九年级数学上册第四章图形的相似3相似多边形相似多边形的性质的应用素材北师大版讲解

相似多边形的性质的应用1、相似多边形的性质（1）相似多边形中，对应的三角形相似，其相似比等于原相似多边形的相似比． （2）相似多边形中，对应线段的比等于相似比．（3）相似多边形周长的比等于相似比；面积的比等于相似比的平方． 2、重要方法相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，运用这两个性质解决实际问题时，一定要弄清他们的关系，并努力把实际问题与之联系，从而把实际问题简单化.相似三角形的性质（1）回答了相似三角形中所有对应线段都构成比例的问题，这个性质为我们今后证明线段的比例式提供了极大的方便．性质（2）、（3）揭示了相似三角形的周长、面积与相似比的关系，利用它可以解决相似三角形中有关周长和面积的问题，这里要注意这些性质的灵活运用．如：两个相似三角形的相似比，等于它的周长比；也等于它们的面积比的算术平方根．例1 一个多边形的边长分别为2，3，4，5，6，另一个多边形和这个多边形相似，其最短边长为6，则最长边长为 （ ）A ．12B ．18C ．24D ．30【思路与技巧 由相似多边形对应边成比例，设最长边为x.∴x662 ，∴2x=36,x=18. 答案 B点评 本题根据相似多边形的对应边成比例的性质，第一个多边形的最短边与第二个多边形的最短边，第一个多边形的最长边与第二个多边形的最长边分别是对应边，切记不可将对应关系弄错．例2 如图在□ABCD 中，AB=6，AD=4，EF∥AD，若□ABCD∽□EFDA ，求AE 的长．思路与技巧（1）图形中有几对相似的平行四边形？为什么？对应边分别是什么？（2）AE的对应边应是哪条线段？为什么？（3）试一试：求S□ABCD∶S□EFDA的值.解∵EF∥AD，四边形ABCD是平行四边形，AD=4 ∴EF=AD=4，∵□ABCD∽□EFDA，∴（相似多边形对应边成比例），又∵AB=6，∴∴.点评由相似的条件，可知AE的对应边是DA，一般的在条件中，若使用的是相似符号，则对应边则是确定的，因此书写相似多边形时，对应的字母要写在对应的位置上.例3 已知：如图，正方形ABCD中，E是AC上一点，EF⊥AB于F，EG⊥AD于G，AB=6，AE∶EC=2∶1，求S四边形AFEG．思路与技巧（1）四边形AFEG是什么图形？为什么？（2）AE∶E C的值与哪两条线段的比相等？为什么？如何求出AF的长？（3）任意的两个正方形都相似吗？为什么？所有的矩形都相似吗？所有的菱形都相似吗？解∵正方形ABCD，EF⊥AB，EG⊥AD∴EF∥CB，EG∥DC∵∠1=∠2=45° ∴EF=AFAS 1 D ES 2F G S 3B C∵∠FAG=90°，∴AFEG 是正方形，∴正方形ABCD∽正方形AFEG ，∴S 正ABCD ∶S 正AFEG =AB 2∶AF 2（相似多边形的面积比等于相似比的平方），在△ABC 中，EF∥CB ∴AE∶EC=AF∶FB=2∶1，又AB=6 ∴AF=4 ∴S 正ABCD ∶S 正AFEG =36∶16，∴.点评 本题中的正方形是特殊的多边形，但在一般的多边形中，一定要注意对应关系．（1）相似多边形的对应边的比，等于相似比的平方；（2）所有的正方形都是相似的，此题中只须证出四边形AFEG 是正方形，即可得到它与正方形ABCD 相似例4 已知：如图所示，△ABC 中，DE//FG//BC ． （1）若AD=DF=FB ，求S 1:S 2:S 3； （2）若S 1:S 2:S 3=1:8:27，求AD:DF:FB ．思路与技巧 注意在（2）中，不能由S 1:S 2=1:8，就得出AD:DF=1:8，因为此处不能直接运用面积的比等于相似比的平方，S 1,S 2不是两个相似三角形的对应面积．解 BC FG DE ////A B C A F G A D E ∆~∆~∆∴（1）FB DF AD ==9:4:1::3:2:1::=∴=∴∆∆∆ABC AFG ADE S S S AB AF AD令k S ADE =∆，则k S k S ABC AFG94==∆∆，，k S =∴1AD E F GB Ck k k S S S A D EAFG 342=-=-=∆∆k k k S S S AF GAB C5493=-=-=∆∆5:3:1::321=∴S S S（2）27:8:1::321=S S S∴可设k S =1，则k S k S 27832==，k S S AD E==∴∆1k S S S S kS S S AB CAF G 36932121=++==+=∆∆36:9:1::=∴∆∆∆ABC AFG AD E S S S∴AD:AF:AB=1:3:6 AD:DF:FB=1:2:3.点评 根据相似形，实施比例转化，应用面积比等于相似比的平方．例5 如图所示，△ABC 的面积为16，4=AB ，D 为AB 上任一点，F 为BD 的中点，DE//BC ，FG//BC ，分别交AC 于E 、G ，设AD=x ．（1）把△ADE 的面积S 1，用含x 的代数式表示； （2）把梯形DFGE 的面积S 2，用含x 的代数式表示． 