函数单调性模拟课堂
高中数学函数的单调性15分钟片段教学省公开课获奖课件市赛课比赛一等奖课件
f(x1) f(x2)
x
a x1 xO 2 b
f(x1) f(x2)
a x1 xO 2 b
x
⒉ 单调性与单调区间
若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则 就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格旳)单调性,这一 区间叫做函数y=f(x)旳单调区间.此时也说函数y=f(x) 是这一区间上旳单调函数.
§1.3.1 函数旳单调性
学习目旳：
1、经过观察某些函数图像旳升降，形成 增（减）函数旳直观认识；
2、经过详细函数值旳大小比较，认识 函数值随自变量旳增大而增大（减小） 旳规律，得出增（减）函数旳定义；
3、掌握用定义证明函数单调性旳基本措
问题1：观察下列函数图像，说说他们反应 了相应函数旳哪些变化规律？
p(V2V2 V1 V1V2
作差 变形
由V1，V2∈ (0，+∞)且V1<V2，得V1V2>0, V2- V1 >0
又k>0,于是 p(V1) p(V2 ) 0 定号
p(V2 ) p(V1 )
就是所说以，，当函体数积Vp降低Vk时,V，压(强0,p将增)是大减. 函数.也 结论
在单调区间上，增函数旳图象是上升旳，减函 数旳图象是下降旳.
例2.物理学中旳玻意耳定律 p k (k为正常数)告诉我
V
们，对于一定量旳气体，当其体积V减小时，压强p
将增大。试用函数旳单调性证明之。
证明：根据单调性旳定义，设V1，V2是定义域 取值 (0，+∞)上旳任意两个实数，且V1<V2，则
p(V1)
⑴设 x1, x2 是给定区间内旳任意两个值，且 x1 x2
⑵作差f (x1) f (x2 )并将此差式变形(要注意变形旳程度)
函数单调性课件(公开课)
定义法
总结词
通过函数定义判断单调性
详细描述
在区间内任取两个数$x_{1}$、$x_{2}$，如果$x_{1} < x_{2}$，都有$f(x_{1}) leq f(x_{2})$，则函数在这个区间内单调递增；如果$x_{1} < x_{2}$，都有$f(x_{1}) geq f(x_{2})$，则函数在这个区间内单调递减。
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03 函数单调性的应用
单调性与最值
总结词
单调性是研究函数最值的重要工 具。
详细描述
单调性决定了函数在某个区间内的 变化趋势，通过单调性可以判断函 数在某个区间内是否取得最值，以 及最值的位置。
举例
对于函数f(x)=x^2，在区间(-∞,0) 上单调递减，因此在该区间上取得 最大值0。
单调性与不等式证明
单调递减函数的图像
在单调递减函数的图像上，随着$x$的增大，$y$的值减小，图像 呈现下降趋势。
单调性转折点
在单调性转折点上，函数的导数由正变负或由负变正，对应的函数 图像上表现为拐点或极值点。
02 判断函数单调性的方法
导数法
总结词
通过求导判断函数单调性
详细描述
求函数的导数，然后分析导数的符号，根据导数的正负判断函数的增减性。如 果导数大于0，则函数在该区间内单调递增；如果导数小于0，则函数在该区间 内单调递减。
总结词
单调性是证明不等式的重要手段。
详细描述
通过比较函数在不同区间的单调性，可以证明一些不等式。例如，如果函数f(x)在区间[a,b]上 单调递增，那么对于任意x1,x2∈[a,b]，有f(x1)≤f(x2)，从而证明了相应的不等式。
举例
利用函数f(x)=ln(x)的单调递增性质，可以证明ln(x1/x2)≤(x1-x2)/(x1+x2)。
《函数的单调性》示范公开课教学PPT课件【高中数学人教版】
（2）它在定义域I上的单调性是怎样的？证明你的结论．
答案：图象略．
（1）（－∞，0）∪（0，＋∞）．
（2）当k＞0时，y＝ k 在区间（－∞，0）和（0，＋∞）上单调递减； x
当k＜0时，y＝ k 在区间（－∞，0）和（0，＋∞）上单调递增． x
目标检测
44．画出反比例函数y＝
k x
的图象．
（1）这个函数的定义域I是什么？
新知探究
追问5 函数f（x）＝|x|，f（x）＝－x2各有怎样的单调性？
f（x）＝|x|在区间（－∞，0]上单调递减， 在区间[0，＋∞）上单调递增； f（x）＝－x2在区间（－∞，0]上单调递增， 在区间[0，＋∞）上是单调递减．
新知探究
问题4 如何用符号语言准确刻画函数值随自变量的增大而增大 （减小）呢？
证明：由x1，x2∈（1，＋∞），得x1＞1，x2＞1，
所以x1x2＞1，x1x2－1＞0．
由x1＜x2，得x1－x2＜0，
于是（x1－x2）（
x1x2 1 x1 x2
）＜0，即y1＜y2．
所以，函数y＝x＋ 1 在区间（1，＋∞）上的单调递增． x
新知探究
追问 你能用单调性定义探究y＝x＋ 1 在整个定义域内的单调性吗？ x
图1
图2
图3
图1的特点是：从左至右始终保持上升；
图2与图3的特点是：从左至右有升也有降．
新知探究
★资源名称： 【数学探究】函数值的变化情况 ★使用说明：本资源通过操作展示动画，使学生观察函数值随着自变量值的变化而变化的情 况．通过交互式动画的方式，运用了本资源，可以吸引学生的学习兴趣，增加教学效果，提高教 学效率． 注：此图片为动画缩略图，如需使用资源，请于资源库调用
高中数学第二章函数3函数的单调性一课时跟踪训练含解析北师大版必
学习资料函数的单调性（一）[A组学业达标]1．（2019·泸县高一模拟)在区间(－∞，0）上为增函数的是（)A．f（x)＝－3x＋2 B．f(x)＝错误!C．y＝｜x｜D．f（x）＝－2x2＋4解析：对于A，函数在R递减；对于B，函数在(－∞，0)递减;对于C，x＜0时，y＝－x,递减；对于D，函数的对称轴是x＝0,开口向下，故函数f(x)在(－∞,0）递增．答案:D2．若函数y＝ax与y＝－错误!在区间(0，＋∞)上都是减函数，则函数y＝ax2＋bx 在区间(0,＋∞）上是(）A．增函数B．减函数C．先增后减D．先减后增解析：由于函数y＝ax与y＝－错误!在区间(0，＋∞)上都是减函数,所以a＜0，－b＞0，即a＜0，b＜0。
因为抛物线y＝ax2＋bx的对称轴为x＝－错误!＜0，且抛物线开口向下，所以y＝ax2＋bx在区间(0，＋∞）上是减函数．答案：B3．若函数f（x)＝x2＋3ax＋5在区间(－∞，5)上为减函数，则实数a的取值范围是(）A。
错误!B。
错误!C.错误!D.错误!解析：因为函数f(x)＝x2＋3ax＋5的单调递减区间为错误!,所以（－∞,5)⊆错误!,所以a≤－错误!.答案：A4．（2019·临猗县高一模拟）若函数f（x）＝｜2x＋a|的单调递增区间是［3，＋∞），则a的值为（)A．－2 B．2 C．－6 D．6解析：∵f（x）＝|2x＋a|的单调递增区间错误!，∴由－a2＝3得a ＝－6. 答案：C5．(2019·马尾区高一模拟)已知f (x ）是定义在[0，＋∞）上单调递增的函数，则满足f (2x －1）＜f 错误!的x 取值范围是( ) A.错误! B.错误! C 。
错误!D.错误!解析：∵f （x )是定义在[0，＋∞）上单调递增的函数， ∴不等式f (2x －1)＜f 错误!等价为0≤2x －1＜错误!, 即错误!≤x ＜错误!，即不等式的解集为错误!. 答案:C6．(2019·海淀区高一模拟)写出函数f (x )＝－x 2＋2｜x ｜的单调递增区间是________． 解析:由题意，函数 f (x ）＝－x 2＋2｜x |＝错误! 作出函数f (x ）的图像如图所示：由图像知，函数f (x ）的单调递增区间是(－∞，－1)和（0,1）． 答案：（－∞，－1)和(0，1)7．已知函数f （x )＝2x 2－mx ＋3，当x ∈[－2，＋∞）时，f （x ）是增函数，当x ∈（－∞，－2）时,f (x )是减函数,则f (1)＝________。
课堂互动探究单调性——函数单调性课堂教学教案
课堂互动探究单调性——函数单调性课堂教学教案1. 教学目标与要求在本次教学活动中，我们将通过多元化的教学方式，让学生们了解函数单调性的概念，认识单调性的性质，学会如何进行单调性的证明，并且通过实际算例进行理解和探索，在激发学生的主动性和动手能力的同时，让学生掌握函数单调性相关的基本概念、基本方法和基本技巧，提高学生的数学素养和解决实际问题能力。
