2012上海三校联考数学

插播：复旦附中、华二、交大附中联考卷上——阙老师同学们：大家好！为了能够使大家流畅的听讲答疑，请按照以下步骤进行登录：1.登录，2.选择所在的年级，3.点击如图在线答疑（年级的下面）4.从答疑安排表中选择所要参加的答疑科目，点击我要参加，即可.谢谢配合！附：为了保证答疑的有效性，同学们可以提前下载答疑材料进行预习，有问题可以在答疑中进行提问.复旦附中、交大附中、华师大二附中联合测试数学试题（2012-03-01）本试卷满分150分，答卷时间120分钟一、填空题（本题满分48分，每小题4分）1．已知复数i z +=21,i z +=12, 则21z z在复平面内对应的点位于第__________象限。

2．卖花姑娘手持100支玫瑰叫卖：“卖花，卖花，一元一支，买20支以上半价”，我上前买花x (支)，花费y (元)，之间的函数关系是______。

3．函数x x x f 2sin 2cos )(+=的图象相邻的两条对称轴之间的距离是__________。

4．在5)22(xx-的展开式中x1的系数等于__________。

5．若Z d c b a ∈,,,，使不等式0>>dcb a 和bc ad <都成立的一组值),,,(d c b a 是__________（只要写出适合条件的一组值即可）。

6．右图是一个正方体沿棱剪开后的一种平面展开图，现在若沿其六个 小正方形相邻边折叠，围成原来正方体，则②号正方形对面的正方形的编号是__________号。

7．（理）),(y x P 是曲线R y x ∈⎩⎨⎧=+-=ααα,sin cos 1上任意一点，则22)4()2(++-y x 的最大值是____________。

（文）小军中午放学回家自己煮面条吃。

有下面几道工序：①洗锅盛水2分钟；②洗菜6分钟； ③准备面条及佐料2分钟；④用锅把水烧开10分钟；⑤煮面条和菜共3分钟。

以上各道工序，除④之外，一次只能进行一道工序。

小军要将面条煮好，最少用__________分钟。

8．已知圆的方程1)1()1(22=-+-y x ，那么与该圆及两坐标轴都相切的圆共有__________个。

9．在右图的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则c b a ++的值为__________。

10．（理）有一名同学在书写英文单词“error ”时，只是记不清字母的顺序，那么他写错这个单词的概率为__________。

（文）某公司新招聘进8名员工，平均分给下属的甲、乙两个部门。

其中两名英语翻译人员不能同给一个部门；另三名电脑编程人员也不能同给一个部门。

则不同的分配方案有_______种。

11．已知=+=-+⋅+⋅=)2(,4)2(,12sin )(πf f tgx b x a x f 那么且__________。

12．（理）点P 是双曲线)0,0(1:22221>>=-b a by a x C 和圆22222:b a y x C +=+的一个交点，且12212F PF F PF ∠=∠，其中21,F F 是双曲线1C 的两个焦点，则双曲线1C 的渐近线方程为______________。

（文）已知函数⎩⎨⎧≤<-≤≤--=)20( 2)02(4)(2x x x x x f ，则关于x 的方程m x x f =-)(有且只有一个实数解时，实数m 的取值范围是______________。

二、选择题（本题满分16分，每小题4分）13．若函数)(x f 满足)(21)1(x f x f =+，则)(x f 的解析式在下列四式中只可能是 （ ） （A ）2)(x x f = （B ）21)(+=x x f （C ）x x f -=2)( （D ）x x f 5.0log )(=14．设n m l 、、表示三条直线，γβα、、表示三个平面，则下列命题中不成立．．．的是 ( ) （A ）若m l m l //,,则αα⊥⊥ （B ）若β⊂m ，n 是l 在β内的射影，l m ⊥，则n m ⊥ （C ）若n m n m //,,αα⊄⊂，则α//n （D ）若γβγα⊥⊥,，则βα//15．（理）极坐标方程3（ ）（A C ）（文）表示如图中阴影部分所示平面区域的不等式组是 ）（A ）⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤--≤-+0623063201232y x y x y x （B ）⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≥--≤-+0623063201232y x y x y x（C ）⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤--≤-+0623063201232y x y x y x （D ）⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤--≥-+0623063201232y x y x y x16．如右图一，在ABC ∆中，AC AB ⊥、BC AD ⊥，D 是垂足，则BC BD AB ⋅=2（射影定理）.类似有 命题：三棱锥BCD A -(图二)中,⊥AD 平面ABC ， ⊥AO 平面BCD ，O 为垂足，且O 在BCD ∆内，则BCD BCO ABC S S S ∆∆∆⋅=2。

