第4届IBO题解
国际奥林匹克数学竞赛试卷
国际奥林匹克数学竞赛试卷一、选择题（每题5分，共30分）1. 已知实数a，b满足a + b = 5，ab = 3，则a^2+b^2的值为（）A. 19B. 25C. 8D. 162. 在ABC中，∠ A = 60^∘，AB = 3，AC = 4，则BC的长为（）A. √(13)B. √(19)C. √(37)D. 53. 若关于x的方程(2)/(x - 3)= (m)/(x - 3)+ 1无解，则m的值为（）A. 2B. 3C. -2D. -34. 一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形是（）A. 六边形B. 七边形C. 八边形D. 九边形。
5. 已知二次函数y = ax^2+bx + c(a≠0)的图象经过点( - 1,0)，且对称轴为x = 1，则下列结论正确的是（）A. a + c = 0B. b^2-4ac>0C. 2a + b = 0D. 4a + c = 06. 若a，b为正整数，且3^a×3^b= 81，则a + b的值为（）A. 4B. 5C. 6D. 7二、填空题（每题5分，共30分）1. 分解因式：x^3-2x^2+x=_ 。
2. 若√(x - 1)+√(1 - x)=y + 4，则x - y=_ 。
3. 已知圆锥的底面半径为3，母线长为5，则圆锥的侧面积为_ 。
4. 一次函数y = kx + b（k≠0）的图象经过点( - 2,3)，且y随x的增大而减小，则不等式kx + b>3的解集是_ 。
5. 若关于x的一元二次方程x^2+mx + n = 0的两个根分别为x_1=2，x_2= - 3，则m=_ ，n=_ 。
6. 在平面直角坐标系中，点A( - 2,3)关于y轴对称的点A'的坐标为_ 。
三、解答题（每题20分，共40分）1. 已知函数y = (1)/(2)x^2+bx + c的图象经过点A( - 3,6)，并且与x轴交于点B( - 1,0)和点C，顶点为P。
第四届陈省身杯全国高中数学奥林匹克
ｌ ＝（ ｑ＋１ ） （ Ｐ＋１ ） （ ｒ ＋１ ）
＋ｇ ｒ＋ ， ｐ ＋ｐ ＋ｑ ＋
＝
于是 ， ｐ＋ ｇ＋ ｒ ＝１ ， Ｐ ｑ＋ ９ ｒ ＋ ｒ ｐ＝ 一 ２ ．
贝 ０ 口 ＋ｂ ＋Ｃ ＝ ２ （ ｐ ＋ ｑ ２ ＋ｒ ２ ＋ ｐ ｇ＋ ｑ ｒ ＋ ｒ ｉ ｏ ）＝ ６ ．
矛盾 ．
下设 Ｐ、 ｇ 、 ｒ 互异． 则 三个方 程有 形式 （ － ｐ ） （ —ｒ ）＝ ０， （ － ｐ ） （ — ｑ ） ＝０ ， （ — ｇ ） （ —ｒ ）＝ ０ ．
于是 ， 口＝－ ｐ— ｒ ＝ ｑ ｒ ， ｂ ＝一 ｇ－ ｐ＝ｒ ｐ ，
ｃ ＝ 一 ｒ— ｑ＝ｐ ９ ・ 一
＋ 加
＝ ０ ｉ：０
＋
糊Ｉ Ｊ 地， ＝ 一 ∑ａ ｊ ： ｂ 一 ∑ｎ ｆ ＝ ０ ，
表示 Ａ 与Ａ ｉ ｏ ＋ ｌ 之间始终 没有传 递 卡片．
故 只需 证
一 面 １ ０ ０ Ｌ ． １ ＋ ／ ￣ ） Ｘ ４ ２ 】 ，
第 二 天
５ ． 如图 ３ ， 联结 Ｂ Ｄ、 Ｃ Ｄ ．
Ａ ０ ， Ａ ， …， Ａ ２ （ ｎ＝１ ０ ０ ６ ） ． 设 Ａ 手 中 持 有 口 ｉ ＋（ ， ｌ ＋１ ） 张 卡 片． 则 （ ％， Ⅱ ， …， 口 ） 是 （ 一ｎ ， 一ｎ＋１ ， … ，一１ ， ０ ， １ ， …， 几 ） 的— — 个｛ ｛ ｝
均不 为 口 ．
将∑ 口 （ ０ ， １ ， …， ２ ｎ ） 按从小到大重
新排列为 ６ ０ ， ６ 一 ， ６ ２ ． 则 存 在 。∈ ｛ ０ ， ｌ ，
…
，
２ ｎ ｝ ， 使 得ｂ ＝ ∑０
2004年第4届中国西部数学奥林匹克竞赛试题
2004 年第 4 届中国西部数学奥林匹克竞赛
1圣.求所才有的学整数习n网，使w得wnw4 +.61n30+01lxn2u+e3第nx+一i3.1天是c完o全m平方学数.习网 圣才 2 .四边形 ABCD 为一凸四边形， I1 、 I2 分别为 ΔABC 、 ΔDBC 的内心，过点 I1 、 I2 的直线分别交
3 . 求 所 有 的 实 数 k ， 使 得 不 等 式 a3 + b3 + c3 + d 3 +1 ≥ k (a + b + c + d ) 对 任 意 a 、 b 、 c 、
d ∈[−1，+ ∞] 都成立.
圣才学习网 学习网 4 .设n∈ N+ ，用d (n) 表示n的所有正约数的个数，φ (n) 表示1，2 ，"，n中与n 互质的数的个
圣
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3 .已知锐角 ΔABC 的三边长不全相等，周长为 l ， P 是其内部一动点，点 P 在边 B D 、 E 、 F .求证： 2( AF + BD + CE ) = l 的充分必要条件是：点 P 在 ΔABC 的内心与外
才
圣
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AB 、 DC 于点 E 、 F ，分别延长 AB 、 DC ，它们相交于点 P ，且 PE = PF .求证： A 、 B 、C 、 D
圣才学习网 学习网 四点共圆. 才
圣
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圣才 数.求所有的非负整数 c ，使得存在正整数 n ，满足 d (n) + φ (n) = n + c ，且对这样的每一个 c ，求出所有
第4届国际生物奥林匹克竞赛试题――其他题型汇总
第4届国际生物奥林匹克竞赛试题其他题型110．某人左眼视网膜受了轻伤，伤处在这一视网膜的顶部，靠此人左耳的方向。
他用左眼看一张纸上的“×”和其上的一个斑点。
斑点的像正好落在视网膜的伤处。
从图下中选出斑点与×配合位置正确的那张纸来。
111．下图比较了两类牛的外形——A型和B型。
两种牛哪一种能更好地适应和耐受高温？112．上图中的两种牛在热带的一个实验站中进行了一项实验，实验中牛在阳光和遮阴条件下运动。
下图表示在不同条件下对牛体温和呼吸速率的影响。
请注明每一条曲线代表哪一类型的牛。
113．植物能运动。
我们把运动分为感性运动和向性运动。
写出发生这两种运动的最常见的机理。
从下列表述中选择一项。
A 通过收缩蛋白B 通过有关的一群细胞的延长C 通过抑制有关的一群细胞的分裂D 通过刺激有关的一群细胞的分裂E 通过改变原生质膜的透性F 通过有关的一群细胞的吸水114．对一株一年生植物进行了长度分析。
方法是在不同时间测定几个参数。
下图是以时间为横轴（x轴），以所得结果按不同比例为纵轴（y轴）作图所得的曲线。
在下表的方格内画“√”，说明左边的项目相当于图中的哪条曲线。
A B C茎长度的增长整株植物鲜重的增长整株植物干重的变化115．在下表中所示的各种情况下，植物蒸腾作用最强时的水分吸收是有变化的。
其结果，植物会从土壤中吸收较少的水分或较多的水分，或者水分吸收保持不变。
在下表中正确的方格内画“√”。
水分吸收较少不变较多土壤温度从20℃降至5℃土壤失水开始下雨夜晚来临，天变暗25％的叶片被去掉25％的根被去掉116．一片燕麦田于起始开花时土壤中的养分已用尽。
此后向一半田中施入了人工肥料，肥料中含有全部必需的元素，其形式是植物容易利用的。
在未施肥的一半田中的植物会怎样？在正确的方格中画“√”。
对错叶迅速变黄籽实较轻果中蛋白质含量低果实中钙特别少117．指出薄壁组织、厚角组织和厚壁组织会具有表中所列的哪些特点或功能，并在正确的方格中画“√”号。
第4届国际生物奥林匹克竞赛试题――选择题(1)汇总
第4届国际生物奥林匹克竞赛试题选择题1．在某一类型的血细胞中，一种电中性物质的浓度比周围血浆中的该物质的浓度高得多，然而此物质仍能继续不断地进入细胞。
该物质进入细胞的这一过程是：A 渗透作用B 简单扩散作用C 易化扩散即进行得较快的扩散作用D 主动传送（或称活性转运）2．一U–形管中装有两种木同的溶液R和S，并为一半透性膜（X）隔开。
与S相比，R为低渗溶液，右图中黑色的深浅即代表浓度高低。
当右图中的U形管内已达到平衡时，溶液表面是一样高还是不一样高？渗透压（或渗透势）是相等还是不相等（参看下图）？A 右侧较高，两溶液等渗，即浓度相等B 右侧较高，且右侧为高渗，即浓度较高C 左侧较高，且有侧为低渗，即浓度较低D 两侧高度相等，且为等渗3．下列四对名词中，哪一对的表述是合适的？A 叶绿体——贮藏酶B 过氧化（酶）体——细胞中的转运作用C 核仁——核糖体亚基的组装部位D 溶酶体——细胞中的发电站4．利用光学显微镜能够看到当细胞开始失水时，植物细胞不如动物细胞收缩得那么显著。
这是因为：A 质膜的伸缩性不同B 质膜上的小孔数目不同C 细胞的渗透势不同D 植物细胞有细胞壁E 液泡的大小不同5．将新鲜马铃薯切成长恰为5cm的长条（粗细相同），再将各条分别放在浓度不同的溶液中。
4小时后，测量每一条的长度。
下图所列为各条的长度与甘露醇溶液浓度的关系。
下列两条结论的正确性如何？（1）在40g／l的甘露醇溶液中4小时后的马铃薯条仍有膨压（仍处于一定的膨胀状态）。
（2）在100g／l的甘露醇溶液中4 小时后的马铃薯条中细胞质已与细胞壁分开，即已发生质壁分离。
A （1），（2）都对B 仅（1）对C 仅（2）对D （1），（2）都不对6．若向茎的一侧照光，它会向光弯曲（下图a）。
这种正向光性是由于茎顶端所合成的物质引起的。
在一株曾经是两侧都照光植物顶端之下作一横切口（不切断），并向切口中插入一玻璃片，然后从切口的一侧向植物照光。
第4届IBO试题题解
第四届IBO题解1．D 渗透作用是指溶液中水分通过半透膜的运动，与溶质的转运无关。
简单扩散作用是指一种物质从较浓溶液中向较稀溶液中的运动。
易化扩散则是在膜上的某种转运介导物质（如蛋白质）参与下的扩散作用。
这两种扩散作用都不能使溶质从较稀溶液中进入较浓溶液中。
只有主动传送才能如此。
2．B 右上图实际上就是一个渗透计，右侧（S）为较浓的溶液，左侧（R）为较稀的溶液，中间一半透膜隔开。
只有水能透过半透膜，所以水能从左侧进入右侧，当右侧的液柱上升，高于左侧，而且两侧液柱之差足以产生一种静水压力，恰好抵消水分由于浓度差而自左侧向右侧移动的趋势时，两侧平衡。
这就是B的情况。
右图的U–形管（1分钟后）3．C 核糖体的亚基是由RNA和蛋白质组成的。
RNA在染色体上合成，蛋白质在细胞质中合成，但二者都必须运至核仁中才能组装成核糖体的亚基，然后再运至细胞质中。
叶绿体中虽有许多种酶，但不是贮藏酶的器官。
过氧化体的作用是含有许多种氧化酶类，与物质转运无关。
溶酶体中含有许多种水解酶，与能量代谢无关。
线粒体才被认为是细胞中的“发电站”。
4．D 植物细胞的细胞壁有一定的刚性，细胞失水时发生质壁分离，原生质体收缩，但整个细胞收缩不多。
如果没有细胞壁，植物细胞和动物细胞在失水时的行为不会有多大差别。
