上海市华东师范大学第二附属中学2020-2021学年第一学期高一期中数学试卷
2020-2021学年上海市浦东新区华师大二附中高一上学期期中数学试题(解析版)
2020-2021学年上海市浦东新区华师大二附中高一上学期期中数学试题一、单选题1．命题“若p 不正确，则q 不正确”的逆命题的等价命题是（ ） A ．若q 不正确，则p 不正确 B ．若q 不正确，则p 正确 C ．若p 正确，则q 不正确 D ．若p 正确，则q 正确【答案】D【分析】由命题“若p 不正确，则q 不正确”，根据四种命题的定义，我们易求出其逆命题，进而根据互为逆否命题是等价命题，易求出结果． 【详解】解：命题“若p 不正确，则q 不正确”的逆命题是： “若q 不正确，则p 不正确” 其等价命题是它的逆否命题，即 “若p 正确，则q 正确” 故选D ．【点睛】本题考查的知识点是四种命题的逆否关系，根据四种命题的定义，求出满足条件的逆命题，及互为逆否的两个命题为等价命题是解答本题的关键．2．已知,a b ∈R ，则“1a <，1b <”是“不等式1ab a b +>+”成立的（ ）条件. A ．充分非必要 B ．必要非充分C ．充要D ．既不充分又不必要 【答案】A【分析】化简不等式1ab a b +>+为()()110a b -->，再根据充分、必要条件的判断方法，选出正确选项.【详解】不等式1ab a b +>+等价于()()110a b -->.故当“1a <，1b <”时，10,10a b -<-<，故()()110a b -->，即“不等式1ab a b +>+”成立.当“不等式1ab a b +>+”成立时，()()110a b -->，可能是1,1a b >>，故不能推出“1a <，1b <”.所以“1a <，1b <”是“不等式1ab a b +>+”成立的充分非必要条件.故选A.【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查不等式的性质，属于基础题. 3．已知()f x 在[],x a b ∈的最大值为M ，最小值为m ，给出下列五个命题：（ ） ①若对任何[],x a b ∈都有()p f x ≤，则p 的取值范围是(],m -∞. ②若对任何[],x a b ∈都有()p f x ≤，则p 的取值范围是(],M -∞. ③若关于x 的方程()p f x =在区间[],a b 有解，则p 的取值范围是[],m M . ④若关于x 的不等式()p f x ≤在区间[],a b 有解，则p 的取值范围是(],m -∞. ⑤若关于x 的不等式()p f x ≤在区间[],a b 有解，则p 的取值范围是(],M -∞. A ．4 B ．3C ．2D ．1【答案】B【分析】这是一个对不等式恒成立，方程或不等式解集非空的理解，概念题．对各个选项分别加以判断，在①②中，得出①正确②错误，④⑤中得出⑤正确④错误，而不难发现③是一个真命题，由此可得正确答案.【详解】对任何x ∈[a ，b]都有()p f x ≤，说明p 小于等于()f x 的最小值，①是正确的; 由于①正确，所以②是一个错误的理解，故不正确;关于x 的方程p =f (x ）在区间[a ，b ]上有解，说明p 应属于函数f (x ）在[a ，b ]上的值域[m ，M ]内，故③是正确的;关于x 的不等式p ≤f (x ）在区间[a ，b ]上有解，说明p 小于或等于的最大值，所以④是错误的，而⑤是正确的 正确的选项应该为①③⑤ 故选： B.【点睛】关键点点睛：本题考查了命题的真假判断与应用，属于基础题．不等式或方程解集非空，只要考虑有解;而不等式恒成立说明解集是一切实数，往往要考虑函数的最值了．4．设集合{}21|10P x x ax =++>，{}22|20P x x ax =++>，{}21|0Q x x x b =++>，{}22|20Q x x x b =++>，其中,a b ∈R ，下列说法正确的是（ ）A ．对任意a ，1P 是2P 的子集；对任意的b ，1Q 不是2Q 的子集B ．对任意a ，1P 是2P 的子集；存在b ，使得1Q 是2Q 的子集C ．存在a ，使得1P 不是2P 的子集；对任意的b ，1Q 不是2Q 的子集D ．存在a ，使得1P 不是2P 的子集；存在b ，使得1Q 是2Q 的子集【答案】B【分析】先证得1P 是2P 的子集，然后求得b 使1Q 是2Q 的子集，由此确定正确选项．【详解】对于1P 和2P ，由于210x ax ++>时222110x ax x ax ++=+++>，所以1P 的元素，一定是2P 的元素，故对任意a ，1P 是2P 的子集. 对于1Q 和2Q ，根据判别式有140440b b -<⎧⎨-<⎩，即1b >时，12Q Q R ==，满足1Q 是2Q 的子集，也即存在b ，使得1Q 是2Q 的子集. 故选B.【点睛】本小题主要考查子集的判断，考查恒成立问题和存在性问题的求解策略，属于基础题.二、填空题5．已知集合{}1,0,1,7A =-，则集合A 的非空真子集的个数为_________. 【答案】14【分析】先算出集合中的元素个数n ,根据非空真子集的计算公式22n -即可求出结果. 【详解】解: 集合{}1,0,1,7A =-， 元素个数4n = ,所以非空真子集个数为4222214n -=-=. 故答案为:146．不等式123x -<<的解集为__________. 【答案】11(,)(,)23-∞-+∞.【分析】将原不等式转化为1213xx⎧>-⎪⎪⎨⎪<⎪⎩，解方程组求得原不等式的解集.【详解】原不等式等价于1213x x ⎧>-⎪⎪⎨⎪<⎪⎩，即120130x x ⎧+>⎪⎪⎨⎪-<⎪⎩，120130x x x x +⎧>⎪⎪⎨-⎪<⎪⎩，()()120130x x x x ⎧+>⎪⎨-<⎪⎩，解得11(,)(,)23x ∈-∞-+∞. 故答案为11(,)(,)23-∞-+∞.【点睛】本小题主要考查分式不等式的解法，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.7．函数0()f x =_________.【答案】()(),33,0-∞--【分析】解不等式组30||0x x x +≠⎧⎨->⎩即得解.【详解】由题得30,0||0x x x x +≠⎧∴<⎨->⎩且3x ≠-. 所以函数的定义域为()(),33,0-∞--.故答案为：()(),33,0-∞--8．若{}3,2,1,0,1,2,3U =---，{}{}210,,13,A x x x Z B x x x Z =-≤∈=-≤≤∈则()UA B =_________.【答案】{2,3}【分析】先化简,A B ，求出UA ，即得解.【详解】由题得{}210,{1,0,1}A x x x Z =-≤∈=-，{3,2,2,3}UA =--，{}13,{1,0,1,2,3}B x x x Z =-≤≤∈=-，所以()UA B ={2,3}.故答案为：{2,3}9．设集合{}{},T =∅∅，则下列命题：①T ∅∈，②T ∅⊆，②{}T ∅∈，④{}T ∅⊆中正确的是__________（写出所有正确命题对应的序号）. 【答案】①②③④.【分析】根据集合T 元素的特征，对四个命题逐一分析，由此确定正确命题的序号. 【详解】集合{}{},T =∅∅，也即集合T 的元素为两个集合，一个是∅，另一个是{}∅. 对于①，空集是集合T 的元素，故①正确. 对于②，空集是任何集合的子集，故②正确. 对于③，{}∅是集合T 的元素，故③正确. 对于④，{}∅中含有元素∅，故④正确. 故答案为①②③④.【点睛】本小题主要考查元素与集合的关系，考查集合与集合的关系，属于基础题. 10．若集合()22{|215}x y x a x a R =+++-=，则实数a 的取值范围是__________． 【答案】(],3-∞-【分析】根据()222150x a x a +++-≥恒成立列不等式，解不等式求得a 的取值范围.【详解】题目所给集合研究对象为函数()22215y x a x a =+++-的定义域，依题意可知()222150x a x a +++-≥恒成立，故()()2221450a a ∆=+--≤⎡⎤⎣⎦，即8240,3a a +≤≤-.故答案为：(],3-∞-.【点睛】本小题主要考查函数定义域的求法，考查集合元素的概念，考查一元二次不等式恒成立问题的求解策略，属于基础题.11．如果全集U 含有12个元素，,P Q 都是U 的子集，P Q 中含有2个元素，P Q含有4个元素，PQ 含有3个元素，则P 含有_________个元素.【答案】作出韦恩图，可知P 中元素个数为25x +=．【分析】根据题目所给条件，画出图像，由此判断集合P 的元素个数． 【详解】依题意画出图像如下图所示，由图可知，集合P 的元素个数为5个．故答案为：5.12．对于集合M ，定义函数()1,1,M x Mf x x M-∈⎧=⎨∉⎩，对于两个集合,A B ，定义集合()(){}|1A B A B x f x f x *=⋅=-. 已知集合{}A x x =>，()(){}|330B x x x x =-+>，则A B *=__________.【答案】(,3][0,1)(3,)-∞-+∞.【分析】解不等式求得集合A 与集合B ，根据新定义函数()M f x 以及新定义集合A B *的概念，求得A B *中x 的取值范围.【详解】当0x >x >两边平方并化简得220x x +-<，即()()210x x +-<，解得21x -<<，由于0x >，故x 的范围是()0,1.当0x ≤x >恒成立，故x 的取值范围是(],0-∞.综上所述，(),1A =-∞.故()1,11,1A x f x x -<⎧=⎨≥⎩①. 由()()330x x x -+>，解得30x -<<或3x >，故()()3,03,B =-⋃+∞.故()()()(][]1,3,03,1,,30,3B x f x x ⎧-∈-⋃+∞⎪=⎨∈-∞-⋃⎪⎩②. 要使()()1A B f x f x ⋅=-，由①②可知，(,3][0,1)(3,)x -∞-∞∈+.故答案为(,3][0,1)(3,)-∞-+∞.【点睛】本小题主要考查新定义函数的理解和运用，考查新定义集合的理解和运用，考查不等式的解法，属于中档题.13．已知1a 、2a 、3a 与1b 、2b 、3b 是6个不同的实数，若关于x 的方程123123x a x a x a x b x b x b -+-+-=-+-+-的解集A 是有限集，则集合A 中最多有________个元素 【答案】3【分析】设a 1＜a 2＜a 3与b 1＜b 2＜b 3，设函数()123f x x a x a x a =-+-+-和()123g x x b x b x b =-+-+-，去绝对值，利用图像讨论交点的情况，即可得到所求个数．【详解】转化为：()123f x x a x ax a =-+-+-和()123g x x b x b x b =-+-+-图象的交点，6个不同的实数不妨假设1a ＜2a ＜3a ，1b ＜2b ＜3b ，则()()()()()1233123231231212313,,,3,x a a a x a x a a a a x a f x x a a a a x a x a a a x a ⎧-++>⎪-+-<≤⎪=⎨----<≤⎪⎪-+++≤⎩，()()()()()1233123231231212313,,,3,x b b b x b x b b b b x b g x x b b b b x b x b b b x b ⎧-++>⎪-+-<≤⎪=⎨----<≤⎪⎪-+++≤⎩，画出函数的函数图象如下图，两图象最多可有3个交点，即集合A 中最多有3个元素， 故答案为3.【点睛】本题考查函数方程的转化思想和分类讨论思想及数形结合思想，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题．三、双空题14．叶老师和王老师两人一起去粮店打酱油共三次，叶老师每次打100元酱油，而王老师每次打100斤酱油，由于酱油市场瞬息万变，每次打的酱油价格都不相同，分别为a 元，b 元，c 元，则三次后两人所打酱油的平均价格较低的是_________老师，理由是_________.(请写出关键的不等式) 【答案】叶33a b c abcbc ac ab++>++ 【分析】根据题意分别算出叶老师和王老师所打酱油的平均价格，运用比较法进行判断即可.【详解】叶老师的平均价格为1001001003100100100abcbc ac ab a b c++=++++，王老师的平均价格为1001001001001001003a b c a b c++++=++，于是有：2223()()9()()()33()3()a b c abc a b c bc ac ab abc c a b b a c a b c bc ac ab bc ac ab bc ac ab ++++++---+--==+++++++，因为每次打的酱油价格都不相同，所以222()()()03()c a b b a c a b c bc ac ab --+->+++，即33a b c abcbc ac ab++>++所以叶老师的平均价格更低， 故答案为：叶； 33a b c abcbc ac ab++>++.四、解答题15．设0a >，0b >，且11a b a b+=+. 证明：(1) 2a b +≥；(2) 22a a +<与22b b +<不可能同时成立． 【答案】(1)见解析. (2)见解析.【详解】试题分析：本题考查基本不等式和反证法,结合转化思想证明不等式,意在考查考生对基本不等式的掌握和反证法的应用.(i)构造基本不等式求出代数式的最值,直接证明不等式成立;(ii)直接证明较难,假设两个不等式同时成立,利用(i)的结论,得出矛盾,则假设不成立. 试题解析： 由11a b a b a b ab++=+=,0,0a b >>,得1ab =.(1)由基本不等式及1ab =,有2a b +≥=,即2a b +≥ (2)假设22a a +<与22b b +<同时成立,则由22a a +<及a>0得0<a<1;同理得0<b<1,从而ab<1,这与ab=1矛盾. 故22a a +<与22b b +<不可能同时成立.点睛：本题主要考查基本不等式，其难点主要在于利用三角形的一边及这条边上的高表示内接正方形的边长.在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.16．已知集合()(){}2|3210A x x m x m =-+++=，(){}2|23120B x x n x =+++=，其中,m n R ∈.（1）若AB A =，求,m n 的值；（2）若A B A ⋃=，求,m n 的取值范围. 【答案】（1）2n =-，1m =或12m =-； （2）5(,1)3m R n ∈⎧⎪⎨∈-⎪⎩或21m n =-⎧⎨=⎩或053m n =⎧⎪⎨=-⎪⎩或122m n ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩. 【分析】先求得集合A 中元素的可能取值. （1）根据AB A =，判断出2x =是集合,A B 的元素，由此求得n 的值，进而求得集合B ，由此确定m 的值.（2）根据B 为空集、单元素集、双元素集进行分类讨论，由此确定,m n 的取值范围. 【详解】由()()()()2321210x m x m x x m -+++=--+=⎡⎤⎣⎦，解得2x =或1x m =+.（1）当AB A =，所以2x =是集合,A B 的元素，所以()22231220n ⨯++⨯+=，解得2n =-，所以{}21|2520,22B x x x ⎧⎫=-+==⎨⎬⎩⎭.若12,1m m +==，此时{}2A =，符合A B A =.若111,22m m +==-，此时12,2A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，符合A B A =.故2n =-，1m =或12m =-.（2）由于A B A ⋃=，当B =∅时，由判别式得()2314220n +-⨯⨯<，解得5,13n ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，此时m R ∈. 当B 为单元素集时，由判别式得()2314220n +-⨯⨯=，解得53n =-或1n =.当53n =-时，{}1B =，要使A B A ⋃=，则11,0m m +==.当1n =时，{}1B =-，，要使A B A ⋃=，则11,2m m +=-=-. 当B 为双元素集时，由（1）知2n =-，12m =-. 综上所述，,m n 的取值范围为5(,1)3m R n ∈⎧⎪⎨∈-⎪⎩或21m n =-⎧⎨=⎩或053m n =⎧⎪⎨=-⎪⎩或122m n ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩. 【点睛】本小题主要考查根据集合交集和并集的情况求参数，考查一元二次方程根的求法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题. 17．已知命题:P 函数()()113=-f x x 且()2<f a ，命题:Q 集合(){}221=0,A x x a x x R =+++∈，{}0B x x =>且A B =∅.（1）若命题P 、Q 中有且仅有一个为真命题，求实数a 的取值范围. （2）若命题P 、Q 均为真命题时的实数a 的取值范围.（3）由（2）得结论，a 的取值范围设为集合S ，,,0,0mT y y x x R m x x ⎧⎫==+∈>≠⎨⎬⎩⎭，若T S ⊆，求实数m 的范围. 【答案】（1）(][)5,47,--+∞；（2）()4,7-；（3）(]0,4. 【分析】（1）分别求出当命题P 、Q 为真命题时实数a 的取值范围，然后分P 真Q 假、P 假Q 真两种情况讨论，综合可得出实数a 的取值范围；（2）由（1）结合命题P 、Q 均为真命题可求得实数a 的取值范围；（3）利用基本不等式可求得集合T ，进而得出T ，由T S ⊆可得出关于实数m 的不等式组，由此可解得实数m 的取值范围. 【详解】（1）若P 为真，则()()1123f a a =-<，所以616a -<-<，解得57a -<<； 若Q 为真，集合(){}221=0,A x x a x x R =+++∈，{}0B x x =>，且AB =∅，若A =∅，则()()22440a a a ∆=+-=+<，解得40a ；若A ≠∅，则()()224020a a ⎧∆=+-≥⎪⎨-+<⎪⎩，解得0a ≥.故若Q 为真，则4a >-.因为P 、Q 中有且只有一个为真，若P 真Q 假，则574a a -<<⎧⎨≤-⎩，此时54a -<≤-；若P 假Q 真，则574a a a ≤-≥⎧⎨>-⎩或，此时7a ≥.综上所述，实数a 的取值范围是(][)5,47,--+∞；（2）当P、Q均为真时，574aa-<<⎧⎨>-⎩，所以()4,7a∈-；（3）对于函数my xx=+，0m >，当0x>时，由基本不等式可得y≥=当且仅当x当0x<时，()my xx⎡⎤=--+≤-=-⎢⎥-⎣⎦当且仅当x=.所以，(),T⎡=-∞-⋃+∞⎣，则(T=-，T S⊆，即(()4,7-⊆-，所以47m⎧-≥-⎪⎪⎨⎪>⎪⎩，解得04m<≤，综上所述，实数m的取值范围是(]0,4.【点睛】在解决两个数集关系问题时，避免出错的一个有效手段是合理运用数轴帮助分析与求解，另外，在解含有参数的不等式（或方程）时，要对参数进行讨论．18．公元2222年，有一种高危传染病在全球范围内蔓延，被感染者的潜伏期可以长达10年，期间会有约0.05%的概率传染给他人，一旦发病三天内即死亡，某城市总人口约200万人，专家分析其中约有1000名传染者，为了防止疾病继续扩散，疾病预防控制中心现决定对全市人口进行血液检测以筛选出被感染者，由于检测试剂十分昂贵且数量有限，需要将血样混合后一起检测以节约试剂，已知感染者的检测结果为阳性，末被感染者为阴性，另外检测结果为阳性的血样与检测结果为阴性的血样混合后检测结果为阳性，同一检测结果的血样混合后结果不发生改变.（1）若对全市人口进行平均分组，同一分组的血样将被混合到一起检测，若发现结果为阳性，则再在该分组内逐个检测排查，设每个组x个人，那么最坏情况下，需要进行多少次检测可以找到所有的被感染者？在当前方案下，若要使检测的次数尽可能少，每个分组的最优人数？（2）在（1）的检测方案中，对于检测结果为阳性的组来取逐一检测排查的方法并不是很好，或可将这些组的血样再进行一次分组混合血样检测，然后再进行逐一排查，仍然考虑最坏的情况，请问两次要如何分组，使检测总次数尽可能少？（3）在（2）的检测方案中，进行了两次分组混合血样检测，仍然考虑最坏情况，若再进行若干次分组混合血样检测，是否会使检测次数更少？请给出最优的检测方案.【答案】（1）62101000x x⨯+ 次，45人；（2）第一次每组159人，第二次每组13人；（3）见解析【分析】(1)根据最坏的情况是1000名被感染者分布在其中1000组里,可得检测总次数,再用基本不等式可得;(2)设第一次每个组1x 人,第二次每个组2x 人,可得检测总次数,再用三元基本不等式,结合整数解可得;(3)设第n 次分组中,每组人数为n x ,则可得检测总次数,然后运用n 元基本不等式,结合1n x =,可得n 的最小值,进而得到所求结果.【详解】(1)200万人平均分组,每组x 人,总共分6210x⨯组,每组检测一次,共需检测6210x⨯次,最坏的情况是1000名被感染者分布在其中1000组里,每组一人,然后在这1000组里逐个排查,每组需检测x 次,共需检测1000x 次,所以找到所有的被感染者共需检测6210x⨯1000x +次,由6210x ⨯1000x +≥410=,当且仅当62101000x x⨯=,所以2x = 2000,所以x ==44.72≈时等号成立.由于x 为正整数,所以当44x =时,6621021010004400044x x ⨯⨯+=+89454.54≈, 当45x =时,62104500045⨯+89444.44≈, 因为89444.4489454.54<,所以要使检测总次数尽可能少,每个分组的最优人数为45人.(2)设第一次每个组1x 人,分61210x ⨯组;第二次每个组2x 人,分121000x x 组 第一次需检测61210x ⨯次,由(1)的思路知,第二次共需检测121000x x 21000x +次, 所以两次检测的总次数为61210x ⨯121000x x +21000x +, 因为61210x ⨯121000x x +21000x+3≥=4310=, 当且仅当6121210002101000x x x x ⨯==, 即221x x =,1x =2x =,因为1x =158.74≈,2x =12.6≈,且12,x x 为正整数,且|159158.74||158158.74|-<-,|1312.6||1212.6|-<-,所以12159,13x x ==,时两次检测的总次数尽可能少,则第一次每个组159人,第二次每个组13人,可使检测总次数尽可能少.(3)假设进行n 次这样的分组检测,可以达到检测次数更少,设第n 次分组中,每组人数为n x , 则总共检测次数为61121231000100010002101000n n n x x x x x x x x -⨯+++++, 因为61121231000100010002101000n n nx x x x x x x x -⨯+++++ (1)n n n x ≥+⨯⨯⨯ (1)n =+⨯, 当且仅当612123100010002101000n x x x x x x ⨯====,时等号成立, 所以6112123100010001000210(1000)n n n nx x x x x x x x -⨯⨯⨯⨯⨯=,所以63131210(10)(10)n n n n x -+⨯⨯=⨯,所以13210n n x +=⨯,所以n x =,当18n =时,18x = 1.49≈,因为|1 1.49||2 1.49|-<-,且18x 为正整数,所以可取181x =,即这样进行了18次检验可得到总次数更小.【点睛】本题考查了二元、三元、n 元基本不等式求最小值,属于难题.解题关键是理解出最坏情况是1000名被感染者分布在其中1000组里.。
