初中八年级奥数竞赛-专题06 从地平面到脚手架——分式的运算_答案.docx
人教版 八年级数学上册 竞赛专题分式方程(含答案)
人教版 八年级数学上册 竞赛专题：分式方程（含答案）【例1】 若关于x 的方程22x ax +-＝－1的解为正数，则a 的取值范围是______．解题思路：化分式方程为整式方程，注意增根的隐含制约．【例2】 已知()22221111x x A B Cx x x x x +-=++--，其中A ，B ，C 为常数．求A ＋B ＋C 的值．解题思路：将右边通分，比较分子，建立A ，B ，C 的等式．【例3】解下列方程： （1）596841922119968x x x x x x x x ----+=+----； （2）222234112283912x x x x x x x x ++-+=+-+； （3）2x ＋21x x ⎛⎫⎪+⎝⎭＝3．解题思路：由于各个方程形式都较复杂，因此不宜于直接去分母．需运用解分式问题、分式方程相关技巧、方法解．【例4】（1）方程18272938x x x x x x x x +++++=+++++的解是___________． （2）方程222111132567124x x x x x x x ++=+++++++的解是________．解题思路：仔细观察分子、分母间的特点，发现联系，寻找解题的突破口．【例5】若关于x 的方程2211k x kx x x x x+-=--只有一个解，试求k 的值与方程的解． 解题思路：化分式方程为整式方程，解题的关键是对原方程“只有一个解”的准确理解，利用增根解题．【例6】求方程11156x y z ++=的正整数解． 解题思路：易知,,x y z 都大于1，不妨设1＜x ≤y ≤z ，则111x y z≥≥，将复杂的三元不定方程转化为一元不等式，通过解不等式对某个未知数的取值作出估计．逐步缩小其取值范围，求出结果．能力训练A 级1．若关于x 的方程1101ax x +-=-有增根，则a 的值为________． 2．用换元法解分式方程21221x x x x --=-时，如果设21x x-＝y ，并将原方程化为关于y 的整式方程，那么这个整式方程是___________． 3．方程2211340x x x x ⎛⎫+-++= ⎪⎝⎭的解为__________． 4．两个关于x 的方程220x x --=与132x x a=-+有一个解相同，则a ＝_______．5．已知方程11x a x a+=+的两根分别为a ，1a ，则方程1111x a x a +=+--的根是（ ）． A ．a ，11a - B ．11a -，1a - C ．1a ，1a - D ．a ，1aa -6．关于x 的方程211x mx +=-的解是正数，则m 的取值范围是（ ） A ．m ＞－1 B ．m ＞－1且m ≠0C ．m ＜－1D ．m ＜－l 且m ≠－27．关于x 的方程22x c x c +=+的两个解是x 1＝c ，x 2＝2c ，则关于x 的方程2211x a x a +=+--的两个解是（ ） ． A ．a ，2a B ．a －1，21a - C ．a ，21a - D ．a ，11a a +- 8．解下列方程：（1）()2221160x x x x+++-=； （2）2216104933x x x x ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭．9．已知13x x+=．求x 10＋x 5＋51011x x +的值．10．若关于x 的方程2211k x kx x x x x+-=--只有一个解（相等的两根算作一个），求k 的值．11．已知关于x 的方程x2＋2x ＋221022m x x m-=+-，其中m 为实数.当m 为何值时，方程恰有三个互不相等的实数根?求出这三个实数根.12．若关于x 的方程()()122112x x ax x x x x ++-=+--+无解，求a 的值．B 级1．方程222211114325671221x x x x x x x x +++=+++++++的解是__________．2．方程222111011828138x x x x x x ++=+-+---的解为__________．3．分式方程()()1112x m x x x -=--+有增根，则m 的值为_________． 4．若关于x 的分式方程22x ax +-＝－1的解是正数，则a 的取值范围是______．5．（1）若关于x 的方程2133mx x =---无解，则m ＝__________． （2）解分式方程225111mx x x +=+--会产生增根，则m ＝______． 6．方程33116x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭的解的个数为（ ）． A ．4个 B ．6个 C ．2个 D ．3个7．关于x 的方程11ax =+的解是负数，则a 的取值范围是（ ） ． A ．a ＜l B ．a ＜1且a ≠0 C ．a ≤1 D ．a ≤1且a ≠08．某工程，甲队独做所需天数是乙、丙两队合做所需天数的a 倍，乙队独做所需天数是甲、丙两队合做所需天数的b 倍，丙队独做所需天数是甲、乙两队合做所需天数的c 倍，则111111a b c +++++的值是（ ）．A ．1B ．2C ．3D ．49．已知关于x 的方程（a 2－1）()2271011x x a x x ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭有实数根．（1）求a 的取值范围；（2）若原方程的两个实数根为x 1，x 2，且121231111x x x x +=--，求a 的值.10．某电脑公司经销甲种型号电脑，受经济危机影响，电脑价格不断下降. 今年三月份的电脑售价比去年同期每台降价1 000元．如果卖出相同数量的电脑，去年销售额为10万元．今年销售额只有8万元． （1）今年三月份甲种电脑每台售价多少元?（2）为了增加收入，电脑公司决定再经销乙种型号电脑．已知甲种电脑每台进价为3500元，乙种电脑每台进价为3000元，公司预计用不多于5万元且不少于4.8万元的资金购进这两种电脑共15台，有几种进货方案?（3）如果乙种电脑每台售价为3 800元，为打开乙种电脑的销路，公司决定每售出一台乙种电脑，返还顾客现金a元．要使（2）中所有方案获利相同，a值应是多少？此时，哪种方案对公司更有利？参考答案例1 a ＜2且a ≠－4例2 原式右边＝22(1)+B(1)(1Ax x x Cx x x --+-）＝2222()()211(1)(1)A C x B A x B x x x x x x ++--+-=-- 得2111A C B A B +=⎧⎪-=⎨⎪-=-⎩∴1011,8.A B C =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，∴A ＋B ＋C ＝13．例3 （1）x ＝12314提示：1155(5)(1)(4)(2)191968x x x x -++=++-----．（2）1,2x =，x 3＝－1，x 4＝－4 提示：令223.4x xy x x +=+-（3）1,2x =提示222222()().111x x x x x x x +=++++例4 （1）原方程化为11111+111+2+9+3+8x x x x --=-+-，即1111+3+2+9+8x x x x -=-，进一步可化为(x ＋2) (x ＋3)＝(x ＋8) (x ＋9)，解得x ＝－112．（2）原方程化为1111111+1+2+2+3+3+4+4x x x x x x x -+-+-=，即12+14x x =+，解得x ＝2． 例5 原方程化为kx 2－3kx ＋2x －1＝0①，当k ＝0时，原方程有唯一解x ＝12；当k ≠0，Δ＝5k 2＋4(k －1)2＞0．由题意知，方程①必有一根是原方程的曾根，即x ＝0或x ＝1，显然0不是①的根，故x ＝1是方程①的根，代入的k ＝12．∴当k ＝0或12时，原方程只有一个解． 例6 11113x x y z x <++≤，即1536x x <≤，因此得x ＝2或3．当x ＝2时，111x x y <+＝511112623y y y -=≤+=，即1123y y<≤，由此可得y ＝4或5或6；同理，当x ＝3时，y ＝3或4，由此可得当1≤x ≤y ≤z 时，(x ，y ，z )共有(2，4，12)，(2，6，6)，(3，3，6)，(3，4，4)4组；由于x ，y ，z 在方程中地位平等，可得原方程组的解共15组：(2，4，12)，(2，12，4)， (4，2，12)，(4，12，2)，(12，2，4)，(12，4，2)，(2，6，6)，(6，2，6)，(6，6，2)，(3，3，6)，(3，6，3)，(6，3，3)，(3，4，4) ，(4，4，3) ，(4，3，4)．A 级1．－1 2．y 2－2y －1＝0 3．1 4．－8 5．D 6．D 7．D8．(1)12123x x ==-， (2)1226x x ==-，,3,43x =-±9．15250 提示：由x ＋13x =得2217.x x +=则2211()()21x x x x ++=，得33118x x+=． 于是221()x x+331()126x x +=，得551123x x +=．进一步得1010115127x x +=．故原式＝15250．10．k ＝0或k ＝12提示：原方程化为kx 2－3kx ＋2x －1＝0，分类讨论． 11．设x ＋2x ＝y ，则原方程可化为y 2－2my ＋m 2－1＝0，解得y 1＝m ＋1，y 2＝m －1．∵x 2＋2x －m －1＝0①，x 2＋2x －m ＋1＝0②，从而Δ1＝4m ＋8，Δ2＝4m 中应有一个等于零，一个大于零．经讨论，当Δ2＝0即m ＝0时，Δ1＞0，原方程有三个实数根．将m ＝0代入原方程，解得12321211.x x x ⎧=-⎪⎪=--⎨⎪=⎪⎩12 原方程“无解”内涵丰富:可能是化得的整式方程无解,亦可能是求得的整式方程的解为増根,故需全面讨论.原方程化为(a+2)x =－3 ① , ∵原方程无解,∴a+2=0或x －1=0,x+2=0,得B 级1. 3或 － 72. x₁=8 , x₁=－1 , x₁=－8 , x₁=1 提示: 令x ²－8=y3. 3 提示:由有増根可得m=0或 m=3,但当 m=0,化为整式方程时无解4. a<2 且 a ≠－45. ⑴ －2 ⑵ －4 或 －106. A7.8. 设甲单独做需要x 天完成,乙单独做需要y 天完成,丙单独做需要z 天完成则.解 . 当a ≠±1时,则Δ≥0,原方程有实数解.由Δ=[-﹙2a+7﹚]²-4﹙a ²-1﹚≥0,解得.21-5,2,21-a 5,－=a 分别别代入①2－= x 1,=x 把 2,－=a 或综上知--==a 0≠1a ∴ 0,≠11 0≠1x 1a 01-a x ∴,111x a: a a x a B 且即且由提示<+-+<⇒<=+=⇒=+1x y +=++a yz yzxz 得⑥⑤④, ⑥11yz x z x y x y ⑤,11yz x z x y x z ④.11yz x z x y yz ∴+++=+++=+++=++c b a 同理可得111111a 1=+++++c b 得,01.01)72(1)t -(a 1,≠,1⑴....9222=-=++-=-a t a t t x x当原方程可化为则设.,?=a , 41-=x 81-=x ∴, 51=1-x 91=1-x 0=1+5-0=1+9-, ?=原方程有实数解时当故或或即或则方程为时即x x t t a 且当综上可知由于解得时但当又,2853－≥,,2853－>22±1,22±1=a ,1=t 1,≠t ,2853－≥a a .,22±1≠原方程有实数解时a。
八年级下分式的运算专题讲解(含答案)
分式的运算【知识精读】1. 分式的乘除法法则a b c d ac bd⋅=； a b c d a b d c ad bc ÷=⋅= 当分子、分母是多项式时，先进行因式分解再约分。
2. 分式的加减法（1）通分的根据是分式的基本性质，且取各分式分母的最简公分母。
求最简公分母是通分的关键，它的法则是：①取各分母系数的最小公倍数；②凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取；③相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最高的。
（2）同分母的分式加减法法则a cbc a b c±=± （3）异分母的分式加减法法则是先通分，变为同分母的分式，然后再加减。
3. 分式乘方的法则()a b a bn nn =（n 为正整数） 4. 分式的运算是初中数学的重要内容之一，在分式方程，求代数式的值，函数等方面有重要应用。
学习时应注意以下几个问题：（1）注意运算顺序及解题步骤，把好符号关；（2）整式与分式的运算，根据题目特点，可将整式化为分母为“1”的分式；（3）运算中及时约分、化简；（4）注意运算律的正确使用；（5）结果应为最简分式或整式。
下面我们一起来学习分式的四则运算。
【分类解析】例1：计算x xx xx xx x22222662----÷+-+-的结果是（）A. xx--13B.xx+-19C.xx2219--D.xx2213++分析：原式=-+-+÷+-+-()()()()()()()() x xx xx xx x21323221=-+-+⋅+-+-=+-+-=--()()()()()()()() ()()()()x xx xx xx xx xx xxx21322132 11331922故选C说明：先将分子、分母分解因式，再约分。
例2：已知abc=1，求aab abbc bcac c++++++++111的值。
分析：若先通分，计算就复杂了，我们可以用abc替换待求式中的“1”，将三个分式化成同分母，运算就简单了。
八年级数学竞赛试题及参考答案
八年级数学竞赛试题及参考答案八年级数学竞赛试题(一)一、选择题（每小题5分，共30分） 1．已知2220082008,2ca b a b c k k +=-==++=，且那么的值为（ ）． A ．4 B ．14 C ．－4 D ．14- 2．若方程组312433x y k x y k x y x y +=+⎧<<-⎨+=⎩的解为，，且，则的取值范围是（ ）． A ．102x y <-<B ．01x y <-<C ．31x y -<-<-D ．11x y -<-< 3．计算：2399100155555++++++=（ ）．A ．10151- B ．10051- C ．101514- D ．100514-4．如图，已知四边形ABCD 的四边都相等，等边△AEF 的顶点E 、F 分别在BC 、CD 上，且AE=AB ，则∠C=（ ）． A ．100° B ．105° C ．110° D ．120°5．已知5544332222335566a b c d a b c d ====，，，，则、、、的大小关系是（ ）． A ．a b c d >>> B ．a b d c >>> C ．b a c d >>> D ．a d b c >>> 6．如果把分数97的分子、分母分别加上正整数913a b 、，结果等于，那么a b +的最小 值是（ ）．A ．26B ．28C ．30D ．32 二、填空题：（每小题5分，共30分）（第4题图）DCB（第15题图）EDCBA7．方程组200820092007200720062008x y x y -=⎧⎨-=⎩的解是 ．8．如图，已知AB 、CD 、EF 相交于点O ，EF ⊥AB ，OG 为∠COF 的平分线，OH 为∠DOG 的平分线，若∠AOC ：∠COG=4：7，则∠GOH= ．9．小张和小李分别从A 、B 两地同时出发，相向而行，第一次在距A 地5千米处相遇，继续往前走到各地（B 、A ）后又立即返回，第二次在距B 地4千米处两人再次相遇，则A 、B 两地的距离是 千米．10．在△ABC 中，∠A 是最小角，∠B 是最大角，且2∠B=5∠A ，若∠B 的最大值为m °，最小值为n °，则m °+n °= ．11．已知21()()()04b c b c a b c a a a+-=--≠=，且，则 ． 12．设p q ，均为正整数，且7111015p q <<，当q 最小时，pq 的值为 ． 以下三、四、五题要求写出解题过程． 三、（本题满分20分）13．在一次抗击雪灾而募捐的演出中，晨光中学有A 、B 、C 、D 四个班的同学参加演出，已知A 、B 两个班共16名演员，B 、C 两个班共20名演员，C 、D 两个班共34名演员，且各班演员的人数正好按A 、B 、C 、D 次序从小到大排列，求各班演员的人数． 四、（本题满分20分）14．已知2211x x y y x y =+=+≠，，且． ⑴ 求证：1x y +=． ⑵ 求55x y +的值．五、（本题满分20分）15．如图，在△ABC 中AC ＞BC ，E 、D 分别是AC 、BC 上的点，且∠BAD=∠ABE ，AE=BD ．求证：∠BAD=12∠C ．G（第8题图）HOFED CBA参考答案一、选择题1．A 2．B 3．C 4．A 5．A 6．B 二、填空题： 7、21x y =⎧⎨=⎩ 8、72.5° 9、11 10、175° 11、2 12、68213、解：依题意得：A+B=16，B+C=20，C+D=34∵A ＜B ＜C ＜D ，∴A ＜8，B ＞8，B ＜10，C ＞10，C ＜17，D ＞17 由8＜B ＜10且B 只能取整数得，B=9 ∴C=11，D=23，A=7答：A 、B 、C 、D 各班演员人数分别是7人、9人、11人、23人。
初二奥数竞赛试题及答案
初二奥数竞赛试题及答案试题一：代数问题题目：若\( a \)、\( b \)、\( c \)为正整数，且满足\( a^2 + b^2 + c^2 = 1 \)，求\( a \)、\( b \)、\( c \)的值。
答案：由于\( a \)、\( b \)、\( c \)为正整数，且\( a^2 + b^2 + c^2 = 1 \)，我们可以推断出\( a \)、\( b \)、\( c \)的值只能是1或0。
因为\( 1^2 = 1 \)，而\( 2^2 = 4 \)，所以\( a \)、\( b \)、\( c \)不能大于1。
经过尝试，我们可以发现只有当\( a = b = c = 0 \)或\( a = 1, b = 0, c = 0 \)（或其它两种排列）时，等式成立。
试题二：几何问题题目：在一个直角三角形ABC中，∠C是直角，AC = 6，BC = 8，求斜边AB的长度。
答案：根据勾股定理，直角三角形的斜边的平方等于两直角边的平方和。
所以，我们有：\[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \]\[ AB^2 = 6^2 + 8^2 \]\[ AB^2 = 36 + 64 \]\[ AB^2 = 100 \]\[ AB = \sqrt{100} \]\[ AB = 10 \]试题三：组合问题题目：有5种不同的颜色的球，每种颜色有3个球，现在要从中选出3个球，求不同的选法总数。
答案：这是一个组合问题，我们可以使用组合公式来解决。
组合公式为：\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]其中\( n \)是总数，\( k \)是要选择的数目。
在这个问题中，\( n = 15 \)（因为有5种颜色，每种3个球），\( k = 3 \)。
所以：\[ C(15, 3) = \frac{15!}{3!(15-3)!} \]\[ C(15, 3) = \frac{15 \times 14 \times 13}{3 \times 2 \times 1} \]\[ C(15, 3) = 455 \]试题四：逻辑问题题目：有5个盒子，每个盒子里都装有不同数量的糖果，从1到5。
培优专题分式的运算(含答案)
八年级数学培优（一）分式的运算及分式方程班级姓名【知识精读】1. 分式的乘除法法则a bcdacbd ⋅=；a bcdabdcadbc ÷=⋅=当分子、分母是多项式时，先进行因式分解再约分。
2. 分式的加减法（1）通分的根据是分式的基本性质，且取各分式分母的最简公分母。
求最简公分母是通分的关键，它的法则是：①取各分母系数的最小公倍数；②凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取；③相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最高的。
（2）同分母的分式加减法法则a cbca bc ±=±（3）异分母的分式加减法法则是先通分，变为同分母的分式，然后再加减。
3. 分式乘方的法则()a babnnn=（n为正整数）4. 分式的运算是初中数学的重要内容之一，在分式方程，求代数式的值，函数等方面有重要应用。