5．A 从下图中可以看出，在40g／l的甘露醇溶液中，马铃薯条已有收缩，但随着浓度的增高，它仍在继续收缩，说明这时仍未发生质壁分离，所以仍有膨压。
当甘露醇浓度达到约90g／l时，再增加浓度，马铃薯条已不再继续收缩，说明此时已发生了或已开始发生质壁分离。
在100g / l溶液中4小时后，当然马铃薯条中的所有细胞都已发生了质壁分离。
6．D 传统的看法认为植物向光弯曲是由于顶端产生的生长素向背光一侧下运，故背光一侧生长较快。
目前有人发现可能也有抑制生长的物质在向光一倒下运，这样在向光一侧插入玻片将可能减少向光弯曲。
但生长素的作用仍是主要的，所以答案D仍是正确的，而且实验也证明茎仍会发生向光弯曲。
一道国际生物学奥林匹克竞赛试题的分析及其启示
一道国际生物学奥林匹克竞赛试题的分析及其启示作者：马小明来源：《中学生物学》2018年第05期国际生物学奥林匹克竞赛（IBO），是为中学生举办的世界级生物学竞赛，旨在培养中学生对生物学的兴趣、创造力和百折不挠的精神，增强学生自主解决具有一定挑战性问题的能力。
IBO试题注重考查选手的知识广度，其理论部分包括细胞生物学、动物解剖和生理学、植物解剖和生理学、行为学、遗传学、生态学等学科知识，更注重选手信息提取、推理演绎、分析与综合能力的考察。
所以，IBO对中学生既是一场知识的竞赛，更是智力、创造力和意志力等综合素质的较量；同时，极有助于促进学生深度思考。
下面通过一道IBO试题的深度解剖，分析IBO试题如何考察学生的信息提取、逻辑推理等能力，以期对我国高考等试题的编制有些许借鉴。
1试题2014年诺贝尔医学奖获得者发现人脑的海马区（HC）储存空间记忆有助于空间定位。
经常使用空间信息的人，如出租车司机，会依赖于发育良好的海马区。
一项研究分析了伦敦出租车司机和对照组人群海马区的差异，结果见图1、图2。
判断下列描述的对错。
A.出租车司机的海马整体显著地比对照人群大B.空间定位的能力有可能位于海马后部C.该研究提供证据表明人群中的一些人会比其他人在遗传上更倾向于成为一个优秀的伦敦出租车司机D.该研究支持传统观点，即海马区仅和短期记忆有关2试题分析该题对于考生图表信息提取能力、综合分析能力要求很高。
A选项考查学生识图能力。
要判断司机与对照人群海驱整体有无显著性差异，只需查找“整体”一项上方标有“*”（由题意可知，*表示显著性差异），所以，A选项错误。
通过图1可见，出租车司机的“前部”较对照小，而“后部”显著较大，很可能空间定位的能力位于海马后部，B选项正确。
观察图B随着出租车司机的从业时间变长，总体上海马后部的体积是变大的，但是注意散点分布，即便从业时间相同海马后部的变化也很有可能不同，即相同条件及处理下海马后部的变化存在差异，而差异很有可能来源于遗传，C选项正确。
第四届全国大学数学竞赛初赛(非数学专业)真题及参考解析
第四届全国大学数学竞赛初赛（非数学专业）试卷一、简单下列各题（本题共5个小题，每题6分，共30分）1. 求极限21lim(!)n n n →∞。
【解析】：因为2211ln(!)(!)n n nn e =，而211ln1ln 2ln ln(!)12n n n n n ⎛⎫≤+++⎪⎝⎭，且ln lim 0n n n →∞=。
所以1ln1ln 2ln lim 012n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪⎝⎭。
即2121lim ln(!)0lim(!)1n n n n n n →∞→∞=⇒=。
2. 求通过直线2320:55430x y z L x y z +-+=⎧⎨+-+=⎩的两个相互垂直的平面12,ππ，使其中一个平面过点(4,3,1)-。
【解析】：过直线L 的平面束方程为(232)(5543)0x y z x y z λμ+-+++-+=，即(25)(5)(34)230x y z λμλμλμλμ+++-+++=。
若平面1π过点(4,3,1)-，代入得0λμ+=，即μλ=-，从而1π的方程为3410x y z +-+=。
若平面束中的平面2π与1π垂直，则3(25)4(5)1(34)0λμλμλμ+++++=。
解得3λμ=-，从而平面2π的方程为2530x y z --+=。
3. 已知函数(,)ax byz u x y e+=，且20u x y∂=∂∂，确定常数a ，b ，使函数(,)z z x y =满足方程20z z zz x y x y∂∂∂--+=∂∂∂∂。
【解析】：22(,),(,),(,),(1)(1)(1)(,)ax by ax by ax by ax by z u zu e au x y e bu x y x x y y z u ue b a abu x y x y x y z z z u uz e b a ab a b u x y x y x y x y ++++⎡⎤∂∂∂∂⎡⎤=+=+⎢⎥⎢⎥∂∂∂∂⎣⎦⎣⎦⎡⎤∂∂∂=++⎢⎥∂∂∂∂⎣⎦⎡⎤∂∂∂∂∂--+=-+----+⎢⎥∂∂∂∂∂∂⎣⎦若是上式等于0，只有(1)(1)(1)(,)0u ub a ab a b u x y x y∂∂-+-+--+=∂∂，由此可得1a b ==。
2024化学奥林匹克竞赛试题
2024 化学奥林匹克竞赛试题一、试题有一化学反应 A + B → C，在一定温度下，当A 的浓度为0.5mol/L，B 的浓度为1mol/L 时，反应速率为0.2mol/(L·s)。
若将 A 的浓度增大到1mol/L，B 的浓度不变，此时反应速率变为多少？解析根据反应速率方程v = k[A]^m[B]^n，设该反应中 A 的反应级数为m，B 的反应级数为n。
1. 首先求反应级数：-当 A 的浓度为0.5mol/L，B 的浓度为1mol/L 时，反应速率v1 = 0.2mol/(L·s)，可得方程①：0.2 = k×0.5^m×1^n。
-当A 的浓度增大到1mol/L，B 的浓度不变时，设此时反应速率为v2，可得方程①：v2 = k×1^m×1^n。
-用方程①除以方程①可得：v2/0.2 = (k×1^m×1^n)/(k×0.5^m×1^n)，化简得v2/0.2 = 2^m。
-由于只改变了A 的浓度，B 的浓度不变，且反应速率变为原来的倍数只与A 的浓度变化有关，所以可以通过设特殊值来确定m 的值。
-假设m = 1，则v2/0.2 = 2，解得v2 = 0.4mol/(L·s)。
-假设m = 2，则v2/0.2 = 4，解得v2 = 0.8mol/(L·s)。
-假设m = 3，则v2/0.2 = 8，解得v2 = 1.6mol/(L·s)等，依次类推，可通过给出的选项来确定m 的值，进而确定反应速率v2。
二、试题已知在25①时，水的离子积常数Kw = 1×10^(-14)。
在该温度下，某溶液的pH = 3，求该溶液中氢氧根离子的浓度。
解析1. 因为pH = -lg[H①]，已知pH = 3，则[H①]=1×10^(-3)mol/L。
2. 又因为在任何水溶液中，Kw = [H①][OH①]。
第4届国际物理奥林匹克竞赛试题及解答.doc
第４届国际物理奥林匹克竞赛试题与解答（1970年于苏联的莫斯科）【题１】如图4.1（a )、（b ），在质量M ＝1kg 的木板上有质量m ＝0.1kg 的小雪橇。
雪橇上的马达牵引着一根绳子，使雪橇以速度v 0＝0.1m/s 运动。
忽略桌面与木板之间的摩擦。
木板与雪橇之间的摩擦系数μ＝0.02。
把住木板，起动马达。
当雪橇达到速度v 0时，放开木板。
在此瞬间，雪橇与木板端面的距离L ＝0.5m 。
绳子拴在（a ）远处的桩子，（b ）木板的端面上。
试描述两种情形下木板与雪橇的运动。
雪橇何时到达木板端面？图4.1（a ) 图4.1（b ）解：（a )在第一种情形中（如图4.1（a )），雪橇处于匀速运动状态。
雪橇与木板以不同的速度运动。
这样引起的最大摩擦力为μ mg ，它作用在木板上，产生的加速度Mmga μ=，直至木板达到雪橇的速度v 0为止。
加速时间为mgMv a v t μ000==＝5.1s 在这段时间内，雪橇的位移为mgM v a v S μ2220200==＝0.255m 因此，雪橇离木板右端点的距离为 0.5m －0.255m ＝0.245m雪橇不能达到木板的一端，因为这段时间以后，木板与雪橇以相同的速度v 0一起运动。
在木板加速期间，马达必须用力μ mg 牵引绳子，但以后马达不能施加力的作用，它只是卷绳子。
（b ）在第二种情形中（如图4.1（b ）），木板与桌面之间无摩擦。
木板与雪橇形成一个孤立系统，可以用动量守恒定律。
当我们放开木板时，雪橇的动量为mv 0，释放后的木板具有速度v 2，它由下式决定： mv 0＝M v 2＋m （v 0＋v 2）此式表明v 2＝０，所以木板保持不动，雪橇以同一速度继续前进。
雪橇达到木板右端的时间为 1.05.00==v L t ＝5 s【题２】NaCl 的晶体点阵由边长为5.6×10-8cm 的立方晶胞组成，它是面心立方点阵。
钠原子量约为23，氯原子量为35.5，NaCl 密度为2.22g/cm 3。
2024年西班牙数学奥林匹克竞赛数学试卷(含答案解析)
2024年竞赛数学试卷西班牙数学奥林匹克一、解答题1、2024个不同的素数pp1, pp2,⋯ , pp2024满足条件: pp1+pp2+⋯+pp1012=pp1013+pp1014+⋯+ pp2024设AA=pp1pp2⋯pp1012,BB=pp1013pp1014⋯pp2024⋅求证: |AA−BB|≥4.2、给定正整数nn ,实数xx1, xx2,⋯ ,xx nn>1满足xx1xx2⋯xx nn=nn+1.求证:(112(xx1−1)+1)(122(xx2−1)+ 1)⋯(1nn2(xx nn−1)+1)≥nn+1,并说明等号何时成立.3、设△AABBAA为不等边三角形,PP为三角形内部一点，满足∠PPBBAA=∠PPAAAA. 直线PPBB和∠BBAAAA的内角平分线交于点QQ,直线PPAA和∠BBAAAA的外角平分线交于点RR.点SS满足AASS∥AAQQ,BBSS∥AARR,求证:QQ,RR,SS三点共线.4、实数aa,bb,cc,dd满足aabbccdd=1,aa+1aa+bb+1bb+cc+1cc+dd+1dd=0求证:aabb,aacc,aadd中至少一个等于−1.5、给定平面上的两点pp1=(xx1,yy1),pp2=(xx2,yy2),用RR(pp1,pp2)表示边与坐标轴平行、且以pp1和pp2为对角顶点的矩形，即�(xx,yy)∈RR2|mmmm nn{xx1,xx2}≤xx≤mmaaxx{xx1,xx2},mmmm nn{yy1,yy2}≤yy≤mmaaxx{yy1,yy2}�.若对所有的点集SS⊂RR2,且|SS|=2024,都存在两点pp1,pp2∈SS,使得|SS∩RR(pp1,pp2)|≥,求kk的最大可能值.6、设aa,bb,nn为正整数，满足bbmm整除aann−aa+1,记αα=aa bb.