高二第一学期期中试题及答案
2023-2024学年浙江省金华市一中高二上学期期中数学试题及答案
金华一中2023学年第一学期期中考试高二数学一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 过点()0,2-且与直线230x y +-=垂直的直线方程为（ ）A. 220x y -+=B. 220x y ++=C. 220x y --= D. 220x y +-=2. 已知数列{}n a ,21a =,*12,n n a a n n ++=∈N ,则13a a +的值为 A. 4B. 5C. 6D. 83. 若椭圆短轴的两个端点与一个焦点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为（ ）A.12B.C.D.4. “点()()1,2,5,6A B -到直线:10l ax y ++=的距离相等”是“2a =-”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5. 若圆224x y +=上恰有三个点到直线:l y x a =+的距离等于1，则a 的值为（ ）A. 2±B.C. ±D. 6. 已知数列{}n a 是公差不为0的无穷等差数列，n S 是其前n 项和，若n S 存在最大值，则（ ）A. 在3202321,,,,232023S S S S ⋅⋅⋅中最大的数是1S B. 在3202321,,,,232023SS S S ⋅⋅⋅中最大数是20232023S C. 在1232023,,,,S S S S ⋅⋅⋅中最大的数是1S D. 在1232023,,,,S S S S ⋅⋅⋅中最大的数是2023S 7. 设双曲线22221x y a b-=（a>0,b>0）的右焦点为F ，右顶点为A,过F 作AF 的垂线与双曲线交于B,C 两点，过B,C 分别作AC ，AB 的垂线交于点D.若D 到直线BC的距离小于a 近线斜率的取值范围是 （ ）的A. (1,0)(0,1)-B. (,1)(1,)-∞-+∞C. (⋃D(,)-∞+∞ 8. 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为线段1B C 的中点，F 是棱11C D 上的动点，若点P 为线段1BD 上的动点，则PE PF +的最小值为（ ）A.B.C.D.二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9. 已知双曲线22:13x C y -=，则下列结论正确的是（ ）A. 双曲线CB. 双曲线C 的焦距为4C. 双曲线C 的虚轴长为1D. 双曲线C的渐近线方程为x =10. 已知直线:10l ax y ++=，则下列说法正确的是（ ）A. 直线l 过定点()0,1-B. 直线l 与直线10x ay --=不可能垂直C. 若点()0,1A 与点(),0Bb 关于直线l 对称，则实数a的值为D. 直线l 被圆22280x y y +--=11. 已知抛物线()2:20C y px p =>上存在一点()2,E t 到其焦点的距离为3，点P 为直线2x =-上一.点，过点P 作抛物线C 的两条切线，切点分别为,,A B O 为坐标原点．则（ ）A. 抛物线的方程为24y x = B. 直线AB 一定过抛物线的焦点C. 线段AB 长最小值为 D. OP AB⊥12. 在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 满足1BP BC BB λμ=+，其中[]0,1λ∈，[]0,1μ∈，则下列说法正确的是（ ）A 当λμ=时，1A P ∥平面1ACD B. 当1μ=时，三棱锥1P A BC -的体积为定值C. 当1λ=时，△PBD 的面积为定值D. 当1λμ+=时，直线1A D 与1D P 所成角的取值范围为,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13. 已知等差数列{}n a 满足25815a a a ++=，则5a =______．14. 已知12,F F 是椭圆22142x y +=的两个焦点，点P 在该椭圆上，若122PF PF -=，则12PF F △的面积是______．15. 已知球O 是直三棱柱111ABC A B C -的内切球（点O 到直三棱柱111ABC A B C -各面的距离都相等），若球O 的表面积为16π，ABC 的周长为4，则三棱锥1A ABC -的体积为______．16. 设经过抛物线28y x =焦点F 且斜率为1的直线l ，与抛物线交于,A B 两点，抛物线准线与x 轴交于C 点，则cos ACB ∠=______．四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17. 已知动圆C ：()()()22220x m y m m m -+-=>.（1）当2m =时，求经过原点且与圆C 相切的直线l 的方程；（2）若圆C 与圆E ：()22316x y -+=内切，求实数m 的值．18. 如图，ABCD 为平行四边形，BCEF 是边长为1的正方形，,,23BF BA DAB AB AD π⊥∠==．的.（1）求证：BD FC ⊥；（2）求直线DE 与平面DFC 所成角的正弦值．19. 如图，已知抛物线21y x =-与x 轴相交于点,A B 两点，P 是该抛物线上位于第一象限内的点．（1）记直线,PA PB 的斜率分别为12,k k ，求证：21k k -为定值；（2）过点A 作AD PB ⊥，垂足为D ，若AB 平分PAD ∠，求PAD 的面积．20. 正项数列{}n a 中，11a =，对任意*n ∈N 都有()22112n n n n a a a a ++-=+．（1）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ；（2）设nn n a b a t=+，试问是否存在正整数,t m ，使得()12,,3m b b b m ≥成等差数列？若存在，求出所有满足要求的,t m ；若不存在，请说明理由．21. 在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，90CDA BAD ∠=∠=︒，2AB AD DC ===E 、F 分别为PD 、PB 的中点．（1）求证：//CF 平面PAD ；（2）若直线PA 与平面CEF 交点为G ，且1PG =，求截面CEF 与底面ABCD所成锐二面角的大的小．22. 已知点(),P x y 与定点()1,0M -的距离和它到定直线4x =-的距离的比是12．（1）求点P 的轨迹E 的标准方程；（2）设点()1,0N ，若点,A C 是曲线E 上两点，且在x 轴上方，满足//AM NC ，求四边形AMNC 面积的最大值．金华一中2023学年第一学期期中考试高二数学一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 过点()0,2-且与直线230x y +-=垂直的直线方程为（ ）A. 220x y -+=B. 220x y ++=C. 220x y --=D. 220x y +-=【答案】C 【解析】【分析】设出该直线的方程，由点()0,2-在该直线上，即可得出该直线方程.【详解】设该直线方程为20x y m -+=由点()0,2-在该直线上，则2020m ⨯++=，即2m =-即该直线方程为220x y --=故选：C【点睛】本题主要考查了由两直线垂直求直线方程，属于中档题.2. 已知数列{}n a ,21a =,*12,n n a a n n ++=∈N ,则13a a +的值为 A. 4 B. 5 C. 6 D. 8【答案】A 【解析】【分析】将n=1和n=2代入递推关系式，求解即可．【详解】数列{a n }，a 2＝1，*12,n n a a n n N ++=∈，可得a 1+a 2＝2，a 2+a 3＝4，解得a 1＝1，a 3＝3，a 1+a 3＝4．故选A ．【点睛】本题考查数列递推关系式的应用，考查转化思想以及计算能力.3. 若椭圆短轴的两个端点与一个焦点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为（ ）A.12B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】根据等边三角形边长相等的性质，建立a b 、的关系，从而求出离心率.【详解】如图，若椭圆短轴的两个端点与一个焦点构成一个正三角形，则2a b =，所以椭圆的离心率为e ====.故选：D.4. “点()()1,2,5,6A B -到直线:10l ax y ++=距离相等”是“2a =-”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】利用点到直线的距离公式，并结合充分条件、必要条件的定义即可解答.【详解】若点()()1,2,5,6A B -到直线:10l ax y ++=的距离相等，则2a =-或1a =-.∴点()()1,2,5,6A B -到直线:10l ax y ++=的距离相等”是“2a =-”的必要不充分条件.故选：B.5. 若圆224x y +=上恰有三个点到直线:l y x a =+的距离等于1，则a 的值为（ ）A. 2±B.C. ±D. 【答案】B 【解析】【分析】根据圆的性质，结合点到直线的距离公式进行求解即可.的【详解】圆224x y +=的圆心为()00，，半径2r =，若圆224x y +=上恰有三个点到直线:l y x a =+的距离等于1，则圆心为()00，到直线:l y x a =+的距离等于1，1=，解得a =故选：B.6. 已知数列{}n a 是公差不为0无穷等差数列，n S 是其前n 项和，若n S 存在最大值，则（ ）A. 在3202321,,,,232023S S S S ⋅⋅⋅中最大的数是1S B. 在3202321,,,,232023SS S S ⋅⋅⋅中最大的数是20232023S C. 在1232023,,,,S S S S ⋅⋅⋅中最大的数是1S D. 在1232023,,,,S S S S ⋅⋅⋅中最大的数是2023S 【答案】A 【解析】【分析】根据题意，由条件可得0d <，由n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1S 为首项，2d 为公差的等差数列，即可判断AB ，由0d <可得在1232023,,,,S S S S ⋅⋅⋅中最大的数是不确定的，即可判断CD .【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则0d ≠，由n S 存在最大值可知，0d <，因为()2111222n n n d d d S na n a n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，则122n d d n a n S ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，所以数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1S 为首项，2d 为公差等差数列，且0d <，则n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递减数列，所以在3202321,,,,232023S S S S ⋅⋅⋅中最大的数是1S ，故A 正确，B 错误；在1232023,,,,S S S S ⋅⋅⋅中最大的数是不确定的，比如92n a n =-+，由100n n a a +≥⎧⎨≤⎩，可得7922n ≤≤，所以4n =，即4S 为最大值，故CD 错误；故选：A的的7. 设双曲线22221x y a b-=（a>0,b>0）的右焦点为F ，右顶点为A,过F 作AF 的垂线与双曲线交于B,C 两点，过B,C 分别作AC ，AB 的垂线交于点D.若D 到直线BC 的距离小于a 近线斜率的取值范围是 （ ）A. (1,0)(0,1)- B. (,1)(1,)-∞-+∞C. (⋃D. (,)-∞+∞ 【答案】A 【解析】【详解】由题意,根据双曲线的对称性知D 在x 轴上，设,0)Dx （，则由BD AB ⊥得：，因为D 到直线BC 的距离小于a +，所以，即01b a<<，所以双曲线渐近线斜率1,0)(0,1)bk a =±∈-⋃（，故选A ．8. 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为线段1B C 的中点，F 是棱11C D 上的动点，若点P 为线段1BD 上的动点，则PE PF +的最小值为（ ）A.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】连接1BC ，得出点,,P E F 在平面11BC D 中，问题转化为在平面内直线1BD 上取一点P ，求点P 到定点E 的距离与到定直线的距离的和的最小值问题，建立平面直角坐标系，问题转化为点E 关于直线1BD 到直线11C D 的距离，从而可得结果.【详解】如上图示，连接1BC 则11BC B C E = ，点,,P E F 在平面11BC D 中，且111BC C D ⊥，111C D =，1BC =，在Rt △11BC D 中，以11C D 为x 轴，1C B 为y 轴，建立平面直角坐标系，如下图示，则1(1,0)D ，B ，E ，设点E 关于直线1BD 的对称点为E '，而直线1BD为1x =①，所以EE k '=，故直线EE '为y x =+②，联立①②，解得13x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩EE '与1BD的交点1(3，所以对称点2(3E '，则PE PF PE PF E F ''+=+≥，最小值为E '到直线11C D故选：A.【点睛】关键点点睛：将立体几何问题转化为平面问题，结合将军饮马模型，求点到直线上动点距离最小.二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9. 已知双曲线22:13x C y -=，则下列结论正确的是（ ）A. 双曲线CB. 双曲线C 的焦距为4C. 双曲线C 的虚轴长为1D. 双曲线C的渐近线方程为x =【答案】BD 【解析】【分析】根据双曲线方程可确定,,a b c 的值，即可求得双曲线离心率、焦距、虚轴长以及渐近线方程，即得答案.【详解】由题意知双曲线22:13x C y -=，设双曲线实半轴长为a ，虚半轴长为b ，焦距为2c，则1,2a b c ====，故双曲线C的离心率为c a ==，A 错误；双曲线焦距为24c =，B 正确；双曲线的虚轴长为 22b =，C 错误；双曲线C的渐近线方程为b y x a =±=，即x =，D 正确，故选：BD10. 已知直线:10l ax y ++=，则下列说法正确的是（ ）A. 直线l 过定点()0,1-B. 直线l 与直线10x ay --=不可能垂直C. 若点()0,1A 与点(),0Bb 关于直线l 对称，则实数a的值为D. 直线l 被圆22280x y y +--=【答案】AC 【解析】【分析】对于A ，当0x =时，1y =,对于B ，当0a =时，结合直线的平行条件，即可判断，对于C ，求出点()0,1A 与点(),0Bb 的直线方程，根据对称，即可求出，对于D ，直线l 被圆22280x y y +--=截得的最短弦长，根据几何关系和勾股定理，即可求出【详解】解：对于A ，当0x =时，1y =，故A 正确，对于B ，当0a =时，直线l 与直线10x ay --=互相垂直,故B 错误，对于C ，由题意知直线AB 与直线l 垂直,且线段AB 的中点在直线l 上，所以11022b a ⨯++=，且()11a b ⎛⎫-⨯-=- ⎪⎝⎭，解得a =，故C 正确，对于D ，圆22280x y y +--=的圆心为()0,1，半径为3，当圆心到直线l 的距离最大时，直线l 被圆22280x y y +--=截得的弦长最短，此时圆心()0,1到直线l的距离2d ，解得0a =，所以直线l 被圆22280x y y +--=截得的最短弦长为=，故D 错误.故选：AC11. 已知抛物线()2:20C y px p =>上存在一点()2,E t 到其焦点的距离为3，点P 为直线2x =-上一点，过点P 作抛物线C 的两条切线，切点分别为,,A B O 为坐标原点．则（ ）A. 抛物线的方程为24y x = B. 直线AB 一定过抛物线的焦点C. 线段AB长的最小值为 D. OP AB⊥【答案】ACD 【解析】【分析】根据抛物线的定义，求得抛物线的方程，可判定A 正确；设(2,)P m -，得出PA 和PB 的方程，联立方程组，结合Δ0=，得到12,k k 是方程2210k km +-=的两个不等式的实数根，再由韦达定理和1AB OP k k ⋅=-，可判定D 正确；由2AB k m=，得出直线AB ，结合直线的点斜式的形式，可判定B 不正确，再由圆锥曲线的弦长公式，结合二次函数的性质，可判定C 正确.【详解】由抛物线2:2C y px =，可得焦点坐标(,0)2p F ，准线方程为2p x =-，因为抛物线C 上存在一点()2,E t 到其焦点的距离为3，由抛物线的定义可得232p+=，可得2p =，所以抛物线的方程为24y x =，所以A 正确；设(2,)P m -，显然直线PA 的斜率存在且不为0，设斜率为1k ，可得PA 的方程为1(2)y m k x -=+，联立方程组12(2)4y m k x y x-=+⎧⎨=⎩，整理得2114840k y y k m -++=，因为PA 是抛物线的切线，所以()211(4)4840k k m ∆=--+=，即211210k k m +-=，且点A 的纵坐标为11422k k --=，代入抛物线方程，可得A 横坐标为211k ，即21112(,A k k ，设直线PB 的斜率存在且不为0，设斜率为2k ，同理可得：222210k k m +-=，且22212(,)B k k ，所以12,k k 是方程2210k km +-=的两个不等式的实数根，所以12121,22m k k k k +=-=-，因为2112122221221222()()(1112222AB OPk k k k m m m k k m k k k k --⨯⋅=⋅-=⋅-=⋅-=-+--，所以OP AB ⊥，所以D 正确；由OP AB ⊥，且2OP m k =-，可得2AB k m =，则直线AB 的方程为211221(y x k m k -=-，即22111222mk y mk k x -=-，又由211210k k m +-=，可得21112k m k =-，所以3221111(2)2(12)22k k y k k x ---=-，即211(12)2(2)k y k x -=-，所以直线AB 一定过定点(2,0)，该点不是抛物线的焦点，所以B 不正确.由直线AB 的斜率不为0，设直线AB 的方程为2x my =+，且1122(,),(,)A x y B x y ，联立方程组224x my y x=+⎧⎨=⎩，整理得2480y my --=，所以12124,8y y m y y +==-，则2AB y =-====≥0m =时，等号成立，即AB的最小值为，所以C 正确.故选：ACD.【点睛】方法点睛：解决直线与抛物线有关问题的方法与策略：1、涉及抛物线的定义问题：抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化．2、涉及直线与抛物线综合问题：通常设出直线方程，与抛物线方程联立方程组，结合根与系数的关系，合理进行转化运算求解，同时注意向量、基本不等式、函数及导数在解答中的应用.的12. 在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 满足1BP BC BB λμ=+，其中[]0,1λ∈，[]0,1μ∈，则下列说法正确的是（ ）A. 当λμ=时，1A P ∥平面1ACD B. 当1μ=时，三棱锥1P A BC -的体积为定值C. 当1λ=时，△PBD 的面积为定值D. 当1λμ+=时，直线1A D 与1D P 所成角的取值范围为,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】ABD 【解析】【分析】对于A 选项，确定P 点在面对角线1BC 上，通过证明面面平行，得线面平行；对于B 选项，确定P 点在棱11B C 上，由等体积法，说明三棱锥1P A BC -的体积为定值；对于C 选项，确定P 点在棱1CC 上，PBD △的底BD 不变，高PE 随点P 的变化而变化；对于D 选项，通过平移直线1A D ，找到异面直线1A D 与1D P 所成的角，在正11D B C △中，确定其范围.【详解】对于A 选项，如下图，当λμ=时，P 点在面对角线1BC 上运动，又P ∈平面11A C B ，所以1A P ⊂平面11A C B ，在正方体1111ABCD A B C D -中，11//AB C D 且11AB C D =，则四边形11ABC D 为平行四边形，所以，11//AD BC ，1AD ⊄ 平面11A BC ，1BC ⊂平面11A BC ，1//AD ∴平面11A BC ，同理可证//AC 平面11A BC ，1AD AC A = ，所以，平面11//A C B 平面1ACD ，1A P ⊂ 平面11A BC ，所以，1//A P 平面1ACD ，A 正确；对于B 选项，当1μ=时，如下图，P 点在棱11B C 上运动，三棱锥1P A BC -的体积111113P A BC A BC P PBC V V S B A --==⋅⋅为定值，B 正确；对于C 选项，当1λ=时，如图，P 点在棱1CC 上运动，过P 作PE BD ⊥于E 点，则12PBD S BD PE =⋅△，其大小随着PE 的变化而变化，C 错误；对于D 选项，如图所示，当1λμ+=时，P ，C ，1B 三点共线，因为11//A B CD 且11A B CD =,所以四边形11A B CD 为平行四边形，所以11//A D B C ，所以11D PB ∠或其补角是直线1A D 与1D P 所成角，在正11D B C △中，11D PB ∠取值范围为,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，D 正确.故选：ABD.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13. 已知等差数列{}n a 满足25815a a a ++=，则5a =______．的【答案】5【解析】【分析】根据等差数列下标和性质计算可得.【详解】因为25815a a a ++=，且2852a a a +=，所以5315a =，解得55a =.故答案为：514. 已知12,F F 是椭圆22142x y +=的两个焦点，点P 在该椭圆上，若122PF PF -=，则12PF F △的面积是______．【解析】【分析】利用椭圆定义结合题设求得12,PF PF ，可判断212PF F F ⊥，即可求得12PF F △的面积.【详解】由题意知12,F F 是椭圆22142x y +=的两个焦点，则2,a b c ====不妨取12(F F ，则12||F F =又1224PF PF a +==，结合122PF PF -=可得123,1PF PF ==，则2221212||PF PF F F =+，即212PF F F ⊥，故12212||11||122PF F S PF F F =⨯⨯⋅==△，15. 已知球O 是直三棱柱111ABC A B C -的内切球（点O 到直三棱柱111ABC A B C -各面的距离都相等），若球O 的表面积为16π，ABC 的周长为4，则三棱锥1A ABC -的体积为______．【答案】163##153【解析】【分析】由题意求出直棱柱内切球半径，即可求得棱柱的高，将直棱柱分割为5个小棱锥，根据等体积法求得棱柱的底面积，再根据棱锥的体积公式即可求得答案.【详解】设直三棱柱111ABC A B C -的高为h ，设,,AB c BC a AC b ===，内切球的半径设为r ，则2h r =，球O 的表面积为16π，则216π4πr =，则2,4r h ==；又ABC 的周长为4，即4a b c ++=，连接111,,,,,OA OB OC OA OB OC ，则直三棱柱111ABC A B C -被分割为5个小棱锥，即以内切球球心为顶点，以三棱锥的两个底面和三个侧面为底面的5个棱锥，根据体积相等可得111123333ABC ABC r S h ahr bhr chr S =+++⨯⋅⋅ ，即()44383ABC ABC S a b c S =+++ ，即得4ABC S = ，故三棱锥1A ABC -的体积为111644333ABC V S h ==⨯=⋅⨯ ,故答案为：16316. 设经过抛物线28y x =焦点F 且斜率为1的直线l ，与抛物线交于,A B 两点，抛物线准线与x 轴交于C 点，则cos ACB ∠=______．【答案】13【解析】【分析】得到直线l 的方程为2y x =-，联立抛物线方程，求出,A B 的坐标，得到,,AC BC AB ，利用余弦定理求出答案.【详解】由题意得()2,0F ，()2,0C -，直线l 的方程为2y x =-，联立28y x =得，21240x x -+=，设()()1122,,,A x y B x y ，不妨设A 在第一象限，解得1266x x =+=-故1244y y =+=-，故((64,64A B ++--，故AC ==，BC ==12416AB x x =++=，由余弦定理得2221cos 23AC BC ABACB AC BC+-∠===⋅.故答案为：13四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17. 已知动圆C ：()()()22220x m y m m m -+-=>.（1）当2m =时，求经过原点且与圆C 相切的直线l 的方程；（2）若圆C 与圆E ：()22316x y -+=内切，求实数m 的值．【答案】（1）0x =或34y x =（2）m =【解析】【分析】（1）2m =时圆心为()2,4，半径为2．当过原点的直线斜率不存在时恰好与此圆相切，此时切线方程为0x =；当过原点的直线斜率存在时设直线方程为y kx =，当直线与圆相切时圆心()2,4到直线y kx =的距离等于半径2，可求得k 的值，从而可得切线方程．（2）圆C 的圆心(),2C m m ，半径为m ；圆E 的圆心()3,0E ，半径为4．当两圆内切时两圆心距等于两半径的差的绝对值，从而可得m 的值．【详解】（1）22:(2)(4)4C x y -+-=当直线l 的斜率不存在时，l 方程为0x =,当直线l 的斜率存在时,设l 方程为y kx =，由题意得32,4d k ∴=所以l 方程为34y x =.（2）(,2),(3,0)C m m E ,由题意得4m CE -==两边平方解得m =.18. 如图，ABCD 为平行四边形，BCEF 是边长为1的正方形，,,23BF BA DAB AB AD π⊥∠==．（1）求证：BD FC ⊥；（2）求直线DE 与平面DFC 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）要证BD FC ⊥，转化只需证明BD ⊥平面BCEF ，只需证明BD BC ⊥、BD BF ⊥即可；（2）建立空间直角坐标系，求出平面DFC 的一个法向量和向量DE 的坐标，转化为利用向量DE和法向量所成的角，即可求解直线DE 与平面DFC 所成角的正弦值．【小问1详解】因为60,2DAB AB AD ∠=︒=，由余弦定理得BD =，从而222BD AD AB +=，∴BD AD ⊥，又//AD BC ，故BD BC ⊥．又,BF BA BF BC ⊥⊥，,,BA BC B BA BC =⊂ 平面ABCD ，所以BF ⊥底面ABCD ，而BD ⊂底面ABCD ，可得BD BF ⊥，因为,,BF BC B BF BC ⋂=⊂平面BCEF ，∴BD ⊥平面BCEF ，FC⊂平面BCEF ，故BD FC ⊥.如图建立空间直角坐标系B xyz -，则(1,0,0),(0,0,1),(1,0,1)C D F E，()()()1,,,,01,01,DF FC DE =-=-=，设平面DFC 的法向量为(,,)n x y z =，则n DF z n FC x z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，可取n = ， 设直线DE 与平面DFC 所成的角为θ．故|sin |cos |||,||DE n DE nn DE θ⋅====⨯.19. 如图，已知抛物线21y x =-与x 轴相交于点,A B 两点，P 是该抛物线上位于第一象限内的点．（1）记直线,PA PB 的斜率分别为12,k k ，求证：21k k -为定值；（2）过点A 作AD PB ⊥，垂足为D ，若AB 平分PAD ∠，求PAD 的面积．【答案】（1）证明见解析 （2）1+【解析】【分析】（1）设点P 的坐标为()2,1P t t -，再利用两点间的斜率公式即可证明.（2）由AB 平分PAD ∠，可知1AD k k =-，再由AD PB ⊥求出P ，再利用AD PB 、相交求出D ，即可求出PAD 的面积.由题意得点,A B 的坐标分别为()()1,0,1,0A B -．设点P 的坐标为()2,1P t t -，且1t >，则2212111,111t t k t k t t t --==-==++-，所以212k k -=为定值．【小问2详解】由直线,PA AD 的位置关系知：11AD k k t =-=-．