人教版高中数学必修4(A版) 《平面向量基本定理》课件
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高中数学--2.3.1-平面向量基本定理--新人教A版必修4PPT课件
6
思考3：一 个 平 面 内 的 两 个 不 共 线 的 向 量 e 1 、 e 2 与 该 平
面 内 的 任 一 向 量 a 之 间 的 关 系 .
M
C
a
A
e1
e2
O
如 图 O C O M O N
NB
O M 1 O A 1 e 1 O N2O B2e2
O C 1e12e2
即 a1e-1+2e2
有 且 只 有 一 个 实 数 ， 使 得 b a .
当 0 时，b 与a 同向， 且| b | 是| a | 的 倍; 当 0 时，b 与a 反向， 且| b | 是| a | 的| | 倍; 当 0 时，b 0 ，且| b| 0 。
-
4
（问题提出） .如图，光滑斜面上一个木块受到的重力为G，下 滑力为F1，木块对斜面的压力为F2，这三个力的 方向分别如何？
解：在 ABCD中，
D
C
AC ABADab
b
M
DB ABADab A
MA 1 AC a b a b
2
2
22
MB 1 DB a b a b
2
2 22
MC 1 AC MA a b
2
22
MD
1
DB
MB
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
a
-
b
2
22
aB
13
例3 如图，O A 、O B 不线，APtAB(tR)，
向量能够用选取的基底表示．
新疆 王新敞
奎屯
教学重点：
平面内任一向量用两个不共线非零向量表示.
教学难点： 平面向量基本定理的理解.
-
2
你复习了吗？
思考3：一 个 平 面 内 的 两 个 不 共 线 的 向 量 e 1 、 e 2 与 该 平
面 内 的 任 一 向 量 a 之 间 的 关 系 .
M
C
a
A
e1
e2
O
如 图 O C O M O N
NB
O M 1 O A 1 e 1 O N2O B2e2
O C 1e12e2
即 a1e-1+2e2
有 且 只 有 一 个 实 数 ， 使 得 b a .
当 0 时，b 与a 同向， 且| b | 是| a | 的 倍; 当 0 时，b 与a 反向， 且| b | 是| a | 的| | 倍; 当 0 时，b 0 ，且| b| 0 。
-
4
（问题提出） .如图，光滑斜面上一个木块受到的重力为G，下 滑力为F1，木块对斜面的压力为F2，这三个力的 方向分别如何？
解：在 ABCD中，
D
C
AC ABADab
b
M
DB ABADab A
MA 1 AC a b a b
2
2
22
MB 1 DB a b a b
2
2 22
MC 1 AC MA a b
2
22
MD
1
DB
MB
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
a
-
b
2
22
aB
13
例3 如图，O A 、O B 不线，APtAB(tR)，
向量能够用选取的基底表示．
新疆 王新敞
奎屯
教学重点：
平面内任一向量用两个不共线非零向量表示.
教学难点： 平面向量基本定理的理解.
-
2
你复习了吗？
2.3.1平面向量基本定理课件(人教A版必修4)
→ → → CD 和 BC 的中点．若AC＝λAE＋μ AF，其中 λ，μ ∈R，求 λ＋μ 的值． → → → 1 → 解：设AB＝a，AD＝b，则AE＝ a＋b，AF＝ 2
1 a＋ b， 2 → 又∵AC＝a＋b，
2 → 2 → → ∴AC＝ (AE＋AF)，∴λ＝μ＝ . 3 3 4 ∴λ＋μ＝ . 3
栏目 导引
典题例证技法归纳
题型探究 对基底概念的理解
例1 如果e1，e2是平面α内两个不共线的向 量,判断下列说法是否正确？并说明理由.
① λe1 ＋ μ e2(λ ， μ ∈ R) 可以表示平面 α 内的所
有向量；
栏目 导引
②对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的
实数对(λ，μ)有无穷多个； ③若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有 且只有一个实数λ，使得λ1e1＋μ1e2＝ λ(λ2e1＋μ2e2)；
栏目 导引
①范围：向量a与b的夹角范围是
[0°，180°] ____________________ ． 同向 ． ②当θ＝0°时a与b_________ 反向 ． ③当θ＝180°时a与b________
90° ，则称a (2)垂直：如果a与b的夹角是_______
a⊥b 与b垂直，记作____________ ．
栏目 导引
平面向量基本定理与夹角的 综合应用
→ → ( 本题满分 9 分 ) 已知 | OA | ＝ 1 ， | OB |＝ 例4 3，∠AOB＝ 90°，点 C 在∠AOB 内，且 → → → ∠AOC＝30°.设OC＝mOA＋nOB(m、 n∈R)， m 求 的值． n
栏目 导引
【解】 如图所示， → → ∵OB⊥OA. → → → → → 不妨设|OC|＝2， 过 C 作CD⊥OA于 D， CE⊥OB 于 E， 则四边形 ODCE 是矩形， → → → → → OC＝OD＋DC＝OD＋OE，3 分 → ∵|OC|＝2，∠COD＝30°，
1 a＋ b， 2 → 又∵AC＝a＋b，
2 → 2 → → ∴AC＝ (AE＋AF)，∴λ＝μ＝ . 3 3 4 ∴λ＋μ＝ . 3
栏目 导引
典题例证技法归纳
题型探究 对基底概念的理解
例1 如果e1，e2是平面α内两个不共线的向 量,判断下列说法是否正确？并说明理由.
