2019高考数学常见难题大盘点：数列

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2019年高考数学题型全归纳：数列高考原创题探讨(含答案)

高考数学精品复习资料2019.5陕西省吴堡县吴堡中学高中数学第一章数列高考原创题探讨素材北师大版必修5【原创题探讨】数列【原创精典1】如图①，②，③，……是由花盆摆成的图案，① ② ③根据图中花盆摆放的规律，猜想第个图形中花盆的盆数n a = .【解析】通过图形的变化寻求规律，以每行盆数为突破口。

【答案】2331n n -+【原创精典2】已知数列{a n }的前n 项的和S n 满足关系式lg(S n －1)＝n ，(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为．【解析】利用a n ＝S n －S n －1求通项尤其注意n=1时的情况。

【答案】,110101)1lg(+=⇒=-⇒=-n n n n n S S n S 当n ＝1时，a 1＝S 1＝11；当n≥2时，a n ＝S n －S n －1＝10n －10n －1＝9·10 n －1．故a n ＝⎪⎩⎪⎨⎧≥⋅=-)2(109)1(111n n n【原创精典3】将自然数0，1，2，…按照如下形式进行摆列：，根据以上规律判定，从2009到20xx 的箭头方向是( )【解析】利用摆列的规律找到数列通项，从而确定所要箭头方向。

【答案】B新动向前瞻【样题1】计算机是将信息转换成二进制进行处理的. 二进制即“逢二进一”，如2(1101)表示二进制数，将它转换成十进制形式是321012120212⨯+⨯+⨯+⨯= 13，那么将二进制数211611111）（个转换成十进制形式是（）. A ．1722- B ．1622- C ．1621- D ．1521-【解析】151********(1111)1212121221=⨯+⨯+⨯+⨯=-【答案】C【样题2】已知数列：1，⎪⎭⎫ ⎝⎛+211，⎪⎭⎫ ⎝⎛++41211，⎪⎭⎫ ⎝⎛+++8141211，…，⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-12141211n ，求它的前n 项的和S n ．【解析】考查数列的求和。

2019年高考数学考纲解读与热点难点突破专题11数列的求和问题热点难点突破文含解析

数列的求和问题 1．已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，且a n ，a n ＋1是方程x 2－b n x ＋2n ＝0的两根，则b 10等于( )A ．24B ．32C ．48D ．64 答案 D2．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝2n ＋1＋m ，且a 1，a 4，a 5－2成等差数列，b n ＝a n a n －1a n ＋1－1，数列{b n }的前n 项和为T n ，则满足T n >2 0172 018的最小正整数n 的值为( ) A ．11 B ．10 C ．9 D ．8答案 B解析根据S n ＝2n ＋1＋m 可以求得a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋4，n ＝1，2n ，n ≥2，所以有a 1＝m ＋4，a 4＝16，a 5＝32，根据a 1，a 4，a 5－2成等差数列，可得m ＋4＋32－2＝32，从而求得m ＝－2，所以a 1＝2满足a n ＝2n ，从而求得a n ＝2n (n ∈N *)，所以b n ＝a n a n －1a n ＋1－1＝2n 2n －12n ＋1－1 ＝12n －1－12n ＋1－1，所以T n ＝1－13＋13－17＋17－115＋…＋12n －1－12n ＋1－1＝1－12n ＋1－1，令1－12n ＋1－1>2 0172 018，整理得2n ＋1>2 019，解得n ≥10.3．设S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝12，n ＋1a n ＋1＝n a n＋2n (n ∈N *)，则S 100等于( ) A ．2－492100 B ．2－49299 C ．2－512100 D ．2－51299 答案 D解析由n ＋1a n ＋1＝n a n ＋2n ，得n ＋1a n ＋1－n a n ＝2n ，则n a n －n －1a n －1＝2n －1，n －1a n －1－n －2a n －2＝2n －2，…，2a 2－1a 1＝21，将各式相加得n a n －1a 1＝21＋22＋…＋2n －1＝2n －2，又a 1＝12，所以a n ＝n ·12n ，因此S 100＝1×12＋2×122＋…＋100×12100，则12S 100＝1×122＋2×123＋…＋99×12100＋100×12101，两式相减得12S 100＝12＋122＋123＋…＋12100－100×12101，所以S 100＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1299－100·⎝ ⎛⎭⎪⎫12100＝2－51299. 押题依据数列的通项以及求和是高考重点考查的内容，也是《考试大纲》中明确提出的知识点，年年在考，年年有变，变的是试题的外壳，即在题设的条件上有变革，有创新，但在变中有不变性，即解答问题的常用方法有规律可循．答案 1解析因为a n ＝n ＋22n nn ＋1＝2n ＋1－n 2n n n ＋1＝12n －1n －12n n ＋1，所以S n ＝⎝⎛⎭⎪⎫120×1－121×2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫121×2－122×3＋…＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤12n －1n －12n n ＋1 ＝1－12n n ＋1，由于1－12n n ＋1<1，所以M 的最小值为1.9．已知数列{a n }，a 1＝e(e 是自然对数的底数)，a n ＋1＝a 3n (n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝(2n －1)ln a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)由a 1＝e ，a n ＋1＝a 3n 知，a n >0，所以ln a n ＋1＝3ln a n ，数列{}ln a n 是以1为首项，3为公比的等比数列，所以ln a n ＝3n －1，a n ＝e3n －1(n ∈N *)．(2)由(1)得b n ＝(2n －1)ln a n ＝(2n －1)·3n －1，T n ＝1×30＋3×31＋5×32＋…＋(2n －1)×3n －1，①3T n ＝1×31＋3×32＋…＋(2n －3)×3n －1＋(2n －1)×3n ，② ①－②，得－2T n ＝1＋2(31＋32＋33＋…＋3n －1)－(2n －1)×3n ＝1＋2×3－3n 1－3－(2n －1)×3n ＝－2(n －1)×3n －2. 所以T n ＝(n －1)×3n ＋1(n ∈N *)．10．在等比数列{a n }中，首项a 1＝8，数列{b n }满足b n ＝log 2a n (n ∈N *)，且b 1＋b 2＋b 3＝15.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记数列{b n }的前n 项和为S n ，又设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 的前n 项和为T n ，求证：T n <34. (1)解由b n ＝log 2a n 和b 1＋b 2＋b 3＝15，得log 2(a 1a 2a 3)＝15，∴a 1a 2a 3＝215，设等比数列{a n }的公比为q ，∵a 1＝8，∴a n ＝8qn －1， ∴8·8q ·8q 2＝215，解得q ＝4，∴a n ＝8·4n －1，即a n ＝22n ＋1(n ∈N *)． (2)证明由(1)得b n ＝2n ＋1，易知{b n }为等差数列，S n ＝3＋5＋…＋(2n ＋1)＝n 2＋2n ，则1S n ＝1nn ＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2， T n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫32－1n ＋1－1n ＋2， ∴T n <34. 11．在公差不为0的等差数列{a n }中，a 22＝a 3＋a 6，且a 3为a 1与a 11的等比中项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝(－1)n n⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －12⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋1－12(n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)设数列{a n }的公差为d ，∵a 22＝a 3＋a 6，∴(a 1＋d )2＝a 1＋2d ＋a 1＋5d ，①∵a 23＝a 1·a 11，即(a 1＋2d )2＝a 1·(a 1＋10d )，②∵d ≠0，由①②解得a 1＝2，d ＝3.∴数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1(n ∈N *)．(2)由题意知， b n ＝(－1)n n⎝ ⎛⎭⎪⎫3n －32·⎝ ⎛⎭⎪⎫3n ＋32＝(－1)n ·16·⎝⎛⎭⎪⎪⎫13n －32＋13n ＋32 ＝(－1)n ·19·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋12n ＋1 T n ＝19⎣⎢⎡ －⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋15－⎝ ⎛⎭⎪⎫15＋17＋…⎦⎥⎤＋－1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋12n ＋1 ＝19⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1＋－1n 12n ＋1. 12．数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＝n 2，数列{b n }满足：①b 3＝14；②b n >0；③2b 2n ＋1＋b n ＋1b n －b 2n ＝0. (1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)设c n ＝a n b n ，求数列{c n }的前n 项和T n .押题依据错位相减法求和是高考的重点和热点，本题先利用a n ，S n 的关系求a n ，也是高考出题的常见形式．解 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1(n ∈N *)，又a 1＝1满足a n ＝2n －1，∴a n ＝2n －1(n ∈N *)．∵2b 2n ＋1＋b n ＋1b n －b 2n ＝0，且b n >0，∴2b n ＋1＝b n ，∴q ＝12，b 3＝b 1q 2＝14， ∴b 1＝1，b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1(n ∈N *)．(2)由(1)得c n ＝(2n －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1， T n ＝1＋3×12＋5×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋…＋(2n －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1， 12T n ＝1×12＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋…＋(2n －3)⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋(2n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，两式相减，得12T n ＝1＋2×12＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋…＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－(2n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝1＋2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－(2n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝3－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋n . ∴T n ＝6－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1(2n ＋3)(n ∈N *)． 13．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝2a n －1(n ∈N *)，数列{b n }满足nb n ＋1－(n ＋1)b n ＝n (n ＋1)(n ∈N *)，且b 1＝1，(1)证明数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n n 为等差数列，并求数列{a n }和{b n }的通项公式； (2)若c n ＝(－1)n －14n ＋13＋2log 2a n 3＋2log 2a n ＋1，求数列{c n }的前2n 项和T 2n ；(3)若d n ＝a n ·b n ，数列{}d n 的前n 项和为D n ，对任意的n ∈N *，都有D n ≤nS n －a ，求实数a 的取值范围．解 (1)由nb n ＋1－(n ＋1)b n ＝n (n ＋1)两边同除以n (n ＋1)，得b n ＋1n ＋1－b n n＝1，从而数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n n 为首项b 11＝1，公差d ＝1的等差数列，所以b n n ＝n (n ∈N *)，数列{b n }的通项公式为b n ＝n 2.当n ＝1时，S 1＝2a 1－1＝a 1，所以a 1＝1.当n ≥2时，S n ＝2a n －1，S n －1＝2a n －1－1，两式相减得a n ＝2a n －1，又a 1＝1≠0，所以a n a n －1＝2，从而数列{a n }为首项a 1＝1，公比q ＝2的等比数列，从而数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1(n ∈N *)．(3)由(1)得d n ＝a n b n ＝n ·2n －1，D n ＝1×1＋2×2＋3×22＋…＋(n －1)·2n －2＋n ·2n －1， 2D n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋(n －1)·2n －1＋n ·2n . 两式相减得－D n ＝1＋2＋22＋…＋2n －1－n ·2n ＝1－2n 1－2－n ·2n ，所以D n ＝(n －1)·2n ＋1，由(1)得S n ＝2a n －1＝2n－1，因为对∀n ∈N *，都有D n ≤nS n －a ，即(n －1)·2n ＋1≤n ()2n －1－a 恒成立，所以a ≤2n－n －1恒成立，记e n ＝2n －n －1，所以a ≤()e n min ，因为e n ＋1－e n ＝[]2n ＋1－n ＋1－1－()2n －n －1＝2n －1>0，从而数列{}e n 为递增数列，所以当n ＝1时，e n 取最小值e 1＝0，于是a ≤0.。