学习时应注意以下几个问题：（1）注意运算顺序及解题步骤，把好符号关；（2）整式与分式的运算，根据题目特点，可将整式化为分母为“1”的分式；（3）运算中及时约分、化简；（4）注意运算律的正确使用；（5）结果应为最简分式或整式。
5.关于分式方程（1）分式方程的定义；（2）解分式方程的基本思想方法；（3）解分式方程的一般方法和步骤；（4）分式方程的增根问题：a.产生增根的原因是 。
验根的方法是 。
（5）列分式方程解应用题的步骤： 。
下面我们一起来学习分式的四则运算。
【分类解析】例1：计算： 12442222+--÷--+n m m n m n m mn n解：原式=---⋅-+-1222m n m n m n m n m n ()()()4 =--+=+-++=+1223m nm nm n m n m nn m n 说明：分式运算时，若分子或分母是多项式，应先因式分解。
例2：（分式通分的六大技巧）（1）逐步通分：（2）整体通分:（3）分组通分（4）分解简化通分:（5）列项相消：（6）活用乘法公式：例3、已知：M x y xy y x yx y x y 222222-=--+-+，则M =_________。
八年级数学培优辅导讲义竞赛训练导学案 分式的运算 分式的化简与求值 含答案解析
八年级数学培优辅导讲义竞赛训练导学案分式的化简与求值典例剖析【例l 】 已知2310a a -+=，则代数式361a a +的值为 ．（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：目前不能求出a 的值，但可以求出13a a+=，需要对所求代数式变形含“1a a +”．【例2】 已知一列数1234567,,,,,,,a a a a a a a 且18a =，75832a =，356124234567a a a a a a a a a a a a =====，则5a 为（ ） A ．648 B ．832 C ．1168 D ．1944（五城市联赛试题） 解题思路：引入参数k ，把17a a 用k 的代数式表示，这是解决等比问题的基本思路．【例3】 3(0)x y z a a ++=≠．求222()()()()()()()()()x a y a y a z a z a x a x a y a z a --+--+---+-+-． （宣州竞赛试题） 解题思路：观察发现，所求代数式是关于x a y a z a ---、、的代数式，而条件可以拆成x a y a z a ---、、的等式，因此很自然的想到用换元法来简化解题过程．【例4】 已知1,2,3,xy yz zxx y y z z x===+++求x 的值． （上海市竞赛试题）解题思路：注意到联立等式得到的方程组是一个复杂的三元一次方程组，考虑取倒数，将方程组化为简单的形式．【例5】 不等于0的三个正整数,,a b c 满足1111a b c a b c++=++，求证：,,a b c 中至少有两个互为相反数．解题思路：,,a b c 中至少有两个互为相反数，即要证明()()()0a b b c c a +++=．（北京市竞赛试题）【例6】 已知,,a b c 为正整数，满足如下两个条件：①32;a b c ++=②14b c a c a b a b c bc ac ab +-+-+-++= 解题思路：本题熟记勾股定理的公式即可解答．（全国初中数学联赛试题）能力训练1．若a b c d b c d a ===，则a b c d a b c d-+-+-+的值是 ．（“希望杯”邀请赛试题）2．已知2131xx x =-+，则24291x x x =-+ ． （广东竞赛试题）3．若2221998,1999,2000a x b x c x +=+=++=且24abc =，则111c a b ab bc ac a b c++--- 的值为 ．（“缙云杯”竞赛试题）4．已知232325x xy y x xy y +-=--，则11x y -= ．5．如果111,1a b b c+=+=，那么1c a +=（ ）．A ．1B ．2C ．12D ．14（“新世纪杯”竞赛试题）6．设有理数,,a b c 都不为0，且0a b c ++=，则222222222111b c a c a b a b c+++-+-+-的 值为（ ）．A ．正数B ．负数C ．零D ．不能确定7．已知4360,270(0)x y z x y z xyz --=+-=≠，则22222223657x y z x y z++++的值为（ ）． A ．0 B ．1 C ．2 D ．不能确定8．已知211xx mx =-+，则36331x x m x -+的值为（ ） A ．1 B ．313m + C ．2132m - D ．2131m + 9．设0a b c ++=，求222222222a b c a bc b ac c ab+++++的值．10．已知111x y z y z x+=+=+其中,,x y z 互不相等，求证2221x y z =． （天津市竞赛试题）11．设,,a b c 满足1111a b c a b c++=++， 求证2121212121211111n n n n n n a b c a b c ------++=++．（n 为自然数）（波兰竞赛试题）12．三角形三边长分别为,,a b c ．（1）若a a b cb c b c a ++=+-，求证：这个三角形是等腰三角形； （2）若1111a b c a b c-+=-+，判断这个三角形的形状并证明．13．已知1ax by cz ===，求444444111111111111a b c x y z+++++++++++的值． （“华杯赛”试题）14．解下列方程（组）： （1）18272938x x x x x x x x +++++=+++++； （江苏省竞赛试题）（2）596841922119968x x x x x x x x ----+=+----； （“五羊杯”竞赛试题）（3）111211131114x y z y z x z x y ⎧+=⎪+⎪⎪+=⎨+⎪⎪+=⎪+⎩．（北京市竞赛试题）B 级1．设,,a b c 满足0a b c ++=，0abc >，若a b c x a b c=++， 111111()()()y a b c b c c a a b=+++++，则23x y xy ++= ．2．若0abc ≠，且a b b c c a c a b+++==，则()()()a b b c c a abc +++= ． 3．设,,a b c 均为非零数，且2(),3(),4()ab a b bc b c ac a c =+=+=+，则a b c ++= ．4．已知,,x y z 满足1x y z y z x z y x ++=+++，则222x y z y z x z y x+++++的值为 ． 5．设,,a b c 是三个互不相同的正数，已知a c c bb a b a-==+，那么有（ ）． A ．32b c = B ．32a b = C ．2b c = D ．2a b =6．如果0a b c ++=，1114a b c ++=-，那么222111a b c++的值为（ ）．A ．3B ．8C ．16D ．207．已知2519910x x --=，则代数式42(2)(1)1(1)(2)x x x x -+----的值为（ ）．A ．1996B ．1997C ．1998D ．199998．若615325x y x y y x y x -==-，则222245623x xy y x xy y-+-+的值为（ ）． A ．92 B ．94C ．5D ．6 （全国初中数学联赛试题）9．已知非零实数,,a b c 满足0a b c ++=． （1）求证：3333a b c abc ++=； （2）求()()a b b c c a c a bc a b a b b c c a---++++---的值． （北京市竞赛试题）10．已知2410a a ++=，且42321322a ma a ma a++=++．求m 的值． （北京市竞赛试题）11．完成同一件工作，甲单独做所需时间为乙、丙两人合做所需时间的p 倍，乙单独做所需时间为甲、（天津市竞赛试题）12．设222222222,,222b c a a c b b a c A B C bc ac ab+-+-+-===，当3A B C ++=-时，求证：2002200220023A B C ++=．（天津市竞赛试题）13．某商场在一楼和二楼之间安装了一自动扶梯，以均匀的速度向上行驶，一男孩和一女孩同时从自动扶梯上走到二楼（扶梯行驶，两人也走梯）．如果两人上梯的速度都是匀速的，每次只跨1级，且男孩每分钟走动的级数是女孩的2倍．已知男孩走了27级到达扶梯顶部，而女孩走了18级到达顶部． （1）扶梯露在外面的部分有多少级？（2）现扶梯近旁有一从二楼下到一楼的楼梯道，台阶的级数与自动扶梯的级数相等，两人各自到扶梯顶部后按原速度再下楼梯，到楼梯底部再乘自动扶梯上楼（不考虑扶梯与楼梯间的距离）．求男孩第一次追上女孩时走了多少级台阶？（江苏省竞赛试题）专题07 分式的化简求值例1 181提示：3363111aa a a +=+例2 A 提示：7665544332216a a a a a a a a a a a a k •••••==71a a =58328，得k=31±，又25443322151k a a a a a a a a a a =•••= 例3油x+y+z=3a ，得（x-a ）+（y-a ）+（z-a ）=0.设x-a=m ，y-a=n ，z-a=p ，则m+n+p=0，即p=-（m+n ）.原式=222p n m pm np mn ++++=()222p n m n m p mn ++++=()()2222n m n m n m mn ++++-=-21 例4 x=512 提示：由已知条件知xy ≠0，yz ≠0，取倒数，得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+++,31,21,1zx x z zx z y xy y x 即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+,3111,2111,111x z z y y x ①+②+③，得1211111=++z y x 例5 提示：由已知条件，得()()a bc acb abc bc ac b ab +++++++22=()()[]()c a b a c b a b ++++=()()()0=+++a c c b b a例6 由勾股定理，结论可表示为等式：a=b+c ，①或b=a+c ，②或c=b+a ，③，联立①③，只需证a=16或或b ＝16或c ＝16，即（a －16）（b －16）（c －16）＝0. ④ 展开只需证明0＝abc －16（ab ＋bc ＋ac ）＋162（a ＋b ＋c ）－163＝abc －16（ab ＋bc ＋ac ）＋163 ⑤ 将①平方、移项，有a 2＋b 2＋c 2＝322－2（ab ＋bc ＋ca ），⑥ 又将②移项、通分，有 0＝14－（++b c a bc ＋+c a b ac －＋a b c ab ++）①② ③＝14－（2+ab ac aabc-＋2+bc ab babc-＋2ac bc cabc+-）＝222 8()4()4abc ab bc ac a b cabc-+++++＝28()4[322()]4abc ab bc ac ab bc caabc-+++-++把⑥代入等式中，0＝3 16()164abc ab bc acabc-+++＝23 16()16()164abc ab bc ac a b cabc-+++++-＝(16)(16)(16)4a b cabc---当a－16＝0时，由①有a＝16＝b＋c为斜边的直角三角形.同理，当b＝16或c＝16时，分别有b＝a＋c或c＝b＋a 个直角三角形.A级1. 0或－22. 15∵231x xx-+＝1，∴x＋1x＝4.又∵42291x xx-+＝5，∴24291xx x-+＝153. 184.35. A6. C 提示：b 2＋c 2－a2＝－2bc7.B8. C 提示：取倒数，得x＋1x＝1＋m，原式的倒数＝x3＋31x－m39. 1 提示：2a2＋bc＝2a2＋b（－a－b）＝a2－ab＋a2－b2＝（a－b）（a＋a＋b）＝（a－b）（a－c）10. 提示：由x＋1y＝y＋1z，得x－y＝1z－1y，得zy＝y zx y--11. 提示：参见例5得（a＋b）（b＋c）（a＋c）＝012. （1）∵()a b cbc+＝()b cb c a++-，∴（b＋c）（ab＋ac－a2－bc）＝0.∴（b＋c）（a－b）（c－a）＝0.∵b＋c≠0，∴a＝b或c＝a.∴这个三角形为等腰三角形.（2）∵1a＋1c＝1+a b c-＋1b，∴a cac+＝()a ca b c b+-+∴（a－b＋c）＝ac，∴（a－b）（b－c）＝0, a＝b或b＝c，∴这个三角形为等腰三角形.13. 3 x＝1a，y＝1b，c＝1z，∴411a+＋411x+＝411a+＋4111a+＝1，∴原式＝3.14. （1）x＝－11 2（2）x＝123 14（3）（x，y，z）＝（2310，236，232）提示：原方程组各方程左端通分、方程两边同时取倒数.B级1. 22. －1或8 提示：设a bc+＝b ca+＝c ab+＝k，则k＝－1或2 3.1128354. 0 提示：由xy z+＝1－yz x+－zx y+，得：14＝x－xyz x+－xzx y+5. A6. C7. D 提示：原式＝4(2)(2)(1)(2)x x xx x-+---＝3(2)1x xx-+-＝3261281x x x xx-+-+-＝2(1)5(1)8(1)1x x x x xx---+--＝x2－5x＋88. A 提示：由已知条件得x＝3y9. （1）由a ＋b ＋c ＝0，得a ＋b ＝－c ∴a 3＋b 3＋c 3＝－3ab （a ＋b ）＝3abc（2）∵（a b c -＋b c a -＋c a b -）·ca b-＝1＋22c ab ， ∴同理：（a b c -＋b c a -＋c ab -）·a bc -＝1＋22a bc ，（a b c -＋b c a -＋c a b -）·bc a -＝1＋22b ac ，∴左边＝3＋22c ab ＋22a bc＋22c ab ＝3＋3332()a b c abc ++＝910. ∵a 2＋4a ＋1＝0，∴a 2＋1＝－4a ，①a ≠0. 4232122a ma a ma a++++＝2222(1)(2)2(1)a m a a a ma ++-++＝3.把①代入上式中，222216(2)8a m a a ma +--+＝3，消元得1692)8m m+--+＝3，解得m ＝19.11. 设甲、乙、丙三人单独完成此项工作分别用a 天、b 天、c 天，则,,bc a p b c ac b q a c ab c x a b ⎧=⋅⎪+⎪⎪=⋅⎨+⎪⎪=⋅⎪+⎩即111,111,111p a b c q b a c x c a b ⋅=+⋅=+⋅=+解得x ＝14. 12. 由A ＋B ＋C ＝－3得（2222b c a bc+-＋1）＋222222(1)(1)0.22c a b a b c ac ab +-+-+++=即222222()()()0222b c a c a b a b c bc ac ab+-+-+-++=分解因式，得(b ＋c －a )(a ＋b －c )(a －b ＋c )＝0b ＋c －a ， a ＋b －c ，a －b ＋c 中至少有一个为0，不妨设b ＋c －a ＝0，代入式中， A 2002＋B 2002＋C 2002＝(－1)2002＋12002＋12002＝3．13．（1）设女孩速度x 级/分，电梯速度y 级/分，男孩速度2x 级/分，楼梯S 级，则27271818.S x y S xy -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，得13.5271818S S -=-，327418S S -=-，∴S ＝54． （2）设男孩第一次追上女孩时走过扶梯m 编，走过楼梯n 编，则女孩走过扶梯(m －1)编，走过楼梯(n －1)编，男孩上扶梯4x 级/分，女孩上扶梯3x 级/分．545454(1)54(n 1)423m m m x x x x --+=+，即114231m n m n --+=+，得6n ＋m ＝16，m ，n 中必有一个是正整数，且0≤︱m －n ︱≤1．①16m n -=，m 分别取值，则有②m ＝16－6n ，分别取值，则有 显然，只有m ＝3，n ＝126满足条件，故男孩所走的数＝3×27＋126×54＝198级． ∴男孩第一次追上女孩时走了198级台阶．。
初中奥数讲义_分式方程(组)附答案
分式方程（组）本讲我们将介绍分式方程(组)的解法及其应用． 【知识拓展】分母里含有未知数的方程叫做分式方程．解分式方程组的基本思想是：化为整式方程．通常有两种做法：一是去分母；二是换元． 解分式方程一定要验根．解分式方程组时整体代换的思想体现得很充分．常见的思路有：取倒数法方程迭加法，换元法等．列分式方程解应用题，关键是找到相等关系列出方程．如果方程中含有字母表示的已知数，需根据题竞变换条件，实现转化．设未知数而不求解是常见的技巧之一．例题求解一、分式方程(组)的解法举例 1．拆项重组解分式方程 【例1】解方程64534275--+--=--+--x x x x x x x x ． 解析 直接去分母太繁琐，左右两边分别通分仍有很复杂的分子．考虑将每一项分拆：如72175-+=--x x x ，这样可降低计算难度．经检验211=x 为原方程的解． 注 本题中用到两个技巧：一是将分式拆成整式加另一个分式；二是交换了项，避免通分后分子出现x ．这样大大降低了运算量．本讲趣题引路中的问题也属于这种思路．2．用换元法解分式方程 【例2】解方程081318218111222=--+-++-+x x x x x x ．解析 若考虑去分母，运算量过大；分拆也不行，但各分母都是二次三项式，试一试换元法． 解 令x 2+2x —8=y ，原方程可化为0151191=-+++xy y x y 解这个关于y 的分式方程得y=9x 或y=－5x ． 故当y=9x 时，x 2+2x —8=9x ，解得x 1=8，x 2=—1． 当y=－5x 时，x 2+2x —8=－5x ，解得x 3=—8，x 4=1． 经检验，上述四解均为原方程的解．注 当分式方程的结构较复杂且有相同或相近部分时，可通过换元将之简化． 3．形如aa x x 11+=+结构的分式方程的解法 形如a a x x 11+=+的分式方程的解是：a x =1，ax 12=．【例3】解方程 310511522=+++++x x x x ． 解析 方程左边两项的乘积为1，可考虑化为上述类型的问题求解．11=x ，22=x 均为原方程的解．4．运用整体代换解分式方程组【例4】解方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+x x x z y y y x x 222222414414414． 解析 若用常规思路设法消元，难度极大．注意到每一方程左边分子均为单项式，为什么不试一试倒过来考虑呢?解 显然x=y=z=0是该方程组的一组解． 若x 、y 、z 均不为0，取倒数相加得x=y=z=21故原方程组的解为x=y=z=0和x=y=z=21． 二、含字母系数分式方程根的讨论【例5】解关于x 的方程242241)1(2212122x a x x a x x a --=---++． 解析 去分母化简为含字母系数的一次方程，须分类讨论．讨论：（1）当a 2－1≠0时①当a ≠0时，原方程解为x=212a +；②当a=0时，此时21±=x 是增根． (2) 当a 2－1＝0时即a=1±，此时方程的解为x ≠21±的任意数； 综上，当a ≠±1且a ≠0时，原方程解为x=212a +；当a=0时，原方程无解，；当a=1± 时，原方程的解为x ≠21±的任意数． 三、列分式方程解应用题【例6】 某商场在一楼和二楼之间安装了一自动扶梯，以均匀的速度向上行驶，一男孩和一女孩同时从自动扶梯上走到二楼(扶梯行驶，两人也走梯)．如果两人上梯的速度都是匀速的，每次只跨1级，且男孩每分钟走动的级数是女孩的2倍．已知男孩走了27级到达扶梯顶部，而女孩走了18级到达顶部．（1）扶梯露在外面的部分有多少级?(2)现扶梯近旁有一从二楼下到一楼的楼梯道，台阶的级数与自动扶梯的级数相等，两个孩子各自到扶梯顶部后按原速度再下楼梯，到楼梯底部再乘自动扶梯上楼(不考虑扶梯与楼梯间的距离)．求男孩第一次迫上女孩时走了多少级台阶?解析 题中有两个等量关系，男孩走27级的时间等于扶梯走了S －27级的时间；女孩走18级的时间等于扶梯走S —18级的时间．解 (1)设女孩上梯速度为x 级／分，自动扶梯的速度为y 级／分，扶梯露在外面的部分有S 级，则男孩上梯的速度为2x 级／分，且有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=y S xyS x 181827227解得 S=54．