数学：1.4《直角三角形的射影定理》课件(新人教版A选修4-1)
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1.4 直角三角形的射影定理 课件(人教A选修4-1)(2)
即BC2＝BD· AB.
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[研一题] [例1] 如图，在Rt△ABC中，∠ACB
＝90°，CD是AB边上的高，已知BD＝4， AB＝29，试求BC，AC和CD的长度． 分析：本题考查射影定理与勾股定理的应用．解答 本题可由已知条件先求出AD，然后利用射影定理求BC，
AC和CD的长度．
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解：∵BD＝4，AB＝29， ∴AD＝25 由射影定理得 CD2＝AD· BD＝25×4＝100， ∴CD＝10. BC2＝BD· BA＝4×29. ∴BC＝2 29. AC2＝AD· AB＝25×29，∴AC＝5 29.
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[悟一法] 运用射影定理时，要注意其成立的条件，要结合图 形去记忆定理，当所给条件中具备定理的条件时，可直
接运用定理，不具备时可通过作垂线使之满足定理的条
件，再运用定理．
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[通一类]
1．如图，在△ABC 中，∠ACB＝90° ，CD 3 ⊥AB 于 D， DE⊥BC 于 E， AD＝ 10， 若 2 BE＝2，求 BC 的长．
∴AD2＋2· DB＋DB2＝AC2＋BC2， AD·
即2AD· DB＝AC2－AD2＋BC2－DB2. 返回
∵AC2－AD2＝CD2，BC2－DB2＝CD2，
∴2AD· DB＝2CD2，即CD2＝AD· DB. 在Rt△ACD中，AC2＝AD2＋CD2＝AD2＋AD· DB ＝AD(AD＋DB)＝AD· AB， 即AC2＝AD· AB. 在Rt△BCD中，BC2＝CD2＋BD2＝AD· DB＋BD2 ＝BD(AD＋DB)＝BD· AB，
例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影 与 斜边 的比例 中项．
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[小问题·大思维] 1．线段的正射影还是线段吗？
1.4 直角三角形的射影定理 课件(人教A选修4-1)(2)
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[读教材·填要点]
1．射影的有关概念
(1)从一点向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这 条直线上的 正射影 ． (2)线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段， 叫做这条线段在直线上的 正射影 ．
(3) 点和线段 的正射影简称为射影．
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2．射影定理 直角三角形斜边上的 两直角边在斜边上射影 的比
例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影 与 斜边 的比例 中项．
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[小问题·大思维] 1．线段的正射影还是线段吗？
提示：不一定．当该线段所在的直线与已知直线垂直时，
线段的正射影为一个点． 2．如何用勾股定理证明射影定理？ 提示：如图，在Rt△ABC中， ∵AB2＝AC2＋BC2， ∴(AD＋DB)2＝AC2＋BC2，
∴AD2＋2· DB＋DB2＝AC2＋BC2， AD·
即2AD· DB＝AC2－AD2＋BC2－DB2. 返回
∵AC2－AD2＝CD2，BC2－DB2＝CD2，
∴2AD· DB＝2CD2，即CD2＝AD· DB. 在Rt△ACD中，AC2＝AD2＋CD2＝AD2＋AD· DB ＝AD(AD＋DB)＝AD· AB， 即AC2＝AD· AB. 在Rt△BCD中，BC2＝CD2＋BD2＝AD· DB＋BD2 ＝BD(AD＋DB)＝BD· AB，
即BC2＝BD· AB.
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[研一题] [例1] 如图，在Rt△ABC中，∠ACB
＝90°，CD是AB边上的高，已知BD＝4， AB＝29，试求BC，AC和CD的长度． 分析：本题考查射影定理与勾股定理的应用．解答 本题可由已知条件先求出AD，然后利用射影定理求BC，
AC和CD的长度．
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解：∵BD＝4，AB＝29， ∴AD＝25 由射影定理得 CD2＝AD· BD＝25×4＝100， ∴CD＝10. BC2＝BD· BA＝4×29. ∴BC＝2 29. AC2＝AD· AB＝25×29，∴AC＝5 29.
[读教材·填要点]
1．射影的有关概念
(1)从一点向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这 条直线上的 正射影 ． (2)线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段， 叫做这条线段在直线上的 正射影 ．
(3) 点和线段 的正射影简称为射影．
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2．射影定理 直角三角形斜边上的 两直角边在斜边上射影 的比
例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影 与 斜边 的比例 中项．
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[小问题·大思维] 1．线段的正射影还是线段吗？
提示：不一定．当该线段所在的直线与已知直线垂直时，
线段的正射影为一个点． 2．如何用勾股定理证明射影定理？ 提示：如图，在Rt△ABC中， ∵AB2＝AC2＋BC2， ∴(AD＋DB)2＝AC2＋BC2，
∴AD2＋2· DB＋DB2＝AC2＋BC2， AD·
即2AD· DB＝AC2－AD2＋BC2－DB2. 返回
∵AC2－AD2＝CD2，BC2－DB2＝CD2，
∴2AD· DB＝2CD2，即CD2＝AD· DB. 在Rt△ACD中，AC2＝AD2＋CD2＝AD2＋AD· DB ＝AD(AD＋DB)＝AD· AB， 即AC2＝AD· AB. 在Rt△BCD中，BC2＝CD2＋BD2＝AD· DB＋BD2 ＝BD(AD＋DB)＝BD· AB，
即BC2＝BD· AB.