2019高考数学数列：数列的概念与简单表示法

数列的概念与简单表示法【考点梳理】1．数列的定义按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项． 2．数列的分类3.数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法． 4．数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．5．数列的递推公式如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项a n 与它的前一项a n －1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．6．a n 与S n 的关系若数列{a n }的前n 项和为S n ，通项公式为a n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝，S n －S n －1，n【考点突破】考点一、由a n 与S n 的关系求通项a n【例1】(1)已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝14n 2＋23n ＋3，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.(2)设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a 8的值为( )A ．15B ．16C ．49D ．64 [答案] (1) ⎩⎪⎨⎪⎧4712，n ＝1，12n ＋512，n ≥2 (2) A[解析] (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝4712，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝14n 2＋23n ＋3－⎣⎢⎡⎦⎥⎤14（n －1）2＋23（n －1）＋3 ＝12n ＋512，经检验a 1＝4712不满足上式所以这个数列的通项公式为a n＝⎩⎪⎨⎪⎧4712，n ＝1，12n ＋512，n ≥2.(2)当n ＝8时，a 8＝S 8－S 7＝82－72＝15. 【类题通法】已知S n 求a n 的3步骤 (1)先利用a 1＝S 1求出a 1；(2)用n －1替换S n 中的n 得到一个新的关系，利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n 的表达式；(3)注意检验n ＝1时的表达式是否可以与n ≥2的表达式合并．【对点训练】1．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2－3n ，则数列{a n }的通项公式a n ＝________. [答案] 4n －5[解析] a 1＝S 1＝2－3＝－1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－3n )－[2(n －1)2－3(n －1)]＝4n －5，由于a 1也适合上式，∴a n ＝4n －5.2．数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2－3n (n ∈N *)，若p －q ＝5，则a p －a q ＝( ) A ．10 B ．15 C ．－5 D ．20[答案] D[解析] 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－3n －[2(n －1)2－3(n －1)]＝4n －5，当n ＝1时，a 1＝S 1＝－1，符合上式，所以a n ＝4n －5，所以a p －a q ＝4(p －q )＝20.【例2】(1)若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则{a n }的通项公式a n ＝________.(2)设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则S n ＝________. [答案] (1) (－2)n －1(2) －1n[解析] (1)由S n ＝23a n ＋13，得当n ≥2时，S n －1＝23a n －1＋13，两式相减，得a n ＝23a n －23a n －1，∴当n ≥2时，a n ＝－2a n －1，即a na n －1＝－2. 又n ＝1时，S 1＝a 1＝23a 1＋13，a 1＝1，∴a n ＝(－2)n －1.(2)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝S n S n ＋1， ∴S n ＋1－S n ＝S n S n ＋1. ∵S n ≠0，∴1S n －1S n ＋1＝1，即1S n ＋1－1S n＝－1.又1S 1＝－1，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为－1，公差为－1的等差数列． ∴1S n ＝－1＋(n －1)×(－1)＝－n ，∴S n ＝－1n.【类题通法】S n 与a n 关系问题的求解思路根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化． (1)利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)转化为只含S n ，S n －1的关系式，再求解． (2)利用S n －S n －1＝a n (n ≥2)转化为只含a n ，a n －1的关系式，再求解．【对点训练】1．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2a n －4(n ∈N *)，则a n ＝( ) A ．2n ＋1B ．2nC ．2n －1D ．2n －2[答案] A[解析] 由S n ＝2a n －4可得S n －1＝2a n －1－4(n ≥2)，两式相减可得a n ＝2a n －2a n －1(n ≥2)，即a n ＝2a n －1(n ≥2)．又a 1＝2a 1－4，a 1＝4，所以数列{a n }是以4为首项，2为公比的等比数列，则a n ＝4×2n －1＝2n ＋1，故选A.2．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝2，a n ＋1＝S n ＋1(n ∈N *)，则S 5＝( ) A ．31 B ．42 C ．37 D ．47 [答案] D[解析] 由题意，得S n ＋1－S n ＝S n ＋1(n ∈N *)，∴S n ＋1＋1＝2(S n ＋1)(n ∈N *)，故数列{S n ＋1}为等比数列，其首项为3，公比为2，则S 5＋1＝3×24，所以S 5＝47.考点二、由递推公式求数列的通项公式【例3】在数列{a n }中，(1)若a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋3n ＋2，则数列{a n }的通项公式a n ＝________. (2)若a 1＝1，na n －1＝(n ＋1)a n (n ≥2)，则数列{a n }的通项公式a n ＝________. (3)若a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋3，则通项公式a n ＝________. [答案] (1) 32n 2＋n 2 (2) 2n ＋1 (3) 2n ＋1－3[解析] (1)由题意，得a n ＋1－a n ＝3n ＋2，所以a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝(3n －1)＋(3n －4)＋…＋5＋2＝n （3n ＋1）2.即a n ＝32n 2＋n 2.(2)由na n －1＝(n ＋1)a n (n ≥2)，得a n a n －1＝nn ＋1(n ≥2). 所以a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·a n －2a n －3·…·a 3a 2·a 2a 1·a 1 ＝nn ＋1·n －1n ·n －2n －1·…·34·23·1 ＝2n ＋1，又a 1也满足上式. 所以a n ＝2n ＋1. (3)设递推公式a n ＋1＝2a n ＋3可以转化为a n ＋1＋t ＝2(a n ＋t )，即a n ＋1＝2a n ＋t ，解得t ＝3. 故a n ＋1＋3＝2(a n ＋3).令b n ＝a n ＋3，则b 1＝a 1＋3＝4，且b n ＋1b n ＝a n ＋1＋3a n ＋3＝2. 所以{b n }是以4为首项，2为公比的等比数列. ∴b n ＝4·2n －1＝2n ＋1，∴a n ＝2n ＋1－3.【类题通法】1.形如a n ＋1＝a n ＋f (n )的递推关系式利用累加法求通项公式，特别注意能消去多少项，保留多少项.2.形如a n ＋1＝a n ·f (n )的递推关系式可化为a n ＋1a n＝f (n )的形式，可用累乘法，也可用a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1代入求出通项. 3.形如a n ＋1＝pa n ＋q 的递推关系式可以化为(a n ＋1＋x )＝p (a n ＋x )的形式，构成新的等比数列，求出通项公式，求变量x 是关键. 【对点训练】在数列{a n }中， (1)若a 1＝3，a n ＋1＝a n ＋1n （n ＋1），则通项公式a n ＝________.(2)若a 1＝1，a n ＋1＝2na n ，则通项公式a n ＝________.(3)若a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2，则数列{a n }的通项公式a n ＝________. [答案] (1) 4－1n(2) ()122n n - (3) 2·3n －1－1[解析] (1)原递推公式可化为a n ＋1＝a n ＋1n －1n ＋1，则a 2＝a 1＋11－12，a 3＝a 2＋12－13，a 4＝a 3＋13－14，…，a n －1＝a n －2＋1n －2－1n －1，a n ＝a n －1＋1n －1－1n，以上(n －1)个式子的等号两端分别相加得，a n ＝a 1＋1－1n，故a n ＝4－1n.(2)由a n ＋1＝2na n ，得a n a n －1＝2n －1(n ≥2)，所以a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1 ＝2n －1·2n －2·…·2·1＝21＋2＋3＋…＋(n －1)＝()122n n -.又a 1＝1适合上式，故a n ＝()122n n -.(3)∵a n ＋1＝3a n ＋2，∴a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)， ∴a n ＋1＋1a n ＋1＝3， ∴数列{a n ＋1}为等比数列，公比q ＝3，又a 1＋1＝2，∴a n ＋1＝2·3n －1，∴a n ＝2·3n －1－1．考点三、数列的性质及应用【例3】已知数列{a n }满足a n ＋1＝11－a n ，若a 1＝12，则a 2 018＝( )A ．－1B ．12 C ．1 D ．2[答案] D[解析] 由a 1＝12，a n ＋1＝11－a n ，得a 2＝11－a 1＝2，a 3＝11－a 2＝－1，a 4＝11－a 3＝12，a 5＝11－a 4＝2，…，于是可知数列{a n }是以3为周期的周期数列，因此a 2 018＝a 3×672＋2＝a 2＝2. 【类题通法】解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．【对点训练】已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a 2n －2a n ＋1(n ∈N *)，则a 2 018＝________. [答案] 0[解析] ∵a 1＝1，∴a 2＝(a 1－1)2＝0，a 3＝(a 2－1)2＝1，a 4＝(a 3－1)2＝0，…，可知数列{a n }是以2为周期的数列，∴a 2 018＝a 2＝0.。

