微积分教学课件：4-1

若F ( x)是 f ( x)的 一 个 原 函 y 数 ， 则 称y F ( x)的 图 形 为f ( x) y F(x) C
的 积 分 曲 线 。 于 是f ( x)的 不 定
积 分 在 几 何 上 表 示f ( x)的 某 一 积 分 曲 线 沿 纵 轴 方 向 任意 平 移
y F(x)
(2) 同一函数的不定积分，其表达形式可能会
不相同，但可用求导的方法验证其正确性.
例如 arcsin(2x 1) 和 2arctan x 1 x
都是 1 的原函数. x x2
5
(3) 不定积分与原函数是总体与个体的关系.
即 若F是 f 的一个原函数，则 f 的不定积 分是一族函数 {F+C} , 其中C是任意常数.
(11) csc x cot xdx csc x C;
(12) e xdx e x C; (13) a xdx a x C
ln a
(0 a 1);
三、不定积分的性质
(1) [ f ( x) g( x)]dx f ( x)dx g( x)dx.
(2) kf ( x)dx k f ( x)dx (k 0). 10
f ( x)dx F ( x) C
积 分 号
被 积 函 数
被 积 表 达 式
积 分 变 量
任 意 常 数
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注释 (1) 求导与求不定积分是互逆运算
[ f ( x)dx] f ( x); f '( x)dx f ( x) C. 或 d[ f ( x)dx] f ( x)dx; df ( x) f ( x) C.
dx 1 x2
3arctan x 2arcsinx C. 11
( x 1)3
(4)
x2 dx
x3 3x2 3x 1
x2
dx
(x
3
3 x
1 x2
)dx
xdx
3
dx
3
1 x
dx
1 x2
dx
1 x2 3x 3ln x 1 C.
2
x
12
(5) tan2 xdx (sec2 x 1)dx sec2 xdx dx
例1 求下列不定积分 (1) I x2 xdx;
(2) I 2x e xdx;
3
2
(3) I
( 1
x2
)dx. 1 x2
解 (1) I
5
x 2dx
2
7
x2
C.
7
(2) I (2e)x dx (2e)x C 2x e x C .
ln( 2e )
1 ln 2
1
1
(3) I 3 1 x2 dx 2
x
C
;
8
1
(5)
dx arcsin x C; 1 x2
(6) cos xdx sin x C;
(7) sin xdx cos x C;
(8) sec2 xdx tan x C; (9) csc2 xdx cot x C;
9
(10) secx tan xdx secx C;
(4) 一个函数“存在不定积分”与“存在原函数”
是等价的.
(5) 一个可导的奇函数,其导函数及原函数皆为偶函数;
一个可导的偶函数, 其导函数一定为奇函数, 但其 原函数不一定为奇函数; ( 1 x3 1)' x2
3
周期函数的导函数一定为周期函数, 但其原函数
不一定为周期函数. x' 1
6
4. 不定积分的几何意义
第四章 不定积分
1. 不定积分的定义与性质 2. 换元积分法 3. 分部积分法 4. 有理函数的积分 5. 简单无理函数的积分 6. 积分表的使用
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第一节 不定积分的定义与性质 一、原函数与不定积分 1. 原 函 数
设 f ( x), F ( x) ( x I )为 两 个 函 数, 若x I 有 F '( x) f ( x),则 称 F ( x)是 f ( x)的 一 个 原 函 数.
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例2 求下列函数的不定积分
(1)
f
(
x)
e
x
1
x 0, x 0.
(2) f ( x) max 1, x .
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解 (1) 因 为 f ( x)在( , )内 连 续,
所 以 其 原 函 数F ( x)存 在 且 连 续.
令
f
(
x)dx
F
(
x)
e
x
C1
x C2
则 由F ( x)在x 0处 连 续
2. 原函数存在定理 连续函数一定存在原函数．
注释 (1) 原函数若存在,则它必连续且不唯一.
(2) 不同原函数之间的关系： 若 F ( x)和G( x)都是f ( x)的原函数,则 F ( x) G( x) C .
2
(3) 不 连 续函 数 未 必 没有 原函 数. (有 第 一类 间 断 点 的函 数一 定 不存 在 原 函 数, 但 有 第二 类 间 断 点的 函数 可 能存 在 原 函 数).
反例
F
(
x)
x2
cos
1 x
0
x0 x0
F'1 x
sin
1 x
0
x0 x0
即 f ( x)有原函数，但 f ( x)不连续.
3
3. 不定积分 若 函 数F ( x)是 区 间I 上f ( x)的 一 个 原 函 数.
则f ( x)的 全 体 原 函 数F ( x) C 称 为f ( x) 的 不 定 积 分. 记 作
x
dx
cot x tan x C.
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(9)
1 x x2 x(1 x 2 ) dx
1
1 x
2
1 x
dx
arctan x ln | x | C.
(10)
x4 1 x 2 dx
x4 1 1 1 x2 dx
(x2
1
1 1 x2
)dx
x3 x arctan x C .
所 得 一 切 积 分 曲 线 组 成的 曲 线 0
x
簇。
显然，若在每一条积分曲线上横坐标相同的点处 作切线，则这些切线互相平行.
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二、基本积分公式
(1) kdx kx C (k为常数） .
(2) xdx x1 C ( 1);
1
(3)
dx x
ln
|
x
|
C;
(4)
1
1 x
2
dx
arctan
tan x x C .
1
(6)
dx
sin2 x cos2 x
2
2
1 sin x
2
dx
4 csc2
xdx
4 cot
x
C.
2
13
(7)
1 1 cos 2x
dx
11
1
2 cos2 x dx 2 tan x C.
cos 2x
(8)
cos2
x sin2
dx x
1
1
sin2
dx x
cos2