2和因动点产生的面积问题

中考数学压轴题：由动点引出的几种面积问题

中考数学压轴题：由动点引出的几种面积问题动点题是近年来中考的一个热点问题也是难点问题，而因动点产生的面积问题是这类题目考查的重点。

解这类题目要掌握几个基本图形及思路，而后“以静制动”、“转化求解”。

即把动态问题变为静态问题，变为我们所熟知的模型来解。

基本方法：铅锤法！即利用“铅垂高、水平宽”求三角形面积.类型一、一次函数由动点问题引出的面积问题【分析】（1）Rt△AOH中利用勾股定理即可求得菱形的边长；（2）根据（1）即可求得OC的长，则C的坐标即可求得，利用待定系数法即可求得直线AC的解析式；（3）根据S△ABC=S△AMB+SBMC求得M到直线BC的距离为h，然后分成P在AM上和在MC上两种情况讨论，利用三角形的面积公式求解．【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式以及菱形的性质，根据三角形的面积关系求得M到直线BC的距离h是关键．类型二、二次函数由动点问题引出的面积问题【分析】（2）过点P作PE∥y轴交x轴于点E，交直线AC于点F，过点C作CQ∥y轴交x轴于点Q，设点P的坐标为（x，﹣x^2﹣2x+3）（﹣2＜x＜1），则点E的坐标为（x，0），点F的坐标为（x，﹣x+1），进而可得出PF的值，由点C的坐标可得出点Q 的坐标，进而可得出AQ的值，利用三角形的面积公式可得出S△APC＝﹣1.5x^2﹣1.5x+3，再利用二次函数的性质，即可解决最值问题；【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图像上点的坐标特征、一次函数图像上点的坐标特征、二次函数的性质、三角形的面积以及周长，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出抛物线及直线AC的函数关系式；（2）利用三角形的面积公式找出S△APC＝﹣1.5x^2﹣1.5x+3;（3）利用二次函数图像的对称性结合两点之间线段最短找出点M的位置．类型三、利用相似三角形求解由动点问题引出的面积问题【分析】（1）利用待定系数法即可；（2）①分别用t表示PE、PQ、EQ，用△PQE∽△QNC表示NC及QN，列出矩形PQNM面积与t的函数关系式问题可解；②由①利用线段中点坐标分别等于两个端点横纵坐标平均分的数量关系，表示点M坐标，分别讨论M、N、Q在抛物线上时的情况，并分别求出t值．【点评】本题是代数几何综合题，考查了二次函数、一次函数、三角形相似和矩形的有关性质，解答时应注意数形结合和分类讨论的数学思想．类型四、利用转化思想解决由动点问题引出的面积问题【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案；（2）根据勾股定理，可得BC的长，根据等角的正切值相等，可得HO的长，根据待定系数法，可得BE的解析式，根据解方程组，可得E点坐标；（3）由题意△PMN是等腰直角三角形，得PM=PN=1，设M（a，a^2+3a﹣4）则N（a+1，a^2+3a+1）或（a+1，a^2+3a﹣5），代入抛物线的解析式即可求解．【点评】本题考查二次函数的有关知识、一次函数、直角三角形等知识，掌握两个函数的交点问题转化为方程组的解的问题是解题的关键，还要记住一个结论斜边为定值时直角边相等时面积最大．。

(完整版)汇编《因动点产生的面积问题》含答案

例1如图1，边长为8的正方形ABCD的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，点P是抛物线上A、C两点间的一个动点（含端点），过点P作PF⊥BC于点F．点D、E的坐标分别为(0, 6)、(－4, 0)，联结PD、PE、DE．（1）直接写出抛物线的解析式；（2）小明探究点P的位置发现：当点P与点A或点C重合时，PD与PF的差为定值．进而猜想：对于任意一点P，PD与PF的差为定值．请你判断该猜想是否正确，并说明理由；（3）小明进一步探究得出结论：若将“使△PDE的面积为整数”的点P记作“好点”，则存在多个“好点”，且使△PDE的周长最小的点P也是一个“好点”．请直接写出所有“好点”的个数，并求出△PDE周长最小时“好点”的坐标．图1 备用图如图1，边长为8的正方形ABCD 的两边在坐标轴上，以点C 为顶点的抛物线经过点A ，点P 是抛物线上A 、C 两点间的一个动点（含端点），过点P 作PF ⊥BC 于点F ．点D 、E 的坐标分别为(0, 6)、(－4, 0)，联结PD 、PE 、DE ．（1）直接写出抛物线的解析式；（2）小明探究点P 的位置发现：当点P 与点A 或点C 重合时，PD 与PF 的差为定值．进而猜想：对于任意一点P ，PD 与PF 的差为定值．请你判断该猜想是否正确，并说明理由；（3）小明进一步探究得出结论：若将“使△PDE 的面积为整数” 的点P 记作“好点”，则存在多个“好点”，且使△PDE 的周长最小的点P 也是一个“好点”．请直接写出所有“好点”的个数，并求出△PDE 周长最小时“好点”的坐标．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“15河南23”，拖动点P 在A 、C 两点间的抛物线上运动，观察S 随P 变化的图像，可以体验到，“使△PDE 的面积为整数” 的点P 共有11个．思路点拨1．第（2）题通过计算进行说理．设点P 的坐标，用两点间的距离公式表示PD 、PF 的长．2．第（3）题用第（2）题的结论，把△PDE 的周长最小值转化为求PE ＋PF 的最小值．满分解答（1）抛物线的解析式为2188y x =-+．（2）小明的判断正确，对于任意一点P ，PD －PF ＝2．说理如下：设点P 的坐标为21(,8)8x x -+，那么PF ＝y F －y P ＝218x ．而FD 2＝22222222111+(86)+(2)(2)888x x x x x -+-=-=+，所以FD ＝2128x +．因此PD －PF ＝2为定值．（3）“好点”共有11个．在△PDE 中，DE 为定值，因此周长的最小值取决于FD ＋PE 的最小值．而PD ＋PE ＝(PF ＋2)＋PE ＝(PF ＋PE )＋2，因此当P 、E 、F 三点共线时，△PDE 的周长最小（如图2）．此时EF ⊥x 轴，点P 的横坐标为－4．所以△PDE 周长最小时，“好点”P 的坐标为(－4, 6)．图2 图3考点伸展第（3）题的11个“好点”是这样求的：如图3，联结OP ，那么S △PDE ＝S △POD ＋S △POE －S △DOE ．因为S △POD ＝1()32P OD x x ⋅-=-，S △POE ＝2111624P OE y x ⋅=-+，S △DOE ＝12，所以 S △PDE ＝21316124x x --+-＝21344x x --+＝21(6)134x -++．因此S 是x 的二次函数，抛物线的开口向下，对称轴为直线x ＝－6．如图4，当－8≤x ≤0时，4≤S ≤13．所以面积的值为整数的个数为10．当S ＝12时，方程21(6)13124x -++=的两个解－8, －4都在－8≤x ≤0范围内．所以“使△PDE 的面积为整数” 的 “好点”P 共有11个．图4例2如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx－3（a≠0）与x轴交于A(－2, 0)、B(4, 0)两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P从点A出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向点B运动，同时点Q从点B出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动．其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．当△PBQ存在时，求运动多少秒时△PBQ的面积最大，最大面积是多少？（3）当△PBQ的面积最大时，在BC下方的抛物线上存在点K，使S△CBK∶S△PBQ＝5∶2，求点K的坐标．图1如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx －3（a ≠0）与x 轴交于A (－2, 0)、B (4, 0)两点，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 从点A 出发，在线段AB 上以每秒3个单位长度的速度向点B 运动，同时点Q 从点B 出发，在线段BC 上以每秒1个单位长度的速度向点C 运动．其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．当△PBQ 存在时，求运动多少秒时△PBQ 的面积最大，最大面积是多少？（3）当△PBQ 的面积最大时，在BC 下方的抛物线上存在点K ，使S △CBK ∶S △PBQ ＝5∶2，求点K 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“14昆明23”，拖动点P 从A 向B 运动，可以体验到，当P 运动到AB 的中点时，△PBQ 的面积最大．双击按钮“△PBQ 面积最大”，再拖动点K 在BC 下方的抛物线上运动，观察度量值，可以体验到，有两个时刻面积比为2.5．思路点拨1．△PBQ 的面积可以表示为t 的二次函数，求二次函数的最小值． 2．△PBQ 与△PBC 是同高三角形，△PBC 与△CBK 是同底三角形，把△CBK 与△PBQ 的比转化为△CBK 与△PBC 的比．满分解答（1）因为抛物线与x 轴交于A (－2, 0)、B (4, 0)两点，所以y ＝a(x ＋2)(x －4)．所以－8a ＝－3．解得38a =．所以抛物线的解析式为3(2)(4)8y x x =+-233384x x =--．（2）如图2，过点Q 作QH ⊥x 轴，垂足为H ．在Rt △BCO 中，OB ＝4，OC ＝3，所以BC ＝5，sin B ＝35．在Rt △BQH 中，BQ ＝t ，所以QH ＝BQ sin B ＝35t ．所以S △PBQ ＝211399(63)(1)2251010BP QH t t t ⋅=-⨯=--+．因为0≤t≤2，所以当t＝1时，△PBQ的面积最大，最大面积是910。

因动点产生的面积问题

80因动点产生的面积问题★林广姗所谓的因动点产生的面积问题就是解决一个会移动的点在坐标系中的位置转变所形成的几何面积问题。

在往年真题中我们可以看到中考命题组特别喜爱动点面积相结合的问题，因动点产生的面积问题大多以函数为背景，充分结合函数、方程、转化及数形结合等思想进行展开，而学生对知识点多且题型复杂的动点问题也是又爱又恨。

在数学教学中，教师可以从哪些方向带着学生不慌不忙延伸拆解每一道题，让学生动脑生趣，不再害怕此类问题。

引言：在中考中，数学要如何和他人拉开距离，保持领先？那么我们就要教会学生破解压轴题，而作我们首要突破的热点压轴题则是动点问题，其中因动点产生的面积问题则是学生们最怕见到的压轴题类型。

如何让学生对动点产生兴趣？高效利用每一道真题，延伸派生，让学生一题多思。

接下来笔者将会对两道中考真题进行思路点拨和延伸，旨在与大家交流研讨。

一、思路建立阶段面积是平面图形中的一个重要的概念，关联着平面图形中的要素边与角，因点的运动而产生的面积问题，是一次函数图象与二次函数图象相结合的形式，经常出现的面积问题有规则图形（如直角三角形、平行四边形、特殊平行四边形的面积）以及不规则图形的面积计算，求解不规则几何图形的面积是中考压轴常考的题型，此类题目运算量较大，要根据不同题目的动点问题思考解的可变性和多可能性。

求解动点相关面积问题经常用到下列与面积有关的方法：平面几何的割与补、等积变形、等比转化等数学思想方法。

解决与面积相关的动点存在性题目，出现频率较高的题型和使用较多的解题策略有两种：一是据图形确定存在性，再列出方程，求解并检验方程的根．二是先认为关系存在，然后列出方程，再据方程的反推假设是否成立．而教师对真题进行延展派生时，可通过以下几个方面进行延展：（1）在原图中加一或多条辅助线，构成新图形，再求解新平面几何图形的面积；（2）改变面积比例求对应点坐标；（3）改变动点活动范围，例如当动点跑出函数外时；（4）求构成特殊图形时特殊点的坐标，例如直角三角形、等腰三角形、等边三角形、平行四边形、特殊的平行四边形等。

中考数学动点问题归纳总结2.动点与函数图象之面积问题

2.动点与函数图象之面积问题1.如图,在直角坐标系xOy 中,已知()0,1,0)A B ,以线段AB 为边向上作菱形ABCD ,且点D 在y 轴上．若菱形ABCD 以每秒2个单位长度的速度沿射线AB 滑行,直至顶点D 落在x 轴上时停止．设菱形落在x 轴下方部分的面积为S ,则表示S 与滑行时间t 的函数关系的图象为( ).A ．B ．C ．D ．答案：A解析：解：∵()0,1,0)A B ,∴1,OA OB ==2AB ∴===,∵tan 1OB BAO OA ∠=== 60BAO ∴∠=︒,∴菱形ABCD 的高为22⨯= ∵菱形ABCD 以每秒2个单位长度的速度沿射线AB 滑行,∴菱形沿y 轴方向滑落的速度为1,沿x ①点A 在x 轴上方时,落在x 轴下方部分是三角形,面积2122S t =⋅⋅=, ②点A 在x 轴下方,点C 在x 轴上方时,落在x 轴下方部分是梯形,面积1[(1)]22St t =-+=-, ③点C 在x 轴下方时,x 轴下方部分为菱形的面积减去x 轴上方部分的三角形的面积,2212t))22S t =⨯--=--, 纵观各选项,只有A 选项图形符合．故选A ．2.如图,AB 为半圆的直径,点P 为AB 上一动点,动点P 从点A 出发,沿AB 匀速运动到点B ,运动时间为t ,分别以AP 与PB 为直径做半圆,则图中阴影部分的面积S 与时间t 之间的函数图象大致为( ).A ．B ．C ．D ．答案：D解析：解：设P 点运动速度为v (常量),AB a = (常量),则,-AP vt PB a vt ==；则阴影面积222111)()()222222a vt a vt s πππ-=--（ 2222()444v t avt vavt tπππ-+==-+ 由函数关系式可以看出,D 的函数图象符合题意．故选D ．3.如图,在矩形ABCD 中,O 是对角线AC 的中点,动点,P Q 分别从点,C D 出发,沿线段,CB DC 方向匀速运动,已知,P Q 两点同时出发,并同时到达终点,B C ．连接,OP OQ ．设运动时间为t ,四边形OPCQ 的面积为S ,那么下列图象能大致刻画S 与t 之间的关系的是（）.A ．B ．C ．D ．答案：A解析：作OE BC ⊥于E 点,OF CD ⊥于F 点,如图,设,BCa ABb ==,点P 的速度为x ,点F 的速度为y , 则,CP xt DQ yt ==,所以,CQ b yt =-O Q 是对角线AC 的中点,OE OF ∴、分别是ACB ACD 、V V 的中位线,11,22OE b OF a ∴==, ,P Q Q 两点同时出发,并同时到达终点,a b x y∴=,即ay bx =, 1111()22221114441(0)4OCQ OCPS S S a b yt b xt ab ayt bxt a ab t x ∴=+=⋅-+⋅⋅=-+=<<V VS ∴与t 的函数图象为常函数,且自变量的范围为0a t x<<4.如图1,E 为矩形ABCD 边AD 上一点,点P 从点B 沿折线BE ED DC --运动到点C 时停止,点Q 从点B 沿BC 运动到点C 时停止,它们运动的速度都是1/cm s ．若,P Q 同时开始运动,设运动时间为(),t s BPQ V 的面积为()2y cm ．已知y 与t 的函数图象如图2,则下列结论错误的是（）.A ．6AE cm =B ．4sin 5EBC ∠= C ．当010t<≤时, 225y t = D ．当12t s =时,PBQ V 是等腰三角形答案：D解析：(1)结论A 正确,理由如下：分析函数图象可知,10,4BCcm ED cm ==, 故1046AE AD ED BC ED cm ====﹣﹣﹣.(2)结论B 正确,理由如下：如图,连接EC ,过点E 作EF BC ⊥于点F ,由函数图象可知,10BC BE cm ==114010522BEC S BC EF EF EF ==⋅⋅=⋅⋅=V 8EF ∴=,84sin 105EF EBC BE ∴∠===. (3)结论C 正确,理由如下：如图,过点P 作PG BQ ⊥于点G ,BQ BP t==Q 211142sin 22255BPQ y S BQ PG BQ BP EBC t t t ∴==⋅⋅=⋅⋅∠=⋅⋅⋅=V . (4)结论D 错误,理由如下：当12ts =时,点Q 与点C 重合,点P 运动到ED 的中点,设为N ,如图,连接,NB NC .此时8,2AN ND ==,由勾股定理求得：NB NC ==10,BC BCN =∴Q V 不是等腰三角形,即此时PBQ V 不是等腰三角形.故选D.5.如图,正方形ABCD 中,8AB cm = ,对角线AC BD 、相交于点O ,点E F 、分别从B C 、两点同时出发,以1/cm s 的速度沿BC CD 、运动,到点C D 、时停止运动,设运动时间为(),ts OEF V 的面积为()2s cm ,则()2s cm 与()t s 的函数关系可用图像表示为（）.A ．B ．C ．D ．答案：B解析：根据题意,8BE CF t CE t ===-,Q 四边形ABCD 为正方形,,45OB OC OBC OCD ∴=∠=∠=︒,Q 在OBE V 和OCF V中 OB OC OBE OCF BE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,()OBE OCF SAS ∴≌V V ,OBE OCF S S ∴=V V ,218164OBCOECF S S ∴==⨯=四边形V 2116(8)214162CEFOECF S S t t t t ∴-=--⋅=--四边形V21(4)8(08)2t t t =-+≤≤， ∴2()s cm与()t s 的函数图象为抛物线一部分,顶点为()4,8,自变量为08t ≤≤．6.正方形ABCD 的边长与等腰直角三角形PMN 的腰长均为4cm ,且AB 与MN 都在直线l 上,开始时点B 与点M 重合.让正方形沿直线向右平移,直到A 点与N 点重合为止,设正方形与三角形重叠部分的面积为()2ycm ，MB 的长度为()x cm ,则y 与x 之间的函数关系的图象大致是（）.A ．B ．C ．D ．答案：D解析：根据题意分析可得：正方形与三角形重叠部分的面积先越来越快的增大；当MB 的长度为4时,面积为8,取得最大值；随后,越来越快的减小,最后为0．7.如图,两个边长相等的正方形ABCD 和EFGH ,正方形EFGH 的顶点E 固定在正方形ABCD 的对称中心位置,正方形EFGH 绕点E 顺时针方向旋转,设它们重叠部分的面积为S ,旋转的角度为,S θ与θ的函数关系的大致图象是（）.A ．B ．C ．D ．答案：B解析：如图,过点E 作EM BC ⊥于点,M EN AB ⊥于点N ,Q 点E 是正方形的对称中心,EN EM ∴=,由旋转的性质可得NEK MEL ∠∠=,在Rt ENK V 和Rt EML V 中,NEK MEL EN EMENK EML ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩故可得ENK EML ≌V V ,即阴影部分的面积始终等于正方形面积的148.如图,A 点在半径为2的O e 上,过线段OA 上的一点P 作直线l ,与O e 过A 点的切线交于点B ,且60APB ∠︒=,设OP x =,则PAB V 的面积y 关于x 的函数图象大致是（）.A ．B ．C ．D ．答案：D解析：因为AB 切O e 于A ,所以90PAB ∠︒=在Rt PAB V 中,2,60AP x APB ∠︒=-=60,(2)AB tan AB x AP︒∴=-⋅=Q21(2)(2)22y x y x ∴=-=-且02x ≤<.9.矩形ABCD 中,8 , 6 AD cm AB cm ==.动点E 从点C 开始沿边CB 向点B以2 /cm s 的速度运动至点B 停止,动点F 从点C 同时出发沿边CD 向点D 以1 /cm s 的速度运动至点D 停止．如图可得到矩形CFHE ,设运动时间为x (单位：s ),此时矩形ABCD 去掉矩形CFHE 后剩余部分的面积为y (单位：2cm ),则y 与x 之间的函数关系用图象表示大致是下图中的（）.A ．B ．C ．D ．答案：A 解析：分两种情况讨论：当4x ≤时,2682248y x x x⨯+⨯=-=- ,此时函数的图象为抛物线的一部分,它的最上点是抛物线的顶点(0,48),最下点为(4,16),当46x <≤时,点E 停留在点B 处,故488y x =-,此时函数的图象为直线488y x =-的一部分,它的最上点为(4,16),最下点为(60)，．结合图象可选A.10.如图,在边长为4的正方形ABCD 中,动点P 从A 点出发,以每秒1个单位长度的速度沿AB 向B 点运动,同时动点Q 从B 点出发,以每秒2个单位长度的速度沿BC CD →方向运动,当P 运动到B 点时,P Q 、两点同时停止运动,设P 点运动的时间为,t APQ V 的面积为S ,则S 与t 的函数关系的图象是（）.A ．B ．C ．D ．答案：D 解析：当02t<≤时,P 点在AB 上,Q 点在BC 上,这时,,2AP t BQ t == ,2122S t t t ∴⨯⨯==当24t <≤时,P 点仍在AB 上,Q 点在CD 上,这时,AP t APQ=V 的边AP 上的高为4,1422S t t ∴⨯⨯==.11.如下图所示,半径为1的圆和边长为3的正方形在同一水平线上,圆沿该水平线从左向右匀速穿过正方形,设穿过时间为t ,正方形除去圆部分的面积为S (阴影部分),则S 与t 的大致图象为( )A ．B ．C ．D ．答案：A 解析：由图中可知：在开始的时候,阴影部分的面积最大,可以排除B,C 。

