【合集】浙江省2016届高三数学(理)专题复习：专题一函数、不等式及其应用

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2016届高考数学(浙江专用理科)二轮专题精练专题一函数不等式1-1Word版含解析

专题一函数、不等式第1讲函数、基本初等函数的图象与性质(建议用时：60分钟)一、选择题1．(2015·广东卷)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )．A ．y ＝x ＋e xB ．y ＝x ＋1x C ．y ＝2x ＋12xD ．y ＝1＋x 2解析令f (x )＝x ＋e x ，则f (1)＝1＋e ，f (－1)＝－1＋e －1，即f (－1)≠f (1)， f (－1)≠－f (1)，所以y ＝x ＋e x 既不是奇函数也不是偶函数，而B 、C 、D 依次是奇函数、偶函数、偶函数，故选A. 答案 A2．(2015·北京东城区模拟)函数f (x )＝lnxx －1＋的定义域为 ( )．A ．(0，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(0,1)D ．(0,1)∪(1，＋∞)解析要使函数有意义，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，xx －1＞0，即⎩⎨⎧x ≥0，x (x －1)＞0，解得x ＞1. 答案 B3．(2015·新课标全国Ⅱ卷)设函数f (x )＝⎩⎨⎧1＋log 2(2－x )，x ＜1，2x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝()．A．3 B．6 C．9 D．12解析因为－2＜1，log212＞log28＝3＞1，所以f(－2)＝1＋log2[2－(－2)]＝1＋log24＝3，f(log212)＝2log212－1＝2log212×2－1＝12×12＝6，故f(－2)＋f(log212)＝3＋6＝9，故选C.答案 C4．函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y＝e x关于y轴对称，则f(x)＝()．A．e x＋1B．e x－1C．e－x＋1D．e－x－1解析与曲线y＝e x图象关于y轴对称的曲线为y＝e－x，函数y＝e－x的图象向左平移一个单位得到函数f(x)的图象，即f(x)＝e－(x＋1)＝e－x－1.答案 D5．(2015·安徽卷)函数f(x)＝ax＋b(x＋c)2的图象如图所示，则下列结论成立的是()．A．a>0，b>0，c<0 B．a<0，b>0，c>0C．a<0，b>0，c<0 D．a<0，b<0，c<0解析由题图可知－c>0，∴c<0，又当x<－c时，由图象形状可知，a<0且b>0，故选C.答案 C6．(2013·浙江卷)已知x，y为正实数，则()．A．2lg x＋lg y＝2lg x＋2lg y B．2lg(x＋y)＝2lg x·2lg yC．2lg x·lg y＝2lg x＋2lg y D．2lg(xy)＝2lg x·2lg y解析2lg x·2lg y＝2lg x＋lg y＝2lg(xy)．故选D.答案 D7．(2014·安徽卷)设a ＝log 37，b ＝21.1，c ＝0.83.1，则( )．A ．b <a <cB ．c <a <bC ．c <b <aD ．a <c <b解析利用“媒介”法比较大小． ∵a ＝log 37，∴1<a <2. ∵b ＝21.1，∴b >2. ∵c ＝0.83.1，∴0<c <1. 故c <a <b ，选B. 答案 B 二、填空题8．已知f (x )＝ln(1＋x )的定义域为集合M ，g (x )＝2x ＋1的值域为集合N ，则M ∩N ＝________.解析由对数与指数函数的知识，得M ＝(－1，＋∞)，N ＝(1，＋∞)，故M ∩N ＝(1，＋∞)．答案 (1，＋∞)9．(2015·新课标全国Ⅰ卷)若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________. 解析 f (x )为偶函数，则ln(x ＋a ＋x 2)为奇函数，所以ln(x ＋a ＋x 2)＋ln(－x ＋a ＋x 2)＝0，即ln(a ＋x 2－x 2)＝0，∴a ＝1. 答案 110．(2014·新课标全国Ⅰ卷)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x <1，x 13， x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x的取值范围是________．解析结合题意分段求解，再取并集．当x <1时，x －1<0，e x －1<e 0＝1≤2，∴当x <1时满足f (x )≤2.当x ≥1时，x 13≤2，x ≤23＝8，∴1≤x ≤8.综上可知x ∈(－∞，8]．答案 (－∞，8]11．(2015·浙江卷)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤1，x ＋6x －6，x ＞1，则f (f (－2))＝________，f (x )的最小值是________．解析因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤1x ＋6x－6，x ＞1，∴f (－2)＝(－2)2＝4，∴f [f (－2)]＝f (4)＝－12.当x ≤1时，f (x )min ＝f (0)＝0.当x ＞1时，f (x )＝x ＋6x －6≥26－6，当且仅当x ＝6时“＝”成立．∵26－6＜0，∴f (x )的最小值为26－6. 答案－12 26－612．已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，对∀x ∈R 都有f (x ＋4)＝f (x )＋f (2)成立．当x 1，x 2∈[0,2]，且x 1≠x 2时，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0，给出下列命题：①f (2)＝0；②直线x ＝－4是函数y ＝f (x )图象的一条对称轴； ③函数y ＝f (x )在[－4,4]上有四个零点； ④f (2 014)＝0.其中所有正确命题的序号为________．解析令x ＝－2，得f (－2＋4)＝f (－2)＋f (2)，解得f (－2)＝0，因为函数f (x )为偶函数，所以f (2)＝0，①正确；因为f (－4＋x )＝f (－4＋x ＋4)＝f (x )， f (－4－x )＝f (－4－x ＋4)＝f (－x )＝f (x )，所以f (－4＋x )＝f (－4－x )，即x ＝－4是函数f (x )的一条对称轴，②正确；当x 1，x 2∈[0,2]，且x 1≠x 2时，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0，说明函数f (x )在[0,2]上是单调递减函数，又f (2)＝0，因此函数f (x )在[0,2]上只有一个零点，由偶函数知函数f (x )在[－2,0]上也只有一个零点，由 f (x ＋4)＝f (x )，知函数的周期为4，所以函数f (x )在(2,6]与[－6，－2)上也单调且有f (6)＝f (－6)＝0，因此，函数在[－4,4]上只有2个零点，③错；对于④，因为函数的周期为4，即有f (2)＝f (6)＝f (10)＝…＝f (2 014)＝0，④正确．答案 ①②④ 三、解答题13．已知函数f (x )＝log a (x ＋1)(a >1)，若函数y ＝g (x )的图象上任意一点P 关于原点对称的点Q 的轨迹恰好是函数f (x )的图象． (1)写出函数g (x )的解析式；(2)当x ∈[0,1)时总有f (x )＋g (x )≥m 成立，求m 的取值范围．解 (1)设P (x ，y )为g (x )图象上任意一点，则Q (－x ，－y )是点P 关于原点的对称点，因为Q (－x ，－y )在f (x )的图象上，所以－y ＝log a (－x ＋1)，即g (x )＝－log a (1－x )(x <1)． (2)f (x )＋g (x )≥m ，即log a 1＋x 1－x≥m .设F (x )＝log a 1＋x1－x ，x ∈[0,1)．由题意知，只要F (x )min ≥m 即可．因为F (x )在[0,1)上是增函数，所以F (x )min ＝F (0)＝0. 故m 的取值范围是(－∞，0]．14．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ＞0)，F (x )＝⎩⎨⎧f (x )，x ＞0，－f (x )，x ＜0.若f (－1)＝0，且对任意实数x 均有f (x )≥0成立． (1)求F (x )的表达式；(2)当x ∈[－2,2]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求k 的取值范围．解 (1)∵f (－1)＝0， ∴a －b ＋1＝0，∴b ＝a ＋1，∴f (x )＝ax 2＋(a ＋1)x ＋1. ∵f (x )≥0恒成立，∴⎩⎨⎧ a ＞0，Δ＝(a ＋1)2－4a ≤0，即⎩⎨⎧a ＞0，(a －1)2≤0. ∴a ＝1，从而b ＝2，∴f (x )＝x 2＋2x ＋1，∴F (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x ＋1 (x ＞0)，－x 2－2x －1 (x ＜0).(2)由(1)知，g (x )＝x 2＋2x ＋1－kx ＝x 2＋(2－k )x ＋1. ∵g (x )在[－2,2]上是单调函数， ∴k －22≤－2或k －22≥2，解得k ≤－2或k ≥6.所以k 的取值范围是(－∞，－2]∪[6，＋∞)． 15．已知函数f (x )＝e x －e －x (x ∈R 且e 为自然对数的底数)． (1)判断函数f (x )的奇偶性与单调性；(2)是否存在实数t ，使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x 都成立？若存在，求出t ；若不存在，请说明理由．解 (1)∵f (x )＝e x －⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ，且y ＝e x 是增函数，y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x 是增函数，所以f (x )是增函数．由于f (x )的定义域为R ，且f (－x )＝e －x －e x ＝－f (x )，所以f (x )是奇函数． (2)由(1)知f (x )是增函数和奇函数， ∴f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 恒成立 ⇔f (x 2－t 2)≥f (t －x )对一切x ∈R 恒成立 ⇔x 2－t 2≥t －x 对一切x ∈R 恒成立 ⇔t 2＋t ≤x 2＋x 对一切x ∈R 恒成立 ⇔⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122min 对一切x ∈R 恒成立 ⇔⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122≤0⇔t ＝－12. 即存在实数t ＝－12，使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x 都成立．。