2020-2021学年上海市华二附中高一上期 期末数学试卷
2020学年第一学期高一数学教学质量检测试卷（考试时间90分钟，本卷满分100分）一、填空题（本大题共10小题，每小题4分，共44分．答案填在答题纸相应位置）．1．计算：2233318log 752log 52-⎛⎫++-= ⎪⎝⎭． 2．已知1cos 3α=，,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则tan α= ． 3．不等式2411x x x --≥-的解集为 ． 4．已知一扇形的圆心角为3π，弧长是cm π，则扇形的面积是 2cm ．5．已知幂函数()f x 的图像过点⎛⎝⎭，则(3)f = ． 6．已知函数()2()log 21f x x =-，1()y f x -=是其反函数，则1(1)f -= ．7．方程()()2lg 2lg 2610x x x +-+-+=的解为 ．8．关于x 的方程()94340x x a ++⋅+=有实数根，则实数a 的取值范围 ． 9．已知0a >，0b >且3a b +=，式子2021202120192020a b +++的最小值是 ． 10．已知122020()1232021x x x x f x x x x x +++=++++++++Λ，()()F x f x m n =+-，若函数()y F x =为奇函数，则2x m x n ++-的最小值是 ．二、选择题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）11.已知()f x 是R 上的偶函数，12,x x R ∈，则“120x x +=”是“()12()f x f x =”的（ ）．.A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件 .C 充要条件 .D 既不充分也不必要条件12.函数()201ax ya x=>+的图像大致为（ ）．.A .B .C .D13.设集合{}2|230A x x x =+->，集合{}2|210,0B x x ax a =--≤>，若A B Ι中恰有一个整数，则实数a 的取值范围是（ ）.A 30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ .B 34,43⎡⎫⎪⎢⎭⎣ .C 3,24⎡⎫⎪⎢⎭⎣.D ()1,+∞ 14.已知函数111,22()1(2),262x x f x f x x ⎧--≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩，则方程()10xf x -=的解的个数是（ ）.A 5 .B 6 .C 7 .D 8三、解答题（本大题共4小题，共44分．解答要写出文字说明、证明过程或演算步骤）．15．（本题满分10分，共有2小题，第（1）小题6分，第（2）小题4分） 已知函数2()21x x a f x -=+为奇函数． （1）求实数a 的值，并证明()f x 是严格增函数；（2）若实数t 满足不等式1((1)02f f t +->-，求t 的取值范围.16．（本题满分10分，共有2小题，第（1）小题5分，第（2）小题5分）．已知函数2()46f x ax x =-+.（1）若函数2log ()y f x =的值域为R ，求实数a 的取值范围；（2）若函数log ()a y f x =在区间](1,3上单调递增，求实数a 的取值范围．17．（本题满分12分，共有2小题，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）新冠疫情造成医用防护服短缺，政府决定为生产防护服的公司提供[]()0,10x x ∈（万元）的专项补贴用于扩大生产，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服，公司在收到政府x （万元）补贴后，防护服产量将增加到1264t k x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭（万件），其中[]()0.5,1k k ∈为工人的复工率，公司生产t 万件防护服还需投入成本()20850x t ++（万元）（1）将公司生产防护服的利润y （万元）表示为补贴x （万元）的函数（政府补贴x 万元计入公司收入）；（2）当复工率0.7k =时，政府补贴多少万元才能使公司的防护服利润达到最大？（3）对任意的[]0,10x ∈（万元），当复工率k 达到多少时，公司才能不亏损？（精确到0.01）18．（本题满分12分，共有3小题，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）． 已知函数327()23x x f x ⋅-=-，2()log g x x =． （1）当[]0,1x ∈时，求函数()f x 的值域；（2）若关于x 的方程()g x t =有两个不等根(),αβαβ<，求αβ的值；（3）已知存在实数a ，使得对任意的[]0,1m ∈，关于x 的方程24()4()31()0g x a g x a f m -⋅+--=在区间1,48⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有3个不等根123,,x x x ，求实数a 的取值范围．。
上海市高一第一学期期中数学试卷(共3套)
上海市华师大二附中高一上学期期中考试试题数学一、填空题：（每空3分，共42分）1、已知集合{1,1,2,4},{1,0,2},A B =-=- 则B A =2、不等式032≥+-x x 的解集为_____________（用区间表示） 3、已知集合M={(x ，y )|4x ＋y =6}，P={(x ，y )|3x ＋2y =7}，则M ∩P ＝4、已知全集U=R ，集合}065|{2≥--=x x x P ，那么U C P =5、已知集合A={1，3，2m+3}，B={3, 2m }，若A B ⊆，则实数m=_____6、设全集{1,2,3,4,5},{2,4},U U M N M C N ===则N =7、满足{1，2}M ⊆{1，2，3，4，5，6}的集合M 的个数是8、已知R x ∈，命题“若52<<x ，则01072<+-x x ”的否命题是9、设0>x ，则13++x x 的最小值为 10、若关于x 的不等式02>++c bx ax 的解集为{x |－1＜x ＜2}，则关于x 的不等式02>++a bx cx 的解集是11、在R 上定义运算).1(:y x y x -=⊗⊗若不等式1)()(<+⊗-a x a x 对任意实数x 成立，则实数a 的取值范围是12、若关于x 的不等式123222--≤+-a a x x 在R 上的解集为∅，则实数a 的取值范围是 。
13、设实数b a ,满足302=++b ab a ，且0,0>>b a ，那么ab1的最小值为 14．定义满足不等式(,0)x A B A R B -<∈>的实数x 的集合叫做A 的B 邻域。
若a b t +-（t 为正常数）的a b +邻域是一个关于原点对称的区间，则22a b +的最小值为二、选择题：（每题3分，共12分）15、设集合{}20M x x x =-<，{}2N x x =<，则( )（A ）M N =∅ （B ） M N M = （C ）M N M = （D ）M N R =16、下列命题中正确的是：（ ）（A ）若bc ac >，则b a >(B) 若a 2>b 2，则b a > （C ）若b a 11>，则b a < (D) 若b a <，则b a <17、设命题甲为“0<x<5”，命题乙为“|x-2|<3”，那么甲是乙的：（ ）（A ）充分非必要条件； （B ）必要非充分条件；（C ）充要条件； （D ）既非充分又非必要条件18、对于使22x x M -+≤成立的所有常数M 中，我们把M 的最小值1叫做22x x -+的上确界,若,,1a b R a b +∈+=且，则122a b --的上确界为（ ） A ．92 B ．92- C ．41 D ．4- 三、解答题：（6＋6＋8＋6＋8＋12分，共46分）19、解不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<--≤++0862132x x x x 20、记关于x 的不等式0111<++-x a 的解集为P ，不等式3|2|<+x 的解集为Q （1）若3a =，求P ；（2）若Q Q P = ，求正数a 的取值范围。
上海市华东师范大学第二附属中学2020-2021学年高一上学期期中数学试题 (2)
上海市华东师范大学第二附属中学【最新】高一上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．若集合{}2|20A x x x =+-=，{}|1B x =<，则A B =______.2．若全集{}|26,U x x x Z =-≤≤∈，集合{}|2,3,A x x n n n N ==≤∈，则U C A =______.（用列举法表示）3．在如图中用阴影部分表示集合()U U U C C A C B _____.4．命题“设,,a b R ∈若0,ab =则0a =或0b =”的逆否命题是：________.5．已知集合{}|A x x a =<，{}2|540B x x x =-+≥，若P ：“x A ∈”是Q ：“x B ∈”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围为______.6．已知,x y R +∈，且41x y +=，则x y ⋅的最大值为________________7．函数y =______.8．若关于x 的不等式210mx mx +->的解集为∅，则实数m 的取值范围为 ． 9．对定义域是f D 、g D 的函数()y f x =、()y g x =，规定函数()()()()(),,,,,,f gf g f g f x g x x D x D h x f x x D x D g x x D x D⎧∈∈⎪=∈∉⎨⎪∉∈⎩，设函数()()2f x x x R =-∈，()()231g x x x =-+≥，则函数()h x 的值域是______.10．设2019a b +=，0b >，则当a =______时，12019a a b+取得最小值.二、单选题11．已知集合{}|1,M y x y x R =+=∈，{}|1,N y x y x R =-=∈，则M N =（ ）A ．()1,0B ．(){}1,0C ．{}0D ．R12．钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（） A ．充分条件 B ．必要条件C ．充分必要条件D ．既非充分也非必要条件 13．若110a b <<，则下列不等式中，①2ab b <；②22a b >；③2a b +<④2a bb a+>.成立的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．414．定义区间(),c d 、[),c d 、(],c d 、[],c d 的长度均为()d c d c ->，已知实数a b >，则满足111x a x b+≥--的x 构成的区间的长度之和为（ ） A ．-a b B ．+a bC ．4D ．2三、解答题15．已知：a 、b 是正实数，求证：22a ba b b a++≥.16．解不等式组：9721212x x x ⎧≥⎪-+⎨⎪+≥⎩.17．缴纳个人所得税是收入达到缴纳标准的公民应尽的义务. ①个人所得税率是个人所得税额与应纳税收入额之间的比例；②应纳税收入额=月度收入－起征点金额－专项扣除金额（三险一金等）；③【最新】8月31日，第十三届全国人民代表大会常务委员会第五次会议《关于修改中华人民共和国个人所得税法的决定》，将个税免征额（起征点金额）由3500元提高到5000元.下面两张表格分别是【最新】和【最新】的个人所得税税率表： 【最新】1月1日实行：【最新】10月1日试行：（1）何老师每月工资收入均为13404元，专项扣除金额3710元，请问何老师10月份应缴纳多少元个人所得税？若与9月份相比，何老师增加收入多少元？（2）对于财务人员来说，他们计算个人所得税的方法如下：应纳个人所得税税额＝应纳税收入额×适用税率－速算扣除数，请解释这种计算方法的依据？18．已知集合{}22|190D x x ax a =-+-=，{}2|22,B y y x x y Z+==-++∈，集合|C x y x Z ⎧⎫⎪⎪==∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭，且集合D 满足D B ≠∅，D C =∅. （1）求实数a 的值；（2）对集合{}()12,,,2k A a a a k =⋅⋅⋅≥，其中()1,2,,i a Z i k ∈=⋅⋅⋅，定义由A 中的元素构成两个相应的集合：(){},|,,S a b a A b A a b A =∈∈+∈，(){},|,,T a b a A b A a b A =∈∈-∈，其中(),a b 是有序数对，集合S 和T 中的元素个数分别为m 和n ，若对任意的a A ∈，总有a A -∉，则称集合A 具有性质P . ①请检验集合B C ⋃与B D 是否具有性质P ，并对其中具有性质P 的集合，写出相应的集合S 和T ；②试判断m 和n 的大小关系，并证明你的结论.参考答案1．{}[]20,1-【解析】 【分析】解一元二次方程求得集合A ，解不等式求得集合B ，由此求得两个集合的并集. 【详解】由()()22210xx x x +-=+-=解得2x =-或1x =，故{}2,1A =-.1<得01x ≤<，故[)0,1B =.所以A B ={}[]20,1-.故答案为：{}[]20,1-.【点睛】本小题主要考查集合并集的概念和运算，考查一元二次方程的解法，考查不等式的解法，属于基础题. 2．{}2,1,1,3,5-- 【分析】分别求得集合,U A 的元素，由此求得U C A . 【详解】 依题意{}2,1,0,1,2,3,4,5,6U=--，{}0,2,4,6A =，所以{}2,1,1,3,5U C A =--.故答案为：{}2,1,1,3,5--. 【点睛】本小题主要考查集合补集的概念和运算，属于基础题. 3．详见解析 【分析】先用阴影部分表示U U C A B C ，再用阴影部分表示()U U U C C A C B .【详解】 依题意可知U U C AB C 表示为：故()U U U C C A C B 表示为：故答案为：【点睛】本小题主要考查利用文氏图表示集合的并集和补集的运算，属于基础题. 4．设,a b ∈R ，若0a ≠且0b ≠，则0ab ≠. 【解析】 【分析】直接利用逆否命题的定义求解即可. 【详解】逆否命题是将原命题的条件与结论都否定，然后将条件当结论，结论当条件， 所以 “,,a b R ∈若0,ab =则0a =或0b =”的否命题是 “,,a b R ∈若0b ≠且0b ≠，则0ab ≠”, 故答案为“,,a b R ∈若0b ≠且0b ≠，则0ab ≠”.【点睛】本题主要考查逆否命题的定义，属于简单题. 逆否命题是将原命题的条件与结论都否定，然后将条件当结论，结论当条件求得. 5．1a ≤ 【分析】解一元二次不等式求得集合B ，根据P ：“x A ∈”是Q ：“x B ∈”的充分不必要条件，判断出A 是B 的真子集，由此列不等式，解不等式求得a 的取值范围. 【详解】 依题意()()254140xx x x -+=--≥，解得1x ≤或4x ≥.由于P ：“x A ∈”是Q ：“x B ∈”的充分不必要条件，所以集合A 是集合B 的真子集，故1a ≤.即a 的取值范围为1a ≤. 故答案为1a ≤ 【点睛】本小题主要考查根据充分不必要条件求参数的取值范围，考查一元二次不等式的解法，属于基础题. 6．116【解析】211414()44216x y xy x y +=⋅≤=，当且仅当x=4y=12时取等号.7．[)[]1,00,2-【分析】根据偶次方根被开方数为非负数，分式分母不为零列不等式组，解不等式组求得函数的定义域. 【详解】依题意2401010x x ⎧-≥⎪+≥⎨⎪≠⎩，2210x x x -≤≤⎧⎪≥-⎨⎪≠⎩，解得[)[]1,00,2x ∈-.故答案为[)[]1,00,2-.【点睛】本小题主要考查函数定义域的求法，考查不等式的解法，属于基础题.8．[4,0]- 【解析】试题分析：当0m =时，不等式变形为10->，解集为∅，符合题意；当0m ≠时，依题意可得20{4040m m m m <⇒-≤<∆=+≤， 综上可得40m -≤≤． 考点：一元二次不等式．【易错点睛】本题主要考查不等式中的一元二次不等式问题，难度一般．有很多同学做此题时直接考虑为一元二次不等式，其二次函数应开口向下且与x 轴至多有一个交点，而忽略二次项系数为0时的情况导致出现错误．当二次项系数含参数时一定要讨论是否为0，否则极易出错． 9．1,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【分析】先根据()h x 函数的定义求得()h x 的解析式，由此求得()h x 的值域. 【详解】根据()h x 函数的定义可知()()()223,12,1x x x h x x x ⎧--+≥=⎨-<⎩，即()2276,12,1x x x h x x x ⎧-+-≥=⎨-<⎩，对于()22761y x x x =-+-≥，其图像开口向下，对称轴为74x =，所以当74x =时有最大值为2771276448⎛⎫-+⨯-= ⎪⎝⎭，没有最小值，即18y ≤.对于()21y x x =-<，21y x =-<-.故函数()h x 的值域是1,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.故答案为1,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.【点睛】本小题主要考查新定义函数的理解和运用，考查分段函数解析式和值域的求法，属于基础题.10．20192018-【分析】利用已知条件，将12019a a b+转化为2220192019a a ba ab ++，然后利用绝对值的性质结合基本不等式，求得最小值，并求得此时a 的值. 