北京101中学初三数学期末考试_人教版
北京市海淀区一零一中学2022-2023学年数学九年级第一学期期末考试试题含解析
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题（每题4分，共48分）1．如图是半径为2的⊙O 的内接正六边形ABCDEF ，则圆心O 到边AB 的距离是（ ）A ．2B ．1C ．3D ．322．正比例函数y ＝2x 和反比例函数2y x=的一个交点为（1，2），则另一个交点为（ ） A ．（﹣1，﹣2）B ．（﹣2，﹣1）C ．（1，2）D ．（2，1）3．如图，在ABC ∆中，,A B 两个顶点在x 轴的上方，点C 的坐标是()1,0- .以点C 为位似中心，在x 轴的下方作ABC ∆的位似，图形A B C ∆''，使得A B C ∆''的边长是ABC ∆的边长的2倍.设点B 的横坐标是-3，则点B '的横坐标是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．54．如图，矩形OABC 的顶点A 、C 分别在x 、y 轴上，反比例函数y ＝kx（x ＞0）的图象经过矩形OABC 对角线的交点M ，分别交AB 、BC 于点D 、E ．若四边形ODBE 的面积为9，则k 的值为（ ）A ．2B ．52C ．3D ．925．袋子中装有4个黑球和2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从袋子中摸出三个球．下列事件是必然事件的是（ ） A ．摸出的三个球中至少有一个球是黑球 B ．摸出的三个球中至少有一个球是白球 C ．摸出的三个球中至少有两个球是黑球 D ．摸出的三个球中至少有两个球是白球 6．如果53a b b -=，那么a bb+的值等于（ ） A ．85 B ．115C ．83D ．1137．将二次函数246y x x =-+化成顶点式，变形正确的是：（ ）A ．2(2)2y x =-+B ．2(2)2y x =++C ．2(2)2y x =+-D ．2(2)2y x =--8．现有两个不透明的袋子，一个装有2个红球、1个白球，另一个装有1个黄球、2个红球，这些球除颜色外完全相同从两个袋子中各随机摸出1个球，摸出的两个球颜色相同的概率是（ ） A ．13B ．23C ．49D ．599．已知点11(,)A x y ，22(,)B x y 在双曲线8y x=上.如果12x x <，而且120x x ⋅>，则以下不等式一定成立的是( ) A ．120y y +> B ．120y y ->C ．120y y ⋅<D ．120y y < 10．如图，在ABCD 中，E 为CD 上一点，已知S △DEF : S △ABF =4: 25，则DE ：EC 为（ ）A ．4：5B ．4：25C ．2：3D ．3：211．一个盒子里装有若干个红球和白球，每个球除颜色以外都相同．5位同学进行摸球游戏，每位同学摸10次（摸出1球后放回，摇匀后再继续摸），其中摸到红球数依次为8，5，9，7，6，则估计盒中红球和白球的个数是（ ）A ．红球比白球多B ．白球比红球多C ．红球，白球一样多D ．无法估计12．抛物线y ＝2(x ﹣2)2﹣1的顶点坐标是( ) A ．(0，﹣1)B ．(﹣2，﹣1)C ．(2，﹣1)D ．(0，1)二、填空题（每题4分，共24分）13．已知抛物线2y x c =+，过点（0，2），则c ＝__________．14．小明家的客厅有一张直径为1.2米，高0.8米的圆桌BC ，在距地面2米的A 处有一盏灯，圆桌的影子为DE ，依据题意建立平面直角坐标系，其中D 点坐标为（2,0），则点E 的坐标是_____．15．如图，有一菱形纸片ABCD ，∠A ＝60°，将该菱形纸片折叠，使点A 恰好与CD 的中点E 重合，折痕为FG ，点F 、G 分别在边AB 、AD 上，联结EF ，那么cos ∠EFB 的值为____．16．如图，正方形ABEF 与正方形BCDE 有一边重合，那么正方形BCDE 可以看成是由正方形ABEF 绕点O 旋转得到的，则图中点O 的位置为_____．17．如图所示的点阵中，相邻的四个点构成正方形，小球只在矩形ABCD 内自由滚动时，则小球停留在阴影区域的概率为___________.18．若分式293x x --的值为0，则x 的值为_______.三、解答题（共78分）19．（8分）济南国际滑雪自建成以来，吸引大批滑雪爱好者，一滑雪者从山坡滑下，测得滑行距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间的关系可以近似的用二次函数来表示．滑行时间x/s 0 1 2 3 …滑行距离y/m 0 4 12 24 …（1）根据表中数据求出二次函数的表达式．现测量出滑雪者的出发点与终点的距离大约840m，他需要多少时间才能到达终点？（2）将得到的二次函数图象补充完整后，向左平移2个单位，再向下平移5个单位，求平移后的函数表达式．20．（8分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是线段AB上一点（0＜AD＜12AB）．过点B作BE⊥CD，垂足为E．将线段CE绕点C逆时针旋转90°，得到线段CF，连接AF，EF．设∠BCE的度数为α．（1）①依题意补全图形．②若α＝60°，则∠CAF＝_____°；EFAB＝_____；（2）用含α的式子表示EF与AB之间的数量关系，并证明．21．（8分）已知二次函数y=﹣x2+2x+m．（1）如果二次函数的图象与x轴有两个交点，求m的取值范围；（2）如图，二次函数的图象过点A（-1，0），与y轴交于点C，求直线BC与这个二次函数的解析式；（3）在直线BC上方的抛物线上有一动点D，DE x轴于E点，交BC于F，当DF最大时，求点D的坐标，并写出DF最大值．22．（10分）如图，C是直径AB延长线上的一点，CD为⊙O的切线，若∠C＝20°，求∠A的度数．23．（10分）如图，四边形ABCD 为矩形.(1)如图1，E为CD上一定点，在AD上找一点F，使得矩形沿着EF折叠后,点D落在BC边上(尺规作图，保留作图痕迹);(2)如图2，在AD和CD边上分别找点M，N，使得矩形沿着MN折叠后BC的对应边B' C'恰好经过点D，且满足B' C' ⊥BD(尺规作图，保留作图痕迹);(3)在（2）的条件下，若AB＝2，BC＝4，则CN＝ .24．（10分）已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E是AD的中点，连接CE并延长交边AB于点F，AC＝13，BC＝8，cos∠ACB＝5 13．（1）求tan∠DCE的值；（2）求AFBF的值．25．（12分）解方程：（1）2x（x﹣1）＝3（x﹣1）；（2）x2﹣3x+1＝1．26．随着中央电视台《朗读者》节目的播出，“朗读”为越来越多的同学所喜爱，西宁市某中学计划在全校开展“朗读”活动，为了了解同学们对这项活动的参与态度，随机对部分学生进行了一次调查，调查结果整理后，将这部分同学的态度划分为四个类别：A.积极参与，B.一定参与，C.可以参与，D.不参与.根据调查结果制作了如下不完整的统计表和统计图.学生参与“朗读”的态度统计表类别人数所占百分比A18 aB20 40%C m16%D 4 b合计n100%请你根据以上信息，解答下列问题：（1）a=______，m=______，并将条形统计图补充完整；（2）该校有1500名学生，如果“不参与”的人数不超过150人时，“朗读”活动可以顺利开展，通过计算分析这次活动能否顺利开展？（3）“朗读”活动中，九年级一班比较优秀的四名同学恰好是两男两女，从中随机选取两人在班级进行朗读示范，试用画树状图法或列表法求所选两人都是女生的概率，并列出所有等可能的结果.参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、C【分析】过O作OH⊥AB于H，根据正六边形ABCDEF的性质得到∠AOB＝3606︒＝60°，根据等腰三角形的性质得到∠AOH＝30°，AH＝12AB＝1，于是得到结论．【详解】解：过O作OH⊥AB于H，在正六边形ABCDEF中，∠AOB＝3606＝60°，∵OA＝OB，∴∠AOH＝30°，AH＝12AB＝1，∴OH＝3AH＝3，故选：C．【点睛】本题主要考查了正多边形和圆，等腰三角形的性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．2、A【详解】∵正比例函数y=2x和反比例函数y= 2x的一个交点为（1，2），∴另一个交点与点（1，2）关于原点对称，∴另一个交点是（-1，-2）．故选A．3、B【解析】设点B′的横坐标为x，然后根据△A′B′C与△ABC的位似比为2列式计算即可求解．【详解】设点B′的横坐标为x，∵△ABC的边长放大到原来的2倍得到△A′B′C，点C的坐标是（-1，0），∴x-（-1）=2[（-1）-（-1）]，即x+1=2（-1+1），解得x=1，所以点B的对应点B′的横坐标是1．故选B．【点睛】本题考查了位似变换，坐标与图形的性质，根据位似比列出方程是解题的关键．4、C【分析】本题可从反比例函数图象上的点E 、M 、D 入手，分别找出△OCE 、△OAD 、▱OABC 的面积与|k |的关系，列出等式求出k 值．【详解】解：由题意得：E 、M 、D 位于反比例函数图象上，则1||2OCE S k ∆=，1||2OAD S k ∆=， 过点M 作MG ⊥y 轴于点G ，作MN ⊥x 轴于点N ，则S ▱ONMG ＝|k |， 又∵M 为矩形ABCO 对角线的交点，则S 矩形ABCO ＝4S ▱ONMG ＝4|k |， 由于函数图象在第一象限， ∴k ＞0，则9422k kk ++=， ∴k ＝1． 故选：C ．【点睛】本题考查了反比例函数系数k 的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k |．本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注． 5、A【分析】根据必然事件的概念：在一定条件下，必然发生的事件叫做必然事件分析判断即可. 【详解】A 、是必然事件； B 、是随机事件，选项错误； C 、是随机事件，选项错误； D 、是随机事件，选项错误． 故选A ． 6、D 【分析】依据53a b b -=，即可得到a =83b ，进而得出a bb+的值． 【详解】∵53a b b -=，∴3a ﹣3b =5b ，∴3a =8b ，即a =83b ，∴a b b +=83b b b+=113． 故选D ．【点睛】本题考查了比例的性质，解决问题的关键是运用内项之积等于外项之积． 7、A【分析】将246y x x =-+化为顶点式，再进行判断即可． 【详解】246y x x =-+()222y x =-+故答案为：A ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的问题，掌握一元二次方程的顶点式表示形式是解题的关键． 8、C【分析】根据列表法列出所有的可能情况，从中找出两个球颜色相同的结果数，再利用概率的公式计算即可得到答案． 【详解】解：列表如图所示：由表可知，共有9种等可能结果，其中摸出的两个球颜色相同的有4种结果 所以摸出两个球颜色相同的概率是49故选：C ． 【点睛】本题考查的是列表法与树状图的知识，解题的关键是能够用列表或者树状图将所有等可能结果列举出来． 9、B【解析】根据反比例函数的性质求解即可． 【详解】解：反比例函数y ＝8x的图象分布在第一、三象限，在每一象限y 随x 的增大而减小， 而12x x <，而且12,x x 同号， 所以12y y >，即120y y ->， 故选B ． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y ＝kx（k 为常数，k ≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x ，y ）的横纵坐标的积是定值k ，即xy ＝k ．也考查了反比例函数的性质． 10、C【分析】根据平行四边形的性质及相似三角形的判定定理得出△DEF ∽△BAF ，再根据S △DEF ：S △ABF =4：25即可得出其相似比，由相似三角形的性质即可求出DE ：AB 的值，由AB=CD 即可得出结论. 【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD ， ∴△DEF ∽△BAF ， ∵S △DEF ：S △ABF =4：25， ∴DE ：AB=2：5， ∵AB=CD ， ∴DE ：DC=2：5， ∴DE ：EC=2：1． 故选C. 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，熟知相似三角形边长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键. 11、A【解析】根据题意可得5位同学摸到红球的频率为85976357505010++++==，由此可得盒子里的红球比白球多．故选A ． 12、C【解析】根据二次函数顶点式顶点坐标表示方法，直接写出顶点坐标即可. 【详解】解：∵顶点式y ＝a (x ﹣h )2+k ，顶点坐标是(h ，k )， ∴y ＝2(x ﹣2)2﹣1的顶点坐标是(2，﹣1)． 故选：C ． 【点睛】本题考查了二次函数顶点式，解决本题的关键是熟练掌握二次函数顶点式中顶点坐标的表示方法.二、填空题（每题4分，共24分）13、2【分析】将点（0，2）代入原解析式解出c 的值即可.【详解】∵抛物线2y x c =+，过点（0，2），∴220c =+，∴c=2，故答案为：2.【点睛】本题主要考查了抛物线的性质，熟练掌握相关概念是解题关键.14、 (4,0)【解析】根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．【详解】解：∵BC∥DE，∴△ABC∽△ADE， ∴20.82BC DE -=， ∵BC=1.2，∴DE=2，∴E（4，0）．故答案为：（4，0）．【点睛】本题考查了中心投影，相似三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．15、17【分析】连接BE ，由菱形和折叠的性质，得到AF=EF ，∠C=∠A=60°，由cos ∠C=12，12CE BC =，得到△BCE 是直角三角形，则BE BC =，则△BEF 也是直角三角形，设菱形的边长为m ，则EF=m FB -，BE =，由勾股定理，求出FB=18m ，则78EF m =，即可得到cos ∠EFB 的值. 【详解】解：如图，连接BE ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AB=BC=CD ，∠C=∠A=60°，AB ∥DC ，由折叠的性质，得AF=EF ，则EF=AB -FB ，∵cos ∠C=1cos602︒=， ∵点E 是CD 的中线， ∴12CE BC =， ∴1cos 2C C E BC ∠==， ∴△BCE 是直角三角形，即BE ⊥CD ，∴BE ⊥AB ，即△BEF 是直角三角形.设BC=m ，则BE=sin 603BC ︒=， 在Rt △BEF 中，EF=m FB -，由勾股定理，得：222FB BE EF +=, ∴2223()2FB m FB +=-， 解得：18FB m =， 则78EF m =， ∴118cos 778m FB EFB EF m ∠===； 故答案为：17. 【点睛】本题考查了解直角三角形，特殊角的三角函数值，菱形的性质，折叠的性质，以及勾股定理的运用，解题的关键是正确作出辅助线，构造直角三角形，从而利用解直角三角形进行解题.16、点B 或点E 或线段BE 的中点．【分析】由旋转的性质分情况讨论可求解；【详解】解：∵正方形BCDE 可以看成是由正方形ABEF 绕点O 旋转得到的，∴若点A 与点E 是对称点，则点B 是旋转中心是点B ；若点A 与点D 是对称点，则点B 是旋转中心是BE 的中点；若点A 与点E 是对称点，则点B 是旋转中心是点E ；故答案为：点B 或点E 或线段BE 的中点．【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，利用分类讨论是本题的关键．17、34【分析】分别求出矩形ABCD 的面积和阴影部分的面积即可确定概率.【详解】设每相邻两个点之间的距离为a则矩形ABCD 的面积为222a a a = 而利用梯形的面积公式和图形的对称性可知阴影部分的面积为2113(2)3222a a a a a a +== ∴小球停留在阴影区域的概率为2233224a a = 故答案为34【点睛】本题主要考查随机事件的概率，能够求出阴影部分的面积是解题的关键.18、-1【分析】根据分式的值为零的条件可以求出x 的值． 【详解】解：根据题意得：29=030x x ⎧-⎨-≠⎩， 解得：x=-1．故答案为：-1.【点睛】若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为2；（2）分母不为2．这两个条件缺一不可．三、解答题（共78分）19、（1）20s ；（2）2511222y x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ 【解析】（1）利用待定系数法求出函数解析式，再求出y ＝840时x 的值即可得；（2）根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．【详解】解：（1）∵该抛物线过点（0，0），∴设抛物线解析式为y ＝ax 2+bx ，将（1，4）、（2，12）代入，得： 44212a b a b +=⎧⎨+=⎩， 解得：22a b =⎧⎨=⎩， 所以抛物线的解析式为y ＝2x 2+2x ，当y ＝840时，2x 2+2x ＝840，解得：x ＝20（负值舍去），即他需要20s 才能到达终点；（2）∵y ＝2x 2+2x ＝2（x +12）2﹣12， ∴向左平移2个单位，再向下平移5个单位后函数解析式为y ＝2（x +2+12）2﹣12﹣5＝2（x +52）2﹣112． 【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式及函数图象平移的规律．20、（1）①补图见解析；②30，12；（2）EF ＝ABcosα；证明见解析． 【分析】（1）①利用旋转直接画出图形，②先求出∠CBE ＝30°，再判断出△ACF ≌△BCE ，得出∠CAF ＝30°，再利用等腰直角三角形的性质计算即可得出结论；（2）先判断出△ACF ≌△BCE ，得出∠CAF ＝α，再同（1）②的方法即可得出结论．【详解】（1）①将线段CE 绕点C 逆时针旋转90°，得到线段CF ，连接AF ，EF ，如图1；②∵BE⊥CD，∠CEB＝90°，∵α＝60°，∴∠CBE＝30°，在Rt△ABC中，AC＝BC，∴AC＝22AB，∵∠FCA＝90°﹣∠ACE，∠ECB＝90°﹣∠ACE，∴∠FCA＝∠ECB＝α．在△ACF和△BCE中，AC＝BC，∠FCA＝∠ECB，FC＝EC，∴△ACF≌△BCE（SAS），∴∠AFC＝∠BEC＝90°，∠CAF＝∠CBE＝30°，∴CF＝12 AC，由旋转知，CF＝CE，∠ECF＝90°，∴EF2CF＝22AC＝22×22AB＝12AB，∴EFAB＝12，故答案为30，12；（2）EF＝ABcosα．证明：∵∠FCA＝90°﹣∠ACE，∠ECB＝90°﹣∠ACE，∴∠FCA＝∠ECB＝α．同（1）②的方法知，△ACF≌△BCE，∴∠AFC＝∠BEC＝90°，∴在Rt△AFC中，cos∠FCA＝FC AC．∵∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，∴∠CAB ＝∠CBA ＝45°．∵∠ECF ＝90°，CE ＝CF ，∴∠CFE ＝∠CEF ＝45°．在△FCE 和△ACB 中，∠FCE ＝∠ACB ＝90°，∠CFE ＝∠CAB ＝45°，∴△FCE ∽△ACB ， ∴EF FC AB AC=＝cos ∠FCA ＝cosα， 即EF ＝ABcosα．【点睛】此题是相似形综合题，主要考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，判断出△ACF ≌△BCE 是解本题的关键．21、（1）m >-1；（2）y =-x +3，y =-x 2+2x +3；（3）D （315,24），DF=94 【分析】（1）利用判别式解答即可；（2）将点A 的坐标代入抛物线y =-x 2+2x +m 即可求出解析式，由抛物线的解析式求出点B （3,0），设直线BC 的解析式为y =kx +b ，将B(3，0)，C(0，3)代入y =kx +b 中即可求出直线BC 的解析式；（3）由点D 在抛物线上，设坐标为（x ，-x 2+2x +3），F 在直线AB 上，坐标为（x ，-x +3） ，得到DF=-x 2+2x +3-(-x +3)=-x 2+3x=239()24x --+，利用顶点式解析式的性质解答即可. 【详解】（1）当抛物线与x 轴有两个交点时，∆>0，即4+4m >0，∴m >-1；（2）∵点A(-1，0)在抛物线y =-x 2+2x +m 上，∴-1-2+m =0，∴m =3，∴抛物线解析式为y =-x 2+2x +3，且C(0，3)，当x=0时，-x 2+2x +3=0，解得x=-1，或x=3，∴B （3,0），设直线BC 的解析式为y =kx +b ，将B(3，0)，C(0，3)代入y =kx +b 中，得:303k b b +=⎧⎨=⎩， 解得13k b =-⎧⎨=⎩， ∴直线AB 的解析式为y =-x +3;（3）点D 在抛物线上，设坐标为（x ，-x 2+2x +3），F 在直线AB 上，坐标为（x ，-x +3） ，∴DF=-x 2+2x +3-(-x +3)=-x 2+3x=239()24x --+， ∴当32x =时，DF 最大，为94，此时D 的坐标为（315,24）. 【点睛】此题考查了利用判别式已知抛物线与坐标轴的交点个数求未知数的取值范围，利用待定系数法求函数解析式，利用顶点式解析式的性质求出线段的最值.22、35°【分析】连接OD ，根据切线的性质得∠ODC =90°，根据圆周角定理即可求得答案.【详解】连接OD ，∵CD 为⊙O 的切线，∴∠ODC =90°，∴∠DOC =90°﹣∠C =70°，由圆周角定理得，∠A =12∠DOC =35°． 【点睛】本题考查了切线的性质和圆周角定理，有圆的切线时，常作过切点的半径．23、（1）图见解析（2）图见解析（3）512【分析】（1）以点E 为圆心，以DE 长为半径画弧，交BC 于点D ′，连接DD ′，作DD ′的垂直平分线交AD 于点F 即可；（2）先作射线BD ，然后过点D 作BD 的垂线与BC 的延长线交于点H ，作∠BHD 的角平分线交CD 于点N ，交AD 于点M ，在HD 上截取HC ′=HC ，然后在射线C ′D 上截取C ′B ′=BC ，此时的M 、N 即为满足条件的点；（3）在（2）的条件下，根据AB＝2，BC＝4，即可求出CN的长．【详解】（1）如图，点F为所求；（2）如图，折痕MN、矩形A’B’C’D’为所求；（3）在（2）的条件下，∵AB＝2，BC＝4，∴BD＝5∵BD⊥B′C′，∴BD⊥A′D′，得矩形DGD′C′．∴DG＝C′D′＝2，∴BG＝5设CN的长为x，CD′＝y．则C′N＝x，D′N＝2−x，BD′＝4−y，∴（4−y）2＝y2＋（）2，解得y．（2−x）2＝x2）2解得x＝12．．【点睛】本题考查了作图−复杂作图、矩形的性质、翻折变换，解决本题的关键是掌握矩形的性质．24、（1）tan∠DCE＝65；（2）AFBF＝58．【分析】（1）根据已知条件求出CD，再利用勾股定理求解出ED，即可得到结果；（2）过D作DG∥CF交AB于点G，根据平行线分线段成比例即可求得结果；【详解】解：（1）∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，在Rt△ADC中，AC＝13，cos∠ACB＝513CDAC=，∴CD＝5，由勾股定理得：AD12，∵E是AD的中点，∴ED＝12AD＝6，∴tan∠DCE＝65 EDCD=；（2）过D作DG∥CF交AB于点G，如图所示：∵BC＝8，CD＝5，∴BD＝BC﹣CD＝3，∵DG∥CF，∴35BD BGCD FG==，1AF AEFG DE==，∴AF＝FG，设BG＝3x，则AF＝FG＝5x，BF＝FG+BG＝8x∴58 AFBF=．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，结合勾股定理和平行线分线段成比例求解是解题的关键．25、（1）x1＝1,x2＝1.2；（2）135 2x+=或2352x-=【分析】(1)利用因式分解法求解可得；(2)利用公式法求解可得．【详解】解：(1)∵2x(x﹣1)＝3(x﹣1)，∴2x(x﹣1)﹣3(x﹣1)＝1，则(x﹣1)(2x﹣3)＝1，∴x﹣1＝1或2x﹣3＝1，解得x＝1或x＝1.2；故答案为x＝1或x＝1.2．(2)∵a＝1，b＝﹣3，c＝1，∴△＝(-3)2﹣4×1×1＝2＞1，则x2435-±-==±b b ac，135 2x+=或2352x-=【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握其常见的解法是解决本类题的关键．26、（1）36%，8，补图详见解析；（2）这次活动能顺利开展；（3）P（两人都是女生）1 6 =【分析】（1）先用20除以40％求出样本容量，然后求出a，m的值，并补全条形统计图即可；（2）先求出b的值，用b的值乘以1500，然后把计算的结果与150进行大小比较，则可判断这次活动能否顺利开展；（3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出所选两人都是女生的结果数为2，然后根据概率公式计算．【详解】解：（1））20÷40％=50人，a=18÷50×100%=36%，m=50×16%=8，（2）b=4÷50×100%=8%，15008%120⨯=（人）∵120150<∴这次活动能顺利开展.（3）树状图如下：由此可见，共有12种等可能的结果，其中所选两人都是女生的结果数有2种∴P（两人都是女生）21= 126 =.【点睛】此题考查了统计表和条形统计图的综合，用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．。