那么以下论述正确的是 （ ）（A ）此命题一定是真命题（B ）增加“AC AB =”的条件才是真命题 （C ）增加“AC AB ⊥”的条件才是真命题（D ）增加“三棱锥BCD A -是正三棱锥”的条件才是真命题三、解答题（本题满分86分） 17．（本小题满分（理）12分（6+6）, （文）14分（7+7））已知函数)0(23cos 3cos sin )(2>++-⋅=a b a x a x x a x f 。

（1）若R x ∈，写出函数的单调递减区间； （2）若]2,0[π∈x ，且)(x f 的最小值是2-，最大值是3，求实数b a ,的值。

ACD B C DAO 图一 图二18．（本小题满分12分）已知点)0,4(,)0,2(B A ，动点P 在抛物线x y 42-=上运动，求⋅的最小值，并求此时点P 的坐标。

19．（本小题满分14分，其中第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题6分）数列}{n a 的前n 项和为n S ，)(32N n n a S n n ∈-=。

（1）若数列}{c a n +成等比数列，求常数c 的值； （2）求数列}{n a 的通项公式n a ；（3）（理）数列}{n a 中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，请求出一组适合条件 的项；若不存在，请说明理由。

（文）数列}{n a 中是否存在连续三项可以构成等差数列？若存在，请求出一组适合条件的三 项；若不存在，请说明理由。

20．（本小题满分14分，其中第（1）小题8分，第（2）小题6分） 甲船由A 岛出发向北偏东 45的方向作匀速直线航行，速度为215浬/小时，在甲船从A 岛出 发的同时，乙船从A 岛正南40浬处的B 岛出发，朝北偏东)21(arctg =θθ的方向作匀速直线航行，速度为510浬/小时（如图所示）。

（1）求出发后3小时两船相距多少浬？ （2）求两船出发后多长时间相距最近？最近距离为多少浬？东北21．（本小题满分16分，其中第（1）小题5分，第（2）小题5分，第（3）小题6分）如图，已知多面体ABCDE 中，⊥AB 平面ACD ，⊥DE 平面ACD ，三角形ACD 是正三 角形，且2==DE AD ，1=AB ，F 是CD 的中点。

（1）求证：//AF 平面BCE ；（2）求多面体ABCDE 的体积；（3）求二面角D BE C --的正切值。

22．（本题满分（理）18分，（文）16分）考生请注意：理科3小题全做，第1小题满分5分，第2小题满分7分，第3小题满分6分。

文科只做第1、2小题，第1小题满分6分，第2小题满分10分。

设椭圆1C 的中心在原点，其右焦点与抛物线2C ：x y 42=的焦点F 重合，过点F 与x 轴垂直的直线与1C 交于A 、B 两点，与2C 交于C 、D 两点，已知34||||=AB CD 。

（1）过点F 且倾斜角为3π的直线与2C ：x y 42=交于P 、Q 两点，求||PQ 的值；（2）求椭圆1C 的方程；（3）过点F 的直线l 与1C 交于M 、N 两点，与2C 交于P 、Q 两点，若35||||=MN PQ ，求直线l 的方程。