① λe1 ＋ μ e2(λ ， μ ∈ R) 可以表示平面 α 内的所
有向量；
栏目 导引
②对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的
实数对(λ，μ)有无穷多个； ③若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有 且只有一个实数λ，使得λ1e1＋μ1e2＝ λ(λ2e1＋μ2e2)；
栏目 导引
①范围：向量a与b的夹角范围是
[0°，180°] ____________________ ． 同向 ． ②当θ＝0°时a与b_________ 反向 ． ③当θ＝180°时a与b________
90° ，则称a (2)垂直：如果a与b的夹角是_______
a⊥b 与b垂直，记作____________ ．
栏目 导引
平面向量基本定理与夹角的 综合应用
→ → ( 本题满分 9 分 ) 已知 | OA | ＝ 1 ， | OB |＝ 例4 3，∠AOB＝ 90°，点 C 在∠AOB 内，且 → → → ∠AOC＝30°.设OC＝mOA＋nOB(m、 n∈R)， m 求 的值． n
栏目 导引
【解】 如图所示， → → ∵OB⊥OA. → → → → → 不妨设|OC|＝2， 过 C 作CD⊥OA于 D， CE⊥OB 于 E， 则四边形 ODCE 是矩形， → → → → → OC＝OD＋DC＝OD＋OE，3 分 → ∵|OC|＝2，∠COD＝30°，
高中数学 第二章 平面向量 2.3.1 平面向量基本定理课件 新人教A版必修4
1.若向量 a，b 不共线，则 c＝2a－b，d＝3a－2b， 试判断 c，d 能否作为基底． 解：设存在实数 λ，使 c＝λd， 则 2a－b＝λ(3a－2b)， 即(2－3λ)a＋(2λ－1)b＝0， 由于向量 a，b 不共线， 所以 2－3λ＝2λ－1＝0，这样的 λ 是不存在的， 从而 c，d 不共线，c，d 能作为基底．
探究点二 用基底表示平面向量
如图所示，在▱ABCD 中，点 E，F
分别为 BC，DC 边上的中点，DE 与 BF 交 于点 G，若A→B＝a，A→D＝b，试用 a，b 表 示向量D→E，B→F.
[解] D→E＝D→A＋A→B＋B→E ＝－A→D＋A→B＋12B→C
＝－A→D＋A→B＋12A→D＝a－12b．
4．若 a，b 不共线，且 la＋mb＝0(l，m∈R)，则 l＝________， m＝________． 答案：0 0 5.若A→D是△ABC 的中线，已知A→B＝a，A→C＝b，若 a，b 为基底，则A→D＝________． 答案：12(a＋b)
探究点一 对基底的理解
设 O 是平行四边形 ABCD 两对角线的交点，给出下列向
解：D→E＝D→C＋C→E＝2F→C＋C→E＝－2C→F＋C→E＝－2b＋a．
B→F＝B→C＋C→F＝2E→C＋C→F
＝－2C→E＋C→F＝－2a＋b．
用基底表示向量的两种方法 (1基底表示为止． (2)通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一 性求解.
对基底的理解 (1)两个向量能否作为一组基底，关键是看这两个向量是否共 线．若共线，则不能作基底，反之，则可作基底． (2)一个平面的基底若确定，那么平面上任意一个向量都可以由 这组基底唯一线性表示出来，设向量 a 与 b 是平面内两个不共 线的向量，若 x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则xy11＝＝yx22.，
课件平面向量基本定理学年人教A版高中数学必修四PPT课件_优秀版
分 层
究
作
释 疑
D [A、B、C中两个向量都满足a＝λb，故选D.]
业
难
返 首 页
9
2．给出下列三种说法：
课
自
①一个平面内只有一组不共线的向量可作为表示该平面内所有 堂
主
小
预
习 向量的基底；②一个平面内有无数组不共线向量可作为表示该平面
结 提
探
新 知
内所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量．
已知两个非零向量a和b，作O→A＝a，O→B＝b，则∠AOB 探平面向量基本定理的唯一性及其应用
＝θ，叫 新3平面平向面量向基量本的定基理本的定唯理一及性坐及标其表应示用
做向量a与b的夹角． 知平面向量基本定理的唯一性及其应用
平面向量基本定理的唯一性及其应用
结 提 素 养
平面向量基本定理的唯一性及其应用
养 课
合
时
作 探
B→F＝B→A＋A→D＋D→F
分 层
究
作
释 疑 难
＝－A→B＋A→D＋12A→B＝b－12a.
业
返 首 页
17
课
自
堂
主
预 习
1．若本例(2)中条件不变，试用 a，b 表示A→G.
小 结 提
探
新
素
知
[解] 由平面几何的知识可知B→G＝23B→F，
养
课
合 作 探
故A→G＝A→B＋B→G＝A→B＋23B→F
素 养
其中，说法正确的为( )
课
合
时
作 探
A．①②
B．②③
分 层
究
作
释 疑
C．①③
D．①②③
人教版高中数学必修4(A版) 平面向量基本定理 PPT课件
2.3.1 平面向量基本定理
问题提出
1. 向量加法与减法有哪几种几何运算 法则？ 2.怎样理解向量的数乘运算λa？
（1）|λ a|=|λ ||a|； （2）λ >0时，λa与a方向相同；
λ<0时，λa与a方向相反；
λ=0时，λa=0.
3.平面向量共线定理是什么？
非零向量a与向量b共线 存在唯 一实数λ ，使b＝λa. 4.如图，光滑斜面上一个木块受到的重 力为G，下滑力为F1，木块对斜面的压 力为F2，这三个力的方向分别如何？ 三者有何相互关系？
理论迁移
例1 如图，已知向量e1、e2，求作向 量－2.5e1＋3e2.