2023届北京市海淀区101中学九年级数学第一学期期末达标测试试题含解析
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题（每题4分，共48分）1．在下列交通标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．方程2x （x ﹣5）＝6（x ﹣5）的根是（ ）A ．x ＝5B ．x ＝﹣5C ．1x ＝﹣5，2x ＝3D ． 1x ＝5，2x ＝33．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝24，AB ＝25，CD 是斜边AB 上的高，则cos ∠BCD 的值为( )A ．725B ．2425C ．724D ．2474．对于题目“如图，在ABC 中，90,4,3,ACB AC BC P ∠=︒==是AB 边上一动点，PD AC ⊥于点D ，点E 在点P 的右侧，且1PE =，连接CE ，P 从点A 出发，沿AB 方向运动，当E 到达点B 时，P 停止运动，在整个运动过程中，求阴影部分面积12S S +的大小变化的情况"甲的结果是先增大后减小，乙的结果是先减小后增大，其中（ ）A ．甲的结果正确B ．乙的结果正确C ．甲、乙的结果都不正确，应是一直增大D ．甲、乙的结果都不正确，应是一直减小5．在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，3BC =，4AC =，那么tan A 的值等于（ ）A ．34B ．43C ．35D ．456．如图是一个几何体的三视图，这个几何体是（ ）．A ．三棱锥B ．三棱柱C ．长方体D ．圆柱体7．如图，某一时刻太阳光下，小明测得一棵树落在地面上的影子长为2.8米，落在墙上的影子高为1.2米，同一时刻同一地点，身高1.6米他在阳光下的影子长0.4米，则这棵树的高为（ ）米．A ．6.2B ．10C ．11.2D ．12.48．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径10OB =，水面宽12AB =，则截面圆心O 到水面的距离OC 是（ ）A ．3B ．4C ．33D ．89．用配方法解方程22830x x --=时，原方程可变形为（ ）A ．()2522x -=-B ．()21122x -=C ．()227x +=D ．()227x -= 10．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，cos A ＝32AC 3BC 等于（ ） A 3 B ．1C ．2D ．3 11．一个不透明的布袋里装有5个红球，2个白球，3个黄球，它们除颜色外其余都相同，从袋中任意摸出1个球，是黄球的概率为（ ）A ．310B ．15C ．12D ．71012．已知反比例函数k y x =的图象经过点（m ，3m ），则此反比例函数的图象在（ ） A ．第一、二象限 B ．第一、三象限C ．第二、四象限D ．第三、四象限 二、填空题（每题4分，共24分）13．有两辆车按1，2编号，舟舟和嘉嘉两人可任意选坐一辆车．则两人同坐2号车的概率为_______．14．已知点(,)P m n 在直线2y x =-+上，也在双曲线1y x=-上，则m 2+n 2的值为______． 15．阅读下列材料，我们知道()()1331334+-=，因此将8133-的分子分母同时乘以“133+”，分母就变成了4，即()()()()8133813384133133133++==--+，从而可以达到对根式化简的目的，根据上述阅读材料解决问题：若201720181m =+，则代数式m 5＋2m 4﹣2017m 3＋2016的值是_____． 16．若方程240x x m -+=有两个相等的实数根，则m=________．17．已知线段a ，b ，c ，d 成比例线段，其中a=3cm ，b=4cm ，c=6cm ，则d=_____cm ；18．如图，OAB ∆中，90∠=︒ABO ，点A 位于第一象限，点O 为坐标原点，点B 在x 轴正半轴上，若双曲线k y x=()0x >与OAB ∆的边AO 、AB 分别交于点C 、D ，点C 为AO 的中点，连接OD 、CD .若3OBD S ∆=，则OCD S ∆为_______________.三、解答题（共78分）19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 各顶点的坐标分别为:A (－2，－2) ， B (－4，－1) ， C (－4，－4)．(1) 画出与△ABC关于点P(0，－2)成中心对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标；(2) 将△ABC绕点O顺时针旋转的旋转90°后得到△A2B2C2，画出△A2B2C2，并写出点C2的坐标．20．（8分）2019年第六届世界互联网大会在乌镇召开，小南和小西参加了某分会场的志愿服务工作，本次志愿服务工作一共设置了三个岗位，分别是引导员、联络员和咨询员．请你用画树状图或列表法求出小南和小西恰好被分配到同一个岗位进行志愿服务的概率．21．（8分）感知定义在一次数学活动课中，老师给出这样一个新定义：如果三角形的两个内角α与β满足α+2β＝90°，那么我们称这样的三角形为“类直角三角形”．尝试运用（1）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，BD是∠ABC的平分线．①证明△ABD是“类直角三角形”；②试问在边AC上是否存在点E（异于点D），使得△ABE也是“类直角三角形”？若存在，请求出CE的长；若不存在，请说明理由．类比拓展（2）如图2，△ABD内接于⊙O，直径AB＝10，弦AD＝6，点E是弧AD上一动点（包括端点A，D），延长BE至点C，连结AC，且∠CAD＝∠AOD，当△ABC是“类直角三角形”时，求AC的长．22．（10分）已知矩形的周长为1．（1）当该矩形的面积为200时，求它的边长；（2）请表示出这个矩形的面积与其一边长的关系，并求出当矩形面积取得最大值时，矩形的边长．23．（10分）（1）计算：（π﹣3）0+（﹣1）﹣3﹣3×tan30°+27；（2）解一元二次方程：3x 2＝5x ﹣224．（10分）先化简，再求值：2(3)(1)(1)2(24)a a a a +-+--+，其中12a =-． 25．（12分）计算：（1）2sin 45tan 30cos302︒︒︒+⋅-；（2）解方程2810x x -+=26．如图，已知△ABC ，∠A ＝60°，AB ＝6，AC ＝1．（1）用尺规作△ABC 的外接圆O ；（2）求△ABC 的外接圆O 的半径；（3）求扇形BOC 的面积．参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、C【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行分析即可.【详解】A 、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故此选项错误；B 、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故此选项错误；C 、是轴对称图形，也是中心对称图形．故此选项正确；D 、是轴对称图形，但不是中心对称图形．故此选项错误．故选C ．【点睛】考点：1、中心对称图形；2、轴对称图形2、D【分析】利用因式分解法求解可得．【详解】解：∵2x （x ﹣5）＝6（x ﹣5）2x （x ﹣5）﹣6（x ﹣5）＝0，∴（x ﹣5）（2x ﹣6）＝0，则x ﹣5＝0或2x ﹣6＝0，解得x ＝5或x ＝3，故选：D ．【点睛】本题考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．3、B【分析】根据同角的余角相等得∠BCD=∠A,利用三角函数即可解题.【详解】解：在Rt ABC 中，∵24AC =，25AB =,CD 是斜边AB 上的高，∴∠BCD=∠A（同角的余角相等）,∴cos BCD ∠=cos A ∠=AC AB = 2425, 故选B.【点睛】本题考查了三角函数的余弦值,属于简单题,利用同角的余角相等得∠BCD=∠A 是解题关键.4、B【分析】设PD=x ，AB 边上的高为h ，求出AD 、h ，构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可．【详解】解：在Rt ABC 中，∵90,4,3ACB AC BC ∠=︒==，∴AB 5==，设PD x =，AB 边上的高为h ，则125AC BC h AB ⋅==. ∵//PD BC ，∴ADP ACB ∽， ∴==PD AD AP BC AC AB， ∴45,33AD x PA x ==， ∴22121415122242333(4)2()23235353210S S x x x x x x +=⋅⋅+-⋅=-+=-+，∴当32x<<时，12S S+的值随x的增大而减小，当31225x≤≤时，12S S+的值随x的增大而增大，∴乙的结果正确.故选B.【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，动点问题的函数图象，三角形面积，勾股定理等知识，解题的关键是构建二次函数，学会利用二次函数的增减性解决问题，属于中考常考题型．5、A【解析】在直角三角形中，锐角的正切等于对边比邻边，由此可得tan A.【详解】解：如图90C∠=︒，3 tan4BCAAC∴==.故选：A.【点睛】本题主要考查了锐角三角函数中的正切，熟练掌握正切的表示是解题的关键.6、B【解析】试题解析：根据三视图的知识，主视图为三角形，左视图为一个矩形，俯视图为两个矩形，故这个几何体为三棱柱．故选B.7、D【分析】先根据同一时刻物体的高度与其影长成比例求出从墙上的影子的顶端到树的顶端的垂直高度，再加上落在墙上的影长即得答案.【详解】解：设从墙上的影子的顶端到树的顶端的垂直高度是x米，则1.60.4 2.8x=，解得：x＝11.2，所以树高＝11.2+1.2＝12.4（米），故选：D．【点睛】本题考查的是投影的知识，解本题的关键是正确理解题意、根据同一时刻物体的高度与其影长成比例求出从墙上的影子的顶端到树的顶端的垂直高度.8、D【分析】根据垂径定理，OC ⊥AB ，故OC 平分AB ，由AB=12，得出BC=6，再结合已知条件和勾股定理，求出OC 即可．【详解】解：∵OC ⊥AB ，AB=12∴BC=6∵10OB =∴8==故选D ．【点睛】本题主要考查了垂径定理以及勾股定理，能够熟悉定理以及准确的运算是解决本题的关键．9、B【分析】先将二次项系数化为1，将常数项移动到方程的右边，方程两边同时加上一次项系数的一半的平方，结合完全平方公式进行化简即可解题．【详解】22830x x --=228=3x x ∴-234=2x x ∴- 234+4=+42x x ∴- 211(2)=2x ∴- 故选：B ．【点睛】本题考查配方法解一元二次方程，其中涉及完全平方公式，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 10、B【分析】根据余弦函数的定义、勾股定理，即可直接求解．【详解】解：∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，cos A ＝2，AC∴AC cosA AB ===， 2AB ∴=，∴BC 故选：B ．【点睛】本题考查了解直角三角形，解题的基础是掌握余弦函数的定义和勾股定理．11、A【分析】让黄球的个数除以球的总个数即为所求的概率．【详解】解：因为一共10个球，其中3个黄球，所以从袋中任意摸出1个球是黄球的概率是3 10．故选A．【点睛】本题考查概率的基本计算，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．12、B【详解】解：将点（m，3m）代入反比例函数kyx得，k=m•3m=3m2＞0；故函数在第一、三象限，故选B．二、填空题（每题4分，共24分）13、14．【解析】试题分析：列表或画树状图得出所有等可能的情况数，找出舟舟和嘉嘉同坐2号车的情况数，即可求出所求的概率：列表如下：∵所有等可能的情况有4种，其中舟舟和嘉嘉同坐2号车的的情况有1种，∴两人同坐3号车的概率P=14．考点：1．列表法或树状图法；2．概率．14、1【解析】分析：直接利用一次函数图象上点的坐标特征以及反比例函数图象上点的特征得出n+m 以及mn 的值，再利用完全平方公式将原式变形得出答案．详解：∵点P （m ，n ）在直线y=-x+2上，∴n+m=2，∵点P （m ，n ）在双曲线y=-1x上， ∴mn=-1，∴m 2+n 2=（n+m ）2-2mn=4+2=1．故答案为1．点睛：此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及反比例函数图象上点的特征，正确得出m ，n 之间的关系是解题关键．15、2016【分析】首先对m 这个式子进行分母有理化，然后观察要求值的代数式进行拆分代入运算即可.【详解】∵m =20171=)2017120181-1,∴∴2212018m m ++=，∴2220170m m +-=， ∴原式=()32220172016m m m +-+=2016.故答案为：2016.【点睛】本题考查了二次根式的分母有理化，代数式的求值，观察代数式的特点拆分代入是解题的关键.16、4【解析】∵方程x²−4x+m=0有两个相等的实数根，∴△=b²−4ac=16−4m=0，解之得，m=4故本题答案为：417、3．【详解】根据题意得：a ：b=c ：d ，∵a=3cm，b=4cm，c=6cm，∴3：4=6：d，∴d=3cm．考点：3．比例线段；3．比例的性质．18、9 2【分析】根据反比例函数关系式与面积的关系得S△COE＝S△BOD＝3，由C是OA的中点得S△ACD＝S△COD，由CE∥AB，可知△COE∽△AOB，由面积比是相似比的平方得14COEAOBSS=，求出△ABC的面积，从而求出△AOD的面积，得出结论．【详解】过C作CE⊥OB于E，∵点C、D在双曲线kyx=（x＞0）上，∴S△COE＝S△BOD，∵S△OBD＝3，∴S△COE＝3，∵CE∥AB，∴△COE∽△AOB，∴22COEAOBS OCS OA=，∵C是OA的中点，∴OA＝2OC，∴14COEAOBSS=，∴S△AOB＝4×3＝12，∴S△AOD＝S△AOB−S△BOD＝12−3＝9，∵C是OA的中点，∴S△ACD＝S△COD，∴S△COD＝92，故答案为92．【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，即在反比例函数kyx的图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|，所成的三角形的面积是定值12|k|，且保持不变．三、解答题（共78分）19、（1）详见解析；(2，-2)；（2）详见解析；(-4，4)【分析】（1）分别得出A、B、C三点关于点P的中心对称点，然后依次连接对应点可得；（2）分别做A、B、C三点绕O点顺时针旋转90°的点，然后依次连接对应点即可．【详解】（1）△A1B1C1如下图所示．点A1的坐标为(2，-2)（2）△A2B2C2如上图所示．点C2的坐标为(-4，4)．【点睛】本题考查绘制中心对称图形和绘制旋转图形，解题关键是绘制图形中的关键点的对应点．20、1 3【分析】分别用字母A，B，C代替引导员、联络员和咨询员岗位，利用列表法求出所有等可能结果，再根据概率公式求解可得．【详解】分别用字母A，B，C代替引导员、联络员和咨询员岗位，用列表法列举所有可能出现的结果：小西小南A B CA （A，A）（A，B）（A，C）B （B，A）（B，B）（B，C）C （C，A）（C，B）（C，C）由表中可以看出，所有可能的结果有9种，并且这9种结果出现的可能性相等，所有可能的结果中，小南和小西恰好被分配到同一个岗位的结果有3种，即AA，BB，CC，∴小南和小西恰好被分配到同一个岗位进行志愿服务的概率=39＝13．【点睛】考查随机事件发生的概率，关键是用列表法或树状图表示出所有等可能出现的结果数，用列表法或树状图的前提是必须使每一种情况发生的可能性是均等的．21、（1）①证明见解析；②CE＝94；（2）当△ABC是“类直角三角形”时，AC的长为143或1507．【分析】（1）①证明∠A+2∠ABD=90°即可解决问题．②如图1中,假设在AC边设上存在点E（异于点D）,使得△ABE是“类直角三角形”,证明△ABC∽△BEC,可得BC ACCE BC,由此构建方程即可解决问题．（2）分两种情形:①如图2中,当∠ABC+2∠C=90°时,作点D关于直线AB的对称点F,连接FA,FB．则点F在⊙O上,且∠DBF=∠DOA．②如图3中,由①可知,点C,A,F共线,当点E与D共线时,由对称性可知,BA平分∠FBC,可证∠C+2∠ABC=90°,利用相似三角形的性质构建方程即可解决问题．【详解】（1）①证明:如图1中,∵BD是∠ABC的角平分线,∴∠ABC＝2∠ABD,∵∠C＝90°,∴∠A+2∠ABD＝90°,∴△ABD为“类直角三角形”;②如图1中,假设在AC边设上存在点E（异于点D）,使得△ABE是“类直角三角形”,在Rt△ABC中,∵AB＝5,BC＝3,∴AC＝2222534AB BC-=-=,∵∠AEB＝∠C+∠EBC＞90°,∴∠ABE+2∠A＝90°,∵∠ABE+∠A+∠CBE＝90°,∴∠A＝∠CBE,∴△ABC∽△BEC,∴BC AC CE BC=,∴CE＝294 BCAC=,（2）∵AB是直径,∴∠ADB＝90°,∵AD＝6,AB＝10,∴BD＝22221068AB AD-=-=,①如图2中,当∠ABC+2∠C＝90°时,作点D关于直线AB的对称点F,连接FA,FB,则点F在⊙O上,且∠DBF＝∠DOA,∵∠DBF+∠DAF＝180°,且∠CAD＝∠AOD,∴∠CAD+∠DAF＝180°,∴C，A，F共线,∵∠C+∠ABC+∠ABF＝90°,∴∠C＝∠ABF,∴FA FBFB FC=,即6886AC=+,∴AC＝143．②如图3中,由①可知,点C,A,F共线,当点E与D共线时,由对称性可知,BA平分∠FBC,∴∠C+2∠ABC＝90°,∵∠CAD＝∠CBF,∠C＝∠C,∴△DAC∽△FBC,∴CD ADCF BF=,即668CDAC=+,∴CD＝34（AC+6）,在Rt△ADC中,[ 34（ac+6）]2+62＝AC2,∴AC＝1507或﹣6（舍弃）,综上所述,当△ABC是“类直角三角形”时,AC的长为143或1507．【点睛】本题主要考查圆综合题,考查了相似三角形的判定和性质,“类直角三角形”的定义等知识, 解题的关键是理解题意,学会用分类讨论的思想思考问题,学会利用参数构建方程解决问题.22、（1）矩形的边长为10和2；（2）这个矩形的面积S与其一边长x的关系式是S=-x2+30x；当矩形的面积取得最大值时，矩形是边长为15的正方形．【分析】（1）设矩形的一边长为x，则矩形的另一边长为602x⎛⎫-⎪⎝⎭，根据矩形的面积为20列出相应的方程，从而可以求得矩形的边长；（2）根据题意可以得到矩形的面积与一边长的函数关系，然后根据二次函数的性质可以求得矩形的最大面积，并求出矩形面积最大时它的边长．【详解】解：（1）设矩形的一边长为x ，则矩形的另一边长为602x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，根据题意，得 602002x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，解得120x =，210x =． 答：矩形的边长为10和2．（2）设矩形的一边长为x ，面积为S ，根据题意可得，()226030152252S x x x x x ⎛⎫=-=-+=--+ ⎪⎝⎭， 所以，当矩形的面积最大时，15x =．答：这个矩形的面积与其一边长的关系式是S =-x 2+30x ，当矩形面积取得最大值时，矩形是边长为15的正方形．【点睛】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程以及函数关系式，利用二次函数的性质解答．23、（1）﹣（2）1x ＝1，2x ＝23． 【分析】（1）根据实数的混合运算顺序和运算法则计算可得；（2）利用因式分解法解一元二次方程即可．【详解】解：（1）原式＝1﹣1﹣3﹣3＝﹣3＝﹣3+；（2）∵3x 2﹣5x +2＝0，∴（x ﹣1）（3x ﹣2）＝0，则x ﹣1＝0或3x ﹣2＝0，解得1x ＝1，2x ＝23． 【点睛】本题主要考查实数的混合运算及解一元二次方程，掌握实数的混合运算顺序和法则，因式分解法是解题的关键． 24、1【分析】注意到23a +（）可以利用完全平方公式进行展开，11a a +（）（﹣）利润平方差公式可化为21a （﹣），，则将各项合并即可化简，最后代入12a =-进行计算． 【详解】解：原式2269148a a a a ++-＝（﹣）-﹣22a +＝ 将12a =-代入原式12212⎛⎫=⨯-+= ⎪⎝⎭【点睛】考查整式的混合运算，灵活运用两条乘法公式：完全平方公式和平方差公式是解题的关键，同时，在去括号的过程中要注意括号前的符号，若为负号，去括号后，括号里面的符号要改变.25、（1）12；（2）4x =【分析】（1）先把特殊角的三角函数值代入原式，然后再计算；（2）利用配方法求解即可．【详解】解：（1）原式2232=⨯+12=12= （2）∵281x x -=-，∴2816116x x -+=-+，即()2415x -=，则4x -=∴4x =±．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值以及用因式分解法解方程．记住特殊角的三角函数值是解题关键，26、（1）见解析；（2；（3）289π 【分析】（1）分别作出线段BC ，线段AC 的垂直平分线EF ，MN 交于点O ，以O 为圆心，OB 为半径作⊙O 即可． （2）连接OB ，OC ，作CH ⊥AB 于H ．解直角三角形求出BC ，即可解决问题．（3）利用扇形的面积公式计算即可．【详解】（1）如图⊙O 即为所求．（2）连接OB，OC，作CH⊥AB于H．在Rt△ACH中，∵∠AHC=90°，AC=1，∠A=60°，∴∠ACH=30°，∴AH12=AC=2，CH3=3，∵AB=6，∴BH=1，∴BC22224(23)BH CH=+=+=7，∵∠BOC=2∠A=120°，OB=OC，OF⊥BC，∴BF=CF7=COF12=∠BOC=60°，∴OC72216033CFsin===︒．（3）S扇形OBC2221120(2833609ππ⋅⋅==．【点睛】本题考查了作图﹣复杂作图，勾股定理，解直角三角形，三角形的外接圆与外心等知识，解答本题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．。