动点产生的面积问题

运动变化题是随着图形的某一元素的运动变化，导致问题的结论改变或者保持不变的几何题，它揭示了“运动”与“静止”、“一般”与“特殊”的内在联系．解题的关键是分清几何元素运动的方向和捷径，注意在运动过程中哪些是变量，哪些不是变量，通常要根据几何元素所处的不同位置加以分类讨论，同时，综合运用勾股定理、方程和函数等知识，本节课的内容涉及三角形、特殊的四边形的面积问题．本节主要是在函数背景下求三角形或四边形的面积问题，较复杂的题目可以采取“割补”的思想构造较简单的图形进行求解．动点产生的面积问题内容分析知识结构模块一：面积计算的问题知识精讲【例1】如图，已知直线l ：22y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点B 、C ，将直线y=x向上平移1个单位长度得到直线P A ，点Q 是直线P A 与y 轴的交点，求四边形PQOB 的面积．【难度】★★ 【答案】【解析】【例2】如图，已知直线AB ：2y x =+与直线OA ：13y x =交于点A ，与直线OB ：3y x =交于点B 两点．求△AOB 的面积．【难度】★★ 【答案】【解析】例题解析【例3】如图，已知直线3y x =+的图像与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，直线l 经过原点，与线段AB 交于点C ，把△AOB 的面积分为2：1两部分，求直线l 的解析式．【难度】★★ 【答案】【解析】【例4】如图，已知，在矩形ABCD 中，AB =10，BC =12，四边形EFGH 的三个顶点E 、F 、H 分别在矩形ABCD 边AB 、BC 、DA 上，AE =2．（1）如图1，当四边形EFGH 为正方形时，求△GFC 的面积；（2）如图2，当四边形EFGH 为菱形，且BF =a 时，求△GFC 的面积．（用含a 的代数式表示）【难度】★★★ 【答案】【解析】A B CDE F 图1GHABCDE F 图2GH【例5】如图1，正方形ABCD 的边长为2，点A (0， 1)和点D 在y 轴正半轴上，点B 、C 在第一象限，一次函数y ＝kx ＋2的图像l 交AD 、CD 分别于E 、F ．（1）若△DEF 与△BCF 的面积比为1∶2，求k 的值；（2）联结BE ，当BE 平分∠FBA 时，求k 的值．【难度】★★★ 【答案】【解析】【例6】如图，在平面直角坐标系中，函数y ＝2x ＋12的图像分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，过点A 的直线交y 轴正半轴于点M ，且点M 为线段OB 的中点．（1）求直线AM 的表达式；（2）试在直线AM 上找一点P ，使得S △ABP ＝S △AOB ，请求出点P 的坐标；（3）若点H 为坐标平面内任意一点，是否存在点H ，使以A 、B 、M 、H 为顶点的四边形是等腰梯形?若存在，请直接写出点H 的坐标；若不存在，请说明理由．【难度】★★★ 【答案】【解析】【例7】如图1，已知直角坐标平面内点A (2, 0)，P 是函数y ＝x （x ＞0）图像上一点，PQ ⊥AP 交y 轴正半轴于点Q ．（1）试证明：AP ＝PQ ；（2）设点P 的横坐标为a ，点Q 的纵坐标为b ，那么b 关于a 的函数关系式是_______；（3）当S △AOQ ＝23S △APQ 时，求点P 的坐标．【难度】★★★ 【答案】【解析】本节主要研究点在运动的背景下，产生的面积与动点之间的关系，关键点是找出决定这个面积变化的几个量是怎样变化的，重点在于思维能力的培养，难度较大．模块二：与面积相关的函数解析式知识精讲【例8】如图，矩形ABCD 中，AB =1，AD =2，M 是CD 的中点，点P 在矩形的边上沿A B C M →→→运动，试写出△APM 的面积y 与点P 经过的路程x 之间的函数关系，写出定义域，并画出函数图像．【难度】★★ 【答案】【解析】【例9】如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ，AB ＝CD ＝AD ＝5cm ，BC ＝11cm ，点P 从点D 出发沿DA 边以每秒1cm 的速度移动，点Q 从点B 出发沿BC 边以每秒2cm 的速度移动（当点P 到达点A 时，点P 与点Q 同时停止移动），假设点P 移动的时间为x （秒），四边形ABQP 的面积为y （cm 2）．（1）求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；（2）在移动的过程中，求四边形ABQP 的面积与四边形QCDP 的面积相等时x 的值；（3）在移动过程中，是否存在x 使得PQ ＝AB ，若存在，求出所有的x 的值；若不存在，请说明理由．【难度】★★ 【答案】【解析】例题解析BAB CDMP【例10】已知：如图1，在线段AE的同侧作正方形ABCD和正方形BEFG（BE＜AB），连结EG并延长交DC于点M，作MN⊥AB，垂足为N，MN交BD于P．设正方形ABCD的边长为1．（1）证明：△CMG≌△NBP；（2）设BE＝x，四边形MGBN的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）如果按照题设方法作出的四边形BGMP是菱形，求BE的长．【难度】★★★【答案】【解析】【例11】已知：在梯形ABCD中，AD//BC，∠B＝90°，AB＝BC＝4，点E在边AB 上，CE＝CD．（1）如图1，当∠BCD为锐角时，设AD＝x，△CDE的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出函数的定义域；（2）当CD＝5时，求△CDE的面积．【难度】★★★【答案】【解析】AB CDEA BCDEFGPMN【例12】如图1，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为（3,0），（0,1），点D是线段BC 上的动点（与端点B 、C 不重合），过点D 作直线12y x m =-+交折线OAB 于点E ．（1）当点E 恰为AB 中点时，求m 的值；（2）当点E 在线段OA 上，记△ODE 的面积为y ，求y 与m 的函数关系式并写出定义域；（3）当点E 在线段OA 上时，若矩形OABC 关于直线DE 的对称图形为四边形O 1A 1B 1C 1，试判断四边形O 1A 1B 1C 1与矩形OABC 的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，写出该重叠部分的面积；若改变，写出重叠部分面积S 关于m 的函数关系式．【难度】★★★ 【答案】【解析】【例13】如图1，在正方形ABCD 中，点E 在边AB 上（点E 与点A 、B 不重合），过点E 作FG ⊥DE ，FG 与边BC 相交于点F ，与边DA 的延长线相交于点G ．（1）当E 是AB 中点时，求证AG ＝BF ；（2）当E 在边AB 上移动时，观察BF 、AG 、AE 之间具有怎样的数量关系?并证明你所得到的结论；（3）联结DF ，如果正方形的边长为2，设AE ＝x ，△DFG 的面积为y ，求y 与x 之间的函数解析式，并写出函数的定义域．【难度】★★★ 【答案】【解析】xA BCD EFG【例14】如图1，梯形ABCD 中，AD //BC ，∠B ＝90°，AD ＝18，BC ＝21．点P 从点A 出发沿AD 以每秒1个单位的速度向点D 匀速运动，点Q 从点C 沿CB 以每秒2个单位的速度向点B 匀速运动．点P 、Q 同时出发，其中一个点到达终点时两点停止运动，设运动的时间为t 秒．（1）当AB ＝10时，设A 、B 、Q 、P 四点构成的图形的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式，并写出定义域；（2）设E 、F 为AB 、CD 的中点，求四边形PEQF 是平行四边形时t 的值．【难度】★★★ 【答案】【解析】【例15】如图1，在菱形ABCD 中，∠B ＝45°，AB ＝4．左右作平行移动的正方形EFGH 的两个顶点F 、G 始终在边BC 上．当点G 到边BC 中点时，点E 恰好在边AB 上．（1）如图1，求正方形EFGH 的边长；（2）设点B 与点F 的距离为x ，在正方形EFGH 作平行移动的过程中，正方形EFGH 与菱形ABCD 重叠部分的面积为y ，求y 与x 的函数解析式，并写出它的定义域；（3）联结FH 、HC ，当△FHC 是等腰三角形时，求BF 的长．【难度】★★★ 【答案】【解析】ABCDE PAQ 图1备用图HAB C DEF G【例16】如图1，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，四边形OABC 是矩形．A (0，4)，C (5， 0)，点D 是y 轴正半轴上一点，将四边形OABC 沿着过点D 的直线翻折，使得点O 落在线段AB 上的点E 处．过点E 作y 轴的平行线与x 轴交于点N ．折痕与直线EN 交于点M ，联结DE 、OM . 设OD ＝t ，MN ＝s ．（1）试判断四边形EDOM 的形状，并证明；（2）当点D 在线段OA 上时，求s 关于t 的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）用含t 的代数式表示四边形EDOM 与矩形OABC 重叠部分的面积．【难度】★★★ 【答案】【解析】【例17】已知：如图1，梯形ABCD 中，AD //BC ，∠A ＝90°，∠C ＝45°，AB ＝AD ＝4．E 是直线AD 上一点，联结BE ，过点E 作EF ⊥BE 交直线CD 于点F ．联结BF ．（1）若点E 是线段AD 上一点（与点A 、D 不重合），（如图1所示） ①求证：BE ＝EF ；②设DE ＝x ，△BEF 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出此函数的定义域；（2）直线AD 上是否存在一点E ，使△BEF 是△ABE 面积的3倍，若存在，直接写出DE 的长，若不存在，请说明理由．【难度】★★★ 【答案】【解析】AB DEFABCD图1备用图备用图ABCD【例18】如图，已知正方形ABCD的边长为3，菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在正方形的边AB、CD、DA上，AH＝1，联结CF．（1）当DG＝1时，求证菱形EFGH为正方形；（2）设DG＝x，△FCG的面积为y，写出y关于x的函数解析式，并指出x的取值范围；（3）当DGGHE的度数．【难度】★★★【答案】【解析】A BCDEFGH【例19】已知：如图，四边形OABC的四个顶点坐标分别为O(0，0)，A(8，0)，B(4，4)，C(0，4)，直线l：y＝x＋m保持与四边形OABC的边交于点M、N（M 在折线AOC上，N在折线ABC上）．设四边形OABC在l右下方部分的面积为S1，在l左上方部分的面积为S2，记S＝S1－S2（S≥0）．（1）求∠OAB的大小；（2）当M、N重合时，求l的解析式；（3）当m≤0时，线段AB上是否存在点N，使得S＝0?若存在，求m的值；若不存在，请说明理由；（4）求S与m的函数关系式．【难度】★★★【答案】【解析】x【例20】在边长为4的正方形ABCD 中，点O 是对角线AC 的中点，P 是对角线AC上一动点，过点P 作PF ⊥CD 于点F ，作PE ⊥PB 交直线CD 于点E ，设P A =x ，PCE S y =△．（1）求证：DF =EF ；（2）当点P 在线段AO 上时，求y 关于x 的函数关系式及自变量x 的取值范围；（3）点P 在运动过程中能否使△PEC 为等腰三角形?如果能，请直接写出P A 的长；如果不能，请简单说明理由．【难度】★★★ 【答案】【解析】【习题1】如图，直线443y x =-+与y 轴交于点A ，与直线4455y x =+交于点B ，且直线4455y x =+与x 轴交于点C ，求△ABC 【难度】★★ 【答案】【解析】随堂检测ABCD E F P O【习题2】已知直线2y x=-+与x轴、y轴分别交于A点和B点，另一条直线(0)y kx b k=+≠经过点C（1，0），且把△AOB分成两部分．若△AOB被分成的两部分面积比为1：5，求k和b的值．【难度】★★★【答案】【解析】【习题3】直线364y x=-+与坐标轴分别交与点A、B两点，点P、Q同时从O点出发，同时到达A点，运动停止．点Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿O B A→→运动．（1）直接写出A、B两点的坐标；（2）设点Q的运动时间为t秒，△OPQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系；（3）当485S=时，求出点P的坐标，并直接写出以点O、P、Q为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标．【难度】★★★【答案】【解析】【习题4】如图，已知：过点A （8，0）、B （0，y =交于点C ，平行于y 轴的直线l 从原点O 出发，以每秒1个单位长度的速度沿x 轴向右平移，到C 点时停止；l 分别交线段BC 、OC 于点D 、E ，以DE 为边向左侧作等边△DEF ，设△DEF 与△BCO 重叠部分的面积为S （平方单位），直线l 的运动时间为t （秒）．（1）写出点C 的坐标和t 的取值范围；（2）求s 与t 的函数关系式．【难度】★★★ 【答案】【解析】【作业1】如图，已知直线P A ：(0)y x n n =+>与直线PB ：2()y x m m n =-+>交于点P ．（1）用m 、n 表示出A 、B 、P 点的坐标；（2）若点Q 是直线P A 与y 轴的交点，且四边形PQOB 的面积56，AB=2，试求点P 的坐标，并写出直线P A 与PB 的解析式．【难度】★★ 【答案】【解析】课后作业【作业2】如图所示，直线y kx b =+的截距为6，该直线分别交x 轴、y 轴于E 、F ，点E 的坐标为（－4，0）．（1）求直线y kx b =+的表达式；（2）若点P （x ，y ）是该直线第二象限上的一个动点，P A ⊥x 轴，PB ⊥y 轴，垂足分别为点A 、B ，试求四边形OAPB 的面积S 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．【难度】★★★ 【答案】【解析】【作业3】如图，已知：直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠A =90°，AB =6，AD =4，DC =3，点P 从点A 出发，沿ADCB 方向移动，动点Q 从点A 出发，在AB 边上移动，设点P 移动的路程为x ，点Q 移动的路程为y ，线段PQ 平分梯形ABCD 的周长．（1）求y 关于x 的函数解析式，并写出x 和y 的取值范围；（2）当P 不在BC 边上时，线段PQ 能否平分ABCD 的面积?若能，求出此时x 的值；若不能，说明理由．【难度】★★★ 【答案】【解析】ABCDP Q【作业4】如图，在平面直角坐标系中，两个函数162y x y x==-+，的图像交于点A，动点P从点O开始在线段O向点A方向以每秒1个单位的速度运动，作PQ∥x 轴交直线BC于点Q，以PQ为一边向下作正方形PAMN，设它与△ABO重叠部分的面积为S．（1）求点A的坐标；（2）试求出点P在线段OA上运动时，S与运动的时间t（秒）的关系式．【难度】★★★【答案】【解析】。

