数列的综合应用

第十六节 数列得综合应用[自我反馈]1．已知正项等差数列{a n }满足：a n ＋1＋a n －1＝a 2n (n ≥2)，等比数列{b n }满足：b n ＋1b n －1＝2b n (n ≥2)，则log 2(a 2＋b 2)＝( )A ．－1或2B ．0或2C ．2D ．1解析：选C 由题意可知，a n ＋1＋a n －1＝2a n ＝a 2n， 解得a n ＝2(n ≥2)(由于数列{a n }每项都就是正数)，又b n ＋1b n －1＝b 2n ＝2b n(n ≥2)， 所以b n ＝2(n ≥2)，log 2(a 2＋b 2)＝log 24＝2、2．已知数列{a n }满足：a 1＝m (m 为正整数)，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧a n 2，当a n 为偶数时，3a n ＋1，当a n 为奇数时、若a 6＝1，则m 所有可能得取值为( )A ．{4,5}B ．{4,32}C ．{4,5,32}D ．{5,32}解析：选C a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧a n 2，当a n 为偶数时，3a n ＋1，当a n 为奇数时，注意递推得条件就是a n (而不就是n )为偶数或奇数．由a 6＝1一直往前面推导可得a 1＝4或5或32、3．在等差数列{a n }中，a 1＝2，a 3＝6，若将a 1，a 4，a 5都加上同一个数，所得得三个数依次成等比数列，则所加得这个数为________．解析：由题意知等差数列{a n }得公差d ＝a 3－a 12＝2，则a 4＝8，a 5＝10，设所加得数为x ，依题意有(8＋x )2＝(2＋x )(10＋x )，解得x ＝－11、答案：－114．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树得棵数就是前一天得2倍，则需要得最少天数n (n ∈N *)等于________．解析：设每天植树得棵数组成得数列为{a n }， 由题意可知它就是等比数列，且首项为2，公比为2， 所以由题意可得2(1－2n )1－2≥100，即2n ≥51，而25＝32,26＝64，n ∈N *，所以n ≥6、 答案：65．已知数列{a n }得前n 项与为S n ，且S n ＝n 2，数列{b n }为等比数列，且首项b 1＝1，b 4＝8、(1)求数列{a n }，{b n }得通项公式；(2)若数列{c n }满足c n ＝ab n ，求数列{c n }得前n 项与T n 、 解：(1)∵数列{a n }得前n 项与为S n ，且S n ＝n 2， ∴当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1、 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1亦满足上式， 故a n ＝2n －1(n ∈N *)．又数列{b n }为等比数列，设公比为q ， ∵b 1＝1，b 4＝b 1q 3＝8，∴q ＝2、 ∴b n ＝2n －1(n ∈N *)． (2)c n ＝ab n ＝2b n －1＝2n －1、T n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n ＝(21－1)＋(22－1)＋…＋(2n －1) ＝(21＋22＋…＋2n )－n ＝2(1－2n )1－2－n 、 所以T n ＝2n ＋1－2－n 、考向一 等差数列与等比数列得综合问题【典例1】(2016·济南模拟)已知{a n }就是等差数列,满足a 1=3,a 4=12,数列{b n }满足b 1=4,b 4=20,且{b n -a n }就是等比数列、(1)求数列{a n }与{b n }得通项公式、 (2)求数列{b n }得前n 项与、【母题变式】1、若本例题条件“{b n -a n }就是等比数列”变为“{b