2. 教学内容与重点2.1 函数单调性的定义和性质2.1.1 函数单调性的基本概念及性质2.1.2 单调性的分类2.1.3 单调性与函数增减性的关系2.2 函数单调性的探究和证明2.2.1 函数单调性的初步探究2.2.2 单调性的证明方法2.2.3 案例分析与总结3. 教学方法与手段3.1 想象模拟法3.1.1 视觉模拟3.1.2 语音模拟3.2 实际探究法3.2.1 实际数学模型的构建3.2.2 软件模拟仿真3.3 互动教学法3.3.1 学生讨论交流3.3.2 班级竞赛小组合作3.3.3 教师情景讲解4. 教学过程与重难点4.1 教学过程4.1.1 函数单调性的定义及性质讲解 4.1.2 案例分析及交流4.1.3 实际探究验证及总结4.1.4 单调性证明方法和技巧4.1.5 课堂练习和解答4.2 教学重点与难点4.2.1 函数单调性的概念及性质4.2.2 单调性的分类4.2.3 单调性与函数增减性的关系 4.2.4 单调性的证明方法和技巧5. 课后作业与答案解析5.1 课堂习题解答及讲评5.2 预习练习和自主学习任务5.3 学生小组探究报告6. 教学效果与评价6.1 教学效果展示及分析6.2 学生评价和教师评价6.3 教学反思和改进建议本文主要介绍了函数单调性的相关知识，包括其定义、性质、分类、证明方法与技巧，以及教学目标和要求，教学重点与难点，教学方法和手段等。
通过多元化的教学方式，如想象模拟法、实际探究法、互动教学法等，让学生主动参与探究和交流，提高其数学素养和解决实际问题的能力。
函数单调性课件(公开课)ppt
目录
• 函数单调性的定义与性质 • 判断函数单调性的方法 • 单调性在解决实际问题中的应用 • 函数单调性的深入理解 • 函数单调性的实际案例分析
01 函数单调性的定义与性质
函数单调性的定义
函数单调性是指函数在某个区间内的增减性。如果函数在某个区间内单调递增， 则表示函数值随着自变量的增加而增加；如果函数在某个区间内单调递减，则表 示函数值随着自变量的增加而减小。
的计算过程。
单调性与微分方程的关系
要点一
单调性决定了微分方程解的稳定 性
对于一阶线性微分方程，如果其系数函数在某区间内单调 递增（或递减），则该微分方程的解在此区间内是稳定的 。
要点二
单调性是研究微分方程的重要工 具
通过单调性可以判断微分方程解的存在性和唯一性，以及 研究解的动态行为。
05 函数单调性的实际案例分 析
总结词
利用单调性证明或解决不等式问题
详细描述
单调性在解决不等式问题中起到关键作用。通过分析函数的单调性，我们可以证明不等式或解决与不等式相关的 问题。例如，利用单调性可以证明数学归纳法中的不等式，或者在比较大小的问题中利用单调性进行判断。
单调性在函数极值问题中的应用
总结词
利用单调性求解函数的极值
详细描述
函数单调性的定义可以通过函数的导数来判断。如果函数的导数大于0，则函数在该 区间内单调递增；如果函数的导数小于0，则函数在该区间内单调递减。
函数单调性的性质
函数单调性具有传递性，即如果函数在区间I上单调递增，且 在区间J上单调递增，则函数在区间I和J的交集上也是单调递 增的。
函数单调性具有相对性，即如果函数在区间I上单调递增，且 另一个函数在区间J上单调递增，则这两个函数在区间I和J的 交集上也是单调递增的。
函数的单调性(公开课课件)
单调减函数是指函数在某个区间内，对于任意两个自变量$x_1$和$x_2$（$x_1 < x_2$），如果$x_1$和$x_2$ 都在这区间内，那么函数值$f(x_1) geq f(x_2)$。也就是说，函数的图像随着$x$的增加而下降。
严格单调函数的定义
总结词
严格单调函数是指函数在某个区间内，严格满足单调增或单调减条件的函数。
利用单调性解方程
利用函数的单调性，可以求解方程。
通过分析函数的单调性，可以确定方程解的范围，从而求解方程。例如，对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$，如果$a > 0$，则函数$f(x) = ax^2 + bx + c$在区间$(-infty, -frac{b}{2a})$上单调递减，在区间$(-frac{b}{2a}, +infty)$上单调递增 ，因此方程的解必定落在$(-frac{b}{2a}, +infty)$区间内。
函数单调性的反例
04
单调增函数的反例
总结词
非严格单调增函数
详细描述
有些函数在其定义域内并非严格单调递增，即存在某些区间内函数值先减小后 增大。例如，函数$f(x) = x^3$在区间$(-2, -1)$内是单调减函数。
单调减函数的反例
总结词
非严格单调减函数
详细描述
有些函数在其定义域内并非严格单调递减，即存在某些区间 内函数值先增大后减小。例如，函数$f(x) = frac{1}{x}$在区 间$(1, +infty)$内是单调增函数。
详细描述
单调增函数是指函数在某个区间内，对于任 意两个自变量$x_1$和$x_2$（$x_1 < x_2$ ），如果$x_1$和$x_2$都在这区间内，那么 函数值$f(x_1) leq f(x_2)$。也就是说，函数 的图像随着$x$的增加而上升。
函数的单调性(公开课课件)
VS
单调性与极值大小的关系
单调性可以用来比较不同区间上的极值大 小。
单调性与最值的关系
单调性与最值点的关系
单调性可以用来判断函数在某点是否为最值 点。
单调性与最值大小的关系
单调性可以用来比较不同区间上的最值大小 。
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函数单调性的应用
利用单调性求参数范围
通过函数的单调性，我们可以确定参数的取值范围，进而解决一些数学问题。
在函数中，如果函数在某区间内单调递增或递减，那么我们可以根据函数值的变化趋势，确定参数的取值范围。例如，如果 函数$f(x)$在区间$(a, b)$内单调递增，且$f(x_0) = 0$，那么对于任意$x in (a, b)$，都有$f(x) > 0$，从而可以得出参数的 取值范围。
单调性可以通过函数的导数来判断，如果函数的导数大于等于0，则函数在该区 间内单调递增；如果函数的导数小于等于0，则函数在该区间内单调递减。
单调增函数和单调减函数
01
单调增函数是指函数在某个区间 内随着自变量的增加而增加。
02
单调减函数是指函数在某个区间 内随着自变量的增加而减少。
函数单调性的几何意义
导数与函数单调性
总结词
导数可以判断函数的单调性，当导数大于0时，函数单调递增；当导数小于0时 ，函数单调递减。
详细描述
导数表示函数在某一点的切线斜率。如果导数大于0，说明切线斜率为正，函数 在该区间内单调递增；如果导数小于0，说明切线斜率为负，函数在该区间内单 调递减。
复合函数的单调性
总结词
复合函数的单调性取决于内外层 函数的单调性以及复合方式。
函数的单调性公开课课件
在函数值比较中的应用
1 2
利用单调性比较函数值大小
对于同一区间内的两个函数值，如果函数在该区 间内单调，则可以直接比较它们的大小。
确定函数值的范围
通过判断函数的单调性，可以确定函数在某个区 间内的取值范围。
3
举例
比较sin(π/4)和sin(π/6)的大小。由于正弦函数 在[0, π/2]区间内单调递增，因此sin(π/4) > sin(π/6)。
06
复合函数的单调性
复合函数的定义和性质
复合函数的定义
设函数$y=f(u)$的定义域为$D_f$， 函数$u=g(x)$的定义域为$D_g$， 且$g(D_g) subseteq D_f$，则称函 数$y=f[g(x)]$为$x$的复合函数。
复合函数的性质
复合函数保持原函数的定义域、值域 、周期性、奇偶性等基本性质。
以直观地判断函数在各个 区间内的单调性。
判断单调区间
根据图像的形状和走势， 确定函数在各个区间内的 单调性。
图像的绘制
通过描点法、图像变换法 等方法，绘制出函数的图 像。
04
常见函数的单调性
一次函数
一次函数单调性
一次函数$f(x) = ax + b$（$a neq 0$）在其定 义域内单调增加或减少，取决于系数$a$的正负。
总结与展望
课程总结
函数的单调性定义
详细解释了函数单调性的定义，包括增函数、减函数以及常数函 数的特性。
判断函数单调性的方法
介绍了如何通过导数、二阶导数以及函数的图像来判断函数的单调 性。
函数单调性的应用
举例说明了函数单调性在解决实际问题中的应用，如优化问题、经 济学中的边际分析等。
函数的单调性及单调区间(预习讲义)(教师版)
