【解析】山东省实验中学2015届高三第二次诊断性考试理科数学试题

【解析】山东省实验中学2015届高三第二次诊断性考试理科数学试题【试卷综析】本试卷是高三理科试卷，考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷.以基础知识和基本技能为载体，以能力测试为主导，在注重考查学科核心知识的同时，突出考查考纲要求的基本能力，重视学生科学素养的考查.知识考查注重基础、注重常规、注重主干知识，兼顾覆盖面.试题重点考查：集合、不等式、导数函数的应用、三角函数的性质、三角恒等变换与解三角形、数列等； 【题文】一、选择题（本题包括10小题，每小题5分，共50分.每小题只有一个选项．．．．．．符合题意） 【题文】1.集合{}{}2,1,0,1xA y R yB =∈==-，则下列结论正确的是A.{}0,1A B ⋂=B.{}0,A B ⋃=+∞C.()(),0R C A B ⋃=-∞D.(){}1,0R C A B ⋂=-【知识点】集合及其运算A1 【答案】D【解析】∵A={y ∈R|y=2x }={y ∈R|y ＞0}，∴C R A={y ∈R|y ≤0}， 又B={-1，0，1}，∴（C R A ）∩B={-1，0}．【思路点拨】本题利用直接法，先利用指数函数的值域性质化简集合A ，再求C R A ，最后求出A 、B 的交、并及补集等即可．【题文】2.“22ab>”是“ln ln a b >”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 【知识点】充分条件、必要条件A2 【答案】B【解析】2a ＞2b ⇒a ＞b ，当a ＜0或b ＜0时，不能得到Ina ＞Inb ，反之由Ina ＞Inb 即：a ＞b ＞0可得2a ＞2b 成立,所以2a ＞2b ”是“Ina ＞Inb”的必要不充分条件【思路点拨】分别解出2a ＞2b ，Ina ＞Inb 中a ，b 的关系，然后根据a ，b 的范围，确定充分条件，还是必要条件．【题文】3.已知()10,sin cos 2απαα∈+=，且，则cos 2α的值为A.±C.D.34-【知识点】二倍角公式G6【思路点拨】把已知的等式两边平方，利用二倍角的正弦函数公式即可求出sin2α的值，然后在把已知的的值，判断得到α的范围，进而得到2α的范围，利用同角三角函数间的基本关系由sin2α的值和2α的范围即可求出cos2a 的值．【题文】4.已知函数()f x 的定义域为()()32,11a a f x -++，且为偶函数，则实数a 的值可以是 A.23B.2C.4D.6【知识点】函数的奇偶性B4 【答案】B【解析】因为函数f （x+1）为偶函数，则其图象关于y 轴对称，而函数f （x ）的图象是把函数f （x+1）的图象向右平移1个单位得到的，所以函数f （x ）的图象关于直线x=1对称．又函数f （x ）的定义域为（3-2a ，a+1），所以（3-2a ）+（a+1）=2，解得：a=2．【思路点拨】函数f （x+1）为偶函数，说明其定义域关于“0”对称，函数f （x ）的图象是把函数f （x+1）的图象向右平移1个单位得到的，说明f （x ）的定义域（3-2a ，a+1）关于“1”对称，由中点坐标公式列式可求a 的值．【题文】5.设函数()sin cos2f x x x =图象的一条对称轴方程是 A. 4x π=-B.0x =C.4x π=D. 2x π=【知识点】三角函数的图象与性质C3 【答案】D【题文】6.若方程24x x m +=有实数根，则所有实数根的和可能是A.246---、、B. 456---、、C. 345---、、D. 468---、、 【知识点】函数与方程B9 【答案】D【解析】函数y=|x 2+4x|由函数y=x 2+4x 的图象纵向对折变换所得： 如下图所示：由图可得：函数y=|x 2+4x|的图象关于直线x=-2对称，则方程|x 2+4x|=m 的实根也关于直线x=-2对称， 当m ＜0时，方程|x 2+4x|=m 无实根，当m=0或m ＞4时，方程|x 2+4x|=m 有两个实根，它们的和为-4， 当0＜m ＜4时，方程|x 2+4x|=m 有四个实根，它们的和为-8， 当m=4时，方程|x 2+4x|=m 有三个实根，它们的和为-6，【思路点拨】函数y=|x 2+4x|由函数y=x 2+4x 的图象纵向对折变换所得，画出函数图象可得函数y=|x 2+4x|的图象关于直线x=-2对称，则方程|x 2+4x|=m 的实根也关于直线x=-2对称，对m 的取值分类讨论，最后综合讨论结果，可得答案．【题文】7.要得到一个奇函数，只需将函数()sin 2f x x x =的图象A.向左平移6π个单位 B.向右平移6π个单位 C.向右平移4π个单位D.向左平移3π个单位【知识点】三角函数的图象与性质C3 【答案】A【题文】8.定义在R 上的偶函数满足()()3311,0222f x f x f f ⎛⎫⎛⎫+=--==-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且，则()()()()1232014f f f f +++⋅⋅⋅+的值为A.2B.1C.0D.2-【知识点】函数的周期性B4 【答案】B【解析】由f （x ）满足33()()22f x f x +=-），即有f （x+3）=f （-x ）， 由f （x ）是定义在R 上的偶函数，则f （-x ）=f （x ），即有f （x+3）=f （x ）， 则f （x ）是以3为周期的函数，由f （-1）=1，f （0）=-2，即f （2）=1，f （3）=-2， 由f （4）=f （-1）=1，即有f （1）=1．则f （1）+f （2）+f （3）+…+f （2014）=（1+1-2）+…+f （1）=0×671+1=1．【题文】9.在ABC ∆中，若()()()sin 12cos sin A B B C A C -=+++∆，则ABC 的形状一定是 A.等边三角形B.不含60o的等腰三角形C.钝角三角形D.直角三角形【知识点】解三角形C8 【答案】D【解析】∵sin （A-B ）=1+2cos （B+C ）sin （A+C ），∴sin （A-B ）=1-2cosAsinB ， ∴sinAcosB-cosAsinB=1-2cosAsinB ，∴sinAcosB+cosAsinB=1， ∴sin （A+B ）=1，∴A+B=90°，∴△ABC 是直角三角形．【思路点拨】利用三角形的内角和，结合差角的余弦公式，和角的正弦公式，即可得出结论．【题文】10.函数()f x =①()f x 的图象是中心对称图形： ②()f x 的图象是轴对称图形；③函数()f x 的值域为)+∞； ④方程()()1ff x =.上述关于函数()f x 的描述正确的是 A.①③ B.③④ C.②③ D.②④【知识点】单元综合B14 【答案】C【思路点拨】由函数的几何意义可得函数的值域及单调性，结合函数的值域和单调性逐个选项验证即可作出判断．第II 卷（非选择题 共100分）【题文】二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.将答案填在题中横线上. 【题文】11.定积分()12xx e dx +⎰____________.【知识点】定积分与微积分基本定理B13 【答案】e【解析】10⎰(2x+e x =（12+e 1）-（02+e 0）=e【思路点拨】根据积分计算公式，求出被积函数2x+e x 的原函数，再根据微积分基本定理加以计算，即可得到本题答案．【题文】12.如果()2tan sin 5sin cos f x x x x =-⋅，那么()2f =_________. 【知识点】同角三角函数的基本关系式与诱导公式C2 【答案】-6【思路点拨】把已知函数解析式的分母1化为sin x+cos x ，然后分子分母同时除以cos x ，利用同角三角函数间的基本关系弦化切后，可确定出f （x ）的解析式，把x=2代入即可求出f （2）的值． 【题文】13.函数()2sin cos f x x x x x =++，则不等式()()ln 1f x f <的解集为___________.【知识点】函数的单调性与最值B3【题文】14.已知ABC ∆的一个内角为120o，并且三边长构成公差为4的等差数列，则ABC ∆的面积为____________.【知识点】解三角形C8【答案】【思路点拨】因为三角形三边构成公差为4的等差数列，设中间的一条边为x ，则最大的边为x+4，最小的边为x-4，根据余弦定理表示出cos120°的式子，将各自设出的值代入即可得到关于x 的方程，求出方程的解即可得到三角形的边长，然后利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC 的面积． 【题文】15.设函数()ln f x x =，有以下4个命题： ①对任意的()()()1212120,22f x f x x x x x f ++⎛⎫∈+∞≤⎪⎝⎭、，有； ②对任意的()()()121221211,x x x x f x f x x x ∈+∞<-<-、，且，有； ③对任意的()()()12121221,x x e x x x f x x f x ∈+∞<<、，且，有； ④对任意的120x x <<，总有()012,x x x ∈，使得()()()12012f x f x f x x x -≤-.其中正确的是______________________（填写序号）.【知识点】函数的单调性与最值B3 【答案】②【题文】三、解答题：本大题共6小题，共75分.【题文】16.（本小题满分12分）已知函数())22sin cos cos sin f x x x x x =+-. （I ）求6f π⎛⎫⎪⎝⎭及()f x 的单调递增区间；（II ）求()f x 在闭区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最值. 【知识点】三角函数的图象与性质C3【答案】（I ，[-512π+k π,12π+ k π],k Z ∈（II ）最大值为1，最小值为-12 【解析】（I ）f(x)=12cos2x=sin(2x+3π),则f(6π,22k ππ-+≤2x+3π22k ππ≤+，k Z ∈单调递增区间[-512π+k π,12π+ k π],k Z ∈. （II ）由x ∈,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦则2x+3π∈5[,]66ππ-，sin(2x+3π)∈[-12,1],所以最大值为1，最小值为-12。