C e1 e2 3e2 A －2.5e 1 O B
例2 如图，在平行四边形ABCD中， AB =a， AD =b，E、M分别是AD、DC的中 点，点F在BC上，且BC=3BF，以a，b为 基底分别表示向量 AM 和 EF .
若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量， 则对于这一平面内的任意向量a，有且只有 一对实数λ1，λ 2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
思考8：上述定理称为平面向量基本定理， 不共线向量e1，e2叫做表示这一平面内所 有向量的一组基底. 那么同一平面内可 以作基底的向量有多少组？不同基底对 应向量a的表示式是否相同？
a
e2 a
a=λ1e1+0e2
a =0 e1 + λ 2 e2
思考7：根据上述分析，平面内任一向 量a都可以由这个平面内两个不共线的 向量e1，e2表示出来，从而可形成一个 定理.你能完整地描述这个定理的内容 吗？
若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量， 则对于这一平面内的任意向量a，有且只有 一对实数λ1，λ 2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
问题提出
1. 向量加法与减法有哪几种几何运算 法则？ 2.怎样理解向量的数乘运算λa？
（1）|λ a|=|λ ||a|； （2）λ >0时，λa与a方向相同；
λ<0时，λa与a方向相反；
λ=0时，λa=0.
3.平面向量共线定理是什么？
非零向量a与向量b共线 存在唯 一实数λ ，使b＝λa. 4.如图，光滑斜面上一个木块受到的重 力为G，下滑力为F1，木块对斜面的压 力为F2，这三个力的方向分别如何？ 三者有何相互关系？
理论迁移
例1 如图，已知向量e1、e2，求作向 量－2.5e1＋3e2.
C e1 e2 3e2 A －2.5e 1 O B
例2 如图，在平行四边形ABCD中， AB =a， AD =b，E、M分别是AD、DC的中 点，点F在BC上，且BC=3BF，以a，b为 基底分别表示向量 AM 和 EF .
若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量， 则对于这一平面内的任意向量a，有且只有 一对实数λ1，λ 2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
思考8：上述定理称为平面向量基本定理， 不共线向量e1，e2叫做表示这一平面内所 有向量的一组基底. 那么同一平面内可 以作基底的向量有多少组？不同基底对 应向量a的表示式是否相同？
a
e2 a
a=λ1e1+0e2
a =0 e1 + λ 2 e2
思考7：根据上述分析，平面内任一向 量a都可以由这个平面内两个不共线的 向量e1，e2表示出来，从而可形成一个 定理.你能完整地描述这个定理的内容 吗？
若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量， 则对于这一平面内的任意向量a，有且只有 一对实数λ1，λ 2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
人教A版必修四 2.3.1平面向量基本定理 课件(43张)
底 量的一组基底
2.向量的夹角
图示
定义
作向量 OA a， OB b,则∠AOB=θ 叫做向量a,b的夹 角
范围 __≤0__°__1__8≤__0__θ°____
特例
θ=0°时, _同__向__; θ=90°时, 垂直; θ 时=,1_反8_0_向_°_
【点拨】(1)平面向量基本定理的作用 平面内任何一个向量都可以沿着两个不共线的方向分 解成两个向量的和,并且这种分解是唯一的.
类型三 向量的夹角
【典例】1.在菱形ABCD中,∠A= ,则 AB与AC的夹角
3
为( )
A. B． C. 5 D. 2
6
3
6
3
2.已知向量a与b的夹角为 ,则向量2a与-3b的夹角为
3
()
A.
B.
C. 2
D. 5
6
3
3
6
【审题路线图】1.菱形ABCD⇒角平分线性质⇒向量的 夹角. 2.数乘向量2a与-3b⇒实数的正负对向量方向的影响⇒ 向量的夹角.
22
22
因为EF 1 b a，
4
所以 BH 1 b 1 a 1 b 1 a 5 b.
8 22 28
【方法技巧】平面向量基本定理的作用以及注意点 (1)根据平面向量基本定理,任何一组基底都可以表示 任意向量.用基底表示向量,实质上是利用三角形法则 或平行四边形法则,进行向量的加减法运算.
【变式训练】已知|a|=|b|=2,且a与b的夹角为60°, 则a+b与a的夹角是________,a-b与b的夹角是 ________.
【解析】如图所示,作 OA a,OB b, 且∠AOB=60°, 以OA,OB为邻边作▱OACB,则 OC OA OB a b,
2.向量的夹角
图示
定义
作向量 OA a， OB b,则∠AOB=θ 叫做向量a,b的夹 角
范围 __≤0__°__1__8≤__0__θ°____
特例
θ=0°时, _同__向__; θ=90°时, 垂直; θ 时=,1_反8_0_向_°_
【点拨】(1)平面向量基本定理的作用 平面内任何一个向量都可以沿着两个不共线的方向分 解成两个向量的和,并且这种分解是唯一的.
类型三 向量的夹角
【典例】1.在菱形ABCD中,∠A= ,则 AB与AC的夹角
3
为( )
A. B． C. 5 D. 2
6
3
6
3
2.已知向量a与b的夹角为 ,则向量2a与-3b的夹角为
3
()
A.
B.
C. 2
D. 5
6
3
3
6
【审题路线图】1.菱形ABCD⇒角平分线性质⇒向量的 夹角. 2.数乘向量2a与-3b⇒实数的正负对向量方向的影响⇒ 向量的夹角.
22
22
因为EF 1 b a，
4
所以 BH 1 b 1 a 1 b 1 a 5 b.