2019年高考数学考纲解读与热点难点突破专题12数列的综合问题热点难点突破理含解析20190330237

数列的综合问题1．删去正整数数列1,2,3，… 中的所有完全平方数，得到一个新数列，这个数列的第2 018项是( ) A ．2 062 B ．2 063 C ．2 064 D ．2 065 答案 B解析由题意可得，这些数可以写为12,2,3,22,5,6,7,8,32，…，第k 个平方数与第k ＋1个平方数之间有2k 个正整数，而数列12,2,3,22,5,6,7,8,32，…，452共有2 025项，去掉45个平方数后，还剩余2 025－45＝1 980(个)数，所以去掉平方数后第2 018项应在2 025后的第38个数，即是原来数列的第2 063项，即为2 063.2．已知数列{a n }满足0<a n <1，a 41－8a 21＋4＝0，且数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 2n ＋4a 2n 是以8为公差的等差数列，设{a n }的前n 项和为S n ，则满足S n >10的n 的最小值为( ) A ．60 B ．61 C ．121 D ．122 答案 B解析由a 41－8a 21＋4＝0，得a 21＋4a 21＝8，所以a 2n ＋4a 2n＝8＋8(n －1)＝8n ，所以⎝⎛⎭⎪⎫a n ＋2an2＝a 2n ＋4a 2n＋4＝8n ＋4，所以a n ＋2a n＝22n ＋1，即a 2n －22n ＋1a n ＋2＝0，所以a n ＝22n ＋1±22n －12＝2n ＋1±2n －1，因为0<a n <1，所以a n ＝2n ＋1－2n －1，S n ＝2n ＋1－1，由S n >10得2n ＋1>11，所以n >60.∴a n ＝2n 2＋3n ，由题意可知，∴每10项中有4项能被5整除，∴数列{a n }的前100项中，能被5整除的项数为40.7．设x ＝1是函数f (x )＝a n ＋1x 3－a n x 2－a n ＋2x ＋1(n ∈N *)的极值点，数列{a n }满足 a 1＝1，a 2＝2，b n ＝log 2a n ＋1，若[x ]表示不超过x 的最大整数，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 018b 1b 2＋2 018b 2b 3＋…＋ 2 018b 2 018b 2 019等于( )A ．2 017B ．2 018C ．2 019D ．2 020 答案 A解析由题意可得f ′(x )＝3a n ＋1x 2－2a n x －a n ＋2， ∵x ＝1是函数f (x )的极值点， ∴f ′(1)＝3a n ＋1－2a n －a n ＋2＝0，即a n ＋2－3a n ＋1＋2a n ＝0. ∴a n ＋2－a n ＋1＝2()a n ＋1－a n ，∵a 2－a 1＝1，∴a 3－a 2＝2×1＝2，a 4－a 3＝2×2＝22，…，a n －a n －1＝2n －2，以上各式累加可得a n ＝2n －1.∴b n ＝log 2a n ＋1＝log 22n＝n . ∴2 018b 1b 2＋2 018b 2b 3＋…＋ 2 018b 2 018b 2 019＝2 018⎝⎛⎭⎪⎫11×2＋12×3＋…＋12 018×2 019＝2 018⎝⎛⎭⎪⎫1－12 019＝2 018－2 0182 019＝2 017＋12 019. ∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 018b 1b 2＋2 018b 2b 3＋…＋ 2 018b 2 018b 2 019＝2 017. 8．对于数列{a n }，定义H n ＝a 1＋2a 2＋…＋2n －1a n n为{a n }的“优值”，现在已知某数列{a n }的“优值”H n ＝2n ＋1，记数列{a n －kn }的前n 项和为S n ，若S n ≤S 5对任意的n 恒成立，则实数k 的取值范围为________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤73，125 解析由题意可知a 1＋2a 2＋…＋2n －1a n n＝2n ＋1，∴a 1＋2a 2＋…＋2n －1a n ＝n ·2n ＋1，①a 1＋2a 2＋…＋2n －2a n －1＝(n －1)·2n ，②由①－②，得2n －1a n ＝n ·2n ＋1－(n －1)·2n (n ≥2，n ∈N *)，则a n ＝2n ＋2(n ≥2)，又当n ＝1时，a 1＝4，符合上式，∴a n ＝2n ＋2(n ∈N *)，∴a n －kn ＝(2－k )·n ＋2，令b n ＝(2－k )·n ＋2，∵S n ≤S 5，∴b 5≥0，b 6≤0，解得73≤k ≤125，∴k 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤73，125.9．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝43(a n －1)，则(4n －2＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫16a n ＋1的最小值为__________．答案 4解析 ∵S n ＝43(a n －1)，∴S n －1＝43(a n －1－1)(n ≥2)，∴a n ＝S n －S n －1＝43(a n －a n －1)，∴a n ＝4a n －1，又a 1＝S 1＝43(a 1－1)，∴a 1＝4，∴{a n }是首项为4，公比为4的等比数列， ∴a n ＝4n，∴(4n －2＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫16a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4n16＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫164n ＋1 ＝2＋4n16＋164n ≥2＋2＝4，当且仅当n ＝2时取“＝”．10．已知数列{a n }的首项a 1＝a ，其前n 项和为S n ，且满足S n ＋S n －1＝4n 2(n ≥2，n ∈N *)，若对任意n ∈N *，a n <a n＋1恒成立，则a 的取值范围是______________．答案 (3,5)解析由条件S n ＋S n －1＝4n 2(n ≥2，n ∈N *)，得S n ＋1＋S n ＝4(n ＋1)2，两式相减，得a n ＋1＋a n ＝8n ＋4，故a n ＋2＋a n ＋1＝8n ＋12，两式再相减，得a n ＋2－a n ＝8，由n ＝2，得a 1＋a 2＋a 1＝16⇒a 2＝16－2a ，从而a 2n ＝16－2a ＋8(n －1)＝8n ＋8－2a ；由n ＝3，得a 1＋a 2＋a 3＋a 1＋a 2＝36⇒a 3＝4＋2a ，从而a 2n ＋1＝4＋2a ＋8(n －1)＝8n －4＋2a ，由条件得⎩⎪⎨⎪⎧a <16－2a ，8n ＋8－2a <8n －4＋2a ，8n －4＋2an ＋＋8－2a ，解得3<a <5.11．已知数列{a n }中，a 1＝1，且点P (a n ，a n ＋1)(n ∈N *)在直线x －y ＋1＝0上． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若函数f (n )＝1n ＋a 1＋2n ＋a 2＋3n ＋a 3＋…＋n n ＋a n(n ∈N *，且n >2)，求函数f (n )的最小值； (3)设b n ＝1a n，S n 表示数列{b n }的前n 项和，试问：是否存在关于n 的整式g (n )，使得S 1＋S 2＋S 3＋…＋S n －1＝(S n －1)·g (n )对于一切不小于2的自然数n 恒成立？若存在，写出g (n )的解析式，并加以证明；若不存在，请说明理由．解 (1)点P (a n ，a n ＋1)在直线x －y ＋1＝0上，即a n ＋1－a n ＝1，且a 1＝1，∴数列{a n }是以1为首项，1为公差的等差数列， ∴a n ＝1＋(n －1)·1＝n (n ∈N *)．(3)∵b n ＝1n ⇒S n ＝1＋12＋13＋…＋1n ，∴S n －S n －1＝1n(n ≥2)，即nS n －(n －1)S n －1＝S n －1＋1，∴(n －1)S n －1－(n －2)S n －2＝S n －2＋1，…，2S 2－S 1＝S 1＋1， ∴nS n －S 1＝S 1＋S 2＋…＋S n －1＋n －1， ∴S 1＋S 2＋…＋S n －1＝nS n －n ＝(S n －1)·n (n ≥2)， ∴g (n )＝n .12．已知数列{a n }的首项为1，S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＋1＝qS n ＋1，其中q >0，n ∈N *. (1)若2a 2，a 3，a 2＋2成等差数列，求数列{a n }的通项公式；(2)设双曲线x 2－y 2a 2n ＝1的离心率为e n ，且e 2＝53，证明：e 1＋e 2＋…＋e n >4n －3n3n －1.(1)解由已知S n ＋1＝qS n ＋1，得S n ＋2＝qS n ＋1＋1，两式相减得到a n ＋2＝qa n ＋1，n ≥1.又由S 2＝qS 1＋1得到a 2＝qa 1，故a n ＋1＝qa n 对所有n ≥1都成立．所以，数列{a n }是首项为1，公比为q 的等比数列．从而a n ＝qn －1.由2a 2，a 3，a 2＋2成等差数列，可得2a 3＝3a 2＋2，即2q 2＝3q ＋2，则(2q ＋1)(q －2)＝0，由已知，q >0，故q ＝2.所以a n ＝2n －1(n ∈N *)．(2)证明由(1)可知，a n ＝qn －1.所以双曲线x 2－y 2a 2n ＝1的离心率e n ＝1＋a 2n ＝1＋qn －.由e 2＝1＋q 2＝53，解得q ＝43.因为1＋q2(k －1)>q2(k －1)，所以1＋qk －>qk －1(k ∈N *)．于是e 1＋e 2＋…＋e n >1＋q ＋…＋q n －1＝q n －1q －1.故e 1＋e 2＋…＋e n >4n－3n3n －1.13.已知数列{a n }的前n 项和S n 满足关系式S n ＝ka n ＋1，k 为不等于0的常数． (1)试判断数列{a n }是否为等比数列； (2)若a 2＝12，a 3＝1.①求数列{a n }的通项公式及前n 项和S n 的表达式；②设b n ＝log 2S n ，数列{c n }满足c n ＝1b n ＋3b n ＋4＋b n ＋2·2nb ，数列{c n }的前n 项和为T n ，当n >1时，求使4n －1T n <S n＋3＋n ＋122成立的最小正整数n 的值．解 (1)若数列{a n }是等比数列，则由n ＝1得a 1＝S 1＝ka 2，从而a 2＝ka 3. 又取n ＝2，得a 1＋a 2＝S 2＝ka 3，于是a 1＝0，显然矛盾，故数列{a n }不是等比数列． (2)①由条件得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝12k ，a 1＋12＝k ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝12，k ＝1，从而S n ＝a n ＋1.当n ≥2时，由S n －1＝a n ，得a n ＝S n －S n －1＝a n ＋1－a n ，即a n ＋1＝2a n ，此时数列是首项为a 2＝12，公比为2的等比数列．综上所述，数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧12，n ＝1，2n －3，n ≥2.从而其前n 项和S n ＝2n －2(n ∈N *)．②由①得b n ＝n －2，从而c n ＝1n ＋n ＋＋n ·2n －2.记C 1＝12×3＋13×4＋…＋1n ＋n ＋＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n ＋2 ＝n n ＋，记C 2＝1·2－1＋2·20＋…＋n ·2n －2，则2C 2＝1·20＋2·21＋…＋n ·2n －1，两式相减得C 2＝(n －1)·2n －1＋12，从而T n ＝n n ＋＋(n －1)·2n －1＋12＝n ＋1n ＋2＋(n －1)·2n －1，则不等式4n －1T n <S n ＋3＋n ＋122可化为n ＋n －n ＋＋2n ＋1<2n ＋1＋n ＋122，即n 2＋n －90>0，因为n ∈N *且n ≠1，故n >9，从而最小正整数n 的值是10.14．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n －n ＝2(a n －2)(n ∈N *)． (1)证明：数列{a n －1}为等比数列；(2)若b n ＝a n ·log 2(a n －1)，数列{b n }的前n 项和为T n ，求T n . (1)证明 ∵S n －n ＝2(a n －2)，当n ≥2时，S n －1－(n －1)＝2(a n －1－2)，两式相减，得a n －1＝2a n －2a n －1， ∴a n ＝2a n －1－1，∴a n －1＝2(a n －1－1)， ∴a n －1a n －1－1＝2(n ≥2)(常数)．又当n ＝1时，a 1－1＝2(a 1－2)，得a 1＝3，a 1－1＝2，∴数列{a n －1}是以2为首项，2为公比的等比数列． (2)解由(1)知，a n －1＝2×2n －1＝2n，∴a n ＝2n＋1，又b n ＝a n ·log 2(a n －1)， ∴b n ＝n (2n＋1)， ∴T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n＝(1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n)＋(1＋2＋3＋…＋n )，设A n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋(n －1)×2n －1＋n ×2n，则2A n ＝1×22＋2×23＋…＋(n －1)×2n ＋n ×2n ＋1，两式相减，得－A n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ×2n ＋1＝－2n 1－2－n ×2n ＋1，∴A n ＝(n －1)×2n ＋1＋2.又1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋2，∴T n ＝(n －1)×2n ＋1＋2＋n n ＋2(n ∈N *)．15．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝2(S n ＋n ＋1)(n ∈N *)，令b n ＝a n ＋1.(1)求证：{b n }是等比数列；(2)记数列{nb n }的前n 项和为T n ，求T n ； (3)求证：12－12×3n <1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a n <1116. (1)证明 a 1＝2，a 2＝2(2＋2)＝8，a n ＋1＝2(S n ＋n ＋1)(n ∈N *)， a n ＝2(S n －1＋n )(n ≥2)，两式相减，得a n ＋1＝3a n ＋2(n ≥2)．经检验，当n ＝1时上式也成立，即a n ＋1＝3a n ＋2(n ≥1)．所以a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，即b n ＋1＝3b n ，且b 1＝3.故{b n }是首项为3，公比为3的等比数列． (2)解由(1)得b n ＝3n，nb n ＝n ·3n.T n ＝1×3＋2×32＋3×33＋…＋n ×3n ，3T n ＝1×32＋2×33＋3×34＋…＋n ×3n ＋1，两式相减，得－2T n ＝3＋32＋33＋…＋3n －n ×3n ＋1＝－3n 1－3－n ×3n ＋1，化简得T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －34×3n ＋34.(3)证明由1a k ＝13k －1>13k ，得1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a n >13＋13＋…＋13 ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n 1－13＝12－12×13n .又1a k ＝13k －1＝3k ＋1－13k－k ＋1－<3k ＋13k－k ＋1－＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫13k －1－13k ＋1－1，所以1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a n <12＋32⎣⎢⎡⎝ ⎛⎭⎪⎫132－1－133－1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫133－1－134－1＋…＋⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1－13－1 ＝12＋32⎝ ⎛⎭⎪⎫132－1－13n ＋1－1 ＝12＋316－32×13n ＋1－1<1116，故12－12×3n <1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a n <1116.。