n -a n }就是等差数列”,其她条件不变,求数列{b n }得通项公式、2、若本例题条件“b 1=4,b 4=20,且{b n -a n }就是等比数列” 变为“a n +2a n-1=n b 1+”,求数列{b n }得通项公式、【规律方法】等差数列、等比数列综合问题得解题策略(1)分析已知条件与求解目标,确定为最终解决问题需要首先求解得中间问题,如为求与需要先求出通项、为求出通项需要先求出首项与公差(公比)等,确定解题得顺序、 (2)注意细节、在等差数列与等比数列综合问题中,如果 等比数列得公比不能确定,则要瞧其就是否有等于1得可 能,在数列得通项问题中第一项与后面得项能否用同一 个公式表示等,这些细节对解题得影响也就是巨大得、 提醒:在不能使用同一公式进行计算得情况下要注意分 类讨论,分类解决问题后还要注意结论得整合、 【变式训练】(2016·天津模拟)已知等差数列{a n }得 公差与首项都不等于0,且a 2,a 4,a 8成等比数列,则15923a a a a a +++= ( )A 、2B 、3C 、5D 、6【加固训练】1、等比数列{a n }得公比为q,前n 项与为S n ,若S n+1,S n ,S n+2成等差数列,则公比q 为 ( ) A 、-2 B 、1C 、-2或1D 、2或-12、(2016·泰安模拟)已知数列{a n }就是公差大于零得等 差数列,数列{b n }为等比数列,且a 1=1,b 1=2,b 2-a 2=1, a 3+b 3=13、(1)求数列{a n }与{b n }得通项公式、 (2)设c n =a n a n+1,求数列n1c ⎧⎫⎨⎬⎩⎭得前n 项与T n 、因为d>0,所以d=2,q=2,a n =1+2(n-1)=2n-1,b n =2× 2n-1=2n,即a n =2n-1(n ∈N *),b n =2n (n ∈N *)、考向二 数列中得图表问题【典例2】(1)(2016·德州模拟)将全体正整数排成一个三角形数阵: 1 2 3 4 5 678910……………按照以上排列得规律,第n行(n≥3)从左向右得第3个数为________、(2)(2016·太原模拟)下表就是一个由正数组成得数表,数表中各行依次成等差数列,各列依次成等比数列,且公比都相等,已知aa1,1a1,2a1,3a1,4…a2,1a2,2a2,3a2,4…a3,1a3,2a3,3a3,4…a4,1a4,2a4,3a4,4………………求数列{a n,2}得通项公式、【解题导引】(1)求出第n行(n≥3)从左向右得第3个数为原数列得第几项,再求解、(2)构造方程组求出等差数列得公差与等比数列得公比、(2)设第一行组成得等差数列得公差就是d,各列依次组成得等比数列得公比就是q(q>0),则a2,3=qa1,3=q(1+2d)⇒q(1+2d)=6,a3,2=q2a1,2=q2(1+d)⇒q2(1+d)=8,解得d=1,q=2、a1,2=2⇒a n,2=2×2n-1=2n、【规律方法】数列中常见得图表问题及解题关键(1)分组型:数列得通项公式已知,将其按照一定得规则排列而成、解决这类问题得关键就是找出图表或数阵中得项在原数列中得位置、(2)混排型:图表或数阵中得行与列分别对应不同得数列、解决这类问题得关键就是找出各个数列,将所求问题所在行或列得基本量求出、(3)递推公式型:图表或数阵就是按某种递推关系得到得,解决这类问题得关键就是求出递推公式,再由递推公式求出通项公式、【变式训练】(2016·青岛模拟)下面给出了一个三角形数阵,已知每一列得数成等差数列,从第3行起,每一行得数成等比数列,每一行得公比都相等、记第i行第j列数为a ij(i,j∈N*),则a43=______、1411243334816⋯⋯⋯⋯，，，【加固训练】1、(2016·北京模拟)已知a n=(13)n,把数列{a n}得各项排列成如下得三角形形状、a1a2a3a4a5a6a7a8a9………………………记A(m,n)表示第m行得第n个数,则A(10,12)=() 93929411211A.()B.()3311C.()D.