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[研一题] [例1] 如图，在Rt△ABC中，∠ACB
＝90°，CD是AB边上的高，已知BD＝4， AB＝29，试求BC，AC和CD的长度． 分析：本题考查射影定理与勾股定理的应用．解答 本题可由已知条件先求出AD，然后利用射影定理求BC，
AC和CD的长度．
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解：∵BD＝4，AB＝29， ∴AD＝25 由射影定理得 CD2＝AD· BD＝25×4＝100， ∴CD＝10. BC2＝BD· BA＝4×29. ∴BC＝2 29. AC2＝AD· AB＝25×29，∴AC＝5 29.
高二数学之数学人教A版选修4-1课件：1.4 直角三角形的射影定理
由此可见,利用射影定理可以证明勾股定理.过去我们是用面积 割补的方法证明勾股定理的,现在我们又用射影定理证明了勾股定 理,而且这种方法简洁明快,比用面积割补的方法要方便得多.
MM Z ZZ Z Z D D S 目目目标标标导导导航航航
知识知梳知识理识梳梳理理重难聚焦重重难难聚聚焦焦典例透析 典典例例随透透堂析析演练
【做一做2-1】 如图,在Rt△ABC中,AC⊥CB,CD⊥AB于点D,且 CD=4,则AD·DB等于( )
A.16 B.4 C.2 D.不确定
解析:∵AC⊥CB,CD⊥AB, ∴AD·DB=CD . ◆ 全2书优质试题随意编辑 ◆ 课堂教学流程完美展示 又∵CD=4,∴AD·DB=42=16.
答案:A
UUUBBBIAIIAAOOODDDAAAOOOHHHAAANNNGGG HISHIHSHIHSISUHHLI ISSHHUULILIHONGNAN HJHVOOJINNAGOGNNAANN JJIVAVJNJIIAALOIOTOUXI IIAANNLULIIITTOAONUUGXXIYI ANLIA
图形 语言
作用 确定成比例的线段
12
MM Z ZZ Z Z D D S 目目目标标标导导导航航航
知识知梳知识理识梳梳理理重难聚焦重重难难聚聚焦焦典例透析 典典例例随透透堂析析演练
UUUBBBIAIIAAOOODDDAAAOOOHHHAAANNNGGG HISHIHSHIHSISUHHLI ISSHHUULILIHONGNAN HJHVOOJINNAGOGNNAANN JJIVAVJNJIIAALOIOTOUXI IIAANNLULIIITTOAONUUGXXIYI ANLIA
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MM Z ZZ Z Z D D S 目目目标标标导导导航航航
知识知梳知识理识梳梳理理重难聚焦重重难难聚聚焦焦典例透析 典典例例随透透堂析析演练
【做一做2-1】 如图,在Rt△ABC中,AC⊥CB,CD⊥AB于点D,且 CD=4,则AD·DB等于( )
A.16 B.4 C.2 D.不确定
解析:∵AC⊥CB,CD⊥AB, ∴AD·DB=CD . ◆ 全2书优质试题随意编辑 ◆ 课堂教学流程完美展示 又∵CD=4,∴AD·DB=42=16.
答案:A
UUUBBBIAIIAAOOODDDAAAOOOHHHAAANNNGGG HISHIHSHIHSISUHHLI ISSHHUULILIHONGNAN HJHVOOJINNAGOGNNAANN JJIVAVJNJIIAALOIOTOUXI IIAANNLULIIITTOAONUUGXXIYI ANLIA
图形 语言
作用 确定成比例的线段
12
MM Z ZZ Z Z D D S 目目目标标标导导导航航航
知识知梳知识理识梳梳理理重难聚焦重重难难聚聚焦焦典例透析 典典例例随透透堂析析演练
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1.4 直角三角形的射影定理 课件(人教A选修4-1)(2)
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[悟一法] 将原图分成两部分来看，分别在两个三角形中运用 射影定理，实现了沟通两个比例式的目的，在求解此类
问题时，一定要注意对图形进行剖析．
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[通一类] 2．如图，AD、BE是△ABC的高，DF ⊥AB于F，交BE于G，FD的延长线 交AC的延长线于H， 求证：DF2＝FG· FH.
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证明：∵BE⊥AC，
例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影 与 斜边 的比例 中项．
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[小问题·大思维] 1．线段的正射影还是线段吗？
提示：不一定．当该线段所在的直线与已知直线垂直时，
线段的正射影为一个点． 2．如何用勾股定理证明射影定理？ 提示：如图，在Rt△ABC中， ∵AB2＝AC2＋BC2， ∴(AD＋DB)2＝AC2＋BC2，
∴AD2＋2· DB＋DB2＝AC2＋BC2， AD·
即2AD· DB＝AC2－AD2＋BC2－DB2. 返回
∵AC2－AD2＝CD2，BC2－DB2＝CD2，
∴2AD· DB＝2CD2，即CD2＝AD· DB. 在Rt△ACD中，AC2＝AD2＋CD2＝AD2＋AD· DB ＝AD(AD＋DB)＝AD· AB， 即AC2＝AD· AB. 在Rt△BCD中，BC2＝CD2＋BD2＝AD· DB＋BD2 ＝BD(AD＋DB)＝BD· AB，
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[读教材·填要点]
1．射影的有关概念
(1)从一点向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这 条直线上的 正射影 ． (2)线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段， 叫做这条线段在直线上的 正射影 ．
(3) 点和线段 的正射影简称为射影．
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2．射影定理 直角三角形斜边上的 两直角边在斜边上射影 的比
高中数学 1.4直角三角形的射影定理 新人教A版选修4-1
再将线段进行代换，就可以实现等积式的证明．
证明：∵在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴CD2＝AD·BD，∴CD4＝AD2·BD2.
栏 目
又∵在 Rt△ADC 中，DE⊥AC，在 Rt△BDC 中，DF⊥BC，
链 接
∴AD2＝AE·AC，BD2＝BF·BC.∴CD4＝AE·BF·AC·BC.