【详解】2120192019a a a b a b a b ++=+222122019201920192019a a b a a b =++≥-+，当且仅当22019a b a b =且0a <时等号成立，即20192018a =-. 故答案为20192018- 【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最小值，考查绝对值的性质，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 11．D 【分析】根据y 的取值范围，求得M N R ==，由此求得两个集合的交集. 【详解】对于集合,M N ，两个集合的研究对象都是y ，且y R ∈，故M N R ==，所以M N R =.故选：D. 【点睛】本小题主要考查集合交集的概念和运算，属于基础题. 12．B 【解析】根据等价命题，便宜Þ没好货，等价于，好货Þ不便宜，故选B ． 【考点定位】考查充分必要性的判断以及逻辑思维能力，属中档题． 13．C【分析】 根据110a b<<得到0b a <<，结合不等式的性质、基本不等式，对四个不等式逐一分析，由此判断出成立的个数. 【详解】 由110a b<<可知0b a <<. 由b a <两边乘以负数b 得2b ab >，故①正确.由0b a <<得()()22220,b a b a b a b a -=+->>，故②错误.由0b a <<，结合基本不等式有()()22a b a b -+-+=-<=③正确.由0b a <<，结合基本不等式有2a b b a +>=，故④正确. 综上所述，正确的个数为3个. 故选C. 【点睛】本小题主要考查不等式的性质，考查基本不等式的运用，属于基础题. 14．D 【分析】 将不等式111x a x b+≥--转化为高次分式不等式，求得不等式的解集，由此求得x 构成的区间的长度和. 【详解】原不等式111x a x b +≥--可转化为()()()220x a b x ab a b x a x b -+++++≤--①，对于()220x a b x ab a b -+++++=，其判别式()220a b ∆=-+>，故其必有两不相等的实数根，设为12,x x ，由求根公式得1x =，2x =.下证12b x a x <<<：构造函数()()22f x x a b x ab a b =-+++++，其两个零点为12,x x ，且12x x <.而()()220f a a a b a ab a b b a =-++⋅+++=-<，所以12x a x <<，由于b a <，且()()220f b b a b b ab a b a b =-++⋅+++=->，由二次函数的性质可知12b x a x <<<. 故不等式①的解集为(](]12,,b x a x ⋃，其长度之和为()1212x b x a x x a b -+-=+-+()22a b a b =++-+=.故选D.【点睛】本小题主要考查高次分式不等式的解法，考查一元二次方程、一元二次不等式的关系，考查新定义的理解和运用，考查化归与转化的数学思想方法，综合性较强，属于难题. 15．见解析.【分析】由基本不等式得出22a b a b+≥，22b a b a +≥，然后利用同向不等式的可加性可得出证明. 【详解】由基本不等式得出22a b a b +≥=，22b a b a +≥=， 上述两个不等式当且仅当a b =时，等号成立，由同向不等式的可加性得2222a b a b a b b a +++≥+，即22a b a b b a++≥. 【点睛】本题考查不等式的证明，考查基本不等式的应用，考查推理论证能力，属于中等题. 16．(][],31,5-∞-【分析】分别求得分式不等式和绝对值不等式的解集，求两者的交集得到不等式组的解集.【详解】 由97212x x ≥-+得970212x x -≥-+，()()50212x x x -≤-+，解得()1,2,52x ⎛⎤∈-∞-⋃ ⎥⎝⎦. 由12x +≥得12x +≤-或12x +≥，解得3x ≤-或1x ≥.所以不等式9721212x x x ⎧≥⎪-+⎨⎪+≥⎩的解集即()(][)(][]1,2,52,31,5,31,x x x ⎧⎛⎤=-∞-⋃⎪ ⎥⇒∈-∞-⋃⎝⎦⎨⎪∈-∞-⋃+∞⎩.故答案为：(][],31,5-∞-. 【点睛】本小题主要考查分式不等式的解法，考查绝对值不等式的解法，考查不等式组的求解，属于基础题.17．（1）何老师10月份应缴纳683.8元个人所得税，增加收入424.4元（2）详见解析【分析】（1）先计算出10月份的扣税，再计算出9月份的扣税，两者作差，计算出何老师增加的收入.（2）直接按当前级数税率计算，则多算了前面级数的金额，所以要扣除.这样计算可以减少运算量，能使财务人员迅速计算出个人所得税.【详解】（1）10月份，13404371050004694--=，∴30003%169410%259.4⨯+⨯=；9月份，13404371035006194--=，∴15003%300010%169420%683.8⨯+⨯+⨯=；增加收入683.8259.4424.4-=元；（2）速算扣除数等于按当前级数税率计算后，前面级数多算的金额，所以扣除， 如【最新】10月的表中，21030007%=⨯，1410900010%300017%=⨯+⨯，2660130005%900015%300022%=⨯+⨯+⨯，依此类推.【点睛】本小题主要考查实际生活中的数学应用，属于基础题.18．（1）2a =-（2）①B C ⋃不具有性质P ，B D 具有性质P ；()(){}1,2,2,1S =，()()(){}2,1,3,1,3,2T =②m n <，证明见解析【分析】（1）先求得集合,B C 所包含的元素，根据D B ≠∅，D C =∅，求得a 的值. （2）根据（1）求得,,B C D ，由此求得,B C B D ⋃⋃.①根据性质P 的定义，判断出B C ⋃不具有性质P ，B D 具有性质P .根据集合,S T 的定义求得,S T .②根据①所求,S T ，求得,m n ，由此比较出两者的大小关系.【详解】（1）对于集合B ，222y x x =-++开口向下，对称轴为1x =，当1x =时3y =，故{}1,2,3B =对于集合C ，由201x x -≥+，解得()12x x Z -<≤∈，所以{}0,1,2C =. 根据题意D B ≠∅，D C =∅，所以3D ∈，解得5a =或2a =-，经检验，5a =不符合DC =∅，故舍去，2a =-满足题意，即2a =-. （2）由（1）得{}3,5D =-，{}1,2,3B =，{}0,1,2C =，{}0,1,2,3B C ⋃=，{}5,1,2,3B D =-.①B C ⋃中,00B C B C ⋃-∈⋃∈，故B C ⋃不具有性质P ；B D 中任意元素,a B D a B D ∈-∉，故B D 具有性质P ；根据集合,S T 的定义，求得()(){}1,2,2,1S =，()()(){}2,1,3,1,3,2T =；②由①知，2,3m n ==，故m n <.【点睛】本小题主要考查二次函数函数值、一元二次不等式的解法，函数的定义域，考查新定义概念的理解和运用，属于中档题.。
2020-2021上海华东师范大学第二附属中学高三数学上期中一模试卷(附答案)
2020-2021上海华东师范大学第二附属中学高三数学上期中一模试卷(附答案)一、选择题1．数列{}n a 的前n 项和为21n S n n =++,()()1N*n n n b a n =-∈,则数列{}n b 的前50项和为（ ） A ．49B ．50C ．99D ．1002．设ABC ∆的三个内角, , A B C 成等差数列，sin A 、sin B 、sin C 成等比数列，则这个三角形的形状是 （ ） A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰直角三角形D ．钝角三角形3．若不等式组0220y x y x y x y a⎧⎪+⎪⎨-⎪⎪+⎩…„…„表示的平面区域是一个三角形，则实数a 的取值范围是（ ）A ．4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．(]0,1C ．41,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．(]40,1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭U4．已知A 、B 两地的距离为10 km,B 、C 两地的距离为20 km,现测得∠ABC=120°，则A 、C 两地的距离为 （ ） A ．10 kmBkmC．D．5．已知：0x >，0y >，且211x y+=，若222x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()4,2- B ．(][),42,-∞-+∞U C ．()2,4- D ．(][),24,-∞-⋃+∞6．若ln 2ln 3ln 5,,235a b c ===，则 A ．a b c << B ．c a b << C ．c b a <<D ．b a c <<7．已知ABC ∆的三边长是三个连续的自然数，且最大的内角是最小内角的2倍，则最小角的余弦值为（ ） A ．34B ．56C ．78D ．238．在等比数列{}n a 中，21a a 2-=，且22a 为13a 和3a 的等差中项，则4a 为( ) A ．9B ．27C ．54D ．819．在数列{}n a 中，12a =，11ln(1)n n a a n+=++，则n a =A ．2ln n +B ．2(1)ln n n +-C ．2ln n n +D ．1ln n n ++10．在等差数列{}n a 中，如果123440,60a a a a +=+=，那么78a a +=（ ） A ．95B ．100C ．135D ．8011．已知{}n a 是等比数列，22a =，514a =，则12231n n a a a a a a +++⋅⋅⋅+=（ ） A ．()1614n--B ．()1612n--C ．()32123n-- D ．()32143n -- 12．已知正项数列{}n a*(1)()2n n n N +=∈L ，则数列{}n a 的通项公式为（ ）A ．n a n =B ．2n a n =C ．2n na =D ．22n n a =二、填空题13．在ABC ∆中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，若32sin sin sin ,cos 5B AC B =+=，且6ABC S ∆=，则b =__________． 14．设0,0,25x y x y >>+=______.15．已知实数,x y 满足102010x y x y x y ++≥⎧⎪-≥⎨⎪--≤⎩，则目标函数2z x y =+的最大值为____．16．在△ABC 中，2a =，4c =，且3sin 2sin A B =，则cos C =____．17．数列{}n b 中，121,5b b ==且*21()n n n b b b n N ++=-∈，则2016b =___________.18．我国古代数学名著《九章算术》里有问题：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：__________日相逢？ 19．在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，已知,,a b c 成等比数列，且22a c ac bc -=-，则sin cb B的值为________. 20．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2cos cos cos b B a C c A =+，则B = ________．三、解答题21．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差0d ≠，且3550S S +=，1a ，4a ，13a 成等比数列．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1公比为2的等比数列，求数列{}n b 前n 项和n T ．22．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，已知24sin 4sin sin 22A BA B -+=（1）求角C 的大小；（2）已知4b =，ABC ∆的面积为6，求边长c 的值.23．已知{a n }是等差数列，{b n }是各项均为正数的等比数列，且b 1＝a 1＝1，b 3＝a 4，b 1＋b 2＋b 3＝a 3＋a 4.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)设c n ＝a n b n ，求数列{c n }的前n 项和T n .24．各项均为整数的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，11a =-，2a ，3a ，41S +成等比数列．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列{(1)}nn a -•的前2n 项和2n T ．25．已知函数()sin (0)f x m x x m =+>的最大值为2. （Ⅰ）求函数()f x 在[0,]π上的单调递减区间； （Ⅱ）ABC ∆中,()()sin 44f A f B A B ππ-+-=,角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且060,3C c ==，求ABC ∆的面积．26．C ∆AB 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c．向量()m a =r与()cos ,sin n =A B r平行．（Ⅰ）求A ； （Ⅱ）若a =2b =求C ∆AB 的面积．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】试题分析：当1n =时，113a S ==；当2n ≥时，()()()22111112n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=++--+-+=⎣⎦,把1n =代入上式可得123a =≠.综上可得3,1{2,2n n a n n ==≥.所以3,1{2,12,n n b n n n n n -==-≠为奇数且为偶数.数列{}n b 的前50项和为()()503235749224650S =--+++++++++L L ()()24349252503224922++=--⋅+⋅=.故A 正确.考点：1求数列的通项公式;2数列求和问题.2．B解析：B 【解析】 【分析】先由ABC ∆的三个内角, , A B C 成等差数列，得出2,33B AC ππ=+=,又因为sin A 、sin B 、sin C 成等比数列，所以23sin sin sin 4B AC =⋅=，整理计算即可得出答案.【详解】因为ABC ∆的三个内角, , A B C 成等差数列，所以2,33B AC ππ=+=, 又因为sin A 、sin B 、sin C 成等比数列， 所以23sin sin sin 4B AC =⋅= 所以222sin sin sin sin cos sin cos 333A A A A A πππ⎛⎫⎛⎫⋅-=⋅-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21111132sin 2cos 2sin 22442344A A A A A π⎛⎫=+=-+=-+= ⎪⎝⎭ 即sin 213A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭又因为203A π<< 所以3A π=故选B 【点睛】本题考查数列与三角函数的综合，关键在于求得2,33B AC ππ=+=，再利用三角公式转化，属于中档题.解析：D 【解析】 【分析】要确定不等式组0220y x y x y x y a⎧⎪+⎪⎨-⎪⎪+⎩…„…„表示的平面区域是否一个三角形，我们可以先画出0220y x y x y ⎧⎪+⎨⎪-⎩…„…，再对a 值进行分类讨论，找出满足条件的实数a 的取值范围． 【详解】不等式组0220y x y x y ⎧⎪+⎨⎪-⎩…„…表示的平面区域如图中阴影部分所示．由22x y x y =⎧⎨+=⎩得22,33A ⎛⎫⎪⎝⎭，由022y x y =⎧⎨+=⎩得()10B ,． 若原不等式组0220y x y x y x y a⎧⎪+⎪⎨-⎪⎪+⎩…„…„表示的平面区域是一个三角形，则直线x y a +=中a 的取值范围是(]40,1,3a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭U 故选：D 【点睛】平面区域的形状问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，然后结合分类讨论的思想，针对图象分析满足条件的参数的取值范围．解析：D 【解析】 【分析】直接利用余弦定理求出A ，C 两地的距离即可． 【详解】因为A ，B 两地的距离为10km ，B ，C 两地的距离为20km ，现测得∠ABC ＝120°， 则A ，C 两地的距离为：AC 2＝AB 2+CB 2﹣2AB •BC cos ∠ABC ＝102+202﹣2110202⎛⎫⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭700．所以AC ＝km ． 故选D ． 【点睛】本题考查余弦定理的实际应用，考查计算能力．5．A解析：A 【解析】 【分析】若222x y m m +>+恒成立,则2x y +的最小值大于22m m +,利用均值定理及“1”的代换求得2x y +的最小值,进而求解即可. 【详解】 由题,因为211x y+=,0x >,0y >,所以()2142224448x y x y x y y x ⎛⎫++=+++≥+=+=⎪⎝⎭,当且仅当4x y y x =,即4x =,2y =时等号成立,因为222x y m m +>+恒成立,则228m m +<,即2280m m +-<,解得42m -<<, 故选:A 【点睛】本题考查均值不等式中“1”的代换的应用,考查利用均值定理求最值,考查不等式恒成立问题.6．B解析：B 【解析】 试题分析：因为ln 2ln 3ln8ln 9ln 2ln 30,23623--=<<，ln 2ln 5ln 32ln 25ln 2ln 50,251025--=>>，故选B. 考点：比较大小.7．A解析：A 【解析】 【分析】设三角形的三边分别为,1,2(*)n n n n N ++∈，根据余弦定理求出最小角的余弦值，然后再由正弦定理求得最小角的余弦值，进而得到n 的值，于是可得最小角的余弦值． 【详解】由题意，设ABC ∆的三边长分别为,1,2(*)n n n n N ++∈，对应的三角分别为,,A B C ， 由正弦定理得222sin sin sin 22sin cos n n n n A C A A A+++===， 所以2cos 2n A n+=． 又根据余弦定理的推论得222(2)(1)5cos 2(2)(1)2(2)n n n n A n n n +++-+==+++．所以2522(2)n n n n ++=+，解得4n =， 所以453cos 2(42)4A +==+，即最小角的余弦值为34． 故选A ． 【点睛】解答本题的关键是求出三角形的三边，其中运用“算两次”的方法得到关于边长的方程，使得问题得以求解，考查正余弦定理的应用及变形、计算能力，属于基础题．8．B解析：B 【解析】 【分析】根据题意，设等比数列{}n a 的公比为q ，由22a 为13a 和3a 的等差中项，可得21322a 3a a ⨯=+，利用等比数列的通项公式代入化简为2q 4q 30-+=，解得q ，又21a a 2-=，即()1a q 12-=，q 1≠，分析可得1a 、q 的值，可得数列{}n a 的通项公式，将n 4=代入计算可得答案． 【详解】解：根据题意，设等比数列{}n a 的公比为q ，若22a 为13a 和3a 的等差中项，则有21322a 3a a ⨯=+，变形可得21114a q 3a a q =+，即2q 4q 30-+=，解得q 1=或3；又21a a 2-=，即()1a q 12-=，则q 3=，1a 1=，则n 1n a 3-=，则有34a 327==；故选：B ． 【点睛】本题考查等比数列的性质以及通项公式，关键是掌握等比数列通项公式的形式，属于基础题．9．A解析：A 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：在数列{}n a 中，11ln 1n n a a n +⎛⎫-=+⎪⎝⎭112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---∴=-+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+12lnln ln 2121n n n n -=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++-- 12ln()2121n n n n -=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-- ln 2n =+ 故选A. 10．B解析：B 【解析】 【分析】根据等差数列{}n a 性质可知：1234a a a a ++，，56a a +，78a a +构成新的等差数列，然后求出结果 【详解】由等差数列的性质可知：1234a a a a ++，，56a a +，78a a +构成新的等差数列，()()()()781234124140320100a a a a a a a a ⎡⎤∴+=++-+-+=+⨯=⎣⎦故选B 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质运用，等差数列中连续的、等长的、间隔相等的几项的和依然成等差，即可计算出结果。