函数的单调性及单调区间（预习讲义）考察函数y x =、2y x =、1y x=的图象你能发现每个图象中函数值y 随着x 的变化而变化的情况吗？【答案】对于y x =，y 随着x 的增大而增大；对于2y x =，当0x <时，y 随着x 的增大而减小，当0x >时，y 随着x 的增大而增大；对于1y x=，当0x <时，y 随着x 的增大而减小，当0x >时，y 随着x 的增大而减小．一、函数单调性的定义1、改变量：在函数()y f x =的图象上任取两点1122(,),(,)A x y B x y ，记21,x x x ∆=-2121()()y f x f x y y ∆=-=-．则x ∆表示自变量x 的改变量，y ∆表示因变量y 的改变量． 2、增函数：一般地，设函数()y f x =的定义域为A ，区间M A ⊆．如果取区间M 中的任意两个12,x x ，改变量210x x x ∆=->，2121()()0y f x f x y y ∆=-=->，则称函数()y f x =在区间M 上是增函数．如图所示：知识导引知识讲解3、减函数：一般地，设函数()y f x =的定义域为A ，区间M A ⊆．如果取区间M 中的任意两个12,x x ，改变量210x x x ∆=->，21()()0y f x f x ∆=-<，则称函数()y f x =在区间M 上是减函数．如图所示：4、单调性：如果一个函数在某个区间M 上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M 上具有单调性．区间M 称为单调区间．二、用定义法证明函数单调性的一般步骤1、取值：即设12,x x 是该区间内的任意两个值，且12x x <，210x x x ∆=->2、作差变形：通过因式分解、配方，有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形．3、定号：确定21()()y f x f x ∆=-的符号，若符号不确定，可以进行分类讨论．4、下结论：根据定义得出结论，注意下结论时不要忘记说明区间．三、函数的平均变化率因变量的改变量与自变量的改变量的比即2121y y y x x x -∆=∆-叫做函数()y f x =从1x 到2x 之间的平均变化率．四、 重要结论1、若在区间M 上函数()y f x =是增函数，12x x <⇔12()()f x f x <12(,)x x M ∈；若在区间M 上函数()y f x =是减函数，12x x <⇔12()()f x f x >．12(,)x x M ∈ 2、在区间M 上函数()y f x =是增函数⇔0yx∆>∆； 在区间M 上函数()y f x =是减函数⇔0y x∆<∆五、特殊函数的单调性1、一次函数(0)y kx b k =+≠，0k y kx b >⇔=+为增函数；0k y kx b <⇔=+为减函数．2、反比例函数(0)k y k x =≠，0kk y x>⇔=在区间(,0),(0,)-∞+∞上为减函数；0kk y x<⇔=在区间(,0),(0,)-∞+∞上为增函数． 想一想：能说(0)ky k x =>在区间(,0)(0,)-∞+∞上为减函数吗？说明理由．【答案】不能，反例：取1211x x =-=，，则12(0)(0)x x ∈-∞+∞，，，，且12x x <又12y k y k =-=，， 因为0k >，所以12y y <，与减函数定义矛盾．3、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠，0a >⇔2y ax bx c =++在区间(,)2ba--∞上为减函数，在区间 (,)2ba-+∞上为增函数． 0a <⇔2y ax bx c =++在区间(,)2b a --∞上为增函数，在区间(,)2ba-+∞上为减函数． 4、函数y x a =-在区间(,)a -∞上为减函数，在区间(,)a +∞上为增函数． 5、对勾函数1y x x=+在区间(),1,(1,)-∞-+∞上为增函数，在区间(1,0),(0,1)-上为减函数；一般地，对勾函数(0)ky x k x=+>在区间(,)-∞+∞上为增函数，在区间(上为减函数；五、函数的最值1、函数的最大值：一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤; （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()y f x =的最大值（maximum value ）2、函数的最小值：一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥; （2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()y f x =的最小值（minimum value ）一、我们知道，函数1y x=在(0)-∞，，(0)+∞，上单调递减，函数21y x =+在(0)-∞，上单调递减，在(0)+∞，上单调递增，那么函数211y x =+的单调性是怎样的呢？ 【答案】任取12(0)x x ∈-∞，，，且12x x <， 210x x x ∆=->2212121221222222212121()()11011(1)(1)(1)(1)x x x x x x y y y x x x x x x --+∆=-=-==>++++++ 所以211y x =+在(0)-∞，上单调递增； 同理，可证得，211y x =+在(0)+∞，上单调递减． 二、 复合函数的单调性1、若函数()y f u =在其定义域上是增函数，()u g x =在其定义域上是增函数，则复合函数(())y f g x =的单调性是怎样的？【答案】复合函数(())y f g x =在定义域上单调递增；2、若函数()y f u =在其定义域上是增函数，()u g x =在其定义域上是减函数，则复合函数(())y f g x =的单调性是怎样的？【答案】复合函数(())y f g x =在定义域上单调递减；3、若函数()y f u =在其定义域上是减函数，()u g x =在其定义域上是增函数，则复合函数(())y f g x =的单调性是怎样的？【答案】复合函数(())y f g x =在定义域上单调递减；4、若函数()y f u =在其定义域上是减函数，()u g x =在其定义域上是减函数，则复合函数(())y f g x =的单调性是怎样的？【答案】复合函数(())y f g x =在定义域上单调递增；由上面的探究可知：探究对于复合函数(())y f g x =，其中()y f u =称为外函数，()u g x =称为内函数． 当内外函数单调性相同时，(())y f g x =为增函数; 当内外函数单调性相反时，(())y f g x =为减函数;【例1】 如图是定义在区间[]5,5-上的函数()y f x =，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一个单调区间上，它是增函数还是减函数？【答案】()f x 的单调增区间是(21)-，，(35)， ()f x 的单调减区间是(52)--，，(13)，【例2】 试用函数单调性的定义证明函数1y x =-+，在()-∞+∞，上是减函数． 【答案】证：任取12()x x ∈-∞+∞，，，且12x x < 210x x x ∆=->212112(1)(1)0y y y x x x x ∆=-=-+--+=-<所以1y x =-+在()-∞+∞，上是减函数． 【例3】试用函数单调性的定义证明函数y =，在[0)+∞，上是增函数． 【答案】证：任取12[0)x x ∈+∞，，，且12x x < 210x x x ∆=->210y y y ∆=-===>例题精讲所以y =在[0)+∞，上是增函数． 【例4】试用函数单调性的定义证明函数y =，在[0)+∞，上是增函数． 【答案】证：任取12[0)x x ∈+∞，，，且12x x < 210x x x ∆=->210y y y ∆=-==>所以y =[0)+∞，上是增函数． 【例5】 试用函数单调性的定义判断函数2()1xf x x =-在区间(0,1)上的单调性． 【答案】解：任取12(01)x x ∈，，，且12x x < 210x x x ∆=->2121121221211212222(1)2(1)2()()()11(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x y f x f x x x x x x x ----∆=-=-==------ 因为1201x x <<<所以120x x -<，110x -<，210x -< 所以0y ∆<所以2()1xf x x =-在区间(0,1)上的单调递减． 【例6】 证明函数3y x =在定义域上是增函数．