求证:[αα],[2αα],…,[(nn−1)αα]除以nn的余数是1,2,⋯ ,nn−1的一个排列.1 、【答案】 见解析;【解析】 证明:首先注意到2∉{pp ii }1≤ii ≤2024,若不然易证明等式两侧的奇偶性不同，矛盾!因此本题中的pp 1, pp 2,⋯, pp 2024都是奇数，因此 pp ii ≡±1(mmmmdd 4),mm =1,2...2024 设AA 中有xx 个质数是mmmmdd 4余1的，则有 (1012−xx )个数是余−1的;同理设BB 中有yy 个质数是mmmmddpp 余1的，则有 (1012−yy )个数是余−1的，于是我们有 xx −(1012−xx )≡yy −(1012−yy )(mmmmdd 4) 这意味着xx ≡yy (mmmmdd 2),那么 ≡(−1)1012−xx ≡(−1)1012−yy ≡BB (mmmmdd 4)注意到AA ≡0(mmmmddpp 1),而BB ≡0(mmmmddpp 1)不成立，因此AA ≠BB ,进而|AA −BB |≥4,得证.【标注】 2 、【答案】 见解析;【解析】 证明:注意到1+1kk 2(xx kk −1)−(kk+1)2kk 2xx kk =kk 2xx kk (xx kk −1)+xx kk −(xx kk −1)(kk+1)kk 2xx kk (xx kk −1) =kk 2xx kk 2−kk 2xx kk +xx kk −(xx kk −1)(kk+1)2kk 2xx kk (xx kk −1) kk 2xx kk 2−kk 2xx kk +xx kk −xx kk (kk+1)2+(kk+1)2kk 2xx kk (xx kk −1) =kk 2xx kk 2−kk 2xx kk +xx kk −kk 2xx kk −2kkxx kk −xx kk +(kk+1)2kk 2xx kk (xx kk −1) =kk 2xx kk 2−2kkxx kk (kk+1)+(kk+1)2kk 2xx kk (xx kk −1) =(kkxx kk −kk−1)2kk 2xx kk (xx kk −1)⩾0 因此1+1kk 2(xx kk −1)≥(kk+1)2kk 2xx kk, 累乘可得��1+1kk 2(xx kk −1)�nn kk=1≥(nn+1)2xx 1xx 2⋯xx nn =nn +1,等号成立当且仅当xx kk =kk+1kk 时取得. 【标注】 3 、【答案】 见解析;【解析】 证明:我们记AARR ,BBPP 交于点DD ,AAQQ ,BBSS 交于点EE .由于∠AABBPP =∠AAAAPP ,∠BBAADD =∠AAAA ,因 ΔAABBDD ∼ΔAAAARR ,则 AAAA AAAA =AAAA AAAA由角平分线的性质，易知AAAA AAAA=AABB AABB.因此AAAA AAAA=AABB AABB,这意味着AAEE,BBDD,SSRR三线共点，即QQ,RR,SS三点共线．得证.【标注】4 、【答案】见解析;【解析】证明:由题意可得0=aa+bb+cc+dd+aabbcc+aabbdd+aaccdd+bbccdd=aa+bb+cc+dd+aabb(cc+dd)+ccdd(aa+bb)=(aa+ bb)(ccdd+1)+(cc+dd)(aabb+1)=(aa+bb)(ccdd+1)+(cc+dd)(aabb+aabbccdd)=(aa+bb)(ccdd+1)+ aabb(cc+dd)(ccdd+1)=(ccdd+1)(aa+bb+aabbcc+aabbdd=(ccdd+1)[aa(1+bbcc)+bb(1+aadd)]=(ccdd+ 1)[aa(1+bbcc)+bb(aabbccdd+aadd)]=(ccdd+1)[aa(1+bbcc)+aabbdd(1+bbcc)]=aa(ccdd+1)(bbcc+1)(1+ bbdd)这意味着在ccdd,bbcc,bbdd中至少有一个是−1,结合aabbccdd=1可知在aabb,aacc,aadd中至少有一个是−1,得证.【标注】5 、【答案】406;【解析】证明:设在点集SS中，点PP是纵坐标最大的点,QQ是横坐标最大的点,R是纵坐标最小的点,SS是横坐标最小的点.我们将RR(XX,YY)简化为(XX,YY).考虑(PP,QQ),(QQ,RR),(RR,SS),(SS,PP)这四个矩形，设它们包含的点的个数分别是aa,bb,cc,dd.若它们之间有相互重叠的部分，由极端值原理可知mmaaxx{aa,bb,cc,dd}≥aa+bb+cc+dd4≥20244=506若它们之间没有重叠部分，则在整个SS中，除了上述四个小矩形之外，中间还有一个小矩形,设其内部有tt个点，此时(PP,RR)至少含有tt+2个点，注意到此时aa+bb+cc+dd+tt−4=2024,则由极端值原理可知{aa,bb,cc,dd,tt+2}≥aa+bb+cc+dd+tt+25=406,,这说明至少有一个区域含有406个点，即kk mmaaxx=406.下面我们给出kk=406时的一个构造，如图所示．四条线段上各有406个点，中间的环上有404个点【标注】6 、【答案】见解析;【解析】证明:当nn=1时命题显然成立，只需考虑nn≥2时的情况即可．但注意到要证明该命题成立,只需同时证明|ααkk|≠0(mmmmddnn)和[ααmm]≠[αααα](mmmmddnn)即可，下分别证之.(1) [ααkk]≠0(mmmmddnn)反设存在kk∈{1,2,nn−1}使得[ααkk]=0(mmmmddnn),记aakk≡tt(mmmmddbb)⟹nnbb|aakk−tt,但由题意可得aa(nn−1)≡−1(mmmmddbb),我们有bbnn|(nn−1)tt+kk,然而(nn−1)tt+kk≤(nn−1)(bb−1)+nn−1= (nn−1)bb<nnbb矛盾!(2) [aamm]≠[aaαα](mmmmddnn)我们反设假设存在i,αα∈{1,2,...nn−1},mm≠αα,使得[ααmm]≡[αααα](mmmmddnn).不妨记aamm≡pp(mmmmddbb)和aaαα≡qq(mmmmddbb),从而bbnn|aamm−pp,bbnn|aaαα−qq,因此aa(mm−αα)=pp−qq(mmmmddbbnn)注意到aa(nn−1)≡−1(mmmmddbbnn),因此bbnn|(nn−1)(pp−qq)−(mm−αα),然而(nn−1)(pp−qq)−(mm−αα)|≤|(nn−1)(pp−qq)|+|mm−αα|≤(nn−1)(bb−1)+(nn−2)<bb因此只能是(nn−1)(pp−qq)−(mm−αα)=0,但|mm−αα|≤nn−2因此两侧关于nn−1不同余，矛盾【标注】。
1987年第四届全国物理竞赛决赛试题及答案解析
3．气体分子的直径约为 2×l0-10 米，试估算标准状况下近邻气体分子间的平均距离 l 与分子直径 d 的比值(二位有效数字)．
光具座导轨、导轨上有五个滑座、滑座上分别插有白屏，物标屏，座标纸屏，照明灯 及夹有正透镜的透镜夹．
[要求] 对于每种方法写出需要测哪几个量和用什么公式计算 D 及 d． [注意事项]．1。虚象的来源不必考虑．
2．全息底片和激光光源的位置不能移动．
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附: c=3.0×1 08m／s， 质子质量 mp=1.7×10-27 kg， R = 8.3 J／mol·K， No=6.0×1023／mol
三、对于太阳系中的行星运动，天文观测发现了如下的事实(称为开普勒三定律)。
l．各个行星分别在大小不同的椭圆轨道上围绕太阳运动，
太阳的位置是椭圆的一个焦点．(第一定律)
二、有一个半径为 R、质量为 M 的刚性均匀细圆环．开始时静止在水平光滑桌面上．环上 有一小孔 P0 ，桌面上另有一个质量为 m 的质点．可以自由穿过小孔．开始时质点以初速度 V 从小孔 P0 射入，与圆环内壁发生 N 次弹性碰撞后，又从小孔 P0 穿出(图 4—55)．设圆环 内壁光滑．从质点射入小孔到又从小孔穿出，圈环中心 O 到质点的连线相对于圆环刚好转 过 3600．求质点穿出小孔后圆环中心相对于桌面的速度． 提示： 在碰撞过程中圆环不发生转动．
四、六个外形相同的电阻，用导线连接如图 4—53。 已知其中五个电阻的值均精确地等于 2Ω，另一个的阻值则与 2Ω有明显差异．用欧姆表对图示电路测量三次，就可以找出这个 与众不同的电阻。试扼要说明测量方法和论据．(必要时列出计算公式．)
第4届中国数学奥林匹克竞赛 琴生不等式
第4届中国数学奥林匹克竞赛琴生不等式下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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第四届北京高中数学知识应用竞赛决赛试题及参考解答
第四届北京高中数学知识应用竞赛决赛试题及参考解答(竞赛日:2001年3月18日)中图分类号:G 642.0 文献标识码:A 文章编号:0488-7395(2001)10-0043-03收稿日期:2001-03-201.(满分20分)汽车在行驶中,由于惯性的作用,刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住.我们称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析事故的一个重要的因素.在一个限速为40千米/时的路段上,先后有A ,B 两辆汽车发生交通事故.事故后,交通警察现场测得A 车的刹车距离超过12米,不足15米,B 车的刹车距离超过11米,不足12米.又知A ,B 两种车型的刹车距离S (米)与车速x (千米/时)之间有如下关系:S A =0.1x A +0.01x 2A ,S B =0.05x B +0.005x 2B .如果仅仅考虑汽车的车速因素,哪辆车应负责任?解法1 由题意得这两辆汽车的刹车距离分别满足如下的关系式:12<0.1x A +0.01x 2A <15,11<0.05x B +0.005x 2B <12(10分)分别求解这两个不等式,得30<x A <-5+1525<35.42<-5+2225<x B <-5+2425<45.可见,A 车无责任,B 车应付责任.(20分)解法2 如果x A =x B =40km/h ,则可以算得S A =20m ,S B =10m.由于A 车实际刹车距离没有超过它按限速行驶时的刹车距离S A =20m ;而B 车实际刹车距离超过了它按限速行驶时的刹车距离S B =10m.可见,A 车无责任,B 车应付责任.2.(满分20分)北京电视台每星期六晚播出《东芝动物乐园》,在这个节目中曾经有这样一个抢答题:小蜥蜴体长15cm ,体重15g ,问:当小蜥蜴长到体长为20cm 时,它的体重大约是多少(选择答案:20g ,25g ,35g ,40g )?尝试用数学分析出合理的解答.解 假设小蜥蜴从15cm 长到20cm ,体形是相似的.