因为AD PB ⊥，所以()()2111AD k k t t ⋅=-+=-，解得t =，因为P是第一象限内的点，所以t =，则)P．联立直线PB 与AD的方程(()(()1111y x y x ⎧=+-⎪⎨=-+⎪⎩，解得D ．所以PAD的面积112P D S AB y y =⋅⋅-=20. 正项数列{}n a 中，11a =，对任意*n ∈N 都有()22112n n n n a a a a ++-=+．（1）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ；（2）设nn n a b a t=+，试问是否存在正整数,t m ，使得()12,,3m b b b m ≥成等差数列？若存在，求出所有满足要求的,t m ；若不存在，请说明理由．【答案】（1）21n a n =-，2n S n =（2）存在，27t m =⎧⎨=⎩或35t m =⎧⎨=⎩或54t m =⎧⎨=⎩【解析】【分析】（1）利用平方差公式得到12n n a a +-=，从而判断得{}n a 是等差数列，从而利用公式法即可得解；（2）假设存在，利用中等中项公式即可得解.因为()22112n n n n a a a a ++-=+，所以()()()1112n n n n n n a a a a a a ++++-=+，因为0n a >，所以12n n a a +-=，又11a =，数列{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列．所以{}n a 的通项公式为21n a n =-，前n 项和()21212n n n S n +-==.【小问2详解】存在正整数,t m ，使得()12,,3m b b b m ≥成等差数列，由（1）得2121n n b n t-=-+，假设存在正整数,t m ，传得()12,,3m b b b m ≥成等差数列，则122m b b b +=，即12161213m t m t t -+=+-++，当1t =0=，显然不成立，所以1t ≠，得314311t m t t +==+--，*4,,1t m t ∈∴-N 为整数，10t ->，故11,2,4t -=，即2,3,5t =，对应的7,5,4m =，所以存在满足要求的,t m ，27t m =⎧⎨=⎩或35t m =⎧⎨=⎩或54t m =⎧⎨=⎩.21. 在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，90CDA BAD ∠=∠=︒，2AB AD DC ===E 、F 分别为PD 、PB 的中点．（1）求证：//CF 平面PAD ；（2）若直线PA 与平面CEF 的交点为G ，且1PG =，求截面CEF 与底面ABCD 所成锐二面角的大小．【答案】（1）证明见解析；（2）45︒．【解析】【分析】（1）先利用中位线判定四边形QFCD 是平行四边形，得到线线平行//FC QD ，再利用线面平行的判定定理即证结果；（2）先找到点G ，利用线面平行的性质定理//EG DQ ，再建立空间直角坐标系写点坐标，计算两个平面的法向量，计算夹角余弦即得结果.【详解】解：（1）取PA 的中点Q ，连接QF 、QD ，∵F 是PB 的中点，∴//QF AB 且12QF AB =，∵底面ABCD 为直角梯形，90CDA BAD ∠=∠=︒，2AB AD DC ===//CD AB ，且12CD AB =，∴//QF CD 且QF CD =，∴四边形QFCD 是平行四边形，∴//FC QD ，又⊄FC平面PAD ，QD ⊂平面PAD ，∴//FC 平面PAD ．（2）方法一：取PC 的中点M ，连接AC 、EM 、FM 、QM ，QM EF N ⋂=，连接CN 并延长交PA 于G ，已知1PG =．∵//FC 平面PAD ，且平面CEGF ⋂平面APD =EG ，∴//CF EG ，又//CF DQ ，∴//EG DQ ，建立如图所示直角坐标系，()0,0,0A，()0,B，()C，()D，)2E，()2F ，则平面ABCD 的法向量为()10,0,1n =，()2CE =，()2CF =- ，设平面CEF 的法向量为()2,,n x y z =，则有2200CE n CF n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2020z z ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，即z =，则1x =，1y =，即(2n =．∴设两个法向量1n u r 、2n u u r 的夹角为θ，则1212cos n n n n θ⋅===⋅ ，即两个法向量的夹角为45︒．∴截面CEF 与底面ABCD 所成锐二面角的大小为45︒．【点睛】本题考查了空间中线面平行的判定和二面角的向量求法，属于中档题.22. 已知点(),P x y 与定点()1,0M -的距离和它到定直线4x =-的距离的比是12．（1）求点P 的轨迹E 的标准方程；（2）设点()1,0N ，若点,A C 是曲线E 上两点，且在x 轴上方，满足//AM NC ，求四边形AMNC 面积的最大值．【答案】（1）22143x y +=（2）3【解析】【分析】（1）根据题意设 ，然后根据题中的几何条件得出方程，从而求解出轨迹方程；（2）根据题意设出直线，求出直线与椭圆相交弦长，并结合点到直线距离知识从而求解.【小问1详解】12=，整理化简得，223412x y +=，所以：点P 的轨迹E 的方程为：22143x y +=.【小问2详解】设O 为坐标原点，连接CO ，延长交椭圆E 于点B ，连接,,BM AN CM ，由椭圆对称性可知：OC OB =，又OM ON =，所以CMBN 为为平行四边形，所以：//,CN BM CN BM =，则：BOM CON S S = ，且,,A M B 三点共线，所以：四边形AMNC 的面积ACM COM CON ACM COM BCM ABC S S S S S S S S =++=++= ，设直线()()()11221:1,,,,0AB x my A x y B x y y =->，由221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得：()221212226934690,,3434m m y my y y y y m m +--=∴+==-++，所以：()2212134m AB m +===+，又//AM NC ，所以：点C 到直线AB 的距离即为点N 到直线AB的距离，因为：点N 到直线AB 的距离d =，所以12S AB d =⋅==设：234m t +=，则：24,43t m t -=≥，所以：S ====又因为：114t≤，所以当114t =时，即0m =时，四边形AMNC 面积取得最大值，最大值为3．椭圆联立求出弦长，然后再结合基本不等式求解出最值.。
北京市2023-2024学年高二上学期期中数学试题含答案
北京市2023—2024学年第一学期期中阶段练习高二数学（答案在最后）2023.11班级____________姓名____________学号____________本试卷共3页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案写在答题纸上，在试卷上作答无效.一、选择题：本大题共10道小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求.把正确答案涂写在答题卡上相应的位置．．．．．．．．．．．．．．．．．.1.已知(1,3),(3,5)A B --，则直线AB 的斜率为（）A.2 B.1C.12D.不存在【答案】A 【解析】【分析】由斜率公式，可求出直线AB 的斜率.【详解】由(1,3),(3,5)A B --，可得35213AB k --==--.故选：A.2.圆222430x y x y +-++=的圆心为（）．A.(1,2)-B.(1,2)- C.(2,4)- D.(2,4)-【答案】A 【解析】【分析】先将圆的一般方程化为标准方程，从而可求出其圆心坐标.【详解】由222430x y x y +-++=，得22(1)(2)2x y -++=，所以圆心为(1,2)-，故选：A3.一个椭圆的两个焦点分别是()13,0F -，()23,0F ，椭圆上的点P 到两焦点的距离之和等于8，则该椭圆的标准方程为（）A.2216428x y += B.221167x y += C.221169x y += D.22143x y +=【答案】B 【解析】【分析】利用椭圆的定义求解即可.【详解】椭圆上的点P 到两焦点的距离之和等于8，故28,4a a ==，且()13,0F -，故2223,7c b a c ==-=，所以椭圆的标准方程为221167x y +=.故选：B4.任意的k ∈R ，直线13kx y k -+=恒过定点（）A.()0,0 B.()0,1 C.()3,1 D.()2,1【答案】C 【解析】【分析】将直线方程整理成斜截式，即可得定点.【详解】因为13kx y k -+=，即()31y k x =-+，所以直线13kx y k -+=恒过定点()3,1.故选：C.5.已知圆221:1C x y +=与圆222:870C x y x +-+=，则圆1C 与圆2C 的位置关系是（）A.相离B.相交C.内切D.外切【答案】D 【解析】【分析】求出两圆的圆心和半径，得到12124C C r r ==+，得到两圆外切.【详解】圆221:1C x y +=的圆心为()10,0C ，半径为11r =，圆()22222:87049C x y x x y +-+=⇒-+=，故圆心()24,0C ，半径为23r =，则12124C C r r ==+，所以圆1C 与圆2C 的位置关系是外切.故选：D6.过点1,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭的直线l 与圆2214x y +=有公共点，则直线l 的倾斜角取值范围是（）A.π5π,26⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B.2π,π3⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.π22π,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.5π,π6⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】A 【解析】【分析】利用直线与圆的位置关系及倾斜角与斜率的关系计算即可.【详解】易知圆的半径为12，圆心为原点，当倾斜角为π2时，即直线l 方程为12x =-，此时直线l 与圆相切满足题意；当斜率存在时，不妨设直线l方程为122y k x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则圆心到其距离为12d =≤，解不等式得33k ≤-，所以直线l 的倾斜角取值范围为π5π,26⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选：A7.“1a =-”是“直线1:430l ax y +-=与直线()2:320l x a y +-+=平行的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】求出当12l l //时实数的值，再利用集合的包含关系判断可得出结论.【详解】当12l l //时，()34a a -=，即2340a a --=，解得1a =-或4.当1a =-时，直线1l 的方程为430x y -+=，直线2l 的方程为420x y -+=，此时12l l //；当4a =时，直线1l 的方程为304x y +-=，直线2l 的方程为20x y ++=，此时12l l //.因为{}1-{}1,4-，因此，“1a =-”是“直线1:430l ax y +-=与直线()2:320l x a y +-+=平行”的充分不必要条件.故选：A.8.如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，12AA AD AB ===，2BAD π∠=，113BAA A AD π∠=∠=，则11AB AD ⋅=（）A.12B.8C.6D.4【答案】B 【解析】【分析】根据空间向量加法的运算性质，结合空间向量数量积的运算性质和定义进行求解即可.【详解】()()21111111AB AD AB AA AD AA AB AD AB AA AD AA AA ⋅=+⋅+=⋅+⋅+⋅+ 211110222228,22AB AD ⇒⋅=+⨯⨯+⨯⨯+= 故选：B9.数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线，已知△ABC 的顶点()2,0A ，()1,2B ，且AC BC =，则△ABC 的欧拉线的方程为（）A.240x y --=B.240x y +-=C.4210x y ++=D.2410x y -+=【答案】D 【解析】【分析】由题设条件求出AB 垂直平分线的方程，且△ABC 的外心、重心、垂心都在垂直平分线上，结合欧拉线的定义，即垂直平分线即为欧拉线.【详解】由题设，可得20212AB k -==--，且AB 中点为3(,1)2，∴AB 垂直平分线的斜率112AB k k =-=，故垂直平分线方程为131()12224x y x =-+=+，∵AC BC =，则△ABC 的外心、重心、垂心都在垂直平分线上，∴△ABC 的欧拉线的方程为2410x y -+=.故选：D10.曲线33:1C x y +=.给出下列结论:①曲线C 关于原点对称;②曲线C 上任意一点到原点的距离不小于1;③曲线C 只经过2个整点(即横､纵坐标均为整数的点).其中,所有正确结论的序号是A.①② B.②C.②③D.③【答案】C 【解析】【分析】将(),x y --代入，化简后可确定①的真假性.对x 分成0,0,01,1,1x x x x x <=<<=>等5种情况进行分类讨论，得出221x y +≥，由此判断曲线C 上任意一点到原点的距离不小于1.进而判断出②正确.对于③，首先求得曲线C 的两个整点()()0,1,1,0，然后证得其它点不是整点，由此判断出③正确.【详解】①，将(),x y --代入曲线33:1C x y +=，得331x y +=-，与原方程不相等，所以曲线C 不关于原点对称，故①错误.②，对于曲线33:1C x y +=，由于331y x =-，所以y =，所以对于任意一个x ，只有唯一确定的y和它对应.函数y =是单调递减函数.当0x =时，有唯一确定的1y =；当1x =时，有唯一确定的0y =.所以曲线C 过点()()0,1,1,0，这两点都在单位圆上，到原点的距离等于1.当0x <时，1y >，所以221x y +>>.当1x >时，0y <，所以221x y +>>.当01x <<时，01y <<，且()()()()223322221110x y x y x y x x y y -+=+-+=-+-<，所以221x y +>>.综上所述，曲线C 上任意一点到原点的距离不小于1，所以②正确.③，由②的分析可知，曲线C 过点()()0,1,1,0，这是两个整点.由331x y +=可得()331x y -=-，当0x ≠且1x ≠时，若x 为整数，31x -必定不是某个整数的三次方根，所以曲线C 只经过两个整点.故③正确.综上所述，正确的为②③.故选：C【点睛】本小题主要考查根据曲线方程研究曲线的性质，属于中档题.二、填空题：本大题共5小题，共25分.把答案填在答题纸中相应的横线上．．．．．．．．．．．．．．．.11.已知空间()2,3,1a = ，()4,2,b x =- ，a b ⊥ ，则b ＝_____．【答案】【解析】【分析】根据空间向量的垂直，根据数量积的坐标表示，建立方程，结合模长公式，可得答案.【详解】由a b ⊥ ，且()2,3,1a = ，()4,2,b x =- ，则860a b x ⋅=-++=r r ，解得2x =，故b =r.故答案为：12.已知过点(0,2)的直线l 的方向向量为(1,6)，点(,)A a b 在直线l 上，则满足条件的一组,a b 的值依次为__________．【答案】1；8【解析】【分析】根据方向向量设出直线l 的方程，再由点(0,2)求出其方程，从而得出62b a =+，即可得出答案.【详解】直线l 的方向向量为(1,6)，可设直线l 的方程为60x y C -+=因为点(0,2)在直线l 上，所以2C =，即直线l 为620x y -+=所以620a b -+=，即62b a =+可取1a =，则8b =故答案为：1；813.在正方体ABCD A B C D -''''中，E 是C D ''的中点，则异面直线DE 与AC 所成角的余弦值为______.【答案】10【解析】【分析】利用正方体的特征构造平行线，利用勾股定理及余弦定理解三角形即可.【详解】如图所示，取A B ''的中点F ，易得//AF DE ，则FAC ∠或其补角为所求角，不妨设正方体棱长为2，则,3,AF FC FC AC '====，由余弦定理知：222cos 210AF AC FC FAC AF AC +-∠==⋅，则FAC ∠为锐角，即异面直线DE 与AC 所成角.故答案为：1010.14.将一张坐标纸对折，如果点()0,m 与点()()2,22m m -≠重合，则点()4,1-与点______重合.【答案】()1,2--【解析】【分析】先求线段AB 的中垂线方程，再根据点关于直线对称列式求解即可.【详解】已知点()0,A m 与点()2,2B m -，可知线段AB 的中点为1,122mm M ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，且212AB mk m -==--，则线段AB 的中垂线的斜率1k =，则线段AB 的中垂线方程为1122m m y x ⎛⎫⎛⎫-+=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即20x y -+=，设点()4,1-关于直线20x y -+=的对称点为(),a b ，则114412022b a a b -⎧=-⎪⎪+⎨-+⎪-+=⎪⎩，解得12a b =-⎧⎨=-⎩，所以所求点为()1,2--.故答案为：()1,2--.15.给定两个不共线的空间向量a 与b，定义叉乘运算：a b ⨯ .规定：（i ）a b ⨯ 为同时与a，b垂直的向量；（ii ）a，b ，a b ⨯三个向量构成右手系（如图1）；（iii ）sin ,a b a b a b ⨯=.如图2，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB AD ==，14AA =.给出下列四个结论：①1AB AD AA ⨯= ；②AB AD AD AB ⨯=⨯；③()111AB AD AA AB AA AD AA +⨯=⨯+⨯ ；④()11111ABCD A B C D V AB AD CC -=⨯⋅.其中，正确结论的序号是______________.【答案】①③④【解析】【分析】由新定义逐一核对四个选项得答案．【详解】解： ||||||sin902214AB AD AB AD ⨯=︒=⨯⨯=，且1AA 分别与,AB AD 垂直，∴1AB AD AA ⨯= ，故①正确；由题意，1AB AD AA ⨯= ，1AD AB A A ⨯=，故②错误；AB AD AC +=，∴11|()|||41AB AD AA AC AA +⨯=⨯=⨯= 且1()AB AD AA +⨯ 与DB 共线同向， 1||2418AB AA ⨯=⨯⨯= ，1AB AA ⨯ 与DA 共线同向，1||2418AD AA ⨯=⨯⨯= ，1AD AA ⨯ 与DB共线同向，11||AB AA AD AA ∴⨯+⨯= 11AB AA AD AA ⨯+⨯ 与DB共线同向，故③正确；11()||||||sin90cos022416AB AD CC AB AD CC ⨯=⨯⨯︒⨯︒=⨯⨯=，故④成立．故答案为：①③④．三、解答题：本大题共6题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程，并把答案．．．写在答题纸中相应位置上．．．．．．．．．．．.16.在平面直角坐标系中，已知(3,9),(2,2),(5,3)A B C -，线段AC 的中点M ；（1）求过M 点和直线BC 平行的直线方程；（2）求BC 边的高线所在直线方程．【答案】（1）3170x y -+=（2）30x y +=【解析】【分析】（1）根据(3,9),(2,2),(5,3)A B C -，求得点M 的坐标，和直线直线BC 的斜率，写出直线方程；（2）根据13BC k =，得到BC 边的高线的斜率，写出直线方程；【小问1详解】解：因为(3,9),(2,2),(5,3)A B C -，所以()1,6M ，13BC k =，所以过M 点和直线BC 平行的直线方程为()1613y x -=-，即3170x y -+=；【小问2详解】因为13BC k =，所以BC 边的高线的斜率为-3，所以BC 边的高线所在直线方程()933y x -=-+，即30x y +=17.如图，在边长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为线段1BB 的中点.（1）求证：1//BC 平面1AED ；（2）求点1A 到平面1AED 的距离；（3）直线1AA 与平面1AED 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）43（3）23【解析】【分析】（1）证明出四边形11ABC D 为平行四边形，可得出11//BC AD ，利用线面平行的判定定理可证得结论成立；（2）以点A 为坐标原点，AD 、AB 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得点1A 到平面1AED 的距离；（3）利用空间向量法可求得直线1AA 与平面1AED 所成角的正弦值.【小问1详解】证明：在正方体1111ABCD A B C D -中，11//AB C D 且11AB C D =，故四边形11ABC D 为平行四边形，则11//BC AD ，因为1BC ⊄平面1AED ，1AD ⊂平面1AED ，因此，1//BC 平面1AED .【小问2详解】解：以点A 为坐标原点，AD 、AB 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A 、()10,0,2A 、()0,2,1E 、()12,0,2D ，所以，()10,0,2AA = ，()12,0,2AD = ，()0,2,1AE = ，设平面1AED 的法向量为(),,n x y z = ，则122020n AD x z n AE y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，取2z =-，可得()2,1,2n =- ，所以，点1A 到平面1AED 的距离为143AA n d n⋅== .【小问3详解】解：因为11142cos ,233AA n AA n AA n ⋅<>===⨯⋅ ，因此，直线1AA 与平面1AED 所成角的正弦值为23.18.已知圆C 的圆心在直线20x y -=上，且与x 轴相切于点()1,0.（1）求圆C 的方程；（2）若圆C 直线:0l x y m -+=交于A ，B 两点，____，求m 的值.从下列三个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：条件①：圆C 被直线l 分成两段圆弧，其弧长比为2:1；条件②：2AB =；条件③：90ACB ∠=︒.【答案】（1）()()22124x y -+-=（2）答案见解析【解析】【分析】（1）利用几何关系求出圆心的坐标即可；（2）任选一个条件，利用选择的条件，求出圆心到直线的距离，然后列方程求解即可.【小问1详解】设圆心坐标为(),C a b ，半径为r .由圆C 的圆心在直线20x y -=上，知：2a b =.又 圆C 与x 轴相切于点()1,0，1a ∴=，2b =，则02r b =-=.∴圆C 圆心坐标为()1,2，则圆C 的方程为()()22124x y -+-=【小问2详解】如果选择条件①：120ACB ∠=°，而2CA CB ==，∴圆心C 到直线l 的距离1cos 60d CA =⨯= ，则1d ==，解得1m +或1+.如果选择条件②和③：AB =，而2CA CB ==，∴圆心C 到直线l 的距离d =，则d ==，解得1m =-或3.如果选择条件③：90ACB ∠=︒，而2CA CB ==，∴圆心C 到直线l 的距离cos 45d CA ⨯== ，则d ==，解得1m =-或3.19.如图，四棱锥P ABCD -中，AD ⊥平面ABP ，,90,2,3,BC AD PAB PA AB AD BC m ∠=︒==== ，E 是PB 的中点．（1）证明：AE ⊥平面PBC ；（2）若二面角C AE D --的余弦值是33，求m 的值；（3）若2m =，在线段A 上是否存在一点F ，使得PF CE ⊥．若存在，确定F 点的位置；若不存在，说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）1（3）不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）推导出⊥BC 平面PAB ．,AE BC AE PB ⊥⊥．由此能证明AE ⊥平面PBC ;（2）建立空间直角坐标系A xyz -，利用向量法能求出m 的值;（3）设()()0,0,03F t t ≤≤，当2m =，()0,0,2C ，()()2,0,,1,1,2PF t CE ==-- ，由PF CE ⊥知，0PF CE ⋅= ,220,1t t --==-，这与03t ≤≤矛盾,从而在线段AD 上不存在点F ，使得PF CE ⊥．【小问1详解】证明：因为AD ⊥平面PAB ，BC AD ∥,所以⊥BC 平面PAB ,又因为AE ⊂平面PAB ，所以AE BC ⊥．在PAB 中，PA AB =，E 是PB 的中点，所以AE PB ⊥．又因为BC PB B = ,,BC PB ⊂平面PBC ,所以AE ⊥平面PBC ．【小问2详解】因为AD ⊥平面PAB ，,AB PA ⊂平面PAB ，所以,AD AB AD PA ⊥⊥,又因为PA AB ⊥,所以如图建立空间直角坐标系A xyz -．则()()()()()()0,0,0,0,2,0,0,2,,1,1,0,2,0,0,0,0,3A B C m E P D ,则()0,2,AC m = ，()1,1,0AE = ，设平面AEC 的法向量为 =s s ．则00AC n AE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即200y mz x y +=⎧⎨+=⎩，令1x =，则1y =-，2z m =，故21,1,n m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．因为AD ⊥平面PAB ，PB ⊂平面PAB ，所以AD PB ⊥,又AE PB ⊥,,,AD AE A AD AE ⋂=⊂平面AED ,所以PB ⊥平面AED ．又因为()2,2,0PB =- ，所以取平面AED 的法向量为()2,2,0PB =-所以cos ,3n PB n PB n PB⋅== ，3=，解得21m =．又因为0m >，所以1m =；【小问3详解】结论：不存在．理由如下：证明：设()()0,0,03F t t ≤≤．当2m =时，()0,0,2C ，()()2,0,,1,1,2PF t CE =-=-- ，由PF CE ⊥知0PF CE ⋅= ,220,1t t --==-，这与03t ≤≤矛盾,所以在线段AD 上不存在点F ，使得PF CE ⊥．20.已知圆()22:1C x a y -+=与直线1y x --=交于M 、N 两点，点P 为线段MN 的中点，O 为坐标原点，直线OP 的斜率为13-.（1）求a 的值及MON △的面积；（2）若圆C 与x 轴交于,A B 两点，点Q 是圆C 上异于,A B 的任意一点，直线QA 、QB 分别交:4l x =-于,R S 两点.当点Q 变化时，以RS 为直径的圆是否过圆C 内的一定点，若过定点，请求出定点；若不过定点，请说明理由.【答案】（1）12,2MON a S =-=（2）()4-【解析】【分析】（1）先确定直线OP 的方程，联立直线方程求得P 点坐标，利用垂径定理及两直线垂直的斜率关系计算可得a ，再根据点到直线的距离公式、弦长公式计算求面积即可；（2）设QA 方程，含参表示QB 方程，求出,R S 坐标，从而求出以RS 为直径的圆的方程，利用待定系数法计算即可.【小问1详解】由题知：直线OP 方程为13y x =-，则由113y x y x =--⎧⎪⎨=-⎪⎩，得到3212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即31,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 点P 为线段MN 的中点，MN PC ∴⊥，即1021132MN PC k k a -⋅=-⨯=-+，2a ∴=-，即圆心−2,0；C ∴到直线=1y x --距离为2d ==，MN ∴==，又O 到直线=1y x --的距离为22，MN 边上的高为22.11222MON S ∴=⨯= .【小问2详解】由上可知()()3,0,1,0A B --,不妨设直线QA 的方程为()3y k x =+，其中0k ≠，在直线QA 的方程中，令4x =-，可得()4,R k --，因为QA QB ⊥，则直线QB 的方程为()11y x k =-+，在直线QB 的方程中，令4x =-，可得3y k =，即点34,S k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则线段RS 的中点为234,2k F k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，半径平方为2232k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以，以线段MN 为直径的圆的方程为()2222233422k k x y k k ⎛⎫⎛⎫-+++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()2223430k x y y k -++--=，由()2430031x y x ⎧+-=⎪=⎨⎪-<<-⎩，解得40x y ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩，因此，当点Q 变化时，以RS 为直径的圆恒过圆C内的定点()4-+.21.已知{}1,2,,n S = ，A S ⊆，{}12,T t t S =⊆，记{}(),1,2i i A x x a t a A i ==+∈=，用X 表示有限集合X 的元素个数.（1）若4n =，12A A =∅ ，分别指出{}1,2,3A =和{}1,2,4A =时，集合T 的情况（直接写出结论）；（2）若6n =，12A A =∅ ，求12A A ⋃的最大值；（3）若7n =，4A =，则对于任意的A ，是否都存在T ，使得12A A =∅ 说明理由.【答案】（1）{}1,4（2）10（3）不一定存在，理由见解析【解析】【分析】（1）由已知得12t t a b -≠-，其中,a b A ∈，当{}1,2,3A =时，12t t ，相差3；由此可求得T ，当{}1,2,4A =时，同理可得；（2）若6n =，12A A =∅ ，{}123456S =,,,,,，当{}2,3,4,5,6A =时，则12t t ，相差5，所以{}1,6T =，A 中至多有5个元素，所以12,A A 也至多有5个元素，求出12,A A 得出结果；（3）举反例{}1,2,5,7A =和{}{}1,2,3,4,1,6A T ==，根据题意检验即可说明.【小问1详解】若12A A =∅ ，则12t t a b -≠-，其中,a b A ∈，否则12t a t b +=+，12A A ⋂≠∅，若4n =，当{}1,2,3A =时，211-=，312-=，所以121,2t t -≠，则1t ，2t 相差3，因为1,2,3,4S =，{}12,T t t S =⊆，所以{}1,4T =；当{}1,2,4A =时，211-=，422-=，413-=，所以121,2,3t t -≠，因为1,2,3,4S =，{}12,T t t S =⊆，所以T 不存在；【小问2详解】若6n =，12A A =∅ ，{}123456S =,,,,,，当A S =时，211-=，514-=，523-=，716-=，72=5-，752-=，所以A S ≠，121,2,3,4,5t t -≠，所以T 不存在；所以A 中至多有5个元素；当{}2,3,4,5,6A =时，321-=，422-=，523-=，624-=，所以121,2,3,4t t -≠，则1t ，2t 相差5，所以{}1,6T =；{}(),1,2i i A x x a t a A i ==+∈=，所以{}1345,6,7A =,,，{}28910,11,12A =,,，{}12345,6,7,8910,11,12A A = ,,,,.因为A 中至多有5个元素，所以1A ，2A 也至多有5个元素，所以12A A ⋃的最大值为10.【小问3详解】不一定存在，理由如下：例如{}1,2,5,7A =，则211-=514-=，523-=，716-=，72=5-，752-=，则1t ，2t 相差不可能1，2，3，4，5，6，这与{}{}12,1,2,3,4,5,6,7T t t =⊆矛盾，故不都存在T ；例如{}{}1,2,3,4,1,6A T ==，不妨令121,6t t ==，则{}{}122,3,4,5,7,8,9,10A A ==，满足12A A =∅ .【点睛】关键点点睛：对于新定义问题，要充分理解定义，并把定义进行转化为已知的知识点或结论，方便解题.。
