数学归纳法说课课件
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数学归纳法讲课(整理好)ppt
原理分析
可以看出 , 使所有骨牌都倒下的条 件有两个:
1第一块骨牌倒下 ;
2 任意相邻的两块骨牌 , 前一块倒下一定导致后 一块 倒下.其中, 条件 2事实上就是一个递推关 系:当第k 块
倒下时, 相邻的第k 1块也倒下 .
只要保证1, 2成立, 那么所有的骨牌一定可 以全部 倒下.
证明：假设当n=k时等式成立，即 2+4+6+· · · +2k=k2+k+1, 那么,当n=k+1时，有 2+4+6+· · · +2k+2(k+1) =k2+k+1+2(k+1) =(k+1)2+(k+1)+1, 这就是说，当n=k+1时等式也成立. 所以，对一切n∈N+等式都成立.
案例二 (未证递推步) 设n∈N+，求证：2+4+6+· · · +2n=n2+n 证明: (1)当n=1时,左边=2,右边=12+1=2,等式成立. · · +2k=k2+k, (2)假设当n=k时等式成立,即 2+4+6+· 那么,当n=k+1时，有 (k+1)[2+2(k+1)] 2+4+6+· · · +2k+2(k+1) = 2 2 (k 1)(k 2) k 3k 2 =(k+1)2+(k+1) 这就是说，当n=k+1时等式也成立. 所以，对一切n∈N+等式都成立. 评注：证明递推步时一定要用假设的结论，否则 递推关系不能成立.
选修4-5《数学归纳法》课件
05
练习与思考
练习题一
总结词
理解数学归纳法的原理
详细描述
通过解答练习题一，学生可以加深对数学归纳法原理的理解，掌握归纳法的应用步骤，并能够运用归 纳法证明一些简单的数学问题。
练习题二
总结词
应用数学归纳法证明
详细描述
练习题二要求学生运用数学归纳法证 明一个复杂的数学问题。通过解答这 道题，学生可以巩固数学归纳法的应 用技巧，提高数学证明能力。
利用数学归纳法证明不等式时，同样需要验证基础步骤和递推关系，同时需要 注意不等式的性质和变换技巧。
详细描述
在证明不等式时，首先验证n=1时不等式是否成立。然后假设n=k时不等式成 立，再证明n=k+1时不等式也成立。在证明递推关系的过程中，需要注意不等 式的性质和变换技巧，如放缩法、比较法等。
解决数列问题
总结词
数学归纳法在解决数列问题时，主要应用于证明数列的性质和求数列的通项公式。
详细描述
利用数学归纳法可以证明数列的性质，如单调性、有界性等。在求数列的通项公式时，也可以利用数学归纳法来 推导。首先验证n=1时公式是否成立，然后假设n=k时公式成立，再推导n=k+1时公式的形式，最终得到数列的 通项公式。
举例：在证明一个组合数的性质时， 需要验证从第k项到第k+1项的递推关 系是否成立，以确保整个性质的正确 性。
避免循环论证
循环论证是一种常见的逻辑错误，在数学归纳法中要特别注意避免。在证明过程中，不要将待证明的结论或假设作为递推基 础或递推关系的依据，否则会导致逻辑上的循环。
举例：在证明一个不等式时，不能将待证明的不等式作为递推基础或递推关系的依据，而应该从已知的事实或公理出发进行 推导。
《数学归纳法》ppt课件
第5课时 数学归纳法
导.学. .固 思
1.使学生了解归纳法, 理解数学归纳法的原理与实质. 2.掌握数学归纳法证题的两个步骤;会用“数学归纳法 ”证明简单的与自然数有关的命题.
导.学. .固 思
多米诺骨牌游戏,首先要用力推第一块骨牌,在任何两块 骨牌之间有恰当的距离时,第一块倒下,就会使第二块倒下,第 二块倒下就会导致第三块倒下,……以致很多都会倒下!如果我 们在骨牌间抽出几块,使有两块之间存在一个较大的缺口,推 倒了第一块骨牌,后面的骨牌就不会都倒下了.如果第一块骨 牌我们不使它倒下,后面的骨牌也就不会倒下的.
导.学. .固 思
【解析】其逆否命题“若当n=k+1时该命题不成立,则当 n=k时也不成立”为真,故n=5时不成立可知n=4时不成立.
3
用数学归纳法证明不等式
������
1+
+1 ������
1 +…+
+2
������
1 +������
>13
24
的过程中1,由
n=k 推导 n=k+1 时,不等式的左边增加的式子是 (2������ + 1)(2������ + 2.)
A.1
B.1+2
C.1+2+3
D.1+2+3+4
【解析】n=1时,n+3=4.