2019届理科数学高考中的数列问题(2021年整理)

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2019届理科数学高考中的数列问题一、选择题(每小题5分，共20分）1.已知等差数列{a n}的公差不为0,前n项和S n满足=9S2,S4=4S2,则a2=(）A。

B。

C。

D。

2。

［数学文化题]《九章算术》中有一题:今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗.羊主曰:“我羊食半马。

”马主曰:“我马食半牛.”今欲衰偿之，问各出几何？其意：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗,禾苗主人要求赔偿五斗粟。

羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说:“我马所吃的禾苗只有牛的一半。

”打算按此比例偿还,问牛、马、羊的主人各应赔偿多少粟？在这个问题中,牛主人比羊主人多赔偿(）A。

斗粟 B。

斗粟 C。

斗粟 D。

斗粟3.已知S n是等比数列｛a n｝的前n项和，S4=5S2,则的值为(）A。

—2或-1 B。

1或2C.±2或—1 D。

±1或±24.已知数列｛a n｝是公比为2的等比数列，满足a6=a2·a10,设等差数列{b n}的前n项和为S n，若b 9=2a7，则S17=（)A。

34 B.39 C。

51 D.68二、填空题(每小题5分,共10分）5.已知数列｛a n}满足2a n·a n+1+a n+1—a n=0，且a1=1，则数列｛a n}的通项公式为. 6。

2019年高考数学真题专题12 数列

9．【2019 年高考江苏卷】已知数列{an}(n N*) 是等差数列， Sn 是其前 n 项和.若 a2a5 a8 0, S9 27 ，
则 S8 的值是__________．
【答案】16
【解析】由题意可得：
a2a5 S9
a8 a1 d
9a1
98 2
d
a1
27
4d
a1
7d
0
，
解得：
2
1 ( 1)
5． 8
2
【名师点睛】准确计算，是解答此类问题的基本要求．本题由于涉及幂的乘方运算、繁分式的
计算，部分考生易出现运算错误．
一题多解：本题在求得数列的公比后，可利用已知计算
S4
S3
a4
S3
a1q3
3 4
(
1 )3 2
5 8
，
避免繁分式计算．
8．【2019 年高考全国 III 卷文数】记 Sn 为等差数列an的前 n 项和，若 a3 5, a7 13 ，则
若公比 q 1 ，则 a1 a2 a3 a4 a1 1 q 1 q2 0, 但 ln a1 a2 a3 ln a1 1 q q2 lna1 0 ，即 a1 a2 a3 a4 0 ln a1 a2 a3 ，不合题意；
因此 1 q 0, q2 0,1 ，a1 a1q2 a3, a2 a2q2 a4 0 ，故选 B.
，
a10
a92
1 2
10
，
故 A 项正确.
（ⅱ）当 b
1 4
时，令
a1=a=0 ，则
a2
1 4
, a3
1 4
2
1 4
1 2
，
所以
a4

