2018年高考数学总复习 11.3 几何概型演练提升同步测评 文 新人教B版
高考数学一轮复习 11.3 几何概型精品教学案(教师版)新人教版
2013年高考数学一轮复习精品教学案11.3 几何概型（新课标人教版，教师版）1．了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率．2．了解几何概型的意义．【考点预测】高考对此部分内容考查的热点与命题趋势为:1.概率是历年来高考重点内容之一,在选择题、填空题与解答题中均有可能出现，一般以实际应用题的形式考查，又经常与其它知识结合，在考查概率等基础知识的同时，考查转化思想和分类讨论等思想，以及分析问题、解决问题的能力.2.2013年的高考将会继续保持稳定,坚持以实际应用题的形式考查概率，或在选择题、填空题中继续搞创新,命题形式会更加灵活.【要点梳理】1.几何概型事件A 理解为区域Ω的某一子区域A ，A 的概率只与子区域A 的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与A 的位置和形状无关．满足以上条件的试验称为几何概型．2．几何概型中，事件A 的概率计算公式P (A )＝构成事件A 的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积. 3．要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；(2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性．【例题精析】考点一 与长度、角度有关的几何概型例1.（2009年高考山东卷理科11） 在区间[-1，1]上随机取一个数x ，cos2x π的值介于0到21之间的概率为（ ） A. 31 B.π2 C.21 D. 32 【答案】A【解析】当10cos 22xπ<<时，在区间[]1,1-上，只有223x πππ-<<-或322x πππ<<，即22(1,)(,1)33x ∈--，根据几何概型的计算方法，这个概率值是13.【名师点睛】本小题主要考查与三角函数结合的有关长度的几何概型的计算，熟练基本概念是解决本类问题的关键.【变式训练】1.点A 为周长等于3的圆周上的一个定点．若在该圆周上随机取一点B ，则劣弧AB 的长度小于1的概率为________．考点二 与面积、体积有关的几何概型例2. (2012年华东师大附中模拟)设有关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0.若a 是从区间[0,3]任取的一个数，b 是从区间[0,2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．【变式训练】2.(2012年高考北京卷文科3)设不等式组⎩⎨⎧≤≤≤≤20,20y x ，表示平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（ ）（A ）4π （B ）22π- （C ）6π （D ）44π-【易错专区】问题：综合应用例.(2012年高考陕西卷理科10)右图是用模拟方法估计圆周率π值的程序框图，P 表示估计结果，则图中空白框内应填入（ ）（A ） 1000N P =（B ） 41000N P = （C ） 1000M P = （D ） 41000M P =1.（2009年高考山东卷文科第11题）在区间[,]22ππ-上随机取一个数x ，cos x 的值介于0到21之间的概率为（ ） A.31 B.π2 C.21 D. 32 【答案】A 【解析】当10cos 2x <<时，在区间[,]22ππ-上，只有23x ππ-<<-或32x ππ<<，根据几何概型的计算方法，这个概率值是13. 2. (湖南省十二校2011届高三第二次联考) 在区间[-3，5]上随机取一个数x ，则[1，3]的概率为（ ）A.B.C. D.【答案】C 【解析】本题考查几何概型,所求的概率为2184=,故选C. 3．（2010年高考湖南卷文科11）在区间[-1,2]上随即取一个数x ，则x ∈[0,1]的概率为 。
2018届新高考联盟11月教学质量测评文科数学试题(解析版)
2018届新高考联盟11月教学质量测评数学（文）试题（解析版）一、单选题1．已知集合A={x|x2−2x−3≥0},B={x|−2≤x<3}，则A∩B=（）A. [−2,3) B. [−2,−1] C. [−1,1] D. [1,3)【答案】B【解析】集合A={x|x2−2x−3≥0}={x|x≤−1或x≥3},B={x|−2≤x<3}所以A∩B={x|−2≤x<−1}=[−2,−1].故选B.2．(1+i)2(1−i)3=（）A. 12+12i B. 12−12i C. −12+12i D. −12−12i【答案】D【解析】(1+i)2(1−i)3=2i−2i(1−i)=1−1+i=−12−12i.故选D.3．已知F为双曲线C:x2−my2=4m(m>0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（）A. 2B. 4C. 2mD. 4m【答案】A【解析】双曲线C:x 24m −y24=1，双曲线焦点到一条渐近线的距离为虚轴长的一半.故选A.4．一次数学考试中，4位同学各自在第22题和第23题中任选一题作答，则第22题和第23题都有同学选答的概率为（）A. 516B. 38C. 78D. 1516【答案】C【解析】4位同学各自在第22题和第23题中任选一题作答的等可能结果有16种，而4位同学选择在同一道题作答的等可能结果有2种，从而4位同学选择同一道题作答的概率为18，故第22题和第23题都有同学选答的概率为1−18=78.故选C.5．设f(x)是周期为4的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)=x(1+x)，则f(−92)=（）A. −34B. −14C. 14D. 34【答案】A【解析】f (−92)==f (−92+4)=f (−12)=−f (−12)=−12(1+12)=−34. 故选A.6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（ ）A. 2+√2+√32B. 52+√2+√32C. 3+√2+√32D. 72+√2+√32【答案】D【解析】由三视图可知，几何体为下面一个直三棱柱，上面一个三棱锥 三棱柱的底面面积为：12×1×1=12，侧面积为：√2+1+1=√2+2； 三棱锥的侧面积为：12×1×1+12×1×1+√34×(√2)2=1+√32. 该几何体的表面积是72+√2+√32. 故选D.点睛：三视图问题的常见类型及解题策略 (1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示．(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合． (3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．7．我国古代的劳动人民曾创造了灿烂的中华文明，戍边的官兵通过在烽火台上举火向国内报告，烽火台上点火表示数字1，不点火表示数字0，这蕴含了进位制的思想.如图所示的程序框图的算法思路就源于我国古代戍边官兵的“烽火传信”.执行该程序框图，若输入a =110011,k =2,n =6，则输出b 的值为（ ）A. 19B. 31C. 51D. 63 【答案】C【解析】按照程序框图执行，b 依次为0,1,3,3,3,19,51，故输出b =51. 故选C.8．在等比数列{a n }中，a 2=√2,a 3=√33，则a 11+a2011a 17+a 2017=（ ）A. 29B. 49C. 23D. 89 【答案】D【解析】依题意知等比数列{a n }的公比q =a 3a 2=√33√2， 故a 11+a 2011a 17+a 2017=a11+a 2011q 6(a11+a 2011)=1q 6=89. 故选D.9．某房间的室温T （单位:摄氏度）与时间t （单位:小时）的函数关系是：T =asint +bcost,t ∈(0,+∞)，其中a,b 是正实数.如果该房间的最大温差为10摄氏度，则a +b 的最大值是（ ） A. 5√2 B. 10 C. 10√2 D. 20 【答案】A【解析】由辅助角公式：T =asint +bcost =√a 2+b 2sin(t +φ)，其中φ满足条件：sinφ=√a 2+b2cosφ=√a 2+b 2，则函数T 的值域是[−√a 2+b 2,√a 2+b 2]，由室内最大温差为2√a 2+b 2=10，得√a 2+b 2=5，a 2+b 2=25.设a =5cosθ,b =5sinθ，则a +b =5cosθ+5sinθ=5√2sin(θ+π4). 故a +b ≤5√2，当且仅当a =b =5√22时等号成立. 故选A.10．设函数f (x )=lg (1+2|x |)−11+x 4，则使得f (3x −2)>f (x −4)成立的x 的取值范围是（ ）A. (13,1)B. (−1,32)C. (−∞,32)D. (−∞,−1)∪(32,+∞) 【答案】D【解析】显然函数是偶函数，且f (x )在(0,+∞)单调递增，因此要使f (3x −2)>f (x −4)成立，只需|3x −2|>|x −4|，只需(3x −2)2>(x −4)2. 解得x <−1或x >32.故选D.点睛：本题考查了函数的相关性质，涉及函数的值求法，奇偶性、单调性的证明，不等式的求解，属于难题.解决此类型问题，关键体会对定义域内任意自变量存在的性质，特别是特值的求解，即要善于发现，又要敢于试验，奇偶性在把握定义得前提下，通过赋值向定义靠拢，单调性就是要结合单调性证明格式，正用、逆用，变形使用性质，解不等式就是奇偶性及单调性的应用，注意定义域问题. 11．已知抛物线C:y 2=4x ，点D (2,0),E (4,0),M 是抛物线C 异于原点O 的动点，连接ME 并延长交抛物线C 于点N ，连接MD,ND 并分别延长交拋物线C 于点P,Q ，连接PQ ，若直线MN,PQ 的斜率存在且分别为k 1,k 2，则k 2k 1=（ ）A. 4B. 3C. 2D. 1 【答案】C【解析】设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),P (x 3,y 3),Q (x 4,y 4)， 则直线MD 的方程为x =x 1−2y 1y +2代入抛物线C:y 2=4x ，整理得y 2−4(x 1−2)y 1y −8=0，所以y 1y 3=−8,即y 3=−8y 1，从而x 3=16y 12,故P (16y 12,−8y 1)，同理可得Q (16y 22,−8y 2)，因为M,E,N 三点共线，所以y 1x 1−4=y 2x2−4，从而y 1y 2=−16.所以k 2=−8y 2+8y 116y 22−16y 12=8y2+y 1，k 1=y 2−y 1x 2−x 1=y 2−y 1y 124−y 224=4y 2+y 1.所以k1k 2=2.故选C. 12．若函数f (x )满足xf (x )−f (x )=x 3e x ,f (1)=0，则当x >0时，f (x )（ ） A. 有极大值，无极小值 B. 有极小值，无极大值 C. 既有极大值又有极小值 D. 既无极大值又无极小值 【答案】B【解析】由题设知，当x >0时，[f(x)x]′=xf′(x)−f(x)x 2=x 3e x x 2=xe x ，可得f(x)x=(x −1)e x +C(C 为常数），又f (1)=0，得C=0所以f (x )=x(x −1)e x .又f′(x )=(x 2+x −1)e x ,令f′(x )=0，解得x =√5−12或x =−√5−12（舍去）.所以当x >0时，x ∈(0,√5−12),f ′(x )<0,x ∈(√5−12,+∞),f ′(x )>0，所以当x >0时，f (x )有极小值f (√5−12)，无极大值. 故选B.点睛：本题主要考查构造函数，常用的有： f(x)+xf ′(x)，构造xf (x )； 2xf (x )+x 2f ′(x )，构造x 2f (x )； xf ′(x )−f(x)，构造f(x)x;f ′(x )−f(x)，构造f(x)e x；f ′(x )−f(x)，构造e x f(x).等等.二、填空题13．设向量a ⃑,b ⃑⃑满足|a ⃑|=|b ⃑⃑|=1，a ⃑⋅b ⃑⃑=−12，则|2a ⃑+b⃑⃑|=__________． 【答案】√3【解析】因为|2a ⃑+b ⃑⃑|2=4a ⃑2+b ⃑⃑2+4a ⃑⋅b⃑⃑=4+1+4×(−12)=3. 所以|2a ⃑+b⃑⃑|=√3. 14．若x,y 满足约束条件{x −y +2≤0,x ≥1,x +y −7≤0,则y x的最大值是__________． 【答案】6【解析】如图，作出不等式组{x −y +2≤0,x ≥1,x +y −7≤0,所表示的平面区域，y x可以理解为过可行域中一点(x,y)与原点(0,0)的直线的斜率，点(x,y)在点B(1,6)处时yx 取得最大值6.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得. 15．设等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 2016−S 1=1，则S 2017=__________． 【答案】20172015【解析】因为S 2016−S 1=a 2+a 3+⋯+a 2015=2015(a 2+a 20152)=2015a 1009=1，所以a 1009=12015，从而S 2017=2017(a 1+a 20172)=2017a 1009=20172015.16．传说中孙悟空的“如意金箍棒”是由“定海神针”变形得来的.这定海神针在弯形时永远保持为圆柱体，其底面半径原为12cm 且以每秒1cm 等速率缩短，而长度以每秒20cm 等速率增长.已知神针的底面半径只能从12cm 缩到4cm 为止，且知在这段变形过程中，当底面半径为10cm 时其体积最大.假设孙悟空将神针体积最小时定形成金箍棒,则此时金箍棒的底面半径为__________cm ． 【答案】4【解析】设原来神针的长度为acm ，t 秒时神针体积为V (t )，则V (t )=π(12−t)2∙(a +20t)，其中0≤t ≤8。
2018年高考数学(文)仿真模拟试卷(含答案)
2018年高考数学（文）仿真模拟试卷一、选择题1. 已知集合，,则（）A. B. C. D.2. 复数的共轭复数的虚部是（）A. B. C. D.3. 下列结论正确的是（）A. 若直线平面，直线平面，且不共面，则B. 若直线平面，直线平面，则C. 若两直线与平面所成的角相等，则D. 若直线上两个不同的点到平面的距离相等，则4. 已知，则（）A. B. C. D.5. 设直线过双曲线的一个焦点，且与的一条对称轴垂直，与交于两点，为的实轴长的2倍，则的离心率为（）A. B. C. D.6. 已知一几何体的三视图如图所示，俯视图由一个直角三角形与一个半圆组成，则该几何体的体积为A. B. C. D.7. 执行如图所示的程序框图，如果输入的，那么输出的（）A.B.C.D.8. 设等差数列的前项和为，若，则（）A. B. C. D.9. 若将函数的图像向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为（）A. B. C. D.10. 若，则的最小值为（）A. 8B. 6C. 4D. 211. 在平面直角坐标系中，为原点，，动点满足，则的取值范围是（）A. B. C. D.12. 已知函数(为自然对数的底数）与的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题：13. 设满足约束条件则的最小值是_____ .14. 若，则的值为_____.15. 正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为_____________．16. 若函数,当，时有恒成立，则的取值范围是____________ .三、解答题：17. 设数列的前项和为，满足．（1）证明：数列为等比数列；（2）若，求．18. 某学校为了了解学生使用手机的情况，分别在高一和高二两个年级各随机抽取了100名学生进行调查．下面是根据调查结果绘制的学生日均使用手机时间的频数分布表和频率分布直方图，将使用手机时间不低于80分钟的学生称为“手机迷”．高一学生日均使用手机时间的频数分布表（1）将频率视为概率，估计哪个年级的学生是“手机迷”的概率大？请说明理由．（2）在高二的抽查中，已知随机抽到的女生共有55名，其中10名为“手机迷”．根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你有多大的把握认为“手机迷”与性别有关？ 非手机迷 手机迷 合计 男 女 合计附：随机变量（其中为样本总量）．参考数据0.1500.100 0.050 0.0252.0722.7063.841 5.024时间分组 频数 [0，20） 12 [20，40）20 [40，60） 24 [60，80） 18 [80，100）22 [100，120]419. 如图，在四棱锥中，面，，，，，为的中点.（1）求证：面；（2）求三棱锥的体积.20. 已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆的离心率为，且经过点，过点的直线与椭圆相交于不同的两点.（1）求椭圆的方程；（2）是否存在直线，满足? 若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．21. 已知函数．（1）若曲线上点处的切线过点，求函数的单调减区间；（2）若函数在上无零点，求的最小值．22. 已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，且曲线的左焦点在直线上．（1）若直线与曲线交于两点，求的值；（2）求曲线的内接矩形的周长的最大值.文科数学（解析）一、选择题：1. 已知集合，,则A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：解出集合B中的一元二次不等式，取其解集中的整数得集合B中的元素，再由并集的定义得结论．详解：由得，∴，∴．故选B．2. 复数的共轭复数的虚部是A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：因为，其共轭复数为，所以得数复数的共轭复数的虚部是，故选C．考点：复数的概念及运算．3. 下列结论正确的是A. 若直线平面，直线平面，且不共面，则B. 若直线平面，直线平面，则C. 若两直线与平面所成的角相等，则D. 若直线上两个不同的点到平面的距离相等，则【答案】A【解析】试题分析：A中，垂直于同一直线的两平面互相平行，所以直线直线平面，直线平面，则，正确；B中，若直线平面，直线平面，则两平面可能相交或平行，故B错；C中，若两直线与平面所成的角相等，则可能相交、平行或异面，故C错；D中，若直线上两个不同的点到平面的距离相等，则直线与平面可能相交或者平行，故D错，故选A．考点：空间直线与平面间的位置关系．4. 已知，则A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：利用辅助角公式（两角差的正弦公式）把已知条件化为，再由诱导公式和同角关系得出结论．详解：，∴，，∴．故选A．点睛：利用两角和与差的正弦（余弦公式）可得：，．5. 设直线过双曲线的一个焦点，且与的一条对称轴垂直，与交于两点，为的实轴长的2倍，则的离心率为A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：过焦点与对称轴垂直的弦是双曲线的通径，通径长为，这样可得关于的一个等式，化简可得离心率．详解：∵AB与双曲线的一条对称轴垂直，∴，∴，，，∴，即．故选C．点睛：过双曲线（或椭圆）的焦点与对称轴垂直的弦是该曲线的通径，通径长为，求法很简单，即令代入方程求得即可得弦长．6. 已知一几何体的三视图如图所示，俯视图由一个直角三角形与一个半圆组成，则该几何体的体积为A. B. C. D.【答案】A【解析】由三视图可知，该几何体为一组合体，它由半个圆柱和一个底面是直角三角形的直棱柱组成，故该几何体的体积，故选A.7. 执行如图所示的程序框图，如果输入的，那么输出的A.B.C.D.【答案】B【解析】试题分析：由程序框图，每次循环中，参数的值依次为，，，，这里结束循环，输出结果为B..8. 设等差数列的前项和为，若，则A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：利用等差数列的性质，可迅速求解．详解：由题意＝15，，∴．故选A．点睛：等差数列中，如果，则，特别地如果，则，这是等差数列的一个重要性质，解题中灵活应用此性质可减少计算量．9. 若将函数的图像向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：利用函数图象平移法则求出平移后的函数解析式，然后利用正弦函数的对称轴可求得新函数的对称轴．详解：平移后函数解析式为，令，则，．故选B．点睛：函数图象左右平移时，只是对而言，如函数的图象向左平移个单位，得的图象，易出错的是得出的图象．10. 若，则的最小值为A. 8B. 6C. 4D. 2【答案】C【解析】分析：利用对数运算法则，得，从而有，再利用基本不等式得，化简可得，从而得所求最小值．详解：∵，∴，∴，∵，∴，，当且仅当时取等号．故选C．点睛：在用基本不等式求最值时，要注意其三个条件缺一不可，一正，二定，三相等，在求最值时，如果几次用到不等式进行放缩，那么一定要探索每个不等号中等号成立的条件是否是同一个，否则最后的等号不能取到．11. 在平面直角坐标系中，为原点，，动点满足，则的取值范围是A. B.C. D.【答案】D【解析】试题分析：∵动点满足，，∴可设．又，，∴．∴（其中），∵，∴，∴的取值范围是．故选：D．考点：向量的加法及其几何意义.【方法点睛】本题考查了向量的坐标运算、数量积性质、模的计算公式、三角函数的单调性等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．由于动点满足，，可设．再利用向量的坐标运算、数量积性质、模的计算公式、三角函数的单调性即可得出．12. 已知函数(为自然对数的底数）与的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：函数与的图象上存在关于轴对称的点，即函数与的图象有交点，即在区间有零点，，故函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，即在处取得最小值，要与有交点，则需.另一方面，故，，综上所述，实数的取值范围是.考点：函数导数与不等式.【思路点晴】两个函数图象存在关于轴的对称点，也就相当于把其中一个函数先关于对称，对称得到的图象和另一个函数的图象有交点，本题中函数转换为函数，要使与有交点，也就是有零点，转化为的最小值不大于零，最大值不小于零来解决.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
创新导学案2018高考数学人教B版 文科总复习演练提升