()332、(2016·合肥模拟)正整数按下列方法分组:{1},{2,3, 4},{5,6,7,8,9},{10,11,12,13,14,15,16},…,记第n组中各数之与为A n ;由自然数得立方构成下列数组:{03, 13},{13,23},{23,33},{33,43},…,记第n 组中后一个数 与前一个数得差为B n ,则A n +Bn =______、 【解析】由题意知,前n 组共有1+3+5+…+(2n-1)=n 2个数,所以第n-1组得最后一个数为(n-1)2,第n 组得第一个数为(n-1)2+1,第n 组共有2n-1个数,所以根据等差数列得前n 项与公式可得3、(2016·保定模拟)将数列{a n }中得所有项按每一行比上一行多一项得规则排成如下数表: a 1a 2 a 3a 4 a 5 a 6a 7 a 8 a 9 a 10……记表中得第一列数a 1,a 2,a 4,a 7,…构成得数列为{b n }, b 1=a 1=1、 S n 为数列{b n }得前n 项与,且满足n2n n n2b b S S -=1(n ≥2)、 (1)证明数列n 1S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭成等差数列,并求数列{b n }得通项公 式、(2)上表中,若从第三行起,每一行中得数按从左到右得 顺序均构成等比数列,且公比为同一个正数、当a 81=491- 时,求上表中第k(k ≥3)行所有项得与、考向三数列得实际应用问题【典例3】(2016·日照模拟)某大学张教授年初向银行贷款2万元用于购车,银行贷款得年利息为10%,按复利计算(即本年得利息计入次年得本金生息)、若这笔款要分10年等额还清,每年年初还一次,并且以贷款后次年年初开始归还,问每年应还多少元?【规范解答】设每年还款x元,需10年还清,那么各年还款利息情况如下:第10年付款x元,这次还款后欠款全部还清;第9年付款x元,过1年欠款全部还清时,所付款连同利息之与为x(1+10%)元;数列模型基本特征第8年付款x元,过2年欠款全部还清时,所付款连同利息之与为x(1+10%)2元;…第1年付款x元,过9年欠款全部还清时,所付款连同利息之与为x(1+10%)9元、10年后应还款总数为20000(1+10%)10、【一题多解】第1次还款x元之后欠银行20000(1+10%)-x=20000×1、1-x,第2次还款x元后欠银行[20000(1+10%)-x](1+10%)-x=20000×1、12-1、1x-x,…【规律方法】解答数列实际应用问题得步骤(1)确定模型类型:理解题意,瞧就是哪类数列模型,一般有等差数列模型、等比数列模型、简单得递推数列模型、基本特征见下表:(2)准确解决模型:解模就就是根据数列得知识,求数列得通项、数列得与、解方程(组)或者不等式(组)等,在解模时要注意运算准确、(3)给出问题得回答:实际应用问题最后要把求解得数学结果化为对实际问题得答案,在解题中不要忽视了这点、易错提醒:解决数列应用问题,要明确问题属于哪一种类型,即明确就是等差数列问题还就是等比数列问题,就是求a n 还就是S n ,特别就是要弄清项数、【变式训练】某市2015年新建住房400万平方米,其中有250万平方米就是中低价房,预计在今后得若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%、另外,每年新建住房中,中低价房得面积均比上一年增加50万平方米、那么,到哪一年底, (1)该市历年所建中低价房得累计面积(以2015年为累 计得第一年)将首次不少于4750万平方米?(2)当年建造得中低价房得面积占该年建造住房面积得 比例首次大于85%?