【答案】证：任取12x x ∈R ，，且12x x < 210x x x ∆=->3322221212121212121213()()()[()]24x y y y x x x x x x x x x x x x ∆=-=-=-++=-++ 因为12x x <所以210x x ->，221213()024x x x ++>，所以0y ∆>所以3y x =在定义域上是增函数．【例7】 画出下列函数的图象，并指出它们的单调区间：（1）1y x =+ （2）2y x =+【答案】（1）函数1y x =+的单调递增区间是(0)+∞，，单调递减区间是(0)-∞，； （2）函数2y x =+的单调递增区间是(2)-+∞，，单调递减区间是(2)-∞-，； 【例8】 如果函数()y f x =是R 上的减函数，证明0k <时，()kf x 在R 上是增函数．【答案】证：任取12x x ∈R ，，且12x x < 210x x x ∆=->2121()()(()())y kf x kf x k f x f x ∆=-=-因为函数()y f x =是R 上的减函数，12x x < 所以12()()f x f x > 所以21()()0f x f x -< 又0k < 所以0y ∆>所以()kf x 在R 上是增函数．【例9】 研究函数11y x =+的单调区间并画出图象． 【答案】函数11y x =+的单调递减区间为(1)-∞-，，(1)-+∞，． 【例10】 求函数212y x x =++的单调区间．【答案】解：2211172()24y x x x ==++++所以函数的定义域为R 令1y u=，22u x x =++ 因为1y u=在(0)+∞，上单调递减，22u x x =++在1()2-∞-，上单调递减，在1()2-+∞，上单调递增． 所以212y x x =++的单调递增区间是1()2-∞-，，单调递减区间是1()2-+∞，． 【例11】讨论函数y =的单调性．【答案】由2230x x +-≥，得1x ≥或3x ≤-．所以函数定义域为(3][1)-∞-+∞，，令y =223u x x =+-，由复合函数单调性判断法则，得y =在(3]-∞-，上单调递减，在[1)+∞，上单调递增．【例12】 设函数()(21)f x a x b =-+是R 上的减函数，则a 的范围为（ )A ．12a ≥B ．12a ≤C ．12a >-D ．12a <【答案】D【例13】 已知函数2()2(1)2f x x a x =+-+在区间(4]-∞，上是减函数，求a 的取值范围 【答案】(3]-∞-，【例14】 函数2([0,)y x bx c x =++∈+∞）是单调函数，则b 的取值范围是（ ）A ．0b ≥B ．0b ≤C ．0b >D ．0b <【答案】A【例15】 下列四个函数中，在(0)+∞，上为增函数的是（ ）A ．()3f x x =-B ．2()3f x x x =-C ．1()1f x x =-+ D ．()f x x =-【答案】C【例16】 若函数211()11x x f x ax x ⎧-≥=⎨-<⎩，，在R 上是单调递增函数，则a 的取值范围【答案】(01]，【例17】 已知函数()f x 在R 上是减函数，且(21)(2)f a f a +>--，则a 的取值范围是【答案】(1)-∞-，【例18】 已知定义在[23]-，上的减函数()f x 满足(1)(23)f a f a +>+，则a 的取值范围是【答案】(20]-，【例19】 已知()f x 在区间(,)-∞+∞上是减函数，,a b R ∈且0a b +≤，则下列表达正确的是（ ）A ．()()[()()]f a f b f a f b +≤-+B ．()()()()f a f b f a f b +≤-+-C ．()()[()()]f a f b f a f b +≥-+D ．()()()()f a f b f a f b +≥-+-【答案】D【例20】 若()f x 是R 上的减函数，且()f x 的图象经过点(03)A ，和点(31)B -，，则不等式|(1)1|2f x +-<的解集为（ ）．A ．(3)-∞，B ．(2)-∞，C ．(03)，D ．(12)-，【答案】C【例21】 求下列函数的最大值与最小值（1）()1[12]f x x x =-+∈-，， （2）1()[31]f x x x-=∈--，， （3）2()21[03]f x x x x =-++∈，， （4）[]2()114f x x x x =+-∈，， （5）1()[25]1f x x x =∈-，， （6）21()[35]1x f x x x -=∈+，， 【答案】（1）()f x 最大值为2，最小值为1-；（2）()f x 最大值为1，最小值为13；（3）()f x 最大值为2，最小值为2-； （4）()f x 最大值为19，最小值为1； （5）()f x 最大值为1，最小值为14； （6）()f x 最大值为32，最小值为54； 【例22】 讨论下列函数的最大值与最小值（1）2()21[11]f x x ax x =-+∈-，，，a ∈R（2）2()21f x x x =+-，[11]x a a ∈-+，，a ∈R 【答案】（1）当1a ≤-时，()f x 最大值为22a -，最小值为22a +；当10a -<≤时，()f x 最大值为22a -，最小值为21a -； 当01a <<时，()f x 最大值为22a +，最小值为21a -； 当1a ≥时，()f x 最大值为22a +，最小值为22a -．（2）当2a ≤-时，()f x 最大值为22a -，最小值为242a a ++； 当21a -<<-时，()f x 最大值为22a -，最小值为2-； 当10a -≤<时，()f x 最大值为242a a ++，最小值为2-； 当0a ≥时，()f x 最大值为242a a ++，最小值为22a -．知识总结二、 函数单调性的定义1、改变量：在函数()y f x =的图象上任取两点1122(,),(,)A x y B x y ，记21,x x x ∆=-2121()()y f x f x y y ∆=-=-．则x ∆表示自变量x 的改变量，y ∆表示因变量y 的改变量． 2、增函数：一般地，设函数()y f x =的定义域为A ，区间M A ⊆．如果取区间M 中的任意两个12,x x ， 改变量210x x x ∆=->，2121()()0y f x f x y y ∆=-=->，则称函数()y f x =在区间M 上是增函数． 如图所示：3、减函数：一般地，设函数()y f x =的定义域为A ，区间M A ⊆．如果取区间M 中的任意两个12,x x ，改变量210x x x ∆=->，21()()0y f x f x ∆=-<，则称函数()y f x =在区间M 上是减函数． 如图所示：4、单调性：如果一个函数在某个区间M 上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M 上具有单调性．区间M 称为单调区间．二、 用定义法证明函数单调性的一般步骤1、取值：即设12,x x 是该区间内的任意两个值，且12x x <，210x x x ∆=->2、作差变形：通过因式分解、配方，有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形．3、定号：确定21()()y f x f x ∆=-的符号，若符号不确定，可以进行分类讨论．4、下结论：根据定义得出结论，注意下结论时不要忘记说明区间． 三、函数的平均变化率因变量的改变量与自变量的改变量的比即2121y y y x x x -∆=∆-叫做函数()y f x =从1x 到2x 之间的平均变化率． 三、 重要结论：1、若在区间M 上函数()y f x =是增函数，12x x <⇔12()()f x f x <12(,)x x M ∈；若在区间M 上函数()y f x =是减函数，12x x <⇔12()()f x f x >．12(,)x x M ∈ 2、在区间M 上函数()y f x =是增函数⇔0yx∆>∆； 在区间M 上函数()y f x =是减函数⇔0y x∆<∆ 四、 特殊函数的单调性1、一次函数(0)y kx b k =+≠，0k y kx b >⇔=+为增函数；0k y kx b <⇔=+为减函数．2、反比例函数(0)k y k x =≠，0kk y x>⇔=在区间(,0),(0,)-∞+∞上为减函数；0kk y x<⇔=在区间(,0),(0,)-∞+∞上为增函数． 想一想：能说(0)ky k x =>在区间(,0)(0,)-∞+∞上为减函数吗？