所以扶梯露在外面的部分有54级．(2)设男孩第一次追上女孩时走过自动扶梯rn 遍，走过楼梯n 遍，则女孩走过自动扶梯(m —1)遍、走过楼梯(n —1)遍．由于两人所走的时间相等，所以有xn x y m x n x y m )1(54)1(54254254-++-=++． 由(1)中可求得y=2x,代人上面方程 化简得6n+m=16．无论男孩第一次追上女孩是在自动扶梯还是在下楼时，m 、n 中都一定有一个是正整数，且0≤m —n ≤1．试验知只有m=3，n=612符合要求．所以男孩第一次追上女孩时走的级数为3×27+612×54=198(级)．注 本题求解时设的未知数x 、y ，只设不求，这种方法在解复杂的应用题时常用来帮助分析数量关系，便于解题．【例7】 (江苏省初中数学竞赛C 卷)编号为1到25的25个弹珠被分放在两个篮子A 和B 中．15号弹珠在篮子A 中，把这个弹珠从篮子A 移至篮子B 中，这时篮子A 中的弹珠号码数的平均数等于原平均数加41，篮子B 中弹珠号码数的平均数也等于原平均数加41．问原来在篮子A 中有多少个弹珠? 解析 本题涉及A 中原有弹珠，A 、B 中号码数的平均数，故引入三个未知数．解 设原来篮子A 中有弹珠x 个，则篮子B 中有弹珠(25－x)个．又记原来A 中弹珠号码数的平均数为a ，B 中弹珠号码数的平均数为b ．则由题意得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=--+-=---=+++=-+412615)25(411153252521)25(b x x b a x ax b x ax ，解得x=9，即原来篮子A 中有9个弹珠．学力训练 （A 级）1．解分式方程16143132121+=-++++x x x x ． 2．若关于x 的方程1151222--=+-+-x k x x k xx 有增根x=1，求k 的值．3．解分式方程52)10)(9(1)2)(1(1101=++++++++x x x x x ． 4．解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--+-=-++-1042113312111y x x y x x ．5．丙、丁三管齐开，15分钟可注满全池；甲、丁两管齐开，20分钟注满全池．如果四管齐开，需要多少时间可以注满全池？（B 级）1．关于x 的方程cda x xb =--有唯一的解，字母已知数应具备的条件是( ) A ． a ≠b B ．c ≠d C ．c+d ≠0 D ．bc+ad ≠02．某队伍长6km ，以每小时5km 的速度行进，通信员骑马从队头到队尾送信，到队尾后退返回队头，共用了0.5 h ，则通信员骑马的速度为每小时 km ．3．某项工作，甲单独作完成的天数为乙、丙合作完成天数的m 倍，乙单独作完成的天数为甲、丙合作完成天数的n 倍，丙单独作完成的天数为甲、乙合作完成天数的k 倍，则111+++++k kn n m m = ． 4．m 为何值时，关于x 、y 的方程组： ⎩⎨⎧=-+=++241)1(y x m my x m 的解，满足1511<x ，32≥y ？5．(天津市中考题)某工程由甲、乙两队合做6天完成，厂家需付甲、乙两队共8700元；乙、丙两队合做10天完成，厂家需付乙、丙两队共9500元；甲、丙两队合做5天完成全部工程的32，厂家需付甲、丙两队共5500元．(1)求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天?(2)若工期要求不超过15天完成全部工程，问：由哪队单独完成此项工程花钱最少?请说明理由． 6．甲、乙二人两次同时在同一粮店购买粮食(假设两次购买的单价不同)，甲每次购买粮食100kg ，乙每次购买粮食用去100元．设甲、乙两人第一次购买粮食的单价为x 元／kg ，第二次单价为y 元／kg ．(1)用含x 、y 的代数式表示甲两次购买粮食共需付款 元，乙两次共购买 kg 粮食．若甲两次购买粮食的平均单价为每千克Q l 元，乙两次购粮的平均单价为每千克Q 2元则Q 1= ；Q 2= ．(2)若规定谁两次购粮的平均单价低，谁的购粮方式就更合算，请你判断甲、乙两人的购粮方式哪一个更合算些，并说明理由．分式方程（组）分式方程（组）。
初中八年级奥数竞赛-专题06 从地平面到脚手架.doc
专题06 从地平面到脚手架------分式的运算阅读与思考分式的主要内容包括分式的概念、分式的基本性质、分式的四则运算、简单的分式方程等． 分式的运算与分数的运算类似，是以整式的变形、因式分解及计算为工具，以分式的基本性质、运算法则和约分为基础．分式的加减运算是分式运算的难点，解决这一难点的关键是根据题目的特点恰当地通分，通分通常有以下策略与技巧：1．分步通分，步步为营； 2．分组通分，化整为零； 3．减轻负担，先约分再通分； 4．拆项相消后通分； 5．恰当换元后通分， 学习分式时．应注意：(1)分式与分数的类比．整数可以看做是分数的特殊情形，但整式却不能看做是分式的特殊情形； (2)整式与分式的区别需要讨论字母的取值范围，这是分式区别于整式的关键所在． 分式问题比起整式问题，增加了几个难点； (1)从“平房”到“楼房”，在“脚手架”上活动；(2)分式的运算中多了通分和约分这两道技术性很强的工序； (3)需要考虑字母的取值范围， 例题与求解【例1】m ＝_________时，分式2(1)(3)32m m m m ---+的值为0.（杭州市中考试题）解题思路：分母不为0时，分式有意义，分子与分母的公因式1m -就不为0．【例2】 已知1abc =，以2a b c ++=，2223a b c ++=，则111111ab c bc a ca b +++-+-+-的值为( )．A .1B ．12-C ．2D ．23-（太原市竞赛试题）解题思路：不宜直接通分，运用已知条件2a b c ++=，对分母分解因式，分解后再通分.【例3】计算：(1)322441124a a a b a b a b a b+++-+++ （武汉市竞赛试题）(2) 2232233223222244113a b a b a a b ab b a a b ab b a b a b a b+++--+++-+--+- （天津市竞赛试题）（3）33232322112(1)2212211x x x x x x x x x x -+++-+++-+--（赣州市竞赛试题）（4）22223322332223()2b a b aa ba b b a b a b a a b a b a b +++÷---+- （漳州市竞赛试题）解题思路：由于各个分式复杂，因此，必须仔细观察各式中分母的特点，恰当运用通分的相关策略与技巧；对于(4)，注意到题中各式是关于b a 或a b 的代数式，考虑设b x a =，ay b=，则1xy =，通过换元可降低问题的难度．当一个数学问题不能或不便于从整体上加以解决时，我们可以从局部入手将原题分解。
初中奥数培优数学竞赛专题06 有理数的计算
专题06有理数的计算阅读与思考在小学我们已经学会根据四则运算法则对整数和分数进行计算，当引进负数概念后，数集扩大到了有理数范围，我们又学习了有理数的计算，有理数的计算与算术数的计算有很大的不同：首先，有理数计算每一步要确定符号；其次，代数与算术不同的是“字母代数”，所以有理数的计算很多是字母运算，也就是通常说的符号演算．数学竞赛中的计算通常与推理相结合，这不但要求我们能正确地算出结果，而且要善于观察问题的结构特点，将推理与计算相结合，灵活选用算法和技巧，提高计算的速度．有理数的计算常用的技巧与方法有：1．利用运算律．2．以符代数．3．裂项相消．4．分解相约．5．巧用公式等．例题与求解【例1】已知m ，n 互为相反数，a ，b 互为负倒数，x 的绝对值等于3，则2002200123)()()1(-ab x n m x ab n m x ++++++的值等于______________．（湖北省黄冈市竞赛试题）解题思路：利用互为相反数、互为倒数的两个有理数的特征计算．【例2】已知整数d c b a ,,,满足25=abcd ，且d c b a >>>，那么d c b a +++等于（）A ．0B ．10C ．2D ．12（江苏省竞赛试题）解题思路：解题的关键是把25表示成4个不同的整数的积的形式．【例3】计算：（1）;100321132112111+⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++++++（“祖冲之杯”邀请赛试题）（2）199843277777+⋅⋅⋅++++；（江苏省泰州市奥校竞赛试题）（3）9019727185617424163015201941213652211+-+-+-+-．（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：对于（1），若先计算每个分母值，则掩盖问题的实质，不妨先从考察一般情形入手；对于（2），由于相邻的后一项与前一项的比都是7，考虑用字母表示和式；（3）中裂项相消，简化计算．【例4】n m ,都是正整数，并且)11)(11()311311)(211)(211(m m A +-⋅⋅⋅+-+-=，11)(11()311)(311)(211)(211(n n B +-⋅⋅⋅+-+-=．(1)证明：m m A 21+=，n n B 21+=；(2)若261=-B A ，求m 和n 的值．（“华罗庚金杯”少年邀请赛试题）解题思路：（1）对题中已知式子进行变形．（2）把（1）中证明得到的式子代入，再具体分析求解．【例5】在数学活动中，小明为了求n 2121212121432+⋅⋅⋅++++的值（结果用n 表示），设计了如图①，所示的几何图形．（1）请你用这个几何图形求n 2121212121432+⋅⋅⋅++++的值．（2）请你用图②，在设计一个能求n 2121212121432+⋅⋅⋅++++的值的几何图形．（辽宁省大连市中考试题）解题思路：求原式的值有不同的解题方法，二剖分图形面积是构造图形的关键．【例6】记，令nS S S T nn +⋅⋅⋅++=21称n T 为n a a a ⋅⋅⋅,,21这列数的“理想数”，已知50021,,a a a ⋅⋅⋅的“理想数”为2004．求50021,,,8a a a ⋅⋅⋅的“理想数”．（安徽省中考试题）解题思路：根据题意可以理解为n S 为各项和，n T 为各项和的和乘以n1．能力训练A 级1．若y x ,互为相反数，n m ,互为倒数．1=a ，201220112)()(mn y x a -++-的值为____________．（湖北省武汉市调考试题）2．若21)1(22)1(1)1(32=+-⨯--⨯-+--M ，则M =___________．（“希望杯”邀请赛试题）3．计算：（1）199919971971751531⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯＝________________；（2）()()()()[]⎪⎭⎫⎝⎛-÷-÷-+--⨯-243431622825.0＝__________________．4．将1997减去它的21，再减去余下的31，再减去余下的41，再减去余下的51，⋅⋅⋅，依次类推，直至最后减去余下的19971，最后的答案是_______________．（“祖冲之杯”邀请赛试题）5．右图是一个由六个正方体组合而成的几何体，每个小正方体的六个面上都分别写着－1，2，3，－4，5，6六个数字，那么图中所有看不见的面上的数字和是___________．（湖北省仙桃市中考试题）6．如果有理数c b a ,,满足关系式c b a 0，那么代数式32-c ab acbc 的值（）A ．必为正数B ．必为负数C ．可正可负D ．可能为0（江苏省竞赛试题）7．已知有理数z y x ,,两两不相等，则z y x -y -，x -z z -y ，y--x xz 中负数的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个或2个（重庆市竞赛试题）8．若a 与)-(b 互为相反数，则abb a 199********2+＝（）A ．0B ．1C ．－1D ．1997（重庆市竞赛试题）9．如果()-12001=+b a ，()1-2002=b a ，则20032003b a +的值是（）A ．2B ．1C ．0D ．-1（“希望杯”邀请赛试题）10．若d c b a ,,,是互为不相等的整数，且9=abcd ，则d c b a +++等于（）A ．0B ．4C ．8D ．无法确定11．把511，3.7，216，2.9，4.6分别填在图中五个Ο内，再在每个□中填上和它相连的三个Ο中的数的平均数，再把三个□中的平均数填在△中．找出一种填法，使△中的数尽可能小，并求这个数．（“华罗庚金杯”少年邀请赛试题）12．已知c b a ,,都不等于零，且abcabcc c b b a a +++的最大值为m ，最小值为n ，求)1(1998++n m 的值．B 级1．计算：9897983981()656361()4341(21+•••+++•••++++++＝________________．（“五羊杯”竞赛试题）2．计算：109876543222-2-2-2-2-2-2-2-2+＝________________．（“希望杯”邀请赛试题）3．计算：293186293142842421(nn n n n n ••+•••+××+×ו•+•••+××+××＝____________________．4．据美国詹姆斯·马丁的测算，在近十年，人类的知识总量已达到每三年翻一翻，到2020年甚至要达每73翻番空前速度，因此，基础教育任务已不是“教会一切人一切知识，而是让一切人学会学习”．已知2000年底，人类知识总量a ，假入从2000年底2009年底每3年翻一翻；从2009年底到2019年底每1年翻一番；2020年是每73天翻一翻．（1）2009年底人类知识总量是：__________________；（2）2019年底人类知识总量是：__________________；（3）2020年按365天计算，2020年底类知识总量会是____________________．（北京市顺义区中考试题）5．你能比较20022001和20012002的大小吗？为了解决这个问题，我们首先写出它的一般形式，即比较1+n n 与nn )1(+的大小（n 是自然数），然后我们从分析n=1，n=2，n=3…中发现规律，经归纳、猜想得出结论（1）通过计算，比较下列各组中两数的大小：（在横线上填写“＞”“=”“＜”）①122__1，②233__2；③344__3；④455__4；⑤••••••566__5（2）从第（1）题的结果中，经过归纳，可以猜想出1+n n与nn )1(+的大小关系是_____________________________________________________________________________；（3）根据以上归纳．猜想得到的一般结论，试比较下列两数的大小20022001_____20012002：．（福建省龙岩市中考试题）6．有2009个数排成一列，其中任意相邻的三个数中，中间的数总等于前后两数的和．若第一个数是1，第二个数是－1，则这个2009个数的和是（）A ．－2B ．－1C ．0D ．2（全国初中数学竞赛海南省试题）7．如果1332211=++t t t t t t ，那么321321t t t t t t 的值为（）A ．－1B ．1C ．1±D ．不确定（河北省竞赛试题）8．三进位制数201可用十进制数表示为1910921303212=++×=+×+×；二进制数1011可用十进制法表示为1× 23 + 0× 22 +1× 21+1 = 8 + 0 + 2 +1 = 11．前者按 3 的幂降幂排列，后者按 2 的幂降幂排列，现有三进位制数a = 221，二进位制数b = 10111 ，则a 与b 的大小关系为（ ）．A ．ba >B ．ba =C ．ba <D ．不能确定（重庆市竞赛试题）9．如果有理数d c b a ,,,满足d c b a +>+，则（）A ．d c b a +>++11-B ．2222dc b a +>+C ．3333dc b a +>+D ．4444dc b a +>+（“希望杯”邀请赛试题）10．有1998个互不相等的有理数，每1997个的和都是分母为3998的既约真分数，则这个1998个有理数的和为（）A ．1997999B ．1997997C ．1998998D ．1998999（《学习报》公开赛试题）11．观测下列各式：223214111××==，22333241921××==+，22333434136321××==++22333354411004321××==+++．．．回答下面的问题：（1）猜想33333)1-(321n n ++•••+++＝______________．（直接写出你的结果）（2）利用你得到的（1）中的结论，计算3333310099321++•••+++的值．（3）计算①3333100991211++•••++的值；②3333310098642++•••+++的值．专题06有理数的计算例128或-26例2D提示：abcd=5×1×（-1）×（-5），a=-5，b=1，c=-1，d=-5.例3（1）101200提示：2)1(13211+-++++n n n=()12+n n =⎪⎭⎫ ⎝⎛+-1112n n .（2）6771999-提示：设s=1998327777++++ ，则7s=1999327777++++ （3）原式=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+56174217301520151213613211+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-90197219=1+1-1019191814131312121-+-++-+-+ =2-101=1091例4（1）A=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-m m 1131121111311211 =m m m m 1342313221+⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯ =m m 21+同理B=nn 21+由A-B=m m 21+-n n 21+=n m 2121-=261得13111=-n m ∴m=n n +1313=13-n+⨯131313，又∵m ，n 均为正整数，∴13+n 为13×13的因数，∴13+n=213∴n156，m=12.例5（1）原式=1-n 21，（2）例6由题意知()()()[]n n a a a a a a a a a nT ++++++++++=213212111，即()()[]n n n a a a n a n na nT +++-+-+=-13212311.又[]50049932150024984995005001a a a a a T +++++⨯=∴5004993212498499500a a a a a +++++ =2004×500.故8，1a ，2a ，…，500a 的“理想数“为[]500499321501249849950085015011a a a a a T ++++++⨯=””=[]500200485015011⨯+⨯⨯=2008.A 级1.2提示：原式=()201220112201-+-=1+1=2.2.2提示：M-1+21221=+--，解得M=2.3.（1）5997998；（2）-84.1提示：设a=1997，由题意原式= -⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛---41623122a a a a a a =19961997342312⨯--⨯-*-⨯-a a a a a 5.-13 6.B7.B提示：不妨设x>y>z.8.B 9.D 10.A11.提示：设○内从右到左填的数分别为1a ，2a ，3a ，4a ，5a 则△内填的数为923254321a a a a a ++++.要使△中填的数尽可能小，则5113=a ，2a ，4a 分别为2，9，3，7，而剩下的两个为1a ，5a .12.1998提示：1=x x 时，m=4；1-=xx时，n-4.B 级1.612.5提示：倒叙相加.2.6提示：nn n 2221=-+3.72964 4.（1）a∙32（2）a∙132（3）a∙1825.（1）略（2）当n<3时，()nn n n11+<+；当n≥3时，()nn n n 11+>+（3）>001-00076.A 提示：先写出前面一些数：1，－1，－2，－1，1，2，1，－1，…，经观察发现每6个数为一次循环，又2009＝334×6＋5.而每一组中1＋（－1）＋（－2）＋（－1）＋1＋2＝0，故这2009个数的和，等于最后五个数之和.为1＋（－1）＋（－2）＋（－1）＋1＝－2.7.A 8.A 9.A 10A 11.（1）14×π2×（n ＋1）2（2）原式＝14×1002×（100＋1）2＝25502500（3）①原式＝14×100×（100＋1）2－14×102×（10＋1）2＝25499475;②原式＝23×（13＋23＋33＋…＋493＋503）＝23×14×502×（50＋1）2＝13005000.。