链 接
影定理可知，AD2＝BD·CD，
∴62＝8×CD，∴CD＝.
点评：充分利用线段间的长度关系，得出AD⊥BC， 从而推出∠BAC＝90°，于是为使用射影定理创造 了条件．
ppt课件
►变式训练
1．在一直角三角形中，斜边上的高为6 cm，且把 斜 ___边__分__成_．3∶2两段，则斜边上中线的52 6长cm是
2．如图，在△ABC中，D、F分别在AC、BC上，
栏 目
且AB⊥AC，AF⊥BC，BD＝DC＝FC＝1，求AC.
链
接
ppt课件
解析：在△ABC 中，设 AC 为 x，
∵AB⊥AC，AF⊥BC，又 FC＝1，根据射影定理，得 AC2＝FC·BC，
即 BC＝x2.再由射影定理，得 AF2＝BF·FC＝(BC－FC)·FC，
1．4 直角三角形的射影定理
ppt课件
栏 目 链 接
ppt课件
理解射影定理，能应用射影定理解决简单几何问 题．
ppt课件
栏 目 链 接
ppt课件
题型一 线段长度的计算 例1 如图，D为△ABC中BC边上的一点，∠CAD＝ ∠B，若AD＝6，AB＝10，BD＝8，求CD的长．
栏 目 链 接
ppt课件
分析：由勾股定理知∠ADB＝90°，即AD⊥BC， 进一步可得∠BAC＝90°，由射影定理求CD.
1.4-直角三角形的射影定理-教学课件(人教A版选修4-1)
课前探究学习
课堂讲练互动
解 在△ABC 中，设 AC 为 x， ∵AB⊥AC，AF⊥BC，又 FC＝1， 根据射影定理，得 AC2＝FC·BC，即 BC＝x2. 再由射影定理，得 AF2＝BF·FC＝(BC－FC)·FC， 即 AF2＝x2－1.∴AF＝ x2－1. 在△BDC 中，过 D 作 DE⊥BC 于 E， ∵BD＝DC＝1，∴BE＝EC， 又∵AF⊥BC，∴DE∥AF，∴DAFE＝DACC.
课前探究学习
课堂讲练互动
题型一 射影的概念 【例1】 如图所示，AD⊥BC，FE⊥BC.求点A、B、C、D、E、F、
G和线段AB、AC、AF、FG 在直线BC上的射影．
[思维启迪] 要求已知点和线段在直线BC上的射影，需过这些 点或线段的端点，作BC边的垂线．
课前探究学习
课堂讲练互动
解 由AD⊥BC，FE⊥BC知：AD在BC上的射影是D；B在BC上 的射影是B；C在BC上的射影是C，E、F、G在BC上的射影都是E； AB在BC上的射影是DB；AC在BC上的射影是DC；AF在BC上的射 影是DE，FG在BC上的射影是点E. 反思感悟 求点和线段在直线上的射影 (1)点在直线上的射影就是由点向直线引垂线，垂足即为射影； (2)线段在直线上的射影就是由线段的两端点向直线引垂线，两垂 足间的线段就是所求射影．
课前探究学习
课堂讲练互动
名师点睛 1．应用射影定理有两个条件：一是直角三角形；二是斜边上的
高．应用射影定理可求直角三角形的边长、面积等有关量， 还可研究相似问题、比例式等问题．
课前探究学习
课堂讲练互动
2．直角三角形射影定理的逆定理 如果一个三角形一边上的高是另两 边在这条边上的射影的比例中项， 那么这个三角形是直角三角形． 符 号 表 示 ： 如 图 ， 在 △ ABC 中 ， CD⊥AB 于 D ， 若 CD2 ＝ AD·BD，则△ABC为直角三角形． 证明 ∵CD⊥AB，∴∠CDA＝∠BDC＝90°.又∵CD2＝ AD·BD，即AD∶CD＝CD∶BD∴△ACD∽△CBD.∴∠CAD ＝∠BCD.又∵∠ACD＋∠CAD＝90°，∴∠ACB＝∠ACD＋ ∠BCD＝∠ACD＋∠CAD＝90°，即△ABC为直角三角形．
1.4 直角三角形的射影定理 课件(人教A选修4-1)(2)
∴∠ABE＋∠BAE＝90°.
同理，∠H＋∠HAF＝90° ∴∠ABE＝∠H.又∠BFG＝∠HFA， ∴△BFG∽△HFA. ∴BF∶HF＝FG∶AF. ∴BF· AF＝FG· FH. Rt△ADB中，DF2＝BF· AF，
∴DF2＝FG· FH.
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射影定理常与勾股定理及三角形相似等问题结合考 查.2012年中山模拟将射影定理与勾股定理相结合，考查
例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影 与 斜边 的比例 中项．
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[小问题·大思维] 1．线段的正射影还是线段吗？
提示：不一定．当该线段所在的直线与已知直线垂直时，
线段的正射影为一个点． 2．如何用勾股定理证明射影定理？ 提示：如图，在Rt△ABC中， ∵AB2＝AC2＋BC2， ∴(AD＋DB)2＝AC2＋BC2，
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[悟一法] 运用射影定理时，要注意其成立的条件，要结合图 形去记忆定理，当所给条件中具备定理的条件时，可直
接运用定理，不具备时可通过作垂线使之满足定理的条
件，再运用定理．
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[通一类]
1．如图，在△ABC 中，∠ACB＝90° ，CD 3 ⊥AB 于 D， DE⊥BC 于 E， AD＝ 10， 若 2 BE＝2，求 BC 的长．
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[读教材·填要点]
1．射影的有关概念
(1)从一点向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这 条直线上的 正射影 ． (2)线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段， 叫做这条线段在直线上的 正射影 ．
(3) 点和线段 的正射影简称为射影．
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2．射影定理 直角三角形斜边上的 两直角边在斜边上射影 的比
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[悟一法] 将原图分成两部分来看，分别在两个三角形中运用 射影定理，实现了沟通两个比例式的目的，在求解此类
1.4 直角三角形的射影定理 课件(人教A选修4-1)(2)
3 3
整理得 x6＝4.∴x＝ 2.∴AC＝ 2.
