第三章 第二节 同角三角函数基本关系与诱导公式
2019版高考数学(文)讲义：第3章 三角函数、解三角形 第2讲同角三角函数的基本关系与诱导公式
[ ] 4
π
3
，π
(2)已知 sinα＝5，α∈ 2 ，则 cosα＝5.( )
(3)sin(π＋α)＝－sinα 成立的条件是 α 为锐角．( )
(4)六组诱导公式中的角 α 可以是任意角．( )
1
1
A.2 1
B．－ 3 1
C．－ 2
D.3
答案 C
sinα·cosα
解析 ∵f(α)＝－cosαtanα＝－cosα，
( ) ( ) ( ) 31π
31π
π
π1
－
－
10π＋
∴f 3 ＝－cos 3 ＝－cos
3 ＝－cos3＝－2.
( ) ( ) π 1
7π
α＋
α＋
5．已知 sin 12 ＝3，则 cos 12 的值为( )
命题角度 2 同角关系和诱导公式的综合应用
例 3 [2016·全国卷Ⅰ]已知 θ 是第四象限角，且
( ) ( ) π 3
π
θ＋
θ－
sin 4 ＝5，则 tan 4 ＝________.
4
答案 －3
( ) ( ) π 3
π
θ＋
θ－
解析 因为 sin 4 ＝5，所以 cos 4 ＝sinError!Error!＝sin
3
3
A．－ 2
B. 2
3
3
C．－ 4
D.4
答案 B
5π 3π
解析 ∵ 4 ＜α＜ 2 ，
∴cosα＜0，sinα＜0 且|cosα|＜|sinα|，∴cosα－sinα＞0. 13
高考复习数学第二节 同角三角函数的基本关系与诱导公式
角度 sin α，cos α 的齐次式问题 [例 2] 已知tatnanα－α 1＝－1，求下列各式的值． (1)ssiinnαα－＋3ccoossαα； (2)sin2 α＋sin αcos α＋2.
解：由已知得 tan α＝12. (1)ssiinnαα－＋3ccoossαα＝ttaann αα－ ＋31＝－53.
D．±2
5 5
所以 cos α＝－23，
则 α 为第二或第三象限角，
所以 sin α＝±
1－cos2
α＝±
5 3.
5
所以
tan
α＝csions
αα＝±－323
＝±
5 2.
答案：C
6．sin 2 490°＝________；cos－523π＝________．
解析：sin 2 490°＝sin(7×360°－30°)＝－sin 30°＝－12. cos－523π＝cos 523π＝cos16π＋π＋π3＝cosπ＋π3＝ －cos π3＝－12. 答案：－12 －12
(2)sin2 α＋sin αcos α＋2＝sins2inα2＋α＋sincoαsc2oαs α＋2＝
tan2 α＋tan tan2 α＋1
α＋2＝121222＋ ＋121＋2＝153.
角度 sin α±cos α 与 sin αcos α 关系的应用
[例 3] 已知 x∈(－π，0)，sin x＋cos x＝15.
1．已知 a∈(0，π)，且 cos α＝－153，则 sinπ2－α· tan α＝( )
由 x∈(－π，0)，知 sin x<0，又 sin x＋cos x>0，
所以 cos x>0，所以 sin x－cos x<0，
同角三角函数的基本关系与诱导公式
同角三角函数的基本关系与诱导公式1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1；(2)商数关系：sin αcos α＝tan α.2．诱导公式公式一：sin(α＋2k π)＝sin α，cos(α＋2k π)＝cos α，其中k ∈Z.公式二：sin(π＋α)＝－sin α，cos(π＋α)＝－cos α，tan(π＋α)＝tan α. 公式三：sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α.公式四：sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos α.公式五：sin ）（απ-2＝cos α，cos ）（απ-2＝sin α. 公式六：sin ）（απ+2cos α，cos ）（απ+2＝－sin α. 一个口诀：诱导公式的记忆口诀为：（απ±2k ）奇变偶不变，符号看象限． 三种方法在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝sin αcos α化成正、余弦．(2)和积转换法：利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化．(3)巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ＝cos 2θ(1＋tan 2θ)＝tan π4＝….一、已知某角的一个三角函数值，求其它三角函数值 例1：① 已知sinA=23, A 为第二象限的角，求cosA ，tanA 的值；②已知cosA=23, A 为第四象限的角，求sinA ，tanA 的值；③已知α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，tan α＝2，则cos α＝________；二、由某角的正切值求该角关于正弦余弦的三角函数式的值例 2：已知tan α=2,求:(1)4sin 2cos 5sin 3cos αααα-+;(2)2222sin 2sin cos cos 4cos 3sin 1αααααα---+;(3)25sin 3sin cos 2ααα+-变式(1)已知tan α＝13，求12sin αcos α＋cos 2α的值；三、关于某角的正弦与余弦之和，正弦与余弦之差，正弦与余弦之积，知一求二例3： 已知－π2<x <0，sin x ＋cos x ＝15①求sinxcosx 的值， ②求sinx+cosx 的值③求sin 2x －cos 2x 的【试一试】 (1)若α为三角形的一个内角，且sin α＋cos α＝23，则这个三角形是( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形（2）已知sin θ＋cos θ＝713，θ∈(0，π)，则tan θ＝________.四、利用诱导公式求值，化简例4： 已知sin）（2πα+＝－55，α∈(0，π)． (1)求)3cos()sin()23cos()2sin(απαπαππα++-+--的值； (2)求cos ）（απ-65的值．(2)已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，α是第三象限角， 则sin (－α－32π)cos (32π－α)cos (π2－α)sin (π2＋α)·tan 2(π－α)＝________.专项基础训练一、选择题1．已知α和β的终边关于直线y ＝x 对称，且β＝－π3，则sin α等于( )A ．－32B.32C ．－12 D.12 2． cos(－2 013π)的值为( ) A.12B ．－1C ．－32D ．03．已知f (α)＝sin (π－α)·cos (2π－α)cos (－π－α)·tan (π－α)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－25π3的值为( )A.12B ．－12C.32 D ．－324．当0<x <π4时，函数f (x )＝cos 2xcos x sin x －sin 2x的最小值是( )A.14B.12 C ．2 D ．4 二、填空题5．如果sin α＝15，且α为第二象限角，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α＝________.6．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π12的值为________．7. sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2·tan (α＋π)sin (π－α)＝________.三、解答题(共22分)8． (10分)已知sin θ＋cos θ＝23(0<θ<π)，求tan θ的值．9． (12分)已知sin(3π＋θ)＝13，求cos (π＋θ)cos θ[cos (π－θ)－1]＋cos (θ－2π)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－3π2cos (θ－π)－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋θ的值．。
高考数学一轮复习第三章第二讲同角三角函数的基本关系与诱导公式课件
所以 sin α＝2 5 5，cos α＝－ 55，tan α＝－2，
所以 sin (2α－3π)＋tan π2－α＝－2sin αcos α＋tan1 α＝
－2×2
5
5×－
55－12＝45－12＝130.故选
D.
答案：D
2.(考向 2)已知 sinα－1π2＝13，则 cosα＋1172π的值为(
3sin2θ－cos2θ＋( 3－1)sinθcos sin2θ＋cos2θ
θ＝
3tan2θ－ta1n＋2θ1)＝2
3＋1 5.
故选 B.
答案：B
⊙sin x＋cos x，sin x－cos x，sin x cos x 之间的关系 [例 4]已知 sin θ＋cos θ＝173，θ∈(0，π)，则 tan θ 的值为_______.
(3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－ cos2α，cos2α＝1－sin2α.
考点二 诱导公式及其应用 考向 1 利用诱导公式化简三角函数式 [例 1](1)化简：sinc－osαπ2－－32απcsoins π232＋π－ααsitnan(2π(＋2πα－) α)＝________.
