东北三省2013届高三第一次大联考理数
2013-东北三省三校-一模-理科数学
东北三省三校（辽宁省实验中学、东北师大附中、哈师大附中）2013届高三3月第一次联合模拟考试理科数学第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1．已知全集U R =,集合{}|2A x x =≥，{|05}B x x =≤<，则集合)U C A B ⋂=（ （ ）A ．{|02}x x <<B ．{|02}x x <≤C ．{|02}x x ≤<D ．{|02}x x ≤≤解析： {}|2U C A x x =<){|02}U C A B x x ∴⋂=≤<（，故选C2．命题“若1,x >则0x >”的否命题是 （ ）A ．若1x >，则0x ≤B ．若1x ≤，则0x >C ．若1x ≤，则0x ≤D ．若1x <，则0x < 解析：．命题“若1,x >则0x >”的否命题是：若1x ≤，则0x ≤，故选C3．在复平面内复数3+41iz i=-的对应点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：3+4(3+4)(1)1717+1(1)(1)222i i i i z i i i i +-+====---+，而点17(,)22-在第二象限，故选B4已知数列{}n a 是等差数列，且1472a a a π++=，则35tan()a a +的值为（ ）AB ．C D ．解析：1472a a a π++= ，43=2a π∴42=3a π∴3544tan()=tan 2=tan 3a a a π∴+故选C5．与椭圆:C 2211612y x +=共焦点且过点的双曲线的标准方程为（ ）A ．2213y x -= B ．2221y x -= C ．22122y x -= D ．2213y x -=解析：由题知：焦距为4，排除B,又焦点在y 轴上排除A，将(1代入C 、D 可得C 正确，故选C6．将4名实习教师分配到高一年级的3个班实习，若每班至少名教师，则不同的分配方案的种数为（ ） A ．12 B ．36 C ．72 D ．108解析：先从4名实习教师选出2名教师有24C 种情形，再将选出的2名教师看成1名教师与余下的2名全排列有33A 种情形，所以不同的分配方案的种数为：2343=36C A ⋅，故选B（ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．8解析：按框图推演可得：M 的值为：6，故选B 8．若n 的展开式中第四项为常数项，则n =（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7解析：n的展开式中第四项为：35331332211()()22n n nn C xx C x ---∙-∙=-，又第四项为常数项 所以502n -=，从而5n =，故选B第10小题9．已知函数sin()y A x k ωϕ=++的最大值为4，最小值为0，最小正周期为2π，直线3x π=是其图像的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为（ ） A ．4sin(4)6y x π=+ B ．2sin(2)23y x π=++C ．2sin(4)23y x π=++D ．2sin(4)26y x π=++解析：由题得：40A k A k +=⎧⎨-+=⎩，解得：22A k =⎧⎨=⎩又函数sin()y A x k ωϕ=++最小正周期为2π242πωπ∴==()2sin(4)2f x x ϕ∴=++又直线3x π=是()f x 图像的一条对称轴432k ππϕπ∴⨯+=+5,6k k Z πϕπ∴=-∈ 故可得：2sin(4)26y x π=++符合条件，所以选D10．点A B C D 、、、在同一个球的球面上，AB BC ==2AC =， 若四面体ABCD 体积的最大值为23，则这个球的表面积为 （ ） A ．1256π3 B ．8πC ．254πD ．2516解析：AB BC == 2AC =，ABC ∴∆是直角三角形，ABC ∴∆的外接圆的圆心在边1AC 的中点O 如图所示，若使四面体ABCD 体积的最大值只需使点D 平面ABC 的距离最大，又1OO ⊥平面ABC ,所以点D 是直线1OO 与球的交点最大。
2013年高考全国I卷理科数学试卷标准版附答案
2013年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅰ)理 数本卷满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合A={x|x 2-2x>0},B={x|- <x< },则( ) A.A∩B=⌀B.A∪B=RC.B ⊆AD.A ⊆B2.若复数z 满足(3-4i)z=|4+3i|,则z 的虚部为( ) A.-4B.-45C.4D.453.为了解某地区的中小学生的视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查,事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大.在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是( ) A.简单随机抽样 B.按性别分层抽样 C.按学段分层抽样D.系统抽样4.已知双曲线C:x 2a 2-y 2b2=1(a>0,b>0)的离心率为 52,则C 的渐近线方程为( )A.y=±14xB.y=±13xC.y=±12xD.y=±x5.执行下面的程序框图,如果输入的t∈[-1,3],则输出的s 属于( )A.[-3,4]B.[-5,2]C.[-4,3]D.[-2,5]6.如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8 cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为( )A.500π3cm 3B.866π3cm 3C.1372π3cm 3D.2048π3cm 37.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S m-1=-2,S m =0,S m+1=3,则m=( ) A.3B.4C.5D.68.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A.16+8πB.8+8πC.16+16πD.8+16π9.设m 为正整数,(x+y)2m展开式的二项式系数的最大值为a,(x+y)2m+1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a=7b,则m=( ) A.5B.6C.7D.810.已知椭圆E:x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F 的直线交E 于A,B 两点.若AB 的中点坐标为(1,-1),则E 的方程为( ) A.x 245+y 236=1B.x 236+y 227=1C.x 227+y 218=1D.x 218+y 29=111.已知函数f(x)= -x 2+2x ,x ≤0,ln (x +1),x >0.若|f(x)|≥ax,则a 的取值范围是( )A.(-∞,0]B.(-∞,1]C.[-2,1]D.[-2,0]12.设△A n B n C n 的三边长分别为a n ,b n ,c n ,△A n B n C n 的面积为S n ,n=1,2,3,….若b 1>c 1,b 1+c 1=2a 1,a n+1=a n ,b n+1=c n +a n 2,c n+1=b n +a n2,则( )A.{S n }为递减数列B.{S n }为递增数列C.{S 2n-1}为递增数列,{S 2n }为递减数列D.{S2n-1}为递减数列,{S2n}为递增数列第Ⅱ卷(非选择题,共90分)本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题~第24题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.已知两个单位向量a,b的夹角为60°,c=ta+(1-t)b.若b²c=0,则t= .14.若数列{a n}的前n项和S n=2a n+1,则{a n}的通项公式是a n= .15.设当x=θ时,函数f(x)=sin x-2cos x取得最大值,则cos θ= .16.若函数f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的图象关于直线x=-2对称,则f(x)的最大值为.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,BC=1,P为△ABC内一点,∠BPC=90°.(Ⅰ)若PB=1,求PA;2(Ⅱ)若∠APB=150°,求tan∠PBA.18.(本小题满分12分)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°.(Ⅰ)证明:AB⊥A1C;(Ⅱ)若平面ABC⊥平面AA1B1B,AB=CB,求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值.19.(本小题满分12分)一批产品需要进行质量检验,检验方案是:先从这批产品中任取4件作检验,这4件产品中优质品的件数记为n.如果n=3,再从这批产品中任取4件作检验,若都为优质品,则这批产品通过检验;如果n=4,再从这批产品中任取1件作检验,若为优质品,则这批产品通过检验;其他情况下,这批产品都不能通过检验.,且各件产品假设这批产品的优质品率为50%,即取出的每件产品是优质品的概率都为12是否为优质品相互独立.(Ⅰ)求这批产品通过检验的概率;(Ⅱ)已知每件产品的检验费用为100元,且抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位:元),求X的分布列及数学期望.20.(本小题满分12分)已知圆M:(x+1)2+y2=1,圆N:(x-1)2+y2=9,动圆P与圆M外切并且与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C.(Ⅰ)求C的方程;(Ⅱ)l是与圆P,圆M都相切的一条直线,l与曲线C交于A,B两点,当圆P的半径最长时,求|AB|.21.(本小题满分12分)设函数f(x)=x2+ax+b,g(x)=e x(cx+d).若曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都过点P(0,2),且在点P 处有相同的切线y=4x+2.(Ⅰ)求a,b,c,d的值;(Ⅱ)若x≥-2时, f(x)≤kg(x),求k的取值范围.请考生从第22、23、24三题中任选一题作答,多选、多答,按所选的首题进行评分;不选,按本选考题的首题进行评分.22.(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲如图,直线AB为圆的切线,切点为B,点C在圆上,∠ABC的角平分线BE交圆于点E,DB垂直BE交圆于点D.(Ⅰ)证明:DB=DC;(Ⅱ)设圆的半径为1,BC=3,延长CE交AB于点F,求△BCF外接圆的半径.23.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程为x=4+5cos t,y=5+5sin t(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=2sin θ. (Ⅰ)把C1的参数方程化为极坐标方程;(Ⅱ)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).24.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲已知函数f(x)=|2x-1|+|2x+a|,g(x)=x+3.(Ⅰ)当a=-2时,求不等式f(x)<g(x)的解集;(Ⅱ)设a>-1,且当x∈-a2,12时, f(x)≤g(x),求a的取值范围.2013年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅰ)一、选择题1.B 化简A={x|x>2或x<0},而B={x|- 5<x< 5},所以A ∩B={x|- 5<x<0或2<x< 5},B 项错误;A ∪B=R,B 项正确;A 与B 没有包含关系,C 项与D 项均错误.故选B.2.D ∵|4+3i|= 42+32=5,∴z=53−4i =5(3+4i)25=35+45i,虚部为45,故选D.3.C 因为男女视力情况差异不大,而学段的视力情况有较大差异,所以应按学段分层抽样,故选C.评析 本题考查了分层抽样,准确理解分层抽样的意义是解题关键.4.C ∵b a= e 2-1= 54-1=12,∴C 的渐近线方程为y=±12x.故选C.5.A 由框图知s 是关于t 的分段函数:s=3t ,-1≤t <1,4t -t 2,1≤t ≤3,当t ∈[-1,1)时,s ∈[-3,3);当t ∈[1,3]时,s=4t-t 2=4-(t-2)2∈[3,4],故s ∈[-3,4],故选A.6.A 设球心为O,正方体上底面中心为A,上底面一边的中点为B,在Rt △OAB 中,|OA|=R-2(cm),|AB|=4(cm),|OB|=R(cm),由R 2=(R-2)2+42得R=5(cm),∴V 球=43πR 3=5003π(cm 3).故选A.评析 本题考查了正方体和球的组合体,考查了空间想象能力.利用勾股定理求出球半径R 是解题的关键.7.C 解法一:∵S m-1=-2,S m =0,S m+1=3,∴a m =S m -S m-1=2,a m+1=S m+1-S m =3,∴公差d=a m+1-a m =1,由S n =na 1+n (n -1)2d=na 1+n (n -1)2,得ma 1+m (m -1)2=0, ①(m -1)a 1+(m -1)(m -2)2=−2.② 由①得a 1=1−m 2,代入②可得m=5.解法二:∵数列{a n }为等差数列,且前n 项和为S n ,∴数列 Sn n 也为等差数列. ∴Sm -1m -1+Sm +1m +1=2S m m,即-2m -1+3m +1=0,即m=5.故选C.评析 本题考查等差数列前n 项和的基本运算,若能掌握等差数列的性质,解决此题可简化运算.8.A 由三视图可知该几何体由长方体和圆柱的一半组成.其中长方体的长、宽、高分别为4、2、2,圆柱的底面半径为2,高为4.所以该几何体的体积为V=4³2³2+12π³22³4=16+8π.故选A.9.B 由题意得:a=C 2m m ,b=C 2m +1m ,所以13C 2m m =7C 2m +1m ,∴13·(2m )!m !²m!=7·(2m +1)!m !²(m+1)!,∴7(2m +1)m +1=13,解得m=6,选B.10.D 直线AB 的斜率k=0+13−1=12,设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则 x 12a 2+y 12b 2=1, ①x 22a 2+y 22b 2=1,②①-②得y 1-y2x 1-x 2=-b 2a 2²x 1+x2y 1+y 2.即k=-b 2a 2³2-2,∴b 2a=12. ③又a 2-b 2=c 2=9,④由③④得a 2=18,b 2=9.所以椭圆方程为x 218+y 29=1,故选D.评析 本题考查了直线和椭圆的位置关系,考查了线段的中点问题.本题也可利用韦达定理解决中点问题.11.D 由题意作出y=|f(x)|的图象:由题意结合图象知,当a>0时,y=ax 与y=ln(x+1)在x>0时必有交点,所以a ≤0.当x ≥0时,|f(x)|≥ax 显然成立;当x<0时,|f(x)|=x 2-2x ≥ax,则a ≥x-2恒成立,又x-2<-2,∴a≥-2.综上,-2≤a ≤0,故选D.评析本题考查了函数的综合应用,考查了数形结合的能力;借助基本初等函数的图象缩小参数范围是解题关键.12.B由b n+1=a n+c n2,c n+1=b n+a n2得b n+1+c n+1=a n+12(b n+c n),①b n+1-c n+1=-12(b n-c n),②由a n+1=a n得a n=a1,代入①得b n+1+c n+1=a1+12(b n+c n),∴b n+1+c n+1-2a1=12(b n+c n-2a1),∵b1+c1-2a1=2a1-2a1=0,∴b n+c n=2a1>|B n C n|=a1,所以点A n在以B n、C n为焦点且长轴长为2a1的椭圆上(如图).由b1>c1得b1-c1>0,所以|b n+1-c n+1|=12(b n-c n),即|b n-c n|=(b1-c1)²12n-1,所以当n增大时|b n-c n|变小,即点A n向点A处移动,即边B n C n上的高增大,又|B n C n|=a n=a1不变,所以{S n}为递增数列.二、填空题13.答案 2解析解法一:∵b²c=0,∴b[ta+(1-t)b]=0,ta²b+(1-t)²b2=0,又∵|a|=|b|=1,<a,b>=60°,∴12t+1-t=0,t=2.解法二:由t+(1-t)=1知向量a、b、c的终点A、B、C共线,在平面直角坐标系中设a=(1,0),b=12,32,则c=32,-32.把a、b、c的坐标代入c=ta+(1-t)b,得t=2.评析本题考查了向量的运算,利用三点共线的条件得到c的坐标是解题关键.14.答案(-2)n-1解析由S n=23a n+13得:当n≥2时,S n-1=23a n-1+13,∴当n≥2时,a n=-2a n-1,又n=1时,S1=a1=23a1+13,a1=1,∴a n=(-2)n-1.15.答案-255解析由辅助角公式得:f(x)=555sin x-255cos x =5sin(x-φ),其中sinφ=255,cosφ=55,由x=θ,f(x)取得最大值得:sin(θ-φ)=1,∴θ-φ=2kπ+π2,k∈Z,即θ=φ+π2+2kπ,∴cosθ=cos φ+π2=-sinφ=-255.