北京市房山区2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题含答案
房山区2023-2024学年度第一学期期中学业水平调研高二数学（答案在最后）第一部分（选择题共50分）一、选择题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知()1,3A -，()3,5B ，则线段AB 的中点坐标为（）A.（1，4）B.（2，1）C.（2，8）D.（4，2）【答案】A 【解析】【分析】用中点坐标公式即可求解.【详解】设线段AB 的中点坐标为(),M a b ，则132352a b -+⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，即14a b =⎧⎨=⎩，则线段AB 的中点坐标为()1,4M .故选：A.2.如图，平行六面体1111ABCD A B C D -中，E 为1CC 中点．设AB a =，AD b =，1AA c = ，用基底{},,a b c 表示向量AE，则AE = （）A.a b c ++r r rB.12a b c++ C.12a b c++ D.12a b c ++ 【答案】B【分析】利用几何图形的关系，结合向量的加法运算，即可求解.【详解】11122AE AC CE AB AD AA a b c =+=++=++.故选：B3.在如图所示的正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1AB 与1BC 所成角的大小为（）A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】C 【解析】【分析】根据异面直线所成角的定义及正方体的特征求解【详解】连接1A D ，DB ，如图，因为正方体中11//A D B C ，所以1BA D ∠就是1A B 与1B C 所成的角，在1BA D 中，11A D A B BD ==.∴160BA D ∠=︒.故选：C4.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，11AA BC ⋅=（）A. B. C.2D.4【解析】【分析】根据向量数量积定义计算即可.【详解】在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中,易知12AA =，1BC = 因为11AA BB = ，1BB 与1BC 的夹角为π4，所以1AA 与1BC 的夹角为π4，1111π2cos 2442AA BC AA BC ⋅=⋅=⨯= .故选：D5.如图，在四面体A BCD -中，AD ⊥平面BCD ，BC CD ⊥，则下列叙述中错误的是（）A.ACD ∠是直线AC 与平面BCD 所成角B.ABD ∠是二面角A BC D --的一个平面角C.线段AC 的长是点A 到直线BC 的距离D.线段AD 的长是点A 到平面BCD 的距离【答案】B 【解析】【分析】根据线面垂直即可求解AD ，根据BC ⊥平面ACD ，即可得BC AC ⊥，进而判断C ，结合二面角的定义即可判断B.【详解】对于AD ，由于AD ⊥平面BCD ，所以ACD ∠是直线AC 与平面BCD 所成角，线段AD 的长是点A 到平面BCD 的距离，故AD 正确，对于B ，AD ⊥平面BCD ，BC ⊂平面BCD ,所以BC AD ⊥,又BC CD ⊥，,,AD CD D AD CD =⊂ 平面ACD ，所以BC ⊥平面ACD ，CA ⊂平面ACD ,故BC AC ⊥,又BC CD ⊥，AC ⊂平面ABC ,CD ⊂平面BCD ,故ACD ∠是二面角A BC D --的一个平面角，故B 错误，对于C ，由于BC AC ⊥，所以线段AC 的长是点A 到直线BC 的距离，C 正确,故选：B6.已知直线1l ：()210x a y a +-+=与直线2l ：20ax y ++=平行，则a 的值为（）A.1-或2B.13C.2D.1-【答案】D 【解析】【分析】根据两直线平行，即可列式求解.【详解】因为12l l //，所以2112a a a -=≠，解得：1a =-.故选：D7.在同一平面直角坐标中，表示1l ：y ax b =+与2l ：y bx a =-的直线可能正确的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】结合各选项分析直线的斜率与在y 轴上的截距，即可判断.【详解】对于A ：由图可得直线1l 的斜率0a >，在y 轴上的截距0b >；而2l 的斜率0b <，矛盾，故A 错误．对于B ：由图可得直线1l 的斜率0a >，在y 轴上的截距0b >；而2l 的斜率0b <，矛盾，故B 错误．对于C ：由图可得直线1l 的斜率a<0，在y 轴上的截距0b >；而2l 的斜率0b >，在y 轴上的截距0a ->，即a<0，故C 正确．对于D ：由图可得直线1l 的斜率a<0，在y 轴上的截距0b <；而2l 的斜率0b >，矛盾，故D 错误．故选：C ．8.长方体1111ABCD A B C D -中，12AA AB ==，M 为AB 的中点，1D M MC ⊥，则AD =（）A.1B.2C.3D.4【答案】A 【解析】【分析】连接1CD ，设AD a =()0a >，表示出CM ，1CD ，1MD ，利用勾股定理计算可得.【详解】如图连接1CD ，设AD a =()0a >，则CM =1==CD ，1MD ==因为1D M MC ⊥，所以22211MC MD CD +=，即22158a a +++=，解得1a =（负值舍去）.故选：A9.设P 为直线1y =-上的动点，过点P 作圆C ：()()22324x y ++-=的切线，则切线长的最小值为（）A.2B.C.3D.【答案】B 【解析】【分析】根据切线最小时为圆心到直线上的点的距离最小时可以求出圆心到直线的距离，再求出切线长即可.【详解】圆心为()3,2C -，半径为2r =，设切点为Q ，要使得切线长PQ 最小，则CP 最小，此时CP l ⊥，所以3CP =，所以PQ ==故选：B10.古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元首262~公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数(0k k >且)1k ≠的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，已知点()1,0A -，()2,0B ，圆()()()221:204C x y m m -+-=>，在圆上存在点P 满足2PA PB =，则实数m 的取值范围是（）A.22⎣⎦B.521,42⎡⎢⎣⎦C.212⎛ ⎝⎦D.521,22⎢⎣⎦【答案】D 【解析】【分析】设(),P x y ，根据2PA PB =求出点P 的轨迹方程，根据题意可得两个圆有公共点，根据圆心距大于或等于半径之差的绝对值小于或等于半径之和，解不等式即可求解.【详解】设(),P x y ，因为点()1,0A -，()2,0B ，2PA PB =，=22650x y x +-+=，所以()2234x y -+=，可得圆心()3,0，半径2R =，由圆()()221:24C x y m -+-=可得圆心()2,C m ，半径12r =，因为在圆C 上存在点P 满足2PA PB =，所以圆()2234x y -+=与圆()()221:24C x y m -+-=有公共点，所以112222-≤≤+，整理可得：2925144m ≤+≤，解得：52122m ≤≤，所以实数m的取值范围是22⎤⎢⎥⎣⎦，故选：D.第二部分（非选择题共100分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．11.已知()2,1A ，()0,3B -，则直线AB 的斜率AB k =__________．【答案】2【解析】【分析】根据直线斜率公式进行计算即可.【详解】根据题意，1(3)220AB k --==-，故答案为：2.12.已知()0,0A ，()2,2B ，()4,2C ，则ABC 外接圆的方程为____________．【答案】22620x y x y +-+=【解析】【分析】首先设ABC 外接圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，从而得到044220164420F D E F D E F =⎧⎪++++=⎨⎪++++=⎩，再解方程组即可.【详解】设ABC 外接圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，则064422021644200F D D E F E D E F F ==-⎧⎧⎪⎪++++=⇒=⎨⎨⎪⎪++++==⎩⎩，所以ABC 外接圆的方程为：22620x y x y +-+=.故答案为：22620x y x y +-+=13.已知直线l 与平面α所成角为45︒，A ，B 是直线l 上两点，且6AB =，则线段AB 在平面α内的射影的长等于____________．【答案】【解析】【分析】依题意可得线段AB 在平面α内的射影的长等于45cos AB ︒.【详解】因为直线l 与平面α所成角为45︒，A ，B 是直线l 上两点，且6AB =，则线段AB 在平面α内的射影的长等于456s 2co AB ︒=⨯=故答案为：14.如图，长方体1111ABCD A B C D -中，11AA AD ==，2AB =，则点1D 到点B 的距离等于____________；点1D 到直线AC 的距离等于____________．【答案】①.②.5【解析】【分析】以向量DA ，DC ，1DD所在方向为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，根据两点间的距离公式可求点1D 到点B 的距离；连接1D A ，作1D E 垂直AC ，垂足为E ，求出向量1AD uuu r 在向量AC上的投影，由勾股定理即可求点1D 到直线AC 的距离.【详解】如图，以向量DA ，DC ，1DD所在方向为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，由11AA AD ==，2AB =，则()10,0,1D ，()1,2,0B ，所以1D B ==，所以点1D 到点B .连接1D A ，作1D E 垂直AC ，垂足为E ，由()1,0,0A ，()0,2,0C ，所以()11,0,1AD =- ，()1,2,0AC =-，所以15AD AC AE AC⋅===，又1AD =，所以点1D 到直线AC 的距离5d ==.；5.15.已知圆O ：()2220x y rr +=>和直线l ：40x y -+=，则圆心O 到直线l 的距离等于_____________；若圆O 上有且仅有两个点到直线l ，写出一个符合要求的实数r 的值，r =______________．【答案】①.②.2（答案不唯一）.【解析】【分析】根据点到直线距离公式计算；将圆O 上有且仅有两个点到直线l 转化为半径与圆心O 到直线l 的距离之间的关系即可求解.【详解】圆心O 到直线l 的距离为d ==；因为圆O 上有且仅有两个点到直线l ，所以d r <-<r <<.故答案为：2（答案不唯一）.16.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，PAB 是等边三角形，O 为AB 的中点，且PO ⊥底面ABCD ，点F 为棱PC 上一点．给出下面四个结论：①对任意点F ，都有CD OF ⊥；②存在点F ，使//OF 平面PAD ；③二面角P AC B --；④平面PAB ⊥平面ABCD ．其中所有正确结论的序号是____________．【答案】②③④【解析】【分析】根据题意，利用空间直线与直线，直线与平面位置关系，依次进行判断即可.【详解】对于①，若点F 与点C 重合，显然不满足CD OF ⊥，所以①错；对于②，若点F 为线段PC 中点，取线段PD 中点E ，连接EF ，则//EF CD 且12EF CD =，所以//EF AO 且EF AO =，则四边形AOFE 为平行四边形，得//OF AE ，因为OF ⊄平面PAD ，AE ⊂平面PAD ，所以//OF 平面PAD ，所以②正确；对于③，因为O 为AB 的中点，且PO ⊥底面ABCD ，过O 作OH AC ⊥于H ，则PHO ∠即为二面角P AC B --的平面角，根据边长可求得32PO =，4OH =，所以32tan 24PHO ∠==，所以③正确；对于④，因为PO ⊥底面ABCD ，PO ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面ABCD ，所以④正确；故答案为：②③④三、解答题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17.已知三条直线1l ：20x y +-=，2l ：3100x y -+=，3l ：3450x y -+=．（1）求直线1l ，2l 的交点M 的坐标；（2）求过点M 且与直线3l 平行的直线方程；（3）求过点M 且与直线3l 垂直的直线方程．【答案】（1）()1,3M -（2）34150x y -+=（3）4350x y +-=【解析】【分析】（1）联立直线方程，即可求解；（2）根据已知条件，结合直线平行的性质，即可求解；（3）根据已知条件，结合直线垂直的性质，即可求解；【小问1详解】联立203100x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，解得13x y =-⎧⎨=⎩，故交点M 坐标为()1,3M -；【小问2详解】所求直线与直线3l 平行，则所求直线可设3405x y C C -+=≠（），所求直线过点()1,3M -，则()31430C ⨯--⨯+=，解得15C =，故所求直线方程为34150x y -+=；【小问3详解】所求直线与直线3l 垂直，则所求直线可设430x y D ++=，所求直线过点()1,3M -，则()41330D ⨯-+⨯+=，解得5D =-，故所求直线方程为4350x y +-=．18.已知圆C 的圆心为点()1,3C -，半径为2．（1）写出圆C 的标准方程；（2）若直线l ：20x y --=与圆C 交于A ，B 两点，求线段AB 的长．【答案】（1）()()22134x y -++=（2）【解析】【分析】（1）根据圆的标准方程定义可得解；（2）求出圆心到直线的距离，再利用勾股定理计算可得.【小问1详解】因为圆心()1,3C -，半径2r =，所以圆C 的标准方程为()()22134x y -++=.【小问2详解】圆心C 到直线l 的距离d ==2AB∴===AB ∴=19.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，1==PA AB ，M 为PB 的中点．（1）求证：AM ⊥平面PBC ；（2）求直线PD 与平面PBC 所成角的大小；（3）求点D 到平面PBC 的距离．【答案】（1）见解析（2）π6（3）2【解析】【分析】（1）根据线线，线面的垂直关系的转化，即可证明线面垂直；（2）首先建立空间直角坐标系，由（1）可知向量AM是平面PBC 的法向量，利用向量法求线面角的大小；（3）根据（2）的结果，结合点到平面的距离的定义，即可求解.【小问1详解】因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA BC ⊥，又BC AB ⊥，PA AB A = ，,PA AB ⊂平面PAB ，所以BC ⊥平面PAB ，AM ⊂平面PAB ，所以BC AM ⊥，因为PA AB =，且点M 是PB 的中点，所以AM PB ⊥，且BC PB B = ，,BC PB ⊂平面PBC ，所以AM ⊥平面PBC ；【小问2详解】以点A 为原点，以向量,,AB AD AP 为,,x y z 轴的方向向量，建立空间直角坐标系，()0,0,0A ，11,0,22M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()0,0,1P ，()0,1,0D ，()1,0,0B ，()1,1,0C ，11,0,22AM ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()0,1,1PD =- ，由（1）可知，向量AM是平面PBC 的法向量，设直线PD 与平面PBC 所成角为θ，所以1sin cos ,2PD AM θ== ,则π6θ=，所以直线PD 与平面PBC 所成角的大小为π6；【小问3详解】因为1PA AD ==，则PD =由（2）可知，直线PD 与平面PBC 所成角的大小为π6，所以点D 到平面PBCπ62=.20.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1A A ⊥平面ABC ，D 是BC的中点，BC =11A A AB AC ===．（1）求证：1//A B 平面1ADC ；（2）求二面角1D AC C --的余弦值；（3）判断直线11A B 与平面1ADC 是否相交，如果相交，求出A 到交点H 的距离；如果不相交，求直线11A B 到平面1ADC 的距离．【答案】（1）见解析（2）3（3）相交，AH =【解析】【分析】（1）构造中位线，利用线线平行证明线面平行；（2）建立空间直角坐标系，利用法向量求二面角的余弦值；（3）利用平面的性质，即可判断直线11A B 与平面1ADC 的位置关系，并利用图形求解.【小问1详解】连结1AC 交1AC 于点E ，连结DE，因为点,D E 分别是1,BC A C 的中点，所以1//DE A B ，且DE ⊂平面1ADC ，1A B ⊄平面1ADC ，所以1//A B 平面1ADC ；【小问2详解】因为1AB AC ==，BC =，所以AB AC ⊥，且1A A ⊥平面ABC ，所以如图，以点A 为原点，以向量1,,AB AC AA 为,,x y z轴的方向向量建立空间直角坐标系，()0,0,0A ，11,,022D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()10,1,1C ，11,,022AD ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()10,1,1AC =uuu r ，设平面1ADC 的法向量为(),,m x y z=，则1110220AD m x y AC m y z ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅=+=⎩ ，令1x =，则1y =-，1z =，所以平面1ADC 的法向量为()1,1,1m =-，平面1ACC 的法向量()1,0,0n =，设二面角1D AC C --的平面角为θ，则13cos cos ,33m n m n m n θ⋅==== ，所以二面角1D AC C --的余弦值为33；【小问3详解】如图，延长1C D 交1B B 于点G ，连结GA 并延长，交11B A 的延长线于点H ，因为点D 是BC 的中点，所以11GB BB ==，所以112BA B H =，即111A H AA ==，则22112AH =+=21.已知圆M ：22420x y x y +--=和直线l ：1y kx =-．（1）写出圆M 的圆心和半径；（2）若在圆M 上存在两点A ，B 关于直线l 对称，且以线段AB 为直径的圆经过坐标原点，求直线AB 的方程．【答案】（1）圆心为()2,1，半径为5（2）30x y +-=或0x y +=【解析】【分析】（1）将圆的一般方程化为标准方程，得到圆心和半径；（2）推出直线l 即为AB 的垂直平分线，过圆心()2,1M ，从而得到1k =，直线AB 的斜率为1-，再结合图形，得到当AB 过点M 和过原点时，满足要求，得到答案.【小问1详解】22420x y x y +--=变形为()()22215x y -+-=，故圆M 的圆心为()2,1【小问2详解】由垂径定理可知，线段AB 的垂直平分线一定过圆心()2,1M ，又A ，B 关于直线l 对称，故直线l 即为AB 的垂直平分线，所以直线l 过点()2,1M ，将其代入1y kx =-中得，211k -=，解得1k =，故直线AB 的斜率为1-，又以线段AB 为直径的圆经过原点，圆M 也经过原点，故当AB 过点M 时满足要求，此时直线AB 的方程为()12y x -=--，即30x y +-=，当当AB 过原点时，也满足要求，此时直线AB 的方程为()00y x -=--，即0x y +=，综上，直线AB 的方程为30x y +-=或0x y +=.。
部编人教版2024--2025学年度第一学期高二语文期中测试卷及答案
部编人教版2024--2025学年度第一学期期中测试卷高二 语文（满分：150分 时间：150分钟）一、现代文阅读（35分）（一）现代文阅读Ⅰ（本题共5小题，19分） （19分）阅读下面的文字，完成下面小题。
亿万年前的生命“氧”成记今天，人们对氧气的存在已经习以为常。
如果把时钟拨回几十亿年前，回到生命刚刚在地球上立足的时代，我们会发现那时地球上根本没有氧气。
但在衰老恒星的演化过程中，恒星核心通过核聚变合成了氧，所以宇宙中氧的含量还是比较丰富的，仅次于氢和氨。
不过，因为氧特别容易和其他元素发生化学反应，所以绝大部分的氧以某种化合物的形式存在。
这类化合物被称为氧化物，其中最常见的就是水。
据科学家推测，在地球诞生的早期，其表面有大量的水。
地球上演化出的第一批生物从未见过氧气，它们通过无氧呼吸获取能量，同时利用化学能合成身体所需的有机物。
在海洋深处就有一个生机勃勃的生态系统，管虫等多种生物生活于其中。
在距今约30亿年前，蓝细菌利用太阳能将水的氧原子的电子夺走，再传递给二氧化碳。
这一过程必然伴随着水被不断地裂解并释放出氧气。
所以，随着蓝细菌的繁殖，氧气就被源源不断地释放出来，一开始，氧气刚刚释放出来就会被消耗掉，这是因为氧气会与当时地球上还普遍存在的还原性物质发生反应，从而又回到了某种化合物的形态。
但当这些“缓冲物质”耗尽后，氧气就逐渐在地球大气中积累。
随着时间的推移，地球大气中终于出现了一定浓度的氧气。
这段时期被称为“大氧化”时代，发生在距今约24亿-18亿年前。
“大氧化”对于绝大部分厌氧生物而言是灭顶之灾。
这些生物从未见过氧气，当然也不会利用氧气。
对它们而言，氧气是有毒的，氧气会与其细胞中的各种生物分子发生反应，破坏细胞的正常功能。
所以，“大氧化”必然伴随着一波“大灭绝”。
同时，氧气浓度的上升又给地球的生命体指出了一条新的演化道路——如果能进行有氧呼吸，那么这种生物便可以得到更多的能量。
随着氧气浓度的上升，一个单细胞生物如果具有利用氧气氧化有机物从而获得能量的能力，它就会具有明显的竞争优势。
(新高考)2022-2023学年高二上学期期中考试语文试题及参考解析答案(Word版)
（新高考）2022-2023学年高二上学期期中考试语文试题及参考解析答案（Word版）2022-2023学年高二上学期期中考试试卷（新高考）语文一、现代文阅读（35分）（一）现代文阅读Ⅰ（本题共5小题，19分）阅读下面的文字，完成1～5题。
材料一：北宋的题山水画诗，固然仍有不少是停留在单纯描述画面，赞扬画家画得逼真，然而融入个人情感的作品比例却大大增加。
更重要的是，与唐代不同，在这类融入个人情感的诗歌中，卧游不再是最重要的表现内容，它只是一个途径，而归隐才是最终目的。
在北宋涉及党争的诗人的题山水画诗中，提到归隐的诗歌约占30％，远远高于唐代。
而谈到归隐的作者更是远多于唐，苏轼、苏辙、黄庭坚、米芾、晁补之、蔡襄、秦观等都有提及。
北宋是山水画发展的一个高峰期，不仅出现了李成、范宽这样杰出的山水画家，而且诞生了郭熙《林泉高致》这样精到的山水画理论总结，而这一时期苏轼的画学理论更推进了文人画的形成。
在这种背景之下，山水画空前繁荣，山水不仅彻底摆脱了作为背景的尴尬局面，取得了独立的地位，而且融入了文人的情思，更易与诗人契合。
故失意的文人更容易在山水画中找到心灵的栖息之处。
然而林泉之思大量产生的更重要的原因，是与北宋党争有关。
政党之间的相互倾轧，使许多文人卷入了政治漩涡，宦海沉浮的沧桑使文人们大多疲惫不堪，故而转向对山水的倾诉，以求通过山水获得精神压力的释放。
这种情绪深深地反映到了题山水画诗中，成为观山水画所得的一个最重要的感受。
如晁补之《题段吉先小景》三首（其二）：人生何事踏尘埃，闲处胸襟足自开。
不作终南养高价，小山幽桂好归来。
晁补之作为“苏门四学士”之一，亦被作为旧党卷入到党争之中，这使其诗歌洋溢着浓厚的归隐情绪。
这首诗否定了唐代以隐居为终南捷径的表达方式，而认同真正的归隐。
在北宋党争之后，题山水画诗建立起一种归隐的情调。
不仅单纯地描述画面，强调画中景致的逼真，而且融入了一种深沉的林泉之思。
这种规范的建立，对北宋之后的题山水画诗书写更产生了重要的导向作用。
山东省济南市山东省实验中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题(含答案)