2 某个命题与自然数n有关,若n=k(k∈N+)时命题成立,那么 可推得当n=k+1时该命题也成立,现已知n=5时,该命题不 成立,那么可以推得C( ). A.n=6时该命题不成立 B.n=6时该命题成立 C.n=4时该命题不成立 D.n=4时该命题成立
导.学. .固 思
1.使学生了解归纳法, 理解数学归纳法的原理与实质. 2.掌握数学归纳法证题的两个步骤;会用“数学归纳法 ”证明简单的与自然数有关的命题.
导.学. .固 思
多米诺骨牌游戏,首先要用力推第一块骨牌,在任何两块 骨牌之间有恰当的距离时,第一块倒下,就会使第二块倒下,第 二块倒下就会导致第三块倒下,……以致很多都会倒下!如果我 们在骨牌间抽出几块,使有两块之间存在一个较大的缺口,推 倒了第一块骨牌,后面的骨牌就不会都倒下了.如果第一块骨 牌我们不使它倒下,后面的骨牌也就不会倒下的.
导.学. .固 思
【解析】其逆否命题“若当n=k+1时该命题不成立,则当 n=k时也不成立”为真,故n=5时不成立可知n=4时不成立.
3
用数学归纳法证明不等式
������
1+
+1 ������
1 +…+
+2
������
1 +������
>13
24
的过程中1,由
n=k 推导 n=k+1 时,不等式的左边增加的式子是 (2������ + 1)(2������ + 2.)
A.1
B.1+2
C.1+2+3
D.1+2+3+4
【解析】n=1时,n+3=4.
2 某个命题与自然数n有关,若n=k(k∈N+)时命题成立,那么 可推得当n=k+1时该命题也成立,现已知n=5时,该命题不 成立,那么可以推得C( ). A.n=6时该命题不成立 B.n=6时该命题成立 C.n=4时该命题不成立 D.n=4时该命题成立
数学归纳法完整PPT课件
n=k+1时应增加的式子； 3、第二步中证明n=k+1命题成立是全局的主体，主要注意两个
“凑”：一是“凑”n=k时的形式（这样才好利用归纳假设），二 是“凑”目标式。
.
11
课后作业
1、阅读作业：通读教材 2、书面作业：习题2.3A组第1，2题 3、弹性作业：简析我国古代烽火传递军情的
合理性 (可以上网查阅)
问题 2：数列{an}的通项公式为an＝(n2-5n+5)2,计算得 a1＝1,a2＝1, a3 ＝1, 于是猜出数列{an}的通项公式为：an＝1。
问题3：三角形的内角和为180°，四边形的内角和为2•180°，五边形的内 角和为3•180°，于是有：凸n边形的内角和为(n-2) • 180°。
问题4：这是一盒白色粉笔，怎么证明他们是白的？一一检查 。
归纳基础；第二步是归纳假设，是推理的依据，是判断命题的正确性能
否由特殊推广到一般，它反映了无限递推关系，其中 “假设n=k时成立”
称为归纳假设(注意是“假设”，而不是确认命题成立)。如果没有第一步，
第二步就没有了意义；如果没有第二步，就成了不完全归纳，结论就没 有可靠性；第三步是总体结论，也不可少。
.
12
.
13
则 当n=k+1时，ak+1 = ak + d
= =
a
a
1 1
+(k-1)d+d +[(k+1)-1]d凑结论
∴当n=k+1时，结论也成立。
由(1)和(2)知,等式对于任何n∈ N *都成立。
.
7
注意
由以上可知，用数学归纳法需注意：
1、三个步骤却一不可:第一步是是奠基步骤，是命题论证的基础，称之为
“凑”：一是“凑”n=k时的形式（这样才好利用归纳假设），二 是“凑”目标式。
.
11
课后作业
1、阅读作业：通读教材 2、书面作业：习题2.3A组第1，2题 3、弹性作业：简析我国古代烽火传递军情的
合理性 (可以上网查阅)
问题 2：数列{an}的通项公式为an＝(n2-5n+5)2,计算得 a1＝1,a2＝1, a3 ＝1, 于是猜出数列{an}的通项公式为：an＝1。
问题3：三角形的内角和为180°，四边形的内角和为2•180°，五边形的内 角和为3•180°，于是有：凸n边形的内角和为(n-2) • 180°。
问题4：这是一盒白色粉笔，怎么证明他们是白的？一一检查 。
归纳基础；第二步是归纳假设，是推理的依据，是判断命题的正确性能
否由特殊推广到一般，它反映了无限递推关系，其中 “假设n=k时成立”
称为归纳假设(注意是“假设”，而不是确认命题成立)。如果没有第一步，
第二步就没有了意义；如果没有第二步，就成了不完全归纳，结论就没 有可靠性；第三步是总体结论，也不可少。
.
12
.
13
则 当n=k+1时，ak+1 = ak + d
= =
a
a
1 1
+(k-1)d+d +[(k+1)-1]d凑结论
∴当n=k+1时，结论也成立。
由(1)和(2)知,等式对于任何n∈ N *都成立。
.
