8年级数学长江杯竞赛试题A卷

第三届“长江杯”全国数学邀请赛
八 年 级 试 卷（A ）
一、选择题（每小题5分，共30分）
1．如图，在平行四边形ABCD 中，∠ABC 的平分线交AD 于E ，∠BED=150°，则∠A 的大小为( )
A ．150°
B ．130°
C ．120°
D ．100°
2．如图，2×2的方格中，小正方形的边长是1，点A 、B 、C 都在格点上，则AB 边上的高为( ) A.553 B.3
52 C. 1053 D.223 3．如图，在平行四边形ABCD 中，BE ⊥AD 于E ，AB=2AD ，F 是CD 的中点，则∠DEF 与∠EFC 之比为（ ） A ．12 B ．13 C ．14 D ．25
4．取△A 1B 1C 1各边中点A 2、B 2、C 2作出△A 2 B 2 C 2，用同样方法作出△A 3 B 3 C 3…，若△A 1B 1C 1的周长为m ，则△A 10B 10C 10的周长为（ ）
A ．
1014m B ．914m C ．1012m D ．912m
第1题图 第2题图 第3题图 第4题图 5．如图所示，是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x ，y 表示直角三角形的两直角边（x ＞y ），下列四个说法：①x 2+y 2=49，②x-y=2，③2xy+4=49，④x+y=9．其中说法正确的是（ ）
A ．①②
B ．①②③
C ．①②④
D ．①②③④ 6．如图，矩形ABCD 的长为a ，宽为b ，如果S 1=S 2=21 (S 3+S 4)，则S 4=（ ）
A. ab 83
B.ab 43
C.ab 32
D.ab 2
1
第5题图 第6题图 第8题图
二、填空题（每题5分，共30分）
7．有一边长为6的菱形ABCD,∠DAB=600,点E 为AB 的中点，点F 为AC 上的一动点，则EF+BF 的最小值为_________。

8．如图，在一个长为2米，宽为1米的矩形草地上，如图堆放着一根长方体的木块，它的棱长和场地宽AD 平行且大于AD ，木块的正视图是边长为0.2米的正方形，一只蚂蚁从点A 处到达C 处需要走的最短路程是 米。

9．如图,P 是矩形ABCD 内一点,若PA=3,PB=4,PC=5,求PD 的值为________。

A B C F E D C B A A 3B 3C 2A 2B 2C 3
C 1
B 1
A 1
10．已知直角三角形两边x ，y 的长满足0)3)(2(42=--+-y y x ，则第三边的长为 。

11．如图，AE ⊥AB 且AE=AB ，BC ⊥CD 且BC=CD ，那么，按照图中所标注的数据，图中实线所
围成的图形面积为_______。

第9题图 第11题图
12．在面积为15的平行四边形ABCD 中，过点A 作AE 垂直于直线BC 于点E ，作AF 垂直于直线
CD 于点F ，若AB=5，BC=6，则CE+CF 的值为______________。

三、解答题(共60分)
13．（每小题4分，共12分）计算：
（1）1881312
5.012+--- （2）3752133327a a a a a a ++-
（3）
x
x y x y x y x x x 169322-++
14．（8分）已知3-=+b a ，2=ab ，求代数式b a a b +的值。

15．（10分）如图，公路AB 和公路CD 在点P 处交会，且∠APC=45°，点Q 处有一所小学，PQ=1202m ，假设拖拉机行驶时，周围130m 以内会受到噪声的影响，那么拖拉机在公路AB 上沿PA 方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由；若受影响，已知拖拉机的速度为36km/h ，那么学校受影响的时间为多少秒?
16．（10分）如图，正方形ABCD 中，点E 在边CD 上，将△ADE 沿AE 对折至△AFE ， 延长EF
交边BC 于点G ，G 为BC 的中点，连AG ，CF 。

（1）求证：AG//CF ；（2）求
CE
DE 的值.
17．（8分）如图，P为△ABC的边BC上的一点，且PC=2PB,已知∠ABC=45°，∠APC=60°，求∠ACB 的度数。

18．（12分）已知点A，B分别在x轴，y轴上，OA=OB，点C为AB的中点，AB=122。

（1）如图1，求点C的坐标；
（2）如图2，E，F分别为OA上的动点，且∠ECF=45°，求证：EF2=OE2+AF2
（3）在图2中，若点E的坐标为(3，0)，求CF的长。