2.三角函数的诱导公式
序号
一
二
三
四
五六
角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α
正弦 sin α
－sin α
－α －sin α
π－α sin α
π2－α π2＋α cos α cos α
余弦 cos α
－cos α cos α －cos α sin α －sin α
正切 口诀
tan α
tan α －tan α －tan α — —
高三第一轮复习--同角三角函数的关系式及诱导公式
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开咯万丈光芒.东舌闭目凝神感受着万物,壹切都变得那么の清新整齐,没什么半分の紊乱否均.正自思绪纷飞之时,身后响起咯壹阵轻快の脚步声,东舌本能の回过头去长望.走来の否是别人,正是吐茂公.东舌淡然壹笑,转而问道:"吐军师,有什么事情吗？"吐茂公轻摇手中羽扇,掀起无数尘 埃飘散开来,在阳光の耀射之下格外の显眼,沉静如水地说道:"殿下,在下已经召集咯全部人在正堂集中,还望殿下无事の话速速前去."听咯吐茂公の话,东舌心中突然有种否好の预感,旋即问道:"军师,莫否是出咯什么事情？"吐茂公警觉地环扫四周,点咯点头,匆匆转身离去.从吐茂公の表 现,东舌便猜测出咯事情の重要性.也否多问什么,随着吐茂公壹起朝正堂走去..半响过后,钱塘王府正堂.东舌端坐在王座之上,台下文武按顺序摆开,已经颇有壹番******の样子.右侧武将之中走出壹人,只见身高七尺有余.身挂金甲,背披紫袍,长得却是有些异于常人.此人便是日行千里,神 驹子马灵,马灵早在半个月前就被东舌派出到各地搜罗情报,如今归来定是情况有变.马灵上前壹步,拱手说道:"殿下,末将在隋朝廷打听到咯壹个消息."东舌否假思索の问道:"什么消息,尽管说来便是.""北方罗艺军团全线崩溃.被其部下完颜阿骨打所杀,如今完颜阿骨打拥兵五万坐守幽州, 罗艺之子罗成报仇心切,领着七万兵力投降北方の神秘人,否过北方突降数百年否遇の大雪,怕是壹年半载否能作战."马灵将北方情况壹壹道来.东舌思酌着情报,用手抚着下颚の须绒,点咯点头说道:"那汤广有没什么什么动静？"马灵顿咯顿语气.旋即说道:"汤广派高颎带兵十五万出兵北方, 平定幽州之乱.并派出十万大军企图企图."马灵说到另外壹支大军之时,突然语气变得迟钝起来,好像有点难以启齿壹般.东舌眼
高考数学(文江苏专用)一轮复习课件：第三章第2讲同角三角函数的基本关系与诱导公式
第三章三角函数、解三角形同角三角函数的基本关系与诱导公式教材回顾▼夯实基础课本温故追根求源Ml谋梳理严1.同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin2a +cos2a =1(«GR)；(2)商数关系：tan a =订—A：eZ2.六组诱导公式k兀“亍土a仗已Z)"的三角函数记忆口诀“奇变偶不对于角变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k为奇数时, 正弦变余弦,余弦变正弦;当吃为偶数时，函数名不变”.“符号看象限”是指“在久的三角函数值前面加上当。
为锐角时原函数值的符号”.匿0【做二微〕,贝0 sin x = 2 .、JI解得sin x= -1±^52因为一lWsinxWl, 所以 smx=―— 1.已知 tanx=smx+y^| 解析：因为 tanx=sin x+~ ,所以 tanx=cosx, \ /丿 所以 sinx=cos 2x,所以 sinL+sin x —1=0,2.tan 690°的值为—3 解析：tan 690° =tan(—30' =tan(—30° )=—tan 30°3 +2X360° )3 •3.已知cos12=T解析：因为cos 13’角a是第二象限角、则tan(2 —a)角a是第二象限角，故sin a =12 0所以tan 12故tan（2 兀—a）=—tan12要會厂1.必明辨的2个易错点(1)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.(2)注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化.2.必会的3种方法(三角函数求值与化简的常用方法)⑴弦切互化法：主要利用公式tan a化成正、余弦.⑵和积转换法：利用(sin 0 ±cos 0)2=l±2sin "cos &的关系进行变形、转化.l=sin2e +cos2e =cos2 ^(1+tan2 0)=:(3)巧用“F啲变换( 又因为n,3兀、解析：因为tana=2,所以汨^=2,所以sina=2cos a. 又 sin 2a+cos 2a=l, 所以(2cos a)2+cos 2a=l, 所以 cos 2a=1.已知么丘,tan a =2,贝J cos a =所以COS… M t 2sin a —cos3・若tan a =2,则sin 育囲2sin a —cos a 2tan a —1 sin a +2cos a tan a +2 2X2-1 3 2+24-2.若 sin 0 •cos1 … .cos 0 “ 亠= a刃则5 〃+赢「万的值疋―:解析：tan .cos sin £_sin 0 cos 0 cos i +sin0 _ 0 cos hn=2-；的值为 _____解析:典例剖析▼考点突破*考点一三角函数的诱导公式「茲 sin (k n +a) , cos (k n +a) ,⑶已知*sin Q + cos。
同角三角函数的基本关系式与诱导公式
课堂互动讲练
考点一
诱导公式的应用
应用诱导公式进行化简或证明时， 首先根据题意选准公式再用，一般是负 变正、大变小的思想．
在使用诱导公式时，α可为任意角， 并不一定要为锐角，只不过是在运用的 过程中把它“看作”是锐角而已．“奇 变偶不变，符号看象限”同样适用于正 切和余切．如tan(270°－α)＝cotα等．
cos2x－1 sin2x＝
cos2x＋sin2x cos2x－sin2x
，想法
使分
子分
母都出现 tanx 即可．
课堂互动讲练
【解】 (1)法一：联立方程：
sinx＋cosx＝15， sin2x＋cos2x＝1.
① 2分
②
①式两边平方得：sin2x＋cos2x＋2sinxcosx
＝215，
∴2sinxcosx＝－2245.4 分 ∵－π2<x<0，∴sinx<0，cosx>0. ∴sinx－cosx＝－ sin2x－2sinxcosx＋cos2x
三基能力强化
5．已知scions2θθ＋＋14＝2，那么(cosθ ＋ 3)(sinθ＋1)的值为________．
解析：∵scions2θθ＋＋14＝2，∴sin2θ＋4＝ 2cosθ＋2，
∴cos2θ＋2cosθ－3＝0，解得 cosθ＝ 1 或 cosθ＝－3(舍去)，由 cosθ＝1 得 sinθ ＝0，∴(cosθ＋3)(sinθ＋1)＝4.
规律方法总结
公式中 k·π2＋α 的整数 k 来讲的．“象
限”指在 k·π2＋α 中，将 α 看作锐角时 k·π2＋
α
所在的象限，如将
cos(32π＋α)写成
π cos(3·2
高考数学复习第3章三角函数与解三角形第2讲同角三角函数的基本关系式与诱导公式
考向 3 证明
例 4：求证：tatannαα－·ssininαα＝tatannαα＋·ssininαα.
证明：方法一，右边＝ tan
tan2α－sin2α α－sin α·tan αsin
α
＝tantaαn－2α－sintaαn2·αtacnosα2sαin
α＝tan
tan2α1－cos2α α－sin α·tan αsin
10°cos 10° 1－cos210°.
解：原式＝ csoisn1100°°－－|scions1100°°|2＝
|sin cos
10°－cos 10°－sin
10°|＝cos 10° cos
10°－sin 10°－sin
1100°°＝1.
【规律方法】化简三角函数式应看清式子的结构特征并作 有目的的变形,注意“1”的代换、乘法公式、切化弦等变形技巧, 对于有平方根的式子,去掉根号的同时加绝对值号再化简.
答案：C
【规律方法】已知sin α,cos α,tan α三个三角函数值中的 一个,就可以求另外两个.但在利用平方关系开方时,符号的选 择要看α属于哪个象限,这是易出错的地方,应引起重视.而当 角α的象限不确定时,则需分象限讨论,不要遗漏终边在坐标轴 上的情况.
考向 2 化简
例
3：化简：cos11－0°2－sin
考点 2 同角三角函数基本关系式 考向 1 三角函数求值 例 2：(1)(2019 年新课标Ⅱ)已知 α∈0，π2，2sin 2α＝cos 2α ＋1，则 sin α＝( )
1
5
A.5
B. 5
3 C. 3
25 D. 5
解析：2sin 2α＝cos 2α＋1,即4sin αcos α＝2cos2α, 则 2sin α＝cos α, 联立2sisnin2αα＋＝ccoos2sαα＝，1 ，得 sin α＝± 55， 又 α∈0，π2，∴sin α＝ 55. 答案：B
第二节-同角三角函数基本关系式与诱导公式
∴sin2α+144 sin2α=169 sin2α=1,
25
25
又由α为第二象限角知sin α>0,
∴sin α= 5 ,故选C.
13
考点突破
栏目索引
考点二 诱导公式的应用
典例2 (1)已知A= sin(k α) + cos(k α) (k∈Z),则A的值构成的集合是
sin α
cos α
()
sin α cos α
当k为奇数时,A= sin α - cos α =-2.
sin α cos α
∴A的值构成的集合是{2,-2}.
(2)f(x)= sin x sin x =-tan2x,
cos x (cos x)
f
21
4
=-tan2
21
4
=-tan2
3 4
π=-1.
考点突破
栏目索引
考点突破
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易错警示
1.诱导公式的两个应用 (1)求值:负化正,大化小,化到锐角为终了. (2)化简:统一角,统一名,同角名少为终了. 2.含2π整数倍的诱导公式的应用 由终边相同的角的关系可知,在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可 直接将2π的整数倍去掉后再进行运算,如cos(5π-α)=cos(π-α)=-cos α.
由①得cos α= 1 -sin α,
5
将其代入②,整理得
25sin2α-5sin α-12=0.
∵α是三角形的内角,
∴sin α= 4 ,∴cos α=- 3 ,
5
5
∴tan α=- 4 .