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点击下图进入“创新演练”
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解：∵∠ACB＝90° ，CD⊥AB， ∴BC2＝BD· AB＝BD· (BD＋AD)． 3 3 2 2 ∵AD＝ 10，∴BC ＝BD ＋ 10BD① 2 2 ∵CD⊥AB，DE⊥BC，∴BD2＝BE· BC.
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∵BE＝2，∴BD2＝2BC，∴BD＝ 2BC② 将②代入①得：BC2＝2BC＋3 5BC， ∴BC2－2BC＝3 5BC，∴(BC2－2BC)2＝45BC， ∴BC4－4BC3＋4BC2＝45BC. ∵BC>0，∴BC3－4BC2＋4BC－45＝0， ∴(BC－5)(BC2＋BC＋9)＝0. ∵BC2＋BC＋9≠0，∴BC－5＝0，∴BC＝5.
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[研一题] [例2] 如图所示，CD垂直平分AB，
点E在CD上，DF⊥AC，DG⊥BE，F、
G分别为垂足． 求证：AF· AC＝BG· BE. 分析：本题考查射影定理的应用，以及利用分割法 分析解决问题的能力，解答本题需要将原图形分割成两 个直角三角形，然后分别利用射影定理求证． 返回
证明：因为 CD 垂直平分 AB， 所以△ACD 和△BDE 均为直角三 角形，并且 AD＝BD. 又因为 DF⊥AC，DG⊥BE， 所以 AF· AC＝AD2， BG· BE＝DB2. 因为 AD2＝DB2， 所以 AF· AC＝BG· BE.
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[悟一法] 将原图分成两部分来看，分别在两个三角形中运用 射影定理，实现了沟通两个比例式的目的，在求解此类
问题时，一定要注意对图形进行剖析．
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[通一类] 2．如图，AD、BE是△ABC的高，DF ⊥AB于F，交BE于G，FD的延长线 交AC的延长线于H， 求证：DF2＝FG· FH.
整理得 x6＝4.∴x＝ 2.∴AC＝ 2.
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解：∵∠ACB＝90° ，CD⊥AB， ∴BC2＝BD· AB＝BD· (BD＋AD)． 3 3 2 2 ∵AD＝ 10，∴BC ＝BD ＋ 10BD① 2 2 ∵CD⊥AB，DE⊥BC，∴BD2＝BE· BC.
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∵BE＝2，∴BD2＝2BC，∴BD＝ 2BC② 将②代入①得：BC2＝2BC＋3 5BC， ∴BC2－2BC＝3 5BC，∴(BC2－2BC)2＝45BC， ∴BC4－4BC3＋4BC2＝45BC. ∵BC>0，∴BC3－4BC2＋4BC－45＝0， ∴(BC－5)(BC2＋BC＋9)＝0. ∵BC2＋BC＋9≠0，∴BC－5＝0，∴BC＝5.
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[研一题] [例2] 如图所示，CD垂直平分AB，
点E在CD上，DF⊥AC，DG⊥BE，F、
G分别为垂足． 求证：AF· AC＝BG· BE. 分析：本题考查射影定理的应用，以及利用分割法 分析解决问题的能力，解答本题需要将原图形分割成两 个直角三角形，然后分别利用射影定理求证． 返回
证明：因为 CD 垂直平分 AB， 所以△ACD 和△BDE 均为直角三 角形，并且 AD＝BD. 又因为 DF⊥AC，DG⊥BE， 所以 AF· AC＝AD2， BG· BE＝DB2. 因为 AD2＝DB2， 所以 AF· AC＝BG· BE.
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[悟一法] 将原图分成两部分来看，分别在两个三角形中运用 射影定理，实现了沟通两个比例式的目的，在求解此类
问题时，一定要注意对图形进行剖析．
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[通一类] 2．如图，AD、BE是△ABC的高，DF ⊥AB于F，交BE于G，FD的延长线 交AC的延长线于H， 求证：DF2＝FG· FH.
1.4 直角三角形的射影定理 课件(人教A选修4-1)(2)
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[研一题] [例2] 如图所示，CD垂直平分AB，
点E在CD上，DF⊥AC，DG⊥BE，F、
G分别为垂足． 求证：AF· AC＝BG· BE. 分析：本题考查射影定理的应用，以及利用分割法 分析解决问题的能力，解答本题需要将原图形分割成两 个直角三角形，然后分别利用射影定理求证． 返回
证明：因为 CD 垂直平分 AB， 所以△ACD 和△BDE 均为直角三 角形，并且 AD＝BD. 又因为 DF⊥AC，DG⊥BE， 所以 AF· AC＝AD2， BG· BE＝DB2. 因为 AD2＝DB2， 所以 AF· AC＝BG· BE.
返1)从一点向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这 条直线上的 正射影 ． (2)线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段， 叫做这条线段在直线上的 正射影 ．
(3) 点和线段 的正射影简称为射影．
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2．射影定理 直角三角形斜边上的 两直角边在斜边上射影 的比
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[悟一法] 将原图分成两部分来看，分别在两个三角形中运用 射影定理，实现了沟通两个比例式的目的，在求解此类
问题时，一定要注意对图形进行剖析．
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[通一类] 2．如图，AD、BE是△ABC的高，DF ⊥AB于F，交BE于G，FD的延长线 交AC的延长线于H， 求证：DF2＝FG· FH.