8 22 28
【方法技巧】平面向量基本定理的作用以及注意点 (1)根据平面向量基本定理,任何一组基底都可以表示 任意向量.用基底表示向量,实质上是利用三角形法则 或平行四边形法则,进行向量的加减法运算.
【变式训练】已知|a|=|b|=2,且a与b的夹角为60°, 则a+b与a的夹角是________,a-b与b的夹角是 ________.
【解析】如图所示,作 OA a,OB b, 且∠AOB=60°, 以OA,OB为邻边作▱OACB,则 OC OA OB a b,
高中数学必修四《平面向量的基本定理》PPT
栏目 导引
第二章 平面向量
想一想 1.判断两个向量能否作为基底的关键是什么？ 提示：判断两个向量能否作为基底的关键是看它们是否共 线，若共线，则不能作为基底，否则可以作为基底．
栏目 导引
第二章 平面向量
2．两向量的夹角与垂直
(1)夹角：已知两个__非__零__向__量___a 和 b，作O→A＝a，O→B ＝b，则∠__A_O__B__＝θ 叫做向量 a 与 b 的夹角．
【答案】 30° 60°
栏目 导引
第二章 平面向量
【名师点评】 两向量夹角的实质和求解 (1)明确两向量夹角的定义，实质是从同一起点出发的两 个非零向量构成的不大于平角的角，结合平面几何知识 加以解决． (2)求两个向量的夹角关键是利用平移的方法使两个向量 起点重合，作出两个向量的夹角，按照“一作二证三 算”的步骤求出．
栏目 导引
第二章 平面向量
跟踪训练
2．如图所示，已知等边三角形 ABC. (1)求向量A→B与向量B→C的夹角； (2)若 E 为 BC 的中点，求向量A→E与E→C的夹角．
栏目 导引
第二章 平面向量
解：(1)∵△ABC 为正三角形， ∴∠ABC＝60°.延长 AB 至点 D，使|A→B|＝|B→D|， ∴A→B＝B→D， ∴∠DBC 为向量A→B与B→C的夹角，且∠DBC＝120°. (2)∵E 为 BC 的中点，∴AE⊥BC， ∴A→E与E→C的夹角为 90°.
已知向量 a 与 b 的夹角为 60°，则向量－3a 和－12b 的夹 角为________．
答案：60°
栏目 导引
第二章 平面向量
典题例证技法归纳
题型探究
题型一 对基底概念的理解 例1 设e1，e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：
第二章 平面向量
想一想 1.判断两个向量能否作为基底的关键是什么？ 提示：判断两个向量能否作为基底的关键是看它们是否共 线，若共线，则不能作为基底，否则可以作为基底．
栏目 导引
第二章 平面向量
2．两向量的夹角与垂直
(1)夹角：已知两个__非__零__向__量___a 和 b，作O→A＝a，O→B ＝b，则∠__A_O__B__＝θ 叫做向量 a 与 b 的夹角．
【答案】 30° 60°
栏目 导引
第二章 平面向量
【名师点评】 两向量夹角的实质和求解 (1)明确两向量夹角的定义，实质是从同一起点出发的两 个非零向量构成的不大于平角的角，结合平面几何知识 加以解决． (2)求两个向量的夹角关键是利用平移的方法使两个向量 起点重合，作出两个向量的夹角，按照“一作二证三 算”的步骤求出．
栏目 导引
第二章 平面向量
跟踪训练
2．如图所示，已知等边三角形 ABC. (1)求向量A→B与向量B→C的夹角； (2)若 E 为 BC 的中点，求向量A→E与E→C的夹角．
栏目 导引
第二章 平面向量
解：(1)∵△ABC 为正三角形， ∴∠ABC＝60°.延长 AB 至点 D，使|A→B|＝|B→D|， ∴A→B＝B→D， ∴∠DBC 为向量A→B与B→C的夹角，且∠DBC＝120°. (2)∵E 为 BC 的中点，∴AE⊥BC， ∴A→E与E→C的夹角为 90°.
已知向量 a 与 b 的夹角为 60°，则向量－3a 和－12b 的夹 角为________．
答案：60°
栏目 导引
第二章 平面向量
典题例证技法归纳
题型探究
题型一 对基底概念的理解 例1 设e1，e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：
2015-2016学年人教A版必修四 平面向量的基本定理 课件(28张)
解
M b AC AB AD a b a A B DB DA AB AD AB b a 1 1 1 1 MA AC ( a b ) a b 2 2 2 2 1 1 1 1 MB DB (a b) a b 2 2 2 2 1 1 1 MC AC a b 2 2 2 1 1 1 MD MB DB a b 2 2 2
a b
向量b 与非零向量a共线, 当且仅当有唯一一个实 数，使b a .
观察如图三个不共线向 量e1、 a、 e2 , 它们之间会有 怎样的关系呢？
e1
aБайду номын сангаас
e2
将三个向量的起点移到同一点：
e1
a
M O
e1
A
B
a
C
e2
e2
N
显然：a OM ON
本节课是在学习了共线向量基本定理的前提下，进一步研 究平面内任一向量的表示，为今后平面向量的坐标运算打下坚实 的基础。从“如何求导弹竖直和水平方向速度？” 导入新课。通 过导弹的飞行方向和力的分解两个实例，将问题类比，引入本节 问题-向量的分解。为了帮助学生理解，提供了两段直观的视频， 直观形象。设计意图：借助实际与物理问题设置情境，引发学生 思考与想象，将问题类比，引入本节课题。 然后分组讨论合作探 究并提出问题，进入探究阶段。小组讨论完毕，由几个小组展示 研究成果。结合小组展示成果，借助多媒体展示，由师生共同探 究向量的分解。展示过程中，要重点强调平移共起点，借助平行 四边形法则解说分解过程，加深学生的直观映像，完成向量的分 解。通过向量的分解，由学生小组讨论，共同归纳本节的核心知 识—平面向量基本定理。最后设计了几道课后习题进行拓展延伸 ，培养学生的综合能力。
M b AC AB AD a b a A B DB DA AB AD AB b a 1 1 1 1 MA AC ( a b ) a b 2 2 2 2 1 1 1 1 MB DB (a b) a b 2 2 2 2 1 1 1 MC AC a b 2 2 2 1 1 1 MD MB DB a b 2 2 2
a b
向量b 与非零向量a共线, 当且仅当有唯一一个实 数，使b a .