山东省实验中学2024～2025学年第一学期期中高二数学试题 2024.11（选择性必修—检测）说明：本试卷满分150分，分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为第1页至第2页，第Ⅱ卷为第3页至第4页.试题答案请用2B 铅笔或0.5mm 签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（共58分）一、单选题（本题包括8小题，每小题5分，共40分。
每小题只有一个选项符合题意）1.已知空间向量，，，若，，共面，则实数（ ）A.1B.2C.3D.42.“”是“直线与直线平行”的（ ）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.给出下列说法，其中不正确的是（）A.若，则，与空间中其它任何向量都不能构成空间的一个基底向量B.若，则点是线段的中点C.若，则，，，四点共面D.若平面，的法向量分别为，，且，则3.若三条直线，，不能围成三角形，则实数的取值最多有（ ）A.2个B.3个C.4个D.5个4.实数，满足，则的最小值为（ ）A. B.7C. D.36.若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）A.()1,2,0a = ()0,1,1b =- ()2,3,c m = a b cm =1m =-()1:2310l mx m y +++=2:30l x my ++=a b ∥a b c2PM PA PB =+M AB 2OA OB OC OD =+-A B C D αβ()12,1,1n =- ()21,,1n t =-αβ⊥3t =1:43l x y +=2:0l x y +=3:2l x my -=m x y 2222x y x y +=-3x y -+3+:20l kx y --=:1C x =-k k >5k <≤k <<1k <≤7.在三棱锥中，为的重心，，，，，，若交平面于点，且，则的最小值为（ ）A.B.C.1D.8.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上且位于第一象限，圆与线段的延长线，线段以及轴均相切，的内切圆为圆.若圆与圆外切，且圆与圆的面积之比为4，则的离心率为（ ）A.C.二.多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.）9.下列说法正确的是（）A.若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大B.圆与直线必有两个交点C.在轴、轴上的截距分别为，的直线方程为D.设，，若直线与线段有交点，则实数的取值范围是10.已知椭圆的离心率为，长轴长为6，，分别是椭圆的左、右焦点，是一个定点，是椭圆上的动点，则下列说法正确的是（ ）A.焦距为2B.椭圆的标准方程为P ABC -G ABC △PD PA λ= PE PB μ= 12PF PC =λ()0,1μ∈PG DEF M 12PM PG =λμ+122343()2222:10x y C a b a b+=>>1F 2F P C 1O 1F P 2PF x 12PF F △2O 1O 2O 1O 2O C 123522:4O x y +=10mx y m +--=x y a b 1x y a b+=()2,2A -()1,1B :10l ax y ++=AB a (]322⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭，，()2222:10x y E a b a b +=>>23F F '()1,1A P E E 22195x y +=C.D.的最大值为11.立体几何中有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，这是一个棱数24，棱长为的半正多面体，它所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得的，下列结论正确的有（）A.平面B.，，，四点共面C.点到平面的距离为D.若为线段上的动点，则直线与直线所成角的余弦值范围为第Ⅱ卷（非选择题，共92分）三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分.）12.已知直线的倾斜角，则直线的斜率的取值范围为______.13.如图，已知点，，从点射出的光线经直线反射后再射到直线上，最后经直线反射后又回到点，则光线所经过的路程是______.14.杭州第19届亚运会的主会场——杭州奥体中心体育场，又称“大莲花”（如图1所示）.会场造型取意于杭州丝绸纹理与纺织体系，建筑体态源于钱塘江水的动态，其简笔画如图2所示.一同学初学简笔画，先AF '=PA PF +6AG ⊥BCDG A F C D B ACD E BC DE AF 12⎡⎢⎣l 2,43ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭l ()8,0A ()0,4B -()3,0P AB OB OB P画了一个椭圆与圆弧的线稿，如图3所示.若椭圆的方程为，下顶点为，为坐标原点，为圆上任意一点，满足，则点的坐标为______；若为椭圆上一动点，当取最大值时，点恰好有两个，则的取值范围为______.图1 图2 图3四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.（13分）已知两直线和的交点为.（1）直线过点且与直线平行，求直线的一般式方程；（2）圆过点且与相切于点，求圆的一般方程.16.（15分）已知椭圆，且过点.（1）求椭圆的方程；（2）若斜率为的直线与椭圆交于，两点，且点在第一象限，点，分别为椭圆的右顶点和上顶点，求四边形面积的最大值.17.（15分）在梯形中，，，，为的中点，线段与交于点（如图1）.将沿折起到位置，使得（如图2）.图1 图2（1）求证：平面平面；（2）线段上是否存在点，使得与平面的值；若不存在，请说明理由.E()222210x ya ba b+=>>10,2A⎛⎫-⎪⎝⎭O P C2PO PA=C Q QC Q a1:20l x y++=2:3210l x y-+=Pl P310x y++=lC()1,01l P C()2222:10x yC a ba b+=>>⎛⎝C12l C M N M A B CAMBN SABCD AB CD∥3BADπ∠=224AB AD CD===P AB AC DP O ACD△AC ACD'△D O OP'⊥D AC'⊥ABCPD'Q CQ BCD'PQPD'18.（17分）已知直线，半径为2的圆与相切，圆心在轴上且在直线的右上方.（1）求圆的方程；（2）直线与圆交于不同的，两点，且，求直线的斜率；（3）过点的直线与圆交于，两点（在轴上方），问在轴正半轴上是否存在定点，使得轴平分？若存在，请求出点的坐标：若不存在，请说明理由.19.（17分）已知点，是平面内不同的两点，若点满足（，且），则点的轨迹是以有序点对为“稳点”的-阿波罗尼斯圆.若点满足，则点的轨迹是以为“稳点”的-卡西尼卵形线.已知在平面直角坐标系中，，.（1）若以为“稳点”的-阿波罗尼斯圆的方程为，求，，的值；（2）在（1）的条件下，若点在以为“稳点”的5-卡西尼卵形线上，求（为原点）的取值范围；（3）卡西尼卵形线是中心对称图形，且只有1个对称中心，若，，求证：不存在实数，，使得以—阿波罗尼斯圆与—卡西尼卵形线都关于同一个点对称.:40l x ++=C l C x l C 2y kx =-C M N 120MCN ︒∠=2y kx =-()0,1M C A B A x y N y ANB ∠N A B P PAPBλ=0λ>1λ≠P (),A B λQ ()0QA QB μμ⋅=>Q (),A B μ()2,0A -()(),2B a b a ≠-(),A B λ221240x y x +-+=a b λQ (),A B OQ O 0b =λ=a μ(),A B μ山东省实验中学2024～2025学年第一学期期中高二数学试题参考答案 2024.11选择题1234567891011ABCBDDCCBDBCDABD填空题12..13.，.解答题15.【答案】（1）（2）.【详解】（1）直线与直线平行，故设直线为，……1分联立方程组，解得.直线和的交点.……3分又直线过点，则，解得，即直线的方程为.……5分（2）设所求圆的标准方程为，的斜率为，故直线的斜率为1，由题意可得，……8分解得，……11分故所求圆的方程为.(()1,-∞-+∞ ,20,3⎛⎫-⎪⎝⎭a >340x y ++=221140333x y x y +++-=l 310x y ++=l 130x y C ++=203210x y x y ++=⎧⎨-+=⎩11x y =-⎧⎨=-⎩∴1:20l x y ++=2:3210l x y -+=()1,1P --l P 1130C --+=14C =l 340x y ++=()()222x a y b r -+-=1:20l x y ++=1-CP ()()()()2222221110111a b r a b r b a ⎧--+--=⎪⎪-+-=⎨⎪+⎪=+⎩216162518a b r ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩2211256618x y ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化为一般式：.……13分16.【答案】（1）（2）【详解】（1）由椭圆，解得，……2分由椭圆过点，得，联立解得，，……4分所以椭圆的方程为.……5分（2）由题意可设，点在第一象限，，……6分设，，点，到直线的距离分别为，，由，消可得，，，……8分10分，，直线的一般式方程：，，，，……12分14分当时，有最大值为……15分17.【答案】（1）证明见解析（2）存在，【详解】（1）证明：在梯形中，，22114333x y x y+++-=2214xy+=2222:1x yCa b+==2a b= C⎛⎝221314a b+=2a=1b=C2214xy+=1:2l y x m=+M11m∴-<<()11,M x y()22,N x y A B l1d2d221412xyy x m⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩y222220x mx m++-=122x x m∴+=-21222x x m=-MN∴===()2,0A()0,1B l220x y m-+=1d∴=2d=12d d∴+=()121122AMN BMNS S S MN d d∴=+=⋅+==△△m=S13ABCD AB CD∥，，为的中点，，，，……1分是正三角形，四边形为菱形，，，……3分，，又，，平面，平面，……5分平面，平面平面.……6分（2）存在，，理由如下：……8分平面，，，，两两互相垂直，如图，以点为坐标原点，，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系.则，，，，，，设平面的一个法向量为，则，即，令，则，，，……11分设，，，， (12)分设与平面所成角为，则，即，，解得，224AB AD CD ===3BAD π∠=P AB CD PB ∴∥CD PB =BC DP =ADP ∴△DPBC AC BC ∴⊥AC DP ⊥AC D O ⊥' D O OP '⊥AC OP O = AC OP ⊂ABC D O ∴'⊥ABC D O ⊂' D AC '∴D AC '⊥ABC 13PQ PD '=D O ⊥' BAC OP AC ⊥OA ∴OP OD 'O OA OP OD 'x y z ()C ()2,0B ()0,0,1D '()0,1,0P )2,1BD ∴'=- )CD '=CBD '(),,n x y z =00n BD n CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩'' 200y z z -+=+=⎪⎩1x =0y =z =(1,0,n ∴=()01PQ PD λλ'=≤≤)CP =()0,1,1PD =-'),CQ CP PQ CP PD λλλ∴=+=+=- CQ BCD 'θsin cos ,CQ n CQ n CQ n θ⋅====23720λλ-+=01λ≤≤ 13λ=线段上存在点，且，使得与平面……15分18.【答案】（1）（2）（3）【详解】（1）设圆心，则，……2分解得或（舍），故圆的方程为.……4分（2）由题意可知圆心到直线的距离为，……6分，解得.……8分（3）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，，由得，……10分，……12分若轴平分，则，即，即，即，即，即，……14分当时，上式恒成立，即；……15分当直线的斜率不存在或斜率为0时，易知满足题意；综上，当点的坐标为时，轴平分.……17分19.【答案】（1），，（2）（3）证明见解析【详解】（1）因为以为“稳点”的—阿波罗尼斯圆的方程为，设是该圆上任意一点，则，……1分所以，……3分∴PD 'Q 13PQ PD '=CQ BCD '224x y +=k =()0,4N ()(),04C a a >-422a +=0a =8a =-C 224x y +=C 2y kx =-2sin 301︒=1=k =AB AB ()10y kx k =+≠()()0,0N t t >()11,A x y ()22,B x y 224,1x y y kx ⎧+=⎨=+⎩()221230k x kx ++-=12221k x x k -∴+=+12231x x k -=+y ANB ∠AN BN k k =-12120y t y t x x --+=1212110kx t kx tx x +-+-+=()()1212210kx x t x x +-+=()()22126011t k k k k -⨯--+=++40k kt -+=4t =()0,4N AB ()0,4N N ()0,4y ANB ∠2a =0b =λ=[]1,3(),A B λ221240x y x +-+=(),P x y 22124x y x +=-()()()()22222222222222244162212224PA x y x y x x x y ax by a b a x by a bx a y b PB+++++===+--++--+-+-+-因为为常数，所以，，且，……5分所以，，.……6分（2）解：由（1）知，，设，由，所以，……7分，整理得，即，所以，……9分，……10分由，得，即的取值范围是.……12分（3）证明：若，则以—阿波罗尼斯圆的方程为，整理得，该圆关于点对称.……15分由点，关于点对称及，可得—卡西尼卵形线关于点对称，令，解得，与矛盾，所以不存在实数，，使得以—阿波罗尼斯圆与—卡西尼卵形线都关于同一个点对称……17分22PA PB2λ2240a b -+=0b =2a ≠-2a =0b =λ==()2,0A -()2,0B (),Q x y 5QA QB ⋅=5=()222242516x y x ++=+2240y x =--≥42890x x --≤()()22190x x +-≤209x ≤≤OQ ==209x ≤≤13OQ ≤≤OQ []1,30b =(),A B ()()222222x y x a y ⎡⎤++=-+⎣⎦()22244240x y a x a +-++-=()22,0a +()2,0A -(),0B a 2,02a -⎛⎫⎪⎝⎭QA QB μ⋅=μ2,02a -⎛⎫⎪⎝⎭2222a a -+=2a =-2a ≠=-a μ(),A B μ。
浙江省杭州2023-2024学年高二上学期期中数学试题含解析
杭州2023学年第一学期高二年级期中数学试卷（答案在最后）第Ⅰ卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.“2m =”是“直线1l：()310m x my -++=与直线2l ：()120mx m y +--=互相垂直”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据两直线垂直求出参数的值，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】若直线1l ：()310m x my -++=与直线2l ：()120mx m y +--=互相垂直，则()()310m m m m -+-=，解得0m =或2m =，所以由“2m =”推得出“直线1l ：()310m x my -++=与直线2l ：()120mx m y +--=互相垂直”，即充分性成立；由“直线1l ：()310m x my -++=与直线2l ：()120mx m y +--=互相垂直”推不出“2m =”，即必要性不成立，所以“2m =”是“直线1l ：()310m x my -++=与直线2l ：()120mx m y +--=互相垂直”的充分不必要条件.故选：A2.已知事件,A B 相互独立，()0.5P A =，()0.4P B =，则()P A B +=（）A.0.88 B.0.9C.0.7D.0.72【答案】C 【解析】【分析】根据事件,A B 相互独立得到()()()0.2P AB P A P B ==，结合()()()()P A B P A P B P AB +=+-求出答案.【详解】因为事件,A B 相互独立，故()()()0.50.40.2P AB P A P B ==⨯=，又()0.5P A =，()0.4P B =，所以()()()()0.50.40.20.7P A B P A P B P AB +=+-=+-=.故选：C 3.过点)，且与椭圆2212516y x +=有相同焦点的椭圆的标准方程为（）A.221189x y += B.221189y x += C.221123x y += D.221123y x +=【答案】D 【解析】【分析】设所求椭圆方程为22221y xa b +=()0a b >>，依题意可得22229421a b a b⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得2a 、2b ，即可求出椭圆方程.【详解】椭圆2212516y x +=的焦点为()0,3或()0,3-，设所求椭圆方程为22221y x a b+=()0a b >>，则22229421a b a b⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得22123a b ⎧=⎨=⎩，所以椭圆方程为221123y x +=.故选：D4.已知()()()()0,0,2,1,0,1,1,1,0,0,0,0A B C O -，则点O 到平面ABC 的距离是（）A.11B.11C.5D.5【答案】B 【解析】【分析】利用空间向量计算点面距离即可.【详解】由题意可知()()()1,0,3,1,1,2,0,0,2AB AC AO =-=-=-，设面ABC 的一个法向量为(),,n x y z = ，则030200n AB x z x y z n AC ⎧⋅=-=⎧⎪⇒⎨⎨+-=⋅=⎩⎪⎩ ，取13,1z x y =⇒==-，即()3,1,1n =-，所以点O 到平面ABC 的距离是11AO n d n ⋅=== .故选：B5.点(),P x y 在圆222x y +=上运动，则3x y -+的取值范围（）A.[]0,1 B.[]0,4 C.[]1,5 D.[]1,4【答案】C 【解析】(),P x y 到直线30x y -+=的距离d ，求出圆心()0,0O 到直线30x y -+=的距离1d ，从而求出d 的取值范围，即可求出3x y -+的取值范围.【详解】圆222x y +=的圆心为()0,0O ，半径r =因为点(),P x y 在圆222xy +=上运动，又3x y-+=(),P x y 到直线30x y -+=的距离d ，所以3x y -+=，又圆心()0,0O 到直线30x y-+=的距离1322d ==，所以11d rd d r -≤≤+，即22d ≤≤，所以[]31,5x y -+=∈.故选：C6.如图，在边长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，3BC EC =，点P 在底面正方形ABCD 上移动（包含边界），且满足11B P D E ⊥，则线段1B P 的长度的最大值为（）A.B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】建立合适的空间直角坐标系，求出点P 的轨迹结合函数求最值即可.【详解】依据题意可以建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()110,0,3,1,3,0,3,3,3D E B ，设()[](),,0,0,3P x y x y ∈，所以()()113,3,3,1,3,3B P x y D E =---=-，即1133033B P D E x y x y ⋅=+-=⇒=-，所以[]03330,1y y ≤-≤⇒∈，而1B P =，由二次函数的单调性可知22391061810181010t y y y ⎛⎫=-+=-+- ⎪⎝⎭，当1y =时，max 22t =，则1max B P =.故选：B7.已知A ，B 是圆()()()22:330C x m y m -+-=>上两点，且AB =.若存在R a ∈，使得直线1:410l ax y a -++=与2:50l x ay a +-=的交点P 恰为AB 的中点，则实数m 的取值范围为（）A.(0,1⎤-⎦B.(0,2⎤⎦C.(0,1⎤+⎦D.(3⎤+⎦【答案】A 【解析】【分析】根据直线与圆相交的弦长可得AB 中点M 的轨迹为()()2231x m y -+-=，又根据直线1l ，2l 的方程可知12l l ⊥，交点P 的轨迹方程为()()22238x y ++-=，若P 恰为AB 的中点，即圆M 与圆P 有公共点，根据圆与圆的位置关系可得实数m 的取值范围.【详解】圆()()()22:330C x m y m -+-=>，半径为r =，设AB 中点为M ，且直线AB 与圆的相交弦长为AB =即1MC =，所以点M 的轨迹方程为()()()22310x m y m -+-=>，又直线1:410l ax y a -++=过定点()4,1Q -，直线2:50l x ay a +-=过定点()0,5S ，且12l l ⊥，则点P 是两垂线的交点，所以P 在以QS 为直径的圆上，则圆心()2,3-，半径12QS =，所以点P 的轨迹方程为()()22238x y ++-=，由于直线1l 的斜率存在，所以点P 的轨迹要除去点()4,5-，若点P 恰为AB 中点可知圆P 与圆M 有公共点，即11-≤，0m >，即121m -≤+≤+，解得31m -≤≤-，即01m <≤，故选：A.8.已知动点,P Q 分别在正四面体ABCD 的内切球与外接球的球面上，且PQ x AB y AC z AD =++，则2x y z ++的最大值为（）A.1+6B.263C.12+D.83【答案】B 【解析】【分析】计算出正四面体ABCD 的内切球与外接球的半径，求出()2,x y z AT AT ++⋅范围，即可得出2x y z ++的最大值.【详解】由题意，连接,AD EF ，设交点为M ，则点M 是AD 中点设正方体边长为2，由几何知识得，点A 到面BCM 距离即为AM ，设内切球半径为1r ，外接球半径为2r ，三棱锥外接球半径222222232r ++==，而由正三棱锥内切球半径公式，13323r ==，取任意一点P ，使得()22x y z AT xAB y AC z AD xAB y AC z AM ++⋅=++=++，则点T 在面BCM 上，∴()123432333x y z AT PQ r r ++⋅=≤+=+=，点A 到面BCM 距离为=d AM ，则22AT d AM ≥=== ∴()43263232x y z AT x y z AT++⋅++=≤,故选：B.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.某学校随机抽取100名学生数学周测成绩的频率分布直方图如图所示,据此估计该校本次数学周测的总体情况(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表),下列说法正确的是（）A.众数为60或70B.45%分位数为70C.平均数为73D.中位数为75【答案】BC 【解析】【分析】利用众数的概念直接可判断A ，再根据平均数，中位数及百分位数公式可判断BCD.【详解】A 选项：由频率分布直方图可知众数为6070652+=，A 选项错误；B 选项：由频率分布直方图可得0.005100.04100.45⨯+⨯=，所以45%分位数为70，B 选项正确；C 选项：由频率分布直方图可知平均数为550.00510650.0410750.0310850.0210950.0051073⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，C 选项正确；D 选项：由频率分布直方图可得0.005100.04100.450.5⨯+⨯=<，0.005100.04100.03100.750.5⨯+⨯+⨯=>，所以中位数[)70,80a ∈，所以()0.005100.0410700.030.5a ⨯+⨯+-⨯=，解得71.67a ≈，D 选项错误；故选：BC.10.已知点()0,1P 和直线:210l x y ++=,下列说法不正确的是（）A.经过点P 的直线都可以用方程1y kx =+表示B.直线l 在y 轴上的截距等于1C.点P 关于直线l 的对称点坐标为81,55⎛⎫- ⎪⎝⎭D.直线l 关于点P 对称的直线方程为230x y ++=【答案】ABD 【解析】【分析】当过点P 的直线斜率不存在时，方程为0x =，可判断A 选项，令0x =可判断B 选项，设点P 关于直线l 的对称点为()11,x y ，根据对称的概念列方程，可判断C 选项，设l 上一点()00,x y ，其对称点为(),x y ，根据对称及点()00,x y 在直线l 上，可得直线方程，即可判断D 选项.【详解】A 选项：当过点P 的直线斜率不存在时，方程为0x =，A 选项错误；B 选项：令0x =，得10y +=，即1y =-，所以截距为1-，B 选项错误；C 选项：设点P 关于直线l 的对称点为()11,x y ，所以()111101*********x y y x ++⎧⨯++=⎪⎪⎨-⎪⨯-=--⎪⎩，解得118515x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以点P 关于直线l 的对称点坐标为81,55⎛⎫- ⎪⎝⎭，C 选项正确；设l 上一点()00,x y ，其对称点为(),x y ，则000212x xy y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，即002x x y y =-⎧⎨=-⎩，又点()00,x y 在直线l 上，则()()2210x y ⨯-+-+=，即230x y +-=，D 选项错误；故选：ABD.11.如图,棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中,E 、F 分别为棱111,A D AA 的中点,G 为面对角线1B C 上一个动点,则（）A.三棱锥1A EFG -的体积为定值B.点E 到直线1B CC.线段1B C 上存在点G ,使得FG BD⊥D.线段1B C 上不存在点G ,使平面//EFG 平面1BDC 【答案】ACD【解析】【分析】利用等体积法可判定A ，建立合适的空间直角坐标系利用空间向量计算点线距离，线线与面面位置关系可判定B 、C 、D .【详解】由正方体的结构特征可知1//B C 平面AEF ，故点G 到平面AEF 距离2h AB ==不变，所以11113G A EF A EFG A EF V V S h --==⨯⨯ ，又1122222A EF S =⨯⨯ 是定值，故A正确；如图所示，建立空间直角坐标系，则()()()()111,0,2,0,2,0,2,2,2,0,2,2E C B C ，()()2,0,1,2,2,0F B 所以()()11,2,2,2,0,2EC B C =--=--，故点E 到直线1B C的距离2d ==，故B 错误；设()1101B G B C λλ=<< ，则()()()110,2,12,0,22,2,12FG FB B C λλλλλ=+=+--=--，()2,2,0DB = ，所以4401DB FG λλ⋅=-+=⇒=，即G C 、重合，故C 正确；易知()10,2,2DC = ，设平面1BDC 的一个法向量为(),,n x y z =，则102202200n DB x y y z n DC ⎧⋅=+=⎧⎪⇒⎨⎨+=⋅=⎩⎪⎩ ，取11y x z =-⇒==，即()1,1,1n =- 而()1,0,1EF =- ，则10,2212004n EF n FG λλλ⋅=⋅=--+-=⇒=-<，故不存在G 使得n FG ⊥，故D 正确.故选：ACD12.已知12(,0),(,0)F c F c -分别为椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，下列说法正确的是（）A.若点P 为椭圆上一点,则21||||PF PF -的最大值是2cB.若点T 的坐标为1(,0)2a ,P 是椭圆上一动点,则线段PT 长度的最小值为12aC.过F 2作垂直于x 轴的直线,交椭圆于A ,B 两点,则22c AF a a=-D.