7
注意
由以上可知，用数学归纳法需注意：
1、三个步骤却一不可:第一步是是奠基步骤，是命题论证的基础，称之为
4.4 数学归纳法课件ppt
,…的前 n 项和为 Sn,计算 S1,S2,S3,S4,
1×4 4×7 7×10
(3-2)(3+1)
根据计算结果,猜想 Sn 的表达式,并用数学归纳法进行证明.
解
1
S1=1×4
1
S2=
4
2
S3=
7
=1;ຫໍສະໝຸດ 4=2;
7
+
1
4×7
+
1
7×10
3
S4=10
+
=
1
10×13
3
;
10
=
4
.
13
可以看出,上面表示四个结果的分数中,分子与项数 n 一致,分母可用项数 n
(+1)
所以
()
=
(2+1)(2+2)
=2(2k+1).
+1
(2)证明 ①当 n=1
12
时,
1×3
=
1×2
成立.
2×3
②假设当 n=k(k∈N*)时等式成立,
12
即有1×3
+
22
2
+…+(2-1)(2+1)
3×5
则当 n=k+1
12
时,
1×3
+
=
(+1)
,
2(2+1)
22
取值是否有关,由n=k变化到n=k+1时等式两边会增加(或减少)多少项.(2)
利用归纳假设,将n=k时的式子经过恒等变形转化到n=k+1时的式子中得
到要证的结论.
变式训练 1
1
求证:12
1×4 4×7 7×10
(3-2)(3+1)
根据计算结果,猜想 Sn 的表达式,并用数学归纳法进行证明.
解
1
S1=1×4
1
S2=
4
2
S3=
7
=1;ຫໍສະໝຸດ 4=2;
7
+
1
4×7
+
1
7×10
3
S4=10
+
=
1
10×13
3
;
10
=
4
.
13
可以看出,上面表示四个结果的分数中,分子与项数 n 一致,分母可用项数 n
(+1)
所以
()
=
(2+1)(2+2)
=2(2k+1).
+1
(2)证明 ①当 n=1
12
时,
1×3
=
1×2
成立.
2×3
②假设当 n=k(k∈N*)时等式成立,
12
即有1×3
+
22
2
+…+(2-1)(2+1)
3×5
则当 n=k+1
12
时,
1×3
+
=
(+1)
,
2(2+1)
22
取值是否有关,由n=k变化到n=k+1时等式两边会增加(或减少)多少项.(2)
利用归纳假设,将n=k时的式子经过恒等变形转化到n=k+1时的式子中得
到要证的结论.
变式训练 1
1
求证:12
《数学归纳法》课件PPT
探究？
归纳奠基必不可少
1. 判断下列证明方法对不对？
假设n=k时，等式2+4+6+…+2n = n2+n+1成立，
就是 2+4+6+…+2k = k2+k+1. 那么n=k+1时，
2+4+6+…+2k+2(k+1)=k2+k+1+2(k+1)
等式也成立.
=(k+1)2+(k+1)+1
故，等式 2+4+6+…+2n=n2+n+1对任意的 n N * 都成立.
(1)在第一步中的初始值n0不一定从1取起，证明时应 根据具体情况而定.
(2)在证明递推步骤时，必须使用归纳假设. 分析“n=k+1时”命题是什么，并找出与“n=k” 时命题形式的差别, 弄清左端应增加的项.
(3)两个步骤、一个结论缺一不可，否则结论不能成立.
递推基础不可少， 归纳假设要用到， 结论写明莫忘掉.
12 23
k(k 1) k 1
则n k 1时，
111 1
1
12 23 34
k(k 1) (k 1)(k 2)
k
1
k 1 (k 1)(k 2)
k 1 k 1 k 2 (k 1) 1
即n)知，对一切正整数 n, 等式均成立.