2016届高考数学(浙江专用理科)二轮专题精练专题一函数不等式1-3Word版含解析

第3讲不等式及线性规划问题(建议用时：60分钟)一、选择题1．(2015·丽水二模)已知a >0，b >0，且2a ＋b ＝4，则1ab 的最小值为( )．A.14 B ．4 C.12 D ．2解析由4＝2a ＋b ≥22ab ，得ab ≤2，又a >0，b >0，所以1ab ≥12，当且仅当a ＝1，b ＝2时等号成立．答案 C2．已知全集为R ，集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≤1，B ＝{}x |x 2－6x ＋8≤0，则A ∩∁R B 等于( )．A ．{x |x ≤0}B ．{x |2≤x ≤4}C ．{x |0≤x <2，或x >4}D ．{x |0<x ≤2，或x ≥4}解析 A ＝{x |x ≥0}，B ＝{x |2≤x ≤4}．∴A ∩∁R B ＝{x |x ≥0}∩{x |x >4，或x <2}，＝{x |0≤x <2，或x >4}．答案 C3．(2015·广东卷)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧4x ＋5y ≥8，1≤x ≤3，0≤y ≤2，则z ＝3x ＋2y 的最小值为( )．A.315 B ．6 C.235 D ．4解析不等式组所表示的可行域如下图所示，由z ＝3x ＋2y 得y ＝－32x ＋z 2，依题当目标函数直线l ：y ＝－32x ＋z 2经过A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，45时，z 取得最小值即z min ＝3×1＋2×45＝235，故选C. 答案 C4．(2015·陕西卷)设f (x )＝ln x,0＜a ＜b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确的是( )．A ．q ＝r ＜pB ．q ＝r ＞pC ．p ＝r ＜qD ．p ＝r ＞q解析 ∵0＜a ＜b ， ∴a ＋b2＞ab ，又∵f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上为增函数，故f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＞f (ab )，即q ＞p .又r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12(ln a ＋ln b ) ＝12ln a ＋12ln b ＝ln(ab ) ＝f (ab )＝p . 故p ＝r ＜q .选C. 答案 C5．(2015·福建卷)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，x －2y ＋2≥0，则z ＝2x －y 的最小值等于( )．A ．－52B ．－2C ．－32 D ．2解析如图，可行域为阴影部分，线性目标函数z ＝2x －y 可化为y ＝2x －z ，由图形可知当y ＝2x －z 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12时z 最小，z min ＝2×(－1)－12＝－52，故选A.答案 A6．(2015·陕西卷)某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( ).A.12万元 C ．17万元D ．18万元解析设甲、乙的产量分别为x 吨，y 吨，每天所获利润为z 万元．由已知可得⎩⎨⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，目标函数z ＝3x ＋4y ，线性约束条件表示的可行域如图阴影部分所示：可得目标函数在点A 处取到最大值．由⎩⎨⎧x ＋2y ＝8，3x ＋2y ＝12，得A (2,3)．则z max ＝3×2＋4×3＝18(万元)．答案 D 二、填空题7．不等式x 2＋x －2<0的解集为________．解析由x 2＋x －2<0得－2<x <1，故其解集为{x |－2<x <1}．答案 {x |－2<x <1}8．已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x ，那么，不等式f (x ＋2)<5的解集是________．解析当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x <5的解集为[0,5)，又f (x )为偶函数，所以f (x )<5的解集为(－5,5)．由于f (x )向左平移两个单位即得f (x ＋2)，故f (x ＋2)<5的解集为{x |－7<x <3}．答案 {x |－7<x <3}9．(2014·浙江卷)已知实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，a 2＋b 2＋c 2＝1，则a 的最大值是________．解析利用不等式求解．因为a ＋b ＋c ＝0，所以b ＋c ＝－a .因为a 2＋b 2＋c 2＝1，所以－a 2＋1＝b 2＋c 2＝(b ＋c )2－2bc ＝a 2－2bc ，所以2a 2－1＝2bc ≤b 2＋c 2＝1－a 2，所以3a 2≤2，所以a 2≤23，所以－63≤a ≤63.所以a max ＝63. 答案 6310．(2014·湖南卷)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧y ≤x ，x ＋y ≤4，y ≥k ，且z ＝2x ＋y 的最小值为－6，则k ＝________.解析作出不等式组表示的平面区域，结合线性目标函数的最值求k .作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，z ＝2x ＋y ，则y ＝－2x ＋z .易知当直线y ＝－2x ＋z 过点A (k ，k )时，z ＝2x ＋y 取得最小值，即3k ＝－6，所以k ＝－2. 答案－211．设a ＋b ＝2，b >0，则当a ＝________时，12|a |＋|a |b 取得最小值．解析因为12|a |＋|a |b ＝a ＋b 4|a |＋|a |b ＝a 4|a |＋b 4|a |＋|a |b ≥a 4|a |＋2b 4|a |·|a |b ＝a 4|a |＋1≥－14＋1＝34，当且仅当b 4|a |＝|a |b ，a <0，即a ＝－2，b ＝4时取等号，故12|a |＋|a |b 取得最小值时，a ＝－2. 答案－212．(2013·浙江卷)设z ＝kx ＋y ，其中实数x ，y 满足⎩⎨⎧x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，2x －y －4≤0.若z 的最大值为12，则实数k ＝________.解析约束条件所表示的可行域为如图所示的△ABC ，其中点A (4,4)，B (0,2)，C (2,0)．目标函数z ＝kx ＋y ，化为y ＝－kx ＋z .当－k ≤12即k ≥－12时，目标函数z ＝kx ＋y ，在点A (4,4)取得最大值12，故4k ＋4＝12，k ＝2，满足题意；当－k >12即k <－12时，目标函数z ＝kx ＋y 在点B (0,2)取得最大值12，故k ·0＋2＝12，无解，综上可知，k ＝2. 答案 213．有一批材料可以建成200 m 长的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样材料隔成三个面积相等的小矩形(如图所示)，则围成场地的最大面积为________(围墙厚度不计)．解析本题是实际问题，建立函数关系即可．设矩形场地的宽为x m ，则矩形场地的长为(200－4x )m ，面积S ＝x (200－4x )＝－4(x －25)2＋2 500.故当x ＝25时，S 取得最大值2 500，即围成场地的最大面积为2 500 m 2. 答案 2 500 m 2 三、解答题 14．已知函数f (x )＝2xx 2＋6. (1)若f (x )>k 的解集为{x |x <－3，或x >－2}，求k 的值； (2)对任意x >0，f (x )≤t 恒成立，求t 的取值范围．解 (1)f (x )>k ⇔kx 2－2x ＋6k <0.由已知{x |x <－3，或x >－2}是其解集，得kx 2－2x ＋6k ＝0的两根是－3，－2. 由根与系数的关系可知(－2)＋(－3)＝2k ，即k ＝－25.(2)∵x>0，f(x)＝2xx2＋6＝2x＋6x≤226＝66，当且仅当x＝6时取等号．由已知f(x)≤t对任意x>0恒成立，故t≥66，即t的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫66，＋∞.15．(2015·苏北四市调研)近年来，某企业每年消耗电费约24万元，为了节能减排，决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备接入本企业电网，安装这种供电设备的工本费(单位：万元)与太阳能电池板的面积(单位：平方米)成正比，比例系数约为0.5.为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式．假设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费C(单位：万元)与安装的这种太阳能电池板的面积x(单位：平方米)之间的函数关系是C(x)＝k20x＋100(x≥0，k为常数)．记F(x)为该企业安装这种太阳能供电设备的费用与该企业15年共消耗的电费之和．(1)试解释C(0)的实际意义，并建立F(x)关于x的函数关系式；(2)当x为多少平方米时，F(x)取得最小值？最小值是多少万元？解(1)C(0)的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为0时的电费，即未安装太阳能供电设备时企业每年消耗的电费为C(0)＝k100＝24，得k＝2 400，所以F(x)＝15×2 40020x＋100＋0.5x＝1 800x＋5＋0.5x(x≥0)．(2)因为F(x)＝1 800x＋5＋0.5(x＋5)－2.5≥2 1 800×0.5－2.5＝57.5，当且仅当1 800x＋5＝0.5(x＋5)，即x＝55时取等号，所以当x为55平方米时，F(x)取得最小值，最小值为57.5万元.。

2016届高考数学(浙江专用理科)二轮专题精练专题一函数不等式1-2Word版含解析

第2讲函数与方程及函数的应用(建议用时：60分钟)一、选择题1．“a >3”是“函数f (x )＝ax ＋3在(－1,2)上存在零点”的( )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析由于“函数f (x )＝ax ＋3在(－1,2)上存在零点”⇔f (－1)f (2)<0⇔(－a ＋3)(2a ＋3)<0⇔a <－32或a >3，则“a >3”是“函数f (x )＝ax ＋3在(－1,2)上存在零点”的充分不必要条件．答案 A2．函数f (x )＝2ln x 的图象与函数g (x )＝x 2－4x ＋5的图象的交点个数为( )．A ．3B ．2C ．1D ．0解析由已知g (x )＝(x －2)2＋1，所以其顶点为(2,1)，又f (2)＝2ln 2∈(1,2)，可知点(2,1)位于函数f (x )＝2ln x 图象的下方，故函数f (x )＝2ln x 的图象与函数g (x )＝x 2－4x ＋5的图象有2个交点．答案 B3．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x－1，x ≤1，1＋log 2x ，x >1，则函数f (x )的零点为( )．A.12，0 B ．－2,0 C.12 D ．0解析当x ≤1时，由f (x )＝2x －1＝0，解得x ＝0；当x >1时，由f (x )＝1＋ log 2 x ＝0，解得x ＝12，又因为x >1，所以此时方程无解．综上，函数f (x )的零点只有0，故选D. 答案 D4．(2015·北京卷)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程．如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是( )．A ．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油量最多C ．甲车以80千米/时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D ．某城市机动车最高限速80千米/时．相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油解析汽车每消耗1升汽油行驶的里程为“燃油效率”，由此理解A 显然不对；B 应是甲车耗油最少；C 甲车以80千米/时的速度行驶10 km ，消耗1升汽油，故D 正确．答案 D5．设函数f (x )＝13x －ln x (x >0)，则y ＝f (x )( )．A ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，1，(1，e)内均有零点B ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，1，(1，e)内均无零点C ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，1内有零点，在区间(1，e)内无零点D ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，1内无零点，在区间(1，e)内有零点解析法一因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝13·1e －ln 1e ＝13e ＋1>0，f (1)＝13－ln 1＝13>0，f (e)＝e 3－ln e＝e 3－1<0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ·f (1)>0，f (1)·f (e)<0，故y ＝f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，1内无零点(f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1内根据其导函数判断可知单调递减)，在区间(1，e)内有零点．法二在同一坐标系中分别画出y ＝13x 与y ＝ln x 的图象，如图所示．由图象知零点存在区间(1，e)内．答案 D6．若a ＜b ＜c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( )．A ．(a ，b )和(b ，c )内B ．(－∞，a )和(a ，b )内C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内解析由于a <b <c ，所以f (a )＝(a －b )(a －c )>0，f (b )＝(b －c )(b －a )<0，f (c )＝(c －a )(c －b )>0.因此有f (a )·f (b )<0，f (b )·f (c )<0，又因f (x )是关于x 的二次函数，函数的图象是连续不断的曲线，因此函数f (x )的两零点分别位于区间(a ，b )和(b ，c )内，故选A. 答案 A7．若函数y ＝f (x )(x ∈R )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且x ∈[－1,1]时f (x )＝1－x 2.函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x (x >0)，－1x(x <0)，则函数h (x )＝f (x )－g (x )在区间[－5,4]内的零点的个数为( )．A ．7B ．8C ．9D ．10解析由f (x ＋1)＝－f (x )，可得f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )，所以函数f (x )的周期为2，求h (x )＝f (x )－g (x )在区间[－5,4]内的零点，即求f (x )＝g (x )在区间[－5,4]上图象交点的个数．画出函数f (x )与g (x )的图象，如图，由图可知两图象在 [－5,4]之间有7个交点，所以所求函数有7个零点，选A.答案 A 二、填空题8．一块形状为直角三角形的铁皮，两直角边长分别为40 cm 、60 cm ，现要将它剪成一个矩形，并以此三角形的直角为矩形的一个角，则矩形的最大面积是________cm 2.解析设直角边为40 cm 和60 cm 上的矩形边长分别为x cm 、y cm ，则40－x 40＝y 60，解得y ＝60－32x .矩形的面积S ＝xy ＝x⎝ ⎛⎭⎪⎫60－32x ＝－32(x －20)2 ＋600，当x ＝20时矩形的面积最大，此时S ＝600. 答案 6009．已知[x ]表示不超过实数x 的最大整数，如[1.8]＝1，[－1.2]＝－2.x 0是函数f (x )＝ln x －2x 的零点，则[x 0]＝________.解析函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且易判断函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．由f (2)＝ln 2－1<0，f (e)＝ln e －2e >0，知x 0∈(2，e)，∴[x 0]＝2. 答案 210．(2015·四川卷)某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝e kx ＋b (e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时．解析由题意⎩⎨⎧e b＝192，e22k ＋b ＝48，∴e 22k ＝48192＝14，∴e 11k ＝12，∴x ＝33时，y ＝e 33k ＋b ＝(e 11k )3·e b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123·e b ＝18×192＝24.答案 2411．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－x 2＋2x ，x ≤0，ln (x ＋1)，x >0.若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是________．解析当x ≤0时，f (x )＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1≤0，所以|f (x )|≥ax ，化简为x 2－2x ≥ax ，即x 2≥(a ＋2)x ，因为x ≤0，所以a ＋2≥x 恒成立，所以a ≥－2；当x >0时，f (x )＝ln(x ＋1)>0，所以|f (x )|≥ax 化简为ln(x ＋1)>ax 恒成立，由函数图象可知a ≤0，综上，当－2≤a ≤0时，不等式|f (x )|≥ax 恒成立，故填 [－2,0]．答案 [－2,0]12．(2015·北京卷)设函数f (x )＝⎩⎨⎧2x－a ，x ＜1，4(x －a )(x －2a )，x ≥1.(1)若a ＝1，则f (x )的最小值为________；(2)若f (x )恰有2个零点，则实数a 的取值范围是________．解析 (1)当a ＝1时，f (x )＝⎩⎨⎧2x－1，x <1，4(x －1)(x －2)，x ≥1.当x <1时，2x －1>－1∈(－1,1)，当x ≥1时，f (x )＝4(x 2－3x ＋2)＝ 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫x －322－14≥－1， ∴f (x )最小值为－1.(2)由于f (x )恰有2个零点，分两种情况讨论：当f (x )＝2x －a ，x ＜1没有零点时，a ≥2或a ≤0.当a ≥2时，f (x )＝4(x －a )(x －2a )，x ≥1时，有2个零点；当a ≤0时，f (x )＝4(x －a )(x －2a )，x ≥1时无零点．因此a ≥2满足题意．当f (x )＝2x －a ，x ＜1有一个零点时，0＜a ＜2. f (x )＝4(x －a )(x －2a )，x ≥1有一个零点，此时a ＜1,2a ≥1，因此12≤a ＜1.综上知实数a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 12≤a ＜1或a ≥2.答案 (1)－1 (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪[2，＋∞)三、解答题13．(2015·湖州模拟)设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋b －1(a ≠0)． (1)当a ＝1，b ＝－2时，求函数f (x )的零点；(2)若对任意b ∈R ，函数f (x )恒有两个不同零点，求实数a 的取值范围．解 (1)当a ＝1，b ＝－2时，f (x )＝x 2－2x －3，令f (x )＝0，得x ＝3或x ＝－1. ∴函数f (x )的零点为3和－1.(2)依题意，f (x )＝ax 2＋bx ＋b －1＝0有两个不同实根．∴b 2－4a (b －1)>0恒成立，即对于任意b ∈R ，b 2－4ab ＋4a >0恒成立，所以有(－4a )2－4(4a )<0⇒a 2－a <0，所以0<a <1.因此实数a 的取值范围是(0,1)．14．(2015·浙江卷)设函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )．(1)当b ＝a 24＋1时，求函数f (x )在[－1,1]上的最小值g (a )的表达式； (2)已知函数f (x )在[－1,1]上存在零点，0≤b －2a ≤1，求b 的取值范围．解 (1)当b ＝a 24＋1时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋1，故对称轴为直线x ＝－a2.当a ≤－2时，g (a )＝f (1)＝a 24＋a ＋2. 当－2＜a ≤2时，g (a )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝1.当a ＞2时，g (a )＝f (－1)＝a 24－a ＋2. 综上，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a 24＋a ＋2，a ≤－2，1，－2＜a ≤2，a 24－a ＋2，a ＞2.(2)设s ，t 为方程f (x )＝0的解，且－1≤t ≤1，则⎩⎨⎧s ＋t ＝－a ，st ＝b ，由于0≤b －2a ≤1，因此－2t t ＋2≤s ≤1－2tt ＋2(－1≤t ≤1)．当0≤t ≤1时，－2t 2t ＋2≤st ≤t －2t 2t ＋2，由于－23≤－2t 2t ＋2≤0和－13≤t －2t 2t ＋2≤9－45，所以－32≤b ≤9－4 5.当－1≤t ＜0时，t －2t 2t ＋2≤st ≤－2t 2t ＋2，由于－2≤－2t 2t ＋2＜0和－3≤t －2t 2t ＋2＜0，所以－3≤b ＜0.故b 的取值范围是[－3,9－45]．15．某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本为C (x )，当年产量不足80千件时，C (x )＝13x 2＋10x (万元)；当年产量不小于80千件时，C (x )＝51x ＋10 000x －1 450(万元)．每件商品售价为0.05万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．(1)写出年利润L (x )(万元)关于年产量x (千件)的函数解析式； (2)年产量为多少千件时，该厂在这种商品的生产中所获利润最大？解 (1)因为每件商品售价为0.05万元，则x 千件商品销售额为0.05×1 000x 万元，依题意得，当0<x <80时，L (x )＝(0.05×1 000x )－13x 2－10x －250＝－13x 2＋40x －250.当x ≥80时，L (x )＝(0.05×1 000x )－51x －10 000x ＋1 450－250＝1 200－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋10 000x . 所以L (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－13x 2＋40x －250 (0<x <80)，1 200－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋10 000x (x ≥80).(2)当0<x <80时，L (x )＝－13(x －60)2＋950，此时，当x ＝60时，L (x )取得最大值L (60)＝950(万元)．当x ≥80时，L (x )＝1 200－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋10 000x ≤1 200－2x ·10 000x ＝1 200－200＝1000.此时，当x＝10 000x，即x＝100时，L(x)取得最大值1 000万元．因为950<1 000，所以，当年产量为100千件时，该厂在这种商品的生产中所获利润最大，最大利润为1 000万元．。