这时蜥蜴的体重正比于它的体积,而体积与体长的立方成正比.(10分)记体长为l 的蜥蜴的体重为w 1,因此有w 20=w 15203153=15×(2015)3=35.56(g ).合理的答案应该是35g .(20分)3.(满分20分)受日月的引力,海水会发生涨落,这种现象叫做潮汐.在通常的情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近船坞;卸货后落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表:时刻水深(米)时刻水深(米)时刻水深(米)0∶005.08∶003.116∶007.41∶006.29∶002.517∶006.92∶007.110∶002.718∶005.93∶007.511∶003.519∶004.44∶007.312∶004.420∶003.35∶006.513∶005.621∶002.56∶005.314∶006.722∶002.77∶004.115∶007.223∶003.81)请在下面的坐标纸上,根据表中的数据,用连续曲线描出时间与水深关系的函数图象:2)一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4米,安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙(船底与洋底的距离),问该船何时能进入港口?在港口能呆多久?3)若某船的吃水深度为4米,安全间隙为1.5米,该船在2∶00开始卸货,吃水深度以每小时0.3米的速度减少,那么该船在什么时间必须停止卸货,将船驶向较深的水域?解 1)描点作图.设x 表示时间,y 表示水深.(5分)图1 第3题图342001年第10期 数学通讯 2)由题目条件,水深至少为5.5米时才能保证货船驶入港口的安全.为此在上图中做一条y=5.5的水平直线 a.图象在a上方时,其对应的x范围为货船驶入港口的安全时间段,从图中可以看出,这个时间段约为0∶30到5∶40分,或13∶00到18∶20(有10分钟左右的偏差可以算对),在港口停留的时间大约为5小时.(15分)也可以用线性插值方法,在已知点中,若相邻两点在直线a的异侧,设加在它们中间且过直线a的点与它们共线.于是利用点(0,5)和(1,6.2),得x1=5.5-56.2-5= 0.417,对应的时间为0∶25;利用点(5,6.5)和(6, 5.3),得x2=5.83,对应的时间为5∶50.由此得到第一个满足条件的时间段约为0∶25—5∶50.同理,利用点(12,4.4)和(13,5.6),得x3= 12.92,对应的时间为12∶55;利用点(18,5.9)和(19, 4.4),得x4=18.27,对应的时间为18∶16.由此得到第二个满足条件的时间段约为12∶55—18∶16.3)2∶00时水深为7.1米,船需要的安全水深随着卸货时间的变化公式为:y=5.5-0.3(x-2);其中2<x<5.83,此处利用了插值的结果.在上面的函数图象中画出该图象,看出与原图象的交点大约在7∶00左右(有10分钟左右上下偏差可以算正确),故知在7∶00以前该货船一定要离开码头驶到较深的安全水域.(20分)注:此处也可利用(6,5.3),(7,4.1)做线性插值,得y=-1.2x+12.5与y=5.5-0.3(x-2),联立可求得x=7.1,即7∶06;若利用(7,4.1),(8,3.1)做线性插值,得y=-x+11.1与y=5.5-0.3(x-2)联立可求得x=7,即7∶00.这些做法与看图得到的结果一致.4.(满分20分)2000年末,某商家迎来店庆,为了吸引顾客,采取“满一百送二十,连环送”的酬宾方式,即顾客在店内花钱满100元(这100元可以是现金,也可以是奖励券,或二者合计),就送20元奖励券;满200元,就送40元奖励券,满300元,就送60元奖励券,……当日,花钱最多的一顾客是用了70000元,如果按照酬宾方式,他最多能得到多少优惠呢?相当于商家打了几折销售?解 购物价值=所用人民币值+优惠值,将最多购物价值记作a max.按下列方法购物第一次用现金购物70000元,获得奖励券70000×20%=14000(元);第二次用奖励券购物14000元,获得奖励券14000×20%=2800(元);第三次用奖励券购物2800元,获得奖励券2800×20%=560(元);第四次用奖励券购物500元,获得奖励券500×20%=100(元);(由于560不是100的整数倍,故取500元购物换取奖励券为最佳策略)第五次用奖励券购物100元,获得奖励卷100×20%=20(元);第六次用奖励券购物80元(60+20),获得奖励券0元.至此,现金及奖励券全部用完,共计购物(记作a)a=70000+14000+2800+500+100+80= 87480(元).(8分)而7000087480=80.018%,近似于八折.(12分)下面证明a max=a.设分k次将70000元花掉,第i次购物获得的奖励券为x i元,剩下的钱为y i元(不包括第i次获得的奖励券).则0≤y i≤x i-1+y i-1,并可依次得x1=(70000-y1)20%≤14000;x1+x2=(70000-y1)20%+[(70000-y1)20%+ y1-y2]20%=70000・20%+70000(20%)2-(20%)2y1-20%y2;x1+x2+x3=70000・20%+70000(20%)2-(20%)2y1-20%y2+{[(70000-y1)20%+y1-y2]・20%+y2-y3}20%=70000・20%+70000(20%)2+70000(20%)3-(20%)3y1-(20%)2y2-20%y3;一般地x1+x2+x3+…+x k=70000・20%+70000 (20%)2+…+70000(20%)k-(20%)k y1-…-(20%)2y k-1-20%y k,即x1+x2+x3+…+x k<70000・20%+70000 (20%)2+…+70000(20%)k.因为limk→∞[20%+(20%)2+…+(20%)k]=0.25,所以x1+x2+x3+…+x k<70000[20%+(20%)2 +…+(20%)k]<17500.则总共购物价值为70000+x1+x2+x3+…+x k< 70000+17500=87500.即a max=87480元.接近八44数学通讯 2001年第10期折.(20分)5.(满分20分)某城市准备举行书画展览,为了保证展品安全,展览的保卫部门准备安排保安员值班.情况如下:①展览大厅是长方形,内设均匀分布的m×n 个长方形展区,如图所示(下图中是一个3×4个展区的示意图).在展厅中,展览的书画被挂在每个展区的外墙上,参观者在通道上浏览书画.图2 第5题图②保安员站在固定的位置上,不允许转身,只能监视他的左右两侧和正前方,形如一个“T ”形的区域.③不考虑保安员的轮岗、换班问题.④展品的安全意味着每一个展区的四面外墙都在保安员的监视范围内.问题:1)对于如上图所示的展厅中,最少需要几个保安员能使展品安全?在图中标明保安员的位置(不要求证明).2)假如展区有n ×m (n ≥3,m ≥4,n ∈N ,m∈N )个展区,最少需要多少个保安员能使展品安全?请证明你的结论.解:1)对如图所示的3×4个展区,至少要5个保安员才能保证展览的书画是安全的.(5分)保安员站位的方案有多种,其中一个如下图所示:图3 第5题图2)对n ×m (n ≥3,m ≥4,n ∈N ,m ∈N )个展区,至少要m +n -2个保安员才能保证展览的书画是安全的.(14分)证明:我们把模型进行抽象,把n ×m (n ≥3,m≥4,n ∈N ,m ∈N )个展区抽象成一个n ×m “格阵”,它有n +m +2条边(对应待监视的走廊),且用字母标记如下:A 0 A 1 A 2 A 3 A 4 A m -1 A mB 0B 1B 2B 3B n -1B n图4 第5题图由于保安员监视范围是“T ”型区域,所以称保安员的位置对应的“格阵”中的格点为“T ”形点.这样,我们把一个实际问题转化为一个数学模型:在n ×m “格阵”中至少取几个“T ”形点能够用这些“T ”形区域覆盖n ×m “格阵”的全部n +m +2条边.首先,“T ”形点放在n ×m “格阵”的外边框的格点上才能发挥最大作用,覆盖两条边.否则,如果在中间某一格点处放一“T ”形点P ,那么这一“T ”形点只覆盖了过点P 的一边与过点P 的另一边的一部分,而另一部分还需要另外的“T ”形点去覆盖,这样P “T ”形点相当于只覆盖了一条边.此外,在n ×m “格阵”的边界格点上,当有了一个“T ”形点时,如果在此边界上再放入第二个,它所在的边界已不需要它覆盖,那么这个“T ”形点相当于只覆盖了一条边.由于n ×m “格阵”只有4条边界,所以“T ”形点多于4个时,其中4个覆盖两条边,其余的只相当于覆盖一条边.因为这“其余的”不是被放在中间的格点上,就是被放在已有一个“T ”形点的边界上.n ×m “格阵”共有m +n +2条边,所以至少需“T ”形点(m +n +2)-4个,即m +n -2个.(17分)另外,也的确有如下的办法用m +n -2个“T ”形点控制n ×m “格阵”的m +n +2条边.在(B 0,A 1),(B 1,A 0),(B n ,A m -1),(B n -1,A m )处放4个“T ”形点,它们可以控制8条边.再在(B 2,A 0),(B 3,A 0),……,(B n -2,A 0)这n-3个位置上放n -3个“T ”形点,它们可以覆盖不同于前面的n -3条横向边.再在(B n ,A 2),(B n ,A 3),……,(B n ,A m -2)这m -3个位置上放m -3个“T ”形点,它们可以覆盖不同于前面的m -3条纵向边.总计覆盖了8+(n -3)+(m -3)条不同的边,即m +n +2条不同的边,也就是整个n ×m “格阵”.(20分)542001年第10期 数学通讯。
2021全国数学奥林匹克竞赛试题b卷解析
2021全国数学奥林匹克竞赛试题b卷解析2021年全国数学奥林匹克竞赛（China Mathematical Olympiad，简称CMO）B卷的试题涵盖了多个数学领域，包括代数、几何、组合和数论等。
以下是对B卷部分题目的解析。
# 第一题：代数问题本题考察了代数表达式的变形和不等式的证明。
首先，需要对给定的代数式进行适当的变换，然后利用不等式的性质进行证明。
解题的关键是要找到合适的代数恒等式，使得不等式成立。
# 第二题：几何问题这道题目涉及到平面几何中的相似三角形和圆的性质。
解题时，需要利用相似三角形的性质来证明某些线段的比例关系，同时结合圆的性质来求解问题。
在解题过程中，要注意几何图形的构造和辅助线的添加。
# 第三题：组合问题本题要求考生使用组合数学的方法来解决计数问题。
题目中涉及到排列组合的基本概念和原理，如加法原理、乘法原理等。
解题时，需要对问题进行合理的分解，然后逐一解决每个子问题，最后将结果合并。