评析本题考查了辅助角公式的应用,准确掌握辅助角的含义是解题关键.16.答案16解析由f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的图象关于直线x=-2对称,则有f(0)=f(-4), f(1)=f(-5),即b=−15(16−4a+b), 0=−24(25−5a+b),解得a=8,b=15,∴f(x)=(1-x2)(x2+8x+15)=(1-x2)[(x+4)2-1],令x+2=t,则x=t-2,t∈R. ∴y=f(t)=[1-(t-2)2][(t-2)2+8(t-2)+15]=(4t-t2-3)(4t+t2+3)=16t2-(t2+3)2=16t2-t4-6t2-9=16-(t2-5)2,∴当t2=5时y max=16.三、解答题17.解析 (Ⅰ)由已知得,∠PBC=60°,所以∠PBA=30°. 在△PBA 中,由余弦定理得PA 2=3+14-2³ 3³12cos30°=74.故PA= 72. (Ⅱ)设∠PBA=α,由已知得PB=sin α. 在△PBA 中,由正弦定理得 3sin 150°=sin αsin (30°−α), 化简得 cos α=4sin α. 所以tan α= 34,即tan ∠PBA= 34.评析 本题考查了利用正弦定理和余弦定理解三角形,考查了运算求解能力和分析、解决问题的能力.题目新颖且有一定的难度,通过PB 把△PBC 和△PAB 联系起来利用正弦定理是解题关键.18.解析 (Ⅰ)取AB 的中点O,连结OC,OA 1,A 1B. 因为CA=CB,所以OC ⊥AB.由于AB=AA 1,∠BAA 1=60°,故△AA 1B 为等边三角形,所以OA 1⊥AB. 因为OC ∩OA 1=O,所以AB ⊥平面OA 1C. 又A 1C ⊂平面OA 1C,故AB ⊥A 1C. (Ⅱ)由(Ⅰ)知OC ⊥AB,OA 1⊥AB.又平面ABC ⊥平面AA 1B 1B,交线为AB,所以OC ⊥平面AA 1B 1B,故OA,OA 1,OC 两两相互垂直. 以O 为坐标原点,OA 的方向为x 轴的正方向,|OA |为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.由题设知A(1,0,0),A 1(0, 3,0),C(0,0, 3),B(-1,0,0).则BC =(1,0, ),BB 1=AA 1=(-1, ,0),A 1C =(0,- 设n=(x,y,z)是平面BB 1C 1C 的法向量,则 n ²BC =0,n ²BB 1=0.即 x + 3z =0,-x + 3y =0.可取n=( 故cos<n,A 1C >=n ²A 1C|n ||A 1C |=- 105. 所以A 1C 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值为105. 19.解析 (Ⅰ)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A 1,第一次取出的4件产品全是优质品为事件A 2,第二次取出的4件产品都是优质品为事件B 1,第二次取出的1件产品是优质品为事件B 2,这批产品通过检验为事件A,依题意有A=(A 1B 1)∪(A 2B 2),且A 1B 1与A 2B 2互斥,所以P(A)=P(A 1B 1)+P(A 2B 2)=P(A 1)P(B 1|A 1)+P(A 2)P(B 2|A 2)=416³116+116³12=364. (Ⅱ)X 可能的取值为400,500,800,并且 P(X=400)=1-416-116=1116,P(X=500)=116,P(X=800)=14. 所以X 的分布列为EX=400³1116+500³116+800³14=506.25.20.解析 由已知得圆M 的圆心为M(-1,0),半径r 1=1;圆N 的圆心为N(1,0),半径r 2=3.设圆P 的圆心为P(x,y),半径为R.(Ⅰ)因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切,所以 |PM|+|PN|=(R+r 1)+(r 2-R)=r 1+r 2=4.由椭圆的定义可知,曲线C 是以M 、N 为左、右焦点,长半轴长为2,短半轴长为 3的椭圆(左顶点除外),其方程为x 24+y 23=1(x ≠-2).(Ⅱ)对于曲线C 上任意一点P(x,y),由于|PM|-|PN|=2R-2≤2,所以R ≤2,当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时,R=2.所以当圆P 的半径最长时,其方程为(x-2)2+y 2=4. 若l 的倾斜角为90°,则l 与y 轴重合,可得|AB|=2 3.若l 的倾斜角不为90°,由r 1≠R 知l 不平行于x 轴,设l 与x 轴的交点为Q, 则|QP ||QM |=Rr 1,可求得Q(-4,0),所以可设l:y=k(x+4).由l 与圆M 相切得1+k2=1,解得k=± 24. 当k= 24时,将y= 24x+ 2代入x 24+y 23=1,并整理得7x 2+8x-8=0,解得x 1,2=-4±6 27.所以|AB|= 2|x 2-x 1|=187.当k=- 24时,由图形的对称性可知|AB|=187. 综上,|AB|=2 3或|AB|=187.评析 本题考查了直线和圆的位置关系,考查了椭圆的定义和方程,考查了分类讨论的方法和运算求解能力.利用数形结合的方法是解题的关键.在求曲线C 的方程时容易忽视对左顶点和直线倾斜角为90°时的讨论而造成失分.21.解析 (Ⅰ)由已知得f(0)=2,g(0)=2,f'(0)=4,g'(0)=4. 而f'(x)=2x+a,g'(x)=e x(cx+d+c),故b=2,d=2,a=4,d+c=4. 从而a=4,b=2,c=2,d=2.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x)=x 2+4x+2,g(x)=2e x(x+1). 设函数F(x)=kg(x)-f(x)=2ke x(x+1)-x 2-4x-2,则 F'(x)=2ke x(x+2)-2x-4=2(x+2)(ke x-1). 由题设可得F(0)≥0,即k ≥1. 令F'(x)=0,得x 1=-lnk,x 2=-2.(i)若1≤k<e 2,则-2<x 1≤0.从而当x ∈(-2,x 1)时,F'(x)<0;当x ∈(x 1,+∞)时,F'(x)>0.即F(x)在(-2,x 1)上单调递减,在(x 1,+∞)上单调递增.故F(x)在[-2,+∞)上的最小值为F(x 1).而F(x 1)=2x 1+2-x 12-4x 1-2=-x 1(x 1+2)≥0.故当x≥-2时,F(x)≥0,即f(x)≤kg(x)恒成立.(ii)若k=e2,则F'(x)=2e2(x+2)(e x-e-2).从而当x>-2时,F'(x)>0,即F(x)在(-2,+∞)上单调递增.而F(-2)=0,故当x≥-2时,F(x)≥0,即f(x)≤kg(x)恒成立.(iii)若k>e2,则F(-2)=-2ke-2+2=-2e-2(k-e2)<0.从而当x≥-2时,f(x)≤kg(x)不可能恒成立.综上,k的取值范围是[1,e2].评析本题考查了导数的几何意义以及利用导数研究函数的单调性,考查了分类与整合、函数与方程的思想;结合特值限定参数的范围,可减少分类的情况,有利于提高效率,掌握利用两根大小作为讨论的分界点,是解题关键.22.解析(Ⅰ)连结DE,交BC于点G.由弦切角定理得,∠ABE=∠BCE.而∠ABE=∠CBE,故∠CBE=∠BCE,BE=CE.又因为DB⊥BE,所以DE为直径,∠DCE=90°,由勾股定理可得DB=DC.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,∠CDE=∠BDE,DB=DC,故DG是BC的中垂线,所以BG=32.设DE的中点为O,连结BO,则∠BOG=60°.从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°,所以CF⊥BF,故Rt△BCF外接圆的半径等于32.23.解析(Ⅰ)将x=4+5cos t,y=5+5sin t消去参数t,化为普通方程(x-4)2+(y-5)2=25,即C1:x2+y2-8x-10y+16=0.将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入x2+y2-8x-10y+16=0得ρ2-8ρcosθ-10ρsinθ+16=0.所以C1的极坐标方程为ρ2-8ρcosθ-10ρsinθ+16=0. (Ⅱ)C2的普通方程为x2+y2-2y=0.由x2+y2-8x-10y+16=0,x2+y2-2y=0,解得x=1,y=1或x=0,y=2.所以C1与C2交点的极坐标分别为2,π4,2,π2.24.解析(Ⅰ)当a=-2时,不等式f(x)<g(x)化为|2x-1|+|2x-2|-x-3<0. 设函数y=|2x-1|+|2x-2|-x-3,则y=-5x,x<12,-x-2,12≤x≤1, 3x-6,x>1.其图象如图所示.从图象可知,当且仅当x∈(0,2)时,y<0.所以原不等式的解集是{x|0<x<2}.(Ⅱ)当x∈-a2,12时,f(x)=1+a.不等式f(x)≤g(x)化为1+a≤x+3.所以x≥a-2对x∈-a2,12都成立.故-a2≥a-2,即a≤43.从而a的取值范围是-1,43.。
2013东北三省四市一模数学试题含答案_(word版)
2013年哈尔滨市高考复习质量检测（数学科理科答案）一、选择题ACDBD AABBC BD二、填空题xy 23.13±=36.14-6.15- 8204.1617（1）117cos 222cos 2cos 22225A A A A A ++==-, …….3分 27cos 22cos 125A A =-=-所以3cos 5A =……..6分（2）232517cos 525c A c +-==⨯⨯……..8分 得24c c ==或， …….10分 而4sin 5A =,……..11分所以ABC S ∆=4或8……..12分18.解：（1）由分层抽样比a+=10820900100得72=a ………1分………4分本地游客消费平均水平明显低于外地游客，同时外地游客消费水平更加集中，本地的消费水平相对分散。
（其它答法只要合理都给分） ………6分（2）消费]8,5[百元的概率为43，人数)43,3(~B X ， …….8分)3,2,1,0()41()43()(33===-i C i X P iii…….10分49=EX ………12分 19.【解】（1）以点D 为坐标原点，DA 为x 轴正方向，DC 为y 轴正方向，DP 为z 轴正方向，建立空间直角坐标系． …… 1分则()0,0,0D ，()1,0,0A ，()1,1,0B ，()0,1,0C ，()0,0,2P ，因为4PE EB = ，4DF FA = ，所以4,0,05F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，442,,555E ⎛⎫⎪⎝⎭，…… 3分则420,,55EF ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()1,0,0BC =-，． …… 5分0EF BC ⋅= ，同理0EF PB ⋅=，即EF 垂直于平面PBC 中两条相交直线，所以EF ⊥平面PBC ． …… 6分（2）()1,0,2PA =- ，可设()01PG PA λλ=≤≤，所以向量PG的坐标为(),0,2λλ-， …… 7分平面PBC 的法向量为420,,55EF ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ．点G 到平面PCE的距离4PG EF d EFλ⋅=== ． …… 9分PBC ∆中，1BC =，PC =，PB =，所以PBC S ∆=． …… 10分三棱锥G PBC -的体积1113334PBC V S d λ∆=⋅===， 所以34λ=．…… 11分此时向量PG 的坐标为33,0,42⎛⎫- ⎪⎝⎭，PG = PG…… 12分 20.（1）圆心到直线的距离为12，所以半径r = ………1分 抛物线的焦点0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭在圆122=+y x 上，得2P =，所以y x 42= ……….2分设所求直线的方程为11222,(,),(,)y kx B x y c x y =+将直线方程代入抛物线方程，2480x kx --=得。
2013东北三省三校联考全部答案
2013东北三省三校联考全部答案第一篇：2013东北三省三校联考全部答案2013年三省三校第一次联合模拟考试地理答案选择题：第一组：命题立意：农业产业集聚的表现及其对经济发展影响，从时空角度分析影响农产品品质优劣的因素。
能力要求：基本读图能力、逻辑分析能力、细致读图能力。
1.B。
中介服务组织、蔬菜龙头企业均不属于蔬菜生产的上游企业，科研培训不是企业，故选农业生产资料企业、种子及种苗公司，既是上游又是企业。
2.A。
从生产目的来分析，该农产品商品性强，“冬暖式”大棚强调面对市场的季节差特征。
问题中尤其设置“立春、立秋”种植，强调收获时间的季节差。
能力要求：明确题意，理解基本概念及影响因素。
3.C。
蔬菜产业集聚的发展既可以促进农业创新、面向市场的产业结构的调整又可增加收入，促进经济发展。
C答案强调的是为“我国的农业和农村发展”，与题干中要求的是“对当地经济的影响”不符。
第二组：命题立意：我国近几年粮食产量大增但谷物进口逐年增加，针对该现象如何理解。
能力要求：阅读图表能力、计算能力、基本分析能力。
4.C。
粮食总产量逐年提高，但谷物进口比率在2010～2011略有下降。
粮食总量增长率最高时段出现在2010～2011年为4.53％。
粮食总量增长速度在2008～2009年为0.44％小于进口增长的速度97.5％（（53082×0.59％-52850×0.30％）÷（52850×0.30％））。
粮食总产量比率下降的原因与粮食总产量增长幅度大有关。
5.B。
我国粮食产量可以满足全国人口的口粮需求，通过读图可知粮食产量，种植业虽比重下降但产量不减反增。
为了满足人们日益增长的多样化物质（肉蛋奶等）需求，需进口粮食。
第三组：命题立意：世界区域地理。
空间定位能力和技巧。
6.D。
对地理事物和现象的分析。
回归线和20°经线，结合轮廓特征判读甲为利比亚、乙为埃及，图示区域地形为高原为主。
2013年辽宁高考数学理科试卷(带详解)
2013年普通高等学校招生全国统一考试（卷）数 学（理）第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. 1．复数的1i 1z =-模为 ( ) A.12B.22C.2D.2【测量目标】复数代数形式的四则运算.【考查方式】直接给出复数，利用2i 1=-对复数进行化简，然后再求模.【难易程度】容易 【参考答案】B【试题解析】111112i,i i 12222z z ==--∴=--=-. 2．已知集合{}4|0log 1A x x =<<，{}|2B x x =，则 A B = （ ）A ．()01，B ．(]02，C ．()1,2D ．(]12， 【测量目标】集合的基本运算.【考查方式】考查了对数不等式及交集运算. 【难易程度】容易 【参考答案】D 【试题解析】{}{}4|0log 1|14A x x x x =<<=<<，{}|2B x x =，{}{}{}14212A B x x x x x x ∴=<<=<.3．已知点()1,3A ，()4,1B -，则与向量AB 同方向的单位向量为 （ ）A.3455⎛⎫ ⎪⎝⎭，-B.4355⎛⎫ ⎪⎝⎭，-C.3455⎛⎫- ⎪⎝⎭，D.4355⎛⎫- ⎪⎝⎭，【测量目标】向量的基本概念.【考查方式】给出两点坐标及方向，求同方向的单位向量. 【难易程度】容易 【参考答案】A【试题解析】()3,4AB =-，则与其同方向的单位向量34(,)55ABAB==-e . 4．下面是关于公差0d >的等差数列()n a 的四个命题：1p ：数列{}n a 是递增数列； 2p ：数列{}n na 是递增数列；3p ：数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列； 4p ：数列{}3n a nd +是递增数列；其中的真命题为 （ ）A.12,p pB.34,p pC.23,p pD.14,p p【测量目标】等差数列的性质.【考查方式】给出d >0的等差数列，求数列的增减性. 【难易程度】中等 【参考答案】D【试题解析】根据等差数列的性质判定.0d >,∴1n n a a +>,∴1p 是真命题， （步骤1）1n n +>,但是n a 的符号不知道，∴2p 是假命题. （步骤2）同理3p 是假命题.13(1)340n n a n d a nd d +++--=>,∴4p 是真命题. （步骤3）5．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[)[)20,40,40,60， [)[)60,80,80,100，若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是 （ ） A.45 B.50 C.55 D.60第5题图【测量目标】频率分布直方图.【考查方式】给出频率分布直方图及某一频数，求总体频数. 【难易程度】容易 【参考答案】B【试题解析】根据频率分布直方图的特点可知，低于60分的频率是00050012003...+⨯=（），所以该班的学生人数是15500.3=. 6．在ABC △上，角,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c 1sin cos sin cos ,2a B C c B Ab +=且,a b >则B ∠= ( )A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6【测量目标】正弦定理，两角和的正弦，诱导公式.【考查方式】给出三角形各边长及角和边长的公式，求角. 