【热点重点难点专题透析】(新课标)2016届高考数学二轮复习细致讲解专题1 不等式、函数与导数课件理

【答案】B
��-�� ≤ 0,
3.设变量 x、y 满足约束条件 �� + 3��-4 ≤ 0,则 z=y-2x 的最大值
为( ).
�� + 2 ≥ 0,
A.1 B.2 C.4 D.6
��-�� ≤ 0,
【解析】作出表示约束条件 �� + 3��-4 ≤ 0,的可行域,得 z
数若在 x=0 处有定义,则必有 f(0)=0”的灵活应用.
2.应用不等式性质时,一定要弄清楚性质成立的前提条件.
判断数式的不等关系,既可利用不等式性质,也可灵活运用函数
的单调性.利用基本不等式求最值时,要善于运用“拆、拼、配、
凑”的技巧,同时满足基本不等式中“正、定、等”的条件,多次使用基本不等式时,要确保取得等号的条件的一致性,否则容易
1+1
1+��
-1 0
=a0<1��+(ee-)1=1e+-e2-1<1,
即 a0∈(0,1).
当 a=a0 时,有 f'(x0)=0,f(x0)=φ(x0)=0,
由(1)知,f'(x)在区间(1,+∞)上单调递增,
故当 x∈(1,x0)时,f'(x)<0,从而 f(x)>f(x0)=0;
在处理分段函数问题时,不仅要研究每段函数的性质,而且要对
整个函数性质进行研究.
7.函数导数的应用,一是利用导数的几何意义求切线方程,
此时要明确题给的已知点是“切点”还是“非切点”,以避免错解;二是应用导数研究函数的单调性、极值与最值,此时要重视函数的定义域,熟练掌握可导函数的单调性、极值与最值的判断方法,利用数形结合思想;三是运用导数与函数的单调性建立不等式求参数范围,此时不等号中切勿遗漏含等号情况;四是利用导数研究函数的零点、求参数范围、解(证)不等式、求函数最值等较难的综合问题,有时需构造函数,通过两次求导来解决问题,当