2019年高考数学理真题分项解析：专题06 数列

专题六数列1.【2019高考新课标Ⅰ，理9】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则 A. 25n a n =- B. 310n a n =- C. 228n S n n =-D. 2122n S n n =- 【答案】A 【解析】【分析】等差数列通项公式与前n 项和公式．本题还可用排除，对B ，55a =，44(72)1002S -+==-≠，排除B ，对C，245540,25850105S a S S ==-=⨯-⨯-=≠，排除C．对D，24554150,5250522S a S S ==-=⨯-⨯-=≠，排除D ，故选A ．【详解】由题知，41514430245d S a a a d ⎧=+⨯⨯=⎪⎨⎪=+=⎩，解得132a d =-⎧⎨=⎩，∴25n a n =-，故选A ．【点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前n 项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养．利用等差数列通项公式与前n 项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，在适当计算即可做了判断．2.【2019高考新课标Ⅲ，理5】已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3a =（）A. 16B. 8C. 4D. 2【答案】C 【解析】【分析】利用方程思想列出关于1,a q 的方程组，求出1,a q ，再利用通项公式即可求得3a 的值．【详解】设正数的等比数列{a n }的公比为q ，则2311114211115,34a a q a q a q a q a q a ⎧+++=⎨=+⎩，解得11,2a q =⎧⎨=⎩，2314a a q ∴==，故选C ．【点睛】本题利用方程思想求解数列基本量，熟练应用公式是解题的关键。

3.【2019高考浙江卷，10】设,a b ∈R ，数列{}n a 中，211,n n a a a a b +==+，N n *∈ ,则（）A. 当101,102b a => B. 当101,104b a => C. 当102,10b a =-> D. 当104,10b a =->【答案】A 【解析】【分析】对于B ，令214x λ-+=0，得λ12=，取112a =，得到当b 14=时，a 10＜10；对于C ，令x 2﹣λ﹣2＝0，得λ＝2或λ＝﹣1，取a 1＝2，得到当b ＝﹣2时，a 10＜10；对于D ，令x 2﹣λ﹣4＝0，得1172λ±=，取11172a +=，得到当b ＝﹣4时，a 10＜10；对于A ，221122a a =+≥，223113()224a a =++≥，4224319117()14216216a a a =+++≥+=＞，当n ≥4时，1n n a a +=a n 12na+＞11322+=，由此推导出104a a ＞（32）6，从而a 1072964＞＞10．【详解】对于B ，令214x λ-+=0，得λ12=，取112a =，∴2111022n a a ==L ，，＜， ∴当b 14=时，a 10＜10，故B 错误；对于C ，令x 2﹣λ﹣2＝0，得λ＝2或λ＝﹣1，取a 1＝2，∴a 2＝2，…，a n ＝2＜10， ∴当b ＝﹣2时，a 10＜10，故C 错误；对于D ，令x 2﹣λ﹣4＝0，得1172λ±=，取11172a +=，∴21172a +=，…，1172n a ＜+=10， ∴当b ＝﹣4时，a 10＜10，故D 错误；对于A ，221122a a =+≥，223113()224a a =++≥， 4224319117()14216216a a a =+++≥+=＞，a n +1﹣a n ＞0，{a n }递增，当n ≥4时，1n na a +=a n 12na +＞11322+=， ∴5445109323232a a a a aa ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⋅⎨⎪⋅⎪⋅⎪⎪⎪⎪⎩＞＞＞，∴104a a ＞（32）6，∴a 1072964＞＞10．故A 正确．故选A ．【点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.利用函数方程思想，通过研究函数的不动点，进一步讨论a 的可能取值，利用“排除法”求解.4. 【2019高考新课标Ⅰ，理14】记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若214613a a a ==，，则S 5=____________．【答案】1213. 【解析】【分析】本题根据已知条件，列出关于等比数列公比q方程，应用等比数列的求和公式，计算得到5S ．题目的难度不大，注重了基础知识、基本计算能力的考查．【详解】设等比数列的公比为q ，由已知21461,3a a a ==，所以32511(),33q q =又0q ≠，所以3,q =所以55151(13)(1)12131133a q S q --===--．【点睛】准确计算，是解答此类问题的基本要求．本题由于涉及幂的乘方运算、繁分式分式计算，部分考生易出现运算错误．5.【2019高考新课标Ⅲ，理14】记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，12103a a a =≠，，则105S S =___________. 【答案】4. 【解析】【分析】根据已知求出1a 和d 的关系，再结合等差数列前n 项和公式求得结果. 【详解】因213a a =，所以113a d a +=，即12a d =，所以105S S =11111091010024542552a d a a a d ⨯+==⨯+．【点睛】本题主要考查等差数列的性质、基本量的计算．渗透了数学运算素养．使用转化思想得出答案．6.【2019高考北京卷，理10】设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2=−3，S 5=−10，则a 5=__________，S n 的最小值为__________．【答案】 (1). 0. (2). -10. 【解析】【分析】首先确定公差,然后由通项公式可得5a 的值，进一步研究数列中正项､负项的变化规律,得到和的最小值. 【详解】等差数列{}n a 中,53510S a ==-,得322,3a a =-=-,公差321d a a =-=,5320a a d =+=, 由等差数列{}n a 的性质得5n ≤时,0n a ≤,6n ≥时,n a 大于0,所以n S 的最小值为4S 或5S ,即为10-. 【点睛】本题考查等差数列的通项公式､求和公式､等差数列的性质,难度不大,注重重要知识､基础知识､基本运算能力的考查.7.【2019高考江苏卷，8】已知数列*{}()n a n ∈N 是等差数列，n S 是其前n 项和.若25890,27a a a S +==，则8S 的值是_____.【答案】16. 【解析】【分析】由题意首先求得首项和公差，然后求解前8项和即可.【详解】由题意可得：()()()25811191470989272a a a a d a d a d S a d ⎧+=++++=⎪⎨⨯=+=⎪⎩，解得：152a d =-⎧⎨=⎩，则8187840282162S a d ⨯=+=-+⨯=. 【点睛】等差数列、等比数列的基本计算问题，是高考必考内容，解题过程中要注意应用函数方程思想，灵活应用通项公式、求和公式等，构建方程（组），如本题，从已知出发，构建1,a d 的方程组.8.【2019高考新课标Ⅱ，理19】已知数列{a n }和{b n }满足a 1=1，b 1=0，1434n n n a a b +-=+ ，1434n n n b b a +-=-.（1）证明：{a n +b n }是等比数列，{a n –b n }是等差数列；（2）求{a n }和{b n }的通项公式.【答案】（1）见解析；（2）1122n n a n =+-，1122n n b n =-+。

2019届高考理科数学专题--高考中的数列问题

理科数学微专题3：高考中的数列问题
示例2
[2017全国卷Ⅲ,14,5分][理]设等比数列{an}满足a1+a2=-1,a1-a3=-3,
则a4=
.
命题意图
本题主要考查等比数列的通项公式与性质,意在考查考生的数学
运算能力.
解析
设等比数列{an}的公比为q,则a1+a2=a1(1+q)=-1,a1-a3=a1(1-q2)=-3,两
2
两式相减得(2n-1)an=2,所以an=
(n≥2).
2−1
2
又由题设可得a1=2,从而{an}的通项公式为an=
.
2−1

(2)记{
}的前n项和为Sn.
2+1

2
1
1
由(1)知
=
=
,
2+1 (2+1)(2−1) 2−1 2+1
1 1 1 1
1
1
2
则Sn= - + - +…+
【理科数学】微专题3：高考中的数列问题
微专题3
高考中的数列问题
目录
CONTENTS
A考法帮∙考向全扫描
考向1 等差、等比数列的基本运算
考向2 数列的通项与求和
理科数学微专题3：高考中的数列问题
A考法帮∙考向全扫描
考向1 等差、等比数列的基本运算
考向2 数列的通项与求和
考情揭秘
全国卷中的数列与三角基本上是交涉及一些新情境或与数学文化相交汇命题,主要命题点有:等差、
等比数列的基本运算,数列的通项与求和等.涉及的数学思想主要有:函数与
方程思想、分类讨论思想以及转化与化归思想等.