# 第四题：数论问题数论问题通常涉及到整数的性质和数的分解。
这道题目要求考生对给定的数列进行分析，找出其中的规律，并利用数论的知识来证明或求解问题。
在解题过程中，要注意整数的性质，如整除性、同余等。
# 第五题：综合问题作为最后一道题目，这道综合问题往往需要考生综合运用代数、几何、组合和数论等多个领域的知识。
解题时，需要对问题进行深入的分析，找到问题的关键点，并运用合适的数学工具来解决问题。
# 解题策略1. 仔细阅读题目：理解题目的要求和给定的条件。
2. 分析问题：识别题目中的关键信息和潜在的数学结构。
3. 选择合适的方法：根据问题的性质选择合适的解题方法，如代数变换、几何构造、组合计数等。
4. 逐步求解：按照逻辑顺序逐步解决问题，注意每一步的合理性和准确性。
5. 检查和验证：完成解题后，要对结果进行检查和验证，确保没有遗漏或错误。
请注意，以上解析仅为概述，具体的解题步骤和方法需要根据实际题目来确定。
2004年国际生物奥赛A卷
15th International Biology OlympiadBrisbane, 2004理论测验1测验时间：150分钟 总分80分指引请检查试卷和答案纸是否正确必须思考如何分配时间以获得最好的分数Questions 1-5.某家庭最近买了一只八周大，已断奶且已打过疫苗的黄金猎犬小狗作为宠物。
Question 1). (1 point) 出生后的小狗如何找到妈妈的乳头吸吮？A.用触觉B. 用视觉C. 用听觉D. 用嗅觉E. 用味觉Question 2). (1 point)小狗施打疫苗可预防由微生物所产生的多种疾病，这是属于下列何种免疫反应？A. 发炎性免疫反应B. 获得性免疫反应C. 过敏性免疫反应D. 先天免疫反应E. 细胞激素免疫反应Question 3). (1 point)训练狗服从命令(例如走、坐、不动)是属于下列何种行为类型的调整？A. 印痕B. 制约C. 拟态D. 习惯化E. 敏感化Question 4).下图的族谱显示的是一种发生在黄金猎犬上，会遗传、少见且影响不很严重的皮肤病。
？1. (1 point) 请问这种病是如何遗传的？A. 隐性、体染色体B. 显性、体染色体C. 隐性、性联遗传D. 显性、性联遗传2. 此题删除Question 5).下表是狗、狐、胡狼、狼和土狼等动物，下表是他们七项表现型特征(I-VII)之有无。
根据上表的资料，下图中何者最能表示出这五种动物的亲缘关系？Questions 6-10. 利用限制来切割一个含有2800个碱基对的质体，进行三种不同的切割反应，其中一种是使用Bam HI和Hin dIII，一种是使用Bam HI和Eco RI，另一种是使用Hin dIII和Eco RI，切割后的片段利用电泳将他们分离，如下图origin ofABCD1600 bp1400 bp1200 bp1000 bp800 bp600 bp400 bp200 bpBam HI+Hin dIIIBam HI+Eco RIHindIII+Eco RISize MarkersQuestion 6). (1 point)下列叙述何者错误？A.质体不具有蛋白质的外套B.质体均为环状双股的DNA分子C.质体可嵌入寄主细胞的染色体中D.质体的基因可提供细菌生存及繁殖之用E.一般而言质体有利于寄主细胞Question 7). (2 points)上页的质体切割图中标示了1-5个切割位置，是由7.下表中的A、B、C三种切割而来，请将5个位置分别和ABC配对限制Question 8). 上页电泳胶图中的四个边分别标示有A、B、C、D，哪一个代表阳极？(1 point)A. AB. BC. CD. DE. not possible to determineQuestion 9). 限制Eco RI的切割位如下：5’ . . G A A T T C . . 3’. . C T T A A G . .下列何者可接合由Eco RI切割出的片段？(A) (B) (C) (D). . CG AATTCG . . . . TGAATT GT . .. . GCAATT GC . . . . AC TTAACA . .Question 10). (1 point) 下列何者是使单一质体上获得多个对抗抗生素基因的作用？A. 转位作用B. 接合作用C. 转录作用D. 性状转变E. 传递作用Question 11-15.某研究人员种植三种植物(各10棵)，在10种不同光照强度(从0-至完全光照)下种植数天。
生物：第4届IBO理论试题及详细解析
第4届IBO试题选择题1．在某一类型的血细胞中，一种电中性物质的浓度比周围血浆中的该物质的浓度高得多，但是此物质仍能继续不断地进入细胞。
该物质进入细胞的这一进程是：A 渗透作用B 简单扩散作用C 易化扩散即进行得较快的扩散作用D 主动传送（或称活性转运）2．一U–形管中装有两种木同的溶液R和S，并为一半透性膜（X）隔开。
与S相较，R为低渗溶液，右图中黑色的深浅即代表浓度高低。
当右图中的U形管内已达到平衡时，溶液表面是一样高仍是不一样高？渗透压（或渗透势）是相等仍是不相等（参看下图）？A 右边较高，两溶液等渗，即浓度相等B 右边较高，且右边为高渗，即浓度较高C 左侧较高，且有侧为低渗，即浓度较低D 双侧高度相等，且为等渗3．下列四对名词中，哪一对的表述是适合的？A 叶绿体——贮藏酶B 过氧化（酶）体——细胞中的转运作用C 核仁——核糖体亚基的组装部位D 溶酶体——细胞中的发电站4．利用光学显微镜能够看到当细胞开始失水时，植物细胞不如动物细胞收缩得那么显著。
这是因为：A 质膜的伸缩性不同B 质膜上的小孔数量不同C 细胞的渗透势不同D 植物细胞有细胞壁E 液泡的大小不同5．将新鲜马铃薯切成长恰为5cm的长条（粗细相同），再将各条别离放在浓度不同的溶液中。
4小时后，测量每一条的长度。
下图所列为各条的长度与甘露醇溶液浓度的关系。
下列两条结论的正确性如何？（1）在40g／l的甘露醇溶液中4小时后的马铃薯条仍有膨压（仍处于必然的膨胀状态）。
（2）在100g／l的甘露醇溶液中4 小时后的马铃薯条中细胞质已与细胞壁分开，即已发生质壁分离。
A （1），（2）都对B 仅（1）对C 仅（2）对D （1），（2）都不对6．若向茎的一侧照光，它会向光弯曲（下图a）。
这种正向光性是由于茎顶端所合成的物质引发的。
在一株曾经是双侧都照光植物顶端之下作一横切口（不切断），并向切口中插入一玻璃片，然后从切口的一侧向植物照光。
此刻植物会如何生长？这种现象的正确解释是什么（下图b）？A 茎向照光侧的对面弯曲，因为玻片使得增进生长的物在照光一侧积累B 茎向照光侧的对面弯曲，因为切口中的玻片阻止了抑制生长的物质在照光一侧的运输C 茎不弯曲，未经处置的植物的正向光性不是由于照光一侧的生长减慢D 茎向照光一侧弯曲，因为光的作用是引发增进生长的物质向背光一侧下运7．下列元素中哪一种是合成叶绿素所必需但又不是叶绿素的组分？A 碳B 镁C 氮D 铁E 氧8．从海的不同深度收集到4种类型的浮游植物（Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ和Ⅳ）。
生物第IBO理论试题及详细解析资料
第10届国际生物奥林匹克竞赛（1999）理论试题理论试题由3部分组成A部分是只有1个答案的多选题。
答题时，在正确选项前的横线上标×。
B部分的所有题目也为多选题，每题的各选项中，答案数目不一定，可能有的题只有1个正确答案，有的题是2个或3个正确答案。
答题时你只要在正确选项前的横线上标×。
C部分试题的类型多样，答题时，你要阅读每一题目的答后说明。
答题一般要求写数字或字母。
你必须要写清楚，否则将判为错答。
理论试题A部分这部分的试题为只有l个正确答案的多选题。
在正确选项前的横线上标×。
细胞生物学、微生物学和生物工程学1．几乎所有的动物细胞都含有相同的基因，但细胞和细胞在结构和功能上不同，这是因为它们合成不同的____A．tRNA分子____B．mRNA分子____C．组蛋白____D．核糖体2．从光滑内质网产生的囊泡在产生方式上很像____A．粗糙内质网____C．高尔基体____B．溶酶体____D．植物细胞的液泡3．在叶绿体的类囊体膜上有两个光系统，即光系统Ⅰ（PSⅠ）和光系统Ⅱ（PSⅡ）。
3a．这两个光系统上与捕光色素（集光色素）结合吗？____A．两相都结合____B．只有光系统Ⅰ结合____C．只有光系统Ⅱ结合3b．水的光解产生3种产物；氧、质子和电子。
这些都用在光合作用的光反应中吗？____A．所有3种产物都使用____B．氧和质子被使用____C．质子和电子被使用____D．氧和电子被使用____E．只有电子被使用3c．一些进行光合作用且厌氧的细菌不裂解水，而水由其它化合物代替，这些化合物是什么？____A．硫化氢（H2S）____C．硫酸钠（Na2SO4）____B．甲烷（CH4）____D．乙烯（C2H4）4．什么是胞质分裂？____A．有丝分裂____B．细胞质分裂____C．在分裂间期时的胞质环流____D．细胞移动____E．精子的鞭毛运动5．在动物和植物的有丝分裂时发生下述过程的哪一种程序？1）核膜裂解2）染色体移向纺锤体的中间（赤道）3）微管束缚在着丝粒上4）子染色体被除去____A．1），2），3），4）____B．2），3），1），4）____C．1），3），2），4）____D．4），3），2），l）6．在植物和动物的减数分裂时发生下述过程的哪一种程序？l）联会复合物形成和同源染色体配对2）交换，例如，非姐妹染色单体交换3）同源杂色体配对停止4）姐妹染色单体停止联合，而在着丝点的姐妹染色单体的联合仍然进行5）交叉配对形成。
第4届罗马尼亚大师杯数学竞赛(解答)