练习： 1.用数学归纳法证明
数学归纳法
第一步 第n0块骨牌倒下 证明n=n0时命题成立
第二步
第k块倒下时， 第K+1块也会倒下
假设n=k(k≥n0)时命题 成立，证明n=k+1时 命题也成立
课件2 ：2.3 数学归纳法
1 +
猜想其通项公式
1
a1
1
1
a2
2
1
an
n
1
a3
3
…
不完全归纳法
归纳法 ：由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法
归纳法分为
完全归纳法
和
不完全归纳法
考察全体对象,得到一
般结论的推理方法
考察部分对象,得到一
般结论的推理方法
结论一定可靠
结论不一定可靠
问题情境二
如何解决不完全归纳法存在的问题呢？
即当 = + 1时等式也成立
由（1）和（2）可知等式对任何 ∈ ∗ 都成立
课堂练习：
1.用数学归纳法证明等式
+ + + ⋯ ( + ) = ( + )( + )时，
当＝时，左边所得项是 1+2+3
；
当＝时，左边所得项是1+2+3+4+5 ；
1−+2
+ + + ⋯ … + ( − ) = ，
当 = + 时：
+ + + ⋯ … + ( − ) + [( + ) − ] = + + = ( + )，
所以当 = + 时等式也成立。
由①和②可知，对n∈∗ ，原等式都成立。
（3）由（1）、（2）得出结论
写明结论
才算完整
用上假设
递推才真
2
+1
2.用数学归纳法证明 , ≠ 1 1 + + +⋯ +
猜想其通项公式
1
a1
1
1
a2
2
1
an
n
1
a3
3
…
不完全归纳法
归纳法 ：由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法
归纳法分为
完全归纳法
和
不完全归纳法
考察全体对象,得到一
般结论的推理方法
考察部分对象,得到一
般结论的推理方法
结论一定可靠
结论不一定可靠
问题情境二
如何解决不完全归纳法存在的问题呢？
即当 = + 1时等式也成立
由（1）和（2）可知等式对任何 ∈ ∗ 都成立
课堂练习：
1.用数学归纳法证明等式
+ + + ⋯ ( + ) = ( + )( + )时，
当＝时，左边所得项是 1+2+3
；
当＝时，左边所得项是1+2+3+4+5 ；
1−+2
+ + + ⋯ … + ( − ) = ，
当 = + 时：
+ + + ⋯ … + ( − ) + [( + ) − ] = + + = ( + )，
所以当 = + 时等式也成立。
由①和②可知，对n∈∗ ，原等式都成立。
（3）由（1）、（2）得出结论
写明结论
才算完整
用上假设
递推才真
2
+1
2.用数学归纳法证明 , ≠ 1 1 + + +⋯ +
数学归纳法【公开课教学PPT课件】
因为(3k+1)·7k-1和9·(2k+3)·7k都能被9整除,所以(3k+1)·7k1+9·(2k+3)·7k能被9整除,即当n=k+1时,命题也成立,综合(1)(2)可 知,(3n+1)·7n-1(n∈N+)能被9整除.
反思感悟 用数学归纳法证明整除问题时,首先从要证的式子中 拼凑出假设成立的式子,然后证明剩余的式子也能被某式(数)整除. 其中的关键是“凑项”,可采用增项、减项、拆项和因式分解等方法 分析出因子,从而利用归纳假设使问题得到解决.
点拨 数学归纳法一般被用来证明某些涉及正整数n的命题,n可 取无限多个值,但不能简单地说所有涉及正整数n的命题都可以用 数学归纳法证明。一般来说,从n=k到n=k+1时,如果问题中存在可 利用的递推关系,则可以用数学归纳法,否则使用数学归纳法就有 困难.
在运用数学归纳法时,要注意起点n0并非一定取1,也可能取0,2等
(2)数学归纳法:
数学归纳法可以用于证明与正整数 n 有关的命题.证明需要经
过三个步骤:
①验证当n取第一个值n0(如n0=1或2等)时命题成立. ②假设当n=k时(k∈N+,k≥n0)命题成立,
证明当n=k+1 时命题也成立.在完成了上述两个步骤之后,
就可以断定命题对于从n0开始的所有正整数都成立.
正解当 n=1 时,a1=3,当 n≥2
时,an=Sn-Sn-1=6-2an+1-(6-2an)=2an-2an+1,即 an+1=12an.
∵a1=3,
∴a2=12a1=32,a3=34,a4=38.
3,������ = 1,
猜想
an=
3 2������-1
反思感悟 用数学归纳法证明整除问题时,首先从要证的式子中 拼凑出假设成立的式子,然后证明剩余的式子也能被某式(数)整除. 其中的关键是“凑项”,可采用增项、减项、拆项和因式分解等方法 分析出因子,从而利用归纳假设使问题得到解决.
点拨 数学归纳法一般被用来证明某些涉及正整数n的命题,n可 取无限多个值,但不能简单地说所有涉及正整数n的命题都可以用 数学归纳法证明。一般来说,从n=k到n=k+1时,如果问题中存在可 利用的递推关系,则可以用数学归纳法,否则使用数学归纳法就有 困难.
在运用数学归纳法时,要注意起点n0并非一定取1,也可能取0,2等
(2)数学归纳法:
数学归纳法可以用于证明与正整数 n 有关的命题.证明需要经
过三个步骤:
①验证当n取第一个值n0(如n0=1或2等)时命题成立. ②假设当n=k时(k∈N+,k≥n0)命题成立,
证明当n=k+1 时命题也成立.在完成了上述两个步骤之后,
就可以断定命题对于从n0开始的所有正整数都成立.
正解当 n=1 时,a1=3,当 n≥2
时,an=Sn-Sn-1=6-2an+1-(6-2an)=2an-2an+1,即 an+1=12an.
∵a1=3,
∴a2=12a1=32,a3=34,a4=38.