观察如图三个不共线向 量e1、 a、 e2 , 它们之间会有 怎样的关系呢？
e1
aБайду номын сангаас
e2
将三个向量的起点移到同一点：
e1
a
M O
e1
A
B
a
C
e2
e2
N
显然：a OM ON
本节课是在学习了共线向量基本定理的前提下，进一步研 究平面内任一向量的表示，为今后平面向量的坐标运算打下坚实 的基础。从“如何求导弹竖直和水平方向速度？” 导入新课。通 过导弹的飞行方向和力的分解两个实例，将问题类比，引入本节 问题-向量的分解。为了帮助学生理解，提供了两段直观的视频， 直观形象。设计意图：借助实际与物理问题设置情境，引发学生 思考与想象，将问题类比，引入本节课题。 然后分组讨论合作探 究并提出问题，进入探究阶段。小组讨论完毕，由几个小组展示 研究成果。结合小组展示成果，借助多媒体展示，由师生共同探 究向量的分解。展示过程中，要重点强调平移共起点，借助平行 四边形法则解说分解过程，加深学生的直观映像，完成向量的分 解。通过向量的分解，由学生小组讨论，共同归纳本节的核心知 识—平面向量基本定理。最后设计了几道课后习题进行拓展延伸 ，培养学生的综合能力。
高中数学人教A版必修4PPT课件：平面向量的基本定理及坐标表示
的坐标.
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2020年12月27日星期日
解：1OP 1 2
OP1 OP2
x1
2
x2
,
y1
2
y2
，
所以点P的坐标为
x1
2
x2
,
y1
2
y2
.
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2020年12月27日星期日
2 如果P1P
1 2
PP2，那么
OP
OP1
P1P
OP1
1 2
P1P2
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2020年12月27日星期日
高中数学人教A版必修4PPT课件：平面 向量的 基本定 理及坐 标表示
向量的坐标表示
• 在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方 向相同的两个单位向量i、j作为基底， 则对于平面内的一个向量a，有且只有
一对实数x、y使得a=xi+yj，
• 把有序数对(x,y)叫做向量a的坐标，记 作a=(x,y),其中x叫做a在x轴上的坐标，y 叫做a在y轴上的坐标，显然， i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0).
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2020年12月27日星期日
练一练 • 已知O是坐标原点，点A在第 • 一象限，xOA 60 ,
| OA | 4 3 ，求向量 OA 的坐标.
解：设点A x, y ，则
x 4 3 cos 60 2 3, y 4 3 sin 60 6
即A 2 3, 6 ，所以OA 2 3, 6 .
必修4 高中数学人教A版必修4PPT课件：平面向量的基本定理及坐标表示
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2020年12月27日星期日
解：1OP 1 2
OP1 OP2
x1
2
x2
,
y1
2
y2
，
所以点P的坐标为
x1
2
x2
,
y1
2
y2
.
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2 如果P1P
1 2
PP2，那么
OP
OP1
P1P
OP1
1 2
P1P2
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高中数学人教A版必修4PPT课件：平面 向量的 基本定 理及坐 标表示
向量的坐标表示
• 在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方 向相同的两个单位向量i、j作为基底， 则对于平面内的一个向量a，有且只有
一对实数x、y使得a=xi+yj，
• 把有序数对(x,y)叫做向量a的坐标，记 作a=(x,y),其中x叫做a在x轴上的坐标，y 叫做a在y轴上的坐标，显然， i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0).
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练一练 • 已知O是坐标原点，点A在第 • 一象限，xOA 60 ,
| OA | 4 3 ，求向量 OA 的坐标.
解：设点A x, y ，则
x 4 3 cos 60 2 3, y 4 3 sin 60 6
即A 2 3, 6 ，所以OA 2 3, 6 .
必修4 高中数学人教A版必修4PPT课件：平面向量的基本定理及坐标表示
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高一数学人教A版必修4课件：2.3.1 平面向量基本定理
→→ 以OA，OB为邻边作平行四边形 OACB，则
→
→
OC＝a＋b，BA＝a－b.
∵|a|＝|b|，∴平行四边形OACB为菱形.
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27
∴O→C与O→A的夹角∠AOC＝60°， B→A与O→A的夹角即为B→A与B→C的夹角∠ABC＝30°.
∴a＋b与a的夹角为60°，a－b与a的夹角为30°. 反思与感悟 求两个向量的夹角，关键是利用平移的方法使两个 向量的起点重合，根据向量夹角的概念确定夹角，再依据平面图 形的知识求解向量的夹角.过程简记为“一作二证三算”.
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16
思考 3 如图，△ABC 中，A→C与A→B的夹角与C→A与 A→B的夹角是否相同？ 答 不相同，它们互补.A→C与A→B的夹角为∠CAB，而C→A与A→B的夹
角为 π－∠CAB.