第4届罗马尼亚大师杯数学竞赛第一天:2011年2月25日,星期五,布加勒斯特语言:中文1. 证明:存在两个函数R R g f →:,,使得函数))((x g f 在R 上是严格递减的,而))((x f g 在R 上是严格递增的. 证明:设A=Zk k k k k ∈++⋃--])2,2()2,2([122212,B=Zk k k k k∈--⋃--])2,2()2,2([212122,则A=2B,B=2A,A=-A,B=-B,A ⋂B=∅,并且A ⋃B ⋃{0}=R.现在令⎪⎩⎪⎨⎧=∈-∈=.0,0;,;,)(x B x x A x x x f 而g(x)=2f(x),那么,f(g(x))=f(2f(x))=-2x,而g(f(x))=2f(f(x))=2x.所以,满足条件的函数存在.2. 求所有的正整数n,使得存在一个实系数多项式f(x),满足下面的两个性质:(1) 对任意整数k,数f(k)为整数的充要条件是k 不能被n 整除； (2) 多项式f(x)的次数小于n.解法一:我们将证明这样的多项式存在的充要条件是n=1或者n 是某个素数的幂.为表述上方便起见,依次建立下述引理:[引理一] 若p α是一个素数的幂,k 是一个整数,则数)!1()1()2)(1(-+---ααp p k k k (=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--11αp k 为整数) 能被p 整除的充要条件是k 不能被p α整除. [证明] 用L p (m)表示满足p r |m 的最大整数r.情形一:若p α|k,则对1≤j ≤p α-1,有L p (j)<α,故L p (k-j)=L p (j)=L p (p α-j),于是112211)!1()1()2)(1(+---⋅--=-+---αααααp k p k p k p p k k k 右边乘积的每一项的分子与分母中p 的幂次相同,因此,它不是p 的倍数.情形二:若k p |/α,则由⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--αααp k k p p k 11中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛αp k 为整数,而L p (k)<α,可知⎪⎪⎭⎫⎝⎛--11αp k 是p 的倍数.[引理二] 若g(x)是一个次数小于n 的多项式,则∑=-+-nl ln l l n x g C 0)()1(=0.[证明] 这是关于多项式的差分中的一个熟知的结论,一个常规的证明是对n 归纳. 当n=1时,g(x)是一个常数多项式,因此0)()1()()1()()1(11010=-+=-+=-+-∑=x g x g x g C x g C l n x g Cnl ln l.命题对n=1成立.现设命题对n-1(n>1)的情形成立,对于n 的情形,令h(x)=g(x+1)-g(x),则h(x)的次数小于g(x)的次数,由归纳假设可知∑-=---+-101)1()1(n l ln l l n x h C =0,即有0))1()(()1(101=--+--+-∑-=-n l l n ll n x g l n x g C⇒)()1()()()1()(1111111101x g C l n x g C C n x g Cn n n n l l n l n l n ----=-------++-++∑=0⇒∑=-+-nl ln l l n x g C 0)()1(=0引理二获证.[引理三] 若n 有两个不同的素因子,则gcd(121,,,-n nn n C C C )=1. [证明] 若否,则存在素数p,使得p| gcd(121,,,-n n n n C C C ).特别地,有p|n C n =1,设L p (n)=α,由于n 有两个不同的素因子,因此,1<p α<n,这表明组合数1-αpn C 和αp n C 都在121,,,-n nn n C C C 中出现,它们都是p 的倍数,于是, 111)(|---=-αααp n pn p n C C C p ,这与引理一得结论冲突.回到原题,我们对n=1或p α(素数的幂,α为正整数)构造满足条件的多项式.当n=1,时,f(x)=21即符合要求；当n=p α时,令f(x)=)!1()1()2)(1(1111-+---⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--αααp p x x x p p x p , 它是一个p α-1(=n-1)次的多项式,由引理一可知,它符合要求.最后,我们证明若n 有两个不同的素因子,则不存在符合要求的多项式.事实上,如果存在满足条件的多项式f(x),那么,在引理二中,令g=f,x =-k(这里1≤k ≤n)可知∑≠≤≤-+--=kl n l ln lk kn l k f C f C ,0)()1()0(,而由条件(1),数f(-k),…,f(-1)；f(1),…,f(n-k)都是整数,所以,对1≤k ≤n,数)0(f C kn 都为整数.由引理三的结论结合Bezout 定理知,存在整数u 1,…,u n ,使得∑=nk k n k C u 1=1.导致f(0)=(∑=n k knk C u 1)f(0)=)0(1f C u nk k n k ∑=为整数,与条件(1)不符.问题获解.解法二:答案为n=p α,这里p 为素数,α为非负整数.先证一个引理.[引理四] 对任意n 个整数a 1,…,a n ,存在一个次数小于n 的整值多项式P(x),使得对1≤k ≤n,都有P(k)=a k .对n 归纳来处理,当n=1时,令P(x)=a 1即可,现设命题对n-1(n>1)时命题成立,即存在整值多项式P 1(x),对1≤k ≤n-1,都有P 1(k)=a k-1,令P(x)=P 1(x)+ (a n -P 1(n))⎪⎪⎭⎫⎝⎛--11n x ,结合对1≤k ≤n-1,都有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--11n k =0,而⎪⎪⎭⎫⎝⎛--11n n =1.即可实现归纳过渡. 现在,如果对n 存在符合要求的多项式f(x),那么由引理四可构造一个次数小于n-1的整值多项式P(x),使得1≤k ≤n-1,都有P(k)=f(k),此时,1,2,…,n-1都是多项式f(x)-P(x)的根,结合P(x)为整值多项式,可知f(x)-P(x)也是一个符合条件的多项式,因此,为解决中的问题,我们可设f(x)=∏-=-11)(n i i x c ,这里c 是一个有理数常数.设c=qp是最简分数表示,其中正整数q 的素因数分解为∏==dj j j p q 1α.一方面,由于f(x)满足条件,因此,f(0)不是整数,故)!1()1(|--/n q n ,因此存在某个j,使得)!1()1(|--/n p n j j α,这说明)(m o d 0)!1()1()(1j j j n ni j p n i p αα≡/--≡-∏= 于是,f(j j p α)不为整数,有条件(1),可知n|j j p α,即n 为素数的幂.另一方面,当n=p α时,令f(x)=)!1()1()2)(1(1111-+---⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--αααp p x x x p p x p ,利用引理一的结论可知它是一个符合要求的多项式.3. 设ω是△ABC 的外接圆,一条平行于BC 的动直线l 分别交线段AB,AC 于点D,E,交圆ω于点K,L(点D 介于K 和E 之间),γ1是与线段KD,BD 和圆ω都相切的圆,γ2是与线段LE,CE 和圆ω都相切的圆.求l 变化时,圆γ1和γ2的内公切线的交点的轨迹.解:设P 为圆γ1和γ2的内公切线的交点,直线m 是∠BAC 的角平分线,由于KL//BC,故m 也是∠KAL 的角平分线.现在将平面上的先作关于直线m 的对称变换,然后,以A 为反演中心,以AL AK ⋅为反演半径作反演变换,该合成变换记为Φ.在变换Φ下,各几何元素的变换情况如下:点K ↔点L ； 直线KL ↔圆ω； 射线AB ↔射线AC ； 点B ↔点E ； 点C ↔点D ； 线段BD ↔线段EC ； 弧BK ↔线段EL ； 弧CL ↔线段DK.记O 1,O 2分别是圆γ1和γ2的圆心,由于在题给的条件下,圆γ1和γ2都是唯一确定的,因此,依照上面的对应关系,可知在变换Φ下,它们相互对应,于是射线AO 1与AO 2关于直线m 对称,得∠O 1AB=∠O 2AC,故2121ρρ=AO AO ,这里ρ1,ρ2分别是圆γ1和γ2的半径.而由于P 为圆γ1和γ2的内公切线的交点,它是线段O 1O 2上的点,并且2121ρρ=PO PO ,所以,P 在∠O 1AO 2的角平分线上,也就是在∠BAC 的角平分线上.考虑极限情形结合连续性即可知道点P 的轨迹是∠BAC 的角平分线内部的点. 每题7分 共4小时30分钟第4届罗马尼亚大师杯数学竞赛第二天:2011年2月26日,星期六,布加勒斯特语言:中文4. 对正整数∏==si i ip n 1α,设∑==Ωsi i n 1)(α是n 所有素因数的个数,这里的素因数依重数求和得到,定义)()1()(n n Ω-=λ(例如1)1()32()12(122-=-=⋅=+λλ).证明: (1) 存在无穷多个正整数n,使得1)1()(+=+=n n λλ; (2) 存在无穷多个正整数n,使得1)1()(-=+=n n λλ.证明:注意到,对任意正整数m,n,有Ω(mn)=Ω(m)+Ω(n),即Ω是一个完全可加函数,因此,λ(mn)=λ(m)λ(n),知λ是一个完全可乘函数,故对任意素数p,都有λ(p)=-1,而对任意正整数k,都有λ(k 2)=λ(k)2=1.(1) 佩尔方程x 2-6y 2=1有无穷多个正整数解(x m ,y m ),它们可由m m m y x )625(6+=+定义,由于λ(6y 2)=λ(y 2)=1,且λ(6y 2+1)=λ(x 2)=1,故该方程的每一组解都对应(1)中的一个n(=6y 2). 另解:若正整数n 满足λ(n)=λ(n+1),则λ((2n+1)2-1)=λ(4n(n+1))=λ(4)λ(n) λ(n+1)=1,而λ((2n+1)2)=1,这样,从n=1出发可递推构造出无穷多个满足(1)的n. (2) 佩尔方程3x 2-2y 2=1有无穷多组正整数解(x m ,y m ),它们可由12)23(23++=+m m m y x 定义,而λ(2y 2)=λ(2)λ(y 2)=-1=λ(3)λ(x 2)=λ(3x 2)= λ(2y 2+1),同(1)可知命题成立.另解:注意到n=2满足条件,如果命题不成立,那么存在最大的正整数n,使得λ(n-1)=λ(n)=-1,而当m ≥n 时,λ(m)与λ(m+1)不同时为 1.于是,λ(n+1)=1,故λ(n(n+1))=λ(n)λ(n+1)=-1,进而λ(n 2+n+1)=1,得λ(n 3-1)=λ(n-1)λ(n 2+n+1)=-1,而λ(n 3)=λ(n)3=-1,与n 最大矛盾(因为n ≥2,故n 3-1>n-1).5. 对每个正整数n ≥3,试确定平面上具有下述性质的n 个不同的点X 1,X 2,…,X n 之间的关系:对任意一对不同的点X i ,X j ,都存在{1,2,…,n}的一个排列σ,使得对所有1≤k ≤n,都有d(X i ,X k )=d(X j ,X σ(k)).这里d(X,Y)表示点X 和Y 之间的距离. 解:我们先证明所有的点共圆.建立恰当的直角坐标系,使得点X k 对应的从原点出发的向量x k 满足11=∑=nk k x n .利用d(X l ,X k )2=||x l -x k ||2=(x l -x k )∙(x l -x k )=||x l ||2-2x l ∙x k +||x k ||2,因此,∑∑∑===+∙-=n k k n k k i i nk kix x x x n XX d 121212||||2||||),(=∑=+nk k i x x n 122||||||||=∑∑==+=nk k j nk k j x x n X X d 12)(212)(||||||||),(σσ.