3,������ = 1,
猜想
an=
3 2������-1
4-4数学归纳法 课件【共44张PPT】
检测篇·达标小练
1．一个关于自然数 n 的命题，如果证得当 n＝1 时命题成立，并在假设当 n＝ k(k≥1 且 k∈N*)时命题成立的基础上，证明了当 n＝k＋2 时命题成立，那么综合上 述，对于( B )
A．一切正整数命题成立 B．一切正奇数命题成立 C．一切正偶数命题成立 D．以上都不对
解析：本题证明了当 n＝1,3,5,7，…时，命题成立，即命题对一切正奇数成立．A， C，D 不正确．故选 B.
检测篇·达标小练
课时作业
展视野•思维升华
课前篇·自主预习
知识点 数学归纳法
一般地，证明一个与正整数 n 有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当 n＝n0 (n0∈N*)时命题成立； (2)(归纳递推)以“当 n＝k(k∈N*，k≥n0) 时命题成立”为条件，推出当 “ n＝k＋1 时命题也成立”． 只要完成了这两个步骤，就可以断定命题对从 n0 开始的所有正整数 n 都成立， 这种证明方法称为数学归纳法．
＝1 时，等式左边是 1＋a＋a2
.
解析：根据数学归纳法的步骤可知，当 n＝1 时，等式的左边应为 1＋a＋a2.
3．用数学归纳法证明：12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)．
证明：(1)当 n＝1 时，左边＝12－22＝－3， 右边＝－1×(2×1＋1)＝－3，等式成立． (2)假设当 n＝k(k≥1，k∈N＋)时，等式成立，即 12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1)． 当 n＝k＋1 时，12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k ＋1)＋(2k＋1)2－[2(k＋1)]2＝－k(2k＋1)－(4k＋3)＝－(2k2＋5k＋3)＝－(k＋1)[2(k＋1) ＋1]，所以 n＝k＋1 时等式也成立， 根据(1)和(2)可知，等式对任何 n∈N＋都成立．
数学归纳法PPT课件
归纳步骤的正确性
归纳步骤必须严谨、准确， 确保从$n=k$到 $n=k+1$的推理过程无误， 才能保证数学归纳法的正 确性。
03 数学归纳法的证明方法
直接证明法
总结词
通过直接验证n=1和归纳假设验证n=k+1，逐步推导归纳步骤。
详细描述
在直接证明法中，首先验证基础步骤（n=1），然后提出归纳假设，即假设对 于某个自然数k，结论成立。接着利用归纳假设推导n=k+1时的结论，从而完成 归纳步骤。
归纳基础的作用
归纳基础的作用是提供一个初始 的判断依据，为后续的归纳步骤 提供支撑和依据。
归纳步骤
01
02
03
归纳假设
归纳假设是数学归纳法的 核心，即在$n=k$时命题 成立的基础上，推导出 $n=k+1$时命题也成立。
归纳推理
在归纳假设的基础上，通 过逻辑推理和演绎，推导 出$n=k+1$时命题成立的 过程称为归纳推理。
反向证明法
总结词
通过证明结论的反面不成立，从而证明原结论成立。
详细描述
在反向证明法中，首先提出结论的反面，然后试图证明这个反面不成立。如果反 面不成立，那么原结论必然成立。反向证明法常常用于解决一些不易直接证明的 问题，通过反证发现矛盾，从而得出原结论的正确性。
04 数学归纳法的应用实例
数列求和
详细描述
数学归纳法的变种包括但不限于超数 学归纳法、双数学归纳法和反向数学 归纳法等。这些变种可以使得证明更 加简洁、直观和易于理解。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
详细描述
二项式定理的证明过程可以通过数学归纳 法进行推导。通过归纳法的应用，我们可 以逐步推导出二项式定理的各项展开式， 从而证明了二项式定理的正确性。
新教材选择性4.4数学归纳法.课件(15张)
第1讲 描述运动的基本第概4念章 数列
第1讲 描述运动的基本第概4念章 数列
判断正误,正确的画“√”,错误的画“✕”. n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法.( ✕ ) 提示:与正整数n有关的数学命题的证明还能用其他方法. n有关的命题时,只需当n取前几个值时命题正确即可. ( ✕ ) 提示:由n取前几个值命题正确,推不出与正整数n有关的命题正确. 3.在利用数学归纳法证明问题时,只要推理过程正确,也可以不用归纳假设. (✕) 提示:数学归纳法的两个步骤缺一不可.
即当n=k+1时,不等式也成立.
由(1)和(2)可知,不等式对任意n∈N*都成立.