2020-2021学年上海市浦东新区华东师大二附中高一(上)期中数学试卷
2020-2021学年上海市浦东新区华东师大二附中高一（上）期中数学试卷试题数：18，总分：1001.（填空题，4分）已知集合A={-1，0，1，7}，则集合A的非空真子集的个数为___ ．2.（填空题，4分）不等式-2＜1x＜3的解集是___ ．3.（填空题，4分）函数f（x）= 0√|x|−x的定义域是___ ．4.（填空题，4分）若U={-3，-2，-1，0，1，2，3}，A={x|x2-1≤0，x∈Z}，B={x|-1≤x≤3，x∈Z}，则A∩B=___ ．5.（填空题，4分）设集合T={∅，{∅}}，则下列命题：① ∅∈T，② ∅⊆T，③ {∅}∈T，④ {∅}⊆T中正确的是___ （写出所有正确命题对应的序号）．6.（填空题，4分）若集合{x|y=√x2+2(a+1)x+a2−5}=R，则实数a的取值范围是___ ．7.（填空题，4分）如果全集U含有12个元素，P，Q都是U的子集，P∩Q中含有2个元素，P∩ Q中含有4个元素，P∩Q含有3个元素，则P含有___ 个元素．8.（填空题，4分）叶老师和王老师两人一起去粮店打酱油共三次，叶老师每次打100元酱油，而王老师每次打100斤酱油，由于酱油市场瞬息万变，每次打的酱油价格都不相同，分别为a 元，b元，c元，则三次后两人所打酱油的平均价格较低的是___ 老师，理由是___ ．（请写出关键的不等式）9.（填空题，4分）对于集合M，定义函数f M(x)={−1，x∈M1，x∉M，对于两个集合A，B，定义集合A*B={x|f A（x）•f B（x）=-1}．已知集合A={x|√2−x＞x}，B={x|x（x-3）（x+3）＞0}，则A*B=___ ．10.（填空题，4分）已知a1，a2，a3与b1，b2，b3是6个不同的实数，若关于x的方程|x-a1|+|x-a2|+|x-a3|=|x-b1|+|x-b2|+|x-b3|解集A是有限集，则集合A中，最多有___ 个元素．11.（单选题，4分）命题“若p不正确，则q不正确”的逆命题的等价命题是（）A.若q不正确，则p不正确B.若q不正确，则p正确C.若p正确，则q不正确D.若p正确，则q正确12.（单选题，4分）已知a，b∈R，则“|a|＜1，|b|＜1”是“不等式ab+1＞a+b”成立的（）条件．A.充分非必要B.必要非充分C.充要D.既不充分又不必要13.（单选题，4分）已知f（x）在x∈[a，b]上的最大值为M，最小值为m，给出下列五个命题：① 若对任何x∈[a，b]都有p≤f（x），则p的取值范围是（-∞，m]；② 若对任何x∈[a，b]都有p≤f（x），则p的取值范围是（-∞，M]；③ 若关于x的方程p=f（x）在区间[a，b]上有解，则p的取值范围是[m，M]；④ 若关于x的不等式p≤f（x）在区间[a，b]上有解，则p的取值范围是（-∞，m]；⑤ 若关于x的不等式p≤f（x）在区间[a，b]上有解，则p的取值范围是（-∞，M]；其中正确命题的个数为（）A.4个B.3个C.2个D.1个14.（单选题，4分）设集合P1={x|x2+ax+1＞0}，P2={x|x2+ax+2＞0}，Q1={x|x2+x+b＞0}，Q2={x|x2+2x+b＞0}，其中a，b∈R，下列说法正确的是（）A.对任意a，P1是P2的子集，对任意b，Q1不是Q2的子集B.对任意a，P1是P2的子集，存在b，使得Q1是Q2的子集C.存在a，P1不是P2的子集，对任意b，Q1不是Q2的子集D.存在a，P1不是P2的子集，存在b，使得Q1是Q2的子集15.（问答题，10分）设a＞0，b＞0，且a+b=1a +1b．求证：（1）a+b≥2；（2）a2+a＜2与b2+b＜2不可能同时成立．16.（问答题，10分）已知集合A={x|x2-（m+3）x+2（m+1）=0}，B={x|2x2+（3n+1）x+2=0}，其中m，n∈R．（1）若A∩B=A，求m，n的值；（2）若A∪B=A，求m，n的取值范围．（1-x）且|f（a）|＜2，17.（问答题，12分）已知命题P：函数f（x）= 13命题Q：集合A={x|x2+（a+2）x+1=0，x∈R}，B={x|x＞0}且A∩B=∅．（1）若命题P、Q中有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围．（2）若命题P、Q均为真命题时的实数a的取值范围．，x∈R，m＞0，x≠0}，若T （3）由（2）得结论，a的取值范围设为集合S，T={y|y=x+ mx⊆S，求实数m的范围．18.（问答题，12分）公元2222年，有一种高危传染病在全球范围内蔓延，被感染者的潜伏期可以长达10年，期间会有约0.05%的概率传染给他人，一旦发病三天内即死亡，某城市总人口约200万人，专家分析其中约有1000名传染者，为了防止疾病继续扩散，疾病预防控制中心现决定对全市人口进行血液检测以筛选出被感染者，由于检测试剂十分昂贵且数量有限，需要将血样混合后一起检测以节约试剂，已知感染者的检测结果为阳性，末被感染者为阴性，另外检测结果为阳性的血样与检测结果为阴性的血样混合后检测结果为阳性，同一检测结果的血样混合后结果不发生改变．（1）若对全市人口进行平均分组，同一分组的血样将被混合到一起检测，若发现结果为阳性，则再在该分组内逐个检测排查，设每个组x个人，那么最坏情况下，需要进行多少次检测可以找到所有的被感染者？在当前方案下，若要使检测的次数尽可能少，每个分组的最优人数？（2）在（1）的检测方案中，对于检测结果为阳性的组来取逐一检测排查的方法并不是很好，或可将这些组的血样在进行一次分组混合血样检测，然后再进行逐一排查，仍然考虑最坏的情况，请问两次要如何分组，使检测总次数尽可能少？（3）在（2）的检测方案中，进行了两次分组混合血样检测，仍然考虑最坏情况，若再进行若干次分组混合血样检测，是否会使检测次数更少？请给出最优的检测方案．2020-2021学年上海市浦东新区华东师大二附中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：18，总分：1001.（填空题，4分）已知集合A={-1，0，1，7}，则集合A的非空真子集的个数为___ ．【正确答案】：[1]14【解析】：若集合A中有n个元素，则集合A有2n-2个非空真子集．【解答】：解：∵集合A={-1，0，1，7}，∴集合A的非空真子集的个数为：24-2=14．故答案为：14．【点评】：本题考查集合的非空真子集的个数的求法，考查子集、真子集的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.（填空题，4分）不等式-2＜1x＜3的解集是___ ．【正确答案】：[1]{x|x ＜−12或x＞13}．【解析】：结合x的范围，去分母转化为一次不等式即可求解．【解答】：解：∵-2＜1x＜3，① 当x＞0时，-2x＜1＜3x，解可得，x＞−12且x＞13，∴ x＞13，② 当x＜0时，-2x＞1＞3x，解可得，x＜−12且x＜13，∴ x＜−12，综上可得，不等式的解集为{x|x ＜−12或x＞13}．故答案为：{x|x ＜−12 或 x ＞13 }．【点评】：本题考查不等式的解法，主要考查分次不等式的解法注意转化为一次不等式，考查运算能力，属于基础题． 3.（填空题，4分）函数f （x ）=0√|x|−x的定义域是___ ．【正确答案】：[1]（-∞，-3）∪（-3，0）【解析】：由0指数幂的底数不为0，分母中根式内部的代数式大于等于0联立不等式组求解．【解答】：解：由 {x +3≠0|x |−x ＞0 ，解得x ＜0且x≠-3．∴函数 f (x )=0√|x|−x-∞，-3）∪（-3，0）．故答案为：（-∞，-3）∪（-3，0）．【点评】：本题考查函数的定义域及其求法，是基础的计算题．4.（填空题，4分）若U={-3，-2，-1，0，1，2，3}，A={x|x 2-1≤0，x∈Z}，B={x|-1≤x≤3，x∈Z}，则 A ∩B=___ ． 【正确答案】：[1]{2，3}【解析】：可求出集合A ，B ，然后进行交集和补集的运算即可．【解答】：解：∵U={-3，-2，-1，0，1，2，3}，A={x|-1≤x≤1，x∈Z}={-1，0，1}，B={-1，0，1，2，3}，∴ A ={−3，−2，2，3} ， A ∩B ={2，3} ． 故答案为：{2，3}【点评】：本题考查了列举法、描述法的定义，交集和补集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．5.（填空题，4分）设集合T={∅，{∅}}，则下列命题： ① ∅∈T ， ② ∅⊆T ， ③ {∅}∈T ， ④ {∅}⊆T 中正确的是___ （写出所有正确命题对应的序号）． 【正确答案】：[1] ① ② ③ ④【解析】：根据元素与集合的关系即可判断出① ③ 都正确，根据子集的定义即可判断出② ④ 都正确，从而找出正确的命题序号．【解答】：解：∵T={∅，{∅}}，∴∅∈T，∅⊆T，{∅}∈T，{∅}⊆T．故答案为：① ② ③ ④ ．【点评】：本题考查了元素与集合的关系的判断，子集的定义，考查了推理能力，属于基础题．6.（填空题，4分）若集合{x|y=√x2+2(a+1)x+a2−5}=R，则实数a的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]（-∞，-3]【解析】：由题意可得，x2+2（a+1）x+a2-5≥0恒成立，结合二次不等式的恒成立问题即可求解．【解答】：解：由题意可得，x2+2（a+1）x+a2-5≥0恒成立，∴△=4（a+1）2-4（a2-5）≤0，解得a≤-3，故答案为：（-∞，-3]【点评】：本题主要考查了函数的定义域的应用，属于基础试题．7.（填空题，4分）如果全集U含有12个元素，P，Q都是U的子集，P∩Q中含有2个元素，P∩ Q中含有4个元素，P∩Q含有3个元素，则P含有___ 个元素．【正确答案】：[1]5【解析】：根据条件画出Venn图即可求出P含有的元素个数．【解答】：解：根据题意，用Venn图表示集合U，P，Q如下：，∴P含有5个元素．故答案为：5．【点评】：本题考查了用Venn 图表示集合的方法，交集和补集的定义及运算，全集的定义，考查了计算能力，属于基础题．8.（填空题，4分）叶老师和王老师两人一起去粮店打酱油共三次，叶老师每次打100元酱油，而王老师每次打100斤酱油，由于酱油市场瞬息万变，每次打的酱油价格都不相同，分别为a 元，b 元，c 元，则三次后两人所打酱油的平均价格较低的是___ 老师，理由是___ ．（请写出关键的不等式）【正确答案】：[1]叶; [2]（a+b+c ）（ 1a + 1b + 1c ）＞9【解析】：分别求出三次后两人所打酱油的平均价格，再利用作商法比较大小即可．【解答】：解：叶老师的平均价格为 100+100+100100a +100b +100c= 31a +1b +1c，王老师的平均价格为 100a+100b+100c 100+100+100 = a+b+c3，∵ a+b+c 331a +1b +1c= 19[（a+b+c ）（ 1a+ 1b+ 1c）]＞ 19（a× 1a+b× 1b+c× 1c）2=1，∴a+b+c 3 ＞ 31a +1b +1c， ∴叶老师的平均价格更低，故答案为：叶，（a+b+c ）（ 1a+ 1b+ 1c）＞9．【点评】：本题主要考查了简单的合情推理，考查了作商法比较两数的大小，以及柯西不等式，是中档题．9.（填空题，4分）对于集合M ，定义函数 f M (x )={−1，x ∈M 1，x ∉M，对于两个集合A ，B ，定义集合A*B={x|f A （x ）•f B （x ）=-1}．已知集合 A ={x|√2−x ＞x} ，B={x|x （x-3）（x+3）＞0}，则A*B=___ ．【正确答案】：[1]（-∞，-3]∪[0，1）∪（3，+∞） 【解析】：求出集合A ，B ，利用新定义求出A*B 即可．【解答】：解：A=（-∞，1），B={x|x （x-3）（x+3）＞0}={x|-3＜x ＜0或x ＞3} 因为f A （x ）•f B （x ）=-1，所以当f A （x ）=1，f B （x ）=-1，A*B={x|x ＞3}， 当f A （x ）=-1，f B （x ）=1，A*B={x|x≤-3或0≤x ＜1}， 故A*B=（-∞，-3]∪[0，1）∪（3，+∞）．故答案为：（-∞，-3]∪[0，1）∪（3，+∞）．【点评】：考查集合的交并集的计算，集合概念的理解，基础题．10.（填空题，4分）已知a 1，a 2，a 3与b 1，b 2，b 3是6个不同的实数，若关于x 的方程|x-a 1|+|x-a 2|+|x-a 3|=|x-b 1|+|x-b 2|+|x-b 3|解集A 是有限集，则集合A 中，最多有___ 个元素． 【正确答案】：[1]3【解析】：由题意，可将关于x 的方程|x-a 1|+|x-a 2|+|x-a 3|=|x-b 1|+|x-b 2|+|x-b 3|解的个数问题转化为f （x ）=|x-a 1|+|x-a 2|+|x-a 3|，g （x ）=|=|x-b 1|+|x-b 2|+|x-b 3|两个函数图象交点个数问题，将两个函数变为分段函数，由于两个函数都是折线，分别讨论折线端点处的函数值，作出符合题意的图象，即可得出图象交点个数，从而得出方程解的个数【解答】：解：令f （x ）=|x-a 1|+|x-a 2|+|x-a 3|，g （x ）=|=|x-b 1|+|x-b 2|+|x-b 3|，将关于x 的方程|x-a 1|+|x-a 2|+|x-a 3|=|x-b 1|+|x-b 2|+|x-b 3|解的个数的问题转化为两个函数图象交点个数的问题不妨令a 1＜a 2＜a 3，b 1＜b 2＜b 3，由于f （x ）=|x-a 1|+|x-a 2|+|x-a 3|= {3x −a 1−a 2−a 3，x ＞a 3x −a 1−a 2+a 3，a 2＜x ＜a3−x −a 1+a 2+a 3，a 1＜x ＜a 2−3x +a 1+a 2+a 3，x ＜a 1 ，g （x ）=|=|x-b 1|+|x-b 2|+|x-b 3|= {3x −b 1−b 2−b 3，x ＞b 3x −b 1−b 2+b 3，b 2＜x ＜b3−x −b 1+b 2+b 3，b 1＜x ＜b 2−3x +b 1+b 2+b 3，x ＜b 1，考查两个函数，可以看到每个函数都是由两条射线与两段折线所组成的，且两条射线的斜率对应相等，两条线段的斜率对应相等．当a 1，a 2，a 3的和与b 1，b 2，b 3的和相等时，此时两个函数射线部分完全重合，这与题设中方程的解集是有限集矛盾不妨令a 1，a 2，a 3的和小于b 1，b 2，b 3的和即a 1+a 2+a 3＜b 1+b 2+b 3，-a 1-a 2-a 3＞-b 1-b 2-b 3， 两个函数图象射线部分端点左右位置不同，即若左边f （x ）=|x-a 1|+|x-a 2|+|x-a 3|的射线端点在左，右边射线端点一定在右，反之亦然．不妨认为左边f （x ）=|x-a 1|+|x-a 2|+|x-a 3|的射线端点在左，右边射线端点一定在右，且射线互相平行，中间线段也对应平行，如图A 点在左，F 点在右，此时若B ，C 点在线段AD 的上方，则只有一个交点；若BC 线段位置在如图位置，则有三个交点，探究知，当a 1，a 2，a 3的值依次是1、4、5，b 1，b2，b3的值分别是2、3、6，可得到如图的图象，所以此两函数在本题条件下，最多有三个元素：故两函数图象最多有三个交点，即方程的解集是有限集时，最多有三个元素，故答案为：3．【点评】：本题考查函数的综合运用，属于函数中较难理解的题，用到数形结合的思想，转化化归的思想，属于能开拓思维训练能力的好题，也是易错题，本题解答中要用到特值法，因为这是一个存在的问题，有的问题，可举出一些特殊的例子以说明结论的存在性，学习时多思考，想明白各种情况，才能最大挖掘出本题的价值11.（单选题，4分）命题“若p不正确，则q不正确”的逆命题的等价命题是（）A.若q不正确，则p不正确B.若q不正确，则p正确C.若p正确，则q不正确D.若p正确，则q正确【正确答案】：D【解析】：原命题的逆命题和否命题互为逆否命题，是等价命题，易求出结果．【解答】：解：原命题的逆命题和否命题互为逆否命题，是等价命题，D选项是原命题的否命题．故选：D．【点评】：本题考查的知识点是四种命题的逆否关系，属基础题．12.（单选题，4分）已知a，b∈R，则“|a|＜1，|b|＜1”是“不等式ab+1＞a+b”成立的（）条件．A.充分非必要B.必要非充分C.充要D.既不充分又不必要【正确答案】：A【解析】：根据“不等式ab+1＞a+b”成立等价于“ab+1-a-b=（b-1）（a-1）＞0”，所以“|a|＜1，|b|＜1”必有（b-1）（a-1）＞0；反之，不一定成立，即可得出结果．【解答】：解：∵“不等式ab+1＞a+b”成立等价于“ab+1-a-b=（b-1）（a-1）＞0”，∴当“|a|＜1，|b|＜1时，则（b-1）（a-1）＞0成立；当（b-1）（a-1）＞0时，有a＞1且b＞1；或者a＜1且b＜1；故“|a|＜1，|b|＜1”是“不等式ab+1＞a+b”成立的充分非必要条件；故选：A．【点评】：本题考查了充分必要条件的判断，及不等式的性质，属于基础题．13.（单选题，4分）已知f（x）在x∈[a，b]上的最大值为M，最小值为m，给出下列五个命题：① 若对任何x∈[a，b]都有p≤f（x），则p的取值范围是（-∞，m]；② 若对任何x∈[a，b]都有p≤f（x），则p的取值范围是（-∞，M]；③ 若关于x的方程p=f（x）在区间[a，b]上有解，则p的取值范围是[m，M]；④ 若关于x的不等式p≤f（x）在区间[a，b]上有解，则p的取值范围是（-∞，m]；⑤ 若关于x的不等式p≤f（x）在区间[a，b]上有解，则p的取值范围是（-∞，M]；其中正确命题的个数为（）A.4个B.3个C.2个D.1个【正确答案】：B【解析】：这是一个对不等式恒成立，方程或不等式解集非空的理解，概念题．对各个选项分别加以判断，发现在① ② 中，得出① 正确② 错误，④ ⑤ 中得出⑤ 正确④ 错误，而不难发现③ 是一个真命题，由此可得正确答案．【解答】：解：对任何x∈[a，b]都有p≤f（x），说明p≤f（x）的最小值，结合题意知p≤m，① 是正确的；由于① 正确，所以② 是一个错误的理解，就不正确了；关于x的方程p=f（x）在区间[a，b]上有解，说明p应属于函数f（x）在[a，b]上的值域[m，M]内，故③ 是正确的；关于x的不等式p≤f（x）在区间[a，b]上有解，说明p小于或等于的最大值，所以④ 是错误的，而⑤ 是正确的正确的选项应该为① ③ ⑤故选：B．【点评】：本题考查了命题的真假判断与应用，属于基础题．不等式或方程解集非空，只要考虑有解；而不等式恒成立说明解集是一切实数，往往要考虑函数的最值了．14.（单选题，4分）设集合P1={x|x2+ax+1＞0}，P2={x|x2+ax+2＞0}，Q1={x|x2+x+b＞0}，Q2={x|x2+2x+b＞0}，其中a，b∈R，下列说法正确的是（）A.对任意a，P1是P2的子集，对任意b，Q1不是Q2的子集B.对任意a，P1是P2的子集，存在b，使得Q1是Q2的子集C.存在a，P1不是P2的子集，对任意b，Q1不是Q2的子集D.存在a，P1不是P2的子集，存在b，使得Q1是Q2的子集【正确答案】：B【解析】：运用集合的子集的概念，令m∈P1，推得m∈P2，可得对任意a，P1是P2的子集；再由b=1，b=5，求得Q1，Q2，即可判断B正确，A，C，D错误．【解答】：解：对于集合P1={x|x2+ax+1＞0}，P2={x|x2+ax+2＞0}，可得当m∈P1，即m2+am+1＞0，可得m2+am+2＞0，即有m∈P2，可得对任意a，P1是P2的子集；当b=5时，Q1={x|x2+x+5＞0}=R，Q2={x|x2+2x+5＞0}=R，可得Q1是Q2的子集；当b=1时，Q1={x|x2+x+1＞0}=R，Q2={x|x2+2x+1＞0}={x|x≠-1且x∈R}，可得Q1不是Q2的子集．综上可得，对任意a，P1是P2的子集，存在b，使得Q1是Q2的子集．故选：B．