A 组 专项基础训练(时间：20分钟)1．(2017·山东淄博六中期中)已知定义在R 上的函数f (x )，对任意x ∈R ，都有f (x ＋6)＝f (x )＋f (3)成立，若函数y ＝f (x ＋1)的图象关于直线x ＝－1对称，则f (2 019)＝( )A ．0B ．2 019C ．3D ．－2 019【解析】 ∵函数y ＝f (x ＋1)的图象关于直线x ＝－1对称，∴函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝0，即y 轴对称，∴y ＝f (x )为R 上的偶函数．又∵对任意x ∈R ，均有f (x ＋6)＝f (x )＋f (3)，令x ＝－3，得f (6－3)＝f (－3)＋f (3)＝2f (3)，∴f (3)＝0，∴f (x ＋6)＝f (x )，∴函数y ＝f (x )是以6为周期的周期函数，∴f (2 019)＝f (336×6＋3)＝f (3)＝0.【答案】 A2．为了得到函数y ＝2x －3－1的图象，只需把函数y ＝2x 的图象上所有的点( )A ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度B ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度C ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度D ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 【解析】 y ＝2x ――→向右平移3个单位长度y ＝2x－3――→向下平移1个单位长度y ＝2x －3－1.故选A.【答案】 A3．(2017·安徽黄山一模)如图所示的图象可能是下列哪个函数的图象( )A ．y ＝2x－x 2－1 B ．y ＝2x sin x4x ＋1C ．y ＝(x 2－2x )e xD ．y ＝xln x【解析】 A 中，∵y ＝2x －x 2－1＝2x －(x 2＋1)，当x 趋向于－∞时，2x 的值趋向于0，x 2＋1的值趋向于＋∞，∴当x 趋向于－∞时，函数y ＝2x －x 2－1的值趋向于－∞，∴A 中的函数不符合；B 中，∵y ＝sin x 是周期函数，∴函数y ＝2x sin x4x ＋1的图象是在x 轴附近的波浪线，∴B 中的函数不符合；D 中，y ＝xln x 的定义域是(0，1)∪(1，＋∞)，∴D 中函数不符合．故选C.【答案】 C4．(2016·浙江)函数y ＝sin x 2的图象是( )【解析】 排除法．由y ＝sin x 2为偶函数判断函数图象的对称性，排除A ，C ；当x ＝π2时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π22＝sin π24≠1，排除B ，故选D.【答案】 D5．使log 2(－x )＜x ＋1成立的x 的取值范围是( ) A ．(－1，0) B ．[－1，0) C ．(－2，0) D ．[－2，0)【解析】 在同一坐标系内作出y ＝log 2(－x )，y ＝x ＋1的图象，知满足条件的x ∈(－1，0)，故选A.【答案】 A6．已知函数f (x )的图象如图所示，则函数g (x )＝log2f (x )的定义域是________．【解析】 当f (x )＞0时，函数g (x )＝log 2f (x )有意义，由函数f (x )的图象知满足f (x )＞0的x ∈(2，8]．【答案】 (2，8]7．用min{a ，b ，c }表示a ，b ，c 三个数中的最小值．设f (x )＝min{2x ，x ＋2，10－x }(x ≥0)，则f (x )的最大值为________．【解析】 f (x )＝min{2x ，x ＋2，10－x }(x ≥0)的图象如图．令x ＋2＝10－x ，得x ＝4. 当x ＝4时，f (x )取最大值，f (4)＝6. 【答案】 68．如图，函数f (x )的图象是曲线OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为(0，0)，(1，2)，(3，1)，则f ⎝⎛⎭⎫1f （3）的值等于________．【解析】 ∵由图象知f (3)＝1， ∴1f （3）＝1.∴f ⎝⎛⎭⎫1f （3）＝f (1)＝2.【答案】 2B 组 专项能力提升 (时间：15分钟)9．(2016·山东)若函数y ＝f (x )的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y ＝f (x )具有T 性质．下列函数中具有T 性质的是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝ln xC ．y ＝e xD ．y ＝x 3 【解析】 ∵y ＝sin x ，∴y ′＝cos x .设y ＝sin x 具有T 性质，则在y ＝sin x 的图象上存在两点(x 1，sin x 1)，(x 2，sin x 2)，使cos x 1·cos x 2＝－1.∵当x 1＝0，x 2＝π时成立，∴y ＝sin x 具有T 性质．y ＝ln x 的定义域为(0，＋∞)，y ′＝1x ，则对定义域上任意两点x 1，x 2，1x 1·1x 2＞0，则y ＝ln x 不具有T 性质．同理，y ＝e x ，y ＝x 3不具有T 性质．故选A.【答案】 A10．(2015·安徽)函数f (x )＝ax ＋b（x ＋c ）2的图象如图所示，则下列结论成立的是( )A ．a ＞0，b ＞0，c ＜0B ．a ＜0，b ＞0，c ＞0C ．a ＜0，b ＞0，c ＜0D ．a ＜0，b ＜0，c ＜0【解析】 函数定义域为{x |x ≠－c }，结合图象知－c ＞0， ∴c ＜0.令x ＝0，得f (0)＝bc 2，又由图象知f (0)＞0，∴b ＞0.令f (x )＝0，得x ＝－b a ，结合图象知－ba ＞0，∴a ＜0.故选C.【答案】 C11．(2017·贵阳监测)函数y ＝x 33x －1的图象大致是( )【解析】 由题意得，x ≠0，排除A ；当x ＜0时，x 3＜0，3x－1＜0，∴x 33x －1＞0，排除B ；又∵x →＋∞时，x 33x －1→0，∴排除D ，故选C.【答案】 C12．已知f (x )是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0，3)时，f (x )＝⎪⎪⎪⎪x 2－2x ＋12.若函数y ＝f (x )－a 在区间[－3，4]上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是________．【解析】 先画出y ＝x 2－2x ＋12在区间[0，3)上的图象，再将x 轴下方的图象对称到x轴上方，利用周期为3，将图象平移至区间[－3，4]内，即得f (x )在区间[－3，4]上的图象如图所示，其中f (－3)＝f (0)＝f (3)＝0.5，f (－2)＝f (1)＝f (4)＝0.5.函数y ＝f (x )－a 在区间[－3，4]上有10个零点(互不相同)等价于y ＝f (x )的图象与直线y ＝a 有10个不同的交点，由图象可得a ∈⎝⎛⎭⎫0，12.【答案】 ⎝⎛⎭⎫0，12 13．给出下列命题：①在区间(0，＋∞)上，函数y ＝x －1，y ＝x 12，y ＝(x －1)2，y ＝x 3中有三个是增函数；②若log m 3＜log n 3＜0，则0＜n ＜m ＜1；③若函数f (x )是奇函数，则f (x －1)的图象关于点(1，0)对称；④若函数f (x )＝3x －2x －3，则方程f (x )＝0有两个实数根，其中正确的命题是________．【解析】 对于①，在区间(0，＋∞)上，只有y ＝x 12，y ＝x 3是增函数，所以①错误．对于②，由log m 3＜log n 3＜0，可得1log 3m ＜1log 3n＜0，即log 3n ＜log 3m ＜0，所以0＜n ＜m ＜1，所以②正确．易知③正确．对于④，方程f (x )＝0即为3x －2x －3＝0，变形得3x ＝2x ＋3，令y 1＝3x ，y 2＝2x ＋3，在同一坐标系中作出这两个函数的图象，如图．由图象可知，两个函数图象有两个交点，所以④正确． 【答案】 ②③④。
精选推荐2018年高考数学总复习11.3几何概型演练提升同步测评文新人教B版
11.3 几何概型A 组 专项基础训练(时间：30分钟)1．(2017·宁波一模)已知实数a 满足－3＜a ＜4，函数f (x )＝lg(x 2＋ax ＋1)的值域为R 的概率为P 1，定义域为R 的概率为P 2，则( )A ．P 1＞P 2B ．P 1＝P 2C ．P 1＜P 2D ．P 1与P 2的大小不确定【解析】 若f (x )的值域为R ，则Δ＝a 2－4≥0，得a ≤－2或a ≥2，故P 1＝－2－（－3）4－（－3）＋4－24－（－3）＝37.若f (x )的定义域为R ，则Δ＝a 2－4＜0，得－2＜a ＜2，故P 2＝2－（－2）4－（－3）＝47，所以P 1＜P 2. 【答案】 C2．(2017·石家庄一模)在区间[0，1]上任取两个数，则这两个数之和小于65的概率是( )A.1225B.1625C.1725 D.1825【解析】 设这两个数分别是x ，y ，则总的基本事件构成的区域是⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤1确定的平面区域，所求事件包含的基本事件构成的区域是⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤1，x ＋y ＜65确定的平面区域，如图所示，阴影部分的面积是1－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝1725，所以这两个数之和小于65的概率是1725.【答案】 C3．(2017·山西四校联考)在面积为S 的△ABC 内部任取一点P ，则△PBC 的面积大于S4的概率为( )A.14B.34C.49D.916【解析】 设AB ，AC 上分别有点D ，E 满足AD ＝34AB 且AE ＝34AC ，则△ADE ∽△ABC ，DE∥BC 且DE ＝34BC .∵点A 到DE 的距离等于点A 到BC 的距离的34，∴DE 到BC 的距离等于△ABC高的14.当动点P 在△ADE 内时，P 到BC 的距离大于DE 到BC 的距离，∴当P 在△ADE 内部运动时，△PBC 的面积大于S4，∴所求概率为S △ADE S △ABC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝916.【答案】 D4．(2017·石家庄模拟)已知O ，A ，B 三地在同一水平面内，A 地在O 地正东方向2 km 处，B 地在O 地正北方向2 km 处，某测绘队员在A ，B 之间的直线公路上任选一点C 作为测绘点，用测绘仪进行测绘，O 地为一磁场，距离其不超过 3 km 的范围内会对测绘仪等电子仪器形成干扰，使测量结果不准确，则该测绘队员能够得到准确数据的概率是( )A.12B.22 C ．1－32 D ．1－22【解析】 由题意知在等腰直角三角形OAB 中，以O 为圆心，3为半径的圆截AB 所得的线段长为2，而|AB |＝22，故该测绘队员能够得到准确数据的概率是1－222＝1－22.【答案】 D5．(2017·广州摸底)由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x －2≤0确定的平面区域记为Ω1，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x ＋y ≥－2确定的平面区域记为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为( )A.18B.14C.34D.78【解析】 平面区域Ω1的面积为12×2×2＝2，平面区域Ω2为一个条形区域，画出图形如图所示，其中C (0，1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y －x －2＝0，x ＋y ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12，y ＝32，即D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，则△ACD 的面积为S ＝12×1×12＝14，则四边形BDCO 的面积S ＝S △OAB －S △ACD ＝2－14＝74.在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为742＝78.【答案】 D6．(2017·鞍山调查)一只昆虫在边分别为5，12，13的三角形区域内随机爬行，则其到三角形顶点的距离小于2的地方的概率为________．【解析】 如图所示，该三角形为直角三角形，其面积为12×5×12＝30，阴影部分的面积为12×π×22＝2π，所以所求概率为2π30＝π15.【答案】 π157．(2017·湖北七市联考)AB 是半径为1的圆的直径，M 为直径AB 上任意一点，过点M 作垂直于直径AB 的弦，则弦长大于3的概率是________．【解析】 依题意知，当相应的弦长大于3时，圆心到弦的距离小于12－⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝12，因此相应的点M 应位于线段AB 上与圆心的距离小于12的地方，所求的概率等于12. 【答案】 12【解析】 如图所示，当m ＝0时，平面区域E (阴影部分)的面积最大，此时点P 落在平面区域E 内的概率最大．【答案】 09．(2017·湖南衡阳八中月考)随机向边长为5，5，6的三角形中投一点P ，则点P 到三个顶点的距离都不小于1的概率是________．【解析】 由题意作图，如图 则点P 应落在深色阴影部分，S 三角形＝12×6×52－32＝12，三个小扇形可合并成一个半圆，故其面积为π2，故点P 到三个顶点的距离都不小于1的概率为12－π212＝24－π24.【答案】 24－π2410．已知向量a ＝(2，1)，b ＝(x ，y )．(1)若x ∈{－1，0，1，2}，y ∈{－1，0，1}，求向量a ∥b 的概率； (2)若x ∈[－1，2]，y ∈[－1，1]，求向量a ，b 的夹角是钝角的概率．【解析】 (1)设“a ∥b ”为事件A ，由a ∥b ，得x ＝2y .基本事件空间为Ω＝{(－1，－1)，(－1，0)，(－1，1)，(0，－1)，(0，0)，(0，1)，(1，－1)，(1，0)，(1，1)，(2，－1)，(2，0)，(2，1)}，共包含12个基本事件；其中A ＝{(0，0)，(2，1)}，包含2个基本事件．则P (A )＝212＝16，即向量a ∥b 的概率为16. (2)因为x ∈[－1，2]，y ∈[－1，1]，则满足条件的所有基本事件所构成的区域如图为矩形ABCD ，面积为S 1＝3×2＝6.设“a ，b 的夹角是钝角”为事件B ，由a ，b 的夹角是钝角，可得a ·b ＜0，即2x ＋y ＜0，且x ≠2y .事件B 包含的基本事件所构成的区域为图中四边形AEFD ，面积S 2＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32×2＝2，则P (B )＝S 2S 1＝26＝13.即向量a ，b 的夹角是钝角的概率是13.B 组 专项能力提升 (时间：30分钟)11．(2016·课标全国Ⅱ)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为( )A.710 B.58C.38D.310【解析】 此人来到时，正好是红灯，若至少需要等待15秒，说明红灯开始时间小于等于25秒．对应概率P ＝2540＝58.故选B.【答案】 B12．(2015·湖北)在区间[0，1]上随机取两个数x ，y ，记p 1为事件“x ＋y ≥12”的概率，p 2为事件“|x －y |≤12”的概率，p 3为事件“xy ≤12”的概率，则( )A ．p 1＜p 2＜p 3B ．p 2＜p 3＜p 1C ．p 3＜p 1＜p 2D ．p 3＜p 2＜p 1【解析】 如图，点(x ，y )所处的空间为正方形OBCA 表示的平面区域(包括其边界)，故本题属于几何概型中的“面积比”型．分别画出三个事件对应的图形，根据图形面积的大小估算概率的大小．满足条件的x ，y 构成的点(x ，y )在正方形OBCA 及其边界上．事件“x ＋y ≥12”对应的图形为图①所示的阴影部分；事件“|x －y |≤12”对应的图形为图②所示的阴影部分；事件“xy ≤12”对应的图形为图③所示的阴影部分．对三者的面积进行比较，可得p 2＜p 3＜p 1.【答案】 B13．(2016·黑龙江哈尔滨六中期末)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤30≤y ≤1，表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离小于2的概率是( )A.π4B.π－36 C.3＋3π12 D.33＋2π18【解析】 区域D ：⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤30≤y ≤1，表示矩形，面积为3.到坐标原点的距离小于2的点，位于以原点O 为圆心、半径为2的圆内，则图中的阴影面积为12×1×3＋30360×π×4＝32＋π3，∴所求概率为P ＝33＋2π18.故选D.【答案】 D14．(2017·山东青岛一模)如图所示，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角θ＝π6.现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，则飞镖落在小正方形内的概率是________．【解析】 易知小正方形的边长为3－1，故小正方形的面积为S 1＝(3－1)2＝4－23，大正方形的面积为S ＝2×2＝4，故飞镖落在小正方形内的概率P ＝S 1S ＝4－234＝2－32.【答案】 2－3215．甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的．如果甲船停泊时间为1 h ，乙船停泊时间为2 h ，求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率．【解析】 设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为x 与y ，记事件A 为“两船都不需要等待码头空出”，则0≤x ≤24，0≤y ≤24，要使两船都不需要等待码头空出，当且仅当甲比乙早到达1 h 以上或乙比甲早到达2 h 以上，即y －x ≥1或x －y ≥2.故所求事件构成集合A ＝{(x ，y )|y －x ≥1或x －y ≥2，x ∈[0，24]，y ∈[0，24]}．A 为图中阴影部分，全部结果构成集合Ω为边长是24的正方形及其内部．所求概率为P (A )＝A 的面积Ω的面积＝（24－1）2×12＋（24－2）2×12242＝506.5576＝1 0131 152.。
创新导学案2018高考数学人教B版 文科总复习演练提升
A 组 专项基础训练(时间：35分钟)1．(2017·青岛二中月考)从1，2，…，9中任取两数，给出下列事件：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个数都是奇数；③至少有一个奇数和两个数都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．其中是对立事件的是( )A ．①B ．②④C ．③D ．①③【解析】 根据题意，从1，2，…，9中任取两数，其中可能的情况有“两个奇数”“两个偶数”“一个奇数与一个偶数”三种情况．依次分析所给的4个事件可得：①恰有一个偶数和恰有一个奇数都是“一个奇数与一个偶数”这种情况，不是对立事件；②至少有一个奇数包括“两个奇数”与“一个奇数与一个偶数”两种情况，与“两个数都是奇数”不是对立事件；③至少有一个奇数包括“两个奇数”与“一个奇数与一个偶数”两种情况，和“两个数都是偶数”是对立事件；④至少有一个奇数包括“两个奇数”与“一个奇数与一个偶数”两种情况，至少有一个偶数包括“两个偶数”与“一个奇数与一个偶数”两种情况，不是对立事件．【答案】 C2．(2017·北京海淀模拟)为了估计某水池中鱼的尾数，先从水池中捕出2 000尾鱼，并给每尾鱼做上标记(不影响存活)，然后放回水池，经过适当的时间，再从水池中捕出500尾鱼，其中有标记的鱼为40尾，根据上述数据估计该水池中鱼的尾数为( )A ．10 000B ．20 000C ．25 000D ．30 000【解析】 由题意可得有记号的鱼所占的比例大约为40500＝225，设水池中鱼的尾数是x ，则有225＝2 000x，解得x ＝25 000.【答案】 C3．(2017·河北大城一中月考)某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%，则抽检一件是正品(甲级)的概率为( )A ．0.95B ．0.97C ．0.92D ．0.08【解析】 记抽检的产品是甲级品为事件A ，是乙级品为事件B ，是丙级品为事件C ，这三个事件彼此互斥，因而所求概率为P (A )＝1－P (B )－P (C )＝1－5%－3%＝92%＝0.92.【答案】 C4．(2017·孝感二模)某天下课以后，教室里还剩下2位男同学和2位女同学．如果他们依次走出教室，则第2位走出的是男同学的概率为( )A.12B.13C.14D.15【解析】 已知2位女同学和2位男同学走出的所有可能顺序有(女，女，男，男)，(女，男，女，男)，(女，男，男，女)，(男，男，女，女)，(男，女，男，女)，(男，女，女，男)，所以第2位走出的是男同学的概率P ＝36＝12.【答案】 A5．(2017·云南一检)在2，0，1，5这组数据中，随机取出三个不同的数，则数字2是取出的三个不同数的中位数的概率为( )A.34B.58C.12D.14【解析】 分析题意可知，共有(0，1，2)，(0，2，5)，(1，2，5)，(0，1，5)4种取法，符合题意的取法有2种，故所求概率P ＝12.【答案】 C6．(2017·兰州诊断)从2本不同的数学书和2本不同的语文书中任意抽出2本书(每本书被抽中的机会相等)，则抽出的书是同一学科的概率等于________．【解析】 从2本不同的数学书和2本不同的语文书中任意抽出2本书共有6种不同的取法，其中抽出的书是同一学科的取法共有2种，因此所求的概率等于26＝13.【答案】 137．一根绳子长为6米，绳子上有5个节点将绳子6等分，现从5个节点中随机选一个将绳子剪断，则所得的两段绳长均不小于2米的概率为________．【解析】 随机选一个节点将绳子剪断共有5种情况，分别为(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)．满足两段绳长均不小于2米的为(2，4)，(3，3)，(4，2)，共3种情况．所以所求概率为35.【答案】 358．(2017·温州十校联考)记一个两位数的个位数字与十位数字的和为A .若A 是不超过5的奇数，从这些两位数中任取一个，其个位数为1的概率为________．【解析】 根据题意，个位数字与十位数字之和为奇数且不超过5的两位数有：10，12，14，21，23，30，32，41，50，共9个，其中个位是1的有21，41，共2个，因此所求的概率为29.【答案】 299．(2016·福建基地综合，18)某商店计划每天购进某商品若干件，商店每销售1件该商品可获利50元．若供大于求，剩余商品全部退回，但每件商品亏损10元；若供不应求，则从外部调剂，此时每件调剂商品可获利30元．(1)若商店一天购进该商品10件，求日利润y (单位：元)关于日需求量n (单位：件，n ∈N )的函数解析式；(2)商店记录了50天该商品的日需求量n (单位：件)，整理得下表：①假设该店在这(单位：元)的平均数；②若该店一天购进10件该商品，以50天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求日利润在区间[400，550]内的概率．【解析】 (1)当日需求量n ≥10时，日利润为y ＝50×10＋(n －10)×30＝30n ＋200， 当日需求量n ＜10时，利润y ＝50×n －(10－n )×10＝60n －100. 所以日利润y 与日需求量n 的函数解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧30n ＋200，n ≥10，n ∈N ，60n －100，n ＜10，n ∈N .(2)50天内有9天获得的日利润为380元，有11天获得的日利润为440元，有15天获得的日利润为500元，有10天获得的日利润为530元，有5天获得的日利润为560元．所以①这50天的日利润(单位：元)的平均数为380×9＋440×11＋500×15＋530×10＋560×550＝477.2.②日利润(单位：元)在区间[400，550]内的概率为P ＝11＋15＋1050＝1825.10．(2017·辽宁沈阳二中月考)从某学校的800名男生中随机抽取50名测量其身高，被测学生身高全部介于155 cm 和195 cm 之间，将测量结果按如下方式分组：第一组[155，160)，第二组[160，165)，…，第八组[190，195]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4.(1)求第七组的频率；(2)估计该校的800名男生的身高的中位数以及身高在180 cm 以上(含180 cm)的人数； (3)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为x ，y ，事件E ＝{|x －y |≤5}，事件F ＝{|x －y |＞15}，求P (E ∪F )．【解析】 (1)第六组的频率为450＝0.08，所以第七组的频率为1－0.08－5×(0.008×2＋0.016＋0.04×2＋0.06)＝0.06.(2)身高在第一组[155，160)的频率为0.008×5＝0.04， 身高在第二组[160，165)的频率为0.016×5＝0.08， 身高在第三组[165，170)的频率为0.04×5＝0.2， 身高在第四组[170，175)的频率为0.04×5＝0.2，由于0.04＋0.08＋0.2＝0.32＜0.5，0.04＋0.08＋0.2＋0.2＝0.52＞0.5，估计这所学校的800名男生的身高的中位数为m ，则170＜m ＜175.由0.04＋0.08＋0.2＋(m －170)×0.04＝0.5，得m ＝174.5，所以可估计这所学校的800名男生的身高的中位数为174.5. 由直方图得后三组频率为0.08＋0.06＋0.008×5＝0.18， 所以身高在180 cm 以上(含180 cm)的人数为0.18×800＝144.(3)第六组[180，185)的人数为4，设为a ，b ，c ，d ，第八组[190，195]的人数为2，设为A ，B ，则从中选两名男生有ab ，ac ，ad ，bc ，bd ，cd ，aA ，bA ，cA ，dA ，aB ，bB ，cB ，dB ，AB ，共15种情况，因事件E ＝{|x －y |≤5}发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组，所以事件E 包含的基本事件为ab ，ac ，ad ，bc ，bd ，cd ，AB ，共7种情况，故P (E )＝715.由于|x －y |max ＝195－180＝15，所以事件F ＝{|x －y |＞15}是不可能事件，P (F )＝0. 由于事件E 和事件F 是互斥事件， 所以P (E ∪F )＝P (E )＋P (F )＝715. B 组 专项能力提升 (时间：30分钟)11．