所以,对不同的i,j,都有22||||||||j i x x =,因此,这些点共圆(它们的圆心为O(0,0)).现在设m 是这n 个点中任意两点的角距离的最小值,那么角距离等于m 的两个点在圆O 上必为相邻的两点,将这样的点对之间连一条边,构成一个图G ,依条件,G 是一个正则图,且每个顶点的度都是1或者2.如果n 为奇数,由于||2)deg(1E X nk k =∑=,知deg(G)=2,即每个点都与它相邻的两个点连边,此时它们构成一个正n 边形.如果n 为偶数,同上当deg(G)=2时,仍然构成正n 边形.但也可能是deg(G)=1,此时,设M 是任意两点的角距离中第2小的值,角距离为M 的两点在圆上仍然是相邻的,将距离为M 的点对之间连一条边得到图G ',类似讨论可知deg(G ')=1,于是,这时,所得的n 边形的边长交替相等(即奇数边长度相等,且偶数边长度相等). 直接验证可知,具有上述性质的n 个点符合要求.6.一个2011⨯2011的方格表的每个小方格都被标上整数1,2,…,20112中的某个数,使得其中的每个数都恰好用了一次.现在将表格的左右边界视为相同,上下边界也视为相同,依通常的方式得到一个圆环面(可视为一个“甜甜圈”的表面).求最大的正整数M,使得对任意标数方式,都存在两个相邻的小方格(指有公共边的小方格),它们中所填写的数之差(大的减小的)至少为M.注: 用坐标表示,小方格(x,y)和(x',y')相邻是指:x=x',y-y'≡±1(mod 2011)或者y=y',x-x'≡±1(mod 2011).解:设N=2011,我们对一般的N⨯N的表格求解相同的问题.当N=2时,结论是平凡的,所求的M=2,例子如下:考虑N≥3的情形,我们证明M≥2N-1.从最初表格的每个小方格都是白色的状态开始,当表格中依次写入数1, 2,…时,并将被标号的小方格染成黑色,在标上数k,且第一次出现下面的情形时,停止上述操作:表格中的每一行都有至少两个黑格,或者表格中每一列都有至少两个黑格.这表明在标上k之前,必有一行且必有一列中至多有一个黑格.不妨设,当标上k时,每一行都出现了两个黑格.这时表格中至多有一行中的格子都是黑色,因为如果有两行都是全黑格,那么,若k标在这两行中的某个小方格内,则此前每行中已有两个黑格(这里用到N≥3);若k标在其它行中,则此时每一列中都已有两个黑格.现在我们将有一个相邻格为白色的黑格染成红色,那么由于除掉可能存在的全黑行外,其余每行都有两个黑格和一个白格,因此,这些行中都至少有两个红色格.进一步,与可能存在的全黑行相邻的行中必有一个为白格,所以,该全黑行中至少有一个黑格被染成红色.依此可知,红色方格数≥2(N-1)+1=2N-1.因此,所有红色方格中的最小标号至多为k+1-(2N-1),当该方格相邻的白色格中被标号(所标的数至少为k+1)后,这两个相邻格之间的差≥2N-1.由于题中只需给出N=2011的例子,我们只需构造出形如N=2n+1(≥2)的例子,下表给出了一个使M=2N-1的例子:n=2的例子是对应的M=9.因此,题中所求的M=4021.每题7分共4小时30分钟。
2024年全国第四届章鱼杯联考高中组数学试题
2024年全国第四届章鱼杯联考高中组数学试题一、单选题1．方程()log 20242x x +=的实数解的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 2．记i 为虚数单位，n 为正整数，若()34i n +位于复平面的第四象限，则n 的最小值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．73．若三次函数()f x 满足()()()()00,11,03,19f f f f ''====，则()3f =（ ） A ．38 B ．171 C ．460 D ．9654．设p 是q 的充分不必要条件，p ⌝是r ⌝的必要不充分条件，则（ ）A ．p 是q r ∨的充分不必要条件B ．p 是q r ∧的充分不必要条件C ．p 是q r ∧的必要不充分条件D ．p 是q r ∨的必要不充分条件 5．设A 在曲线2ln 31y x x x =-+-上，B 在直线23y x =-上，O 为坐标原点，则+u u u r u u u r OA OB 的最小值是（ ）A B C D 6．一次铁人三项比赛中，每名参赛选手须在指定的游泳池里游20个来回，然后骑车10公里，最后跑3公里.已知共有n 名选手参赛，由于场地条件限制，游泳池内只能同时容纳一名选手(即上一名选手上岸时下一名选手方可下水)，骑车与跑步则无限制.记序号为i 的选手游泳、骑车、跑步所用时长的期望分别为i s ,i b ，i r ,为了使得总完赛时间(即从1号选手下水到n 号选手跑完的总时长)尽可能短，应采取的策略是（ ）A ．让i s 越大的选手越早出发B ．让i s 越小的选手越早出发C ．让i i b r +越大的选手越早出发D ．让i i b r +越小的选手越早出发7．给定R k ∈，若0m ∃>，,x y ∀∈R 满足cos cos 1x k y +=，均有y m ≥，则k 的范围是（ ） A ．()(),02,-∞⋃+∞B ．][(),02,-∞⋃+∞C ．[]0,2D ．()0,28．Enigma 机是二战时用来加密和解密的设备，其中插线板是整套密码系统的一环，原理如下：有26根接线柱对应26个英文字母，另有k 条导线，每条导线的两端接在某两根不同的接线柱上，每根接线柱上至多连一条导线，以此交换输入的文字中有导线相连的接线柱处的字母.例如，2k =时，设O 与P 相连，G 与S 相连，输入文字BIGOCTOPUS ，则交换O 与P ，交换G 与S ，故输出BISPCTPOUG .设不同的接线方法数为ak ，若ak 越大则这套密码系统越安全.要使安全性最高，k 应该取（ ）A ．7B ．9C ．11D ．13二、多选题9．记集合{N |A n +=∈正n 边形可用尺规作出}，熟知3，4，5A ∈，7，9，11A ∉，则以下角中能被尺规作出的是（ ）A ．21°B ．25°C ．48°D ．62°10．下列关于异面直线的断言正确的是（ ）A ．给定异面直线a ，b ，定长线段,AB CD 分别在a ，b 上滑动，则四面体ABCD 的体积不变B ．设a ，b 为异面直线，夹角为θ，点A 在a 上，点B 在b 上，||1AB =，AB 与a ，b的夹角分别是90°和α，则a ，b 之间的距离为C ．设a ，b 为异面直线，则空间内存在某些点P ，使得过P 的直线不可能与a ，b 均相交D ．存在两两异面的直线a ，b ，c 和相交直线m ，n ，m 与a ，b ，c 均相交，n 与a ，b ，c 均相交11．有n 个进程()3n ≥1q ，2q ，···，n q 要访问一个数据库，不同进程之间、同一进程在不同时刻是否尝试访问数据库是相互独立的，且每一秒每个进程尝试访问数据库的概率均为1n.若某一秒恰有一个进程访问数据库，则访问成功，否则访问失败.以下是一个4n =的样例：记()i X t 为i q 在前t 秒成功访问数据库的次数，e 为自然对数的底，[x ]表示不小于实数x 的最小整数，下列说法正确的是（ ）A ．若n =4，则4127((1)0)64i i P X ===∑ B ．()()1e 2t t E X t n n<< C ．[]()()1e 0e I P X n =≤ D ．[][](){}112e ln 11n i i P X n n n =⎛⎫≥≥- ⎪⎝⎭⋂三、填空题12．已知正七边形ABCDEFG 的外接圆为()()22123x y -+-=，且A 为该圆上距离坐标原点最远的点，则关于这七个点的回归直线方程为；设CG ，AD 交于Q ，则QE DE = 13．设{}{}129,1,2,,9,,a a a =L L ，且{}21221,1,2,3,4i i i a a a i -+><∀∈，则满足要求的数列{}19n n a ≤≤的个数是.14．设双曲线Γ:2233x y -=-，(0,2)A ，B ，C 在Γ上且直线BC 经过A .设,B C l l 分别为Γ在B ，C 处的切线，点D 满足,B C BD l CD l ⊥⊥，则D 的轨迹方程是;若D 的横纵坐标均为正整数，且二者之和大于2024，则D 可以是.(写出1个即可).四、解答题15．双五棱锥是由两个侧面均为边长为1的正三角形的五棱锥上下拼接而成的，如图所示.(1)求双五棱锥的内切球半径；(2)求分别位于拼接面(正五边形)两侧的相邻的两个正三角形构成的二面角的余弦值. 16．校乒乓球锦标赛共有2n 位运动员参加.第一轮，运动员们随机配对，共有12n -场比赛，胜者进入第二轮，负者淘汰.第二轮在同样的过程中产生22n -名胜者.如此下去，直到第n 轮决出总冠军.实际上，在运动员之间有一个不为比赛组织者所知的水平排序，在这个排序中1x 最好，2x 次之，…，n x 最差.假设任意两场比赛的结果相互独立，不存在平局，且12n i j ∀≤<≤，当i x 与j x 比赛时，i x 获胜的概率为p ，其中1 1.2p << (1)求最后一轮比赛在水平最高的两名运动员1x 与2x 之间进行的概率.(2)证明：121n i ∀≤≤-，i x 为总冠军的概率大于1i x +为总冠军的概率.17．17世纪德国天文学家约翰内斯·开普勒提出描述行星运动的三大基本定律： (a)行星绕太阳运动的轨道为椭圆(圆可视为特殊的椭圆)，太阳位于椭圆的一个焦点上，所有行星的轨道可近似看成在同一平面内；(b)行星在其椭圆轨道上的相等时间内，与太阳连线所扫过的面积相等.(c)行星的公转周期的平方与它们的椭圆轨道长轴的立方成正比.开普勒三定律为我们理解行星运动提供了重要的基础，并且被广泛应用于天体力学和行星轨道计算中.设a ，b ，0?²²c a b c >=+，，地球、太阳、火星均可视为点，太阳位于(),0c -，地球的公转轨道可近似看成圆()():?²²C x c y a c ++=-₁，火星的公转轨道可近似看成圆()():?²²C x c y a c ++=+₂，且火星的公转周期约为地球公转周期的1.882倍.霍曼转移轨道E 是以太阳所在位置为其中一个焦点，并且与,C C ₁₂均相切的椭圆.2020年，我国自主研制的火星探测器天问一号从地球发射，经霍曼转移轨道到达火星，如下图所示.(1)计算霍曼转移轨道E 的离心率.(参考数据：231.882 1.54233≈，计算结果保留两位小数)(2)设天问一号位于E 上的一点P ，当P 不在C ₁上时，C ₁上存在依赖于P 的两点A ，B ，使得APB ∠为观测地球的最大视角(即地球不可能位于该角的外部)，问：轨道平面内是否存在定圆C ₃，使得直线AB 恒与C ₃相切？证明你的结论.18．设()2ln 1e ,R ax x f x x a x+=-∈. (1)若0a =，讨论()f x 的单调性;(2)若0a ≥，求()f x 的最大值(用a 表示);(3)若()f x 恰有三个极值点，直接写出a 的取值范围.19．数列{},N n a n ∈满足012a a a αβγ===，，，且3n ∀≥，3n a -，12n n a a --，n a 构成等差数列.(1)试求出所有三元实数组(α,β,γ)，使得n a 为等比数列.(2)若()(),,1,2,2αβγ=，求n a 的通项公式.。