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17
例1 已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，a＝3e1－2e2， b＝－2e1＋e2，c＝7e1－4e2，试用向量a和b表示c. 解 ∵a，b不共线，
B.45°
C.60°
D.120°
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31
1234
2.设e1、e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e1与e1 ＋e2；②e1－2e2与e2－2e1；③e1－2e2与4e2－2e1； ④e1＋e2与e1－e2.其中能作为平面内所有向量的一组基底的序号 是__①__②__④___.(写出所有满足条件的序号) 解析 对于③4e2－2e1＝－2e1＋4e2 ＝－2(e1－2e2)，∴e1－2e2与4e2－2e1共线，不能作为基底.
第二章 平面向量
最新-高中数学 231平面向量的基本定理课件 新人教A版必修4 精品
求实数 k .
二、向量的夹角
B
b
两个非零向量 a 和 b ,作OA a ，
O
a
A
OB b ,则AOB (0 180 )
叫做向量 a 和 b 的夹角． 注意:两向量必须
夹角的范围：00,1800
是同起点的！
B
a
ObB
0
a
A Bb O
180
A
b
O
a
A
90
a 与b 同向
a 与 b 反向 a 与 b 垂直，记作 a b
2、基底不唯一，关键是不共线.
3、由定理可将任一向量 a 在给出基底 e1,e2 的条件下进行分解.
4、基底给定时，分解形式唯一.
定理理解：
1.
2. 3、如何判断任意两个向量是否可以做基底？
设 a,b 是两个不共线向量，已知 AB 2a kb, CB a 3b, CD 2a b, 若A,B,D三点共线，
回顾
1、向量加法的平行四边形法则 2、向量共线的基本定理
思考:
如果将平面内任意两个非零向 量的起点放在一起，请问能否用这 两个非零向量表示平面内的任意向 量？
2.3.1平面向量基本定理
设e1、e2是同一平面内的两个不共
线的向量，a 是这一平面内的任一向量，
我们研究 a 与 e1、e2之间的关系。
(t R), 用 OA, OB 表示 OP .
OP (1 t)OA tOB
本题的实质是： 已知O、A、B三点不共线， P
若点 P 在直线 AB 上，
B
则 OP mOA nOB, O
A
且 m n 1.
例3 如图梯形ABCD中，AB / /CD，AB 2CD，
二、向量的夹角
B
b
两个非零向量 a 和 b ,作OA a ，
O
a
A
OB b ,则AOB (0 180 )
叫做向量 a 和 b 的夹角． 注意:两向量必须
夹角的范围：00,1800
是同起点的！
B
a
ObB
0
a
A Bb O
180
A
b
O
a
A
90
a 与b 同向
a 与 b 反向 a 与 b 垂直，记作 a b
2、基底不唯一，关键是不共线.
3、由定理可将任一向量 a 在给出基底 e1,e2 的条件下进行分解.
4、基底给定时，分解形式唯一.
定理理解：
1.
2. 3、如何判断任意两个向量是否可以做基底？
设 a,b 是两个不共线向量，已知 AB 2a kb, CB a 3b, CD 2a b, 若A,B,D三点共线，
回顾
1、向量加法的平行四边形法则 2、向量共线的基本定理
思考:
如果将平面内任意两个非零向 量的起点放在一起，请问能否用这 两个非零向量表示平面内的任意向 量？
2.3.1平面向量基本定理
设e1、e2是同一平面内的两个不共
线的向量，a 是这一平面内的任一向量，
我们研究 a 与 e1、e2之间的关系。
(t R), 用 OA, OB 表示 OP .
OP (1 t)OA tOB
本题的实质是： 已知O、A、B三点不共线， P
若点 P 在直线 AB 上，
B
则 OP mOA nOB, O
A
且 m n 1.
例3 如图梯形ABCD中，AB / /CD，AB 2CD，
人教A版高中数学必修四平面向量基本定理课件
OA1e1
OB2e2
a1e12e2
» 链接几何画板
平面向量基本定理
如果 e 1 , e 2 是同一平面内的两个 不共线的向量，那么对于这一平面内
的任意向量 a ，存在唯一一对实数 a 1
、a 2 ，使 a=a1e1+a2e2
我们把不共线的向量 e ，1 e 叫2 做 表示这一平面内所有向量的一组基底，
记为：
e1，e2
人教A版高中数学必修四第二章2.3.1 平面向量基本定理课件(共19张PPT )
如果 e 1 , e 2 是同一平面内的两个
不共线的向量，那么对于这一平面内
的任意向量 a ，存在唯一一对实数 a 1
、a 2 ，使 a=a1e1+a2e2
» 探究定理 1. 基底 e 1、e 2 条件： 不共线向量
理知，有且只有一对（x，y）叫做向量a
的坐标，记作a＝(x，y).其中x叫做a在x轴上
的坐标，y叫做a在y轴 上的坐标，上式叫做向量 y
的坐标表示.那么x、y的
ya
几何意义如何？
j
x
Oi
x
人教A版高中数学必修四第二章2.3.1 平面向量基本定理课件(共19张PPT )
2.3.1《平面向量基 本定理》
教学目的
• （1）了解平面向量基本定理；理解平面向 量的坐标的概念；
• （2）初步掌握应用向量解决实际问题的重 要思想方法；
• （3）能够在具体问题中适当地选取基底， 使其他向量都能够用基底来表达.