说明理由．3、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠，0a >⇔2y ax bx c =++在区间(,)2b a --∞上为减函数，在区间(,)2ba-+∞上为增函数．0a <⇔2y ax bx c =++在区间(,)2b a --∞上为增函数，在区间(,)2ba-+∞上为减函数． 4、函数y x a =-在区间(,)a -∞上为减函数，在区间(,)a +∞上为增函数． 5、对勾函数1y x x=+在区间(),1,(1,)-∞-+∞上为增函数，在区间(1,0),(0,1)-上为减函数； 一般地，对勾函数(0)ky x k x=+>在区间(,)-∞+∞上为增函数，在区间(上为减函数；6、对于复合函数(())y f g x =，其中()y f u =称为外函数，()u g x =称为内函数．当内外函数单调性相同时，(())y f g x =为增函数; 当内外函数单调性相反时，(())y f g x =为减函数．五、 函数的最值1、函数的最大值：一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤;（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()y f x =的最大值（maximum value ）2、函数的最小值：一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥; （2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()y f x =的最小值（minimum value ）【题1】 已知函数41 1.()5 1.x x f x x x +≥⎧=⎨-<⎩，，则()f x 的递减区间是（ ）A ．[1)+∞，B ．(1)-∞，C ．(0)+∞，D ．(1]-∞，【答案】B【题2】函数y =的单调递增区间为（ ） A ．(2]-∞-，B ．[52]--，C ．[21]-，D ．[1)+∞，【答案】B【题3】 求证：函数3()f x x x =--在()-∞+∞，上为减函数． 【答案】证：任取12()x x ∈-∞+∞，，，且12x x < 210x x x ∆=->33332122111212()()y f x f x x x x x x x x x ∆=-=--++=-+-2222222121122121211221213()()()()(1)()[()1]024x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =-+++-=-+++=-+++< 所以3()f x x x =--在()-∞+∞，上是减函数． 【题4】 已知函数()f x 在[2)+∞，上是减函数，试比较(2)f ，2(3)f x +的大小 【答案】(2)f >2(3)f x +【题5】 求函数2()241f x x x =-+-在区间[12]-，上的值域． 课后巩固【答案】[71]-，【题6】 求函数4y x x=+在区间[24]，上的最大值与最小值． 【答案】4y x x=+最大值是5，最小值是4．【题1】 函数223y x x =+-在区间[30]-，上的值域为（ ） A ．[43]--，B ．[40]-，C ．[30]-，D ．[04]，【答案】B【题2】 若函数21()232f x x x =-+在[0]m ，有最大值3，最小值1，则m 的取值范围是____． 【答案】[24]，【题3】 用单调性定义证明函数1()g x x=在(0,)+∞上单调递减． 【答案】证：任取12(0)x x ∈+∞，，，且12x x < 210x x x ∆=->1221211211()()0x x y g x g x x x x x -∆=-=-=< 所以1()g x x=在(0,)+∞上是单调递减． 【题4】 已知函数()1xf x x =-． （I ）证明：对于定义域中任意的x 均有(1)(1)2f x f x ++-=；（II ）用函数单调性的定义证明函数()f x 在(1)+∞，上是减函数． 【答案】（I ）证：1111(1)(1)21111x x x xf x f x x x x x+-+-++-=+=-=+---（II ）证：任取12(1)x x ∈+∞，，，且12x x < 210x x x ∆=->期中对接212121211221212121()()11(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x x y f x f x x x x x x x --+-∆=-=-==------ 因为121x x <<所以120x x -<，110x ->，210x -> 所以0y ∆<所以函数()f x 在(1)+∞，上是减函数． 【题5】 已知函数2()41f x ax x =--．（Ⅰ）若2a =时，求当[03]x ∈，时，函数()f x 的值域；（Ⅱ）若2a =，当(01)x ∈，时，(1)(21)0f m f m ---<恒成立，求m 的取值范围； （Ⅲ）若a 为非负数，且函数()f x 是区间[03]，上的单调函数，求a 的取值范围．【答案】19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）当时，所以在上单调递减；在上单调递增． 所以的最小值是 又因为，， 所以的值域是（Ⅱ）因为，所以由（Ⅰ）可知：在上单调递减． 因为当时，恒成立，可得解得所以的取值范围是2a =()()2224121 3.f x x x x =--=--()f x []0,1(]1,3()f x ()1 3.f =-()01f =-()35f =()f x []3,5.-2a =()f x []0,1()0,1x ∈()()1210f m f m ---<121,011,0211,m m m m ->-⎧⎪<-<⎨⎪<-<⎩12.23m <<m 12.23m <<（Ⅲ）因为，①当时， 所以在上单调递减．②当时，因为在上的单调函数，可得解得 由①、②可知，的取值范围是揭示星期几的奥秘公元321年3月7日，古罗马皇帝君士坦丁，正式宣布采用“星期制”，规定每一星期为七天，第一天为星期日，尔后星期一、星期二直至星期六，尔后再回到星期日，如此永远循环下去！君士坦丁大帝还规定，宣布的那天日子为星期一．一星期为什么定为七天？这大约是出自月相变化的缘故．天空中再没有别的天象变化得如此明显，每隔七天便一改旧貌！另外，“七”这个数，恰与古代人已经知道的日、月、金、木、水、火、土七星的数目巧合，因此在古代神话中就用一颗星作为一日的保护神，“星期”的名称也因之而起．我想读者一定很想知道历史上的某一天是星期几的奥秘！为了揭开这个奥秘，我们先从闰年的设置讲起．我们知道：一个回归年不是恰好365日，而是365日5小时48分46秒，或365．2422日．为了防止这多出的0．2422日积累起来，造成新年逐渐往后推理．因此我们每隔4年时间便设置一个闰年，这一年的二月从普通的28天改为29天．这样，闰年便有366天．不过，这样补来也不刚好，每百年差不多又多补了一天．因此又规定，遇到年数为“百年”的不设闰，扣它回来！这就是常说的“百年24闰”．但是，百年扣一天闰还是不刚好，又需要每四百年再补回来一天．因此又规定，公元年数为400倍数者设闰．就这么补来扣去，终于补得差不多刚好了！例如，1976、1988这些年数被4整除的年份为闰年；而1900、2100这些年则不设闰；2000年的年数恰能被400整除，又要设闰，如此等等．()241f x ax x =--0a =()4 1.f x x =--()f x []0,30a >()224 1.f x a x a a ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭()f x []0,3220,3,0,aa a ⎧≤≥⎪⎨⎪>⎩或20.3a <≤a 20,.3⎡⎤⎢⎥⎣⎦数学文化闰年的设置，无疑增加了我们对星期几推算的难度．为了揭示关于星期几的奥秘，我们还要用到一个简单的数学工具——高斯函数：[]y x =．这里[]x 表示不超过数x 的最大整数．利用高斯函数，我们可以根据设闰的规律，推算出在公元x 年第y 天是星期几．这里变量x 是公元的年数；变量y 是从这一年的元旦，算到这一天为止（包含这一天）的天数．历法家已经为我们找到了这样的公式：1111[][][]4100400x x x S x y ---=-+-++ 设上式求出S 后，除以7，如果恰能除尽，则这一天为星期天；否则余数为几，则为星期几！ 例如，君士坦丁大帝宣布星期制开始的第一天为公元321年3月7日．容易算得：132066x y -=⎧⎨=⎩ 320320320320[][][]664100400S =+-++ 320803066=+-++ 4631(mod7)=≡最后一个式子的符号表示463除以7余1．也就是说，这一天为星期一，这是可以预料到的，因为当初就是这么规定的！又如，我们共和国成立于1949年10月1日：11948274x y -=⎧⎨=⎩ 1948194819481948[][][]2744100400S =+-++1948487194274=+-++26946(mod7)=≡原来，这一普天同庆的日子为星期六．公元2000年1月1日，人类跨进了高度文明的21世纪，那么这一天是星期几呢？119991x y -=⎧⎨=⎩1999199919991999[][][]14100400S =+-++199********=+-++=≡24846(mod7)计算表明：这一天也是星期六！。