【合集】浙江省2016届高三数学(理)专题复习：专题六导数

【合集】浙江省2016届高三数学（理）专题复习检测（真题体验+模拟演练+过关提升）专题六导数目录真题体验.引领卷 ...................................................................................................................... 1 经典模拟.演练卷 ...................................................................................................................... 5 专题过关.提升卷 ...................................................................................................................... 8 答案 .. (14)真题体验·引领卷一、选择题1．(2015·安徽高考)函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象如图所示，则下列结论成立的是( )A ．a >0，b <0，c >0，d >0B ．a >0，b <0，c <0，d >0C ．a <0，b <0，c >0，d >0D ．a >0，b >0，c >0，d <02．(2015·四川高考)如果函数f (x )＝12(m －2)x 2＋(n －8)x ＋1(m ≥0，n≥0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上单调递减，那么mn 的最大值为( ) A ．16 B ．18C ．25 D.8123．(2015·陕西高考)对二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a 为非零整数)，四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是( ) A ．－1是f (x )的零点 B ．1是f (x )的极值点 C ．3是f (x )的极值D ．点(2，8)在曲线y ＝f (x )上4．(2015·福建高考)若定义在R 上的函数f (x )满足f (0)＝－1，其导函数f ′(x )满足f ′(x )＞k ＞1，则下列结论中一定错误的是( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＜1kB ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＞1k －1C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1＜1k －1D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1＞k k －15．(2015·全国卷Ⅱ)设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数，f (－1)＝0，当x >0时，xf ′(x )－f (x )＜0，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(0，1)B ．(－1，0)∪(1，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(－1，0)D ．(0，1)∪(1，＋∞)6．(2015·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝e x (2x －1)－ax ＋a ，其中a <1，若存在唯一的整数x 0使得f (x 0)<0，则a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32e ，1B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32e ，34 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32e ，34 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32e ，1 二、填空题7．(2015·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2，7)，则a ＝________．8.(2015·江苏高考)已知函数f (x )＝|ln x |，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，0＜x ≤1，|x 2－4|－2，x ＞1，则方程|f (x )＋g (x )|＝1实根的个数为________．9．(2015·安徽高考)设x 3＋ax ＋b ＝0，其中a ，b 均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是________(写出所有正确条件的编号)．①a ＝－3，b ＝－3；②a ＝－3，b ＝2；③a ＝－3，b >2；④a ＝0，b ＝2；⑤a ＝1，b ＝2. 三、解答题10．(2015·北京高考)已知函数f (x )＝ln 1＋x1－x .(1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程； (2)求证：当x ∈(0，1)时，f (x )＞2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋x 33；(3)设实数k 使得f (x )＞k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x 33对x ∈(0，1)恒成立，求k 的最大值．11．(2015·全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝e mx ＋x 2－mx .(1)证明：f (x )在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增； (2)若对于任意x 1，x 2∈[－1，1]，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤e －1，求m 的取值范围．12．(2015·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝x 3＋ax ＋14，g (x )＝－ln x .(1)当a 为何值时，x 轴为曲线y ＝f (x )的切线；(2)用min{m ，n }表示m ，n 中的最小值，设函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}(x >0)，讨论h (x )零点的个数．专题六导数经典模拟·演练卷一、选择题1．曲线y ＝ax 3－2x ＋4在点(1，3)处的切线的倾斜角为( ) A ．45° B ．60° C ．120° D ．135°2．已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋3m ，x ∈[0，＋∞)，若f (x )＋5≥0恒成立，则实数m 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫179，＋∞ B.⎝ ⎛⎭⎪⎫179，＋∞ C ．(－∞，2] D ．(－∞，2)3．(2015·温州中学模拟)已知f ′(x )为函数f (x )＝x ＋1x 的导函数，则下列结论中正确的是( )A ．∃x 0∈R ，∀x ∈R 且x ≠0，f (x )≤f (x 0)B ．∃x 0∈R ，∀x ∈R 且x ≠0，f (x )≥f (x 0)C ．∃x 0∈R ，∀x ∈(x 0，＋∞)，f ′(x )<0D ．∃x 0∈R ，∀x ∈(x 0，＋∞)，f ′(x )>04．(2015·镇海中学三模)当a >0时，函数f (x )＝(x 2＋2ax )e x 的图象大致是( )5．已知函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，0) B.⎝⎛⎭⎪⎫0，12C ．(0，1)D ．(0，＋∞)6．(2015·温岭中学模拟)已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，若f (x )存在唯一的零点x 0，且x 0>0，则a 的取值范围是( ) A ．(2，＋∞) B ．(－∞，－2) C ．(1，＋∞) D ．(－∞，－1)二、填空题7．(2014·温州模拟)关于x 的方程x 3－3x 2－a ＝0有三个不同的实数解，则实数a 的取值范围是________．8．若函数f (x )＝－12x 2＋4x －3ln x 在[t ，t ＋1]上不单调，则t 的取值范围是______．9．(2015·长沙调研)设直线x ＝t ，与函数f (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ，N ，则当|MN |达到最小时t 的值为________．三、解答题10．(2015·杭州高级中学模拟)已知函数f (x )＝a e x＋x 2，g (x )＝sin πx 2＋bx .直线l 与曲线y ＝f (x )切于点(0，f (0))且与曲线y ＝g (x )切于点(1，g (1))．(1)求a ，b 的值和直线l 的方程； (2)证明：f (x )>g (x )．11．(2015·宁波模拟)设函数f (x )＝1－a 2x 2＋ax －ln x (a ∈R )． (1)当a ＝3时，求函数f (x )的极值； (2)当a >1时，讨论函数f (x )的单调性；12．(2015·乐清乐武寄宿中学)设函数f (x )＝(x ＋a )ln x ，g (x )＝x 2e x .已知曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与直线2x －y ＝0平行． (1)求a 的值；(2)是否存在自然数k ，使得方程f (x )＝g (x )在(k ，k ＋1)内存在唯一的根？如果存在，求出k ；如果不存在，请说明理由；(3)设函数m (x )＝min{f (x )，g (x )}(min{p ，q }表示p ，q 中的较小值)，求m (x )的最大值．专题六导数专题过关·提升卷第Ⅰ卷 (选择题)一、选择题1．设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0，0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．32．函数y ＝12x 2－ln x 的单调减区间是( ) A ．(－1，1] B ．(0，1] C ．[1，＋∞) D ．(0，＋∞)3．(2015·鲁迅中学模拟)已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ，其导函数y ＝f ′(x )的图象经过点(1，0)，(2，0)，如图所示，则下列说法中不正确的是( )A ．当x ＝32时函数取得极小值 B ．f (x )有两个极值点C ．当x ＝2时函数取得极小值D ．当x ＝1时函数取得极大值4．若0＜x 1＜x 2＜1，则( ) A ．e x 2－e x 1＞ln x 2－ln x 1 B ．e x 2－e x 1＜ln x 2－ln x 1 C ．x 2e x 1＞x 1e x 2 D ．x 2e x 1＜x 1e x 25．当x ∈[－2，1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－5，－3] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－6，－98 C ．[－6，－2]D ．[－4，－3]6．(2015·学军中学模拟)设函数f (x )＝x 22＋mx ，若函数f (x )的极值点x 0满足x 0f (x 0)－x 30>m 2，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B ．(－∞，0)∪(2，＋∞) C.⎝⎛⎭⎪⎫0，12D ．(0，2)7．定义一种运算(a ，b )*(c ，d )＝ad －bc ，若函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－1*(cos x ，x 2)，设f ′(x )为函数f (x )的导函数，则f ′(x )的大致图象是( )8．(2015·镇海中学模拟)已知定义在R 上的函数g (x )的导函数为g ′(x )，满足g ′(x )－g (x )<0，若函数g (x )的图象关于直线x ＝2对称，且g (4)＝1，则不等式g （x ）e x >1的解集为( ) A ．(－2，＋∞) B ．(0，＋∞) C ．(－∞，0)D ．(－∞，2) 第Ⅱ卷(非选择题)二、填空题9．曲线y ＝e －5x ＋2在点(0，3)处的切线方程为________．10．已知函数f (x )＝a ln x ＋x 在区间[2，3]上单调递增，则实数a 的取值范围是________．11．若函数f (x )＝x 3－6bx ＋3b 在(0，1)内有极小值，则实数b 的取值范围是________．12．设P 为曲线C ：f (x )＝x 2－x ＋1上的点，曲线C 在点P 处的切线斜率的取值范围是[－1，3]，则点P 的纵坐标的取值范围是________． 13．若函数f (x )＝ln x －12ax 2－2x (a ≠0)存在单调递减区间，则实数a 的取值范围是______．14．(2015·湖南高考改编)某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为________．(材料利用率＝新工件的体积原工件的体积)15．(2015·四川高考)已知函数f (x )＝2x ，g (x )＝x 2＋ax (其中a ∈R )．对于不相等的实数x 1，x 2，设 m ＝f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2，n ＝g （x 1）－g （x 2）x 1－x 2，现有如下命题：①对于任意不相等的实数x 1，x 2，都有m ＞0；②对于任意的a 及任意不相等的实数x 1，x 2，都有n ＞0； ③对于任意的a ，存在不相等的实数x 1，x 2，使得m ＝n ； ④对于任意的a ，存在不相等的实数x 1，x 2，使得m ＝－n . 其中的真命题有________(写出所有真命题的序号)．三、解答题16．(2015·台州中学模拟)已知f (x )＝ln x ＋a (1－x )． (1)讨论f (x )的单调性；(2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值范围．17．(2015·北京高考)设函数f (x )＝x 22－k ln x ，k >0. (1)求f (x )的单调区间和极值；(2)证明：若f (x )存在零点，则f (x )在区间(1，e]上仅有一个零点．18．(2015·安徽高考)设函数f (x )＝x 2－ax ＋b .(1)讨论函数f (sin x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；(2)记f 0(x )＝x 2－a 0x ＋b 0，求函数|f (sin x )－f 0(sin x )|在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上的最大值D ；(3)在(2)中，取a 0＝b 0＝0，求z ＝b －a 24满足D ≤1时的最大值．19．(2015·广东高考)设a >1，函数f (x )＝(1＋x 2)e x －a . (1)求f (x )的单调区间；(2)证明：f (x )在(－∞，＋∞)上仅有一个零点；(3)若曲线y ＝f (x )在点P 处的切线与x 轴平行，且在点M (m ，n )处的切线与直线OP 平行(O 是坐标原点)，证明：m ≤ 3a －2e －1.20．(2015·嘉兴一中三模)已知函数f (x )＝x (ln x －ax )(a ∈R )，g (x )＝f ′(x )． (1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与直线3x －y －1＝0平行，求实数a 的值；(2)若函数F (x )＝g (x )＋12x 2有两个极值点x 1，x 2，且x 1<x 2，求证：f (x 2)<－1<f (x 1)．答案专题六导数真题体验·引领卷1．A [由图象知f (0)＝d >0，可排除D ；其导函数f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c 且f ′(0)＝c >0，可排除B ；又f ′(x )＝0有两不等实根，且x 1x 2＝c 3a ＞0，所以a ＞0，故选A.]2．B [当m ＝2时，∵f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上单调递减，∴0≤n <8，m ·n ＝2n <16，当m ≠2时，令f ′(x )＝(m －2)x ＋n －8＝0，∴x ＝－n －8m －2，当m ＞2时，对称轴x 0＝－n －8m －2，由题意，－n －8m －2≥2，∴2m ＋n ≤12，∵2mn ≤2m ＋n2≤6，∴mn ≤18，由2m ＋n ＝12且2m ＝n 知m ＝3，n ＝6取等号．当m ＜2时，抛物线开口向下，由题意－n －8m －2≤12，即2n ＋m ≤18，∵2mn ≤2n ＋m 2≤9，∴mn ≤812，由2n ＋m ＝18且2n ＝m ，得m ＝9(舍去)，∴mn 最大值为18，选B.] 3．A [A 正确等价于a －b ＋c ＝0，① B 正确等价于b ＝－2a ，② C 正确等价于4ac －b 24a ＝3，③ D 正确等价于4a ＋2b ＋c ＝8.④ 下面分情况验证，若A 错，由②、③、④组成的方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－10，c ＝8.符合题意；若B 错，由①、③、④组成的方程组消元转化为关于a 的方程后无实数解；若C 错，由①、②、④组成方程组，经验证a 无整数解；若D 错，由①、②、③组成的方程组a 的解为－34也不是整数．综上，故选A.]4．C [∵导函数f ′(x )满足f ′(x )＞k ＞1，∴f ′(x )－k ＞0，k －1＞0，1k －1＞0，可构造函数g (x )＝f (x )－kx ，可得g ′(x )＞0，故g (x )在R 上为增函数，∵f (0)＝－1，∴g (0)＝－1，∴g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1＞g (0)，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1－k k －1＞－1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1＞1k －1，∴选项C 错误，故选C.] 5．A [因为f (x )(x ∈R )为奇函数，f (－1)＝0，所以f (1)＝－f (－1)＝0.当x ≠0时，令g (x )＝f （x ）x ，则g (x )为偶函数，且g (1)＝g (－1)＝0.当x ＞0时，g ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫f （x ）x ′＝xf ′（x ）－f （x ）x 2＜0，故g (x )在(0，＋∞)上为减函数，在(－∞，0)上为增函数．所以在(0，＋∞)上，当0＜x ＜1时，g (x )＞g (1)＝0⇔f （x ）x ＞0⇔f (x )＞0；在(－∞，0)上，当x ＜－1时，g (x )＜g (－1)＝0⇔f （x ）x ＜0⇔f (x )＞0.综上，得使得f (x )＞0成立的x 的取值范围是(－∞，－1)∪(0，1)，选A.]6．D [由题意可知存在唯一的整数x 0，使得e x 0(2x 0－1)<ax 0－a ，设g (x )＝e x(2x －1)，h (x )＝ax －a .因为g ′(x )＝e x(2x ＋1)，所以当x <－12时，g ′(x )<0，当x >－12时，g ′(x )>0，所以当x ＝－12时，[g (x )]min ＝－2e －12.∵h (x )＝a (x －1)恒过定点(1，0)，且g (1)＝e>0在同一坐标系中作出y ＝g (x )与y ＝h (x )的大致图象．结合图象，应有⎩⎪⎨⎪⎧h （0）>g （0），h （－1）≤g （－1），则⎩⎨⎧－a >－1，－2a ≤－3e，解之得32e ≤a <1.故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫32e ，1.]7．1 [f ′(x )＝3ax 2＋1，f ′(1)＝1＋3a ，f (1)＝a ＋2. 在(1，f (1))处的切线方程为y －(a ＋2)＝(1＋3a )(x －1)．将(2，7)代入切线方程，得7－(a ＋2)＝1＋3a ，解得a ＝1.] 8．4 [令h (x )＝f (x )＋g (x )，则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－ln x ，0＜x ≤1，－x 2＋ln x ＋2，1＜x ＜2，x 2＋ln x －6，x ≥2，当1＜x ＜2时，h ′(x )＝－2x ＋1x ＝1－2x 2x ＜0，故当1＜x ＜2时h (x )单调递减，在同一坐标系中画出y ＝|h (x )|和y ＝1的图象如图所示．由图象可知|f (x )＋g (x )|＝1的实根个数为4.]9．①③④⑤ [令f (x )＝x 3＋ax ＋b ，f ′(x )＝3x 2＋a ，当a ≥0时，f ′(x )≥0，f (x )单调递增，必有一个实根，④⑤正确；当a <0时，由于选项当中a ＝－3，∴只考虑a ＝－3这一种情况， f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，∴f (x )极大＝f (－1)＝－1＋3＋b ＝b ＋2，f (x )极小＝f (1)＝1－3＋b ＝b －2，要有一根，f (x )极大<0或f (x )极小>0，∴b <－2或b >2，①③正确，②错误．所有正确条件为①③④⑤.] 10．(1)解因为f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，所以f ′(x )＝11＋x ＋11－x，f ′(0)＝2.又因为f (0)＝0，所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝2x . (2)证明令g (x )＝f (x )－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x 33，则 g ′(x )＝f ′(x )－2(1＋x 2)＝2x 41－x 2.因为g ′(x )>0(0<x <1)，所以g (x )在区间(0，1)上单调递增．所以g (x )>g (0)＝0，x ∈(0，1)，即当x ∈(0，1)时，f (x )>2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x 33.(3)解由(2)知，当k ≤2时，f (x )>k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x 33对x ∈(0，1)恒成立．当k >2时，令h (x )＝f (x )－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x 33，则h ′(x )＝f ′(x )－k (1＋x 2)＝kx 4－（k －2）1－x 2.所以当0<x <4k －2k 时，h ′(x )<0，因此h (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，4k －2k 上单调递减．当0<x <4k －2k 时，h (x )<h (0)＝0，即f (x )<k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x 33.所以当k >2时，f (x )>k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x 33并非对x ∈(0，1)恒成立．综上可知，k 的最大值为2.11．(1)证明 f ′(x )＝m (e mx －1)＋2x .若m ≥0，则当x ∈(－∞，0)时，e mx －1≤0，f ′(x )＜0；当x ∈(0，＋∞)时，e mx －1≥0，f ′(x )＞0.若m ＜0，则当x ∈(－∞，0)时，e mx －1＞0，f ′(x )＜0；当x ∈(0，＋∞)时，e mx －1＜0，f ′(x )＞0.所以，f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增． (2)解由(1)知，对任意的m ，f (x )在[－1，0]上单调递减，在[0，1]上单调递增，故f (x )在x ＝0处取得最小值．所以对于任意x 1，x 2∈[－1，1]时，|f (x 1)－f (x 2)|≤e －1的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧f （1）－f （0）≤e －1，f （－1）－f （0）≤e －1，即⎩⎪⎨⎪⎧e m－m ≤e －1，e －m ＋m ≤e －1.① 设函数g (t )＝e t －t －e ＋1，则g ′(t )＝e t －1. 当t ＜0时，g ′(t )＜0；当t ＞0时，g ′(t )＞0.故g (t )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．又g (1)＝0，g (－1)＝e －1＋2－e ＜0，故当t ∈[－1，1]时，g (t )≤0. 当m ∈[－1，1]时，g (m )≤0，g (－m )≤0，即①式成立；当m ＞1时，由g (t )的单调性，g (m )＞0，即e m －m ＞e －1；当m ＜－1时，g (－m )＞0，即e －m ＋m ＞e －1. 综上，m 的取值范围是[－1，1]．12．解 (1)设曲线y ＝f (x )与x 轴相切于点(x 0，0)，则f (x 0)＝0，f ′(x 0)＝0.即⎩⎨⎧x 30＋ax 0＋14＝0，3x 20＋a ＝0，解得x 0＝12，a ＝－34.因此，当a ＝－34时，x 轴为曲线y ＝f (x )的切线．(2)当x ∈(1，＋∞)时，g (x )＝－ln x <0，从而h (x )＝min{f (x )，g (x )}≤g (x )<0，故h (x )在(1，＋∞)上无零点．当x ＝1时，若a ≥－54，则f (1)＝a ＋54≥0，h (1)＝min{f (1)，g (1)}＝g (1)＝0，故x ＝1是h (x )的零点；若a <－54，则f (1)<0，h (1)＝min{f (1)，g (1)}＝f (1)<0，故x ＝1不是h (x )的零点．当x ∈(0，1)时，g (x )＝－ln x >0.所以只需考虑f (x )在(0，1)上的零点个数．(ⅰ)若a ≤－3或a ≥0，则f ′(x )＝3x 2＋a 在(0，1)上无零点，故f (x )在(0，1)上单调．而f (0)＝14，f (1)＝a ＋54，所以当a ≤－3时，f (x )在(0，1)上有一个零点；当a ≥0时，f (x )在(0，1)上没有零点．(ⅱ)若－3<a <0，则f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，－a 3上单调递减，在⎝⎛⎭⎪⎫－a 3，1上单调递增，故在(0，1)中，当x ＝－a3时，f (x )取得最小值，且最小值为2a 3－a 3＋14.