【点评】：本题考查集合的关系的判断，注意运用二次不等式的解法，以及任意和存在性问题的解法，考查判断和推理能力，属于基础题．15.（问答题，10分）设a＞0，b＞0，且a+b=1a +1b．求证：（1）a+b≥2；（2）a2+a＜2与b2+b＜2不可能同时成立．【正确答案】：【解析】：（1）由已知等式可得ab=1，再由基本不等式即可得证；（2）运用反证法证明，结合不等式的性质，即可得到矛盾，进而得到证明．【解答】：证明：（1）由a+b=1a +1b，a＞0，b＞0，得ab=1，由基本不等式及ab=1，有a+b≥2√ab=2，即a+b≥2．（2）假设a2+a＜2与b2+b＜2同时成立，则a2+a＜2且b2+b＜2，则a2+a+b2+b＜4，即：（a+b）2+a+b-2ab＜4，由（1）知ab=1因此（a+b）2+a+b＜6 ①而a+b≥2，因此（a+b）2+a+b≥6 ② ，因此① ② 矛盾，因此假设不成立，原结论成立．【点评】：本题考查不等式的证明，注意运用基本不等式和反证法证明，考查运算能力和推理能力，属于中档题．16.（问答题，10分）已知集合A={x|x2-（m+3）x+2（m+1）=0}，B={x|2x2+（3n+1）x+2=0}，其中m，n∈R．（1）若A∩B=A，求m，n的值；（2）若A∪B=A，求m，n的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）解x2-（m+3）x+2（m+1）=0得：x=2，或x=m+1，若A∩B=A，则A⊆B，将x=2代入2x2+（3n+1）x+2=0可得答案；（2）若A∪B=A，则非空集合B⊆A，分当△=0和当△＞0两种情况讨论满足条件的m，n的值，综合讨论结果，可得答案．【解答】：解：（1）集合A={x|x2-（m+3）x+2（m+1）=0}，B={x|2x2+（3n+1）x+2=0}，其中m，n∈R．解x2-（m+3）x+2（m+1）=0得：x=2，或x=m+1，若A∩B=A，则A⊆B，将x=2代入2x2+（3n+1）x+2=0得：n=-2，则B={x|2x2+（3n+1）x+2=0，n∈R}={x|2x2-5x+2=0}={2，12}．则m+1= 12，则m=- 12，当A={2}时，m+1=2，解得m=1，综上m=- 12，n=-2，或m=1，n=-2．（2）若A∪B=A，则非空集合B⊆A，当△=（3n+1）2-16=0时，n=- 53，B={1}，m+1=1，m=0，或n=1时，B={-1}，m+1=-1，m=-2；当△=（3n+1）2-16≥0，即n≤- 53，或n≥1时，则2∈B，由（1）得：m=- 12，n=-2；当△=（3n+1）2-16＜0时，即- 53＜n＜1时，B=∅，对m∈R，故成立，综上，{m∈Rn∈(−53，1)或{m=−2n=1或{m=0n=−53或{m=−12n=−2．【点评】：本题考查实数值的求法，考查交集、并集定义等基础知识，考查运算求解能力，考查分类讨论思想，是中档题．17.（问答题，12分）已知命题P：函数f（x）= 13（1-x）且|f（a）|＜2，命题Q：集合A={x|x2+（a+2）x+1=0，x∈R}，B={x|x＞0}且A∩B=∅．（1）若命题P、Q中有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围．（2）若命题P、Q均为真命题时的实数a的取值范围．（3）由（2）得结论，a 的取值范围设为集合S ，T={y|y=x+ m x ，x∈R ，m ＞0，x≠0}，若 T ⊆S ，求实数m 的范围．【正确答案】：【解析】：（1）直接利用真值表和不等式的解法求出参数的取值范围；（2）利用分类讨论思想的应用和真值表的应用及不等式的解法的应用求出结果；（3）利用集合间的关系建立不等量关系，最后求出参数的范围．【解答】：解：（1）命题P ：函数f （x ）= 13 （1-x ）且|f （a ）|＜2，整理得| 13(1−a )|＜2 ，解得-5＜a ＜7．若Q 为真命题：集合A={x|x 2+（a+2）x+1=0，x∈R}，B={x|x ＞0}且A∩B=∅．若A=∅，则△=（a+2）2-4＜0，解得-4＜a ＜0．若A≠∅，则 {△=(a +2)2−4≥0−(a +2)＜0，解得a≥0， 若Q 为真命题，则a ＞-4．由于P 和Q 中有且只有一个真命题，所以 {−5＜a ＜7a ≤−4 或 {a ≤−5或a ≥7a ＞−4 ． 解得a∈（-5，-4]或a∈[7，+∞）．（2）命题P 、Q 均为真命题时则： {−5＜a ＜7a ＞−4 ，解得a∈（-4，7）．（3）由（2）得结论，a 的取值范围设为集合S ，T={y|y=x+ m x ，x∈R ，m ＞0，x≠0}，所以S∈（-4，7）， T ∈(−∞，−2√m]∪[2√m ，+∞) ，所以 T =(−2√m ，2√m) ⊆（-4，7），故 {−2√m ≥−42√m ≤7m ＞0 ，解得0＜m≤4，所以m 的取值范围为（0，4]．【点评】：本题考查的知识要点：真值表，集合间的关系，不等式的解法，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．18.（问答题，12分）公元2222年，有一种高危传染病在全球范围内蔓延，被感染者的潜伏期可以长达10年，期间会有约0.05%的概率传染给他人，一旦发病三天内即死亡，某城市总人口约200万人，专家分析其中约有1000名传染者，为了防止疾病继续扩散，疾病预防控制中心现决定对全市人口进行血液检测以筛选出被感染者，由于检测试剂十分昂贵且数量有限，需要将血样混合后一起检测以节约试剂，已知感染者的检测结果为阳性，末被感染者为阴性，另外检测结果为阳性的血样与检测结果为阴性的血样混合后检测结果为阳性，同一检测结果的血样混合后结果不发生改变．（1）若对全市人口进行平均分组，同一分组的血样将被混合到一起检测，若发现结果为阳性，则再在该分组内逐个检测排查，设每个组x 个人，那么最坏情况下，需要进行多少次检测可以找到所有的被感染者？在当前方案下，若要使检测的次数尽可能少，每个分组的最优人数？（2）在（1）的检测方案中，对于检测结果为阳性的组来取逐一检测排查的方法并不是很好，或可将这些组的血样在进行一次分组混合血样检测，然后再进行逐一排查，仍然考虑最坏的情况，请问两次要如何分组，使检测总次数尽可能少？（3）在（2）的检测方案中，进行了两次分组混合血样检测，仍然考虑最坏情况，若再进行若干次分组混合血样检测，是否会使检测次数更少？请给出最优的检测方案．【正确答案】：【解析】：（1）设每个组x个人，可得 2×106x +1000x 次检测可以找到所有的被感染者，由均值不等式即可得到所求值；（2）设第一次每个组x 1人，第二次每个组x 2人，可得检测的总次数为2×106x 1 + 1000x 1x 2 +1000x 2，运用三元基本不等式，结合整数解，即可得到所求值；（3）运用基本不等式的一般式，结合x n =1，可得n 的最小值，进而得到所求结论．【解答】：解：（1）设每个组x 个人，那么最坏情况下，需要进行 2×106x +1000x 次检测可以找到所有的被感染者，由y= 2×106x +1000x≥2 √2×106x •1000x =4×104 √5 ，由 2×106x =1000x ，即x≈44.72，由于x 为正整数，由x=44，可得y=2×10644 +44000≈89854.54， 由x=45，可得y= 2×10645+45000≈89444.44， 可得在当前方案下，若要使检测的次数尽可能少，每个分组的最优人数为45；（2）设第一次每个组x 1人，第二次每个组x 2人，可得检测的总次数为2×106x 1 + 1000x 1x 2 +1000x 2≥3 √2×106×103×1033 =3×104 √23， 当且仅当 2×106x 1 = 1000x 1x 2=1000x 2， 即x 22=x 1，x 1=100 √43 ≈158.74，由x 1为正整数，可得x 1=159离100 √43 ，较158离100 √43 近，即x 1为159；由x 2= √x 1 ≈12.6，则13较12与12.6距离近，则x 2为13，则第一次每个组159人，第二次每个组13人；（3）当进行n 次这样的检验，可以达到最优，由2×106x 1 + 1000x 1x 2 + 1000x 2x 3 +…+1000x n ≥（n+1） √2×106×103n n+1 ， 由 2×106x 1 = 1000x 1x 2 = 1000x 2x 3=…=1000x n ， 可得x n = √2000n+1 ，由n=18，x 18= √200019 ≈1.49，可取x 18=1，即进行这样的检验18次，即可得到总次数更少．【点评】：本题考查不等式的应用问题解法，注意运用基本不等式，正确理解题意，以及整数解的条件，是解题的关键，属于难题．。
2020-2021学年上海市华东师范大学第二附属中学高一上学期期中数学试题(解析版)
2020-2021学年上海市华东师范大学第二附属中学高一上学期期中数学试题一、单选题1．命题“若p 不正确，则q 不正确”的逆命题的等价命题是（ ） A ．若q 不正确，则p 不正确 B ．若q 不正确，则p 正确 C ．若p 正确，则q 不正确 D ．若p 正确，则q 正确【答案】D【分析】由命题“若p 不正确，则q 不正确”，根据四种命题的定义，我们易求出其逆命题，进而根据互为逆否命题是等价命题，易求出结果． 【详解】解：命题“若p 不正确，则q 不正确”的逆命题是： “若q 不正确，则p 不正确” 其等价命题是它的逆否命题，即 “若p 正确，则q 正确” 故选D ．【点睛】本题考查的知识点是四种命题的逆否关系，根据四种命题的定义，求出满足条件的逆命题，及互为逆否的两个命题为等价命题是解答本题的关键．2．已知,a b ∈R ，则“1a <，1b <”是“不等式1ab a b +>+”成立的（ ）条件. A ．充分非必要 B ．必要非充分C ．充要D ．既不充分又不必要 【答案】A【分析】化简不等式1ab a b +>+为()()110a b -->，再根据充分、必要条件的判断方法，选出正确选项.【详解】不等式1ab a b +>+等价于()()110a b -->.故当“1a <，1b <”时，10,10a b -<-<，故()()110a b -->，即“不等式1ab a b +>+”成立.当“不等式1ab a b +>+”成立时，()()110a b -->，可能是1,1a b >>，故不能推出“1a <，1b <”.所以“1a <，1b <”是“不等式1ab a b +>+”成立的充分非必要条件.故选A.【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查不等式的性质，属于基础题. 3．已知()f x 在[],x a b ∈的最大值为M ，最小值为m ，给出下列五个命题： ①若对任何[],x a b ∈都有()p f x ≤，则p 的取值范围是(],M -∞ ②若对任何[],x a b ∈都有()p f x ≤，则p 的取值范围是(],m -∞ ③若关于x 的方程()p f x =在区间[],a b 有解，则p 的取值范围是[],m M ④若关于x 的不等式()p f x ≤在区间[],a b 有解，则p 的取值范围是(],m -∞ ⑤若关于x 的不等式()p f x ≤在区间[],a b 有解，则p 的取值范围是(],M -∞ 其中正确命题的个数为（ ） A ．4 B ．3C ．2D ．1【答案】B【分析】这是恒成立，有解，零点问题的概念题，根据条件转化为最值问题，理解，判断选项.【详解】由条件对任何[],x a b ∈都有()p f x ≤，可知()min p f x ≤，即p 的取值范围是(],m -∞，故①错②正确；若关于x 的方程()p f x =在区间[],a b 有解，说明p 应属于函数()f x 在[],a b 上的值域[],m M ，故③正确；若关于x 的不等式()p f x ≤在区间[],a b 有解，则()max p f x ≤，即p M ≤则p 的取值范围是(],M -∞，故④错⑤正确. 故选：B4．设集合{}2110P x x ax =++>，{}2220P x x ax =++>，{}210Q x x x b =++>，{}2220Q x x x b =++>，其中a ，b ∈R 下列说法正确的是（ ） A ．对任意a ，1P 是2P 的子集；对任意的b ，1Q 不是2Q 的子集 B ．对任意a ，1P 是2P 的子集；存在b ，使得1Q 是2Q 的子集 C ．存在a ，使得1P 不是2P 的子集；对任意的b ，1Q 不是2Q 的子集 D ．存在a ，使得1P 不是2P 的子集；存在b ，使得1Q 是2Q 的子集【答案】B【分析】先证得1P 是2P 的子集，然后求得b 使1Q 是2Q 的子集，由此确定正确选项．【详解】对于1P 和2P ，由于210x ax ++>时222110x ax x ax ++=+++>，所以1P 的元素，一定是2P 的元素，故对任意a ，1P 是2P 的子集；对于1Q 和2Q ，根据判别式有140440b b -<⎧⎨-<⎩，即1b >时，12Q Q R ==，满足1Q 是2Q 的子集，也即存在b ，使得1Q 是2Q 的子集. 故选： B.【点睛】方法点睛：该题主要考查子集的判断，解题方法如下：（1）利用子集的概念，可以判断出1P 的元素，一定是2P 的元素，得到对任意a ，1P 是2P 的子集；（2）利用R 是R 的子集，结合判别式的符号，存在实数1b >时，有12Q Q R ==，得到结果.二、填空题5．已知集合{}1,0,1,7A =-，则集合A 的非空真子集的个数为_________. 【答案】14【分析】先算出集合中的元素个数n ,根据非空真子集的计算公式22n -即可求出结果. 【详解】解: 集合{}1,0,1,7A =-， 元素个数4n = ,所以非空真子集个数为4222214n -=-=. 故答案为:146．不等式123x -<<的解集为__________. 【答案】11(,)(,)23-∞-+∞.【分析】将原不等式转化为1213xx⎧>-⎪⎪⎨⎪<⎪⎩，解方程组求得原不等式的解集.【详解】原不等式等价于1213x x ⎧>-⎪⎪⎨⎪<⎪⎩，即120130x x ⎧+>⎪⎪⎨⎪-<⎪⎩，120130x x x x +⎧>⎪⎪⎨-⎪<⎪⎩，()()120130x x x x ⎧+>⎪⎨-<⎪⎩，解得11(,)(,)23x ∈-∞-+∞. 故答案为11(,)(,)23-∞-+∞.【点睛】本小题主要考查分式不等式的解法，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.7．函数0()f x =_________.【答案】()(),33,0-∞--【分析】解不等式组30||0x x x +≠⎧⎨->⎩即得解.【详解】由题得30,0||0x x x x +≠⎧∴<⎨->⎩且3x ≠-. 所以函数的定义域为()(),33,0-∞--.故答案为：()(),33,0-∞--8．若{}3,2,1,0,1,2,3U =---，{}210,A x x x =-≤∈Z ，{}13,B x x x =-≤≤∈Z ，则A B =______．【答案】{}23，【分析】先求得集合A 、B ，再由集合的补集运算、交集运算可得答案.【详解】因为{}{}210,101A x x x =-≤∈=-Z ，，，{}3,2,1,0,1,2,3U =---，所以{}3223A =--，，，，又{}{}13,10123B x x x =-≤≤∈=-Z ，，，，，所以A B ={}23，， 故答案为：{}23，. 9．设集合{}{},T =∅∅，则下列命题：①T ∅∈，②T ∅⊆，②{}T ∅∈，④{}T ∅⊆中正确的是__________（写出所有正确命题对应的序号）. 【答案】①②③④.【分析】根据集合T 元素的特征，对四个命题逐一分析，由此确定正确命题的序号. 【详解】集合{}{},T =∅∅，也即集合T 的元素为两个集合，一个是∅，另一个是{}∅. 对于①，空集是集合T 的元素，故①正确. 对于②，空集是任何集合的子集，故②正确. 对于③，{}∅是集合T 的元素，故③正确. 对于④，{}∅中含有元素∅，故④正确. 故答案为①②③④.【点睛】本小题主要考查元素与集合的关系，考查集合与集合的关系，属于基础题. 10．若集合()22{|215}x y x a x a R =+++-=，则实数a 的取值范围是__________． 【答案】(],3-∞-【分析】根据()222150x a x a +++-≥恒成立列不等式，解不等式求得a 的取值范围.【详解】题目所给集合研究对象为函数()22215y x a x a =+++-的定义域，依题意可知()222150x a x a +++-≥恒成立，故()()2221450a a ∆=+--≤⎡⎤⎣⎦，即8240,3a a +≤≤-.故答案为：(],3-∞-.【点睛】本小题主要考查函数定义域的求法，考查集合元素的概念，考查一元二次不等式恒成立问题的求解策略，属于基础题.11．如果全集U 含有12个元素，,P Q 都是U 的子集，P Q 中含有2个元素，P Q含有4个元素，PQ 含有3个元素，则P 含有_________个元素.【答案】作出韦恩图，可知P 中元素个数为25x +=．【分析】根据题目所给条件，画出图像，由此判断集合P 的元素个数． 【详解】依题意画出图像如下图所示，由图可知，集合P 的元素个数为5个．故答案为：5.12．对于集合M ，定义函数()1,1,M x Mf x x M-∈⎧=⎨∉⎩，对于两个集合,A B ，定义集合()(){}|1A B A B x f x f x *=⋅=-. 已知集合{}|A x x =>，()(){}|330B x x x x =-+>，则A B *=__________.【答案】(,3][0,1)(3,)-∞-+∞.【分析】解不等式求得集合A 与集合B ，根据新定义函数()M f x 以及新定义集合A B *的概念，求得A B *中x 的取值范围.【详解】当0x >x >两边平方并化简得220x x +-<，即()()210x x +-<，解得21x -<<，由于0x >，故x 的范围是()0,1.当0x ≤x >恒成立，故x 的取值范围是(],0-∞.综上所述，(),1A =-∞.故()1,11,1A x f x x -<⎧=⎨≥⎩①. 由()()330x x x -+>，解得30x -<<或3x >，故()()3,03,B =-⋃+∞.故()()()(][]1,3,03,1,,30,3B x f x x ⎧-∈-⋃+∞⎪=⎨∈-∞-⋃⎪⎩②. 要使()()1A B f x f x ⋅=-，由①②可知，(,3][0,1)(3,)x -∞-∞∈+.故答案为(,3][0,1)(3,)-∞-+∞.【点睛】本小题主要考查新定义函数的理解和运用，考查新定义集合的理解和运用，考查不等式的解法，属于中档题.13．已知1a 、2a 、3a 与1b 、2b 、3b 是6个不同的实数，若关于x 的方程123123x a x a x a x b x b x b -+-+-=-+-+-的解集A 是有限集，则集合A 中最多有________个元素 【答案】3【分析】设a 1＜a 2＜a 3与b 1＜b 2＜b 3，设函数()123f x x a x a x a =-+-+-和()123g x x b x b x b =-+-+-，去绝对值，利用图像讨论交点的情况，即可得到所求个数．【详解】转化为：()123f x x a x ax a =-+-+-和()123g x x b x b x b =-+-+-图象的交点，6个不同的实数不妨假设1a ＜2a ＜3a ，1b ＜2b ＜3b ，则()()()()()1233123231231212313,,,3,x a a a x a x a a a a x a f x x a a a a x a x a a a x a ⎧-++>⎪-+-<≤⎪=⎨----<≤⎪⎪-+++≤⎩，()()()()()1233123231231212313,,,3,x b b b x b x b b b b x b g x x b b b b x b x b b b x b ⎧-++>⎪-+-<≤⎪=⎨----<≤⎪⎪-+++≤⎩，画出函数的函数图象如下图，两图象最多可有3个交点，即集合A 中最多有3个元素， 故答案为3.【点睛】本题考查函数方程的转化思想和分类讨论思想及数形结合思想，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题．三、双空题14．叶老师和王老师两人一起去粮店打酱油共三次，叶老师每次打100元酱油，而王老师每次打100斤酱油，由于酱油市场瞬息万变，每次打的酱油价格都不相同，分别为a 元，b 元，c 元，则三次后两人所打酱油的平均价格较低的是_________老师，理由是_________.(请写出关键的不等式) 【答案】叶33a b c abcbc ac ab++>++ 【分析】根据题意分别算出叶老师和王老师所打酱油的平均价格，运用比较法进行判断即可.