(2017·湖北十市联考)从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )A ．“至少有一个黑球”与“都是黑球”B ．“至少有一个黑球”与“都是红球”C ．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”D ．“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”【解析】 A 中的两个事件是包含关系，不是互斥事件；B 中的两个事件是对立事件；C 中的两个事件都包含“一个黑球一个红球”的事件，不是互斥关系；D 中的两个事件是互斥而不对立的关系．【答案】 D12．(2016·天津)甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是12，甲获胜的概率是13，则甲不输的概率为( )A.56B.25 C.16 D.13【解析】 甲不输包括两人下成和棋和甲获胜两种情况，由已知条件及互斥事件的概率公式可得甲不输的概率为12＋13＝56.【答案】 A13．(2017·云南昆明3月月考)中国乒乓球队中的甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为37，乙夺得冠军的概率为14，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为________．【解析】 由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”，但这两个事件不可能同时发生，即彼此互斥，所以可按互斥事件概率的加法公式进行计算，即中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为37＋14＝1928.【答案】192814．(2017·河南洛阳一模)经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下：求：(1)至多2人排队等候的概率； (2)至少3人排队等候的概率．【解析】 记“无人排队等候”为事件A ，“1人排队等候”为事件B ，“2人排队等候”为事件C ，“3人排队等候”为事件D ，“4人排队等候”为事件E ，“5人及5人以上排队等候”为事件F ，则事件A ，B ，C ，D ，E ，F 互斥．(1)记“至多2人排队等候”为事件G ，则G ＝A ∪B ∪C ，所以P (G )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.(2)方法一 记“至少3人排队等候”为事件H ，则H ＝D ∪E ∪F ，所以P (H )＝P (D )＋P (E )＋P (F )＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.方法二 记“至少3人排队等候”为事件H ，则其对立事件为事件G ，所以P (H )＝1－P (G )＝0.44.15．(2015·陕西)随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下：(1)在4月份任取一天，估计西安市在该天不下雨的概率；(2)西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率．【解析】 (1)在容量为30的样本中，不下雨的天数是26，以频率估计概率，4月份任选一天，西安市不下雨的概率为P ＝2630＝1315.(2)称相邻的两个日期为“互邻日期对”(如，1日与2日，2日与3日等)，这样，在4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16个，其中后一天不下雨的有14个，所以晴天的次日不下雨的频率为78.以频率估计概率，运动会期间不下雨的概率为78.。
创新导学案2018高考数学人教B版 文科总复习演练提升
A 组 专项基础训练(时间：50分钟)1．(2017·吉林实验中学)已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1，直线l ：⎩⎨⎧x ＝－3＋3t ，y ＝23＋t(t 为参数)．(1)写出椭圆C 的参数方程及直线l 的普通方程；(2)设A (1，0)，若椭圆C 上的点P 满足到点A 的距离与其直线l 的距离相等，求点P 的坐标．【解析】 (1)椭圆C 的参数方程为：⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)，直线l 的普通方程为x －3y ＋9＝0. (2)设P (2cos θ，3sin θ)，则|AP |＝（2cos θ－1）2＋（3sin θ）2＝2－cos θ， P 到直线l 的距离d ＝|2cos θ－3sin θ＋9|2＝2cos θ－3sin θ＋92.由|AP |＝d ，得3sin θ－4cos θ＝5，又sin 2θ＋cos 2θ＝1， 得sin θ＝35，cos θ＝－45.故P ⎝⎛⎭⎫－85，335.2．(2015·陕西高考)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋12t ，y ＝32t(t 为参数)．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C 的极坐标方程为ρ＝23sin θ.(1)写出⊙C 的直角坐标方程；(2)P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标． 【解析】 (1)由ρ＝23sin θ， 得ρ2＝23ρsin θ， 从而有x 2＋y 2＝23y ， 所以x 2＋(y －3)2＝3.(2)设P ⎝⎛⎭⎫3＋12t ，32t ，又C (0，3)，则|PC |＝⎝⎛⎭⎫3＋12t 2＋⎝⎛⎭⎫32t －32＝t 2＋12，故当t ＝0时，|PC |取得最小值， 此时，点P 的直角坐标为(3，0)．3．(2017·辽宁五校联考)倾斜角为α的直线l 过点P (8，2)，直线l 和曲线C ：⎩⎨⎧x ＝42cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)交于不同的两点M 1，M 2. (1)将曲线C 的参数方程化为普通方程，并写出直线l 的参数方程； (2)求|PM 1|·|PM 2|的取值范围．【解析】 (1)曲线C 的普通方程为x 232＋y 24＝1，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)．(2)将l 的参数方程代入曲线C 的方程得： (8＋t cos α)2＋8(2＋t sin α)2＝32，整理得(8sin 2α＋cos 2α)t 2＋(16cos α＋32sin α)t ＋64＝0， 由Δ＝(16cos α＋32sin α)2－4×64(8sin 2α＋cos 2α)＞0， 得cos α＞sin α，故α∈⎣⎡⎭⎫0，π4，∴|PM 1||PM 2|＝|t 1t 2| ＝641＋7sin 2α∈⎝⎛⎦⎤1289，64. 4．(2017·山西模拟)在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ＝42sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4.现以极点O 为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2＋12t ，y ＝－3＋32t(t 为参数)． (1)写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)设直线l 和曲线C 交于A ，B 两点，定点P (－2，－3)，求|P A |·|PB |的值． 【解析】 (1)ρ＝42sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝4sin θ＋4cos θ，所以ρ2＝4ρsin θ＋4ρcos θ， 所以x 2＋y 2－4x －4y ＝0， 即(x －2)2＋(y －2)2＝8；直线l 的普通方程为3x －y ＋23－3＝0. (2)把直线l 的参数方程代入到圆C ： x 2＋y 2－4x －4y ＝0中， 得t 2－(4＋53)t ＋33＝0， 设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2， 则t 1t 2＝33.点P (－2，－3)显然在直线l 上， 由直线标准参数方程下t 的几何意义知 |P A |·|PB |＝|t 1t 2|＝33， 所以|P A |·|PB |＝33.5．(2017·长春模拟)以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，已知点P 的直角坐标为(1，－5)，点C 的极坐标为⎝⎛⎭⎫4，π2，若直线l 过点P ，且倾斜角为π3，圆C 的半径为4.(1)求直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程； (2)试判断直线l 与圆C 的位置关系．【解析】 (1)直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t cos π3，y ＝－5＋t sin π3(t 为参数)，即⎩⎨⎧x ＝1＋12t ，y ＝－5＋32t(t 为参数)．由题知C 点的直角坐标为(0，4)，圆C 的半径为4， ∴圆C 的方程为x 2＋(y －4)2＝16，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入得， 圆C 的极坐标方程为ρ＝8sin θ.(2)由题意得，直线l 的普通方程为3x －y －5－3＝0， 圆心C 到l 的距离为d ＝|－4－5－3|2＝9＋32＞4，∴直线l 与圆C 相离．6．(2017·沈阳模拟)已知曲线C 1的极坐标方程为ρ2cos 2θ＝8，曲线C 2的极坐标方程为θ＝π6，曲线C 1，C 2相交于A ，B 两点．(1)求A ，B 两点的极坐标；(2)曲线C 1与直线⎩⎨⎧x ＝1＋32t ，y ＝12t(t 为参数)分别相交于M ，N 两点，求线段MN 的长度．【解析】 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧ρ2cos 2θ＝8，θ＝π6得ρ2cos π3＝8， 所以ρ2＝16，即ρ＝±4.所以A ，B 两点的极坐标为：A ⎝⎛⎫4，π6，B ⎝⎛⎭⎫－4，π6或B ⎝⎛⎫4，7π6.(2)由曲线C 1的极坐标方程得其直角坐标方程为x 2－y 2＝8，将直线⎩⎨⎧x ＝1＋32t ，y ＝12t代入x 2－y 2＝8，整理得t 2＋23t －14＝0， 即t 1＋t 2＝－23，t 1·t 2＝－14，所以|MN |＝（－23）2－4×（－14）＝217.B 组 专项能力提升 (时间：40分钟)7．已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数)．(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|P A |的最大值与最小值．【解析】 (1)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|. 则|P A |＝dsin 30°＝255|5sin(θ＋α)－6|⎝⎛⎭⎫其中α为锐角，且tan α＝43， 当sin(θ＋α)＝－1时，|P A |取得最大值，最大值为2255.当sin(θ＋α)＝1时，|P A |取得最小值，最小值为255.8．(2017·洛阳模拟)极坐标系与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)．曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＝8cos θ.(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，与x 轴的交点为F ，求1|AF |＋1|BF |的值．【解析】 (1)由ρsin 2θ＝8cos θ得，ρ2sin 2θ＝8ρcos θ， ∴曲线C 的直角坐标方程为y 2＝8x . (2)易得直线l 与x 轴的交点为F (2，0)， 将直线l 的方程代入y 2＝8x ， 得(t sin α)2＝8(2＋t cos α)， 整理得sin 2α·t 2－8cos α·t －16＝0. 由已知sin α≠0，Δ＝(－8cos α)2－4×(－16)sin 2α＝64＞0，∴t 1＋t 2＝8cos αsin 2α，t 1t 2＝－16sin 2α＜0， 故1|AF |＋1|BF |＝⎪⎪⎪⎪1t 1－1t 2＝⎪⎪⎪⎪t 1－t 2t 1t 2＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2|t 1t 2|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8cos αsin 2α2＋64sin 2α16sin 2α＝12. 9．(2016·课标全国Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25. (1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；(2)直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝10，求l 的斜率．【解析】 (1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得圆C 的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0.(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R )．设A ，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得ρ2＋12ρcos α＋11＝0.于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11.|AB |＝|ρ1－ρ2|＝（ρ1＋ρ2）2－4ρ1ρ2＝144cos 2α－44.由|AB |＝10得cos 2α＝38，tan α＝±153.所以l 的斜率为153或－153. 10．(2016·课标全国Ⅲ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2 2.(1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标． 【解析】 (1)C 1的普通方程为x 23＋y 2＝1.C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.(2)由题意，可设点P 的直角坐标为(3cos α，sin α)．因为C 2是直线，所以|PQ |的最小值即为P 到C 2的距离d (α)的最小值，d (α)＝|3cos α＋sin α－4|2＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3－2.当且仅当α＝2k π＋π6(k ∈Z )时，d (α)取得最小值，最小值为2，此时P 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫32，12.。
2018高中数学文人教B版参考课件：11-3 几何概型 精品
-12考点1 考点2 考点3 考点4
对点训练 1(1)(2016 河北唐山一模)在区间[-1,1]上随机取一个 数 x,使 cos πx≥2的概率为(
1 π
1 π
1
)
π 1 1
关闭
(1) 因为-1≤x≤ 所以-π≤πx≤π. A.3 B.1, 3
1 1 - 3 3 2 3
1 cos πx≥ ,所以 2 - ≤πx≤ ,即- ≤x≤ , 又 C. D. 2 3 3 3 3 3 2
D.10
3
关闭
B
答案
-7知识梳理 双基自测 自测点评
1
2
3
4
5
3.已知 A={(x,y)|-1≤x≤1,0≤y≤2},B={(x,y)| 1-������ 2 ≤y}.若在区 域 A 中随机地扔一粒豆子,则该豆子落在区域 B 中的概率为( A.1-8
π C. -1 4 π
)
B.4
π
π D. 8
关闭
������
μA
表示子
区域A的几何度量.
-4知识梳理 双基自测 自测点评
1
2
3
3.随机模拟方法 (1)使用计算机或者其他方式进行的模拟试验,通过这个试验求出 随机事件的概率的近似值的方法就是模拟方法. (2)现在大部分计算器都能产生0~1之间的均匀随机数(实数),例如, 用函数型计算器产生随机数的方法如下: 每次按SHIFTRan #键都会产生一个0~1之间的随机数,而且出现 0~1内任何一个数的可能性是相同的. 也可以使用计算软件来产生随机数,这里介绍Scilab中产生随机数 的方法. Scilab中用rand()函数来产生0~1的均匀随机数.每调用一次rand() 函数,就产生一个随机数. 如果要产生a~b之间的随机数,可以使用变换rand()������ (b-a)+a得到.
创新导学案2018高考数学人教B版 文科总复习演练提升
A 组 专项基础训练(时间：40分钟)1．(2017·山西太原五中4月模拟)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin A ＝223，a ＝2，S △ABC ＝2，则b 的值为( )A.3B.322C ．2 2D ．2 3 【解析】 在锐角△ABC 中，sin A ＝223，S △ABC ＝2，∴cos A ＝1－sin 2A ＝13，12bc sin A ＝12bc ·223＝2，∴bc ＝3，①由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， ∴(b ＋c )2＝a 2＋2bc (1＋cos A ) ＝4＋6×⎝⎛⎭⎫1＋13＝12， ∴b ＋c ＝2 3.②由①②得b ＝c ＝3，故选A. 【答案】 A2．一艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是( )A ．102海里B ．103海里C ．203海里D ．202海里 【解析】 如图所示，易知，在△ABC 中， AB ＝20，∠CAB ＝30°，∠ACB ＝45°，根据正弦定理得BC sin 30°＝ABsin 45°，解得BC ＝102(海里)．【答案】 A3．如图，一条河的两岸平行，河的宽度d ＝0.6 km ，一艘客船从码头A 出发匀速驶往河对岸的码头B .已知AB ＝1 km ，水的流速为2 km/h ，若客船从码头A 驶到码头B 所用的最短时间为6 min ，则客船在静水中的速度为( )A ．8 km/hB ．6 2 km/hC ．234 km/hD ．10 km/h【解析】 设AB 与河岸线所成的角为θ，客船在静水中的速度为v km/h ，由题意知，sin θ＝0.61＝35，从而cos θ＝45，所以由余弦定理得⎝⎛⎭⎫110v 2＝⎝⎛⎭⎫110×22＋12－2×110×2×1×45，解得v ＝6 2.选B.【答案】 B4．如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m ，则河流的宽度BC 等于( )A ．240(3＋1)mB ．180(2－1)mC ．120(3－1)mD ．30(3＋1)m【解析】 如图，∠ACD ＝30°，∠ABD ＝75°，AD ＝60 m ， 在Rt △ACD 中， CD ＝ADtan ∠ACD＝60tan 30°＝60 3 m ，在Rt △ABD 中，BD ＝AD tan ∠ABD ＝60tan 75°＝602＋3＝60(2－3)m ，∴BC ＝CD －BD ＝603－60(2－3)＝120(3－1)m. 【答案】 C5．如图，测量河对岸的塔高AB 时可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ，测得∠BCD ＝15°，∠BDC ＝30°，CD ＝30，并在点C 测得塔顶A 的仰角为60°，则塔高AB 等于( )A ．5 6B ．15 3C ．5 2D ．15 6【解析】 在△BCD 中，∠CBD ＝180°－15°－30°＝135°. 由正弦定理得BC sin 30°＝30sin 135°，所以BC ＝15 2.在Rt △ABC 中，AB ＝BC tan ∠ACB ＝152×3＝15 6. 【答案】 D6．江岸边有一炮台高30 m ，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m.【解析】 如图，OM ＝AO tan 45°＝30(m)， ON ＝AO tan 30°＝33×30 ＝103(m)，在△MON 中，由余弦定理得， MN ＝900＋300－2×30×103×32＝300＝103(m)． 【答案】 10 37．在200 m 高的山顶上，测得山下一塔顶和塔底的俯角分别是30°，60°，则塔高为________m.【解析】 如图，由已知可得∠BAC ＝30°，∠CAD ＝30°， ∴∠BCA ＝60°，∠ACD ＝30°，∠ADC ＝120°. 又AB ＝200 m ，∴AC ＝4003 3 m.在△ACD 中，由余弦定理得，AC 2＝2CD 2－2CD 2·cos 120°＝3CD 2， ∴CD ＝13AC ＝4003 m.【答案】40038．(2016·洛阳统考)如图，在△ABC 中，sin ∠ABC 2＝33，AB ＝2，点D 在线段AC 上，且AD ＝2DC ，BD ＝433，则cos ∠C ＝________．【解析】 由条件得cos ∠ABC ＝13，sin ∠ABC ＝223.在△ABC 中，设BC ＝a ，AC ＝3b ， 则由余弦定理得9b 2＝a 2＋4－43a .①因为∠ADB 与∠CDB 互补， 所以cos ∠ADB ＝－cos ∠CDB ， 所以4b 2＋163－41633b ＝－b 2＋163－a 2833b ，所以3b 2－a 2＝－6，②联合①②解得a ＝3，b ＝1，所以AC ＝3，BC ＝3.在△ABC 中，cos ∠C ＝BC 2＋AC 2－AB 22BC ·AC ＝32＋32－222×3×3＝79.【答案】 799．(2017·辽宁沈阳二中月考)在一个特定时段内，以点E 为中心的7海里以内海域被设为警戒水域，点E 正北55海里处有一个雷达观测站A .某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A 北偏东45°且与点A 相距402海里的位置B ，经过40分钟又测得该船已行驶到点A 北偏东45°＋θ⎝⎛⎭⎫其中sin θ＝2626，0°＜θ＜90°且与点A 相距1013海里的位置C .(1)求该船的行驶速度(单位：海里/小时)；(2)若该船不改变航行方向继续行驶，判断它是否会进入警戒水域，并说明理由．【解析】 (1)如图，AB ＝402，AC ＝1013，∠BAC ＝θ，sin θ＝2626. 由于0°＜θ＜90°， 所以cos θ＝1－⎝⎛⎭⎫26262＝52626.由余弦定理得BC ＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos θ＝10 5. 所以船的行驶速度为10523＝155(海里/小时)．(2)如图所示，设直线AE 与BC 的延长线相交于点Q . 在△ABC 中，由余弦定理得， cos ∠ABC ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC＝402×2＋102×5－102×132×402×105＝31010.从而sin ∠ABC ＝1－cos 2∠ABC ＝1－910＝1010. 在△ABQ 中，由正弦定理得，AQ ＝AB sin ∠ABCsin （45°－∠ABC ）＝402×101022×21010＝40，由于AE ＝55＞40＝AQ ，所以点Q 位于点A 和点E 之间，且QE ＝AE －AQ ＝15.过点E 作EP ⊥BC 于点P ，则EP 为点E 到直线BC 的距离．在Rt △QPE 中，PE ＝QE ·sin ∠PQE ＝QE ·sin ∠AQC ＝QE ·sin(45°－∠ABC )＝15×55＝35＜7. 所以船会进入警戒水域．10．(2016·江苏卷)在△ABC 中，AC ＝6，cos B ＝45，C ＝π4.(1)求AB 的长； (2)求cos ⎝⎛⎭⎫A －π6的值．【解析】 (1)因为cos B ＝45，0＜B ＜π，所以sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝⎛⎭⎫452＝35.由正弦定理知AC sin B ＝ABsin C ，所以AB ＝AC ·sin C sin B ＝6×2235＝5 2.(2)在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，所以A ＝π－(B ＋C )， 于是cos A ＝－cos(B ＋C )＝－cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π4＝－cos B cos π4＋sin B sin π4，又cos B ＝45，sin B ＝35，故cos A ＝－45×22＋35×22＝－210.