①若f ⎝⎛⎭⎪⎫－a 3>0，即－34<a <0，f (x )在(0，1)上无零点； ②若f ⎝⎛⎭⎪⎫－a 3＝0，即a ＝－34，则f (x )在(0，1)上有唯一零点；③若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3<0，即－3<a <－34，由于f (0)＝14，f (1)＝a ＋54，所以当－54<a <－34时，f (x )在(0，1)上有两个零点；当－3<a ≤－54时，f (x )在区间(0，1)上有一个零点．综上，当a >－34或a <－54时，h (x )有一个零点；当a ＝－34或a ＝－54时，h (x )有两个零点；当－54<a <－34时，h (x )有三个零点．经典模拟·演练卷1．A [∵点(1，3)在曲线上可得a ＝1，则y ＝x 3－2x ＋4，得y ′＝3x 2－2，得y ′|x ＝1＝1，故切线的倾斜角为45°.]2．A [f ′(x )＝x 2－4x ，由f ′(x )>0，得x >4或x <0.∴f (x )在(0，4)上递减，在(4，＋∞)上递增，∴当x ∈[0，＋∞)时，f (x )min ＝f (4)．∴要使f (x )＋5≥0恒成立，只需f (4)＋5≥0恒成立即可，代入解之得m ≥179.]3．D [令f ′(x )＝1－1x 2＝x 2－1x 2＝0，得x ＝±1.当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )＞0；当x ∈(－1，0)时，f ′(x )＜0；当x ∈(0，1)时，f ′(x )＜0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0.故当x ＞0时，f (x )≥2；当x ＜0时，f (x )≤－2，故函数在其定义域内没有最大值和最小值，故A ，B 错；函数在x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0，故C 错；当x 0≥1时满足题意，D 正确，故选D.]4．B [f ′(x )＝e x (x 2＋2ax )＋(2x ＋2a )e x ＝e x [x 2＋2x (a ＋1)＋2a ]令f ′(x )＝0，得x ＝±a 2＋1－(a ＋1)<0.因此f (x )的两个极值点均小于0.结合函数的图象，选项B 为f (x )的大致图象．]5．B [f ′(x )＝(ln x －ax )＋x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －a ＝ln x ＋1－2ax ，令f ′(x )＝0，得2a ＝ln x ＋1x ，设φ(x )＝ln x ＋1x ，则φ′(x )＝－ln x x 2，易知φ(x )在(0，1)上递增，在(1，＋∞)上递减，∴φ(x )在(0，＋∞)上的极大值为φ(1)＝1.大致图象如图，若f (x )有两个极值点，则y ＝2a 和y ＝φ(x )图象有两个交点，∴0＜2a ＜1，∴0＜a ＜12.]6．B [由题意知a ≠0，由f ′(x )＝3ax 2－6x ＝0得x ＝0或x ＝2a .当a >0时，f (x )在(－∞，0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ，＋∞上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2a 上单调递减．且f (0)＝1>0，故f (x )有小于0的零点，不符题意，排除A 、C.当a <0时，要使x 0>0且唯一，只需f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a >0，即a 2>4， ∴a <－2，选B.]7．(－4，0) [由题意知使函数f (x )＝x 3－3x 2－a 的极大值大于0且极小值小于0即可，又f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)，令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝2.当x ＜0时，f ′(x )＞0；当0＜x ＜2时，f ′(x )＜0；当x ＞2时，f ′(x )＞0，所以当x ＝0时，f (x )取得极大值，即f (x )极大值＝f (0)＝－a ；当x ＝2时，f (x )取得极小值，即f (x )极小值＝f (2)＝－4－a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－a ＞0，－4－a ＜0，解得－4＜a ＜0.]8．(0，1)∪(2，3) [对f (x )求导，得f ′(x )＝－x ＋4－3x ＝－x 2＋4x －3x＝－（x －1）（x －3）x.由f ′(x )＝0得函数f (x )的两个极值点为1，3，则只要这两个极值点有一个在区间(t ，t ＋1)内，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上就不单调，所以t <1<t ＋1或t <3<t ＋1，解得0<t <1或2<t <3.] 9.22 [当x ＝t 时，f (t )＝t 2，g (t )＝ln t ，∴y ＝|MN |＝t 2－ln t (t ＞0)．∴y ′＝2t －1t ＝2t 2－1t ＝2⎝⎛⎭⎪⎫t ＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫t －22t .当0＜t ＜22时，y ′＜0；当t ＞22时，y ′＞0.∴y ＝|MN |＝t 2－ln t 在t ＝22时有最小值．]10．(1)解 f ′(x )＝a e x＋2x ，g ′(x )＝π2cos πx 2＋b . f (0)＝a ，f ′(0)＝a ，g (1)＝1＋b ，g ′(1)＝b ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线为y ＝ax ＋a ，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线为y ＝b (x －1)＋1＋b ，即y ＝bx ＋1.依题意，有a ＝b ＝1，直线l 方程为y ＝x ＋1.(2)证明由(1)知f (x )＝e x ＋x 2，g (x )＝sin πx 2＋x . 设F (x )＝f (x )－(x ＋1)＝e x ＋x 2－x －1，则F ′(x )＝e x ＋2x －1，当x ∈(－∞，0)时，F ′(x )<F ′(0)＝0；当x ∈(0，＋∞)时，F ′(x )>F ′(0)＝0；F (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故F (x )≥F (0)＝0，当且仅当x ＝0时F (0)＝0成立．设G (x )＝x ＋1－g (x )＝1－sin πx 2，则G (x )≥0，当且仅当x ＝4k ＋1(k ∈Z )时等号成立．由上可知，f (x )≥x ＋1≥g (x )，且两个等号不同时成立，因此f (x )>g (x )．11．解 (1)函数的定义域为(0，＋∞)．当a ＝3时，f (x )＝－x 2＋3x －ln x ，f ′(x )＝－2x 2＋3x －1x ＝－（2x －1）（x －1）x，当12<x <1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当0<x <12及x >1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．所以f (x )极大值＝f (1)＝2，f (x )极小值＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝54＋ln 2.(2)f ′(x )＝(1－a )x ＋a －1x ＝（1－a ）x 2＋ax －1x＝（1－a ）⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a －1（x －1）x当1a －1＝1，即a ＝2时，f ′(x )＝－（1－x ）2x ≤0，f (x )在定义域上是减函数；当0<1a －1<1，即a >2时，令f ′(x )<0，得0<x <1a －1或x >1；令f ′(x )>0，得1a －1<x <1. 当1a －1>1，即1<a <2时，由f ′(x )>0，得1<x <1a －1；由f ′(x )<0，得0<x <1或x >1a －1，综上，当a ＝2时，f (x )在(0，＋∞)上是减函数；当a >2时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a －1和(1，＋∞)单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1，1上单调递增；当1<a <2时，f (x )在(0，1)和⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1，＋∞单调递减，在⎝⎛⎭⎪⎫1，1a －1上单调递增．12．解 (1)由题意知，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为2，所以f ′(1)＝2，又f ′(x )＝ln x ＋a x ＋1，所以a ＝1.(2)当k ＝1时，方程f (x )＝g (x )在(1，2)内存在唯一的根．设h (x )＝f (x )－g (x )＝(x ＋1)ln x －x 2e x ，当x ∈(0，1]时，h (x )＜0.又h (2)＝3ln 2－4e 2＝ln 8－4e 2＞1－1＝0，所以存在x 0∈(1，2)，使得h (x 0)＝0.因为h ′(x )＝ln x ＋1x ＋1＋x （x －2）e x，所以当x ∈(1，2)时，h ′(x )＞1－1e ＞0，当x ∈(2，＋∞)时，h ′(x )＞0，所以当x ∈(1，＋∞)时，h (x )单调递增，所以k ＝1时，方程f (x )＝g (x )在(k ，k ＋1)内存在唯一的根．(3)由(2)知方程f (x )＝g (x )在(1，2)内存在唯一的根x 0.且x ∈(0，x 0)时，f (x )＜g (x )，x ∈(x 0，＋∞)时，f (x )＞g (x )，所以m (x )＝⎩⎨⎧（x ＋1）ln x ，x ∈（0，x 0]，x 2e x ，x ∈（x 0，＋∞）.当x ∈(0，x 0)时，若x ∈(0，1]，m (x )≤0；若x ∈(1，x 0)，由m ′(x )＝ln x ＋1x ＋1＞0，可知0＜m (x )≤m (x 0)；故m (x )≤m (x 0)．当x ∈(x 0，＋∞)时，由m ′(x )＝x （2－x ）e x，可得x ∈(x 0，2)时，m′(x)＞0，m(x)单调递增；x∈(2，＋∞)时，m′(x)＜0，m(x)单调递减；可知m(x)≤m(2)＝4e2，且m(x0)＜m(2)．综上可得，函数m(x)的最大值为4e2.专题过关·提升卷1．D[∵f(x)＝ax－ln (x＋1)，∴f′(x)＝a－1x＋1，∴f(0)＝0且f′(0)＝a－1＝2，解得a＝3，故选D.]2．B[y′＝x－1x，且x＞0，令y′＝x－1x≤0，解之得0＜x≤1.∴函数的单调减区间为(0，1]．]3．A[从图象上可以看出：当x∈(0，1)时，f′(x)>0；当x∈(1，2)时，f′(x)<0；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，所以f(x)有两个极值点1和2，且当x＝2时函数取得极小值，当x＝1时函数取得极大值．只有A不正确．]4．C[A，B中构造函数f(x)＝e x－ln x，∴f′(x)＝e x－1 x，在(0，1)上有零点，故A，B错；C，D中令g(x)＝e x x，∴g ′(x )＝e x x －e x x 2＝e x （x －1）x 2＜0，∴g (x )在(0，1)单调递减，又∵x 2＞x 1， ∴12e 1e 2x x x x >，故选C.]5．C [当x ＝0时，ax 3－x 2＋4x ＋3≥0变为3≥0恒成立，即a ∈R .当x ∈(0，1]时，ax 3≥x 2－4x －3，a ≥x 2－4x －3x 3，∴a ≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2－4x －3x 3max .设φ(x )＝x 2－4x －3x 3，φ′(x )＝（2x －4）x 3－（x 2－4x －3）3x 2x 6＝－x 2－8x －9x 4＝－（x －9）（x ＋1）x 4＞0，∴φ(x )在(0，1]上递增，φ(x )max ＝φ(1)＝－6.∴a ≥－6.当x ∈[－2，0)时，a ≤x 2－4x －3x 3，∴a ≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2－4x －3x 3min .仍设φ(x )＝x 2－4x －3x 3，φ′(x )＝－（x －9）（x ＋1）x 4.当x ∈[－2，－1)时，φ′(x )＜0，当x ∈(－1，0)时，φ′(x )＞0.∴当x ＝－1时，φ(x )有极小值，即为最小值．而φ(x )min ＝φ(－1)＝1＋4－3－1＝－2， ∴a ≤－2.综上知－6≤a ≤－2.]6．C [由f (x )＝x 22＋m x ，得f ′(x )＝x －m x 2，又x 0是f (x )的极值点，∴f ′(x 0)＝0，解之得x 0＝3m ，因此x 0f (x 0)－x 30＝x 302＋m －x 30＝m 2，所以m 2>m 2，解之得0<m <12.]7．A [f (x )＝14x 2＋cos x ，则f ′(x )＝12x －sin x ，∴f ′(x )为奇函数，排除选项B ，D.又[f ′(x )]′＝12－cos x ，令12－cos x ＝0，则x ＝2k π±π3，k ∈Z .当0<x <π3时，[f ′(x )]′＝12－cos x <0.∴函数y ＝f ′(x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π3内是减函数，图象A 适合．] 8．C [令F (x )＝g （x ）e x －1，则F ′(x )＝g ′（x ）e x －e x g （x ）（e x ）2＝[g ′(x )－g (x )]·1e x .∵g ′(x )－g (x )<0，∴F ′(x )<0，则函数F (x )在(－∞，＋∞)上是减函数．又函数y ＝g (x )的图象关于直线x ＝2对称，∴g (0)＝g (4)＝1，从而F (0)＝g （0）e 0－1＝0.故F (x )>0⎝ ⎛⎭⎪⎫即g （x ）e x >1的解集为(－∞，0)．]9．5x ＋y －3＝0 [∵y ′＝－5e －5x ，∴k ＝－5×e 0＝－5，∴切线方程为y －3＝－5x ，即5x ＋y －3＝0.]10．[－2，＋∞) [∵f (x )＝a ln x ＋x .∴f ′(x )＝a x ＋1.又∵f (x )在[2，3]上单调递增，∴a x ＋1≥0在x ∈[2，3]上恒成立，∴a≥(－x )max ＝－2，∴a ∈[－2，＋∞)．]11.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 [f ′(x )＝3x 2－6b ，若f (x )在(0，1)内有极小值，只需f ′(0)·f ′(1)＜0，即－6b ·(3－6b )＜0，解得0＜b ＜12.]12.⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，3 [设P (x 0，y 0)，则f ′(x )＝2x －1. ∴－1≤2x 0－1≤3，即0≤x 0≤2.∵y 0＝f (x 0)＝x 20－x 0＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－122＋34，∵x 0∈[0，2]，∴34≤y 0≤3，故点P 的纵坐标的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，3.] 13．(－1，0)∪(0，＋∞) [对函数f (x )求导，得f ′(x )＝－ax 2＋2x －1x(x >0)．依题意，得f ′(x )<0在(0，＋∞)上有解，即ax 2＋2x －1>0在(0，＋∞)上有解，∴Δ＝4＋4a >0且方程ax 2＋2x －1＝0至少有一个正根，∴a >－1，又∵a ≠0，∴－1<a <0或a >0.]14.89π[该三视图对应的几何体为底面半径为1，高为2的圆锥．如图，设长方体的长、宽、高分别为a ，b ，c ，上、下底面中心分别为O 1，O 2，上方截得的小圆锥的高为h ，底面半径为r ，则a 2＋b 2＝4r 2.由三角形相似，得SO 1SO 2＝O 1A O 2B ，即h 2＝r 1，则h ＝2r .长方体的体积为V ＝abc ＝ab (2－2r )≤a 2＋b 22×(2－2r )＝2r 2(2－2r )＝4r 2－4r 3(当且仅当a ＝b 时取等号，且0<r <1)．设y ＝4r 2－4r 3(0<r <1)，则y ′＝8r －12r 2.由y ′＝0，得r ＝0或r ＝23.由y ′>0，得0<r <23.由y ′<0，得23<r <1.故当r ＝23时，y max ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫232－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝1627，即V max ＝1627.∴原工件材料的利用率为162713π×12×2＝89π.] 15．①④ [设A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))，C (x 1，g (x 1))，D (x 2，g (x 2))，对于①从y ＝2x 的图象可看出，m ＝k AB ＞0恒成立，故正确；对于②直线CD 的斜率可为负，即n ＜0，故不正确；对于③由m ＝n 得f (x 1)－f (x 2)＝g (x 1)－g (x 2)，即f (x 1)－g (x 1)＝f (x 2)－g (x 2)，令h (x )＝f (x )－g (x )＝2x －x 2－ax ，则h ′(x )＝2x ·ln 2－2x －a ，由h ′(x )＝0，得2x ·ln 2＝2x ＋a ，(*)结合图象知，当a 很小时，方程(*)无解，∴函数h (x )不一定有极值点，就不一定存在x 1，x 2使f (x 1)－g (x 1)＝f (x 2)－g (x 2)，不一定存在x 1，x 2使得m ＝n ，故不正确；对于④由m ＝－n ，得f (x 1)－f (x 2)＝g (x 2)－g (x 1)，即f (x 1)＋g (x 1)＝f (x 2)＋g (x 2)，令F (x )＝f (x )＋g (x )＝2x ＋x 2＋ax ，则F ′(x )＝2x ln 2＋2x ＋a ，由F ′(x )＝0，得2x ln 2＝－2x －a ，结合如图所示图象可知，该方程有解，即F (x )必有极值点，∴存在x 1，x 2使F (x 1)＝F (x 2)，使m ＝－n ，故正确．故①④正确．]16．解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －a .若a ≤0，则f ′(x )＞0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增．若a ＞0，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )＞0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞时，f ′(x )＜0.所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减．综上，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减． (2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)无最大值；当a ＞0时，f (x )在x ＝1a 取得最大值，最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋a ⎝⎛⎭⎪⎫1－1a ＝－ln a ＋a －1.因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＞2a －2等价于ln a ＋a －1＜0. 令g (a )＝ln a ＋a －1，则g (a )在(0，＋∞)上单调递增，g (1)＝0.于是，当0＜a ＜1时，g (a )＜0；当a ＞1时，g (a )＞0.因此，a 的取值范围是(0，1)．17．(1)解函数的定义域为(0，＋∞)．由f (x )＝x 22－k ln x (k >0)得f ′(x )＝x －k x ＝x 2－k x .由f ′(x )＝0解得x ＝k (负值舍去)．f (x )与f ′(x )在区间(0，＋∞)上的变化情况如下表：所以，f (x )的单调递减区间是(0，k )，单调递增区间是(k ，＋∞)．f (x )在x ＝k 处取得极小值f (k )＝k （1－ln k ）2. (2)证明由(1)知，f (x )在区间(0，＋∞)上的最小值为f (k )＝k （1－ln k ）2. 因为f (x )存在零点，所以k （1－ln k ）2≤0，从而k ≥e ，当k ＝e 时，f (x )在区间(1，e)上单调递减，且f (e)＝0，所以x ＝e 是f (x )在区间(1，e]上的唯一零点．当k >e 时，f (x )在区间(0，e)上单调递减，且f (1)＝12>0，f (e)＝e －k 2<0，所以f (x )在区间(1，e]上仅有一个零点．综上可知，若f (x )存在零点，则f (x )在区间(1，e]上仅有一个零点．18．解 (1)f (sin x )＝sin 2 x －a sin x ＋b＝sin x (sin x －a )＋b ，－π2<x <π2.[f (sin x )]′＝(2sin x －a )cos x ，－π2<x <π2.因为－π2<x <π2，所以cos x >0，－2<2sin x <2.①a ≤－2，b ∈R 时，函数f (sin x )单调递增，无极值．②a ≥2，b ∈R 时，函数f (sin x )单调递减，无极值．③对于－2<a <2，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内存在唯一的x 0，使得2sin x 0＝a .－π2<x ≤x 0时，函数f (sin x )单调递减；x 0≤x <π2时，函数f (sin x )单调递增；因此，－2<a <2，b ∈R 时，函数f (sin x )在x 0处有极小值，f (sin x 0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝b －a 24. (2)－π2≤x ≤π2时，|f (sin x )－f 0(sin x )|＝|(a 0－a )sin x ＋b －b 0|≤|a －a 0|＋|b －b 0|.当(a 0－a )(b －b 0)≥0时，取x ＝π2，等号成立．当(a 0－a )(b －b 0)<0时，取x ＝－π2，等号成立．由此可知，|f (sin x )－f 0(sin x )|在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上的最大值为D ＝|a －a 0|＋ |b －b 0|.(3)D ≤1即为|a |＋|b |≤1，此时0≤a 2≤1，－1≤b ≤1，从而z ＝b －a 24≤1.取a ＝0，b ＝1，则|a |＋|b |≤1，并且z ＝b －a 24＝1.由此可知，z ＝b －a 24满足条件D ≤1的最大值为1.19．(1)解 f ′(x )＝2x e x ＋(1＋x 2)e x ＝(x 2＋2x ＋1)e x＝(x ＋1)2e x ，∀x ∈R ，f ′(x )≥0恒成立．∴f (x )的单调增区间为(－∞，＋∞)．(2)证明 ∵f (0)＝1－a ，f (a )＝(1＋a 2)e a －a ，∵a >1，∴f (0)<0，f (a )>2a e a －a >2a －a ＝a >0，∴f (0)·f (a )<0，∴f (x )在(0，a )上有一零点，又∵f (x )在(－∞，＋∞)上递增， ∴f (x )在(0，a )上仅有一个零点，∴f (x )在(－∞，＋∞)上仅有一个零点．(3)证明 f ′(x )＝(x ＋1)2e x ，设P (x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝e x 0(x 0＋1)2＝0，∴x 0＝－1，把x 0＝－1，代入y ＝f (x )得y 0＝2e －a ，∴k OP ＝a －2e .f ′(m )＝e m (m ＋1)2＝a －2e ，令g (m )＝e m －(m ＋1)，g ′(m )＝e m －1.令g ′(x )>0，则m >0，∴g (m )在(0，＋∞)上增．令g ′(x )<0，则m <0，∴g (m )在(－∞，0)上减．∴g (m )min ＝g (0)＝0.∴e m －(m ＋1)≥0，即e m ≥m ＋1.∴e m (m ＋1)2≥(m ＋1)3，即a －2e ≥(m ＋1)3. ∴m ＋1≤ 3a －2e ，即m ≤ 3a －2e －1.20．(1)解 ∵f ′(x )＝ln x －ax ＋x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －a ＝ln x －2ax ＋1， ∴f ′(1)＝1－2a ，因为3x －y －1＝0的斜率为3.依题意，得1－2a ＝3，则a ＝－1.(2)证明因为F (x )＝g (x )＋12x 2＝ln x －2ax ＋1＋12x 2，所以F ′(x )＝1x －2a ＋x ＝x 2－2ax ＋1x(x >0)，函数F (x )＝g (x )＋12x 2有两个极值点x 1，x 2且x 1<x 2，即h (x )＝x 2－2ax ＋1在(0，＋∞)上有两个相异零点x 1，x 2.∵x 1x 2＝1>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4a 2－4>0，x 1＋x 2＝2a >0，∴a >1. 当0<x <x 1或x >x 2时，h (x )>0，F ′(x )>0.当x 1<x <x 2时，h (x )<0，F ′(x )<0.所以F (x )在(0，x 1)与(x 2，＋∞)上是增函数，在区间(x 1，x 2)上是减函数．因为h (1)＝2－2a <0，所以0<x 1<1<a <x 2，令x 2－2ax ＋1＝0，得a ＝x 2＋12x ，∴f (x )＝x (ln x －ax )＝x ln x －12x 3－12x ，则f ′(x )＝ln x －32x 2＋12，设s (x )＝ln x －32x 2＋12，s ′(x )＝1x －3x ＝1－3x 2x ，①当x >1时，s ′(x )<0，s (x )在(1，＋∞)上单调递减，从而函数s (x )在(a ，＋∞)上单调递减，∴s (x )<s (a )<s (1)＝－1<0，即f ′(x )<0，所以f (x )在区间(1，＋∞)上单调递减．故f (x )<f (1)＝－1<0.又1<a <x 2，因此f (x 2)<－1.②当0<x <1时，由s ′(x )＝1－3x 2x >0，得0<x <33.由s ′(x )＝1－3x 2x <0，得33<x <1，所以s (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，33上单调递增，s (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1上单调递减，∴s (x )≤s ⎝ ⎛⎭⎪⎫33＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫33<0， ∴f (x )在(0，1)上单调递减， ∴f (x )>f (1)＝－1， ∵x 1∈(0，1)，从而有f (x 1)>－1. 综上可知：f (x 2)<－1<f (x 1)．。