八年级数学竞赛讲座分式的概念、性质及运算附答案
八年级数学竞赛讲座分式的概念、性质及运算附答案第四讲：分式的概念、性质及运算分式包括分式的概念、分式的基本性质、分式的运算、简单的分式方程等主要内容。
从整式到分式，我们可以形象地说是从“平房”到了“楼房”。
在脚手架上活动，无疑增加了难点，体现在：解分式问题总是在分式有意义的前提下进行的，因此必须考虑字母取值范围；分式运算中的通分和约分是技巧性较强的工作，需要灵活处理。
分式的运算与分数的运算相似，是以分式的基本性质、运算法则、通分和约分为基础，是以整式的变形、因式分解为工具。
分式的加减运算是分式运算的难点，突破这一难点的关键是能根据问题的特点恰当地通分，常用通分的策略与技巧有：1.化整为零，分组通分；2.步步为营，分步通分；3.减轻负担，先约分再通分；4.裂项相消后通分等。
例题求解例1】要使分式 $\frac{1}{1-x}$ 有意义，则 $x$ 的取值范围是？思路点拨：当分式的分母不为零时，分式有意义，由于分式是繁分式，因此考虑问题应细致周密。
注：在新事物面前，人们往往惯于把它们与原有的、熟知的事物相比，这里蕴涵的思想方法就是类比。
研究分式时，应注意：1) 分式与分数的概念、性质、运算的类比；2) 整数可以看做是分数的特殊情形，但整式却不是分式的特殊情形；3) 分式需要讨论分母的取值范围，这是分式区别于整式的关键所在。
例2】已知 $\frac{3x+4}{x^2-x-2}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x+1}$，其中 $A$、$B$ 为常数，则 $4A-B$ 的值为（）。
思路点拨：对等式右边通分，比较分子的对应项系数求出$A$、$B$ 的值。
例3】计算下列各式：1) $\frac{1}{a-b}+\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a^2+b^2}$；2) $\frac{x^2+yz}{x+(y-z)x-yz^2}+\frac{y^2-zx}{y+(z+x)y+zx^2}+\frac{z^2+xy}{z-(x-y)z-xy^2}$；3) $\frac{x^3-1}{32x+2x^2+2x+1x-2x+2x-1x-1}$；4) $\frac{(y-x)(z-x)(z-y)}{(x-y)(x-z)(y-z)}+\frac{x^3+1}{3^2}-\frac{2(x^2+1)}{2}$。
初二奥数竞赛试卷及答案
八年级数学竞赛练习题一、选择题：1.如果a ＞b ，则2a -b 一定是（ ）A.负数B.正数C.非负数D.非正数2.n 是某一正整数，由四位学生分别代入代数式n 3-n 算出的结果如下，其中正确的结果是（ ）A.337414B.337415C.337404D.3374033.三进位制数201可表示为十进位制数21023031319⨯+⨯+⨯=，二进位制数1011可表示为十进位制数32101202121211⨯+⨯+⨯+⨯=，现有三进位制数a=221，二进位制数b=10111，则a ，b 的大小关系是（ ）A.a ＞bB.a=bC.a ＜bD.不能比较4.若2x+5y+4z=6，3x+y-7z=-4，则x+y-z 的值为（ ）A.-1B.0C.1D.45.过点P （-1，3）作直线，使它与两坐标轴围成的三角形面积为5，这样的直线可以作（ ）A.1条B.2 条C.3条D.4条6.已知731-的整数部分是a ，小数部分是b ，则a 2+（1+7）ab=（ ）A.12B.11C.10D.97.某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，根据需要，单片软件至少买3片，盒装磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有（ ）A.5种B.6种C.7种D.8种8.如图，是一个边长为2的正方体，现有一只蚂蚁要从一条棱的中点A 处沿正方体的表面到C 处，则它爬行的最短线路长是（ ）A.5B.4C.13D. 17二、填空题:9.如果整数a(a ≠2)使得关于x 的一元一次方程ax+5=a 2+2a+2x 的解是整数，则满足条件的所有整数a 的和是__________.10. 对于所有的正整数k，设直线kx+(k+1)y-1=0与两坐标轴所围成的直角三角形的面积为Sk ，则 S1+S2+S3+…+S2006= ．11. 一只猴子爬一个8级的梯子，每次可爬一级或上跃二级，最多上跃三级。
八年级数学专题讲解含练习(奥数)
八年级数学（奥数）第一讲因式分解(一)多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．1．运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：(1)a2-b2=(a+b)(a-b)；(2)a2±2ab+b2=(a±b)2；(3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．下面再补充几个常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；(7)a n-b n=(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-3b2+…+ab n-2+b n-1)其中n为正整数；(8)a n-b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…+ab n-2-b n-1)，其中n为偶数；(9)a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…-ab n-2+b n-1)，其中n为奇数．运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．例1 分解因式：(1)-2x5n-1y n+4x3n-1y n+2-2x n-1y n+4；(2)x3-8y3-z3-6xyz；(3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab；(4)a7-a5b2+a2b5-b7．解 (1)原式=-2x n-1y n(x4n-2x2n y2+y4)=-2x n-1y n[(x2n)2-2x2n y2+(y2)2]=-2x n-1y n(x2n-y2)2=-2x n-1y n(x n-y)2(x n+y)2．(2)原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z)=(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz)．(3)原式=(a2-2ab+b2)+(-2bc+2ca)+c2＝(a-b)2+2c(a-b)+c2=(a-b+c)2．本小题可以稍加变形，直接使用公式(5)，解法如下：原式=a2+(-b)2+c2+2(-b)c+2ca+2a(-b)=(a-b+c)2(4)原式=(a7-a5b2)+(a2b5-b7)=a5(a2-b2)+b5(a2-b2)=(a2-b2)(a5+b5)=(a+b)(a-b)(a+b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)=(a+b)2(a-b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)例2 分解因式：a3+b3+c3-3abc．本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6)．分析我们已经知道公式(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3的正确性，现将此公式变形为a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)．这个式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导．解原式=(a+b)3-3ab(a+b)+c3-3abc=［(a+b)3+c3］-3ab(a+b+c)=(a+b+c)［(a+b)2-c(a+b)+c2]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)．说明公式(6)是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如：我们将公式(6)变形为a3+b3+c3-3abc显然，当a+b+c=0时，则a3+b3+c3=3abc；当a+b+c＞0时，则a3+b3+c3-3abc ≥0，即a3+b3+c3≥3abc，而且，当且仅当a=b=c时，等号成立．如果令x=a3≥0，y=b3≥0，z=c3≥0，则有等号成立的充要条件是x=y=z．这也是一个常用的结论．例3 分解因式：x15+x14+x13+…+x2+x+1．分析这个多项式的特点是：有16项，从最高次项x15开始，x的次数顺次递减至0，由此想到应用公式a n-b n来分解．解因为x16-1=(x-1)(x15+x14+x13+…x2+x+1)，所以说明在本题的分解过程中，用到先乘以(x-1)，再除以(x-1)的技巧，这一技巧在等式变形中很常用．2．拆项、添项法因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．例4 分解因式：x3-9x+8．分析本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧．解法1 将常数项8拆成-1+9．原式=x3-9x-1+9=(x3-1)-9x+9=(x-1)(x2+x+1)-9(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．解法2 将一次项-9x拆成-x-8x．原式=x3-x-8x+8=(x3-x)+(-8x+8)=x(x+1)(x-1)-8(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．解法3 将三次项x3拆成9x3-8x3．原式=9x3-8x3-9x+8=(9x3-9x)+(-8x3+8)=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1)=(x-1)(x2+x-8)．解法4 添加两项-x2+x2．原式=x3-9x+8=x3-x2+x2-9x+8=x2(x-1)+(x-8)(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．说明由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．例5 分解因式：(1)x9+x6+x3-3；(2)(m2-1)(n2-1)+4mn；(3)(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4；(4)a3b-ab3+a2+b2+1．解 (1)将-3拆成-1-1-1．原式=x9+x6+x3-1-1-1=(x9-1)+(x6-1)+(x3-1)=(x3-1)(x6+x3+1)+(x3-1)(x3+1)+(x3-1)=(x3-1)(x6+2x3+3)=(x-1)(x2+x+1)(x6+2x3+3)．(2)将4mn拆成2mn+2mn．原式=(m2-1)(n2-1)+2mn+2mn=m2n2-m2-n2+1+2mn+2mn=(m2n2+2mn+1)-(m2-2mn+n2)=(mn+1)2-(m-n)2=(mn+m-n+1)(mn-m+n+1)．(3)将(x2-1)2拆成2(x2-1)2-(x2-1)2．原式=(x+1)4+2(x2-1)2-(x2-1)2+(x-1)4=［(x+1)4+2(x+1)2(x-1)2+(x-1)4]-(x2-1)2=［(x+1)2+(x-1)2]2-(x2-1)2=(2x2+2)2-(x2-1)2=(3x2+1)(x2+3)．(4)添加两项+ab-ab．原式=a3b-ab3+a2+b2+1+ab-ab=(a3b-ab3)+(a2-ab)+(ab+b2+1)=ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b2+1)=a(a-b)［b(a+b)+1]+(ab+b2+1)=[a(a-b)+1](ab+b2+1)=(a2-ab+1)(b2+ab+1)．说明 (4)是一道较难的题目，由于分解后的因式结构较复杂，所以不易想到添加+ab-ab，而且添加项后分成的三项组又无公因式，而是先将前两组分解，再与第三组结合，找到公因式．这道题目使我们体会到拆项、添项法的极强技巧所在，同学们需多做练习，积累经验．3．换元法换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．例6 分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)-12．分析将原式展开，是关于x的四次多项式，分解因式较困难．我们不妨将x2+x看作一个整体，并用字母y来替代，于是原题转化为关于y 的二次三项式的因式分解问题了．解设x2+x=y，则原式=(y+1)(y+2)-12=y2+3y-10=(y-2)(y+5)=(x2+x-2)(x2+x+5)=(x-1)(x+2)(x2+x+5)．说明本题也可将x2+x+1看作一个整体，比如今x2+x+1=u，一样可以得到同样的结果，有兴趣的同学不妨试一试．例7 分解因式：(x2+3x+2)(4x2+8x+3)-90．分析先将两个括号内的多项式分解因式，然后再重新组合．解原式=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90=[(x+1)(2x+3)][(x+2)(2x+1)]-90=(2x2+5x+3)(2x2+5x+2)-90．令y=2x2+5x+2，则原式=y(y+1)-90=y2+y-90=(y+10)(y-9)=(2x2+5x+12)(2x2+5x-7)=(2x2+5x+12)(2x+7)(x-1)．说明对多项式适当的恒等变形是我们找到新元(y)的基础．例8 分解因式：(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2．解设x2+4x+8=y，则原式=y2+3xy+2x2=(y+2x)(y+x)=(x2+6x+8)(x2+5x+8)=(x+2)(x+4)(x2+5x+8)．说明由本题可知，用换元法分解因式时，不必将原式中的元都用新元代换，根据题目需要，引入必要的新元，原式中的变元和新变元可以一起变形，换元法的本质是简化多项式．例9分解因式：6x4+7x3-36x2-7x+6．解法1 原式=6(x4+1)＋7x(x2-1)-36x2=6［(x4-2x2+1)+2x2］+7x(x2-1)-36x2=6[(x2-1)2+2x2]+7x(x2-1)-36x2=6(x2-1)2+7x(x2-1)-24x2=[2(x2-1)-3x］［3(x2-1)+8x]=(2x2-3x-2)(3x2+8x-3)=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)．说明本解法实际上是将x2-1看作一个整体，但并没有设立新元来代替它，即熟练使用换元法后，并非每题都要设置新元来代替整体．解法2原式=x2[6(t2+2)+7t-36]=x2(6t2+7t-24)=x2(2t-3)(3t+8)=x2[2(x-1/x)-3][3(x-1/x)+8]=(2x2-3x-2)(3x2+8x-3)=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)．例10 分解因式：(x2+xy+y2)-4xy(x2+y2)．分析本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变，这样的多项式叫作二元对称式．对于较难分解的二元对称式，经常令u=x+y，v=xy，用换元法分解因式．解原式=[(x+y)2-xy]2-4xy[(x+y)2-2xy]．令x+y=u，xy=v，则原式=(u2-v)2-4v(u2-2v)=u4-6u2v+9v2=(u2-3v)2=(x2+2xy+y2-3xy)2=(x2-xy+y2)2．练习一1．分解因式：(2)x10+x5-2；(4)(x5+x4+x3+x2+x+1)2-x5．2．分解因式：(1)x3+3x2-4；(2)x4-11x2y2+y2；(3)x3+9x2+26x+24；(4)x4-12x+323．3．分解因式：(1)(2x2-3x+1)2-22x2+33x-1；(2)x4+7x3+14x2+7x+1；(3)(x+y)3+2xy(1-x-y)-1；(4)(x+3)(x2-1)(x+5)-20．第一讲因式分解(一)多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．1．运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：(1)a2-b2=(a+b)(a-b)；(2)a2±2ab+b2=(a±b)2；(3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．下面再补充几个常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；(7)a n-b n=(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-3b2+…+ab n-2+b n-1)其中n为正整数；(8)a n-b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…+ab n-2-b n-1)，其中n为偶数；(9)a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…-ab n-2+b n-1)，其中n为奇数．运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．例1 分解因式：(1)-2x5n-1y n+4x3n-1y n+2-2x n-1y n+4；(2)x3-8y3-z3-6xyz；(3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab；(4)a7-a5b2+a2b5-b7．解 (1)原式=-2x n-1y n(x4n-2x2n y2+y4)=-2x n-1y n[(x2n)2-2x2n y2+(y2)2]=-2x n-1y n(x2n-y2)2=-2x n-1y n(x n-y)2(x n+y)2．(2)原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z)=(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz)．(3)原式=(a2-2ab+b2)+(-2bc+2ca)+c2＝(a-b)2+2c(a-b)+c2=(a-b+c)2．本小题可以稍加变形，直接使用公式(5)，解法如下：原式=a2+(-b)2+c2+2(-b)c+2ca+2a(-b)=(a-b+c)2(4)原式=(a7-a5b2)+(a2b5-b7)=a5(a2-b2)+b5(a2-b2)=(a2-b2)(a5+b5)=(a+b)(a-b)(a+b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)=(a+b)2(a-b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)例2 分解因式：a3+b3+c3-3abc．本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6)．分析我们已经知道公式(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3的正确性，现将此公式变形为a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)．这个式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导．