3()3cos cos 2A C B -+=()πB A C =-+()()3cos cos 2A C A C --+=()3cos cos sin sin cos cos sin sin 2A C A C A C A C +--=3sin sin 4A C =2b ac =2sin sin sinB AC =23sin 4B =sin B =sin B =π3B =2π3B =2b ac =b a ≤b c ≤π3B =ABC △A B C a b c 5a =4c =3cos 5B =b ABC △A B C a b c 2cos aB c=ABC △a b c A B C ()a b c ++()3a c b ac +-=B =2π3π35π6π6ABC △A B C a b c A B依次成等差数列，且，的面积〔〕ABCD ．25．[2021·宁德期中]在中，内角、、所对的边分别为、、，，，，那么的外接圆直径为〔〕A ．B ．C ．D ．6．[2021·南宁摸底]在中，、、的对边分别为、、，，，，那么的周长是〔〕A ．B ．C ．D ．7．[2021·福鼎三校联考]如图，一座建筑物的高为，在该建筑物的正东方向有一个通信塔．在它们之间的地面上点(，，三点共线)处测得楼顶，塔顶的仰角分别是和，在楼顶处测得塔顶的仰角为，那么通信塔的高为〔〕A ．B ．C ．D ．8．[2021·荆州质检]的面积为1，角、、的对边分别为、、，且，，那么角的大小为〔〕A ．B ．C ．D ．9．[2021·云师附中]我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式〞，设的三个内角、、所对的变分别为、、，面积为，那么“三斜公式〞为，假设，，那么用“三斜公式〞求得的面积为〔〕 ABCD10．[2021·湖北期中]中有：①假设，那么；②假设，C 1a =b ABC △S =ABC △A B C a b c 2a =45B =︒4ABC S =△ABC △ABC △A B C a b c c π3C =sin 2sin B A =ABC △2+3+4+AB (30m -CD M B M D A C 15︒60︒A C 30︒CD 30 m 60 m ABC △A B C a b c a =4b c +=A π4π3π22π3ABC △A B C a b c S S =2sin 4sin c A C =π3B =ABC △ABC △A B >sin sin A B >sin 2sin 2A B =那么—定为等腰三角形；③假设，那么—定为直角三角形． 以上结论中正确的个数有〔〕 A ．0B ．1C ．2D ．311．[2021·拉萨中学]在中，内角、、的对边分别是、、，假设满足，，那么三角形周长的取值范围为〔〕A ．B ．C ．D ．12．[2021·阜阳三中]假设为钝角三角形，其中角为钝角，假设，那么的 取值范围是〔〕 A ． B ． C ． D ．二、填空题13．[2021·龙泉驿区模拟]在中，，，，那么_______． 14．[2021·福州期中]的内角、、的对边分别为、、，假设的_________________，15．[2021·泸州质检]在中，角、、所对的边分别为、、，假设，那么角的大小为______．16．[2021·鄂尔多斯期中]面积和三边、、满足：，，那么面积的最大值为________．三、解答题17．[2021·哈尔滨三中]在中，角、、所对的边分别为、、， 且满足，〔1〕求；〔2〕假设，求的面积．ABC △cos cos a B b A c -=ABC △ABC △A B C a b c cos cos cos cos C A B A B +4b =ABC △(]5,14((]8,12(]6,12ABC △C 2π3A C +=ABBC()1,2()2,+∞()3,+∞[)3,+∞ABC △2a =b =π6B =A =ABC △ABC a b c ABC △222B =ABC △A B C a b c sin a A =()sin sin c C a b B +-C ABC △S a b c ()22S a b c =--8b c +=ABC △S ABC △A B C a b c ()sin cos 0a B B C +=a =A 2b =ABC △18．[2021·杨浦区期中]在中，角、、所对的边分别为、、，． 〔1〕假设，求的值；〔2〕假设的面积等于1，求的值．ABC △A B C a b c b =π4B =3a =sin A ABC △a寒假训练01解三角形一、选择题 1．【答案】D【解析】根据题意，在中，，，， 那么，那么D ． 2．【答案】A【解析】由及余弦定理得，整理得，∴，∴为等腰三角形．应选A ． 3．【答案】B【解析】由，可得，根据余弦定理得，∵，∴．应选B ．4．【答案】C【解析】∵、、依次成等差数列，∴，， ∵，，得， ∴，应选C ． 5．【答案】A【解析】∵在中，，，， ∴，即， ∴由余弦定理得：，即， 那么由正弦定理得：的外接圆直径A ． 6．【答案】C【解析】∵，∴由正弦定理得，ABC △5a =4c =3cos 5B =22232cos 2516254175b ac ac B =+-=+-⨯⨯⨯=b =2cos aB c =22222222a c b a c b a ac ac c+-+-⨯==22c b =b c =ABC △()()3a b c a c b ac +++-=222a c b ac +-=2221cos 22a c b B ac +-==()0,πB ∈π3B =A BC 3180A B C B ++==︒60B =︒1a =b 2222cos b a c ac B =+-2c =1sin 2ABC S ac B ==△ABC △2a =45B =︒4ABC S =△11sin 2422ac B c =⨯⨯=c =2222cos 4321620b a c ac B =+-=+-=b =ABC △sin bd B==sin 2sin B A =2b a =由余弦定理得， 又，解得，．