2016版优化方案高考数学(浙江版·理科)二轮专题复习课件第一部分专题一集合、常用逻辑用语、函

方法归纳 (1)求函数定义域的三种类型 ①已知函数的解析式：定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围． ②抽象函数：根据 f(g(x))中 g(x)的范围与 f(x)中 x 的范围相同求解． ③实际问题或几何问题：除要考虑解析式有意义外，还应使实际问题有意义． (2)求函数值时应注意的两个问题 ①形如 f(g(x))的函数求值时，应遵循先内后外的原则． ②对于分段函数的求值(解不等式)问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解，此类问题多利用分类讨论思想．
2 －2， x≤ 1，且 f(a)＝－3，则 f(6－a)＝ ( A ) － log2（x＋ 1），x＞ 1，
x－1
3x2
7 A．－ 4 3 C．－ 4
5 B．－ 4 1 D．－ 4
2 x＋x－3，x≥1， (3)(2015· 高考浙江卷)已知函数 f(x)＝则 lg（x2＋1），x<1，
3．辨明易错易混点 (1)单调性是函数在其定义域上的局部性质，奇偶性、周期性是函数在其定义域上的整体性质． (2)求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号“∪”和 “或”连接，可用“及”连接或用“， ”隔开．单调区间必须是 “区间”，而不能用集合或不等式代替． (3)①判断函数的奇偶性，要注意定义域必须关于原点对称，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响． ②奇函数在 x＝0 时的函数值，若 0 在定义域内，则 f(0)＝ 0，否则，不能确定． (4)分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用不同的式子来表示对应关系的函数，它是一个函数，而不是几个函数．
②函数的奇偶性：奇偶性是函数在其定义域上的整体性质．关注奇、偶性的几何意义以及广义的对称性质；③函数的周期性：周期性是函数在其定义域上的整体性质．若函数满足 f(x ＋ a)＝ f(x)(a≠ 0)，则其周期为 T＝ ka(k∈ N＋)，周期性与函数其他性质的关系注意以正弦、余弦函数为模型理解、运用． (3)必会的两类技能：①会画三类函数图象：指数函数、对数函数以及要求的幂函数的图象；②看图说话：根据图象说出相应性质，根据性质画出对应图象．