2022-2023学年北京一零一中学九年级上学期数学期末考试模拟试卷带讲解
初三数学课后服务（15）一、选择题（共16分，每题2分）第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1.在平面直角坐标系xOy 中，下列函数的图象经过点(0,0)的是（）A.1y x =+B.2y x= C.2(4)y x =- D.1y x=【答案】B【分析】利用0x =时，求函数值进行一一检验是否为0即可．【详解】A.当0x =时，011y =+=，1y x =+图象过点(0,1)，选项A 不合题意；B.当0x =时，200y ==，2y x =图象过点(0,0)，选项B 合题意；C.当0x =时，2(04)16y =-=，2(4)y x =-图象过点(0,16)，选项C 不合题意；D.当0x =时，1y x=无意义，选项D 不合题意．故选：B ．【点睛】本题考查求函数值，识别函数经过点，掌握求函数值的方法，点在函数图像上点的坐标满足函数解析式是解题关键．2.古典园林中的窗户是中国传统建筑装饰的重要组成部分，一窗一姿容，一窗一景致．下列窗户图案中，是中心对称图形的是()A. B.C.D.【答案】C【分析】根据中心对称图形的概念求解．【详解】解：A 、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B 、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项符合题意；C ．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意；D 、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查了中心对称的知识，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．3.如图，点A 、B 、C 在O 上，OAB ∆为等边三角形，则ACB ∠的度数是（）A.60°B.50°C.40°D.30°【答案】D【分析】由OAB ∆为等边三角形，得：∠AOB=60°，再根据圆周角定理，即可求解.【详解】∵OAB ∆为等边三角形，∴∠AOB=60°，∴ACB ∠=12∠AOB =12×60°=30°.故选D.【点睛】本题主要考查圆周角定理，掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半，是解题的关键.4.在△ABC 中，CA CB =，点O 为AB 中点．以点C 为圆心，CO 长为半径作⊙C ，则⊙C 与AB 的位置关系是（）A.相交B.相切C.相离D.不确定【答案】B【分析】根据等腰三角形的性质，三线合一即可得CO AB ⊥，根据三角形切线的判定即可判断AB 是C 的切线，进而可得⊙C 与AB 的位置关系【详解】解：连接CO ,CA CB =，点O 为AB 中点．CO AB∴⊥ CO 为⊙C 的半径，AB ∴是C 的切线，∴⊙C 与AB 的位置关系是相切故选B【点睛】本题考查了三线合一，切线的判定，直线与圆的位置关系，掌握切线判定定理是解题的关键．5.如图，O 是正方形ABCD 的外接圆，若O 的半径为4，则正方形ABCD 的边长为（）A.4B.8C.22D.42【答案】D【分析】连接OB ，OC ，过点O 作OE ⊥BC 于点E ，由等腰直角三角形的性质可知OE =BE ，由垂径定理可知BC =2BE ，故可得出结论．【详解】解：连接OB ，OC ，过点O 作OE ⊥BC 于点E ，∴OB =OC ，∠BOC =90°，∴∠OBE =45°，45BOE ∠=︒∴OE =BE ，∵OE 2+BE 2=OB 2，∴2242222OB BE ==∴BC =2BE =42ABCD 的边长是42故选：D【点睛】本题考查的是圆周角定理、垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出等腰直角三角形是解答此题的关键．6.中国象棋文化历史久远．在图中所示的部分棋盘中，“馬”的位置在“”（图中虚线）的下方，“馬”移动一次能够到达的所有位置已用“●”标记，则“馬”随机移动一次，到达的位置在“”上方．．的概率是（）A.18B.16C.14D.12【答案】C【分析】用“---”（图中虚线）的上方的黑点个数除以所有黑点的个数即可求得答案．【详解】解：观察“馬”移动一次能够到达的所有位置，即用“●”标记的有8处，位于“---”（图中虚线）的上方的有2处，所以“馬”随机移动一次，到达的位置在“---”上方的概率是2184=，故选：C ．【点睛】本题考查概率的求法与运用，一般方法：如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率P （A ）=m n．7.如图，A ，B ，C 是某社区的三栋楼，若在AC 中点D 处建一个5G 基站，其覆盖半径为300m ，则这三栋楼中在该5G 基站覆盖范围内的是（）A.A ，B ，C 都不在B.只有BC.只有A ，CD.A ，B ，C【答案】D【分析】根据三角形边长然后利用勾股定理逆定理可得ABC ∆为直角三角形，由直角三角形斜边上的中线性质即可得．【详解】解：如图所示：连接BD ，∵300AB =，400BC =，500AC =，∴222AC AB BC =+，∴ABC ∆为直角三角形，∵D 为AC 中点，∴250AD CD BD ===，∵覆盖半径为300，∴A 、B 、C 三个点都被覆盖，故选：D ．【点睛】题目主要考查勾股定理逆定理，直角三角形斜边中线的性质等，理解题意，综合运用两个定理是解题关键．8.抛物线2y ax bx c =++的顶点为()2,A m ，且经过点()5,0B ，其部分图象如图所示.对于此抛物线有如下四个结论：①0ac <；②0a b c -+>；③90m a +=；④若此抛物线经过点(),C t n ，则4t +一定是方程2ax bx c n ++=的一个根．其中所有正确结论的序号是（）A.①②B.①③C.③④D.①④【答案】B【分析】利由抛物线的开口方向和位置可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x 轴的一个交点坐标为（-1，0），代入解析式则可对②进行判断；由抛物线的顶点坐标以及对称轴可对③进行判断；抛物线的对称性得出点(),C t n 的对称点是()4,-C t n ，则可对④进行判断．【详解】解：∵抛物线开口向下，∴a ＜0，∵抛物线与y 轴交于正半轴，∴c ＞0，∴0ac <，故①正确；∵抛物线2y ax bx c =++的顶点为()2,A m ，且经过点()5,0B ，∴抛物线2y ax bx c =++与x 轴的另一个交点坐标为（-1，0），∴0a b c -+=，故②错误；∵抛物线的对称轴为直线x =2，∴22ba-=，即：b =-4a ，∵0a b c -+=，∴c =b -a =-5a ，∵顶点()2,A m ，∴244ac b m a -=，即：()()24544a a a m a⋅---=，∴m =-9a ，即：90m a +=，故③正确；∵若此抛物线经过点(),C t n ，抛物线的对称轴为直线x =2，∴此抛物线经过点()4,-C t n ，∴()()244-+-+=a t b t c n ，∴4t -一定是方程2ax bx c n ++=的一个根，故④错误．故选B ．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0），二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小：当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左；当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右；常数项c 决定抛物线与y 轴交点位置．二、填空题（共16分，每题2分）9.已知y 是x 的函数，且当x >0时，y 随x 的增大而减小．则这个函数的表达式可以是_________．(写出一个符合题意的答案即可)【答案】y =1x（x ＞0）【分析】反比例函数的图象在每个象限内，函数值y 随自变量x 的增大而增大，则反比例函数的反比例系数k ＜0；反之，只要k ＜0，则反比例函数在每个象限内，函数值y 随自变量x 的增大而增大．【详解】解：只要使反比例系数大于0即可．如y =1x（x ＞0），答案不唯一．故答案为：y =1x（x ＞0）．【点睛】本题主要考查了反比例函数y =kx（k ≠0）的性质：①k ＞0时，函数图象在第一，三象限．在每个象限内y 随x 的增大而减小；②k ＜0时，函数图象在第二，四象限．在每个象限内y 随x 的增大而增大．10.关于x 的一元二次方程240x mx ++=有一个根为1，则m 的值为________．【答案】-5【分析】直接利用一元二次方程的解的意义将x =1代入求出答案．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程240x mx ++=的一个根是1，∴12+m +4=0，解得：m =-5．故答案是：-5．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的解，正确理解一元二次方程解的意义是解题关键．11.点()11,A y -，()22,B y 在抛物线22y x =上，则1y ，2y 的大小关系为：1y __________2y （填“>”，“=”或“<”）．【答案】<【分析】由抛物线开口向上可得距离对称轴越远的点y 值越大，从而求解．【详解】解：由22y x =可得抛物线开口向上，对称轴为y 轴，∵1020--<-，∴点A 离y 轴的距离小于B 离y 轴的距离,∴12y y <，故答案为：<．【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的性质及比较函数值大小的方法．12.如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 2,0（-），点B 0,1（）．将线段BA 绕点B 旋转180°得到线段BC ，则点C的坐标为__________．【答案】（2，2）【分析】根据旋转性质可得出点B 是A 、C 的中点，过点C 作CD ⊥x 轴于D ，利用相似三角形的判定与性质求得OD 和CD 即可求解．【详解】解：∵点A -2,0（），点B 0,1（），∴OA =2，OB =1，由旋转性质得：AB=BC ，即点B 是A 、C 的中点，过点C 作CD ⊥x 轴于D ，则CD ∥OB ，∴△AOB ∽△ADC ，∴12OA OB AB AD CD AC ===，∴OD =2，CD =2，∴点C 坐标为（2，2），故答案为：（2，2）．【点睛】本题考查旋转性质、相似三角形的判定与性质，坐标与图形，熟练掌握旋转性质和相似三角形的判定与性质是解答的关键．13.2021年是中国共产党建党100周年，全国各地积极开展“弘扬红色文化，重走长征路”主题教育活动．据了解，某展览中心3月份的参观人数为10万人，5月份的参观人数增加到12.1万人．设参观人数的月平均增长率为x ，则可列方程为________．【答案】210(1)12.1x +=【分析】根据题意可得4月份的参观人数为10(1)x +人，则5月份的人数为210(1)x +，根据5月份的参观人数增加到12.1万人，列一元二次方程即可．【详解】根据题意设参观人数的月平均增长率为x ，则可列方程为210(1)12.1x +=故答案为：210(1)12.1x +=【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据增长率问题列一元二次方程是解题的关键．14.如图所示，边长为1的正方形网格中，O ，A ，B ，C ，D 是网格线交点，若 AB 与 CD所在圆的圆心都为点O ，那么阴影部分的面积为______．【答案】322π-【分析】根据勾股定理分别求出OC 、OD ，根据勾股定理的逆定理得到90COD ∠︒＝，根据弧长公式计算，得到答案．【详解】解：由勾股定理得，22222OC OD ==+=则222OC OD CD +=，∴90COD ∠︒＝，∵四边形OACB 是正方形，∴45COB ∠︒＝，∴290(22)=2360OCD S ππ⨯=扇形，245213602OBE S ππ⨯==扇形，12222OBD S =⨯⨯= ，阴影部分的面积为2132222πππ--=-．故答案为：322π-．【点睛】本题考查的是扇形面积的计算，掌握扇形面积公式，求出对应的圆心角和半径是解题的关键．15.做随机抛掷一枚纪念币的试验，得到的结果如下表所示：抛掷次数m 5001000150020002500300040005000“正面向上”的次数n 26551279310341306155820832598“正面向上”的频率n m0.5300.5120.5290.5170.5220.5190.5210.520下面有3个推断：①当抛掷次数是1000时，“正面向上”的频率是0.512，所以“正面向上”的概率是0.512；②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.520附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.520；③若再次做随机抛掷该纪念币的试验，则当抛掷次数为3000时，出现“正面向上”的次数不一定是1558次．其中所有合理推断的序号是______．【答案】②③【分析】根据用频率估计概率以及频率和概率的概念判断即可得到答案．【详解】解：当抛掷次数是1000时，“正面向上”的频率是0.512，所以“正面向上”的概率不一定是0.512，故①错误；随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.520附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.520，故②正确；若再次做随机抛掷该纪念币的试验，则当抛掷次数为3000时，出现“正面向上”的次数不一定是1558次，故③正确；故答案为：②③．【点睛】本题考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．16.如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，D 是ABC 内的一个动点，满足222AC AD CD -=．若AB =，4BC =，则BD 长的最小值为_______．【答案】2【分析】取AC 中点O ，由勾股定理的逆定理可知∠ADC =90°，则点D 在以O 为圆心，以AC 为直径的圆上，作△ADC 外接圆，连接BO ，交圆O 于1D ，则BD 长的最小值即为1BD ，由此求解即可．【详解】解：如图所示，取AC 中点O ，∵222AC AD CD -=，即222=AC AD CD +，∴∠ADC =90°，∴点D 在以O 为圆心，以AC 为直径的圆上，作△ADC 外接圆，连接BO ，交圆O 于1D ，则BD 长的最小值即为1BD ，∵AB =4BC =，∠ACB =90°，∴AC =，∴1132OC OD AC ===，∴5OB ==，∴112BD OB OD =-=，故答案为：2．【点睛】本题主要考查了一点到圆上一点的最短距离，勾股定理的逆定理，勾股定理，解题的关键在于确定点D 的运动轨迹．三、解答题（共68分，第17－21题，每题5分，第22题6分，第23题5分，第24－26题，每题6分，第27－28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17.解方程：2220x x --=．【答案】1211x x ==【分析】把方程化成x 2=a 的形式，再直接开平方，即可得到方程的解.【详解】2220x x --=221120x x -+--=2213x x -+=2(1)3x -=1x =∴原方程的解为1211x x ==【点睛】考查了用配方法解一元二次方程，用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为一般形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤进一步通过直接开平方法求出方程的解，如果右边是非负数，则方程有两个实根；如果右边是一个负数，则方程无实数根．18.问题：如图，AB 是O 的直径，点C 在O 内，请仅用无刻度的直尺，作出ABC 中AB 边上的高．小芸解决这个问题时，结合圆以及三角形高线的相关知识，设计了如下作图过程．作法：如图，①延长AC 交O 于点D ，延长BC 交O 于点E ；②分别连接AE ，BD 并延长相交于点F ；③连接FC 并延长交AB 于点H ．所以线段CH 即为ABC 中AB 边上的高．（1）根据小芸的作法，补全图形；（2）完成下面的证明．证明：AB 是O 的直径，点D ，E 在O 上，ADB AEB ∴∠=∠=______︒．（____________）（填推理的依据）AE BE ∴⊥，BD AD ⊥．AE ∴，______是△ABC 的两条高线．AE ，BD 所在直线交于点F ，∴直线FC 也是ABC 的高所在直线．CH ∴是ABC 中AB 边上的高．【答案】（1）见解析（2）90，直径所对的圆周角是直角，BD【分析】（1）根据所给作图步骤作图即可；（2）根据圆周角定理可知90ADB AEB ∠=∠=︒，进而可得AE ，BD 是ABC 的两条高线，再根据三角形的三条高线所在直线交于一点即可证明．【小问1详解】解：补全后图形如下所示：．【小问2详解】证明：AB 是O 的直径，点D ，E 在O 上，ADB AEB ∴∠=∠=90︒．（直径所对的圆周角是直角）AE BE ∴⊥，BD AD ⊥．AE ∴，BD 是ABC 的两条高线．AE ，BD 所在直线交于点F ，∴直线FC 也是ABC 的高所在直线．CH ∴是ABC 中AB 边上的高．故答案为：90，直径所对的圆周角是直角，BD ．【点睛】本题考查圆周角定理以及三角形高线的特点，解题的关键是掌握直径所对的圆周角是直角，以及三角形的三条高线所在直线交于一点．19.如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的一条弦，且CD AB ⊥于点E ．（1）求证：BCO D ∠=∠；（2）若CD =，1OE =，求⊙O 的半径．【答案】（1）见详解（2）3【分析】（1）根据同弧所对圆周角相等及等腰三角形两底角相等即可得到答案；（2）连接OD ，根据垂径定理得到ED ，根据勾股定理即可得到答案．【小问1详解】证明：∵OC OB r ==，∴BCO CBO ∠=∠，∵CDA ∠与CBO ∠都是弧AC 所对圆周角，∴CDA CBO ∠=∠，∴BCO D ∠=∠；【小问2详解】解：连接OD ，∵CD AB ⊥，CD =，∴CE DE ==，在Rt ODE ∆中，根据勾股定理可得，3r OD ===．【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理及勾股定理，解题的关键是知道同弧所对圆周角相等．20.如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2+2x ＋c 的部分图象经过点A (0，－3)，B (1，0)．(1)求该抛物线的解析式；(2)结合函数图象，直接写出y ＜0时，x 的取值范围．【答案】（1）223y x x =+-；（2）31x -<<【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式，将坐标代入解析式得出320c a c =-⎧⎨++=⎩解方程组即可；（2）先求抛物线与x 轴的交点，转化求方程2230x x +-=的解，再根据函数y ＜0，函数图像位于x 轴下方，在两根之间即可．【详解】解：(1)抛物线22y ax x c =++经过点A (0，－3)，B (1，0)代入坐标得：320c a c =-⎧⎨++=⎩，解得31c a =-⎧⎨=⎩，所求抛物线的解析式是223y x x =+-．(2)当y=0时，2230x x +-=，因式分解得：()()310x x +-=，∴3010x x +=-=，，∴12=-3=1x x ，，当y ＜0时，函数图像在x 轴下方，∴y ＜0时，x 的取值范围为-3＜x ＜1．【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，利用图像法解不等式，解一元二次方程，方程组，掌握待定系数法求抛物线解析式，利用图像法解不等式，解一元二次方程，方程组是解题关键．21.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠BAC =30°，将线段CA 绕点C 逆时针旋转60°，得到线段CD ，连接AD ，BD ．（1）依题意补全图形；（2）若BC =1，求线段BD 的长．【答案】（1）见解析；（2）BD =【分析】（1）根据线段旋转的方法，得出60ACD ∠=︒，然后连接AD ，BD 即可得；（2）根据30︒角的直角三角形的性质和勾股定理可得AC =，由旋转的性质可得ACD 是等边三角形，再利用勾股定理求解即可．【详解】解：（1）根据线段旋转方法，60ACD ∠=︒，如图所示即为所求；（2）∵90ACB ∠=︒，30BAC ∠=︒，1BC =，∴22AB BC ==，∴223AC AB BC =-=∵线段CA 绕点C 逆时针旋转60°得到线段CD ，∴CA CD =且60ACD ∠=︒，∴ACD 是等边三角形，∴3AD AC ==60DAC ∠=︒，∴90DAB DAC CAB ∠=∠+∠=︒，∴在Rt ABD 中，227BD AB AD +．【点睛】题目主要考查旋转图形的作法及性质，勾股定理，30︒角的直角三角形的性质，等边三角形的性质等，理解题意，作出图形，综合运用各个定理性质是解题关键．22.一个不透明的袋中装有2个红球、1个白球，这些球除颜色外，没有任何其他区别．有如下两个活动：活动1：从袋中随机摸出一个球，记录下颜色，然后从袋中剩余的球中再随机摸出一个球，摸出的两个球都是红球的概率记为1P ；活动2：从袋中随机摸出一个球，记录下颜色，然后把这个球放回袋中并摇匀，重新从袋中随机摸出一个球，两次摸出的球都是红球的概率记为2P ．请你猜想1P ，2P 的大小关系，并用画树状图或列表的方法列出所有可能的结果，验证你的猜想．【答案】12P P <，验证过程见解析【分析】首先根据题意分别根据列表法列出两个活动所有情况，再利用概率公式即可求得答案．