3
(2)
cos2α
1
sin2α
=
sin2α cos2α cos2α sin2α
同角三角函数的基本关系式及诱导公式
同角三角函数的基本关系式及诱导公式1.同角三角函数基本关系式平方关系:sin 2α+cos 2α=1;商数关系:tanα=2.α相关角的表示(1)终边与角α的终边关于原点对称的角可以表示为π+α;(2)终边与角α的终边关于x 轴对称的角可以表示为-α(或2π-α);(3)终边与角α的终边关于y 轴对称的角可以表示为π-α;(4)终边与角α的终边关于直线y=x 对称的角可以表示为 -α.3.诱导公式(1)公式一 sin(α+k ·2π)=sinα ,cos(α+k ·2π)=cosα, tan(α+k ·2π)=tanα,其中k ∈Z.(2)公式二sin(π+α)=-sinα ,cos(π+α)=-cosα, tan(π+α)=tanα.(3)公式三 sin(-α)=-sinα, cos(-α)=cosα, tan(-α)=-tanα.(4)公式四 sin(π-α)=sinα ,cos(π-α)=-cosα, tan(π-α)=-tanα.(5)公式五 (6)公式六即α+k ·2π(k ∈Z),-α,π±α的三角函数值,等于α的同名函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号; ±α的正弦(余弦)函数值,分别等于α的余弦(正弦)函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号. 总口诀为:奇变偶不变,符号看象限,其中“奇､偶”是指“k · ±α(k ∈Z)”中k 的奇偶性;“符号”是把任意角α看作锐角时原函数值的符号 1.cos300°=( ) 解析:cos300°=cos(360°-60°)=cos60°4.点P(tan2008°,cos2008°)位于( )A.第二象限B.第一象限C.第四象限D.第三象限解析:∵2008°=6×360°-152°,∴tan2008°=-tan152°=tan28°>0,cos2008°=cos152°<0,∴点P 在第四象限..sin cos αα,.22sin cos cos sin αππααα⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,.22sin cos cos sin αααππα⎛⎫⎛⎫+=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2π()4,543..3432.sin ,ta 4..43n A B C D ααα-±=±若且是第二象限角则的值等于:,cos t 3,5454.5n 3a 3sin cos ααααα==-⎛⎫==-∴==- ⎪⎝⎭∴解析为第二象限角()1,33611..33..333.sin cos A B C D ααππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭--已知则的值为,6236231.33:cos cos sin πππαπππααααπ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭+∴解析类型一 利用同角三角函数基本关系式化简求值解题准备:本考点的试题难度不大,而对公式的应用要求准确､灵活,尤其是利用平方关系sin 2α+cos 2α=1及其变形形式sin 2α=1-cos 2α或cos 2α=1-sin 2α进行开方运算时,特别注意符号的判断.如果所给的三角函数值是字母给出的,且没有指定角在哪个象限,那么就需要结合分类讨论的思想来确定其他角的三角函数值. 【典例1】 (1)已知sinα= ,且α为第二象限角,求tanα; (2)已知sinα= ,求tanα; (3)已知sinα=m(m≠0,m≠±1),求tanα.(3)∵sinα=m(m≠0,m≠±1),∴cosα=±=±(当α为第一､四象限角时取正号,当α为第二､三象限角时取负号), 所以当α ;当α为第二､三象限角时,tanα= [反思感悟] ,关键是掌握住“先平方,的平方关系相联系的cosα,再由公式求tanα.在(3)中,α为第四象限角,但 ,原因是m 此时小于0,所以形式上tanα的表达式前面仍不带负号.类型二 诱导公式及其应用解题准备:诱导公式起着变名､变角､变号的作用,应用诱导公式,着眼点应放在“角”上,重点是“函数名称”和“正负号”的判断.求任意角的三角函数值问题,都可以利用诱导公式最终化为锐角三角函数的求值问题,具体步骤是:“化负为正—化大为小—锐角求值”.[分析] 显然应用到诱导公式,既可以直接从诱导公式中合理选用,也可以直接运用十字诀,一般来说用后一方法记忆负担较轻.()5.cos 2sin tan 11..2..222A B C D ααα-+=-若则等于22222(1,:sin2sin )1,tan 2.cos sin sin cos sin cos ααααααααα+⎧+=⎪⇒⎨+=⎪⎩⎧=∴∴=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩=解析1313()()()[]1sin ,cos tan 2sin 1,33.,cos tan 410,3ta ,1n sin cos ααααααααααααα∴====-∴=∴===->==∴=解为第二象限角为第一或第二象限角当为第一象限角时当为第二象限角时由知3()(2)2.()(2,())f sin cos tan cot sin ππαπαααααππα⎛⎫---+ ⎪⎝⎭----=【典例】已知是第三象限角且()()()()()()31,251f ;2f ; 31860,f .coscos πααααα⎛⎫-= ︒⎭=-⎪⎝化简若求的值若求的值()()(2)(4)(3)222(2)(2)2 []12.f ()sin cos tan cot sin sin cos cot cos cot sin πππαααππααααααααα-------==--=解()31(3),2252sin ,sin cos f ()cos cos αααπαααπ=-∴⎛⎫-=-+- ⎪⎝⎭====(3)∵-1860°=-21×90°+30°,∴f(-1860°)=-cos(-1860°)=-cos(-21×90°+30°)=-sin30°=[反思感悟] 如何运用十字诀,可通过下例来体会:设β=α- 且α为锐角,则如图所示,可知β可看成是第二象限角,而在第二象限中余弦取负号,且k=-3为奇数.∴cosβ=cos(-3•+α)=-sinα.类型三sinα±cosα与sinα·cosα关系的应用解题准备:利用sin2α+cos2α=1,可以得出如下结论:(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα;(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα;(sinα+cosα)2+(sinα-cosα)2=2;(sinα+cosα)2-(sinα-cosα)2=4sinαcosα.对于sinα+cosα,sinαcosα,sinα-cosα这三个式子,已知其中一个式子的值,可求其余二式的值.【典例3】已知sinx+cosx=,求下列各式的值:(1)sin3x+cos3x;(2)sin4x+cos42x.[反思感悟] 平方关系sin2x+cos2x=1把sinx+cosx,sinxcosx联系起来,要灵活运用它们之间的变换,熟记立方和公式及和的立方公式.[反思感悟] 形如asinα+bcosα和asin2α+bsinαcosα+ccos2α的式子分别称为关于sinα､cosα的一次齐次式和二次齐次式,对涉及它们的三角式的变换常有如上的整体代入方法可供使用.12-3,2π2π()22[]sinx cosxsinx1.21cosxsinxcosx.4+=∴+=⎛⎫=⎪⎝∴=-⎭解()()()33331sin x cos x sinx cosx3sinxcosx sin x cos134xαα⎛⎫--=⎪⎝⎭+=+-+=()()()2442222222sin x cos x sin x cos x2sin xcos x12sinxcosx117;428⎛⎫-=⎪⎝+=+-=-=-⨯⎭()()222222223tan x cot x tanx cot11221621x224.116sin x cos xsinx cosxsin x cos x⎛⎫+⎪⎝⎭=-=-=-+=+-==-()24.2sin sin cos21,13(1);.tantansin cossin cosααααααααα+=--+-+【典例】已知求下列各式的值()1.2133352.1131]a12[t nsin cos tansin cos tanααααααα---===-++∴+=解由已知得()()2222222222222sin sin cos2sin sin cos2cos3232111321322.5112sinsin sin cos cossin costan tantanααααααααααααααααα++=+++=+⎛⎫++⎪⎝⎭=∴++=+=⎛⎫+⎪⎝⎭++。
第二节 同角三角函数的基本关系式及诱导公式(知识梳理)
第二节同角三角函数的基本关系式及诱导公式复习目标学法指导1.同角三角函数的两个基本关系.2.三角函数的诱导公式(1)π+α与α的正弦、余弦、正切值的关系.(2)-α与α的正弦、余弦、正切值的关系.(3)π-α与α的正弦、余弦、正切值的关系.(4)π2±α与α的正弦、余弦值的关系. 1.在高考中,常给出角α的一个三角函数值,求其他异名的三角函数值,解题的关键就是灵活地掌握同角三角函数的基本关系的正用、逆用及变形应用.2.诱导公式的基本作用在于将任意角的三角函数转化为[0,π2]内的三角函数,其解题思路是化负角为正角,化复杂角为简单角.3.求值问题是三角公式的主要应用,求解时首先根据题目特点选择公式类型,再正确应用.一、同角三角函数的基本关系式1.平方关系sin 2α+cos 2α=1. 2.商数关系tan α=sin cos αα.1.公式理解(1)利用sin 2α+cos 2α=1可以实现角α的正弦、余弦的互化,利用sin cos αα=tan α可以实现弦切互化.(2)只要是同一个角,基本关系式就成立,不要拘泥于角的形式,如sin 22α+cos 22α=1,sin3cos3x x=tan 3x 都成立. 2.与公式应用相关的结论(1)1的代换:1=sin 2α+cos 2α=cos 2α(1+tan 2α)=tan π4. (2)弦切互化法:弦切共存的代数式往往利用公式把切化为弦.(3)和积转换法:因为(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α,所以对于sin α+cos α,sin α-cos α,sin αcos α这三个式子可以知一求二,但要注意角的范围. 二、诱导公式 组序 一 二三四五 六 角2k π+α(k ∈Z)π+α-απ-απ2-απ2+α正弦 sin α -sin α -sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α -cos α cos α -cos α sin α -sin α正切 tan αtan α-tan α-tan α口诀函数名不变 函数名改变符号看象限符号看象限记忆规律奇变偶不变,符号看象限1.公式理解诱导公式可简记为:奇变偶不变,符号看象限,“奇”“偶”指的是“k ·π2+α”中的整数k 是奇数还是偶数.“变”与“不变”是指函数名称的变化,若k 是奇数,则正、余弦互变,若k 为偶数,则函数名称不变.“符号看象限”指的是在“k ·π2+α”中,将α看成锐角时“k ·π2+α”的终边所在的象限. 2.与诱导公式应用相关的知识诱导公式在三角形中经常使用,常用的角的变形有:A+B=π-C,2A+2B=2π-2C,2A +2B +2C =π2等,于是可得sin(A+B)=sin C,cos 2A B +=sin 2C 等.1.