∴的周长是C ． 7．【答案】B【解析】作，垂足为， 那么在中，，， ∴，∴．应选B ． 8．【答案】C【解析】由题的面积为1，即，由，根据余弦定理可得， ，，综上可得，，∴∵，∴．应选C ． 9．【答案】A【解析】根据正弦定理，由，得，那么由，得， 那么A ． 10．【答案】C【解析】①根据大角对大边得到，再由正弦定理知，①正确； ②，那么或，是直角三角形或等腰三角形；∴②错误；③由及余弦定理可得，化简得，∴③正确．应选C ． 11．【答案】C22222222cos 423c a b ab C a a a a -=+-=+=c 1a =2b =ABC △123a b c ++=++AE CD ⊥E AMC △sin15ABAM ==︒105AMC ∠=︒30ACM ∠=︒sin105AC =︒60AC =+30sin3060m CD AC =-︒=ABC △1sin 12bc A =a =4b c +=()()22222cos 21cos a b c bc A b c bc A =+-=+-+()()22222cos 21cos a b c bc A b c bc A =+-=+-+()1cos 2bc A +=()1cos 2sin bc A bc A +==sin cos 1A A -=π14A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭πsin 4A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭0πA <<π2A =2sin 4sin c A C =4ac =π3B =2224a c b +-=ABC S =△a b >sin sin a bA B=sin sin A B >sin 2sin 2A B =A B =π2A B +=ABC △22222222a c b b c a a b c ac bc+-+--=222a b c =+【解析】∵，∴， 即，又∵、、为三角形内角，，∴，即， 在中，由余弦定理可得，化简得，∵，∴， 解得〔当且仅当，取等号〕，∴， 再由任意两边之和大于第三边可得，故有， 那么的周长的取值范围是，应选C ． 12．【答案】B【解析】根据题意，为钝角三角形，， 由正弦定理，， 又由为钝角，且，那么，那么，那么有， 那么的取值范围是；应选B ．二、填空题 13．【答案】或 【解析】在中，∵，，∴由正弦定理可得， ∴或．故答案为或． 14．【答案】【解析】由题意可得：，即，． cos cos cos cos C A B A B +()cos cos cos cos A B A B A B -++sin sin cos A B A B =A B C sin 0A ≠sin B B =π3B =ABC △2211622a c ac+-=()2163a c ac +-=22a c ac +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭()221632a c a c +⎛⎫+-≤⎪⎝⎭8a c +≤a c =12a b c ++≤4a c +>8a b c ++>ABC △(]8,12ABC △2π3A C +=2π2π2πsin sin cos cos sin sin 11333sin sin sin tan 2A A AAB C BC A A A A ⎛⎫-- ⎪⎝⎭====+C 2π3A C +=π06A <<0tan A ＜112tan 2AB BC A =+>ABBC()2,+∞π43π4ABC △2a =b =π6B =sin sin a B A b ⋅==π4A =3π4π43π4π62221sin 22a c b ac B ac +-=1sin cos 2ac B B =sin tan cos B B B ==π6B =15．【答案】【解析】∵， ∴由正弦定理可得，化为， 又，∴，故答案为．16．【答案】【解析】∵，即，，∴分别代入等式得：，即，代入得，∴， ∵，∴， ∴， 当且仅当，即时取等号， 那么面积的最大值为．故答案为．三、解答题 17．【答案】〔1〕；〔2．【解析】〔1〕，可得， ∴，∴，∴； 〔2〕∵，，∴，∴，∴．18．【答案】〔1〕；〔2〕或． 【解析】〔1〕在中，， 由正弦定理可得， π3()sin sin sin a A c C a b B =+-()222a c ba c ab R R R⨯=⨯+-⨯222a b c ab +-=2221cos 22a b c C ab +-==π3C =π364172222cos a b c bc A -=+2222cos a b c bc A =---1sin 2ABC S bc A =△1sin 22cos 2bc A bc bc A =-sin 44cos A A =-22sin cos 1A A +=15cos 17A =8sin 17A =8b c +=8c b =-()21444864sin 82171717217ABCb b S bc A bc b b +-⎛⎫===-≤⋅= ⎪⎝⎭△8b b =-4b =ABC △S 64176417π3A =()sin cos 0a B B C +=sin sin cos 0A B B A =sin A A =tan A =π3A =π3A =a =2b =2141924c c+-=5c =11sin 2522S bc A ==⨯⨯=sin A =1a =a =ABC △b =π4B =3a =sin sin a bA B =πsin sin 4a A B b ===〔2〕由三角形面积公式可得，∴化简得，由余弦定理可知，将代入上式，化简得， 解得或．11πsin sin 1224ABC S ac B ac ===△c=22222π2cos 54b ac ac a c =+-=+=c =42980a a -+=1a=a =。