因为0＜A ＜π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝7210.因此，cos ⎝⎛⎭⎫A －π6＝cos A cos π6＋sin A sin π6＝－210×32＋7210×12＝72－620.B 组 专项能力提升 (时间：15分钟)11．一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A 测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A 向北偏东30°前进100 m 到达点B ，在B 点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是( )A ．50 mB ．100 mC ．120 mD ．150 m【解析】 设水柱高度是h m ，水柱底端为C ，在Rt △BCD 中，∠CBD ＝30°，BC ＝3h.在△ABC 中，∠BAC ＝60°，AC ＝h ，AB ＝100，根据余弦定理得，(3h )2＝h 2＋1002－2·h ·100·cos 60°，即h 2＋50h －5 000＝0，即(h －50)(h ＋100)＝0，即h ＝50，故水柱的高度是50 m.【答案】 A12．如图，一艘船上午9：30在A 处测得灯塔S 在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B 处，此时又测得灯塔S 在它的北偏东75°处，且与它相距8 2 n mile.此船的航速是________n mile/h.【解析】 设航速为v n mile/h在△ABS 中，AB ＝12v ，BS ＝82，∠BSA ＝45°，由正弦定理得82sin 30°＝12v sin 45°，∴v ＝32.【答案】 3213．如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB ，C 是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO 的小路CD .已知某人从O 沿OD 走到D 用了2分钟，从D 沿DC 走到C 用了3分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径为________米．【解析】 如图，连接OC ，在△OCD 中，OD ＝100，CD ＝150，∠CDO ＝60°.由余弦定理得OC 2＝1002＋1502－2×100×150×cos 60°＝17 500，解得OC ＝507.【答案】 50714．(2016·杭州二中月考)如图，为了测量A ，C 两点间的距离，选取同一平面上B ，D 两点，测出四边形ABCD 各边的长度(单位：km)：AB ＝5，BC ＝8，CD ＝3，DA ＝5，且A ，B ，C ，D 四点共圆，则AC 的长为________km.【解析】 因为A ，B ，C ，D 四点共圆，所以D ＋B ＝π.在△ABC 和△ADC 中，由余弦定理可得82＋52－2×8×5×cos(π－D )＝32＋52－2×3×5×cos D ，cos D ＝－12，代入得AC 2＝32＋52－2×3×5×⎝⎛⎭⎫－12＝49，故AC ＝7. 【答案】 715．(2017·河南六市3月联考)如图，在一条海防警戒线上的点A ，B ，C 处各有一个水声检测点，B ，C 到A 的距离分别为20千米和50千米，某时刻B 收到来自静止目标P 的一个声波信号，8秒后A ，C 同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是1.5千米/秒．(1)设A 到P 的距离为x 千米，用x 表示B ，C 到P 的距离，并求出x 的值； (2)求P 到海防警戒线AC 的距离．【解析】 (1)依题意，有P A ＝PC ＝x ，PB ＝x －1.5×8＝x －12.在△P AB 中，AB ＝20，cos ∠P AB ＝P A 2＋AB 2－PB 22P A ·AB ＝x 2＋202－（x －12）22x ·20＝3x ＋325x ，同理，在△P AC 中，AC ＝50，cos ∠P AC ＝P A 2＋AC 2－PC 22P A ·AC ＝x 2＋502－x 22x ·50＝25x .∵cos ∠P AB ＝cos ∠P AC ，∴3x ＋325x ＝25x， 解得x ＝31.(2)作PD ⊥AC 于D ，在△ADP 中， 由cos ∠P AD ＝2531，得sin ∠P AD ＝1－cos 2∠P AD ＝42131， ∴PD ＝P A sin ∠P AD ＝31×42131＝421.故静止目标P 到海防警戒线AC 的距离为421千米．。
最新-2018年高考数学总复习 阶段性测试题十一 新人教B
阶段性测试题十一(算法框图、复数、推理与证明)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
满分150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．(文)(2018～2018·湄潭中学第一学期期末)若复数(1＋a i)(2＋i)＝3－i ，则实数a 的值为( )A ．1B ．－1C ．±2D ．－2[答案] B[解析] ∵(1＋a i)(2＋i)＝(2－a )＋(2a ＋1)i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2－a ＝32a ＋1＝－1，∴a ＝－1.(理)(2018～2018·河北五校联盟模拟)已知复数z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )，z －是z 的共轭复数，且z －＝(2＋i)(3－i)，则a 、b 的值分别为( )A ．7,1B ．6，－1C ．7，－1D ．6,1[答案] C[解析] (2＋i)(3－i)＝7＋i ，z －＝a －b i ， ∵a －b i ＝7＋i ，a 、b ∈R ， ∴a ＝7，b ＝－1.2．如图所示，输出的n 为( )A ．10B ．11C ．12D ．13 [答案] D[解析] 程序依次运行过程为：n ＝0，S ＝0→n ＝1，S ＝S ＋12×1－13＝－111→n ＝2，S＝S ＋12×2－13＝－111－19，……∴S ＝－111－19－17－15－13－1＋1＋13＋15＋17＋19＋111＋113>0，此时输出n 的值13.3．(2018～2018·新乡、平顶山、许昌二调)若椭圆x 2m ＋y 28＝1的焦距为2，则m 的值为( )A ．9B ．9或16C ．7D ．9或7[答案] D[解析] m －8＝1或8－m ＝1，∴m ＝9或7，故选D.4．(2018～2018·开封市二模)已知函数f (x )的定义域为R ，f (0)＝1，对任意x ∈R 都有f (x ＋1)＝f (x )＋2，则1f f＋1f f＋…＋1f f＝( )A.109B.1021C.910D.1121[答案] B[解析] ∵f (x ＋1)＝f (x )＋2，∴当x ∈N *时，f (x )是以f (1)＝3为首项，公差为2的等差数列，∴f (x )＝3＋2(x －1)＝2x ＋1，f (0)＝1也满足，∴1f f＋1f f＋…＋1f f＝11×3＋13×5＋…＋119×21＝12[(1－13)＋(13－15)＋(15－17)＋…＋(119－121)]＝12(1－121)＝1021. 5．(2018～2018·北京石景山区期末)已知复数z ＝1＋i 1－i ，则复数z 的模为( )A ．2 B. 2 C ．1 D ．0[答案] C [解析] z ＝1＋i1－i＝＋2－＋＝2i2＝i ，∴|z |＝1. 6．(2018～2018·长安一中、西安中学、交大附中、师大附中、高新一中模拟)角α的终边经过点A (－3，a )，且点A 在抛物线y ＝－14x 2的准线上，则sin α＝( )A ．－12B.12 C ．－32D.32[答案] B[解析] A (－3，a )在抛物线x 2＝－4y 的准线y ＝1上，∴a ＝1，∴A (－3，1)，∴sin α＝1－32＋12＝12. 7．(2018～2018·延边州质检)定义在R 上的偶函数f (x )，∀x ∈R ，恒有f (x ＋32)＝－f (x )，f (－1)＝1，f (0)＝－2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2018)＝( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2[答案] D[解析] ∵f (x ＋32)＝－f (x )，∴f (x ＋3)＝f [(x ＋32)＋32]＝－f (x ＋32)＝f (x )，∴f (x )的周期为3，又f (x )为偶函数，f (－1)＝1，f (0)＝－2，∴f (1)＝1， ∴f (2)＝f (－1＋3)＝f (－1)＝1，f (3)＝f (0)＝－2，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2018)＝670×[f (1)＋f (2)＋f (3)]＋f (1)＋f (2)＝670×0＋2＝2.8．(2018～2018·陕西师大附中模拟)下列推理是归纳推理的是( )A ．A ，B 为两个定点，动点P 满足||PA |－|PB ||＝2a <|AB |，(a >0)，则动点P 的轨迹是以A ，B 为焦点的双曲线B ．由a 1＝2，a n ＝3n －1，求出S 1，S 2，S 3，猜想出数列{a n }的前n 项和S n 的表达式C ．由圆x 2＋y 2＝r 2的面积S ＝πr 2，猜想出椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的面积S ＝πabD ．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜水艇 [答案] B9．(2018～2018·黄冈市期末)一个质点从点A 出发依次沿图中线段到达B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 、I 、J 各点，最后又回到A (如图所示)，其中：AB ⊥BC ，AB ∥CD ∥EF ∥HG ∥IJ ，BC ∥DE ∥FG ∥HI ∥JA ，欲知此质点所走路程，至少需要测量n 条线段的长度，则n 的值为( )A ．5B ．4C ．3D ．2 [答案] C[解析] ∵AJ ＋IH ＋FG ＋DE ＝BC ，CD ＋EF ＋JI －GH ＝AB ， ∴质点走的路程为S ＝2(AB ＋BC ＋GH )，故选C.10．(文)(2018～2018·安徽东至县一模)若sin 3θ－cos 3θ>cos θ－sin θ，且θ∈(0,2π)，那么角θ的取值范围是( )A ．(0，π4)B ．(π2，3π4)C ．(π4，5π4)D ．(5π4，2π)[答案] C[解析] (sin θ－cos θ)(sin 2θ＋cos 2θ＋sin θcos θ)>cos θ－sin θ， ∴(sin θ－cos θ)(2＋sin θcos θ)>0， ∵2＋sin θcos θ＝2＋12sin2θ>0，∴sin θ>cos θ，又θ∈(0,2π)，∴π4<θ<5π4.(理)(2018～2018·兰州一中期末)若实a ，b 满足a ≥0，b ≥0，且ab ＝0，则称a 与b 互补，记φ(a ，b )＝a 2＋b 2－a －b ，那么φ(a ，b )＝0是a 与b 互补的( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件[答案] C[解析] 若a 与b 互补，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0b ≥0或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝0a ≥0，若⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0b ≥0，则φ(a ，b )＝a 2＋b 2－a －b ＝b 2－b ＝b －b ＝0，若φ(a ，b )＝0，则a 2＋b 2＝a ＋b ，∴a ＋b ≥0，两边平方得ab ＝0， ∴a ≥0，b ≥0且ab ＝0，故选C.11．设f (x )＝cos(ωx ＋φ)，其中ω>0，φ>0，则函数f (x )是奇函数的一个充分不必要条件是( )A ．f (0)＝－1B ．f (0)＝0C ．φ＝πD ．φ＝3π2[答案] D[解析] 由f (0)＝－1得，cos φ＝－1， ∴φ＝2k π＋π，k ∈N ，此时f (x )＝－cos ωx 不是奇函数，由f (0)＝0得cos φ＝0，∴φ＝π2＋k π，k ∈N ，∴f (x )＝±sin ωx 是奇函数，若f (x )为奇函数，则f (－x )＝－f (x )，∴cos(－ωx ＋φ)＝－cos(ωx ＋φ)恒成立，∴cos φ＝0，∴φ＝π2＋k π，k ∈N ，∴f (x )＝±sin ωx ，∴f (0)＝0，故f (0)＝0是f (x )为奇函数的充要条件；φ＝π时，f (x )＝－cos ωx 不是奇函数，φ＝3π2时，f (x )＝sin ωx 是奇函数，又φ＝π2时，f (x )也是奇函数，∴φ＝3π2是f (x )为奇函数的充分不必要条件，故选D.12．(文)(2018～2018·莆田一中质检)a 、b 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列四个命题：①若a ⊥b ，a ⊥α，b ⊄α，则b ∥α； ②若a ∥α，a ⊥β，则α⊥β； ③若a ⊥β，α⊥β，则a ∥α或a ⊂α； ④若a ⊥b ，a ⊥α，b ⊥β，则α⊥β. 其中正确命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 [答案] D [解析]⎭⎬⎫⎭⎪⎬⎪⎫①a ⊥b a ⊥α⇒b ⊂α或b ∥α b ⊄α⇒b ∥α； ②经过a 作平面与α交于c ，∵a ∥α，∴a ∥c ， ∵a ⊥β，∴c ⊥β，∴α⊥β； ③显然正确；⎭⎬⎫⎭⎪⎬⎪⎫④b ⊥a b ⊥β⇒a ∥β或a ⊂βa ⊥α⇒α⊥β，故四个命题都是真命题． (理)(2018～2018·浙江六校联考)已知点A (－1,1)，若曲线G 上存在两点B ，C ，使△ABC 为正三角形，则称G 为Γ型曲线．给定下列三条曲线：①y ＝－x ＋3(0≤x ≤3)；②y ＝2－x 2(－2≤x ≤0)；③y ＝－1x(x >0)，其中Γ型曲线的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 [答案] C[解析] y ＝－1x的图象关于直线y ＝－x 对称，且点A (－1,1)在直线y ＝－x 上，过点A与直线y ＝－x 夹角为30°的两直线必都与曲线y ＝－1x (x >0)相交，故y ＝－1x(x >0)是Γ型曲线；y ＝2－x 2(－2≤x ≤0)化为x 2＋y 2＝2(－2≤x ≤0,0≤y ≤2)，此曲线也关于直线y ＝－x 对称，同上可知y ＝2－x 2(－2≤x ≤0)是Γ型曲线；对于y ＝－x ＋3(0≤x ≤3)，∵过点A 作直线l 与线段y ＝－x ＋3(0≤x ≤3)相交，过A 与l 夹角为30°的两条直线中有一条与此线段不相交，故它不是Γ型曲线，故选C.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上．) 13．(文)(2018～2018·黄冈市期末)记等差数列{a n }的前n 项的和为S n ，利用倒序求和的方法得：S n ＝n a 1＋a n2；类似地，记等比数列{b n }的前n 项的积为T n ，且b n >0(n ∈N *)，试类比等差数列求和的方法，将T n 表示成首项b 1，末项b n 与项数n 的一个关系式，即T n ＝___ _____.[答案]b 1b nn[解析] 等差数列中，首项与末项算术平均数的n 倍，类比到等比数列中，首项与末项几何平均数的n 次乘方，即(b 1b n )n＝b 1b nn，这是类比结论，类比推理方法有：T n ＝b 1b 2…b n ，∴T 2n ＝(b 1b 2…b n )(b n b n －1…b 1)＝(b 1b n )·(b 2·b n －1)…(b n b 1)＝(b 1b n )n ，∴T n ＝a 1b nn.(理)(2018～2018·辽宁本溪一中、庄河高中联考)我们知道，在平面中，如果一个凸多边形有内切圆，那么凸多边形的面积S 、周长c 与内切圆半径r 之间的关系为S ＝12cr .类比这个结论，在空间中，如果已知一个凸多面体有内切球，且内切球半径为R ，那么凸多面体的体积V 、表面积S 与内切球半径R 之间的关系是________．[答案] V ＝13Sh14．(文)(2018～2018·江西赣州市高三期末)在如图所示的算法框图中，若输入m ＝4，n ＝3，则输出a ＝________.[答案]12[解析]运行过程为：开始→m＝4，n＝3，i＝1a＝4×1＝4,3不能整除4→i＝2a＝4×2＝8,3不能整除8→i＝3，a＝4×3＝12,3能整除12→输出a的值12后结束．(理)(2018～2018·浙江宁波市期末)执行如图所示的程序框图，其输出的结果是________．[答案] － 54[解析] 程序运行过程为：y ＝4，x ＝4，y ＝12×4－1＝1，|y －x |＝3<1不成立→x ＝1，y ＝12×1－1＝－12，|y －x |＝32<1不成立→x ＝－12，y ＝12×(－12)－1＝－54，|y －x |＝34<1成立→此时跳出循环，输出y 的值－54后结束．15．(2018～2018·泉州五中模拟)已知1＝1,1－4＝－(1＋2)，1－4＋9＝1＋2＋3,1－4＋9－16＝－(1＋2＋3＋4)，则第5个等式为_____ 推广到第n 个等式为______________________．[答案] 1－4＋9－16＋25＝1＋2＋3＋4＋5 1－4＋9－16＋…＋(－1)n ＋1·n 2＝(－1)n ＋1(1＋2＋3＋…＋n )[解析] 观察等式左端可见，一正一负交替出现，奇数项为正，偶数项为正，故用(－1)n ＋1，其绝对值为项数的平方，因此，左端为12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1·n 2，右端第一个等式为正，第二个等式为负，符号交替出现，绝对值为前n 个自然数的和，故右端为(－1)n ＋1(1＋2＋3＋…＋n )．16．(2018～2018·绥化市一模)把正整数排列成如图甲的三角形数阵，然后擦去偶数行中的奇数和奇数行中的偶数，得到如图乙的三角数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到数列{a n }，若a n ＝2018，则n ＝______.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 … … … … … … … … … … … …图甲 1 2 4 5 7 9 11 12 14 16 17 19 21 23 25 26 28 30 32 34 36 … … … … … … …图乙[答案] 1028[解析] 图甲中第n 行有2n －1个数，∴前n 行共有n ＋n n －2×2＝n 2个数，∵442＝1936,452＝2025，∴2018在图甲中的第45行，该行中的第1个数为1937，在图乙中该行中的数全部为奇数，设2018为第m 个，则2018＝1937＋2(m －1)，∴m ＝38，∴数列{a n }中的第n 项为2018时，n ＝44＋－2＋38＝1028.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 17．(本小题满分12分)设关于x 的方程x 2－(tan θ＋i)x －(2＋i)＝0， (1)若方程有实数根，求锐角θ和实数根．(2)证明：对任意θ≠k π＋π2(k ∈Z )，方程无纯虚数根． [解析] (1)设实数根为a ，则a 2－(tan θ＋i)a －(2＋i)＝0即a 2－a tan θ－2－(a ＋1)i ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a tan θ－2＝0a ＋1＝0，∴a ＝－1，tan θ＝1，∵0<θ<π2，∴θ＝π4.(2)设方程存在纯虚数根b i (b ∈R ，b ≠0)则 (bi )2－(tan θ＋i)b i －(2＋i)＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧－b 2＋b －2＝0b tan θ＋1＝0此方程组无实数根，所以对任意θ≠k π＋π2(k ∈Z )，方程无纯虚数根．18．(本小题满分12分)(文)已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2的图象经过点M (1,4)，曲线在点M 处的切线恰好与直线x ＋9y ＝0垂直，(1)求实数a 、b 的值；(2)若函数f (x )在区间[m ，m ＋1]上单调递增，求m 的取值范围． [解析] (1)∵f (x )＝ax 3＋bx 2的图象经过点M (1,4)， ∴a ＋b ＝4. ①f ′(x )＝3ax 2＋2bx ，则f ′(1)＝3a ＋2b ，由条件f ′(1)·(－19)＝－1，即3a ＋2b ＝9， ②由①②式解得a ＝1，b ＝3.(2)f (x )＝x 3＋3x 2，f ′(x )＝3x 2＋6x ， 令f ′(x )＝3x 2＋6x ≥0得x ≥0或x ≤－2，∴f (x )的单调递增区间为(－∞，－2]和[0，＋∞)由条件知m ≥0或m ＋1≤－2， ∴m ≥0或m ≤－3.(理)已知函数f (x )＝2x 3＋ax 2＋bx ＋3在x ＝－1和x ＝2处取得极值． (1)求f (x )的表达式和极值．(2)若f (x )在区间[m ，m ＋4]上是单调函数，试求m 的取值范围． [解析] (1)依题意知：f ′(x )＝6x 2＋2ax ＋b ＝0的两根为－1和2，∴⎩⎪⎨⎪⎧－a3＝－1＋2a 6＝－1×2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝－12.∴f (x )＝2x 3－3x 2－12x ＋3.∴f ′(x )＝6x 2－6x －12＝6(x ＋1)(x －2)．令f ′(x )>0得，x <－1或x >2；令f ′(x )<0得，－1<x <2. ∴f (x )极大＝f (－1)＝10.f (x )极小＝f (2)＝－17.(2)由(1)知，f (x )在(－∞，－1]和[2，＋∞)上单调递增，在[－1,2]上单调递减．∴m ＋4≤－1或⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－1，m ＋4≤2，或m ≥2.∴m ≤－5或m ≥2，即m 的取值范围是(－∞，－5]∪[2，＋∞)．19．(本小题满分12分)(文)我们知道，圆的任意一弦(非直径)的中点和圆心连线与该弦垂直，那么，若椭圆b 2x 2＋a 2y 2＝a 2b 2的一弦(非过原点的弦)的中点与原点连线及弦所在直线的斜率均存在，你能得到什么结论？请予以证明．[证明] 假若在圆中，弦的斜率与弦的中点和圆心连线的斜率都存在．由两线垂直，我们可以知道斜率之积为－1；对于方程b 2x 2＋a 2y 2＝a 2b 2，若a ＝b ，则方程即为圆的方程，由此可以猜测两斜率之积为－b 2a 2或－a 2b2.于是，设弦AB 的两端点的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，中点为P ，则⎩⎪⎨⎪⎧b 2x 21＋a 2y 21＝a 2b2b 2x 22＋a 2y 22＝a 2b 2两式相减得，b 2(x 22－x 21)＋a 2(y 22－y 21)＝0，∴y 2＋y 1x 2＋x 1·y 2－y 1x 2－x 1＝－b 2a 2，∴k OP ·k AB ＝－b 2a 2， 即两斜率之积为－b 2a2.(理)对于两个正数a ，b 有不等式：(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥4.(1)证明此不等式．(2)对此不等式进行类比推广，写出三个正数a 、b 、c 的推广后的不等式并证明之．[解析] (1)(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b≥2＋2b a ·ab＝4. (2)推广后的不等式为(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c ≥9.证明如下：(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c ＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c≥3＋2b a ·ab ＋2c b ·b c ＋2c a ·a c＝9.20．(本小题满分12分)(文)(2018～2018·平顶山、许昌、新乡调研)已知{a n }是正数组成的数列，a 1＝1，且点(a n ，a n ＋1)(n ∈N *)在函数y ＝x 2＋1的图象上．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b 1＝1，b n ＋1＝b n ＋2a n ，求证：b n ·b n ＋2<b 2n ＋1. [解析] (1)由已知得a n ＋1＝a n ＋1，即a n ＋1－a n ＝1， 又a 1＝1，所以数列{a n }是以1为首项，公差为1的等差数列． 