已知sin(π-α)=log 814,且α∈(-π2,0),则tan(2π-α)的值为( B ) 2525(C)255解析:sin(π-α)=sin α=log 814=-23, 又α∈(-π2,0), 所以cos α21sin α-5则tan(2π-α)=tan(-α)=-tan α=-sin cos αα25. 故选B.2.已知sin 3cos 3cos sin αααα+-=5,则sin 2α-sin αcos α的值是( A ) (A)25 (B)-25 (C)-2 (D)2解析:由sin 3cos 3cos sin αααα+-=5, 得tan 33tan αα+-=5,解得tan α=2. 所以sin 2α-sin αcos α=222sin sin cos sin cos ααααα-+=22tan tan tan 1ααα-+=25.故选A.3.(2018·宁波模拟)sin 210°cos 120°的值为( A ) (A)14(B)-3(C)-32 (D)3解析:sin 210°cos 120°=-sin 30°(-cos 60°)=12×12=14. 故选A.4.已知-π2<x<0,sin x+cos x=15,则sin x-cos x= . 解析:因为(sin x+cos x)2=1+2sin xcos x=125,所以2sin xcos x=-2425. 又因为-π2<x<0, 所以sin x<0,cos x>0.又因为(sin x-cos x)2=1-2sin xcos x=4925, 所以sin x-cos x=-75. 答案:-75考点一 同角三角函数的基本关系[例1] (1)已知α∈(π,3π2),tan α=2,则cos α= . (2)已知α是三角形的内角,且sin α+cos α=15. ①求tan α的值; ②把221cos sinαα-用tan α表示出来,并求其值.(1)解析:依题意得22sin tan 2,cos sin cos 1,ααααα⎧==⎪⎨⎪+=⎩由此解得cos 2α=15, 又α∈(π,3π2), 因此cos α.答案(2)解:①法一联立方程221sin cos , (*)5sin cos 1,(**)αααα⎧+=⎪⎨⎪+=⎩由(*)得cos α=15-sin α, 将其代入(**),整理得 25sin 2α-5sin α-12=0.解得sin α=45或sin α=-35.因为α是三角形的内角,所以4sin ,53cos ,5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以tan α=-43. 法二 因为sin α+cos α=15, 所以(sin α+cos α)2=(15)2, 即1+2sin αcos α=125,所以2sin αcos α=-2425,所以(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=1+2425=4925.因为sin αcos α=-1225<0且0<α<π, 所以sin α>0,cos α<0,所以sin α-cos α>0.所以sin α-cos α=75.由1 sin cos,57sin cos,5αααα⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩解得4sin,53cos,5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以tan α=-43.②221cos sinαα-=2222sin coscos sinαααα+-=22tan11tanαα+-.因为tan α=-43,所以221cos sinαα-=22tan11tanαα+-=224()1341()3-+--=-257.(1)利用和积互换公式时,要注意依据和、差、积的值对角的范围进行确定,必要时要与特殊值比较,进一步优化缩小角的范围.(2)若某一三角函数值中含有参数,要讨论值的正负,否则会漏根或增根.(3)对于含有sin α,cos α的齐次式,可根据1的代换化为齐次分式,通过除以某一齐次项,转化为只含有正切的式子,即化弦为切、整体代入.1.(2019·金华模拟)已知sin α+cos α2则tan α+cossinαα的值为( D )(A)-1 (B)-2 (C)12 (D)2 解析:因为sin α+cos α所以(sin α+cos α)2=2, 所以sin αcos α=12. 所以tan α+cos sin αα=sin cos αα+cos sin αα=1sin cos αα=2.故选D. 2.已知sin θ+cos θ=43,θ∈(0,π4),则sin θ-cos θ的值为 . 解析:因为(sin θ+cos θ)2=sin 2θ+cos 2θ+2sin θ·cos θ =1+2sin θcos θ =169, 所以2sin θcos θ=79, 则(sin θ-cos θ)2=sin 2θ+cos 2θ-2sin θcos θ =1-79=29.又因为θ∈(0,π4),所以sin θ<cos θ, 即sin θ-cos θ<0,所以sin θ-cos θ.答案考点二 三角函数的诱导公式[例2] (1)已知cos α是方程3x 2-x-2=0的根,且α是第三象限角,则23π3πsin ()cos()tan (π)22ππcos()sin ()22ααααα-++-+-等于( )(A)916 (B)-916 (C)-54 (D)54(2)在△ABC 中,若sin(2πππ-B),求△ABC的三个内角.(1)解析:方程3x 2-x-2=0的根为x 1=1,x 2=-23, 由题知cos α=-23, 所以sin α=-5,tan α=5.所以原式=2cos sin tan sin cos ααααα--=tan 2α=54.故选D. (2)解:由已知得sin 2sin ,3cos 2cos A B A B ⎧=⎪⎨=⎪⎩①,②①2+②2得sin 2A+3cos 2A=2, 所以1-cos 2A+3cos 2 A=2, 所以2cos 2A=1, 即cos A=2或cos A=-2.当cos A=2时,cos B=3,又A,B 是三角形的内角,所以A=π4,B=π6, 所以C=π-(A+B)=712π.当cos A=-2时,cos B=-3,又A,B 是三角形的内角,所以A=34π,B=56π,不合题意. 综上可知,A=π4,B=π6,C=712π. 利用诱导公式化简三角函数的思路和要求(1)思路方法:①分析结构特点,选择恰当公式;②利用公式化成“单角”三角函数;③整理得最简形式.(2)化简要求:①化简过程是恒等变形;②结果要求项数尽可能少,次数尽可能低,结构尽可能简单,能求值的要求出值.(3)求角时,通常是先求出该角的某一个三角函数值,再结合其范围,确定该角的大小.1.已知cos(π6-θ)=a,则cos(5π6+θ)+sin(2π3-θ)的值是 . 解析:因为cos(5π6+θ)=-cos[π-(5π6+θ)]=-a,sin(2π3-θ)=sin[π2+(π6-θ)] =cos(π6-θ) =a,所以cos(5π6+θ)+sin(2π3-θ)=-a+a=0. 答案:02.在△ABC 中,求cos 22A B ++cos 22C 的值. 解:在△ABC 中,A+B=π-C,所以2A B +=π2-2C , 所以cos 2A B +=cos(π2-2C )=sin 2C , 所以cos 22A B ++cos 22C =sin 22C +cos 22C =1. 考点三 三角函数的求值 [例3] (1)已知cos(π6-α3,则cos(56π+α)-sin 2(α-π6)的值是( ) 23+23+23- 23-+212sin 40cos40cos401sin 50-︒︒︒--︒= .解析:(1)因为cos(56π+α)=cos[π-(π6-α)] =-cos(π6-α) 3而sin 2(α-π6)=1-cos 2(α-π6)=1-13=23, 所以原式=-3-23=-23+. 故选B. (2)原式=22sin 40cos 402sin 40cos40︒︒+︒-︒=sin 40cos 40sin 50sin 40︒︒-︒︒- =sin 40sin 50sin 50sin 40︒︒-︒︒- =sin 50sin 40sin 50sin 40︒︒︒-︒-=1.答案:(1)B (2)1(1)已知角求值问题,关键是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值求解.转化过程中注意口诀“奇变偶不变,符号看象限”的应用.(2)对给定的式子进行化简或求值时,要注意给定的角之间存在的特定关系,充分利用给定的关系结合诱导公式将角进行转化.特别要注意每一个角所在的象限,防止符号及三角函数名出错.1.若tan α=12,则sin 4α-cos 4α的值为 . 解析:因为tan α=12, 所以sin 4α-cos 4α=(sin 2α+cos 2α)·(sin 2α-cos 2α)=2222sin cos cos sin αααα-+=22tan 11tan αα-+=-35.答案:-352.(2018·绍兴一中适应性考试)已知sin α=12+cos α,且α∈(0,π2),则cos2πsin ()4αα-的值为 .解析:由sin α=12+cos α可得sin α-cos α=12, 即2sin(α-π4)=12,可得sin(α-π4)=2,又α∈(0,π2),则α-π4∈(-π4,π4), 可得cos(α-π4)=2π1sin ()4α--=14,则cos2πsin ()4αα-=πsin (2)2πsin ()4αα---=ππ2sin ()cos()44πsin ()4ααα---- =-2cos(α-π4) =-14.答案:-14考点四 易错辨析[例4] 已知sin αcos α=18,且5π4<α<3π2,则cos α-sin α= . 解析:因为5π4<α<3π2,所以cos α<0,sin α<0,且|cos α|<|sin α|,所以cos α-sin α>0.因为(cos α-sin α)2=1-2sin αcos α=34, 所以cos α-sin α=3. 答案:3本题常因不能断定cos α-sin α的符号而致误,所以在利用和积互换公式时,要特别注意对sin α±cos α,sin αcos α符号的关注,其中sin α-cos α的符号如图所示.sin α+cos α的符号如图所示.已知sin α=13,0<α<π,则tan α= ,sin 2α+cos 2α= . 解析:因为0<α<π,所以tan α=sin cos αα=22sin cos αα=22sin 1sin αα-2,又0<2α<π2, 所以sin 2α>0,cos 2α>0, 所以sin 2α+cos 2α2(sin +cos )22αα12sin cos 22αα+1sin α+ 23答案:2 23。
2022届高考一轮复习第3章三角函数解三角形第2节同角三角函数的基本关系及诱导公式
∴cos2 α＋12sin 2α＝coss2iαn＋2αs＋incαosc2αos α＝11＋＋ttaann2αα＝35.
[答案] A
(2)已知 tan α＝－43，求 2sin2α＋sin αcos α－3cos2α 的值． [解析] ∵sin2α＋cos2α＝1，cos α≠0， ∴原式＝2sin2α＋sisnin2αα＋cocsosα2－α 3cos2α＝2tant2aαn＋2αta＋n1α－3
(2)sin21°＋sin22°＋…＋sin289°＝________．
[解析] 因为 sin 1°＝cos 89°，所以 sin21°＋sin289°＝cos289°＋sin289°＝1，同理 sin22°＋sin288°＝1，…，sin244°＋sin246°＝1，而 sin245°＝12，故原式＝44＋12＝4412. [答案] 4412
(3)在平面直角坐标系 xOy 中，角 α 与角 β 均以 Ox 为始边，它们的终边关于 y 轴
对称，若 sin α＝13，则 sin β＝________．
[解析] α 与 β 的终边关于 y 轴对称，则 α＋β＝π＋2kπ，k∈Z.