(参考数据:1、084≈1、36,1、085≈ 1、47,1、086≈1、59)答:到2024年底,该市历年所建中低价房得累计面积将首次不少于4750万平方米、 (2)设新建住房得面积构成数列{b n },由题意可知,{b n }就是等比数列,其中b 1=400,q=1、08,则b n =400×1、08n-1、 由题意可知a n >0、85b n ,有250+(n-1)×50>400×1、08n-1×0、85、 当n=5时,a 5<0、85b 5,当n=6时,a 6>0、85b 6, 即满足上述不等式得最小正整数n 为6、答:到2020年底,当年建造得中低价房得面积占该年建造住房面积得比例首次大于85%、 【加固训练】1、(2016·成都模拟)《张丘建算经》卷上第22题为:今 有女善织,日益功疾,且从第2天起,每天比前一天多织等差数列 均匀增加或者减少等比数列指数增长,常见得就是增产率问题、存款复利问题简单递推 数列指数增长得同时又均匀减少、如年收入增长率为20%,每年年底要拿出a(常数)作为下年度得开销,即数列{a n }满足a n+1=1、2a n -a相同量得布,若第1天织5尺布,现在一月(按30天计)共 织390尺布,则每天比前一天多织______尺布、 ( )181616A. B. C. D.21529312、某工业城市按照“十二五”(2011年至2015年)期间本地区主要污染物排放总量控制要求,进行减排治污、现以降低SO 2得年排放量为例,原计划“十二五”期间每年得排放量都比上一年减少0、3万吨,已知该城市2011年SO 2得年排放量约为9、3万吨、 (1)按原计划,“十二五”期间该城市共排放SO 2约多少万吨?(2)该城市为响应“十八大”提出得建设“美丽中国”得号召,决定加大减排力度、在2012年刚好按原计划完成减排任务得条件下,自2013年起,SO 2得年排放量每年比上一年减少得百分率为p,为使2020年这一年SO 2得年排放量控制在6万吨以内,求p 得取值范围、9822(0.950 60.955 9)33≈≈参考数据：，答:按原计划,“十二五”期间该城市共排放SO 2约为43、5万吨、答:SO2得年排放量每年减少得百分率p得取值范围为(4、94%,1)、考向四数列与函数、不等式得综合问题【考情快递】【考题例析】命题方向1:数列与函数得综合问题【典例4】(2014·陕西高考)设f n(x)=x+x2+…+x n-1,n∈N,n≥2、命题方向2:数列与不等式得综合问题【典例5】(2014·全国卷Ⅱ)已知数列{a n }满足a 1=1,a n+1=3a n +1、 (1)证明n 1{a }2+就是等比数列,并求{a n }得通项公式、 (2)证明:12n 1113.a a a 2++⋯+<【技法感悟】1、解决函数与数列得综合问题得基本思路(1)数列就是一类特殊得函数,它得图象就是一群孤立得点;因此可考虑借助数形结合得思想思考数列问题、(2)可将数列问题转化为函数问题,借助函数得知识,如单调性、最值来解决、 2、数列中不等式得处理方法(1)函数方法:即构造函数,通过函数得单调性、极值等得出关于正实数得不等式,通过对关于正实数得不等式特殊赋值得出数列中得不等式、(2)放缩方法:数列中不等式可以通过对中间过程或者最后得结果放缩得到、 (3)比较方法:作差或者作商比较、 【题组通关】1、(2016·济南模拟)已知等比数列{a n }得首项a 1=2014, 公比为q=12,记b n =a 1a 2a 3…a n ,则b n 达到最大值时,n 得值 为 ( )A 、10B 、11C 、12D 、不存在2、(2016·青岛模拟)已知函数f(x)=()x 63a x 3(x 7)a (x 7),-⎧--≤⎪⎨⎪⎩,＞若数列{a n }满足a n =f(n)(n ∈N *),且{a n }就是递增数列,则 实数a 得取值范围就是__________、3、(2016·滨州模拟)已知数列{a n }得前n 项与为S n ,a 1= 1,a n+1=2S n +1(n ∈N *),等差数列{b n }中b 2=5,且公差d=2、 (1)求数列{a n },{b n }得通项公式、(2)就是否存在正整数n,使得a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n >60n?