【难易程度】中等 【参考答案】A【试题解析】根据正弦定理与和角公式求解.由正弦定理可得sin sin cos A B C +1sin sin cos sin 2C B A B =, （步骤1）又sin 0B ≠,∴ sin cos A C +1sin cos 2C A =,∴1sin sin 2(A C )B +==.（步骤2）a b >,∴π6B ∠=. （步骤3） 7．使得()3nx n x x +⎛+∈ ⎪⎝⎭N 的展开式中含有常数项的最小的n 为 （ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【测量目标】二项式定理.【考查方式】考查了二项展开式的通项公式. 【难易程度】中等 【参考答案】B【试题解析】根据二项展开式的通项公式求解.()521=C 3C 3rn r n rr r n r r nn T x x x x ---+= ⎪⎝⎭，当1r T +是 常数项时，502n r -=，当2r =，5n =时成立. 8．执行如图所示的程序框图，若输入10n =，则输出的S = （ ）A ．511B ．1011C ．3655D ．7255第8题图【测量目标】循环结构的程序框图.【考查方式】给出输入值10n =，求输出值S . 【难易程度】中等 【参考答案】A 【试题解析】13S =，410i =<， 21123415S ∴=+=-，610i =<，（步骤1）22135617S ∴=+=-， 8<10i =，23147819S ∴=+=-，1010i ==，2415910111S ∴=+=-，1210i =>，输出S . （步骤2）9．已知点()()()30,0,0,,,.O A b B a a 若OAB △为直角三角形，则必有 （ ）A ．3b a =B ．31b a a=+ C ．()3310b ab a a ⎛⎫---= ⎪⎝⎭ D ．3310b a b a a-+--= 【测量目标】直线的倾斜角与斜率.【考查方式】给出三点坐标，由三角形l 的边的性质，求出,a b 之间的关系.【难易程度】中等 【参考答案】C【试题解析】根据直角三角形的直角的位置求解.若以O 为直角顶点，则B 在x 轴上，则a 必为0，此时O ，B 重合，不符合题意；（步骤1）若π2A ∠=，则30b a =≠，若π2B ∠=，根据斜率关系可知 321a b a a -=-，3()1a a b ∴-=-，即310b a a--=.以上两种情况皆有可能，故只有C 满足条件.（步骤2）10．已知直三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上，若34AB AC ==，，AB AC ⊥，112AA =，则球O 的半径为（ ）A．2 B ．．132D ．【测量目标】立体几何的综合问题.【考查方式】给出三条棱长及两棱垂直关系，求三棱柱外接球的半径. 【难易程度】较难 【参考答案】C【试题解析】根据球的接三棱柱的性质求解.直三棱柱中13412AB ,AC ,AA ,===AB AC ⊥,∴5BC =,且BC 为过底面ABC 是截面圆的直径，取BC 中点D ，则OD ⊥底面ABC ，则O 在侧面11BCC B ，矩形11BCC B 的对角线长即为球直径，∴213R =,即132R =.11．已知函数()()2222f x x a x a =-++，()()22228g x x a x a =-+--+.设1()H x ()(){}max ,f x g x =，()()(){}2min ,H x f x g x =，{}max ,p q 表示,p q 中的较大值，{}min ,p q 表示,p q 中的较小值，记()1H x 的最小值为A ，()2H x 的最小值为B ，则A B -=( )A.2216a a --B.2216a a +- C.16- D.16【测量目标】二次函数的图象与性质.【考查方式】给出两函数解析式，设出较大值、较小值、最大值、最小值，求最值. 【难易程度】较难 【参考答案】C【试题解析】根据二次函数图象的特征解决.由()()f x g x =，得2()4x a -= ， （步骤1）∴当2x a =-和2x a =+时，两函数值相等.()f x 图象为开口向上的抛物线，()g x 图象为开口向下的抛物线，两图象在2x a =-和2x a =+处相交，则1()H x =()(2),()(22),()(2),f x x ag x a x a f x x a -⎧⎪-<<+⎨⎪+⎩2()(2),()()(22),()(2),g x x a H x f x a x a g x x a -⎧⎪=-<<+⎨⎪+⎩ （步骤2）∴1min ()(2)44A H x f a a ==+=--，2max ()(2)412B H x g a a ==-=-+，∴16.A B -=-（步骤3）12．设函数()f x 满足()()2e 2x xf x xf x x '+=，()2e 28f =，则0x >时，()f x （ ）A.有极大值，无极小值B.有极小值，无极大值C.既有极大值又有极小值D.既无极大值也无极小值【测量目标】利用导数求函数的极值.【考查方式】通过构造函数，将问题转化，考查转化能力.通过导数判断函数单调性，考查知识的 灵活应用能力. 【难易程度】较难 【参考答案】D【试题解析】由题意知2'33e 2()e 2()()x x f x x f x f x x x x-=-=.（步骤1） 令2()e 2()x g x x f x =-，则()222e 2()e 2()4()e 2()2()e e 1x xxxx g x x f x xf x x f x xf x x x ⎛⎫'''=--=-+=-=- ⎪⎝⎭.（步骤2）由()0g x '=得2x =，当2x =时，222mine ()e 2208g x =-⨯⨯=，即()0g x ，则当0x >时，3()()0g x f x x'=，（步骤3） 故()f x 在()0,+∞上单调递增，既无极大值也无极小值.（步骤4） 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 .第13题图【测量目标】由三视图求几何体的体积.【考查方式】给出三视图，求体积. 【难易程度】容易 【参考答案】16π16-【试题分析】由三视图可知该几何体是一个圆柱部挖去一个正四棱柱，圆柱底面圆半径为2，高为 4，故体积为16π；正四棱柱底面边长为2，高为4，故体积为16，故题中几何体的体积为16π16.- 14.已知等比数列{}n a 是递增数列，n S 是{}n a 的前n 项和，若13a a ，是方程2540x x -+=的两个根，则6S = .【测量目标】等比数列及其性质，等比数列的前n 项和.【考查方式】给出方程，已知等比数列为递增数列，先求等比数列中两项值，即方程的两根，再由数 列为递增数列求出数列的前n 项和. 【难易程度】中等 【参考答案】63 【试题分析】13,a a 是方程2540x x -+=的两个根，且数列｛}n a 是递增的等比数列，∴131,4,2,a a q ===661263.12S -==-15．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为,F 椭圆C 与过原点的直线相交于,A B 两点，连接,AF BF ，若410,6,cos 5AB AF ABF ==∠=，则C 的离心率e = . 【测量目标】余弦定理，椭圆的简单几何性质.【考查方式】画图表示椭圆及直线位置，通过数量关系确定三角形形状以及椭圆系数，考查数形结合的能力.【难易程度】中等 【参考答案】57【试题解析】根据椭圆的定义及性质和余弦定理求解.设椭圆的右焦点为1F ，直线过原点，16AF BF ∴==,BO AO =.（步骤1）在ABF △中，设BF x =，由余弦定理得24361002105x x =+-⨯⨯，（步骤2） 解得8x =，即8BF =.90BFA ∴∠=,ABF ∴△是直角三角形，（步骤3）26814a ∴=+=,即7a =.（步骤4）又在Rt ABF △中，BO AO =，152OF AB ∴==，即5c =，（步骤5） 57e ∴=.（步骤6） 16．为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，在全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组 的人数作为样本数据.已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互相不相同，则样本数据中的 最大值为 .【测量目标】用样本数字特征估计总体数字特征.【考查方式】给出样本平均数、样本方差样本组数，求样本数据中的最大值. 【难易程度】较难 【参考答案】10【试题解析】设5个班级中参加的人数分别为12345,,,,,x x x x x 则由题意知2222212345123457,(7)(7)(7)(7)(7)20,5x x x x x x x x x x ++++=-+-+-+-+-=五个整数的平方和为20，则必为0119920++++=，由73x -=可得10x =或4x =，由71x -=可得8x =或6x =，由上可知参加的人数分别为4，6，7，8，10，故样本数据中的最大值为10.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. （本小题满分12分）设向量)()π,sin ,cos ,sin ,0,.2x x x x x ⎡⎤==∈⎢⎥⎣⎦a b（I ）若=a b 求x 的值； （Ⅱ）设函数()f x =a b ，求()f x 的最大值.【测量目标】平面向量的基本概念、向量的数量积运算、两角和与差的正弦和三角函数的最值. 【考查方式】给出两向量坐标，两向量模的关系，函数与向量的关系，求x 的值，函数的最大值. 【难易程度】容易 【试题解析】（Ⅰ）2222222(3sin )sin 4sin ,cos sin 1,x x x x x =+==+=a b ,=a b∴24sin 1.x = （步骤1）又x ∈π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，∴1sin ,2x =∴π6x =. （步骤2）（Ⅱ）()3sin f x x ==a b 2311π1cos sin sin 2cos 2sin(2),2262x x x x x +=-+=-+ ∴当π3x =∈π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦时，πsin(2)6x -取最大值1. （步骤3） ∴()f x 的最大值为32. （步骤4）18．（本小题满分12分）如图，AB 是圆的直径，PA 垂直圆所在的平面，C 是圆上的点. （I ）求证：平面PAC ⊥平面PBC ；（II ）若2AB AC PA ===，1，1,求证：二面角C PB A --的余弦值.第18题图【测量目标】面面垂直的判定，二面角，空间直角坐标系和空间向量及其运算.【考查方式】面面垂直的判定及二面角的平面角的确定考查定理的灵活应用能力，空间直角坐标系的建立考查空间想象能力及运算求解能力. 【难易程度】中等【试题解析】(Ⅰ)由AB 是圆的直径,得AC BC ⊥,（步骤1） 由PA ⊥平面ABC ,BC ⊂平面ABC ,得PA BC ⊥,又PA AC A =,PA ⊂平面PAC ,AC ⊂平面PAC ,BC ∴⊥平面PAC BC ⊂平面PBC ∴平面PBC ⊥平面PAC .（步骤2）(Ⅱ)解法一：如图（1），以点C 为坐标原点，分别以直线CB ,CA ,CM 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系. 在Rt ABC △中,2AB =,1AC =,3BC ∴=又1PA =,()0,1,0A ∴,)3,0,0B,()0,1,1P .（步骤3）故()3,0,0CB =,()0,1,1CP =.设平面BCP 的法向量为()1111,,x y z =n ，则110,0,CB CP ⎧•=⎪⎨•=⎪⎩n n 11130,0,x y z ⎧=⎪∴⎨+=⎪⎩不妨令11y =，则()10,1,1=-n .（步骤4）()0,0,1AP =,()3,1,0AB =-,设平面ABP 的法向量为()2222,,x y z =n ,则220,0,AP AB ⎧=⎪⎨=⎪⎩n n 2220,30,z x y =⎧⎪∴⎨-=⎪⎩（步骤5） 不妨令21x =，则()21,3,0=n . 于是1236cos ,422==n n . 由图（1）知二面角C —PB —A 为锐角，故二面角C —PB —A 的余弦值为64.（步骤6）第18题图（1）解法二：如图（2），过C 作CM AB ⊥于M ，PA ⊥平面ABC ,CM ⊂平面ABC ,PA CM ∴⊥.又PA AB A =,且PA ⊂平面PAB ,AB ⊂平面PAB ,CM ∴⊥平面PAB . 过M 作MN PB ⊥于N ,连接NC ,由三垂线定理得CN PB ⊥ CNM ∴∠为二面角C —PB —A 的平面角.（步骤3） 在Rt ABC △中,由2AB =,1AC =,得3BC =,32CM =,32BM =. 在Rt PAB △中,由2AB =,1PA =,得5PB =.Rt BNM △∽Rt BAP △,3215MN∴=,35MN ∴=.（步骤4） ∴在Rt CNM △中,30CN =,6cos CNM ∴∠=,∴二面角C —PB —A 的余弦值为6.（步骤5）第18题图（2）19．（本小题满分12分）现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，同学从中任取3道题解答.（I ）求同学至少取到1道乙类题的概率；（II ）已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题.设同学答对每道甲类题的概率都是35，答对每道乙类题的概率都是45，且各题答对与否相互独立.用X 表示同学答对题的个数，求X 的分布列和数学期望.【测量目标】古典概型，互斥事件与对立事件的概率，离散型随机变量的分布列及期望.【考查方式】至少类问题反面求解考查转化化归能力，分布列及数学期望的求解考查运算求解能力. 【难易程度】中等【试题解析】 (1)设事件A =“同学所取的3道题至少有1道乙类题”，则有A = “同学所取的3道题都是甲类题”．()36310C 1C 6P A ==，()()516P A P A ∴=-=.（步骤1）(2)X 所有的可能取值为0,1,2,3.（步骤2）()020232140=C 555125P X ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（步骤3） ()11021022321324281C +C 555555125P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（步骤4） ()2112122321324572C +C 555555125P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（步骤5） ()222324363C 555125P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（步骤6） X ∴的分布列为：X 0 12 3P4125 28125 5712536125（步骤7）()428573601232125125125125E X ∴⨯⨯⨯⨯=＝＋＋＋.（步骤8）20．（本小题满分12分）如图，抛物线()2212:4,:20C x y C x py p ==->，点()00,M x y 在抛物线2C 上，过M 作1C 的切线，切点为,A B （M 为原点O 时，,A B 重合于O ），012x =-，切线MA的斜率为12-.（I ）求p 的值；（II ）当M 在2C 上运动时，求线段AB 中点N 的轨迹方程.(),,.A B O O 重合于时中点为第20题图【测量目标】导数的几何意义，圆锥曲线的轨迹方程.【考查方式】给出两抛物线方程，利用导数的几何意义及坐标中点与直线的关系求解；利用椭圆与直 线的位置关系及待定系数法求解. 【难易程度】中等 【试题解析】（Ⅰ）抛物线21:4C x y =上任意一点（,)x y 的切线斜率为'2xy =，且切线MA 的斜率为12-，∴A 点坐标为（1-，14）， （步骤1） ∴切线MA 的方程为11(1)24y x =-++. (步骤2).点M （01)y 在切线MA 及抛物线2C 上，∴0113(2244y -=--+=-①20(1322y p p-=-=-② （步骤3）由①②得2p =. （步骤4）（Ⅱ）设22121212(,),(,),(,),,44x x N x y A x B x x x ≠N 为线段AB 中点∴122x x x +=，③22128x x y +=.④ （步骤5） ∴切线MA,MB 的方程为2111()24x x y x x =-+，⑤2222()24x x y x x =-+.⑥ （步骤6）由⑤⑥得MA,MB 的交点M （00,)x y 的坐标为121200,.24x x x xx y +== （步骤7）点M （00,)x y 在2C 上，即200,4x y =-∴221212.6x x x x +=-⑦ （步骤8） 由③④⑦得24,0.3x y x =≠ （步骤9）当12x x =时，A,B 重合于原点O,AB 中点N 为O ，坐标满足24.3x y =∴AB 中点N 的轨迹方程为24.3x y = （步骤10）21．（本小题满分12分）已知函数()()21e xf x x -=+，()312cos 2x g x ax x x =+++.当[]0,1x ∈时， （I ）求证：()111x f x x-+ ；（II ）若()()f x g x 恒成立，数a 取值围.【测量目标】利用导数求函数的单调区间，不等式恒成立问题.【考查方式】第一问不等式的证明利用构造函数法，通过导数证明，考查简单的转化化归能力；第二问的两种解法都对转化化归能力进一步升级考查，解法一利用第一问的结论进行转化，解法二通过构造函数，两次利用导数转化. 