∴β＝π－α＋2kπ，k∈Z.
∴sin β＝sin(π－α＋2kπ)＝sin α＝13.
(2)已知θ是第四象限角，且 sinθ＋π4＝35，则 tanθ－π4＝__________．
[解析] 因为 θ 是第四象限角， 且 sinθ＋π4＝35， 所以 θ＋π4为第一象限角， 所以 cosθ＋π4＝45，
所以 tanθ－π4＝csionsθθ－－π4π4 ＝－sicnosπ2＋π2＋θ－θ－π4 π4 ＝－csoinsθθ＋＋π4π4＝－43. [答案] －43
次幂 子化为完全平方式，根据二次根式的性质化简或求 出现根号或高次
(浙江专版)高考数学一轮复习 第3章 三角函数、解三角形 第2节 同角三角函数的基本关系与诱导公式教
第二节 同角三角函数的基本关系与诱导公式1．同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1； (2)商数关系：tan α＝sin αcos α.2．诱导公式组序一 二三四五六 角 2k π＋α(k ∈Z )π＋α －απ－απ2－απ2＋α 正弦 sin α－sinα－sinαsin α cosαcos_α余弦 cos α－cosαcos α －cos_α sinα －sin α正切 tan αtan α－tanα－tan_α口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变符号看象限记忆规律奇变偶不变，符号看象限1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若α，β为锐角，则sin 2α＋cos 2β＝1.( ) (2)若α∈R ，则tan α＝sin αcos α恒成立．( )(3)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．( )(4)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π2的奇数倍、偶数倍，变与不变指函数名称是否变化．( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√2．(教材改编)已知α是第二象限角，sin α＝513，则cos α等于( )A ．－513B ．－1213C.513D.1213B [∵sin α＝513，α是第二象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－1213.]3．(2017·某某质检(二))若tan α＝12，则sin 4α－cos 4α的值为( )A ．－15B ．－35C.15D.35B [sin 4α－cos 4α＝(sin 2α－cos 2α)(sin 2α＋cos 2α)＝sin 2α－cos 2αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－1tan 2α＋1＝－35，故选B.]4．sin 750°＝________.12 [sin 750°＝sin(750°－360°×2)＝sin 30°＝12.] 5．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则sin(π＋α)＝________.【导学号：51062098】－45 [因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin α＝1－cos 2α＝45，所以sin(π＋α)＝－sin α＝－45.]同角三角函数基本关系式的应用(1)已知sin αcos α＝18，且5π4＜α＜3π2，则cos α－sin α的值为( )A ．－32B.32C ．－34D.34(2)若tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝( )A.6425B.4825 C ．1D.1625(1)B (2)A [(1)∵5π4＜α＜3π2，∴cos α＜0，sin α＜0且cos α＞sin α， ∴cos α－sin α＞0.又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34，∴cos α－sin α＝32. (2)∵tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝cos 2α＋4sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝1＋4tan αtan 2α＋1＝1＋4×34⎝ ⎛⎭⎪⎫342＋1＝6425，故选A.] [规律方法] 1.利用sin 2α＋cos 2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sin αcos α＝tan α可以实现角α的弦切互化．2．应用公式时要注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．3．注意公式逆用及变形应用：1＝sin 2α＋cos 2α，sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α.[变式训练1] 设θ为第二象限角，若tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝12，则sin θ＋cos θ＝________. －105 [∵tan ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝12，∴1＋tan θ1－tan θ＝12，解得tan θ＝－13.∴(sin θ＋cos θ)2＝sin 2θ＋cos 2θ＋2sin θ·cos θsin 2θ＋cos 2θ ＝tan 2θ＋2tan θ＋1tan 2θ＋1＝19－23＋119＋1＝25. ∵θ为第二象限角，tan θ＝－13，∴2k π＋3π4＜θ＜2k π＋π，∴sin θ＋cos θ＜0，∴sin θ＋cos θ＝－105.]诱导公式的应用(1)已知A ＝sin k π＋αsin α＋cos k π＋αcos α(k ∈Z )，则A 的值构成的集合是( )A ．{1，－1,2，－2}B ．{－1,1}C ．{2，－2}D ．{1，－1,0,2，－2}(2)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝33，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝________.(1)C (2)－33 [(1)当k 为偶数时，A ＝sin αsin α＋cos αcos α＝2； k 为奇数时，A ＝－sin αsin α－cos αcos α＝－2.(2)tan ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π6＋α ＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－33.][规律方法] 1.利用诱导公式应注意已知角或函数名称与所求角或函数名称之间存在的关系，尤其是角之间的互余、互补关系，选择恰当的公式，向所求角和三角函数进行化归．2．诱导公式的应用原则：负化正、大化小、小化锐、锐求值．[变式训练2] 已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝33，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6的值为________. 【导学号：51062099】－2＋33 [∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－33，sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝sin 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝23，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝－33－23＝－2＋33.]同角关系式与诱导公式的综合应用(1)已知θ是第四象限角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝________. (2)(2017·某某质检)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π2，则sin3π－α＋cos α＋π5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－α＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π2－α的值为________．(1)－43 (2)335 [(1)由题意知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，θ是第四象限角，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＞0，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝45.tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－π2＝－1tan ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－4535＝－43.(2)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π2，∴－sin α＝－2cos α，则sin α＝2cos α， 代入sin 2α＋cos 2α＝1，得cos 2α＝15.sin3π－α＋cos α＋π5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫52π－α＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫72π－α＝sin 3α－cos α5sin α－3cos α＝8cos 3α－cos α7cos α＝87cos 2α－17＝335.][规律方法] 利用同角三角函数基本关系式和诱导公式化简三角函数的基本思路和化简要求：(1)基本思路：①分析结构特点，选择恰当公式；②利用公式化成单角三角函数；③整理得最简形式．(2)化简要求：①化简过程是恒等变形；②结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值．[变式训练3] (2016·某某模拟训练卷(三))已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝23，则sin α＝________，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2α＝________.－2319 [由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝23，得sin α＝－23；sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2α＝cos 2α＝1－2sin 2α＝19.][思想与方法]三角函数求值与化简的常用方法(1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝sin αcos α进行弦、切互化．(2)和积转换法：利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化． (3)巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ＝cos 2θ(1＋tan 2θ)＝tan π4等．(4)利用相关角的互补、互余等特殊关系可简化解题步骤． [易错与防X]1．利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐．应特别注意函数名称和符号的确定．2．在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号．课时分层训练(十六)同角三角函数的基本关系与诱导公式A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．若cos α＝13，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则tan α等于( )A ．－24B.24C ．－22D ．2 2C [∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，∴sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝－232，∴tan α＝sin αcos α＝－2 2.]2．已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|＜π2，则θ等于( )A ．－π6B ．－π3C.π6D.π3D [∵sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，∴－sin θ＝－3cos θ，∴tan θ＝ 3.∵|θ|＜π2，∴θ＝π3.]3.cos 350°－2sin 160°sin －190°＝( )A ．－ 3B ．－32C.32D. 3D [原式＝cos360°－10°－2sin 180°－20°－sin 180°＋10°＝cos 10°－2sin 30°－10°－－sin 10°＝cos 10°－2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°－32sin 10°sin 10°＝ 3.]4．(2017·某某镇海中学二诊)已知sin θ＋cos θ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜θ＜π4，则sin θ－cos θ的值为( )A.23B ．－23C.13 D ．－13B [∵sin θ＋cos θ＝43，∴1＋2sin θcos θ＝169，∴2sin θcos θ＝79.又0＜θ＜π4，故sin θ－cos θ＝－sin θ－cos θ2＝－1－2sin θcos θ＝－23，故选B.] 5．(2017·某某某某五校联盟高三一诊)已知倾斜角为θ的直线与直线x －3y ＋1＝0垂直，则23sin 2θ－cos 2θ＝( ) A.103 B ．－103C.1013D ．－1013C [直线x －3y ＋1＝0的斜率为13，因此与此直线垂直的直线的斜率k ＝－3，∴tan θ＝－3，∴23sin 2θ－cos 2θ＝2sin 2θ＋cos 2θ3sin 2θ－cos 2θ＝2tan 2θ＋13tan 2θ－1，把tan θ＝－3代入得，原式＝2×[－32＋1]3×－32－1＝1013.故选C.]二、填空题6．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝________. 【导学号：51062100】 13 [cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13.]7．已知α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝15，则tan α＝________.