【详解】活动1：红球1红球2白球红球1（红1，红2）（红1，白）红球2（红2，红1）（红2，白）白球（白，红1）（白，红2）∵共有6种等可能的结果，摸到两个红球的有2种情况，∴摸出的两个球都是红球的概率记为12163P ==活动2：红球1红球2白球红球1（红1，红1）（红1，红2）（红1，白）红球2（红2，红1）（红2，红2）（红2，白）白球（白，红1）（白，红2）（白，白）∵共有9种等可能的结果，摸到两个红球的有4种情况，∴摸出的两个球都是红球的概率记为249P =∴12P P <【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．重点需要注意球放回与不放回的区别．23.已知关于x 的一元二次方程2(4)40x k x k -++=．（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若该方程有一个根小于2，求k 的取值范围．【答案】（1）证明见解析；（2）2k <．【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得△＝（k −4）2≥0，由此可证出方程总有两个实数根；（2）利用分解因式法解一元二次方程，可得出x 1＝4，x 2＝k ，根据方程有一根小于2，即可得出k 的取值范围．【详解】（1）∵2(4)40x k x k -++=，∴△=222[(4)]44816(4)0k k k k k -+-⨯=-+=-≥，∴方程总有两个实数根．（2）∵2(4)40x k x k -++=，∴(4)()0x x k --=，解得：14x =，2x k =，∵该方程有一个根小于2，∴2k <．【点睛】本题考查了根的判别式、因式分解法解一元二次方程，利用因式分解法解一元二次方程表示出方程的两个根，熟练掌握当△≥0时，方程有两个实数根是解题关键．24.某篮球队员的一次投篮命中，篮球从出手到命中行进的轨迹可以近似看作抛物线的一部分，表示篮球距地面的高度y （单位：m ）与行进的水平距离x （单位：m ）之间关系的图象如图所示．已知篮球出手位置A 与篮筐的水平距离为4.5m ，篮筐距地面的高度为3.05m ；当篮球行进的水平距离为3m 时，篮球距地面的高度达到最大为3.3m ．（1）图中点B 表示篮筐，其坐标为_______，篮球行进的最高点C 的坐标为________；（2）求篮球出手时距地面的高度．【答案】（1）（4.5，3.05），（3，3.3）；（2）2.3米【分析】（1）根据题意，直接写出坐标即可；（2）设抛物线的解析式为：()()233.30y a x a =-+≠，从而求出a 的值，再把x =0代入解析式，即可求解．【详解】（1）由题意得：点B 坐标为（4.5，3.05），C 的坐标为（3，3.3），故答案是：（4.5，3.05），（3，3.3）；（2）设抛物线的解析式为：()()23 3.30y a x a =-+≠，把点B 坐标（4.5，3.05），代入()233.3y a x =-+得()23.054.53 3.3a =-+，解得：19a =-，∴()213 3.39y x =--+当x =0时，()2103 3.3 2.39y =--+=，答：篮球出手时距地面的高度为2.3米．【点睛】考查了二次函数的应用，利用二次函数的顶点式，求出函数解析式是解题的关键．25.已知：如图，在ABC 中，AB AC =，D 是BC 的中点．以BD 为直径作O ，交边AB 于点P ，连接PC ，交AD 于点E ．（1）求证：AD 是O 的切线；（2）若PC 是O 的切线，8BC =，求PC 的长．【答案】（1）见解析；（2）2PC =【分析】（1）要证明AD 是圆O 的切线，只要证明∠BDA =90°即可；（2）连接OP ，根据等腰三角形的性质求得DC 的长，再求出OC 的长，根据切线的性质求得90OPC ∠=︒，最后利用勾股定理求出PC 的长．【详解】（1）证明：∵AB ＝AC ，D 是BC 的中点，∴AD ⊥BD ．又∵BD 是⊙O 直径，∴AD 是⊙O 的切线．（2）解：连接OP .∵点D 是边BC 的中点，BC ＝8，AB =AC ，∴BD ＝DC ＝4，OD ＝OP ＝2．∴OC ＝ 6.∵PC 是⊙O 的切线，O 为圆心，∴90OPC ∠=︒．在R t △OPC 中，由勾股定理，得OC 2＝OP 2+PC 2∴PC 2＝OC 2－O P 2＝62－2232=∴PC =【点睛】本题是圆的综合问题，考查了圆的切线的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，掌握这些性质是解决本题的关键．26.在平面直角坐标系xOy 中，点(43)，在抛物线()230y ax bx a =++>上．（1）求该抛物线的对称轴；（2）已知0m >，当222m x m -≤≤+时，y 的取值范围是13y -≤≤．求a 、m 的值；（3）在(2)的条件下，是否存在实数n ，当2n x n -<<时，y 的取值范围是3335n y n -<<+．若存在，求出n 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）直线2x =（2）1a =，1m =（3）1n =【分析】（1）把已知点的坐标代入抛物线解析式中，可求得4b a =-，即可求得抛物线的对称轴；（2）由（1）可得函数的解析式，可求得函数的最小值，由条件可得点(2,0)m -到对称轴的距离小于点(22,0)m +到对称轴的距离，从而可确定222m x m -≤≤+时的函数值范围，再结合已知的函数值范围，可得关于a 与m 的方程，解方程即可求得a 、m 的值；（3）由抛物线开口向上，对称轴为直线2x =，分情况考虑：2n ≤；22n -≥；22n n -<<三种情况讨论即可．【小问1详解】∵点(43)，在抛物线()230y ax bx a =++>上，16433a b ∴++=，即4b a =-，而4222b a a a--=-=，即抛物线的对称轴为直线2x =；【小问2详解】243y ax ax =-+ ，且0a >，∴抛物线的开口向上，函数当2x =时取得最小值48343a a a -+=-+；2222m m -<<+ ，0m >，且2(2m m --=），2222m m m +-=>∴(2,0)m -到对称轴的距离小于点(22,0)m +到对称轴的距离，2x m ∴=-时的函数值2(2)4(2)3y a m a m =---+小于22x m =+时的函数值2(22)4(22)3y a m a m =+-++，即当222m x m -≤≤+时，243(22)4(22)3a y a m a m -+≤≤+-++，13y -≤≤ ，431a ∴-+=-，2(22)4(22)33a m a m +-++=解得：1a =，1m =或1m =-（舍去），即a 、m 的值分别为1、1；【小问3详解】由（2）得：243y x x =-+，抛物线开口向上，对称轴为直线2x =，当2=-x n 时，22(2)4(2)3815y n n n n =---+=-+；当x n =时，243y n n =-+，当2n ≤，2n x n -<<时，函数值随自变量的增大而减小，则有22815354333n n n n n n ⎧-+=+⎨-+=-⎩，解得符合条件的n 值为：1n =；当22n -≥，即4n ≥时，当2n x n -<<时，函数值随自变量的增大而增大，则有22815334335n n n n n n ⎧-+=-⎨-+=+⎩，此方程组无解；当24n <<时，此时函数的最小值为1-，即1y ≥-，不符合题意；综上，满足条件的n 的值为1．【点睛】本题是二次函数的综合，解题的关键是掌握二次函数的图象与性质，注意分类讨论．27.如图1，在ABC 中，90ACB ∠=︒，CA CB =，点D ，E 分别在边CA ，CB 上，CD CE =，连接DE ，AE ，BD ．点F 在线段BD 上，连接CF 交AE 于点H．（1）①比较CAE ∠与CBD ∠的大小，并证明；②若CF AE ⊥，求证：2AE CF =；（2）将图1中的CDE 绕点C 逆时针旋转()090αα︒<<︒，如图2．若F 是BD 的中点，判断2AE CF =是否仍然成立．如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．【答案】（1）①CAE ∠CBD =∠，证明见解析；②证明见解析（2）2AE CF =仍成立，理由见解析【分析】（1）①利用SAS 证明ACE △BCD ≌ ，即可得出CAE ∠CBD =∠；②利用CF AE ⊥，90ACB ∠=︒，可证BCF CBF ∠=∠，DCF CDF ∠=∠，进而可得CF DF BF ==，2BD CF =，再利用ACE △BCD ≌ 推出AE BD =，即可证明2AE CF =；（2）延长CF 使得CF FP =，连接BP ，证明()SAS CDF PBF ≌ ，得到CD PB =，DCF=BPF ∠∠，再证明()SAS ACE CBP ≌ ，得到=AE CP ，进一步可证明2AE CF =．【小问1详解】解：①CAE ∠CBD =∠，证明如下：在ACE △和BCD △中，CA CB ACE BCD CE CD =⎧⎪∠=⎨⎪=⎩，∴ACE △BCD ≌ ()SAS ，∴CAE ∠CBD =∠；②证明： CF AE ⊥，90ACB ∠=︒，∴90ECH CEH ∠+∠=︒，90CAE CEA ∠+∠=︒，∴ECH CAE ∠=∠，CAE ∠CBD =∠，∴ECH CBD ∠=∠，即BCF CBF ∠=∠，∴CF BF =．BCF CBF ∠=∠，90BCF DCF ∠+∠=︒，90CBF CDF ∠+∠=︒，∴DCF CDF ∠=∠，∴CF DF =，∴CF DF BF ==，∴2BD CF =，ACE △BCD ≌ ，∴AE BD =，∴2AE CF =；【小问2详解】解：2AE CF =仍然成立，理由如下：延长CF 使得CF FP =，连接BP，∵点F 是线段BD 中点，∴BF FD =，在CDF 和PBF △中，CF PF CFD PFB DF BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS CDF PBF ≌ ，∴CD PB =，DCF=BPF ∠∠，∵=CD CE ，∴CE=PB ，∵旋转角度为α，90ACB ∠=︒，∴90ACE α∠=︒+，∵90BCP ACB DCF DCF αα∠=∠-∠-=︒-∠-，∴()1801809090CBP BCP BPF DCF DCF αα∠=︒-∠-∠=︒-︒-∠--∠=︒+，∴ACE CBP ∠=∠，在ACE △和CBP 中，CE BP ACE CBP CA CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS ACE CBP ≌ ，∴=AE CP ，∵2CP CF =，∴2AE CF =．【点睛】本题考查全等三角形的判定及性质，旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等，第二问有一定难度，解题的关键是通过倍长中线构造全等三角形．28.在平面直角坐标系xOy 中，O 的半径为1，点A 在O 上，点P 在O 内，给出如下定义：连接AP 并延长交O 于点B ，若AP kAB =，则称点P 是点A 关于O 的k 倍特征点．（1）点A 的坐标为(1,0)．①若点P 的坐标为1,02⎛⎫-⎪⎝⎭，则点P 是点A 关于O 的倍特征点；②在11(0,2C ，21,02C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，311,22C ⎛⎫- ⎪⎝⎭这三个点中，点是点A 关于O 的12倍特征点；③直线l 经过点A ，与y 轴交于点D ，60DAO ∠=︒．点E 在直线l 上，且点E 是点A 关于O 的12倍特征点，求点E 的坐标；（2）若当k 取某个值时，对于函数1(01)y x x =-+<<的图像上任意一点M ，在O 上都存在点N ，使得点M 是点N 关于O 的k 倍特征点，直接写出k 的最大值和最小值．【答案】（1）①34，②3C ，③33,44E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或33,44E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭（2）最大值为224，最小值为224【分析】（1）①由题意知13122AP OA OP =+=+=，2AB =，则34AP k AB ==；②由勾股定理得152AC ==，假设点1C 是点A 关于O 的12倍特征点，则22AE OA =>=，不符合题意，同理判断2C 、3C 即可；③当点D 在y 轴正半轴上时，设直线AD 交O 于B ，连接OE ，过点E 作EF x ⊥轴于点F ，根据点E 、点A 关于O 的12倍特征点，得12AE AB =，由含30︒的直角三角形的性质可得OE ，AE 的长，当点D 在y 轴负半轴同理可得答案；（2）设直线1(01)y x x =-+<<与x 轴，y 轴的交点分别为C ，D ，过点N 作NP CD ⊥交CD 于P ，交O 于B ，过点O 作直线EF CD ⊥交O 于E ，F ，由1111MN k AM k k==-+--，可知k 越大，1k -的值越小，则111k-+-的值越大，得AM BP =，MN NP =时，k 的值最小，即A 与E 重合，N 与F 重合时，k 的值最小，同理当点N 在E 点，A 在F 点时，k 有最大值，从而解决问题．【小问1详解】解：①(1,0)A ，1(,0)2P -，13122AP OA OP ∴=+=+=，(1,0)B - ，AB 2∴=，AP kAB = ，34AP k AB ∴==，故答案为：34；②假设点1C 是点A 关于O 的12倍特征点，连接1AC 并延长交O 于点E ，如图所示：11(0,2C ，(1,0)A ，152AC ∴==，∴112AC AE =，22AE OA ∴=>=，不符合题意，∴点1C 不是点A 关于O 的12倍特征点；连接2AC 并延长交O 于点Q ，如图所示：()1,0Q ∴-，21(,0)2C ，(1,0)A ，212AC ∴=，2AQ =，∴214AC AQ =，∴点2C 不是点A 关于O 的12倍特征点；假设点3C 是点A 关于O 的12倍特征点，连接3AC 并延长交O 于点F ，如图所示：311,22C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(1,0)A ，∴32AC =，∴312AC AF =，3C ∴为AF 的中点，(0,1)F ∴-，O 与y 轴负半轴交点坐标为()0,1-，(0,1)F ∴-在圆上，∴点3C 是点A 关于O 的12倍特征点；故答案为：3C ；③当点D 在y 轴正半轴上时，设直线AD 交O 于B ，连接OE ，过点E 作EF x ⊥轴于点F ，如图所示：点E 是点A 关于O 的12倍特征点，∴12AE AB =，E ∴是AB 的中点，OE AB ∴⊥，60EAO ∠=︒ ，30EOA ∴∠=︒，1122AE OA ∴==，12EF OE =，2232OE OA AE =-=，34EF ∴=，33,44E ⎛⎫∴ ⎪ ⎪⎝⎭，当点D 在y 轴负半轴上时，同理可得33,44E ⎛- ⎝⎭，综上：33,44E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或33,44E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭；【小问2详解】解：设直线1(01)y x x =-+<<与x 轴，y 轴的交点分别为C ，D ，过点N 作NP CD ⊥交CD 于P ，交O 于B ，过点O 作直线EF CD ⊥交O 于E 、F ，如图所示：。
北京101中学2022-2023学年九年级数学第一学期期末学业水平测试模拟试题含解析
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题（每题4分，共48分）1．如图，点E 为菱形ABCD 边上的一个动点，并延A →B →C →D 的路径移动，设点E 经过的路径长为x ，△ADE 的面积为y ，则下列图象能大致反映y 与x 的函数关系的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．定义新运算：对于两个不相等的实数a ，b ，我们规定符号{}max ,a b 表示a ，b 中的较大值，如：{}max 2,44=．因此，{}max 2,42--=-；按照这个规定，若{}232max ,2x x x x ---=，则x 的值是（ ）A ．－1B ．－1或5332C ．5332+ D ．1或53323．下列说法正确的是（ ）．A ．“购买1张彩票就中奖”是不可能事件B ．“概率为0.0001的事件”是不可能事件C ．“任意画一个三角形，它的内角和等于180°”是必然事件D ．任意掷一枚质地均匀的硬币10次，正面向上的一定是5次4．已知关于x 的一元二次方程2x k 1x 10+--=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ） A ．k>-3B ．k ≥-3C ．k ≥0D ．k ≥15．我们要遵守交通规则，文明出行，做到“红灯停，绿灯行”，小刚每天从家到学校需经过三个路口，且每个路口都安装了红绿灯，每个路口红灯和绿灯亮的时间相同，那么小刚从家出发去学校，他遇到两次红灯的概率是（ ） A ．18B ．38C ．58D ．126．如图，在ABC 中， 10AB AC cm ==， F 为AB 上一点，2AF =，点E 从点A 出发，沿AC 方向以2/cm s 的速度匀速运动，同时点D 由点B 出发，沿BA 方向以1/cm s 的速度匀速运动，设运动时间为05()()t s t <<，连接DE 交CF 于点G ，若2CG FG =，则t 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．47．在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数ky x=的图象经过点(1,3)，则k 的值可以为 A ．4-B ．3C ．2-D ．28．如图工人师傅砌门时，常用木条EF 固定长方形门框ABCD ，使其不变形，这样做的根据是（ ）A ．两点之间线段最短B ．两点确定一条直线C ．三角形具有稳定性D ．长方形的四个角都是直角9．下列方程中，是一元二次方程的是( ) A ．230x -=B ．220x y -=C ．213x x+=- D ．20x =10．如图，反比例函数(0)ky k x=≠的图象上有一点A ，AB 平行于x 轴交y 轴于点B ，△ABO 的面积是1，则反比例函数的表达式是（ ）A ．12y x=B ．1y x=C ．2y x=D ．14y x=11．一个不透明的袋子里装着质地、大小都相同的3个红球和2个绿球，随机从中摸出一球，不再放回袋中，充分搅匀后再随机摸出一球．两次都摸到红球的概率是（ ） A ．310B ．925C ．920D ．3512．如图，已知AB ∥CD ∥EF ，它们依次交直线l 1、l 2于点A 、D 、F 和点B 、C 、E ，如果AD ：DF ＝3：1，BE ＝10，那么CE 等于( )A ．103B ．203C ．52D ．152二、填空题（每题4分，共24分） 13．反比例函数14y x =与22y x=在第一象限内的图象如图所示，AC x ⊥轴于点C ，与两个函数的图象分别相交于,A B 两点，连接,OA OB ，则AOB ∆的面积为_________ ．14．有两辆车按1，2编号，舟舟和嘉嘉两人可任意选坐一辆车．则两人同坐2号车的概率为_______．15．一个盒子中装有1个红球，2个白球和2个蓝球，这些球除了颜色外都相同，从中随机摸出两个球，能配成紫色的概率为_____．16．圆弧形蔬菜大棚的剖面如图，已知AB =16m ，半径OA =10m ，OC ⊥AB ，则中柱CD 的高度为_________m ．17．如图，已知正六边形内接于O ，若正六边形的边长为2，则图中涂色部分的面积为______.18．如图，四边形OABF 中，90OAB B ∠=∠=︒，点A 在x 轴上，双曲线ky x=过点F ，交AB 于点E ，连接EF ．若23BF OA =，6BEF S ∆=，则k 的值为__．三、解答题（共78分）19．（8分）在平面直角坐标系xOy 中，有任意三角形，当这个三角形的一条边上的中线等于这条边的一半时，称这个三角形叫“和谐三角形”，这条边叫“和谐边”，这条中线的长度叫“和谐距离”．（1）已知A （2,0），B （0,4），C （1,2），D （4,1），这个点中，能与点O 组成“和谐三角形”的点是 ，“和谐距离”是 ；（2）连接BD ，点M ，N 是BD 上任意两个动点（点M ，N 不重合），点E 是平面内任意一点，△EMN 是以MN 为“和谐边”的“和谐三角形”，求点E 的横坐标t 的取值范围；（3）已知⊙O 的半径为2，点P 是⊙O 上的一动点，点Q 是平面内任意一点，△OPQ 是“和谐三角形”，且“和谐距离”是2，请描述出点Q 所在位置． 20．（8分）如图，ABC ∆内接于O ，BC 是O 的直径，E 是AC 上一点，弦BE 交AC 于点F ，弦AD BE ⊥于点G ，连接CD ，CG ，且CBE ACG ∠=∠.（1）求证：CG CD =；（2）若4AB =，213BC =CD 的长.21．（8分）如图，在△ABC 中，CD ⊥AB ，DE ⊥AC ，DF ⊥BC ，垂足分别为D ，E ，F ．（1）求证：CE •CA ＝CF •CB ；（2）EF 交CD 于点O ，求证：△COE ∽△FOD ；22．（10分）如图，锐角三角形ABC 中，CD ，BE 分别是AB ，AC 边上的高，垂足为D ，E ．（1）证明：ACD ABE ∽．（2）若将D ，E 连接起来，则AED 与ABC 能相似吗？说说你的理由．23．（10分）十八大以来，某校已举办五届校园艺术节.为了弘扬中华优秀传统文化，每届艺术节上都有一些班级表演“经典诵读”、“民乐演奏”、“歌曲联唱”、“民族舞蹈”等节目.小颖对每届艺术节表演这些节目的班级数进行统计，并绘制了如图所示不完整的折线统计图和扇形统计图.(1)五届艺术节共有________个班级表演这些节日，班数的中位数为________，在扇形统计图中，第四届班级数的扇形圆心角的度数为________； (2)补全折线统计图；(3)第六届艺术节，某班决定从这四项艺术形式中任选两项表演(“经典诵读”、“民乐演奏”、“歌曲联唱”、“民族舞蹈”分别用A ，B ，C ，D 表示).利用树状图或表格求出该班选择A 和D 两项的概率. 24．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，曲线()0ky x x=>经过点A ．（1）求曲线()0ky x x=>的表达式； （2）直线y=ax +3(a ≠0)与曲线()0ky x x=>围成的封闭区域为图象G ． ①当1a =-时，直接写出图象G 上的整数点个数是 ；（注：横，纵坐标均为整数的点称为整点，图象G 包含边界．）②当图象G 内只有3个整数点时，直接写出a 的取值范围．25．（12分）如图，O 是矩形ABCD 的对角线的交点，E ，F ，G ，H 分别是OA ，OB ，OC ，OD 上的点，且AE ＝BF ＝CG ＝DH. (1)求证：四边形EFGH 是矩形；(2)若E ，F ，G ，H 分别是OA ，OB ，OC ，OD 的中点，且DG⊥AC，OF ＝2cm ，求矩形ABCD 的面积．26．已知关于的方程，若方程的一个根是–4，求另一个根及的值.参考答案一、选择题（每题4分，共48分） 1、D【解析】点E 沿A →B 运动，△ADE 的面积逐渐变大； 点E 沿B →C 移动，△ADE 的面积不变；点E 沿C →D 的路径移动，△ADE 的面积逐渐减小． 故选D.点睛：本题考查函数的图象.分三段依次考虑△ADE 的面积变化情况是解题的关键. 2、B【分析】分x>0和0x<0两种情况分析，利用公式法解一元二次方程即可．【详解】解：当x>0时，有2322x x x --=，解得152x +=，252x = (舍去)， x<0时，有2322x x x --=-，解得，x 1=−1，x 2=2(舍去)．