【难易程度】较难【试题解析】(Ⅰ)证明：要证[]0,1x ∈时，()21e 1xx x -+-，只需证明()()1e 1e x x x x -+-.（步骤1） 记()()(1)e 1e xx h x x x -=--＋，则()()e e x x h x x -'=-，（步骤2） 当()0,1x ∈时，()0h x '>，因此()h x 在[]0,1上是增函数，（步骤3） 故()()00h x h =.所以()[]10,1f x x x ∈－，．（步骤4） 要证[]0,1x ∈时，21(1)e 1xx x-+＋，只需证明e1x x ＋.（步骤5）记()e 1x K x x =--，则()e 1x K x '=-，（步骤6）当()0,1x ∈时，()0K x '>，因此()K x 在[]0,1上是增函数，（步骤7） 故()()00K x K =.所以()11f x x+，[]0,1x ∈．（步骤8） 综上，()111xf x x-+，[]0,1x ∈．（步骤9） (Ⅱ)解法一：()()32(1)e 12cos 2xx f x g x x ax x x -⎛⎫-=-+++ ⎪⎝⎭＋3112cos 2x x ax x x -----2(12cos )2x x a x =-＋＋＋．（步骤10）设()22cos 2x G x x =＋，则()2sin G x x x '=-.（步骤11） 记()2sin H x x x =-，则()12cos H x x '=-，（步骤12）当()0,1x ∈时，()0H x '<，于是()G x '在[]0,1上是减函数，（步骤13）从而当()0,1x ∈时，()()00G x G ''<=，故()G x 在[]0,1上是减函数．（步骤14） 于是()()02G x G =，从而()13a G x a ＋＋＋.（步骤15）所以，当3a-时，()()f x g x 在[]0,1上恒成立．（步骤16） 下面证明当3a >-时，()()f x g x 在[]0,1上不恒成立．()()3112cos 12x f x g x ax x x x -----+ 32cos 12x x ax x x x -=---+ 212cos 12x x a x x ⎛⎫=-+++ ⎪+⎝⎭，（步骤17）记()2112cos ()121x I x a x a G x x x =+++=++++， 则()21()(1)I x G x x -''=++，（步骤18） 当()0,1x ∈时，()0I x '<，故()I x 在[]0,1上是减函数，（步骤19）于是()I x 在[]0,1上的值域为[12cos 13]a a ＋＋，＋．（步骤20）因为当3a >-时，3>0a ＋，()00,1x ∴∃∈，使得()00I x >，（步骤21） 此时()()00f x g x <，即()()f x g x 在[]0,1上不恒成立．（步骤22） 综上，实数a 的取值围是(],3-∞-．（步骤23） 解法二：先证当[]0,1x ∈时，22111cos 124x xx --.（步骤10）记()21cos 12F x x x =-＋，则()sin F x x x '=-＋.（步骤11）记()sin G x x x =-＋，则()cos 1G x x '=-＋，（步骤12） 当()0,1x ∈时，()0G x '>，于是()G x 在[]0,1上是增函数，（步骤13）因此当()0,1x ∈时，()()00G x G >=，从而()F x 在[]0,1上是增函数．（步骤14）因此()()00F x F =，所以当[]0,1x ∈时，211cos 2x x -.（步骤15）同理可证，当[]0,1x ∈时，21cos 14x x -.（步骤16）综上，当[]0,1x ∈时，22111cos 124x x x --.（步骤17）当[]0,1x ∈时，()()()321e 12cos 2xx f x g x x ax x x -⎛⎫-=+-+++ ⎪⎝⎭321(1)12124x x ax x x ⎛⎫------ ⎪⎝⎭()3a x =-+.（步骤18）所以当3a-时，()()f x g x 在[]0,1上恒成立．（步骤19） 下面证明当3a >-时，()()f x g x 在[]0,1上不恒成立．()()()321e 12cos 2xx f x g x x ax x x -⎛⎫-=+-+++ ⎪⎝⎭3211121122x ax x x x ⎛⎫----- ⎪+⎝⎭ 23(3)12x x a x x =+-++ 32(3)23x x a ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，（步骤20） ()00,1x ∴∃∈ (例如0x 取33a +和12中的较小值)满足()()00f x g x <．（步骤21） 即()()f x g x 在[]0,1上不恒成立．（步骤22）综上，实数a 的取值围是(],3-∞-．（步骤23）请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑. 22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，AB 为半圆O 的直径，直线CD 与半圆O 相切于E ，AD 垂直CD 于D ，BC 垂直CD 于C ，EF 垂直AB 与F ，连接,AE BE .证明：（I ）FEB CEB ∠=∠； （II ）2.EF AD BC =⋅第22题图【测量目标】几何证明选讲.【考查方式】给出点、线、面之间的各种关系，根据圆中直线的垂直等角关系证明；根据圆中三角形 的全等和线段间的关系求解. 【难易程度】容易【试题解析】(Ⅰ)直线CD 与⊙O 相切，∴.CEB EAB ∠=∠ （步骤1）AB 为⊙O 的直径，∴AE EB ⊥,∴π2EAB EBF ∠+∠=； （步骤2） 又EF AB ⊥,∴π2FEB EBF ∠+∠=. （步骤3） ∴FEB EAB ∠=∠.∴.FEB CEB ∠=∠ （步骤4）（Ⅱ）BC CE ⊥,EF AB ⊥,,FEB CEB BE ∠=∠是公共边， ∴Rt BCE △≌Rt BFE △,∴BC BF =. （步骤5）类似可证Rt ADE △≌Rt AFE △,得AD AF =. （步骤6）又在Rt AEB △中，EF AB ⊥,∴2EF AF BF =，∴2EF AD BC =. （步骤7）23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系.圆1C ，直线2C 的极坐标方程分别为π4sin ,cos 2 2.4ρθρθ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭（I ）求1C 与2C 交点的极坐标；（II ）设P 为1C 的圆心，Q 为1C 与2C 交点连线的中点.已知直线PQ 的参数方程为3312x t a b y t ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（t ∈R 为参数），求,a b 的值.【测量目标】极坐标与参数方程.【考查方式】给出各直线的极坐标方程或参数方程，联立1C 与2C 方程求交点；由参数方程的性质求 解.【难易程度】容易【试题解析】(Ⅰ)圆1C 的直角坐标方程为2224x y +-=（），直线2C 的直角坐标方程为40x y -+=. 解222440x y x y ⎧+-=⎨+-=⎩（），，得1104x y =⎧⎨=⎩，，2222x y =⎧⎨=⎩， (步骤1) ∴1C 与2C 交点的极坐标为ππ42224⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，. （步骤2） 注：极坐标系下点的表示不是唯一的.（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，P 点与Q 点的直角坐标分别为()()0213，，，.∴直线PQ 的直角坐标方程为20x y -+=， (步骤3)由参数方程可得b aby x 22=-+1. （步骤4）∴12122b ab ⎧=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，，解得12a b =-⎧⎨=⎩，. （步骤5）24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数()f x x a =-，其中1a >. （I ）当=2a 时，求不等式()fx 4x a --的解集；（II ）已知关于x 的不等式(2)2()f x a f x +-2的解集为{1xx}2，求a 的值.【测量目标】绝对值不等式的解法，含参不等式的解法.【考查方式】给出函数方程，求不等式的解集.再给出不等式的解集，求未知数a 的值. 【难易程度】中等【试题解析】（1）当2a =时，2624224264x x fx x x x x .-+⎧⎪+-=<<⎨⎪-⎩，，（），，， (步骤1) 当2x时，由4f x x -（）4-得264x -+，解得1x ； （步骤2） 当24x <<时，44f x x --（）无解； （步骤3） 当4x时，由44f x x --（）得264x -，解得5x. （步骤4）∴44f x x --（） 的解集为{1x x或}5x. （步骤5）（2）记22h x f x a f x =+-（）（）（），则204202a x h x x a x a a x a.-⎧⎪=-<<⎨⎪⎩，，（），，， （步骤6）由2h x （），解得1122a a x-+. （步骤7） 又2h x （）的解集为{}12x x ，∴112122a a -⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，， ∴3a =. （步骤8）。
黑龙江省各地市2013年高考数学最新联考试题分类汇编(17)选修系列
一、解答题:22．(东北三省三校2013年3月高三第一次联合模拟理)（本小题满分10分）选修4 - 1：几何证明选讲如图，圆O的半径OC垂直于直径AB，弦CD交半径OA于E，过D的切线与BA的延长线交于M。
（1）求证：MD = ME；（2）设圆O的半径为1，MD =，求MA及CE的长。
解析：（Ⅰ）证明：连接，则……5分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）在中，……10分23．(东北三省三校2013年3月高三第一次联合模拟理)（本小题满分10分）选修4 - 4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，圆C1和C2的参数方程分别是（φ为参数）和（φ为参数），以O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系。
（1）求圆C1和C2的极坐标方程；（2）射线OM:θ = α与圆C1的交点为O、P，与圆C2的交点为O、Q，求| OP | · | OQ |的最大值24．(东北三省三校2013年3月高三第一次联合模拟理)（本小题满分10分）选修4 - 5：不等式选讲设函数，其中a > 0。
（1）当a = 2时，求不等式的解集；（2）若时，恒有，求a 的取值范围。
解析：（Ⅰ）时，或，解集为 ……5分（Ⅱ）当时，只需即可，……10分（22）(黑龙江省哈六中2013届高三第二次模拟理)（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，A ，B ，C ，D 四点在同一圆上，与的延长线交于点，点在的延长线上．（1）若，求的值；（2）若，证明：．22证明：（I ）四点共圆，，又，∽，，，． ......5分（II ），， 又，∽，，又四点共圆，，， . ......10分（23）(黑龙江省哈六中2013届高三第二次模拟理)（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程极坐标系与直角坐标系有相同的长度单位，以原点为极点，以正半轴为极轴，已知曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程是（为参数，，射线与曲线交于极点外的三点（1）求证：；（2）当时，两点在曲线上，求与的值．23.解（1）设点的极坐标分别为∵点在曲线上，∴则=, 所以 ......5分（2）由曲线的参数方程知曲线为倾斜角为且过定点的直线，当时，B ，C 点的极坐标分别为化为直角坐标为，，∵直线斜率为，， ∴直线BC 的普通方程为，∵过点， ∴，解得 ......10分 F E D CB A（24）(黑龙江省哈六中2013届高三第二次模拟理)（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知均为正数（1）证明：，并确定如何取值时等号成立；（2）若，求的最大值．24.（1）证明：取等条件 ......5分（2）])13()13()13)[(111()131313(2222+++++++≤+++++c b a c b a =18 所以的最大值为，取等条件 ......10分（22）(黑龙江省哈六中2013届高三第二次模拟文)（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，A ，B ，C ，D 四点在同一圆上，与的延长线交于点，点在的延长线上．（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）若，证明：．22.证明：（I ）四点共圆，，又，∽，，，． ..........5分（II ），， 又，∽，，又四点共圆，，， . ..........10分（23）(黑龙江省哈六中2013届高三第二次模拟文)（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程极坐标系与直角坐标系有相同的长度单位，以原点为极点，以正半轴为极轴，已知曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程是（为参数，，射线与曲线交于极点外的三点（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）当时，两点在曲线上，求与的值．23.解（1）设点的极坐标分别为∵点在曲线上，∴则=, 所以 FE D CB A（2）由曲线的参数方程知曲线为倾斜角为且过定点的直线，当时，B ，C 点的极坐标分别为化为直角坐标为，,∵直线斜率为，， ∴直线BC 的普通方程为，∵过点， ∴，解得（24）(黑龙江省哈六中2013届高三第二次模拟文)（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知均为正数（Ⅰ）证明：，并确定如何取值时等号成立；（Ⅱ）若，求的最大值．24.（1）证明：取等条件（2）])13()13()13)[(111()131313(2222+++++++≤+++++c b a c b a =18所以的最大值为，取等条件（22）(黑龙江省大庆市2013届高三第二次模拟文)（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，圆的直径，是延长线上一点，，割线交圆于点、，过点作的垂线，交直线于点，交直线于点.（I ）求证：；（II ）求的值.（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲解法1：（I ）连接，则，即、、、四点共圆.∴. …………………………3分又、、、四点共圆，∴∴. ………………………5分（II ）∵，∴、、、四点共圆，………………7分∴，又， ………9分. ………………………………………10分解法2：（I）连接，则，又∴，∵，∴.………5分（II）∵，，∴∽，∴,即, ………………………………7分又∵，………………………………………9分∴. ………………………………………10分（23）(黑龙江省大庆市2013届高三第二次模拟文)（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，已知曲线:，在极坐标系（与平面直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，直线的极坐标方程为.（I）将曲线上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的倍、倍后得到曲线，试写出直线的直角坐标方程和曲线的参数方程；（II）在曲线上求一点，使点到直线的距离最大，并求出此最大值.（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程解：（I）由题意知，直线的直角坐标方程为，…………………2分由题意知曲线的直角坐标方程为，…………………………………4分∴曲线的参数方程为（为参数）.…………………………6分（II）设，则点到直线的距离，…………………………8分当时，即点的坐标为时，点到直线的距离最大，此时. …………………………10分（24）(黑龙江省大庆市2013届高三第二次模拟文)（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数.（I）当时，求的解集；（II）当时，恒成立，求实数的集合.（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲解：（I）解：原不等式可化为，当时，，则，无解；…………………………1分当时，，则，∴；………………………3分当时，，则，∴，………………………5分综上所述:原不等式的解集为．…………………………6分（II）原不等式可化为，∵，∴，……………………………7分即，故对恒成立，当时，的最大值为，的最小值为，∴实数的集合为．……………………………10分22．(黑龙江省哈师大附中2013届第三次高考模拟理)（本小题满分10分）选修4 - 1：集合证明选讲已知AB是圆O的直径，C为圆O上一点，CD⊥AB于点D，弦BE与CD、AC分别交于点M、N，且MN = MC（1）求证：MN = MB；（2）求证：OC⊥MN。
2013全国高考1卷理科数学试题与答案解析