中考数学复习之因动点产生的面积问题解题策略

因动点产生的面积问题解题策略一.解题策略解读:面积的存在性问题常见的题型和解题策略有两类:图1 图2 图3 计算面积常用到的策略还有:图4 图5 图6例1.已知抛物线y=mx2+(1-2m)x+1-3m与x轴交于不同的两点A、 B.(1) 求m的取值范围;(2) 证明该抛物线一定经过非坐标轴上的一点P,并求出点P的坐标;(3) 当<m≤8时,由(2)求出的点P和点A、 B构成的△ABP的面积是否有最值,若有,求出最值及相应的m的值;若没有,请说明理由.思路:1. 已知的抛物线的解析式可以因式分解的,抛物线过x轴上的定点(-1, 0).2. 第(2)题分两步,先对m赋予两个不同的值,联立求方程组的解,再验证这个点是确定的.3. 第(3)题中△ABP的高为定值,点A为定点,求△ABP的最大面积,其实就是求点B的横坐标的最大值.例2.问题提出(1) 如图1,已知△ABC,请画出△ABC关于直线AC对称的三角形.问题探究(2) 如图2,在矩形ABCD中,AB=4, AD=6, AE=4, AF=2.是否在边BC、CD上分别存在点G、 H,使得四边形EFGH的周长最小?若存在,求出它周长的最小值;若不存在,请说明理由.问题解决(3) 如图3,有一块矩形板材ABCD, AB=3米, AD=6米,现想从此板材中截出一个面积尽可能大的四边形EFGH部件,使∠EFG=90°,米,∠EHG=45°.经研究,只有当点E、 F、 G分别在边AD、 AB、 BC上时,且AF<BF,并满足点H在矩形ABCD内部或边上时,才有可能截出符合要求的部件.试问能否截得符合要求的面积尽可能大的四边形EFGH部件?若能,求出截得的四边形EFGH 部件的面积;若不能,请说明理由.图1 图2 图3思路:1. 第(2)题的模型是“打台球”两次碰壁问题,依据光的反射原理.2. 第(3)题需先设AF的长并求解,再验证点H在矩形内部,然后计算面积.例3.如图1,在平面直角坐标系中,矩形OCDE的顶点C和E分别在y轴的正半轴和x轴的正半轴上,OC=8, OE=17.抛物线y=x2-3x+m与y轴交于点A,抛物线的对称轴与x轴交于点B,与CD交于点K.(1) 将矩形OCDE沿AB折叠,点O恰好落在边CD上的点F处.①求点F的坐标;②请直接写出抛物线的函数表达式;(2) 将矩形OCDE沿着经过点E的直线折叠,点O恰好落在边CD上的点G处,连结OG,折痕与OG交于点H,点M是线段EH上的一个动点(不与点H重合),连结MG, MO,过点G作GP⊥OM于点P,交EH于点N,连结ON.点M从点E开始沿线段EH向点H运动,至与点N重合时停止,△MOG和△NOG的面积分别表示为S1和S2,在点M的运动过程中,S1·S2(即S1与S2的积)的值是否发生变化?若变化,请直接写出变化的范围;若不变,请直接写出这个值.温馨提示: 考生可以根据题意,在备用图中补充图形,以便作答.图1 备用图思路:1. 第(1)题中点F的位置是由A、 B两点确定的,A、 B两点的坐标都隐含在抛物线的解析式中.2. 第(2)题思路在画示意图过程中,点G是关键点.以E为圆心,EO为半径画弧,交CD于点G.例 4.如图,已知平行四边形ABCD的三个顶点A(n, 0)、 B(m, 0)、 D(0,2n)(m>n>0),作平行四边形ABCD关于直线AD的对称图形AB1C1 D.(1) 若m=3,试求四边形CC1B1B面积S的最大值;(2) 若点B1恰好落在y轴上,试求的值.思路:1. 第(1)题先说理再计算,说理四边形CC1B1B是矩形.2. 第(2)题根据AB1=AB列关于m、 n的方程,整理就可以得到m与n的关系.例5.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=-x2+bx+c经过点A(3, 0)和点B(2, 3),过点A的直线与y轴的负半轴相交于点C,且tan∠CAO=.(1) 求这条抛物线的表达式及对称轴;(2) 连结AB、 BC,求∠ABC的正切值;(3) 若点D在x轴下方抛物线的对称轴上,当S△ABC =S△ADC时,求点D的坐标.解析:1. 直觉告诉我们,△ABC是直角三角形.2. 第(3)题的意思可以表达为: B、 D在直线AC的两侧,到直线AC的距离相等.于是我们容易想到,平行线间的距离处处相等.例6.如图,半圆O的直径AB=10,有一条定长为6的动弦CD在弧AB上滑动(点C、D分别不与点A、 B重合),点E、 F在AB上,EC⊥CD, FD⊥CD.(1) 求证:EO=FO;(2) 连结OC,如果△ECO中有一个内角等于45°,求线段EF的长;(3) 当动弦CD在弧AB上滑动时,设变量CE=x,四边形CDFE的面积为S,周长为l,问:S与l是否分别随着x变化而变化?试用所学过的函数知识直接写出它们的函数解析式及函数定义域,以说明你的结论.思路:1. 用垂径定理和平行线等分线段定理证明点O是EF的中点.2. 第(2)题的△ECO中,∠ECO是定值,45°的角分两种情况.3. 第(3)题用x表示OE的长,在△ECO中,∠ECO是定值.例7.直线y=2x+m与抛物线y=ax2+ax+b都过点M(1, 0),且a<b.(1) 求抛物线顶点Q的坐标(用含a的式子表示);(2) 试说明抛物线与直线有两个交点;(3) 设抛物线与直线的另一个交点为N.①若-1≤a≤-时,求MN的取值范围;②求△QMN的面积最小值.思路:1. 将M(1, 0)分别代入直线和抛物线的解析式,可以确定m的值,用a表示b.2. 联立直线与抛物线的解析式,消去y,得到关于a的一元二次方程,判断Δ>0.3. 第(3)题①,分别求a=-1和a=-时直线与抛物线的交点M、 N的坐标,再求MN的长,两个MN的长,就是MN的取值范围的两端值.例8.已知Rt△EFP和矩形ABCD如图1摆放(点P与点B重合),点F、 B(P)、 C 在同一直线上,AB=EF=6cm, BC=FP=8cm, ∠EFP=90°.如图2, △EFP从图1位置出发,沿BC方向匀速运动,速度为1cm/s, EP与AB交于点G;同时,点Q从点C出发,沿CD方向匀速运动,速度为1cm/s.过点Q作QM⊥BD,垂足为H,交AD于点M,连结AF、 PQ.当点Q停止运动时,△EFP也停止运动.设运动时间为t(s)(0<t<6).解答下列问题:(1) 当t为何值时,PQ∥BD?(2) 设五边形AFPQM的面积为y(cm2),求y与t之间的函数关系式;(3) 在运动过程中,是否存在某一时刻t,使S五边形AFPQM ∶S矩形ABCD=9∶8?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由;(4) 在运动过程中,是否存在某一时刻t,使点M在线段PG的垂直平分线上?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.图1 图2思路:1. 把线段BP、 PC、 CQ、 DQ的长用t表示出来.再把线段BG、 DM的长用t表示出来.2. 用割补法求五边形AFPQM的面积,等于直角梯形减去两个直角三角形的面积.3. 第(3)题用第(2)题的结果,直接解方程就可以了.4. 第(4)题是根据MP2=MG2列方程,需要构造以MP为斜边的直角三角形.例9.如图1,在平面直角坐标系中,过原点O及点A(8, 0)、 C(0, 6)作矩形OABC,连结OB,点D为OB的中点,点E是线段AB上的动点,连结DE,作DF⊥DE,交OA于点F,连结EF.已知点E从点A出发,以每秒1个单位长度的速度在线段AB上移动,设移动时间为t秒.(1) 如图1,当t=3时,求DF的长;(2) 如图2,当点E在线段AB上移动的过程中,∠DEF的大小是否发生变化?如果变化,请说明理由;如果不变,请求出tan∠DEF的值;(3) 连结AD,当AD将△DEF分成的两部分的面积比为1∶2时,求相应的t的值.图1 图2思路;1. 作DM⊥AB于M, DN⊥OA于N,那么△NDF与△MDE的相似比为3∶4.2. 面积比为1∶2要分两种情况讨论.把面积比转化为两个同高三角形底边的比.3. 过点E作OA的平行线,构造“8字型”相似,这样就把底边的比利用起来了.例10.如图1,二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、 B两点,与y轴交于点C, OB=OC.点D在函数图象上,CD∥x轴,且CD=2,直线l是抛物线的对称轴,E是抛物线的顶点.(1) 求b、 c的值;(2) 如图1,连结BE,线段OC上点F关于直线l的对称点F'恰好在线段BE上,求点F的坐标;(3) 如图2,动点P在线段OB上,过点P作x轴的垂线分别与BC交于点M,与抛物线交于点N.试问:抛物线上是否存在点Q,使得△PQN与△APM的面积相等,且线段NQ的长度最小?如果存在,求出点Q的坐标;如果不存在,说明理由.图1 图2思路：1. 由已知抛物线的解析式可得C(0, c),再用c表示B、 D两点的坐标,然后将B、 D代入抛物线的解析式列关于b、 c的方程组.2. 第(2)题: 通过点C、 F分别与点D、 F'关于直线l对称,得到点F'是BE的中点,从而求得点F的坐标.3. 第(3)题: 设点P的横坐标为m,用m表示点M、 N的坐标,进而用m表示线段PM、 PN、 PA的长,根据两个三角形的面积相等,求出PN边上的高QH.最后讨论NQ与QH的关系.例11.如图,在平面直角坐标系中,直线y=12x+2与x 轴交于点A,与y 轴交于点C.抛物线y=-x 2+bx+c 经过A 、 C 两点,与x 轴的另一个交点为点B.(1) 求抛物线的函数表达式;(2) 点D 为直线AC 上方抛物线上一动点.① 连结BC 、 CD.设直线BD 交线段AC 于点E, △CDE 的面积为S 1, △BCE 的面积为S 2,求 12S S 的最大值; ② 过点D 作DF ⊥AC,垂足为F,连结CD.是否存在点D,使得△CDF 中的某个角恰好等于∠BAC 的2倍?若存在,求出点D 的坐标;若不存在,请说明理由.图1 备用图思路： 1. △CDE 与△BCE 是同高三角形,面积比等于底边的比.构造“8字型”,把底边的比转化为竖直线段的比.2. 第(3)题的第一种情况∠DCF=2∠BAC,过点C 作x 轴的平行线,通过内错角相等,再作轴对称的角,很容易找到点D 的位置.3. 第(3)题的第二种情况∠CDF=2∠BAC,先要探求2∠BAC的大小(正切值),如果这一步探究不出来,基本上进行不下去.例12.已知Rt△OAB，∠OAB=90°，∠ABO=30°，斜边OB=4，将Rt△OAB绕点O 顺时针旋转60°，如题图1，连接BC.（1）填空：∠OBC= ;（2）如图1，连接AC，作OP⊥AC，垂足为P，求OP的长度；（3）如图2，点M，N同时从点O出发，在△OCB边上运动，M沿O→C→B路径匀速运动，N沿O→B→C路径匀速运动，当两点相遇时运动停止，已知点M的运动速度为1.5单位/秒，点N的运动速度为1单位/秒，设运动时间为x秒，△OMN 的面积为y，求当x为何值时y取得最大值？最大值为多少？思路：（1）由旋转的性质可以证明△OBC是等边三角形，从而可得∠OBC的度数；（2）求出△AOC的面积，利用三角形的面积公式计算即可；（3）分三种情形讨论求解即可解决问题：①当0＜x≤83时，M在OC上运动，N在OB上运动，此时过点N作NE⊥OC且交OC于点E，利用面积公式表示出△OMN的面积（y值）；②当8 3＜x≤4时，M在BC上运动，N在OB上运动．作MH⊥OB于H，利用∠CBO=60°表示出MH，再利用面积公式表示出△OMN的面积（y值）；③当4＜x≤4.8时，M、N都在BC上运动，作OG⊥BC于G，易求OG，再利用面积公式表示出△OMN的面积（y值），最后分别求出三种情况下面积最大值，从而求出整个运动过程中y的最大值．例13. 在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c=++交x轴于A、B两点，交y轴于点C（0，43-），OA=1，OB=4，直线l过点A，交y轴于点D，交抛物线于点E，且满足tan∠OAD=34.（1）求抛物线的解析式；（2）动点P从点B出发，沿x轴正方向以每秒2个单位长度的速度向点A运动，动点Q从点A出发，沿射线AE以每秒1个单位长度的速度向点E运动，当点P运动到点A时，点Q也停止运动，设运动为t秒.①在P、Q的运动过程中，是否存在某一时刻t，使得△ADC与△PQA相似，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；②在P、Q的运动过程中，是否存在某一时刻t，使得△APQ与△CAQ的面积之和最大？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.思路：本题是代数几何综合题，以平面直角坐标系为背景，考查了求二次函数解析式，二次函数的性质，，方程组的解法，几何图形面积的表示，相似三角形的判定与性质，分类讨论思想，三角形的面积的最值问题，综合性强，难度大，解题的关键是需要学生有良好的运算能力及分析问题和解决问题的能力，还得富有耐心．（1）利用A、B、C三点的坐标确定二次函数的解析式．（2）利用题目的已知条件表示出相关线段的长，①中利用三角函数值探索出∠PAQ=∠ACD，再根据题目中的要求使得△ADC与△PQA相似，进行分类讨论得到对应线段成比例，列出关于t的方程求解即可；②直接利用三角形的面积公式列出△APQ与△CAQ 的面积之和与时间t之间的函数关系式，再将所得的二次函数的解析式配方确定最值即可得到答案.。

2和因动点产生的面积问题

由动点形生成的面积问题面积是平面几何中一个重要的概念，关联着平面图形中的重要元素边与角，由动点而生成的面积问题，是抛物线与直线形结合的觉形式，解决这类问题常用到以下与面积相关的知识（1）图形的割补 (2)等积变形（3）等比转化1：将直角边长为6的等腰Rt △AOC 放在如图所示的平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，点C 、A 分别在x 、y 轴的正半轴上，一条抛物线经过点A 、C 及点B (–3，0)．(1)求该抛物线的解析式；(2)若点P 是线段BC 上一动点，过点P 作AB 的平行线交AC 于点E ，连接AP ，当△APE 的面积最大时，求点P 的坐标；(3)在第一象限内的该抛物线上是否存在点G ，使△AGC 的面积与（2）中△APE的最大面积相等?若存在，请求出点G 的坐标；若不存在，请说明理由2 如图，已知二次函数图像的顶点坐标为（2，0），直线1+=x y 与二次函数的图像交于A 、B 两点，其中点A在y 轴上。

（1）二次函数的解析式为y= ；（2）证明点)12,(--m m 不在（1）中所求的二次函数的图像上；（3）若C 为线段AB 的中点，过C 点作x CE ⊥轴于E 点，CE 与二次函数的图像交于D 点。

①y 轴上存在点K ，使以K 、A 、D 、C 为顶点的四边形是平行四边形，则K 点的坐标是； ②二次函数的图像上是否存在点P ，使得ABD POE S S ∆∆=2？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由。

3、如图，在直角坐标平面内，O 为坐标原点，A 点的坐标为（1，0），B 点在x 轴上且在点A 的右侧，AB ＝OA ，过点A 和B 作x 轴的垂线分别交二次函数y ＝x 2的图象于点C 和D ，直线OC 交BD 于M ，直线CD 交y 轴于点H 。

记C 、D 的横坐标分别为x C ，x D ，点H 的纵坐标y H 。

（1）证明：①S △CMD ∶S 梯形ABMC ＝2∶3 ②x C ·x D ＝－y H（2）若将上述A 点坐标（1，0）改为A 点坐标（t ，0），t ＞0，其他条件不变，结论S △CMD ：S 梯形ABMC ＝2∶3是否仍成立？请说明理由。

由动点引出的几种面积问题(含答案)

专题9：由动点引出的几种面积问题动点题是近年来中考的一个热点问题也是难点问题，而因动点产生的面积问题是这类题目考查的重点. 解这类题目要掌握几个基本图形及思路，而后“以静制动”、“转化求解”. 即把动态问题变为静态问题，变为我们所熟知的模型来解。

基本模型一利用“铅垂高、水平宽”求三角形面积.面积公式：S =12ah 基本模型二CABD其中：:ACD BCD S S AD BD =△△：，:ACD BCA S S AD BA =△△：基本模型三OB()12AOB ACB AOBC S S S a h OA =+=+△△四边形类型一、一次函数由动点问题引出的面积问题例1. 如图例1-1，在平面直角坐标系中，直线121y x =+和直线2443y x =-+交于点A . 直线y n =从x 轴出发以每秒2个单位的速度向上运动，至通过A 点时停止. 在运动过程中，直线y n =分别交y 1、y 2两条直线于C 、B 两点，交y 轴于点D . 连接OC 、OB .（1）设运动时间为t （s ），求t 的取值范围.（2）求出△OBC 的面积S 与t 的函数关系式，并求出S 的最大值及此时n 的值.y=n类型二、二次函数由动点问题引出的面积问题例2. 如图例2-1，二次函数y =ax 2+bx +c 的图像与x 轴的交点为A 、D (A 在D 的右侧），与y 轴的交点为C ，且A (4，0)，C (0，－3)，对称轴是直线x =1． (1)求二次函数的解析式；(2)若M 是第四象限抛物线上一动点，且横坐标为m ，设四边形OCMA 的面积为S ．请写出S 与m 之间的函数关系式，并求出当m 为何值时，四边形OCMA 的面积最大.图例2-1图例2-2类型三、反比例函数由动点问题引出的面积问题例3. 如图例3-1，直线y＝2x＋6与反比例函数kyx(k＞0)的图象交于点A(1，m)，与x轴交于点B，平行于x轴的直线y＝n(0＜n＜6)交反比例函数的图象于点M，交AB于点N，连接BM.(1)求m的值和反比例函数的表达式；(2)直线y＝n沿y轴方向平移，当n为何值时，△BMN的面积最大？图例3-1类型四、利用三角函数求解由动点问题引出的面积问题例4. 如图例4-1，在矩形OABC中，点O为原点，边OA的长度为8，对角线AC＝10，抛物线y ＝－49x 2＋bx ＋c 经过点A 、C ，与AB 交于点D .(1)求抛物线的解析式；(2)点P 为线段BC 上一个动点(不与点C 重合)，点Q 为线段AC 上一个动点，AQ ＝CP ，连接PQ ，设CP ＝m ，△CPQ 的面积为S . 求S 关于m 的函数表达式并求出S 最大时的m 值.图例4-1.类型五、由动点问题引出的面积存在性问题例5. 如图例5-1，在平面直角坐标系中，△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC =90°，A （1，0），B （0，2），C （3，1）抛物线2122y x bx =+-的图象过C 点，交y 轴于点D ．（1）在后面的横线上直接写出点D 的坐标及b 的值：，b = ；（2）平移该抛物线的对称轴所在直线l ，设l 与x 轴交于点G （x ，0），当OG 等于多少时，恰好将△ABC的面积分为相等的两部分？AOxyBCGF H E图例5-1 图例5-2类型六、利用转化思想解决由动点问题引出的面积问题如图例6-1，在平面直角坐标系中，抛物线24 5y ax x c=++与直线2255y x=--交于A、B两点，已知点B的横坐标是4，直线2255y x=--与x、y轴的交点分别为A、C，点P是抛物线上一个动点.（1）求抛物线的解析式；（2）若点P在直线2255y x=--上方，求△P AC的最大面积.OxyPACBGEH 图例6-1专题9：由动点引出的几种面积问题动点题是近年来中考的一个热点问题也是难点问题，而因动点产生的面积问题是这类题目考查的重点. 解这类题目要掌握几个基本图形及思路，而后“以静制动”、“转化求解”. 即把动态问题变为静态问题，变为我们所熟知的模型来解。

二次函数动点问题专题

二次函数动点问题专题一、因动点产生的面积问题1、如图，抛物线与x轴交与A(1,0),B(- 3，0)两点，（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由. （3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？，若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值.若没有，请说明理由.cbxxy++-=2ABC2、如图，抛物线y=12x2+b x-2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（-1,0）。

（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；（3）点M（m，0）是x轴上一个动点，当CM+DM的值最小时，求m的值；（4）点P为直线BC下方抛物线上一动点，问当P在什么位置时，四边形ACPB 的面积最大，求出此时的P点坐标及最大面积。

3．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于A、B 两点，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，－3）点，点P是直线BC下方抛物线上的动点．（1）求这个二次函数表达式；（2）连接PO、PC，并将△POC沿y轴对折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使得四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．4、（2015中大附中一模）如图，已知抛物线c bx ax y ++=2过点A （6，0），B （－2，0），C （0，－3）．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点H 是该抛物线第四象限的任意一点，求四边形OCHA 的最大面积；（3）若点Q 在y 轴上，点G 为该抛物线的顶点，且∠GQA =45º，求点Q 的坐标．5、（2016•越秀区一模）如图，已知抛物线y=x 2﹣（m +3）x +9的顶点C 在x 轴正半轴上，一次函数y=x +3与抛物线交于A 、B 两点，与x 、y 轴分别交于D 、E 两点．（1）求m 的值；（2）求A 、B 两点的坐标；（3）当﹣3＜x ＜1时，在抛物线上是否存在一点P ，使得△PAB 的面积是△ABC 面积的2倍？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．二、因动点产生的等腰三角形存在性问题1、已知：如图抛物线a x x y +-=421过点A （0,3），抛物线1y 与抛物线2y 关于y 轴对称，抛物线2y 的对称轴交x 轴于点B ，点P 是x 轴上的一个动点，点Q 是第四象限内抛物线1y 上的一点。