高考数学(理)真题专题汇编：数列

高考数学（理）真题专题汇编：数列一、选择题1.【来源】2019年高考真题——数学（浙江卷）设,a b R ∈，数列{a n }中，21,n n n a a a a b +==+，b N *∈ ,则（）A. 当101,102b a => B. 当101,104b a => C. 当102,10b a =->D. 当104,10b a =->2.【来源】2019年高考真题——数学（浙江卷）已知,a b R ∈，函数32,0()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩，若函数()y f x ax b =--恰有三个零点，则（） A. 1,0a b <-< B. 1,0a b <-> C. 1,0a b >->D. 1,0a b >-<3.【来源】2019年高考真题——数学（浙江卷）设三棱锥V -ABC 的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点），记直线PB 与直线AC 所成角为α，直线PB 与平面ABC 所成角为β，二面角P -AC -B 的平面角为γ，则（）A. ,βγαγ<<B. ,βαβγ<<C. ,βαγα<<D. ,αβγβ<<4.【来源】2019年高考真题——数学（浙江卷）在同一直角坐标系中，函数11,log (02a x y y x a a ⎛⎫==+> ⎪⎝⎭且0)a ≠的图象可能是（） A. B.C. D.5.【来源】2019年高考真题——数学（浙江卷）若0,0ab >>，则“4a b +≤”是 “4ab ≤”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6.【来源】2019年高考真题——数学（浙江卷）祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V Sh =柱体，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高，若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积(cm 3)是（）A. 158B. 162C. 182D. 3247.【来源】2019年高考真题——数学（浙江卷）若实数x ，y 满足约束条件3403400x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+≥⎩，则32z x y =+的最大值是（）A. －1B. 1C. 10D. 128.【来源】2019年高考真题——数学（浙江卷）渐近线方程为0x y ±=的双曲线的离心率是（）B. 1D. 29.【来源】2019年高考真题——数学（浙江卷）已知全集U ={－1,0,1,2,3}，集合A ={0,1,2}，B ={－1,0,1}，则(C U A )∩B =（） A. {－1} B. {0,1} C. {－1,2,3}D. {－1,0,1,3}二、填空题10.【来源】2019年高考真题——数学（浙江卷）已知正方形ABCD 的边长为1，当每个(1,2,3,4,5,6)i i λ=取遍±1时，123456||AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++的最小值是________；最大值是_______.11.【来源】2019年高考真题——数学（浙江卷）已知a R ∈，函数3()f x ax x =-，若存在t R ∈，使得2|(2)()|3f t f t +-≤，则实数a 的最大值是____.12.【来源】2019年高考真题——数学（浙江卷）已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方，若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是_______. 13.【来源】2019年高考真题——数学（浙江卷）在△ABC 中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若45BDC ∠=︒，则BD =____；cos ABD ∠=________.14.【来源】2019年高考真题——数学（浙江卷）在二项式9)x 的展开式中，常数项是________；系数为有理数的项的个数是_______. 15.【来源】2019年高考真题——数学（浙江卷）已知圆C 的圆心坐标是(0,m )，半径长是r .若直线230x y -+=与圆C 相切于点(2,1)A --，则m =_____，r =______.16.【来源】2019年高考真题——数学（浙江卷）复数11z i=+（i 为虚数单位），则||z =________. 17.【来源】2019年高考真题——理科数学（北京卷）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当x =10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为__________．18.【来源】2019年高考真题——理科数学（北京卷）设函数f （x ）=e x +a e −x （a 为常数）．若f （x ）为奇函数，则a =________；若f （x ）是R 上的增函数，则a 的取值范围是___________．三、解答题19.【来源】2019年高考真题——数学（浙江卷）已知实数0a ≠，设函数()=ln 0.f x a x x +>（Ⅰ）当34a =-时，求函数f (x )的单调区间；（Ⅱ）对任意21[,)e x ∈+∞均有()f x ≤ 求a 的取值范围. 注：e=2.71828…为自然对数的底数.20.【来源】2019年高考真题——数学（浙江卷）如图，已知点F (1,0)为抛物线22(0)y px p =>，点F 为焦点，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点C 在抛物线上，使得△ABC 的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q ，且Q在点F 右侧.记,AFG CQG △△的面积为12,S S .（I）求p的值及抛物线的标准方程；（Ⅱ）求12SS的最小值及此时点G的坐标.21.【来源】2019年高考真题——数学（浙江卷）设等差数列{a n}的前n项和为S n，34a=，43a S=，数列{b n}满足：对每个12,,,n n n n n nn S b S b S b*++∈+++N成等比数列.（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）记,,2nnnac nb*=∈N证明：12+2,.nc c c n n*++<∈N22.【来源】2019年高考真题——数学（浙江卷）如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1，平面A1AC1C⊥平面ABC,90ABC∠=︒，1130,,,BAC A A AC AC E F∠=︒==分别是AC，A1B1的中点.（I）证明：EF⊥BC；（Ⅱ）求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值.23.【来源】2019年高考真题——数学（浙江卷）设函数()sin ,f x x x =∈R .（I ）已知[0,2),θ∈π函数()f x θ+是偶函数，求θ的值；（Ⅱ）求函数22[()][()]124y f x f x ππ=+++ 的值域. 24.【来源】2019年高考真题——数学（浙江卷）设01a <<，则随机变量X 的分布列是：则当a 在(0,1)内增大时（） A. D (X )增大 B. D (X )减小 C. D (X )先增大后减小D. D (X )先减小后增大25.【来源】2019年高考真题——理科数学（北京卷）已知数列{a n }，从中选取第i 1项、第i 2项、…、第i m 项(i 1<i 2<…<i m )，若12m i i i a a a <<⋅⋅⋅<，则称新数列12m i i i a a a ⋅⋅⋅，，，为{a n }的长度为m 的递增子列．规定：数列{a n }的任意一项都是{a n }的长度为1的递增子列．（Ⅰ）写出数列1，8，3，7，5，6，9的一个长度为4的递增子列；（Ⅱ）已知数列{a n }的长度为p 的递增子列的末项的最小值为0m a ，长度为q 的递增子列的末项的最小值为0n a .若p <q ，求证：0m a <0n a ；（Ⅲ）设无穷数列{a n }的各项均为正整数，且任意两项均不相等.若{a n }的长度为s 的递增子列末项的最小值为2s –1，且长度为s 末项为2s –1的递增子列恰有2s -1个（s =1，2，…），求数列{a n }的通项公式．26.【来源】2019年高考真题——理科数学（北京卷）已知函数321()4f x x x x =-+. （Ⅰ）求曲线()y f x =的斜率为1的切线方程；（Ⅱ）当[2,4]x ∈-时，求证：6()x f x x -≤≤；（Ⅲ）设()|()()|()F x f x x a a =-+∈R ，记F (x )在区间[－2,4]上的最大值为M （a ），当M （a ）最小时，求a 的值．27.【来源】2019年高考真题——理科数学（北京卷）已知抛物线C ：x 2=−2py 经过点（2，−1）．（Ⅰ）求抛物线C 的方程及其准线方程；（Ⅱ）设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y =−1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B .求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点．28.【来源】2019年高考真题——理科数学（北京卷）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A ，B 两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A ，B 两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A 和仅使用B 的学生的支付金额分布情况如下：（Ⅰ）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A ，B 两种支付方式都使用的概率；（Ⅱ）从样本仅使用A 和仅使用B 的学生中各随机抽取1人，以X 表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用A 的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用A 的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由． 29.【来源】2019年高考真题——理科数学（北京卷）如图，在四棱锥P –ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AD ⊥CD ，AD ∥BC ，PA =AD =CD =2，BC =3．E 为PD 的中点，点F 在PC 上，且13PF PC =．（Ⅰ）求证：CD⊥平面PAD；（Ⅱ）求二面角F–AE–P的余弦值；（Ⅲ）设点G在PB上，且23PGPB=．判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由．30.【来源】2019年高考真题——理科数学（北京卷）在△ABC中，a=3，b−c=2，cos B=12 -．（Ⅰ）求b，c的值；（Ⅱ）求sin（B–C）的值．试卷答案1. A 【分析】本题综合性较强，注重重要知识、基础知识、运算求解能力、分类讨论思想的考查.本题从确定不动点出发，通过研究选项得解.【详解】选项B ：不动点满足2211042x x x ⎛⎫-+=-= ⎪⎝⎭时，如图，若1110,,22n a a a ⎛⎫=∈< ⎪⎝⎭，排除如图，若a 为不动点12则12n a = 选项C ：不动点满足22192024x x x ⎛⎫--=--= ⎪⎝⎭，不动点为ax 12-，令2a =，则210n a =<，排除选项D ：不动点满足221174024x x x ⎛⎫--=--= ⎪⎝⎭，不动点为1712x =±，令1712a =，则171102n a =±<，排除. 选项A ：证明：当12b =时，2222132431113117,,12224216a a a a a a =+≥=+≥=+≥≥，处理一：可依次迭代到10a ；处理二：当4n ≥时，221112n n n a a a +=+≥≥，则117117171161616log 2log log 2n n n n a a a -++>⇒>则12117(4)16n na n -+⎛⎫≥≥ ⎪⎝⎭，则626410217164646311114710161616216a ⨯⎛⎫⎛⎫≥=+=++⨯+⋯⋯>++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选A【点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.利用函数方程思想，通过研究函数的不动点，进一步讨论a 的可能取值，利用“排除法”求解. 2. D 【分析】本题综合性较强，注重重要知识、基础知识、运算求解能力、分类讨论思想及数形结合思想的考查.研究函数方程的方法较为灵活，通常需要结合函数的图象加以分析. 【详解】原题可转化为()y f x =与y ax b =+，有三个交点.当BC AP λ=时，2()(1)()(1)f x x a x a x a x '=-++=--，且(0)0,(0)f f a ='=，则（1）当1a ≤-时，如图()y f x =与y ax b =+不可能有三个交点（实际上有一个），排除A ，B（2）当1a >-时，分三种情况，如图()y f x =与y ax b =+若有三个交点，则0b <，答案选D下面证明：1a >-时，BC AP λ=时3211()()(1)32F x f x ax b x a x b =--=-+-，2()(1)((1))F x x a x x x a '=-+=-+，则(0)0 ,(+1)<0F >F a ，才能保证至少有两个零点，即310(1)6b a >>-+，若另一零点在0<【点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.由于方程中涉及,a b 两个参数，故按“一元化”想法，逐步分类讨论，这一过程中有可能分类不全面、不彻底.. 3. B 【分析】本题以三棱锥为载体，综合考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的概念，以及各种角的计算.解答的基本方法是通过明确各种角，应用三角函数知识求解，而后比较大小.而充分利用图形特征，则可事倍功半.【详解】方法1：如图G 为AC 中点，V 在底面ABC 的投影为O ，则P 在底面投影D 在线段AO 上，过D 作DE 垂直AE ，易得//PE VG ，过P 作//PF AC 交VG 于F ，过D 作//DH AC ，交BG 于H ，则,,BPF PBD PED α=∠β=∠γ=∠，则cos cos PF EG DH BD PB PB PB PB α===<=β，即αβ>，tan tan PD PDED BDγ=>=β，即γ>β，综上所述，答案为B.方法2：由最小角定理βα<，记V AB C --的平面角为γ'（显然γ'=γ）由最大角定理β<γ'=γ，故选B.法2：（特殊位置）取V ABC -为正四面体，P 为VA 中点，易得333222cos sin sin α=⇒α=β=γ=B. 【点睛】常规解法下易出现的错误有，不能正确作图得出各种角.未能想到利用“特殊位置法”，寻求简便解法. 4. D【分析】本题通过讨论a 的不同取值情况，分别讨论本题指数函数、对数函数的图象和，结合选项，判断得出正确结论.题目不难，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.【详解】当01a <<时，函数xy a =过定点(0,1)且单调递减，则函数1xy a =过定点(0,1)且单调递增，函数1log 2a y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭过定点1(,0)2且单调递减，D 选项符合；当1a >时，函数x y a =过定点(0,1)且单调递增，则函数1x y a=过定点(0,1)且单调递减，函数1log 2a y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭过定点1(,02）且单调递增，各选项均不符合.综上，选D.【点睛】易出现的错误有，一是指数函数、对数函数的图象和性质掌握不熟，导致判断失误；二是不能通过讨论a 的不同取值范围，认识函数的单调性. 5.A 【分析】本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取,a b的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.【详解】当0, 0a >b >时，a b +≥，则当4a b +≤时，有4a b ≤+≤，解得4ab ≤，充分性成立；当=1, =4a b 时，满足4ab ≤，但此时=5>4a+b ，必要性不成立，综上所述，“4a b +≤”是“4ab ≤”的充分不必要条件.【点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取,a b 的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果. 6. B【分析】本题首先根据三视图，还原得到几何体—棱柱，根据题目给定的数据，计算几何体的体积.常规题目.难度不大，注重了基础知识、视图用图能力、基本计算能力的考查.【详解】由三视图得该棱柱的高为6，底面可以看作是由两个直角梯形组合而成的，其中一个上底为4，下底为6，高为3，另一个的上底为2，下底为6，高为3，则该棱柱的体积为264633616222++⎛⎫⨯+⨯⨯=⎪⎝⎭. 【点睛】易错点有二，一是不能正确还原几何体；二是计算体积有误.为避免出错，应注重多观察、细心算.7. C 【分析】本题是简单线性规划问题的基本题型，根据“画、移、解”等步骤可得解.题目难度不大题，注重了基础知识、基本技能的考查.【详解】在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域为以(-1,1),(1,-1),(2,2)为顶点的三角形区域（包含边界），由图易得当目标函数=3+2z x y 经过平面区域的点(2,2)时，=3+2z x y 取最大值max 322210z =⨯+⨯=.【点睛】解答此类问题，要求作图要准确，观察要仔细.往往由于由于作图欠准确而影响答案的准确程度，也有可能在解方程组的过程中出错. 8. C 【分析】本题根据双曲线的渐近线方程可求得1a b ==，进一步可得离心率.容易题，注重了双曲线基础知识、基本计算能力的考查.【详解】因为双曲线的渐近线为0x y ±=，所以==1a b ，则c ==的离心率ce a==【点睛】理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求.部分考生易出现理解性错误. 9. A 【分析】本题借根据交集、补集的定义可得.容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查. 【详解】={1,3}U C A -，则(){1}U C A B =-【点睛】易于理解集补集的概念、交集概念有误. 10.0 【分析】本题主要考查平面向量的应用，题目难度较大.从引入“基向量”入手，简化模的表现形式，利用转化与化归思想将问题逐步简化. 【详解】()()12345613562456AB BC CD DA AC BD AB ADλ+λ+λ+λ+λ+λ=λ-λ+λ-λ+λ-λ+λ+λ要使123456AB BC CD DA AC BD λ+λ+λ+λ+λ+λ的最小，只需要135562460λ-λ+λ-λ=λ-λ+λ+λ=，此时只需要取1234561,1,1,1,1,1λ=λ=-λ=λ=λ=λ=此时123456min0AB BC CD DA AC BDλ+λ+λ+λ+λ+λ=等号成立当且仅当1356,,λ-λλ-λ均非负或者均非正，并且2456,,λ-λλ+λ均非负或者均非正。