WORD 格式整理2012 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学 第 I 卷一、选择题： 本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（ 1）已知集合 A {1,2,3,4,5} ， B {( x, y) |x A, yA, x y A} ，则 B 中所含元素的个数为 （ A ） 3 （ B ）6 （C ） 8 （D ） 10（ 2）将 2 名教师， 4 名学生分成 2 个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组有1 名教师和2 名学生组成，不同的安排方案共有 （ A ） 12 种 （ B ） 10 种 （ C ） 9种 （D ） 8 种（ 3）下面是关于复数 z 2 的四个命题 1ip 1 ： | z | 2 p 2 : z 22i p 3 : z 的共轭复数为 1 i p 4 ： z 的虚部为1其中真命题为(A ) p 2 , p 3（ B ） p 1 ,p 2（ C ） p 2 ，p 4 （ D ） p 3 , p 4（ 4）设 F 1, F 2 是椭圆 E : x2 y 21(a b 0) 的左、右焦点， P 为a 2b 23aF PF 是底角为 30 的等腰三角形，则直线 x 上的一点，2 2 1E 的离心率为(A) 1 2 3 4 (B) 3 (C) (D) 2 4 5（ 5）已知 { a n } 为等比数列， a 4a 7 2 ， a 5 a 6 8 ，则 a 1 a10(A) 7 (B) 5 (C) 5 (D) 7（ 6）如果执行右边的程序图，输入正整数N ( N 2) 和实数 a 1 , a 2 ,..., a N 输入A, B , 则(A) A B 为 a 1 , a 2 ,..., a N 的和（ B ）AB为 a ,a ,..., a 的算式平均数 2 1 2 N（ C ） A 和 B 分别是 a 1 , a 2 ,..., a N 中最大的数和最小的数专业技术参考资料WORD 格式整理（ D ） A 和 B 分别是 a 1 , a 2 ,..., a N 中最小的数和最大的数（ 7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ A ） 6 (B)9 （ C ） 12 （ D ） 18（ 8）等轴双曲线 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上， C 与抛物线 y 216x 的准线交于 A, B 两点，| AB | 4 3 ，则 C 的实轴长为（ A ） 2 （ B ） 2 2 （ C ） 4 （ D ） 8（ 9）已知 0 ，函数 f (x) sin( x ) 在 , 单调递减，则 的取值范围4 2(A) [ 1 ,5 ](B) [ 1 , 3] (C) (0, 1 ](D) (0, 2]2 4 2 4 2（ 10）已知函数 f ( x) 1 ，则 y f ( x) 的图像大致为1) ln(x x（ 11）已知三棱锥 S ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上，ABC 是边长为 1 SC 为 O的正三角形， 的直径，且 SC 2 ，则此棱锥的体积为(A)2(B)3 (C)2(D)2 6 63 2（ 12）设点 P 在曲线 y 1 e x上，点 Q 在曲线 yln(2 x) 上，则 | PQ |的最小值为2(A) 1 ln 2 (B)2(1 ln2) (C) 1 ln 2 (D)2(1 ln 2) 专业技术参考资料WORD 格式整理第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
东北三省(黑吉辽)2013届高三第一次大联考 数学理
东北三省2013届高三第一次大联考数学（理）试题考生注意：1．本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。
2．请将各题答案填在试卷后面的答题卷上。
3．本试卷主要考试内容：集合、与常用逻辑用语、函数（导数）、三角、向量、数列、解三角 形。
第I 卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知全集{2,3,4,5},{3,4,5},{2,4,5},U M N ===则 A ．{4}M N =B ．M N U =C ．()U C N M U ⋃=D ．()U C M N N =2．已知命题020:,log 1,p x R x p +∃∈=⌝则是A ．020,log 1x R x +∀∈≠ B ．020,log 1x R x +∀∉≠C ．020,log 1x R x +∃∈≠ D ．020,log 1x R x +∃∉≠3．已知向量(1,0),(0,1),2i j i j ==+则与垂直的向量是A ．2i j -B ．2i j -C ．2i j +D ．2i j +4．设0.50.433434(),(),log (log 4)43a b c ===，则A ．c b a <<B ．a b c <<C ．c a b <<D ．a c b <<5．“1s i n 2a =”是“1cos 22a =”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也必要条件6．设非零向量a 、b 、c 满足||||||,,cos(,)a b c a b c a b +=+=则等于A ．12- B ．1C．2D．27．将函数sin (0)y x ωω=>的图象向左平移6π个单位，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应的函数解析式为 A ．sin()6y x π=+B ．sin()6y x π=-C ．sin(2)3y x π=+D ．sin(2)3y x π=-8．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若∠C=120°c =则A ．a b >B ．a b <C ．a b =D ．a b 与的大小关系不能确定9．函数2ln 2(0),()21(0),x x x x f x x x ⎧-+>=⎨+≤⎩的零点个数为A ．0B ．1C ．2D ．310．已知函数()f x 的定义域为R ，且满足：()f x 是偶函数，(1)f x -是奇函数，若(0.5)3f =，则(2012)(2014)( 2.5)f f f ++-等于A ．—9B ．9C ．—3D ．311．已知函数()|sin |(0)f x x y kx k ==>的图象与直线有且仅有三个公共点，这三个公共点横坐标的最大值为α，则α等于A ．cos α-B ．—sin αC ．—tan αD ．tan α12．已知函数2012221()ln ,(),2013i ex ke f x a b a b e x==++-∑若f （）=503则的最小值为A ．6B ．8C ．9D ．12第II 卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷中的横线上） 13．已知角α的终边经过点3(,6),tan 5P x α-=-且，则x 的值为 。
2013年高考全国数学卷一理科试题及答案
2013年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷一）数 学（理工类）参考公式：如果事件互斥，那么 球的表面积公式 ()()()P A B P A P B +=+ 24S R p =如果事件相互独立，那么 其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B ? 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 343V R p =在n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径 ()(1)(0,1,2,,)k kn k n n P k C p p k n -=-=…第一部分 （选择题 共60分）注意事项：1、选择题必须使用2B 铅笔将答案标号涂在机读卡上对应题目标号的位置上。
2、本部分共12小题，每小题5分，共60分。
一、选择题：每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、7(1)x +的展开式中2x 的系数是（ ）A 、42 B 、35 C 、28 D 、212、复数2(1)2i i-=（ ） A 、1 B 、1- C 、i D 、i -3、函数29,3()3ln(2),3x x f x x x x ⎧-<⎪=-⎨⎪-≥⎩在3x =处的极限是（ ）A 、不存在B 、等于6C 、等于3D 、等于04、如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使1AE =，连接EC 、ED 则sin CED ∠=（ ）A B C D 5、函数1(0,1)x y a a a a=->≠的图象可能是（ ）6、下列命题正确的是（ ）A 、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B 、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C 、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D 、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行7、设a 、b 都是非零向量，下列四个条件中，使||||a ba b =成立的充分条件是（ ） A 、a b =- B 、//a b C 、2a b = D 、//a b 且||||a b =8、已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点0(2,)M y 。
2013年高考辽宁卷理科数学试题及答案
2013年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（辽宁卷） 第Ⅰ卷一、选择题1．复数z ＝1i －1的模为( )A.12B.22C. 2D ．2答案 B解析 z ＝1i －1＝－1－i 2，∴|z |＝⎝⎛⎭⎫－122＋⎝⎛⎭⎫－122＝22. 2．已知集合A ＝{x |0＜log 4x ＜1}，B {x |x ≤2}，则A ∩B ＝( ) A ．(0,1) B ．(0,2]C ．(1,2)D ．(1,2]答案 D解析 A ＝{x |1＜x ＜4}，B ＝{x |x ≤2}，∴A ∩B ＝{x |1＜x ≤2}． 3．已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量A B →同方向的单位向量为( ) A.⎝⎛⎭⎫35，－45 B.⎝⎛⎭⎫45，－35 C.⎝⎛⎭⎫－35，45 D.⎝⎛⎭⎫－45，35 答案 A解析 A B →＝O B →－O A →＝(4，－1)－(1,3)＝(3，－4)， ∴与A B →同方向的单位向量为A B→|A B →|＝⎝⎛⎭⎫35，－45. 4．下面是关于公差d ＞0的等差数列{a n }的四个命题： p 1：数列{a n }是递增数列；p 2：数列{na n }是递增数列；p 3：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是递增数列；p 4：数列{a n ＋3nd }是递增数列．其中的真命题为( )A ．p 1，p 2B ．p 3，p 4C ．p 2，p 3D ．p 1，p 4 答案 D解析 a n ＝a 1＋(n －1)d ，d ＞0， ∴a n －a n －1＝d ＞0，命题p 1正确．na n ＝na 1＋n (n －1)d ，∴na n －(n －1)a n －1＝a 1＋2(n －1)d 与0的大小和a 1的取值情况有关． 故数列{na n }不一定递增，命题p 2不正确．对于p 3：a n n ＝a 1n ＋n －1n d ，∴a n n －a n －1n －1＝－a 1＋dn (n －1)，当d －a 1＞0，即d ＞a 1时，数列{a nn }递增，但d ＞a 1不一定成立，则p 3不正确． 对于p 4：设b n ＝a n ＋3nd ， 则b n ＋1－b n ＝a n ＋1－a n ＋3d ＝4d ＞0. ∴数列{a n ＋3nd }是递增数列，p 4正确． 综上，正确的命题为p 1，p 4.5．某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是( )A ．45B ．50C ．55D ．60 答案 B解析 由频率分布直方图，低于60分的频率为(0.01＋0.005)×20＝0.3. ∴该班学生人数n ＝150.3＝50. 6．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，且a ＞b ，则∠B ＝( ) A.π6B.π3C.2π3D.5π6答案 A解析 由条件得a b sin B cos C ＋c b sin B cos A ＝12，依正弦定理，得sin A cos C ＋sin C cos A ＝12，∴sin(A ＋C )＝12，从而sin B ＝12，又a ＞b ，且B ∈(0，π)，因此B ＝π6.7．使⎝⎛⎭⎫3x ＋1x x n(n ∈N ＋)的展开式中含有常数项的最小的n 为( )A ．4B ．5C ．6D ．7 答案 B解析 展开式的通项公式T r ＋1＝C r n(3x )n －r ⎝⎛⎭⎫1x x r， ∴T r ＋1＝3n －r C r n xn －52r ，r ＝0,1,2，…，n . 令n －52r ＝0，n ＝52r ，故最小正整数n ＝5.8．执行如图所示的程序框图，若输入n ＝10，则输出S ＝( ) A.511 B.1011 C.3655 D.7255 答案 A解析 执行第一次循环后，S ＝13，i ＝4；执行第二次循环后，S ＝25，i ＝6；执行第三次循环后，S ＝37，i ＝8；执行第四次循环后，S ＝49，i ＝10；执行第五次循环后，S ＝511，i ＝12，此时i ≤n 不成立，退出循环，输出S ＝511.9．已知点O (0,0)，A (0，b )，B (a ，a 3)．若△OAB 为直角三角形，则必有( ) A ．b ＝a 3 B ．b ＝a 3＋1aC ．(b －a 3)⎝⎛⎭⎫b －a 3－1a ＝0 D ．|b －a 3|＋⎪⎪⎪⎪b －a 3－1a ＝0 答案 C解析 易知A B →＝O B →－O A →＝(a ，a 3－b )，且b ≠0，a ≠0，若A 为直角，OA →·AB →＝(0，b )·(a ，a 3－b )＝b (a 3－b )＝0，∴b －a 3＝0， 若B 为直角，O B →·A B →＝(a ，a 3)·(a ，a 3－b )＝0， ∴a 2＋a 3(a 3－b )＝0，则b －a 3－1a＝0，故(b －a 3)·⎝⎛⎭⎫b －a 3－1a ＝0，选C. 10．已知直三棱柱ABCA 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上．若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，则球O 的半径为( ) A.3 172B ．2 10 C.132D ．3 10答案 C解析 ∵AB ⊥AC ，且AA 1⊥底面ABC ，将直三棱柱补成内接于球的长方体，则长方体的对角线l ＝32＋42＋122＝2R ，R ＝132.11．已知函数f (x )＝x 2－2(a ＋2)x ＋a 2，g (x )＝－x 2＋2(a －2)x －a 2＋8.设H 1(x )＝max{f (x )，g (x )}，H 2(x )＝min{f (x )，g (x )}(max{p ，q }表示p ，q 中的较大值，min{p ，q }表示p ，q 中的较小值)．记H 1(x )的最小值为A ，H 2(x )的最大值为B ，则A －B ＝( ) A ．16B ．－16C ．a 2－2a －16D ．a 2＋2a －16 答案 B解析 f (x )＝[x －(a ＋2)]2－4－4a ，g (x )＝－[x －(a －2)]2＋12－4a ，在同一坐标系内作f (x )与g (x )的图象(如图)．依题意知，函数H 1(x )的图象(实线部分)，函数H 2(x )的图象(虚线部分)． ∴H 1(x )的最小值A ＝f (a ＋2)＝－4－4a ， H 2(x )的最大值B ＝g (a －2)＝12－4a ， 因此A －B ＝(－4－4a )－(12－4a )＝－16. 12．设函数f (x )满足x 2f ′(x )＋2xf (x )＝e x x ，f (2)＝e 28，则x ＞0时，f (x )( ) A ．有极大值，无极小值 B ．有极小值，无极大值C ．既有极大值又有极小值D ．既无极大值也无极小值 答案 D 解析 由x 2f ′(x )＋2xf (x )＝e x x， 得f ′(x )＝e x －2x 2f (x )x 3，令g (x )＝e x －2x 2f (x )，x ＞0，则g ′(x )＝ex－2x 2f ′(x )－4xf (x )＝e x －2·e x x＝(x －2)e x x.令g ′(x )＝0，得x ＝2.当x ＞2时，g ′(x )＞0；0＜x ＜2时，g ′(x )＜0， ∴g (x )在x ＝2时有最小值g (2)＝e 2－8f (2)＝0， 从而当x ＞0时，f ′(x )≥0， 则f (x )在(0，＋∞)上是增函数， 所以函数f (x )无极大值，也无极小值．第Ⅱ卷二、填空题13．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是________． 答案 16π－16解析 由三视图知，该几何体是由一个底面半径r ＝2的圆柱内挖去了一个底面边长为2的正四棱柱，又该几何体的高h ＝4，∴V ＝(π×22－22)×4＝16π－16.14．