若存 在,求出n 得最小值,若不存在,请说明理由、 【解析】(1)a 1=1,a n+1=2S n +1,所以当n ≥2时,a n =2S n-1+1,相减得:a n+1=3a n (n ≥2),又a 2=2a 1+1=3,所以a 2=3a 1,所以数列{a n}就是以1为首项,3为公比得等比数列,a n=3n-1、又b2=b1+d=5,所以b1=3,b n=2n+1、(2)a n·b n=(2n+1)·3n-1,令T n=a1b1+a2b2+…+a n b n=3×1+5×3+7×32+…+(2n-1)×3n-2+(2n+1)×3n-1①,3T n=3×3+5×32+7×33+…+(2n-1)×3n-1+(2n+1)×3n②,①-②得:-2T n=3×1+2(3+32+…+3n-1)-(2n+1)×3n,所以T n=n×3n,所以n×3n>60n,即3n>60,当n≤3时,3n<60,当n≥4时,3n>60,所以存在n得最小值为4、课时提升作业1、(2014·北京高考)设{a n}就是公比为q得等比数列,则“q>1”就是“{a n}为递增数列”得( )A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充分必要条件D、既不充分也不必要条件【解析】选D、当a1<0,q>1时,{a n}就是递减数列;当{a n}为递增数列时,a1<0,0<q<1或a1>0,q>1、因此,“q>1”就是“{a n}为递增数列”得既不充分也不必要条件、【加固训练】(2016·南昌模拟)在公差不为0得等差数列{a n}中,2a3-+2a11=0,数列{b n}就是等比数列,且b7=a7,则b6b8= ( )A、2B、4C、8D、16【解析】选D、因为{a n}就是等差数列,所以a3+a11=2a7,所以2a3-+2a11=4a7-=0,解得a7=0或4,因为{b n}为等比数列,所以b n≠0,所以b7=a7=4,b6b8==16、2、设y=f(x)就是一次函数,若f(0)=1,且f(1),f(4),f(13)成等比数列,则f(2)+f(4)+…+f(2n)等于( )A、n(2n+3)B、n(n+4)C、2n(2n+3)D、2n(n+4)【解析】选A、由题意可设f(x)=kx+1(k≠0),则(4k+1)2=(k+1)×(13k+1),解得k=2,f(2)+f(4)+…+f(2n)=(2×2+1)+(2×4+1)+…+(2×2n+1)=2n2+3n=n(2n+3)、3、(2016·聊城模拟)已知a,1,c成等差数列,a2,1,c2成等比数列,则log(a+c)(a2+c2)= ( )A、1B、1或log26C、3D、3或log26【解析】选B、由条件得ac=±1,所以log(a+c)(a2+c2)=log2(4-2ac)=1或log26、4、(2016·烟台模拟)《莱因德纸草书》就是世界上最古老得数学著作之一、书中有这样一道题目:把100个面包分给5个人,使每人所得成等差数列,且使较大得三份之与得就是较小得两份之与,问最小得一份为( )A、B、C、D、【解析】选A、设五个人所分得得面包为a-2d,a-d,a,a+d,a+2d(其中d>0),则(a-2d)+(a-d)+a+(a+d)+(a+2d)=5a=100,所以a=20,由(a+a+d+a+2d)=a-2d+a-d,解得d=,所以最小1份为a-2d=20-=、5、(2016·济宁模拟)已知a,b,c成等比数列,a,m,b与b,n,c分别成两个等差数列,则+等于( )A、4B、3C、2D、1【解析】选C、由题意得b2=ac,2m=a+b,2n=b+c,则+====2、【一题多解】解答本题,还有以下解法:特殊值法:选C、因为a,b,c成等比数列,所以令a=2,b=4,c=8,又a,m,b与b,n,c分别成两个等差数列,则m==3,n==6,因此+=+=2、6、已知数列{a n}满足3a n+1+a n=4(n≥1),且a1=9,其前n项与为S n,则满足不等式|S n-n-6|<得最小整数n得值为( )A、5B、6C、7D、8【解析】选C、由已知式子变形得3(a n+1-1)=-(a n-1),则{a n-1}就是以8为首项,-为公比得等比数列,则|S