艺体生复习资料--集合基础

一、集合与简易逻辑：
一、理解集合中的有关概念
（1）集合中元素的特征：确定性，互异性，无序性 。

（2）集合与元素的关系用符号⊆∈, 表示。

（3）常用数集的符号表示：自然数集 N ；正整数集 N * 、 N + ；整数集 Z ；
有理数集 Q 、实数集 R 。

（4）集合的表示法:列举法，描述法，符号法（数轴法，韦恩图法）
注意：区分集合中元素的形式：如：}12|{2++==x x y x A ；}12|{2++==x x y y B ；}
12|),{(2++==x x y y x C }12|{2++==x x x x D ；
},,12|),{(2Z y Z x x x y y x E ∈∈++==； }12|)',{(2++==x x y y x F ；},12|{2x
y z x x y z G =++== （5）空集是指不含任何元素的集合。

（}0{、φ和}{φ的区别；0与三者间的关系） 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

注意：条件为B A ⊆，在讨论的时候不要遗忘了φ=A 的情况。

如：}012|{2=--=x ax x A ，如果φ=+R A ，求a 的取值。

二、集合间的关系及其运算
（1）符号“∉∈,”是表示元素与集合之间关系的，立体几何中的体现 点与直线（面）的关系 ；
符号“⊄⊂,”是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的体现 面与直线(面)的关系 。

（2）A ⋂B={ x| x ∈A
且x ∈B} A ⋃B={ x| x ∈A 或x ∈B}； C I A={ x| x ∈ I 且x ∉A }
（3）对于任意集合B A ,，则：
①A B B A =；A B B A =；B A B A ⊆；
②⇔=A B A A ⊆B ；⇔=A B A B ⊆A ；
⇔=U B A C U A ⋃B=∅；⇔=φB A C U A ⋂B=U ；
③=B C A C U U )(B A C U ⋃; B C A C U U ⋃)(B A C U =；
（4）①若n 为偶数，则=n 2K,(k Z ∈)；若n 为奇数，则=n 2k+1, (k Z ∈)；
②若n 被3除余0，则=n 3k, (k Z ∈)；若n 被3除余1，则=n 3k+1(k Z ∈)；若n 被3除余2，则=n 3k+2(k Z ∈)；
三、集合中元素的个数的计算：
（1）若集合A 中有n 个元素，则集合A 的所有不同的子集个数为2n
，所有真子集的个数
是2n -1，所有非空真子集的个数是2n -2。

（2）B A 中元素的个数的计算公式为： =)(B A Card -+CardB CardA )(B A Card ⋂；
（3）韦恩图的运用：
四、x x A |{=满足条件}p ，x x B |{=满足条件}q ，
若p ⇒q,q ⇒p ；则p 是q 的充分非必要条件B A ⊆⇔；
若p ⇒q,q ⇒p ；则p 是q 的必要非充分条件B A ⊇⇔；
若p ⇔q ；则p 是q 的充要条件B A =⇔；
若p ⇒q,q ⇒p ；则p 是q 的既非充分又非必要条件A B B A ⊄⊄⇔,；
五、原命题与逆否命题，否命题与逆命题具有相同的充要性； 注意：“若q p ⌝⇒⌝，则q p ⇒”在解题中的运用，
如：“βαsin sin ≠”是“βα≠”的充分不必要条件。

六、反证法：当证明“若p ，则q ”感到困难时，改证它的等价命题“若q ⌝则p ⌝”成立， 步骤：1、假设结论反面成立；2、从这个假设出发，推理论证，得出矛盾；
3、由矛盾判断假设不成立，从而肯定结论正确。

正面词语
等于 大于 小于 是 都是 至多有一个 否定
不等于 不大于 不小于 不是 不都是 至少有两个 正面词语
至少有一个 任意的 所有的 至多有n 个 任意两个 否定 一个也没有 某些
存在 至少n+1个 存在两个不
1．（P13练习4）设(){}(){},46,,53,A x y y x B x y y x ==-+==+-，则A B =
2．（P13练习5）设{}{}21,,21,,A x x k k Z B x x k k Z ==+∈==-∈
{}2,,C x x k k Z ==∈则A B = ，B C = ，A C = ，A B = 。