已知等比数列{a n }是递增数列，S n 是{a n }的前n 项和．若a 1，a 3是方程x 2－5x ＋4＝0的两个根，则S 6＝________. 答案 63解析 ∵a 1，a 3是方程x 2－5x ＋4＝0的两根，且q ＞1， ∴a 1＝1，a 3＝4，则公比q ＝2， 因此S 6＝1×(1－26)1－2＝63.15．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|AF |＝6，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率e ＝________.答案 57解析 如图，在△ABF 中，|AB |＝10，|AF |＝6，且cos ∠ABF ＝45，设|BF |＝m ， 由余弦定理，得 62＝102＋m 2－20m ·45，∴m 2－16m ＋64＝0，∴m ＝8.因此|BF |＝8，AF ⊥BF ，c ＝|OF |＝12|AB |＝5.设椭圆右焦点为F ′，连接BF ′，AF ′，由对称性，|BF ′|＝|AF |＝6，∴2a ＝|BF |＋|BF ′|＝14. ∴a ＝7，因此离心率e ＝c a ＝57.16．为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据，已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为________． 答案 10解析 把5个班中参加该小组的人数从小到大排列，记为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，(x i ∈N ，且x 1，x 2，x 3，x 4，x 5各不相同)，由题意(x 1－7)2＋(x 2－7)2＋(x 3－7)2＋(x 4－7)2＋(x 5－7)2＝20.∵x 1，x 2，x 3，x 4，x 5∈N ，且各不相同．若使x 5－7最大，只需(x 1－7)2＋(x 2－7)2＋(x 3－7)2＋(x 4－7)2最小，显然(x 1－7)2＋(x 2－7)2＋(x 3－7)2＋(x 4－7)2最小值为0＋1＋1＋4＝6.∴(x 5－7)2≤14，因此(x 5－7)2≤9，则x 5≤10，x 5∈N ，经验证x 5＝10时，x 1＝4，x 2＝6，x 3＝7，x 4＝8满足，所以样本数据中的最大值为10.三、解答题17．设向量a ＝(3sin x ，sin x )，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2. (1)若|a |＝|b |，求x 的值；(2)设函数f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值． 解 (1)由|a |2＝(3sin x )2＋(sin x )2＝4sin 2 x ， |b |2＝(cos x )2＋(sin x )2＝1， 及|a |＝|b |，得4sin 2 x ＝1.又x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，从而sin x ＝12，所以x ＝π6. (2)f (x )＝a ·b ＝3sin x ·cos x ＋sin 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋12， 当x ＝π3∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6取最大值1. 所以f (x )的最大值为32.18. 如图，AB 是圆的直径，P A 垂直圆所在的平面，C 是圆上的点．(1)求证：平面P AC ⊥平面PBC ；(2)若AB ＝2，AC ＝1，P A ＝1，求二面角C -PB -A 的余弦值． (1)证明 由AB 是圆的直径，得AC ⊥BC ， 由P A ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，得P A ⊥BC . 又P A ∩AC ＝A ，P A ⊂平面P AC ，AC ⊂平面P AC ， 所以BC ⊥平面P AC . 因为BC ⊂平面PBC ， 所以平面PBC ⊥平面P AC .(2)解 方法一 过C 作CM ∥AP ，则CM ⊥平面ABC .如图，以点C 为坐标原点，分别以直线CB 、CA 、CM 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．因为AB ＝2，AC ＝1，所以BC ＝ 3.因为P A ＝1，所以A (0,1,0)，B (3，0,0)，P (0,1,1)． 故C B →＝(3，0,0)，C P →＝(0,1,1)． 设平面BCP 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧C B →·n 1＝0，C P →·n 1＝0，所以⎩⎨⎧3x ＝0，y ＋z ＝0，不妨令y ＝1，则n 1＝(0,1，－1)． 因为A P →＝(0,0,1)，A B →＝(3，－1,0)， 设平面ABP 的法向量为n 2＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧A P →·n 2＝0，AB →·n 2＝0，所以⎩⎨⎧z ＝0，3x －y ＝0，不妨令x ＝1，则n 2＝(1，3，0)． 于是cos 〈n 1，n 2〉＝322＝64.所以由题意可知二面角C -PB -A 的余弦值为64. 方法二过C 作CM ⊥AB 于M ，因为P A ⊥平面ABC ，CM ⊂平面ABC ， 所以P A ⊥CM ，又P A ∩AB ＝A ，故CM ⊥平面P AB . 过M 作MN ⊥PB 于N ，连接NC ， 由三垂线定理得CN ⊥PB ，所以∠CNM 为二面角C -PB -A 的平面角． 在Rt △ABC 中，由AB ＝2，AC ＝1， 得BC ＝3，CM ＝32，BM ＝32， 在R t △P AB 中，由AB ＝2，P A ＝1，得PB ＝ 5. 因为Rt △BNM ∽Rt △BAP ，所以MN 1＝ 32 5，故MN ＝3510.又在Rt △CNM 中，CN ＝305， 故cos ∠CNM ＝64. 所以二面角C -PB -A 的余弦值为64. 19．现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答． (1)求张同学至少取到1道乙类题的概率；(2)已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题．设张同学答对每道甲类题的概率都是35，答对每道乙类题的概率都是45，且各题答对与否相互独立．用X 表示张同学答对题的个数，求X 的分布列和数学期望．解 (1)设事件A ＝“张同学所取的3道题至少有1道乙类题”，则有A ＝“张同学所取的3道题都是甲类题”．因为P (A )＝C 36C 310＝16，所以P (A )＝1－P (A )＝56.(2)X 所有的可能取值为0,1,2,3. P (X ＝0)＝C 02·⎝⎛⎭⎫350·⎝⎛⎭⎫252·15＝4125；P (X ＝1)＝C 12·⎝⎛⎭⎫351·⎝⎛⎭⎫251·15＋C 02⎝⎛⎭⎫350·⎝⎛⎭⎫252·45＝28125； P (X ＝2)＝C 22·⎝⎛⎭⎫352·⎝⎛⎭⎫250·15＋C 12⎝⎛⎭⎫351·⎝⎛⎭⎫251·45＝57125； P (X ＝3)＝C 22·⎝⎛⎭⎫352·⎝⎛⎭⎫250·45＝36125. 所以X 的分布列为：所以E (X )＝0×4125＋1×28125＋2×57125＋3×36125＝2.20. 如图，抛物线C 1：x 2＝4y ，C 2：x 2＝－2py (p ＞0)．点M (x 0，y 0)在抛物线C 2上，过M 作C 1的切线，切点为A ，B (M 为原点O 时，A ，B 重合于O )．当x 0＝1－2时，切线MA 的斜率为－12.(1)求p 的值；(2)当M 在C 2上运动时，求线段AB 中点N 的轨迹方程(A ，B 重合于O 时，中点为O )． 解 (1)因为抛物线C 1：x 2＝4y 上任意一点(x ，y )的切线斜率为y ′＝x2，且切线MA 的斜率为－12，所以A 点坐标为⎝⎛⎭⎫－1，14，故切线MA 的方程为 y ＝－12(x ＋1)＋14.因为点M (1－2，y 0)在切线MA 及抛物线C 2上，于是 y 0＝－12(2－2)＋14＝－3－224，①y 0＝－(1－2)22p ＝－3－222p .②由①②得p ＝2.(2)设N (x ，y )，A ⎝⎛⎭⎫x 1，x 214，B (x 2，x 224)，x 1≠x 2，由N 为线段AB 中点知 x ＝x 1＋x 22，③y ＝x 21＋x 228.④切线MA 、MB 的方程为 y ＝x 12(x －x 1)＋x 214.⑤y ＝x 22(x －x 2)＋x 224.⑥由⑤⑥得MA ，MB 的交点M (x 0，y 0)的坐标为 x 0＝x 1＋x 22，y 0＝x 1x 24.因为点M (x 0，y 0)在C 2上，即x 20＝－4y 0，所以x 1x 2＝－x 21＋x 226.⑦由③④⑦得x 2＝43y ，x ≠0. 当x 1＝x 2时，A ，B 重合于原点O ，AB 中点N 为O ，坐标满足x 2＝43y . 因此AB 中点N 的轨迹方程为x 2＝43y . 21．已知函数f (x )＝(1＋x )e －2x ，g (x )＝ax ＋x 32＋1＋2x cos x ．当x ∈[0,1]时， (1)求证：1－x ≤f (x )≤11＋x； (2)若f (x )≥g (x )恒成立，求实数a 的取值范围．(1)证明 要证x ∈[0,1]时，(1＋x )e－2x ≥1－x ，只需证明(1＋x )－x ≥(1－x )e x . 记h (x )＝(1＋x )e －x －(1－x )e x ，则h ′(x )＝x (e x －e －x )．当x ∈(0,1)时，h ′(x )＞0，因此h (x )在[0,1]上是增函数，故h (x )≥h (0)＝0，所以f (x )≥1－x ，x ∈[0,1]． 要证x ∈[0,1]时，(1＋x )e－2x ≤11＋x ， 只需证明e x ≥x ＋1.记K (x )＝e x －x －1.则K ′(x )＝e x －1，当x ∈(0,1)时，K ′(x )＞0.因此K (x )在[0,1]上是增函数，故K (x )≥K (0)＝0，所以f (x )≤11＋x，x ∈[0,1]． 综上，1－x ≤f (x )≤11＋x，x ∈[0,1]． (2)解 方法一f (x )－g (x )＝(1＋x )e －2x －⎝⎛⎭⎫ax ＋x 32＋1＋2x cos x ≥1－x －ax －1－x 32－2x cos x ＝ －x ⎝⎛⎭⎫a ＋1＋x 22＋2cos x . 设G (x )＝x 22＋2cos x ，则G ′(x )＝x －2sin x . 记H (x )＝x －2sin x ，则H ′(x )＝1－2cos x .当x ∈(0,1)时，H ′(x )＜0，于是G ′(x )在[0,1]上是减函数，从而当x ∈(0,1)时，G ′(x )＜G ′(0)＝0，故G (x )在[0,1]上是减函数．于是G (x )≤G (0)＝2，从而a ＋1＋G (x )≤a ＋3，下面证明，当a ＞－3时，f (x )≥g (x )在[0,1]上不恒成立．f (x )－g (x )≤11＋x－1－ax －x 32－2x cos x ＝－x 1＋x－ax －x 32－2x cos x ＝－x ⎝⎛⎭⎫11＋x ＋a ＋x 22＋2cos x . 记I (x )＝11＋x ＋a ＋x 22＋2cos x ＝11＋x＋a ＋G (x )， 则I ′(x )＝－1(1＋x )2＋G ′(x )， 当x ∈(0,1)时，I ′(x )＜0，故I (x )在[0,1]上是减函数．于是I (x )在[0,1]上的值域为[a ＋1＋2cos 1，a ＋3]．因为当a ＞－3时，a ＋3＞0，所以存在x 0∈(0,1)，使得I (x 0)＞0.此时f (x 0)＜g (x 0)，即f (x )≥g (x )在[0,1]上不恒成立．综上，实数a 的取值范围是(－∞，－3]．方法二 先证当x ∈[0,1]时，1－12x 2≤cos x ≤1－14x 2. 记F (x )＝cos x －1＋12x 2，则F ′(x )＝－sin x ＋x . 记G (x )＝－sin x ＋x ，则G ′(x )＝－cos x ＋1.当x ∈(0,1)时，G ′(x )＞0，于是G (x )在[0,1]上是增函数．因此当x ∈(0,1)时，G (x )＞G (0)＝0，从而F (x )在[0,1]上是增函数，因此F (x )≥F (0)＝0，所以当x ∈[0,1]时，1－12x 2≤cos x . 同理可证，当x ∈[0,1]时，cos x ≤1－14x 2，综上，当x ∈[0,1]时，1－12x 2≤cos x ≤1－14x 2. 因为当x ∈[0,1]时，f (x )－g (x )＝(1＋x )e －2x －⎝⎛⎭⎫ax ＋x 32＋1＋2x cos x ≥(1－x )－ax －x 32－1－2x ⎝⎛⎭⎫1－14x 2＝－(a ＋3)x .下面证明：当a ＞－3时，f (x )≥g (x )在[0,1]上不恒成立，因为f (x )－g (x )＝(1＋x )e －2x －⎝⎛⎭⎫ax ＋x 32＋1＋2x cos x ≤11＋x－1－ax －x 32－2x ⎝⎛⎭⎫1－12x 2 ＝x 21＋x ＋x 32－(a ＋3)x ≤32x ⎣⎡⎦⎤x －23(a ＋3). 所以存在x 0∈(0,1)⎝⎛⎭⎫例如x 0取a ＋33和12中的较小值满足f (x 0)＜g (x 0)． 即f (x )≥g (x )在[0,1]上不恒成立．综上，实数a 的取值范围是(－∞，－3]．22. 选修4－1：几何证明选讲如图，AB 为⊙O 的直径，直线CD 与⊙O 相切于E ，AD 垂直CD 于D ，BC 垂直CD 于C ，EF 垂直AB 于F ，连接AE ，BE .证明：(1)∠FEB ＝∠CEB ；(2)EF 2＝AD ·BC .证明 (1)由直线CD 与⊙O 相切，得∠CEB ＝∠EAB .由AB 为⊙O 的直径，得AE ⊥EB ，从而∠EAB ＋∠EBF ＝π2； 又EF ⊥AB ，得∠FEB ＋∠EBF ＝π2， 从而∠FEB ＝∠EAB .故∠FEB ＝∠CEB .(2)由BC ⊥CE ，EF ⊥AB ，∠FEB ＝∠CEB ，BE 是公共边，得Rt △BCE ≌Rt △BFE ，所以BC ＝BF .同理可证，得AD ＝AF .又在Rt △AEB 中，EF ⊥AB ，故EF 2＝AF ·BF ，所以EF 2＝AD ·BC .23．选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆C 1，直线C 2的极坐标方程分别为ρ＝4sin θ，ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2 2. (1)求C 1与C 2交点的极坐标；(2)设P 为C 1的圆心，Q 为C 1与C 2交点连线的中点．已知直线PQ 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t 3＋a ，y ＝b 2t 3＋1(t ∈R 为参数)，求a ，b 的值． 解 (1)圆C 1的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4，直线C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.解⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋(y －2)2＝4，x ＋y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝0，y 1＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2，y 2＝2. 所以C 1与C 2交点的极坐标为⎝⎛⎭⎫4，π2，⎝⎛⎭⎫22，π4， 注：极坐标系下点的表示不唯一．(2)由(1)可得，P 点与Q 点的直角坐标分别为(0,2)，(1,3)．故直线PQ 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0，由参数方程可得y ＝b 2x －ab 2＋1， 所以⎩⎨⎧ b 2＝1，－ab 2＋1＝2，解得a ＝－1，b ＝2. 24．选修4－5：不等式选讲已知函数f (x )＝|x －a |，其中a ＞1.(1)当a ＝2时，求不等式f (x )≥4－|x －4|的解集；(2)已知关于x 的不等式|f (2x ＋a )－2f (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}，求a 的值．解 (1)当a ＝2时，f (x )＋|x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋6，x ≤2，2，2＜x ＜4，2x －6，x ≥4.当x ≤2时，由f (x )≥4－|x －4|得－2x ＋6≥4，解得x ≤1；当2＜x ＜4时，f (x )≥4－|x －4|无解；当x ≥4时，由f (x )≥4－|x －4|得2x －6≥4，解得x ≥5；所以f (x )≥4－|x －4|的解集为{x |x ≤1或x ≥5}．(2)记h (x )＝f (2x ＋a )－2f (x )，则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2a ，x ≤0，4x －2a ，0＜x ＜a ，2a ，x ≥a .由|h (x )|≤2，解得a －12≤x ≤a ＋12. 又已知|h (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}， 所以⎩⎨⎧ a －12＝1，a ＋12＝2，于是a ＝3.。
2013全国高考1卷理科数学试题及答案解析