【详解】叶老师的平均价格为1001001003100100100abcbc ac ab a b c++=++++，王老师的平均价格为1001001001001001003a b c a b c++++=++，于是有：2223()()9()()()33()3()a b c abc a b c bc ac ab abc c a b b a c a b c bc ac ab bc ac ab bc ac ab ++++++---+--==+++++++，因为每次打的酱油价格都不相同，所以222()()()03()c a b b a c a b c bc ac ab --+->+++，即33a b c abcbc ac ab++>++ 所以叶老师的平均价格更低， 故答案为：叶； 33a b c abcbc ac ab++>++.四、解答题15．设0a >，0b >，且11a b a b+=+. 证明：(1) 2a b +≥；(2) 22a a +<与22b b +<不可能同时成立． 【答案】(1)见解析. (2)见解析.【详解】试题分析：本题考查基本不等式和反证法,结合转化思想证明不等式,意在考查考生对基本不等式的掌握和反证法的应用.(i)构造基本不等式求出代数式的最值,直接证明不等式成立;(ii)直接证明较难,假设两个不等式同时成立,利用(i)的结论,得出矛盾,则假设不成立. 试题解析： 由11a b a b a b ab++=+=,0,0a b >>,得1ab =.(1)由基本不等式及1ab =,有2a b +≥=,即2a b +≥ (2)假设22a a +<与22b b +<同时成立,则由22a a +<及a>0得0<a<1;同理得0<b<1,从而ab<1,这与ab=1矛盾. 故22a a +<与22b b +<不可能同时成立.点睛：本题主要考查基本不等式，其难点主要在于利用三角形的一边及这条边上的高表示内接正方形的边长.在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.16．已知集合()(){}2|3210A x x m x m =-+++=，(){}2|23120B x x n x =+++=，其中,m n R ∈.（1）若AB A =，求,m n 的值；（2）若A B A ⋃=，求,m n 的取值范围. 【答案】（1）2n =-，1m =或12m =-； （2）5(,1)3m R n ∈⎧⎪⎨∈-⎪⎩或21m n =-⎧⎨=⎩或053m n =⎧⎪⎨=-⎪⎩或122m n ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩. 【分析】先求得集合A 中元素的可能取值. （1）根据AB A =，判断出2x =是集合,A B 的元素，由此求得n 的值，进而求得集合B ，由此确定m 的值.（2）根据B 为空集、单元素集、双元素集进行分类讨论，由此确定,m n 的取值范围. 【详解】由()()()()2321210x m x m x x m -+++=--+=⎡⎤⎣⎦，解得2x =或1x m =+.（1）当AB A =，所以2x =是集合,A B 的元素，所以()22231220n ⨯++⨯+=，解得2n =-，所以{}21|2520,22B x x x ⎧⎫=-+==⎨⎬⎩⎭.若12,1m m +==，此时{}2A =，符合A B A =.若111,22m m +==-，此时12,2A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，符合A B A =.故2n =-，1m =或12m =-.（2）由于A B A ⋃=，当B =∅时，由判别式得()2314220n +-⨯⨯<，解得5,13n ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，此时m R ∈. 当B 为单元素集时，由判别式得()2314220n +-⨯⨯=，解得53n =-或1n =.当53n =-时，{}1B =，要使A B A ⋃=，则11,0m m +==.当1n =时，{}1B =-，，要使A B A ⋃=，则11,2m m +=-=-. 当B 为双元素集时，由（1）知2n =-，12m =-. 综上所述，,m n 的取值范围为5(,1)3m R n ∈⎧⎪⎨∈-⎪⎩或21m n =-⎧⎨=⎩或053m n =⎧⎪⎨=-⎪⎩或122m n ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩. 【点睛】本小题主要考查根据集合交集和并集的情况求参数，考查一元二次方程根的求法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题. 17．已知命题:P 函数()()113=-f x x 且()2<f a ，命题:Q 集合(){}221=0,A x x a x x R =+++∈，{}0B x x =>且A B =∅.（1）若命题P 、Q 中有且仅有一个为真命题，求实数a 的取值范围. （2）若命题P 、Q 均为真命题时的实数a 的取值范围.（3）由（2）得结论，a 的取值范围设为集合S ，,,0,0mT y y x x R m x x ⎧⎫==+∈>≠⎨⎬⎩⎭，若T S ⊆，求实数m 的范围. 【答案】（1）(][)5,47,--+∞；（2）()4,7-；（3）(]0,4. 【分析】（1）分别求出当命题P 、Q 为真命题时实数a 的取值范围，然后分P 真Q 假、P 假Q 真两种情况讨论，综合可得出实数a 的取值范围；（2）由（1）结合命题P 、Q 均为真命题可求得实数a 的取值范围；（3）利用基本不等式可求得集合T ，进而得出T ，由T S ⊆可得出关于实数m 的不等式组，由此可解得实数m 的取值范围. 【详解】（1）若P 为真，则()()1123f a a =-<，所以616a -<-<，解得57a -<<；若Q 为真，集合(){}221=0,A x x a x x R =+++∈，{}0B x x =>，且AB =∅，若A =∅，则()()22440a a a ∆=+-=+<，解得40a ；若A ≠∅，则()()224020a a ⎧∆=+-≥⎪⎨-+<⎪⎩，解得0a ≥.故若Q 为真，则4a >-.因为P 、Q 中有且只有一个为真，若P 真Q 假，则574a a -<<⎧⎨≤-⎩，此时54a -<≤-；若P 假Q 真，则574a a a ≤-≥⎧⎨>-⎩或，此时7a ≥.综上所述，实数a 的取值范围是(][)5,47,--+∞；（2）当P、Q均为真时，574aa-<<⎧⎨>-⎩，所以()4,7a∈-；（3）对于函数my xx=+，0m >，当0x>时，由基本不等式可得y≥=当且仅当x当0x<时，()my xx⎡⎤=--+≤-=-⎢⎥-⎣⎦当且仅当x=.所以，(),T⎡=-∞-⋃+∞⎣，则(T=-，T S⊆，即(()4,7-⊆-，所以47m⎧-≥-⎪⎪⎨⎪>⎪⎩，解得04m<≤，综上所述，实数m的取值范围是(]0,4.【点睛】在解决两个数集关系问题时，避免出错的一个有效手段是合理运用数轴帮助分析与求解，另外，在解含有参数的不等式（或方程）时，要对参数进行讨论．18．公元2222年，有一种高危传染病在全球范围内蔓延，被感染者的潜伏期可以长达10年，期间会有约0.05%的概率传染给他人，一旦发病三天内即死亡，某城市总人口约200万人，专家分析其中约有1000名传染者，为了防止疾病继续扩散，疾病预防控制中心现决定对全市人口进行血液检测以筛选出被感染者，由于检测试剂十分昂贵且数量有限，需要将血样混合后一起检测以节约试剂，已知感染者的检测结果为阳性，末被感染者为阴性，另外检测结果为阳性的血样与检测结果为阴性的血样混合后检测结果为阳性，同一检测结果的血样混合后结果不发生改变.（1）若对全市人口进行平均分组，同一分组的血样将被混合到一起检测，若发现结果为阳性，则再在该分组内逐个检测排查，设每个组x个人，那么最坏情况下，需要进行多少次检测可以找到所有的被感染者？在当前方案下，若要使检测的次数尽可能少，每个分组的最优人数？（2）在（1）的检测方案中，对于检测结果为阳性的组来取逐一检测排查的方法并不是很好，或可将这些组的血样再进行一次分组混合血样检测，然后再进行逐一排查，仍然考虑最坏的情况，请问两次要如何分组，使检测总次数尽可能少？（3）在（2）的检测方案中，进行了两次分组混合血样检测，仍然考虑最坏情况，若再进行若干次分组混合血样检测，是否会使检测次数更少？请给出最优的检测方案.【答案】（1）62101000x x⨯+ 次，45人；（2）第一次每组159人，第二次每组13人；（3）见解析【分析】(1)根据最坏的情况是1000名被感染者分布在其中1000组里,可得检测总次数,再用基本不等式可得;(2)设第一次每个组1x 人,第二次每个组2x 人,可得检测总次数,再用三元基本不等式,结合整数解可得;(3)设第n 次分组中,每组人数为n x ,则可得检测总次数,然后运用n 元基本不等式,结合1n x =,可得n 的最小值,进而得到所求结果.【详解】(1)200万人平均分组,每组x 人,总共分6210x⨯组,每组检测一次,共需检测6210x⨯次,最坏的情况是1000名被感染者分布在其中1000组里,每组一人,然后在这1000组里逐个排查,每组需检测x 次,共需检测1000x 次,所以找到所有的被感染者共需检测6210x⨯1000x +次,由6210x ⨯1000x +≥410=,当且仅当62101000x x⨯=,所以2x = 2000,所以x ==44.72≈时等号成立.由于x 为正整数,所以当44x =时,6621021010004400044x x ⨯⨯+=+89454.54≈, 当45x =时,62104500045⨯+89444.44≈, 因为89444.4489454.54<,所以要使检测总次数尽可能少,每个分组的最优人数为45人.(2)设第一次每个组1x 人,分61210x ⨯组;第二次每个组2x 人,分121000x x 组 第一次需检测61210x ⨯次,由(1)的思路知,第二次共需检测121000x x 21000x +次, 所以两次检测的总次数为61210x ⨯121000x x +21000x +, 因为61210x ⨯121000x x +21000x+3≥=4310=, 当且仅当6121210002101000x x x x ⨯==, 即221x x =,1x =,2x =,因为1x =158.74≈,2x =12.6≈,且12,x x 为正整数,且|159158.74||158158.74|-<-,|1312.6||1212.6|-<-,所以12159,13x x ==,时两次检测的总次数尽可能少,则第一次每个组159人,第二次每个组13人,可使检测总次数尽可能少.(3)假设进行n 次这样的分组检测,可以达到检测次数更少,设第n 次分组中,每组人数为n x , 则总共检测次数为61121231000100010002101000n n n x x x x x x x x -⨯+++++, 因为61121231000100010002101000n n nx x x x x x x x -⨯+++++ (1)n n n x ≥+⨯⨯⨯ (1)n =+⨯, 当且仅当612123100010002101000n x x x x x x ⨯====,时等号成立, 所以6112123100010001000210(1000)n n n nx x x x x x x x -⨯⨯⨯⨯⨯=,所以63131210(10)(10)n n n n x -+⨯⨯=⨯,所以13210n n x +=⨯,所以n x =,当18n =时,18x = 1.49≈,因为|1 1.49||2 1.49|-<-,且18x 为正整数,所以可取181x =,即这样进行了18次检验可得到总次数更小.【点睛】本题考查了二元、三元、n 元基本不等式求最小值,属于难题.解题关键是理解出最坏情况是1000名被感染者分布在其中1000组里.。
上海市华东师大二附中高一(上)期中数学试卷(解析版)
上海市华东师大二附中高一（上）期中数学试卷一.填空题1．已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，M={1，3，5，7}，N={5，6，7}，则C u（M∪N）=．2．集合{x|1＜x＜6，x∈N*}的非空真子集的个数为3．若命题p：（x﹣m）（x﹣m﹣2）≤0；命题q：|4x﹣3|≤1，且p是q的必要非充分条件，则实数m的取值范围是．4．已知集合A={x|m﹣4＜x＜2m}，B={x|﹣1＜x＜4}，若A∩B=B，则实数m的取值范围为．5．下列命题：①a＞b⇒c﹣a＜c﹣b；②a＞b，；③a＞b⇒ac2＞bc2；④a3＞b3⇒a＞b，其中正确的命题个数是．6．不等式的解集为．7．函数的定义域是．8．若f（x）=ax2+3a是定义在[a2﹣5，a﹣1]上的偶函数，令函数g（x）=f（x）+f（1﹣x），则函数g（x）的定义域为．9．已知函数为R上的单调函数，则实数a的取值范围是．10．函数y=f（x）定义域是D，若对任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）≤f（x2），则称函数f（x）在D上为非减函数，设函数y=f（x）在[0，1]上为非减函数，满足条件：①f（0）=0；②f（）=f（x）；③f（1﹣x）=1﹣f（x）；则f（）+f（）=．二.选择题11．设集合P={m|﹣1＜m≤0}，Q={m|mx2+4mx﹣4＜0对任意x恒成立}，则P 与Q的关系是（）A．P⊆Q B．Q⊆P C．P=Q D．P∩Q=∅12．已知x＞y＞z，且x+y+z=0，下列不等式中成立的是（）A．xy＞yz B．xz＞yz C．xy＞xz D．x|y|＞z|y|13．下列判断中正确的是（）A．是偶函数B．是奇函数C．是偶函数D．是奇函数14．设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=x2，若对任意的x ∈[t，t+2]，不等式f（x+t）≥2f（x）恒成立，则实数t的取值范围是（）A．B．[2，+∞）C．（0，2]D．三.解答题15．已知关于x的不等式（kx﹣k2﹣4）（x﹣4）＞0，其中k∈R；（1）当k=4时，求上述不等式的解集；（2）当上述不等式的解集为（﹣5，4）时，求k的值．16．某地区的农产品A第x天（1≤x≤20，x∈N*）的销售价格p=50﹣|x﹣6|（元∕百斤），一农户在第x天（1≤x≤20，x∈N*）农产品A的销售量q=a+|x﹣8|（百斤）（a为常数），且该农户在第7天销售农产品A的销售收入为2009元．（1）求该农户在第10天销售农产品A的销售收入是多少？（2）这20天中该农户在哪一天的销售收入最大？为多少？17．已知函数f（x）=|x﹣t|+（x＞0）；（1）判断函数y=f（x）在区间（0，t]上的单调性，并证明；（2）若函数y=f（x）的最小值为与t无关的常数，求实数t的取值范围．18．已知函数f（x）=x2﹣（a﹣2）x+a﹣4；（1）若函数y=f（x）在区间[1，2]上的最小值为4﹣a，求实数a的取值范围；（2）是否存在整数m，n，使得关于x的不等式m≤f（x）≤n的解集恰好为[m，n]，若存在，求出m，n的值，若不存在，请说明理由．上海市华东师大二附中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，M={1，3，5，7}，N={5，6，7}，则C u（M∪N）={2，4，8} ．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】找出既属于集合M又属于集合N的元素，可得到两集合的并集，然后根据全集U，找出不属于两集合并集的元素，即为所求的补集．【解答】解：∵M={1，3，5，7}，N={5，6，7}，∴M∪N={1，3，5，6，7}，又全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，则C u（M∪N）={2，4，8}．故答案为：{2，4，8}2．集合{x|1＜x＜6，x∈N*}的非空真子集的个数为14【考点】子集与真子集．【分析】先将集合用列举法表示，求出该集合中元素的个数，利用集合真子集的个数公式求出该集合的非空真子集个数．【解答】解：{x|1＜x＜6，x∈N*}={2，3，4，5}该集合中含有4个元素，所以该集合的非空真子集有24﹣2=14．故答案为：14．3．若命题p：（x﹣m）（x﹣m﹣2）≤0；命题q：|4x﹣3|≤1，且p是q的必要非充分条件，则实数m的取值范围是[﹣1，] ．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】分别由命题命题p和命题q解出它们对变的不等式的解集，根据p是q的必要不充分条件，说明q的解集是p解集的真子集，建立不等式组可得出实数m的取值范围．【解答】解：命题p：（x﹣m）（x﹣m﹣2）≤0⇒m≤x≤m+2，命题q：|4x﹣3|≤1⇒﹣1≤4x﹣3≤1⇒≤x≤1，∵p是q的必要非充分条件∴[，1]⊆[m，m+2]∴（等号不能同时成立）⇒﹣1≤m≤故答案为：．4．已知集合A={x|m﹣4＜x＜2m}，B={x|﹣1＜x＜4}，若A∩B=B，则实数m的取值范围为[2，3] ．【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】根据A∩B=B，说明B⊆A，建立条件关系即可求实数m的取值范围．【解答】解：∵A∩B=B∴B⊆A∵A={x|m﹣4＜x＜2m}，B={x|﹣1＜x＜4}，∴满足：解得：2≤m≤3，综上所得实数m的取值范围是[2，3]．故答案为[2，3]．5．下列命题：①a＞b⇒c﹣a＜c﹣b；②a＞b，；③a＞b⇒ac2＞bc2；④a3＞b3⇒a＞b，其中正确的命题个数是2．【考点】不等式的基本性质．【分析】根据不等式的性质依次判断可得结论．【解答】解：①a＞b⇒﹣a＜﹣b，∴c﹣a＜c﹣b；不等式两边同时加减同一个数，大小不变．∴①对．②a＞b，，当b＜0时，不成立，②不对．③a＞b⇒ac2＞bc2；当c=0时，不成立，∴③不对．④a3＞b3⇒⇒a＞b，∴④对．正确的是①④．故答案为2．6．不等式的解集为（﹣4，﹣3）∪（1，4）．【考点】其他不等式的解法．【分析】通过因式分解求出不等式的解集即可．【解答】解：∵，∴＜0，解得：﹣4＜x＜﹣3或1＜x＜4，故答案为：（﹣4，﹣3）∪（1，4）．7．函数的定义域是（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，0）．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】由0指数幂的底数不为0，分母中根式内部的代数式大于等于0联立不等式组求解．【解答】解：由，解得x＜0且x≠﹣3．∴函数的定义域是：（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，0）．故答案为：（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，0）．8．若f（x）=ax2+3a是定义在[a2﹣5，a﹣1]上的偶函数，令函数g（x）=f（x）+f（1﹣x），则函数g（x）的定义域为[0，1] ．【考点】函数奇偶性的性质；函数的定义域及其求法．【分析】根据题意和偶函数的性质列出不等式组，求出a的值，可得函数f（x）的定义域，由函数g（x）的解析式列出不等式，求出g（x）的定义域．【解答】解：∵f（x）是定义在[a2﹣5，a﹣1]上的偶函数，∴，解得a=2，则函数f（x）的定义域是[﹣1，1]，由得，0≤x≤1，∴函数g（x）的定义域是[0，1]，故答案为：[0，1]．9．已知函数为R上的单调函数，则实数a的取值范围是[﹣4，1] ．【考点】函数单调性的性质．【分析】根据分段函数在R上的单调函数，y1=2x﹣5是单调递增，也是单调递增，根据勾勾函数的性质求解．【解答】解：函数为R上的单调函数，当x＜1，y1=2x﹣5是单调递增，其最大值小于﹣3，也是单调递增，根据勾勾函数的性质可知：当a＞0时，y2在是单调递增，∵的定义域为{x|x≥1}，∴，解得：0＜a≤1．那么：当x=1时，函数取得小值为1+a．由题意：，即1+a≥﹣3，解得：a≥﹣4．综上可得：1≥a≥﹣4．故得实数a的取值范围是[﹣4，﹣1]．10．函数y=f（x）定义域是D，若对任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）≤f（x2），则称函数f（x）在D上为非减函数，设函数y=f（x）在[0，1]上为非减函数，满足条件：①f（0）=0；②f（）=f（x）；③f（1﹣x）=1﹣f（x）；则f（）+f（）=．【考点】函数单调性的判断与证明．【分析】由已知条件求出，，结合及非减函数概念得f（），则答案可求．【解答】解：由③，令x=0，则f（1）=1﹣f（0）=1，由②，令x=1，则f（）=f（1）=，，，，，，．由③，令x=，则f（）=，，，，，，．∵，∴f（）=．∴f（）+f（）=．故答案为：．二.选择题11．设集合P={m|﹣1＜m≤0}，Q={m|mx2+4mx﹣4＜0对任意x恒成立}，则P 与Q的关系是（）A．P⊆Q B．Q⊆P C．P=Q D．P∩Q=∅【考点】集合的表示法．【分析】首先化简集合Q，mx2+4mx﹣4＜0对任意实数x恒成立，则分两种情况：①m=0时，易知结论是否成立②m＜0时mx2+4mx﹣4=0无根，则由△＜0求得m 的范围．