2019高考数学常见难题大盘点：数列

2019高考数学常见难题大盘点：数列1. 函数2()1f x x x =+-，,αβ是方程f (x )＝0的两个根()αβ>，'()f x 是f (x )的导数；设11a =，1()'()n n n n f a a a f a +=-(n ＝1，2，……) (1)求,αβ的值；(2)证明：对任意的正整数n ，都有na ＞a ；解析：(1)∵2()1f x x x =+-，,αβ是方程f (x )＝0的两个根()αβ>，∴αβ==； (2)'()21f x x =+，21115(21)(21)12442121n n n nn n n n n n a a a a a a a a a a ++++-+-=-=-++＝5114(21)4212n n a a ++-+，∵11a =，∴有基本不等式可知20a ≥>(当且仅当1a =时取等号)，∴20a >>同，样3a >，……，n a α>= (n ＝1，2，……)， 2. 数列{}n a 的首项121a a =+〔a 是常数，且1a ≠-〕，24221+-+=-n n a a n n 〔2n ≥〕，数列{}nb的首项1b a =，2n a b n n +=〔2n ≥〕。

〔1〕证明：{}nb 从第2项起是以2为公比的等比数列；〔2〕设n S 为数列{}n b 的前n 项和，且{}nS 是等比数列，求实数a 的值；〔3〕当a>0时，求数列{}na 的最小项。

分析：第〔1〕问用定义证明，进一步第〔2〕问也可以求出，第〔3〕问由a 的不同而要分类讨论。

解：〔1〕∵2na b n n +=∴22211)1(2)1(4)1(2)1(++++-++=++=++n n n a n a b n n nn n b n a 2222=+=(n ≥2)由121a a =+得24a a =，22444b a a =+=+，∵1a ≠-，∴ 20b ≠，即{}nb 从第2项起是以2为公比的等比数列。