WORD 格式整理2012 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学 第 I 卷一、选择题： 本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合 A {1,2,3,4,5} ， B {( x, y) | xA, y A, x y A} ，则 B 中所含元素的个数为（A ） 3（B ） 6（C ） 8（D ） 10（2）将 2 名教师， 4 名学生分成 2 个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组有1名教师和 2 名学生组成，不同的安排方案共有 （A ） 12 种 （B ） 10 种（C ） 9 种（D ）8 种（3）下面是关于复数z 2 1 i的四个命题p ： |z | 2p 2 :122zip 3 : z 的共轭复数为 1 i p 4 ： z 的虚部为1其中真命题为(A )p ,p 3（B ） p 1 ,p 2（C ）p 2 ， p 4 （D ） p 3 , p 42（4）设FF 是椭圆 1, 222x yE : 1(a b 0)22ab的左、右焦点， P 为直线3ax上的一点，2F PF 是底角为 30 的等腰三角形，则21E的离心率为(A)1 2(B)23(C)3 4(D)45（5）已知 {a } 为等比数列， a 4a 72， a 5a 68 ，则 a 1 a 10n(A)7(B)5(C)5(D)7（6）如果执行右边的程序图，输入正整数N (N 2)和实数 a 1,a 2 ,..., a N 输入 A, B , 则(A) A B 为 a 1,a 2,..., a N 的和（B ） A B 2为a a a 的算式平均数1, 2 ,..., N（C ） A和B 分别是a 1,a 2,..., a N 中最大的数和最小的数专业技术参考资料WORD 格式整理（D）A和B分别是a1,a2,..., a N 中最小的数和最大的数（7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（A）6 (B)9 （C）12 （D）18（8）等轴双曲线 C 的中心在原点，焦点在x轴上，C 与抛物线 2 16y x的准线交于A, B 两点，| AB | 4 3 ，则C 的实轴长为（A） 2 （B）2 2 （C）4 （D）8（9）已知0，函数( ) sin( )f x x 在,4 2单调递减，则的取值范围(A)1 5[ , ]2 4(B)1 3[ , ]2 4(C)1(0, ]2(D) (0, 2]（10）已知函数 f (x)1ln( x 1) x，则y f ( x) 的图像大致为（11）已知三棱锥S ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，ABC 是边长为1的正三角形，SC 为 O 的直径，且SC 2 ，则此棱锥的体积为(A)26(B)36(C)23(D)22（12）设点P 在曲线1xy e 上，点Q 在曲线y ln(2 x) 上，则| PQ |的最小值为2(A) 1 ln 2 (B) 2(1 ln 2) (C) 1 ln 2 (D) 2(1 ln 2)专业技术参考资料WORD 格式整理第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2013届高三第一次联考
2013届高三第一次联考数学试题（理）考试时间：2012年12月21日下午15:00——17:00 试卷满分：150分一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个符合一目要求的. 1.集合A={}1610-2-+=x x y x ，集合B ={}A x x y y ∈=,log 2，则=⋂B C A R ( ) A .[]32， B .(]21， C .[]83， D.(]83，2.若命题p:[]012,3,3-0200≤++∈∃x x x ，则对命题p 的否定是（ ）A []012,3,3-0200>++∈∀x x xB ()()012,,33-,-0200>+++∞∞∈∀x x xC . ()()012,,33-,-0200≤+++∞∞∈∃x x x D. []012,3,3-0200<++∈∃x x x3.某实心机器零件的三视图如图所示，该机器零件的体积为（ ）A .π236+B .π436+C .π836+D .π1036+4.等比数列{}n a 各项为正，453-,,a a a 成等差数列.n S 为{}n a 的前n 项和，则36S S =（ ） A .2 B .87 C .89 D .45 5.如图MN 是半圆O 的直径，MN=2，等边三角形OAB 的顶点A 、B 在半圆弧上，且AB//MN ，点P 半圆弧上的动点，则⋅的取值范围是（ ）A .⎥⎦⎤⎢⎣⎡+32323，B .⎥⎦⎤⎢⎣⎡233-23，C .⎥⎦⎤⎢⎣⎡+3233-23， D .⎥⎦⎤⎢⎣⎡2323-3，6.若双曲线1222=+m y x 的一条渐近线的倾斜角⎪⎭⎫⎝⎛∈30πα，，则m 的取值范围是（ ）A .()0,3-B .()0,3- C .()3,0 D .）（0,33-7.在ABC ∆中，,3,23sin )(sin AC BC C B A ==+-则=∠B （ ） A .3π B .6π C .36ππ或 D.2π8.已知R c b a ∈,,，则1632222=++c b a 是[]1,1-∈++c b a 的（ ）A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件9.若实数y x ,满足：⎩⎨⎧-≤≥-2502x y x y ，则y x 2+的最大值是（ ） A .3 B .52 C .5 D 5510.已知函数⎩⎨⎧<≥=)0()-(log )0(3)(3x x x x f x ，函数)()()()(2R t t x f x f x g ∈++=.关于)(x g 的零点，下列判断不正确．．．的是（ ） A .若)(,41x g t =有一个零点 B .若)(,412-x g t <<有两个零点 C .若)(,2-x g t =有三个零点 D .若)(,2-x g t <有四个零点 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. （一）必做题（11-14题）11.已知复数i i i z ),43()21(-÷+=为虚数单位，则z 的共轭复数是 .12.函数x x x f ln )(=，)41(),31(),2(f c f b f a ===，则c b a ,,从小到大的排列是 . 13.阅读如图所示程序框图，运行相应程序，输出结果n = .14.如图把函数,6)(,)(321x x x f x x f -==,50401206)(,1206)(7534533x x x x x f x x x x f -+-=+-=36288050401206)(97535x x x x x x f +-+-=，依次称为x x f sin )(=在[]π，0上的第1项、2项、3项、4项、5项多项式逼近函数.以此类推，请将x x f sin )(=的n 项多项式逼近函数)(x f n 在横线上补充完整：∑-==121)(n k n x f ( ) ）（+∈N k n ,.（二）选做题（请考生在15、16两题中任选一题作答.如果全选，则按第15题作答结果计分）15.（选修4-1：几何证明选讲）如图过点A 作圆O 的一条切线AB ，切点为B ，OA 交圆O 于点C .若1,==BC CA OC ,则=AB . 16.(选修4-4：坐标系与参数方程）曲线C 的极坐标方程为：θθρsin cos -=，化成普通方程为 .三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A ．（本小题满分12分）函数1)sin()(-+=ϕwx A x f ,00>>w A ，（ϕ)2π<的最大值为2，其图像相邻两个对称中心之间的距离为2π，且经过点)121,12-π（. (1)求函数)(x f 的单调递增区间；(2)若57)(=αf ，且∈α⎥⎦⎤⎢⎣⎡412ππ，，求)62(πα+f 的值.18.（本小题满分12分）已知数列}{n a 满足：，32-1=a 4332-1+-=+n n n a a a ）（+∈N n . （1）证明数列}11{+n a 是等差数列，并求{}n a 的通项公式；第一次八校联考数学（理）试题 第3页 （共5页）（2）数列}{n b 满足：13+=n nn a b ）（+∈N n ，求}{n b 的前n 项和n S .19.（本小题满分12分）如图I ，平面四边形ABCD 中，，，，42150600====∠=∠BC AD AB ABC A 把ABD ∆沿直线BD 折起，使得平面⊥ABD平面BCD ，连接AC 得到如图II 所示四面 体BCD A -.设点F E O ,,分别是,,AB BDAC 的中点.连接BF CE ,交于点G ,连接 OG .（1）证明：AC OG ⊥；（2）求二面角C AD B --的大小.20.（本小题满分12分）在淘宝网上，某店铺专卖当地某种特产.由以往的经验表明，不考虑其他因素，该特产每日的销售量y （单位：千克）与销售价格x （单位：元/千克，51≤<x ）满足：当31≤<x 时，1)3(2-+-=x b x a y ，为常数）（b a ,；当53≤<x 时，49070-+=x y .已知当销售价格为2元/千克时，每日可售出该特产700千克；当销售价格为3元/千克时，每日可售出150千克.18. 求b a ,的值，并确定y 关于x 的函数解析式；19. 若该特产的销售成本为1元/千克，试确定销售价格x 的值，使店铺每日销售该特产所获利润)(x f 最大（x 精确但0.01元/千克）.21.（本小题满分13分）如图所示，过点)1,(m M 作直线AB 交抛物线y x =2于B A ,两点，且MB AM =,过M 作x 轴的垂线交抛物线于点C .连接,,BC AC 记三角形ABC 的面积为∆S ,记直线AB 与抛物线所围成的阴影区域的面积为弓S .（1）求m 的取值范围； （2）当∆S 最大时，求m 的值； （3）是否存在常数λ，使得λ=∆弓S S ？若存在，求出λ的值； 若不存在，请说明理由.第一次八校联考数学（理）试题 第4页 （共5页）22.（本小题满分14分）已知函数1)1()(-+=tx x f 的定义域为()+∞,1-，其中实数t 满足10≠≠t t 且.直线:l )(x g y =是)(x f 的图像在0=x 处的切线.（1）求l 的方程：)(x g y =；（2）若)()(x g x f ≥恒成立，试确定t 的取值范围； （3）若()1,0,21∈a a ，求证：12212121aaaaa a a a +≥+.注：当α为实数时，有求导公式1-='αααx x ）（.湖北省八校2013届高三第一次联考数学（理科）参考答案一 选择题：1．D 2．A 3．A4．C5．B 6．A7．B8． A 9．C10．D二 填空题11． 1255i -- 12. b c a <<13. 314． sin()2!k k x k π[供参考：(1)cos()2!k k x k π-，11(())2!k k ki i x k --+-（i 为虚数单位）]15.16. 220x x y y -++=三 解答题： 17．解：（１）由已知：3,2,,()3sin(2)133A f x x ππωϕ====+- ……….3’令222232k x k πππππ-≤+≤+ 得5()1212k x k k Z ππππ-≤≤+∈ 所以()f x 单调递增区间是5[,]()1212k k k Z ππππ-+∈； ……….6’（2）由7()5f α=，得4sin(2)35πα+=，[,]124ππα∈ 所以3cos(2)35πα+=-2()3sin()13cos()12636f απππαα+=+-=+-=11-． ………12’18． 解： （1）因为134111323111134n n n n n n a a a a a a ++===+--+++++所以111311n n a a +-=++所以{11n a +}是首项为3，公差为3的等差数列。
2013年理科数学高考题(黑龙江卷)
绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅰ卷)数学(理科)注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前考生将自己的姓名\准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置.2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号标黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.3.答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4.考试结束，将试题卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共12小题.每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|(1)4,}M x x x =+<∈R ，{1,0,1,2,3}N =-，则M N = A .{0,1,2} B .{1,0,1,2}- C .{1,0,2,3}- D .{0,1,2,3}2.设复数z 满足(1i)2i z -=，则z = A .1i -+B .1i --C .1i +D .1i -3.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知32110S a a =+，59a =，则1a =A .13B .13-C .19D .19-4.已知,m n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β.直线l 满足l m ⊥，l n ⊥，l α⊄，l β⊄，则A .//αβ且//l αB .αβ⊥且l β⊥C .α与β相交，且交线垂直于lD .α与β相交，且交线平行于l5.已知5(1)(1)ax x ++的展开式中2x 的系数为5，则a = A .4- B .3- C .2- D .1-6.执行右面的程序框图，如果输入的10N =，那么输出的S = A .11112310++++ B .11112!3!10!++++C .11112311++++ D .11112!3!11!++++7.一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(1,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到正视图可以为A BC B8.设3log 6a =，5log 10b =，7log 14c =，则A .c b a >>B .b c a >>C .a c b >>D .a b c >> 9.已知0a >，,x y 满足约束条件1,3,(3).x x y y a x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩若2z x y =+的最小值为1，则a =A .14B .12C .1D .210.已知函数32()f x x ax bx c =+++，下列结论中错误的是A .00,()0x f x ∃∈=RB .函数()y f x =的图像是中心对称图形C .若0x 是()f x 的极小值点，则f(x)在区间0(,)x -∞单调递减D .若0x 是()f x 的极值点，则0()0f x '=11.设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点M 在C 上，||5MF =，若以MF 为直径的园过点(0,2)，则C 的方程为A .24y x =或28y x =B .22y x =或28y x =C .24y x =或216y x =D .22y x =或216y x =12.已知点(1,0)A -，(1,0)B ，(0,1)C ，直线(0)y ax b a =+>将ABC △分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是 A .(0,1) B.1(1)2- C.1(1]3- D .11[,)32第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题，每个试题考生都必修作答。
黑龙江省哈尔滨市高三数学第一次联考试题 理
黑龙江省哈尔滨市六校2013届高三第一次联考理科数学试题第I 卷（选择题共60分）一、选择题：(共12小题,每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.如图所示的韦恩图中，A 、B 是非空集合，定义A *B 表示阴影部分集合．若,x y R ∈，{}A x y ==，{}3,0x B y y x ==>，则A *B=（ ）．A ．(2,)+∞B ．[)0,1(2,)⋃+∞C ．[]0,1(2,)⋃+∞ D ．[]0,1[2,)⋃+∞2.下列命题正确的个数 （ ） A ．1B ．2C ．3D ．4（1） 命题“2000,13x R x x ∃∈+>”的否定是“2,13x R x x ∀∈+≤”；（2）函数22()cos sin f x ax ax =-的最小正周期为π”是“1a =”的必要不充分条件； （3）．“22x x ax +≥在[]1,2x ∈上恒成立”⇔“max min 2)()2(ax x x ≥+在[]1,2x ∈上恒成立”（4）．“平面向量a 与b 的夹角是钝角”的充分必要条件是“0a b ⋅<”。