• 教学重点：平面向量基本定理. • 教学难点：平面向量基本定理的理解与应
ab
B
b [0°，180°]
O aA
人教A版高中数学必修四第二章2.3.1 平面向量基本定理课件(共19张PPT )
OB2e2
a1e12e2
» 链接几何画板
平面向量基本定理
如果 e 1 , e 2 是同一平面内的两个 不共线的向量，那么对于这一平面内
的任意向量 a ，存在唯一一对实数 a 1
、a 2 ，使 a=a1e1+a2e2
我们把不共线的向量 e ，1 e 叫2 做 表示这一平面内所有向量的一组基底，
记为：
e1，e2
人教A版高中数学必修四第二章2.3.1 平面向量基本定理课件(共19张PPT )
如果 e 1 , e 2 是同一平面内的两个
不共线的向量，那么对于这一平面内
的任意向量 a ，存在唯一一对实数 a 1
、a 2 ，使 a=a1e1+a2e2
» 探究定理 1. 基底 e 1、e 2 条件： 不共线向量
理知，有且只有一对（x，y）叫做向量a
的坐标，记作a＝(x，y).其中x叫做a在x轴上
的坐标，y叫做a在y轴 上的坐标，上式叫做向量 y
的坐标表示.那么x、y的
ya
几何意义如何？
j
x
Oi
x
人教A版高中数学必修四第二章2.3.1 平面向量基本定理课件(共19张PPT )
2.3.1《平面向量基 本定理》
教学目的
• （1）了解平面向量基本定理；理解平面向 量的坐标的概念；
• （2）初步掌握应用向量解决实际问题的重 要思想方法；
• （3）能够在具体问题中适当地选取基底， 使其他向量都能够用基底来表达.
• 教学重点：平面向量基本定理. • 教学难点：平面向量基本定理的理解与应
ab
B
b [0°，180°]
O aA
人教A版高中数学必修四第二章2.3.1 平面向量基本定理课件(共19张PPT )
高一数学(人教A版必修4)课件：《平面向量基本定理》
探索的良好学习品质．
二、教学重点与难点
• 重点：平面向量基本定理的应用； • 难点：平面向量在给定基向量上分解的唯一性．
三、教学过程 （一）、相关知识：
• 1、向量的加法、减法：
• 2、数乘向量:
(二)、问题引入：
• 如图，设e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，试用e1、 e2表示向量 , , , .(详见课本P96图2-34) AB CD EF GH
• 反思3：把未知向量分解转化为基底向量表示的方法是什
么？
（四）、典型例题：
• 例1、已知平行四边形ABCD的两条对角线相交于M，设
， ，试用基底{ A}B表示a AD b
a, b • , , , （课本P97例1）
MA MB MC MD
• 例2、已知是l上任意两点，O是l外一点如图，求证：对直
平面向量基本定理：
e •
如果 ， 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这
一平面内的1 任一e向2 量 ，有且只有一对实数λ1，λ2使
a • =λ1 +λ2
a e • 我们把不共线向量 1
，
底；
e1 e2
（三）、探究体验：
• 反思1：基底向量是否唯一？
a • 反思2：向量 被分解后，表示是否唯一？（唯一性）
平面向量基本定理
高一数学
一、教学目标
• 1。知识与技能（1）了解平面向量基本定理及其意义； • （2）理解平面内三点共线的充要条件及线段中点的向量
表达式。 • 2。过程与方法 • 通过平面向量基本定理得出的过程，体会由特殊到一般的
方法，培养学生“数”与“形”相互转化的思想方法。 • 3。情感态度与价值观 • 通过本节课的教学，培养学生严肃认真的科学态度与积极
二、教学重点与难点
• 重点：平面向量基本定理的应用； • 难点：平面向量在给定基向量上分解的唯一性．
三、教学过程 （一）、相关知识：
• 1、向量的加法、减法：
• 2、数乘向量:
(二)、问题引入：
• 如图，设e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，试用e1、 e2表示向量 , , , .(详见课本P96图2-34) AB CD EF GH
• 反思3：把未知向量分解转化为基底向量表示的方法是什
么？
（四）、典型例题：
• 例1、已知平行四边形ABCD的两条对角线相交于M，设
， ，试用基底{ A}B表示a AD b
a, b • , , , （课本P97例1）
MA MB MC MD
• 例2、已知是l上任意两点，O是l外一点如图，求证：对直
平面向量基本定理：
e •
如果 ， 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这
一平面内的1 任一e向2 量 ，有且只有一对实数λ1，λ2使
a • =λ1 +λ2
a e • 我们把不共线向量 1
，
底；
e1 e2
（三）、探究体验：
• 反思1：基底向量是否唯一？
a • 反思2：向量 被分解后，表示是否唯一？（唯一性）
平面向量基本定理
高一数学
一、教学目标
• 1。知识与技能（1）了解平面向量基本定理及其意义； • （2）理解平面内三点共线的充要条件及线段中点的向量
表达式。 • 2。过程与方法 • 通过平面向量基本定理得出的过程，体会由特殊到一般的
方法，培养学生“数”与“形”相互转化的思想方法。 • 3。情感态度与价值观 • 通过本节课的教学，培养学生严肃认真的科学态度与积极
人教A版高中数学必修四课件2.3.1 平面向量基本定理3
1 1 . 2 2
3.设向量e1与e2不共线，若3xe1+(10-y)e2=(4y-7)e1+2xe2， 的值分别为( )
A.0，0B.1Leabharlann 1C.3，0D.3，
【解题探究】1.典例1中两个向量可以作为基底的条件是什 提示：两个向量可以作为基底的条件是两向量不共线. 2.典例2中，平面向量基本定理应关注哪些要点？ 提示：(1)只要是同一平面内两不共线的向量都可以作为一 以基底不唯一，λ 1，λ 2唯一. (2)零向量与任意向量都共线，因此零向量不能作为基底. 3.典例3中求x，y的依据是什么？ 提示：向量相等的条件.