若椭圆上恰有6个不同的点P ,使得12PF F △为等腰三角形,则椭圆E 的离心率的取值范围是111,,1322⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】ACD 【解析】【分析】A ，结合三角形不等式即可；B ，设出(),P m n ，[],m a a ∈-，则22221m na b+=，表达出22342222221244c a a PT m a b a c c ⎛⎫=-++- ⎪⎝⎭，分3202a a c <<与322a a c≥两种情况，得到不同情况下的线段PT 长度的最小值，B 错误；；C ，x c =代入即可求；D ，选项，先得到上下顶点能够使得12PF F △为等腰三角形，再数形结合得到1F 为圆心，12F F 为半径作圆，只能交椭圆与不同于上下顶点的12,P P 两点，列出不等式组22a c ca c -<⎧⎨≠⎩，求出答案；【详解】对A ，1122||||||PF PF F F -≤，当P 在左顶点时等号成立，则最大值是2c ，A 正确；对B ，设(),P m n ，[],m a a ∈-，则22221m na b+=，22222222222222111244b m c PT m a n m am a b m am a b a a ⎛⎫=-+=-++-=-++ ⎪⎝⎭，2234222221244c a a m a b a c c⎛⎫=-++- ⎪⎝⎭，若b c <，此时222a c <，3202a a c <<，此时当322a m c =时，2PT 取得最小值，最小值为4222144a a b c+-，线段PT ；若b c ≥，此时222a c ≥，322a a c≥，此时当m a =时，2PT 取得最小值，最小值为214a ，线段PT 长度的最小值为12a ，综上：B 错误；对C ，当x c =时，22221c ya b+=，解得2b y a =±，即22222||b a c c AF a a a a-===-，C 正确；对D ，如图，椭圆左右顶点为,A B ，上下顶点为,C D ，显然上下顶点能够使得12PF F △为等腰三角形，要想椭圆上恰有6个不同的点P ，使得12PF F △为等腰三角形，以1F 为圆心，12F F 为半径作圆，只能交椭圆与不同于上下顶点的12,P P 两点，则要满足11F A FQ <，且111FC F P ≠，即22a c c a c-<⎧⎨≠⎩，解得：13c a >，且12c a ≠，故椭圆E 的离心率的取值范围是111,,1322⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，D 正确；故选：ACD第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.在两坐标轴上的截距相等，且与圆22(3)(4)2x y -+-=相切的直线有________条.【答案】4【解析】【分析】分横纵截距为零和横纵截距不为零两种情况讨论即可.【详解】圆()()22342x y -+-=的圆心坐标为()3,4，当横纵截距为零时，直线方程为()0y kx k =≠，=，整理得2724140k k -+=，因为22447141840∆=-⨯⨯=>，所以方程2724140k k -+=有两个解，故当横纵截距为零时存在两条直线与圆相切；当横纵截距不为零时，设直线方程为()0x y a a +=≠，=5a =或9，所以横纵截距不为零时存在两条直线与圆相切，综上可得，存在4条截距相等的直线与圆相切.故答案为：4.14.已知矩形ABCD，1,AB BC ==，沿对角线AC 将ABC 折起，若BD =则二面角B AC D --的余弦值为________．【答案】13【解析】【分析】利用空间向量的数量积与模长计算夹角即可.【详解】如图所示，过B D 、分别作,BE AC DF AC ⊥⊥，垂足分别为E F 、，由矩形ABCD 中，1,AB BC ==，可知12,=60,,122AC BAC BE DF AE CF EF =∠⇒===== ，设二面角B AC D --的平面角为α，则,EB FD α=，2222222BD BE EF FD BD BE EF FD BE EF EF FD BE FD=++⇒=+++⋅+⋅+⋅ ()33312=++1+2cos πcos 4443αα⨯⨯-⇒=.故答案为：1315.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点为A ，上顶点为,B O 为坐标原点，椭圆上的点()(),,,M M N N M x y N x y 分别在第一､二象限内，若OAN 与OBM 的面积相等，且2224M N x x b +=，则C的离心率为__________.【答案】2【解析】【分析】根据题意，由两个三角形面积相等可得N M ay bx =，将点N 的坐标代入椭圆方程，结合条件化简即可得到,a b 关系，再根据离心率公式即可得到结果.【详解】因为OAN 与OBM 的面积相等，且()(),,,M M N N M x y N x y ，则1122N M ay bx =，即N M ay bx =，所以2222N M a y b x =，将(),N N N x y 坐标代入2222:1(0)x y C a b a b +=>>，可得22221N N x y a b+=，化简可得222222N N b x a y a b +=，即222222N M b x b x a b +=，所以()22222NM bxx a b +=，且2224MN x x b +=，所以22224b b a b ⋅=，即224a b =，则离心率为2e ===，故答案为:216.某同学回忆一次大型考试中的一道填空题，题目要求判断一条给定直线与给定圆的位置关系，该同学表示，题中所给直线与圆的方程形式分别为:l y kx b =+，222:C x y r +=，但他忘记了方程中的三个参数的具体值，只记得{},,1,2,3,4k b r ∈，并且他填写的结果为直线与圆相交.若数组(,,)k b r 的每一种赋值的可能性都相等，则该同学该题答对的概率为________.【答案】78##0.875【解析】【分析】利用直线与圆的位置关系结合古典概型分类讨论计算即可.【详解】易知数组(,,)k b r 有3464=种结果，若要直线与圆相交，需圆心()0,0C 到直线l 的距离2221b d r k r =<⇒<+，显然b r ≤时，22211b k r≤<+恒成立，若b r >，①当2,1b r ==，此时1k =不符题意；②当3,1b r ==，此时1,2k =不符题意，当3,2b r ==，此时1k =不符题意；③当4,1b r ==，此时1,2,3k =不符题意，当4,2b r ==，此时1k =不符题意，当4,3b r ==，k 取何值均成立；综上，共有8种情况不符题意，故答对的概率为871648P =-=.故答案为：78四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知, , a b c 是空间中的三个单位向量,且a b ⊥ ,,,60a c b c == .若2OM a b c =+-，OA a b c =++ ,2OB a b c =++ .（1）求MB;（2）求MB 和OA夹角的余弦值.【答案】（1；（2）15【解析】【分析】利用空间向量的数量积公式计算即可.【小问1详解】由已知可得2MB OB OM a b c =-=-++，所以MB =；【小问2详解】由OA a b c OA =++⇒=，所以MB 和OA夹角的余弦值为222cos ,15MB OA MB OA MB OA⋅==⋅ .18.为调查高一、高二学生心理健康情况,某学校采用分层随机抽样方法从高一、高二学生中分别抽取了60人､40人参加心理健康测试(满分10分).经初步统计,参加测试的高一学生成绩i x ()1,2,3,,60i =⋅⋅⋅的平均分8x =,方差22x s =,高二学生成绩i y (i =1,2,…,40)的统计表如下:成绩y 456789频数12915103（1）计算参加测试的高二学生成绩的平均分y 和方差2y s ；（2）估计该学校高一､高二全体学生的平均分z 和方差2z s .【答案】18.7，1.2；19.7.6，1.92.【解析】【分析】（1）利用统计表计算平均数与方差即可；（2）根据分层抽样的平均数与方差公式计算即可.【小问1详解】由表可知41526971581093712915103y ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==+++++，()()()()()()222222214725796715771087397 1.240y s ⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-==；【小问2详解】由已知及（1）可知6040877.6100100z =⨯+⨯=，()()222226040 1.92100100z x y s s x z s y z ⎡⎤⎡⎤=⨯+-+⨯+-=⎣⎦⎣⎦.19.在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立.发送0时，收到1的概率为12，收到0的概率为12；发送1时，收到0的概率为13，收到1的概率为23.（1）重复发送信号1三次，计算至少收到两次1的概率；（2）依次发送1，1，0，判断以下两个事件：①事件A ：至少收到一个正确信号；②事件B ：至少收到两个0，是否互相独立，并给出证明.【答案】19.2027；20.事件A 与事件B 不互相独立，证明见解析.【解析】【分析】（1）利用事件的相互独立求“至少收到两次1”的概率；（2）利用事件的相互独立性计算()P A ，()P B ，()P AB ，利用独立事件的概率公式验证.【小问1详解】重复发送信号1三次，“至少收到两次1”的可能情况为：(1，1，1)，(1，0，1)，(1，1，0)，(0，1，1)，因为信号的传输相互独立，故“至少收到两次1”的概率为：2222122211222033333333333327⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=.【小问2详解】事件A 与事件B 不互相独立，证明如下：若依次发送1，1，0，则三次都没收到正确信号的概率为111133218⨯⨯=，故至少收到一个正确信号的概率为()11711818P A =-=；若依次发送1，1，0，“至少收到两个0”的可能情况为：(0，0，0)，(0，0，1)，(0，1，0)，(1，0，0)，根据事件的相互独立性，故()11111112121161332332332332183P B =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯==，若依次发送1，1，0，“至少收到两个0且至少收到一个正确信号”的可能情况为：(0，0，0)，(0，1，0)，(1，0，0)，根据事件的相互独立性，故()111121211533233233218P AB =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，因为()()()P A P B P AB ≠，所以事件A 与事件B 不互相独立.20.已知圆22:46120C x y x y +---=.（1）求过点()75,且与圆C 相切的直线方程;（2）求经过直线70x y +-=与圆C 的交点,且面积最小的圆的方程.【答案】（1）21202470x y +-=或7x =（2）23π【解析】【分析】（1）由已知可得点()75,在圆外，即有两条切线，当切线斜率存在时，设出切线方程，根据点到直线距离公式可得斜率与方程，当切线斜率不存在时，可判断直线与圆相切；（2）由已知可设圆的方程为()22461270x y x y x y λ+---++-=，可得圆的半径1r =，可知当2λ=-时，1r ，此时面积最小为23π.【小问1详解】由22:46120C x y x y +---=得()()22:2325C x y -+-=，圆心()2,3C ，半径=5r ，又()75,到圆心的距离为5=>，所以点()75,在圆外，所以过点()75,的切线共有两条，当切线斜率存在时，设切线方程为()57y k x -=-，即750kx y k --+=，所以圆心C到直线的距离5d =，解得2120k =-，所以直线方程为()215720y x -=--，即21202470x y +-=，当直线斜率不存在时，直线方程为7x =，与圆C 相切，综上所述，切线方程为21202470x y +-=或7x =.【小问2详解】已知可设圆的方程为()22461270x y x y x y λ+---++-=，即()()22461270x y x y λλλ++-+---=，则圆的半径1r =可知当2λ=-时，1r ，此时面积最小为21π23πS r ==.21.如图，三棱台111ABC A B C -中，AB AC ==，112B C BC ==1AA =，点A 在平面111AB C 上的射影在111B A C ∠的平分线上.（1）求证：111AA B C ⊥；（2）若A 到平面111A B C 的距离为4，求直线AC 与平面11AA B B 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）35【解析】【分析】（1）利用线面垂直证线线垂直即可；（2）利用棱台的特征补全棱锥，结合等体积法求点面距离，计算即可.【小问1详解】如图所示，补全棱台，延长三条侧棱交于O 点，得到棱锥111O A B C -，由题意可知、、A B C 分别是三条侧棱111OA OB OC 、、的中点，取11B C 的中点D ，连接1A D ，设A 在底面111A B C 的投影为M ，连接AM ，根据题意可知AM ⊥底面111A B C ，且M 在1A D 上，因为11B C ⊂面111A B C ，所以11AM B C ⊥又1111AB AC A B A C =⇒=，所以111A D B C ⊥,而11,A D AM M A D AM ⋂=⊂、平面1AA D ,所以11B C ⊥面1AA D ,因为1AA ⊂面1AA D ，所以111B C AA ⊥；【小问2详解】过O 作ON ⊥底面111A B C ，结合（1）可知N 在1A D 上，且4,8AM ON ==，在111A B C △上，()2211111112225,2225322A B A C B C A D ⎛⎫===⇒=-= ⎪ ⎪⎝⎭，结合题意可知：22111122,2422A M A A AM A N A M DM DN =-===⇒==，则22221166,217OD DN ON OB B D OD =+==+=在11OA B中，22211111111112cos 2A O B O A B OA AA A OB A O B O +-==⇒∠==⋅所以1111sin OA B AOB S ∠=⇒= 设1C 到平面11AA B B 的距离为h ，11A C 与平面11AA B B 的夹角为θ，所以111111111111133O A B C A B C C OA B OA B V ON S V h S --=⋅==⋅ ，解之得：h =，所以11sin 35h A C θ==，因为11//A C AC ，所以直线AC 与平面11AA B B所成角的正弦值为35.22.设圆222150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点(1,0)B 且与x 轴不重合，l 交圆A 于,C D 两点，过B 作AD 的平行线交AC 于点E.（1）写出点E 的轨迹方程；（2）设点E 的轨迹为曲线1C ，过A 且与l 平行的直线与曲线1C 交于,P Q 两点，求AD PQ ⋅的取值范围.【答案】（1）221(0)43x y y +=≠（2）)⎡⎣【解析】【分析】（1）求得圆A 的圆心和半径，运用直线平行的性质和等腰三角形的性质，可得EB ED =，再由圆的定义和椭圆的定义，可得E 的轨迹为以A ，B 为焦点的椭圆，求得a ，b ，c ，即可得到所求轨迹方程；（2）联立直线与圆，以及直线与椭圆方程，可得跟与系数的关系，结合向量的坐标运算，即可根据数量积的坐标运算得AD PQ ⋅= .【小问1详解】圆A 的标准方程为22(1)16x y ++=，故半径4r =因为||||4AD AC r ===，//EB AC ，故EBC ADC ACD ∠=∠=∠，所以||||EB ED =，故||||||||||EA EB EA ED AD +=+=，因此||||4EA EB +=，由题设得(1,0)A -，(1,0)B ，||2||||AB EA EB =<+，由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为：221(0)43x y y +=≠．【小问2详解】设直线CD 的方程为1x ty =+，则直线PQ 的方程为1x ty =-,联立直线CD 与圆的方程2212150x ty x y x =+⎧⎨++-=⎩，消元得()2214120t y ty ++-=，则()2221648164480t t t ∆=++=+>则()2242121t t x t t -±-±==++，联立直线PQ 与圆的方程221143x ty x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消元得()2234690t y ty +--=，由于点A 在椭圆内，故该方程一定有两个不相等的实数根，不妨设()()3344,,,P x y Q x y ，则34342269,3434t y y y y t t -+==++，()()()()2222234343422221216944343434t t y y y y y y t t t +-⎛⎫-=+-=-= ⎪++⎝⎭+，()()43434311x x ty ty t y y -=---=-()()43434343,,PQ x x y y ty ty y y =--=-- ，()1,D D AD x y =+ ()()()()()()()()24343434343122D D D D D D AD PQ x ty ty y y y ty ty ty y y y t y y t y y ⋅=+-+-=+-+-=++- ，()22222432121D D t t y y t t t t -±++=+=±+所以2432D D AD PQ t y y t y y ⋅=++-== 令234,4t s s +=≥，则AD PQ ⋅== 令11,04x xs =<≤，则AD PQ ⋅= 由于函数27114y x x =-+的对称轴为1114x =，故27114y x x =-+在10,4x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦单调递减，故当14x =时，27114y x x =-+取最小值2716，故2277114,416y x x ⎡⎫=-+∈⎪⎢⎣⎭，所以)AD PQ ⎡⋅=⎣ 【点睛】圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.。
江苏省扬州市扬州中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题(含答案)
江苏省扬州中学2024-2025学年第一学期期中试卷高 二 数 学 2024.11一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．圆的圆心和半径分别是（ ）A ．，1B ．，3C ．，2D ．，22．经过两点，的直线的斜率为（ ）A ．B ．C ．D ．3．椭圆x 225+y 216=1的焦点为为椭圆上一点，若，则（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知双曲线的离心率大于实轴长，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D．5．两平行直线与之间的距离为（ ）ABCD6．已知圆关于直线对称，则实数（ ）A ．1或B ．1C ．3D ．或37．已知抛物线C :y 2=2px (p >0)的焦点为，若抛物线上一点满足|MF |=2，∠OFM =60°，则（ ）A ．3B ．4C ．6D ．88．如图，双曲线的左右焦点分别为、，过的直线与该双曲线的两支分别交于、两点（在线段上），⊙与⊙分别为与的内切圆，其半径分别为、，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．(0，+∞)二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9．下列说法正确的是（ ）A ．若，且直线不经过第二象限，则，.()()22232x y +++=()2,3-()2,3-()2,3--()2.3-(2,7)A (4,6)B 12-2-12212,,F F P 13PF =2PF =435722:1y C x m -=m (3,)+∞)+∞(0,3)320mx y --=4670x y --=22:330C x y mx y +-++=:0l mx y m +-=m =3-1-F M p =2218y x -=1F 2F 1F l A B A 1F B 1O 2O 12AF F △2ABF △1r 2r 12r r 1132⎛⎫ ⎪⎝⎭，1233⎛⎫⎪⎝⎭，1223⎛⎫ ⎪⎝⎭，0abc ≠0ax by c ++=0ab >0bc <B ．方程（）表示的直线都经过点.C ．，直线不可能与轴垂直.D ．直线的横、纵截距相等.10．已知曲线．点，，则以下说法正确的是（ ）A ．曲线C 关于原点对称B ．曲线C 存在点P，使得C ．直线与曲线C 没有交点D ．点Q 是曲线C 上在第三象限内的一点，过点Q 向作垂线，垂足分别为A ，B ，则.11．已知集合.由集合中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分形如美丽的“水滴”.给出下列结论，正确的有（ ）A ．白色“水滴”区域（含边界）任意两点间距离的最大值为B ．在阴影部分任取一点，则到坐标轴的距离小于等于3.C ．阴影部分的面积为.D ．阴影部分的内外边界曲线长为.三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12．若双曲线的离心率为2，则其两条渐近线所成的锐角的大小为 .13．已知椭圆的左、右焦点分别为F 1、F 2，过点的直线交椭圆于A 、B 两点，若，则该椭圆的离心率为 .14．已知为曲线y =1+4―x 2上的动点，则的最大值为 .四、解答题:本题共5小题，共77分.解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知△ABC 的顶点坐标是为的中点.(1)求中线的方程；(2)求经过点且与直线平行的直线方程.16．已知双曲线C :x 2a2―y 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率为为双曲线的右焦点，且点到直线的()()21250x y λλ++--=R λ∈()2,1m ∈R 220m x y ++=y 3310x y +-=:44C x x y y =-1F 2(0,F 124PF PF -=2y x =2y x =±45QA QB ⋅=(){}22,(cos )(sin )4,0πP x y x y θθθ=-+-=≤≤∣P 1M M 8π8π()222210,0y x a b a b -=>>22221(0)x y a b a b+=>>2F 1AB F B ⊥，14sin 5F AB ∠=(),P a b 223a b a b --++()()()2,0,6,2,2,3,A B C M --AB CM B AC ()5,,03F c F 2a x c=距离为.(1)求双曲线的方程；(2)若点，点为双曲线左支上一点，求的最小值.17．已知，是抛物线：上的两点．(1)求抛物线的方程；(2)若斜率为的直线经过的焦点，且与交于，两点，求的最小值．18．椭圆与椭圆：有相同的焦点，且经过点.(1)求椭圆的方程；(2)椭圆的右焦点为，设动直线与坐标轴不垂直，与椭圆交于不同的，两点，且直线和的斜率互为相反数.①证明：动直线恒过轴上的某个定点，并求出该定点的坐标.②求△OMN 面积的最大值.19．定义：M 是圆C 上一动点，N 是圆C 外一点，记的最大值为m ，的最小值为n ，若，则称N 为圆C 的“黄金点”；若G 同时是圆E 和圆F 的“黄金点”，则称G 为圆“”的“钻石点”.已知圆165C ()12,0A P C PA PF +()6,2A m +()24,8B m +C ()221y px p =>C ()0k k ≠l C C P Q 2PQ k +C 1C 2212x y +=31,2Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭C C B l l C M N BM BN l x MN MN 2m n =E F -A ：，P 为圆A 的“黄金点”(1)求点P 所在曲线的方程.(2)已知圆B ：，P ，Q 均为圆“”的“钻石点”.①求直线的方程.②若圆H 是以线段为直径的圆，直线l ：与圆H 交于I ，J 两点，对于任意的实数k ，在y 轴上是否存在一点W ，使得y 轴平分？若存在，求出点W 的坐标；若不存在，请说明理由.()()221113x y +++=()()22221x y -+-=A B -PQ PQ 13y kx =+IWJ ∠江苏省扬州中学2024-2025学年第一学期期中试卷高二数学（参考答案）2024.11参考答案：题号12345678910答案C A D A C C A C BD CD 题号11 答案ABD8．【详解】设，∴S △AF 1F 2=12r 1(8+2m )=(4+m )r 1，S △ABF 2=12r 2(2m +2p )=(m +p )r 2，.在△与△中：，即，，当双曲线的斜率为正的渐近线时，取最大，此时，，当与轴重合时，取最小，此时，经上述分析得：，.故选：C.10．【详解】当时，曲线，即；当时，曲线，即；不存在；时，曲线，即；时，曲线，即；画出图形如右：对于A ，由图可得A 错误，故A 错误；对于B ，方程是以为上下焦点的双曲线，当时，曲线C 存在点P ，使得，故B 错误；对于C ，一三象限曲线的渐近线方程为，所以直线与曲线C 没有交点，故C 正确；对于D ，设，设点在直线上，点在直线，11222,,6,2,2AF m BA p F F AF m BF m p ====+=+-()()11224m r S m S p m p r +∴==+12AF F 2AF B 122cos cos F AF F AB ∠=-∠()()()()()2222222262222224m m m p m p m p m m m pm++-++-+-=-⇒=⋅⋅+⋅+⋅-32212324444444m m r m mp m m m r p mp m m m++-∴===+++--//l m p →+∞404m m ∴-=⇒=l x m 2m =()2,4m ∈1212,23r r ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭0,0x y ≥>22:44C x y =-2214y x -=0,0x y ≥<22:44C x y =--2214y x +=-0,0x y ≤≥22:44C x y -=-2214y x +=0,0x y <≤22:44C x y -=--2214y x -=2214y x -=12,F F 0,0x y ≥>214PF PF -=2y x =2y x =()00,Q x y A 2y x =B 2y x =-又点Q 是曲线C 上在第三象限内的一点，代入曲线方程可得，故D 正确；故选：CD.11．【详解】对于A ，由于，令时，整理得，解得，“水滴”图形与轴相交，最高点记为A ，则点A 的坐标为，点，白色“水滴”区域（含边界）任意两点间距离的最大值为，故A 正确；对于B ，由于，整理得：，所以，所以到坐标轴的距离为或，因为，所以，，所以到坐标轴的距离小于等于3，故B正确；对于C ，由于，令时，整理得，解得，因为表示以为圆心，半径为的圆，则，且，则在x 轴上以及x 轴上方，故白色“水滴”的下半部分的边界为以为圆心，半径为1的半圆，阴影的上半部分的外边界是以为圆心，半径为3的半圆，根据对称可知：白色“水滴”在第一象限的边界是以以为圆心，半径为2的圆弧，设，则，即AN 所对的圆心角为，同理AM 所在圆的半径为2，所对的圆心角为，阴影部分在第四象限的外边界为以为圆心，半径为2的圆弧，设，可得，DG 所对的圆心角为，同理DH 所在圆的半径为2，所对的圆心角为，故白色“水滴”图形由一个等腰三角形，两个全等的弓形，和一个半圆组成，22004455x y QA QB -⋅==22(cos )(sin )4x y θθ-+-=0x =[]32sin 0,2y yθ=-∈[1]y ∈- y (0,1)B -||1AB =22(cos )(sin )4x y θθ-+-=2cos cos 2sin sin x y αθαθ=+⎧⎨=+⎩2cos cos ,2sin sin )(M αθαθ++M ||2cos cos αθ+|2sin sin |αθ+cos [1,1],sin [0,1]θθ∈-∈2cos cos ||2cos ||cos |213|αθαθ+≤+≤+=|2sin sin ||2sin ||sin |213αθαθ+≤+≤+=M 22(cos )(sin )4x y θθ-+-=0y =[]32cos 2,2y yθ=-∈-[3,1][1,3]x ∈-- 22(cos )(sin )4x y -+-=θθ()cos ,sin Q θθ2r =13r OQ OP OQ r =-≤≤+=0πθ≤≤()cos ,sin Q θθO O ()1,0M -()1,0N 2AN AM MN ===π3π3()1,0N ()()3,0,3,0G H -π1,3ON OD OND ==∠=2π32π3所以它的面积是.