函数的单调性(习题课)课件
应用实例
1
例题分析
分析一些典型的应用实例，如何用单
求最值
2
调性解题。
通过函数的单调性，可以求函数的极
值和最值。
3
优化算法
讨论单调性在一些优化算法中的应用， 如二分查找法。
总结
单调性的重要性和应用 价值
总结单调性的重要性，对数学 和实际问题的研究有何帮助。
学习方法和技巧
分享一些学习函数单调性的方 法和技巧，如何更快地掌握这 个概念。
函数的单调性(习题课)ppt 课件
本次课程将教你们如何判断函数的单调性。单调性是数学中一个重要的概念， 它与函数的性质有关。学习这个概念将有助于我们更好地理解函数。
概述
单调性是指函数在定义域内自变量增大，函数值增大或减小的现象。函数的 单调性是函数的一种性质。掌握函数的单调性可以帮助我们更好地研究函数 的性质，对于解题和建模都有一定的帮助。
2
导数
通过函数的导数，可以更精确地判断函数的单调性。
3
高中数学常见函数的单调性
复习一些常见的函数的单调性。
求解单调区间
定义
若函数f(x)在区间I上单调递增或单调递减，则称I为f(x)的单调区间。
求解方法
讨论f(x)的导数正负号和零点，确定单调区间的端点。
例题答案解析
说明如何利用导数确定单调递增或单调递减的区间。
牢记注意事项
总结一些学习单调性时需要注 意的点，如何避免常见的错误。
单调递增函数
定义
如果x1 < x2，那么有f(x1) <= f(x2)，则称函数f(x)在区间[a, b]上是递增函数。
判断方法
如果函数f(x)在定义域内单调递增，则它的导数f'(x)大于等于0。
函数的单调性与最值课件共20张PPT
调递增
调递减
∀x1，x2∈D 且 x1≠x2，有fxx11－ －fx2x2>0(<0)或
(x1－ x2)[f(x1)－ f(x2)]>0(<0)⇔ f(x) 在区 间 D 上单 调递 增
(减).
复习回顾
图象 描述
自左向右看图象是上升的
解析
令
x2＋4＝t，则
t≥2，∴x2＝t2－4，∴y＝ t2
＋t 1＝t＋1 1，
t
设 h(t)＝t＋1，则 h(t)在[2，＋∞)上为增函数， t
∴h(t)min＝h(2)＝52，∴y≤15＝25(x＝0 时取等号)． 2
即 y 的最大值为2. 5
求函数最值的三种基本方法：
一．单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值. 二．图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出
自左向右看图象是下降的
复习回顾
(2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上_单__调__递__增__或_单__调__递__减__，那么就说函数y＝f(x) 在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间.
复习回顾 2.函数的最值
前提
设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
专题一：判断、证明函数的单调性
例 1：(3)已知 f x 2x , x 2,6. (1)判断 f x 的单调性，并加以证明；(2)求 f x 的最值.
x 1
专题一：判断、证明函数的单调性 变式 3：讨论 f x ax a 0, 的单调性.
x 1
小结： 确定函数单调性的四种方法 (1)定义法；(2)导数法；(3)图象法；(4)性质法．
函数的单调性优质课课件pptx
04 复合函数与反函 数单调性分析
复合函数单调性判定方法
同增异减原则
内外层函数单调性相同时 ，复合函数为增函数；内 外层函数单调性相反时， 复合函数为减函数。
求导判断法
对复合函数求导，根据导 数的正负判断函数的单调 性。
图像判断法
画出内外层函数的图像， 通过观察图像的升降来判 断复合函数的单调性。
参变量变化对实际问题解 决的影响分析
案例分析：参变量在实际 问题中的具体应用
06 总结回顾与拓展 延伸
关键知识点总结回顾
01 02
函数单调性的定义
对于函数y=f(x)，如果对于区间I内的任意两个数x1, x2，当x1<x2时， 都有f(x1)≤f(x2)（或f(x1)≥f(x2)），则称函数f(x)在区间I上是单调递增 （或单调递减）的。
判断函数单调性的方法
通过求导判断函数的单调性，若f'(x)>0，则f(x)在对应区间内单调递增 ；若f'(x)<0，则f(x)在对应区间内单调递减。
03
单调性与函数图像的关系
单调递增函数的图像从左到右呈上升趋势，单调递减函数的图像从左到
右呈下降趋势。
易错难点剖析及解题技巧分享
易错点
在求导过程中忽略定义域的限制 ，导致判断错误；将函数的局部
极值点处的一阶偏导数必须为零，即 驻点。
案例分析：多元函数单调性应用
01
02
03
经济学中的应用
在生产函数中，通过判断 多元函数的单调性可以确 定生产要素的投入量对产 出的影响。
工程学中的应用
在优化设计中，利用多元 函数的单调性可以找到最 优的设计方案。
数学建模中的应用
在解决实际问题时，通过 建立多元函数模型并利用 其单调性进行分析，可以 得到问题的解决方案。
函数的单调性教学课堂实录
函数的单调性（一）创设情境，引入课题老师：实例科考队对沙漠气候进行科学考察，下图是某天气温随时间的变化曲线。
请你根据曲线图说说气温的变化情况？学生：可以看出气温的最值，还有某时刻的气温，某时间段气温的升降变化等。
老师：图象在某区间上（从左往右）“上升”或“下降”的趋势反映了函数的一个基本性质——单调性（板书课题）。
函数是描述事物变化规律的数学模型。
如果清楚了函数的变化规律，那么就基本把握了相应实物的变化规律。
在事物变化过程中，保存不变的特征就是这个事物的性质。
因此，研究函数的变化规律是非常有意义的。
老师：问题1：观察下列函数图象，请你说说这些函数有什么变化趋势？学生：（1）函数图像逐渐上升；（2）函数图像先下降后上升；（3）函数图像下降；老师：规范表达“函数在哪个区间上具有怎样的单调性”。
借此强调函数的单调性是相对某区间而言的，是函数的局部性质。
老师：设函数的定义域为I，区间D I⊆。
在区间D上，若函数的图象（从左向右）总是上升的，即y随x的增大而增大，则称函数在区间D上是递增的，区间D称为函数的单调增区间；（学生类比定义“递减”，接着推出下图，让学生准确回答单调性。
）（二）引导探索，生成概念老师：问题2（1）下图是函数()=+为例），它在定义域Rf x xy f x=的图象（以()0.0011上是递增的吗？（2）函数1=+在区间(0,+)∞上有何单调性？()f x xx学生：是递增的。
老师：函数图象虽然直观，但是缺乏精确性，必须结合函数解析式；但仅凭解析式常常也难以判断其单调性。
（设计意图：借此认知冲突，让学生意识到学习符号化定义的必要性。
自然开始探索。
）老师：问题3（1）如何用数学符号描述函数图象的“上升”特征，即“y 随x 的增大而增大．．”？ 以二次函数2()f x x =在区间[0,)+∞上的单调性为例，用几何画板动画演示“y 随x 的增大而增大”，生成表格（每一秒生成一对数据）。
设计说明：先借助图形、动画和表格等直观感受“y 随x 的增大而增大”，然后让学生思考、讨论得出，若12x x <，则必须有12y y <。
函数的单调性与最大最小值乐乐课堂