故a n ＝1＋(n －1)×1＝n .(2)由(1)知：a n ＝n 从而b n ＋1－b n ＝2n，b n ＝(b n －b n －1)＋(b n －1－b n －2)＋…＋(b 2－b 1)＋b 1＝2n －1＋2n －2＋…＋2＋1＝1－2n1－2＝2n－1.∵b n b n ＋2－b 2n ＋1＝(2n－1)(2n ＋2－1)－(2n ＋1－1)2＝22n ＋2－2n ＋2－2n ＋1－(22n ＋2－2×2n ＋1＋1)＝－2n<0，∴b n b n ＋2<b 2n ＋1.(理)(2018～2018·陕西师大附中模拟)在数列{a n }中，a 1＝3，a n ＝2a n －1＋n －2(n ≥2且n ∈N *)．(1)求a 2，a 3的值；(2)证明：数列{a n ＋n }是等比数列，并求{a n }的通项公式； (3)求数列{a n }的前n 项和S n .[解析] (1)解：∵a 1＝3，a n ＝2a n －1＋n －2(n ≥2且n ∈N *)， ∴a 2＝2a 1＋2－2＝6，a 3＝2a 2＋3－2＝13.(2)证明：∵a n ＋n a n －1＋n －＝a n －1＋n －＋n a n －1＋n －1＝2a n －1＋2n －2a n －1＋n －1＝2，∴数列{a n ＋n }是首项为a 1＋1＝4，公比为2的等比数列． ∴a n ＋n ＝4·2n －1＝2n ＋1，即a n ＝2n ＋1－n ，∴{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1－n (n ∈N *)．(3)∵{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1－n (n ∈N *)，∴S n ＝(22＋23＋24＋…＋2n ＋1)－(1＋2＋3＋…＋n ) ＝22－2n1－2－n n ＋2＝2n ＋2－n 2＋n ＋82(n ∈N *)．21．(本小题满分12分)(文)(2018～2018·莆田一中质检)如图，在底面为直角梯形的四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，PD⊥平面ABCD，AD＝1，AB＝3，BC＝4.(1)求证：BD⊥PC；(2)当PD＝1时，求此四棱锥的表面积．[解析](1)证明：由题意知DC＝23，则BC2＝DB2＋DC2，∴BD⊥DC.∵PD⊥平面ABCD，∴BD⊥PD，而PD∩CD＝D，∴BD⊥平面PDC.∵PC在平面PDC内，∴BD⊥PC.(2)∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AB，而AB⊥AD，PD∩AD＝D，∴AB⊥平面PAD，∴AB⊥PA，即△PAB是直角三角形．S Rt △PAB ＝12AB ·PA ＝12·3·2＝62. 过D 作DH ⊥BC 于点H ，连结PH ，则同理可证明PH ⊥BC ，并且PH ＝12＋32＝2.S △PBC ＝12BC ·PH ＝12·4·2＝4.易得S Rt △PDA ＝12AD ·PD ＝12·1·1＝12.S Rt △PDC ＝12DC ·PD ＝12·23·1＝ 3. S 梯形ABCD ＝12(AD ＋BC )·AB ＝12(1＋4)·3＝532. 故此四棱锥的表面积S ＝S Rt △PAB ＋S Rt △PAD ＋S Rt △PDC ＋S △PBC ＋S 梯形ABCD＝62＋12＋3＋4＋532＝9＋73＋62.(理)(2018～2018·安徽六校教育研究会联考)已知矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝2，点E 在CD 上且CE ＝1(如图(1))．把△DAE 沿AE 向上折起到D ′AE 的位置，使二面角D ′－AE －B 的大小为120°(如图(2))．(1)求四棱锥D ′－ABCE 的体积； (2)求CD ′与平面ABCE 所成角的正切值；(3)设M 为CD ′的中点，是否存在棱AB 上的点N ，使MN ∥平面D ′AE ？若存在，试求出N 点位置；若不存在，请说明理由．[解析] (1)取AE 的中点P ，连接DP ，D ′P ， ∵DA ＝DE ，D ′A ＝D ′E ，∴DP ⊥AE ，D ′P ⊥AE ， ∴∠D ′PD ＝60°，∴△DD ′P 为等边三角形， ∴D ′在平面ABCD 内的射影H 为PD 的中点．DP ＝2，∴D ′H ＝62，又S ABCE ＝4，∴V D ′－ABCE ＝263. (2)在三角形CDH 中，∵DH ＝22，CD ＝3，∠CDH ＝45°， ∴由余弦定理可得CH ＝262， ∴tan ∠D ′CH ＝62262＝3913. (3)取CE 的中点F ，则MF ∥D ′E ，在平面ABCE 内过F 作FN ∥AE 交AB 于N ，MF ∩NF ＝F ，D ′E ∩AE ＝E ，则平面MFN ∥平面D ′AE ，又MN 在平面MFN 内，故MN ∥平面D ′AE ， 此时AN ＝EF ＝12CE ＝12，故存在N 使MN ∥平面D ′AE .22．(本小题满分14分)(2018～2018·彬州市月考)已知抛物线C ：y ＝2x 2，直线y ＝kx ＋2交C 于A ，B 两点，M 是线段AB的中点，过M 作x 轴的垂线交C 于点N .(1)证明：抛物线C 在点N 处的切线与AB 平行；(2)是否存在实数k ，使NA →·NB →＝0，若存在，求k 的值；若不存在，说明理由． [解析] (1)证明：如图，设A (x 1,2x 21)，B (x 2,2x 22)，把y ＝kx ＋2代入y ＝2x 2得：2x 2－kx －2＝0，故x 1＋x 2＝k2，x 1x 2＝－1，所以x N ＝x M ＝x 1＋x 22＝k4， 所以N 点的坐标为(k 4，k 28)．设抛物线在点N 处的切线l 的方程为y －k 28＝m (x －k4)，将y ＝2x 2代入上式得2x 2－mx ＋mk 4－k 28＝0，因为直线l 与抛物线C 相切，所以Δ＝m 2－8(mk 4－k 28)＝m 2－2mk ＋k 2＝(m －k )2＝0，所以m ＝k ，即l ∥AB .(2)假设存在实数k ，使NA →·NB →＝0，则NA ⊥NB ， 又因为M 是AB 的中点，所以|MN |＝12|AB |.由(1)知y M ＝12(y 1＋y 2)＝12(kx 1＋2＋kx 2＋2)＝12[k (x 1＋x 2)＋4]＝12(k 22＋4)＝k24＋2. 因为MN ⊥x 轴，所以|MN |＝|y M －y N |＝k 24＋2－k 28＝k 2＋168.又|AB |＝1＋k 2·|x 1－x 2|＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋k 2·k22－－＝12k 2＋1·k 2＋16. 所以k 2＋168＝14k 2＋1·k 2＋16，解得k ＝±2.即存在k ＝±2，使NA →·NB →＝0.1．已知i 是虚数单位，m 、n ∈R ，且m ＋i ＝1＋n i ，则m ＋n im －n i＝( ) A ．－1 B ．1 C ．－i D ．i[答案] D[解析] 由条件得m ＝1，n ＝1，∴m ＋n i m －n i ＝1＋i 1－i＝＋2－＋＝2i2＝i. 2．(2018～2018·河北衡水中学调研)已知流程图如图所示，该程序运行后，为使输出b 的值为16，则循环体的判断框内①处应填的是( )A ．3B ．2C ．4D ．16 [答案] A[解析] a ＝1，b ＝1判断后得b ＝21＝2，a ＝1＋1＝2，再次判断后得b ＝22＝4，a ＝2＋1＝3，再次判断后得b ＝24＝16，a ＝3＋1＝4，这时经过判断满足条件，输出b 的值16，∴a >3.3．设m ∈N ，若函数f (x )＝2x －m 10－x －m ＋10存在整数零点，则m 的取值集合为________．[答案] {3,14,30}[解析] ∵m ∈N ，f (x )存在整数零点，∴10－x 是整数，因此x ＝1，10－x ＝3，或x ＝6，10－x ＝2，或x ＝9，10－x ＝1，或x ＝－6，10－x ＝4，或x ＝10，10－x ＝0.①若f (1)＝2－3m －m ＋10＝0，则m ＝3； ②若f (6)＝12－2m －m ＋10＝0，则m ＝223∉N ；③若f (9)＝18－m －m ＋10＝0，则m ＝14； ④若f (－6)＝－12－4m －m ＋10＝0，则m ＝－25∉N ；⑤若f (10)＝20－m ＋10＝0，则m ＝30， ∴m 的取值集合是{3,14,30}．4．(2018～2018·南通市调研)下图是求函数值的程序框图，当输入值为2时，则输出值为________．[答案] －3[解析] ∵输入值x ＝2>0，∴y ＝5－4×2＝－3，故输出y 的值为－3.5．(2018～2018·平顶山、许昌、新乡二调)已知圆C 的圆心与抛物线y 2＝4x 的焦点关于直线y ＝x 对称，直线4x －3y －2＝0与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝6，则圆C 的方程为________．[答案] x 2＋(y －1)2＝10[解析] 抛物线y 2＝4x 的焦点F (1,0)关于直线y ＝x 的对称点C (0,1)是圆心，C 到直线4x －3y －2＝0的距离d ＝|4×0－3×1－2|5＝1，又圆截直线4x －3y －2＝0的弦长为6，∴圆的半径r ＝12＋32＝10.∴圆方程为x 2＋(y －1)2＝10.6．先阅读下面结论的证明，再解决后面的问题： 已知a 1，a 2∈R ，a 1＋a 2＝1，求证：a 21＋a 22≥12.证明：构造函数f (x )＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2，f (x )＝2x 2－2(a 1＋a 2)x ＋a 21＋a 22＝2x 2－2x ＋a 21＋a 22.因为对一切x ∈R ，恒有f (x )≥0，所以Δ＝4－8(a 21＋a 22)≤0，从而a 21＋a 22≥12.(1)若a 1，a 2，a 3，…，a n ∈R ，a 1＋a 2＋…＋a n ＝1，试写出上述结论的推广式； (2)参考上述证法，对你推广的结论加以证明．[解析] 设(1)若a 1，a 2，a 3，…，a n ∈R ，a 1＋a 2＋…＋a n ＝1，求证：a 21＋a 22＋…＋a 2n ≥1n.(2)证明：构造函数f (x )＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2＋…＋(x －a n )2＝nx 2－2(a 1＋a 2＋…＋a n )x ＋a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝nx 2－2x ＋a 21＋a 22＋…＋a 2n ， ∵对一切x ∈R 恒有f (x )≥0. ∴Δ＝4－4n (a 21＋a 22＋…＋a 2n )≤0，a 21＋a 22＋…＋a 2n ≥1n.7．设函数f (x )＝(x ＋1)ln(x ＋1)，若对所有的x ≥0，都有f (x )≥ax 成立，求实数a 的取值范围．[解析] 令g (x )＝(x ＋1)ln(x ＋1)－ax ，则g ′(x )＝ln(x ＋1)＋1－a ，令g ′(x )＝0，解得x ＝ea －1－1.(1)当a ≤1时，对所有x >0，g ′(x )>0.所以g(x)在[0，＋∞)上是增函数．又g(0)＝0，所以对x≥0，有g(x)≥g(0)，即当a≤1时，对于所有x≥0，都有f(x)≥ax.(2)当a>1时，对于0<x<e a－1－1，g′(x)<0，所以g(x)在(0，e a－1－1)上是减函数．又g(0)＝0，所以对0<x<e a－1－1，有g(x)<g(0)，即f(x)<ax.所以当a>1时，不是对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立．综上a的取值范围是(－∞，1]．。
2018版高考数学浙江,文理通用大一轮复习讲义教师版文
1．离散型随机变量随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字母X ，Y ，ξ，η，…表示，所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量． 2．离散型随机变量的分布列及性质(1)一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值x i (i ＝1,2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，则表称为离散型随机变量X 的概率分布列，简称为X 的分布列，有时也用等式P (X ＝x i )＝p i ，i ＝1,2，…，n 表示X 的分布列． (2)离散型随机变量的分布列的性质 ①p i ≥0，i ＝1,2，…，n ； ② i ＝1np i ＝1.3．离散型随机变量的均值与方差 一般地，若离散型随机变量X 的分布列为(1)均值称E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 为随机变量X 的均值或数学期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平． (2)方差称D (X )＝∑ni ＝1(x i －E (X ))2p i 为随机变量X 的方差，它刻画了随机变量X 与其均值E (X )的平均偏离程度，并称其算术平方根D (X )为随机变量X 的标准差． 4．均值与方差的性质 (1)E (aX ＋b )＝aE (X )＋b .(2)D (aX ＋b )＝a 2D (X )．(a ，b 为常数) 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量．( √ )(2)离散型随机变量的分布列描述了由这个随机变量所刻画的随机现象．( √ ) (3)离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.( × ) (4)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．( √ ) (5)均值是算术平均数概念的推广，与概率无关．( × )(6)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量的平均程度越小．( √ )1．(教材改编)抛掷甲、乙两颗骰子，所得点数之和为X ，那么X ＝4表示的事件是( ) A ．一颗是3点，一颗是1点 B ．两颗都是2点C ．甲是3点，乙是1点或甲是1点，乙是3点或两颗都是2点D ．以上答案都不对 答案 C解析 根据抛掷两颗骰子的试验结果可知，C 正确．2．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X 去描述1次试验的成功次数，则P (X ＝0)等于( ) A ．0B.12C.13D.23答案 C解析 设X 的分布列为即“X ＝0”表示试验失败，“X ＝1”表示试验成功，由p ＋2p ＝1，得p ＝13，故选C.3．设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝15(k ＝2,4,6,8,10)，则D (ξ)等于( )A ．8B ．5C ．10D ．12答案 A解析 E (ξ)＝15(2＋4＋6＋8＋10)＝6，D (ξ)＝15(－4)2＋(－2)2＋02＋22＋42]＝8.4．随机变量ξ的分布列如图所示，其中a ，b ，c 成等差数列，若E (ξ)＝13，则D (ξ)＝________.答案 59解析 由分布列的性质可得a ＋b ＋c ＝1，由期望公式可得，(－1)×a ＋0×b ＋1×c ＝13，由等差数列知，a ＝c ＝2b ，综上，解得a ＝16，b ＝13，c ＝12.代入方差计算公式即可得结果．题型一 离散型随机变量分布列的性质例1 (1)设X 是一个离散型随机变量，其分布列为则q 等于( ) A ．1 B.32±336 C.32－336D.32＋336 (2)(2016·湖北孝感汉川期末)设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝i )＝a (13)i ，i ＝1,2,3，则实数a 的值为( )A ．1B.913C.1113D.2713答案 (1)C (2)D解析 (1)∵13＋2－3q ＋q 2＝1，∴q 2－3q ＋43＝0，解得q ＝32±336.又由题意知0<q 2<23，∴q ＝32－336. (2)∵随机变量ξ的分布列为P (ξ＝i )＝a (13)i ，i ＝1,2,3，∴a 13＋(13)2＋(13)3]＝1， 解得a ＝2713.故选D.思维升华 (1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数．(2)求随机变量在某个范围内的概率时，根据分布列，将所求范围内各随机变量对应的概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式．(2016·郑州模拟)已知随机变量X 的分布列为P (X ＝i )＝i2a(i ＝1,2,3,4)，则P (2<X ≤4)等于( ) A.910B.710C.35D.12 答案 B解析 由分布列的性质知，12a ＋22a ＋32a ＋42a ＝1， 则a ＝5，∴P (2<X ≤4)＝P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝310＋410＝710.题型二 离散型随机变量分布列的求法例2 (2017·浙江部分重点中学第一次联考)连续抛掷同一颗均匀的骰子，令第i 次得到的点数为a i ，若存在正整数k ，使a 1＋a 2＋…＋a k ＝6，则称k 为你的幸运数字． (1)求你的幸运数字为3的概率；(2)若k ＝1，则你的得分为6分；若k ＝2，则你的得分为4分；若k ＝3，则你的得分为2分；若抛掷三次还没找到你的幸运数字，则记0分，求得分ξ的分布列．解 (1)设“连续抛掷3次骰子，和为6”为事件A ，则它包含事件A 1，A 2，A 3，其中A 1：三次恰好均为2；A 2：三次中恰好1,2,3各一次；A 3：三次中有两次均为1，一次为4. A 1，A 2，A 3为互斥事件，则P (A )＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3)＝C 33(16)3＋C 13·16·C 12·16·C 11·16＋C 23(16)2·16＝5108. (2)由已知得ξ的可能取值为6,4,2,0，P (ξ＝6)＝16，P (ξ＝4)＝(16)2＋2×C 12×16×16＝536，P (ξ＝2)＝5108，P (ξ＝0)＝1－16－536－5108＝3554.故ξ的分布列为思维升华 求离散型随机变量X 的分布列的步骤： (1)理解X 的意义，写出X 可能取的全部值； (2)求X 取每个值的概率； (3)写出X 的分布列．求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识．袋中有4只红球3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量ξ，则P (ξ≤6)＝________. 答案1335解析 P (ξ≤6)＝P (取到3只红球1只黑球)＋P (取到4只红球)＝C 34C 13C 47＋C 44C 47＝1335.题型三 离散型随机变量的均值与方差例3 (2016·浙江六校联考改编)在2016年全国高校自主招生考试中，某高校设计了一个面试考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立回答全部问题．规定：至少正确回答其中2题的便可通过．已知6道备选题中考生甲有4题能正确回答，2题不能回答；且每题正确回答与否互不影响．写出甲考生正确回答题数的分布列，并计算其均值和方差．解 (1)甲正确回答的题目数ξ可取1,2,3.P (ξ＝1)＝C 14C 22C 36＝15，P (ξ＝2)＝C 24C 12C 36＝35，P (ξ＝3)＝C 34C 36＝15.故其分布列为∴E (ξ)＝1×15＋2×35＋3×15＝2.D (ξ)＝(2－1)2×15＋(2－2)2×35＋(2－3)2×15＝25.思维升华 求离散型随机变量的均值与方差．可依题设条件求出离散型随机变量的分布列，然后利用均值、方差公式直接求解．(2016·郑州一模)某班举行了一次“心有灵犀”的活动，教师把一张写有成语的纸条出示给A 组的某个同学，这个同学再用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学．若小组内同学甲猜对成语的概率是0.4，同学乙猜对成语的概率是0.5，且规定猜对得1分，猜不对得0分，则这两个同学各猜1次，得分之和X(单位：分)的均值为()A．0.9B．0.8C．1.2D．1.1答案 A解析由题意得X＝0,1,2，则P(X＝0)＝0.6×0.5＝0.3，P(X＝1)＝0.4×0.5＋0.6×0.5＝0.5，P(X＝2)＝0.4×0.5＝0.2，∴E(X)＝1×0.5＋2×0.2＝0.9.5．离散型随机变量的分布列典例某射手有5发子弹，射击一次命中概率为0.9.如果命中就停止射击，否则一直到子弹用尽，求耗用子弹数ξ的分布列．错解展示现场纠错解P(ξ＝1)＝0.9，P(ξ＝2)＝0.1×0.9＝0.09，P(ξ＝3)＝0.1×0.1×0.9＝0.009，P(ξ＝4)＝0.13×0.9＝0.0009，P(ξ＝5)＝0.14＝0.0001.∴ξ的分布列为纠错心得(1)随机变量的分布列，要弄清变量的取值，还要清楚变量的每个取值对应的事件及其概率．(2)验证随机变量的概率和是否为1.1．(2016·太原模拟)某射手射击所得环数X的分布列为则此射手“射击一次命中环数大于7”的概率为()A．0.28B．0.88C．0.79D．0.51答案 C解析根据X的分布列知，所求概率为0.28＋0.29＋0.22＝0.79.2．(2016·岳阳模拟)设X是一个离散型随机变量，其分布列为则q等于()A．1B．1±22C．1－22D．1＋22答案 C解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧1－2q ≥0，12＋(1－2q )＋q 2＝1， 即⎩⎪⎨⎪⎧q ≤12，2q 2－4q ＋1＝0，解得q ＝1－22.3．(2016·武汉模拟)从装有3个白球，4个红球的箱子中，随机取出3个球，则恰好是2个白球，1个红球的概率是( ) A.435B.635C.1235D.36343 答案 C解析 如果将白球视为合格品，红球视为不合格品，则这是一个超几何分布问题，故所求概率为P ＝C 23C 14C 37＝1235.4．(2016·临安模拟)一只袋内装有m 个白球，n －m 个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了X 个白球，下列概率等于(n －m )A 2m A 3n 的是( ) A ．P (X ＝3) B ．P (X ≥2) C ．P (X ≤3) D ．P (X ＝2)答案 D解析 由超几何分布知P (X ＝2)＝(n －m )A 2mA 3n. 5．一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率都为0.6，现有4颗子弹，则射击停止后剩余子弹的数目X 的均值为( ) A ．2.44 B ．3.376 C ．2.376 D ．2.4答案 C解析 X 的所有可能取值为3,2,1,0，其分布列为∴E (X )＝3×0.6＋2×0.24＋1×0.096＋0×0.064＝2.376.6．袋中装有大小完全相同，标号分别为1,2,3，…，9的九个球．现从袋中随机取出3个球．设ξ为这3个球的标号相邻的组数(例如：若取出球的标号为3,4,5，则有两组相邻的标号3,4和4,5，此时ξ的值是2)，则随机变量ξ的均值E (ξ)为( ) A.16 B.13 C.12 D.23答案 D解析 依题意得，ξ的所有可能取值是0,1,2. 且P (ξ＝0)＝C 37C 39＝512，P (ξ＝1)＝C 27·A 22C 39＝12，P (ξ＝2)＝C 17C 39＝112，因此E (ξ)＝0×512＋1×12＋2×112＝23.7．甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题，比赛规定：对于每一个题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题并回答正确的得1分，抢到题但回答错误的扣1分(即得－1分)；若X 是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜)，则X 的所有可能取值是________． 答案 －1,0,1,2,3解析 X ＝－1，甲抢到一题但答错了，而乙抢到了两个题目都答错了，X ＝0，甲没抢到题，乙抢到题目答错至少2个题或甲抢到2题，但答时一对一错，而乙答错一个题目，X ＝1，甲抢到1题且答对，乙抢到2题且至少答错1题或甲抢到3题，且1错2对， X ＝2，甲抢到2题均答对， X ＝3，甲抢到3题均答对． 8．设离散型随机变量X 的分布列为若随机变量Y ＝|X －2|，则P (Y ＝2)＝________.答案 0.5解析 由分布列的性质，知0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m ＝1，∴m ＝0.3.由Y ＝2，即|X －2|＝2，得X ＝4或X ＝0，∴P (Y ＝2)＝P (X ＝4或X ＝0)＝P (X ＝4)＋P (X ＝0)＝0.3＋0.2＝0.5.9．已知随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝12k －1，k ＝1,2,3，…，n ，则P (2<ξ≤5)＝________. 答案 716解析 P (2<ξ≤5)＝P (ξ＝3)＋P (ξ＝4)＋P (ξ＝5)＝14＋18＋116＝716. 10．两封信随机投入A ，B ，C 三个空邮箱，则A 邮箱的信件数ξ的均值E (ξ)＝________.答案 23解析 两封信投入A ，B ，C 三个空邮箱，投法种数是32＝9，A 中没有信的投法种数是2×2＝4，概率为49， A 中仅有一封信的投法种数是C 12×2＝4，概率为49， A 中有两封信的投法种数是1，概率为19， 故A 邮箱的信件数ξ的均值E (ξ)＝49×0＋49×1＋19×2＝23. 11．一射击测试中每人射击三次，每击中目标一次记10分，没有击中记0分．某人每次击中目标的概率为23，则此人得分的均值与方差分别为________，________. 答案 20 2003解析 记此人三次射击击中目标次数为X ，得分为Y ，则X ～B (3，23)，Y ＝10X ，∴E (Y )＝10E (X )＝10×3×23＝20， D (Y )＝100D (X )＝100×3×23×13＝2003. 12．一个袋子中装有6个红球和4个白球，假设每一个球被摸到的可能性是相等的．从袋子中摸出2个球，其中白球的个数为X ，则X 的均值是________．答案 45解析 根据题意知X ＝0,1,2，而P (X ＝0)＝C 26C 210＝1545； P (X ＝1)＝C 16C 14C 210＝2445； P (X ＝2)＝C 24C 210＝645. 故E (X )＝0×1545＋1×2445＋2×645＝3645＝45. *13.(2016·余姚模拟)某高校校庆，各届校友纷至沓来，某班共来了n 位校友(n >8且n ∈N *)，其中女校友6位，组委会对这n 位校友登记制作了一份校友名单，现随机从中选出2位校友代表，若选出的2位校友是一男一女，则称为“最佳组合”．(1)若随机选出的2名校友代表为“最佳组合”的概率不小于12，求n 的最大值； (2)当n ＝12时，设选出的2位校友代表中女校友人数为ξ，求ξ的分布列和均值．解 (1)设选出2人为“最佳组合”记为事件A ，则事件A 发生的概率P (A )＝C 1n －6C 16C 2n＝12(n －6)n (n －1). 依题意12(n －6)n (n －1)≥12，化简得n 2－25n ＋144≤0， ∴9≤n ≤16，故n 的最大值为16.(2)由题意，ξ的可能取值为0,1,2，且ξ服从超几何分布，则P (ξ＝k )＝C k 6C 2－k 6C 212(k ＝0,1,2)， ∴P (ξ＝0)＝P (ξ＝2)＝C 06C 26C 212＝522， P (ξ＝1)＝C 16C 16C 212＝611. 故ξ的分布列为522＋1×611＋2×522＝1.∴E(ξ)＝0×。