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证明：∵BE⊥AC，
∴∠ABE＋∠BAE＝90°.
同理，∠H＋∠HAF＝90° ∴∠ABE＝∠H.又∠BFG＝∠HFA， ∴△BFG∽△HFA. ∴BF∶HF＝FG∶AF. ∴BF· AF＝FG· FH. Rt△ADB中，DF2＝BF· AF，
∴DF2＝FG· FH.
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射影定理常与勾股定理及三角形相似等问题结合考 查.2012年中山模拟将射影定理与勾股定理相结合，考查
1.4 直角三角形的射影定理 课件(人教A选修4-1)(2)
∴AD2＋2· DB＋DB2＝AC2＋BC2， AD·
即2AD· DB＝AC2－AD2＋BC2－DB2. 返回
∵AC2－AD2＝CD2，BC2－DB2＝CD2，
∴2AD· DB＝2CD2，即CD2＝AD· DB. 在Rt△ACD中，AC2＝AD2＋CD2＝AD2＋AD· DB ＝AD(AD＋DB)＝AD· AB， 即AC2＝AD· AB. 在Rt△BCD中，BC2＝CD2＋BD2＝AD· DB＋BD2 ＝BD(AD＋DB)＝BD· AB，
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[研一题] [例2] 如图所示，CD垂直平分AB，
点E在CD上，DF⊥AC，DG⊥BE，F、
G分别为垂足． 求证：AF· AC＝BG· BE. 分析：本题考查射影定理的应用，以及利用分割法 分析解决问题的能力，解答本题需要将原图形分割成两 个直角三角形，然后分别利用射影定理求证． 返回
证明：因为 CD 垂直平分 AB， 所以△ACD 和△BDE 均为直角三 角形，并且 AD＝BD. 又因为 DF⊥AC，DG⊥BE， 所以 AF· AC＝AD2， BG· BE＝DB2. 因为 AD2＝DB2， 所以 AF· AC＝BG· BE.
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[读教材·填要点]
1．射影的有关概念
(1)从一点向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这 条直线上的 正射影 ． (2)线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段， 叫做这条线段在直线上的 正射影 ．
(3) 点和线段 的正射影简称为射影．
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2．射影定理 直角三角形斜边上的 两直角边在斜边上射影 的比
解：∵∠ACB＝90° ，CD⊥AB， ∴BC2＝BD· AB＝BD· (BD＋AD)． 3 3 2 2 ∵AD＝ 10，∴BC ＝BD ＋ 10BD① 2 2 ∵CD⊥AB，DE⊥BC，∴BD2＝BE· BC.
1.4 直角三角形的射影定理 课件(人教A选修4-1)(2)
解：∵∠ACB＝90° ，CD⊥AB， ∴BC2＝BD· AB＝BD· (BD＋AD)． 3 3 2 2 ∵AD＝ 10，∴BC ＝BD ＋ 10BD① 2 2 ∵CD⊥AB，DE⊥BC，∴BD2＝BE· BC.
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∵BE＝2，∴BD2＝2BC，∴BD＝ 2BC② 将②代入①得：BC2＝2BC＋3 5BC， ∴BC2－2BC＝3 5BC，∴(BC2－2BC)2＝45BC， ∴BC4－4BC3＋4BC2＝45BC. ∵BC>0，∴BC3－4BC2＋4BC－45＝0， ∴(BC－5)(BC2＋BC＋9)＝0. ∵BC2＋BC＋9≠0，∴BC－5＝0，∴BC＝5.
∴AD2＋2· DB＋DB2＝AC2＋BC2， AD·
即2AD·DB＝AC2－AD2＋BC2－DB2. 返回
∵AC2－AD2＝CD2，BC2－DB2＝CD2，
∴2AD· DB＝2CD2，即CD2＝AD· DB. 在Rt△ACD中，AC2＝AD2＋CD2＝AD2＋AD· DB ＝AD(AD＋DB)＝AD· AB， 即AC2＝AD· AB. 在Rt△BCD中，BC2＝CD2＋BD2＝AD· DB＋BD2 ＝BD(AD＋DB)＝BD· AB，
返回
[研一题] [例2] 如图所示，CD垂直平分AB，
点E在CD上，DF⊥AC，DG⊥BE，F、
G分别为垂足． 求证：AF· AC＝BG· BE. 分析：本题考查射影定理的应用，以及利用分割法 分析解决问题的能力，解答本题需要将原图形分割成两 个直角三角形，然后分别利用射影定理求证． 返回
证明：因为 CD 垂直平分 AB， 所以△ACD 和△BDE 均为直角三 角形，并且 AD＝BD. 又因为 DF⊥AC，DG⊥BE， 所以 AF· AC＝AD2， BG· BE＝DB2. 因为 AD2＝DB2， 所以 AF· AC＝BG· BE.
1.4 直角三角形的射影定理 课件(人教A选修4-1)(2)
其在几何相关量的计算中的应用，是高考模拟命题的一
个考向．
返回
[考题印证]
(2012· 中山模拟) 如图，在△ABC中，
D、F分别在AC、BC上，且AB⊥AC，AF ⊥BC，BD＝DC＝FC＝1.求AC的长． [命题立意] 综合应用． 本题主要考查射影定理和勾股定理的
返回
解：在△ABC中，设AC为x，
例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影 与 斜边 的比例 中项．
返回
[小问题·大思维] 1．线段的正射影还是线段吗？
提示：不一定．当该线段所在的直线与已知直线垂直时，
线段的正射影为一个点． 2．如何用勾股定理证明射影定理？ 提示：如图，在Rt△ABC中， ∵AB2＝AC2＋BC2， ∴(AD＋DB)2＝AC2＋BC2，
即BC2＝BD· AB.