解原式=(a+b)3-3ab(a+b)+c3-3abc=［(a+b)3+c3］-3ab(a+b+c)=(a+b+c)［(a+b)2-c(a+b)+c2]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)．说明公式(6)是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如：我们将公式(6)变形为a3+b3+c3-3abc显然，当a+b+c=0时，则a3+b3+c3=3abc；当a+b+c＞0时，则a3+b3+c3-3abc ≥0，即a3+b3+c3≥3abc，而且，当且仅当a=b=c时，等号成立．如果令x=a3≥0，y=b3≥0，z=c3≥0，则有等号成立的充要条件是x=y=z．这也是一个常用的结论．例3 分解因式：x15+x14+x13+…+x2+x+1．分析这个多项式的特点是：有16项，从最高次项x15开始，x的次数顺次递减至0，由此想到应用公式a n-b n来分解．解因为x16-1=(x-1)(x15+x14+x13+…x2+x+1)，所以说明在本题的分解过程中，用到先乘以(x-1)，再除以(x-1)的技巧，这一技巧在等式变形中很常用．2．拆项、添项法因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．例4 分解因式：x3-9x+8．分析本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧．解法1 将常数项8拆成-1+9．原式=x3-9x-1+9=(x3-1)-9x+9=(x-1)(x2+x+1)-9(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．解法2 将一次项-9x拆成-x-8x．原式=x3-x-8x+8=(x3-x)+(-8x+8)=x(x+1)(x-1)-8(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．解法3 将三次项x3拆成9x3-8x3．原式=9x3-8x3-9x+8=(9x3-9x)+(-8x3+8)=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1)=(x-1)(x2+x-8)．解法4 添加两项-x2+x2．原式=x3-9x+8=x3-x2+x2-9x+8=x2(x-1)+(x-8)(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．说明由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．例5 分解因式：(1)x9+x6+x3-3；(2)(m2-1)(n2-1)+4mn；(3)(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4；(4)a3b-ab3+a2+b2+1．解 (1)将-3拆成-1-1-1．原式=x9+x6+x3-1-1-1=(x9-1)+(x6-1)+(x3-1)=(x3-1)(x6+x3+1)+(x3-1)(x3+1)+(x3-1)=(x3-1)(x6+2x3+3)=(x-1)(x2+x+1)(x6+2x3+3)．(2)将4mn拆成2mn+2mn．原式=(m2-1)(n2-1)+2mn+2mn=m2n2-m2-n2+1+2mn+2mn=(m2n2+2mn+1)-(m2-2mn+n2)=(mn+1)2-(m-n)2=(mn+m-n+1)(mn-m+n+1)．(3)将(x2-1)2拆成2(x2-1)2-(x2-1)2．原式=(x+1)4+2(x2-1)2-(x2-1)2+(x-1)4=［(x+1)4+2(x+1)2(x-1)2+(x-1)4]-(x2-1)2=［(x+1)2+(x-1)2]2-(x2-1)2=(2x2+2)2-(x2-1)2=(3x2+1)(x2+3)．(4)添加两项+ab-ab．原式=a3b-ab3+a2+b2+1+ab-ab=(a3b-ab3)+(a2-ab)+(ab+b2+1)=ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b2+1)=a(a-b)［b(a+b)+1]+(ab+b2+1)=[a(a-b)+1](ab+b2+1)=(a2-ab+1)(b2+ab+1)．说明 (4)是一道较难的题目，由于分解后的因式结构较复杂，所以不易想到添加+ab-ab，而且添加项后分成的三项组又无公因式，而是先将前两组分解，再与第三组结合，找到公因式．这道题目使我们体会到拆项、添项法的极强技巧所在，同学们需多做练习，积累经验．3．换元法换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．例6 分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)-12．分析将原式展开，是关于x的四次多项式，分解因式较困难．我们不妨将x2+x看作一个整体，并用字母y来替代，于是原题转化为关于y 的二次三项式的因式分解问题了．解设x2+x=y，则原式=(y+1)(y+2)-12=y2+3y-10=(y-2)(y+5)=(x2+x-2)(x2+x+5)=(x-1)(x+2)(x2+x+5)．说明本题也可将x2+x+1看作一个整体，比如今x2+x+1=u，一样可以得到同样的结果，有兴趣的同学不妨试一试．例7 分解因式：(x2+3x+2)(4x2+8x+3)-90．分析先将两个括号内的多项式分解因式，然后再重新组合．解原式=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90=[(x+1)(2x+3)][(x+2)(2x+1)]-90=(2x2+5x+3)(2x2+5x+2)-90．令y=2x2+5x+2，则原式=y(y+1)-90=y2+y-90=(y+10)(y-9)=(2x2+5x+12)(2x2+5x-7)=(2x2+5x+12)(2x+7)(x-1)．说明对多项式适当的恒等变形是我们找到新元(y)的基础．例8 分解因式：(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2．解设x2+4x+8=y，则原式=y2+3xy+2x2=(y+2x)(y+x)=(x2+6x+8)(x2+5x+8)=(x+2)(x+4)(x2+5x+8)．说明由本题可知，用换元法分解因式时，不必将原式中的元都用新元代换，根据题目需要，引入必要的新元，原式中的变元和新变元可以一起变形，换元法的本质是简化多项式．例9分解因式：6x4+7x3-36x2-7x+6．解法1 原式=6(x4+1)＋7x(x2-1)-36x2=6［(x4-2x2+1)+2x2］+7x(x2-1)-36x2=6[(x2-1)2+2x2]+7x(x2-1)-36x2=6(x2-1)2+7x(x2-1)-24x2=[2(x2-1)-3x］［3(x2-1)+8x]=(2x2-3x-2)(3x2+8x-3)=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)．说明本解法实际上是将x2-1看作一个整体，但并没有设立新元来代替它，即熟练使用换元法后，并非每题都要设置新元来代替整体．解法2原式=x2[6(t2+2)+7t-36]=x2(6t2+7t-24)=x2(2t-3)(3t+8)=x2[2(x-1/x)-3][3(x-1/x)+8]=(2x2-3x-2)(3x2+8x-3)=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)．例10 分解因式：(x2+xy+y2)-4xy(x2+y2)．分析本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变，这样的多项式叫作二元对称式．对于较难分解的二元对称式，经常令u=x+y，v=xy，用换元法分解因式．解原式=[(x+y)2-xy]2-4xy[(x+y)2-2xy]．令x+y=u，xy=v，则原式=(u2-v)2-4v(u2-2v)=u4-6u2v+9v2=(u2-3v)2=(x2+2xy+y2-3xy)2=(x2-xy+y2)2．练习一1．分解因式：(2)x10+x5-2；(4)(x5+x4+x3+x2+x+1)2-x5．2．分解因式：(1)x3+3x2-4；(2)x4-11x2y2+y2；(3)x3+9x2+26x+24；(4)x4-12x+323．3．分解因式：(1)(2x2-3x+1)2-22x2+33x-1；(2)x4+7x3+14x2+7x+1；(3)(x+y)3+2xy(1-x-y)-1；(4)(x+3)(x2-1)(x+5)-20．第二讲因式分解(二)1．双十字相乘法分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．对于某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)，我们也可以用十字相乘法分解因式．例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3．我们将上式按x降幂排列，并把y当作常数，于是上式可变形为2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)，可以看作是关于x的二次三项式．对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为即-22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1)．再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解所以原式=［x+(2y-3)］［2x+(-11y+1)］=(x+2y-3)(2x-11y+1)．上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法．如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起，可得到下图：它表示的是下面三个关系式：(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2；(x-3)(2x+1)=2x2-5x-3；(2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3．这就是所谓的双十字相乘法．用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分解的步骤是：(1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2，得到一个十字相乘图(有两列)；(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx．例1 分解因式：(1)x2-3xy-10y2+x+9y-2；(2)x2-y2+5x+3y+4；(3)xy+y2+x-y-2；(4)6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2．解 (1)原式=(x-5y+2)(x+2y-1)．(2)原式=(x+y+1)(x-y+4)．(3)原式中缺x2项，可把这一项的系数看成0来分解．原式=(y+1)(x+y-2)．(4)原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z)．说明 (4)中有三个字母，解法仍与前面的类似．2．求根法我们把形如a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0(n为非负整数)的代数式称为关于x 的一元多项式，并用f(x)，g(x)，…等记号表示，如f(x)=x2-3x+2，g(x)=x5+x2+6，…，当x=a时，多项式f(x)的值用f(a)表示．如对上面的多项式f(x)f(1)=12-3×1+2=0；f(-2)=(-2)2-3×(-2)+2=12．若f(a)=0，则称a为多项式f(x)的一个根．定理1(因式定理) 若a是一元多项式f(x)的根，即f(a)=0成立，则多项式f(x)有一个因式x-a．根据因式定理，找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根．对于任意多项式f(x)，要求出它的根是没有一般方法的，然而当多项式f(x)的系数都是整数时，即整系数多项式时，经常用下面的定理来判定它是否有有理根．定理2的根，则必有p是a0的约数，q是a n的约数．特别地，当a0=1时，整系数多项式f(x)的整数根均为a n的约数．我们根据上述定理，用求多项式的根来确定多项式的一次因式，从而对多项式进行因式分解．例2 分解因式：x3-4x2+6x-4．分析这是一个整系数一元多项式，原式若有整数根，必是-4的约数，逐个检验-4的约数：±1，±2，±4，只有f(2)=23-4×22+6×2-4=0，即x=2是原式的一个根，所以根据定理1，原式必有因式x-2．解法1 用分组分解法，使每组都有因式(x-2)．原式=(x3-2x2)-(2x2-4x)+(2x-4)=x2(x-2)-2x(x-2)+2(x-2)=(x-2)(x2-2x+2)．解法2 用多项式除法，将原式除以(x-2)，所以原式=(x-2)(x2-2x+2)．说明在上述解法中，特别要注意的是多项式的有理根一定是-4的约数，反之不成立，即-4的约数不一定是多项式的根．因此，必须对-4的约数逐个代入多项式进行验证．例3 分解因式：9x4-3x3+7x2-3x-2．分析因为9的约数有±1，±3，±9；-2的约数有±1，±为：所以，原式有因式9x2-3x-2．解 9x4-3x3+7x2-3x-2=9x4-3x3-2x2+9x2-3x-2=x2(9x3-3x-2)+9x2-3x-2=(9x2-3x-2)(x2+1)=(3x+1)(3x-2)(x2+1)说明若整系数多项式有分数根，可将所得出的含有分数的因式化为整系数因式，如上题中的因式可以化为9x2-3x-2，这样可以简化分解过程．总之，对一元高次多项式f(x)，如果能找到一个一次因式(x-a)，那么f(x)就可以分解为(x-a)g(x)，而g(x)是比f(x)低一次的一元多项式，这样，我们就可以继续对g(x)进行分解了．3．待定系数法待定系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广泛，这里介绍它在因式分解中的应用．在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程(或方程组)，解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法．例4 分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3．分析由于(x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y)，若原式可以分解因式，那么它的两个一次项一定是x+2y+m和x＋y＋n的形式，应用待定系数法即可求出m和n，使问题得到解决．解设x2+3xy+2y2+4x+5y+3=(x+2y+m)(x+y+n)=x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn，比较两边对应项的系数，则有解之得m=3，n=1．所以原式=(x+2y+3)(x+y+1)．说明本题也可用双十字相乘法，请同学们自己解一下．例5 分解因式：x4-2x3-27x2-44x+7．分析本题所给的是一元整系数多项式，根据前面讲过的求根法，若原式有有理根，则只可能是±1，±7(7的约数)，经检验，它们都不是原式的根，所以，在有理数集内，原式没有一次因式．如果原式能分解，只能分解为(x2+ax+b)(x2+cx+d)的形式．解设原式=(x2+ax+b)(x2+cx+d)=x4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd，所以有由bd=7，先考虑b=1，d=7有所以原式=(x2-7x+1)(x2+5x+7)．说明由于因式分解的唯一性，所以对b=-1，d=-7等可以不加以考虑．本题如果b=1，d=7代入方程组后，无法确定a，c的值，就必须将bd=7的其他解代入方程组，直到求出待定系数为止．本题没有一次因式，因而无法运用求根法分解因式．但利用待定系数法，使我们找到了二次因式．由此可见，待定系数法在因式分解中也有用武之地．练习二1．用双十字相乘法分解因式：(1)x2-8xy+15y2+2x-4y-3；(2)x2-xy+2x+y-3；(3)3x2-11xy+6y2-xz-4yz-2z2．2．用求根法分解因式：(1)x3+x2-10x-6；(2)x4+3x3-3x2-12x-4；(3)4x4+4x3-9x2-x+2．3．用待定系数法分解因式：(1)2x2+3xy-9y2+14x-3y+20；(2)x4+5x3+15x-9．第三讲实数的若干性质和应用实数是高等数学特别是微积分的重要基础．在初中代数中没有系统地介绍实数理论，是因为它涉及到极限的概念．这一概念对中学生而言，有一定难度．但是，如果中学数学里没有实数的概念及其简单的运算知识，中学数学也将无法继续学习下去了．例如，即使是一元二次方程，只有有理数的知识也是远远不够用的．因此，适当学习一些有关实数的基础知识，以及运用这些知识解决有关问题的基本方法，不仅是为高等数学的学习打基础，而且也是初等数学学习所不可缺少的．本讲主要介绍实数的一些基本知识及其应用．用于解决许多问题，例如，不难证明：任何两个有理数的和、差、积、商还是有理数，或者说，有理数对加、减、乘、除(零不能做除数)是封闭的．性质1 任何一个有理数都能写成有限小数(整数可以看作小数点后面为零的小数)或循环小数的形式，反之亦然．例1分析要说明一个数是有理数，其关键要看它能否写成两个整数比的形式．证设两边同乘以100得②-①得99x=261.54-2.61=258.93，无限不循环小数称为无理数．有理数对四则运算是封闭的，而无理是说，无理数对四则运算是不封闭的，但它有如下性质．性质2 设a为有理数，b为无理数，则(1)a+b，a-b是无理数；有理数和无理数统称为实数，即在实数集内，没有最小的实数，也没有最大的实数．任意两个实数，可以比较大小．全体实数和数轴上的所有点是一一对应的．在实数集内进行加、减、乘、除(除数不为零)运算，其结果仍是实数(即实数对四则运算的封闭性)．任一实数都可以开奇次方，其结果仍是实数；只有当被开方数为非负数时，才能开偶次方，其结果仍是实数．例2分析证所以分析要证明一个实数为无限不循环小数是一件极难办到的事．由于有理数与无理数共同组成了实数集，且二者是矛盾的两个对立面，所以，判定一个实数是无理数时，常常采用反证法．证用反证法．所以p一定是偶数．设p=2m(m是自然数)，代入①得4m2＝2q2，q2＝2m2，例4 若a1+b1a=a2+b2a(其中a1，a2，b1，b2为有理数，a为无理数)，则a1=a2，b1=b2，反之，亦成立．分析设法将等式变形，利用有理数不能等于无理数来证明．证将原式变形为(b1-b2)a=a2-a1．若b1≠b2，则反之，显然成立．说明本例的结论是一个常用的重要运算性质．是无理数，并说明理由．整理得由例4知a＝Ab，1=A，说明本例并未给出确定结论，需要解题者自己发现正确的结有理数作为立足点，以其作为推理的基础．例6 已知a，b是两个任意有理数，且a＜b，求证：a与b之间存在着无穷多个有理数(即有理数集具有稠密性)．分析只要构造出符合条件的有理数，题目即可被证明．证因为a＜b，所以2a＜a+b＜2b，所以说明构造具有某种性质的一个数，或一个式子，以达到解题和证明的目的，是经常运用的一种数学建模的思想方法．例7 已知a，b是两个任意有理数，且a＜b，问是否存在无理数α，使得a＜α＜b成立？即由①，②有存在无理数α，使得a＜α＜b成立．b4+12b3+37b2+6b-20的值．分析因为无理数是无限不循环小数，所以不可能把一个无理数的小数部分一位一位确定下来，这样涉及无理数小数部分的计算题，往往是先估计它的整数部分(这是容易确定的)，然后再寻求其小数部分的表示方法．14=9+6b+b2，所以b2+6b=5．b4+12b3+37b2+6b-20=(b4+2·6b3+36b2)+(b2+6b)-20=(b2+6b)2+(b2+6b)-20=52+5-20=10．例9 求满足条件的自然数a，x，y．解将原式两边平方得由①式变形为两边平方得例10 设a n是12+22+32+…+n2的个位数字，n=1，2，3，…，求证：0.a1a2a3…a n…是有理数．分析有理数的另一个定义是循环小数，即凡有理数都是循环小数，反之循环小数必为有理数．所以，要证0.a1a2a3…a n…是有理数，只要证它为循环小数．因此本题我们从寻找它的循环节入手．