教育最新K122018年高考数学总复习10.2用样本估计总体演练提升同步测评文新人教B版
10.2 用样本估计总体A 组 专项基础训练(时间：35分钟)1．(2017·西安八校联考)如图所示的茎叶图是甲、乙两位同学在期末考试中的六科成绩，已知甲同学的平均成绩为85，乙同学的六科成绩的众数为84，则x ，y 的值为( )A ．2，4B ．4，4C ．5，6D ．6，4【解析】 x 甲＝75＋82＋84＋（80＋x ）＋90＋936＝85，解得x ＝6，由图可知y ＝4. 【答案】 D2．(2017·陕西一检)某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[40，50)，[50，60)[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，则图中x 的值等于( )A ．0.12B ．0.012C ．0.18D ．0.018【解析】 依题意，0.054×10＋10×x ＋0.01×10＋0.006×10×3＝1，解得x ＝0.018.【答案】 D3．(2015·全国卷Ⅱ)根据给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量(单位：万吨)柱形图，以下结论中不正确的是( )A ．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B ．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C ．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D ．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关【解析】 对于A 选项，由图知从2007年到2008年二氧化硫排放量下降得最多，故A 正确．对于B 选项，由图知，由2006年到2007年矩形高度明显下降，因此B 正确．对于C 选项，由图知从2006年以后除2011年稍有上升外，其余年份都是逐年下降的，所以C 正确．由图知2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份负相关，故选D.【答案】 D4．(2016·邢台摸底)样本中共有五个个体，其值分别为0，1，2，3，m .若该样本的平均值为1，则其方差为( ) A.105 B.305 C. 2 D ．2【解析】 依题意得m ＝5×1－(0＋1＋2＋3)＝－1，样本方差s 2＝15(12＋02＋12＋22＋22)＝2，即所求的样本方差为2.【答案】 D5．(2017·长沙一模)下面的茎叶图是某班学生在一次数学测试时的成绩：根据茎叶图，得出该班男、女生数学成绩的四个统计结论，其中错误的一项是( )A ．15名女生成绩的平均分为78B ．17名男生成绩的平均分为77C ．女生成绩和男生成绩的中位数分别为82，80D ．男生中的高分段和低分段均比女生多，相比较男生两极分化比较严重【解析】 对于A ，15名女生成绩的平均分为115×(90＋93＋80＋80＋82＋82＋83＋83＋85＋70＋71＋73＋75＋66＋57)＝78，A 正确；对于B ，17名男生成绩的平均分为117×(93＋93＋96＋80＋82＋83＋86＋86＋88＋71＋74＋75＋62＋62＋68＋53＋57)＝77，故B 正确；对于D ，观察茎叶图，对男生、女生成绩进行比较，可知男生两极分化比较严重，D 正确；对于C ，根据女生和男生成绩数据分析可得，两组数据的中位数均为80，C 错误．【答案】 C6．(2017·皖南八校联考)某一段公路限速60公里/小时，现抽取200辆通过这一段公路的汽车的时速，其频率分布直方图如图所示，则这200辆汽车中在该路段超速的有________辆．【解析】 由频率分布直方图可得超速的频率为0.04×10＋0.02×10＝0.6，所以该路段超速的有200×0.6＝120辆．【答案】 1207．(2017·郑州二检)已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的m ，n 的比值m n＝________．【解析】 由茎叶图可知甲的数据为27，30＋m ，39，乙的数据为20＋n ，32，34，38.由此可知乙的中位数是33，所以甲的中位数也是33，所以m ＝3.由此可以得出甲的平均数为33，所以乙的平均数也是33，所以有20＋n ＋32＋34＋384＝33，所以n ＝8，所以m n ＝38. 【答案】 388．(2016·课标全国Ⅰ)某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：记x 表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y 表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)，n 表示购机的同时购买的易损零件数．(1)若n ＝19，求y 与x 的函数解析式；(2)若要求“需更换的易损零件数不大于n ”的频率不小于0.5，求n 的最小值；(3)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？【解析】 (1)当x ≤19时，y ＝3 800；当x ＞19时，y ＝3 800＋500(x －19)＝500x －5 700.所以y 与x 的函数解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧3 800，x ≤19500x －5 700，x ＞19(x ∈N )． (2)由柱状图知，需更换的零件数不大于18的频率为0.46，不大于19的频率为0.7，故n 的最小值为19.(3)若每台机器在购机同时都购买19个易损零件，则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3 800，20台的费用为4 300，10台的费用为4 800，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为1100×(3 800×70＋4 300×20＋4 800×10)＝4 000. 若每台机器在购机同时都购买20个易损零件，则这100台机器中有90台在购买易损零件上的费用为4 000，10台的费用为4 500，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为1100×(4 000×90＋4 500×10)＝4 050. 比较两个平均数可知，购买1台机器的同时应购买19个易损零件．9．(2017·湖南雅礼中学一模)某车间将10名技工平均分成甲、乙两组加工某种零件，在单位时间内每个技工加工的合格零件数的统计数据的茎叶图如图所示，已知两组技工在单位时间内加工的合格零件的平均数都为10.(1)求出m ，n 的值；(2)求出甲、乙两组技工在单位时间内加工的合格零件的方差s 2甲和s 2乙，并由此分析两组技工的加工水平；(3)质检部门从该车间甲、乙两组技工中各随机抽取一名，对其加工的零件进行检测，若两人加工的合格零件个数之和大于17，则称该车间“质量合格”，求该车间“质量合格”的概率．【解析】 (1)根据题意可知：x 甲＝15(7＋8＋10＋12＋10＋m )＝10， x 乙＝15(9＋n ＋10＋11＋12)＝10，∴m ＝3，n ＝8.(2)s 2甲＝15[(7－10)2＋(8－10)2＋(10－10)2＋(12－10)2＋(13－10)2]＝5.2， s 2乙＝15[(8－10)2＋(9－10)2＋(10－10)2＋(11－10)2＋(12－10)2]＝2， ∵x 甲＝x 乙，s 2甲＞s 2乙，∴甲、乙两组的整体水平相当，乙组更稳定一些．(3)质检部门从该车间甲、乙两组技工中各随机抽取一名，对其加工的零件进行检测，设两人加工的合格零件数分别为a ，b ，则所有(a ，b )有(7，8)，(7，9)，(7，10)，(7，11)，(7，12)，(8，8)，(8，9)，(8，10)，(8，11)，(8，12)，(10，8)，(10，9)，(10，10)，(10，11)，(10，12)，(12，8)，(12，9)，(12，10)，(12，11)，(12，12)，(13，8)，(13，9)，(13，10)，(13，11)，(13，12)，共计25个，而a ＋b ≤17的基本事件有(7，8)，(7，9)，(7，10)，(8，8)，(8，9)，共计5个，故满足a ＋b ＞17的基本事件共有25－5＝20(个)，故该车间“质量合格”的概率为2025＝45. 10．(2017·江西八校联考)“双节”期间，高速公路车辆较多，某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速(km/h)分成六段：[60，65)，[65，70)，[70，75)，[75，80)，[80，85)，[85，90]后得到如图所示的频率分布直方图．(1)求这40辆小型汽车车速的众数和中位数的估计值；(2)若从车速在[60，70)内的车辆中任抽取2辆，求车速在[65，70)内的车辆恰有一辆的概率．【解析】 (1)由频率分布直方图可知众数的估计值为77.5.设中位数的估计值为x ，则0.01×5＋0.02×5＋0.04×5＋0.06×(x －75)＝0.5，解得x ＝77.5，即中位数的估计值为77.5.(2)从题图中可知，车速在[60，65)内的车辆数为0.01×5×40＝2，车速在[65，70)内的车辆数为0.02×5×40＝4，记车速在[60，65)内的两辆车为a ，b ，车速在[65，70)内的四辆车为c ，d ，e ，f ，则所有基本事件有：(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(a ，e )，(a ，f )，(b ，c )，(b ，d )，(b ，e )，(b，f)，(c，d)，(c，e)，(c，f)，(d，e)，(d，f)，(e，f)，共15个．其中车速在[65，70)内的车辆恰有一辆的事件有：(a，c)，(a，d)，(a，e)，(a，f)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(b，f)，共8个．所以车速在[65，70)内的车辆恰有一辆的概率为P＝8 15 .B组专项能力提升(时间：30分钟)11．(2017·内江模拟)某公司10个销售店某月销售某产品数量(单位：台)的茎叶图如下：分组成[11，20)，[20，30)，[30，39]时，所作的频率分布直方图是( )【解析】由直方图的纵坐标是频率/组距，排除C和D；又第一组的频率是0.2，直方图中第一组的纵坐标是0.02，排除A，故选B.【答案】 B12．(2017·广东惠州第一中学第二次调研)为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(十分制)如图所示，假设得分值的中位数为m e，众数为m0，平均值为x，则( )A．m e＝m0＝x B．m e＝m0＜xC．m e＜m0＜x D．m0＜m e＜x【解析】由题图可知，30名学生的得分情况依次为：2个人得3分，3个人得4分，10个人得5分，6个人得6分，3个人得7分，2个人得8分，2个人得9分，2个人得10分．中位数为第15，16个数(分别为5，6)的平均数，即m e＝5.5.又5出现的次数最多，故m0＝5.又x＝130×(2×3＋3×4＋10×5＋6×6＋3×7＋2×8＋2×9＋2×10)≈5.97，得m0＜m e＜x.故选D.【答案】 D13．(2015·湖北)某电子商务公司对10 000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额(单位：万元)都在区间[0.3，0.9]内，其频率分布直方图如图所示．(1)直方图中的a＝________；(2)在这些购物者中，消费金额在区间[0.5，0.9]内的购物者的人数为________．【解析】由频率分布直方图及频率和等于1可得0.2×0.1＋0.8×0.1＋1.5×0.1＋2×0.1＋2.5×0.1＋a×0.1＝1，解得a＝3.于是消费金额在区间[0.5，0.9]内频率为0.2×0.1＋0.8×0.1＋2×0.1＋3×0.1＝0.6，所以消费金额在区间[0.5，0.9]内的购物者的人数为：0.6×10 000＝6 000，故应填3，6 000.【答案】 (1)3 (2)6 00014．(2017·大同调研)某网络营销部门随机抽查了某市200名网友在2015年11月11日的网购金额，所得数据如下表：(1)试确定x，y，p，q的值，并补全频率分布直方图(如图)；(2)该营销部门为了了解该市网友的购物体验，从这200名网友中，用分层抽样的方法从网购金额在(1，2]和(4，5]的两个群体中确定5人中进行问卷调查，若需从这5人中随机选取2人继续访谈，则此2人来自不同群体的概率是多少？【解析】 (1)根据题意有：⎩⎪⎨⎪⎧16＋24＋x ＋y ＋16＋14＝200，16＋24＋x y ＋16＋14＝32， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝80，y ＝50. ∴p ＝0.4，q ＝0.25.补全频率分布直方图如图所示，(2)根据题意，网购金额在(1，2]内的人数为2424＋16×5＝3(人)，记为：a ，b ，c . 网购金额在(4，5]内的人数为1624＋16×5＝2(人)，记为：A ，B .则从这5人中随机选取2人的选法为：(a ，b )，(a ，c )，(a ，A )，(a ，B )，(b ，c )，(b ，A )，(b ，B )，(c ，A )，(c ，B )，(A ，B )共10种．记2人来自不同群体的事件为M ，则M 中含有(a ，A )，(a ，B )，(b ，A )，(b ，B )，(c ，A )，(c ，B )共6种．∴P (M )＝610＝35. 15．(2016·四川)我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x (吨)，一位居民的月用水量不超过x 的部分按平价收费，超出x 的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0，0.5)，[0.5，1)，…，[4，4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．(1)求直方图中a的值；(2)设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；(3)估计居民月均用水量的中位数．【解析】 (1)由频率分布直方图知，月均用水量在[0，0.5)中的频率为0.08×0.5＝0.04，同理，在[0.5，1)，[1.5，2)，[2，2.5)，[3，3.5)，[3.5，4)，[4，4.5]中的频率分别为0.08，0.20，0.26，0.06，0.04，0.02.由0.04＋0.08＋0.5×a＋0.20＋0.26＋0.5×a＋0.06＋0.04＋0.02＝1，解得a＝0.30.(2)由直方图知100位居民每人月均用水量不低于3吨的频率为0．06＋0.04＋0.02＝0.12.由以上样本的频率分布，可以估计全市30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300 000×0.12＝36 000.(3)设中位数为x吨．因为前5组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21＋0.25＝0.73＞0.5，而前4组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21＝0.48＜0.5，所以2≤x＜2.5.由0.50×(x－2)＝0.5－0.48，解得x＝2.04.故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨．。
高考数学总复习1.1集合及其运算演练提升同步测评文新人教B版(2021学年)
2018年高考数学总复习1．１集合及其运算演练提升同步测评文新人教B版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望（2018年高考数学总复习 1．1 集合及其运算演练提升同步测评文新人教Ｂ版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉,前进的动力。
本文可编辑可修改,如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅,最后祝您生活愉快业绩进步，以下为201８年高考数学总复习 1.１集合及其运算演练提升同步测评文新人教Ｂ版的全部内容。
1.1 集合及其运算A组专项基础训练（时间：30分钟）1．（20１6·天津）已知集合A＝｛１，2，3}，B＝｛y｜ｙ=2x－1,x∈A}，则A∩B=( )A.{1,３}B.{１，2}C．｛2，3} D.｛1,2,３｝【解析】由题意可得B＝｛1,3,5｝,∴A∩B=｛1,3},故选A．【答案】 A2.（２017·开封模拟)设集合A={n｜n=3ｋ－１,k∈Z｝,Ｂ=｛x||ｘ-1|>3｝，则A∩（∁ＲB)＝( )A.{-1，2} B．｛－2,－１,1,2,4}C.{１,4｝Ｄ．∅【解析】B={x｜x>4或x<－2},∴∁RB={x|－２≤x≤4},∴Ａ∩(∁RB)={-1,２｝．【答案】A3．(20１７·日照模拟)集合Ａ={x|y=＼r(x）},B={y|y＝log２x,ｘ＞0},则A∩B等于（)A.ＲB.∅Ｃ．[0,＋∞） D．(0，＋∞)【解析】Ａ={x｜ｙ＝x｝=｛ｘ|x≥0},Ｂ={y|ｙ=log2ｘ,x>0}=R。
故Ａ∩B＝{x|x≥０｝．【答案】 C4.（2０17·海淀模拟)已知集合P={x｜x2-x-２≤0｝,Ｍ=｛-1,０,3，４}，则集合P∩M 中元素的个数为（）A.１B．2C.3D.4【解析】由P中不等式变形得(x－2)(x＋1)≤０，解得－１≤x≤2，即P＝{ｘ｜－1≤x ≤2}．∵Ｍ＝{-１，0，3，４},∴P∩M={-1，0},则集合P∩M中元素的个数为2．【答案】 B５.(2017·南昌模拟）已知集合M＝{ｘ｜x２-4ｘ＜0}，N＝｛ｘ|m＜ｘ<5｝，若M∩N={x｜3<x<n},则m＋n等于（）A．９ B．８C．7 D.6【解析】由x２－4x＜0得0＜x＜4,所以M=｛x｜０<x＜４}．又因为N＝{ｘ|m<x＜5｝,M ∩N={x|3<x<n}，所以m＝3,n＝4,m＋n＝7。
高考数学总复习13.1.1坐标系演练提升同步测评文新人教B版(2021学年)
2018年高考数学总复习１3.1.1 坐标系演练提升同步测评文新人教B版编辑整理:尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望(20１8年高考数学总复习 1３．1．1 坐标系演练提升同步测评文新人教B版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈,这将是我们进步的源泉,前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2018年高考数学总复习１3．1．1 坐标系演练提升同步测评文新人教B版的全部内容。
1３。
1.1 坐标系A组专项基础训练（时间：５0分钟)1．(２01５·广东）已知直线l的极坐标方程为2ρsin错误!=错误!,点A的极坐标为错误!,求点A到直线l的距离．【解析】依题可知直线l：2ρsiｎ错误!＝错误!和点A错误!可化为ｌ:x-y＋1=０和A(2，-2）,所以点A到直线l的距离为ｄ＝错误!=错误!.2.(２０1７·河南八市联考)在平面直角坐标系ｘＯｙ中，以坐标原点O为极点,ｘ轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为3ρ2=1２ρｃｏｓθ-１0（ρ>０）．（１）求曲线C１的直角坐标方程;(2）曲线C２的方程为＼f(x2,１６）+错误!=1，设P,Q分别为曲线Ｃ1与曲线Ｃ2上的任意一点,求｜PQ|的最小值.【解析】 (1)由３ρ2=12ρcｏｓθ－10（ρ＞０),得3x２+３ｙ2=12x－10，即（ｘ－２)２＋y2=2 3 .∴曲线C1的直角坐标方程为（x－２)2+y2＝错误!。
(2）依题意可设Q(4cos θ，２siｎθ),由（1）知圆Ｃ１的圆心坐标为(2,０)，则|QC1|＝错误!=＼r(１２cos2θ-１６cos θ＋８)＝2 错误!。
∴当coｓθ＝＼f(２,3）时，｜QC1|mｉｎ=错误!,∴|PＱ|min＝＼ｆ(＼r（６),3)．３．（20１7·南京模拟）在极坐标系中,已知圆ρ＝3ｃos θ与直线２ρcｏs θ+4ρsin θ+a=０相切，求实数a的值．【解析】圆ρ=3cos θ的直角坐标方程为ｘ2+y2=3ｘ，即错误!错误!+y2=错误!,直线２ρcoｓθ＋4ρsin θ＋a=0的直角坐标方程为２x+4ｙ＋a=0.因为圆与直线相切,所以错误!＝错误!,解得a=-3±３错误!。
【数学】2018版高考数学大一轮复习第十一章概率113几何概型教师用书文北师大版