二次函数--由动点生成面积问题

二次函数--由动点生成面积问题二次函数是数学中重要的一个概念，它描述了一类以二次项为主导的多项式函数。

而这篇文章将重点探讨一个有趣的问题：如何由动点生成二次函数并应用于面积问题。

首先，我们需要了解什么是动点。

动点是平面上一个不固定的点，它的位置随着时间的推移而变化。

在二维平面上，我们通常用坐标系来描述动点的位置，其中x轴和y轴代表两个独立的变量。

考虑以下问题：假设我们有一条规定的直线，上面有两个动点A和B，它们沿着直线运动。

我们假设初始时刻A和B分别位于直线的两个不同的点，运动速度相同且方向相反。

我们还假设直线是垂直于x轴的。

为了简化问题，我们将直线的方程表示为 y = kx + b，其中 k 是直线的斜率，b 是 y 轴的截距。

此外，我们假设 A 和 B 分别运动的距离为 d1 和 d2，而 d1 和 d2 的长度相等。

我们的目标是通过动点A和B的运动来生成一个面积问题，并进一步将其转化为二次函数。

为了实现这一目标，我们需要引入一个新的点C，它是动点A和B的垂直平分线上的一个固定点。

通过仔细观察，我们可以发现三角形ABC的两条边的长度与动点A和B的距离之间存在一定的关系。

假设三角形ABC的高度为h，底边的长度为b，同时A和B分别位于底边的两个端点。

根据数学原理，我们可以通过两个已知长度和一个夹角来计算一个三角形的面积。

那么如何计算三角形ABC的面积呢？首先，我们可以根据两个动点A和B的运动距离d1和d2来计算出三角形底边的长度b。

由于d1和d2的长度相等，我们可以将它们的和除以2来得到b的长度。

即b=(d1+d2)/2接下来，我们需要确定三角形ABC的高度h。

由于点C是动点A和B的垂直平分线上的一个固定点，因此我们可以用坐标系来表示其位置。

假设点C的坐标为(x0,y0)。

由于点C是动点A和B的垂直平分线的交点，因此动点A在以点C为圆心的圆上运动。

同样地，动点B也在以点C为圆心的圆上运动。

我们可以将动点A和B的位置分别表示为(x1,y1)和(x2,y2)。

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例1如图1，边长为8的正方形ABCD的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，点P是抛物线上A、C两点间的一个动点（含端点），过点P作PF⊥BC于点F．点D、E的坐标分别为(0, 6)、(－4, 0)，联结PD、PE、DE．（1）直接写出抛物线的解析式；（2）小明探究点P的位置发现：当点P与点A或点C重合时，PD与PF的差为定值．进而猜想：对于任意一点P，PD与PF的差为定值．请你判断该猜想是否正确，并说明理由；（3）小明进一步探究得出结论：若将“使△PDE的面积为整数”的点P记作“好点”，则存在多个“好点”，且使△PDE的周长最小的点P也是一个“好点”．请直接写出所有“好点”的个数，并求出△PDE周长最小时“好点”的坐标．图1 备用图如图1，边长为8的正方形ABCD 的两边在坐标轴上，以点C 为顶点的抛物线经过点A ，点P 是抛物线上A 、C 两点间的一个动点（含端点），过点P 作PF ⊥BC 于点F ．点D 、E 的坐标分别为(0, 6)、(－4, 0)，联结PD 、PE 、DE ．（1）直接写出抛物线的解析式；（2）小明探究点P 的位置发现：当点P 与点A 或点C 重合时，PD 与PF 的差为定值．进而猜想：对于任意一点P ，PD 与PF 的差为定值．请你判断该猜想是否正确，并说明理由；（3）小明进一步探究得出结论：若将“使△PDE 的面积为整数” 的点P 记作“好点”，则存在多个“好点”，且使△PDE 的周长最小的点P 也是一个“好点”．请直接写出所有“好点”的个数，并求出△PDE 周长最小时“好点”的坐标．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“15河南23”，拖动点P 在A 、C 两点间的抛物线上运动，观察S 随P 变化的图像，可以体验到，“使△PDE 的面积为整数” 的点P 共有11个．思路点拨1．第（2）题通过计算进行说理．设点P 的坐标，用两点间的距离公式表示PD 、PF 的长．2．第（3）题用第（2）题的结论，把△PDE 的周长最小值转化为求PE ＋PF 的最小值．满分解答（1）抛物线的解析式为2188y x =-+．（2）小明的判断正确，对于任意一点P ，PD －PF ＝2．说理如下：设点P 的坐标为21(,8)8x x -+，那么PF ＝y F －y P ＝218x ．而FD 2＝22222222111+(86)+(2)(2)888x x x x x -+-=-=+，所以FD ＝2128x +．因此PD －PF ＝2为定值．（3）“好点”共有11个．在△PDE 中，DE 为定值，因此周长的最小值取决于FD ＋PE 的最小值．而PD ＋PE ＝(PF ＋2)＋PE ＝(PF ＋PE )＋2，因此当P 、E 、F 三点共线时，△PDE 的周长最小（如图2）．此时EF ⊥x 轴，点P 的横坐标为－4．所以△PDE 周长最小时，“好点”P 的坐标为(－4, 6)．图2 图3考点伸展第（3）题的11个“好点”是这样求的：如图3，联结OP ，那么S △PDE ＝S △POD ＋S △POE －S △DOE ．因为S △POD ＝1()32P OD x x ⋅-=-，S △POE ＝2111624P OE y x ⋅=-+，S △DOE ＝12，所以 S △PDE ＝21316124x x --+-＝21344x x --+＝21(6)134x -++．因此S 是x 的二次函数，抛物线的开口向下，对称轴为直线x ＝－6．如图4，当－8≤x ≤0时，4≤S ≤13．所以面积的值为整数的个数为10．当S ＝12时，方程21(6)13124x -++=的两个解－8, －4都在－8≤x ≤0范围内．所以“使△PDE 的面积为整数” 的 “好点”P 共有11个．图4例2如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx－3（a≠0）与x轴交于A(－2, 0)、B(4, 0)两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P从点A出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向点B运动，同时点Q从点B出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动．其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．当△PBQ存在时，求运动多少秒时△PBQ的面积最大，最大面积是多少？（3）当△PBQ的面积最大时，在BC下方的抛物线上存在点K，使S△CBK∶S△PBQ＝5∶2，求点K的坐标．图1如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx －3（a ≠0）与x 轴交于A (－2, 0)、B (4, 0)两点，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 从点A 出发，在线段AB 上以每秒3个单位长度的速度向点B 运动，同时点Q 从点B 出发，在线段BC 上以每秒1个单位长度的速度向点C 运动．其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．当△PBQ 存在时，求运动多少秒时△PBQ 的面积最大，最大面积是多少？（3）当△PBQ 的面积最大时，在BC 下方的抛物线上存在点K ，使S △CBK ∶S △PBQ ＝5∶2，求点K 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“14昆明23”，拖动点P 从A 向B 运动，可以体验到，当P 运动到AB 的中点时，△PBQ 的面积最大．双击按钮“△PBQ 面积最大”，再拖动点K 在BC 下方的抛物线上运动，观察度量值，可以体验到，有两个时刻面积比为2.5．思路点拨1．△PBQ 的面积可以表示为t 的二次函数，求二次函数的最小值． 2．△PBQ 与△PBC 是同高三角形，△PBC 与△CBK 是同底三角形，把△CBK 与△PBQ 的比转化为△CBK 与△PBC 的比．满分解答（1）因为抛物线与x 轴交于A (－2, 0)、B (4, 0)两点，所以y ＝a(x ＋2)(x －4)．所以－8a ＝－3．解得38a =．所以抛物线的解析式为3(2)(4)8y x x =+-233384x x =--．（2）如图2，过点Q 作QH ⊥x 轴，垂足为H ．在Rt △BCO 中，OB ＝4，OC ＝3，所以BC ＝5，sin B ＝35．在Rt △BQH 中，BQ ＝t ，所以QH ＝BQ sin B ＝35t ．所以S △PBQ ＝211399(63)(1)2251010BP QH t t t ⋅=-⨯=--+．因为0≤t≤2，所以当t＝1时，△PBQ的面积最大，最大面积是910。

动点产生的面积问题

例1.已知△ABC 中，AB =4，BC =6，AC ＞AB ，点D 为AC 边上一点，且DC =AB ，E 为BC 边的中点，联结DE ，设AD =x 。

设ABEDCDES y S ∆=四边形，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域。

【解法点拨】：一．寻找题目中的已经条件：1.边：AB =4，BC =6，DC =AB ；2.特殊点：E 为BC 边的中点；3.动点：点D 为AC 边上一动点。

（2）求面积比ABEDCDES S ∆四边形：方法一：用含x 的代数式单独表示四边形ABED 和三角形CDE ∆的面积；方法二：用面积比求解，ABED CDE S S ∆四边形=1ABD BDE ABDCDE CDES S S S S ∆∆∆∆∆+=+；又因为ABD DBC S S ∆∆=24ABD CDE S x S ∆∆=即2ABD CDE S xS ∆∆=，即可求得。

【满分解答】：连BD ，∵点E 为BC 中点，∴BDE CDE S S ∆∆= ∴1ABD BDE ABDCDE CDES S S y S S ∆∆∆∆∆+==+∵4ABD DBC S x S ∆∆=，∴24ABD CDE S x S ∆∆=，即2ABD CDE S x S ∆∆= ∴12xy =+（0＜x ＜6）例2.如图，已知在直角梯形ABCD 中，BD ∥BC ，AB BC ⊥，11AD =，13BC =，12AB =．动点P 、Q 分别在边AD 和BC 上，且2BQ DP =．线段PQ 与BD 相交于点E ，过点E 作EF ∥BC ，交CD 于点F ，射线PF 交BC 的延长线于点G ，设DP x =．（1）求CFDF的值。

（★★★★）（2）当点P 运动时，试探究四边形EFGQ 的面积是否会发生变化？如果发生变化，请用x 的代数式表示四边形EFGQ 的面积S ；如果不发生变化，请求出这个四边形的面积S 。

【参考教法】：可参考以下教法，以问题式引导学生分析题目、解决问题一．寻找题目中的不变条件或特殊条件，让学生找找看。

中考数学复习之因动点产生的面积问题解题策略

因动点产生的面积问题解题策略一.解题策略解读:面积的存在性问题常见的题型和解题策略有两类:图1 图2 图3 计算面积常用到的策略还有:图4 图5 图6例1.已知抛物线y=mx2+(1-2m)x+1-3m与x轴交于不同的两点A、 B.(1) 求m的取值范围;(2) 证明该抛物线一定经过非坐标轴上的一点P,并求出点P的坐标;(3) 当<m≤8时,由(2)求出的点P和点A、 B构成的△ABP的面积是否有最值,若有,求出最值及相应的m的值;若没有,请说明理由.思路:1. 已知的抛物线的解析式可以因式分解的,抛物线过x轴上的定点(-1, 0).2. 第(2)题分两步,先对m赋予两个不同的值,联立求方程组的解,再验证这个点是确定的.3. 第(3)题中△ABP的高为定值,点A为定点,求△ABP的最大面积,其实就是求点B的横坐标的最大值.例2.问题提出(1) 如图1,已知△ABC,请画出△ABC关于直线AC对称的三角形.问题探究(2) 如图2,在矩形ABCD中,AB=4, AD=6, AE=4, AF=2.是否在边BC、CD上分别存在点G、 H,使得四边形EFGH的周长最小?若存在,求出它周长的最小值;若不存在,请说明理由.问题解决(3) 如图3,有一块矩形板材ABCD, AB=3米, AD=6米,现想从此板材中截出一个面积尽可能大的四边形EFGH部件,使∠EFG=90°,米,∠EHG=45°.经研究,只有当点E、 F、 G分别在边AD、 AB、 BC上时,且AF<BF,并满足点H在矩形ABCD内部或边上时,才有可能截出符合要求的部件.试问能否截得符合要求的面积尽可能大的四边形EFGH部件?若能,求出截得的四边形EFGH 部件的面积;若不能,请说明理由.图1 图2 图3思路:1. 第(2)题的模型是“打台球”两次碰壁问题,依据光的反射原理.2. 第(3)题需先设AF的长并求解,再验证点H在矩形内部,然后计算面积.例3.如图1,在平面直角坐标系中,矩形OCDE的顶点C和E分别在y轴的正半轴和x轴的正半轴上,OC=8, OE=17.抛物线y=x2-3x+m与y轴交于点A,抛物线的对称轴与x轴交于点B,与CD交于点K.(1) 将矩形OCDE沿AB折叠,点O恰好落在边CD上的点F处.①求点F的坐标;②请直接写出抛物线的函数表达式;(2) 将矩形OCDE沿着经过点E的直线折叠,点O恰好落在边CD上的点G处,连结OG,折痕与OG交于点H,点M是线段EH上的一个动点(不与点H重合),连结MG, MO,过点G作GP⊥OM于点P,交EH于点N,连结ON.点M从点E开始沿线段EH向点H运动,至与点N重合时停止,△MOG和△NOG的面积分别表示为S1和S2,在点M的运动过程中,S1·S2(即S1与S2的积)的值是否发生变化?若变化,请直接写出变化的范围;若不变,请直接写出这个值.温馨提示: 考生可以根据题意,在备用图中补充图形,以便作答.图1 备用图思路:1. 第(1)题中点F的位置是由A、 B两点确定的,A、 B两点的坐标都隐含在抛物线的解析式中.2. 第(2)题思路在画示意图过程中,点G是关键点.以E为圆心,EO为半径画弧,交CD于点G.例 4.如图,已知平行四边形ABCD的三个顶点A(n, 0)、 B(m, 0)、 D(0,2n)(m>n>0),作平行四边形ABCD关于直线AD的对称图形AB1C1 D.(1) 若m=3,试求四边形CC1B1B面积S的最大值;(2) 若点B1恰好落在y轴上,试求的值.思路:1. 第(1)题先说理再计算,说理四边形CC1B1B是矩形.2. 第(2)题根据AB1=AB列关于m、 n的方程,整理就可以得到m与n的关系.例5.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=-x2+bx+c经过点A(3, 0)和点B(2, 3),过点A的直线与y轴的负半轴相交于点C,且tan∠CAO=.(1) 求这条抛物线的表达式及对称轴;(2) 连结AB、 BC,求∠ABC的正切值;(3) 若点D在x轴下方抛物线的对称轴上,当S△ABC =S△ADC时,求点D的坐标.解析:1. 直觉告诉我们,△ABC是直角三角形.2. 第(3)题的意思可以表达为: B、 D在直线AC的两侧,到直线AC的距离相等.于是我们容易想到,平行线间的距离处处相等.例6.如图,半圆O的直径AB=10,有一条定长为6的动弦CD在弧AB上滑动(点C、D分别不与点A、 B重合),点E、 F在AB上,EC⊥CD, FD⊥CD.(1) 求证:EO=FO;(2) 连结OC,如果△ECO中有一个内角等于45°,求线段EF的长;(3) 当动弦CD在弧AB上滑动时,设变量CE=x,四边形CDFE的面积为S,周长为l,问:S与l是否分别随着x变化而变化?试用所学过的函数知识直接写出它们的函数解析式及函数定义域,以说明你的结论.思路:1. 用垂径定理和平行线等分线段定理证明点O是EF的中点.2. 第(2)题的△ECO中,∠ECO是定值,45°的角分两种情况.3. 第(3)题用x表示OE的长,在△ECO中,∠ECO是定值.例7.直线y=2x+m与抛物线y=ax2+ax+b都过点M(1, 0),且a<b.(1) 求抛物线顶点Q的坐标(用含a的式子表示);(2) 试说明抛物线与直线有两个交点;(3) 设抛物线与直线的另一个交点为N.①若-1≤a≤-时,求MN的取值范围;②求△QMN的面积最小值.思路:1. 将M(1, 0)分别代入直线和抛物线的解析式,可以确定m的值,用a表示b.2. 联立直线与抛物线的解析式,消去y,得到关于a的一元二次方程,判断Δ>0.3. 第(3)题①,分别求a=-1和a=-时直线与抛物线的交点M、 N的坐标,再求MN的长,两个MN的长,就是MN的取值范围的两端值.例8.已知Rt△EFP和矩形ABCD如图1摆放(点P与点B重合),点F、 B(P)、 C 在同一直线上,AB=EF=6cm, BC=FP=8cm, ∠EFP=90°.如图2, △EFP从图1位置出发,沿BC方向匀速运动,速度为1cm/s, EP与AB交于点G;同时,点Q从点C出发,沿CD方向匀速运动,速度为1cm/s.过点Q作QM⊥BD,垂足为H,交AD于点M,连结AF、 PQ.当点Q停止运动时,△EFP也停止运动.设运动时间为t(s)(0<t<6).解答下列问题:(1) 当t为何值时,PQ∥BD?(2) 设五边形AFPQM的面积为y(cm2),求y与t之间的函数关系式;(3) 在运动过程中,是否存在某一时刻t,使S五边形AFPQM ∶S矩形ABCD=9∶8?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由;(4) 在运动过程中,是否存在某一时刻t,使点M在线段PG的垂直平分线上?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.图1 图2思路:1. 把线段BP、 PC、 CQ、 DQ的长用t表示出来.再把线段BG、 DM的长用t表示出来.2. 用割补法求五边形AFPQM的面积,等于直角梯形减去两个直角三角形的面积.3. 第(3)题用第(2)题的结果,直接解方程就可以了.4. 第(4)题是根据MP2=MG2列方程,需要构造以MP为斜边的直角三角形.例9.如图1,在平面直角坐标系中,过原点O及点A(8, 0)、 C(0, 6)作矩形OABC,连结OB,点D为OB的中点,点E是线段AB上的动点,连结DE,作DF⊥DE,交OA于点F,连结EF.已知点E从点A出发,以每秒1个单位长度的速度在线段AB上移动,设移动时间为t秒.(1) 如图1,当t=3时,求DF的长;(2) 如图2,当点E在线段AB上移动的过程中,∠DEF的大小是否发生变化?如果变化,请说明理由;如果不变,请求出tan∠DEF的值;(3) 连结AD,当AD将△DEF分成的两部分的面积比为1∶2时,求相应的t的值.图1 图2思路;1. 作DM⊥AB于M, DN⊥OA于N,那么△NDF与△MDE的相似比为3∶4.2. 面积比为1∶2要分两种情况讨论.把面积比转化为两个同高三角形底边的比.3. 过点E作OA的平行线,构造“8字型”相似,这样就把底边的比利用起来了.例10.如图1,二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、 B两点,与y轴交于点C, OB=OC.点D在函数图象上,CD∥x轴,且CD=2,直线l是抛物线的对称轴,E是抛物线的顶点.(1) 求b、 c的值;(2) 如图1,连结BE,线段OC上点F关于直线l的对称点F'恰好在线段BE上,求点F的坐标;(3) 如图2,动点P在线段OB上,过点P作x轴的垂线分别与BC交于点M,与抛物线交于点N.试问:抛物线上是否存在点Q,使得△PQN与△APM的面积相等,且线段NQ的长度最小?如果存在,求出点Q的坐标;如果不存在,说明理由.图1 图2思路：1. 由已知抛物线的解析式可得C(0, c),再用c表示B、 D两点的坐标,然后将B、 D代入抛物线的解析式列关于b、 c的方程组.2. 第(2)题: 通过点C、 F分别与点D、 F'关于直线l对称,得到点F'是BE的中点,从而求得点F的坐标.3. 第(3)题: 设点P的横坐标为m,用m表示点M、 N的坐标,进而用m表示线段PM、 PN、 PA的长,根据两个三角形的面积相等,求出PN边上的高QH.最后讨论NQ与QH的关系.例11.如图,在平面直角坐标系中,直线y=12x+2与x 轴交于点A,与y 轴交于点C.抛物线y=-x 2+bx+c 经过A 、 C 两点,与x 轴的另一个交点为点B.(1) 求抛物线的函数表达式;(2) 点D 为直线AC 上方抛物线上一动点.① 连结BC 、 CD.设直线BD 交线段AC 于点E, △CDE 的面积为S 1, △BCE 的面积为S 2,求 12S S 的最大值; ② 过点D 作DF ⊥AC,垂足为F,连结CD.是否存在点D,使得△CDF 中的某个角恰好等于∠BAC 的2倍?若存在,求出点D 的坐标;若不存在,请说明理由.图1 备用图思路： 1. △CDE 与△BCE 是同高三角形,面积比等于底边的比.构造“8字型”,把底边的比转化为竖直线段的比.2. 第(3)题的第一种情况∠DCF=2∠BAC,过点C 作x 轴的平行线,通过内错角相等,再作轴对称的角,很容易找到点D 的位置.3. 第(3)题的第二种情况∠CDF=2∠BAC,先要探求2∠BAC的大小(正切值),如果这一步探究不出来,基本上进行不下去.例12.已知Rt△OAB，∠OAB=90°，∠ABO=30°，斜边OB=4，将Rt△OAB绕点O 顺时针旋转60°，如题图1，连接BC.（1）填空：∠OBC= ;（2）如图1，连接AC，作OP⊥AC，垂足为P，求OP的长度；（3）如图2，点M，N同时从点O出发，在△OCB边上运动，M沿O→C→B路径匀速运动，N沿O→B→C路径匀速运动，当两点相遇时运动停止，已知点M的运动速度为1.5单位/秒，点N的运动速度为1单位/秒，设运动时间为x秒，△OMN 的面积为y，求当x为何值时y取得最大值？最大值为多少？思路：（1）由旋转的性质可以证明△OBC是等边三角形，从而可得∠OBC的度数；（2）求出△AOC的面积，利用三角形的面积公式计算即可；（3）分三种情形讨论求解即可解决问题：①当0＜x≤83时，M在OC上运动，N在OB上运动，此时过点N作NE⊥OC且交OC于点E，利用面积公式表示出△OMN的面积（y值）；②当8 3＜x≤4时，M在BC上运动，N在OB上运动．作MH⊥OB于H，利用∠CBO=60°表示出MH，再利用面积公式表示出△OMN的面积（y值）；③当4＜x≤4.8时，M、N都在BC上运动，作OG⊥BC于G，易求OG，再利用面积公式表示出△OMN的面积（y值），最后分别求出三种情况下面积最大值，从而求出整个运动过程中y的最大值．例13. 在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c=++交x轴于A、B两点，交y轴于点C（0，43-），OA=1，OB=4，直线l过点A，交y轴于点D，交抛物线于点E，且满足tan∠OAD=34.（1）求抛物线的解析式；（2）动点P从点B出发，沿x轴正方向以每秒2个单位长度的速度向点A运动，动点Q从点A出发，沿射线AE以每秒1个单位长度的速度向点E运动，当点P运动到点A时，点Q也停止运动，设运动为t秒.①在P、Q的运动过程中，是否存在某一时刻t，使得△ADC与△PQA相似，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；②在P、Q的运动过程中，是否存在某一时刻t，使得△APQ与△CAQ的面积之和最大？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.思路：本题是代数几何综合题，以平面直角坐标系为背景，考查了求二次函数解析式，二次函数的性质，，方程组的解法，几何图形面积的表示，相似三角形的判定与性质，分类讨论思想，三角形的面积的最值问题，综合性强，难度大，解题的关键是需要学生有良好的运算能力及分析问题和解决问题的能力，还得富有耐心．（1）利用A、B、C三点的坐标确定二次函数的解析式．（2）利用题目的已知条件表示出相关线段的长，①中利用三角函数值探索出∠PAQ=∠ACD，再根据题目中的要求使得△ADC与△PQA相似，进行分类讨论得到对应线段成比例，列出关于t的方程求解即可；②直接利用三角形的面积公式列出△APQ与△CAQ 的面积之和与时间t之间的函数关系式，再将所得的二次函数的解析式配方确定最值即可得到答案.。