专题06 数列-2019高考数学(理)热点题型 Word版含解析.doc

数列热点一数列的通项与求和数列的通项与求和是高考必考的热点题型，求通项属于基本问题，常涉及与等差、等比的定义、性质、基本量运算.求和问题关键在于分析通项的结构特征，选择合适的求和方法.常考求和方法有：错位相减法、裂项相消法、分组求和法等.【例1】 (满分12分)设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n . (1)求{a n }的通项公式； (2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n ＋1的前n 项和. 教材探源本题第(1)问源于教材必修5P44例3，主要考查由S n 求a n ，本题第(2)问源于教材必修5P47B 组T4，主要考查裂项相消法求和.(2)记⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n ＋1的前n 项和为S n ，由(1)知a n 2n ＋1＝2（2n －1）（2n ＋1）＝12n －1－12n ＋1，8分 (得分点5)则S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1 10分 (得分点6)＝1－12n ＋1＝2n 2n ＋1.12分 (得分点7)得分要点❶得步骤分：抓住得分点的解题步骤，“步步为赢”，在第(1)问中，由a n 满足的关系式，通过消项求得a n ，验证n ＝1时成立，写出结果.在第(2)问中观察数列的结构特征进行裂项→利用裂项相消法求得数列的前n 项和S n .❷得关键分：(1)a n －1满足的关系式，(2)验证n ＝1，(3)对通项裂项都是不可少的过程，有则给分，无则没分.❸得计算分：解题过程中的计算准确是得满分的根本保证，如(得分点2)，(得分点5)，(得分点7).【类题通法】求数列通项与求和的模板第一步：由等差(等比)数列基本知识求通项，或者由递推公式求通项. 第二步：根据和的表达式或通项的特征，选择适当的方法求和. 第三步：明确规范地表述结论.【对点训练】设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知S 3＝a 7，a 8－2a 3＝3. (1)求a n ；(2)设b n ＝1S n，求数列{b n }的前n 项和为T n .(2)由(1)得S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝n (n ＋2)，∴b n ＝1n （n ＋2）＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2.∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n －1＋b n＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2＝34－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2.【例2】已知{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 1＋a 2＝6，a 1a 2＝a 3. (1)求数列{a n }的通项公式；(2){b n }为各项非零的等差数列，其前n 项和为S n ，已知S 2n ＋1＝b n b n ＋1，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n 的前n 项和T n .解 (1)设{a n }的公比为q ，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 1（1＋q ）＝6，a 21q ＝a 1q 2，又a n >0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，q ＝2，所以a n ＝2n.(2)由题意知：S 2n ＋1＝（2n ＋1）（b 1＋b 2n ＋1）2＝(2n ＋1)b n ＋1，又S 2n ＋1＝b n b n ＋1，b n ＋1≠0，所以b n ＝2n ＋1.令c n ＝b n a n ，则c n ＝2n ＋12n ，因此T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n＝32＋522＋723＋…＋2n －12n －1＋2n ＋12n ，又12T n ＝322＋523＋724＋…＋2n －12n ＋2n ＋12n ＋1，两式相减得12T n ＝32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋122＋…＋12n －1－2n ＋12n ＋1，所以T n ＝5－2n ＋52n .【类题通法】用错位相减法解决数列求和的模板第一步：(判断结构)若数列{a n ·b n }是由等差数列{a n }与等比数列{b n }(公比q )的对应项之积构成的，则可用此法求和. 第二步：(乘公比)设{a n ·b n }的前n 项和为T n ，然后两边同乘以q . 第三步：(错位相减)乘以公比q 后，向后错开一位，使含有q k(k ∈N *)的项对应，然后两边同时作差. 第四步：(求和)将作差后的结果求和，从而表示出T n .【对点训练】已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是公差为1的等差数列，且a 2＝3，a 3＝5.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n ·3n，求数列{b n }的前n 项和T n .(2)由(1)得b n ＝(2n －1)·3n，所以T n ＝1×3＋3×32＋…＋(2n －1)·3n，则3T n ＝1×32＋3×33＋…＋(2n －1)·3n ＋1.∴T n －3T n ＝3＋2×(32＋33＋ (3))－(2n －1)·3n ＋1，则－2T n ＝3＋2×32－3n×31－3－(2n －1)·3n ＋1＝3n ＋1－6＋(1－2n )·3n ＋1＝(2－2n )·3n ＋1－6，故T n ＝(n －1)·3n ＋1＋3.热点二等差数列、等比数列的综合问题解决等差、等比数列的综合问题时，重点在于读懂题意，灵活利用等差、等比数列的定义、通项公式及前n 项和公式解决问题，求解这类问题要重视方程思想的应用.【例3】已知首项为32的等比数列{a n }不是递减数列，其前n 项和为S n (n ∈N *)，且S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设T n ＝S n －1S n(n ∈N *)，求数列{T n }的最大项的值与最小项的值.故等比数列{a n }的通项公式为a n ＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1＝(－1)n －1·32n . (2)由(1)得S n＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋12n，n 为奇数，1－12n，n 为偶数，当n 为奇数时，S n 随n 的增大而减小，所以1<S n ≤S 1＝32，故0<S n －1S n ≤S 1－1S 1＝32－23＝56.当n 为偶数时，S n 随n 的增大而增大，所以34＝S 2≤S n <1，故0>S n －1S n ≥S 2－1S 2＝34－43＝－712.综上，对于n ∈N *，总有－712≤S n －1S n ≤56.所以数列{T n }最大项的值为56，最小项的值为－712.【类题通法】解决等差数列与等比数列的综合问题，既要善于综合运用等差数列与等比数列的相关知识求解，更要善于根据具体问题情境具体分析，寻找解题的突破口.【对点训练】已知单调递增的等比数列{a n }满足a 2＋a 3＋a 4＝28，且a 3＋2是a 2，a 4的等差中项. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n log 12a n ，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，对任意正整数n ，S n ＋(n ＋m )a n ＋1<0恒成立，试求m 的取值范围.又{a n }单调递增，∴⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝2.∴a n ＝2n. (2)b n ＝2n ·log 122n ＝－n ·2n，∴－S n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n，①∴－2S n＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n－1)×2n＋n×2n＋1，②①－②，得S n＝2＋22＋23＋…＋2n－n×2n＋1＝2（1－2n）1－2－n×2n＋1＝2n＋1－n×2n＋1－2.由S n＋(n＋m)a n＋1<0，得2n＋1－n×2n＋1－2＋n×2n＋1＋m×2n＋1<0对任意正整数n恒成立，∴m·2n＋1<2－2n＋1，即m<12n－1对任意正整数n恒成立.∵12n－1>－1，∴m≤－1，故m的取值范围是(－∞，－1].。

2019年高考专题：数列试题及答案

2019年高考专题：数列1.(2019年高考全国III 卷文数】己知各项均为正数的等比数列伉｝的前4项和为15,且％ =3%+4%,则为 = ( ) A. 16 B. 8 C・ 4 D. 2【解析】设正数的等比数列｛或的公比为q,则，2 3a \ +a l e / + a l (l +阳q/ = +4</)解得一：=4,故选c.0 = 22. [2019年高考全国I 卷文数】记&为等比数列0｝的前〃项和.若《=1，53=|,则玷・【解析】设等比数列的公比为0,由已知£ =%+"/ + “* =l + q + q ‘=：,即,广+q + ； = O.44解得g=-：,所以§=竺也=兰车2 — T583.【2019年高考全国III 卷文数】记乩为等差数列｛为｝的前〃项和，若明=5皿=13,则扁=«i =1 - e 10x9 , 5 . l°x9 - ec d 2，・・Sio = 10〃]+ —-—d = 10x1 + —-—x2 = 100.【解析】设等差数列｛外｝的公差为/根据题意可得=苗 + 2。

= 5 <«7 = % + 6J = 13 412019年高考江苏卷】已知数列吭｝(〃 e ND 是等差数列，&是其前刀项和.若，％ + % = 0, S, = 27 ,则g 的值是__________+纯=("i +〃)(《+44) + (% +7d) = O【解析】由题意可得:9x8d = 215M = 9q +2解得：:二;，则$8=阿+亍-"=-40+28x2=16.8x75.【四川省峨眉山市2019届高三高考适应性考试数学试题】在等差数列｛《.｝中，％,印是方程F+24x+12=0的两根，则数列｛%｝的前11项和等于（）A.66B.132C.-66D.一32【解析】因为""4；是方程/+24x+12=0的两根，所以％+%=-24,又％+%=-24=2%,所以%=-12,Sn=l^^=¥=T32,故选D.6.【广东省深圳市高级中学2019届高三适应性考试（6月）数学试题】在数列｛外｝中,=""+奇土？"隹则"顼9 的值为______.【解析】因为所以*一％=时=厂淼%23・..，5一％产顽一昴，各式相加'可得吼M=1一而'5一而=】一郝,所凶“2019=1，故答案为1.7.[2019北京市通州区三模数学试题】设｛《｝是等比数列,且“2%=的，％=27,则｛%｝的通项公式为【解析】设等比数列｛q｝的公比为。

专题06数列-2019高考数学热点题型

第二步： ( 乘公比 )
设 { an· bn} 的前 n 项和为 Tn，然后两边同乘以 q.
第三步： ( 错位相减 ) 乘以公比 q 后，向后错开一位，使含有 qk( k∈ N*) 的项对应，然后两边同时作差 .
第四步： ( 求和 )
将作差后的结果求和，从而表示出 Tn.
Sn 【对点训练】已知数列 { an} 的前 n 项和为 Sn，数列 n 是公差为 1 的等差数列，且 a2＝3， a3＝ 5. (1) 求数列 { an} 的通项公式； (2) 设 bn＝ an· 3n，求数列 { bn} 的前 n 项和 Tn.
3
－3 1－
×3 3 － (2
n－1)
·３n＋ 1＝
3n＋1－ 6＋ (1
－ 2n)
·３n＋1＝ (2
－
2n)
·３n＋1－ 6，
故 Tn＝ ( n－1) ·３n＋1＋ 3.
热点二等差数列、等比数列的综合问题
解决等差、等比数列的综合问题时，重点在于读懂题意，灵活利用等差、等比数列的定义、通项公式及前
a1（ 1＋q）＝ 6，由题意知 a21q＝ a1q2，又 an>0，
bn n 项和为 Sn ，已知 S2n＋1＝ bnbn＋1，求数列 an 的前 n 项和 Tn .
a1 ＝ 2 ，
n
解得
所以 an＝ 2 .
q＝ 2，
（ 2n＋1）（ b1＋ b ） 2n＋1
(2) 由题意知： S ＝ 2n＋1
1 (2) 设 bn＝Sn，求数列 { bn} 的前 n 项和为 Tn.
n（ n－ 1）
(2) 由 (1) 得 Sn＝ na1＋
d＝ n( n＋ 2) ，
2
1