【关键字】数学2018版高考数学大一轮复习第十一章概率 11.3 几何概型教师用书文北师大版1．几何概型向平面上有限区域(集合)G内随机地投掷点M，若点M落在子区域G1G的概率与G1的面积成正比，而与G的形状、位置无关，即P(点M落在G1)＝，则称这种模型为几何概型．2．几何概型中的G也可以是空间中或直线上的有限区域，相应的概率是体积之比或长度之比．3．借助模拟方法可以估计随机事件发生的概率．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零．( √)(2)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．( √)(3)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．( √)(4)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．( √)(5)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关．( ×)(6)从区间[1,10]内任取一个数，取到1的概率是P＝.( ×)1．(教材改编)在线段[0,3]上任投一点，则此点坐标小于1的概率为( )A. B. C. D．1答案 B解析坐标小于1的区间为[0,1]，长度为1，[0,3]区间长度为3，故所求概率为. 2．(2015·山东)在区间[0,2]上随机地取一个数x，则事件“－1≤≤1”发生的概率为( ) A. B. C. D.答案 A解析由－1≤≤1，得≤x＋≤2，∴0≤x≤.∴由几何概型的概率计算公式得所求概率P＝＝.3．(教材改编)有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )答案 A解析∵P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝，∴P(A)>P(C)＝P(D)>P(B)．4．(2017·济南月考)一个长方体空屋子，长，宽，高分别为5米，4米，3米，地面三个角上各装有一个捕蝇器(大小忽略不计)，可捕捉距其一米空间内的苍蝇，若一只苍蝇从位于另外一角处的门口飞入，并在房间内盘旋，则苍蝇被捕捉的概率是( )A. B. C. D.答案 C解析屋子的体积为5×4×3＝60(立方米)，捕蝇器能捕捉到的空间体积为×π×13×3＝(立方米)．故苍蝇被捕捉的概率是＝.5.若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB＝2，BC＝1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是________．答案解析设质点落在以AB为直径的半圆内为事件A，则P(A)＝＝＝.题型一与长度、角度有关的几何概型例1 (1)(2016·全国甲卷)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为( )A. B. C. D.(2)(2017·太原联考)在区间[－，]上随机取一个数x，则cos x的值介于0到之间的概率为________．答案(1)B (2)解析(1)至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为＝，故选B.(2)当－≤x≤时，由0≤cos x≤，得－≤x≤－或≤x≤，根据几何概型概率公式得所求概率为.(3)如图所示，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝45°，高AD＝，在∠BAC内作射线AM交BC于点M，求BM<1的概率．解 因为∠B ＝60°，∠C ＝45°，所以∠BAC ＝75°. 在Rt △ABD 中，AD ＝，∠B ＝60°， 所以BD ＝＝1，∠BAD ＝30°.记事件N 为“在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ，使BM<1”，则可得∠BAM<∠BAD 时事件N 发生．由几何概型的概率公式，得P (N )＝30°75°＝25.引申探究1．本例(2)中，若将“cos x 的值介于0到12”改为“cos x 的值介于0到32”，则概率如何？解 当－π2≤x ≤π2时，由0≤cos x ≤32，得－π2≤x ≤－π6或π6≤x ≤π2，根据几何概型概率公式得所求概率为23.2．本例(3)中，若将“在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ”改为“在线段BC 上找一点M ”，求BM <1的概率．解 依题意知BC ＝BD ＋DC ＝1＋3，P (BM <1)＝11＋3＝3－12. 思维升华 求解与长度、角度有关的几何概型的方法求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)，然后求解．要特别注意“长度型”与“角度型”的不同．解题的关键是构建事件的区域(长度或角度)．(1)(2016·全国乙卷)某公司的班车在7：00，8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( ) A.13 B.12 C.23 D.34(2)已知集合A ＝{x |－1<x <5}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －23－x >0，在集合A 中任取一个元素x ，则事件“x ∈(A ∩B )”的概率是________．答案 (1)B (2)16解析 (1)如图所示，画出时间轴．小明到达的时间会随机的落在图中线段AB 中，而当他的到达时间落在线段AC 或DB 时，才能保证他等车的时间不超过10分钟，根据几何概型得所求概率P ＝10＋1040＝12，故选B.(2)由题意得A ＝{x |－1<x <5}，B ＝{}x | 2<x <3，故A ∩B ＝{x |2<x <3}．由几何概型知，在集合A 中任取一个元素x ，则x ∈(A ∩B )的概率为P ＝16.题型二 与面积有关的几何概型 命题点1 与平面图形面积有关的问题例2 (2016·全国甲卷)从区间[0,1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( ) A.4n m B.2n m C.4m n D.2m n答案 C解析 由题意得(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )在如图所示方格中，而平方和小于1的点均在如图所示的阴影中，由几何概型概率计算公式知π41＝mn ，∴π＝4mn，故选C.命题点2 与线性规划知识交汇命题的问题例3 (2016·武汉模拟)由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x －2≤0确定的平面区域记为Ω1，由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x ＋y ≥－2确定的平面区域记为Ω2，若在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为________． 答案 78解析 如图，平面区域Ω1就是三角形区域OAB ，平面区域Ω2与平面区域Ω1的重叠部分就是区域OACD ，易知C (－12，32)，故由几何概型的概率公式，得所求概率P ＝S 四边形OACDS △OAB ＝2－142＝78.(1)(2016·昌平模拟)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋2≥0，x ≤4，y ≥－2表示的平面区域为D .在区域D 内随机取一个点，则此点到直线y ＋2＝0的距离大于2的概率是( ) A.413 B.513 C.825 D.925(2)(2016·江西吉安一中第二次质检)已知P 是△ABC 所在平面内一点，4PB →＋5PC →＋3PA →＝0，现将一粒红豆随机地撒在△ABC 内，则红豆落在△PBC 内的概率是________． 答案 (1)D (2)14解析 (1)作出平面区域D ，可知平面区域D 是以A (4,3)，B (4，－2)，C (－6，－2)为顶点的三角形区域．当点在△AEF 区域内时，点到直线y ＋2＝0的距离大于2. ∴P ＝S △AEF S △ABC ＝12×6×312×10×5＝925.(2)如图，令PD →＝4PB →， PE →＝5PC →，PF →＝3PA →，连接DE ，EF ，FD . ∵4PB →＋5PC →＋3PA →＝0， ∴PD →＋PE →＋PF →＝0， 即P 是△DEF 的重心，此时，△PDE ，△PEF ，△PDF 的面积相等， 则△PDE 的面积是△PBC 的面积的20倍， △PEF 的面积是△PAC 的面积的15倍， △PDF 的面积是△PAB 的面积的12倍，故△ABC 的面积是△PBC 的面积的4倍，将一粒红豆随机撒在△ABC 内，则红豆落在△PBC 内的概率是14.题型三 与体积有关的几何概型例4 (1)(2016·贵州黔东南州凯里一中期末)一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，则称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为( ) A.18 B.16 C.127 D.38(2)已知正三棱锥S —ABC 的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P ，使得V P —ABC <12V S —ABC的概率是( ) A.78 B.34 C.12 D.14 答案 (1)C (2)A解析 (1)由题意知小蜜蜂的安全飞行范围为以这个正方体的中心为中心，且棱长为1的小正方体内．这个小正方体的体积为1，大正方体的体积为27，故安全飞行的概率为P ＝127.(2)当P 在三棱锥的三条侧棱的中点所在的平面及下底面构成的正三棱台内时符合要求，由几何概型知，P ＝1－18＝78.思维升华 求解与体积有关的几何概型的注意点对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的问题也可利用其对立事件去求．(2016·哈尔滨模拟)在体积为V 的三棱锥S －ABC 的棱AB 上任取一点P ，则三棱锥S －APC 的体积大于V3的概率是________．答案 23解析 如图，三棱锥S －ABC 与三棱锥S －APC 的高相同，要使三棱锥S －APC 的体积大于V3，只需△APC 的面积大于△ABC 的面积的13.假设点P ′是线段AB 靠近点A 的三等分点，记事件M 为“三棱锥S －APC 的体积大于V3”，则事件M 发生的区域是线段P ′B . 从而P (M )＝P ′B AB ＝23.12．几何概型中的“测度”典例 (1)在等腰Rt△ABC 中，∠C ＝90°，在直角边BC 上任取一点M ，则∠CAM <30°的概率是________．(2)在长为1的线段上任取两点，则这两点之间的距离小于12的概率为( )A.14B.12C.34D.78 错解展示解析 (1)因为∠C ＝90°，∠CAM ＝30°， 所以所求概率为3090＝13.(2)两点之间线段长为12时，占长为1的线段的一半，故所求概率为12.答案 (1)13 (2)B现场纠错解析 (1)因为点M 在直角边BC 上是等可能出现的，所以“测度”是长度．设直角边长为a ，则所求概率为33a a＝33. (2)设任取两点所表示的数分别为x ，y ， 则0≤x ≤1，且0≤y ≤1.由题意知|x －y |<12，所以所求概率为P ＝1－2×12×12×121＝34.答案 (1)33(2)C 纠错心得 (1)在线段上取点，则点在线段上等可能出现；在角内作射线，则射线在角内的分布等可能．(2)两个变量在某个范围内取值，对应的“测度”是面积．1．(2016·佛山模拟)如图，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为96，以此实验数据为依据可以估计出椭圆的面积约为( ) A ．16.32 B ．15.32 C ．8.68 D ．7.68 答案 A解析 设椭圆的面积为S ，则S4×6＝300－96300， 故S ＝16.32.2．(2016·南平模拟)设p 在[0,5]上随机地取值，则关于x 的方程x 2＋px ＋1＝0有实数根的概率为( ) A.15 B.25 C.35 D.45 答案 C解析 方程有实数根，则Δ＝p 2－4≥0，解得p ≥2或p ≤－2(舍去)， 故所求概率为P ＝5－25－0＝35，故选C.3．(2016·四川宜宾筠连中学第三次月考)如图所示，在边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域．在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为23，则阴影区域的面积为( ) A.43 B.83 C.23 D.13 答案 B解析 正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率P ＝S 阴影S 正方形. 又∵S 正方形＝4，∴S 阴影＝83，故选B.4．已知△ABC 中，∠ABC ＝60°，AB ＝2，BC ＝6，在BC 上任取一点D ，则使△ABD 为钝角三角形的概率为( ) A.16 B.13 C.12 D.23 答案 C解析 如图，当BE ＝1时，∠AEB 为直角，则点D 在线段BE (不包含B 、E 点)上时，△ABD 为钝角三角形；当BF ＝4时，∠BAF 为直角，则点D 在线段CF (不包含C 、F 点)上时，△ABD 为钝角三角形，所以△ABD 为钝角三角形的概率为1＋26＝12.5.如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是( ) A ．1－2πB.12－1πC.2πD.1π答案 A解析 设分别以OA ，OB 为直径的两个半圆交于点C ，OA 的中点为D ，如图，连接OC ，DC . 不妨令OA ＝OB ＝2， 则OD ＝DA ＝DC ＝1.在以OA 为直径的半圆中，空白部分面积S 1＝π4＋12×1×1－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－12×1×1＝1， 所以整体图形中空白部分面积S 2＝2. 又因为S 扇形OAB ＝14×π×22＝π，所以阴影部分面积为S 3＝π－2. 所以P ＝π－2π＝1－2π.6.欧阳修的《卖油翁》中写到：“(翁)乃取一葫芦，置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为3 cm 的圆，中间有边长为1 cm 的正方形孔，若随机向铜钱上滴一滴油(油滴的直径忽略不计)，则正好落入孔中的概率是________． 答案49π解析 依题意，所求概率为P ＝12π·322＝49π. 7．有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________． 答案 23解析 V 圆柱＝2π，V 半球＝12×43π×13＝23π，V 半球V 圆柱＝13， 故点P 到O 的距离大于1的概率为23.8．在区间[1,5]和[2,4]上分别各取一个数，记为m 和n ，则方程x 2m 2＋y 2n2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆的概率是________． 答案 12解析 ∵方程x 2m 2＋y 2n2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，∴m >n .如图，由题意知，在矩形ABCD 内任取一点Q (m ，n )，点Q 落在阴影部分的概率即为所求的概率，易知直线m ＝n 恰好将矩形平分， ∴所求的概率为P ＝12.9．随机地向半圆0<y <2ax －x 2(a 为正常数)内掷一点，点落在圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，则原点与该点的连线与x 轴的夹角小于π4的概率为______．答案 12＋1π解析 半圆区域如图所示．设A 表示事件“原点与该点的连线与x 轴的夹角小于π4”，由几何概型的概率计算公式得P (A )＝A 的面积半圆的面积＝14πa 2＋12a 212πa 2＝12＋1π. 10．(2016·湖南衡阳八中月考)随机向边长为5,5,6的三角形中投一点P ，则点P 到三个顶点的距离都不小于1的概率是________． 答案 1－π24解析 由题意作图，如图，则点P 应落在深色阴影部分，S △＝12×6×52－32＝12，三个小扇形可合并成一个半圆，故其面积为π2，故点P 到三个顶点的距离都不小于1的概率为12－π212＝1－π24. 11．已知向量a ＝(－2,1)，b ＝(x ，y )．(1)若x ，y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次，第二次出现的点数，求满足a ·b ＝－1的概率； (2)若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，求满足a ·b <0的概率．解 (1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为6×6＝36， 由a ·b ＝－1，得－2x ＋y ＝－1，所以满足a ·b ＝－1的基本事件为(1,1)，(2,3)，(3,5)，共3个， 故满足a ·b ＝－1的概率为336＝112.(2)若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，则全部基本事件的结果为Ω＝{(x ，y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6}，满足a ·b <0的基本事件的结果为A ＝{(x ，y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6且－2x ＋y <0}．画出图形如图，矩形的面积为S 矩形＝25，阴影部分的面积为S 阴影＝25－12×2×4＝21， 故满足a ·b <0的概率为2125. 12．已知关于x 的二次函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1.设点(a ，b )是区域⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －8≤0，x >0，y >0内的一点，求函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数的概率．解 ∵函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1的图像的对称轴为直线x ＝2b a， 要使f (x )＝ax 2－4bx ＋1在区间[1，＋∞)上为增函数，当且仅当a >0且2b a≤1，即2b ≤a . 依条件可知事件的全部结果所构成的区域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ，b ⎪⎪⎪ ⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b －8≤0，a >0，b >0，构成所求事件的区域为三角形部分．所求概率区间应满足2b ≤a .由⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b －8＝0，b ＝a 2，得交点坐标为(163，83)， 故所求事件的概率为P ＝12×8×8312×8×8＝13. 13.甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的．如果甲船停泊时间为1 h ，乙船停泊时间为2 h ，求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率．解设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为x与y，记事件A为“两船都不需要等待码头空出”，则0≤x≤24,0≤y≤24，要使两船都不需要等待码头空出，当且仅当甲比乙早到达1 h 以上或乙比甲早到达2 h以上，即y－x≥1或x－y≥2.故所求事件构成集合A＝{(x，y)|y －x≥1或x－y≥2，x∈[0,24]，y∈[0,24]}．A为图中阴影部分，全部结果构成集合Ω为边长是24的正方形及其内部．所求概率为P(A)＝A的面积Ω的面积＝24－12×12＋24－22×12242＝506.5576＝1 0131 152.此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word可编辑版本！。
高考数学总复习9.6双曲线演练提升同步测评文新人教B版(2021学年)
2018年高考数学总复习9.6 双曲线演练提升同步测评文新人教B版编辑整理：尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望(２01８年高考数学总复习 9.６双曲线演练提升同步测评文新人教B版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈,这将是我们进步的源泉,前进的动力。
本文可编辑可修改,如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2018年高考数学总复习 9.6 双曲线演练提升同步测评文新人教B版的全部内容。
9。
6 双曲线A组专项基础训练(时间:35分钟)1．（２015·广东）已知双曲线C:错误!-错误!＝1的离心率e=错误!，且其右焦点为F2(5,０）,则双曲线C的方程为（ )A。
错误!－错误!=1 B。
错误!－错误!＝1C。
错误!－错误!=1 D．错误!-错误!＝1【解析】因为所求双曲线的右焦点为Ｆ２(5,0)且离心率为ｅ=错误!＝错误!，所以c=5,a=4,ｂ2＝ｃ2-a2＝９,所以所求双曲线方程为错误!－错误!=1,故选C。
【答案】C2.（2０16·安徽安庆二模）双曲线C:x2a2－错误!=1(a>０，b>0）的一条渐近线方程为ｙ＝2x，则双曲线C的离心率是（）A．５ B。
错误!C．2 D.错误!【解析】由双曲线C：错误!-错误!＝1(a>０,b>0)的一条渐近线方程为ｙ＝2x,可得错误!＝２，∴ｅ=＼f（c,ａ)＝错误!=错误!。
故选A。
【答案】 A3.(2０１６·广东茂名二模)已知双曲线：错误!-错误!＝１（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F２，焦距为2c,直线y=错误!(x+c)与双曲线的一个交点M满足∠ＭF1F２=2∠MＦ2Ｆ1，则双曲线的离心率为（)A。
高考数学总复习2.8函数与方程演练提升同步测评文新人教B版(2021学年)
2018年高考数学总复习2.8 函数与方程演练提升同步测评文新人教Ｂ版编辑整理：尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望（2０18年高考数学总复习 2.8 函数与方程演练提升同步测评文新人教Ｂ版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈,这将是我们进步的源泉,前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅,最后祝您生活愉快业绩进步,以下为20１8年高考数学总复习 2.8 函数与方程演练提升同步测评文新人教Ｂ版的全部内容。
2.8 函数与方程A组专项基础训练(时间:35分钟）1.（2017·广东茂名一模)下列函数中,在(-1,1)内有零点且单调递增的是( ）Ａ．y＝log错误!ｘＢ.y=2x-1C.ｙ=x2－错误!D.y＝-ｘ3【解析】函数y＝log错误!x在定义域上是减函数，ｙ=x２-错误!在（-1，1)上不是单调函数,y＝－x3在定义域上单调递减,均不符合要求．对于y=2ｘ-１,当x＝0∈（-1，1)时,ｙ＝０且ｙ＝２ｘ－1在R上单调递增.故选B.【答案】B2.（２０17·江西赣州一模)函数f（ｘ）,g(x）满足:对任意x∈Ｒ，都有f(x2-2ｘ＋３)=g(ｘ）,若关于x的方程g(x)＋sin错误!ｘ＝0只有5个根,则这５个根之和为( )A.5B.6C．8 D.9【解析】由f（ｘ2-2x＋3)=ｇ(ｘ)知g（x)的图象关于直线ｘ＝1对称（若g（x)的图象不关于直线ｘ=1对称,则存在x1,x2,满足x１＋x２=２,但g(x１)≠g(x2）,而f(x错误!-２x1＋3）＝g(x1)，f(x错误!－2x2＋3）=g(ｘ2)，且ｆ（ｘ错误!－2ｘ1+３）＝f(x错误!-2x2＋3),这与g(x1）≠g（x2）矛盾），由ｇ（x）＋sin 错误!ｘ=0，知g(ｘ)=－sin 错误!x，因为y=-sin 错误!x的图象也关于直线x＝1对称,g(x)＋sin π2x＝0有5个根,故必有一个根为１，另外4个根的和为4。
2018年高考数学总复习 11.2 古典概型演练提升同步测评 文 新人教b版