【解答】解：Q={m∈R|mx2+4mx﹣4＜0对任意实数x恒成立}，对m分类：①m=0时，﹣4＜0恒成立；②m＜0时，需△=（4m）2﹣4×m×（﹣4）＜0，解得﹣1＜m＜0．综合①②知m≤0，所以Q={m∈R|﹣1＜m≤0}．因为P={m|﹣1＜m≤0}，所以P=Q．故选：C．12．已知x＞y＞z，且x+y+z=0，下列不等式中成立的是（）A．xy＞yz B．xz＞yz C．xy＞xz D．x|y|＞z|y|【考点】不等关系与不等式．【分析】根据x＞y＞z和x+y+z=0，有3x＞x+y+z=0，3z＜x+y+z=0，从而得到x＞0，z＜0．再不等式的基本性质，可得到结论．【解答】解：∵x＞y＞z∴3x＞x+y+z=0，3z＜x+y+z=0，∴x＞0，z＜0．由得：xy＞xz．故选C13．下列判断中正确的是（）A．是偶函数B．是奇函数C．是偶函数D．是奇函数【考点】函数奇偶性的判断．【分析】根据题意，依次分析选项，对于每一个选项，先求出函数的定义域，再分析f（﹣x）与f（x）的关系，可得函数的奇偶性，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A、，其定义域为{x|x≥0}，不关于原点对称，不具有奇偶性，故A错误；对于B、f（x）=，其定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称，不具有奇偶性，故B错误；对于C、f（x）=，其定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，f（﹣x）===﹣f（x），f（x）为奇函数，故C错误；对于D、函数，其定义域为{x|﹣2≤x≤2}，关于原点对称，则f（x）=﹣，f（﹣x）=﹣=﹣f（x），f（x）为奇函数，故D正确；故选：D．14．设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=x2，若对任意的x ∈[t，t+2]，不等式f（x+t）≥2f（x）恒成立，则实数t的取值范围是（）A．B．[2，+∞）C．（0，2]D．【考点】函数单调性的性质．【分析】2f（x）=f（x），由题意可知f（x）为R上的增函数，故对任意的x ∈[t，t+2]，不等式f（x+t）≥2f（x）恒成立可转化为对任意的x∈[t，t+2]恒成立，此为一次不等式恒成立，解决即可．也可取那个特值排除法．【解答】解：（排除法）当则得，即在时恒成立，而最大值，是当时出现，故的最大值为0，则f（x+t）≥2f（x）恒成立，排除B项，同理再验证t=3时，f（x+t）≥2f（x）恒成立，排除C项，t=﹣1时，f（x+t）≥2f（x）不成立，故排除D项故选A三.解答题15．已知关于x的不等式（kx﹣k2﹣4）（x﹣4）＞0，其中k∈R；（1）当k=4时，求上述不等式的解集；（2）当上述不等式的解集为（﹣5，4）时，求k的值．【考点】一元二次不等式的解法．【分析】（1）k=4时不等式化为（4x﹣16﹣4）（x﹣4）＞0，求出解集即可；（2）不等式的解集为（﹣5，4）时，有，从而求出k的值．【解答】解：（1）关于x的不等式（kx﹣k2﹣4）（x﹣4）＞0，当k=4时，不等式化为（4x﹣16﹣4）（x﹣4）＞0，解得x＜4或x＞5，所以不等式的解集为（﹣∞，4）∪（5，+∞）；（2）当不等式（kx﹣k2﹣4）（x﹣4）＞0的解集为（﹣5，4）时，有，解得k=﹣1或k=﹣4．16．某地区的农产品A第x天（1≤x≤20，x∈N*）的销售价格p=50﹣|x﹣6|（元∕百斤），一农户在第x天（1≤x≤20，x∈N*）农产品A的销售量q=a+|x﹣8|（百斤）（a为常数），且该农户在第7天销售农产品A的销售收入为2009元．（1）求该农户在第10天销售农产品A的销售收入是多少？（2）这20天中该农户在哪一天的销售收入最大？为多少？【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）第7天的销售价格p=50﹣|x﹣6|=50﹣|7﹣6|，销售量q=a+|x﹣8|=a+|7﹣8|，得第7天的销售收入W7=pq=49×（a+1）=2009，可得a的值；从而求得第10天的销售收入W10=p10•q10；（2）若设第x天的销售收入为W x，则W x=pq=（50﹣|x﹣6|）（a+|x﹣8|），去掉绝对值后是分段函数；分别在1≤x≤6时，8≤x≤20时，求得函数W x的最大值，并通过比较得出，第几天该农户的销售收入最大．【解答】解：（1）由已知第7天的销售价格p=50﹣|x﹣6|=50﹣|7﹣6|=49，销售量q=a+|x﹣8|=a+|7﹣8|=a+1．∴第7天的销售收入W7=pq=49×（a+1）=2009（元）．解得，a=40；所以，第10天的销售收入为W10=p10•q10=46×42=1932（元）．（2）设第x天的销售收入为W x，则；当1≤x≤6时，（当且仅当x=2时取等号），∴当x=2时有最大值W2=2116；当8≤x≤20时，（当且仅当x=12时取等号），∴当x=12时有最大值W12=1936；由于W2＞W7＞W12，所以，第2天该农户的销售收入最大．17．已知函数f（x）=|x﹣t|+（x＞0）；（1）判断函数y=f（x）在区间（0，t]上的单调性，并证明；（2）若函数y=f（x）的最小值为与t无关的常数，求实数t的取值范围．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】（1）0＜x≤t，f（x）=t﹣x+，求导数，利用导数小于0，可得结论；（2）分类讨论，要使函数y=f（x）的最小值为与t无关的常数，则t≥，即可求实数t的取值范围．【解答】解：（1）0＜x≤t，f（x）=t﹣x+，∴f′（x）=﹣1﹣＜0，∴函数y=f（x）在区间（0，t]上单调递减；（2）t≤0，f（x）=x+t+，函数单调递增，无最小值，t＞0时，x＞t，f（x）=x+﹣t，要使函数y=f（x）的最小值为与t无关的常数，则t≥，∴0＜t≤1，最小值为1．18．已知函数f（x）=x2﹣（a﹣2）x+a﹣4；（1）若函数y=f（x）在区间[1，2]上的最小值为4﹣a，求实数a的取值范围；（2）是否存在整数m，n，使得关于x的不等式m≤f（x）≤n的解集恰好为[m，n]，若存在，求出m，n的值，若不存在，请说明理由．【考点】二次函数的性质．【分析】（1）函数f（x）=x2﹣（a﹣2）x+a﹣4的对称轴为x=，①当≤1，即a≤4时，f（x）min=f（1）=1﹣（a﹣2）+a﹣4=﹣1=4﹣a⇒a=5，不满足a≤4，②当≥2，即a≥6时，f（x）min=f（2）=2﹣2（a﹣2）+a﹣4=4﹣a=4﹣a⇒a ∈R⇒a≥6符合题意．③1＜＜2，即4＜a＜6时，f（x）min=f（）==4﹣a⇒a=6⇒a∈∅综上：实数a的取值范围；a≥6．（2）假设存在整数m，n，使得关于x的不等式m≤f（x）≤n的解集恰好为[m，n]，即m≤x2﹣（a﹣2）x+a﹣4≤n的解集为{x|m≤x≤n}．可得f（m）=m，f （n）=n．即x2﹣（a﹣2）x+a﹣4=x的两个实数根为m，n．即可得出．m+n=a﹣1，mn=a ﹣4⇒m+n=mn+3⇒m（1﹣n）=3﹣n，当n=1时，m不存在，舍去，当n≠1时，m=⇒m=﹣1，n=2或m=0，n=3存在整数m，n，m=﹣1，n=2或m=0，n=3，使得关于x的不等式m≤f（x）≤n 的解集恰好为[m，n]【解答】解：（1）函数f（x）=x2﹣（a﹣2）x+a﹣4的对称轴为x=，①当≤1，即a≤4时，f（x）min=f（1）=1﹣（a﹣2）+a﹣4=﹣1=4﹣a⇒a=5，不满足a≤4，②当≥2，即a≥6时，f（x）min=f（2）=2﹣2（a﹣2）+a﹣4=4﹣a=4﹣a⇒a ∈R⇒a≥6符合题意．③1＜＜2，即4＜a＜6时，f（x）min=f（）==4﹣a⇒a=6⇒a∈∅综上：实数a的取值范围；a≥6．（2）假设存在整数m，n，使得关于x的不等式m≤f（x）≤n的解集恰好为[m，n]，即m≤x2﹣（a﹣2）x+a﹣4≤n的解集为{x|m≤x≤n}．可得f（m）=m，f （n）=n．即x2﹣（a﹣2）x+a﹣4=x的两个实数根为m，n．即可得出．m+n=a﹣1，mn=a ﹣4⇒m+n=mn+3⇒m（1﹣n）=3﹣n，当n=1时，m不存在，舍去，当n≠1时，m=⇒m=﹣1，n=2或m=0，n=3存在整数m，n，m=﹣1，n=2或m=0，n=3，使得关于x的不等式m≤f（x）≤n的解集恰好为[m，n]2017年1月17日。
2021-2022学年上海市浦东新区华东师大二附中高一上学期期中数学复习卷(含解析)
2021-2022学年上海市浦东新区华东师大二附中高一上学期期中数学复习卷一、单选题（本大题共4小题，共12.0分）1.已知全集U=R，集合A={x|x2−1<0}，B={y|y=√x}则A∩(∁U B)=()A. (−1,0)B. (−1,0]C. (0,1)D. [0,1)2.四个命题：①若x2=1则x=1的否命题是若x2≠1则x≠±1；②x=−1是x2−5x−6=0的必要不充分条件；③存在x∈R，使x2+x+1<0的否定是对任意x∈R，都有x2+x+1>0；④若sinα=sinβ，则α=β的否命题为真命题，其中正确命题的个数为()A. 0B. 1C. 2D. 33.设a，b，c都是非零实数，则关于a，bc，ac，−b四个数，有以下说法：①四个数可能都是正数；②四个数可能都是负数；③四个数中既有正数又有负数．则说法中正确的个数有()A. 0B. 1C. 2D. 34. 若a，b，c∈C(C为复数集)，则(a−b)2+(b−c)2=0是a=b=c的()A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件二、单空题（本大题共10小题，共30.0分）5. 设集合A={x|−1≤x≤2}，B={x|x2−4x>0,x∈z}，则A∩(∁R B)=______ ．6. 14.不等式的解集为__________7. 已知全集U=R，集合A=[−4,1]，B=(0,3)，则图中阴影部分所表示的集合为______ ．8. 不等式|x−1|+|x−2|≤5的解集为______ ．9. 已知f(x)=|x|+|x−1|，若函数g(x)=f(x)−a有零点，则实数a的最小值为______．10. 用集合的描述法表示：除(3,4)这个点之外，坐标平面上的所有点组成的集合______．11. 已知x≥52，则f(x)=x2−4x+52x−4的最小值为______．12. 定义一种运算(a,b)∗(c,d)=ad−bc，若函数f(x)=(1,log3x)∗(tan13π4,12x)，则使不等式8f(2m−1)+7>0成立的m的取值范围是______．13. 已知集合A={−1,2，3，6}，B={x|−2<x<3}，则A∩B=______ ．14. 已知正数x，y满足x+4y+1x +1y=10，则1x+1y的取值范围是______ ．三、解答题（本大题共4小题，共48.0分）15. 已知无穷集合A，B，且A⊆N，B⊆N，记A+B={a+b|a∈A,b∈B}，定义：满足N∗⊆(A+B)时，则称集合A，B互为“完美加法补集”．(Ⅰ)已知集合A={a|a=2m+1,m∈N}，B={b|b=2n,n∈N}.判断2019和2020是否属于集合A+ B，并说明理由；(Ⅱ)设集合A={x|x=ε0+ε2×22+ε4×24+⋯+ε2i×22i+⋯+ε2s×22s,ε2i=0,1；i=0，1，…，s，s∈N}，B={x|x=ε1×21+ε3×23+⋯+ε2i−1×22i−1+⋯+ε2s−1×22s−1,ε2i−1=0,1；i=1，…，s，s∈N∗}.(ⅰ)求证：集合A，B互为“完美加法补集”；(ⅰ)记A(n)和B(n)分别表示集合A，B中不大于n(n∈N∗)的元素个数，写出满足A(n)B(n)=n+1的元素n的集合．(只需写出结果，不需要证明)16. 掷一枚骰子，给出下列事件：A=“出现奇数点”，B=“出现偶数点”，C=“出现的点数小于3”.求：(1)A⋂B，B⋂C；(2)A⋃B，B⋃C．17. 销售甲、乙两种商品所得利润分别为P(单位：万元)和Q(单位：万元)，它们与投入资金m(单位：万元)的关系有经验公式P=15m，P=15m，Q=35√m.今将3万元资金投入经营甲、乙两种商品，其中对甲种商品投资x(单位：万元)(1)试建立总利润y(单位：万元)关于x的函数关系式，并指明函数定义域；(2)如何投资经营甲、乙两种商品，才能使得总利润最大．18. 已知函数f(x)=e2x，g(x)=11−x(x2−ax−2xsinx+1)，x∈[−1,0]．(Ⅰ)求证：1+x1−x ≤f(x)≤1(1−x)2；(Ⅱ)若∀x∈[−1,0]，使得f(x)≥g(x)恒成立，求实数a取值范围．【答案与解析】1.答案：A解析：试题分析：利用对数不等式，求出集合A中不等式的解集，确定出集合A，利用根式函数的性质求出集合B中函数的值域，确定出集合B，由全集U=R，求出B的补集，找出A与B补集的公共部分，即可确定出所求的集合．由集合A中的x2−1<0，得到−1<x<1，∴A={x|−1<x<1}，由集合B中的函数y=√x，得到y≥0，∴B={y|y≥0}，由全集U=R，∴∁U B={y|y<0}，则A∩(∁U B)={x|−1<x<0}=(−1,0)．故选A．2.答案：C解析：解：①命题“若x2=1，则x=1”的否命题是：“若x2≠1，则x≠±1”，∴①正确；②∵当x=−1时，等式x2−5x−6=0成立，∴充分性成立，当x2−5x−6=0时，解得x=−1，或x=6，必要性不成立；∴“x=−1”是“x2−5x−6=0的充分不必要条件；∴②错误；③命题“存在x∈R，x2+x+1<0”的否定是“对任意x∈R，x2+x+1≥0”，∴③错误；④若sinα=sinβ，则α=β的否命题为“若sinα≠sinβ，则α≠β”是真命题；∴④正确．所以，正确的命题有2个；故选：c．①命题“若p，则q”的否命题是“若￢p，则￢q”，由此判断正误；②判断充分性是否成立，再判定必要性是否成立，即得结论；③特称命题“存在x∈R，p(x)”的否定是“对任意x∈R，￢p(x)”，由此判断正误；④命题与它的逆否命题真假性相同，通过判定原命题的真假即可．本题考查了命题真假的判断与应用问题，是基础题3.答案：B解析：解：a，b，c都是非零实数，则关于a，bc，ac，−b四个数，若四个数可能都是正数，可得a>0，bc>0，ac>0，−b>0，即有b<0，c<0，a<0，与a>0矛盾，则①错误；若四个数可能都是负数，可得a<0，bc<0，ac<0，−b<0，即有b>0，c<0，a>0，与a<0矛盾，则②错误；由①②可得③四个数中既有正数又有负数正确．故选：B．由不等式性质，结合四个数可能都是正数、四个数可能都是负数，推理即可判断①②；进而判断③．本题考查不等式的性质和运用，考查反证法思想，以及推理能力，属于基础题．4.答案：C解析：解：若a=b=c，则(a−b)2+(b−c)2=0成立，若b=0，a=1，c=i时，满足(a−b)2+(b−c)2=1+i2=1−1=0，但a=b=c不成立，故(a−b)2+(b−c)2=0是a=b=c的必要不充分条件，故选：C．根据复数的有关运算，以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用复数的有关运算是解决本题的关键．5.答案：{0,1，2}解析：解：由题意B={x|x2−4x>0,x∈z}={x|x<0或x>4，x∈z}，故∁R B={x|0≤x≤4,x∈z}={0,1，2，3，4}，又集合A={x|−1≤x≤2}，∴A∩(∁R B)={0,1，2}．故答案为：{0,1，2}．由题意，可先解绝对值不等式和一元二次不等式，化简集合B，再求出B的补集，再由交的运算规则解出A∩(∁R B)即可得出正确选项．本题考查交、并、补的混合运算，属于集合中的基本计算题，熟练掌握运算规则是解解题的关键．6.答案：解析：本题考查指数函数的性质和不等式的解法。
2024-2025学年华东师大二附中高一数学上学期期中考试卷及答案解析
上海市华东师范大学第二附属中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷1. 用Î或Ï填空：0______f .【答案】Ï【解析】【分析】空集中没有任何元素．【详解】由于空集不含任何元素，∴0ÏÆ．故答案为Ï．【点睛】本题考查元素与集合的关系，关键是掌握空集的概念．2. 实数a ，b 满足31a -££，13b -££，则3a b -的取值范围是________．【答案】[]12,4-【解析】【分析】根据题意利用不等式的性质运算求解.【详解】因为31a -££，13b -££，则933a -££，31b -£-£，可得1234a b -£-£，所以3a b -的取值范围是[]12,4-.故答案为：[]12,4-.3. 若全集{}2,3,5U =，{}2,5A a =-，{}5A =，则a 的值是______．【答案】2或8【解析】【分析】由53a -=即可求解.【详解】因为{}2,3,5U =，{}2,5A a =-，且{}5A =，所以53a -=，解得2a =或8a =.故答案为：2或8.4. 命题“1x >”是命题“11x<”的______条件.【答案】充分不必要【解析】【分析】解出不等式11x<，根据真子集关系即可【详解】11x <，即10x x -<，即()10x x -<，即()10x x -<，解得1x >或0x <，则“1x >”能推出“1x >或0x <”，而“1x >或0x <”不能推出 “1x >”，故命题“1x >”是命题“11x<”的充分不必要条件.故答案为：充分不必要.5. 已知0x >，则812x x --的最大值为_____________.【答案】7-【解析】【分析】利用基本不等式求解即可.【详解】因为0x >，所以828x x +³=，当82x x=，即2x =时等号成立，所以881212187x x x x æö--=-+£-=-ç÷èø，即812x x--的最大值为7-，故答案为：7-.6. 已知(21)y f x =+定义域为(1,3]，则(1)y f x =+的定义域为__________．【答案】(2,6]【解析】【分析】根据3217x <+£可得317x <+£，即可求解.【详解】由于(21)y f x =+定义域为(1,3]，故3217x <+£，因此(1)y f x =+的定义域需满足317x <+£，解得26x <£，故(1)y f x =+的定义域为(2,6]，故答案为：(2,6]7. 已知关于x 的不等式210ax bx ++<的解集为11,43æöç÷èø，则a b +=______．【答案】5【解析】【分析】由题意得11,43是方程210ax bx ++=的两个根，由根与系数的关系求出,a b 即可.【详解】由题意可知，11,43是方程210ax bx ++=的两个根，且0a >，由根与系数的关系得1134b a +=-且11134a´=，解得12,7a b ==-，则5a b +=.故答案为：58. 设1x 、2x 是关于x 的方程22242320x mx m m -++-=的两个实数根，则2212x x +的最小值为______.【答案】89【解析】【分析】根据1x 、2x 是关于x 的方程22242320x mx m m -++-=的两个实数根，由Δ≥0，解得 23m £，然后由()2212121222x x x x x x ++×=- ，将韦达定理代入，利用二次函数的性质就.【详解】因为1x 、2x 是关于x 的方程22242320x mx m m -++-=的两个实数根，所以()()22482320m m m D =-+-³，解得 23m £，所以112222322,2x x x x m m m +=×-=+，则 ()2212121222x x x x x x ++×=- ，()22232222m m m +-=-´， 2232m m =-+， 237248m æö=-+ç÷èø，所以2212x x +的最小值为2237823489æö-+=ç÷èø，故答案为：899. 若函数()f x 满足R x "Î，()()11f x f x +=-，且1x "，[)21,x Î+¥，()()()1212120f x f x x x x x ->¹-，若()()1f m f >-，则m 的取值范围是______.【答案】()(),13,-¥-È+¥【解析】【分析】由题意，()f x 在[)1,+¥上单调递增，函数图像关于1x =对称，利用单调性和对称性解不等式.【详解】因为1x "，[)21,x Î+¥，()()()1212120f x f x x x x x ->¹-，所以()f x 在[)1,+¥上单调递增，R x "Î，()()11f x f x +=-，则函数图像关于1x =对称，若()()1f m f >-，则111m ->--，解得3m >或1m <-.所以m 的取值范围是()(),13,-¥-È+¥.故答案为：()(),13,-¥-È+¥.10. 已知{}{}22230,210,0A x x x B x x ax a =+->=--£>，若A B Ç中恰含有一个整数，则实数a 的取值范围是______．【答案】【解析】【详解】试题分析：由题意，得{}{}223013A x x x x x x =+-=<-或，{}{2210,0=|B x x ax a x a x a =--£££+；因为，所以若A B Ç中恰含有一个整数，则{}2A B Ç=，则，即，两边平方，得，解得，即实数的取值范围为；故填．