角动量守恒例题上课讲义

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角动量守恒例题

长为L 的均匀直棒,质量为M ,上端用光滑水平轴吊起静止下垂。今有一质量为m 的子弹,以水平速度v 0 射入杆的悬点下距离为a 处而不复出。

(1)子弹刚停在杆中时杆的角速度多大?

(2)子弹冲入杆的过程中(经历时间为Δt ),杆上端受轴的水平和竖直分力各多大?

(3)要想使杆上端不受水平力,则子弹应在何处击中杆?

解:把子弹和杆看作一个系统。系统所受的力有重力和轴对杆的约束力。在子弹射入杆的极短时间内,重力和约束力均通过轴,因而它们对轴

的力矩均为零,系统的角动量守恒,于是有 ω)3

1(220ma Ml a mv += 2

2033ma ML a mv +=∴ω (2)解法1:对子弹与杆系统,根据动量定理,在水平方向有

0p p t F x -=∆

ωωmd l M

mv Mv p mv p c +=+==2,00 t

v m t ma l M F x ∆-∆+=∴0)2(ω 此即为轴在水平方对杆上端的作用力,与v 0的方向相反。

在竖直方向上有

222

)(ωωmd l M g m M F y +=+- )(2

22g d m Mg l M F y +++=∴ωω 如略去m ,则 Mg l M F y +=22

ω

(2)解法2:子弹冲入杆的过程中,子弹受杆的阻力的大小为: t

mv ma t mv mv f ∆-=∆-=00'ω 杆受子弹的水平冲力为 t ma mv f f ∆-=

-=ω0' 对杆用质心运动定律

t l

M Ma f F C x ∆==+2ω )2(l

t r a t t ∆==∆=∴∆=ωαω

ααω

t

v m t ma l M Ma f F C x ∆-∆+=+-=∴0)2(ω

此即为轴在水平方对杆上端的作用力,与v 0的方向相反。 在竖直方向上有

222

)(ωωmd l M g m M F y +=+- )(2

22g d m Mg l M F y +++=∴ωω 如略去m ,则 Mg l M F y +=22

ω

(3)由0=∴x F 可得:

m

ML v a 20-=ω 将22033md ML a mv +=

ω代入得 m Ml md Ml ma a 23322-+=解得l a 3

2=

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