n-n-6|=|a n-1+a n-1-1+…+a1-1-6|==6×<,化简得3n-1>250,故满足条件得最小整数n得值为7、7、(2016·烟台模拟)学校餐厅每天供应500名学生用餐,每星期一有A,B两种菜可供选择、调查表明,凡就是在这星期一选A菜得,下星期一会有20%改选B菜;而选B菜得,下星期一会有30%改选A菜,用a n表示第n个星期一选A菜得人数,如果a1=428,则a4得值为( ) A、324 B、316 C、304 D、302【解析】选B、依题意有:a n=a n-1+(500-a n-1)=a n-1+150(n≥2,n∈N*),即a n-300=(a n-1-300)(n≥2,n∈N*),a n=128·+300,因此a4=128·+300=316、【加固训练】根据市场调查结果,预测某种家用商品从年初开始得n个月内累积得需求量S n(单位:万件)近似地满足S n=(21n-n2-5)(n=1,2,…,12)、按此预测,在本年度内,需求量超过1、5万件得月份就是( )A、5月,6月B、6月,7月C、7月,8月D、8月,9月【解析】选C、设第n个月得需求量为a n,因为从年初开始得n个月内累积得需求量为S n(n=1,2,3,…,12)、所以当n≥2时,a n=S n-S n-1=(21n-n2-5)-[21·(n-1)-(n-1)2-5]=(-n2+15n-9)、当n=1时,a1=S1=,适合上式,综上可知,a n=(-n2+15n-9)、令a n>1、5,即(-n2+15n-9)>1、5,解得6<n<9、又n得取值为1,2,3, (12)所以n=7或n=8、8、已知数列{a n}为等差数列,a1=1,公差d≠0,a1,a2,a5成等比数列,则a2016得值为、【解析】由已知得=a1a5,所以(1+d)2=1+4d,d=2,所以a2016=1+2015×2=4031、答案:40319、(2016·滨州模拟)在等比数列{a n}中,0<a1<a4=1,则能使不等式++…+≤0成立得最大正整数n就是、【解析】设等比数列公比为q,由已知得a1q3=1,且q>1,++…+=(a1+a2+…+a n)-=-≤0,化简得q-3≤q4-n,则-3≤4-n,n≤7、答案:710、(2016·淄博模拟)设数列{a n}满足a2+a4=10,点P n(n,a n)对任意得n∈N*,都有向量=(1,2),则数列{a n}得前n项与S n= 、【解析】由题意可知,P n+1(n+1,a n+1),所以=(1,a n+1-a n)=(1,2),所以a n+1-a n=2,所以数列就是以2为公差得等差数列,又a2+a4=10,所以a1=1,a n=2n-1,S n=1+3+…+(2n-1)=n2、答案:n211、(2016·天津模拟)如图,坐标纸上得每个单元格得边长为1,由下往上得六个点:1,2,3,4,5,6得横、纵坐标分别对应数列{a n}(n∈N*)得前12项(如表所示),按如此规律下去,则a2017+a2018+a2019= 、a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10a11a12x1y1x2y2x3y3x4y4x5y5x6y6【解析】a1=1,a2=1,a3=-1,a4=2,a5=2,a6=3,a7=-2,a8=4等,这个数列得规律就是奇数项为1,-1,2,-2,3,-3,…,偶数项为1,2,3,…,故a2017+a2019=0,a2018=1009、答案:100912、(2016·青岛模拟)已知数列与满足:a1+a2+a3+…+a n=log2b n、若为等差数列,且a1=2,b3=64b2、(1)求a n与b n、(2)设c n=·,求数列得前n项与T n、【解析】(1)由已知得:a1+a2+a3=log2b3,①a1+a2=log2b2,②①-②得,a3=log2=6,因为a1=2,所以公差d=2,所以a n=2n,因为a1+a2+…+a n=log2b n,即=log2b n,所以b n=2n(n+1)、(2)由题意得c