故选B. 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的解法，解题的关键是掌握新定义以及掌握因式分解法以及公式法解方程的方法步骤，掌握降次的方法，把二次化为一次，再解一元一次方程． 3、C【解析】试题解析：A. “购买1张彩票就中奖”是不可能事件，错误； B. “概率为0.0001的事件”是不可能事件，错误；C. “任意画一个三角形，它的内角和等于180°”是必然事件，正确；D. 任意掷一枚质地均匀的硬币10次，正面向上的一定是5次，错误. 故选C. 4、D【解析】根据∆>0且k -1≥0列式求解即可. 【详解】由题意得2-4×1×(-1)>0且k -1≥0， 解之得 k ≥1. 故选D. 【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的根的判别式∆=b 2﹣4ac 与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键.当∆>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当∆=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当∆<0时，一元二次方程没有实数根. 5、B【分析】画树状图得出所有情况数和遇到两次红灯的情况数，根据概率公式即可得答案． 【详解】根据题意画树状图如下：共有8种等情况数，其中遇到两次红灯的有3种， 则遇到两次红灯的概率是38，故选：B ． 【点睛】本题考查利用列表法或树状图法求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比；根据树状图得到遇两次红灯的情况数是解题关键． 6、B【分析】过点C 作CH ∥AB 交DE 的延长线于点H ，则DF=10-2-t=8-t ，证明△DFG ∽△HCG ，可求出CH ，再证明△ADE ∽△CHE ，由比例线段可求出t 的值．【详解】解：过点C 作CH ∥AB 交DE 的延长线于点H ，则BD=t ，AE=2t ，DF=10-2-t=8-t ，∵DF ∥CH ， ∴△DFG ∽△HCG ， ∴1==2DF FG CH CG ， ∴CH=2DF=16-2t ， 同理△ADE ∽△CHE ，∴=AD AECH CE ， ∴102=162102t tt t---，解得t=2，t=253（舍去）． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．7、B【分析】把点(1,3)代入ky x=中即可求得k 值. 【详解】解：把x=1，y=3代入ky x=中得31k =，∴k=3. 故选：B. 【点睛】本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，能理解把已知点的坐标代入解析式是解题关键. 8、C【分析】根据三角形的稳定性，可直接选择．【详解】加上EF 后，原图形中具有△AEF 了，故这种做法根据的是三角形的稳定性． 故选：C ． 9、D【解析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程有三个特点：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（3）是整式方程． 【详解】解：A 、是一元一次方程，故A 不符合题意； B 、是二元二次方程，故B 不符合题意； C 、是分式方程，故C 不符合题意； D 、是一元二次方程，故D 符合题意； 故选择：D. 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为ax 2+bx+c=0（a ≠0）的形式，则这个方程就为一元二次方程． 10、C【分析】如图，过点A 作AC ⊥x 轴于点C ，构建矩形ABOC ，根据反比例函数系数k 的几何意义知|k|=四边形ABOC 的面积．【详解】如图，过点A 作AC ⊥x 轴于点C. 则四边形ABOC 是矩形，∴SABO=S AOC=1，∴|k|=S ABOC矩形=S ABO+S AOC=2，∴k=2或k=−2.又∵函数图象位于第一象限，∴k>0，∴k=2.则反比函数解析式为2 yx .故选C.【点睛】此题考查反比例函数系数k的几何意义，解题关键在于掌握反比例函数的性质.11、A【分析】列表或画树状图得出所有等可能的结果，找出两次都为红球的情况数，即可求出所求的概率：【详解】列表如下：红红红绿绿红﹣﹣﹣（红，红）（红，红）（绿，红）（绿，绿）红（红，红）﹣﹣﹣（红，红）（绿，红）（绿，红）红（红，红）（红，红）﹣﹣﹣（绿，红）（绿，红）绿（红，绿）（红，绿）（红，绿）﹣﹣﹣（绿，绿）∵所有等可能的情况数为20种，其中两次都为红球的情况有6种， ∴63P 2010==两次红， 故选A.12、C【分析】根据平行线分线段成比例定理得到3AD BC DF CE ==，得到BC=3CE ，然后利用BC+CE=BE=10可计算出CE 的长，即可．【详解】解：∵AB ∥CD ∥EF ，∴3AD BC DF CE==， ∴BC=3CE ，∵BC+CE=BE ，∴3CE+CE=10，∴CE=52． 故选C ．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.二、填空题（每题4分，共24分） 13、1【分析】设直线AB 与x 轴交于点C ，那么AOB AOC BOC sS S =-．根据反比例函数的比例系数k 的几何意义，即可求出结果．【详解】设直线AB 与x 轴交于点C ．∵AC ⊥x 轴，BC ⊥x 轴． ∵点A 在双曲线14y x =的图象上， ∴AOC 114222S k ==⨯=， ∵点B 在双曲线22y x=的图象上， ∴BOC 112122S k ==⨯=，∴AOB AOC BOC 211s S S =-=-=．故答案为：1．【点睛】本题主要考查反比例函数的比例系数k 的几何意义．反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S 的关系，即12S k =． 14、14． 【解析】试题分析：列表或画树状图得出所有等可能的情况数，找出舟舟和嘉嘉同坐2号车的情况数，即可求出所求的概率：列表如下：121（1，1） （2，1） 2（1，2） （2，2） ∵所有等可能的情况有4种，其中舟舟和嘉嘉同坐2号车的的情况有1种，∴两人同坐3号车的概率P=14． 考点：1．列表法或树状图法；2．概率．15、425【分析】首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与两次摸到的球的颜色能配成紫色的情况，再利用概率公式即可求得答案．【详解】解：列表得：∵共有25种等可能的结果，两次摸到的球的颜色能配成紫色的有4种情况∴两次摸到的求的颜色能配成紫色的概率为：425．故答案是：4 25【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．16、4【分析】根据垂径定理可得AD=12AB，然后由勾股定理可得OD的长，继而可得CD的高求解．【详解】解：∵CD垂直平分AB，∴AD＝1．∴OD6m，∴CD＝OC−OD＝10−6＝4（m）．故答案是：4【点睛】本题考查垂径定理和勾股定理的实际应用，掌握这些知识点是解题关键．17、2 3π【分析】根据圆的性质和正六边形的性质证明△CDA≌△BDO，得出涂色部分即为扇形AOB的面积，根据扇形面积公式求解.【详解】解：连接OA,OB,OC,AB,OA与BC交于D点∵正六边形内接于O,∴∠BOA=∠AOC=60°,OA=OB=OC=4,∴∠BOC=120°，OD⊥BC,BD=CD∴∠OCB=∠OBC=30°,∴OD=1122OB OA DA,∵∠CDA=∠BDO, ∴△CDA≌△BDO, ∴S△CDA=S△BDO,∴图中涂色部分的面积等于扇形AOB的面积为：26022 3603ππ⨯=.故答案为：23π.【点睛】本题考查圆的内接正多边形的性质，根据圆的性质结合正六边形的性质将涂色部分转化成扇形面积是解答此题的关键. 18、1【分析】过点F 作FC ⊥x 轴于点C ，设点F 的坐标为（a ，b ），从而得出OC=a ，FC=b ，根据矩形的性质可得AB=FC=b ，BF=AC ，结合已知条件可得OA=3a ，BF=AC=2a ，根据点E 、F 都在反比例函数图象上可得EA=3b ，从而求出BE ，然后根据三角形的面积公式即可求出ab 的值，从而求出k 的值．【详解】解：过点F 作FC ⊥x 轴于点C ，设点F 的坐标为（a ，b ）∴OC=a ，FC=b∵90OAB B FCA ∠=∠=∠=︒∴四边形FCAB 是矩形∴AB=FC=b ， BF=AC∵23BF OA = ∴23BF OA =,即AC 23OA = ∴OC=OA －AC 13OA ==a 解得：OA=3a ，BF=AC=2a∴点E 的横坐标为3a∵点E 、F 都在反比例函数的图象上∴3E k ab a y ==•∴点E 的纵坐标3E b y =，即EA=3b ∴BE=AB －EA=23b ∵6BEF S ∆= ∴162BE BF •= 即122623b a ⨯⨯= 解得：9ab =∴9k ab ==故答案为：1．【点睛】此题考查的是反比例函数与图形的面积问题，掌握矩形的判定及性质、反比例函数比例系数与图形的面积关系和三角形的面积公式是解决此题的关键．三、解答题（共78分）19、（1）A ,B （2）1922t -≤≤；（3）点Q 在以点O 为圆心，4为半径的圆上；或在以点O 为圆心，径的圆上．【分析】（1）由题意利用“和谐三角形”以及“和谐距离”的定义进行分析求解；（2）由题意可知以BD 的中点为圆心，以BD 为直径作圆此时可求点E 的横坐标t 的取值范围；（3）根据题意△OPQ 是“和谐三角形”，且“和谐距离”是2，画出图像进行分析.【详解】解：（1）由题意可知当A （2,0），B （0,4）与O 构成三角形时满足圆周角定理即能与点O 组成“和谐三角形”，此时“和谐距离”（2）根据题意作图，以BD 的中点为圆心，以BD 为直径作圆，可知当E 在如图位置时求点E 的横坐标t 的取值范围，解得点E 的横坐标t 的取值范围为1922t -≤≤； （3）如图当PQ 为“和谐边”时，点Q 在以点O 为圆心，23当OQ 为“和谐边”时，点Q 在以点O 为圆心，4为半径的圆上.【点睛】本题考查圆的综合问题，熟练掌握圆的相关性质以及理解题干定义是解题关键.20、（1）详见解析；（2）613CD = 【分析】（1）证法一：连接EC ，利用圆周角定理得到90BAC BEC ∠=∠=︒，从而证明ABE DAC ∠=∠，然后利用同弧所对的圆周角相等及三角形外角的性质得到ADC CGD ∠=∠，从而使问题得解；证法二：连接AE ,CE ，由圆周角定理得到90BEC ∠=︒，从而判定AD CE ，得到180ECD ADC ∠+∠=︒，然后利用圆内接四边形对角互补可得180EAD ECD ∠+∠=︒，从而求得ADC CGD ∠=∠，使问题得解；（2）首先利用勾股定理和三角形面积求得AG 的长，解法一：过点G 作GH AC ⊥于点H ，利用勾股定理求GH ，CH ，CD 的长；解法二：过点C 作CI AB ⊥于点I ，利用AA 定理判定CDI CBA △∽△，然后根据相似三角形的性质列比例式求解.【详解】（1）证法一：连接EC .∵BC 为O 的直径，∴90BAC BEC ∠=∠=︒，∴90ABE AFB ∠+∠=︒∵AD BE ⊥,∴90AGE ∠=︒∴90DAC AFB ∠+∠=︒∴ABE DAC ∠=∠.∵AC AC =∴ADC ABC ABE EBC ∠=∠=∠+∠∵CGD CAD ACG ∠=∠+∠，CBE ACG ∠=∠∴ADC CGD ∠=∠∴CG CD =.证法二：连接AE ,CE .∵BC 为O 的直径，∴90BEC ∠=︒∵AD BE ⊥∴90AGE ∠=︒∴AGE BEC ∠=∠,∴AD CE∴180ECD ADC ∠+∠=︒∵CE CE =∴CAE CBE ∠=∠∵CBE ACG ∠=∠∴ACG CAE ∠=∠∴AE CG∴EAD CGD ∠=∠∵四边形ADCE 内接于O ，∴180EAD ECD ∠+∠=︒∴EAD ADC ∠=∠∴ADC CGD ∠=∠∴CG CD =.（2）解：在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒,4AB =,213BC =, 根据勾股定理得226AC BC AB =-=. 连接AE ，CE∵BC 为O 的直径，∴90BEC ∠=︒∴AGE BEC ∠=∠∴AD CE∵CE CE =∴CAE CBE ∠=∠∵CBE ACG ∠=∠∴ACG CAE ∠=∠∴AE CG∴四边形AGCE 是平行四边形.∴3AF FC ==.在Rt ABF 中，225BF AB AF =+=1122ABF S AB AF BF AG =⋅=⋅△, ∴125AG = 解法一：过点G 作GH AC ⊥于点H∴90GHA GHC ∠=∠=︒在Rt AGF △中，2295GF AF AG =-=,1122AGF S AG GF AF GH =⋅=⋅△∴3625GH = 在Rt AGH △中，224825AH AG GH =-= ∴10225CH AC AH =-= 在Rt CGH △中，226135CG GH CH =+= ∴6135CD CG ==解法二：过点C 作CI AB ⊥于点I∴90CIA CID ∠=∠=︒∵CG CD =∴GI ID =∵90EGD ∠=︒∴四边形EGIC 为矩形∴EC GI =.∵四边形AGCE 为平行四边形，∴EC AG =∴125DI AG ==. ∵CID CAB ∠=∠，ADC ABC ∠=∠∴CDI CBA △∽△∴CD DI CB BA =1254213= ∴613CD =【点睛】本题考查圆的综合知识，相似三角形的判定和性质，勾股定理解直角三角形，综合性较强，有一定难度.21、（1）证明见解析；（2）证明见解析【分析】（1）本题首先根据垂直性质以及公共角分别求证△CED∽△CDA，△CDF∽△CBD，继而以2CD为中间变量进行等量替换证明本题．（2）本题以第一问结论为前提证明△CEF∽△CBA，继而根据垂直性质证明∠OFD ＝∠ECO，最后利用“角角”判定证明相似．【详解】（1）由已知得：∠CED＝∠CDA＝90°，∠ECD＝∠DCA，∴△CED∽△CDA，∴CE CDCD CA=，即CD2＝CE•CA，又∵∠CFD＝∠CDB＝90°，∠FCD＝∠DCB，∴△CDF∽△CBD，∴CF CDCD CB=，即CD2＝CB•CF，则CA•CE＝CB•CF；（2）∵CA•CE＝CB•CF，∴CE CF CB CA=，又∵∠ECF=∠BCA，∴△CEF∽△CBA，∴∠CFE＝∠A，∵∠CFE＋∠OFD＝∠A＋∠ECO＝90°，∴∠OFD ＝∠ECO，又∵∠COE＝∠FOD，∴△COE∽△FOD．【点睛】本题考查相似的判定与性质综合，相似判定难点首先在于确定哪两个三角形相似，其次是判定定理的选择，相似判定常用“角角”定理，另外需注意相似图形其潜在信息点是边的比例关系以及角等．22、（1）见解析；（2）能，理由见解析.【分析】（1）根据已知利用有两个角相等的三角形相似判定即可；（2）根据第一问可得到AD ：AE=AC ：AB ，有一组公共角∠A ，则可根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似进行判定．【详解】()1证明：ACD ABE ∽．证明：∵CD ，BE 分别是AB ，AC 边上的高，∴90ADC AEB ∠=∠=．∵A A ∠=∠，∴ACD ABE ∽．()2若将D ，E 连接起来，则AED 与ABC 能相似吗？说说你的理由．∵ACD ABE ∽，∴::AD AE AC AB =．∴AD:AC=AE:AB∵A A ∠=∠，∴AED ABC ∽．【点睛】 考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键.23、 (1)40，7，81°；(2)见解析；(3)16. 【解析】（1）根据图表可得，五届艺术节共有：()0036022.5117576(1)40360⨯+++÷-=；根据中位数定义和圆心角公式求解；（2）根据各届班数画图；（3）用列举法求解；【详解】解：(1) 五届艺术节共有：()0036022.5117576(1)40360⨯+++÷-=个，第四届班数：40×22.5%=9，第五届40117360⨯=13，第一至第三届班数：5，7，6，故班数的中位数为7， 第四届班级数的扇形圆心角的度数为：3600×22.5%=81°；(2)折线统计图如下；.(3)树状图如下.所有情况共有12种，其中选择A 和D 两项的共有2种情况，所以选择A 和D 两项的概率为21126=. 【点睛】考核知识点：用树状图求概率.从图表获取信息是关键.24、（1）y=()10xx >；（2）①3；②-1≤a -23 【分析】（1）由题意代入A 点坐标，求出曲线()0k y x x =>的表达式即可； （2）①当1a =-时，根据图像直接写出图象G 上的整数点个数即可;②当图象G 内只有3个整数点时，根据图像直接写出a 的取值范围．【详解】解：（1）∵A （1,1），∴k=1，∴1(0)y x x=>． （2）①观察图形1a =-时，可知个数为3； ②观察图像得到213a -≤<-． 【点睛】本题考查反比例函数图像相关性质，熟练掌握反比例函数图像相关性质是解题关键.25、 (1)证明见解析；(2)矩形ABCD的面积为163(cm2)．【解析】（1）首先证明四边形EFGH是平行四边形，然后再证明HF=EG；（2）根据题干求出矩形的边长CD和BC，然后根据矩形面积公式求得．【详解】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OB＝OC＝OD.∵AE＝BF＝CG＝DH，∴AO－AE＝OB－BF＝CO－CG＝DO－DH，即OE＝OF＝OG＝OH，∴四边形EFGH是矩形．解：∵G是OC的中点，∴GO＝GC.又∵DG⊥AC，∴CD＝OD.∵F是BO中点，OF＝2cm，∴BO＝4cm.∴DO＝BO＝4cm，∴DC＝4cm，DB＝8cm，∴CB＝2222＝＝43(cm)，--84DB DC∴矩形ABCD的面积为4×43＝163(cm2)．【点睛】本题主要考查矩形的判定，首先要判定四边形是平行四边形，然后证明对角线相等．26、1，-2【解析】把方程的一个根–4，代入方程，求出k，再解方程可得.【详解】【点睛】考察一元二次方程的根的定义，及应用因式分解法求解一元二次方程的知识.。
2022-2023学年北京市北京一零一中学九年级数学第一学期期末复习检测模拟试题含解析
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题（每题4分，共48分）1．某汽车行驶时的速度v(米/秒)与它所受的牵引力F(牛)之间的函数关系如图所示．当它所受牵引力为1 200牛时，汽车的速度为( )A．180千米/时B．144千米/时C．50千米/时D．40千米/时2．以下事件为必然事件的是（）A．掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数小于6B．多边形的内角和是360C．二次函数的图象不过原点D．半径为2的圆的周长是4π3．如图，向量OA与OB均为单位向量，且OA⊥OB，令n=OA+OB，则||n=（）A．1B．2C．3D．24．如图是某个几何体的三视图，该几何体是（）A ．长方体B ．圆锥C ．三棱柱D ．圆柱5．若关于x 的一元二次方程kx 2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是( )A ．k ＞1B ．k ＜1C ．k ＞1且k≠0D ．k ＜1且k≠06．已知m ，n 是关于x 的一元二次方程2x 3x a 0-+=的两个解，若()()m 1n 16--=-，则a 的值为（ ） A ．﹣10 B ．4 C ．﹣4 D ．107．如图，MN 所在的直线垂直平分线段AB ，利用这样的工具，可以找到圆形工件的圆心，如果使用此工具找到圆心，最少使用次数为（ ）.A ．1B ．2C ．3D ．48．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，tan A ＝12，则sin A 的值为（ ）A 5B 5C 5D 259．34-的相反数是（ ）A ．43-B ．43C ．34-D ．3410．关于反比例函数2y x =，下列说法正确的是（ ）A ．点()2,1-在它的图象上B ．它的图象经过原点C ．当0x >时，y 随x 的增大而增大D ．它的图象位于第一、三象限11．如图，在平面直角坐标系中，将OAB ∆绕着旋转中心顺时针旋转90︒，得到CDE ∆，则旋转中心的坐标为（）A ．()1,4B ．()1,2C ．()1,1D ．()1,1-12．如图，四边形ABCD 中，∠A ＝90°，AB ＝12，AD ＝5，点M 、N 分别为线段BC 、AB 上的动点（含端点，但点M 不与点B 重合），点E 、F 分别为DM 、MN 的中点，则EF 长度的可能为（ ）A ．2B ．5C ．7D ．9二、填空题（每题4分，共24分）13．如图，校园内有一棵与地面垂直的树，数学兴趣小组两次测量它在地面上的影子，第一次是阳光与地面成60°角时，第二次是阳光与地面成30°角时，两次测量的影长相差8米，则树高_____________米(结果保留根号)．14．在一个不透明的袋子中有5个除颜色外完全相同的小球，其中绿球2个，红球3个，摸出一个球不放回，混合均匀后再摸出一个球，两次都摸到红球的概率是________.15．如图，在⊙O 的内接四边形ABCD 中，∠A=70°，∠OBC=60°，则∠ODC=__________．16．将抛物线y ＝2x 2平移，使顶点移动到点P （﹣3，1）的位置，那么平移后所得新抛物线的表达式是_____．17．如图，在平面直角坐标系中，CO 、CB 是⊙D 的弦，⊙D 分别与x 轴、y 轴交于B 、A 两点，∠OCB ＝60º，点A 的坐标为（0，1），则⊙D 的弦OB 的长为____________。
北京市一零一中学2022-2023学年数学九年级第一学期期末质量跟踪监视试题含解析