3.已知各项为正数的等差数列{}n a 的前20项和为100，那么714a a ⋅( )A ．25B ．50C ．100D ．不存在4、执行如图所示的程序框图，则输出的复数z 是（ ）A ．i 2321+-B ．i 2321--C ．1D ．1-5对于函数=)(x f +x 2sin 23x 2sin （∈x R ）有以下几种说法: (1),012π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()f x 的图象的一个对称中心；(2)函数()f x 的最小正周期是2π；(3)函数()f x 在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增.(4)y=f(x)的一条对称轴3π=x ： 其中说法正确的个数是（ ）A ．0B ． 1C ． 2D ．36．实数对（x ，y ）满足不等式组20,250,20,x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩则目标函数z=kx －y 当且仅当x=3，y=1时取最大值，则k 的取值范围是（ ）A ．[)1,1,2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭ B ．1,|2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ C ．1.12⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．(],1-∞- 7.三棱锥BCD A -的外接球为球O ，球O 的直径是AD ，且ABC ∆、BCD ∆都是边长为1的等边三角形，则三棱锥BCD A -的体积是（ ）A ． 82B ． 61C ．81D ．1228.设函数()sin()cos()(0,)2f x x x πωϕωϕωϕ=+++><的最小正周期为π，且()()f x f x -=则( )A. ()y f x =在3(,)44ππ单调递增B. ()y f x =在(0,)2π单调递增 C. ()y f x =在3(,)44ππ单调递减D. ()y f x =在(0,)2π单调递减 9、若在曲线f （x ，y ）=0上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线f （x ，y ）=0的“自公切线”。
黑龙江省各地市2013年高考数学 最新联考试题分类汇编(4)数列
某某省各地市2013年高考数学最新联考试题分类汇编（4）数列一、选择题:4. (东北三省三校2013年3月高三第一次联合模拟理)已知数列{}n a 是等差数列，且1472a a a π++=，则35tan()a a +的值为（ ）A B ．C D ．-解析：1472a a a π++=，43=2a π∴42=3a π∴3544tan()=tan 2=tan 3a a a π∴+故选C（6）(某某省某某市2013届高三第二次模拟文)等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，若21,,++n n n S S S 成等差数列，则公比q 为（A ）2-或1 （B ）1 （C ）2- （D ）2或1-【答案】C2．(某某省哈师大附中2013届第三次高考模拟理)在等比数列{}n a 中，若a 1 + a 2=1，a 11 +a 12 = 4，则a 21 + a 22的值为A ．4B ．7C ．8D ．16 【答案】D7．(东北三校2013届高三第二次联合模拟文)若S n 是等比数列{a n }的前n 项和，a 2 a 4= a 3, S 3= 7则数列{a n }的公比q 的值为A ．12B ．12-或13C ．12或13- D ．13【答案】C3. (某某省某某地区六市县2013届高三第一次联考理)已知各项为正数的等差数列{}n a 的前20项和为100，那么714a a ⋅的最大值为 ( A )A ．25B ．50C ．100D ．不存在二、填空题:（14）(某某省某某市2013届高三第二次模拟文)在数列{}n a 中，11,a =当n N *∈时，1120n n n n a a a a ++-+=，则{}n a 的通项公式为_____________.【答案】121n a n =- 15．(东北三校2013届高三第二次联合模拟文)已知数列{a n }满足*1111,()21n n a a n N a +-=-=∈+点A i （i ，a i ）在x 轴上的射影为点B i *()i N ∈若1122||||||||n i i n n S A B A B A B A B =++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+，则S n =__________。
2013年黑龙江高考试卷理科数学试题
2013年黑龙江高考试卷理科数学试题注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前考生将自己的姓名\准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置。
2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号标黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3. 答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4. 考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题。
每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合M=｛x|(x+1)2 < 4,x∈R｝，N=｛-1，0，1，2，3｝，则M∩N=（）（A）｛0，1，2｝（B）｛-1，0，1，2｝（C）{-1，0，2，3} （D）{0，1，2，3}（2）设复数z满足（1-i）z=2 i，则z= （）（A）-1+i （B）-1-i （C）1+i （D）1-i （3）等比数列｛a n｝的前n项和为S n，已知S3= a2 +10a1 ，a5 = 9，则a1= （）（A）（B）-（C）（D）-（4）已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β。
直线l满足l ⊥m，l ⊥n，l β，则（）（A）α∥β且l ∥α（B）α⊥β且l⊥β（C）α与β相交，且交线垂直于l （D）α与β相交，且交线平行于l（5）已知（1+ɑx）(1+x)5的展开式中x2的系数为5，则ɑ= （A）-4 （B）-3 （C）-2 （D）-1（7）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（1，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为搞影面，则得到正视图可以为（8）设ɑ=log36,b=log510,c=log714,则（A）c＞b＞a （B）b＞c＞ax≥1,{x+y≤3,y≥a(x-3).（C）a＞c＞b (D)a＞b＞c（10）已知函数f(x)=x2+αx2+bx+，下列结论中错误的是（A）∑xα∈R f(xα)=0（B）函数y=f(x)的图像是中心对称图形（C）若xα是f(x)的极小值点，则f(x)在区间（-∞,xα）单调递减（D）若xn是f（x）的极值点，则f1(xα)=0（11）设抛物线y2=3px(p≥0)的焦点为F，点M在C上，|MF|=5若以MF为直径的园过点（0，3），则C的方程为（A）y2=4x或y2=8x （B）y2=2x或y2=8x（C）y2=4x或y2=16x （D）y2=2x或y2=16x（12）已知点A（-1，0）；B（1，0）；C（0，1），直线y=ax +b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是（A）（0，1）(B)（1- ，1/2）( C)（1- ，1/3）(D)[ 1/3, 1/2）第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题，每个试题考生都必修作答。
2013年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)理数-含答案
绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数 学（供理科考生使用）注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 回答第I 卷时，选出每小题答案后，用铅笔吧答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3. 回答第II 卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回。
第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）复数的的模为 （A ）（B（C （D ）（2）已知集合A ．B ．C ．D ． （3）已知点（A ） （B ）（C ） （D ） （4）下面是关于公差的等差数列的四个命题：其中的真命题为（A ） （B ） （C ） （D ） （5）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图， 数据的分组一次为 若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是11Z i =-122{}{}4|0log 1,|2A x x B x x AB =<<=≤=，则()01，(]02，()1,2(]12，()()1,3,4,1,A B AB -则与向量同方向的单位向量为3455⎛⎫ ⎪⎝⎭，-4355⎛⎫ ⎪⎝⎭，-3455⎛⎫- ⎪⎝⎭，4355⎛⎫- ⎪⎝⎭，0d >()n a {}1:n p a 数列是递增数列；{}2:n p na 数列是递增数列；3:n a p n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭数列是递增数列；{}4:3n p a nd +数列是递增数列；12,p p 34,p p 23,p p 14,p p [)[)[)[)20,40,40,60,60,80,80,100.（A ） （B ） （C ） （D ）（6）在，内角所对的边长分别为A ．B ．C ．D ．（7）使得A ．B ．C ．D ．（8）执行如图所示的程序框图，若输入A ．B ．C ．D ．（9）已知点A ．B ．C ．D ．45505560ABC ∆,,A B C ,,.a b c 1sin cos sin cos ,2a B C c B Ab +=,a b B >∠=且则6π3π23π56π()3nx n N n x x +⎛+∈ ⎪⎝⎭的展开式中含有常数项的最小的为456710,n S ==则输出的511101136557255()()()30,0,0,,,.,O A b B a a OAB ∆若为直角三角形则必有3b a =31b a a=+()3310b a b a a ⎛⎫---= ⎪⎝⎭3310b a b a a -+--=（10）已知三棱柱A ．B ．C ．D ． （11）已知函数设表示中的较大值，表示中的较小值，记得最小值为得最小值为,则（A ） （B ） （C ） （D ）（12）设函数 （A ）有极大值，无极小值 （B ）有极小值，无极大值 （C ）既有极大值又有极小值 （D ）既无极大值也无极小值第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分。
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东北三省2013届高三第一次大联考
数学（理）试题
考生注意：
1．本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。
2．请将各题答案填在试卷后面的答题卷上。
3．本试卷主要考试内容：集合、与常用逻辑用语、函数（导数）、三角、向量、数列、解三角形。
第I 卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知全集{2,3,4,5},{3,4,5},{2,4,5},U M N ===则
A ．{4}M N =
B ．M N U =
C ．()U C N M U ⋃=
D ．()U C M N N = 2．已知命题020:,log 1,p x R x p +∃∈=⌝则是
A ．020,log 1x R x +∀∈≠
B ．020,log 1x R x +∀∉≠
C ．020,log 1x R x +∃∈≠
D ．020,log 1x R x +∃∉≠
3．已知向量(1,0),(0,1),2i j i j ==+则与垂直的向量是
A ．2i j -
B ．2i j -
C ．2i j +
D ．2i j +
4．设0.50.4334
34(),(),log (log 4)43a b c ===，则
A ．c b a <<
B ．a b c <<
C ．c a b <<
D ．a c b << 5．“1
sin 2a =”是“1cos 22a =”的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也必要条件 6．设非零向量a 、b 、c 满足||||||,,cos(,)a b c a b c a b +=+=则等于
A ．1
2- B ．1
C ．2
D 2 7．将函数sin (0)y x ωω=>的图象向左平移
6π
个单位，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应的函数解析式为
A ．sin()6y x π=+
B ．sin()6y x π=-
C ．sin(2)3y x π
=+ D ．sin(2)3y x π
=-
8．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若∠C=120°c =
则
A ．a b >
B ．a b <
C ．a b =
D ．a b 与的大小关系不能确定
9．函数2ln 2(0),()21(0),
x x x x f x x x ⎧-+>=⎨+≤⎩的零点个数为
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
10．已知函数()f x 的定义域为R ，且满足：()f x 是偶函数，(1)f x -是奇函数，若
(0.5)3f =，则(2012)(2014)( 2.5)f f f ++-等于
A ．—9
B ．9
C ．—3
D ．3
11．已知函数()|sin |(0)f x x y kx k ==>的图象与直线有且仅有三个公共点，这三个
公共点横坐标的最大值为α，则α等于
A ．cos α-
B ．—sin α
C ．—tan α
D ．tan α
12．已知函数2012221()ln
,(),2013i ex ke f x a b a b e x ==++-∑若f （）=503则的最小值为
A ．6
B ．8
C ．9
D ．12
第II 卷
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷中的横线上）
13．已知角α的终边经过点3(,6),tan 5P x α-=-
且，则x 的值为 。
14．已知2
12(1)4kx dx ≤+≤⎰，则实数k 的取值范围为 。
15．已知向量22(2cos ,sin ),(2sin ,cos )(),()||||,()
a x x
b x x x R f x a b f x ==∈=-且则的最大值 。
16．已知函数()(x x f x e e e -=+为自然对数的底数），其导函数为()f x '，有下列四个结论：
①()f x '的图象关于原点对称； ②()f x '在R 上不是增函数； ③(||)f x '的图象关于y 轴对称； ④(||)f x '的最小值为0
其中正确的结论是 （填写正确结论的序号）。
三、解答题（本大题共6小题，共70分。
解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算
步骤）
17．（本小题满分10分）
已知5sin()2sin tan().55cos()2a πααππ
α+=
++
-求
已知命题2:,(1)40p x R x a x a ∃∈-+++<使；命题
21:0,220.x x q x a +∀>+-≥对都有
若命题“()p q ⌝∧”为真命题，求实数a 的取值范围。
19．（本小题满分12分）
已知函数73()sin()cos(),.44f x x x x R π
π
=++-∈
（1）求()f x 的最小正周期和最小值；
（2）已知44cos(),cos(),0,()552f πβαβααββ-=
+=-<<≤求的值。
20．（本小题满分12分）
已知锐角△ABC 中的三个内角分别为A ，B ，C 。
（1）设BC CA CA AB ⋅=⋅ ，求证：△ABC 是等腰三角形；
（2）设向量21(2sin ,(cos 2,2cos
1),//,sin ,23C s C t C s t A ==-=且若求sin()3B π
- 的值。
某工厂有214名工人，现要生产1500件产品，每件产品由3个A 型零件与1个
B 型零件配套组成，每个工人加工5个A 型零件与3个B 型零件所需时间相同，现将全部工人分为两组，分别加工一种零件，同时开始加工，设加工A 型零件的工人有x 人，在单位时间内每人加工A 型零件5*()k k N ∈个，加工完A 型零件所需时间为()g x ，加工完B 型零件所需时间为().h x
（1）试比较()()g x h x 与大小，并写出完成总任务的时间()f x 的表达式；
（2）怎样分组才能使完成任务所需时间最少？
22．（本小题满分12分） 已知函数(1)
()ln .1a x f x x x -=-+
（1）若函数()(0,)f x +∞在上为单调增函数，求a 的取值范围；
（2）设m ，n 为正实数，且,:
.ln ln 2m n m n m n m n -+><-求证。