函数的单调性与最大最小值乐乐课堂1、单调性：设函数y＝)(x f的定义域为A，区间A M?、如果取区间M上的任意两个值x 1,x 2，改变量12x x x-=?＞0，则当)()(12x f x f y-=?＞0时，就称函数)(x f在区间M上是增函数；)()(12x f x f y-=?＜0时，就称函数)(x f在区间M上是增函数．如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M 上具有单调性（区间M称为单调区间）．（x?，y?同号，平均变化率2、函数的单调性常应用于如下三类问题：（1）利用函数的单调性比较函数值的大小．（2）利用函数的单调性解不等式，常见题型是，已知函数的单调性，给出两个函数的大小，求含于自变量中的某个特定的系数，这时就应该利用函数的单调性“脱”去抽象的函数“外衣”，以实现不等式间的转化．（3）利用函数的单调性确定函数的值域，求函数的最大值和最小值．若函数)(x f y=在定义域()b a,上递增，则函数值域为()(a f，)(b f)；若函数)(x f y=在定义域()b a,上递减,则函数值域为()(b f，)(a f)；若函数)(x f y=在定义域[]b a,上递增，则函数值域为[)(a f，)(b f]；若函数)(x f y=在定义域[]b a,上递减，则函数值域为[)(b f，)(a f]；若函数)(x f y=在定义域[]b a,上递增，则函数的最大值为)(b f，最小值为)(a f；若函数)(x f y=在定义域[]b a,上递减，则函数的最大值为)(a f，最小值为)(b f；3、最大值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M;（2）存在x0∈I，使得f(x0)=M，那么，称M是函数y=f(x)的最大值最小值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≥M;（2）存在x0∈I，使得f(x0)=M，那么，称M是函数y=f(x)的最小值注意：1、函数最大（小）值首先应该是某一个函数值，即存在x0∈I，使得f(x0)=M；2、函数最大（小）值应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x∈I，都有f(x)≤M（f(x)≥M）．4、利用函数单调性判断函数的最大(小)值的方法：1、利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大(小)值；2、利用图象求函数的最大(小)值；3、利用函数单调性判断函数的最大(小)值；如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，则函数y=f(x)在x=a处有最小值f(a),在x=b处有最大值f(b)；如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)。
函数的单调性与导数课堂导入
2ax
1 x2
，x
0，1 若f
x在
x 0，1上是增函数，求a的取值范围.
解：由已知得
f
'(x )
2a
2 x3
因为函数在（0，1]上单调递增，
f
x
0，即a
1 x3
在x
0，1上恒成立，
而g
x
1 x3
在（0，1]上单调递增，
g xmax g 1 1
a 1.
当a
1时，f
'(x)
2
2 x3
对x 0，1也有f ' x>0
2
2
当 f (x)
单调递减.
0
,
1
即
2
17
x
1 2
17
时,
函数 f
(x)
例3 、如图, 水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注 入下面四种底面积相同的容器中, 请分别找出与各容器对应 的水的高度h与时间t的函数关系图象.
分析：以容器（2）为例，由于容器上细 下粗，所以水以常速注入时，开始阶段高 度反h 增映(1加在) 得图慢象，（h A以(）2后) 上高.度增h 加(3得) 越来越h (快4) ，
f ' x 1 1 cos x 0，
2
f x 在， 上是单调函数，
而当x 0时，f x 0，
方程x 1 sin x 0有唯一的根x 0. 2
题型三 构造函数证明不等式
例4、已知：m，n N ，且1 m n.
求证：1 mn 1 nm .
解： 1 m n，m，n N ，
练习：P93
4、求证: 函数 f (x) 2x3 6x2 7
减函数. 解: f (x) 2x3 6x2 7 f (x) 6x2 12x.
函数的单调性 习题PPT教学课件
1 x 1 1 x 1 x2 1 0 x2 2 0 x 2 x 0或x 1
1 x 2
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题型四：利用函数单调性解题
例4：已知f(x)在其定 解： f ( xy) f ( x ) f ( y ) 义域R＋上为增函数， f ( 4) f ( 2) f ( 2) 2 f(2)=1,f(xy)=f(x)+f(y). f ( 8) f ( 4) f ( 2) 3 解不等式 f(x)+f(x－2) ≤3 又f ( x ) f ( x 2) f ( x 2 2 x )
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题型三：利用已知函数单调性进行判断
结论3：若f(x)与g(x)在 R上是增函数，则 f(x)+g(x)也是增函数。 结论5：若f(x)(其中 f(x)>0)在某个区间上 为增函数，则
n
结论4：若f(x) 在R上是增函数， g(x)在R上是减函数，则 f(x) －g(x)也是增函数 结论6：复合函数f[g(x)]由 f(x)和g(x)的单调性共同决定。 它们之间有如下关系： f(x) g(x)
4、求函数单调区间的题 型（包括求复合函数单调 区间）
点此播放讲课视频
＋
解得x 2， 4
题型五：复合函数单调区间的求法
例1：设y=f(x)的单 增区间是(2,6)，求 函数y=f(2－x)的单 调区间。
解：令t ( x ) 2 x , 则由已知得 f ( t )在t 2， （ 6）上是增函数， 而t ( x ) 2 x 2， （ 6） x （－4， 0） 又t ( x ) 2 x在x ( 4,0)上 是单减的， 由复合函数单调性可知 ， f ( 2 x ) f [t ( x )]在x （－4， 0） 上是单调递减的。 f (2 x )的单减区间是（－， 4 0）
高三函数的单调性(高职)
函数的单调性1.函数单调性的判断方法：（1）图像法：增函数 减函数图像呈上升趋势． 图像呈下降趋势例1：已知正比例函数y =（k+1)x 在定义域内是增函数，求k 取值范围．课堂练习：1.设函数y=(k+1)x+b 在R 上是增函数则（ ）A.k ≥-1 Ｂ.k ≤-1 Ｃ.k>-1 Ｄ．K<-12．若y ＝(2k －1)x ＋b 是R 上的减函数，则有 （ ） A. 21>k B. 21<k C. 21->k D. 21-<k3.函数y=-2x+1在定义域R 内是（ ）A 、减函数B 、增函数C 、非增非减函数D 、既增又减函数例2：函数y=1x-2 的单调区间是（ ）A 、RB 、（-∞，0）C 、（-∞，2），（2，+∞）D 、（-∞，2）⋃（2，+∞）课堂练习：函数13+=x y 的单调区间是（ ） A 、R B 、（-∞，-1）C 、（-∞，-1）⋃（1，+∞）D 、（-∞，-1），（-1，+∞）例3：讨论下列函数的单调性。
(1)y=x 2+2x+5; (2)y=9-2x-x 2.课堂练习：讨论下列函数的单调性。
（1）5422--=x x y ； （2）322++-=x x y例4：求函数245x x y --=的单调递增区间？课堂练习：求函数22--=x x y 的单调递减区间？例5：函数),2[,32)(2+∞-∈+-=x mx x x f 当时是增函数，则m 的取值范围是（ ）A ． [－8，+∞）B ．[8，+∞）C ．（－∞，－ 8]D ．（－∞，8]课堂练习：若函数()()2122+-+=x a x x f 在区间()4,∞-上是减函数，则实数a 的取值范（）A.3-≤aB.3-≥aC.5≤aD.3≥a1、定义：对于函数)(x f y =，对于定义域内的自变量的任意两个值21,x x ，当21x x < 时，都有))()()(()(2121x f x f x f x f ><或，那么就说函数)(x f y =在这个区间上是增（或减）函数。
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课后作业
判断 思考下列说法是否正确，并说明理由：