证计算a n的前若干个值，寻找规律：1，5，4，0，5，1，0，4，5，5，6，0，9，5，0，6，5，9，0，0，1，5，4，0，5，1，0，4，…发现：a20=0，a21=a1，a22=a2，a23=a3，…，于是猜想：a k+20=a k，若此式成立，说明0.a1a2…a n…是由20个数字组成循环节的循环小数，即下面证明a k+20=a k．令f(n)=12+22+…+n2，当f(n+20)-f(n)是10的倍数时，表明f(n+20)与f(n)有相同的个位数，而f(n+20)-f(n)=(n+1)2+(n+2)2+…+(n+20)2=10(2n2+42·n)+(12+22+…+202)．由前面计算的若干值可知：12+22+…+202是10的倍数，故a k+20=a k成立，所以0.a1a2…a n…是一个有理数．练习三1．下列各数中哪些是有理数，哪些是无理数？为什么？5．设α，β为有理数，γ为无理数，若α+βγ=0，求证：α=β=0．第四讲分式的化简与求值分式的有关概念和性质与分数相类似，例如，分式的分母的值不能是零，即分式只有在分母不等于零时才有意义；也像分数一样，分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变，这一性质是分式运算中通分和约分的理论根据．在分式运算中，主要是通过约分和通分来化简分式，从而对分式进行求值．除此之外，还要根据分式的具体特征灵活变形，以使问题得到迅速准确的解答．本讲主要介绍分式的化简与求值．例1 化简分式：分析直接通分计算较繁，先把每个假分式化成整式与真分式之和的形式，再化简将简便得多．＝［(2a+1)-(a-3)-(3a+2)+(2a-2)］说明本题的关键是正确地将假分式写成整式与真分式之和的形式．例2 求分式当a=2时的值．分析与解先化简再求值．直接通分较复杂，注意到平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)，可将分式分步通分，每一步只通分左边两项．例3 若abc=1，求分析本题可将分式通分后，再进行化简求值，但较复杂．下面介绍几种简单的解法．解法1 因为abc=1，所以a，b，c都不为零．解法2 因为abc=1，所以a≠0，b≠0，c≠0．例4 化简分式：分析与解三个分式一齐通分运算量大，可先将每个分式的分母分解因式，然后再化简．说明互消掉的一对相反数，这种化简的方法叫“拆项相消”法，它是分式化简中常用的技巧．例5 化简计算(式中a，b，c两两不相等)：似的，对于这个分式，显然分母可以分解因式为(a-b)(a-c)，而分子又恰好凑成(a-b)+(a-c)，因此有下面的解法．解说明本例也是采取“拆项相消”法，所不同的是利用例6 已知：x+y+z=3a(a≠0，且x，y，z不全相等)，求分析本题字母多，分式复杂．若把条件写成(x-a)+(y-a)+(z-a)=0，那么题目只与x-a，y-a，z-a有关，为简化计算，可用换元法求解．解令x-a=u，y-a=v，z-a=w，则分式变为u2+v2+w2+2(uv+vw+wu)=0．由于x，y，z不全相等，所以u，v，w不全为零，所以u2+v2+w2≠0，从而有说明从本例中可以看出，换元法可以减少字母个数，使运算过程简化．例7 化简分式：适当变形，化简分式后再计算求值．(x-4)2=3，即x2-8x+13＝0．原式分子=(x4-8x3+13x2)+(2x3-16x2+26x)+(x2-8x+13)+10=x2(x2-8x+13)+2x(x2-8x+13)+(x2-8x+13)+10=10，原式分母=(x2-8x+13)+2=2，说明本例的解法采用的是整体代入的方法，这是代入消元法的一种特殊类型，应用得当会使问题的求解过程大大简化．解法1 利用比例的性质解决分式问题．(1)若a+b+c≠0，由等比定理有所以a+b-c=c，a-b+c=b，-a+b+c=a，于是有(2)若a+b+c=0，则a+b=-c，b+c=-a，c+a=-b，于是有说明比例有一系列重要的性质，在解决分式问题时，灵活巧妙地使用，便于问题的求解．解法2 设参数法．令则a+b=(k+1)c，①a+c=(k+1)b，②b+c=(k+1)a．③①+②+③有2(a+b+c)=(k+1)(a+b+c)，所以 (a+b+c)(k-1)=0，故有k=1或 a+b+c=0．当k=1时，当a+b+c=0时，说明引进一个参数k表示以连比形式出现的已知条件，可使已知条件便于使用．练习四1．化简分式：2．计算：3．已知：(y-z)2+(z-x)2+(x-y)2=(x+y-2z)2+(y+z-2x)2+(z+x-2y)2，的值．第五讲恒等式的证明代数式的恒等变形是初中代数的重要内容，它涉及的基础知识较多，主要有整式、分式与根式的基本概念及运算法则，因式分解的知识与技能技巧等等，因此代数式的恒等变形是学好初中代数必备的基本功之一．本讲主要介绍恒等式的证明．首先复习一下基本知识，然后进行例题分析．两个代数式，如果对于字母在允许范围内的一切取值，它们的值都相等，则称这两个代数式恒等．把一个代数式变换成另一个与它恒等的代数式叫作代数式的恒等变形．恒等式的证明，就是通过恒等变形证明等号两边的代数式相等．证明恒等式，没有统一的方法，需要根据具体问题，采用不同的变形技巧，使证明过程尽量简捷．一般可以把恒等式的证明分为两类：一类是无附加条件的恒等式证明；另一类是有附加条件的恒等式的证明．对于后者，同学们要善于利用附加条件，使证明简化．下面结合例题介绍恒等式证明中的一些常用方法与技巧．1．由繁到简和相向趋进恒等式证明最基本的思路是“由繁到简”(即由等式较繁的一边向另一边推导)和“相向趋进”(即将等式两边同时转化为同一形式)．例1 已知x+y+z=xyz，证明：x(1-y2)(1-z2)+y(1-x2)(1-z2)+z(1-x2)(1-y2)=4xyz．分析将左边展开，利用条件x+y+z=xyz，将等式左边化简成右边．证因为x+y+z=xyz，所以左边=x(1-z2-y2-y2z2)+y(1-z2-x2+x2z2)+(1-y2-x2+x2y2)。
初二年级奥数分式及不等式测试题及答案
【导语】奥林匹克数学竞赛或数学奥林匹克竞赛，简称奥数。
奥数对青少年的脑⼒锻炼有着⼀定的作⽤，可以通过奥数对思维和逻辑进⾏锻炼，对学⽣起到的并不仅仅是数学⽅⾯的作⽤，通常⽐普通数学要深奥⼀些。
下⾯是⽆忧考为⼤家带来的初⼆年级奥数分式及不等式测试题及答案，欢迎⼤家阅读。
1.若分式有意义，则x的取值应满⾜( )A.x≠3B.x≠4C.x≠﹣4D.x≠﹣3【考点】分式有意义的条件.【分析】根据分式有意义的条件是分母不等于零列出不等式，解不等式即可.【解答】解：由题意得，x+4≠0，解得x≠﹣4.故选：C.【点评】本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键.2.在以下绿⾊⾷品、回收、节能、节⽔四个标志中，是轴对称图形的是( )A. B. C. D.【考点】轴对称图形.【分析】根据轴对称图形的概念求解.如果⼀个图形沿着⼀条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.【解答】解：A、是轴对称图形，故A符合题意;B、不是轴对称图形，故B不符合题意;C、不是轴对称图形，故C不符合题意;D、不是轴对称图形，故D不符合题意.故选：A.【点评】本题主要考查轴对称图形的知识点.确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合.3.若，则M的值是( )A.x﹣1B.x+1C.D.1【考点】分式的基本性质.【分析】根据分式的分⼦分母都乘以(或除以)同⼀个不为零数或(整式)，结果不变，可得答案.【解答】解：，得两边都除以(x﹣1)，M=x+1，故选：B.【点评】本题考查了分式的基本性质，分式的分⼦分母都乘以(或除以)同⼀个不为零数或(整式)，结果不变.4.下列图形中，△A′B′C′与△ABC关于直线MN成轴对称的是( )A. B. C. D.【考点】轴对称的性质.【专题】压轴题.【分析】认真观察各选项给出的图形，根据轴对称的性质，对称轴垂直平分线对应点的连线进⾏判断.【解答】解：根据轴对称的性质，结合四个选项，只有B选项中对应点的连线被对称轴MN垂直平分，所以B是符合要求的.故选B.【点评】本题考查轴对称的性质;应⽤对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分解题是正确解答本题的关键.5.等边三⾓形的两条⾼线相交成钝⾓的度数是( )A.105°B.120°C.135°D.150°【考点】等边三⾓形的性质;三⾓形内⾓和定理.【专题】计算题.【分析】根据等边三⾓形三线合⼀的性质，⾼线即是⾓平分线，再利⽤三⾓形的内⾓和定理知钝⾓的度数是120°.【解答】解：∵等边△ABC的两条⾼线相交于O∴∠OAB=∠OBA=30°∴∠AOB=180°﹣∠OAB﹣∠OBA=120°故选B【点评】此题主要考查了等边三⾓形三线合⼀的性质，⽐较简单.。
八年级数学竞赛例题专题讲解8：分式方程附答案
八年级数学竞赛例题专题讲解8：分式方程附答案分式方程是含有未知数的方程，其中分母含有未知数。
解分式方程的主要思路是去分母，把分式方程化为整式方程，可以通过直接去分母或换元法等方法实现。
有时，在解分式方程时可能会出现增根的情况。
虽然增根必须舍去，但有时也可以利用增根，挖掘隐含条件。
例如，对于一个关于x的方程2x+a/(x-2)=-1，如果其解为正数，则a的取值范围需要注意增根的隐含制约。
另一个例子是已知2/(x(x-1))+A/(x-1)+B/x=C，其中A，B，C为常数，需要求出A+B+C的值。
可以将右边通分，然后比较分子，建立A，B，C的等式。
对于一些复杂的分式方程，不宜直接去分母。
需要运用解分式问题、分式方程相关技巧和方法来解决。
例如，对于方程5x-9/(x-19)+6x-8/(x-9)+4/(x-6)+2/(x-8)=0，或者方程x^2+3x/(x^2+x-4)+11/2=0，或者方程x/(x+1)+1/(x+1)^2=3，需要仔细观察分子、分母间的特点，寻找解题的突破口。
有时，解分式方程需要对原方程“只有一个解”的准确理解，利用增根解题。
例如，对于方程2kx/(kx+1)-2/(x-1)=0，如果该方程只有一个解，则需要化分式方程为整式方程，并利用增根解题。
对于一些复杂的不定方程，可以通过转化为一元不等式，逐步缩小未知数的取值范围，求出结果。
例如，对于方程1115/(xyz)=1，且x≤y≤z，≥111，然后通过解不等式对某个未知数的取值作出估计，逐步缩小其取值范围，求出结果。
最后，需要注意格式错误和明显有问题的段落，进行删除和小幅度改写，以提高文章的可读性。
1.当$x=\frac{1}{y}$时，原方程变为$\frac{y^2-1}{y}=2$，即$y^2-2y-1=0$。
因此，这个整式方程是$y^2-2y-1=0$。
2.将方程$x^2-3x+4=0$移项得$x^2=3x-4$，代入原方程得$\frac{2x(3x-4)}{x-1}=2x^2-2x-4=0$。
初二年级奥数分式方程试题及答案
【导语】奥林匹克数学竞赛或数学奥林匹克竞赛，简称奥数。
奥数体现了数学与奥林匹克体育运动精神的共通性：更快、更⾼、更强。
国际数学奥林匹克作为⼀项国际性赛事，由国际数学教育专家命题，出题范围超出了所有国家的义务教育⽔平，难度⼤⼤超过⼤学⼊学考试。
下⾯是为⼤家带来的初⼆年级奥数分式⽅程试题及答案，欢迎⼤家阅读。
1．下列是分式⽅程的是(D)A.xx＋1＋x＋43B.x4＋x－52＝0C.34(x－2)＝43xD.1x＋2＋1＝0 2．为加快“最美毕节”环境建设，某园林公司增加了⼈⼒进⾏⼤型树⽊移植，现在平均每天⽐原计划多植树30棵，现在植树400棵所需时间与原计划植树300棵所需时间相同，设现在平均每天植树x棵，则列出的分式⽅程为(A)A.400x＝300x－30B.400x－30＝300xC.400x＋30＝300xD.400x＝300x＋30 3．已知x＝1是分式⽅程1x＋1＝3kx的根，则实数k＝16. 4．把分式⽅程2x＋4＝1x转化为⼀元⼀次⽅程时，⽅程两边需同乘以(D) A．x B．2x C．x＋4 D．x(x＋4) 5．解分式⽅程2x＋1＋3x－1＝6x2－1分以下⼏步，其中错误的⼀步是(D) A．⽅程两边分式的最简公分母是(x－1)(x＋1) B．⽅程两边都乘以(x－1)(x＋1)，得整式⽅程2(x－1)＋3(x＋1)＝6 C．解这个整式⽅程，得x＝1 D．原⽅程的解为x＝1 6．解分式⽅程1x－1＋1＝0，正确的结果是(A) A．x＝0 B．x＝1 C．x＝2 D．⽆解 7．已知x＝3是关于x的⽅程10x＋k－3x＝1的⼀个解，则k＝2． 8．解下列⽅程： (1)2xx－2＝1－12－x； 解：⽅程两边同乘以(x－2)，得 2x＝x－2＋1.解得x＝－1. 经检验，x＝－1是原⽅程的解． (2)6x－2＝xx＋3－1； 解：⽅程两边同乘以(x－2)(x＋3)，得 6(x＋3)＝x(x－2)－(x－2)(x＋3)． 解得x＝－43. 经检验，x＝－43是原⽅程的解． (3)xx2－4＋2x＋2＝1x－2； 解：⽅程两边都乘以(x＋2)(x－2)，得 x＋2(x－2)＝x＋2.解得x＝3. 经检验，x＝3是原⽅程的解． (4)23＋x3x－1＝19x－3. 解：⽅程两边同乘以9x－3，得 2(3x－1)＋3x＝1.解得x＝13. 检验：当x＝13时，9x－3＝0. 因此x＝13不是原⽅程的解． ∴原分式⽅程⽆解． 9．某机加⼯车间共有26名⼯⼈，现要加⼯2 100个A零件，1 200个B零件，已知每⼈每天加⼯A零件30个或B零件20个，问怎样分⼯才能确保同时完成两种零件的加⼯任务(每⼈只能加⼯⼀种零件)？设安排x⼈加⼯A零件，由题意列⽅程得(A) A.2 10030x＝1 20020（26－x） B.2 100x＝1 20026－x C.2 10020x＝1 20030（26－x） D.2 100x×30＝1 20026－x×20 10．在求3x的倒数的值时，嘉淇同学将3x看成了8x，她求得的值⽐正确答案⼩5.依上述情形，所列关系式成⽴的是(B)A.13x＝18x－5B.13x＝18x＋5C.13x＝8x－5D.13x＝8x＋5 11．⽤换元法解⽅程x2－12x－4xx2－12＝3时，设x2－12x＝y，则原⽅程可化为(B) A．y－1y－3＝0 B．y－4y－3＝0 C．y－1y＋3＝0 D．y－4y＋3＝0 12．当x＝56时，xx－5－2与x＋1x互为相反数． 13．若关于x的⽅程x－1x－5＝m10－2x⽆解，则m＝－8． 14．解下列⽅程： (1)3x2－9＋xx－3＝1； 解：去分母，得3＋x(x＋3)＝x2－9， 3＋x2＋3x＝x2－9.解得x＝－4. 经检验，x＝－4是原⽅程的解． (2)x＋1x－1＋4x2－1＝1； 解：⽅程两边同乘以(x＋1)(x－1)，得 (x＋1)2＋4＝(x＋1)(x－1)， 解得x＝－3. 检验：当x＝－3时，(x＋1)(x－1)≠0， ∴x＝－3是原⽅程的解． ∴原⽅程的解是x＝－3. (3)8x2－4＋1＝xx－2. 解：原⽅程可化为8（x＋2）（x－2）＋1＝xx－2. 去分母，得8＋(x＋2)(x－2)＝x(x＋2)． 解得x＝2. 检验：当x＝2时，(x＋2)(x－2)＝0， ∴x＝2是原⽅程的增根，即原⽅程⽆解． 15．如图，点A，B在数轴上，它们所对应的数分别是－3和1－x2－x，且点A，B到原点的距离相等，求x的值． 解：由题意，得1－x2－x＝3.解得x＝52. 经检验，x＝52是原⽅程的解． ∴x＝52. 16．解关于x的⽅程：mx－1x－1＝0(m≠0且m≠1)． 解：⽅程两边同乘以x(x－1)，得 m(x－1)－x＝0.(m－1)x＝m. ∵m≠1，∴x＝mm－1. 检验：当x＝mm－1时，x(x－1)≠0. ∴原分式⽅程的解为x＝mm－1.。
初中数学竞赛指导：《分式》竞赛专题训练(含答案)
《分式》竞赛专题训练1 分式的概念分母中含有字母的有理式叫做分式.分式的分母不能为零;只有当分式的分母不为零，而分式的分子为零时，分式的值为零.经典例题(1)当x 为何值时，分式22211x x--有意义? (2)当x 为何值时，分式22211x x--的值为零? 解题策略(1) 要使分式22211x x--有意义，应有分母不为零这个分式有两个分母x 和11x -，它们都不为零，即0x ≠且110x -≠，于是当0x ≠且1x ≠时，分式22211x x--有意义， (2) 要使分式22211x x--的值为零，应有2220x -=且110x -≠，即1x =±且1x ≠，于是当1x =-时，分式22211x x--的值为零 画龙点睛1. 要使分式有意义，分式的分母不能为零.2. 要使分式的值为零，应有分式的分母不为零，而分式的分子等于零，以上两条，缺一不可.举一反三1. (1)要使分式24x x -有意义的x 的取值范围是( ) (A)2x = (B) 2x ≠ ( C)2x =- (D)2x ≠-(2)若分式的的值为零，则x 的值为( )(A)3 (B)3或3- (C) 3- (D)0 2. (1)当x 时，分式23(1)16x x -+-的值为零;(2) 当x 时，分式2101x x +≥- 3. 已知当2x =-时，分式x b x a -+无意义;当4x =时，分式的值x b x a -+为零，求a b +.融会贯通4.0≤，求a 值的范围.2 分式的基本性质分式的基本性质是:分式的分子和分母都乘以或除以同一个不等于0的整式，分式的值不变.分式的基本运算，例如改变分子、分母或分式的符号以及通分、约分等，都要用到这个性质.本节主要讲解它在解答一些分式计算综合题时的应用.经典例题 若2731x x x =-+，求2421x x x ++的值 解题策略 因为2731x x x =-+，所以0x ≠ 将等式2731x x x =-+的左边分子、分母同时除以x ，得1713x x=-+，所以有 1227x x += 因此242222211149112214351()1()17x x x x x x x ====+++++-- 画龙点睛 对于含有1x x+形式的分式，要注意以下的恒等变形: 22211()2x x x x+=++ 22211()2x x x x-=+- 2211()()4x x x x+--= 举一反三1. (1)不改变分式的值，使分式的分子和分母的系数都化为整数;10.50.2210.20.53a b c a b c -+++(2)不改变分式的值，使分式的分子和分母的最高次项系数是正数:3211a a a ---+ 2. 已知13xy x y =--，求2322x xy y x y xy +---的值.3. 已知13x x+=，求2421x x x ++的值.融会贯通4. 已知3a b b a+=，求22224a ab b a ab b ++++的值.3 分式的四则运算分式的四则运算和分数的四则运算是一致的，加减法的关键是通分和约分.综合运算时要遵循先乘除后加减，以及先做括号内的，再做括号以外的次序.经典例题计算：22448()()[3()]y x xy x y x y x y x y x y x y--+-÷+--+- 解题策略 原式2222()4()43()()8x y y x y x x y x y xy x y x y x y--+-+--=÷-+- ()(3)(3)()(3)(3)x y x y x y y x x y x y x y x y x y +-+--=-++- y x =-画龙点睛在进行分式的四则运算时，要注意运算次序.在化简时，因式分解是重要的恒等变形方法;在解答求值问题时，一般应该先化简分式，再将字母对应的值代入计算.举一反三1. 先化简，再求值：262393m m m m -÷+--，其中2m =-.2. 计算：322441124a a a b a b a b a b+++-+++= 3. (1)已知实数a 满足2280a a +-=，求22213211143a a a a a a a +-+-⨯+-++的值(2)已知a 、b 为实数，且1ab =，设11a b M a b =+++，1111N a b =+++，试比较M 、 N 的大小关系.融会贯通4. 甲、乙两位采购员同去一家肥料公司购买两次肥料，两次肥料的价格有变化，两位采购员的购货方式也不同:甲每次购买800千克;乙每次用去600元，而不管购买多少肥料.请问谁的购货方式更合算?4 分式的运算技巧——裂项法 我们知道，多个分式的代数和可以合并成一个分式，如134512(1)(2)x x x x x -+=---- 反过来，由右边到左边的计算往往可以使一些复杂的分式计算变得简捷常见的裂项有:11A B AB B A ±=±，111(1)1n n n n =-++ 经典例题已知54(1)(21)121x A B x x x x -=-----，求A 、B 的值 解题策略由54(21)(1)(1)(21)121(1)(21)x A B A x B x x x x x x x ----=-=------(2)(1)(21)A B x B A x x -+-=--，可得254A B B A -=⎧⎨-=-⎩，解得13A B =⎧⎨=-⎩ 画龙点睛已知等式右边通分并利用同分母分式的减法法则计算，利用分式相等的条件求出A 、B 的值即可.