思路与技巧 转化为相似三角形，利用其性质解决． 解答：（1）BC DE //ABC ADE ∆~∆∴21⎪⎭⎫ ⎝⎛=∴∆AB AD S S ABC，即21416⎪⎭⎫ ⎝⎛=x S21x S =∴（2）BC FG //2⎪⎭⎫ ⎝⎛=∴∆~∆∴∆∆AB AF S S ABC AFG ABC AFG ∵F 为BD 的中点，)4(21x BF DF -==∴)4(21)4(21+=-+=+=∴x x x DF AD AF242416⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=∴∆x S AFG 41682++=∴∆x x S AFG22124168x x x S S S AFG-++=-=∴∆42434168322++-=++-=x x x x .例6 如图所示，已知O 是四边形ABCD 的一边AB 上的任意一点，EH//AD ，HG//DC ，GF//BC ．试说明四边形EFGH 与四边形ABCD 是否相似，并说明你的理由．思路与技巧 证明两个四边形的对应边成比例，对应角相等． 解答：四边形~EFGH 四边形ABCD ．理由：因为AD EH //，所以321∠=∠∠=∠，A ， 所以OAD OEH ∆~∆，所以OD OHAD EH OAOE == 又因为CD HG //，所以7654∠=∠∠=∠，，所以ODC OHG ∆~∆，所以OC OGDC HG ODOH ==． 而5342∠+∠=∠+∠，所以ADC EHG ∠=∠． 因为BC GF //，所以98∠=∠，B ∠=∠10所以OB OFBC FG OC OG ==． 而9786∠+∠=∠+∠，所以DCB HGF ∠=∠．设k AD EH OB OF OA OE ===，所以OB k OF OA k OE ⋅=⋅=，，所以AD EHk OB OA OB OA k OBOA OF OE ==++=++)(，所以AD EHAB EF = 因此B DCB HGF ADC EHG A ∠=∠∠=∠∠=∠∠=∠101，，，，BC GF DC HG AD EH ABEF === 所以四边形~EFGH 四边形ABCD ．点评 通过图形的分割，转化为三角形问题加以研究．例7 已知：ABCD 是梯形，AB//DC ，对角线AC ，BD 交于E ，ΔDCE 的面积与ΔCEB 的面积比为1∶3． 求：ΔDCE 的面积与ΔABD 的面积比．分析：题目中已知条件是面积比，要求的也是面积比，因此根据图形找到面积之间的关系是很重要的．ΔDCE 与ΔCEB 是等高三角形，因此面积比为底的比，而ΔDCE 与ΔABE 是相似三角形，面积的比等于相似比的平方，又可证出ΔADE 与ΔBCE 的面积相等，这样ΔDCE 与ΔABD 的面积比就可求了． 解 ∵S Δ DCE ∶S ΔCEB =1∶3,而ΔDCE 与ΔCEB 是等高三角形， ∴DE∶EB=1∶3，∵DC//AB， ∴ΔDCE∽ΔBAE ， ∴S ΔDCE ∶S ΔBAE =(DE∶EB)2=1∶9， ∵ΔADC 与ΔBDC 为等底、等高三角形， ∴S ΔADC =S ΔBDC ，∴S ΔADC -S ΔDCE =S ΔBDC -S ΔDCE ， ∴S ΔAED =S ΔBEC设S ΔDCE =k, 则S ΔAED =S ΔBEC =3k, S ΔBAE =9k, ∴S ΔABD =S ΔABE +S ΔADE =12k, ∴S ΔDCE ∶S ΔABD =1∶12.点评 相似三角形的面积比等于相似比的平方，计算时不要丢掉平方；若从面积比求相似三角形的相似比，则要注意开平方．例8 如图，有一边长为5cm 的正方形ABCD 和等腰△PQR，PQ=PR=5cm ，QR=8cm ，点B 、C 、Q 、R 在同一条直线l 上，当C 、Q 两点重合时，等腰△PQR 以1cm/秒的速度沿直线l 按箭头所示方向开始匀速运动，t 秒后正方形ABCD 与等腰△PQR 重合部分的面积为Scm 2，解答下列问题： （1）当t=3秒时，求S 的值； （2）当t=5秒时，求S 的值；思路与技巧 本题考点有等腰三角形；正方形；相似三角形．第一问，思路，作PE QR ，E 为垂足，运用相似三角形的性质，面积比第于相似比的平方，可求出面积．第二问方法与第一问类似，但是要注意图形的位置． 解 （1）：作PE⊥QR，E 为垂足 ∵PQ=PR， ∴QE=RE=21QR=4. ∴PE=4522-=3.当t=3时，QC=3．设PQ 与DC 交于点G. ∵PE∥DC， ∴△QCG∽△QEP，∴SQEPS∆=(43)2. ∵S △QEP =21×4×3=6， ∴S=(43)2×6=827(cm 2).（2）当t=5时，QC ＝5，B 、C 两点重合，CR=3，设PR 与DC 交于G. 由△RCG∽△REP，可求出S △RCG =827. S=12-827=869 (cm 2). 点评 本题是代数，几何综合问题，等腰三角形，正方形等多种知识，解答本题的基本思想是数形结合，构造函数，用运动观点考虑．每种情况画一图形，结合图形，认真分析，实现数形结合的思想．。