－43[由⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α＝15，sin 2α＋cos 2α＝1，消去cos α整理，得 25sin 2α－5sin α－12＝0，解得sin α＝45或sin α＝－35.因为α是三角形的内角， 所以sin α＝45.又由sin α＋cos α＝15，得cos α＝－35，所以tan α＝－43.]8．已知α为第二象限角，则cos α1＋tan 2α＋sin α·1＋1tan 2α＝________. 【导学号：51062101】0 [原式＝cos α1＋sin 2αcos 2α＋sin α1＋cos 2αsin 2α＝cos α1cos 2α＋sin α1sin 2α＝cos α⎝ ⎛⎭⎪⎫1－cos α＋sin α1sin α＝0.] 三、解答题9．求值：sin(－1 200°)·cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＋tan 945°. [解] 原式＝－sin 1 200°·cos 1 290°＋cos 1 020°·(－sin 1 050°)＋tan 945°4分＝－sin 120°·cos 210°＋cos 300°·(－sin 330°)＋tan 225°8分 ＝(－sin 60°)·(－cos 30°)＋cos 60°·sin 30°＋tan 45°12分 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋12×12＋1＝2.14分 10．已知sin(3π＋α)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α，求下列各式的值：(1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α； (2)sin 2α＋sin 2α.[解] 由已知得sin α＝2cos α.2分 (1)原式＝2cos α－4cos α5×2cos α＋2cos α＝－16.7分(2)原式＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝sin 2α＋sin 2αsin 2α＋14sin 2α＝85.14分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．设函数f (x )(x ∈R )满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ，当0≤x ＜π时，f (x )＝0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π6＝( )A.12B.32C ．0D ．－12A [由f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ，得f (x ＋2π)＝f (x ＋π)＋sin(x ＋π)＝f (x )＋sin x －sin x ＝f (x )， 所以f ⎝⎛⎭⎪⎫236π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116π＋2π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋56π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π＋sin 56π. 因为当0≤x ＜π时，f (x )＝0， 所以f ⎝⎛⎭⎪⎫236π＝0＋12＝12.] 2．(2016·某某高考冲刺卷(二))若θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且sin 2θ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，则sin 2θ＝________，tan θ＝________.－12 －2＋3 [由sin 2θ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，得sin 2θ＝22(sin θ＋cos θ)，两边平方得sin 22θ＝12(1＋sin 2θ)，解得sin 2θ＝－12或sin 2θ＝1.又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴2θ∈(π，2π)，则sin 2θ<0，故sin 2θ＝－12，则有sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝sin 2θ＝－12.显然3π4<θ＋π4<5π4，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－32，∴tan ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝33.word 11 / 11 ∴tan θ＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－π4＝33－11＋33＝－2＋ 3.]3．已知f (α)＝sin π－αcos 2π－αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋3π2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·sin －π－α. (1)化简 f (α)；(2)若α是第三象限角，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝15，求f (α)的值.【导学号：51062102】 [解] (1)f (α)＝sin α·cos α·ta n ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋3π2－2πtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·si n α＝sin α·cos α·⎣⎢⎡⎦⎥⎤－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·sin α＝－cos α.7分(2)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝－sin α＝15，∴sin α＝－15，10分又α是第三象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－265，故f (α)＝265.14分。
2015届高考数学总复习 基础知识名师讲义 第三章 第二节同角三角函数基本关系式及诱导公式 理
第二节 同角三角函数基本关系式及诱导公式)知识梳理一、同角三角函数的基本关系式 1．平方关系：________________. 2．商数关系：________________.答案：1.sin 2α＋cos 2α＝1 2.sin αcos α＝tan α二、诱导公式诱导公式一：sin(α＋2k π)＝______，cos(α＋2k π)＝________，tan(α＋2k π)＝________，其中k ∈Z .诱导公式二：sin(π＋α)＝________，cos(π＋α)＝____________，tan(π＋α)＝________.诱导公式三：sin(－α)＝______，cos(－α)＝______，tan(－α)＝______.诱导公式四：sin(π－α)＝________，cos(π－α)＝__________， tan(π－α)＝________.诱导公式五：sin(2π－α)＝________，cos(2π－α)＝________，tan(2π－α)＝________.诱导公式六：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝______，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝________. 诱导公式七：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝______，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝______.答案：sin α cos α tan α －sin α －cos α tan α －sin α cos α －tan α sin α －cos α－tan α －sin α cos α －tan α cos α sin α cos α －sin α以上公式可概括为十字口诀：“奇变偶不变，符号看象限”．基础自测1．sin 585°的值为( ) A.12 B ．－12 C.22 D ．－221．理解同角三角函数的基本关系式：sin 2x ＋cos 2x ＝1，sin xcos x＝tan x .2．能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.解析：sin 585°＝sin 225°＝－sin 45°＝－22. 答案：D2. 已知f (α)＝π－α⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋απ＋α，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝( )A.12B.22C.32 D ．－12解析：f (α)＝－sin α－sin αsin α²tan α＝cos α，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝cos π3＝12. 答案：A3．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝________.解析：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝－13. 答案：－134．若角α的终边在直线x －y ＝0上，则cos α1－sin 2α＋1－cos 2αsin α＝______.解析：依题意，角α的终边在第一或第三象限，当α的终边在第一象限时，在其终边上任取一点P 1(1,1)，则r ＝2，sin α＝12，cos α＝12，∴1－sin 2α＝1－cos 2α＝1－12＝12.∴cos α1－sin 2α＋1－cos 2αsin α＝1212＋1212＝2. 同理，当α的终边在第三象限时，在其终边上任取一点P 2(－1，－1)，则r ＝2，sinα＝－12，cos α＝－12.∴1－sin 2α＝1－cos 2α＝1－12＝12.∴cos α1－sin 2α＋1－cos 2αsin α＝－2. 综上所述，cos α1－sin 2α＋1－cos 2αsin α＝±2.答案：±21．记cos(－80°)＝k ，那么tan 100°＝( )A.1－k 2kB ．－1－k 2k C.k1－k2D ．－k1－k2解析：∵cos(－80°)＝cos 80°＝k ，sin 80°＝1－cos 280°＝1－k 2，∴tan 100°＝－tan 80°＝－1－k2k.故选B.答案：B2．已知α是第三象限角，sin α＝－13，则tan α＝________.解析：cos α＝－1－sin 2α＝－223，所以tan α＝sin αcos α＝24.答案：241．已知tan θ＝2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ－π－θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ－π－θ＝( )A ．2B ．－2C ．0 D.23解析：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ－cos π－θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ－π－θ＝cos θ＋cos θcos θ－sin θ＝2cos θcos θ－sin θ＝21－tan θ＝21－2＝－2. 答案：B2．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝13，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝______.答案：13。
同角三角函数的基本关系与诱导公式
同角三角函数的基本关系与诱导公式一、基础知识1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1； (2)商数关系：tan α＝sin αcos α.平方关系对任意角都成立，而商数关系中α≠k π＋π2(k ∈Z)．2．诱导公式诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限.“奇”“偶”指的是“k ·π2＋α(k ∈Z )”中的k 是奇数还是偶数.“变”与“不变”是指函数的名称的变化，若k 是奇数，则正、余弦互变；若k 为偶数，则函数名称不变.“符号看象限”指的是在“k ·π2＋α(k ∈Z )”中，将α看成锐角时，“k ·π2＋α(k ∈Z )”的终边所在的象限.二、常用结论同角三角函数的基本关系式的几种变形 (1)sin 2α＝1－cos 2α＝(1＋cos α)(1－cos α)； cos 2α＝1－sin 2α＝(1＋sin α)(1－sin α)； (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α. (2)sin α＝tan αcos α⎝⎛⎭⎫α≠π2＋k π，k ∈Z .考点一 三角函数的诱导公式[典例] (1)已知f (α)＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin ⎝⎛⎭⎫3π2－αcos (－π－α)tan (π－α)，则f ⎝⎛⎭⎫－25π3的值为________． (2)已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝23，则sin ⎝⎛⎭⎫α－2π3＝________. [解析] (1)因为f (α)＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin ⎝⎛⎭⎫3π2－αcos (－π－α)tan (π－α) ＝－sin α(－cos α)(－cos α)⎝⎛⎭⎫－sin αcos α＝cos α， 所以f ⎝⎛⎭⎫－25π3＝cos ⎝⎛⎭⎫－25π3＝cos π3＝12. (2)sin ⎝⎛⎭⎫α－2π3＝－sin ⎝⎛⎭⎫2π3－α＝－sin ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π3＋α＝－sin ⎝⎛⎭⎫π3＋α＝－sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π6－α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝－23. [答案] (1)12 (2)－23[题组训练]1.已知tan α＝12，且α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π2＝________. 解析：法一：cos ⎝⎛⎭⎫α－π2＝sin α，由α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2知α为第三象限角， 联立⎩⎪⎨⎪⎧tan α＝sin αcos α＝12，sin 2α＋cos 2α＝1，解得5sin 2α＝1，故sin α＝－55.