函数图象中的存在性问题—因动点产生的面积问题

函数图象中的存在性问题—因动点产生的面积问题函数图像中的存在性问题是函数图像是否存在的研究。

在研究函数图像的存在性时，我们通常会考虑到以下几个问题：函数是否有定义域和值域，函数是否连续，函数是否可导等等。

其中，因动点产生的面积问题是函数图像的一个特殊存在性问题。

考虑一个动点在平面上运动，其轨迹为函数的图像，我们可以通过计算该轨迹所围成的面积来研究函数图像的存在性。

首先，让我们考虑一个较简单的函数图像，例如：y=x。

当动点在平面上矩形区域内运动时，其轨迹就可以看作是函数y=x的图像。

我们可以将矩形区域分成无数个小长方形，并计算每个小长方形所围成的面积的和。

当矩形区域趋近于函数图像所占据的面积时，这个和就可以逼近函数图像所围成的面积。

如果这个和存在且为有限值，则可以认为函数图像所围成的面积存在。

然而，对于一些函数图像，存在动点产生的面积问题可能并不存在。

例如：y=1/x。

当动点运动到x=0的位置时，函数图像与x轴相切，不再围成一个有限的面积。

在这种情况下，我们无法通过动点产生的面积来研究函数图像的存在性。

对于一些较为复杂的函数图像，动点产生的面积问题可能会更加具有挑战性。

例如：y = sin(x)。

当动点在平面上运动时，函数图像会在一些位置出现多个极大值和极小值。

在这种情况下，计算动点产生的面积变得更为复杂，可能需要使用更高级的数学工具来解决。

总之，动点产生的面积问题是函数图像存在性问题的一个特殊情况。

通过计算动点所产生的面积，我们可以研究函数图像的存在性。

然而，对于一些复杂的函数图像，动点产生的面积问题可能并不存在或更加困难。

因此，在研究函数图像的存在性时，我们需要综合考虑多个因素，并使用合适的数学工具来解决。

中考数学狙击重难点系列专题19----二次函数的最值之与动点有关的面积最小值问题(含答案)

二次函数的最值之与动点有关的面积最小值问题1. 如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，D是AB的中点，E，F分别是AC，BC上的点（点E不与端点A，C重合），且AE=CF，连接EF 并取EF的中点O，连接DO并延长至点G，使GO=OD，连接DE，DF，GE，GF．（1）求证：四边形EDFG是正方形；（2）当点E在什么位置时，四边形EDFG的面积最小？并求四边形EDFG面积的最小值．2. 如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH．（1）求证：∠APB=∠BPH；（2）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论；（3）设AP为x，四边形EFGP的面积为S，求出S与x的函数关系式，试问S 是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．3. 如图1，一副直角三角板满足AB＝BC，AC＝DE，∠ABC＝∠DEF＝90°，∠EDF＝30°【操作】将三角板DEF的直角顶点E放置于三角板ABC的斜边AC上，再将三角板DEF绕点E旋转，并使边DE与边AB交于点P，边EF与边BC于点Q（1）【探究一】在旋转过程中，①如图2，当时，EP与EQ满足怎样的数量关系？并给出证明.________ ②如图3，当时EP与EQ满足怎样的数量关系？，并说明理由.________③根据你对（1）、（2）的探究结果，试写出当时，EP与EQ满足的数量关系式为________,其中的取值范围是________(直接写出结论，不必证明)（2）【探究二】若且AC＝30cm，连续PQ，设△EPQ的面积为S(cm2)，在旋转过程中：①S是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值，若不存在，说明理由.②随着S取不同的值，对应△EPQ的个数有哪些变化？不出相应S值的取值范围.4. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5cm，∠BAC=60°，动点M从点B出发，在BA边上以每秒2cm的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒cm的速度向点B匀速运动，设运动时间为t秒（0≤t≤5），连接MN．（1）若BM=BN，求t的值；（2）当t为何值时，四边形ACNM的面积最小？并求出最小值．5. 如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形ABCD是矩形，点A、C的坐标分别是A（0,2）和C（2,0），点D是对角线AC上一动点（不与A、C 重合），连结BD，作，交x轴于点E，以线段DE、DB为邻边作矩形BDEF.（1）填空：点B的坐标为________；（2）①求证：；②设AD=x，矩形BDEF的面积为y，求y关于x的函数关系式（可利用①的结论），并求出y的最小值6. 已知二次函数图象的顶点坐标为（0，1），且过点（﹣1，），直线y=kx+2与y轴相交于点P，与二次函数图象交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2）．（注：在解题过程中，你也可以阅读后面的材料）附：阅读材料任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根的积等于常数项与二次项系数的比．即：设一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，则：x1+x2=﹣，x1•x2=能灵活运用这种关系，有时可以使解题更为简单．例：不解方程，求方程x2﹣3x=15两根的和与积．解：原方程变为：x2﹣3x﹣15=0∵一元二次方程的根与系数有关系：x1+x2=﹣，x1•x2=∴原方程两根之和=﹣=3，两根之积= =﹣15．（1）求该二次函数的解析式．（2）对（1）中的二次函数，当自变量x取值范围在﹣1＜x＜3时，请写出其函数值y的取值范围；（不必说明理由）（3）求证：在此二次函数图象下方的y轴上，必存在定点G，使△ABG的内切圆的圆心落在y轴上，并求△GAB面积的最小值．7. 如图所示，将矩形OABC置于平面直角坐标系中，点A，C分别在x，y轴的正半轴上，已知点B（4，2），将矩形OABC翻折，使得点C的对应点P恰好落在线段OA（包括端点O，A）上，折痕所在直线分别交BC、OA于点D、E；若点P在线段OA上运动时，过点P作OA的垂线交折痕所在直线于点Q．（1）求证：CQ=QP（2）设点Q的坐标为（x，y），求y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围；（3）如图2，连结OQ，OB，当点P在线段OA上运动时，设三角形OBQ的面积为S，当x取何值时，S取得最小值，并求出最小值；8. 如图，直角△ABC中，∠A为直角，AB=6，AC=8．点P，Q，R分别在AB，BC，CA边上同时开始作匀速运动，2秒后三个点同时停止运动，点P由点A 出发以每秒3个单位的速度向点B运动，点Q由点B出发以每秒5个单位的速度向点C运动，点R由点C出发以每秒4个单位的速度向点A运动，在运动过程中：（1）求证：△APR，△BPQ，△CQR的面积相等；（2）求△PQR面积的最小值；9. 如图，⊙M的圆心M（﹣1，2），⊙M经过坐标原点O，与y轴交于点A，经过点A的一条直线l解析式为：y=﹣x+4与x轴交于点B，以M为顶点的抛物线经过x轴上点D（2，0）和点C（﹣4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）求证：直线l是⊙M的切线；（3）点P为抛物线上一动点，且PE与直线l垂直，垂足为E，PF∥y轴，交直线l于点F，是否存在这样的点P，使△PEF的面积最小？若存在，请求出此时点P的坐标及△PEF面积的最小值；若不存在，请说明理由．10. 如图1，正方形ABCD的顶点A在原点O处，点B在x轴上，点C的坐标为（6，6），点D在y轴上，动点P，Q各从点A，D同时出发，分别沿AD，DC方向运动，且速度均为每秒1个单位长度．（1）探索AQ与BP有什么样的关系？并说明理由；（2）如图2，当点P运动到线段AD的中点处时，AQ与BP交于点E，求线段CE的长．（3）如图3，设运动t秒后，点P仍在线段AD上，AQ交BD于F，且△BPQ 的面积为S，试求S的最小值，及当S取最小值时∠DPF的正切值．11. 已知抛物线y=﹣mx2+4x+2m与x轴交于点A（α，0），B（β，0），且=﹣2（1）求抛物线的解析式;（2）抛物线的对称轴为l，与y轴的交点为C，顶点为D，点C关于l的对称点为E，是否存在x轴上的点M，y轴上的点N，使四边形DNME的周长最小？若存在，请画出图形（保留作图痕迹），并求出周长的最小值；若不存在，请说明理由．12. 在一空旷场地上设计一落地为矩形ABCD的小屋，AB+BC=10m，拴住小狗的10m长的绳子一端固定在B点处，小狗在不能进入小屋内的条件下活动，其可以活动的区域面积为S（m2）．（1）如图1，若BC=4m，则S=________m2．（2）如图2，现考虑在（1）中的矩形ABCD小屋的右侧以CD为边拓展一正△CDE区域，使之变成落地为五边形ABCED的小屋，其他条件不变，则在BC 的变化过程中，当S取得最小值时，边BC的长为________m．13. 如图，直线y=﹣3x+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线y=﹣x2+bx+c与直线y=c分别交y轴的正半轴于点C和第一象限的点P，连接PB，得△PCB≌△BOA（O为坐标原点）．若抛物线与x轴正半轴交点为点F，设M 是点C，F间抛物线上的一点（包括端点），其横坐标为m．（1）直接写出点P的坐标和抛物线的解析式；（2）当m为何值时，△MAB面积S取得最小值和最大值？请说明理由；14. 已知正方形OABC的边OC、OA分别在x、y轴的正半轴上，点B坐标为（10，10），点P从O出发沿O→C→B运动，速度为1个单位每秒，连接AP．设运动时间为t．（1）若抛物线y=﹣（x﹣h）2+k经过A，B两点，求抛物线函数关系式；（2）当0≤t≤10时，如图1，过点O作OH⊥AP于点H，直线OH交边BC于点D，连接AD，PD，设△APD的面积为S，求S的最小值；15. 如图，在△ABC中，AB=5，AC=9，S△ABC= ，动点P从A点出发，沿射线AB方向以每秒5个单位的速度运动，动点Q从C点出发，以相同的速度在线段AC上由C向A运动，当Q点运动到A点时，P、Q两点同时停止运动，以PQ为边作正方形PQEF（P、Q、E、F按逆时针排序），以CQ为边在AC上方作正方形QCGH．（1）求tanA的值；（2）设点P运动时间为t，正方形PQEF的面积为S，请探究S是否存在最小值？若存在，求出这个最小值，若不存在，请说明理由；16. 已知：在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于点C，且对称轴为x=﹣2，点P（0，t）是y轴上的一个动点．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标．（2）如图1，当0≤t≤4时，设△PAD的面积为S，求出S与t之间的函数关系式；S是否有最小值？如果有，求出S的最小值和此时t的值．17. 如图，平行四边形ABCD中，D点在抛物线y= x2+bx+c上，且OB=OC，AB=5，tan∠ACB= ，M是抛物线与y轴的交点．（1）求直线AC和抛物线的解析式；（2）动点P从A到D，同时动点Q从C到A都以每秒1个单位的速度运动．问：当P运动到何处时，△APQ是直角三角形？（3）在（2）中当P运动到某处时，四边形PDCQ的面积最小，求此时△CMQ 的面积．18. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．动点M，N从点C同时出发，均以每秒1cm的速度分别沿CA、CB向终点A，B移动，同时动点P 从点B出发，以每秒2cm的速度沿BA向终点A移动，连接PM，PN，设移动时间为t（单位：秒，0＜t＜2.5）．（1）当t为何值时，以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似？（2）是否存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值？若存在，求S 的最小值；若不存在，请说明理由．2019中考数学狙击重难点系列专题19. 如图，在边长为2的正方形ABCD中，P为AB的中点，Q为边CD上一动点，设DQ=t（0≤t≤2），线段PQ的垂直平分线分别交边AD、BC于点M、N，过Q作QE⊥AB于点E，过M作MF⊥BC于点F．（1）当t≠1时，求证：△PEQ≌△NFM；（2）顺次连接P、M、Q、N，设四边形PMQN的面积为S，求出S与自变量t 之间的函数关系式，并求S的最小值．20. 如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，且点B与点C的坐标分别为B（3，0）．C（0，3），点M是抛物线的顶点．（1）求二次函数的关系式；（2）点P为线段MB上一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D．若OD=m，△PCD 的面积为S，试判断S有最大值或最小值？并说明理由；答案解析部分一、综合题1.【答案】（1）证明：连接CD，如图1所示．∵△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，D是AB的中点，∴∠A=∠DCF=45°，AD=CD．在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF（SAS），∴DE=DF，∠ADE=∠CDF．∵∠ADE+∠EDC=90°，∴∠EDC+∠CDF=∠EDF=90°，∴△EDF为等腰直角三角形．∵O为EF的中点，GO=OD，∴GD⊥EF，且GD=2OD=EF，∴四边形EDFG是正方形（2）解：过点D作DE′⊥AC于E′，如图2所示．∵△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC=4，∴DE′= BC=2，AB=4 ，点E′为AC的中点，∴2≤DE＜2 （点E与点E′重合时取等号）．∴4≤S四边形EDFG=DE2＜8．∴当点E为线段AC的中点时，四边形EDFG的面积最小，该最小值为4．【解析】【分析】（1）连接CD，根据等腰直角三角形的性质可得出∠A=∠DCF=45°、AD=CD，结合AE=CF可证出△ADE≌△CDF（SAS），根据全等三角形的性质可得出DE=DF、ADE=∠CDF，通过角的计算可得出∠EDF=90°，再根据O为EF的中点、GO=OD，即可得出GD⊥EF，且GD=2OD=EF，由此即可证出四边形EDFG是正方形；（2）过点D作DE′⊥AC 于E′，根据等腰直角三角形的性质可得出DE′的长度，从而得出2≤DE＜2 ，再根据正方形的面积公式即可得出四边形EDFG的面积的最小值．2.【答案】（1）证明：如图1，∵PE=BE，∴∠EBP=∠EPB．又∵∠EPH=∠EBC=90°，∴∠EPH﹣∠EPB=∠EBC﹣∠EBP．即∠PBC=∠BPH．又∵AD∥BC，∴∠APB=∠PBC．∴∠APB=∠BPH（2）△PHD的周长不变为定值8．证明：如图2，过B作BQ⊥PH，垂足为Q．由（1）知∠APB=∠BPH，在△ABP和△QBP中，∴△ABP≌△QBP（AAS）．∴AP=QP，AB=BQ．又∵AB=BC，∴BC=BQ．又∵∠C=∠BQH=90°，BH=BH，∴△BCH≌△BQH．∴CH=QH．∴△PHD的周长为：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8 （3）如图3，过F作FM⊥AB，垂足为M，则FM=BC=AB．又∵EF为折痕，∴EF⊥BP．∴∠EFM+∠MEF=∠ABP+∠BEF=90°，∴∠EFM=∠ABP．又∵∠A=∠EMF=90°，∴△EFM≌△PBA（ASA）．∴EM=AP=x．∴在Rt△APE中，（4﹣BE）2+x2=BE2．解得，．∴．又∵折叠的性质得出四边形EFGP与四边形BEFC全等，∴．即：．配方得，，∴当x=2时，S有最小值6．【解析】【分析】（1）根据翻折变换的性质得出∠PBC=∠BPH，进而利用平行线的性质得出∠APB=∠PBC即可得出答案；（2）首先证明△ABP≌△QBP，进而得出△BCH≌△BQH，即可得出PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8；（3）利用已知得出△EFM≌△BPA，进而利用在Rt△APE中，（4﹣BE）2+x2=BE2，利用二次函数的最值求出即可．3.【答案】（1）解：当时，PE=QE.即E为AC中点，理由如下：连接BE，∵△ABC是等腰直角三角形，∴BE=CE，∠PBE=∠C=45°，又∵∠PEB+∠BEQ=90°，∠CEQ+∠BEQ=90°，∴∠PEB=∠CEQ，在△PEB和△QEC中，∵,∴△PEB≌△QEC（ASA），∴PE=QE.；EP：EQ=EA:EC=1:2；理由如下：作EM⊥AB，EN⊥BC，∴∠EMP=∠ENQ=90°，又∵∠PEN+∠MEP=∠PEN+∠NEQ=90°，∴∠MEP=∠NEQ,∴△MEP∽△NEQ，∴EP：EQ=ME:NE,又∵∠EMA=∠ENC=90°，∠A=∠C，∴△MEA∽△NEC，∴ME:NE=EA:EC，∵,∴EP：EQ=EA:EC=1:2.；EP：EQ=1:m；0<m≤2+（2）解：①存在.由【探究一】中（2）知当时，EP：EQ=EA：EC=1：2；设EQ=x，则EP= x，∴S= ·EP·EQ= ·x·x= x2，当EQ⊥BC时，EQ与EN重合时，面积取最小，∵AC=30，△ABC是等腰直角三角形，∴AB=BC=15 ，∵，AC=30，∴AE=10，CE=20，在等腰Rt△CNE中，∴NE=10 ，∴当x=10 时，S min=50（cm2）；当EQ=EF时，S取得最大，∵AC=DE=30，∠DEF=90°，∠EDF=30°，在Rt△DEF中，∴tan30°= ,∴EF=30× =10 ，此时△EPQ面积最大，∴S max=75（cm2）；②由（1）知CN=NE=5 ,BC=15 ,∴BN=10 ，在Rt△BNE中，∴BE=5 ，∴当x=BE=5 时，S=62.5cm2，∴当50<S≤62.5时，这样的三角形有2个；当S=50或62.5<S≤75时，这样的三角形有1个.【解析】【解答】（1）③作EM⊥AB，EN⊥BC，∵∠B=∠PEQ=90°，∴∠EPB+∠EQB=180°，又∵∠EPB+∠EPM=180°，∴∠EQB=∠EPM,∴△MEP∽△NEQ，∴EP：EQ=ME:NE,又∵∠EMA=∠ENC=90°，∠A=∠C，∴△MEA∽△NEC，∴ME:NE=EA:EC，∵,∴EP:EQ=EA:EC=1:m，∴EP与EQ满足的数量关系式为EP：EQ=1:m，∴0<m≤2+ （当m>2+ 时，EF与BC不会相交）.【分析】【探究一】①根据已知条件得E为AC中点，连接BE，根据等腰直角三角形的性质可BE=CE，∠PBE=∠C=45°，由同角的余角相等得∠PEB=∠CEQ，由全等三角形的判定ASA可得△PEB≌△QEC，再由全等三角形的性质得PE=QE.②作EM⊥AB，EN⊥BC，由相似三角形的判定分别证△MEP∽△NEQ，△MEA∽△NEC，再由相似三角形的性质得EP：EQ=ME:NE=EA:EC，从而求得答案. ③作EM⊥AB，EN⊥BC，由相似三角形的判定分别证△MEP∽△NEQ，△MEA∽△NEC，再由相似三角形的性质得EP：EQ=ME:NE=EA:EC，从而求得答案.【探究二】①设EQ=x，根据【探究一】（2）中的结论可知则EP= x，根据三角形面积公式得出S的函数关系式，再根据当EQ⊥BC时，EQ与EN重合时，面积取最小；当EQ=EF时，S取得最大；代入数值计算即可得出答案.②根据（1）中数据求得当EQ与BE重合时，△EPQ的面积，再来分情况讨论即可.4.【答案】（1）解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，∠BAC=60°，∴∠B=30°，∴AB=2AC=10，BC=5 ．由题意知：BM=2t，CN= t，∴BN=5 - t，∵BM=BN，∴2t=5 - t解得：．（2）解：过M作MD⊥BC于点D，则MD∥AC，∴△BMD∽△BAC，∴，即，解得：MD=t．设四边形ACNM的面积为y，∴y= = =．∴根据二次函数的性质可知，当t= 时，y的值最小．此时，．【解析】【分析】（1）由已知条件得出AB=10，BC=5 ．由题意知：BM=2t，CN= t，BN=5 - t，由BM=BN得出方程2t=5 - t，解方程即可；（2）过M作MD⊥BC于点D，则MD∥AC，证出△BMD∽△BAC，得出比例式求出MD=t．四边形ACNM的面积y=△ABC的面积﹣△BMN的面积，得出y是t的二次函数，由二次函数的性质即可得出结果．5.【答案】（1）（2）①如图，过点D作MN⊥AB于点M，交OC于点N。

专题04 因动点产生的面积问题

备战2020中考数学之解密压轴解答题命题规律专题04因动点产生的面积问题【类型综述】面积是平面几何中一个重要的概念，关联着平面图形中的重要元素边与角，由动点而生成的面积问题，是抛物线与直线形结合的觉形式，常见的面积问题有规则的图形的面积（如直角三角形、平行四边形、菱形、矩形的面积计算问题）以及不规则的图形的面积计算，解决不规则的图形的面积问题是中考压轴题常考的题型，此类问题计算量较大。