11.2 古典概型A 组 专项基础训练(时间：35分钟)1．(2015·全国卷Ⅰ)如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为( )A.310 B.15 C.110 D.120【解析】 从1，2，3，4，5中任取3个不同的数共有如下10个不同的结果：(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，3，5)，(1，4，5)，(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)，其中勾股数只有(3，4，5)，所以概率为110. 【答案】 C2．(2016·浙江金丽衢十二校二联)4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为偶数的概率为( )A.12B.13C.23D.34【解析】 因为从四张卡片中任取出两张的情况为(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共6种．其中两张卡片上数字和为偶数的情况为(1，3)，(2，4)共2种，所以两张卡片上的数字之和为偶数的概率为13. 【答案】 B3．(2016·课标全国Ⅲ)小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M 、I 、N 中的一个字母，第二位是1，2，3，4，5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是( )A.815 B.18 C.115 D.130【解析】 小敏输入密码的所有可能情况如下：(M ，1)，(M ，2)，(M ，3)，(M ，4)，(M ，5)，(I ，1)，(I ，2)，(I ，3)，(I ，4)，(I ，5)，(N ，1)，(N ，2)，(N ，3)，(N ，4)，(N ，5)，共15种．而能开机的密码只有一种，所以小敏输入一次密码能够成功开机的概率为115. 【答案】 C4．(2016·北京)从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为( ) A.15 B.25C.825D.925【解析】 设这5名学生为甲、乙、丙、丁、戊，从中任选2人的所有情况有(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(甲，戊)，(乙，丙)，(乙，丁)，(乙，戊)，(丙，丁)，(丙，戊)，(丁，戊)，共4＋3＋2＋1＝10种．其中甲被选中的情况有(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(甲，戊)，共4种，故甲被选中的概率为410＝25.故选B. 【答案】 B5．(2017·太原二模)记连续投掷两次骰子得到的点数分别为m ，n ，向量a ＝(m ，n )与向量b ＝(1，0)的夹角为α，则α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4的概率为( ) A.518 B.512C.12D.712【解析】 方法一 依题意，向量a ＝(m ，n )共有6×6＝36(个)，其中满足向量a ＝(m ，n )与向量b ＝(1，0)的夹角α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，即n ＜m 的(m ，n )可根据n 的具体取值进行分类计数：第一类，当n ＝1时，m 有5个不同的取值；第二类，当n ＝2时，m 有4个不同的取值；第三类，当n ＝3时，m 有3个不同的取值；第四类，当n ＝4时，m 有2个不同的取值；第五类，当n ＝5时，m 有1个取值，因此满足向量a ＝(m ，n )与向量b ＝(1，0)的夹角α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4的(m ，n )共有1＋2＋3＋4＋5＝15(个)，所以所求概率为1536＝512. 方法二 依题意可得向量a ＝(m ，n )共有6×6＝36(个)，其中满足向量a ＝(m ，n )与向量b ＝(1，0)的夹角α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，即n ＜m 的向量a ＝(m ，n )有36－62＝15(个)，所以所求概率为1536＝512. 【答案】 B6．(2016·四川)从2，3，8，9中任取两个不同的数字，分别记为a ，b ，则log a b 为整数的概率是________．【解析】 所有的基本事件有(2，3)，(2，8)，(2，9)，(3，2)，(3，8)，(3，9)，(8，2)，(8，3)，(8，9)，(9，2)，(9，3)，(9，8)，共12个．记“log a b 为整数”为事件A ，则事件A 包含的基本事件有(2，8)，(3，9)，共2个．∴P (A )＝212＝16. 【答案】 167．(2016·江苏)将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是________．【解析】 先后抛掷2次骰子，所有可能出现的情况可用数对表示为(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，……(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，共36个．其中点数之和不小于10的有(4，6)，(5，5)，(5，6)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，共6个．从而点数之和小于10的数对共有30个，故所求概率P ＝3036＝56. 【答案】 568．(2017·海淀一模)现有7名数理化成绩优秀者，分别用A 1，A 2，A 3，B 1，B 2，C 1，C 2表示，其中A 1，A 2，A 3的数学成绩优秀，B 1，B 2的物理成绩优秀，C 1，C 2的化学成绩优秀．从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，组成一个小组代表学校参加竞赛，则A 1和B 1不全被选中的概率为________．【解析】 从这7人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，所有可能的结果组成的12个基本事件为：(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 1，C 2)，(A 1，B 2，C 1)，(A 1，B 2，C 2)，(A 2，B 1，C 1)，(A 2，B 1，C 2)，(A 2，B 2，C 1)，(A 2，B 2，C 2)，(A 3，B 1，C 1)，(A 3，B 1，C 2)，(A 3，B 2，C 1)，(A 3，B 2，C 2)．设“A 1和B 1不全被选中”为事件N ，则其对立事件N 表示“A 1和B 1全被选中”，由于N＝{(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 1，C 2)}，所以P (N )＝212＝16，由对立事件的概率计算公式得P (N )＝1－P (N )＝1－16＝56. 【答案】 569．(2017·兰州双基测试)一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取一张，将抽取的卡片上的数字依次记为a ，b ，c .(1)求“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”的概率；(2)求“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”的概率．【解析】 (1)由题意，(a ，b ，c )所有可能的结果为：(1，1，1)，(1，1，2)，(1，1，3)，(1，2，1)，(1，2，2)，(1，2，3)，(1，3，1)，(1，3，2)，(1，3，3)，(2，1，1)，(2，1，2)，(2，1，3)，(2，2，1)，(2，2，2)，(2，2，3)，(2，3，1)，(2，3，2)，(2，3，3)，(3，1，1)，(3，1，2)，(3，1，3)，(3，2，1)，(3，2，2)，(3，2，3)，(3，3，1)，(3，3，2)，(3，3，3)，共27种．设“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”为事件A ，则事件A 包括(1，1，2)，(1，2，3)，(2，1，3)，共3种，所以P (A )＝327＝19， 因此，“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”的概率为19. (2)设“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”为事件B ，则事件B 包括(1，1，1)，(2，2，2)，(3，3，3)，共3种，所以P (B )＝1－P (B )＝1－327＝89， 因此，“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”的概率为89. 10．(2015·天津高考)设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27，9，18.现采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛．(1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数．(2)将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6.现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛．①用所给编号列出所有可能的结果；②设A 为事件“编号为A 5和A 6的两名运动员中至少有1人被抽到”，求事件A 发生的概率．【解析】 (1)应从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为3，1，2.(2)①从6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 1，A 4}，{A 1，A 5}，{A 1，A 6}，{A 2，A 3}，{A 2，A 4}，{A 2，A 5}，{A 2，A 6}，{A 3，A 4}，{A 3，A 5}，{A 3，A 6}，{A 4，A 5}，{A 4，A 6}，{A 5，A 6}，共15种．②编号为A 5和A 6的两名运动员中至少有1人被抽到的所有可能结果为{A 1，A 5}，{A 1，A 6}，{A 2，A 5}，{A 2，A 6}，{A 3，A 5}，{A 3，A 6}，{A 4，A 5}，{A 4，A 6}，{A 5，A 6}，共9种．因此，事件A 发生的概率P (A )＝915＝35. B 组 专项能力提升(时间：30分钟)11．(2017·天津红桥区模拟)从自然数1，2，3，4，5中，任意取出两个数组成两位的自然数，再从这些两位自然数中取出一个数，则取出的数恰好能被3整除的概率为( )A.25B.15C.310D.12【解析】 从自然数1，2，3，4，5中任意取出两个数组成两位的自然数，共有5×4＝20个，从这些两位自然数中取出的数恰好能被3整除有12，21，15，51，24，42，45，54，共8个，故能被3整除的概率为820＝25. 【答案】 A12．(2016·安徽芜湖、马鞍山第一次教学质量检测)某同学先后投掷一枚骰子两次，第一次向上的点数记为x ，第二次向上的点数记为y ，在直角坐标系xOy 中，以(x ，y )为坐标的点落在直线2x －y ＝1上的概率为( )A.112 B.19 C.536 D.16【解析】 掷一枚骰子两次不同的点数共有36种，以(x ，y )为坐标的点落在直线2x －y＝1上的点有(1，1)，(2，3)，(3，5)．故所求概率为112，故选A. 【答案】 A13．(2017·洛阳统考)将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a ，b ，则直线ax ＋by ＝0与圆(x －2)2＋y 2＝2有公共点的概率为________．【解析】 依题意，将一颗骰子先后投掷两次得到的点数所形成的数组(a ，b )有(1，1)，(1，2)，(1，3)，…，(6，6)，共36种，其中满足直线ax ＋by ＝0与圆(x －2)2＋y 2＝2有公共点，即满足2a a 2＋b 2≤2，a 2≤b 2的数组(a ，b )有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，…，(6，6)，共6＋5＋4＋3＋2＋1＝21种，因此所求的概率等于2136＝712. 【答案】 71214．(2017·雅安模拟)甲、乙两人用4张扑克牌(分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4)玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．(1)设(i ，j )表示甲、乙抽到的牌的牌面数字(如果甲抽到红桃2，乙抽到红桃3，记为(2，3))，写出甲、乙两人抽到的牌的所有情况；(2)若甲抽到红桃3，则乙抽到的牌的牌面数字比3大的概率是多少？(3)甲、乙约定，若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜；否则，乙胜，你认为此游戏是否公平？请说明理由．【解析】 (1)方片4用4′表示，则甲、乙两人抽到的牌的所有情况为：(2，3)，(2，4)，(2，4′)，(3，2)，(3，4)，(3，4′)，(4，2)，(4，3)，(4，4′)，(4′，2)，(4′，3)，(4′，4)共12种不同的情况．(2)甲抽到3，乙抽到的牌只能是2，4，4′，因此乙抽到的牌的牌面数字大于3的概率为23. (3)甲抽到的牌的牌面数字比乙大，有(3，2)，(4，2)，(4，3)，(4′，2)，(4′，3)，共5种情况．甲胜的概率为P 1＝512，乙胜的概率为P 2＝712. 因为512＜712，所以此游戏不公平． 15．(2017·山东枣庄八中南校区2月模拟)根据我国颁布的《环境空气质量指数(AQI)技术规定》：空气质量指数划分为0～50、51～100、101～150、151～200、201～300和大于300六级，对应空气质量指数的六个级别，指数越大，级别越高，说明污染越严重，对人体健康的影响也越明显．专家建议：当空气质量指数小于150时，可以进行户外运动；空气质量指数为151及以上时，不适合进行旅游等户外活动，下表是济南市2015年12月中旬的空气质量指数情况：(2)一外地游客在12月中旬来济南旅游，想连续游玩两天，求适合连续旅游两天的概率．【解析】 (1)该试验的基本事件空间Ω＝{11，12，13，14，15，16，17，18，19，20}，基本事件总数n ＝10.设事件A 为“市民不适合进行户外活动”，则A ＝{13，14，19，20}，包含基本事件数m＝4.所以P (A )＝410＝25， 即12月中旬市民不适合进行户外活动的概率为25. (2)该试验的基本事件空间Ω＝{(11，12)，(12，13)，(13，14)，(14，15)，(15，16)，(16，17)，(17，18)，(18，19)，(19，20)}，基本事件总数n ＝9，设事件B 为“适合连续旅游两天的日期”，则B ＝{(11，12)，(15，16)，(16，17)，(17，18)}，包含基本事件数m ＝4，所以P (B )＝49，所以适合连续旅游两天的概率为49.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
11.3 几何概型A 组 专项基础训练(时间：30分钟)1．(2017·宁波一模)已知实数a 满足－3＜a ＜4，函数f (x )＝lg(x 2＋ax ＋1)的值域为R 的概率为P 1，定义域为R 的概率为P 2，则( )A ．P 1＞P 2B ．P 1＝P 2C ．P 1＜P 2D ．P 1与P 2的大小不确定【解析】 若f (x )的值域为R ，则Δ＝a 2－4≥0，得a ≤－2或a ≥2，故P 1＝－2－（－3）4－（－3）＋4－24－（－3）＝37.若f (x )的定义域为R ，则Δ＝a 2－4＜0，得－2＜a ＜2，故P 2＝2－（－2）4－（－3）＝47，所以P 1＜P 2. 【答案】 C2．(2017·石家庄一模)在区间[0，1]上任取两个数，则这两个数之和小于65的概率是( )A.1225B.1625C.1725 D.1825【解析】 设这两个数分别是x ，y ，则总的基本事件构成的区域是⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤1确定的平面区域，所求事件包含的基本事件构成的区域是⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤1，x ＋y ＜65确定的平面区域，如图所示，阴影部分的面积是1－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝1725，所以这两个数之和小于65的概率是1725.【答案】 C3．(2017·山西四校联考)在面积为S 的△ABC 内部任取一点P ，则△PBC 的面积大于S4的概率为( )A.14B.34C.49D.916【解析】 设AB ，AC 上分别有点D ，E 满足AD ＝34AB 且AE ＝34AC ，则△ADE ∽△ABC ，DE∥BC 且DE ＝34BC .∵点A 到DE 的距离等于点A 到BC 的距离的34，∴DE 到BC 的距离等于△ABC高的14.当动点P 在△ADE 内时，P 到BC 的距离大于DE 到BC 的距离，∴当P 在△ADE 内部运动时，△PBC 的面积大于S4，∴所求概率为S △ADE S △ABC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝916.【答案】 D4．(2017·石家庄模拟)已知O ，A ，B 三地在同一水平面内，A 地在O 地正东方向2 km 处，B 地在O 地正北方向2 km 处，某测绘队员在A ，B 之间的直线公路上任选一点C 作为测绘点，用测绘仪进行测绘，O 地为一磁场，距离其不超过 3 km 的范围内会对测绘仪等电子仪器形成干扰，使测量结果不准确，则该测绘队员能够得到准确数据的概率是( )A.12B.22 C ．1－32 D ．1－22【解析】 由题意知在等腰直角三角形OAB 中，以O 为圆心，3为半径的圆截AB 所得的线段长为2，而|AB |＝22，故该测绘队员能够得到准确数据的概率是1－222＝1－22.【答案】 D5．(2017·广州摸底)由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x －2≤0确定的平面区域记为Ω1，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x ＋y ≥－2确定的平面区域记为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为( )A.18B.14C.34D.78【解析】 平面区域Ω1的面积为12×2×2＝2，平面区域Ω2为一个条形区域，画出图形如图所示，其中C (0，1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y －x －2＝0，x ＋y ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12，y ＝32，即D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，则△ACD 的面积为S ＝12×1×12＝14，则四边形BDCO 的面积S ＝S △OAB －S △ACD ＝2－14＝74.在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为742＝78.【答案】 D6．(2017·鞍山调查)一只昆虫在边分别为5，12，13的三角形区域内随机爬行，则其到三角形顶点的距离小于2的地方的概率为________．【解析】 如图所示，该三角形为直角三角形，其面积为12×5×12＝30，阴影部分的面积为12×π×22＝2π，所以所求概率为2π30＝π15.【答案】 π157．(2017·湖北七市联考)AB 是半径为1的圆的直径，M 为直径AB 上任意一点，过点M 作垂直于直径AB 的弦，则弦长大于3的概率是________．【解析】 依题意知，当相应的弦长大于3时，圆心到弦的距离小于12－⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝12，因此相应的点M 应位于线段AB 上与圆心的距离小于12的地方，所求的概率等于12. 【答案】 12【解析】 如图所示，当m ＝0时，平面区域E (阴影部分)的面积最大，此时点P 落在平面区域E 内的概率最大．【答案】 09．(2017·湖南衡阳八中月考)随机向边长为5，5，6的三角形中投一点P ，则点P 到三个顶点的距离都不小于1的概率是________．【解析】 由题意作图，如图 则点P 应落在深色阴影部分，S 三角形＝12×6×52－32＝12，三个小扇形可合并成一个半圆，故其面积为π2，故点P 到三个顶点的距离都不小于1的概率为12－π212＝24－π24.【答案】 24－π2410．已知向量a ＝(2，1)，b ＝(x ，y )．(1)若x ∈{－1，0，1，2}，y ∈{－1，0，1}，求向量a ∥b 的概率； (2)若x ∈[－1，2]，y ∈[－1，1]，求向量a ，b 的夹角是钝角的概率．【解析】 (1)设“a ∥b ”为事件A ，由a ∥b ，得x ＝2y .基本事件空间为Ω＝{(－1，－1)，(－1，0)，(－1，1)，(0，－1)，(0，0)，(0，1)，(1，－1)，(1，0)，(1，1)，(2，－1)，(2，0)，(2，1)}，共包含12个基本事件；其中A ＝{(0，0)，(2，1)}，包含2个基本事件．则P (A )＝212＝16，即向量a ∥b 的概率为16. (2)因为x ∈[－1，2]，y ∈[－1，1]，则满足条件的所有基本事件所构成的区域如图为矩形ABCD ，面积为S 1＝3×2＝6.设“a ，b 的夹角是钝角”为事件B ，由a ，b 的夹角是钝角，可得a ·b ＜0，即2x ＋y ＜0，且x ≠2y .事件B 包含的基本事件所构成的区域为图中四边形AEFD ，面积S 2＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32×2＝2，则P (B )＝S 2S 1＝26＝13.即向量a ，b 的夹角是钝角的概率是13.B 组 专项能力提升 (时间：30分钟)11．(2016·课标全国Ⅱ)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为( )A.710 B.58C.38D.310【解析】 此人来到时，正好是红灯，若至少需要等待15秒，说明红灯开始时间小于等于25秒．对应概率P ＝2540＝58.故选B.【答案】 B12．(2015·湖北)在区间[0，1]上随机取两个数x ，y ，记p 1为事件“x ＋y ≥12”的概率，p 2为事件“|x －y |≤12”的概率，p 3为事件“xy ≤12”的概率，则( )A ．p 1＜p 2＜p 3B ．p 2＜p 3＜p 1C ．p 3＜p 1＜p 2D ．p 3＜p 2＜p 1【解析】 如图，点(x ，y )所处的空间为正方形OBCA 表示的平面区域(包括其边界)，故本题属于几何概型中的“面积比”型．分别画出三个事件对应的图形，根据图形面积的大小估算概率的大小．满足条件的x ，y 构成的点(x ，y )在正方形OBCA 及其边界上．事件“x ＋y ≥12”对应的图形为图①所示的阴影部分；事件“|x －y |≤12”对应的图形为图②所示的阴影部分；事件“xy ≤12”对应的图形为图③所示的阴影部分．对三者的面积进行比较，可得p 2＜p 3＜p 1.【答案】 B13．(2016·黑龙江哈尔滨六中期末)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤30≤y ≤1，表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离小于2的概率是( )A.π4 B.π－36 C.3＋3π12 D.33＋2π18【解析】 区域D ：⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤30≤y ≤1，表示矩形，面积为3.到坐标原点的距离小于2的点，位于以原点O 为圆心、半径为2的圆内，则图中的阴影面积为12×1×3＋30360×π×4＝32＋π3，∴所求概率为P ＝33＋2π18.故选D.【答案】 D14．(2017·山东青岛一模)如图所示，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角θ＝π6.现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，则飞镖落在小正方形内的概率是________．【解析】 易知小正方形的边长为3－1，故小正方形的面积为S 1＝(3－1)2＝4－23，大正方形的面积为S ＝2×2＝4，故飞镖落在小正方形内的概率P ＝S 1S ＝4－234＝2－32.【答案】 2－3215．甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的．如果甲船停泊时间为1 h ，乙船停泊时间为2 h ，求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率．【解析】 设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为x 与y ，记事件A 为“两船都不需要等待码头空出”，则0≤x ≤24，0≤y ≤24，要使两船都不需要等待码头空出，当且仅当甲比乙早到达1 h 以上或乙比甲早到达2 h 以上，即y －x ≥1或x －y ≥2.故所求事件构成集合A ＝{(x ，y )|y －x ≥1或x －y ≥2，x ∈[0，24]，y ∈[0，24]}．A 为图中阴影部分，全部结果构成集合Ω为边长是24的正方形及其内部．所求概率为P (A )＝A 的面积Ω的面积＝（24－1）2×12＋（24－2）2×12242＝506.5576＝1 0131 152.百度文库是百度发布的供网友在线分享文档的平台。
百度文库的文档由百度用户上传，需要经过百度的审核才能发布，百度自身不编辑或修改用户上传的文档内容。
网友可以在线阅读和下载这些文档。
百度文库的文档包括教学资料、考试题库、专业资料、公文写作、法律文件等多个领域的资料。
百度用户上传文档可以得到一定的积分，下载有标价的文档则需要消耗积分。
当前平台支持主流的doc(.docx)、.ppt(.pptx)、.xls(.xlsx)、.pot、.pps、.vsd、.rtf、.wps、.et、.dps、.pdf、.txt 文件格式。