考点：1．集合的运算；2．一元二次不等式的解法．11. 已知函数()3(1)1f x x =-+，且()()22(1,0)f a f b a b +=>->，则121a b ++的最小值是________.【答案】2【解析】【分析】利用()3(1)1f x x =-+，单调性与对称性，可知，若有()()2f m f n +=，则必有2m n +=成立.再利用基本不等式求121a b ++的最小值即可.【详解】∵3y x =在R 为单调递增奇函数，∴3y x =有且仅有一个对称中心()0,0，∴()3(1)1f x x =-+单调递增，有且仅有一个对称中心()1,1，又∵()()22(1,0)f a f b a b +=>->，∴22a b +=，则()214a b ++=，∴()1211221141a b a b a b æö+=+++éùç÷ëû++èø()411441a b a b +éù=++êú+ë1424é³+=êêë，当且仅当()411a b a b+=+即0,2a b ==时，等号成立，∴121a b++的最小值是2.故答案为：2.12. 如图，线段,AD BC 相交于O ，且,,,AB AD BC CD 长度构成集合{}1,5,9,x，90ABO DCO Ð=Ð=°，则x 的取值个数为________.【答案】6【解析】【分析】画出等效图形，分9AD =和x 两种情况由勾股定理求出对应x 值即可；的【详解】如图，因为90ABO DCO Ð=Ð=°，且,,,AB AD BC CD 长度构成集合{}1,5,9,x ，因为直角三角形ADE 中，斜边AD 一定大于直角边AE 和DE ，所以9AD =或x ，当9AD =时，可分为AE x =，此时由勾股定理可得()222159x ++=，解得x =CE x =，此时由勾股定理可得()222159x ++=，解得5x =；CD x =，此时由勾股定理可得()222519x ++=，解得1x =；当AD x =，可分为()222915x ++=，解得x =()222195x ++=，解得x =；()222519x ++=，解得x =所以x 的取值个数为6，故答案为：6.【点睛】关键点点睛：本题的关键是能够画出等效图形再结合勾股定理解答.13. 下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）A. 2(),()x f x x g x x== B. ()(),()()f x x x R g x x x Z =Î=ÎC. ,0(),(),0x x f x x g x x x ³ì==í-<î D. 2(),()f x x g x ==【答案】C【解析】【分析】分别求得函数的定义域和对应法则，结合同一函数的判定方法，逐项判定，即可求解.【详解】对于A 中，函数()f x x =的定义域为R ，函数2()x g x x=的定义域为(,0)(0,)-¥+¥U ，两函数的定义域不同，不是同一函数；对于B 中，函数()()f x x x R =Î和()()g x x x Z =Î的定义域不同，不是同一函数；对于C 中，函数,0(),0x x f x x x x ³ì==í-<î与,0(),0x x g x x x ³ì=í-<î定义域相同，对应法则也相同，所以是同一函数；对于D 中，函数()f x x =定义域为R，2()g x =的定义域为[0,)+¥，两函数的定义域不同，不是同一函数.故选：C.【点睛】本题主要考查了同一函数的判定，其中解答中熟记两函数是同一函数的判定方法是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.14. 设集合A ＝{x |x ＝12m ，m ∈N *}，若x 1∈A ，x 2∈A ，则（ ）A. (x 1+x 2)∈AB. (x 1﹣x 2)∈AC. (x 1x 2)∈AD. 12x x ∈A 【答案】C【解析】【分析】利用元素与集合的关系的进行判定.【详解】设112p x =，212q x =， 则12111222p q p qx x +=×=，因为p 、*N q Î，所以*N p q +Î，则x 1x 2∈A ，故选：C ．15. 如图1，小球从左侧的斜坡滚下，到达底端后又沿着右侧斜坡向上滚在这个过程中，小球的运动速度v （m /s ）与运动时间t （s ）的函数图象如图②，则该小球的运动路程y （m ）与运动时间t （s ）之间的函数图象大致是（ ）的的A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意结合图象分析即可.【详解】由题意，小球是匀变速运动，所以图象是先缓后陡，在右侧上升时，先陡后缓.故选：C.16. 设集合A 是集合*N 的子集，对于*i ÎN ，定义1,()0,i i A A i A j Îì=íÏî，给出下列三个结论：①存在*N 的两个不同子集,A B ，使得任意*i ÎN 都满足()0i A B j =I 且()1i A B j =U ；②任取*N 的两个不同子集,A B ，对任意*i ÎN 都有()i A B j =I ()i A j g ()i B j ；③任取*N 的两个不同子集,A B ，对任意*i ÎN 都有()i A B j =U ()+i A j ()i B j ；其中，所有正确结论的序号是（ ）A. ①②B. ②③C. ①③D. ①②③【答案】A【解析】【分析】根据题目中给的新定义，对于*,0i i N A j Î=（）或1，可逐一对命题进行判断，举实例例证明存在性命题是真命题，举反例可证明全称命题是假命题．【详解】∵对于*i ÎN ，定义1,()0,i i A A i A j Îì=íÏî，∴对于①，例如集合A 是正奇数集合，B 是正偶数集合，,*A B A B N \=Æ=I U ，()()01i i A B A B j j \==I U ;，故①正确；对于②，若()0i A B j =I ，则()i A B ÏI ，则i A Î且i B Ï，或i B Î且i A Ï，或i A Ï且i B Ï；()()0i i A B j j \×=；若()1i A B j =I ，则()i A B ÎI ，则i A Î且i B Î； ()()1i i A B j j \×=；∴任取*N 的两个不同子集,A B ，对任意*i ÎN 都有()i i A B A i B j j j =×I （）（）；正确，故②正确；对于③，例如：{}{}{}1232341234A B A B ===U ,,,,,,,,,，当2i =时，1i A B j =U （）；()()1,1i i A B j j ==；()()()i i i A B A B j j j \¹+U ； 故③错误；∴所有正确结论的序号是：①②； 故选：A ．【点睛】本题考查了简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17. 已知关于x 的不等式122x a -£的解集为集合A ，40x B x x ìü-=£íýîþ.（1）若x A Î是x B Î的必要不充分条件，求a 的取值范围.（2）若A B =ÆI ，求a 的取值范围.【答案】（1）[]0,2（2）(](),24,-¥-+¥U 【解析】分析】（1）首先解不等式求出集合A 、B ，依题意B 真包含于A ，即可得到不等式组，解得即可；（2）首先判断A ¹Æ，即可得到240a +£或244a ->，解得即可.【小问1详解】由122x a -£，即1222x a -£-£，解得2424a x a -££+，所以{}2424|A x x a a -=££+，由40x x -£，等价于()400x x x ì-£í¹î，解得04x <£，所以{}40|04x B x x x x ìü-=£=<£íýîþ，【因为x A Î是x B Î的必要不充分条件，所以B 真包含于A ，所以244240a a +³ìí-£î，解得02a ££，即a 的取值范围为[]0,2；【小问2详解】因为A B =ÆI ，显然A ¹Æ，所以240a +£或244a ->，解得2a £-或4a >，即a 的取值范围为(](),24,-¥-+¥U .18. 已知函数()211y m x mx =+-+．（1）当5m =时，求不等式0y >的解集；（2）若不等式0y >的解集为R ，求实数m 的取值范围．【答案】（1）{13x x <或x >（2）(22-+【解析】【分析】（1）根据题意易得26510x x -+>，因式分解后利用口诀“大于取两边，小于取中间”即可得解；（2）由题意易得()2110m x mx +-+>的解集为R ，分类讨论1m =-与1m ¹-两种情况，结合二次函数的图像性质即可得解.【小问1详解】根据题意，得2651y x x =-+，由0y >得26510x x -+>，即()()31210x x -->，解得：13x <或12x >，故不等式0y >的解集为{13x x <或x >【小问2详解】由题意得，()2110m x mx +-+>的解集为R ，当1m =-时，不等式可化为10x +>，解得1x >-，即()2110m x mx +-+>的解集为()1,-+¥，不符合题意，舍去；当1m ¹-时，在()211y m x mx =+-+开口向上，且与x 轴没有交点时，()2110m x mx +-+>的解集为R ，所以()210Δ410m m m +>ìí=-+<î，解得22m m >ìïí-<<+ïî22m -<<+，综上：22m -<<+，故实数m的取值范围为(22-+.19. 某化工企业生产过程中不慎污水泄漏，污染了附近水源，政府责成环保部门迅速开展治污行动，根据有关部门试验分析，建议向水源投放治污试剂，已知每投放a 个单位（04a <£且R a Î）的治污试剂，它在水中释放的浓度y （克/升）随着时间x （天）变化的函数关系式近似为()y af x =，其中()[](]1,0,5711,5,112xx xf x x x +ìÎïï-=í-ïÎïî，若多次投放，则某一时刻水中的治污试剂浓度为每次投放的治污试剂在相应时刻所释放的浓度之和，根据试验，当水中治污试剂的浓度不低于4（克/升）时，它才能治污有效．（1）若只投放一次4个单位的治污试剂，则有效时间最多可能持续几天？（2）若先投放2个单位的治污试剂，6天后再投放m 个单位的治污试剂，要使接下来的5天中，治污试剂能够持续有效，试求m 的最小值．【答案】（1）7天； （2）min 2m =.【解析】【分析】（1）根据给定的函数模型求投放一次4个单位的治污试剂的有效时间即可；（2）由题设()5=11413x g x x m x --+׳-，将问题化为()()1375x x m x --³-在[6,11]x Î上恒成立，利用基本不等式求右侧最大值，即可得求参数最小值.【小问1详解】因为一次投放4个单位的治污试剂，所以水中释放的治污试剂浓度为()44,0547222,511xx y f x x x x +죣ï==-íï-<£î，当05x ££时，()4147x x+³-，解得35x ££；当511x ££时，2224x -³，解得59x ££；综上，39x ££，故一次投放4个单位的治污试剂，则有效时间可持续7天．【小问2详解】设从第一次投放起，经过()611x x ££天后浓度为()()()16511[]117613x x g x x m x m x x+--=-+=-+×---．因为611x ££，则130x ->，50x ->，所以511413x x m x --+׳-，即()()1375x x m x --³-，令5x t -=，[]1,6t Î，所以()()281610t t m t tt --æö³-=-+ç÷èø，因为168t t+³=，所以2m ≥，当且仅当16t t =，4t =即9x =时等号成立，故为使接下来的5天中能够持续有效m 的最小值为2.20. 对于函数()f x ，若存在0R x Î，使()00f x x =成立，则称0x 为()f x 的不动点.（1）求函数23y x x =--不动点；（2）若函数()221y x a x =-++有两个不相等的不动点1x 、2x ，求1221x x x x +的取值范围；（3）若函数()()211g x mx m x m =-+++在区间(0,2)上有唯一的不动点，求实数m 的取值范围.【答案】（1）1-和3. （2）()2,+¥（3）(]1,1-U .【解析】【分析】（1）解方程23x x x --=，即可求出不动点；（2）由题意，方程()2310x a x -++=有两个不相等的实数根1x 、2x ，由0D >即可求出a 的范围，结合韦达定理和二次函数图象性质即可求出1221x x x x +的范围；的（3）由题意，()2210mx m x m -+++=在(0,2)上有且只有一个解，令()()221h x mx m x m =-+++，分()()020h h ×<，()00h =，()20h =和0D =四种情况进行讨论即可.【小问1详解】由题意知23x x x --=，即2230x x --=，则()()310x x -+=，解得11x =-，23x =，所以不动点为1-和3.【小问2详解】依题意，()221x a x x -++=有两个不相等的实1x 数根1x 、2x ，即方程()2310x a x -++=有两个不相等的实数根1x 、2x ，所以()22Δ34650a a a =+-=++>，解得5a <-，或1>-a ，且123x x a +=+，121x x =，所以()()2222121212122112232x x x x x x x x a x x x x ++==+-=+-，因为函数()232y x =+-对称轴为3x =-当3x <-时，y 随x 的增大而减小，若5x <-，则2y >；当3x >-时，y 随x 的增大而增大，若1x >-，则2y >；故()()2322,a ¥+-Î+，所以1221x x x x +的取值范围为()2,¥+.【小问3详解】由()()211g x mx m x m x =-+++=，得()2210mx m x m -+++=，由于函数()g x 在(0,2)上有且只有一个不动点，即()2210mx m x m -+++=在(0,2)上有且只有一个解，令()()221h x mx m x m =-+++，①()()020h h ×<，则()()110m m +-<，解得11m -<<；②()00h =，即1m =-时，方程可化为20x x --=，另一个根为1-，不符合题意，舍去；③()20h =，即1m =时，方程可化为2320x x -+=，另一个根为1，满足；④0D =，即()()22410m m m +-+=，解得m =（ⅰ）当m =时，方程的根为()2222m m x m m -++=-==（ⅱ）当m =()2222m m x m m -++=-==，不符合题意，舍去；综上，m 的取值范围是(]1,1-È.21. 对任意正整数n ，记集合(){1212,,,,,,n nnA a a a a a a=××××××均为非负整数，且}12n a a a n ++×××+=，集合(){1212,,,,,,n nnB b b b b b b =××××××均为非负整数，且}122n b b b n ++×××+=．设()12,,,n n a a a A a =×××Î，()12,,,n n b b b B b =×××Î，若对任意{}1,2,,i n Î×××都有i i a b £，则记a b p ．（1）写出集合2A 和2B ；（2）证明：对任意n A a Î，存在n B b Î，使得a b p ；（3）设集合(){},,,n nnS A B a b a b a b =ÎÎp 求证：nS中的元素个数是完全平方数．【答案】（1）()()(){}20,2,1,1,2,0A =，()()()()(){}20,4,1,3,2,2,3,1,4,0B =（2）证明见解析 （3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据集合n A 与n B 的公式，写出集合和即可；（2）任取()12,,,n n a a a A a =×××Î，设()11,2,3,,i i b a i n =+=×××，令()12,,,n b b b b =×××，只需证明n B b Î，即可证明结论成立；（3）任取()12,,,n n a a a A a =×××Î，()12,,,n n a a a A a =×עע΢¢，可证明n B a a +¢Î，且a a a +¢p ，a a a ¢+¢p ，再设集合n A 中的元素个数为t ，设{}12,,,n t A a a a =×××，设集合(){},1,2,,,1,2,,n i i j T i t j t a a a =+=×××=×××，通过证明n n T S Í，n n S T Í，推出n n S T =，即可完成证明．【小问1详解】()()(){}20,2,1,1,2,0A =，()()()()(){}20,4,1,3,2,2,3,1,4,0B =．【小问2详解】对任意()12,,,n n a a a A a =×××Î，设()11,2,3,,i i b a i n =+=×××，则12,,,n b b b ×××均为非负整数，且()1,2,3,,i i a b i n £=×××．令()12,,,n b b b b =×××，则12n b b b ++×××+()()()12111n a a a =++++×××++()12n a a a n=++×××++2n =，所以n B b Î，且a b p ．【小问3详解】对任意()12,,,n n a a a A a =×××Î，()12,,,n n a a a A a =×עע΢¢，记()1122,,,n n a a a a a a a a +=++×××¢+¢¢¢，则11a a ¢+，22a a ¢+，…，n n a a ¢+均为非负整数，且()()()1122n n a a a a a a ++++×××++¢¢¢()()1212n n a a a a a a ¢=++×××++++××+¢×¢n n =+2n =，所以n B a a +¢Î，且a a a +¢p ，a a a ¢+¢p ．设集合n A 中的元素个数为t ，设{}12,,,n t A a a a =×××．设集合(){},1,2,,,1,2,,n iijT i t j t a a a =+=×××=×××．对任意i n A a Î(1,2,,)i t =×××，都有1i a a +，2i a a +，…，i t n B a a +Î，且i i j a a a +p ，1,2,,j t =×××．所以n n T S Í．若(),n S a b Î，其中()12,,,n n a a a A a =×××Î，()12,,,n n b b b B b =×××Î，设i i i c b a =-()1,2,,i n =×××，因为i i a b £，所以0i i i c b a =-³，记()12,,,n c c c a =×××¢，则12n c c c +++L ()()()1122n n b a b a b a =-+-+-L ()()1212n n b b b a a a =++×××+-++×××+2n n n =-=，所以n A a ¢Î，并且有b a a =+¢，所以(),n T a b Î，所以n n S T Í．所以n n S T =．因为集合n T 中的元素个数为2t ，所以n S 中的元素个数为2t ，是完全平方数．【点睛】关键点点睛：集合元素的个数转换为证明两个集合相等.。
上海市华东师范大学第二附属中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题
7．
1 2
a
+
b
【分析】先根据指数式与对数式的互化求出 a ，再根据对数的运算性质计算即可.
【详解】由
æ çè
1 7
öa ÷ø
=
1 3
，得 a
=
log 1
7
1 3
=
log7
3
，
则 log49
48
=
1 2
log7
48
=
1 2
(log7
3+
log7
16)
=
1 2
(log7
3
+
2 log7
4)
=
1 2
a
+
角三角形且 GH = 2EF ），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为 36000cm2 ．为了美
观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为 10cm，设 EF = xcm ．
(1)当 x = 100cm 时，求海报纸的面积； (2)为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形 ABCD 的面积最 小）？
f
(x)
=
x ax + b
(a
¹
0)
的图象过点 (-4,4)
，且关于直线
y
=
-x
成轴对称图形，
则a+b= ．
试卷第11 页，共33 页
10．不等式 ( x
+
)2
-
3 5
<
(5-
) 2x
-
3 5
的解集为
．
11．设 a Î R ，若对任意实数 x 不等式 éëx2 + (a + 2) x +1ùû éë(3 - 2a) x2 + 5x + (3 - 2a)ùû ³ 0