4. 已知f(x)在[2,5]上是增函数，且2＜x1＜x2＜5，则必有f(x1)＜f(x2)
(
) ( )
5. 已知f(x)在[2,5]上是增函数，且x1、x2∈[2,5]时有f(x1)＜f(x2)，则必有x1＜x2
注意3：
已知f(x)是增（减）函数，且x1＜x2，则必有f(x1)＜f(x2) （f(x1)＞f(x2））
函数单调性
温故知新
构建概念
深化新知
应用新知
归纳小结
课后作业
判断 思考下列说法是否正确，并说明理由：
1. f(x)=x²在x=3上是增函数
(
)
注意1：f(x)在一个点上不具有单调性
f(x)
f(x)
是增函数
X轴
不是增函数
X轴
函数单调性
温故知新
构建概念
深化新知
应用新知
归纳小结
课后作业
判断 思考下列说法是否正确，并说明理由：
在R上,f(x)随x的增大而增大
函数单调性
温故知新
构建概念
深化新知
应用新知
归纳小结
课后作业
函数单调性
温故知新
构建概念
深化新知
应用新知
归纳小结
课后作业
函数单调性
温故知新
构建概念
深化新知
应用新知
归纳小结
课后作业
增函数
减函数
如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么 就说函数y=f(x)在这一区间具有单调性，区间D叫做 f(x)的单调区间。
注意4：单调区间一 般都写成左闭右开的形式
函数单调性
例1
温故知新
构建概念
深化新知
应用新知
归纳小结
课后作业
函数 t(时间)-T(温度)的单调性和单调区间是什么？
可以说这个函数在区间[0,6) ∪ [19,24)上单调递减吗？
函数单调性
例1
温故知新
构建概念
深化新知
应用新知
归纳小结
课后作业
函数 t(时间)-T(温度)的单调性和单调区间是什么？
图像法
可以说这个函数在区间[0,6) ∪ [19,24)上单调递减吗？
注意5：两个不同的单调增区间不能用“∪”连接，要用“，”或者“和”来连接
函数单调性
例2
温故知新
构建概念
深化新知
应用新知
归纳小结
课后作业
函数单调性
增函数
温故知新
构建概念
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应用新知
归纳小结
课后作业
• 函数图象变化趋势 -- 在区间D上呈上升趋势 • 在区间D上，f(x)随x增大而增 大
对于y=x的函数图像，怎么用数学符号语言描述“x增大”
问题3： 在R上取两个点，如x=-1、2，f(x)满足f(-1)＜f(2)， 能说明在f(x)在R上随x的增大而增大吗？
在R上，f(x)随x的增大而增大
函数单调性
y y=x²
温故知新
构建概念
深化新知
应用新知
归纳小结
课后作业
x
f(x)=x²
-1
1
已知f(x)是增（减）函数，且f(x1)＜f(x2)，则必有x1＜x2（ x1＞x2 ）
函数单调性
例1
温故知新
构建概念
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归纳小结
课后作业
函数 t(时间)-T(温度)的单调性和单调区间是什么？
在 [0,6) 上单调递减 单调减区间： [0,6)，[19,24)
在 [6,19)上单调递增
函数图像的变化趋势
函数单调性
函数单调性
温故知新
构建概念
深化新知
应用新知
归纳小结
课后作业
函数y=x和y=x²的图像是怎么样的？
函数单调性
温故知新
构建概念
深化新知
应用新知
归纳小结
课后作业
y y=x
O
图像呈逐渐上升趋势
x
y
y=x²
图像呈逐渐下降趋势
y
y随x的增大而增大
O
y随x的增大而减小
x
y=x²
O
x
在 [19,24) 上单调递减
单调增区间：[6,19)
函数单调性
例1
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构建概念
深化新知
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归纳小结
课后作业
函数 t(时间)-T(温度)的单调性和单调区间是什么？
在 [0,6) 上单调递减 单调减区间： [0,6)，[19,24)
在 [6,19)上单调递增
在 [19,24) 上单调递减
单调增区间：[6,19)
1. f(x)=x²在x=3上是增函数
(
)
注意1：函数f(x)在单个点上不具有又单调性
3. 定义在R上的函数f(x)满足f(2)＞f(1),则函数f(x)在R上不是减函数
(
)
注意2：用定义来判断f(x)是否为增（减）函数时，两个自变量x1，x2要任意 取
函数单调性
温故知新
构建概念
深化新知
应用新知
归纳小结
?
?
问题1：怎么用数学中的符号语言准确的描述“y随x的增大而增大”、“y随x的增大而减小” 这两句 话？
函数单调性
y
温故知新
构建概念
深化新知
应用新知
归纳小结
课后作业
f(x)=x
问题2： 【“增大” 体现的是一种相对性】
x x x y=f(x)
-3 -3 -2 -2 -1 -1 1 1 2 2 3 3
函数单调性，我们还要注意3点
函数单调性
复习引入
构建概念
深化新知
应用新知
归纳小结
课后作业
1. 局部特征
（1）函数的单调区间一定要在函数的定义域内
（2）函数在单个点上没有单调性可言的
3.区间书写
（1）单调区间一般都写成左闭右开的形式
（2）两个不同的单调区间不能用“∪”连接，要用“，”或者“和”来连接
此外，求函数单调性还有两种方法： 图像法和定义法
减函数
• 函数图象变化趋势 -- 在区间D上呈下降趋势
• 在区间D上，f(x)随x增大而减小
函数单调性
复习引入
构建概念
深化新知
应用新知
归纳小结
课后作业
如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数，
那 么 就 说 函 数 y = f ( x ) 在 这 一 区 间 具 有单 调 性 ，
区间D叫做f(x)的单调区间
观察这个日气温图，它是一个函数图像吗？
函数单调性
温故知新
构建概念
深化新知
应用新知Βιβλιοθήκη 归纳小结课后作业2016年7月11日新疆的日气温图 34
函数的定义： A、B是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系 f，使得对A中任意一个数x，在B中有唯一一个确定的数f(x)与它对应， 那就称f：A→B为集合A到集合B的一个函数。记y=f(x),x∈A
t ( 时 间 ) - T ( 温 度 ) 函 数图 像 的 变 化 趋 势 - - 先 下 降 、 再 上 升 、 再 下 降
（下降\上升）的趋势
函数单调性
温故知新
构建概念
深化新知
应用新知
归纳小结
课后作业
2016年7月11日新疆的日气温图
34
14 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 t（时）
14 0
A
x
f
f(x)
B
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 t（时）
函数单调性
温故知新
构建概念
深化新知
应用新知
归纳小结
课后作业
2016年7月11日新疆的日气温图
34
14 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 t（时）
深化新知
应用新知
归纳小结
课后作业
x f(x)=x²
-1 1
2 4
3 9
… …
n n²
… …
0
x
问题6：我们在R上要怎么取点，才能严格的说明f(x)在R上随x的增大而增大？
函数单调性
温故知新
构建概念
深化新知
应用新知
归纳小结
课后作业
为了保证在R上都有f(x)随x增大而增大，我们需要在R上任取 点
严格
刻画
§1.3.1 函数单调性
选自人教版A版数学必修一
第一章第三节第一小节
第一课时
函数单调性
温故知新
构建概念
深化新知
应用新知
归纳小结
课后作业
早穿棉袄午穿纱
围着火炉吃西瓜
昼 夜 温 差 大
函数单调性
温故知新
构建概念
深化新知
应用新知
归纳小结
课后作业
2016年7月11日新疆的日气温图
34
14 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 t（时）
2
4
3
9
0
x
问题3：在R上取两个点，如x=-1、2，f(x)满足f(-1)＜f(2)， 能说明在f(x)在R上随x的增大而增大吗？ 问题4：在R上取三个点，如x=-1、2、3，f(x)满足f(-1)＜f(2) ＜f(3) ， 能说明f(x)在R上随x的增大