返回
[研一题] [例1] 如图，在Rt△ABC中，∠ACB
＝90°，CD是AB边上的高，已知BD＝4， AB＝29，试求BC，AC和CD的长度． 分析：本题考查射影定理与勾股定理的应用．解答 本题可由已知条件先求出AD，然后利用射影定理求BC，
AC和CD的长度．
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解：∵BD＝4，AB＝29， ∴AD＝25 由射影定理得 CD2＝AD· BD＝25×4＝100， ∴CD＝10. BC2＝BD· BA＝4×29. ∴BC＝2 29. AC2＝AD· AB＝25×29，∴AC＝5 29.
3 3
整理得 x6＝4.∴x＝ 2.∴AC＝ 2.
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∴∠ABE＋∠BAE＝90°.
同理，∠H＋∠HAF＝90° ∴∠ABE＝∠H.又∠BFG＝∠HFA， ∴△BFG∽△HFA. ∴BF∶HF＝FG∶AF. ∴BF· AF＝FG· FH. Rt△ADB中，DF2＝BF· AF，
1.4 直角三角形的射影定理 课件(人教A选修4-1)(2)
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[读教材·填要点]
1．射影的有关概念
(1)从一点向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这 条直线上的 正射影 ． (2)线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段， 叫做这条线段在直线上的 正射影 ．
(3) 点和线段 的正射影简称为射影．
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2．射影定理 直角三角形斜边上的 两直角边在斜边上射影 的比
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[研一题] [例2] 如图所示，CD垂直平分AB，
点E在CD上，DF⊥AC，DG⊥BE，F、
G分别为垂足． 求证：AF· AC＝BG· BE. 分析：本题考查射影定理的应用，以及利用分割法 分析解决问题的能力，解答本题需要将原图形分割成两 个直角三角形，然后分别利用射影定理求证． 返回
证明：因为 CD 垂直平分 AB， 所以△ACD 和△BDE 均为直角三 角形，并且 AD＝BD. 又因为 DF⊥AC，DG⊥BE， 所以 AF· AC＝AD2， BG· BE＝DB2. 因为 AD2＝DB2， 所以 AF· AC＝BG· BE.
其在几何相关量的计算中的应用，是高考模拟命题的一
个考向．
返回
[考题印证]
(2012· 中山模拟) 如图，在△ABC中，
D、F分别在AC、BC上，且AB⊥AC，AF ⊥BC，BD＝DC＝FC＝1.求AC的长． [命题立意] 综合应用． 本题主要考查射影定理和勾股定理的
返回
解：在△ABC中，设AC为x，
∴AD2＋2· DB＋DB2＝AC2＋BC2， AD·
即2AD· DB＝AC2－AD2＋BC2－DB2. 返回
∵AC2－AD2＝CD2，BC2－DB2＝CD2，
∴2AD· DB＝2CD2，即CD2＝AD· DB. 在Rt△ACD中，AC2＝AD2＋CD2＝AD2＋AD· DB ＝AD(AD＋DB)＝AD· AB， 即AC2＝AD· AB. 在Rt△BCD中，BC2＝CD2＋BD2＝AD· DB＋BD2 ＝BD(AD＋DB)＝BD· AB，
[读教材·填要点]
1．射影的有关概念
(1)从一点向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这 条直线上的 正射影 ． (2)线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段， 叫做这条线段在直线上的 正射影 ．
(3) 点和线段 的正射影简称为射影．
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2．射影定理 直角三角形斜边上的 两直角边在斜边上射影 的比
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[研一题] [例2] 如图所示，CD垂直平分AB，
点E在CD上，DF⊥AC，DG⊥BE，F、
G分别为垂足． 求证：AF· AC＝BG· BE. 分析：本题考查射影定理的应用，以及利用分割法 分析解决问题的能力，解答本题需要将原图形分割成两 个直角三角形，然后分别利用射影定理求证． 返回
证明：因为 CD 垂直平分 AB， 所以△ACD 和△BDE 均为直角三 角形，并且 AD＝BD. 又因为 DF⊥AC，DG⊥BE， 所以 AF· AC＝AD2， BG· BE＝DB2. 因为 AD2＝DB2， 所以 AF· AC＝BG· BE.
其在几何相关量的计算中的应用，是高考模拟命题的一
个考向．
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[考题印证]
(2012· 中山模拟) 如图，在△ABC中，
D、F分别在AC、BC上，且AB⊥AC，AF ⊥BC，BD＝DC＝FC＝1.求AC的长． [命题立意] 综合应用． 本题主要考查射影定理和勾股定理的
返回
解：在△ABC中，设AC为x，
∴AD2＋2· DB＋DB2＝AC2＋BC2， AD·
即2AD· DB＝AC2－AD2＋BC2－DB2. 返回
∵AC2－AD2＝CD2，BC2－DB2＝CD2，
∴2AD· DB＝2CD2，即CD2＝AD· DB. 在Rt△ACD中，AC2＝AD2＋CD2＝AD2＋AD· DB ＝AD(AD＋DB)＝AD· AB， 即AC2＝AD· AB. 在Rt△BCD中，BC2＝CD2＋BD2＝AD· DB＋BD2 ＝BD(AD＋DB)＝BD· AB，
高中数学 1.4直角三角形的射影定理课件 新人教A版选修4-1
栏
2．如图，在△ABC中，D、F分别在AC、BC上，
目
且AB⊥AC，AF⊥BC，BD＝DC＝FC＝1，求AC.