第1讲 描述运动的基本第概4念章 数列
3 |归纳—猜想—证明,解决与递推公式有关的数列问题
1.在给出了已知数列的递推关系的情况下,可根据已知写出数列的前几项,猜想出 结论,然后用数学归纳法证明该结论.简单地说,用不完全归纳法归纳结论,用数学 归纳法证明结论.正确计算是归纳的前提,常见的等差、等比数列的有关结论是 归纳的桥梁,而运用数学归纳法证明才是归纳的最终归宿. 2.“归纳—猜想—证明”的解题步骤
ak+1=12aak k
=
2 1
1 1
2k 1 a (2k1 1)a 2k 1 a (2k1 1)a
=
1
(2k 1
2k a 1)a
2k 1 a
=
2k a
=
2(k 1)1 a
,
1 2 2k1a a 1 [2(k1)1 1]a
所以当n=k+1时猜想也成立.
根据①与②可知,猜想对任意n∈N*都成立.
第1讲 描述运动的基本第概4念章 数列
4.用数学归纳法证明问题时,第一步是验证当n=1时结论成立. ( ✕ ) 提示:有的证明问题第一步并不是验证当n=1时结论成立,如证明凸n边形的内角 和为(n-2)·180°,第一步要验证当n=3时结论成立,所以不正确. 5.用数学归纳法证明等式时,由n=k到n=k+1,等式的左边不一定只增加了一项.
数学归纳法说课课件PPT
数学归纳法说课课件
目录
• 引言 • 数学归纳法基本概念 • 数学归纳法证明方法 • 数学归纳法解题技巧与实例分析 • 数学归纳法在数学竞赛中应用与拓展 • 数学归纳法教学设计与实施建议
01
引言
说课背景与目的
背景
介绍数学归纳法的起源、发展以 及在数学领域中的重要地位。
目的
阐述本次说课的目标，包括知识 传授、方法指导和能力培养等方 面。
当n=1时，左边=1，右边 =1(1+1)/2=1，命题成立。
数学归纳法应用举例
01
02
例2
基础步骤
证明n^3-n能被6整除，对于一切自 然数n都成立。
当n=1时，左边=1^3-1=0，能被6 整除，命题成立。
03
归纳步骤
假设当n=k时命题成立，即k^3-k能 被6整除，则当n=k+1时，左边 =(k+1)^3(k+1)=k^3+3k^2+3k+1-k1=k^3-k+3k(k+1)，由于k^3-k能被 6整除，且3k(k+1)能被6整除（因为k 和k+1中至少有一个是偶数），因此 当n=k+1时命题也成立。
思维能力和数学素养。
重点
数学归纳法的基本思想和步骤，如 何运用数学归纳法证明数学命题。
难点
归纳假设的提出和运用，如何从归 纳假设推导出结论。
教学方法选择和手段运用
教学方法
采用启发式教学法、讨论式教学法和案例式教学法相结合，引导学生主动思考、 积极参与。
教学手段
运用多媒体教学课件、黑板演示和实物展示等手段，帮助学生理解和掌握数学归 纳法的知识要点。
说课内容与结构
内容
目录
• 引言 • 数学归纳法基本概念 • 数学归纳法证明方法 • 数学归纳法解题技巧与实例分析 • 数学归纳法在数学竞赛中应用与拓展 • 数学归纳法教学设计与实施建议
01
引言
说课背景与目的
背景
介绍数学归纳法的起源、发展以 及在数学领域中的重要地位。
目的
阐述本次说课的目标，包括知识 传授、方法指导和能力培养等方 面。
当n=1时，左边=1，右边 =1(1+1)/2=1，命题成立。
数学归纳法应用举例
01
02
例2
基础步骤
证明n^3-n能被6整除，对于一切自 然数n都成立。
当n=1时，左边=1^3-1=0，能被6 整除，命题成立。
03
归纳步骤
假设当n=k时命题成立，即k^3-k能 被6整除，则当n=k+1时，左边 =(k+1)^3(k+1)=k^3+3k^2+3k+1-k1=k^3-k+3k(k+1)，由于k^3-k能被 6整除，且3k(k+1)能被6整除（因为k 和k+1中至少有一个是偶数），因此 当n=k+1时命题也成立。
思维能力和数学素养。
重点
数学归纳法的基本思想和步骤，如 何运用数学归纳法证明数学命题。
难点
归纳假设的提出和运用，如何从归 纳假设推导出结论。
教学方法选择和手段运用
教学方法
采用启发式教学法、讨论式教学法和案例式教学法相结合，引导学生主动思考、 积极参与。
教学手段
运用多媒体教学课件、黑板演示和实物展示等手段，帮助学生理解和掌握数学归 纳法的知识要点。
说课内容与结构
内容
课件3：§4.4 数学归纳法
4．式子 1＋3＋5＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)2，当 n＝1 时，右边 的式子为________． (1＋1)2 解析：当 n＝1 时，式子变为“1＋3＝(1＋1)2”， 故右边的式子为(1＋1)2.