举一反三1. 若在关于x 的恒等式222Mx N c x x x a x b +=-+-++中，22Mx N x x ++-为最简分式，且有a b >，a b c +=，求M ，N .2. 化简：222211113256712x x x x x x x x ++++++++++3. 计算：222222a b c b c a c a b a ab ac bc b ab bc ac c ac bc ab------++--+--+--+融会贯通 4. 已知21(2)(3)23x b c a x x x x -=++----，当1,2,3x ≠时永远成立，求以a 、b -、c 为三边长的四边形的第四边d 的取值范围.5 含有几个相等分式问题的解法有一类化简求值问题，已知条件中含有若干个相等的分式，其本质是几个比的比值相等的问题.解决此类问题常将这个相等的比用一个字母表示，从而将其转化为一个整式的问题来解决.经典例题已知x y z x y z x y z z y x +--+-++==，且()()()1x y y z z x xyz +++=-，求x y z ++的值解题策略 由x y z x y z x y z z y x+--+-++== 得111x y x z y z z y x +++-=-=- 从而x y x z y z z y x+++== 设x y x z y z k z y x+++===，则x y kz +=，x z ky +=，y z kx +=三式相加得2()()x y z k x y z ++=++，即()(2)0x y z k ++-=，所以0x y z ++=，或2k =若0x y z ++=，则1x y x z y z z y x+++•=-，符合条件； 若2k =，则()()()81x y y z z x xyz+++=≠-与题设矛盾，所以2k =不成立 因此0x y z ++=画龙点睛1. 将相等的比用一个字母表示，是解决含有连等分式问题的常见解法.2. 在得到等式2()()x y z k x y z ++=++后.不要直接将等式的两边除以x y z ++，因为此式可能等于0. 3. 在求出值后.要注意验证，看是否与已知条件矛盾.举一反三1. (1)已知275x y z ==，求值①x y z z ++；②x y z +；③x y z x +-(2)已知2310254a b b c c a +-+==，求56789a b c a b +-+的值2. 若a b c d b c a a ===，求a b c d a b c d -+-+-+的值3. 已知实数a 、b 、c 满足0a b c ++≠，并且a b c k b c c a a b===+++，则直线3y kx =-一定通过( )(A)第一、二、三象限 (B)第一、二、四象限(C)第二、三、四象限 (D)第一、三、四象限 融会贯通 4. 已知9p q r ++=，且222p q r x yz y zx z xy ==---，求px qy rz x y z++++的值6 整数指数幂一般地，当n 是正整数时，1(0)n n a a a-=≠，这就是说(0)n a a -≠是n a 的倒数.引入了负整数指数幂后，指数的取值范围就推广到全体整数.经典例题已知2m x-=，3n y =，求24()m n x y ---的值解题策略 242(4)(4)84()m n m n m n x y x y x y -------==848481()()23256m n x y ---==⨯=画龙点睛将所求的代数式转化为以m x-、n y 为底的乘方，进而代入相应的值进行计算. 举一反三1. 计算(1)222242(2)()a b a b a b ----÷(2)541321111(1)()()()()21023----++-+-⨯-(3)10222(510)(0.210)(200)⨯÷-⨯⨯-2. 水与我们日常生活密不可分，科学家研究发现，一个水分子的质量大约是26310-⨯kg ，8 g 水中大约有多少个水分子?通过进一步研究科学家又发现，一个水分子是由2个氢原子和一个氧原子构成的.已知一个氧原子的质量约为262.66510-⨯kg ，求一个氢原子的质量.3. 已知2310a a -+=，求(1)1a a -+；(2)22a a -+；(3)44a a -+融会贯通4. 如图，点O 、A 在数轴上表示的数分别是0、0. 1.将线段(OA 分成100等份，其分点由左向右依次为1M 、2M ，…，99M ;再将线1OM 分成100等份，其分点由左向右依次为1N 、2N ，…，99N ;继续将线段1ON 分成100等份，其分点由左向右依次为1P 、2P …，99P .则点37P 所表示的数用科学记数法表示为7 分式方程的解法分母中含有未知数的方程是分式方程.通常我们采用去分母的方法，将其变形为整式方程来解答.经典例题解方程52432332x x x x --=-- 解题策略解法一 去分母，得(52)(32)(43)(23)x x x x --=--2215610486129x x x x x x --+=--+所以1x =-验根知1x =-为原方程的解.解法二 方程两边加1，得5243112332x x x x --+=+-- 即222332x x =-- 所以2332x x -=-解得1x =-验根知1x =-为原方程的解.解法三 原式可化为22112332x x -=--- 所以222332x x =-- 以下同解法二画龙点睛1. 通常我们采用去分母的方法来解分式方程，先将其变形为整式方程，再用解整式方程的方法来解答.2. 除了用去分母的方法来解分式方程外，采用部分分式的方法，即将分式分解为一个整式和一个分式之和，这样可以使解方程的过程变得简单.3. 解完分式方程后，要进行检验，这是一个必不可少的步骤.因为在去分母时容易产生增根.举一反三1. (1)解方程2227461x x x x x +=+--(2)解方程2222112x x x x x x x x -++=--+-2. (1)解方程22252571061268x x x x x x x x x --+=+----+(2)解方程253336237456x x x x x x x x ----+=+----3. 若解方程61(1)(1)1m x x x -=+--是会有增根，求它的增根融会贯通4. 已知方程11x c x c +=+ (c 是常数，0c ≠)的解是c 或1c，求方程2131462a a x x a+++=- (a 是常数，且0a ≠)的解.8 列分式方程解应用题和整式中的一元一次方程一样，列分式方程所解的应用题也包括工程问题、行程问题、经济问题等，本节介绍列分式方程解应用问题的方法.经典例题某市今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨25%，小明家去年12月份水费是18元，而今年5月份的水费是36元，已知小明家今年5月份的用水量比去年12月多6立方米，求该市今年居民用水的价格.解题策略设该市去年居民用水价格为x 元/m 3，则今年用水价格为(125%)x +元/m 3.根据题意得:36186(125%)x x-=+，解得： 1.8x = 经检验： 1.8x =是原方程的解.所以(125%) 2.25x +=所以该市今年居民用水的价格为2. 25元/m 3.画龙点睛列分式方程解应用题的步骤与列一元一次方程解应用题步骤基本上是一致的:审查题意，设未知数;找出等量关系，列出方程;解分式方程并验根;写出答案.举一反三1. 某服装厂准备加工300套演出服，加工60套后，采用了新技术，使每天的工作效率是原来的2倍，结果共用了9天完成任务，请问:该厂原来每天加工多少套演出服?2. 便民服装店的老板在株洲看到一种夏季衫，就用8000元购进若干件，以每件58元的价格出售，很快售完.又用17 600元购进同种衬衫，数量是第一次的2倍，每件进价比第一次贵了4元，服装店仍按每件58元出售，全部售完.问该服装店这笔生意共盈利多少元?3. 从甲地到乙地共50 km ，其中开始的10 km 是平路，中间的20 km 是上坡路，余下的20 km 又是平路，小明骑自行车从甲地出发，经过2小时10分钟到达甲、乙两地的中点，再经过1小时50分钟到达乙地，求小明在平路上的速度(假设小明在平路上和上坡路上保持匀速).融会贯通4. 某工程队(有甲、乙两组)承包一项工程，规定若干天内完成.(1)已知甲组单独完成这项工程所需时间比规定时间多30天，乙组单独完成这项工程所需时间比规定时间多12天，如果甲乙两组先合做20天，剩下的由甲组单独做，恰好按规定的时间完成，那么规定的时间是多少天?(2)实际工作中，甲乙两组合做完成这项工程的56后，工程队又承包了新工程，需要抽调一组过去，从按时完成任务考虑，你认为留下哪一组更好?说明理由.参考答案1 分式的概念1. (1)B (2) C2. (1)3x =- (2) 12x ≤-或1x > 3. 64. 21a -≤<2分式的基本性质1. (1)1561561510a b c a b c -+++(2)3211a a a --+ 2. 由已知，得3x y xy -=-，所以 原式2()36333()23255x y xy xy xy xy x y xy xy xy xy -+-+-====----- 3. 242222211111113181()1x x x x x x x====++-+++- 4. 将22224a ab b a ab b ++++分子和分母同时除以ab ，得13143474a b b a a b b a +++==+++3 分式的四则运算1. 262393m m m m -÷+-- 633(3)(3)2m m m m m -=-++- 33m m -=+ 当2m =-时，原式3235323m m ---===-+-+ 2. 322441124a a a b a b a b a b +++-+++ 3222244224a a a a b a b a b =++-++ 33444444a a a b a b =+-+ 7884a a b=- 3. (1) 22213211143a a a a a a a +-+-⨯+-++ 213(1)1(1)(1)(1)(3)a a a a a a a +-=-⨯++-++2111(1)a a a -=-++ 22(1)a =+ 由2280a a +-=知2(1)9a += 所以原式222(1)9a ==+ (2)11()()1111a b M N a b a b -=+-+++++ 111111a b a a b b =-+-++++ 1111a b a b --=+++ (1)(1)(1)(1)(1)(1)a b b a a b -++-+=++ (1)(1)(1)(1)ab a b ab b a a b +--++--=++ 220(1)(1)ab a b -==++ 所以M N =4. 设两次购买肥料的单价分别为a 元/千克和b 元/千克(a 、b 为正数，且a b ≠)，则 甲两次购买肥料的平均单价为：8008008008002a b a b ++=+ (元/千克). 乙两次购买肥料的平均单价为：6006002600600ab a b a b +=++ (元/千克). 因为22()2()a b ab a b a b a a b +--=++，又a b ≠，0a >，0b >，所以2()0()a b a a b ->+ 所以甲的平均单价比乙的高，所以乙的购货方式更合算一些4 分式的运算技巧——裂项法1. 222(2)22()()()()Mx N x b cx ca c x b ca x x x a x b x a x b ++---+-==+-++++ 且22(1)(2)x x x x +-=-+，a b >所以2a =，1b =-，1c a b =+=从而可得21M x =-=，24N b ca =-=-2. 原式1111(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)x x x x x x x x =++++++++++ 111111*********x x x x x x x x =-+-+-+-+++++++ 114x x =-+ 3. 原式()()()()()()()()()()()()a b a c b c b a c a c b a b a c b c b a c a c b -+--+--+-=++------ 111111a c a b b a b c c b c a=+++++------ 0=4. 因为23b c a x x ++-- (2)(3)(3)(2)(2)(3)a x xb xc x x x --+-+-=-- 25632(2)(3)ax ax a bx b cx c x x -++-+-=-- 所以2215632x ax ax a bx b cx c -=-++-+-所以1a =，50a b c -++=，6321a b c --=-解得1a =，3b =-，8c =所以四边形的第四边d 的取值范围应满足138d ++>，138d ++>，182d ++>，381d ++>，解得412d <<5 含有几个相等分式问题的解法1. (1)设275x y z k ===，则2,7,5x k y k z k === ① 2751455x y z k k k z k ++++== ② 27955x y k k z k ++== ③ 27522x y z k k k x k+-+-== (2)设2310254a b b c c a k +-+===则2253104a b k b c k c a k +=⎧⎪-=⎨⎪+=⎩解得2a k b k c k =⎧⎪=⎨⎪=-⎩56756(14)25898917a b c k k k a b k k +-+--==++ 2. 设a b c d k b c a a==== 则234,,,d ak c dk ak b ck ak a bk ak =======所以41k =，得1k =±当1k =时，a b c d ===，原式0=当1k =-时，a b c d =-==-，原式2=-3. (),(),()k a b c k b c a k c a b +=+=+=于是2()k a b c a b c ++=++因为0a b c ++≠ 所以12k =直线132y x =-的图象经过第一、三、四象限 故选择D4. 设222p q r k x yz y zx z xy===---， 故222(),(),()p k x yz q k y zx r k z xy =-=-=-所以222()9p q r k x y z yz zx xy ++=++---=又px qy rz ++=333()k x xyz y xyz z xyz -+-+-333()k x y z xyz xyz xyz =++--- 222()()k x y z x y z yz zx xy =++++---9()x y z =++所以px qy rz x y z++++9= 6 整数指数幂1. (1)424b a(2)149(3)12510⨯2. 232.6710⨯个 271.67510-⨯ kg 3. (1)因为2310a a -+=，且0a ≠所以213a a += 所以2113a a a a -++== (2) 2212()27a aa a --+=+-= (3)44222()247a a a a --+=+-=4. 1M 表示的数为310.110100-⨯= 1N 表示的数为3511010100--⨯= 1P 5711010100--⨯= 37P 表示的数为637 3.710-=⨯7 分式方程的解法1. (1)原方程分母因式分解为746(1)(1)(1)(1)x x x x x x +=+-+- 去分母得7(1)4(1)6x x x -++= 解得35x =检验知35x =为原方程的根(2) 原方程式变形为22221112x x x x +=+--+- 整理得2212x x x x --=+- 解得12x =检验知12x =为原方程的根 2. (1) 原方程分母因式分解为525710(3)(2)(4)(3)(2)(4)x x x x x x x x x --+=+--+-- 去分母得5(4)(25)(2)(710)(3)x x x x x x -+--=-+解得1x =检验知1x =为原方程的根(2)原方程化为2(7)93(4)93(5)92(6)97456x x x x x x x x -+-+-+-++=+---- 999923327456x x x x +++=+++---- 11117456x x x x +=+---- 11117654x x x x -=----- (6)(7)(4)(5)(7)(6)(5)(4)x x x x x x x x ------=---- 11(7)(6)(5)(4)x x x x =---- 22111342920x x x x =-+-+ 422x = 解得112x = 检验把112x =代入最简公分母(7)(4)(5)(6)0x x x x ----≠，所以112x =是原方程的根3. 去分母，得6(1)(1)(1)m x x x -+=+-如果增根为1x =，则6(11)0m -+=，3m =如果增根为1x =-，则6(11)0m --+=，无解，所以3m =4. 将方程2131462a a x x a+++=-整理得 112323x a x a+=++- 112323x a x a -+=+- 所以23x a -=，或123x a -=故32a x +=或312a x a +=8 列分式方程解应用题1. 设服装厂原来每天加工x 套演出服.根据题意，得603006092x x -+= 解得20x =经检验20x =是原方程的根.2. 设原进价为x 元一件，则第二次进价为(4)x +元一件，依题意得176********x x =+ 解得40x = 经检验40x =是原方程的根 服装店这笔生意第一次购进8000200x =件，第二次购进176004004x =+件，服装店这笔生意共盈利200(5840)400(5844)9200⨯-+⨯-=(元). 3. 设小明在平路上的速度是x km/h ，根据题意，得131011203()66x x -=-， 解得15x =经检验15x =是原方程的根，且符合题意.4. (1)设规定的时间是x 天，则甲单独完成需要(30)x +天，乙单独完成需要(12)x +，由题意，得11120()(20)1301230x x x x ++⨯-=+++， 解得24x =经检验24x =是原方程的根，所以规定的时间是24天;(2)由题意，因为规定时间是24天，所以甲单独完成需要243054+=(天)，乙单独完成需要241236+=(天).留下甲完成需要的时间是:51151()(1)65436654÷++-÷189=+ 27=24>，不能在规定时间完成任务;留下乙完成需要的时间是:51151()(1)1862465436636÷++-÷=+= 能在规定时间完成任务.所以留下乙组好.。
(完整版)八年级奥数：分式的运算