n=(3n+1)4n-1,T n=4+7·4+10·42+…+(3n+1)4n-1,③4T n=4·4+7·42+10·43+…+(3n+1)4n,④③-④得:-3T n=4+3·4+3·42+…+3·4n-1-(3n+1)4n,-3T n=4+3(4+42+…+4n-1)-(3n+1)4n,-3T n=4+3·-(3n+1)4n,整理得:T n=n·4n(n∈N*)、13、记公差不为0得等差数列{a n}得前n项与为S n,S3=9,a3,a5,a8成等比数列、(1)求数列{a n}得通项公式a n及S n、(2)若c n=n2+λa n,n=1,2,3,…,问就是否存在实数λ,使得数列{c n}为单调递增数列?若存在,请求出λ得取值范围;若不存在,请说明理由、【解题提示】(1)设公差为d,构造方程组求出a1,d,进而可求a n,S n、(2)利用c n+1-c n>0恒成立求解、【解析】(1)设公差为d,由S3=9,=a3·a8,得:解得:a1=2,d=1、所以a n=n+1,S n==+n、(2)由题知c n=n2+λ(n+1),若使{c n}为单调递增数列,则c n+1-c n=(n+1)2+λ(n+2)-[n2+λ(n+1)]=2n+1+λ>0对一切n∈N*恒成立,即:λ>-2n-1对一切n∈N*恒成立,又φ(n)=-2n-1就是单调递减得,所以当n=1时,φ(n)max=-3,所以λ>-3、【加固训练】(2016·武汉模拟)已知单调递增得等比数列{a n}满足:a2+a3+a4=28,且a3+2就是a2,a4得等差中项、(1)求数列{a n}得通项公式、(2)若b n=a n lo a n,S n=b1+b2+…+b n,求S n+n·2n+1>62成立得正整数n得最小值、【解析】(1)设等比数列{a n}得首项为a1,公比为q,依题意,有2(a3+2)=a2+a4,代入a2+a3+a4=28,可得a3=8,所以a2+a4=20,所以解得或又数列{a n}单调递增,所以q=2,a1=2,所以数列{a n}得通项公式为a n=2n、(2)因为b n=2n lo2n=-n·2n,所以S n=-(1×2+2×22+…+n·2n),2S n=-[1×22+2×23+…+(n-1)·2n+n·2n+1],两式相减,得S n=2+22+23+…+2n-n·2n+1=2n+1-2-n·2n+1,所以S n+n·2n+1>62,即2n+1-2>62,即2n+1>64=26,所以n+1>6,从而n>5,故正整数n得最小值为6、所以使S n+n·2n+1>62成立得正整数n得最小值为6、14、(12分)已知数列{a n}得前n项与为S n,且满足a1=,a n=-2S n·S n-1(n≥2)、求证:++…+≤-、【证明】因为a n=-2S n·S n-1(n≥2),所以S n-S n-1=-2S n·S n-1(n≥2)、两边同除以S n·S n-1,得-=2(n≥2),所以数列就是以==2为首项,以d=2为公差得等差数列,所以=+(n-1)·d=2+2(n-1)=2n,所以S n=、将S n=代入a n=-2S n·S n-1,得a n=因为=<=(n≥2),=,所以当n≥2时,++…+=++…+<++…+=-; 当n=1时,==-、综上,++…+≤-、【加固训练】(2016·临沂模拟)已知公差不为0得等差数列得前n项与为S n,S5=25,且a2,a5,a14成等比数列、(1)求数列得通项公式、(2)设b n=,T n=b1·b2·b3·…·b n,求证:T n≥、【解析】(1)设公差为d(d≠0),因为S5=25,所以5a1+d=25,即a1+2d=5、因为a2,a5,a14成等比数列,所以(a1+d)(a1+13d)=(a1+4d)2,即6a1d-3d2=0、因为d≠0,所以d=2a1,所以a1=1,d=2、则a n=a1+(n-1)d=2n-1、(2)因为b n ==,所以T n =b 1·b 2·b 3·…·b n =×××…×、 因为>,n ∈N *, 所以当n ≥2时,=××××××…×× >××××××…××=、即T n >,n ≥2、又当n=1时,T 1=≥=成立,综上,当n ∈N *时,T n ≥成立、【新题快递】 1、【2015高考浙江，文10】已知{}n a 就是等差数列，公差d 不为零．