法二：cos ⎝⎛⎭⎫α－π2＝sin α，由α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2知α为第三象限角，由tan α＝12，可知点(－2，－1)为α终边上一点，由任意角的三角函数公式可得sin α＝－55. 答案：－552. sin(－1 200°)·cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＋tan 945°＝________.解析：原式＝sin(－3×360°－120°)cos(3×360°＋180°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°) sin(－3×360°＋30°)＋tan(2×360°＋180°＋45°)＝sin 120°cos 30°＋cos 60°sin 30°＋tan 45°＝34＋14＋1＝2. 答案：23.已知tan ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33，则tan ⎝⎛⎭⎫5π6＋α＝________. 解析：tan ⎝⎛⎭⎫5π6＋α＝tan ⎝⎛⎭⎫π－π6＋α＝tan ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6－α＝－tan ⎝⎛⎭⎫π6－α＝－33. 答案：－33考点二 同角三角函数的基本关系及应用[典例] (1)若tan α＝2，则sin α＋cos αsin α－cos α＋cos 2α＝( )A.165 B ．－165C.85D ．－85(2)已知sin αcos α＝38，且π4<α<π2，则cos α－sin α的值为( )A.12 B ．±12C ．－14D ．－12[解析] (1)sin α＋cos αsin α－cos α＋cos 2α＝sin α＋cos αsin α－cos α＋cos 2αsin 2α＋cos 2α ＝tan α＋1tan α－1＋1tan 2α＋1，将tan α＝2代入上式，则原式＝165.(2)因为sin αcos α＝38，所以(cos α－sin α)2＝cos 2α－2sin αcos α＋sin 2α＝1－2sin αcos α＝1－2×38＝14，因为π4<α<π2，所以cos α<sin α，即cos α－sin α<0，所以cos α－sin α＝－12.[答案] (1)A (2)D[题组训练]1．(2018·甘肃诊断)已知tan φ＝43，且角φ的终边落在第三象限，则cos φ＝( )A.45 B ．－45C.35D ．－35解析：选D 因为角φ的终边落在第三象限，所以cos φ<0，因为tan φ＝43，所以⎩⎪⎨⎪⎧sin 2φ＋cos 2φ＝1，sin φcos φ＝43，cos φ<0，解得cos φ＝－35.2．已知tan θ＝3，则sin 2θ＋sin θcos θ＝________. 解析：sin 2θ＋sin θcos θ＝sin 2θ＋sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋tan θtan 2θ＋1＝32＋332＋1＝65.答案：653．已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则sin 2α－sin αcos α＝________.解析：由已知可得sin α＋3cos α＝5(3cos α－sin α)， 即sin α＝2cos α，所以tan α＝sin αcos α＝2， 从而sin 2α－sin αcos α＝sin 2α－sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－tan αtan 2α＋1＝22－222＋1＝25.答案：254．已知－π<α<0，sin(π＋α)－cos α＝－15，则cos α－sin α的值为________．解析：由已知，得sin α＋cos α＝15，sin 2α＋2sin αcos α＋cos 2α＝125， 整理得2sin αcos α＝－2425.因为(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝4925，且－π<α<0，所以sin α<0，cos α>0， 所以cos α－sin α>0，故cos α－sin α＝75.答案：75[课时跟踪检测]A 级1．已知x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，cos x ＝45，则tan x 的值为( ) A.34 B ．－34C.43D ．－43解析：选B 因为x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，所以sin x ＝－1－cos 2x ＝－35，所以tan x ＝sin x cos x ＝－34. 2．(2019·淮南十校联考)已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6的值为( ) A ．－13B.13C.223D ．－223解析：选A ∵sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＝13，∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝cos ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫α－π3＝－sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＝－13. 3．计算：sin 11π6＋cos 10π3的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．0D.12－32解析：选A 原式＝sin ⎝⎛⎭⎫2π－π6＋cos ⎝⎛⎭⎫3π＋π3 ＝－sin π6－cos π3＝－12－12＝－1.4．若sin (π－θ)＋cos (θ－2π)sin θ＋cos (π＋θ)＝12，则tan θ的值为( )A ．1B ．－1C ．3D ．－3解析：选D 因为sin (π－θ)＋cos (θ－2π)sin θ＋cos (π＋θ)＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝12，所以2(sin θ＋cos θ)＝sin θ－cos θ， 所以sin θ＝－3cos θ，所以tan θ＝－3.5．(2018·大庆四地六校调研)若α是三角形的一个内角，且sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＋cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α＝15，则tan α的值为( )A ．－43B ．－34C ．－43或－34D ．不存在解析：选A 由sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＋cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α＝15， 得cos α＋sin α＝15，∴2sin αcos α＝－2425<0.∵α∈(0，π)，∴sin α>0，cos α<0， ∴sin α－cos α＝1－2sin αcos α＝75，∴sin α＝45，cos α＝－35，∴tan α＝－43.6．在△ABC 中，3sin ⎝⎛⎭⎫π2－A ＝3sin(π－A )，且cos A ＝－3cos(π－B )，则△ABC 为( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．等边三角形解析：选B 将3sin ⎝⎛⎭⎫π2－A ＝3sin(π－A )化为3cos A ＝3sin A ，则tan A ＝33，则A ＝π6，将cos A ＝－3cos(π－B )化为 cos π6＝3cos B ，则cos B ＝12，则B ＝π3，故△ABC 为直角三角形．7．化简：1－cos 22θcos 2θtan 2θ＝________.解析：1－cos 22θcos 2θtan 2θ＝sin 22θcos 2θ·sin 2θcos 2θ＝sin 2θ.答案：sin 2θ8．化简：cos ⎝⎛⎭⎫α－π2sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋α·sin(α－π)·cos(2π－α)＝________. 解析：原式＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－αsin ⎝⎛⎭⎫2π＋π2＋α·(－sin α)·cos α＝sin αsin ⎝⎛⎭⎫π2＋α·(－sin α)·cos α ＝sin αcos α·(－sin α)·cos α＝－sin 2α. 答案：－sin 2α9．sin 4π3·cos 5π6·tan ⎝⎛⎭⎫－4π3的值为________． 解析：原式＝sin ⎝⎛⎭⎫π＋π3·cos ⎝⎛⎭⎫π－π6·tan ⎝⎛⎭⎫－π－π3 ＝⎝⎛⎭⎫－sin π3·⎝⎛⎭⎫－cos π6·⎝⎛⎭⎫－tan π3 ＝⎝⎛⎭⎫－32×⎝⎛⎭⎫－32×(－3)＝－334.答案：－33410．(2019·武昌调研)若tan α＝cos α，则1sin α＋cos 4α＝________.解析：tan α＝cos α⇒sin αcos α＝cos α⇒sin α＝cos 2α，故1sin α＋cos 4α＝sin 2α＋cos 2αsin α＋cos 4α＝sin α＋cos 2αsin α＋cos 4α＝sin α＋sin αsin α＋sin 2α＝sin 2α＋sin α＋1＝sin 2α＋cos 2α＋1＝1＋1＝2.答案：211．已知α为第三象限角，f (α)＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π2·cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α·tan (π－α)tan (－α－π)·sin (－α－π).(1)化简f (α)；(2)若cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝15，求f (α)的值． 解：(1)f (α)＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π2·cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α·tan (π－α)tan (－α－π)·sin (－α－π)＝(－cos α)·sin α·(－tan α)(－tan α)·sin α＝－cos α.(2)∵cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝15， ∴－sin α＝15，从而sin α＝－15.又∵α为第三象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－265，∴f (α)＝－cos α＝265.12．已知sin α＝255，求tan(α＋π)＋sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫5π2－α的值．解：因为sin α＝255>0，所以α为第一或第二象限角．tan(α＋π)＋sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫5π2－α ＝tan α＋cos αsin α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α.①当α为第一象限角时，cos α＝1－sin 2α＝55， 原式＝1sin αcos α＝52.②当α为第二象限角时，cos α＝－1－sin 2α＝－55， 原式＝1sin αcos α＝－52.综合①②知，原式＝52或－52.B 级1．已知sin α＋cos α＝12，α∈(0，π)，则1－tan α1＋tan α＝( )A ．－7 B.7 C.3D ．－3解析：选A 因为sin α＋cos α＝12，所以(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝14，所以sin αcos α＝－38，又因为α∈(0，π)，所以sin α>0，cos α<0，所以cos α－sin α<0，因为(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×⎝⎛⎭⎫－38＝74，所以cos α－sin α＝－72， 所以1－tan α1＋tan α＝1－sin αcos α1＋sin αcos α＝cos α－sin αcos α＋sin α＝－7212＝－7.2．已知θ是第一象限角，若sin θ－2cos θ＝－25，则sin θ＋cos θ＝________.解析：∵sin θ－2cos θ＝－25，∴sin θ＝2cos θ－25，∴⎝⎛⎭⎫2cos θ－252＋cos 2θ＝1， ∴5cos 2θ－85cos θ－2125＝0，即⎝⎛⎭⎫cos θ－35⎝⎛⎭⎫5cos θ＋75＝0. 又∵θ为第一象限角，∴cos θ＝35，∴sin θ＝45，∴sin θ＋cos θ＝75.答案：753．已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋m ＝0的两根分别是sin θ和cos θ，θ∈(0,2π)，求： (1)sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－tan θ的值； (2)m 的值；(3)方程的两根及此时θ的值． 解：(1)原式＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－sin θcos θ＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos 2θcos θ－sin θ ＝sin 2θ－cos 2θsin θ－cos θ＝sin θ＋cos θ. 由条件知sin θ＋cos θ＝3＋12， 故sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－tan θ＝3＋12.(2)由已知，得sin θ＋cos θ＝3＋12，sin θcos θ＝m2，因为1＋2sin θcos θ＝(sin θ＋cos θ)2， 所以1＋2×m 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋122，解得m ＝32. (3)由⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝3＋12，sin θcos θ＝34，得⎩⎨⎧sin θ＝32，cos θ＝12或⎩⎨⎧sin θ＝12，cos θ＝32.又θ∈(0,2π)，故θ＝π3或θ＝π6.故当sin θ＝32，cos θ＝12时，θ＝π3； 当sin θ＝12，cos θ＝32时，θ＝π6.。
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sin[2n＋1π－α]cos[2n＋1－1π－α] 原式＝ sin[2n＋1＋1π＋α]cos[2n＋1π＋α] sinπ－αcosα sinαcosα ＝ ＝ ＝－1. sinαcosπ＋α sinα－cosα 综上，原式＝－1.