有时也要根据题目的动点问题产生解的不确定性或多样性。

解决这类问题常用到以下与面积相关的知识：图形的割补、等积变形、等比转化等数学方法.面积的存在性问题常见的题型和解题策略有两类：一是先根据几何法确定存在性，再列方程求解，后检验方程的根．二是先假设关系存在，再列方程，后根据方程的解验证假设是否正确．【方法揭秘】解决动点产生的面积问题，常用到的知识和方法，如下：如图1，如果三角形的某一条边与坐标轴平行，计算这样“规则”的三角形的面积，直接用面积公式．如图2，图3，三角形的三条边没有与坐标轴平行的，计算这样“不规则”的三角形的面积，用“割”或“补”的方法．图1图2图3计算面积长用到的策略还有：如图4，同底等高三角形的面积相等．平行线间的距离处处相等．如图5，同底三角形的面积比等于高的比．如图6，同高三角形的面积比等于底的比．y = - ( x + 1)(x - 4) = - x 2 + x + 2 = - ( x - )2 + ．顶点坐标为 ( ， ) ．图 4图 5 图 6【典例分析】【例 1】如图，抛物线 y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）与 x 轴交于 A (－1, 0)，B (4, 0)两点，与 y 轴交于点 C (0, 2)．点M (m , n )是抛物线上一动点，位于对称轴的左侧，并且不在坐标轴上．过点 M 作 x 轴的平行线交 y 轴于点 Q ，交抛物线于另一点 E ，直线 BM 交 y 轴于点 F ．（1）求抛物线的解析式，并写出其顶点坐标；（2）当 △S MFQ ∶△S MEB ＝1∶3 时，求点 M 的坐标．思路点拨1．设交点式求抛物线的解析式比较简便．△2．把 MFQ 和△MEB 的底边分别看作 MQ 和 ME ，分别求两个三角形高的比，底边的比（用含 m 的式子表示），于是得到关于 m 的方程．3．方程有两个解，慎重取舍．解压轴题时，时常有这种“一石二鸟”的现象，列一个方程，得到两个符合条件的解．满分解答（1）因为抛物线与 x 轴交于 A(－1, 0)，B(4, 0)两点，设 y ＝a(x ＋1)(x －4)．代入点 C(0, 2)，得 2＝－4a ．解得 a = - 1．所以21 1 3 1 3 252 2 2 2 2 83 252 8与 n 无关，两条底边的比考点伸展第（2）题 △S MFQ ∶△S MEB ＝1∶3，何需点 M 一定要在抛物线上？从上面的解题过程可以看到，△MFQ 与△MEB 的高的比也与 n 无关．FQ m MQ m= =MN 4 - m ME 3 - 2m如图 3，因此只要点 E 与点 M 关于直线 x ＝ 3 2对称，点 M 在直线的左侧，且点 M 不在坐标轴上，就存在 S△MFQ∶△S MEB ＝1∶3，点 M 的横坐标为 1（如图 3）或－12（如图 4）．图 3图 4（t ﹣1）2+ △=3 m 2﹣ m ﹣3）．如图 2，过点 K 作 KE∥y 轴，交 BC 于点 E ．结合已知条件和（2）中的结果．则根据图形得到：S △ CBK =S △CEK +S △=BEK EK•m+ •EK•（4﹣m ），把相关线段的长度代入推知：﹣ m 2+3m= ．易求得 K 1 （1，﹣ ），K 2 （3，﹣）． 27 4⎩16a + 4b - 3 = 0【例 2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax 2+bx ﹣3（a≠0）与 x 轴交于点 A （﹣2，0）、B （4，0）两点，与 y 轴交于点 C ．（1）求抛物线的解析式；（2）点 P 从 A 点出发，在线段 AB 上以每秒 3 个单位长度的速度向 B 点运动，同时点 Q 从 B 点出发，在线段 BC 上以每秒 1 个单位长度的速度向 C 点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当△ PBQ存在时，求运动多少秒使△ PBQ 的面积最大，最大面积是多少？（3△）当 PBQ 的面积最大时，在 BC 下方的抛物线上存在点 K ，使 △S CBK ：△S PBQ =5：2，求 K 点坐标．思路点拨（1）把点 A 、B 的坐标分别代入抛物线解析式，列出关于系数 a 、b 的解析式，通过解方程组求得它们的值；（2）设运动时间为 t 秒．利用三角形的面积公式列出 S △PBQ 与 t 的函数关系式 S PBQ ﹣ 用二次函数的图象性质进行解答；9 9 10 10．利（3）利用待定系数法求得直线 BC 的解析式为 y= 3 4x ﹣3．由二次函数图象上点的坐标特征可设点 K 的坐标为（m ，3 8 4求得 S △CBK = 9 1 1 4 2 23 9 154 8 8满分解答（1）把点 A （﹣2，0）、B （4，0）分别代入 y=ax 2+bx ﹣3（a≠0），得⎧4a - 2b - 3 = 0 ⎨，a=3解得⎨8OC==t5t．∴S△=12（6﹣3t）•32+9S△PBQ最大10．答：运动1△秒使PBQ的面积最大，最大面积是9⎧⎪⎪b=-3⎪⎩4，所以该抛物线的解析式为：y=3x2﹣834x﹣3；（2）设运动时间为t秒，则AP=3t，BQ=t．∴PB=6﹣3t．由题意得，点C的坐标为（0，﹣3）．在Rt△BOC中，BC=32+42=5．如图1，过点Q作QH⊥AB于点H．∴QH∥CO，∴BHQ∽BOC△，∴HB BG HbBC，即35，∴HQ=32PB•HQ=15t=﹣910t2+95t=﹣910（t﹣1）10．当△PBQ存在时，0＜t＜2∴当t=1时，=910；c = -3 ， ⎪k =4 x ﹣3．如图 2，过点 K 作 KE∥y 轴，交 BC 于点 E ．则点 E 的坐标为（m ，34 m ﹣3﹣（ 3 m 2﹣ 4m ﹣3）=﹣ 3 m 2+当△PBQ 的面积最大时，△∵S CBK ：S△=5PBQ：2，S△=9∴S △CBK = 9S △CBK =S △CEK +S △BEK = 12×4•EK4 m 2+3m ． 4 m 2+3m=（3）设直线 BC 的解析式为 y=kx+c （k≠0）．把 B （4，0），C （0，﹣3）代入，得⎧4k + c = 0 ⎨ ⎩⎧解得 ⎨3 4 ， ⎪⎩c = -3∴直线 BC 的解析式为 y=3∵点 K 在抛物线上．∴设点 K的坐标为（m ， 3 m 2﹣ 83 4m ﹣3）．4m ﹣3）．∴EK=38 38 3 2 m ．10．4 ．=12EK•m+12 •EK•（4﹣m ）=2（﹣ 3 m 2+ 83 2m）=﹣ 3即：﹣ 394 ．∴K1（1，﹣27），K2（3，﹣）．将A(－2,0)、B(4,3)分别代入y＝ax2＋bx－3，得⎨解得a=1，b=-．解得m1=1，m2=3．1588【例3】如图，在平面直角坐标系中，直线y=12x+1与抛物线y＝ax2＋bx－3交于A、B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为3．点P是直线AB下方的抛物线上的一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，作PD⊥AB于点D．（1）求a、b及sin∠ACP的值；（2）设点P的横坐标为m．①用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；②连结PB，线段PC把△PDB分成两个三角形，是否存在适合的m的值，使这两个三角形的面积比为9∶10？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．思路点拨1．第（1）题由于CP//y轴，把∠ACP转化为它的同位角．2．第（2）题中，PD＝PCsin∠ACP，第（1）题已经做好了铺垫．△3．PCD与△PCB是同底边PC的两个三角形，面积比等于对应高DN与BM的比．4．两个三角形的面积比为9∶10，要分两种情况讨论．满分解答（1）设直线y=1x+1与y轴交于点E，那么A(－2,0)，B(4,3)，E(0,1)．2在△Rt AEO中，OA＝2，OE＝1，所以AE=5．所以sin∠AEO=因为PC//EO，所以∠ACP＝∠AEO．因此s in∠ACP=25．5⎧4a-2b-3=0,⎩16a+4b-3=3.122255．⨯ (- m 2+m + 4) = - (m + 2)(m - 4) ，①当 △S PCD ∶△S PCB ＝9∶10 时， - (m + 2)(m - 4) = (4 - m ) ．解得 m = ． ②当 △S PCD ∶△S PCB ＝10∶9 时， - (m + 2)(m - 4) = (4 - m ) ．解得 m = ．考点伸展第（△3）题的思路是： PCD 与△PCB 是同底边 PC 的两个三角形，面积比等于对应高 DN 与 BM 的比．而 DN = PD cos ∠PDN = PD cos ∠ACP = 5 2 5 1 1 5 5 2 5BM ＝4－m ．1 9 5 5 10 21 10 32 5 9 9【例 4】如图，在 △Rt ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4，动点 P 从点 A 出发，沿 AB 以每秒 2 个单位长度的速度向终点 B 运动．过点 P 作 PD ⊥AC 于点 D （点 P 不与点 A 、B 重合），作∠DPQ=60°，边 PQ 交射线 DC 于点 Q ．设点 P 的运动时间为 t 秒．（1）用含 t 的代数式表示线段 DC 的长；（2）当点 Q 与点 C 重合时，求 t 的值；（△3）设 PDQ 与△ABC 重叠部分图形的面积为 S ，求 S 与 t 之间的函数关系式；（4）当线段 PQ 的垂直平分线经过△ABC 一边中点时，直接写出 t 的值．2=3t，思路点拨（1）先求出AC，用三角函数求出AD，即可得出结论；（2）利用AD+DQ=AC，即可得出结论；（3）分两种情况，利用三角形的面积公式和面积差即可得出结论；（4）分三种情况，利用锐角三角函数，即可得出结论．满分解答（1）在△Rt ABC中，∠A=30°，AB=4，∴AC=23，∵PD⊥AC，∴∠ADP=∠CDP=90°，在△Rt ADP中，AP=2t，∴DP=t，AD=AP cosA=2t×3∴CD=AC﹣AD=23﹣3t（0＜t＜2）；（2）在△Rt PDQ中，∵∠DPC=60°，∴∠PQD=30°=∠A，∴P A=PQ，∵PD⊥AC，∴AD=DQ，∵点Q和点C重合，∴AD+DQ=AC，∴2×3t=23，∴t=1；（3）当 0＜t≤1 时，S=S △PDQ = 1DQ×DP=13 =2（t ﹣1）， ∴S=S △PDQ ﹣S △ECQ = 1× 3 t×t ﹣ 13 t 2 (0＜t ≤ 1)∴S= ⎨ 22 PQ= 12 AP=t ，AF= 1 ∴∠PGF=90°，PG= 1 t= 12 AC=3 ，QM= 12 PQ= 1 ∴∠QMN=90°，AN= 1 cos30 ︒ =3 t =23 t ， ∴t= 32 ×3 t×t= 3 2 t 2，当 1＜t ＜2 时，如图 2，CQ=AQ ﹣AC=2AD ﹣AC=2 3 t ﹣2 3 =2 3 （t ﹣1），在 △Rt CEQ 中，∠CQE=30°，∴CE=CQ•tan ∠CQE=2 3 （t ﹣1）× 32 ×23 （t ﹣1）×2（t ﹣1）=﹣3 3 2 t 2+4 3 t ﹣2 3 ，⎧ ⎪ ⎪- 3 3 t 2 + 4 3t - 2 3 (0＜t ＜2 )⎪⎩ 2；（4）当 PQ 的垂直平分线过 AB 的中点 F 时，如图 3，2AB=2，∵∠A=∠AQP=30°，∴∠FPG=60°，∴∠PFG=30°，∴PF=2PG=2t ，∴AP+PF=2t+2t=2，2；当 PQ 的垂直平分线过AC 的中点 M 时，如图 4，2AP=t ，在 △Rt NMQ 中，NQ= MQ∵AN+NQ=AQ ，∴ 3 + 2 32 3 3 t，10∴BF= 1 (x ＞0)和 y = - (x ＜0)于 M 、N 两点．当 PQ 的垂直平分线过 BC 的中点时，如图 5，1BC=1，PE= PQ=t ，∠H=30°，2 2∵∠ABC=60°，∴∠BFH=30°=∠H ，∴BH=BF=1，在 △Rt PEH 中，PH=2PE=2t ，∴AH=AP+PH=AB+BH ，∴2t+2t=5，∴t= 54，即：当线段 PQ 的垂直平分线经过△ABC 一边中点时，t 的值为 123 5秒或秒或秒．4 4【例 5】如图，直线 l 经过点 A (1，0)，且与双曲线 y = m x(x ＞0)交于点 B (2，1)．过点 P( p , p -1) (p ＞1)作 x轴的平行线分别交曲线 y = m mx x（1）求 m 的值及直线 l 的解析式；（2）若点 P 在直线 y ＝2 上，求证：△PMB ∽△PNA ；（3）是否存在实数 p ，使得 △S AMN ＝4△S AMP ？若存在，请求出所有满足条件的 p 的值；若不存在，请说明理由．思路点拨1．第（2）题准确画图，点的位置关系尽在图形中．2．第（3）题把 S △AMN ＝4△S AMP 转化为 MN ＝4MP ，按照点 M 与线段 NP 的位置关系分两种情况讨论．满分解答由P(3，2)、N(－1，2)、A(1，△0)三点的位置关系，可知PNA为等腰直角三角形．所以△PMB∽△PNA．图2图3图4考点伸展在本题情景下，△AMN能否成为直角三角形？情形一，如图5，∠AMN＝90°，此时点M的坐标为（1，2），点P的坐标为（3，2）．情形二，如图6，∠MAN＝90°，此时斜边MN上的中线等于斜边的一半．不存在∠ANM＝90°的情况．图5图6【例6】如图（1），在平面直角坐标系中，点A（0，﹣6），点B（6，0）．△Rt CDE中，∠CDE=90°，CD=4，DE=43，直角边CD在y轴上，且点C与点A重合．△Rt CDE沿y轴正方向平行移动，当点C运动到点O时停止运动．解答下列问题：（1）如图（2），当△Rt CDE运动到点D与点O重合时，设CE交AB于点M，求∠BME的度数．（2）如图（3），在△Rt CDE的运动过程中，当CE经过点B时，求BC的长．（3）在△Rt CDE的运动过程中，设AC=h△，OAB△与CDE的重叠部分的面积为S，请写出S与h之间的函数关系式，并求出面积S的最大值．思路点拨（1）如图2，由对顶角的定义知，∠BME=∠CMA，要求∠BME的度数，需先求出∠CMA的度数．根据三角形外角的定理进行解答即可；（2）如图3，由已知可知∠OBC=∠DEC=30°，又OB=6，通过解直角△BOC就可求出BC的长度；（3）需要分类讨论：需要分类讨论：①h＜2时，②2≤h＜6-23时，③6-23≤h≤6时，依此即可求解．满分解答（1）如图2，∵在平面直角坐标系中，点A（0，﹣6），点B（6，0）．∴OA=OB，∴∠OAB=45°，∵∠CDE=90°，CD=4，DE=43，∴∠OCE=60°，∴∠CMA=∠OCE﹣∠OAB=60°﹣45°=15°，∴∠BME=∠CMA=15°；(2)如图3，∵∠CDE=90°，CD=4，DE=43，∴∠OBC=∠DEC=30°，∵OB=6，∴BC=43；（3）①h≤2时，如图4，作MN⊥y轴交y轴于点N，作MF⊥DE交DE于点F，∴S=S △EDC ﹣S △EFM =1= S=S △AOB △-S ACM =113 + 13 + 3 S=S △OMC = 1h 2+4h+8(最大值为 15- 3 )；②2≤h ＜6-2 3 时，S=18- h 2（最大值∵CD=4，DE=4 3 ，AC=h ，AN=NM ，∴CN=4﹣FM ，AN =MN =4+h ﹣FM ，∵△CMN ∽△CED ，∴ CN MN = ，CD DE4 - FM 4 + h - FM∴ ，4 4 3解得 FM=4﹣3 + 1h ， 21 3 + 1 3 + 1×4×4 3 ﹣ （4 3 -4﹣h ）×（4﹣ h ）=﹣ 2 2 2 4h 2+4h+8， S=15- 3 ．最大②当 2≤h ＜6-2 3 时，2224×6×6- h （h+ h ）=18-h 2，S=15- 3 ．最大③如图 3，当 6-2 3 ＜h≤6 时，3 OB× 3 OC=（6-h ）2，22S=6 3 ．最大综上所述，①h ＜2 时，S= -3 + 143 + 34为 15- 3 ）；③6-2 3 ≤h≤6 时，S=3 （6-h ）2（最大值为 6 3 ）2【变式训练】1．如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场 ABCD ，其中∠C ＝120°．若新建墙 BC 与 CD 总长为 12m ，则该梯形储料场 ABCD 的最大面积是（）BC=6-S=11⎛1⎫⎛3⎫3333x+x+6⎪⋅ 63-x⎪=-x2+33x+183=-⎭⎝A．18m2B．183m2C．243m2D．4532m2【答案】C【详解】解：如图，过点C作CE⊥AB于E，则四边形ADCE为矩形，CD=AE=x，∠DCE=∠CEB=90°，则∠BCE=∠BCD-∠DCE=30°，BC=12-x，在△Rt CBE中，∵∠CEB=90°，∴B E=11x 22∴A D=CE=3BE=63-311 x,AB=AE+BE=x+6-x=x+6 222∴梯形ABCD面积(CD+AB)⋅CE=22⎝22⎭888(x-4)2+243∴当x=4时，S最大=243．即CD长为4m时，使梯形储料场ABCD的面积最大为243m2；故选C．2．如图，正方形ABCD的边长为2cm，动点P，Q同时从点A出发，在正方形的边上，分别按A→D→C，A→B→C的方向，都以1cm/s的速度运动，到达点C运动终止，连接PQ，设运动时间为x s，∆APQ 的面积为y cm2，则下列图象中能大致表示y与x的函数关系的是（）=2⨯2-1(4-x)2-⨯2⨯(x-2)-⨯2⨯(x-2)A．B．C．D．【答案】A【详解】①当0≤x≤2时，∵正方形的边长为2cm，∴y=S1 AQ⋅AP=x2；22②当2≤x≤4时，y=S∆APQ=S正方形ABCD -S∆CP'Q'-S∆ABQ'-S∆AP'D112221=-x2+2x，2所以，y与x之间的函数关系可以用两段二次函数图象表示，纵观各选项，只有A选项图象符合，故选A．3．如图，已知直线y=3x-3与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C（0，1）为圆心，1为半径的圆42D．17上一动点，连结PA、PB△．则PAB面积的最大值是（）A．8【答案】C【详解】解：∵直线y=34B．12C．21x-3与x轴、y轴分别交于A、B两点，2∴A点的坐标为（4，0），B点的坐标为（0，﹣3），3x-4y-12=0，即OA=4，OB=3，由勾股定理得：AB=5，过C作CM⊥AB于M，连接AC，则由三角形面积公式得：∴5×CM=4×1+3×4，111×AB×CM=×O A×OC+×OA×OB，222∴CM=16 5，∴圆C上点到直线y=31621x-3的最大距离是1+=，455 12121∴△PAB面积的最大值是⨯5⨯=，252故选C．4．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90︒，AB=8cm，C H是AB边上的高，正方形DEFGt = 4 - ⨯ [2 - (4 - t )]2 = - (t - 2)2 + 4 ；t的边 DE 在高 CH 上，F ，G 两点分别在 AC ，AH 上．将正方形 DEFG 以每秒1cm 的速度沿射线 DB 方向匀速运动，当点 G 与点 B 重合时停止运动．设运动时间为 ts ，正方形 DEFG 与 ∆BHC 重叠部分的面积为 Scm 2，则能反映 S 与 t 的函数关系的图象（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【详解】由题意得： AH = BH = CH = 4 ， FE = FG = GH = EH = 2 ，（1）当 0剟2 时，如图 1，设 EF 交 CH 于点 K ，则 S = S矩形EDHK= t ⨯ 2 = 2t ；（2） 2 < t … 4 时，如图 2，设 EF 与 BC 交于点 M ， DE 于 BC 交于点 N ，S = S 正方形DEFG - S∆EMN 1 1 2 2（3） 4 < t … 6 时，如图 3，设 GF 交 BC 于点 L ，S = S1⨯ [2 - (t - 4)]2= (t - 6)2 ， 2 2∴当 0剟2 时，函数图象是正比例函数，当2 < t … 4 时，是开口向下的抛物线，当4 < t … 6 时，是开口向上的抛物线，故选： B ．5．如图，点A是直线y=﹣x上的动点，点B是x轴上的动点，若AB=2，则△AOB面积的最大值为（）A．2B．+1C．-1D．2【答案】B【详解】如图所示，作△AOB的外接圆⊙C，连接CB，CA，CO，过C作CD⊥AB于D，则CA=AB，由题可得∠AOB=45°，∴∠ACB=90°，∴CD=AB=1，AC=BC==CO，连接OD，则OD≤OC+CD，+1，∴当O，C，D在同一直线上时，OD的最大值为OC+CD=此时OD⊥AB，∴△AOB的面积最大值为AB×OD=×2（+1）=+1，当点A在第二象限内，点B在x轴负半轴上时，+1，同理可得，△AOB面积的最大值为故选：B．6．如图，已知，以为圆心，长为半径作，是上一个动点，直线交轴于点，则面积的最大值是（）A．B．C．D．【答案】B【详解】当直线AN与⊙B相切时，△AOM面积的最大．连接AB、BN，在△Rt AOB和△Rt ANB中∴△Rt AOB≌△Rt ANB，∴AN=AO=2，设BM=x，∴MN2=（BM-1）（BM+1），∴MN=，∵∠AOM=∠BNM=90°，∠AMO=∠BMN，∴△BNM∽△AOM，∴即，，解得x=，S△AOM=．故选B．7．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上，顶点C的坐标为（4，3），D 是抛物线y=﹣x2+6x上一点，且在x轴上方，则△BCD面积的最大值为__________【答案】15【详解】∵D是抛物线y=-x2+6x上一点，∴ S V BCD = ⨯ 5 ⨯ (- x 2 + 6 x - 3) = - ( x - 3)2 + 15，Q - < 0，∴设 D( x , - x 2 + 6 x )，∵顶点 C 的坐标为(4,3)，∴OC = 42 + 32 = 5，∵四边形 OABC 是菱形，∴ BC = OC = 5, BC P x 轴，1 52 252∴ S V BCD 有最大值，最大值为 15，故答案为 15.8．如图，线段 AB 的长为 2，C 为 AB 上一个动点，分别以 AC 、BC 为斜边在 AB 的同侧作两个等腰直角三角形△ ACD △和BCE ，那么 DE 长的最小值是______________．【答案】1【详解】设 AC ＝x ，则 BC ＝2－x ，∵△ACD △和 BCE 都是等腰直角三角形，∴∠DCA ＝45°，∠ECB ＝45°，DC ＝ 2 x ，CE ＝ 2 (2－x) .2 2∴∠DCE ＝90°.∴DE 2＝DC 2＋CE 2＝（2 x ）2＋[ 2 (2－x) ]2＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1.2 2∴当 x ＝1 时，DE 2 取得最小值，DE 也取得最小值，最小值为 1.9．已知直角梯形OABC在如图所示的平面直角坐标系中，AB∥OC，AB=10，OC=22，BC=15，动点M从A点出发，以每秒一个单位长度的速度沿AB向点B运动，同时动点N从C点出发，以每秒2个单位长度的速度沿CO向O点运动。