链
接
精选ppt
7
解析：在△ABC 中，设 AC 为 x，
∵AB⊥AC，AF⊥BC，又 FC＝1，根据射影定理，得 AC2＝FC·BC，
即 BC＝x2.再由射影定理，得 AF2＝BF·FC＝(BC－FC)·FC，
证明：∵CD垂直平分AB，
栏
∴△ACD和△BED均为直角三角形，并且AD＝DB，
目 链
又∵DF⊥AC，DG⊥BE，
接
∴AD2＝AF·AC，DB2＝BG·BE，
∴AF·AC＝BG·BE.
精选ppt
13
析疑难
提
能
力栏 目 链
接
精选ppt
14
例 已知CD是△ABC的高，DE⊥CA于E， DF⊥CB于F，如图所示．求证 △CEF∽△CBA.
再将线段进行代换，就可以实现等积式的证明．
证明：∵在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴CD2＝AD·BD，∴CD4＝AD2·BD2.
栏 目
又∵在 Rt△ADC 中，DE⊥AC，在 Rt△BDC 中，DF⊥BC，
链 接
∴AD2＝AE·AC，BD2＝BF·BC.∴CD4＝AE·BF·AC·BC.
精选ppt
15
【疑难点辨析】由于射影定理得出的结论(等式)较多，
在解有复杂图形的问题时，有时因选不准题目所需的等栏
式，而使问题复杂化．
目
链
接
精选ppt
16
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高中数学第一讲相似三角形的判定及有关性质1.4直角三角形的射影定理课件新人教A版选修4-1
3．如图所示，线段 AB 的两个端点 A 和 B 在直线 MN 上的正射影分别是 A′和 B′，线段 A′B′是线段 AB 在 直线 MN 上的正射影．特别地，如果线段 AB 垂直于直线 MN，那么 AB 在 ，在 Rt△ABC 中，AC⊥CB，CD⊥AB 于
证明：因为 CD 垂直平分 AB， 所以△ACD 和△BED 均为直角三角形，并且 AD＝ DB， 又因为 DF⊥AC，DG⊥BE，
运用射影定理时，要注意其成立的条件，要结合图 形去记忆定理．当所给条件中具备运用定理的条件时， 可直接运用定理，有时也可通过作垂线使之满足定理运 用的条件，再运用定理．在处理一些综合问题时，常常 与相似三角形的知识相联系，要注意它们的综合运用．
所以由射影定理可得 AC2＝AD·AB＝AD(AD＋3)．
4．在△ABC 中，∠A＝90°，AD⊥BC 于点 D，AD ＝6，BD＝12，则 CD＝________，AC＝__________，AB2∶ AC2＝__________．
解析：如图所示， AB2＝AD2＋BD2，
又因为 AD＝6，BD＝12，
第一讲 相似三角形的判定及有关性质
[知识提炼·梳理]
1．射影 (1)点在直线上的正射影：从一点向一直线所引垂线 的垂足． (2)线段在直线上的正射影：线段的两个端点在这条 直线上的正射影间的线段． (3)点和线段的正射影简称为射影．
以上给出了一些图形的变式，不要把正射影理解为只 是由一点向水平线引垂线的特殊情形．
[变式训练] 如图所示，在△ABC 中， D、F 分别在 AC、BC 上，且 AB⊥AC， AF⊥BC，BD＝DC＝FC＝1，求 AC.
解：在△ABC 中，设 AC 为 x， 因为 AB⊥AC，AF⊥BC，又 FC＝1，
1.4 直角三角形的射影定理 课件(人教A选修4-1)(2)
∴AD2＋2· DB＋DB2＝AC2＋BC2， AD·
即2AD· DB＝AC2－AD2＋BC2－DB2. 返回
∵AC2－AD2＝CD2，BC2－来自B2＝CD2，∴2AD· DB＝2CD2，即CD2＝AD· DB. 在Rt△ACD中，AC2＝AD2＋CD2＝AD2＋AD· DB ＝AD(AD＋DB)＝AD· AB， 即AC2＝AD· AB. 在Rt△BCD中，BC2＝CD2＋BD2＝AD· DB＋BD2 ＝BD(AD＋DB)＝BD· AB，
例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影 与 斜边 的比例 中项．
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[小问题·大思维] 1．线段的正射影还是线段吗？
提示：不一定．当该线段所在的直线与已知直线垂直时，
线段的正射影为一个点． 2．如何用勾股定理证明射影定理？ 提示：如图，在Rt△ABC中， ∵AB2＝AC2＋BC2， ∴(AD＋DB)2＝AC2＋BC2，
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[悟一法] 运用射影定理时，要注意其成立的条件，要结合图 形去记忆定理，当所给条件中具备定理的条件时，可直
接运用定理，不具备时可通过作垂线使之满足定理的条
件，再运用定理．
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[通一类]
1．如图，在△ABC 中，∠ACB＝90° ，CD 3 ⊥AB 于 D， DE⊥BC 于 E， AD＝ 10， 若 2 BE＝2，求 BC 的长．
3 3
整理得 x6＝4.∴x＝ 2.∴AC＝ 2.
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解：∵∠ACB＝90° ，CD⊥AB， ∴BC2＝BD· AB＝BD· (BD＋AD)． 3 3 2 2 ∵AD＝ 10，∴BC ＝BD ＋ 10BD① 2 2 ∵CD⊥AB，DE⊥BC，∴BD2＝BE· BC.
1.4 直角三角形的射影定理 课件(人教A选修4-1)
3．Rt△ABC中有正方形DEFG， 点D、G分别在AB、 AC上，
E、F在斜边BC上．
求证：EF2＝BE· FC.
证明：过点 A 作 AH⊥BC 于 H. 则 DE∥AH∥GF. DE BE GF FC ∴AH＝BH，AH＝CH. DE· GF BE· FC ∴ ＝ . AH2 BH· CH 又∵AH2＝BH· CH， ∴DE· GF＝BE· FC. 而 DE＝GF＝EF， ∴EF2＝BE· FC.