八年级奥数：分式的运算解读课标．分式是表示具体情境中数量关系的工具，由于分式是分数的“代数化”，所以其性质与运算是完全类似的，类比分数学分式是学习分式的重要方法．分式的运算是以分式的基本性质、通分和约分的概念、运算法则为基础，以整式的变形、因式分解为工具．分式的加减运算是分式运算中的重点与难点，怎样合理地通分是化解这一难点的关键，恰当通分的基本策略与技巧有： 1．分步通分； 2．分组通分；3．先约分后再通分； 4．换元后通分等． 问题解决例1 （1）若分式的值为0，则x 的值为____________．（2）如果整数a （a ≠1）使得关于x 的一元一次方程：的解是整数，则该方程所有整数解的和为____________．例2 已知实数a 、b 、c 满足那么的值（ ）． A ．是正数 B ．是零 C ．是负数 D ．可正可负例3 计算 （1）; （2）；4412322++-x x x x a a ax ++=-232.4.0==++abc c b a cb a 111++4214121111x x x x ++++++-)100)(99(1)3)(2(1)2)(1(1)1(1+++++++++++x x x x x x x x Λ例4 分式中的欧拉公式欧拉是18世纪瑞士著名数学家，他的贡献遍及高等数学的各个领域，同时，在初等数学中也到处留下了他的足迹．下面是关于分式的欧拉公式，请证明．例5 A 、B 两个家庭同去一家粮店购买大米两次，两次大米的售价有变化，但两个家庭购买的方式不同．其中A 家庭每次购买25千克，B 家庭每次用去25元，且不问购买大米各多少，问谁的购买方式合算？数学冲浪． 知识技能广场1． 埃及算术古埃及人在土地丈量、产品分配等生产生活中积累了许多数学知识．整个埃及数学最特异之处，是一切分数都化为单分数，即分子为1的分数．在一部记录古埃及数学的《赖因德纸草书》中，有相当的篇幅写出了“”型分数分解成单分数的结果，如，则．更一般地，有 取大于2的自然数）． 2．（1）要使分式没有意义，则a 的值为___________．（2）当m =__________时，分式的值为零．3．已知的和等于，则 a =__________，b =__________． 4．化简__________． ⎪⎩⎪⎨⎧=++===--+--+--.3211,00))(())(())((时）（时）（时）（r c b a r r b c a c c a b c b b c a b a a rrr2n 4515192,2814172,1513152+=+=+=)(1)(1112+=n n ()(1)(1122+=-aa231142++-α23)3)(1(2+---m m m m 22-+x b x a 与442-x x =+--÷-+-22229631y xy x y x yx y x5．若分式的值为零，则x 的值为（ ）．A ．±1B ．-1C ．8D ．-1或8 6．已知，则的值等于（ ）． A ．6 B ．-6 C ．D ． 7．化简，其结果是（ ）．8．方程的整数解有（ ）组． A ．1 8．2 C ．3 D ．49．若a 满足请你选取一个合适的数a ，使得代数式的值为一个奇数．10．计算： （1）； （2）．1||)1)(8(-+-x x x 411=-b a bb a b ab a α7222+---215272)22444(22-÷+-++--x x x x x x x 28.28.28.28.++----x D x C x B x A 013=-++y x x 33≤≤-a )11(12aa a -÷-443)2111(2+++÷++-+-x x x x x x x 2]244)2)(1([22-÷--+--+a aa a a a a a a11．试说明下列等式成立： （1）； （2）．思想方法天地 12．已知x 为整数，且为整数，则所有符合条件的x 值的和为_____． 13．已知abc =1，则关于x 的方程的解是___．14．设正整数m ,n ，靠满足m <n ，且则m +n 的值是______________． 15．已知则x =______________． 16．代数式的化简结果是（ ）． 17．设有理数a 、b 、c 都不为零，且． 则的值是（ ）．A ．正数B 负数C ．零D ．不能确定18．甲、乙两人同时从A 地出发沿同一条路线去B 地，若甲用一半的时间以a 千米／时的2222)(1)(1)(1)111(a c c b b a a c c b b a -+-+-=-+-+-ac c b b a b c a c b a a b c b a c c a b a c b -+-+-=---+---+---222))(())(())((918232322-++-++x x x x 2004111=++++++++cac xbc b x ab a x ⋅=++++++++2311)1()1(11222nn m m mm Λ3,2,1=+=+=+xz zxz y yz y x xy 14121111432++++++-x x x x x x 18.65-x x A 18.84-x x B 14.87-x x C 18.87-x x D 0=++c b a 222222222111c b a b a c a c b -++-++-+速度行走，另一半时间以b 千米／时的速度行走；而乙用a 千米／时的速度走了一半的路程，另一半的路程以b 千米／时的速度行走（a ，b 均大于0，且a ≠b ），则（ ）． A ．甲先到达B 地 B ．乙先到达B 地C ．甲乙同时到达B 地D ．甲乙谁先到达B 地不确定 19．存在这样的有理数a 、b 、c 满足a <b <c ，使得分式的值等于（ ）． A ．-2003 B ．0 C ．2003 D ．20．太平盛世，吉祥如意，神舟“五号”，豪气冲天．若能被n +5整除（n 为正整数），则称n 为995的吉祥数．据说，中国载人飞船首飞日期恰好与995的吉祥数有关，试求n 的最大值．21．已知求下式的值： ．应用探究乐园22．用水清洗蔬菜上残留的农药．设用x （x ≥1）单位量的水清洗一次后蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为． ‘现有a （a ≥2）单位的水，可以一次清洗也可以把水平均分成两份后清洗两次．试问用哪种方法清洗后蔬菜上残留的农药量较少?说明理由．ac c b b -+-+-111α2995n +xxx f +=1)(.)2004()2003()2()1()0()1()21()20031()20041(f f f f f f f f f +++++++++ΛΛ11x +23．一分为二 任何一个单位分数都可以写成两个单位分数的和：（n ，p ，q 都是正整数）．显然，这里的p ，q 都大于n ． 如果设p =n +a ，q =，n +b ，那么有． （1）探索上式中的正整数a ，b 与正整数n 之间存在什么样的关系（写出推理过程）；（2）写出等于两个单位分数之和的所有可能情况．1n qp n 111+=bn a n n +++=11116。
初二年级奥数分式的运算试题及答案
【导语】奥林匹克数学竞赛或数学奥林匹克竞赛，简称奥数。
奥数对青少年的脑⼒锻炼有着⼀定的作⽤，可以通过奥数对思维和逻辑进⾏锻炼，对学⽣起到的并不仅仅是数学⽅⾯的作⽤，通常⽐普通数学要深奥⼀些。
下⾯是⽆忧考为⼤家带来的初⼆年级奥数分式的运算试题及答案，欢迎⼤家阅读。
1．计算ax2b yb2yax的结果是(B) A．ax B．bx C.xb D.xa 2．计算－b2a?(－4a3b)?(－2a3b)的结果是(D) A．－ba B.ba C．－b4a D．－4a9b 3．计算： (1)2x3zy2 3y24xz2； 解：原式＝6x3y2z4xy2z2＝3x22z. (2)x2－xyxy2?yy－x； 解：原式＝x（x－y）xy2?yy－x ＝－xy（x－y）xy2（x－y） ＝－1y. (3)x2－6x＋9x2－1?x2＋xx－3. 解：原式＝（x－3）2（x＋1）（x－1）?x（x＋1）x－3 ＝x（x－3）x－1 ＝x2－3xx－1. 4．计算3ab÷b3a的结果是(D) A．b2 B．18a C．9a D．9a2 5．化简2x2－1÷1x－1的结果是(A)A.2x＋1B.2x C.2x－1 D．2(x＋1) 6．计算： (1)12x2y5z2÷4xy215z2； 解：原式＝12x2y5z2?15z24xy2＝9xy. (2)a2－1a2＋2a＋1÷a2－aa＋1； 解：原式＝（a＋1）（a－1）（a＋1）2?a＋1a（a－1）＝1a. (3)2x＋6x2＋2x÷(x＋3)． 解：原式＝2（x＋3）x2＋2x?1x＋3＝2x2＋2x. 7．由甲地到⼄地的⼀条铁路全长为s km，⽕车的运⾏时间为a h；由甲地到⼄地的公路全长为这条铁路全长的m倍，汽车全程运⾏b h．那么⽕车的速度是汽车速度的bam倍． 8．甲⼄两个⼯程队合修⼀条公路，已知甲⼯程队每天修(a2－4)⽶，⼄⼯程队每天修(a－2)2⽶(其中a>2)，则甲⼯程队修900⽶所⽤时间是⼄⼯程队修600⽶所⽤时间的多少倍？ 解：900a2－4÷600（a－2）2＝3a－62a＋4. 答：甲⼯程队修900⽶所⽤时间是⼄⼯程队修600⽶所⽤时间的3a－62a＋4倍． 9．使代数式x＋2x－3÷x＋1x－2有意义的条件是(D) A．x≠3且x≠2 B．x≠3且x≠－1 C．x≠2且x≠－2 D．x≠－1且x≠2且x≠3 10．已知分式x2－y2x乘以⼀个分式后结果为－（x－y）2x，则这个分式为－x－yx＋y． 11．李明同学骑⾃⾏车上学⽤了a分钟，放学时沿原路返回家⽤了b分钟，则李明同学上学与回家的速度之⽐是ba． 12．计算： (1)(a－2)?a2－4a2－4a＋4； 解：原式＝(a－2)?（a＋2）（a－2）（a－2）2 ＝a＋2. (2)(a2＋3a)÷a2－9a－3； 解：原式＝a(a＋3)?a－3（a＋3）（a－3） ＝a. (3)x2－1x2－2x＋1÷(x＋1)； 解：原式＝（x＋1）（x－1）（x－1）2?1x＋1＝1x－1. (4)x2＋2xy＋y2xy－y2÷xy＋y2x2－2xy＋y2. 解：原式＝（x＋y）2y（x－y）?（x－y）2y（x＋y） ＝（x＋y）（x－y）y2 ＝x2－y2y2. 13．先化简，再求值：a2－4a2＋6a＋9÷a－22a＋6，其中a＝－5. 解：原式＝（a＋2）（a－2）（a＋3）2?2（a＋3）a－2 ＝2（a＋2）a＋3＝2a＋4a＋3. 当a＝－5时，原式＝2×（－5）＋4－5＋3＝3. 14．有这样⼀道题：计算x2－2x＋1x3－x÷x－1x2＋x的值，其中x＝2 017，某同学把x＝2 017错抄成2 071，但他的计算结果正确，你说这是怎么回事？ 解：原式＝（x－1）2x（x＋1）（x－1）?x（x＋1）x－1＝1. 计算的结果与x的值⽆关， ∴他的计算结果正确． 15．先化简：x＋3x2－4x＋4÷x2＋3x（x－2）2，然后在不等式x≤2的⾮负整数解中选择⼀个适当的数代⼊求值． 解：原式＝x＋3x2－4x＋4÷x2＋3x（x－2）2 ＝x＋3（x－2）2÷x（x＋3）（x－2）2 ＝x＋3（x－2）2?（x－2）2x（x＋3） ＝1x. 当x＝1时，原式＝1. 03 综合题 16．有甲、⼄两筐⽔果，甲筐⽔果重(x－1)2千克，⼄筐⽔果重(x2－1)千克(其中x>1)，售完后，两筐⽔果都卖了50元． (1)哪筐⽔果的单价卖得低？ (2)⾼的单价是低的单价的多少倍？ 解：(1)甲筐⽔果的单价为50（x－1）2， ⼄筐⽔果的单价为50x2－1. ∵0<(x－1)2 ∴50x2－1<50（x－1）2. 答：⼄筐⽔果的单价低． (2)50（x－1）2÷50x2－1＝50（x－1）2?（x＋1）（x－1）50 ＝x＋1x－1. 答：⾼的单价是低的单价的x＋1x－1倍．。
专题06 从地平面到脚手架——分式的运算答案
专题06 从地平面到脚手架----分式的运算例1 3例2 D 提示:），1)(1(1--=-+b a c ab ），1)(1(1--=-+c b a bc ），1)(1(1--=-+c c b ca 再代入原式化简即解.例3 (1) 8878b a a - (2) 0 (3) 0 (4)2222ab a b -+提示(1)分步通分；(2)分组通分；(3)约分后再通分.例4 890 提示:10900100101010023+-+-=++n n n n n 为整数. 例5 由已知得1511=+b a ,1711=+c b ,1611=+a c ,三式相加得481112=⎪⎭⎫ ⎝⎛++c b a . 原式=241111=++cb a例6 (1)对已知三式取倒数,得,)(211b a ab +=,)(311c b bc +=)(411a c ca +=. ∴2111=+b a ,3111=+c b ,4111=+a c ,解得:24,724,524===c b a . ∴35112824724524=++=++c b a . (2)5000)100(100)100()100(50001002222+----++-n n n n n n 2500010010000200222=+-+-=n n n n ,而1500010050505022=+⨯-,∴原式=991249=+⨯.A 级1.x ≠0且x ≠±12.y=11212++-x x =x-1+112+x ，即x+1/12.X 可取值为1，2，3，5，11，∴全体自然数x 的和为22. 3.12 4.115-5.D6.C7.B.8.D 提示：由已知得（m-n ）x-3（m+n ）=8x ，则⎩⎨⎧=+=-08n m n m9.（1）16116x-；（2）6646b a ab -；（3）a c -2；（4）()100100+x x ；（5）0 10.取值成对互为倒数，先计算：2222111111⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛-++-x x x x =0，故其和为0.11.由条件得：cc b a b a 1111-++=+，()()c c b a b a ab b a +++-=+. ∴()()[]0=++++c b a c ab b a ，即()()()0=+++c a c b b a ，∴a=-b ，或b=-c ，或c=-a. 不妨设a=-b ，则1212++-=n n b a ，左边=121212121111++++=++-n n n n cc b b ； 右边=1212121211++++=++-n n n n cc b b ，故等式成立. 12.由条件得：x u z u z y x u z y u z y x +++++=+++++=zy x uz y x y x u u z y x +++++=+++++.（1）若x+y+z+u ≠0，则由分母推得x=y=z=u ，原式=1+1+1+1=4.（2）若x+y+z+u=0，则x+y=-（z+u ），y+z=-（u+x ），原式=（-1）+（-1）+（-1）+（-1）=-4.B 级1.11a-7b=02.373.（23-m ）（n+24）=529 ∴23-m=1，n+24=529 ∴m=22，n=505 m+n=5274.-1，45.C6.B7.A8.A9.原式=-1+⎪⎭⎫ ⎝⎛+a 11+⎪⎭⎫ ⎝⎛+b 11+⎪⎭⎫ ⎝⎛+a b 111+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+b ac 11111+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+c b a d 1111111 -⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+d c b a 11111111=-1 （2）1，提示：设x-y=a ，y-z=b ，z-x=c ，则x-2y+z=a-b ，x+y-2z=b-c ，y+z-2x=c-a. 10.∵3366++n n ，199663++n n ；∴216199663-++n n ，即178063++n n 又1780=89522⨯⨯，n+6>6∴1780的大于6的约数有10，20，89，178，356，445，890，1780，相应的n 值是：4，14，83，172，350，439，884，1774.它们的和为4+14+83+172+350+439+884+1774=3720.11.把水平平均分成2份后清洗两次，蔬菜上残留的农药量比较少.这是因为，设清洗前蔬菜上残留的农药量为1，则用a 单位量的水清洗一次蔬菜上残留的农药量为P=a+11，把a 单位量的水平均分成两份后清洗两次，则蔬菜上残留的农药量为：Q=2211211211⎪⎭⎫⎝⎛+=+•+a a a∵01412122>+>++=⎪⎭⎫⎝⎛+a a a a∴221111⎪⎭⎫⎝⎛+>+a a ，即Q<P. 12.设k n n =-142002，则k=500+()142502-+n n .∵4n-1是奇数，∴25014+-n n .设14250-+n n =p ，则4p=1410004-+n n =1+141001-n ，∴100114-n .∵n>30且1001=7×11×13，∴只有4n-1=143⇒n=36.。
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专题06 从地平面到脚手架----分式的运算
例1 3
例2 D 提示:），1)(1(1--=-+b a c ab ），1)(1(1--=-+c b a bc ），1)(1(1--=-+c c b ca 再代入
原式化简即解.
例3 (1) 8878b a a - (2) 0 (3) 0 (4)2
22
2a
b a b -+提示(1)分步通分；(2)分组通分；(3)约分后再通分.
例4 890 提示:10900
100101010023+-
+-=++n n n n n 为整数. 例5 由已知得
1511=+b a ,1711=+c b ,1611=+a c ,三式相加得481112=⎪⎭
⎫
⎝⎛++c b a . 原式=
241111
=++c
b a
例6 (1)对已知三式取倒数,得,
)(21
1b a ab +=,)(311c b bc +=)
(411a c ca +=. ∴
2111=+b a ,3111=+c b ,4111=+a c ,解得:24,7
24,524===c b a . ∴35
1128
24724524=++=
++c b a . (2)
5000)100(100)100()100(50001002222+----++-n n n n n n 2
5000
10010000
200222=+-+-=n n n n ,而
15000
1005050502
2
=+⨯-,∴原式=991249=+⨯.
A 级
1.x ≠0且x ≠±1
2.y=11212++-x x =x-1+1
12+x ，即x+1/12.
X 可取值为1，2，3，5，11，∴全体自然数x 的和为22. 3.12 4.11
5
-
5.D
6.C
7.B.
8.D 提示：由已知得（m-n ）x-3（m+n ）=8x ，则⎩⎨
⎧=+=-0
8
n m n m
9.（1）16
116x
-；（2）6646b a ab -；（3）a c -2
；（4）()100100+x x ；（5）0 10.取值成对互为倒数，先计算：2
2
22111111⎪⎭
⎫
⎝⎛+⎪
⎭⎫
⎝⎛-++-x x x x =0，故其和为0.
11.由条件得：
c
c b a b a 1111-++=+，
()()c c b a b a ab b a +++-=+. ∴()()[]0=++++c b a c ab b a ，即()()()0=+++c a c b b a ，∴a=-b ，或b=-c ，或c=-a. 不妨设a=-b ，则1212++-=n n b a ，左边=1
21212121
111++++=++-n n n n c
c b b ； 右边=
1
21212121
1++++=++-n n n n c
c b b ，故等式成立. 12.由条件得：
x u z u z y x u z y u z y x +++++=+++++=z
y x u
z y x y x u u z y x +++++=+++++.
（1）若x+y+z+u ≠0，则由分母推得x=y=z=u ，原式=1+1+1+1=4.
（2）若x+y+z+u=0，则x+y=-（z+u ），y+z=-（u+x ），原式=（-1）+（-1）+（-1）+（-1）=-4.
B 级
1.11a-7b=0
2.
3
7
3.（23-m ）（n+24）=529 ∴23-m=1，n+24=529 ∴m=22，n=505 m+n=527
4.-1，4
5.C
6.B
7.A
8.A
9.原式=-1+⎪⎭⎫ ⎝⎛
+
a 11+⎪⎭⎫ ⎝⎛+
b 11+⎪⎭⎫ ⎝⎛+a b 111+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a
c 11111+⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+c b a d 1111111 -⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+
d c b a 11111111=-1 （2）1，提示：设x-y=a ，y-z=b ，z-x=c ，则x-2y+z=a-b ，x+y-2z=b-c ，y+z-2x=c-a. 10.∵3366++n n ，199663++n n ；∴216199663-++n n ，即178063++n n
又1780=89522
⨯⨯，n+6>6
∴1780的大于6的约数有10，20，89，178，356，445，890，1780，相应的n 值是：4，14，83，172，350，439，884，1774.
它们的和为4+14+83+172+350+439+884+1774=3720.
11.把水平平均分成2份后清洗两次，蔬菜上残留的农药量比较少.这是因为，设清洗前蔬菜上残留的农药量为1，则用a 单位量的水清洗一次蔬菜上残留的农药量为P=a
+11
，把a 单位量的水平均分成两份后清洗两次，则蔬菜上残留的农药量为：Q=
2
2112
11
211⎪⎭
⎫
⎝⎛+=
+•
+
a a a
∵01412122
>+>++=⎪⎭
⎫
⎝⎛+a a a a
∴
2
211
11⎪⎭
⎫
⎝⎛+>+a a ，即Q<P. 12.设
k n n =-142002，则k=500+
()142502-+n n .∵4n-1是奇数，∴25014+-n n .设14250
-+n n =p ，则4p=1410004-+n n =1+1
41001
-n ，∴100114-n .∵n>30且1001=7×11×13，∴只有4n-1=143⇒n=36.。