二次函数-因动点产生的面积问题典型例题

二次函数-因动点产生的面积问题例1、如图1，已知抛物线212y x bx c =++（b 、c 是常数，且c ＜0）与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴的负半轴交于点C ，点A 的坐标为(－1,0)．（1）b ＝______，点B 的横坐标为_______（上述结果均用含c 的代数式表示）；（2）连结BC ，过点A 作直线AE //BC ，与抛物线交于点E ．点D 是x 轴上一点，坐标为(2,0)，当C 、D 、E 三点在同一直线上时，求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，点P 是x 轴下方的抛物线上的一动点，连结PB 、PC ．设△PBC 的面积为S ． ①求S 的取值范围；②若△PBC 的面积S 为正整数，则这样的△PBC 共有_____个．图1思路点拨1．用c 表示b 以后，把抛物线的一般式改写为两点式，会发现OB ＝2OC ． 2．当C 、D 、E 三点共线时，△EHA ∽△COB ，△EHD ∽△COD ．3．求△PBC 面积的取值范围，要分两种情况计算，P 在BC 上方或下方．4．求得了S 的取值范围，然后罗列P 从A 经过C 运动到B 的过程中，面积的正整数值，再数一数个数．注意排除点A 、C 、B 三个时刻的值．满分解答（1）b ＝12c +，点B 的横坐标为－2c ．（2）由2111()(1)(2)222y x c x c x x c =+++=++，设E 1(,(1)(2))2x x x c ++．过点E 作EH ⊥x 轴于H ．由于OB ＝2OC ，当AE //BC 时，AH ＝2EH ．所以1(1)(2)x x x c +=++．因此12x c =-．所以(12,1)E c c --．当C 、D 、E 三点在同一直线上时，EH CO DH DO =．所以1212c cc --=--．整理，得2c 2＋3c －2＝0．解得c ＝－2或12c =（舍去）．所以抛物线的解析式为213222y x x =--．（3）①当P 在BC 下方时，过点P 作x 轴的垂线交BC 于F ．直线BC 的解析式为122y x =-．设213(,2)22P m m m --，那么1(,2)2F m m -，2122FP m m =-+．所以S △PBC ＝S △PBF ＋S △PCF ＝221()24(2)42B C FP x x FP m m m -==-+=--+．因此当P 在BC 下方时，△PBC 的最大值为4．当P 在BC 上方时，因为S △ABC ＝5，所以S △PBC ＜5．综上所述，0＜S ＜5．②若△PBC 的面积S 为正整数，则这样的△PBC 共有11个．考点伸展点P 沿抛物线从A 经过C 到达B 的过程中，△PBC 的面积为整数，依次为（5），4，3，2，1，（0），1，2，3，4，3，2，1，（0）．当P 在BC 下方，S ＝4时，点P 在BC 的中点的正下方，F 是BC 的中点．例 2、如图1，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A (0, 1)、B (2, 0)、O (0, 0)，将此三角板绕原点O 逆时针旋转90°，得到三角形A ′B ′O ．（1）一抛物线经过点A ′、B ′、B ，求该抛物线的解析式；（2）设点P 是第一象限内抛物线上的一个动点，是否存在点P ，使四边形PB ′A ′B 的面积是△A ′B ′O 面积的4倍？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，试指出四边形PB ′A ′B 是哪种形状的四边形？并写出它的两条性质．图1思路点拨1．四边形PB ′A ′B 的面积是△A ′B ′O 面积的4倍，可以转化为四边形PB ′OB 的面积是 △A ′B ′O 面积的3倍．2．联结PO ，四边形PB ′OB 可以分割为两个三角形．3．过点向x 轴作垂线，四边形PB ′OB 也可以分割为一个直角梯形和一个直角三角形．满分解答（1）△AOB 绕着原点O 逆时针旋转90°，点A ′、B ′的坐标分别为(－1, 0) 、(0, 2)．因为抛物线与x 轴交于A ′(－1, 0)、B (2, 0)，设解析式为y ＝a (x ＋1)(x －2)，代入B ′(0, 2)，得a ＝1．所以该抛物线的解析式为y ＝－(x ＋1)(x －2) ＝－x 2＋x ＋2．（2）S △A ′B ′O ＝1．如果S 四边形PB ′A ′B ＝4 S △A ′B ′O ＝4，那么S 四边形PB ′OB ＝3 S △A ′B ′O ＝3．如图2，作PD ⊥OB ，垂足为D ．设点P 的坐标为 (x ，－x 2＋x ＋2)．232'1111(')(22)22222PB OD S DO B O PD x x x x x x =+=-++=-++梯形． 2321113(2)(2)22222PDBS DB PD x x x x x ∆=⨯=--++=-+．所以2'''2+2PDB PB A D PB OD S S S x x ∆=+=-+四边形梯形．解方程－x 2＋2x ＋2＝3，得x 1＝x 2＝1．所以点P 的坐标为(1，2)．图2 图3 图4（3）如图3，四边形PB ′A ′B 是等腰梯形，它的性质有：等腰梯形的对角线相等；等腰梯形同以底上的两个内角相等；等腰梯形是轴对称图形，对称轴是经过两底中点的直线．考点伸展第（2）题求四边形PB ′OB 的面积，也可以如图4那样分割图形，这样运算过程更简单．'11'222PB O P S B O x x x ∆=⋅=⨯=． 22112(2)222PBOP S BO y x x x x ∆=⋅=⨯-++=-++．所以2'''2+2PB O PBO PB A D S S S x x ∆∆=+=-+四边形．甚至我们可以更大胆地根据抛物线的对称性直接得到点P ：作△A ′OB ′关于抛物线的对称轴对称的△BOE ，那么点E 的坐标为(1，2)．而矩形EB ′OD 与△A ′OB ′、△BOP 是等底等高的，所以四边形EB ′A ′B 的面积是△A ′B ′O 面积的4倍．因此点E 就是要探求的点P ．例 3、如图1，在平面直角坐标系中，直线112y x =+与抛物线y ＝ax 2＋bx －3交于A 、B 两点，点A 在x 轴上，点B 的纵坐标为3．点P 是直线AB 下方的抛物线上的一动点（不与点A 、B 重合），过点P 作x 轴的垂线交直线AB 于点C ，作PD ⊥AB 于点D ．（1）求a 、b 及sin ∠ACP 的值；（2）设点P 的横坐标为m ．①用含m 的代数式表示线段PD 的长，并求出线段PD 长的最大值；②连结PB ，线段PC 把△PDB 分成两个三角形，是否存在适合的m 的值，使这两个三角形的面积比为9∶10？若存在，直接写出m 的值；若不存在，请说明理由．图1思路点拨1．第（1）题由于CP //y 轴，把∠ACP 转化为它的同位角． 2．第（2）题中，PD ＝PC sin ∠ACP ，第（1）题已经做好了铺垫．3．△PCD 与△PCB 是同底边PC 的两个三角形，面积比等于对应高DN 与BM 的比． 4．两个三角形的面积比为9∶10，要分两种情况讨论．满分解答（1）设直线112y x =+与y 轴交于点E ，那么A (－2,0)，B (4,3)，E (0,1)．在Rt △AEO 中，OA ＝2，OE ＝1，所以5AE =．所以25sin AEO ∠=．因为PC //EO ，所以∠ACP ＝∠AEO ．因此25sin ACP ∠=将A (－2,0)、B (4,3)分别代入y ＝ax 2＋bx －3，得4230,1643 3.a b a b --=⎧⎨+-=⎩解得12a =，12b =-．（2）由211(,3)22P m m m --，1(,1)2C m m +，得221111(1)(3)42222PC m m m m m =+---=-++．所以2225251595sin 4)1)2PD PC ACP m m m =∠==-++=-+．所以PD 95．（3）当S △PCD ∶S △PCB ＝9∶10时，52m =；当S △PCD ∶S △PCB ＝10∶9时，329m =．图2考点伸展第（3）题的思路是：△PCD 与△PCB 是同底边PC 的两个三角形，面积比等于对应高DN 与BM 的比．而252511cos cos 4)(2)(4)25DN PD PDN PD ACP m m m m =∠=∠=-++=-+-， BM ＝4－m ．①当S △PCD ∶S △PCB ＝9∶10时，19(2)(4)(4)510m m m -+-=-．解得52m =．②当S △PCD ∶S △PCB ＝10∶9时，110(2)(4)(4)59m m m -+-=-．解得329m =．例 4、如图1，直线l 经过点A (1，0)，且与双曲线my x=(x ＞0)交于点B (2，1)．过点(,1)P p p -(p ＞1)作x 轴的平行线分别交曲线m y x =(x ＞0)和my x=-(x ＜0)于M 、N 两点．（1）求m 的值及直线l 的解析式；（2）若点P 在直线y ＝2上，求证：△PMB ∽△PNA ；（3）是否存在实数p ，使得S △AMN ＝4S △AMP ？若存在，请求出所有满足条件的p 的值；若不存在，请说明理由．图1思路点拨1．第（2）题准确画图，点的位置关系尽在图形中．2．第（3）题把S △AMN ＝4S △AMP 转化为MN ＝4MP ，按照点M 与线段NP 的位置关系分两种情况讨论．满分解答（1）因为点B (2，1)在双曲线my x=上，所以m ＝2．设直线l 的解析式为y kx b =+，代入点A (1，0)和点B (2，1)，得0,2 1.k b k b +=⎧⎨+=⎩ 解得1,1.k b =⎧⎨=-⎩ 所以直线l 的解析式为1y x =-．（2）由点(,1)P p p -(p ＞1)的坐标可知，点P 在直线1y x =-上x 轴的上方．如图2，当y ＝2时，点P 的坐标为(3，2)．此时点M 的坐标为(1，2)，点N 的坐标为(－1，2)．由P (3，2)、M (1，2)、B (2，1)三点的位置关系，可知△PMB 为等腰直角三角形．由P (3，2)、N (－1，2)、A (1，0)三点的位置关系，可知△PNA 为等腰直角三角形．所以△PMB ∽△PNA ．图2 图3 图4（3）△AMN 和△AMP 是两个同高的三角形，底边MN 和MP 在同一条直线上．当S △AMN ＝4S △AMP 时，MN ＝4MP ．①如图3，当M 在NP 上时，x M －x N ＝4(x P －x M )．因此222()4(1)x x x x ⎛⎫⎛⎫--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．解得113x +=或1132x -=（此时点P 在x 轴下方，舍去）．此时1132p +=． ②如图4，当M 在NP 的延长线上时，x M －x N ＝4(x M －x P )．因此222()4(1)x x x x ⎛⎫⎛⎫--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．解得152x +=或152x -=（此时点P 在x 轴下方，舍去）．此时152p +=．考点伸展在本题情景下，△AMN 能否成为直角三角形？情形一，如图5，∠AMN ＝90°，此时点M 的坐标为（1，2），点P 的坐标为（3，2）．情形二，如图6，∠MAN ＝90°，此时斜边MN 上的中线等于斜边的一半．不存在∠ANM ＝90°的情况．图5 图6例5、如图1，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为(3,0)，(0,1)．点D 是线段BC 上的动点（与端点B 、C 不重合），过点D 作直线12y x b =-+交折线OAB 于点E ．（1）记△ODE 的面积为S ，求S 与b 的函数关系式；（2）当点E 在线段OA 上时，若矩形OABC 关于直线DE 的对称图形为四边形O 1A 1B 1C 1，试探究四边形O 1A 1B 1C 1与矩形OABC 的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出重叠部分的面积；若改变，请说明理由．图1思路点拨1．数形结合，用b表示线段OE、CD、AE、BE的长．2．求△ODE的面积，要分两种情况．当E在OA上时，OE边对应的高等于OC；当E在AB边上时，要利用割补法求△ODE的面积．3．第（3）题中的重叠部分是邻边相等的平行四边形．4．图形翻着、旋转等运动中，计算菱形的边长一般用勾股定理．满分解答(1)①如图2，当E在OA上时，由12y x b=-+可知，点E的坐标为(2b,0)，OE＝2b．此时S＝S△ODE＝112122OE OC b b⋅=⨯⨯=．②如图3，当E在AB上时，把y＝1代入12y x b=-+可知，点D的坐标为(2b－2,1)，CD＝2b－2，BD＝5－2b．把x＝3代入12y x b=-+可知，点E的坐标为3(3,)2b-，AE＝32b-，BE＝52b-．此时S＝S矩形OABC－S△OAE－S△BDE－S△OCD＝1315133()()(52)1(22) 22222b b b b-⨯-----⨯⨯-252b b=-+．(2)如图4，因为四边形O1A1B1C1与矩形OABC关于直线DE对称，因此DM＝DN，那么重叠部分是邻边相等的平行四边形，即四边形DMEN是菱形．作DH⊥OA，垂足为H．由于CD＝2b－2，OE＝2b，所以EH＝2．设菱形DMEN的边长为m．在Rt△DEH中，DH＝1，NH＝2－m，DN＝m，所以12＋(2－m)2＝m2．解得54m=．所以重叠部分菱形DMEN的面积为54．图2 图3 图4考点伸展把本题中的矩形OABC绕着它的对称中心旋转，如果重叠部分的形状是菱形（如图5），那么这个菱形的最小面积为1，如图6所示；最大面积为53，如图7所示．图5 图6 图7例 6、如图1，在△ABC中，∠C＝90°，A C＝3，BC＝4，CD是斜边AB上的高，点E在斜边AB上，过点E作直线与△ABC的直角边相交于点F，设AE＝x，△AEF的面积为y．（1）求线段AD的长；（2）若EF⊥AB，当点E在斜边AB上移动时，①求y与x的函数关系式（写出自变量x的取值范围）；②当x取何值时，y有最大值？并求出最大值．（3）若点F在直角边AC上（点F与A、C不重合），点E在斜边AB上移动，试问，是否存在直线EF将△ABC的周长和面积同时平分？若存在直线EF，求出x的值；若不存在直线EF，请说明理由．图1 备用图思路点拨1．第（1）题求得的AD 的长，就是第（2）题分类讨论x 的临界点． 2．第（2）题要按照点F 的位置分两种情况讨论．3．第（3）题的一般策略是：先假定平分周长，再列关于面积的方程，根据方程的解的情况作出判断．满分解答(1) 在Rt △ABC 中， AC ＝3，BC ＝4，所以AB ＝5．在Rt △ACD 中，39cos 355AD AC A ==⨯=． (2) ①如图2，当F 在AC 上时，905x <<．在Rt △AEF 中，4tan 3EF AE A x ==．所以21223y AE EF x =⋅=．如图3，当F 在BC 上时，955x <≤．在Rt △BEF 中，3tan (5)4EF BE B x ==-．所以21315288y AE EF x x =⋅=-+． ②当905x <<时，223y x =的最大值为5425；当955x <≤时，231588y x x =-+23575)8232x =--+(的最大值为7532．因此，当52x =时，y 的最大值为7532．图2 图3 图4(3)△ABC 的周长等于12，面积等于6．先假设EF 平分△ABC 的周长，那么AE ＝x ，AF ＝6－x ，x 的变化范围为3＜x ≤5．因此1142sin (6)(6)2255AEF S AE AF A x x x x ∆=⋅⋅=-⨯=--．解方程2(6)35x x --=，得1362x =因为1362x =+3≤x ≤5范围内（如图4），因此存在直线EF 将△ABC 的周长和面积同时平分．考点伸展如果把第（3）题的条件“点F 在直角边AC 上”改为“点F 在直角边BC 上”，那么就不存在直线EF将△ABC 的周长和面积同时平分．先假设EF 平分△ABC 的周长，那么AE ＝x ，BE ＝5－x ，BF ＝x ＋1．因此21133sin (5)(1)(45)22510BEF S BE BF B x x x x ∆=⋅⋅=-+⨯=---．解方程23(45)310x x ---=．整理，得2450x x -+=．此方程无实数根．例7、如图1，正方形 ABCD 中，点A 、B 的坐标分别为（0，10），（8，4），点C 在第一象限．动点P 在正方形ABCD 的边上，从点A 出发沿A →B →C →D 匀速运动，同时动点Q 以相同速度在x 轴上运动，当P 点到D 点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t 秒．（1）当P 点在边AB 上运动时，点Q 的横坐标x （长度单位）关于运动时间t （秒）的函数图象如图2所示，请写出点Q 开始运动时的坐标及点P 运动速度；（2）求正方形边长及顶点C 的坐标；（3）在（1）中当t 为何值时，△OPQ 的面积最大，并求此时P 点的坐标．（4）如果点P 、Q 保持原速度速度不变，当点P 沿A →B →C →D 匀速运动时，OP 与PQ 能否相等，若能，写出所有符合条件的t 的值；若不能，请说明理由．图1 图2思路点拨1．过点B 、C 、P 向x 轴、y 轴作垂线段，就会构造出全等的、相似的直角三角形，出现相等、成比例的线段，用含有t的式子表示这些线段是解题的基础．2．求点C的坐标，为求直线BC、CD的解析式作铺垫，进而为附加题用两点间的距离公式作准备．3．不论点P在AB、BC还是CD上，点P所在的直角三角形的三边比总是3∶4∶5，灵活运用方便解题．4．根据二次函数的解析式求函数的最值时，要注意定义域与对称轴的位置关系．满分解答（1）Q(1,0)，点P每秒钟运动1个单位长度．（2）过点B作BE⊥y轴于点E，过点C作x轴的垂线交直线BE于F，交x轴于H．在Rt△ABE中，BE＝8，AE＝10－4＝6，所以AB＝10．由△ABE≌△BCF，知BF＝AE＝4，CF＝BE＝6．所以EF＝8＋6＝14，CH＝8＋4＝12．因此点C的坐标为（14，12）．（3）过点P作PM⊥y轴于M，PN⊥x轴于N．因为PM//BE，所以AP AM MPAB AF BF==，即1068t AM MP==．因此34,55AM t PM t==．于是3410,55PN OM t ON PM t==-==．设△OPQ的面积为S(平方单位)，那么2113347(1)(10)52251010S OQ PN t t t t=⋅⋅=+-=-++，定义域为0≤t≤10．因为抛物线开口向下，对称轴为直线476t=，所以当476t=时，△OPQ的面积最大．此时P的坐标为(9415，5310)．（4）当53t=或29513t=时, OP与PQ相等．图3 图4考点伸展附加题的一般思路是：点Q的横坐标是点P的横坐标的2倍．先求直线AB、BC、CD的解析式，根据直线的解析式设点P 的坐标，再根据两点间的距离公式列方程PO ＝PQ ．附加题也可以这样解：①如图4，在Rt △AMP 中，设AM ＝3m ，MP ＝4 m ，AP ＝5m ，那么OQ ＝8m ．根据AP 、OQ 的长列方程组5,81,m t m t =⎧⎨=+⎩解得53t =． ②如图5，在Rt △GMP 中，设GM ＝3m ，MP ＝4 m ，GP ＝5m ，那么OQ ＝8m ．在Rt △GAD 中，GD ＝7.5．根据GP 、OQ 的长列方程组537.5,81,m t m t =-⎧⎨=+⎩解得29513t =．③如图6，设MP ＝4m ，那么OQ ＝8m ．根据BP 、OQ 的长列方程组51010,81,m t m t -=-⎧⎨=+⎩解得53t =，但这时点P 不在BC 上．图5 图6。