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题(每小题3分,共30分)1．下列计算中，结果是6a 的是A ．24a a +B ．23a a ⋅C ．122a a ÷D ．23()a2．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，若点A (-2.2，y 1)，B (-3.2，y 2)是图象上的两点，则y 1与y 2的大小关系是( )．A ．y 1＜y 2B ．y 1＝y 2C ．y 1＞y 2D ．不能确定3．等腰三角形底边长为10㎝，周长为36cm ，那么底角的余弦等于（ ）．A ．513B ．1213C ．1013D ．5124．如图，点A ，B 为直线y x =上的两点，过A ，B 两点分别作y 轴的平行线交双曲线1y x =（0x >）于C 、D 两点.若2BD AC =，则224OC OD -的值为（ ）A ．12B ．7C ．6D ．45．共享单车已经成为城市公共交通的重要组成部分，某共享单车公司经过调查获得关于共享单车租用行驶时间的数据，并由此制定了新的收费标准：每次租用单车行驶a 小时及以内，免费骑行；超过a 小时后，每半小时收费1元，这样可保证不少于50%的骑行是免费的．制定这一标准中的a 的值时，参考的统计量是此次调查所得数据的（ ）A ．平均数B ．中位数C ．众数D ．方差6．如图所示，Rt ABC ∆中，30B ∠=，3AC =，点M 为BC 中点，将ABC ∆绕点C 旋转，N 为11A B 中点，则线段MN 的最小值为( )A ．12B ．332-C ．15D ．312- 7．如图，AB 是O 的直径，BC 是O 的弦，已知40ABC ∠=︒，则AOC ∠的度数为（ ）A ．60︒B ．70︒C ．80︒D ．90︒8．下列说法中，正确的是（ ）A ．如果k ＝0，a 是非零向量，那么k a ＝0B ．如果e 是单位向量，那么e ＝1C ．如果|b |＝|a |，那么b ＝a 或b ＝﹣aD ．已知非零向量a ，如果向量b ＝﹣5a ，那么a ∥b9．如图是由6个大小相同的小正方体叠成的几何体，则它的主视图是( )A ．B ．C ．D ．10．如图，点A 、B 、C 都在⊙O 上，若∠ABC ＝60°，则∠AOC 的度数是（ ）A ．100°B ．110°C ．120°D ．130°二、填空题(每小题3分,共24分)11．编号为2，3，4，5，6的乒乓球放在不透明的袋内，从中任抽一个球，抽中编号是偶数的概率是___．12．已知点A(－3，m )与点B(2，n )是直线y ＝－23x ＋b 上的两点，则m 与n 的大小关系是___． 13．已知矩形ABCD ，AB=3,AD=5,以点A 为圆心，4为半径作圆，则点C 与圆A 的位置关系为 __________.14．如图，ABC 内接于,30,2O C AB ∠==， 则O 的半径为__________．15．因式分解：34a a -=_______________________．16．如图，在△ABC 中，∠C=90°，2，将△ABC 绕点A 顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B ，则C′B= ______17．如图，正六边形ABCDEF中的边长为6，点P为对角线BE上一动点，则PC的最小值为_______．18．如图，PA、PB是⊙O的两条切线，点A、B为切点，点C在⊙O上，且∠ACB＝55°，则∠APB=___°．三、解答题(共66分)19．（10分）已知：在Rt△ABC中，AB=BC,在Rt△ADE中，AD=DE；连结EC，取EC的中点M，连结DM和BM．（1）若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图1，求证：BM=DM且BM⊥DM；（2）如果将图1中的△ADE绕点A逆时针旋转小于45°的角，如图2，那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明．20．（6分）如图，已知抛物线y＝﹣x2+（m﹣1）x+m的对称轴为x＝12，请你解答下列问题：（1）m＝，抛物线与x轴的交点为．（2）x取什么值时，y的值随x的增大而减小？（3）x取什么值时，y＜0？21．（6分）已知在平面直角坐标系中，抛物线212y x bx c =-++与x 轴相交于点A ，B ，与y 轴相交于点C ，直线y=x+4经过A ，C 两点，（1）求抛物线的表达式；（2）如果点P ，Q 在抛物线上（P 点在对称轴左边），且PQ ∥AO ，PQ=2AO ，求P ，Q 的坐标；（3）动点M 在直线y=x+4上，且△ABC 与△COM 相似，求点M 的坐标．22．（8分）在平面直角坐标系xOy 中，已知P （a ,b ）,R （c ,d ）两点，且a c ≠，b d ≠，若过点P 作x 轴的平行线，过点R 作y 轴的平行线，两平行线交于一点S ，连接PR ，则称△PRS 为点P ，R ，S 的“坐标轴三角形”.若过点R 作x 轴的平行线，过点P 作y 轴的平行线，两平行线交于一点S '，连接PR ，则称△RP S '为点R ，P ，S '的“坐标轴三角形”.右图为点P ，R ，S 的“坐标轴三角形”的示意图.（1）已知点A （0，4），点B （3，0）,若△ABC 是点A ，B ，C 的“坐标轴三角形”，则点C 的坐标为 ； （2）已知点D （2，1），点E （e ，4），若点D ，E ，F 的“坐标轴三角形”的面积为3，求e 的值.（3）若O 32M （m ，4），若在O 上存在一点N ，使得点N ，M ，G 的“坐标轴三角形”为等腰三角形，求m 的取值范围.23．（8分）如图，,C D 是半圆O 上的三等分点，直径4AB =，连接,,AD AC DE AB ⊥，垂足为,E DE 交AC 于点F ，求AFE ∠的度数和涂色部分的面积．24．（8分）有甲乙两个不透明的布袋，甲布袋装有2个形状和重量完全相同的小球，分别标有数字1和2；乙布袋装有3个形状和重量完全相同的小球，分别标有数字3-，1-和0．先从甲布袋中随机取出一个小球，将小球上标有的数字记作x ；再从乙布袋中随机取出一个小球，再将小球标有的数字记作y ．（1）用画树状图或列表法写出两次摸球的数字可能出现的所有结果；（2）若从甲、乙两布袋中取出的小球上面的数记作点的坐标(),x y ，求点(),x y 在一次函数21y x =-+图象上的概率是多少？25．（10分）有A 、B 两组卡片共1张，A 组的三张分别写有数字2，4，6，B 组的两张分别写有3，1．它们除了数字外没有任何区别，（1）随机从A 组抽取一张，求抽到数字为2的概率；（2）随机地分别从A 组、B 组各抽取一张，请你用列表或画树状图的方法表示所有等可能的结果.现制定这样一个游戏规则：若选出的两数之积为3的倍数，则甲获胜；否则乙获胜．请问这样的游戏规则对甲乙双方公平吗？为什么？26．（10分）解不等式组1(1)222323x x x ⎧+≤⎪⎪⎨++⎪≥⎪⎩，并求出不等式组的整数解之和．参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、D【解析】根据幂的乘方、同底数幂的乘法的运算法则计算后利用排除法求解.【详解】解：A、a2+a4≠a6，不符合；B、a2•a3=a5，不符合；C、a12÷a2=a10，不符合；D、(a2)3=a6，符合.故选D.【点睛】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方．需熟练掌握且区分清楚，才不容易出错.2、A【分析】根据抛物线的对称性质进行解答．【详解】因为抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是x＝−3，点A(-2.2，y1)，B(-3.2，y2)，所以点B与对称轴的距离小于点A到对称轴的距离，所以y1＜y2故选：A．【点睛】考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征．解题时，利用了二次函数图象的对称性．3、A【分析】过顶点A作底边BC的垂线AD，垂足是D点，构造直角三角形．根据等腰三角形的性质，运用三角函数的定义，则可以求得底角的余弦cosB的值．【详解】解：如图，作AD⊥BC于D点．则CD=5cm，AB=AC=13cm．∴底角的余弦=5 13．故选A．【点睛】本题考查的是解直角三角形，解答本题的关键是熟练掌握等腰三角形的三线合一的性质：等腰三角形顶角平分线、底边上的高，底边上的中线重合．4、C【分析】延长AC 交x 轴于E ，延长BD 交x 轴于F ．设A 、B 的横坐标分别是a ，b ，点A 、B 为直线y =x 上的两点，A 的坐标是(a ，a )，B 的坐标是(b ，b )．则AE =OE =a ，BF =OF =b ．根据BD =2AC 即可得到a ，b 的关系，然后利用勾股定理，即可用a ，b 表示出所求的式子从而求解．【详解】延长AC 交x 轴于E ，延长BD 交x 轴于F ．设A 、B 的横坐标分别是a ，b ．∵点A 、B 为直线y =x 上的两点，∴A 的坐标是(a ，a )，B 的坐标是(b ，b )．则AE =OE =a ，BF =OF =b ．∵C 、D 两点在交双曲线1y x =(x ＞0)上，则CE 1a =，DF 1b =， ∴BD =BF ﹣DF =b 1b-，AC =a 1a -． 又∵BD =2AC ， ∴b 1b -=2(a 1a-)， 两边平方得：b 221b +-2=4(a 221a +-2)，即b 221b +=4(a 221a+)﹣1． 在直角△OCE 中，OC 2=OE 2+CE 2=a 221a +，同理OD 2=b 221b+， ∴4OC 2﹣OD 2=4(a 221a +)﹣(b 221b +)=1． 故选：C ．【点睛】本题考查了反比例函数与勾股定理的综合应用，正确利用BD =2AC 得到a ，b 的关系是关键．5、B【分析】根据需要保证不少于50%的骑行是免费的，可得此次调查的参考统计量是此次调查所得数据的中位数.【详解】因为需要保证不少于50%的骑行是免费的，所以制定这一标准中的a 的值时，参考的统计量是此次调查所得数据的中位数，故选B ．本题考查了中位数的知识，中位数是以它在所有标志值中所处的位置确定的全体单位标志值的代表值，不受分布数列的极大或极小值影响，从而在一定程度上提高了中位数对分布数列的代表性．6、B【分析】如图，连接CN ．想办法求出CN ，CM ，根据MN ≥CN−CM 即可解决问题．【详解】如图，连接CN ．在Rt △ABC 中，∵AC ＝4，∠B ＝30°，∴AB ＝2AC ＝23BC 3＝3， ∵CM ＝MB ＝12BC ＝32， ∵A 1N ＝NB 1，∴CN ＝12A 1B 13， ∵MN ≥CN−CM ，∴MN 332，即MN 332， ∴MN 332， 故选：B ．【点睛】本题考查解直角三角形，旋转变换等知识，解题的关键是用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．7、C【分析】根据圆周角定理即可解决问题．【详解】∵AC AC =，∴224080AOC ABC ∠∠==⨯︒=︒．故选：C ．本题考查圆周角定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．8、D【分析】根据平面向量的性质一一判断即可．【详解】解：A、如果k＝0，a是非零向量，那么k a＝0，错误，应该是k a＝0．B、如果e是单位向量，那么e＝1，错误．应该是e＝1．C、如果|b|＝|a|，那么b＝a或b＝﹣a，错误．模相等的向量，不一定平行．D、已知非零向量a，如果向量b＝﹣5a，那么a∥b，正确．故选：D．【点睛】本题主要考查平面向量，平行向量等知识，解题的关键是熟练掌握平面向量的基本知识.9、C【分析】找到从正面看所得到的图形即可．【详解】解：它的主视图是：故选：C．【点睛】本题考查了三视图的知识，掌握主视图是解题的关键.10、C【分析】直接利用圆周角定理求解．【详解】解：∵∠ABC和∠AOC所对的弧为AC，∠ABC=60°，∴∠AOC=2∠ABC=2×60°=120°．故选：C．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．二、填空题(每小题3分,共24分)11、35．【解析】直接利用概率公式求解可得．【详解】在这5个乒乓球中，编号是偶数的有3个，所以编号是偶数的概率为35，故答案为：35．【点睛】本题考查了概率公式，关键是掌握随机事件A的概率()P A=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．12、m>n【分析】先根据直线的解析式判断出函数的增减性，再根据一次函数的性质即可得出结论．【详解】∵直线y＝−23x＋b中，k＝−23＜0，∴此函数y随着x增大而减小．∵−3＜2，∴m＞n．故填：m>n.【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数的增减性是解答此题的关键．13、点C在圆外【分析】由r和CA，AB、DA的大小关系即可判断各点与⊙A的位置关系．【详解】解：∵AB＝3厘米，AD＝5厘米，∴AC＝223534+=厘米，∵半径为4厘米，∴点C在圆A外【点睛】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．14、2【分析】连接OA 、OB ，求出∠AOB=60得到△ABC 是等边三角形，即可得到半径OA=AB=2.【详解】连接OA 、OB ，∵30C ∠=，∴∠AOB=60，∵OA=OB ，∴△ABC 是等边三角形，∴OA=AB=2，故答案为：2.【点睛】此题考查圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半.15、(2)(2)a a a +-【分析】先提公因式，再用平方差公式分解.【详解】解：()3244(2)(2)a a a a a a a -=-=+-【点睛】本题考查因式分解，掌握因式分解方法是关键.16、31- 【解析】如图,连接BB′，∵△ABC 绕点A 顺时针方向旋转60°得到△AB′C′，∴AB=AB′,∠BAB′=60°， ∴△ABB′是等边三角形，∴AB=BB′，在△ABC′和△B′BC′中，AB BB AC B C BC BC ='⎧⎪'=''⎨⎪'='⎩，∴△ABC′≌△B′BC′(SSS)，∴∠ABC′=∠B′BC′，延长BC′交AB′于D ，则BD ⊥AB′，∵∠C=90∘，∴，∴C′D=12×2=1， ∴点睛: 本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，作辅助线构造出全等三角形并求出BC′在等边三角形的高上是解题的关键，也是本题的难点．17、【分析】如图，过点C 作CP ⊥BE 于P ，可得CG 为PC 的最小值，由ABCDEF 是正六边形，根据多边形内角和公式可得∠GBC=60°，进而可得∠BCG=30°，根据含30°角的直角三角形的性质及勾股定理即可求出PC 的长.【详解】如图，过点C 作CG ⊥BE 于G ，∵点P 为对角线BE 上一动点，∴点P 与点G 重合时，PC 最短，即CG 为PC 的最小值，∵ABCDEF 是正六边形，∴∠ABC=1(62)1806⨯-⨯︒=120°， ∴∠GBC=60°，∴∠BCG=30°，∵BC=6，∴BG=12BC=3，∴CG=22BC BG-=2263-=33.故答案为：33【点睛】本题考查正六边形的性质、含30°角的直角三角形的性质及勾股定理，根据垂线段最短得出点P的位置，并熟练掌握多边形内角和公式是解题关键.18、70°【分析】连接OA、OB，根据圆周角定理求得∠AOB，由切线的性质求出∠OAP=∠OBP=90°，再由四边形的内角和等于360°，即可得出答案【详解】解：连接OA、OB，∠ACB＝55°，∴∠AOB=110°∵PA、PB是⊙O的两条切线，点A、B为切点，∴∠OAP=∠OBP=90°∵∠APB+∠OAP+∠AOB+∠OBP=360°∴∠APB=180°-(∠OAP+∠AOB+∠OBP)=70°故答案为：70【点睛】本题考查了切线的性质、四边形的内角和定理以及圆周角定理，利用切线性质和圆周角定理求出角的度数是解题的关键三、解答题(共66分)19、（1）证明见解析（2）当△ADE 绕点A 逆时针旋转小于45°的角时，（1）中的结论成立【分析】(1)根据直角三角形斜边上的中线的性质得出BM=DM ，然后根据四点共圆可以得出∠BMD=2∠ACB=90°，从而得出答案；(2)连结BD ，延长DM 至点F ，使得DM=MF ，连结BF 、FC ，延长ED 交AC 于点H ，根据题意得出四边形CDEF为平行四边形，然后根据题意得出△ABD 和△CBF 全等，根据角度之间的关系得出∠DBF=∠ABC =90°． 【详解】解：（1）在Rt △EBC 中，M 是斜边EC 的中点， ∴12BM EC =． 在Rt △EDC 中，M 是斜边EC 的中点，∴12DM EC =． ∴BM=DM ，且点B 、C 、D 、E 在以点M 为圆心、BM 为半径的圆上．∴∠BMD=2∠ACB=90°，即BM ⊥DM ．（2）当△ADE 绕点A 逆时针旋转小于45°的角时，（1）中的结论成立．证明：连结BD ，延长DM 至点F ，使得DM=MF ，连结BF 、FC ，延长ED 交AC 于点H ．∵ DM=MF ，EM=MC ，∴ 四边形CDEF 为平行四边形，∴ DE ∥CF ，ED =CF ，∵ ED= AD ，∴ AD=CF ，∵ DE ∥CF ，∴ ∠AHE=∠ACF ．∵ ()45459045BAD DAH AHE AHE ∠=-∠=--∠=∠-,45BCF ACF ∠=∠-，∴ ∠BAD=∠BCF ，又∵AB= BC ，∴ △ABD ≌△CBF ，∴ BD=BF ，∠ABD=∠CBF ，∵ ∠ABD+∠DBC =∠CBF+∠DBC ，∴∠DBF=∠ABC =90°．在Rt △DBF 中，由BD BF =,DM MF =，得BM=DM 且BM ⊥DM ．【点睛】本题主要考查的是平行四边形的判定与性质、三角形全等、直角三角形的性质，综合性比较强．本题解题的关键是通过构建全等三角形来得出线段相等，然后根据线段相等得出所求的结论．20、（1）2；（﹣1，1），（2，1）；（2）x ＞12；（3）x ＜﹣1或x ＞2 【分析】（1）利用抛物线的对称轴方程得到−12(1)m -⨯-=12，解方程得到m 的值，从而得到y ＝−x 2＋x ＋2，然后解方程−x 2＋x ＋2＝1得抛物线与x 轴的交点；（2）根据二次函数的性质求解；（3）结合函数图象，写出抛物线在x 轴下方所对应的自变量的范围即可．【详解】解：（1）抛物线的对称轴为直线x ＝−12(1)m -⨯-=12， ∴m ＝2，抛物线解析式为y ＝﹣x 2+x +2，当y ＝1时，﹣x 2+x +2＝1，解得x 1＝﹣1，x 2＝2，∴抛物线与x 轴的交点为（﹣1，1），（2，1）；（2）由函数图象可知,当x ＞12时，y 的值随x 的增大而减小； （3）由函数图象可知,当x ＜﹣1或x ＞2时，y ＜1．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ，b ，c 是常数，a ≠1）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．21、（1）2142y x x =-+（2）P 点坐标（﹣5，﹣72），Q 点坐标（3，﹣72）（3）M 点的坐标为（﹣83，43），（﹣3，1）【解析】试题分析：（1）根据自变量与函数值的对应关系，可得A 、C 点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式； （2）根据平行于x 轴的直线与抛物线的交点关于对称轴对称，可得P 、Q 关于直线x=﹣1对称，根据PQ 的长，可得P 点的横坐标，Q 点的横坐标，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案；（3）根据两组对边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得CM 的长，根据等腰直角三角形的性质，可得MH 的长，再根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．试题解析：（1）当x=0时，y=4，即C （0，4），当y=0时，x+4=0，解得x=﹣4，即A （﹣4，0），将A 、C 点坐标代入函数解析式，得()214440{24b c ⨯--+==，解得1{4b c =-=， 抛物线的表达式为2142y x x =-+；（2）PQ=2AO=8，又PQ ∥AO ，即P 、Q 关于对称轴x=﹣1对称，PQ=8，﹣1﹣4=﹣5，当x=﹣5时，y=12×（﹣5）2﹣（﹣5）+4=﹣，即P （﹣5，﹣72）；﹣1+4=3，即Q （3，﹣72）；P 点坐标（﹣5，﹣72），Q 点坐标（3，﹣72）；（3）∠MCO=∠CAB=45°，①当△MCO ∽△CAB 时，OCCMBA AM =，即4642CM=，CM=823．如图1，过M 作MH ⊥y 轴于H ，MH=CH=22CM=83，当x=﹣83时，y=﹣83+4=43，∴M （﹣83，43）； 当△OCM ∽△CAB 时，OC CM CA AB=，即4642CM =，解得CM=32， 如图2，过M 作MH ⊥y 轴于H ，MH=CH=22CM=3， 当x=﹣3时，y=﹣3+4=1，∴M （﹣3，1），综上所述：M 点的坐标为（﹣83，43），（﹣3，1）． 考点：二次函数综合题 22、（1）（3，4）；（2）4e =或0e =；（3）m 的取值范围是17m ≤≤或71m ≤≤--.【分析】（1）根据点C 到x 轴、y 轴的距离解答即可；（2）根据“坐标轴三角形”的定义求出线段DF 和EF ，然后根据三角形的面积公式求解即可；（3）根据题意可得：符合题意的直线MN 应为y=x+b 或y =－x +b ．①当直线MN 为y=x+b 时，结合图形可得直线MN 平移至与⊙O 相切，且切点在第四象限时，b 取得最小值，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理可求得b 的最小值，进而可得m 的最大值；当直线MN 平移至与⊙O 相切，且切点在第二象限时，b 取得最大值，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理可求得b 的最大值，进而可得m 的最小值，可得m 的取值范围；②当直线MN 为y =－x+b 时，同①的方法可得m 的另一个取值范围，问题即得解决.【详解】解：（1）根据题意作图如下：由图可知：点C 到x 轴距离为4，到y 轴距离为3，∴C （3，4）；故答案为：（3，4）；（2） ∵点D （2，1），点E （e ，4），点D ，E ，F 的“坐标轴三角形”的面积为3， ∴2DF e =-，312EF =-=，∴12332DEF S e =-⨯=，即2e -=2，解得：e =4或e =0； （3）由点N ，M ， G 的“坐标轴三角形”为等腰三角形可得：直线MN 为y=x+b 或y =－x +b .①当直线MN 为y=x+b 时，由于点M 的坐标为（m ，4），可得m =4－b ，由图可知：当直线MN 平移至与⊙O 相切，且切点在第四象限时，b 取得最小值.此时直线MN 记为M 1 N 1，其中N 1为切点，T 1为直线M 1 N 1与y 轴的交点.∵△O N 1T 1为等腰直角三角形，ON 3222213232()()322OT =+=， ∴b 的最小值为－3，∴m 的最大值为m =4－b =7；当直线MN 平移至与⊙O 相切，且切点在第二象限时，b 取得最大值.此时直线MN 记为M 2 N 2，其中N 2为切点，T 2为直线M 2 N 2与y 轴的交点.∵△ON 2T 为等腰直角三角形，ON 23222223232()()322OT =+=， ∴b 的最大值为3，∴m 的最小值为m =4－b =1，∴m 的取值范围是17m ≤≤；②当直线MN 为y =－x+b 时，同理可得，m =b －4，当b =3时，m =－1；当b =－3时，m =－7；∴m 的取值范围是71m ≤≤--.综上所述，m 的取值范围是17m ≤≤或71m ≤≤--.【点睛】本题是新定义概念题，主要考查了三角形的面积、直线与圆相切的性质、等腰三角形的性质和勾股定理等知识，正确理解题意、灵活应用数形结合的思想和分类讨论思想是解题的关键.23、60AFE ︒∠=，233S π=-涂色． 【分析】连接OD ，OC ，根据已知条件得到∠AOD=∠DOC=∠COB=60°，根据圆周角定理得到∠CAB=30°，于是得到∠AFE=60°；再推出△AOD 是等边三角形，OA=2，得到DE=3，根据扇形和三角形的面积公式即可得到涂色部分的面积．【详解】连接,OD OC ，,C D 是半圆O 上的三等分点，则1180603AOD BOC DOC ∠=∠=∠=⨯︒=︒， 11603022CAB BOC ∴∠=∠=⨯︒=︒， ∵DE AB ⊥， ∴90DEA ∠=︒，903060AFE AEF EAF ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒； OA OD =， ∴AOD ∆是等边三角形，3sin 60232DE OD ︒∴==⨯=， 所以260212=23336023AODAOD S S S ππ∆⨯-=-⨯=涂色扇形． 【点睛】 本题考查了扇形的面积，等边三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．24、（1）（1，﹣1），（1，0），（1，﹣3），（2，﹣1），（2，0），（2，﹣3）；（2）1.3【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；（2）由（1）可求得点（x ，y ）在一次函数y=-2x+1图象上的情况，然后直接利用概率公式求解即可求得答案．【详解】解：（1）画树状图得：则点可能出现的所有坐标：（1，﹣1），（1，0），（1，﹣3），（2，﹣1），（2，0），（2，﹣3）；（2）∵在所有的6种等可能结果中，落在y=﹣2x+1图象上的有（1，﹣1）、（2，﹣3）两种结果，∴点（x，y）在一次函数y=﹣2x+1图象上的概率是21. 63 =【点睛】本题考查了列表法和树状图法求概率，一次函数图象上点的坐标特征，正确的画出树状图是解题的关键．25、（1）P（抽到数字为2）=13；（2）不公平，理由见解析.【解析】试题分析：（1）根据概率的定义列式即可；（2）画出树状图，然后根据概率的意义分别求出甲、乙获胜的概率，从而得解．试题解析: （1）P= 13；（2）由题意画出树状图如下：一共有6种情况，甲获胜的情况有4种，P=42 63 =，乙获胜的情况有2种，P=21 63 =，所以，这样的游戏规则对甲乙双方不公平．考点：游戏公平性；列表法与树状图法．26、1.【解析】分析：分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分确定出解集，找出整数解即可．详解：解不等式12（x+1）≤2，得：x≤3，解不等式2323x x++≥，得：x≥0，则不等式组的解集为0≤x≤3，所以不等式组的整数解之和为0+1+2+3=1．点睛：此题考查了解一元一次不等式组，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．。