【思路点拨】先化简再求单调区间，求出最值。

【题文】17.（本小题满分12分）设命题p ：函数()31f x x ax =--在区间[]1,1-上单调递减；命题q ：函数()2ln 1y x ax =++的值域是R.如果命题p q 或为真命题，p q 且为假命题，求a 的取值范围.【知识点】命题及其关系A2 【答案】【解析】p 为真命题在上恒成立，在上恒成立q 为真命题恒成立由题意p 和q 有且只有一个是真命题P 真q 假 p 假q 真综上所述：.【思路点拨】由函数在区间[-1，1]上单调递减转化为其导函数在[-1，1]上恒成立，分离变量可求解；由函数的值域是R 转化为对任意的实数有意义，因此其判别式.再结合两命题的真假分类讨论求解的取值范围.【题文】18.（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 对边的边长分别是,,a b c ，已知23c C π==，.（I ）若ABC ∆,a b ；（II ）若()sin sin 2sin2C B A A +-=，求三角形的面积. 【知识点】解三角形C8【答案】（I 【解析】（Isin 30b ︒==S=1/2absinC=2√3/3当sinA=sinB 时A=B 或A=π-B(舍去)则A=B=60° △ABC 是等边三角形 a=b=c=2,S=22⨯=√3 【思路点拨】根据余弦定理求出边，根据正弦定理求出面积。