若2a ，3a ，7a 成等比数列，且1221a a +=，则1a = ，d = ． 【答案】2,13- 【解析】由题可得，2111(2)()(6)a d a d a d +=++，故有1320a d +=，又因为1221a a +=，即131a d +=，所以121,3d a =-=、 2、 【2016高考四川文科】（本小题满分12分）已知数列{n a }得首项为1，n S 为数列{}n a 得前n 项与，11n n S qS +=+ ，其中q >0，*n N ∈ 、（Ⅰ）若2323,,a a a a + 成等差数列，求{}n a 得通项公式；（Ⅱ）设双曲线2221nyxa-=得离心率为ne，且22e=，求22212ne e e++⋅⋅⋅+、【答案】（Ⅰ）1=nna q-；（Ⅱ）1(31)2nn+-、【解析】试题分析：（Ⅰ）已知nS得递推式11n nS qS+=+，一般就是写出当2n≥时，11n nS qS-=+，两式相减，利用1n n na S S-=-，得出数列{}na得递推式，从而证明{}na为等比数列，利用等比数列得通项公式得到结论；（Ⅱ）先利用双曲线得离心率定义得到ne得表达式，再由22e=解出q得值，最后利用等比数列得求与公式求解计算、（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，1nna q-=、所以双曲线2221nyxa-=得离心率22(1)11nn ne a q-=++由2212e q=+解得3q=22222(1)12222(1)2(11)(1+)[1]1[1]11(31).2nnnnne e e q qqn q q nqn--++鬃?=+++鬃?+-=+++鬃?=+-=+-，3、【2014四川，文19】设等差数列{}na得公差为d，点(,)n na b在函数()2xf x=得图象上（*n N∈）、（1）证明：数列{}nb就是等比数列；（2）若11a=，学科网函数()f x得图象在点22(,)a b处得切线在x轴上得截距为12ln2-，求数列2{}n n a b 得前n 项与n S 、 【答案】（1）详见解析；（2）1(31)449n n n T +-+=、 【解析】试题分析：据题设可得，2n an b =、（1）当1n ≥时，将1,n n b b +相除，可得商为常数，从而证得其为等比数列、（2）首先可求出()2x f x =在22(,)a b 处得切线为2222ln 2()a y b x a -=-，令0y =得222221(2ln 2)(),,2ln 2a b x a x a a -=⨯-=-∴=，由此可求出n a n =，2n n b =、所以24n n n a b n =⋅，这个数列用错位相消法可得前n 项与n T 、4、【2014年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷18】已知等差数列}{n a 满足：21=a ，且1a 、2a 、5a 成等比数列、（Ⅰ）求数列}{n a 得通项公式、（Ⅱ）记n S 为数列}{n a 得前n 项与，就是否存在正整数n ，使得?80060+>n S n 若存在，求n 得最小值；若不存在，说明理由、（Ⅱ）当2=n a 时，n S n 2=，显然800602+<n n ，不存在正整数n ，使得80060+>n S n 、 当24-=n a n 时，222)]24(2[n n n S n =-+=， 令8006022+>n n ，即0400302>--n n ， 解得40>n 或10-<n （舍去）此时存在正整数n ，使得80060+>n S n 成立，n 得最小值为41、 综上所述，当2=n a 时，不存在正整数n ； 当24-=n a n 时，存在正整数n ，使得80060+>n S n 成立，n 得最小值为41、。