【课堂探究】
类型一：用数学归纳法证明等式 [典例示范]
【例 1】用数学归纳法证明： 1＋3×2＋5×22＋…＋(2n－1)×2n－1＝2n(2n－3)＋3(n∈N*). 证明：(1)当 n＝1 时，左边＝1，右边＝2×(2－3)＋3＝1， 左边＝右边，所以等式成立．
[类题通法] 证明整除问题的关键是凑项，即采取增项、减项、拆项 和因式分解等手段，凑出 n＝k 时的情形，从而利用归纳 递推使问题得以解决．
[定向训练] 用数学归纳法证明：若 f(n)＝3×52n＋1＋23n＋1，则 f(n) 能被 17 整除．(n∈N*) 证明：(1)当 n＝1 时，f(1)＝3×53＋24＝17×23， ∴f(1)能被 17 整除，命题成立．
(2)假设当 n＝k(k∈N*)时，等式成立， 即 1＋3×2＋5×22＋…＋(2k－1)×2k－1＝2k(2k－3)＋3. 则当 n＝k＋1 时，1＋3×2＋5×22＋…＋(2k－1)×2k－1＋(2k＋1)×2k ＝2k(2k－3)＋3＋(2k＋1)×2k＝2k(4k－2)＋3＝2k＋1[2(k＋1)－3]＋3， 即当 n＝k＋1 时，等式也成立． 由(1)(2)知，等式对任何 n∈N*都成立．
(2)假设 n＝k(k∈N*)时， f(k)＝3×52k＋1＋23k＋1 能被 17 整除． 则 n＝k＋1 时，f(k＋1)＝3×52k＋3＋23k＋4 ＝52×3×52k＋1＋23×23k＋1 ＝25×3×52k＋1＋8×23k＋1 ＝17×3×52k＋1＋8×(3×52k＋1＋23k＋1) ＝17×3×52k＋1＋8f(k)． 因为 f(k)能被 17 整除，17×3×52k＋1 也能被 17 整除， 所以 f(k＋1)能被 17 整除． 由(1)(2)可知，对任意 n∈N*，f(n)都能被 17 整除．
【课堂探究】
类型一：用数学归纳法证明等式 [典例示范]
【例 1】用数学归纳法证明： 1＋3×2＋5×22＋…＋(2n－1)×2n－1＝2n(2n－3)＋3(n∈N*). 证明：(1)当 n＝1 时，左边＝1，右边＝2×(2－3)＋3＝1， 左边＝右边，所以等式成立．
[类题通法] 证明整除问题的关键是凑项，即采取增项、减项、拆项 和因式分解等手段，凑出 n＝k 时的情形，从而利用归纳 递推使问题得以解决．
[定向训练] 用数学归纳法证明：若 f(n)＝3×52n＋1＋23n＋1，则 f(n) 能被 17 整除．(n∈N*) 证明：(1)当 n＝1 时，f(1)＝3×53＋24＝17×23， ∴f(1)能被 17 整除，命题成立．
(2)假设当 n＝k(k∈N*)时，等式成立， 即 1＋3×2＋5×22＋…＋(2k－1)×2k－1＝2k(2k－3)＋3. 则当 n＝k＋1 时，1＋3×2＋5×22＋…＋(2k－1)×2k－1＋(2k＋1)×2k ＝2k(2k－3)＋3＋(2k＋1)×2k＝2k(4k－2)＋3＝2k＋1[2(k＋1)－3]＋3， 即当 n＝k＋1 时，等式也成立． 由(1)(2)知，等式对任何 n∈N*都成立．
(2)假设 n＝k(k∈N*)时， f(k)＝3×52k＋1＋23k＋1 能被 17 整除． 则 n＝k＋1 时，f(k＋1)＝3×52k＋3＋23k＋4 ＝52×3×52k＋1＋23×23k＋1 ＝25×3×52k＋1＋8×23k＋1 ＝17×3×52k＋1＋8×(3×52k＋1＋23k＋1) ＝17×3×52k＋1＋8f(k)． 因为 f(k)能被 17 整除，17×3×52k＋1 也能被 17 整除， 所以 f(k＋1)能被 17 整除． 由(1)(2)可知，对任意 n∈N*，f(n)都能被 17 整除．
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数学归纳法说课课件
高中数学《数学归纳法》说课稿
一、准备阶段
1. 学习需要分析
教是为了学，学习需要就是我们的教学需要。
在教学中的学习需要是指学生学习的
“目前状况与所期望达到的状况之间的差距”，即学习需要是学生的学习现状与教学目标
或标准之间的差距。
1学生起点分析:
◆知识准备状态:学生对等差比数列、数列求和、二项式定理等知识有较全面的把握
和较深入的理解，同时也具备一定的从特殊到一般的归纳能力，但对归纳的概念是模糊的。
◆能力储备状态:对数学语言的抽象性的理解和把握高于低年级的学生，思维方法向
理性层次跃进，并逐步形成了辨证思维体系，但层次参差不齐。