轴上方的半圆（包含阴影和水滴的上半部分）的面积为，第四象限的阴影和水滴部分面积可以看作是一个直角三角形和一个扇形的面积的和，且等于所以阴影部分的面积为C 错误；对于D ，轴上方的阴影部分的内外边界曲线长为，轴下方的阴影部分的内外边界曲线长为，所以阴影部分的内外边界曲线长为，故D 正确.故选：ABD.12．13【详解】如图，设，因为，所以．由椭圆定义可知，，由，可得，所以．在Rt △F 1BF 2中，由，可得，即得，故得14．【详解】曲线，由于在曲线上，令，则，（其中），，又，，当时取得最大值15．【详解】（1）因为，所以，212π111π2π1222326S S S S ⎛=++=⨯⨯+⨯+⨯=⎝V 弓形半圆x 219π3π22⨯=2114π21π323⨯⨯+=941116π2(πππ2363++-=+x 1π4132π3223πππ2333⨯⨯+⨯⨯=+=x 111112π1(2π2π2)2π2233⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯=13π11π8π33+=π314BF t =1AB F B ⊥，14sin 5F AB ∠=15,3AF t AB t ==21212=25,224AF a AF a t BF a BF a t =--=-=-22493AB AF BF a t t =+=-=13t a =1242,33BF a BF a ==2221212||||||F F BF BF =+222424(()33a a c =+2295c a =c e a ==9+1y =()()22141x y y +-=≥(),P a b ()2cos ,0π12sin a b θθθ=⎧≤≤⎨=+⎩()()222232cos 12sin 32cos 12sin a b a b θθθθ--++=---+++2cos 2sin 454sin 42sin 2cos 54sin θθθθθθ=--++=+-++()96sin 2cos 9θθθϕ=+-=+-sin ϕ=cos ϕ=π0,2ϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭[][]0,π,πθθϕϕϕ∈∴-∈-- π,02ϕ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭ππ,π2ϕ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭∴π2θϕ-=223a b a b --++9+()()2,0,6,2A B -()4,1M -故的方程是，即；（2）因为直线的斜率，所以经过点且与直线平行的直线方程为，即.16．【详解】（1）由题意知，解得，则，所以双曲线的方程为.（2）记双曲线的左焦点为，则，可得，当三点共线时，最小，且最小值为.故的最小值为.17．【详解】（1）∵，是抛物线C ：上的两点，∴，则，整理得，解得， 当时，，解得，不合题意；当时，，解得．故抛物线C 方程为y 2=6x ．（2）由（1）知C 的焦点为，故直线l 的方程为，联立，得，必有，设，，则，∴， ∴，即所以的最小值为18．【详解】（1）椭圆：的焦点坐标为，所以椭圆的焦点坐标也为，即得焦距为，∵椭圆过点，∴，CM 143124y x +-=+--2350x y +-=AC 303224ACk -==---B AC ()3264y x +=--34100x y +-=253165c a a c c ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩35a c =⎧⎨=⎩4b ==C 221916x y -=C 0F ()05,0F -0026PA PF PA PF a PA PF +=++=++0,,P F A 0PA PF +017AF =PA PF +17623+=()6,2A m +()24,8B m +()221y px p =>()()22212,848m p m p⎧+=⎪⎨+=⎪⎩()()22842m m +=+216m =4m =±4m =-()21224p m =+=113p =<4m =()212236p m =+=31p =>3,02⎛⎫⎪⎝⎭32y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭2632y xy k x ⎧=⎪⎨⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭⎩()222293604k x k x k -++=0∆>()11,P x y ()22,Q x y 212236k x x k ++=2122236636k PQ x x p k k+=++=+=+222666PQ k k k +=++≥+226k k=2k =2PQ k +6+1C 2212x y +=()1,0±C ()1,0±22c =C 31,2Q ⎛⎫⎪⎝⎭24a +=∴，，∴椭圆的标准方程为.（2）①设直线：（），由，得，设M (x 1,y 1)，N (x 2,y 2)，所以，，所以，因为直线和的斜率互为相反数，所以，所以，所以，所以.即，所以，因为，所以，所以动直线恒过轴上的定点②由①知，，且，即，又S △OMN =12⋅|OT |⋅|y 1―y 2|=12⋅4⋅(y 1+y 2)2―4y1y 2令，则，∴S △OMN=24⋅n (3n +16)2≤24⋅n (2⋅3n⋅16)2=24⋅n 4⋅3n ⋅16=3（当且仅当时取“＝”）∴(S △OMN )max =3.19．【详解】（1）因为点P 为圆A 的“黄金点”，即，所以点P的轨迹是以AP 所在曲线的方程为（2）①因为P 为圆B 的“黄金点”，则所以，即点P 在圆上，则P 是圆和的交点.因为P ，Q 均为圆“”的“钻石点”，所以直线即为圆和的公共弦所在直线，2a =b =22143x y +=l x my t =+0m ≠223412x my t x y =+⎧⎨+=⎩()2223463120m y mty t +++-=122634mt y y m +=-+212231234t y y m -=+()()()()1221121212111111MF NF y x y x y yk k x x x x -+-+=+=----()()()()1221121111y my t y my t x x +-++-=--BM BN 0MB NB k k =+()()()()12211211011y my t y my t x x +-++-=--()()1221110y my t y my t +-++-=()()1212210my y t y y +-+=()22231262103434t mtm t m m --⨯+-⨯=++()640m t -=0m ≠4t =l x ()4,0T 1222434m y y m +=-+1223634y y m =+()()22Δ24434360m m =-+⋅>24m >224==240n m =->24m n =+316n ==PA =()()2211 3.x y +++=()121PB PB +=-||3PB =()()22229x y -+-=()()22113x y +++=()()22229x y -+-=A B -PQ ()()22113x y +++=()()22229x y -+-=两圆方程相减可得，故直线的方程为.②设的圆心为的圆心为，半径为.直线的方程为，得的中点坐标为，点S 到直线，则，所以圆H 的方程为.假设轴上存在点满足题意，设，.若轴平分，则，即，整理得又，所以代入上式可得，整理得①，由可得，所以x 1+x 2=―23k k 2+1,x 1x 2=―89k 2+1，代入①并整理得，此式对任意的都成立，所以.故轴上存在点，使得轴平分.0x y +=PQ 0x y +=22(1)(1)3x y +++=(11),S --()()22229x y -+-=(2,2)T 3ST y x =PQ (0,0)0x y +==12PQ ==221x y +=y (0),W t ()()1122,,,I x y J x y 120x x ≠y IWJ ∠0IM JW k k +=12120y t y tx x --+=()()21120.x y t x y t -+-=11223,113y kx y kx =+=+211211)33(()0x kx t x kx t +-++-=()12121203kx x t x x ⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭22131y kx x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩()22281039k x kx ++-=2203k kt -+=k 3t =y ()0,3W y IWJ ∠。
丰台区2024-2025学年度第一学期期中练习高二语文试题及答案
丰台区2024-2025学年度第一学期期中练习高二语文考试时间：150分钟2024．11一、本大题共5小题，共17分。
阅读下面材料，完成1—5题。
材料一中国高铁的快速发展，改变着中国的方方面面。
现在，乘坐京沪高铁从北京南出发至河北廊坊，最快只要21分钟，廊坊经济技术开发区目前已吸引来自30多个国家和地区的1500家企业入驻，总投资超过700亿元。
高铁的建设和开通促进了产业结构优化升级，使铁路发展转变为现实生产力，为民生改善创造了条件。
高铁投资规模大，产业链长，可以有效增加钢材、水泥及其他建材的需求，对扩大就业、提高中低收入者收入水平、促进消费增长具有重要作用。
按照铁路与相关产业投资1:10比例计算，其对相关产业拉动效益在10亿元以上，有效带动了基础制造业发展。
据不完全统计，我国新一代高速动车组零部件生产设计核心层企业近100家、紧密层企业500余家，覆盖20多个省市，形成了一个庞大的高新技术研发制造产业链。
以CRH380动车组为例，其零部件数量超过4万个，涉及机械、电力、信息等大量上下游产业，一批关键设备制造企业在产业链中迅速成长。
不仅如此，高铁开通释放了既有线的运能，使全社会物流成本得以降低。
我国已开通运营的高铁可为货物运输腾出2.3亿吨的年运力，有效缓解了货运能力紧张的状况，全社会人流、物流周转明显加快，成本降低。
京津城际铁路通车后，从北京至天津仅需30分钟。
京沪高铁开通后，北京至上海最快不到5小时，实现了“朝发夕归”。
这种“同城效应”在沪宁、杭甬、广珠、沪杭等高铁沿线相继形成。
京广高铁通车后，北京至广州2298公里的距离只要8小时便可到达，环渤海、中原、长株潭和珠三角城市群连为一体，进入了跨区域间的“同城化”时代。
现在，上海到南京只需1个多小时。
在上海上班、南京安家成为一部分人的选择。
昆山市位于江苏省东南部，京沪高铁使它与上海这座大都市的时间距离缩短到18分钟。
高铁带来的全新速度，让原本并不遥远的两座城市变成了一个“社区”，昆山成为上海的后花园，越来越多的上海人在昆山居住。
浙江省台州市2023-2024学年高二上学期期中数学试题含解析
台州市2023学年第一学期期中考试试卷高二数学（答案在最后）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.直线210x y +-=的一个方向向量是（）A.()2,1- B.()2,1 C.()1,2- D.()1,2【答案】A 【解析】【分析】根据方向向量的定义即可求解.【详解】210x y +-=的一个方向向量是()2,1-,故选：A2.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线221x y -=的渐近线方程为（）A.22y x =±B.y =C.y x =±D.24y x =±【答案】C 【解析】【分析】根据等轴双曲线即可求解.【详解】221x y -=的渐近线方程为y x =±，故选：C3.圆1C ：22210240x y x y +-+-=与圆2C ：222260x y x y +++-=的公共弦所在直线方程为（）A.240x y ++=B.2490x y -+=C.240x y -+=D.240x y --=【答案】B 【解析】【分析】将两圆方程作差即可得相交弦方程.【详解】由221:(1)(5)50C x y -++=，即1(1,5)C -，半径为由222:(1)(1)8C x y +++=，即2(1,1)C --，半径为，所以12||C C <=<，即两圆相交，将两圆方程作差得2222210222604x y x y x y x y +-+----+=-，整理得2490x y -+=，所以公共弦所在直线方程为2490x y -+=.故选：B4.已知(2,0)(4,)A B a -，两点到直线:10l x y -+=的距离相等，则=a （）A.4 B.6C.2D.4或6【答案】D 【解析】【分析】直接根据点到直线距离公式进行求解即可.【详解】已知点()2,0A -，()4,B a ，直线:10l x y -+=，由于点A 与点B 到直线l 的距离相等，，解得：4a =或6a =.故选：D5.“直线10x ay +-=与直线10ax y -+=相互垂直”是“1a =”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据两直线垂直，求出a 的值，则可判断充分性和必要性.【详解】因为直线10x ay +-=与直线10ax y -+=相互垂直，所以()()110a a ⨯+⨯-=，所以R a ∈．当1a =时，直线10x ay +-=与直线10ax y -+=相互垂直，而当直线10x ay +-=与直线10ax y -+=相互垂直时，1a =不一定成立，所以“直线10x ay +-=与直线10ax y -+=相互垂直”是“1a =”的必要而不充分条件，故选:B ．6.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，过C 上一点A 作l 的垂线，垂足为B .若3AF =，则AFB △的外接圆面积为（）.A.27π8 B.64π27C.9π4D.25π16【答案】A 【解析】【分析】根据抛物线的定义求得1x ，进而得到1y ，利用勾股定理求得BF ，进而得到sin BAF ∠，然后利用正弦定理中的外接圆直径公式，求得AFB △的外接圆半径为R ，然后计算其面积.【详解】设()11,A x y ，由抛物线的定义可知113x AF AB =+==，所以12x =，代入抛物线的方程中得到1y ==由几何关系可知BF ==1sin 3y BAF AF ∠==.设AFB △的外接圆半径为R ，由正弦定理可知2sin BFR BAF=∠，解得R =，所以AFB △的外接圆面积为227ππ8R =.故选：A7.有以下三条轨迹：①已知圆22:(1)9A x y ++=，圆22:(1)1B x y -+=，动圆P 与圆A 内切，与圆B 外切，动圆圆心P 的运动轨迹记为1C ；②已知点A ，B 分别是x ，y 轴上的动点，O 是坐标原点，满足||4AB =，AB ，AO 的中点分别为M ，N ，MN 的中点为P ，点P 的运动轨迹记为2C ；③已知A ，直线l ：x =，点P 满足到点A 的距离与到直线l 的距离之比为2，点P 的运动轨迹记为3C .设曲线123,,C C C 的离心率分别是123,,e e e ，则（）A.123e e e << B.132e e e << C.321e e e << D.231e e e <<【答案】A 【解析】【分析】由题意求出点P 的运动轨迹方程，进而求出曲线的离心率，比较它们大小即可得出答案.【详解】对于①，因为圆22:(1)9A x y ++=，圆22:(1)1B x y -+=．所以为()1,0A -，A 的半径13r =，()10B ,，B 的半径21r =，设动圆P 的半径为R ，则21PB r R R =+=+，13PA R r R =-=-，可得314PB PA R R +=-++=为定值，所以圆心P 在以A 、B 为焦点的椭圆上运动，由24a =，1c =得2a =，b =，所以椭圆方程为22143x y +=，即动圆P 圆心的轨迹1C 方程为22143x y+=，所以143122e ==，对于②，设(),P x y ，()(),0,0,A a B b ，因为||4AB =，所以2216a b +=，因为AB ，AO 的中点分别为M ，N ，所以,22a b M ⎛⎫⎪⎝⎭，,02a N ⎛⎫⎪⎝⎭，MN 的中点为P ，所以,24a b P ⎛⎫⎪⎝⎭，所以2244a x a x bb y y ⎧=⎪=⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩，因为2216a b +=，所以2241616x y +=，故点P 的运动轨迹记为2C ：()22104xy y +=≠，所以222e ==；对于③，设点()00,P x y2=，整理可得2200142x y -=.所以，点P 的运动轨迹3C的方程为：22142x y -=，所以3=22e =，所以123e e e <<.故选：A .8.已知1F 、2F 是椭圆()222210x y a b a b+=>>的两个焦点，P 是椭圆上一点，1260F PF ∠=，121||||(2)2PF PF λλ=≤≤，则椭圆的离心率的最大值为（）A.3B.2C.D.2【答案】A 【解析】【分析】根据椭圆定义，结合余弦定理可得()22211e λλλ-+=+，进而利用换元法，结合二次函数的性质即可求解.【详解】设2||,|PF x =则12||PF PF x λλ==，122PF PF a +=,所以221ax x a x λλ+=⇒=+，由余弦定理可得()22222214212c x x x x x λλλλ=+-⋅⋅=-+，故()()22224411a c λλλ=-++，进而可得()22211e λλλ-+=+，令1t λ=+，则3,32t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，222233331t t e t t t-+==-+，令112,,33m m t ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，所以222331331e m m t t =-+=-+，对称轴为12m =，所以2331y m m =-+在11,32m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦单调递减，在12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，故当13m =和23m =时，213313y m m =-+=，故2331y m m =-+的最大值为13，所以()2max13e=，故e 的最大值为3，故选：A二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知双曲线C ：221x y m-=的焦点在x 轴上，且实轴长是虚轴长的3倍，则下列说法正确的是（）A.双曲线C 的实轴长为6B.双曲线C 的虚轴长为2C.双曲线C 的焦距为22D.双曲线C 的离心率为223【答案】AB 【解析】【分析】由题设可得3a b =，结合已知方程得双曲线方程为2219x y -=，进而判断各项正误.【详解】由题设23263a b b a b =⨯=⇒=，而1b =，故3a =，则29m a ==，所以双曲线方程为2219x y -=，实轴长为26a =，虚轴长为22b =，焦距为210c =103，故A 、B 对，C 、D 错.故选：AB10.已知椭圆22:143x y M +=的左、右焦点分别是1F ，2F ，左、右顶点分别是1A ，2A ，点P 是椭圆上异于1A 和2A 的任意一点，则下列说法正确的是（）A.124PF PF += B.直线1PA 与直线2PA 的斜率之积为34-C.存在点P 满足1290F PF ∠=D.若12F PF △的面积为1，则点P 的横坐标为263±【答案】ABD 【解析】【分析】根据椭圆的定义判断A ，计算出1PA 和2PA 的斜率计算B ，根据圆的直径所对圆周角为90 判断C ，由三角形面积公式判断D.【详解】A 选项中，因为椭圆方程为22143x y +=，则24a =，所以2a =，由椭圆的定义知，122PF PF a +=，所以124PF PF +=，A 正确；B 选项中，椭圆的左、右顶点分别是()12,0A -，()22,0A ，设()00,P x y ，因为点P 是椭圆上异于1A 和2A 的任意一点，所以将()00,P x y 代入到椭圆方程得：2200143x y +=，且1002PA y k x =+，2002PA y k x =-，所以1220002000224PA PA y y y k k x x x ⋅=⋅=+--，因为2200143x y +=，所以()222000331444x y x 骣琪=-=×-琪桫，所以122020344PA PA y k k x ⋅==--，B 正确；C 选项中，由椭圆方程知，24a =，23b =，21c =，若1290F PF ∠=，则点P 在以线段12F F 为直径的圆上，以线段12F F 为直径的圆的方程为221x y +=的圆在椭圆内，所以椭圆上不存在P 满足1290F PF ∠=，C 错误；D 选项中，121200112122F PF S F F y y =�创= ，所以01y =，所以代入到2200143x y +=知，03x =±，D 正确.故选：ABD11.设直线系M :22(1)2220a x ay a --++=，则下面四个命题正确的是（）A.存在定点P 在M 中的任意一条直线上B.圆222:0.9N x y +=与M 中的所有直线都没有公共点C.对于任意整数()3n n ≥，存在正n 边形，其所有边均在M 中的直线上D.M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等【答案】BC 【解析】【分析】由于点()0,0到直线系()22:12220M a x ay a --++=的距离均为2，则直线系M 表示与圆224x y +=的切线的集合，然后结合题意判断四个选项是否正确即可.【详解】由于点()0,0到直线系()22:12220M a x ay a --++=的距离为()222121a d a +===+，故直线系M 表示与圆224x y +=的切线的集合，对于A 选项，由于直线系表示圆224x y +=的切线，其中存在两条切线平行，所以M 中所有直线经过一个定点不可能，故A 选项错误；对于B 选项，由于直线系表示圆224x y +=的切线，而圆2220.9x y +=内含于圆224x y +=中，得M 中的所有直线均与圆()2220.9x y +=无公共点，故B 选项正确；对于C 选项，由于圆的所有外切正多边形的边都是圆的切线，所以对于任意正数()3n n ≥，存在正n 边形，其所有边均在M 中的直线上，故C 选项正确；对于D 选项，正ABC 的三边所在的直线均与圆相切，可以分为切点全在边上或者一个切点在边上，两个切点在边的延长线上两种情况，三角形面积不相等，故D 选项错误.故选：BC12.三支不同的曲线()|1|0,1,2,3i i y a x a i =⋅->=交抛物线24y x =于点,(1,2,3)i i A B i =，F 为抛物线的焦点，记i i A FB △的面积为i S ，下列说法正确的是（）A.11(1,2,3)i ii FA FB +=为定值 B.112233////A B A B A B C.若1232S S S +=，则1232a a a += D.若2123S S S =，则2123a a a =【答案】AD【解析】【分析】设直线()1i y a x =-与抛物线24y x =的交于点,i i C B ，则i A 与i C 关于x 轴对称，设()()1122,,,i i A x y B x y -，则()11,i C x y ，联立()214i y a x y x⎧=-⎨=⎩，利用韦达定理求得1212,y y y y +，进而可求得1212,x x x x +，结合焦半径公式即可判断A ；判断i i A B k 是否为定值即可判断B ；求出i S ，即可判断CD.【详解】如图，设直线()1i y a x =-与抛物线24y x =的交于点,i i C B ，则i A 与i C 关于x 轴对称，设()()1122,,,i i A x y B x y -，则()11,i C x y ，联立()214i y a x y x⎧=-⎨=⎩，消x 得2440iy y a --=，则12124,4iy y y y a +==-，又()1i y a x =-，则()()()()212121212411,114i i i iy y a x a x y y a x x a +=-+-==--=-，则21212224,1i i a x x x x a ++==，对于A ，()1,0F ，2212212121221111124221241111i i ii i iFA FB x x a a x x a x x x x a ++++++++++=+==+++，故A 正确；对于B ，212122212121444i i A B y y y y k y y x x y y ++====---因为i a 不是定值，所以i i A B k 不是定值，故B 错误；对于C ，设直线()1i y a x =-的倾斜角为i θ，则tan i i a θ=，则22222sin cos 2tan 2sin 2cos sin 1tan 1i i i ii i i i i a a θθθθθθθ===+++，所以()()122211sin 211221i i i i i i a S A F B F x x a θ==++⋅+()2121222222414111211i i i i i i ia a a x x x x a a a a ⎛⎫+=+++⋅=++= ⎪++⎝⎭，又因1232S S S +=，所以123448a a a +=，所以()1232a a a +=，故C 错误；对于D ，因为2123S S S =，所以21234416a a a ⋅=，所以2123a a a =，故D 正确.故选：AD.【点睛】方法点睛：解决直线和抛物线的位置关系类问题时，一般方法是设出直线方程并联立抛物线方程，得到根与系数的关系式，要结合题中条件进行化简，但要注意的是计算量一般都较大而复杂，要十分细心.三、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分.13.已知直线l的方程为4y =+，则倾斜角为_______，在y 轴上的截距为________.【答案】①.60 ②.4【解析】【分析】根据给定的直线方程，求出直线的斜率，进而求出倾斜角，再求出直线与y 轴交点的纵坐标即得.【详解】直线l的方程为4y =+的斜率k =α，则tan α=，于是60α= ；当0x =时，4y =，所以直线l 在y 轴上的截距为4.故答案为：60 ；414.准线方程为2x =-的抛物线的标准方程为__________.【答案】28y x=【解析】【分析】根据准线方程确定抛物线开口方向并求出p 值，进而求其标准方程【详解】已知抛物线的准线方程为2x =-，得该抛物线开口向右，且22p =，得4p =，故抛物线的方程为：28y x =.故答案为：28y x=15.过点()0,1的直线l 与椭圆22:14x C y +=交于,P Q 两点，则PQ 的最大值是_________.【解析】【分析】由题意可知()0,1即为椭圆与直线的交点，设()00,Q x y ，利用两点间的距离公式以及二次函数性即可求出PQ .【详解】根据题意可知，显然()0,1在椭圆上，不妨取0p x =，则()0,1P ，设()00,Q x y ，由,P Q 不重合可知01y ≠，且220014x y +=，即220044x y =-所以()222220002000014412325P y y Q x y y y y =++--=-+-=-+，根据二次函数性质可知，当031y =-时，2PQ 取最大值为163，即可得PQ .16.已知12F F ，分别为双曲线22221()00a x y a bb >-=>，的左右焦点，过2F 的直线与双曲线的右支交于A 、B 两点，记12AF F △的内切圆的半径为1r ，12BF F △的内切圆的半径为2r ，21216r r a ≤，则双曲线的离心率的取值范围为_________.【答案】(1,5]【解析】【分析】设圆1O 切1AF 、2AF 、12F F 分别于点M 、N 、G ，推导出12122O GF O F O △∽△，可得出()212r r c a =-，可得出关于c 、a 的不等式，即可求得该双曲线离心率的取值范围.【详解】设12AF F △、12BF F △的内切圆圆心分别为1O 、2O ，设圆1O 切1AF 、2AF 、12F F 分别于点M 、N 、G，过2F 的直线与双曲线的右支交于A 、B 两点，由切线长定理可得AM AN =，11F M F G =，22F G F N =，所以，()()()21212121AF F F AF AN F N FG F G AM F M +-=+++-+222222F N F G F G c a =+==-，则2F G c a =-，所以点G 的横坐标为()c c a a --=.故点1O 的横坐标也为a ，同理可知点2O 的横坐标为a ，故12O O x ⊥轴，故圆1O 和圆2O 均与x 轴相切于(),0G a ，圆1O 和圆2O 两圆外切.