知识点2 两向量的夹角 观察图形，回答下列问题：
问题1：平面中任意两个向量都可以平移至公共起点，它们 问题2：若存在夹角，向量的夹角与直线的夹角一样吗？两 与直线的夹角范围有何不同？
【总结提升】对向量的夹角的两点说明 (1)向量夹角的几何表示： 依据向量夹角的定义，两个非零向量的夹角是将两个向量 同一点，这样它们所成的角才是向量的夹角. (2)注意事项： ①向量的夹角是针对非零向量定义的. ②向量的夹角与直线的夹角范围是不同的，它们分别是[0
D.e1+e2与e2
【解析】选B.由于e1与e2不共线，所以e1与2e2不共线，e1+
故都可以作为基底，而2e1+2e2=2(e1+e2)，所以e1+e2与2e1+
不能作为基底.
4.若a，b不共线，且la+mb=0(l，m∈R)，则l=________，m 【解析】因为0=0·a+0·b且a与b不共线，又0=la+mb，所以根 基本定理，可知l=m=0. 答案：0 0
(2)基底的性质： ①不共线性 平面内两个不共线的向量才可以作为一组基底，基底不同 同.由于零向量与任何向量共线，所以零向量不可以作为基 ②不唯一性 对基底的选取不唯一，平面内任一向量a都可被这个平面的 e2线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的.
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b
a
O
B A
b
O
a
与 b 反向
夹角的范围：0 0 ,180 0
a
90 与 垂直， 记作 a b b
A
例2:如图，等边三角形中，求
(1)AB与AC的夹角； (2)AB与BC的夹角。
C
'
C
注意:同起点
120
A
0
60
B
1、若e1，是表示平面内所有向量的一组基底， e2 则下面的四组向量中不能作为基底的是
a
B
向量的夹角:
两个非零向量 a 和 b ,作 OA a ，
AOB OB b ,则
B
b
叫做向量 特别的： a
O
a和
b
O A a 注意:两向量必须 的夹角． 是同起点的
B
a
0
与b
b
B
A
同向
a
180
一、复习旧知，以旧悟新:
（1）求两向量之和的方法是：
（2）向量 b与 a(a 0)共线，则________________
______
当且仅当有唯一一个实数，使b a
二、揭示定理形成, 激发追求新知
设置疑问 导入课题
问题1：给定一个非零向量
能写出什么样的向量？
, e 做线性运算，你
2.已知向量 e1、e2 不共线，实数 x、y 满足(3x－4y)e1＋ (2x－3y)e2＝6e1＋3e2，则 x－y＝________.
3.如图，在ABC中， AC, AB的夹角与CA, AB的夹角的关系为
C _________________.
B → → 4.如图 233，设点 P，Q 是线段 AB 的三等分点，若OA＝a，OB＝b，则
(2)若 e1，e2 是同一平面内两个不共线向量，则 λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2 为实数)可以 表示该平面内所有向量．( ) )
(3)若 ae1＋be2＝ce1＋de2(a，b，c，d∈R)，则 a＝c，b＝d.( (4)基底向量可以是零向量．( )
三、展示定理应用，形成技能技巧
例 例 11 、如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC 和BD 相交于点
A : e1 e2和e1 e2； C : e1 3e2和e2 3e1； B : 3e1 2e2和4e2 6e1； D : e2和e1 e2；
M， AB a , AD b，试用基底 a、 b表示 MC、 MA 、 MB和MD
D M A B A
C
D
C
M
b
变式：在上述平行四边形中，若已知 AC m, BD n ,试用 m, n 表示 MA, MB, AB, AD
如图 OC OM ON OM 1OA 1 e1 ON 2 OB 2 e2
OC 1 e1 2 e2 即 a 1 e1 +2 e2
必修系列 数学4
平面向量基本定理
P f － f
G
（1）了解基底的含义，理解平面向量基本定理； 掌握两向量夹角的定义以及两向量垂直的定义； （2）理解平面里的任何一个向量都可以用两个 不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决 实际问题的重要思想方法； （3）能够在具体问题中适当地选取基底，使其 他向量都能够用基底来表达. 重点：平面向量基本定理. 难点：平面向量基本定理的理解与应用.
e e
e
结论：一个非零向量 有向量
e 可以表示共线的所
ห้องสมุดไป่ตู้
问题2：给定平面内两个不共线的向 量 e , e , 可表示该平面内任一向量 a 1 2 动手操作 吗？ 探测命题 M C A a a e1 e 1 e2 N B O e 2
思考： 1、什么样的向量可以作为平面的基底？
2、向量的基底是否唯一？
3、基底 e1 , e2 给定时，分解形式唯一
吗？
向量共线基本定理
平面向量基本定理
一维直线
a = e
二维平面
a = 1 e1 2 e2
思想有多远，就能走多远！
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基 底．( )
A
→ ＝________，OQ → ＝________.(用 a，b 表示) OP
图 233
本节小结
作业：非常学案
P58
例2
如图, OA、 OB 不共线 , 且 AP t AB ( t R ), 用 OA, OB 表示 OP .
P
B A O
归纳总结 建构数学
（１）平面向量基本定理
如果 e1 , e2 , 是同一平面内两个不共线向量， 那么对于这一平面的任意向量 a, 有且只有 一对实数， 1 , 2 ,
使
a 1 e1 2 e2
思考： 上述表达式中的 1, 2 是否唯一？ （ 2 ） 基底：把不共线的向量 e1 , e2 叫做这一平面内 所有向量的一组基底．