北京第一零一中学数学九年级上册期末试题和答案
北京第一零一中学数学九年级上册期末试题和答案一、选择题1．方程 x 2＝4的解是（ ） A ．x 1＝x 2＝2 B ．x 1＝x 2＝－2 C ．x 1＝2，x 2＝－2 D ．x 1＝4，x 2＝－4 2．二次函数y ＝3(x －2)2－1的图像顶点坐标是（ ）A ．（－2，1）B ．（－2，－1）C ．（2，1）D ．（2，－1）3．某大学生创业团队有研发、管理和操作三个小组，各组的日工资和人数如下表所示．现从管理组分别抽调1人到研发组和操作组，调整后与调整前相比，下列说法中不正确的是（ ）A ．团队平均日工资不变B ．团队日工资的方差不变C ．团队日工资的中位数不变D ．团队日工资的极差不变4．若25x y =，则x y y+的值为（ ） A ．25 B ．72C ．57D ．755．已知Rt △ABC 中，∠C=900，AC=2，BC=3，则下列各式中，正确的是（ ） A ．2sin 3B =； B ．2cos 3B =； C ．2tan 3B =； D ．以上都不对；6．已知OA ，OB 是圆O 的半径，点C ，D 在圆O 上，且//OA BC ，若26ADC ∠=︒，则B 的度数为（ ）A ．30B ．42︒C ．46︒D ．52︒7．已知2x ＝3y （x ≠0，y ≠0），则下面结论成立的是（ ）A ．23x y =B ．32=y xC ．23x y =D ．23=y x8．一个袋子中装有6个黑球3个白球，这些球除颜色外，形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从这个袋子中摸出一个球，摸到白球的概率为（ ） A ．19B ．13C ．12D ．239．把函数212y x =-的图象，经过怎样的平移变换以后，可以得到函数()21112y x =--+的图象（ ） A ．向左平移1个单位，再向下平移1个单位 B ．向左平移1个单位，再向上平移1个单位 C ．向右平移1个单位，再向上平移1个单位 D ．向右平移1个单位，再向下平移1个单位 10．在4张相同的小纸条上分别写上数字﹣2、0、1、2，做成4支签，放在一个盒子中，搅匀后从中任意抽出1支签（不放回），再从余下的3支签中任意抽出1支签，则2次抽出的签上的数字的和为正数的概率为（ ） A ．14B ．13C ．12D ．2311．二次函数y =()21x ++2的顶点是( ) A ．(1，2) B ．(1，−2) C ．(−1，2) D ．(−1，−2) 12．二次函数y =x 2﹣2x +1与x 轴的交点个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．313．在△ABC 中，∠C ＝90°，tan A ＝13，那么sin A 的值是（ ） A ．12B ．13C ．1010D ．31014．下列说法正确的是（ ） A ．所有等边三角形都相似 B ．有一个角相等的两个等腰三角形相似 C ．所有直角三角形都相似D ．所有矩形都相似15．如图，AB ，AM ，BN 分别是⊙O 的切线，切点分别为 P ，M ，N ．若 MN ∥AB ，∠A ＝60°，AB ＝6，则⊙O 的半径是（ ）A ．32B ．3C ．323D 3二、填空题16．把边长分别为1和2的两个正方形按如图所示的方式放置，则图中阴影部分的面积是_____．17．将抛物线y=﹣2x 2+1向左平移三个单位，再向下平移两个单位得到抛物线________； 18．从地面垂直向上抛出一小球，小球的高度h （米）与小球运动时间t （秒）之间的函数关系式是h=12t ﹣6t 2，则小球运动到的最大高度为________米；19．抛物线y=ax 2-4ax+4(a≠0)与y 轴交于点A ．过点B(0,3)作y 轴的垂线l ，若抛物线y=ax 2-4ax+4(a≠0)与直线l 有两个交点，设其中靠近y 轴的交点的横坐标为m ，且│m│<1，则a 的取值范围是______．20．在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，12AC =，9BC =，圆P 在ABC ∆内自由移动.若P 的半径为1，则圆心P 在ABC ∆内所能到达的区域的面积为______.21．一组数据：2,5,3,1,6，则这组数据的中位数是________.22．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，若∠BOD=140°，则∠BCD=_____．23．两个相似三角形的面积比为9:16，其中较大的三角形的周长为64cm ，则较小的三角形的周长为__________cm ．24．如图，五边形 ABCDE 是⊙O 的内接正五边形， AF 是⊙O 的直径，则∠ BDF 的度数是___________°．25．二次函数2y ax bx c =++的图像开口方向向上，则a ______0.(用“=、>、<”填空)26．如图，圆锥的底面半径OB ＝6cm ，高OC ＝8cm ，则该圆锥的侧面积是_____cm 2．27．当21x -≤≤时，二次函数22()1y x m m =--++有最大值4，则实数m 的值为________．28．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径2r cm =，扇形的圆心角120θ=，则该圆锥的母线长l 为___cm ．29．将抛物线y ＝－5x 2先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后，得到新的抛物线的表达式是________．30．如图，在△ABC 中，AC ：BC ：AB ＝3：4：5，⊙O 沿着△ABC 的内部边缘滚动一圈，若⊙O 的半径为1，且圆心O 运动的路径长为18，则△ABC 的周长为_____．三、解答题31．某商店销售一种商品，经市场调查发现：该商品的月销售量y （件）是售价x （元/件）的一次函数，其售价x 、月销售量y 、月销售利润w （元）的部分对应值如下表： 售价x （元/件） 40 45 月销售量y （件） 300 250 月销售利润w （元）30003750注：月销售利润＝月销售量×（售价－进价） （1）①求y 关于x 的函数表达式；②当该商品的售价是多少元时，月销售利润最大？并求出最大利润；（2）由于某种原因，该商品进价提高了m 元/件（m ＞0），物价部门规定该商品售价不得超过40元/件，该商店在今后的销售中，月销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系．若月销售最大利润是2400元，则m 的值为 ． 32．（1）解方程：27100x x -+= （2）计算：cos60tan 452cos 45︒⨯︒-︒33．如图是输水管的切面，阴影部分是有水部分，其中水面AB 宽10cm ，水最深3cm ，求输水管的半径．34．解方程： （1）x 2-3x+1=0；（2）x （x+3）-（2x+6）=0．35．已知二次函数223y x x =--+的图象和x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，点P是直线AC 上方的抛物线上的动点.(1)求直线AC 的解析式.(2)当P 是抛物线顶点时，求APC ∆面积. (3)在P 点运动过程中，求APC ∆面积的最大值.四、压轴题36．阅读理解：如图，在纸面上画出了直线l 与⊙O ，直线l 与⊙O 相离，P 为直线l 上一动点，过点P 作⊙O 的切线PM ，切点为M ，连接OM 、OP ，当△OPM 的面积最小时，称△OPM 为直线l 与⊙O 的“最美三角形”．解决问题：（1）如图1，⊙A 的半径为1，A(0，2) ，分别过x 轴上B 、O 、C 三点作⊙A 的切线BM 、OP 、CQ ，切点分别是M 、P 、Q ，下列三角形中，是x 轴与⊙A 的“最美三角形”的是 ．(填序号)①ABM ；②AOP ；③ACQ（2）如图2，⊙A 的半径为1，A(0，2)，直线y=kx （k≠0）与⊙A 的“最美三角形”的面积为12，求k 的值． （3）点B 在x 轴上，以B 为圆心，3为半径画⊙B ，若直线y=3x+3与⊙B 的“最美三角形”的面积小于32，请直接写出圆心B 的横坐标B x 的取值范围．37．如图，在正方形ABCD 中，P 是边BC 上的一动点（不与点B ，C 重合），点B 关于直线AP 的对称点为E ，连接AE ，连接DE 并延长交射线AP 于点F ，连接BF（1）若BAP α∠=，直接写出ADF ∠的大小（用含α的式子表示）. （2）求证：BF DF ⊥.（3）连接CF ，用等式表示线段AF ，BF ，CF 之间的数量关系，并证明.38．如图，已知在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3P ，Q 分别是BC ，AD 边上的一个动点，连结BQ ，以P 为圆心，PB 长为半径的⊙P 交线段BQ 于点E ，连结PD ． （1）若DQ 3且四边形BPDQ 是平行四边形时，求出⊙P 的弦BE 的长；（2）在点P ，Q 运动的过程中，当四边形BPDQ 是菱形时，求出⊙P 的弦BE 的长，并计算此时菱形与圆重叠部分的面积．39．如图，在平面直角坐标系中，直线l 分别交x 轴、y 轴于点A ，B ，∠BAO = 30°．抛物线y = ax 2 + bx + 1（a < 0）经过点A ，B ，过抛物线上一点C （点C 在直线l 上方）作CD ∥BO 交直线l 于点D ，四边形OBCD 是菱形．动点M 在x 轴上从点E （ -3，0）向终点A 匀速运动，同时，动点N 在直线l 上从某一点G 向终点D 匀速运动，它们同时到达终点．（1）求点D 的坐标和抛物线的函数表达式． （2）当点M 运动到点O 时，点N 恰好与点B 重合．①过点E 作x 轴的垂线交直线l 于点F ，当点N 在线段FD 上时，设EM = m ，FN = n ，求n 关于m 的函数表达式．②求△NEM 面积S 关于m 的函数表达式以及S 的最大值．40．如图，抛物线2y x bx c =-++与x 轴的两个交点分别为(1,0)A ，(30)B ，．抛物线的对称轴和x 轴交于点M ．（1）求这条抛物线对应函数的表达式；（2）若P 点在该抛物线上，求当PAB △的面积为8时，求点P 的坐标．（3）点G 是抛物线上一个动点，点E 从点B 出发，沿x 轴的负半轴运动，速度为每秒1个单位，同时点F 由点M 出发，沿对称轴向下运动，速度为每秒2个单位，设运动的时间为t ．①若点G到AE和MF距离相等，直接写出点G的坐标．②点C是抛物线的对称轴上的一个动点，以FG和FC为边做矩形FGDC，直接写出点E 恰好为矩形FGDC的对角线交点时t的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【解析】【分析】两边开方得到x=±2．【详解】解：∵x2=4，∴x=±2，∴x1=2，x2=-2．故选：C．【点睛】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法：形如ax2+c=0（a≠0）的方程可变形为2=cxa，当a、c异号时，可利用直接开平方法求解．2．D解析：D【解析】【分析】由二次函数的顶点式，即可得出顶点坐标．【详解】解：∵二次函数为y=a（x-h）2+k顶点坐标是（h，k），∴二次函数y=3（x-2）2-1的图象的顶点坐标是（2，-1）．故选：D．【点睛】此题考查了二次函数的性质，二次函数为y=a（x-h）2+k顶点坐标是（h，k）．3．B解析：B【解析】【分析】根据平均数、方差、中位数和众数的定义分别对每一项进行分析，即可得出答案．【详解】解：调整前的平均数是：26042804300443⨯+⨯+⨯⨯=280；调整后的平均数是：260528023005525⨯+⨯+⨯++=280； 故A 正确；调整前的方差是：()()()222142602804280280430028012⎡⎤-+-+-⎣⎦=8003；调整后的方差是：()()()222152602802280280530028012⎡⎤-+-+-⎣⎦=10003； 故B 错误；调整前：把这些数从小到大排列为：260，260，260，260，280，280，280，280，300，300，300，300；最中间两个数的平均数是：280，则中位数是280，调整后：把这些数从小到大排列为：260，260，260，260，260，280，280，300，300，300，300，300；最中间两个数的平均数是：280，则中位数是280， 故C 正确；调整前的极差是40，调整后的极差也是40，则极差不变， 故D 正确. 故选B. 【点睛】此题考查了平均数、方差、中位数和极差的概念，掌握各个数据的计算方法是关键.4．D解析：D 【解析】 【分析】由已知可得x 与y 的关系，然后代入所求式子计算即可. 【详解】 解：∵25x y =， ∴25x y =， ∴2755y yx y y y ++==.故选：D. 【点睛】本题考查了比例的性质，属于基础题型，熟练掌握比例的性质是解题关键.5．C解析：C 【解析】 【分析】根据勾股定理求出AB ，根据锐角三角函数的定义求出各个三角函数值，即可得出答案． 【详解】 如图：由勾股定理得：AB=22222133AC BC ++＝＝ ， 所以cosB=313BC AB ＝，sinB=21233AC AC tanB AB BC =＝，＝ ，所以只有选项C 正确； 故选：C ． 【点睛】此题考查锐角三角函数的定义的应用，能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键．6．D解析：D 【解析】 【分析】连接OC ，根据圆周角定理求出∠AOC ，再根据平行得到∠OCB ，利用圆内等腰三角形即可求解. 【详解】 连接CO ， ∵26ADC ∠=︒ ∴∠AOC=252ADC ∠=︒ ∵//OA BC ∴∠OCB=∠AOC=52︒ ∵OC=BO ， ∴B =∠OCB=52︒故选D.【点睛】此题主要考查圆周角定理，解题的关键是熟知圆的基本性质及圆周角定理的内容.7．D解析：D【解析】【分析】根据比例的性质，把等积式写成比例式即可得出结论．【详解】A.由内项之积等于外项之积，得x ：3=y ：2，即32x y =，故该选项不符合题意， B.由内项之积等于外项之积，得x ：3=y ：2，即32x y =，故该选项不符合题意， C.由内项之积等于外项之积，得x ：y ＝3：2，即32x y =，故该选项不符合题意， D.由内项之积等于外项之积，得2：y ＝3：x ，即23=y x，故D 符合题意； 故选：D ．【点睛】 本题考查比例的性质，熟练掌握比例内项之积等于外项之积的性质是解题关键．8．B解析：B【解析】【分析】让白球的个数除以球的总数即为摸到白球的概率．【详解】解：6个黑球3个白球一共有9个球，所以摸到白球的概率是3193=． 故选：B ．【点睛】本题考查了概率，熟练掌握概率公式是解题的关键． 9．C解析：C【解析】【分析】根据抛物线顶点的变换规律作出正确的选项．【详解】 抛物线212y x =-的顶点坐标是00（，），抛物线线()21112y x =--+的顶点坐标是11（，）， 所以将顶点00（，）向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到顶点11（，），即将函数212y x =-的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到函数()21112y x =--+的图象． 故选：C ．【点睛】 主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．10．C解析：C【解析】【分析】画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出2次抽出的签上的数字和为正数的结果数，最后根据概率公式计算即可．【详解】根据题意画图如下：共有12种等情况数，其中2次抽出的签上的数字的和为正数的有6种，则2次抽出的签上的数字的和为正数的概率为612＝12； 故选：C ．【点睛】本题考查列表法与树状图法、概率计算题，解题的关键是画树状图展示出所有12种等可能的结果数及准确找出2次抽出的签上的数字和为正数的结果数， 11．C解析：C【解析】【分析】因为顶点式y=a （x-h ）2+k ，其顶点坐标是（h ，k ），即可求出y=()21x ++2的顶点坐标．【详解】解：∵二次函数y=()21x ++2是顶点式，∴顶点坐标为：(−1，2)；故选：C.【点睛】此题主要考查了利用二次函数顶点式求顶点坐标，此题型是中考中考查重点，同学们应熟练掌握．12．B解析：B【解析】由△=b 2-4ac=（-2）2-4×1×1=0，可得二次函数y=x 2-2x+1的图象与x 轴有一个交点．故选B ．13．C解析：C【解析】【分析】根据正切函数的定义，可得BC ，AC 的关系，根据勾股定理，可得AB 的长，根据正弦函数的定义，可得答案．【详解】tan A ＝BC AC ＝13，BC ＝x ，AC ＝3x ， 由勾股定理，得AB x ，sin A ＝BC AB ＝10， 故选：C ．【点睛】本题考查了同角三角函数的关系，利用正切函数的定义得出BC=x ，AC=3x 是解题关键．14．A解析：A【解析】【分析】根据等边三角形各内角为60°的性质、矩形边长的性质、直角三角形、等腰三角形的性质可以解题．【详解】解：A 、等边三角形各内角为60°，各边长相等，所以所有的等边三角形均相似，故本选项正确；B 、一对等腰三角形中，若底角和顶角相等且不等于60°，则该对三角形不相似，故本选项错误；C 、直角三角形中的两个锐角的大小不确定，无法判定三角形相似，故本选项错误；D 、矩形的邻边的关系不确定，所以并不是所有矩形都相似，故本选项错误．故选：A ．【点睛】本题考查了等边三角形各内角为60°，各边长相等的性质，考查了等腰三角形底角相等的性质，本题中熟练掌握等边三角形、等腰三角形、直角三角形、矩形的性质是解题的关键．15．D解析：D【解析】【分析】根据题意可判断四边形ABNM为梯形，再由切线的性质可推出∠ABN=60°，从而判定△APO≌△BPO，可得AP=BP=3，在直角△APO中，利用三角函数可解出半径的值.【详解】解：连接OP，OM，OA，OB，ON∵AB，AM，BN 分别和⊙O 相切，∴∠AMO=90°，∠APO=90°，∵MN∥AB，∠A＝60°，∴∠AMN=120°，∠OAB=30°，∴∠OMN=∠ONM=30°，∵∠BNO=90°，∴∠ABN=60°，∴∠ABO=30°，在△APO和△BPO中，OAP OBPAPO BPOOP OP∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△APO≌△BPO（AAS），∴AP=12AB=3，∴tan∠OAP=tan30°=OPAP=33，∴OP=3，即半径为3.故选D.【点睛】本题考查了切线的性质，切线长定理，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，关键是说明点P是AB中点，难度不大.二、填空题16．【解析】【分析】由正方形的性质易证△ABC∽△FEC，可设BC=x，只需求出BC即可求出图中阴影部分的面积．【详解】如图所示：设BC＝x，则CE＝1﹣x，∵AB∥EF，∴△ABC∽△解析：1 6【解析】【分析】由正方形的性质易证△ABC∽△FEC，可设BC=x，只需求出BC即可求出图中阴影部分的面积．【详解】如图所示：设BC＝x，则CE＝1﹣x，∵AB∥EF，∴△ABC∽△FEC∴ABEF＝BCCE，∴12＝x1x解得x＝13，∴阴影部分面积为：S△ABC＝12×13×1＝16，故答案为：16．【点睛】本题主要考查正方形的性质及三角形的相似，本题要充分利用正方形的特殊性质．利用比例的性质，直角三角形的性质等知识点的理解即可解答.17．【解析】【分析】根据抛物线平移的规律计算即可得到答案.【详解】根据题意：平移后的抛物线为.【点睛】此题考查抛物线的平移规律：对称轴左加右减，函数值上加下减，掌握规律并熟练运用是解题的关解析：()2231y x =-+-【解析】【分析】根据抛物线平移的规律计算即可得到答案.【详解】根据题意：平移后的抛物线为()2231y x =-+-.【点睛】此题考查抛物线的平移规律：对称轴左加右减，函数值上加下减，掌握规律并熟练运用是解题的关键. 18．6【解析】【分析】现将函数解析式配方得，即可得到答案.【详解】，∴当t=1时，h 有最大值6.故答案为：6.【点睛】此题考查最值问题，确定最值时需现将函数解析式配方为顶点式，再根据开 解析：6【解析】【分析】现将函数解析式配方得221266(1)6h tt t =--=+﹣，即可得到答案. 【详解】 221266(1)6h t t t =--=+﹣，∴当t=1时，h有最大值6.故答案为：6.【点睛】此题考查最值问题，确定最值时需现将函数解析式配方为顶点式，再根据开口方向确定最值.19．a>或a<.【解析】【分析】先确定抛物线的对称轴，根据开口的大小与a的关系，即开口向上时，a>0,且a 越大开口越小，开口向下时，a<0,且a越大，开口越大，从而确定a的范围. 【详解】解：如解析：a>13或a<15-.【解析】【分析】先确定抛物线的对称轴，根据开口的大小与a的关系，即开口向上时，a>0,且a越大开口越小，开口向下时，a<0,且a越大，开口越大，从而确定a的范围.【详解】解：如图，观察图形抛物线y=ax2-4ax+4的对称轴为直线422axa-=-= ,设抛物线与直线l交点（靠近y轴）为(m,3)，∵│m│<1，∴-1<m<1.当a>0时，若抛物线经过点（1，3）时，开口最大，此时a值最小，将点（1，3）代入y=ax2-4ax+4，得，3=a-4a+4解得a=1 3 ,∴a>1 3 ;当a<0时，若抛物线经过点（-1，3）时，开口最大，此时a值最大，将点（-1，3）代入y=ax2-4ax+4，得，3=a+4a+4解得a=1 5 - ,∴a<1 5 -.a的取值范围是a>13或a<15-.故答案为：a>13或a<15-.【点睛】本题考查抛物线的性质，首先明确a值与开口的大小关系，观察图形，即数形结合的思想是解答此题的关键.20．