4．如图所示，设 CD 是 Rt△ABC 的斜边 AB 上的高． 求证：CA· CD＝BC· AD. 证明：由射影定理知：
CD2＝AD· BD， CA2＝AD· AB， BC2＝BD· AB. ∴CA· CD＝ AD2· AB＝AD· BD· BD· AB， BC· AD＝AD· AB· BD. 即 CA· CD＝BC· AD.
(2)图形语言： 如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的高， BD 则有CD2＝ AD· ， AB AC2＝ AD· ， AB BC2＝ BD· .
[例1]
如图，在Rt△ABC中，CD为
斜边AB上的高，若AD＝2 cm，DB＝6 cm， 求CD，AC，BC的长． [思路点拨] 在直角三角形内求线段
(1)在Rt△ABC中，共有AC、BC、CD、AD、BD和 AB六条线段，已知其中任意两条，便可求出其余四条．
(2)射影定理中每个等积式中含三条线段，若已知两
条可求出第三条．
1.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°， CD是AB上的 高．已知BD＝4，
AB＝29，试求出图中其他未知线 段的长．
解：由射影定理，得 BC2＝BD· AB， ∴BC＝ BD· AB＝ 4×29＝2 29. 又∵AD＝AB－BD＝29－4＝25. 且 AC2＝AB2－BC2， ∴AC＝ AB2－BC2＝ 292－4×29＝5 29. ∵CD2＝AD· BD， ∴CD＝ AD· BD＝ 25×4＝10.
1.4 直角三角形的射影定理 课件(人教A选修4-1)(2)
例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影 与 斜边 的比例 中项．
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[小问题·大思维] 1．线段的正射影还是线段吗？
提示：不一定．当该线段所在的直线与已知直线垂直时，
线段的正射影为一个点． 2．如何用勾股定理证明射影定理？ 提示：如图，在Rt△ABC中， ∵AB2＝AC2＋BC2， ∴(AD＋DB)2＝AC2＋BC2，
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[读教材·填要点]
1．射影的有关概念
(1)从一点向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这 条直线上的 正射影 ． (2)线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段， 叫做这条线段在直线上的 正射影 ．
(3) 点和线段 的正射影简称为射影．
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2．射影定理 直角三角形斜边上的 两直角边在斜边上射影 的比
3 3
整理得 x6＝4.∴x＝ 2.∴AC＝ 2.
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[悟一法] 将原图分成两部分来看，分别在两个三角形中运用 射影定理，实现了沟通两个比例式的目的，在求解此类
问题时，一定要注意对图形进行剖析．
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[通一类] 2．如图，AD、BE是△ABC的高，DF ⊥AB于F，交BE于G，FD的延长线 交AC的延长线于H， 求证：DF2＝FG· FH.
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证明：∵BE⊥AC，
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[研一题] [例2] 如图所示，CD垂直平分AB，
点E在CD上，DF⊥AC，DG⊥BE，F、
G分别为垂足． 求证：AF· AC＝BG· BE. 分析：本题考查射影定理的应用，以及利用分割法 分析解决问题的能力，解答本题需要将原图形分割成两 个直角三角形，然后分别利用射影定理求证． 返回
证明：因为 CD 垂直平分 AB， 所以△ACD 和△BDE 均为直角三 角形，并且 AD＝BD. 又因为 DF⊥AC，DG⊥BE， 所以 AF· AC＝AD2， BG· BE＝DB2. 因为 AD2＝DB2， 所以 AF· AC＝BG· BE.
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AC －AD =CD BC －BD =CD
2010-9-7
A
D
B
2010-9-7
讨论： 讨论：
1．线段在直线上的射影结果 ． 点或线段 2．直线在直线上的射影结果 ． 点或直线
2010-9-7
已知直角三角形ABC，CD垂直 ， 垂直 垂直AB 已知直角三角形 问：1．图中有几个 △? ．图中有几个Rt△ 2．有几对△相似？ 2．有几对△相似？
C
2
3．CD =？ ADDB ． ？ AC =？ ADAB A ？ BC =？ BDBA ？
直角三角形的射影定理
2010-9-7
. B
A
M B’ A’ N 1.射影： 射影： 射影 （1）太阳光垂直照在 点，留在直线 ）太阳光垂直照在A点 MN上的影子应是什么？ 点A′ 上的影子应是什么？ 上的影子应是什么 上的影子是什么？ （2）线段留在 ）线段留在MN上的影子是什么？ 上的影子是什么 定义： 定义： 线段A’B’ 线段 过线段AB的两个端点分别作直线 的两个端点分别作直线l的垂 过线段 的两个端点分别作直线 的垂 垂足A’， 之间的线段 之间的线段A’B’叫做线 线，垂足 ，B’之间的线段 叫做线 在直线l上的正射影， 射影。 段AB在直线 上的正射影，简称射影。 在直线 上的正射影 简称射影
A
D
B
利用射影定理证明勾股定理: 利用射影定理证明勾股定理
AC + BC = AD AB + BD AB = AB
勾股定理证明射影定理 AB =(AD＋DB) =AD ＋2AD DB ＋DB AC ＋BC =AB
2 2 2 2 2 2 2
2
2
2
2
C
2 2
2010-9-7
2
D
B
2
C
1．直角三角形中,斜边 ．直角三角形中 斜边 2 上的高线是两条直角 CD = AD DB 边在斜边上的射影的 2 AC = AD AB 比例中项; 比例中项 2．每一条直角边是这 ． 2 BC = BD AB 条直角边在斜边上的 射影和斜边的比例中 项;
2010-9-7