高考数学二轮复习(浙江专用)习题专题一函数与导数、不等式第2讲Word版含答案

一、选择题4211.(2016 全·国Ⅲ卷 )已知 a＝23，b＝33， c＝253，则 ()A.b＜a＜cB.a＜b＜cC.b＜c＜aD.c＜a＜b432313，所以＜＜分析 a＝ 23＝3＝3＝16，b＝39， c＝2525 b a c.答案 Ax2＋ 2x，x≥0，已知函数f(x)＝若 f(－a)＋f(a)≤ 2f(1)，则实数2.(2016 杭·州模拟 )x2－ 2x，x＜0，a 的取值范围是 ()A.[0 ， 1]B.[ －1，0]C.[ －1，1]D.[ －1，0]a≥0，分析f(－a)＋f(a)≤ 2f(1)?或22（－ a）－2×（－ a）＋a ＋ 2a≤2×3 a＜ 0，（－ a）2＋2×（－ a）＋ a2－2a≤ 2× 3a≥0，a＜0，即或a2＋2a－3≤0a2－2a－ 3≤0，解得 0≤ a≤ 1，或－ 1≤a＜0.故－ 1≤a≤1.答案C3.(2016 浙·江卷 )已知 a， b＞0 且 a≠1，b≠1，若 log a b＞ 1，则 ()A.(a－ 1)(b－1)＜0B.(a－1)(a－b)＞0C.(b－1)(b－a)＜0D.(b－1)(b－a)＞0分析由 a，b＞0 且a≠1，b≠1，及log a b＞1＝log a a 可得：当 a＞1 时， b＞a＞1，当 0＜ a＜ 1 时， 0＜b＜a＜1，代入考证只有 D 知足题意 .答案 D已知当x＜0 时， 2x 2－ mx＋1＞0 恒建立，则 m 的取值范围为 ()4.A.[2 2，＋∞ )B.(－∞， 2 2]C.(－2 2，＋∞ )D.(－∞，－ 2 2) 分析由 2x 2－＋＞，得＜ 2x 2＋，mx 1 0 mx 12x 2＋11因为 x ＜ 0，所以 m ＞ x＝2x ＋x . 1（－ 2x ）＋ 1而 2x ＋ x ＝－（－ x ） ≤－2（－ 2x ）×1 ＝－2 2.（－ x ）12当且仅当－ 2x ＝－ x ，即 x ＝－ 2 时取等号，所以 m ＞－ 2 2.答案Cx ＋2y －2≥0，225.(2016 珠·海模拟 )若 x ， y 知足不等式组 x －y ＋1≥0，则 x ＋ y 的最小值是()A.25 3B.25 54C.5D.1分析不等式组所表示的平面地区如图暗影部分所示，x 2＋ y 2表示原点 (0，0)到此地区内的点 P(x ，y)的距离 .明显该距离的最小值为原点到直线x ＋ 2y －2＝ 0 的距离 .|0＋0－2| 2 5故最小值为＝.2251 ＋2答案B二、填空题log3 x，x＞0，6.已知函数 f(x)＝1 x那么不等式 f(x)≥1 的解集为 ________.3，x≤0，分析当 x＞0 时，由 log3x≥1 可得 x≥3，当 x≤ 0 时，由1x≥1 可得 x≤0，3∴不等式f(x)≥ 1 的解集为 (－∞，0]∪ [3，＋∞).答案(－∞， 0]∪[3，＋∞ )x＋2y≥0，7.设目标函数 z＝x＋y，此中实数 x，y 知足x－y≤ 0，若 z 的最大值为 12，则 z0≤y≤ k.的最小值为 ________.分析作出不等式组所表示的可行域如图暗影所示，平移直线 x＋ y＝ 0，明显当直线过点A(k，k)时，目标函数z＝ x＋y 获得最大值，且最大值为k＋k＝12，则 k＝6，直线过点 B 时目标函数 z＝x＋y 获得最小值，点 B 为直线 x＋2y＝ 0 与 y＝6 的交点，即 B(－12，6)，所以 z min＝－ 12＋6＝－ 6.答案－6大·同模拟已知2＋1＝1，若 x＋ 2y＞m2＋ 2m 恒建立，则8.(2016)x＞0，y＞ 0，且x y实数 m 的取值范围为 ________.分析记 t＝x＋ 2y，由不等式恒建立可得m2＋＜min.2m t 21214y x 因为x＋y＝1，所以 t＝ x＋ 2y＝(x＋ 2y) x＋y＝4＋x＋y.而x ＞，＞，所以4y x≥24y x当且仅当4y x，即x＝2y时取等号).x＋y·＝x＝0 y0x y 4(y4y x所以 t＝4＋x＋y≥ 4＋ 4＝ 8，即 t min＝8.故 m2＋2m＜8，即 (m－2)(m＋ 4)＜0.解得－ 4＜m＜2.答案(－4，2)三、解答题2x9.已知函数 f(x)＝x 2＋ 6.(1)若 f(x)＞k 的解集为 { x|x ＜－ 3，或 x ＞－ 2} ，求 k 的值；(2)对随意 x ＞ 0， f(x)≤ t 恒建立，求 t 的取值范围 .解 (1)f(x)＞k? kx 2 －2x ＋ 6k ＜0.由已知 { x|x ＜－ 3，或 x ＞－ 2} 是其解集，得 kx 2－ 2x ＋6k ＝0 的两根是－ 3，－ 2.22由根与系数的关系可知 (－ 2)＋(－3)＝ k ，即 k ＝－ 5.因为 2x ＝ 2 ≤ 2 ＝ 6 6时取等号 .由已知 (2) 2 2 6 ，当且仅当 x ＝ x ＞ 0， f(x)＝ x ＋6 6 6x ＋x66f(x)≤t 对随意 x ＞0 恒建立，故 t ≥ 6 ，即 t 的取值范围是6 ，＋∞ .10.(1)解对于 x 的不等式 x 2－2mx ＋m ＋ 1＞ 0；(2)解对于 x 的不等式 ax 2 －(2a ＋1)x ＋2＜0.解 (1)原不等式对应方程的鉴别式＝(－2m)2－ 4(m ＋1)＝4(m 2－m － 1).当 m 2－m － 1＞ 0，即 m ＞ 1＋ 5 1－ 52 或 m ＜2时，因为方程 x 2－2mx ＋m ＋ 1＝ 0的两根是 m ± m 2－m －1，所以原不等式的解集是 { x|x ＜ m － m 2－ m － 1，或 x ＞＋2－m －1} ； m m当＝ 0，即 m ＝ 1± 52 时，不等式的解集为 {x|x ∈R ，且 x ≠m} ；1－ 51＋ 5时，不等式的解集为 R .当＜0，即 2＜ m ＜2综上，当 m ＞ 1＋ 5或 m ＜1－ 5时，不等式的解集为 { x|x ＜ m － m 2－ m －1，或2 2x ＞ m ＋ m 2－ m －1} ；当 m ＝1± 52 时，不等式的解集为 { x|x ∈R ，且 x ≠m} ；当1－51＋5＜ m ＜时，不等式的解集为 R .22(2)原不等式可化为 (ax － 1)(x －2)＜0.1①当 a ＞0 时，原不等式能够化为 a(x －2) x －a＜0，依据不等式的性质，这个1 1 1不等式等价于 (x －2) ·x －a ＜ 0.因为方程 (x －2) x － a ＝0 的两个根分别是 2，a ，所以当 0＜a ＜1时，2＜1，则原不等式的解集是＜＜ 1；当 a ＝1时，原不等 2ax|2 xa2111式的解集是 ?；当 a ＞2时， a ＜2，则原不等式的解集是 x a ＜ x ＜ 2 .②当 a ＝0 时，原不等式为－ (x － 2)＜0，解得 x ＞2，即原不等式的解集是 { x|x ＞2}.1③当 a ＜0 时，原不等式能够化为a(x －2) x －a ＜0，依据不等式的性质，这个不等式等价于(x －2) x － 1 ＞，因为 1＜，故原不等式的解集是x x ＜ 1或x ＞2 .a 0 a 2a11综上，当 a ＝0 时不等式解集为 (2，＋∞ )；当 0＜a ＜2时，不等式解集为 2，a；1 1 1当 a ＝ 2时，不等式解集为?；当 a ＞2时，不等式解集为 a ，2 ，当 a ＜0 时，不1等式解集为－∞， a ∪(2，＋∞ ).11.已知函数 f(x)＝x 2＋ bx ＋c(b ，c ∈ R )，对随意的 x ∈R ，恒有 f ′(x)≤ f(x).(1)证明：当 x ≥0 时， f(x)≤ (x ＋c)2；(2)若对知足题设条件的随意 b ，c ，不等式 f(c)－f(b)≤M(c 2－b 2)恒建立，求 M 的最小值 .(1)证明易知 f ′(x)＝2x ＋ b.由题设，对随意的 x ∈ R ，2x ＋b ≤x 2＋ bx ＋c ，即 x 22＋(b － 2)x ＋ c － b ≥0 恒建立，所以 (b －2)2－4(c －b)≤0，进而 c ≥b4 ＋ 1，于是 c ≥1，且 c ≥2b 24 ×1＝ |b|，所以2c －b ＝c ＋ (c －b)＞ 0.故当 x ≥ 0 时，有(x ＋ c)2－f(x)＝ (2c － b)x ＋ c(c － 1)≥0.即当 x ≥ 0 时，f(x)≤(x ＋c)2 .f（c）－ f（b） c2－ b2＋bc－ b2c2－b2＝c2－b2＝(2) 解由 (1)知 c≥|b|.当 c＞ |b|时，有 M≥c ＋ 2b b ＋c.bc ＋2b1令 t ＝c ，则－ 1＜t ＜1， b ＋ c ＝2－1＋t .而函数 g(t)＝2－ 1 －＜＜的值域是－∞， 31＋t(1 t1)2.3所以，当 c ＞ |b|时， M 的取值范围为 2，＋∞ .当 c ＝ |b|时，由(1)知 b ＝ ±2，c ＝2.此时 f(c)－f(b)＝－ 8 或 0，c 2－b 2＝ 0，进而 f(c)3 2 2－f(b)≤2(c －b )恒建立 .3综上所述， M 的最小值为 2.。