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第4届IBO试题选择题1．在某一类型的血细胞中，一种电中性物质的浓度比周围血浆中的该物质的浓度高得多，然而此物质仍能继续不断地进入细胞。
该物质进入细胞的这一过程是：A 渗透作用B 简单扩散作用C 易化扩散即进行得较快的扩散作用D 主动传送（或称活性转运）2．一U–形管中装有两种木同的溶液R和S，并为一半Array透性膜（X）隔开。
与S相比，R为低渗溶液，右图中黑色的深浅即代表浓度高低。
当右图中的U形管内已达到平衡时，溶液表面是一样高还是不一样高？渗透压（或渗透势）是相等还是不相等（参看下图）？A 右侧较高，两溶液等渗，即浓度相等B 右侧较高，且右侧为高渗，即浓度较高C 左侧较高，且有侧为低渗，即浓度较低D 两侧高度相等，且为等渗3．下列四对名词中，哪一对的表述是合适的？A 叶绿体——贮藏酶B 过氧化（酶）体——细胞中的转运作用C 核仁——核糖体亚基的组装部位D 溶酶体——细胞中的发电站4．利用光学显微镜能够看到当细胞开始失水时，植物细胞不如动物细胞收缩得那么显著。
这是因为：第 1 页共60 页A 质膜的伸缩性不同B 质膜上的小孔数目不同C 细胞的渗透势不同D 植物细胞有细胞壁E 液泡的大小不同5．将新鲜马铃薯切成长恰为5cm的长条（粗细相同），再将各条分别放在浓度不同的溶液中。
4小时后，测量每一条的长度。
下图所列为各条的长度与甘露醇溶液浓度的关系。
下列两条结论的正确性如何？（1）在40g／l的甘露醇溶液中4小时后的马铃薯条仍有膨压（仍处于一定的膨胀状态）。
（2）在100g／l的甘露醇溶液中4 小时后的马铃薯条中细胞质已与细胞壁分开，即已发生质壁分离。
A （1），（2）都对B 仅（1）对C 仅（2）对D （1），（2）都不对6．若向茎的一侧照光，它会向光弯曲（下图a）。
这种正向光性是由于茎顶端所合成的物质引起的。
在一株曾经是两侧都照光植物顶端之下作一横切口（不切断），并向切口中插入一玻璃片，然后从切口的一侧向植物照光。
现在植物会怎样生长？这种现象的正确解释是什么（下图b）？第 2 页共60 页第 3 页 共 60 页A 茎向照光侧的对面弯曲，因为玻片使得促进生长的物在照光一侧积累B 茎向照光侧的对面弯曲，因为切口中的玻片阻止了抑制生长的物质在照光一侧的运输C 茎不弯曲，未经处理的植物的正向光性不是由于照光一侧的生长减慢D 茎向照光一侧弯曲，因为光的作用是引起促进生长的物质向背光一侧下运7．下列元素中哪一种是合成叶绿素所必需但又不是叶绿素的组分？A 碳B 镁C 氮D 铁E 氧8．从海的不同深度采集到4种类型的浮游植物（Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ和Ⅳ）。
测定了每种类型的光合作用，如下图所示。
在最深处采集到的是哪种类型的浮游植物？A ⅠB ⅡC ⅢD Ⅳ9．下图为处于不同条件下的同样类型植物的叶子。
植物P的叶缘上有小滴水出现，植物Q则否。
哪株植物的叶子的渗透势较负（渗透压较高）？哪株植叶细胞的膨压较高？10．一株C3植物和一株C4植物，放在同一钟罩下。
钟罩内与外界空气隔绝，并每天照光12小时，共照若干天。
1周后，C3植物死亡。
这是因为：A C4植物在夜间的呼吸需氧较少B C4植物较能抗旱C C4植物光合作用效率较高D C4植物的光合作用把C3植物晚上呼吸作用所放出的CO2都利用了，因而使C3植物消耗尽了11．下图是许多个连续24小时的树干直径变化的资料。
星期五是个干燥的阴天，你推测其前一天的气候可能如何？第 4 页共60 页第 5 页 共 60 页用树干测量器测量树干的直径A 有雨无风B 有雨风大C 晴天，湿度大D 晴天，湿度低12．钾在气孔开闭中起着重要作用，其作用是：A 改变保卫细胞的原生质膜对水的透性B 改变保卫细胞的渗透势C 调节植物激素脱落酸的合成，脱落酸是保卫细胞中糖转变为淀粉所必需的D 调节保卫细胞中淀粉和有机酸的产生和分解13．在大气湿度高的情况下，钙不大可能会被运入发育中的果实内。
这是因为：A 钙只能通过木质部运输，而大气湿度高时此过程不能进行B 钙只能在韧皮部中运输，而此时这种运输不能发生C 蒸腾作用停止，其结果是木质部和韧皮部中的运输都停止D 气孔关闭，向果实中的运输也停止14．与C 3植物相比，C 4植物开始进行光合作用所需CO 2浓度低得多，这是因为：A C 4植物的呼吸速率较高BC 4植物的呼吸速率较低C C 4植物无光呼吸D C 4植物有光呼吸15．下图所列为Ⅰ和Ⅱ两株植物的日长与开花时间关系的曲线，由此曲线可以判断：A Ⅰ是短日植物，Ⅱ是长日植物B Ⅰ是长日植物，Ⅱ是短日植物C Ⅰ是短日植物，Ⅱ是日中性植物D Ⅰ是长日植物，Ⅱ是日中性植物E Ⅰ是日中性植物，Ⅱ是短日植物16．在许多实验中已观察到，植被的消光量随叶面积指数（LAI：每平方米土地上总叶面积的平方米数）而增加，其公式是：I d＝I0×e－K×LAI d式中I d是在植被中d处（从植被顶点到d点的距离）的光照强度。
I0是植被之上的光照强度。
K是消光系数，LAI d是累积的叶面积指数（从植被顶端开始测量到d处为止）。
以下叙述中哪一条不正确？A K随叶片厚度的增加而增加B K随叶绿素浓度的增加而增加C K随植被中叶片数量的增加而增加D K随植被中光反射的增强而增加17．两棵同一种的树，直径分别为10cm和40cm，但树皮一样厚，其原因可能是：（1）次生韧皮部比次生本质部少得多；（2）死的韧皮部细胞被压挤到一起；（3）形成了落皮层，外面的树皮脱落了。
上述理由中，哪条正确？第 6 页共60 页A （1）和（2）B （1）和（3）C （2）和（3）D （1），（2）和（3）18．如何获得多倍体植物？A 用植物进行自花传粉，于是获得纯合子系；纯合子系自交，于是表现杂种优势B 先选择人们所需要的个体，将其性器官暴露在射线之下，由于基因和染色体发生变化，新的遗传特性就出现了C 为提高生产力，从许多系中进行选择，再进行杂交即可D 用秋水仙素处理，正在分裂的细胞的纺锤丝瓦解，于是成对的染色体不能在有丝分裂的细胞中向两极分开19．陆生植物的主要进化趋势是：A 孢子体与配子体阶段有明显的区别B 单倍体阶段缩短C 无性阶段缩短D 增加配子体的复杂性20．脊索动物门的下列特征中，哪一种也存在于成年的被囊动物（尾索动物亚门）中？A 有脊索B 有鳃裂C 有尾D 有背侧管状神经系统21．请指出下列各组动物中代表了脊椎动物循环系统复杂性增加顺序的一组？A 蟾蜍→兔→鳄→鲨鱼B 鲨鱼→青蛙→鳄→兔C 鲨鱼→鳄→兔→青蛙D 鳄→狗→鲨鱼→蟾蜍22．在下列的哪一处血液迅速丢失其中的氧？A 肺泡B 小肠中的毛细血管C 肺静脉D 肝门静脉23．在下列各类动物中，哪一类动物的卵黄囊极小？A 体外受精的类群B 由母体的血液给胚胎提供养分的类群第7 页共60 页C 体内受精的类群D 有尿囊膜的类群24．下列特征中哪一种是鸟类与兽类胚胎发育所共有的？A 全裂的卵裂B 原条C 滋养层D 卵黄栓／团块25．外胚层、内胚层和中胚层发育成组织和器官。
指出下列各组合中的正确者？26．在进化过程中，新性状的出现是由于：A 在一个原先是为别的性状编码的基因内点突变的积累B 基因复制成为两个拷贝并在其中一个拷贝内点突变的积累C 调节基因内的突变D 基因型对有利表型的记录27．在1.5×108a前（用150MaBP表示）的沉积物中发现了已灭绝的剑尾动物。
每个个体背甲的长／宽比都进行了测量。
这一长／宽比的值用S值来表示。
在下图中，P曲线图表示150MaBP时该动物S值的分布。
在100MaBP 的沉积物中，在三个不同地点发现了三个不同剑尾动物的群体。
图a、b、c 分别表示三种动物群体中S值的分布情况。
回答下列两个问题：第8 页共60 页第 9 页 共 60 页（1）在a 、b 、c 三个群体中，哪一群体最可能出现了新种？（2）在发现该动物的三个地区中，哪一地区的环境最可能保持不变？28．哪种细胞器参与纺锤体的形成？A 细胞核B 线粒体C 高尔基体D 内质网E 微管29．何种特性使得磷脂类特别适于形成细胞膜？A 它们是疏水的B 它们是亲水的C 它们吸水迅速D 它们既是亲水的，又是疏水的30．某人在观察一正在发生有丝分裂的细胞。
指出下列各项中足以证明细胞是植物的而不是动物的一项？A 没有纺锤丝B 没有中心粒C 染色体发生复制D 核膜消失31．人的红细胞属于A ，B 还是O 血型，决定于其表面上的化学标记物，这些标记物是：A 脂类（脂质）分子B 寡糖C 多肽D 抗体E 核酸32．大多数植物贮藏能量的形式是：A 糖元B 纤维素C 油脂D 葡萄糖E 淀粉33．下列细胞器中，哪一种没有膜包被着？A 线粒体B 质体C 高尔基体D 核仁E 溶酶体34．。
这些基因的顺序是：A bi—ec—fa—wiB bi—ec—wi—faC ec—bi—fa—wiD ec—bi—wi—af35．一只黑色雌兔与一只白色雄兔交配后产了一窝黑兔。
此窝中的一只黑色雌兔与一只白色雄兔交配。
毛色的基因位于常染色体上，第二次交配后的子代会出现什么情况？A 3黑和1白B 3白和1黑C 只有黑色D 2白和2黑36．囊性纤维变性是一种常染色体遗传病。
在欧洲的人群中，每2500个人中就有一人患此病。
如一对健康的夫妇有一个患有此病的孩子；此后，该妇女又与一健康的男子再婚。
再婚的双亲生一孩子患该病的机会是多少？A 1︰25B 1︰50C 1︰100D 1︰62537．下图所示的家谱表示的是一种很少见的遗传性肌肉萎缩症。
这种病很可能起因于下面给出的哪一种基因位点的突变？第10 页共60 页健康（有病）♀健康（有病）♂A 隐性、常染色体B 显性、常染色体C 隐性、在X染色体上D 在Y染色体上E 在线粒体基因组中38．在基因完全偶联（情况Ⅰ）和基因独立遗传（情况Ⅱ）两种不同的条件下，AABB×aabb杂交后的F中可以各产生多少种表现型？39．家猫有一基因“Orange”，是性连锁的，而且是中间显性，即杂合体猫为玳瑁猫。
一只玳瑁色的雌猫（Oo）和一只红色雄猫（oY）交配，生下的小猫应是什么毛色？第三种颜色是斑纹色（OO，OY）。
40．家猫常染色体上有一基因“White”，表型为白色，是显性上位的基因；基因“Orange”是性连锁基因，O是斑纹色，o为红色，而杂合体为玳瑁色。
一个白色雌猫与一个斑纹雄猫交配，出生的小猫是：1只红色雄猫、1只玳瑁雌猫、1只斑纹雌猫、1只白色雄猫、1只白色雌猫。
第11 页共60 页小猫母亲的基因型是：A WWOoB WwOOC WwOoD Wwoo41．以下是果蝇产生眼色素B和D的反应：物质A−→−Y酶色素D−X酶色素B 物质C−→野生果蝇有两种色素B和D，眼睛为红褐色。