在122O O F △中，()122122*********O F O O F G O F G AF F BF F ∠=∠+∠=∠+∠= ，即122O O F G ⊥，12212GO F F O O ∴∠=∠，1212290O GF O F O ∠=∠= ，所以，12122O GF O F O △∽△，所以，1121212O GO F O F O O =，则212112O F O G O O =⋅，所以22222121112112F G O F O G O G O O O G O G O G =-=⋅-=⋅，即()212c a r r -=⋅，由题意可得：()2216-≤c a a ，可得4-≤c a a ，即5<≤a c a ，所以(]1,5=∈c e a.故答案为：(]1,5.四、解答题：本题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知直线l 经过点()1,0A -，(0,1)B .（1）求直线l 的一般式方程；（2）若点(1,2)C --，求点C 关于直线l 的对称点的坐标.【答案】（1）10x y -+=（2）()3,0-【解析】【分析】（1）先求出直线l 的斜率，从而利用点斜式求出直线l 的方程，化为一般式；（2）设出对称点(),D m n ，根据中点坐标和斜率关系得到方程组，求出30m n =-⎧⎨=⎩，得到对称点.【小问1详解】直线l 的斜率为()10101-=--，所以直线l 的方程为10y x -=-，即10x y -+=；【小问2详解】设点C 关于直线l 的对称点坐标为(),D m n ,显然CD 的中点坐标满足10x y -+=，即121022m n ---+=，又直线CD 与直线l 垂直，故211n m +=-+，联立121022m n ---+=与211n m +=-+，解得30m n =-⎧⎨=⎩，所以点C 关于直线l 的对称点的坐标为()3,0-.18.已知直线:4l y x =-，圆221:64120C x y x y +-++=，圆222:142140C x y x y +--+=.（1）求直线l 被圆1C 截得的弦AB 的长；（2）判断圆1C 和圆2C 的位置关系，并给出证明.【答案】（1）||AB =（2）内切，证明见详解【解析】【分析】（1）化简圆1C 为标准方程，求出1C ()3,2-到直线:4l y x =-的距离d ，则AB =，代入求解即可得出答案；（2）化简圆2C 为标准方程，求两圆的圆心距与21r r -，21r r +比较，即可得出答案.【小问1详解】因为圆221:64120C x y x y +-++=，所以221:(3)(21C x y -++=），则圆1C 的圆心为1C ()3,2-，11r =，则1C ()3,2-到直线:4l y x =-的距离为：2d ==，所以||AB ==【小问2详解】因为222:142140C x y x y +--+=，则222:(7)(136C x y -+-=），则圆2C 的圆心为2C ()7,1，26=r ，12215C C r r ====-，所以两圆内切.19.已知圆C 经过()2,0，(0,2)，(2,4).（1）求圆C 的方程；（2）若直线l 与圆C 相切，且与x 轴正半轴交于点(,0)A a ，交y 轴正半轴于点(0,)B b .求(4)(4)a b -⋅-的值.【答案】（1）22(2)(2)4x y -+-=；（2）(4)(4)8a b --=.【解析】【分析】（1）设圆的标准方程，根据点在圆上列方程组求参数，即得圆的方程；（2）设直线:1x y l a b+=，根据直线与圆相切及点线距离公式列方程整理，即可求值.【小问1详解】令圆222:()()C x a y b r -+-=，则()()()()()()222222222200224a b r a b r a b r ⎧-+-=⎪⎪-+-=⎨⎪-+-=⎪⎩，可得2224a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以22:(2)(2)4C x y -+-=.【小问2详解】由题意，设直线:1x y l a b+=，即0bx ay ab +-=，而(2,2)C 且半径为2，直线l 与圆C2=，则222(22)4()a b ab a b +-=+，所以222224()4()4()a b ab a b a b a b +-++=+，化简得(4)(4)8a b --=.20.已知动点M 到定点(1,0)的距离比到直线2x =-的距离小1.（1）求动点M 的轨迹E 的方程；（2）取E 上一点(1,)(0)P a a >，任作弦PA PB ，，满足1PA PB k k ⋅=,则直线AB 是否经过一个定点？若经过定点，求出该点坐标，否则说明理由.【答案】（1）24y x=（2）定点为(3,2)--【解析】【分析】（1）根据抛物线的定义求解动点M 的轨迹方程；（2）首先将P 点代入抛物线中求得参数a 的值，然后假设2111,4A y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2221,4B y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，利用已知条件1PA PB k k ⋅=，得到12122()12y y y y ++=，最后代入直线AB 方程中即可得到恒过定点.【小问1详解】已知动点M 到定点()1,0的距离比到直线2x =-的距离小1，可得动点M 到定点()1,0的距离与到直线=1x -的距离相等，由抛物线的定义易知轨迹E 的方程为24y x =.【小问2详解】将()1,P a 代入24y x =中，可得：24a =，0a > ，故得：2a =，即得：()1,2P ；如图，设2111,4A y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2221,4B y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由于122212*********PA PB y y k k y y --⋅=⋅=--，整理可得：()1212212y y y y ++=.2122122141144AB y y k y y y y -==+-，则根据点斜式方程可得：2111241:4AB l y y x y y y ⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭，整理得：1212124:AB y y l y x y y y y =+++由直线AB 的方程()()1212121212121212244432y y y y y x x x y y y y y y y y y y -+=+=+=+-+++++，可知直线AB 恒过定点()3,2--21.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为32，椭圆上的点到左焦点1F 的距离的最大值为23+.（1）求椭圆C 的方程；（2）求椭圆C 的外切矩形（即矩形的四边所在直线均与椭圆相切）ABCD 的面积S 的取值范围.【答案】（1）2214x y +=（2）[]8,10【解析】【分析】（1）根据题意求出a b c ，，，进而可求出结果；（2）当矩形ABCD 的一组对边斜率不存在时，可求出矩形ABCD 的面积；当矩形ABCD 四边斜率都存在时，不防设AB CD 、所在直线斜率为k ，则BC AD 、斜率为1k -，设出直线AB 的方程为y kx m =+，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理以及弦长公式等，即可求解.【小问1详解】因为2c e a ==，2c a +=+2==c a ，所以2221b a c =-=，所以椭圆方程为2214x y +=；【小问2详解】当矩形ABCD 一组对边斜率不存在时，矩形ABCD 的边长分别为4和2，则矩形ABCD 的面积为8，当矩形ABCD 的四边斜率都存在时，不妨设AB CD 、的斜率为k ，则AD BC 、的斜率为1k-，设直线AB 方程为y kx m =+，联立2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222(41)84(1)0k x kmx m +++-=，由10∆=，可得2241m k =+，显然直线CD 的方程为y kx m =-，则直线AB CD 、之间的距离为1d ==，同理可得：AD BC 、之间的距离为2d =所以矩形ABCD的面积为1210S d d ==，取等条件：1k =±，当AB 斜率存在时，8S >.综上所述，面积S 的取值范围是[]8,10.。
安徽省蚌埠市2023-2024学年高二上学期期中数学试题含解析
蚌埠2023-2024学年第一学期期中检测试卷高二数学（答案在最后）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.若直线l 的一个方向向量为(-，求直线的倾斜角（）A.π3B.π6C.2π3D.5π6【答案】C 【解析】【分析】求出直线斜率，进而求出直线倾斜角即得.【详解】直线l 的一个方向向量为(-，则直线l 斜率为，所以直线l 的倾斜角为2π3.故选：C2.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，已知PA a = ，PB b = ，PC c = ，12PE PD = ，则BE = （）A.131222a b c -+B.111222a b c-+C.131222a b c ++D.113222a b c -+【答案】A 【解析】【分析】利用空间向量加法法则直接求解．【详解】连接BD ，如图，则()()()1111122222BE BP BD PB BA BC PB PA PB PC PB =+=-++=-+-+-()11131131222222222PB PA PB PC PA PB PC a b c=-+-+=-+=-+故选：A ．3.已知点A 与点(1,2)B 关于直线30x y ++=对称，则点A 的坐标为A.(3,4) B.(4,5)C.(4,3)-- D.(5,4)--【答案】D 【解析】【分析】根据对称列式求解.【详解】设(),A x y ,则123052224(1)11x y x y y x ++⎧++=⎪=-⎧⎪∴⎨⎨-=-⎩⎪⋅-=-⎪-⎩，选D.【点睛】本题考查关于直线对称点问题，考查基本分析求解能力，属基础题.4.在一平面直角坐标系中，已知()1,6A -，()2,6B -，现沿x 轴将坐标平面折成60°的二面角，则折叠后A ，B 两点间的距离为（）A.27 B.41C.17 D.35【答案】D 【解析】【分析】平面直角坐标系中已知()1,6A -，()2,6B -，现沿x 轴将坐标平面折成60°的二面角后，通过向量的数量积转化求解距离即可．【详解】解：平面直角坐标系中已知()1,6A -，()2,6B -，沿x 轴将坐标平面折成60°的二面角后，作AC ⊥x 轴，交x 轴于C 点，作BD ⊥x 轴，交x 轴于D 点，则6,3,6,AC CD DB === ,AC CD CD DB ⊥⊥ ，,AC DB的夹角为120°∴AB AC CD DB =++ ，222222212+2+2=6+3+6266452AB AC CD DB AC CD CD DB AC DB =+++⋅⋅⋅-⨯⨯⨯= 35AB ∴=,即折叠后A ，B 两点间的距离为35.故选：D ．【点睛】本题考查与二面角有关的立体几何综合题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．5.如果实数x ，y 满足()2222x y -+=，则yx的范围是（）A.()1,1- B.[]1,1- C.()(),11,-∞-⋃+∞ D.(][),11,-∞-⋃+∞【答案】B 【解析】【分析】设yk x =，求y x的范围救等价于求同时经过原点和圆上的点(),x y 的直线中斜率的范围，结合图象，易得取值范围.【详解】解：设yk x=，则y kx =表示经过原点的直线，k 为直线的斜率.如果实数x ，y 满足22(2)2x y -+=和yk x=，即直线y kx =同时经过原点和圆上的点(),x y .其中圆心()2,0C ，半径2r =从图中可知，斜率取最大值时对应的直线斜率为正且刚好与圆相切，设此时切点为E则直线的斜率就是其倾斜角EOC ∠的正切值，易得2OC =，CE r ==可由勾股定理求得OE ==，于是可得到tan 1CEk EOC OE =∠==为y x的最大值；同理，yx的最小值为－1.则yx的范围是[]1,1-.故选：B.6.抛物线214x y =的焦点到双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线的距离是2，则该双曲线的离心率为（）A.B.C.2D.233【答案】A 【解析】【分析】先求得抛物线的焦点，根据点到直线的距离公式列方程，求得22b a =，由此求得双曲线的离心率.【详解】抛物线214x y =即24y x =的焦点坐标为()1,0，双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线方程为b y x a =±，即0bx ay ±=，所以点()1,0到直线0bx ay ±=的距离为22=，则22b a =，则双曲线的离心率为c e a =====故选：A7.直线()2200ax by a b a b +--=+≠与圆2220x y +-=的位置关系为（）A.相离 B.相切C.相交或相切D.相交【答案】C 【解析】【分析】利用几何法，判断圆心到直线的距离与半径的关系，判断直线与圆的位置关系即可．【详解】由已知得，圆2220x y +-=的圆心为（0，0），所以圆心到直线()2200ax by a b a b +--=+≠.因为222ab a b ≤+，所以()()2222a b a b+≤+≤，所以直线与圆相交或相切；故选：C ．8.在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在1AC 上运动（包括端点），则BP 与1AD 所成角的取值范围是（）A.ππ,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B.π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.ππ,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，设1AB =，则，01λ≤≤，利用1c s o BC BP =，，即可得出答案．【详解】设BP 与1AD 所成角为θ，如图所示，不妨设1AB =，则()0,0,0B ，()0,1,0A ，()10,1,1A ，()11,0,1C ，()111,0,1AD BC == ，()1,0,0BC = ，()11,1,1AC =-．设1AP AC λ= ，则()1,1,BP BA AC λλλλ=+=-，01λ≤≤．所以111c ·o s BC BPBC BP BC BP==⋅，当0λ=时，10cos BC BP = ，，此时BP 与1AD 所成角为π2，当0λ≠时，1c os BC BP =，，此时10cos 1BC BP <≤，，当且仅当1λ=时等号成立，因为cos y x =在π02x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，上单调递减，所以1π0,2BC BP ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭ ，，综上，π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．故选：B ．二、多选题（本大题共4小题，共20.0分.在每小题有多项符合题目要求）9.下列说法正确的有（）A.若直线y kx b =+经过第一、二、四象限，则()k b ，在第二象限B.直线32y ax a =-+过定点()32，C.过点()21-，斜率为的点斜式方程为)12y x +=-D.斜率为2-，在y 轴截距为3的直线方程为23y x =-±．【答案】ABC 【解析】【分析】由直线y kx b =+过一、二、四象限，得到斜率0k <，截距0b >，可判定A 正确；由把直线方程化简为()()320a x y -+-+=，得到点()32，都满足方程，可判定B 正确；由点斜式方程，可判定C 正确；由斜截式直线方程可判定D 错误．【详解】对于A 中，由直线y kx b =+过一、二、四象限，所以直线的斜率0k <，截距0b >，故点()k b ，在第二象限，所以A 正确；对于B 中，由直线方程32y ax a =-+，整理得()()320a x y -+-+=，所以无论a 取何值点()32，都满足方程，所以B 正确；对于C 中，由点斜式方程，可知过点()21-，斜率为的点斜式方程为)12y x +=-，所以C 正确；由斜截式直线方程得到斜率为2-，在y 轴上的截距为3的直线方程为23y x =-+，所以D 错误．故选：ABC ．【点睛】本题主要考查了直线的方程的形式，以及直线方程的应用，其中解答中熟记直线的点斜式的概念及形式，以及直线的斜率与截距的概念是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.10.关于空间向量，以下说法正确的是（）A.若直线l 的方向向量为()1,0,3e = ，平面α的法向量为22,0,3n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，则直线l α∥B.已知{},,a b c 为空间的一个基底，若m a c =+，则{},,a b m 也是空间的基底C.若对空间中任意一点O ，有111632OP OA OB OC =++，则P ，A ，B ，C 四点共面D.两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线【答案】BCD 【解析】【分析】计算得到e n ⊥，l α∥或l ⊂α，A 错误，若,,a b a c +r r r r 共面，则,,a b c 共面，不成立，故B 正确，化简得到23PA PB PC =--，C 正确，若这两个向量不共线，则存在向量与其构成空间的一个基底，故D 正确，得到答案.【详解】()22,0,22031,0,3e n ⎛⎫=-=-+= ⎪⎝⎭⋅⋅ ，故e n ⊥ ，故l α∥或l ⊂α，A 错误；若,,a b a c +r r r r共面，设()()b a a c a c λμλμμ=++=++ ，则,,a b c 共面，不成立，故{},,a b m 也是空间的基底，B 正确；111632OP OA OB OC =++ ，则()()()111632OA OP OB OP OC OP -+-+- 1110632PA PB PC =++=，即23PA PB PC =--，故P ，A ，B ，C 四点共面，C 正确；若这两个向量不共线，则存在向量与其构成空间的一个基底，故D 正确.故选：BCD.11.已知平面α的法向量为()1,2,2n =-- ，点()2,21,2A x x +为α内一点，若点()0,1,2P 到平面α的距离为4，则x 的值为（）A.2 B.1C.3- D.6-【答案】AD【解析】【分析】利用向量法可知，点P 到平面α的距离公式为||||AP n d n →→→⋅=，代入相关数值，通过解方程即可求解.【详解】解：由向量法可知，点P 到平面α的距离公式为||||AP n d n →→→⋅=，又 ()()22,(,20,2,0)122,1,x x AP x x →+--==-，()1,2,2n =--24AP n x x →→∴⋅=+，||3n ==由点()0,1,2P 到平面α的距离为4，有2443x x+=解得2x =或6x =-故选：AD【点睛】本题考查的是点面距离的计算问题，核心是会利用向量法中点到平面的距离公式，考查运算求解能力，属于基础题.12.已知双曲线C 经过点6,12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，且与椭圆22Γ:12x y +=有公共的焦点12,F F ，点M 为椭圆Γ的上顶点，点P 为C 上一动点，则（）A.双曲线CB.sin 3MOP ∠>C.当P 为C 与Γ的交点时，121cos 3F PF ∠= D.||PM 的最小值为1【答案】ACD 【解析】【分析】根据题意中的点求出双曲线方程，结合离心率的定义即可判断A ；根据双曲线的渐近线，结合图形即可判断B ；根据椭圆与双曲线的定义，结合余弦定理计算即可判断C ；由两点距离公式，结合二次函数的性质即可判断D.【详解】A ：由题意，12(1,0),(1,0)F F -，设双曲线的标准方程为222221,11x y a a a-=<-，将点,1)2代入得212a =，所以双曲线方程为2211122x y -=，得其离心率为22c e a ===，故A 正确；B ：由A 选项的分析知，双曲线的渐近线方程为y x =±，如图，π4MON ∠=，所以π3π44MOP <∠<，得sin 12MOP <∠≤，故B 错误；C ：当P为双曲线和椭圆在第一象限的交点时，由椭圆和双曲线的定义知，1212PF PF PF PF +=-=12,22PF PF ==，又122F F =，在12F PF △中，由余弦定理得222121212121cos 23PF PF F F F PF PF PF +-∠==⋅，故C 正确；D ：设00(,)P x y ，则22001,(0,1)2x y M -=，所以PM ==，当012y =时，min1PM =，故D 正确.故选：ACD.三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若空间向量(,2,2)a x =和(1,1,1)b = 的夹角为锐角，则x 的取值范围是________【答案】4x >-且2x ≠【解析】【分析】结合向量夹角公式、向量共线列不等式来求得x 的取值范围.【详解】依题意04211a b a bx x ⎧⋅=>⎪⋅⎪⇒>-⎨⎪≠⎪⎩ 且2x ≠.故答案为：4x >-且2x ≠14.已知0a >，0b >，直线1l ：()110a x y -+-=，2l ：210x by ++=，且12l l ⊥，则21a b+的最小值为__________．【答案】8【解析】【分析】根据两条直线的一般式方程及垂直关系，求出a ，b 满足的条件，再由基本不等式求出最小值即可．【详解】因为12l l ⊥，所以()11120a b -⨯+⨯=，即21a b +=，因为0a >，0b >，所以()2121422248b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=+++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当4b a a b =，即12a =，14b =时等号成立，所以21a b+的最小值为8．故答案为：8．15.直线30x y ++=分别与x 轴，y 轴交于,A B 两点，点P 在圆()2232x y -+=上，则ABP 面积的取值范围______．【答案】[]6,12【解析】【分析】由题意求得所以()30A -,，()0,3B -，从而求得AB =，再根据直线与圆的位置关系可求得点P 到直线30x y ++=距离h ⎡∈⎣，再结合面积公式即可求解.【详解】因为直线30x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，所以()30A -,，()0,3B -，因此AB =．因为圆()2232x y -+=的圆心为()3,0，半径r =，设圆心()3,0到直线30x y ++=的距离为d ，则3033222d ++==>，因此直线30x y ++=与圆()2232x y -+=相离．又因为点P 在圆()2232x y -+=上，所以点P 到直线30x y ++=距离h 的最小值为32222d r -=-=，最大值为32242d r +=+=，即22,42h ⎡⎤∈⎣⎦，又因为ABP 面积为13222AB h h ⨯⨯=，所以ABC 面积的取值范围为[]6,12．故答案为：[]6,1216.瑞士数学家欧拉（LeonhardEuler ）1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知ABC 的顶点()4,0-A ，()0,4B ，其欧拉线方程为20x y -+=，则顶点C 的坐标可以是_________【答案】()2,0或()0,2-【解析】【分析】设(,)C x y ，依题意可确定ABC ∆的外心为(0,2)M ，可得出,x y 一个关系式，求出ABC ∆重心坐标，代入欧拉直线方程，又可得出,x y 另一个关系式，解方程组，即可得出结论.【详解】设(,),C x y AB 的垂直平分线为y x =-，ABC 的外心为欧拉线方程为20x y -+=与直线y x =-的交点为(1,1)M -，∴22||||10,(1)(1)10MC MA x y ==++-=①由()4,0-A ，()0,4B ，ABC 重心为44(,)33x y -+，代入欧拉线方程20x y -+=，得20x y --=②由①②可得2,0x y ==或0,2x y ==-.故答案为：()2,0或()0,2-.【点睛】本题以数学文化为背景，考查圆的性质和三角形的外心与重心，考查逻辑思维能力和计算能力，属于较难题.四、解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知圆M 的圆心为()2,3，且经过点()5,1C -.（1）求圆M 的标准方程；（2）已知直线:34160l x y -+=与圆M 相交于,A B 两点，求AB .【答案】（1）()()222325x y -+-=（2）AB =【解析】【分析】（1）根据条件求出圆M 的半径,再结合圆心坐标求出标准方程即可;（2）求出圆心M 到直线l 的距离,再由垂径定理求出||AB .【小问1详解】因为圆M 的圆心为(2,3),且经过点(5,1)C -,所以圆M 的半径5r MC ===,所以圆M 的标准方程为()()222325x y -+-=.【小问2详解】由（1）知，圆M 的圆心为()2,3，半径=5r ，所以圆心M 到直线l 的距离2d =,所以由垂径定理，得AB ===.18.已知ABC 的顶点()3,2A ，边AB 上的中线所在直线方程为380x y -+=，边AC 上的高所在直线方程为290x y --=．（1）求顶点,B C 的坐标；（2）求ABC 的面积．【答案】（1）B 的坐标为()8,7，C 的坐标为()1,3（2）152【解析】【分析】（1）设(),B a b ，(),C m n ，由题意列方程求解即可得出答案.（2）先求出AB 和直线AB 所在的方程，再由点到直线的距离公式求出边AB 上的高，即可求出ABC 的面积．【小问1详解】设(),B a b ，因为边AB 上的中线所在直线方程为380x y -+=，边AC 上的高所在直线方程为290x y --=，所以2903238022a b a b --=⎧⎪⎨++-⨯+=⎪⎩，解得87a b =⎧⎨=⎩，即B 的坐标为()8,7．设(),C m n ，因为边AB 上的中线所在直线方程为380x y -+=，边AC 上的高所在直线方程为290x y --=，所以3802132m n n m -+=⎧⎪-⎨=-⎪-⎩，解得13m n =⎧⎨=⎩，即C 的坐标为()1,3．【小问2详解】因为()()3,2,8,7A B，所以AB ==因为边AB 所在直线的方程为237283y x --=--，即10x y --=，所以点()1,3C 到边AB的距离为2=，即边AB上的高为2，故ABC的面积为115222⨯=．19.已知直三棱柱111ABC A B C -，侧面11AA C C 是正方形，点F 在线段1AC 上，且13AF =，点E 为1BB 的中点，1AA =，1AB BC ==．（1）求异面直线CE 与BF 所成的角；（2）求平面CEF 与平面11ACC A 夹角的余弦值．【答案】（1）90（2）21【解析】【分析】（1）利用直棱柱的结构特征，结合线面垂直的性质，建立空间直角坐标系，利用直线与直线所成角的向量求法，计算得结论；（2）分别求出两个平面的法向量，利用平面与平面所成角的向量求法，即可得到结果．【小问1详解】因为侧面11AA C C 是正方形，1AA =，1AB BC ==，所以BA BC ⊥，因为三棱柱111ABC A B C -直三棱柱，所以1BB ⊥面ABC ，而BC ，BA ⊂平面ABC ，因此1BB BC ⊥，1BB BA ⊥，所以BC ，BA ，1BB 两两垂直．以B 为坐标原点，BC ，BA ，1BB 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，如下图：因此()100C ，，，()000，，B ，()010A ，，，(1102C ，，而点E 为1BB 的中点，所以2002E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，，因为F 在线段1AC 上，所以设()()1,201AF AC λλλλλ==-≤≤ ，因此(),12BF BA AF λλλ=+=- ，因为13AF = ()()222123λλλ+-+=解得16λ=，因此152,,666BF ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ ，即152,,666F ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，因为21,0,2CE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，所以11066CE BF ⋅=-+= ，因此异面直线CE 与BF 所成的角为90 .