24【解析】【分析】根据题意做图，圆心在内所能到达的区域为△EFG，先求出AB的长，延长BE交A C于H点，作HM⊥AB于M，根据圆的性质可知BH平分∠ABC，故CH=HM,设CH=x= HM，根解析：24【解析】【分析】根据题意做图，圆心P在ABC∆内所能到达的区域为△EFG，先求出AB的长，延长BE交AC于H点，作HM⊥AB于M，根据圆的性质可知BH平分∠ABC，故CH=HM,设CH=x=HM，根据Rt△AMH中利用勾股定理求出x的值，作EK⊥BC于K点，利用△BEK∽△BHC，求出BK的长，即可求出EF的长，再根据△EFG∽△BCA求出FG，即可求出△EFG的面积.【详解】 如图，由题意点O 所能到达的区域是△EFG ，连接BE ，延长BE 交AC 于H 点，作HM ⊥AB 于M ，EK ⊥BC 于K ，作FJ ⊥BC 于J ．∵90C ∠=︒，12AC =，9BC =，∴AB=2212915+=根据圆的性质可知BH 平分∠ABC∴故CH=HM,设CH=x=HM ，则AH=12-x ，BM=BC=9,∴AM=15-9=6在Rt △AMH 中，AH 2=HM 2+AM 2即AH 2=HM 2+AM 2（12-x ）2=x 2+62解得x=4.5∵EK ∥AC ，∴△BEK ∽△BHC ，∴EK BK HC BC =，即14.59BK = ∴BK=2，∴EF=KJ=BC-BK-JC=9-2-1=6，∵EG ∥AB ，EF ∥AC ，FG ∥BC ， ∴∠EGF ＝∠ABC ，∠FEG ＝∠CAB ，∴△EFG ∽△ACB ，故EF FG BC AC =,即6912FG = 解得FG=8 ∴圆心P 在ABC ∆内所能到达的区域的面积为12FG×EF=12×8×6=24, 故答案为24.【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质综合，解题的关键是熟知勾股定理、相似三角形的判定与性质.21．3【解析】【分析】根据中位数的定义进行求解即可得出答案.【详解】将数据从小到大排列：1，2，3，5，6，处于最中间的数是3，∴中位数为3，故答案为：3.【点睛】本题考查了中位数的定义，中解析：3【解析】【分析】根据中位数的定义进行求解即可得出答案.【详解】将数据从小到大排列：1，2，3，5，6，处于最中间的数是3，∴中位数为3，故答案为：3.【点睛】本题考查了中位数的定义，中位数是将一组数据从小到大或从大到小排列，处于最中间（中间两数的平均数）的数即为这组数据的中位数.22．110°.【解析】【分析】由圆周角定理,同弧所对的圆心角是圆周角的2倍.可求∠A=∠BOD=70°,再根据圆内接四边形对角互补,可得∠C=180-∠A=110°【详解】∵∠BOD=140°解析：110°.【解析】【分析】由圆周角定理,同弧所对的圆心角是圆周角的2倍.可求∠A=12∠BOD=70°,再根据圆内接四边形对角互补,可得∠C=180-∠A=110°【详解】∵∠BOD=140°∴∠A=12∠BOD=70°∴∠C=180°-∠A=110°，故答案为：110°.【点睛】此题考查圆周角定理，解题的关键在于利用圆内接四边形的性质求角度.23．48【解析】【分析】根据面积之比得出相似比，然后利用周长之比等于相似比即可得出答案．【详解】∵两个相似三角形的面积比为∴两个相似三角形的相似比为∴两个相似三角形的周长也比为∵较大的三解析：48【解析】【分析】根据面积之比得出相似比，然后利用周长之比等于相似比即可得出答案．【详解】∵两个相似三角形的面积比为9:16∴两个相似三角形的相似比为3:4∴两个相似三角形的周长也比为3:4∵较大的三角形的周长为64cm∴较小的三角形的周长为643484cm ⨯=故答案为：48．【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键．24．54【解析】【分析】连接AD，根据圆周角定理得到∠ADF=90°，根据五边形的内角和得到∠ABC=∠C=108°，求得∠ABD=72°，由圆周角定理得到∠F=∠ABD=72°，求得∠FA D=1解析：54【解析】【分析】连接AD，根据圆周角定理得到∠ADF=90°，根据五边形的内角和得到∠ABC=∠C=108°，求得∠ABD=72°，由圆周角定理得到∠F=∠ABD=72°，求得∠FAD=18°，于是得到结论．【详解】连接AD，∵AF是⊙O的直径，∴∠ADF=90°，∵五边形ABCDE 是⊙O 的内接正五边形，∴∠ABC=∠C=108°，∴∠ABD=72°，∴∠F=∠ABD=72°，∴∠FAD=18°，∴∠CDF=∠DAF=18°，∴∠BDF=36°+18°=54°，故答案为54．【点睛】本题考查正多边形与圆，圆周角定理等知识，解题的关键灵活运用所学知识解决问题．25．>【解析】【分析】根据题意直接利用二次函数的图象与a 的关系即可得出答案．【详解】解：因为二次函数的图像开口方向向上，所以有>0.故填>.【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次解析：>【解析】【分析】根据题意直接利用二次函数的图象与a 的关系即可得出答案．【详解】解：因为二次函数2y ax bx c =++的图像开口方向向上，所以有a >0.故填>.【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次项系数a 与抛物线的关系是解题的关键，图像开口方向向上，a >0；图像开口方向向下，a <0． 26．60π【解析】【分析】先利用勾股定理求出BC 的长度，然后利用扇形的面积公式求解即可．【详解】解：∵它的底面半径OB ＝6cm ，高OC ＝8cm ．∴BC＝＝10（cm ），∴圆锥的侧面积是：（解析：60π【解析】【分析】先利用勾股定理求出BC 的长度，然后利用扇形的面积公式求解即可．【详解】解：∵它的底面半径OB ＝6cm ，高OC ＝8cm ．∴BC =＝10（cm ）， ∴圆锥的侧面积是：12610602r l rl ππππ⋅⋅==⋅⨯=（cm 2）． 故答案为：60π．【点睛】本题主要考查勾股定理及扇形的面积公式，掌握勾股定理及扇形的面积公式是解题的关键． 27．2或【解析】【分析】求出二次函数对称轴为直线x=m ，再分m ＜-2，-2≤m≤1，m ＞1三种情况，根据二次函数的增减性列方程求解即可．【详解】解：二次函数的对称轴为直线x=m ，且开口向下，解析：2或【解析】【分析】求出二次函数对称轴为直线x=m ，再分m ＜-2，-2≤m≤1，m ＞1三种情况，根据二次函数的增减性列方程求解即可．【详解】解：二次函数22()1y x m m =--++的对称轴为直线x=m ，且开口向下，①m ＜-2时，x=-2取得最大值，-（-2-m ）2+m 2+1=4， 解得74m =-， 724->-， ∴不符合题意，②-2≤m≤1时，x=m 取得最大值，m 2+1=4，解得m =所以m =，③m ＞1时，x=1取得最大值，-（1-m ）2+m 2+1=4，解得m=2，综上所述，m=2或时，二次函数有最大值．故答案为：2或【点睛】本题考查了二次函数的最值，熟悉二次函数的性质及图象能分类讨论是解题的关键．28．【解析】【分析】易得圆锥的底面周长，也就是侧面展开图的弧长，进而利用弧长公式即可求得圆锥的母线长．【详解】圆锥的底面周长cm ，设圆锥的母线长为，则： ，解得，故答案为．【点睛】本解析：【解析】【分析】易得圆锥的底面周长，也就是侧面展开图的弧长，进而利用弧长公式即可求得圆锥的母线长．【详解】圆锥的底面周长224ππ=⨯=cm ，设圆锥的母线长为R ，则：1204180R ππ⨯=， 解得6R =，故答案为6．【点睛】本题考查了圆锥的计算，用到的知识点为：圆锥的侧面展开图的弧长等于底面周长；弧长公式为： 180n r π． 29．y ＝－5（x+2）2－3【解析】【分析】根据向左平移横坐标减，向下平移纵坐标减求出新抛物线的顶点坐标，再利用顶点式解析式写出即可．【详解】解：∵抛物线y=-5x2先向左平移2个单位长度，再解析：y＝－5（x+2）2－3【解析】【分析】根据向左平移横坐标减，向下平移纵坐标减求出新抛物线的顶点坐标，再利用顶点式解析式写出即可．【详解】解：∵抛物线y=-5x2先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，∴新抛物线顶点坐标为（-2，-3），∴所得到的新的抛物线的解析式为y=-5（x+2）2-3．故答案为：y=-5（x+2）2-3．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，掌握平移的规律：左加右减，上加下减是关键．30．30【解析】【分析】如图，首先利用勾股定理判定△ABC是直角三角形，由题意得圆心O所能达到的区域是△DEG，且与△ABC三边相切，设切点分别为G、H、P、Q、M、N，连接DH、DG、EP、EQ解析：30【解析】【分析】如图，首先利用勾股定理判定△ABC是直角三角形，由题意得圆心O所能达到的区域是△DEG，且与△ABC三边相切，设切点分别为G、H、P、Q、M、N，连接DH、DG、EP、EQ、FM、FN，根据切线性质可得：AG＝AH，PC＝CQ，BN＝BM，DG、EP分别垂直于AC，EQ、FN分别垂直于BC，FM、DH分别垂直于AB，继而则有矩形DEPG、矩形EQNF、矩形DFMH，从而可知DE＝GP，EF＝QN，DF＝HM，DE∥GP，DF∥HM，EF∥QN，∠PEF ＝90°,根据题意可知四边形CPEQ是边长为1的正方形，根据相似三角形的判定可得△DEF∽△ACB，根据相似三角形的性质可知：DE∶EF∶FD＝AC∶CB∶BA＝3∶4∶5，进而根据圆心O运动的路径长列出方程，求解算出DE、EF、FD的长，根据矩形的性质可得：GP、QN、MH的长，根据切线长定理可设：AG＝AH＝x，BN＝BM＝y，根据线段的和差表示出AC、BC、AB的长，进而根据AC∶CB∶BA＝3∶4∶5列出比例式，继而求出x、y的值，进而即可求解△ABC的周长．【详解】∵AC∶CB∶BA＝3∶4∶5，设AC ＝3a ，CB ＝4a ，BA ＝5a （a ＞0）∴()()()222222=345AC CB a a a BA ++==∴△ABC 是直角三角形，设⊙O 沿着△ABC 的内部边缘滚动一圈，如图所示，连接DE 、EF 、DF ，设切点分别为G 、H 、P 、Q 、M 、N ，连接DH 、DG 、EP 、EQ 、FM 、FN ，根据切线性质可得：AG ＝AH ，PC ＝CQ ，BN ＝BMDG 、EP 分别垂直于AC ，EQ 、FN 分别垂直于BC ，FM 、DH 分别垂直于AB ，∴DG ∥EP ，EQ ∥FN ，FM ∥DH ,∵⊙O 的半径为1∴DG ＝DH ＝PE ＝QE ＝FN ＝FM ＝1，则有矩形DEPG 、矩形EQNF 、矩形DFMH ，∴DE ＝GP ，EF ＝QN ，DF ＝HM ，DE ∥GP ，DF ∥HM ，EF ∥QN,∠PEF ＝90°又∵∠CPE ＝∠CQE ＝90°, PE ＝QE ＝1∴四边形CPEQ 是正方形，∴PC ＝PE ＝EQ ＝CQ ＝1，∵⊙O 的半径为1，且圆心O 运动的路径长为18，∴DE +EF +DF ＝18，∵DE ∥AC ，DF ∥AB ，EF ∥BC ，∴∠DEF ＝∠ACB ，∠DFE ＝∠ABC ，∴△DEF ∽△ABC ，∴DE ：EF ：DF ＝AC ：BC ：AB ＝3：4：5，设DE ＝3k （k ＞0），则EF ＝4k ，DF ＝5k ，∵DE +EF +DF ＝18，∴3k +4k +5k ＝18，解得k ＝32， ∴DE ＝3k ＝92，EF ＝4k ＝6，DF ＝5k ＝152， 根据切线长定理，设AG ＝AH ＝x ，BN ＝BM ＝y ，则AC＝AG+GP+CP＝x+92+1＝x+5．5，BC＝CQ+QN+BN＝1+6+y＝y+7，AB＝AH+HM+BM＝x+152+y＝x+y+7．5，∵AC：BC：AB＝3：4：5，∴（x+5．5）：（y+7）：（x+y+7．5）＝3：4：5，解得x＝2，y＝3，∴AC＝7．5，BC＝10，AB＝12．5，∴AC+BC+AB＝30．所以△ABC的周长为30．故答案为30．【点睛】本题是一道动图形问题，考查切线的性质定理、相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、解直角三角形等知识点，解题的关键是确定圆心O的轨迹，学会作辅助线构造相似三角形，综合运用上述知识点．三、解答题31．（1）①y＝－10x＋700；②当该商品的售价是50元/件时，月销售利润最大，最大利润是4000元．（2）2.【解析】【分析】（1）①将点（40，300）、（45，250）代入一次函数表达式：y=kx+b即可求解；②设该商品的售价是x元，则月销售利润w= y（x－30），求解即可；（2）根据进价变动后每件的利润变为[x-(m+30)]元，用其乘以月销售量，得到关于x的二次函数，求得对称轴，判断对称轴大于50，由开口向下的二次函数的性质可知，当x=40时w取得最大值2400，解关于m的方程即可．【详解】（1）①解：设y＝kx＋b（k，b为常数，k≠0）根据题意得：,4030045250k bk b+=⎧⎨+=⎩解得：10700kb=-⎧⎨=⎩∴y＝－10x＋700②解：当该商品的进价是40－3000÷300＝30元设当该商品的售价是x元/件时，月销售利润为w元根据题意得：w＝y（x－30）＝（x－30）（－10x＋700）＝－10x2＋1000 x－21000＝－10（x－50）2＋4000∴当x＝50时w有最大值，最大值为4000答：当该商品的售价是50元/件时，月销售利润最大，最大利润是4000元．（2）由题意得：。
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北京101中学初三数学期末考试第I 卷（选择题44分）一. 选择题：本题共11个小题，每小题4分，共44分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1. 若a<0，则点A （－a ，2）在 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限2. 函数y x =+31中，自变量x 的取值范围是 A. x ≥0B. x ≥-1C. x ≠-1D. x >-13. 如果α是锐角，且sin α=35，那么cos()90-α的值为 A.45B. 35C. 34D.434. 如图，在⊙O 中，∠=BOC 50 ，OC//AB ，则∠C 的度数为A. 25°B. 50°C. 75°D. 15°5. 直线y x =+23()与x 轴的交点坐标是 A. （－3，2）B. （－6，0）C. （0，6）D. （－3，0）6. 如图，等边三角形ABC 内接于⊙O ，若边长为43cm ，则⊙O 的半径为A. 6cmB. 4cmC. 2cmD. 23cm7. 已知一次函数y kx k =-，若y 随x 的增大而减小，则该函数图象一定不经过A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限8. 如图，半圆O 的直径BC ＝7，延长CB 到A ，割线AED 交半圆于点E 、D ，且AE ＝ED ＝3，则AB 的长为A. 97B. 2C. 11D. 99. 如图，已知反比例函数ykx=的图象经过点A，AB x⊥轴于点B，∆AOB的面积是3，则k的值为A. 6B. 3C. －3D. －610. 下列说法（1）相等的弦所对的弧相等（2）圆中两条平行弦所夹的弧相等（3）等弧所对的圆心角相等（4）相等的圆心角所对的弧相等中，正确的是（）A. （1），（2）B. （1），（3）C. （2），（3）D. （3），（4）11. 如图，⊙O的半径为5，弦AB长为8，过AB的中点E有一动弦CD（点C只在弦AB 所对的劣弧上运动，且不与A、B重合），设CE＝x，ED＝y，下列图象中能够表示y与x之间函数关系的是A B C D第II卷（填空题20分，解答题56分）二. 填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。
把答案填在题中的横线上。
12. 二次函数y x x =+-1211()()的对称轴是__________； 13. 已知如图，PA 、PB 分别切⊙O 于点A 、B ，∠=P 60 ，AP ＝5，则AB 长为___________。
14. 一弦长等于圆的半径，则此弦所对的圆周角为__________； 15. 在直角坐标系中，如果⊙O 1与⊙O 2的半径分别为4和6，点O 1、O 2的坐标分别为（0，6）、（8，0），则这两个圆的公切线有_________条；16. 如图，∆ABC 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，延长AB 到D ，连结CD 。
请你结合图形，编写一道题。
要求：再补充两个已知条件，并写出在所有已知条件下得出的一个结论。
例如： “补充已知：OB ＝BD ，CD 切⊙O 于点C ，求证：∠=∠A D ” “补充已知：______________________，___________________。
求证：______________________________。
”三. 解答题：本大题共2小题，共10分。
17. （本题5分） 计算：cot tan cos sin 304560452-⋅18. （本题5分） 解方程组x x y x y 222701-+-=+=⎧⎨⎩四. 本大题共2小题，共11分。
19. （本题5分）已知如图，在∆ABC 中，AB AC B ==∠=322345，，，求∠CAB C20. （本题6分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AC，AD、BC的延长线交于点E。
显然~。
在不添加辅助线的情况下，请你在图中再找出一对相似三角形，并加以证明。
∆∆EAB ECD五. 本大题共2小题，共12分21. （本题6分）已知抛物线过点A（－2，－3），B（2，5）和C（0，－3）（1）求这条抛物线的解析式；（2）当x＝_______时，y有最________值。
22. （本题6分）全自动洗衣机在洗涤衣服时，要经历进水、清洗、排水、脱水四个连续的过程，其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量y（升）与时间x（分）之间的关系如折线图所示，根据图象解答下列问题：（1）洗衣机的进水时间是__________分钟，清洗时洗衣机中的水量是__________升；（2）已知洗衣机的排水速度为每分钟19升。
①求排水时y与x之间的关系式；②如果排水时间为2分钟，求排水结束时洗衣机中剩下的水量。
六. 本题7分23. 如图，一艘货轮从港口A 出发，以每小时40千米的速度沿北偏西30°方向航行，1.5小时后因故障停在海中C 处，救援艇从位于港口A 的正西方向且距港口A20千米的B 地立即出发，以每小时60千米的速度向C 处驶去，这样救援艇大约用多少分钟到达C 处。
（精确到1分钟。
参考数据：317352247265≈≈≈...，，）七. 本题8分 24. 如图，已知⊙O 是∆ABC 的外接圆，AB 是⊙O 的直径，D 是AB 延长线上的一点，AE DC⊥交DC 的延长线于E ，交⊙O 于点F ，且BC CF ⋂=⋂（1）试判断DE 与⊙O 的位置关系并加以证明； （2）若BD =53，AE ＝4，求∠BCD 的正切值。
八. （本题8分）25. 如图，已知抛物线y mx m x m m =+-++223()交x 轴于C （x 1，0），D （x 2，0）两点，（x 1<x 2）且()()x x 12115++=（1）试确定m 的值；（2）过点A （－1，－5）和抛物线的顶点M 的直线交x 轴于点B ，求B 点的坐标； （3）设点P （a ，b ）是抛物线上点C 到点M 之间的一个动点（含C 、M 点），∆POQ 是以PO 为腰、底边OQ 在x 轴上的等腰三角形，过点Q 作x 轴的垂线交直线AM 于点R ，连结PR 。
设∆PQR 的面积为S ，求S 与a 之间的函数关系式。
参考答案一. 选择题（本大题共11小题，每小题4分，共44分） 1. A 2. C 3. B 4. A5. D6. B7. C8. B9. D10. C11. C二. 填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 12. y 轴（或x ＝0） 13. 514. 30°或150° 15. 316. 条件：AB ＝OD ，BC ＝BD 。
结论：CD 是⊙O 的切线条件：∠=∠A D ，CD 是⊙O 的切线。
结论：BC ⋂的度数为60°；条件：CA ＝CD ，BO ＝BD ，结论：CD DB DA 2=⋅等。
三. 解答题：（本大题共2小题，共10分） 17. （本题5分）解：cot tan cos sin ()3045604531122222-⋅=-⨯4分=-315分18. （本题5分）解方程组x x y x y 22270112-+-=<>+=<>⎧⎨⎩解法1：由<2>得yx =-1<3> 1分把<3>代入<1>，得x x x 222170-+--=()整理，得x x 2230--=2分 解得x x 1213=-=，3分把x x 1213=-=，分别代入<3>，得y y 1222==-，4分∴方程组的解为x y x y 11221232=-=⎧⎨⎩==-⎧⎨⎩ 5分解法2：由<1>得()xy -+-=18022<3>由<2>得x y -=-1<4> 1分 把<4>代入<3>，得y 24=2分 ∴=±y23分当y ＝2时，x ＝－1；当y ＝－2时，x ＝3 4分 ∴方程组的解为x y x y 11221232=-=⎧⎨⎩==-⎧⎨⎩5分四. （本大题共2小题，共11分） 19. （本题5分） 解：如图，作AD BC ⊥于点D1分∴∠=∠=ADB ADC 90AB B =∠=3245，∴=⋅=⨯=AD AB sin 4532223 3分AC =23∴===sin C AD AC 323324分∴∠=C605分20. （本题6分） 结论：∆∆AECACD ~1分证明：如图，在∆AEC 和∆ACD 中，∠1是公共角2分∠2是圆内接四边形ABCD 的外角 ∴∠=∠2B 3分又 AB AC = ∴∠=∠3B ∴∠=∠234分 由等角的补角相等，得 ∴∠=∠ACE ADC 5分 ∴∆∆AEC ACD ~6分五. （本大题共2小题，共12分） 21. （本题6分）（1）解： 抛物线过点A （－2，－3），C （0，－3） ∴抛物线的对称轴为x ＝－1 设抛物线的解析式为ya x k =++()121分抛物线过点A （－2，－3），B （2，5）∴-=+=+⎧⎨⎩359a k a k2分解得a ＝1，k ＝－4 3分 ∴抛物线的解析式为y x x =+-2234分（2）－1，小（每空1分） 22. （本题6分）解：（1）洗衣机的进水时间是4分钟，清洗时洗衣机中的水量是40升；（每空1分）（2）①y x =-⨯-401915()，即y x =-+19325 4分 ②401922-⨯=（升）5分若排水2分钟，则排水结束时洗衣机中剩下的水量是2升6分六. （本题7分）23. 解：如图，过点C 作CD AB ⊥所在直线于点D1分依题意，在Rt ACD ∆中AC ACD =⨯=∠=40156030.， 2分 ∴==AD CD 30303，3分AB =20 ∴=BD 104分在Rt BCD ∆中，BC CD BD =+=+=222230310207()5分∴==BC 602076073（小时）6分73602072026553⨯=≈⨯=.（分钟） 答：救援艇大约用53分钟到达C 处7分七. （本题8分）24. （1）DE 是⊙O 的切线1分证明：连结OC （如图）BC CF ⋂=⋂∴∠=∠，122分⊙O 是∆ABC 的外接圆 ∴点C 在圆上 ∴=OC OA ∴∠=∠32 ∴∠=∠31 ∴OC AE //3分AE DE AED ⊥∴∠=，90∴∠=OCD 90∴⊥OC DC ，即OC DE ⊥ ∴DE 是⊙O 的切线 4分（2）解：在∆ADE 中，由（1）知OC//AE∴=OC AE DO DA设OC ＝tBDAE ==534， ∴=++t t t 453532整理，得672002tt --= 解得t t 125243==-， 经检验t 1，t 2均为原方程的解，由于线段长为非负，故舍去负值。