2学生目标分析:
◆知识目标:理解“归纳法”和“数学归纳法”的含义和本质;掌握数学归纳法证题的
三个步骤;会用“数学归纳法”证明简单的恒等式。
◆能力目标:初步掌握归纳与推理的能力;在学习中培养大胆猜想，小心求证的辨证思
维素质以及发现问题，提出问题的意识和数学交流的能力。
◆情感目标:通过对问题的探究活动，亲历知识的构建过程，领悟其中所蕴涵的数学
思想和辨证唯物主义观点;体验探索中挫折的艰辛和成功的快乐，感悟“数学美”，激发
学习热情，初步形成正确的数学观，创新意识和科学精神。
2. 分析教材
“数学归纳法”既是高中代数中的一个重点和难点内容，也是一种重要的数学方法。
本节课有两大难点:使学生理解数学归纳法证题的有效性;递推步骤中归纳假设的利用。
3.教学环境描述
本节课采用多媒体网络教学，通过老师与学生、学生与学生的交流与合作逐步往前推进，使教学在一种更为平等、民主，合作的环境下进行，真正体现教学相长。
4.确定教法
根据本节课的内容和学生的实际水平，我采用了引导发现法和感性体验法进行教学。
5、选择学法
在学生明确本堂课的学习目标的基础上，伴随着课堂进程的推进，学生除了掌握相应
学习内容，还要检查、分析自己的学习过程，对如何学、如何巩固，进行自我检查、自我
校正、自我评价。
二、实施阶段
1. 设计问题情境
问题情境一:意图:引出不完全归纳法概念
1、大球中有5个小球，如何证明它们都是绿色的?
答:从大球中取出的`5个小球，发现全是绿色的。
问:若大球中有nn>5个小球，能否由前5个小球都是绿色的，就判断后面的小球都是
绿色的。
答案显然是不能成立的。
从而引出不完全归纳法概念:考察部分对象，得到一般结论的方法，叫不完全归纳法。
问:不完全归纳法得到的结论正确吗?不一定正确
问题情境二:意图:加深学生对不完全归纳法得到的结论是不正确的
数学家费马运用不完全归纳法得出错误结论的事例。
利用数学典故来加深学生对不完全归纳法的缺憾。
由此引入本节课主要内容--数学归
纳法。
问题情境三:在多米诺骨牌中，如何保证众多的骨牌一块接一块地倒下?
与学生共同分析总结:能够使游戏一直连续运行的条件是什么?
1第一张骨牌必须能倒下;
2假期第kk≥2张能倒下时一定能压倒紧挨着它的第k+1张。
以上第1点是能开始游戏的基础;第2点游戏能继续的条件。
问:如果我们把关于自然数n的命题看作多米诺骨牌，产生一种符合运行条件的方法，应具有哪几个步骤?
1验证第一个命题成立;
2假设第k个命题成立时，能推导出紧挨着它的第k+1个命题也成立。
从而导出本节课的重心:数学归纳法概念及其证明的两个步骤。
2. 深入探索，学以致用
例1:意图:让学生注意:①数学归纳法是一种完全归纳的证明方法，它适用于与自然数有关问题;②两个步骤、一个结论缺一不可，否则结论不成立;③在证明递推步骤时，必须使用归纳假设，必须进行恒等变换
已知数列{an}，其通项公式为an=2n-1，试猜想该数列的前n项和公式Sn，并用数学归纳法证明你的结论。
答:1 + 3 + 5 + …… + 2n ? 1 = n2
问:如果同学们相信前n个奇数之和，刚好等于n2，即一个正方形，那么当我们再加上第n+1奇数时，结果又会怎样?
答:仍是一个正方形。
注:第n+1个奇数应该等于2n+1
3.反馈练习
设计方法及意图:这里我共设计了三组练习题，分为选择题、填空题和解答题，难度由浅入深，要求学生根据个人需要及个人水平自主选题，且配套提供了详细的解答，充分体现了网络教学的优越性。
这样的设计，体现了分层教学的思想，达到因材施教的目的。
基础题的设计，目的在于通过练习反馈学生对于数学归纳法步骤的掌握情况，进一步解决存在的问题。
提高题部分，既要求掌握数学归纳法的基本步骤，又要求初步具备猜想的能力。
4.小结
三、反思总结阶段
1. 丰富情境，指导学生自行发现、主动建构知识
2. 几个转化
一、从注重知识传授转向注重学生的全面发展
二、从“以教师为中心”转向“以学生为中心”
三、从注重教学的结果转向注重教学的过程
四、从统一规格的教学模式转向个性化教学模式
五、从操练式学习转向有效学习
3. 不足之处
在具体的实施过程，依旧碰到了许多困难，如:
一、学生的个体差异该怎样得到更及时的，更全面的关注?
二、教学的个体化该如何得以加强?
三、弱势学生群体的独立性、自主性的培养和发展，需要什么样的教育环境?
四、如何才能实现“不同的人学习不同的数学”的课程目标?
感谢您的阅读，祝您生活愉快。