3．（P14习题9）一个集合的所有子集共有n 个，若{}0,1,2,3,4,5n ∈，则n =
4.（P14习题10）我们知道,如果集合A S ⊆，那么S 的子集A 的补集为{},s C A x x S x A =∈∉且．类似地,对于集合A,B ，我们把集合叫{},x x A x B ∈∉且做集合Ａ，Ｂ的差集，记作Ａ－Ｂ．若{}{}1,2,3,4,5,4,5,6,7,8A B ==，则()()A B B A --=
.若A B -=∅，则集合A 与B 之间的关系为 5．（P17复习题6）已知集合[)()1,4,,,A B a A B ==-∞Ø，则a ∈
6．（P17复习题8）满足{}{}1,31,3,5A = 的集合A 最多有 个。

7．（P17复习题10）期中考试，某班数学优秀率为70%，语文优秀率为75%.则上述两门学科都优秀的百分率至少为 。

8．（P17复习题11）设全集为U ，则()(),,U U U C A C A B C A B 三者之间的关系为
9．（P17复习题12）设A ，B 均为有限集，A 中元素的个数为m ，B 中元素的个数为n ，A B 中的元素的个数s ，A B 中的元素的个数t ，则下列各式能成立的序号是
（1）．m n s +> （2）．m n s += （3）．m n s +
10．（P17复习题13）对于集合A ，B ，我们把集合(){},,a b a A b B ∈∈记作A B ⨯.例如，{}{}1,2,3,4A B ==，则有
()()()(){}()()()(){}1,3,1,4,2,3,2,4,3,1,3,2,4,1,4,2,A B B A ⨯=⨯=
()()()(){}()()()(){}1,1,1,2,2,1,2,2,3,3,3,4,4,3,4,4.A A B
B ⨯=⨯= 据此，试解答下列问题：
（1） 已知{}{},1,2,3C a D ==，求C D ⨯及D C ⨯；
（2） 已知()(){}
1,2,2,2A B ⨯=，求集合A ，B ；
（3） 若A 有3个元素，B 有4个元素，试确定A B ⨯有几个元素？
1.若集合{}|2A x x =≤，{}|B x x a =≥满足{2}A B = ，则实数a = ．
2.设集合{|32}M m m =∈-<<Z ，{|13}N n n M N =∈-=Z 则，≤≤
3.已知全集U =R ，集合{}|23A x x =-≤≤，{}|14B x x x =<->或，那么集合)(B C A U 等于
4.设集合{}{}{}1,2,3,4,5,1,2,3,2,3,4U A B ===，则=)(B A C U
5.设集合|0{8}x x N U =∈<≤，{1,2,4,5}S =，{3,5,7}T =，则=)(T C S U
6.定义集合运算:{},,.A B z z xy x A y B *==∈∈设{}1,2A =,{}0,2B =,则集合
A B *的所有元素之和为
7.（湖南卷2）“12x -<成立”是“(3)0x x -<成立”的 条件
8.已知全集{12345}U =，
，，，，集合2{|320}A x x x =-+=，{|2}B x x a a A ==∈，，则集合)(B A C U 中元素的个数为
9.设m,n 是整数，则“m,n 均为偶数”是“m+n 是偶数”的 条件
10.（福建卷2)设集合A={x |1
x x -＜0},B={x |0＜x ＜3＝,那么“m ∈A ”是“m ∈B ”的 条件
11.已知U=R ，A={}0|>x x ,B={}1|-≤x x ,则()()=A C B B C A u u
12.（辽宁卷1）已知集合{}3|0|31x M x x N x x x +⎧⎫==<=-⎨⎬-⎩⎭
，≤，则集合{}|1x x ≥＝（ ）
A ．M N
B ．M N
C ．)(N M C U
D ．)(N M C U 13.（江苏卷4）A={()}2137x x x -<-，则A Z 的元素的个数 ．
14.（重庆卷11）设集合U ={1,2,3,4,5},A ={2,4},B={3,4,5},C={3,4},则)()(C C B A U = .。