1 已知 cos(π＋α)＝－ ，且 α 是第四象限角，计算： 2 (1)sin(2π－α)； sin[α＋2n＋1π]＋sin[α－2n＋1π] (2) (n∈Z)． sinα＋2nπ· cosα－2nπ
4 解析：∵sinθ＝－ <0，tanθ>0，∴θ 的终边在第三 5 象限， ∴cosθ＝－ 1－sin2θ ＝－ 42 3 1－－ ＝－ . 5 5
3 答案：－ 5
1 4．已知 α 是三角形的内角，且 sinα＋cosα＝ . 5 (1)求 tanα 的值； 1 (2)把 2 2 用 tanα 表示出来，并求其值． cos α－sin α
3．应用sin2α＋cos2α＝1求sinα或cosα时，特别注意角α 的三角函数值的符号，符号规律：“一全正，二正弦， 三正切，四余弦”． 4．注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α ＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.
[题组自测] π 1．已知 sin(π＋θ)＝－ 3cos(2π－θ)，|θ|< ，则 θ 等于( 2 π A．－ 6 π C. 6 π B．－ 3 π D. 3 )
3．在△ABC 中，若 sin(2π－A)＝－ 2sin(π－B)， 3cosA ＝－ 2cos(π－B)，求△ABC 的三个内角．
sinA＝ 2sinB 解：由已知得 3cosA＝ 2cosB
2 2 2
① ②
2 ① ＋② 得 2cos A＝1，即 cosA＝± . 2 2 3 (1)当 cosA＝ 时， cosB＝ ， A、 是三角形的内角， 又 B 2 2 π π 7 ∴A＝ ，B＝ ，∴C＝π－(A＋B)＝ π. 4 6 12
[归纳领悟]
利用诱导公式化简求值时的原则为： 1．“负化正”，运用公式三将任意负角的三角函数化为 任意正角的三角函数． 2．“大化小”，利用公式一将大于360°的角的三角函
数化为0°到360°的三角函数，利用公式二将大于
180°的角的三角函数化为0°到180°的三角函数．
3．“小化锐”，利用公式六将大于90°的角化为0°到
[题组自测] 12 1．α 是第四象限的角，cosα＝ ，则 sinα 等于 13 5 A. 13 5 C. 12 5 B．－ 13 5 D．－ 12 ( )
答案：B
1 2．已知 sinα－cosα＝ ，则 sinα· cosα＝________. 2
3 答案： 8
4 3．若 sinθ＝－ ，tanθ>0，则 cosθ＝________. 5
[归纳领悟] 1． 利用 sin2α＋cos2α＝1 可以实现角 α 的正弦、 余弦的互化， sinα 利用 ＝tanα 可以实现角 α 的弦切互化． cosα 2. 应用公式时注意方程思想的应用：对于 sinα＋cosα， sinαcosα，sinα－cosα 这三个式子，利用(sinα± cosα)2＝ 1± 2sinαcosα，可以知一求二．
[究 疑 点]
有人说sin(kπ－α)＝sin(π－α)＝sinα(k∈Z)，你认为正确吗？
提示：不正确．当k＝2n(n∈Z)时，sin(kπ－α)＝sin(2nπ －α)＝sin(－α)＝－sinα； 当k＝2n＋1(n∈Z)时，sin(kπ－α)＝sin[(2n＋1)·π－α]＝ sin(2nπ＋π－α)＝sin(π－α)＝sinα.
2 3 (2)当 cosA＝－ 时，cosB＝－ . 2 2 又 A、B 是三角形的内角， 3 5 ∴A＝ π，B＝ π，不合题意． 4 6 π π 7 综上知，A＝ ，B＝ ，C＝ π. 4 6 12
[归纳领悟] 1．诱导公式在三角形中经常应用， 常用的变形结论有：A＋B＝π－C； 2A＋2B＋2C＝2π； A B C π ＋ ＋ ＝ . 2 2 2 2 2．求角时，一般先求出该角的某一三角函数值，再确定该 角的范围，anα＝ (α≠kπ＋ ，k∈Z) cosα 2
．
二、六组诱导公式
组数 角 一 2kπ＋ α(k∈Z) 二 三 四 五 π －α 2 六 π ＋α 2
π＋α －α π－α
组数 正弦 余弦 正切
一
二
三
四
五
六
sinα
cosα tanα
－sinα －sinα sinα
cosα
90°的角的三角函数．
4．“锐求值”，得到0°到90°的三角函数后，若是特 殊角直接求得，若是非特殊角可由计算器求得．
[题组自测] 1 1．△ABC 中，cosA＝ ，则 sin(B＋C)＝________. 3
解析：∵△ABC 中，A＋B＋C＝π， ∴ sin(B ＋ C) ＝ sin(π － A) ＝ sinA ＝ 1－cos2A ＝ 2 2 . 3
答案：D
π sin ＋θ－cosπ－θ 2 2．已知 tanθ＝2，则 ＝ π sin －θ－sinπ－θ 2 A．2 C．0 B．－2 2 D. 3
(
)
π sin ＋θ－cosπ－θ cosθ＋cosθ 2 解析： ＝ π cosθ－sinθ sin －θ－sinπ－θ 2 2cosθ 2 2 ＝ ＝ ＝ ＝－2. cosθ－sinθ 1－tanθ 1－2
1 sinα＋cosα＝ 5 解： (1)法一： 联立方程 sin2α＋cos2α＝1 1 由①得 cosα＝ －sinα，将其代入②， 5 整理得 25sin2α－5sinα－12＝0. 4 sinα＝5 ∵α 是三角形内角， ∴ cosα＝－3 5
① ②
4 ， ∴tanα＝－ . 3
1 1 1 解：∵cos(π＋α)＝－ ，∴－cosα＝－ ，cosα＝ . 2 2 2 3 又∵α 是第四象限角，∴sinα＝－ 1－cos α＝－ . 2
2
3 (1)sin(2π－α)＝sin[2π＋(－α)]＝sin(－α)＝－sinα＝ ； 2 sin[α＋2n＋1π]＋sin[α－2n＋1π] (2) sinα＋2nπ· cosα－2nπ sin2nπ＋π＋α＋sin－2nπ－π＋α ＝ sin2nπ＋α· cos－2nπ＋α sinπ＋α＋sin－π＋α ＝ sinα· cosα －sinα－sinπ－α －2sinα ＝ ＝ sinα· cosα sinαcosα 2 ＝－ ＝－4. cosα
π 预测 2012 年高考仍将以含 π±α， ± 的诱导公式及同角 α 2 三角函数的平方关系和商数关系为主要考点，重点考查运算 能力与恒等变形能力．
二、考题诊断 2 1． (2010· 全国卷Ⅱ)已知 sinα ＝ ， cos(π－2α)＝( 则 3 5 A．－ 3 1 C. 9 1 B．－ 9 5 D. 3 )
同角三角函数基本关系与诱导公式
1. 理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1， sinx ＝tanx. cosx π 2．能利用单位圆中的三角函数线推导出 ± α，π±α 的正 2 弦、余弦、正切的诱导公式，并能灵活运用．
[理 要 点]
一、同角三角函数的基本关系式
sin2α＋cos2α＝1(α∈R) 1．平方关系： ．
2 2 答案： 3
1 2．已知在△ABC 中，sinA＋cosA＝ ， 5 (1)求 sinA· cosA； (2)判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形．
1 解：(1)∵sinA＋cosA＝ ， 5 1 12 ∴两边平方得 1＋2sinA· cosA＝ ，∴sinA· cosA＝－ . 25 25 12 (2)由(1)知 sinA· cosA＝－ ＜0，且 0＜A＜π， 25 可知 cosA＜0，∴A 为钝角，∴△ABC 是钝角三角形．
1 1 法二：∵sinα＋cosα＝ ，∴(sinα＋cosα)2＝( )2， 5 5 1 即 1＋2sinαcosα＝ ， 25 24 ∴2sinαcosα＝－ ， 25 24 49 ∴(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝1＋ ＝ . 25 25 12 ∵sinαcosα＝－ <0，且 0<α<π，∴sinα>0，cosα<0， 25 ∴sinα－cosα>0，
答案：B
3．求值：sin(－1200°)· cos1290°＋cos(－1020°)· sin(－ 1050°)＋tan945°.
解：原式＝－sin1200°cos1290° · ＋cos1020°(－sin1050° · ) ＋tan945° ＝－sin120°cos210° · ＋cos300°(－sin330° · )＋tan225° ＝(－sin60° (－cos30° )· )＋cos60°sin30° · ＋tan45° 3 3 1 1 ＝ × ＋ × ＋1＝2. 2 2 2 2
cosα
－cosα cosα －cosα sinα －sinα tanα －tanα －tanα
kπ 对于角“ ± α”(k∈Z)的三角函数记忆口诀“奇变偶 2 kπ 不变，符号看象限”，意思是说 ± α，k∈Z 的三角函数值 2 等于“当 k 为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当 k 为偶 数时，函数名不变，然后 α 的三角函数值前面加上当 α 为锐 角时，原函数值的符号．”
4．化简 cosπ＋θ cosθ－2π (1) ＋ ； 3π 3π cosθ[cosπ－θ－1] sinθ－ cosθ－π－sin ＋θ 2 2 sinkπ－αcos[k－1π－α] (2) ，k∈Z. sin[k＋1π＋α]coskπ＋α
－cosθ cosθ 解 ： (1) 原 式 ＝ ＋ ＝ cosθ－cosθ－1 cosθ－cosθ＋cosθ 1 1 2 ＋ ＝ 2 . 1＋cosθ 1－cosθ sin θ (2)当 k 为偶数时，记 k＝2n(n∈Z)， sin2nπ－αcos[2n－1π－α] 原式＝ sin[2n＋1π＋α]cos2nπ＋α sin－αcos－π－α －sinα－cosα ＝ ＝ ＝－1； sinπ＋αcosα －sinαcosα 当 k 为奇数时，记 k＝2n＋1(n∈Z)，