A B C D EF参考答案一、填空题1．四 2．)1000,(5.1≤≤∈=x Z x x y 3．2π 4．20- 5．)2,3,1,2(--等 6．⑤ 7．（理）36（文）158．4 9．1 10．（理）19（文）36 11．2- 12．（理）x y 323+±=（文）}22{)2,2[ - 二、选择题13．C 14．D 15．（理）C （文）C 16．A 三、解答题（本题满分86分） 17．（1）b x a b x a x x f a +-=+-=)2(sin 2cos 2sin )(3232π， ∵0>a ，∴递减区间是5111212[,]()k k k Z ππππππ++∈． （2）3233220ππππ≤-≤-⇒≤≤x x ．∴3)(max =+=b a x f 且2)(23min -=+-=b a x f ，∴23,2-==b a ．18．设),(y x P ，且x y 42-=，则},4{,},2{y x BP y x AP -=-=，∴810)4()2(22+-=+--=⋅x x y x x BP AP ，因为0≤x ，故当0=x 时，BP AP ⋅有最小值8，此时)0,0(P ．19．（1）由n a S n n 32-=及)1(3211+-=++n a S n n 2323311=⇒+=⇒++++n n a a n n a a ，∴3=c 时}3{+n a 成等比数列．（2）因332111=⇒-=a a S ，由（1）知，112)3(3-⋅+=+n n a a ，故N n a n n ∈-⋅=,323． （3）（理）设存在N r p s ∈,,，且r p s <<，使得r p s a a a ,,成等差数列，则r s p a a a +=2，即r s p r s p 222)323()323()323(21+=⇒-⋅+-⋅=-⋅+s r s p -+-+=⇒2121，因为N r p s ∈,,且r p s <<，则12+-s p 、s r -2为偶数，s r -+21为奇数，故s r s p -+-+=2121不可能成立，故不存在满足条件的三项． （文）设存在N k ∈，使得21,,++k k k a a a 成等差数列，则212+++=k k k a a a ，即)323()323(21-⋅=-⋅+k k02)323(2=⇒-⋅++k k 因N k ∈，所以02≠k ，∴不存在}{n a 中的连续三项使得它们可以构成等差数列．20．（1）以A 为原点，BA 所在直线为y 轴建立直角坐标系．设在t 时刻甲、乙两船分别在),(,),(2211y x Q y x P ，则⎪⎩⎪⎨⎧====t x y t t x 151545cos 215111 ，⎪⎩⎪⎨⎧-====4020cos 51010sin 51022t t y t t x θθ． 当3=t 时，345850)2045()3045(||22==-+-=PQ ．即两船出发后3小时时，相距345浬． （2）220800)4(50160040050)405()5()()(||2222212212≥+-=+-=-+=-+-=t t t t t y y x x PQ ，∴当且仅当4=t 时，||PQ 的最小值为220, 即两船出发4小时时，相距220海里为两船最近距离．21．（1）设G 是CE 的中点，连FG BG 、，由1,//21==DE FG DE FG 及1=AB ，DE AB //，得AFGB 是平行四边形．故BG AF //，从而//AF 平面BC E ．（2）因为DCE AF CD AF 平面⊥⇒⊥，所以DCE BG 平面⊥，3==AF BG .连BD ，3333323131=+=⋅⋅+⋅⋅=+=∆∆--ACD BCE ADC B DCE B ABCDE S AB S BG V V V ．（3）由⊥DE 平面AC D 得平面⊥ABED 平面AC D ，取AD 中点H ，则ABED CH AD CH 平面⊥⇒⊥， 过H 作BE HM ⊥交BE 于M ，连CM ，则BE C M ⊥，故C MH ∠即为二面角D BE C --的平面角． 计算3=CH ，553=HM ，所以315==∠HMCH CMH tg ．22．（1）)0,1(F ，)1(3:-=x y l ，联立⇒⎪⎩⎪⎨⎧-==)1(342x y xy 031032=+-x x ，∴31633610031||=⋅+=-PQ ． （2）设椭圆1C 的方程：)0(12222>>=+b a by a x ，解方程组⎩⎨⎧==142x x y 得)2,1(,)2,1(-D C ．4||=CD ，由3||34||||=⇒=AB AB CD ，∴),1(23A ．由⎪⎩⎪⎨⎧=-=+112249122b a b a ⎪⎩⎪⎨⎧==⇒3422b a ，故椭圆1C 的方程为13422=+y x ． （3）设)1(:-=x k y l ，联立⎩⎨⎧-==)1(42x k y xy ，得0)42(2222=++-k x k x k ，∴22)1(41421||k k k k k PQ ++=⋅+=；联立⎩⎨⎧-==-+)1(0124322x k y y x ，得01248)34(2222=-+-+k x k x k ， ∴222243)1(124311221||k k k k k MN ++++=⋅+=．由35||||=MN PQ ||3||5PQ MN =⇒，化简得22543k k =+，∴3±=k ，故直线l 的方程为：)1(3-±=x y ．。