【小问2详解】设平面CEF 的法向量为()1n x y z = ，，，而552,,666CF ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，因此由1100n CE n CF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 得2025520666x z x y z ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-++=⎪⎩，取2z =得1x =，35y =，所以13125n ⎛= ⎝ ，，是平面CEF 的一个法向量，设平面11ACC A 的法向量为()2222n x y z = ，，，()110AC =- ，，，(112AC =- ，，，因此由22100n AC n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 得020x y x y z -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，取1x =得1y =，0z =，所以()2110n = ，，是平面11ACC A 的一个法向量.设平面CEF 与平面11ACC A 夹角为θ，则02πθ≤≤，因此121212cos cos ,n n n n n n θ⋅==31521+==，所以平面CEF 与平面11ACC A 夹角的余弦值为24221．20.已知双曲线C的焦点坐标为()1F，)2F ，实轴长为4，（1）求双曲线C 的标准方程；（2）若双曲线C 上存在一点P 使得12PF PF ⊥，求12PF F △的面积．【答案】（1）2214x y -=；（2）1．【解析】【分析】（1）由题可知,c a 的值即可求出双曲线C 的标准方程；（2）由双曲线的定义及面积公式即可求出.【详解】（1）设双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，由条件知c =，24a =，∴2,1a b ==，∴双曲线C 的方程为2214x y -=．（2）由双曲线的定义可知，124PF PF -=±．∵12PF PF ⊥，∴22212420PF PF c +==，即21212()220PF PF PF PF ⨯-+=∴122PF PF ⋅=，∴12PF F △的面积12112122S PF PF =⋅=⨯=．21.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，AB BC ⊥，侧面PAB ⊥底面ABCD ，2PA PB AD ===，4BC =.（1）若PB 的中点为E ，求证：//AE 平面PCD ；（2）若PB 与底面ABCD 所成的角为60︒，求PC 与平面PBD 的所成角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）80535【解析】【分析】（1）取PC 的中点F ，连接,EF DF .先证明四边形ADFE 是平行四边形，即可得出//DF AE ，然后即可证明线面平行；（2）先证明PO ⊥平面ABCD ，即可得出60PBA ∠=︒.然后建立空间直角坐标系，得出点以及向量的坐标，求出平面PBD 的法向量，根据向量求得PC 与平面PBD 的所成角的正弦值，进而求得余弦值.【小问1详解】如图1，取PC 的中点F ，连接,EF DF ，,E F 分别为,PB PC 的中点，∴//EF BC ，且122EF BC ==.//AD BC 且2AD =，//EF AD ∴且2EF AD ==，∴四边形ADFE 是平行四边形，//DF AE ∴.AE ⊄ 平面PCD ，DF ⊂平面PCD ，∴//AE 平面PCD .【小问2详解】若O 是AB 中点，取CD 中点为G ，连结OG .,O G 分别是,AB CD 的中点，∴//OG BC .AB BC ⊥，∴OG AB ⊥.由底面ABCD 为直角梯形且//AD BC ，2PA PB AD ===，4BC =.PA PB =，∴PO AB ⊥.由侧面PAB ⊥底面ABCD ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，PO ⊂面PAB ，∴PO ⊥平面ABCD ，P ∴在平面ABCD 的投影在直线AB 上.又PB 与底面ABCD 所成的角为60︒，PB ∴与底面ABCD 所成角的平面角60PBA ∠=︒，∴PAB 为等边三角形，2AB PA ==.以O 为原点，分别以,,OB OG OP 所在的直线为,,x y z 轴，如图2建空间直角坐标系，则()1,0,0B ，()1,4,0C ，()1,2,0D -，(3P ，则(3BP =- ，(1,2,3PD =- ，(1,4,3PC = .设平面PBD 的法向量(),,n x y z =r，则00n BP n PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即020x x y ⎧-+=⎪⎨-+-=⎪⎩，取x =，得)n = ，∴cos ,35n PC n PC n PC ⋅==r uu u r r uu u r r uu u r .设PC 与平面PBD 的所成角为θ，则sin cos ,35n PC θ== . π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴cos 0θ≥∴cos 35θ==，PC ∴与平面PBD的夹角的余弦值为35.22.已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，斜率为1的直线l 经过F ，且与抛物线C 交于A ，B 两点，8AB =．（1）求抛物线C 的方程；（2）过抛物线C 上一点(),2P a -作两条互相垂直的直线与抛物线C 相交于MN 两点（异于点P ），证明：直线MN 恒过定点，并求出该定点坐标．【答案】（1）24y x=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据条件，得到直线l 方程为2p y x =-，设1122(,),(,)A x y B x y ，联立抛物线方程，根据抛物线的弦长求得p ，即得答案；（2）求得a 的值，设直线MN 的方程为x my n =+，联立抛物线方程，得根与系数的关系，利用PM PN ⊥，得到32(1)n m -=-或32(1)n m -=--，代入直线方程，分离参数，求得定点坐标，证明结论.【小问1详解】设1122(,),(,)A x y B x y ，由题意知(,0)2p F ，则直线l 方程为2p y x =-，代入()220y px p =>，得22304p x px -+=，280p ∆=>，∴123x x p +=，由抛物线定义，知1||2p AF x =+，2||2p BF x =+，∴12348AB AF BF x x p p p p =+=++=+==，∴2p =，∴抛物线的方程为24y x =.【小问2详解】证明： (),2P a -在抛物线24y x =上，∴242),1(a a =∴=-，由题意，直线MN 的斜率不为0，设直线MN 的方程为x my n =+，设3344(,),(,)M x y N x y ，由24y x x my n⎧=⎨=+⎩，得2440y my n --=，则216160m n '∆=+>，且34344,4y y m y y n +==-，又23434)242(x x m y y n m n +=++=+，22234344334()()()x x my n my n m y y mn y y n n =++=+++=，由题意，可知PM PN ⊥,PM PN ∴⊥,故3434(1)(1)(2)(2)0PM PN x x y y +⋅=+--+= ，故()3434343412()40x x x x y y y y -++++++=，整理得2246850n m n m --++=，即22(3)4)(1n m -=-，∴32(1)n m -=-或32(1)n m -=--，即21n m =+或25n m =-+．若21n m =+，则21(2)1x my n my m m y =+=++=++，此时直线MN 过定点(1,2)-，不合题意；若25n m =-+，则()2525x my n my m m y =+=-+=-+，此时直线MN 过定点(5,2)，符合题意，综上，直线MN 过异于P 点的定点(5,2)．【点睛】方法点睛：直线和抛物线的位置关系中，证明直线过定点问题，一般是设出直线方程，利用根与系数的关系化简，求得参数之间的关系式，再对直线分离参数，求得定点坐标，进而证明直线过定点.。
天津市2023-2024学年高二上学期期中考试英语试题含解析
天津市2023~2024学年度第一学期高二年级期中检测试卷(2023.11)英语（答案在最后）第I卷选择题一、听力第一节(共5小题;每小题1分，满分5分)1.Where does the woman find the match?A.Beside the telephone.B.In the desk drawer.C.On the kitchen table.2.What is Tina Marks doing?A.Having a meeting.B.Making a phone call.C.Lining up.3.When will the lecture be given?A.On June10th.B.On June11th.C.On June18th.4.What are the two speakers mainly talking about?A.A rainforest.B.A report.C.A book party.5.Why doesn’t the man want to go to the beach?A.He can’t bear the hot weather.B.He has no interest in the beach.C.He is waiting for the football match.第二节(共10小题;每小题1分，满分10分)听下面一段对话，回答第6至第8小题。
6.When will the race be held?A.This afternoon.B.Tomorrow morning.C.Tomorrow afternoon.7.What might the weather be like on the weekend?A.Rainy.B.Sunny.C.Cloudy.8.What does Mike probably do?A.A news reporter.B.A weatherman.C.A sports reporter.听下面一段对话，回答第9至第11小题。
高二上学期期中考试数学试卷含答案(共5套)
高二上学期期中考试数学试题本卷分Ⅰ（选择题）、Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中Ⅰ卷1至2页，第二卷2至4页，共150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、单选题：本题共12个小题，每小题5分1．“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．有下列四个命题：（1）“若，则，互为倒数”的逆命题；（2）“面积相等的三角形全等”的否命题；（3）“若，则有实数解”的逆否命题；（4）“若，则”的逆否命题.其中真命题为（）A．（1）（2）B．（2）（3）C．（4）D．（1）（2）（3）3．若则为（）A．等边三角形 B．等腰直角三角形C．有一个内角为30°的直角三角形 D．有一个内角为30°的等腰三角形4．已知.若“”是真命题，则实数a的取值范围是A．(1，+∞)B．(－∞，3)C．(1，3)D．5．的内角，，的对边分别为，，，若，，，则的面积为A．B．C．D．6．已知中，，则等于（）A．B．或C．D．或7．等差数列的前项和为，若，则等于（）A．58B．54C．56D．528．已知等比数列中，，，则（）A．2B．C．D．49．已知，则z=22x+y的最小值是A．1 B．16 C．8 D．410．若关于的不等式的解集为，则的取值范围是（）A．B．C．D．11．当ａ＞０，关于代数式，下列说法正确的是（）A．有最小值无最大值B．有最大值无最小值C．有最小值也有最大值D．无最小值也无最大值12．在△ABC中，AB＝2，C＝，则AC＋BC的最大值为A．B．3C．4D．2第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：共4个小题，每小题5分，共20分13．命题的否定是______________．14．已知的三边长构成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为，则这个三角形的周长为________.15．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，当n≥2时，a n＋2S n－1＝n，则S2 017的值____ ___ 16．已知变量满足约束条件若目标函数的最小值为2，则的最小值为__________．三、解答题：共6题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
2024学年江苏省扬州中学高二上学期期中考语文试题及答案
江苏省扬州中学2023-2024学年第一学期期中试题高二语文 2023.11注意事项：1.请考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上并贴上条形码。
2.请将选择题答案用2B铅笔填涂到答题卡的指定位置上，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，将答题卡交监考人员。
一、现代文阅读（35分）（一）现代文阅读I（本题共5小题，19分）阅读下面的文字，完成1～5题。
材料一：道家思想的核心是无为，主张顺自然、因物性，而儒家思想的核心是有为，强调制名（礼）教、规范人性。
这两种类型思想的不同和对立是显而易见的，而两者在历史上相互补充、相互吸收，共同构成中国文化的基本格局、中国民族的主要精神，同样也是显而易见的。
诚如班固所说：“其言虽殊,辟犹水火,相灭亦相生也”“相反而皆相成也”。
人们经常把道家的无为理解为一种消极逃避、什么都不去做的主张。
其实，这很不全面，也不准确。
应当指出，在道家内部存在着消极无为和积极无为两种不同的学说，他们对于无为思想精神的理解是很不相同的。
道家的庄子学派总的说来比较偏向于消极的无为，他们追求一种“堕肢体，黜聪明”的“坐忘”（《庄子·大宗师》）和“形如槁木”“心如死灰”的“吾丧我”（《庄子·齐物论》）的自我陶醉的精神境界。
而道家的老子学派所说的无为就不完全是消极的了。
老子所谓的无为，主要是“辅万物之自然而不敢为”（《老子》六十四章）。
他强调的是“生而不有，为而不恃，长而不宰”（《老子》五十章）和“不自见”“不自是”“不自伐”“不自矜”（《老子》二十二章），即不自作聪明、不自以为是、不自居功劳、不自我夸耀。
所以，老子的无为并不是什么也不为，而是主张为而不恃，是要以退为进、以曲求全、以柔胜刚。
荀子在批评庄、老二家学说时，一则说“庄子蔽于天而不知人”（《荀子·解蔽》），一则说“老子有见于诎（曲），无见于信（伸）”《荀子·天论》），对于两者思想精神的不同之处，抓得相当准确，点得十分明白。
2024学年江苏省扬州中学高二上学期期中考化学试题及答案
江苏省扬州中学 2023-2024 学年第一学期期中试题高二化学（选修） 2023.11试卷满分：100分，考试时间：75分钟注意事项：1.作答第Ⅰ卷前，请考生务必将自己的姓名，考试证号等写在答题卡上并贴上条形码。
2.将选择题答案填写在答题卡的指定位置上（使用机读卡的用2B 铅笔在机读卡上填涂），非选择题一律在答题卡上作答，在试卷上答题无效。
3.考试结束后，请将机读卡和答题卡交监考人员。
可能用到的相对原子质量：H-1 C-12 N-14 O-16 Mn-55第Ⅰ卷(选择题，共39分)A ．图①模拟金属腐蚀，a 上没有气泡产生说明铁棒未被腐蚀B ．图②中桥墩与外加电源正极连接能确保桥墩不被腐蚀C ．图③可实现反应：222Cu 2H O Cu(OH)H ++↑通电D ．图④组装的铜锌原电池，能得到持续稳定的电流3．下列事实不能用勒夏特列原理解释的是A. 高压比常压更有利于合成氨反应B. 红棕色的NO 2气体，加压后颜色先变深后变浅，但比原来要深C. 氯水在光照条件下颜色变浅，最终变为无色D ．压缩H 2和I 2(g)反应的平衡混合气体，气体颜色变深4．下列说法正确的是A ．常温下，反应2NO(g)+O 2(g)2NO 2(g)能自发进行，该反应的ΔH >0B ．2 mol SO 2与1 mol O 2混合反应生成SO 3，转移电子数为4×6.02×1023C ．常温下，0.1 mol·L -1氨水稀释后，溶液中)()(234O H NH c NH c ⋅+的值增大D ．用pH 均为11的NaOH 溶液和氨水分别中和等体积等物质的量浓度的盐酸，消耗氨水的体积更大5．在含3Fe +、228S O -和I -的溶液中，发生反应：()()()()222842S O aq 2I aq 2SO aq I aq ---+=+，其分解机理及反应进程中的能量变化如下：步骤①：()()()()3222Feaq 2I aq I aq 2Fe aq +-+++=步骤②：()()()()22322842Fe aq S O aq 2Fe aq 2SO aq +-+-+=+下列有关该反应的说法正确的是A ．步骤②是整个反应的决速步骤B ．加入3Fe +可以使反应物分子中活化分子百分数增大C ．该反应的催化剂是2Fe +D ．若不加3Fe +，则正反应的活化能比逆反应的大6．某同学设计如图所示实验，探究反应中的能量变化，下列判断正确的是A ．由实验可知，甲、乙、丙所涉及的反应都能使温度计读数上升B ．将实验甲中的铝片更换为等质量的铝粉后释放出的热量相同C ．实验丙中将环形玻璃搅拌器改为铜质搅拌棒对实验结果没有影响D ．实验丙中若用相同浓度、相同体积的醋酸溶液代替盐酸进行上述实验，测得的△H 会偏小7．下列关于溶液酸碱性说法正确的是A ．某温度下纯水中c(OH -)=4×10-7mol·L -1，则该温度下0.1mol·L -1的盐酸的pH<1B ．25℃ pH=3的稀硫酸与pH=11的氨水等体积混合后，溶液的pH=7C ．将pH=4的盐酸稀释后，溶液中所有离子的浓度均降低D ．c(H +) > c(OH -)的溶液一定呈酸性8．2022年我国十大科技突破——海水直接电解制H 2，其工作原理如图，防水透气膜只能水分子通过。
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高二第一学期期中试题（生物）(时间：90分钟 满分：100分)一、选择题(共40题，共40分。
每题只有一个正确答案)1．组织液生成增多，大量积累在组织细胞间隙就会导致组织水肿。
下列各项中不能引起组织水肿的是( )A ．营养不良，血浆蛋白含量减少B ．花粉过敏，使毛细血管通透性增大C ．饮食过咸，导致血浆渗透压过高D ．淋巴结发炎，淋巴回流受阻 2．(2010·济宁模拟)小王因故没有吃早饭就去上学了，但到第四节课时仍然精神饱满地认真听讲和学习。
关于他体内血糖调节的叙述不正确的是( )A ．低血糖可促进胰岛A 细胞分泌胰高血糖素B ．肾上腺素促进糖原分解C ．胰高血糖素促进胰岛B 细胞分泌胰岛素D ．胰高血糖素可促进非糖物质转化成葡萄糖 3．如图表示正反馈和负反馈的过程及其不同点。
在正常人体内，以下生理过程属于正反馈的是()A ．血糖浓度的稳定B ．pH 的稳定C ．受精卵分裂过程的启动D ．体温的调节 4．(2010·全国理综)将神经细胞置于相当于细胞外液的溶液(溶液S)中，可测得静息电位。
给予细胞一个适宜的刺激，膜两侧出现一个暂时性的电位变化，这种膜电位变化称为动作电位。
适当降低溶液S中的Na ＋浓度，测量该细胞的静息电位和动作电位，可观察到( )A ．静息电位值减小B ．静息电位值增大C ．动作电位峰值升高D ．动作电位峰值降低5．用某种药物饲喂动物，一段时间后测得实验组比对照组动物血浆中血红蛋白含量明显增高，该药物的作用可能是( )A ．增强血红蛋白的合成能力B ．提高血浆蛋白的含量C ．增加红细胞的生成数量D ．对红细胞有破坏作用 6．水平放置在地面的植株，一段时间后会发生的现象是( ) A ．靠近地面一侧较远离地面一侧生长素浓度高，根向下弯曲生长 B ．靠近地面一侧较远离地面一侧生长素浓度低，根向下弯曲生长 C ．远离地面一侧较靠近地面一侧生长素浓度高，茎向上弯曲生长 D ．远离地面一侧较靠近地面一侧生长素浓度高，茎向下弯曲生长 7．下列说法正确的是( )A ．低浓度的甲状腺激素促进下丘脑和垂体分泌相关的激素B ．激素只运输给相应的靶细胞、靶器官C ．神经系统的某些结构也能合成分泌激素D ．当病毒侵入人体后，只有细胞免疫发挥防御作用 8．(2010·上海生物)以下最能反映健康人餐后6小时内血糖浓度变化趋势的曲线是()9．(2010·全国理综)下列关于免疫细胞的叙述，错误的是( )A ．效应T 细胞可以释放淋巴因子C ．吞噬细胞和淋巴细胞均属于免疫细胞B ．T 淋巴细胞可以产生多种抗体D ．一个效应B 淋巴细胞只能产生一种抗体10．匈牙利学者帕尔(A .Paal)在1914－1918年间进行植物生长的实验研究时，曾在黑暗条件下，将切下的燕麦胚芽鞘顶部移到切口的一侧，胚芽鞘会向另一侧弯曲生长，这个实验主要证实( )A ．顶端能产生某种“影响物”B ．合成“影响物”不需要光C ．“影响物”具有促进胚芽鞘生长效应D ．使背光一侧“影响物”分布多 11．(2010·上海生物)膝跳反射中，神经冲动在神经元间的传递途径是( ) A ．树突→突触→细胞体→轴突 B ．轴突→细胞体→树突→突触 C ．树突→细胞体→轴突→突触 D ．树突→突触→轴突→细胞体 12．下列各组激素中，与棉花落花、落叶无关的是( ) A ．生长素和赤霉素 B ．赤霉素和细胞分裂素 C ．生长素和脱落酸 D ．赤霉素和乙烯 13．人体免疫反应是机体识别“自己”、排除“异己”的过程，在这一过程中发生了一系列的变化。
下图有关曲线中，不能正确反映这一变化过程中某些因素的变化情况的是()14．给某只发育迟缓的小白鼠注射生长激素后，发育状况并没有改变，该小鼠体内可能发生病变的腺体和缺乏的激素是( )A ．垂体和生长激素B ．胰岛和胰岛素C ．甲状腺和甲状腺激素D ．肾上腺和肾上腺激素15．某种药物可以阻断蟾蜍屈肌反射活动。
下图为该反射弧的模式图。
A 、B 为神经纤维上的实验位点，C 为突触间隙。
下列实验结果中，能够证明这种药物“在神经系统中仅对神经细胞间的兴奋传递有阻断作用”的是()①将药物放在A ，刺激B ，肌肉收缩 ②将药物放在B ，刺激A ，肌肉收缩 ③将药物放在C ，刺激B ，肌肉不收缩 ④将药物放在C ，刺激A ，肌肉收缩A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④16．下列有关促胰液素发现史的叙述，不正确的是( ) A ．促胰液素是人们发现的第一种激素，是由胰腺分泌的 B ．沃泰默实验其中一组对照组排除盐酸作用于胰腺分泌胰液C ．斯他林和贝利斯在沃泰默研究的基础上，勇于向权威观点挑战，大胆质疑、探索和创新是成功的关键D ．促胰液素是由小肠黏膜分泌的，作用于胰腺，促进胰腺分泌胰液17．下图中能表示正常人在高温潮湿环境中长时间工作而导致中暑的是()18．如图所示，A 、B 、C 为对胚芽鞘作不同处理的实验，D 为一植株，被纸盒罩住，纸盒的一侧开口，有单侧光照，下列对实验结果的描述，正确的是( )A ．A 、B 向光弯曲生长，C 背光弯曲生长 B ．A 直立生长，B 、C 向光弯曲生长C ．D 图中如果固定植株，旋转纸盒，一段时间后，植物向左弯曲生长 D ．D 图中如果将纸盒和植株一起旋转，则弯向盒开口方向生长 19．下图为突触结构模式图，对其说法不正确的是( ) A ．在a 中发生电信号→化学信号的转变，信息传递需要能量 B ．①中内容物释放至②中主要借助于突触前膜的选择透过性 C ．②处的液体为组织液，含有能被③特异性识别的物质 D ．①中内容物使b 兴奋时，兴奋处外表面分布着负电荷 20．(2010·海南理综)下列叙述，错误的是( )A ．血液中甲状腺激素增加时会促进垂体分泌促甲状腺激素B ．血浆渗透压的大小主要取决于血浆中无机盐和蛋白质的含量C ．内分泌腺分泌的激素释放到内环境中，然后作用于靶细胞D ．淋巴中的淋巴细胞可以通过淋巴循环由锁骨下静脉汇入血液 21．关于生态系统中分解者的叙述，正确的是( )A ．专门营腐生生活的细菌也不一定是分解者，而有可能是生产者和消费者B ．分解者将动植物遗体中的有机物分解成无机物，可以供硝化细菌再利用C ．分解者分解动植物遗体释放出来的能量，可供绿色植物同化作用再利用D ．微生物不一定都是分解者，分解者一定是微生物 22．下列有关群落演替的叙述，不正确的是( ) A ．群落的演替是指一个群落替代另一个群落的过程 B ．草原地区的农区在弃耕后开始出现次生演替 C ．群落的初生演替速度通常非常慢D ．火灾过后的森林发生的演替是初生演替23．下列有关生态系统功能的叙述中，不正确的是( ) A ．能量只能由较低营养级流向较高营养级 B ．食物链中的营养级可以是无限的C ．能量流动和物质循环可以长时期地保持动态平衡D ．生态系统中的能量最终以热能形式散失到环境中24．若用甲代表大气中的二氧化碳，乙代表生产者，丙代表消费者，丁代表分解者，则甲、乙、丙、丁在碳循环中的关系是()25．预测一个国家或地区人口数量未来的动态信息主要来自( )A ．现有居住人口不同年龄组成的比例B ．现有人口数量和密度C ．现有出生率、死亡率和迁入率、迁出率D ．现有人口男女性别比例26．长期处于相对稳定状态的生态瓶中只有一条食物链，共含有三个营养级。
若每个营养级每日每小时的耗氧量如图中曲线所示，则曲线a 、b 、c 所反映的营养级分别是( )A ．第三营养级、第二营养级、第一营养级B ．第三营养级、第一营养级、第二营养级C ．第二营养级、第三营养级、第一营养级D ．第一营养级、第二营养级、第三营养级27．关于“生物多样性及其保护”的叙述，正确的是( )A ．地球上所有动物、植物和微生物，以及它们所拥有的全部基因共同组成生物多样性B ．许多野生物的使用价值目前还不清楚，说明生物多样性具有间接价值C ．建立植物园、动物园等措施属于就地保护D ．保护生物多样性，并不反对对野生生物资源的合理开发和利用28．某水池有浮游动物和藻类两个种群，其种群密度随时间变化的趋势如图，若向水池中投放大量专食浮游动物的某种鱼(丙)，一段时间后，该水池甲、乙、丙三个种群仅剩一个种群。
下列关于该水池中上述三个种群关系及变化的叙述，正确的是( )A ．甲和丙既有竞争关系又有捕食关系，最终仅剩下甲种群B ．甲和乙既有竞争关系又有捕食关系，最终仅剩下丙种群C ．丙和乙既有竞争关系又有捕食关系，最终仅剩下甲种群D ．丙和乙既有竞争关系又有捕食关系，最终仅剩下丙种群29．生态系统的成分包括生产者、消费者、分解者及非生物的物质和能量。
下列关于生态系统的成分的叙述，正确的是( )A ．动物都属于消费者，其中食草动物属于第二营养级B ．细菌都属于自养生物，其异化作用类型有需氧型和厌氧型两类C ．生产者属于自养型生物，是生态系统中最基本、最关键的生物成分D ．一种生物只能属于生态系统中的一种生物成分30．世界上有4 000多种蟑螂。
蟑螂可以传播多种疾病，蟑螂粪还可使人过敏。
这种害虫很难被消灭。
研究人员已合成出雌蟑螂吸引雄蟑螂的性外激素成分，并认为可借助这种人工合成物质开发诱捕雄蟑螂的新方法。
在实验中，研究人员把这种人工合成的性外激素浸入纸中，放在距雄蟑螂55 cm 的位置，结果在1 min 内有60%的雄蟑螂被这种激素所吸引。
研究人员还在猪圈里放置了千分之一克这种性外激素，结果一个晚上诱捕30只雄蟑螂。
以上材料不能说明( )A ．蟑螂的性外激素由雌蟑螂分泌，具有挥发性B ．蟑螂的性外激素是一种信息素C ．信息能调节生物的种间关系，以维持生态系统的稳定D ．信息传递能在种群的繁衍过程中起作用31．大气中的臭氧层可使人类和其他生物免受紫外线的危害，人为因素可能使臭氧层受到破坏，下列因素可破坏臭氧层的是( )A ．SO 2的排放B ．制冷剂氟氯烃(商品名“氟利昂”)的泄漏C ．CO 2的排放D ．燃料的不完全燃烧 32．如图是某生态系统示意图，当一种生物的全部同化量来自两种生物时，且同化量各占一半，下列叙述不正确的是( )A ．该生态系统的生物群落包括了图中全部生物的总和B ．图中处于最高营养级的生物是蛇C ．图中由捕食关系而形成的食物链共3条D ．如蛇要净增重1 kg ，则最多要消耗绿色植物3 500 kg 33．下列有关食物链和生物进化的说法中正确的是( )A ．在生态系统中，生物种类越复杂，个体数量越庞大，食物链就越多，其抵抗力稳定性也越高B ．如果经干旱环境长期诱导，生物体往往发生耐旱突变C ．在食物链中，根据动物的食性，同一种动物可能占多种营养级D ．生态系统中引入的生物种类越多，生态系统的抵抗力稳定性越高 34．如图为生态系统中能量流动图解部分示意图，①②③④各代表一定的能量值，下列各项中正确的是( )A ．①表示流经生态系统内部的总能量B ．一般情况下，③增加1 kg ，①至少增加100 kgC ．食物链中捕食关系一般不可逆转，所以能量流动具单向性D ．从能量关系看②≥③＋④35．下列四图中能正确表示某池塘鱼个体的平均增长量与种群密度关系的是( )36．建设生态农业时，巧设、增设食物链的目的不包括( ) A ．实现物质的分层次多级利用 B ．实现废物资源化，能量循环利用 C ．减轻污染，提高抵抗力稳定性 D ．加强生物防治，控制有害生物37．为观察不同水质对生态系统稳定性的影响，设计并制作了小生态瓶。