2019届中考数学压轴题精练：因动点产生的面积问题(含2019试题-含详解)

3．求△PBC 面积的取值范围，要分两种情况计算，P 在 BC 上方或下方． 4．求得了 S 的取值范围，然后罗列 P 从 A 经过 C 运动到 B 的过程中，面积的正整数值，再数一数个数．注意排除点 A、C、B 三个时刻的值．
满分解答
（1）b＝ c + 1 ，点 B 的横坐标为－2c． 2
（2）由 y = 1 x2 + (c + 1)x + c = 1 (x +1)(x + 2c) ，设 E (x, 1 (x +1)(x + 2c)) ．
22
2
2
所以
S△PBC＝S△PBF＋S△PCF＝
1 2
FP( xB
−
xC
)
=
2FP
=
−m2
+
4m
=
−(m
−
2)2
+
4
．
因此当 P 在 BC 下方时，△PBC 的最大值为 4．
当 P 在 BC 上方时，因为 S△ABC＝5，所以 S△PBC＜5．
综上所述，0＜S＜5．
三点在同一直线上时，求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，点 P 是 x 轴下方的抛物线上的一动点，连结 PB、PC．设△PBC 的面积为 S． ①求 S 的取值范围； ②若△PBC 的面积 S 为正整数，则这样的△PBC 共有_____个．
图1 动感体验
请打开几何画板文件名“13 苏州 29”，拖动点 C 在 y 轴负半轴上运动，可以体验到，△EHA 与△COB 保持相似．点击按钮“C、D、E 三点共线”，此时△EHD∽△COD．拖动点 P 从 A 经过 C 到达 B，数一数面积的正整数值

因动点产生的面积问题

因动点产生的面积问题1.如图1, 四边形OABC是矩形, 点A.C的坐标分别为(3,0), (0,1). 点D是线段BC上的动点〔与端点B.C不重合〕, 过点D作直线交折线OAB于点E.〔1〕记△ODE的面积为S, 求S与b的函数关系式；〔2〕当点E在线段OA上时, 假设矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O1A1B1C1, 试探究四边形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠局部的面积是否发生变化？假设不变, 求出重叠局部的面积；假设改变,请说明理由．图12.如图1, 直角梯形OABC的边OA在y轴的正半轴上, OC在x轴的正半轴上, OA＝AB＝2, OC＝3, 过点B作BD⊥BC, 交OA于点D. 将∠DBC绕点B按顺时针方向旋转, 角的两边分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于E和F.〔1〕求经过点A.B.C三点的抛物线的解析式；〔2〕当BE经过〔1〕中抛物线的顶点时, 求CF的长；〔3〕连结EF, 设△BEF与△BFC的面积之差为S, 问当CF为何值时S最小, 并求出最小值．图13.如图1, 在△ABC中, ∠C＝90°, AC＝3, BC＝4, CD是斜边AB上的高, 点E在斜边AB上, 过点E 作直线与△ABC的直角边相交于点F, 设AE＝x, △AEF的面积为y.〔1〕求线段AD的长；〔2〕假设EF⊥AB, 当点E在斜边AB上移动时,①求y与x的函数关系式〔写出自变量x的取值范围〕；②当x取何值时, y有最大值？并求出最大值.〔3〕假设点F在直角边AC上〔点F与A、C不重合〕, 点E在斜边AB上移动, 试问, 是否存在直线EF 将△ABC的周长和面积同时平分？假设存在直线EF, 求出x的值；假设不存在直线EF, 请说明理由．图1 备用图4.如图1, : 抛物线y＝x2＋bx－3与x轴相交于A.B两点, 与y轴相交于点C, 并且O..OC.〔1〕求这条抛物线的解析式；〔2〕过点C作CE // x轴, 交抛物线于点E, 设抛物线的顶点为点D, 试判断△CDE的形状, 并说明理由；〔3〕设点M在抛物线的对称轴l上, 且△MCD的面积等于△CDE的面积, 请写出点M的坐标〔无需写出解题步骤〕．图15.如图1, 在平面直角坐标系xOy中, 直角梯形OABC的顶点O为坐标原点, 顶点A.C分别在x轴、y 轴的正半轴上, CB∥OA, OC＝4, BC＝3, OA＝5, 点D在边OC上, CD＝3, 过点D作DB的垂线DE, 交x 轴于点E.〔1〕求点E的坐标；〔2〕二次函数y＝－x2＋bx＋c的图像经过点B和点E.①求二次函数的解析式和它的对称轴；②如果点M在它的对称轴上且位于x轴上方, 满足S△CEM＝2S△ABM, 求点M的坐标.图16.如图1, 直线l经过点A(1, 0), 且与双曲线(x＞0)交于点B(2, 1). 过点(p＞1)作x轴的平行线分别交曲线(x＞0)和(x＜0)于M、N两点.〔1〕求m的值及直线l的解析式；〔2〕假设点P在直线y＝2上, 求证: △PMB∽△PNA；〔3〕是否存在实数p, 使得S△AMN＝4S△AMP？假设存在, 请求出所有满足条件的p的值；假设不存在,请说明理由．图1因动点产生的面积问题1.〔2021年广州市中考第25题〕如图1, 四边形OABC是矩形, 点A.C的坐标分别为(3,0), (0,1). 点D是线段BC上的动点〔与端点B.C不重合〕, 过点D作直线交折线OAB于点E.〔1〕记△ODE的面积为S, 求S与b的函数关系式；〔2〕当点E在线段OA上时, 假设矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O1A1B1C1, 试探究四边形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠局部的面积是否发生变化？假设不变, 求出重叠局部的面积；假设改变,请说明理由．图1思路点拨1. 数形结合, 用b表示线段OE、CD.AE、BE的长.2．求△ODE的面积, 要分两种情况．当E在OA上时, OE边对应的高等于OC；当E在AB边上时, 要利用割补法求△ODE的面积．3. 第〔2〕题中的重叠局部是邻边相等的平行四边形.4．图形翻折、旋转等运动中, 计算菱形的边长一般用勾股定理．总分值解答(1)①如图2, 当E在OA上时, , 由可知, 点E的坐标为(2b,0), OE＝2b.此时S＝S△ODE＝.②如图3, 当E在AB上时, , 把y＝1代入可知, 点D的坐标为(2b－2,1), CD＝2b－2, BD＝5－2b．把x＝3代入可知, 点E的坐标为, AE＝, BE＝．此时S＝S矩形OABC－S△OAE－S△BDE －S△OCD＝.(2)如图4, 因为四边形O1A1B1C1与矩形OABC关于直线DE对称, 因此DM＝DN,那么重叠局部是邻边相等的平行四边形, 即四边形DMEN是菱形.作DH⊥OA, 垂足为H. 由于CD＝2b－2, OE＝2b, 所以EH＝2.设菱形DMEN的边长为m．在Rt△DNH中, DH＝1, NH＝2－m, DN＝m, 所以12＋(2－m)2＝m2．解得．所以重叠局部菱形DMEN的面积为．图2 图3 图4考点伸展把此题中的矩形OABC绕着它的对称中心旋转, 如果重叠局部的形状是菱形〔如图5〕, 那么这个菱形的最小面积为1, 如图6所示；最大面积为, 如图7所示.图5 图6 图72.2021年湖州市中考第24题如图1, 直角梯形OABC的边OA在y轴的正半轴上, OC在x轴的正半轴上, OA＝AB＝2, OC＝3, 过点B作BD⊥BC, 交OA于点D．将∠DBC绕点B按顺时针方向旋转, 角的两边分别交y轴的正半轴、x 轴的正半轴于E和F．〔1〕求经过点A.B.C三点的抛物线的解析式；〔2〕当BE经过〔1〕中抛物线的顶点时, 求CF的长；〔3〕连结EF, 设△BEF与△BFC的面积之差为S, 问当CF为何值时S最小, 并求出最小值．图1 图2思路点拨1. 过点B向坐标轴作垂线, 图形中就构造出丰富的余角, 从而构造出相似三角形. 此题中因为点B的坐标特殊, 因此构造出全等三角形.2．用CF表示△BEF与△BFC的面积之差, 首先要判断△BEF是等腰直角三角形, 这样△BEF的面积就转化为求BF2的问题．总分值解答(1)根据题意可得A(0,2), B(2,2), C(3,0). 设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c,那么解得, , . 所以抛物线的解析式为.(2)由, 得抛物线的顶点G的坐标为〔〕.如图2, 过点B作x轴的垂线, 垂足为M, 过点E作y轴的垂线, 交BM于N.因为∠BEN与∠FBM都是∠EBN的余角, 所以∠BEN＝∠FBM.又因为BM＝EN＝2, 所以△BMF≌△ENB. 因此BE＝BF, BN＝FM.当BE经过抛物线的顶点G时, . 此时.(3)设CF的长为a. 在Rt△BFM中, .因为△BEF是等腰直角三角形, 所以．因此.所以当CF＝2时, S取得最小值, 最小值为.考点伸展：图2是一个典型图, 在这个图形中, △BMC≌△BAD, △BFC≌△BED, △BFM≌△BEA≌△ENB, △BEF与△BDC、△BAM都是等腰直角三角形.如果把此题中的条件“角的两边分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于E和F〞改为“角的两边分别交y 轴、x轴于E和F〞, 那么上述结论依然成立〔如图3, 图4〕．图3 图43.如图1, 在△ABC中, ∠C＝90°, AC＝3, BC＝4, CD是斜边AB上的高, 点E在斜边AB上, 过点E 作直线与△ABC的直角边相交于点F, 设AE＝x, △AEF的面积为y.〔1〕求线段AD的长；〔2〕假设EF⊥AB, 当点E在斜边AB上移动时,①求y与x的函数关系式〔写出自变量x的取值范围〕；②当x取何值时, y有最大值？并求出最大值.〔3〕假设点F 在直角边AC 上〔点F 与A 、C 不重合〕, 点E 在斜边AB 上移动, 试问, 是否存在直线EF 将△ABC 的周长和面积同时平分？假设存在直线EF, 求出x 的值；假设不存在直线EF, 请说明理由．图1 备用图思路点拨1. 第〔1〕题求得的AD 的长, 就是第〔2〕题分类讨论x 的临界点.2. 第〔2〕题要按照点F 的位置分两种情况讨论.3．第〔3〕题的一般策略是：先假定平分周长, 再列关于面积的方程, 根据方程的解的情况作出判断．总分值解答(1) 在Rt △ABC 中, AC ＝3, BC ＝4, 所以AB ＝5. 在Rt △ACD 中, .(2) ①如图2, 当F 在AC 上时, . 在Rt △AEF 中, . 所以 . 如图3, 当F 在BC 上时, . 在Rt △BEF 中, . 所以 . ②当时, 的最大值为；当时, 的最大值为 .因此, 当时, y 的最大值为．图2 图3 图4(3)△ABC 的周长等于12, 面积等于6.先假设EF 平分△ABC 的周长, 那么AE ＝x, AF ＝6－x, x 的变化范围为3＜x ≤5．因此．解方程 , 得．因为在3＜x ≤5范围内〔如图4〕, 因此存在直线EF 将△ABC 的周长和面积同时平分．考点伸展如果把第〔3〕题的条件“点F 在直角边AC 上〞改为“点F 在直角边BC 上〞, 那么就不存在直线EF 将△ABC 的周长和面积同时平分.先假设EF 平分△ABC 的周长, 那么AE ＝x, BE ＝5－x, BF ＝x ＋1．因此21133sin (5)(1)(45)22510BEF S BE BF B x x x x ∆=⋅⋅=-+⨯=---．解方程 . 整理, 得 . 此方程无实数根.4.如图1, : 抛物线y ＝x2＋bx －3与x 轴相交于A.B 两点, 与y 轴相交于点C, 并且OA = OC. 〔1〕求这条抛物线的解析式；〔2〕过点C 作CE // x 轴, 交抛物线于点E, 设抛物线的顶点为点D, 试判断△CDE 的形状, 并说明理由；〔3〕设点M 在抛物线的对称轴l 上, 且△MCD 的面积等于△CDE 的面积, 请写出点M 的坐标〔无需写出解题步骤〕．思路点拨1. 求抛物线的解析式, 关键是求点A 的坐标, 根据条件, 数形结合. 2．判断△CDE 的形状是等腰直角三角形, 可以方便第〔3〕求解点M 的坐标．总分值解答〔1〕因为抛物线y ＝x2＋bx －3与y 轴交于点C(0, －3), OA ＝OC, 所以点A 的坐标为(－3, 0).将A (－3, 0)代入y ＝x2＋bx －3, 解得b ＝2. 因此抛物线的解析式为y ＝x2＋2x －3. 〔2〕由y ＝x2＋2x －3＝(x ＋1) 2－4, 得顶点D 的坐标为(－1, －4) . 因为CE // x 轴所以点C 与点E 关于抛物线的对称轴对称. 因此CE ＝2, DE ＝DC. 由两点间的距离公式, 求得DC ＝ . 于是可得DE2＋DC2＝CE2.所以△CDE 是等腰直角三角形．〔3〕M1〔－1, －2〕, M2〔－1, －6〕．考点伸展第〔3〕题的解题思路是这样的:如图2, 如图3, 因为△MCD 与△CDE 是同底的两个三角形, 如果面积相等, 那么过点E 作CD 的平行线, 与抛物线的对称轴的交点就是要探求的点M ．再根据对称性, 另一个符合条件的点M 在点D 的下方, 这两个点M 关于点D 对称．还有更简单的几何说理方法:因为△CDE 是等腰直角三角形, 对于点D 上方的点M, 四边形CDEM 是正方形, 容易得到点M 的坐标为〔－1, －2〕．再根据对称性, 得到另一个点M 的坐标为〔－1, －6〕．图2 图35.如图1, 在平面直角坐标系xOy 中, 直角梯形OABC 的顶点O 为坐标原点, 顶点A.C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上, CB ∥OA, OC ＝4, BC ＝3, OA ＝5, 点D 在边OC 上, CD ＝3, 过点D 作DB 的垂线DE, 交x 轴于点E. 〔1〕求点E 的坐标；〔2〕二次函数y ＝－x2＋bx ＋c 的图像经过点B 和点E. ①求二次函数的解析式和它的对称轴；②如果点M 在它的对称轴上且位于x 轴上方, 满足S △CEM ＝2S △ABM, 求点M 的坐标．图1思路点拨1. 这三道题目步步为赢, 错一道题目, 就要影响下一道的计算.2. 点M 在抛物线的对称轴上且位于x 轴上方, 要分两种情况讨论, 分别为点M 在线段FB 和FB 的延长线上. 因为用点M 的纵坐标表示△ABM 的底边长, 因点M 的位置不同而不同.总分值解答〔1〕因为BC ∥OA, 所以BC ⊥CD. 因为CD ＝CB ＝3, 所以△BCD 是等腰直角三角形. 因此∠BCD ＝45°. 又因为BC ⊥CD, 所以∠ODE ＝45°. 所以△ODE 是等腰直角三角形, OE ＝OD ＝1. 所以点E 的坐标是〔1, 0〕.〔2〕①因为抛物线y ＝－x2＋bx ＋c 经过点B 〔3, 4〕和点E 〔 1, 0〕, 所以解得所以二次函数的解析式为y ＝－x2＋6x －5, 抛物线的对称轴为直线x ＝3.②如图2, 如图3, 设抛物线的对称轴与x 轴交于点F, 点M 的坐标为〔3, t 〕．CEM MEF COE OFMC S S S S ∆∆∆=--梯形111(4)321442222t t t =+⨯-⨯⨯-⨯⨯=+．〔ⅰ〕如图2, 当点M 位于线段BF 上时, .解方程 , 得 . 此时点M 的坐标为〔3, 〕.〔ⅱ〕如图3, 当点M 位于线段FB 延长线上时, .解方程, 得．此时点M的坐标为〔3, 8〕．图2 图3考点伸展对于图2, 还有几个典型结论: 此时, C.M、A三点在同一条直线上；△CEM的周长最小. 可以求得直线AC 的解析式为, 当x＝3时, . 因此点M〔3, 〕在直线AC上. 因为点A.E关于抛物线的对称轴对称, 所以ME＋MC＝MA＋MC. 当A.M、C三点共线时, ME＋MC最小, △CEM的周长最小.6.如图1, 直线l经过点A(1, 0), 且与双曲线(x＞0)交于点B(2, 1). 过点(p＞1)作x轴的平行线分别交曲线(x＞0)和(x＜0)于M、N两点.〔1〕求m的值及直线l的解析式；〔2〕假设点P在直线y＝2上, 求证: △PMB∽△PNA；〔3〕是否存在实数p, 使得S△AMN＝4S△AMP？假设存在, 请求出所有满足条件的p的值；假设不存在,请说明理由．思路点拨1. 第〔2〕题准确画图, 点的位置关系尽在图形中.2. 第〔3〕题把S△AMN＝4S△AMP转化为MN＝4MP, 按照点M与线段NP的位置关系分两种情况讨论.总分值解答〔1〕因为点B(2, 1)在双曲线上, 所以m＝2. 设直线l的解析式为, 代入点A(1, 0)和点B(2, 1), 得解得所以直线l的解析式为.〔2〕由点(p＞1)的坐标可知, 点P在直线上x轴的上方.如图2, 当y＝2时, 点P的坐标为(3, 2). 此时点M的坐标为(1, 2), 点N的坐标为(－1, 2).由P(3, 2)、M(1, 2)、B(2, 1)三点的位置关系, 可知△PMB为等腰直角三角形.由P(3, 2)、N(－1, 2)、A(1, 0)三点的位置关系, 可知△PNA为等腰直角三角形．所以△PMB∽△PNA.图2 图3 图4〔3〕△AMN和△AMP是两个同高的三角形, 底边MN和MP在同一条直线上.当S△AMN＝4S△AMP时, MN＝4MP.①如图3, 当M在NP上时, xM－xN＝4(xP－xM). 因此.解得或〔此时点P在x轴下方, 舍去〕. 此时.②如图4, 当M在NP的延长线上时, xM－xN＝4(xM－xP). 因此.解得或〔此时点P在x轴下方, 舍去〕．此时．考点伸展在此题情景下, △AMN能否成为直角三角形？情形一, 如图5, ∠AMN＝90°, 此时点M的坐标为〔1, 2〕, 点P的坐标为〔3, 2〕.情形二, 如图6, ∠MAN＝90°, 此时斜边MN上的中线等于斜边的一半．不存在∠ANM＝90°的情况.图5 图6。