2016届高三专题复习专题一-函数与导数、不等式

专题一函数和导数、不等式第1讲函数图象和性质及函数和方程高考定位 1.高考仍会以分段函数、二次函数、指数函数、对数函数为载体，考查函数的定义域、函数的最值和值域、函数的奇偶性、函数的单调性，或者综合考查函数的相关性质.2.对函数图象的考查主要有两个方面：一是识图，二是用图，即利用函数的图象，通过数形结合的思想解决问题.3.以基本初等函数为依托，考查函数和方程的关系、函数零点存在性定理、数形结合思想，这是高考考查函数的零点和方程的根的基本方式.真题感悟1.(2015·安徽卷)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( ) A.y ＝cos x B.y ＝sin xC.y ＝ln xD.y ＝x 2＋12.(2015·全国Ⅱ卷)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 2（2－x ），x ＜1，2x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝( )A.3B.6C.9D.123.(2015·北京卷)如图，函数f (x )的图象为折线ACB ，则不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集是( ) A.{x |－1＜x ≤0} B.{x |－1≤x ≤1} C.{x |－1＜x ≤1} D.{x |－1＜x ≤2}4.已知函数f (x )＝a x ＋b (a ＞0，a ≠1) 的定义域和值域都是[－1，0]，则a ＋b ＝________.考点整合1.函数的性质(1)单调性：证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、变形、判断符号和下结论.可以用来比较大小，求函数最值，解不等式，证明方程根的唯一性；(2)奇偶性：①若f (x )是偶函数，那么f (x )＝f (－x )；②若f (x )是奇函数，0在其定义域内，则f (0)＝0；③奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性；(3)周期性：①若y ＝f (x )对x ∈R ，f (x ＋a )＝f (x －a )或f (x －2a )＝f (x )(a ＞0)恒成立，则y ＝f (x )是周期为2a 的周期函数；②若y ＝f (x )是偶函数，其图象又关于直线x ＝a 对称，则f (x )是周期为2|a |的周期函数；③若y ＝f (x )是奇函数，其图象又关于直线x ＝a 对称，则f (x )是周期为4|a |的周期函数；④若f (x ＋a )＝－f (x )⎝⎛⎭⎫或f （x ＋a ）＝1f （x ），则y ＝f (x )是周期为2|a |的周期函数.2.函数的图象对于函数的图象要会作图、识图和用图，作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换和对称变换. 3.函数的零点和方程的根(1)函数的零点和方程根的关系函数F (x )＝f (x )－g (x )的零点就是方程f (x )＝g (x )的根，即函数y ＝f (x )的图象和函数y ＝g (x )的图象交点的横坐标. (2)零点存在性定理注意以下两点：①满足条件的零点可能不唯一；②不满足条件时，也可能有零点.热点一函数性质的使用[微题型1] 单一考查函数的奇偶性、单调性、对称性【例1－1】 (1)(2015·全国Ⅰ卷)若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________. (2)(2015·济南三模)已知实数x ，y 满足a x ＜a y (0＜a ＜1)，则下列关系式恒成立的是( ) A.1x 2＋1＞1y 2＋1B.ln(x 2＋1)＞ln(y 2＋1)C.sin x ＞sin yD.x 3＞y 3(3)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2，x ＜1，－ax ＋6，x ≥1(a ∈R )的图象关于直线x ＝1对称，则a 的值为( )A.－1B.1C.2D.3[微题型2] 综合考查函数的奇偶性、单调性、周期性【例1－2】 (1)(2015·湖南卷)设函数f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，则f (x )是( ) A.奇函数，且在(0，1)上是增函数 B. 奇函数，且在(0，1)上是减函数 C. 偶函数，且在(0，1)上是增函数D.偶函数，且在(0，1)上是减函数(2)(2015·长沙模拟)已知偶函数f (x )在[0，＋∞)单调递减，f (2)＝0.若f (x －1)＞0，则x 的取值范围是________. 【训练1】 (2015·天津卷)已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x -m |－1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f (log 0.53)，b ＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为( )A.a ＜b ＜cB.a ＜c ＜bC.c ＜a ＜bD.c ＜b ＜a热点二函数图象和性质的融合问题 [微题型1] 函数图象的识别【例2－1】 (1)(2015·安徽卷)函数f (x )＝ax ＋b（x ＋c ）2的图象如图所示，则下列结论成立的是( )A.a >0，b >0，c <0B.a <0，b >0，c >0C.a <0，b >0，c <0D.a <0，b <0，c <0(2)(2014·江西卷)在同一直角坐标系中，函数y ＝ax 2－x ＋a2和y ＝a 2x 3－2ax 2＋x ＋a (a ∈R )的图象不可能的是( )[微题型2] 函数图象的使用【例2－2】 (1)已知函数f (x )的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2＞x 1＞1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)＜0恒成立，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A.c ＞a ＞bB.c ＞b ＞aC.a ＞c ＞bD.b ＞a ＞c(2)(2015·全国Ⅰ卷)设函数f (x )＝e x (2x －1)－ax ＋a ，其中a <1，若存在唯一的整数x 0使得f (x 0)<0，则a 的取值范围是( ) A.⎣⎡⎭⎫－32e ，1B.⎣⎡⎭⎫－32e ，34C.⎣⎡⎭⎫32e ，34D.⎣⎡⎭⎫32e ，1【训练2】 (2015·成都诊断)已知f (x )＝2x －1，g (x )＝1－x 2，规定：当|f (x )|≥g (x )时，h (x )＝|f (x )|；当|f (x )|＜g (x )时，h (x )＝－g (x )，则h (x )( )A.有最小值－1，最大值1B.有最大值1，无最小值C.有最小值－1，无最大值D.有最大值－1，无最小值热点三以函数零点为背景的函数问题 [微题型1] 函数零点个数的求解【例3－1】函数f (x )＝2x ＋x 3－2在区间(0，1)内的零点个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 [微题型2] 由函数零点(或方程根)的情况求参数【例3－2】 (2015·天津卷)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－|x |，x ≤2，（x －2）2，x ＞2，函数g (x )＝b －f (2－x )，其中b ∈R ，若函数y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点，则b 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫74，＋∞B.⎝⎛⎭⎫－∞，74 C.⎝⎛⎭⎫0，74D.⎝⎛⎭⎫74，2【训练3】 (2015·南阳模拟)已知函数f (x )＝1x ＋2－m |x |有三个零点，则实数m 的取值范围为________.1.解决函数问题忽视函数的定义域或求错函数的定义域，如求函数f (x )＝1x ln x 的定义域时，只考虑x ＞0，忽视ln x ≠0的限制.2.函数定义域不同，两个函数不同；对应关系不同，两个函数不同；定义域和值域相同，也不一定是相同的函数.3.如果一个奇函数f (x )在原点处有意义，即f (0)有意义，那么一定有f (0)＝0.4.奇函数在两个对称的区间上有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上有相反的单调性.5.函数的图象和分析式是函数关系的主要表现形式，它们的实质是相同的，在解题时经常要互相转化.在解决函数问题时，尤其是较为繁琐的(如分类讨论求参数的取值范围等)问题时，要注意充分发挥图象的直观作用.6.不能准确把握基本初等函数的形式、定义和性质.如讨论指数函数y ＝a x (a ＞0，a ≠1)的单调性时，不讨论底数的取值；忽视a x ＞0的隐含条件；幂函数的性质记忆不准确等.7.判断函数零点个数的方法有：(1)直接求零点；(2)零点存在性定理；(3)数形结合法.8.对于给定的函数不能直接求解或画出图形，常会通过分解转化为两个函数图象，然后数形结合，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.一、选择题1.(2015·广东卷)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( ) A.y ＝x ＋e xB.y ＝x ＋1xC.y ＝2x＋12xD.y ＝1＋x 22.函数f (x )＝log 2x －1x 的零点所在的区间为( )A.⎝⎛⎭⎫0，12 B.⎝⎛⎭⎫12，1 C.(1，2)D.(2，3)3.已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，12B.⎝⎛⎭⎫12，1 C.(1，2)D.(2，＋∞)4.(2015·山东卷)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x ＜1，2x ，x ≥1，则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤23，1B.[0，1]C.⎣⎡⎭⎫23，＋∞D.[1，＋∞)5.(2015·全国Ⅱ卷)如图，长方形ABCD 的边AB ＝2，BC ＝1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 和DA 运动，记∠BOP ＝x .将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数f (x )，则y ＝f (x )的图象大致为( )二、填空题6.(2015·福建卷)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x ＞2(a ＞0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是________.7.(2015·洛阳模拟)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －a ，x ≤0，ln x ，x ＞0有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是________.8.已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，对x ∈R 都有f (x ＋4)＝f (x )＋f (2)成立.当x 1，x 2∈[0，2]，且x 1≠x 2时，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＜0，给出下列命题：①f (2)＝0；②直线x ＝－4是函数y ＝f (x )图象的一条对称轴；③函数y ＝f (x )在[－4，4]上有四个零点； ④f (2 014)＝0.其中所有正确命题的序号为________. 三、解答题9.定义在[－1，1]上的奇函数f (x )，已知当x ∈[－1，0]时，f (x )＝14x －a2x (a ∈R ).(1)写出f (x )在[0，1]上的分析式；(2)求f (x )在[0，1]上的最大值.10.(2015·太原模拟)已知函数f (x )＝ax 2－2ax ＋2＋b (a ≠0)在区间[2，3]上有最大值5，最小值2. (1)求a ，b 的值；(2)若b ＜1，g (x )＝f (x )－2m x 在[2，4]上单调，求m 的取值范围. 11.已知函数f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1，g (x )＝x ＋e 2x(x ＞0).(1)若g (x )＝m 有实根，求m 的取值范围；(2)确定m 的取值范围，使得g (x )－f (x )＝0有两个相异实根.第2讲不等式及线性规划高考定位不等式的性质、求解、证明及使用是每年高考必考的内容，对不等式的考查一般以选择题、填空题为主.(1)主要考查不等式的求解、利用基本不等式求最值及线性规划求最值；(2)不等式相关的知识可以渗透到高考的各个知识领域，往往作为解题工具和数列、函数、向量相结合，在知识的交汇处命题，难度中档；在解答题中，特别是在分析几何中求最值、范围或在解决导数问题时经常利用不等式进行求解，但难度偏高.真题感悟1.(2015·重庆卷)“x ＞1”是“log 12(x ＋2)＜0”的( )A.充要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件2.(2015·北京卷)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0，x ＋y ≤1，x ≥0，则z ＝x ＋2y 的最大值为( )A.0B.1C.32D.23.设f (x )＝ln x ，0＜a ＜b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确的是( )A.q ＝r ＜pB.q ＝r ＞pC.p ＝r ＜qD.p ＝r ＞q4.(2015·全国Ⅰ卷)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －y ≤0，x ＋y －4≤0，则yx的最大值为________.考点整合1.解含有参数的一元二次不等式，要注意对参数的取值进行讨论：①对二次项系数和0的大小进行讨论；②在转化为标准形式的一元二次不等式后，对判别式和0的大小进行讨论；③当判别式大于0，但两根的大小不确定时，对两根的大小进行讨论. 2.利用基本不等式求最值已知x ，y ∈R ＋，则(1)若x ＋y ＝S (和为定值)，则当x ＝y 时，积xy 取得最大值 S 24⎝ ⎛⎭⎪⎫xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22＝S 24；(2)若xy ＝P (积为定值)，则当x ＝y 时，和x ＋y 取得最小值2P (x ＋y ≥2xy ＝2P ). 3.平面区域的确定方法是“直线定界、特殊点定域”，二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的半平面的交集.线性目标函数z ＝ax ＋by 中的z 不是直线ax ＋by ＝z 在y 轴上的截距，把目标函数化为y ＝－a b x ＋z b ，可知zb 是直线ax ＋by ＝z 在y 轴上的截距，要根据b 的符号确定目标函数在什么情况下取得最大值、什么情况下取得最小值.4.不等式的证明不等式的证明要注意和不等式的性质结合起来，常用的方法有：比较法、作差法、作商法(要注意讨论分母)、分析法、综合法、数学归纳法、反证法，还要结合放缩和换元的技巧.其中，比较法是使用最为广泛的证明方法，在导数、解含参不等式、数列等知识点都有渗透.热点一利用基本不等式求最值 [微题型1] 基本不等式的简单使用【例1－1】 (2015·武汉模拟)已知两个正数x ，y 满足x ＋4y ＋5＝xy ，则xy 取最小值时，x ，y 的值分别为( ) A.5，5B.10，52C.10，5D.10，10[微题型2] 带有约束条件的基本不等式问题【例1－2】 (2015·四川卷)如果函数f (x )＝12(m －2)x 2＋(n －8)x ＋1(m ≥0，n ≥0)在区间⎣⎡⎦⎤12，2上单调递减，那么mn 的最大值为( ) A.16B.18C.25D.812【训练1】 (1)(2015·广州模拟)若正实数x ，y 满足x ＋y ＋1＝xy ，则x ＋2y 的最小值是( ) A.3B.5C.7D.8(2)已知关于x 的不等式2x ＋2x －a≥7在x ∈(a ，＋∞)上恒成立，则实数a 的最小值为( ) A.1B.32C.2D.52热点二含参不等式恒成立问题[微题型1] 运用分离变量解决恒成立问题【例2－1】关于x 的不等式x ＋4x －1－a 2＋2a ＞0对x ∈(0，＋∞)恒成立，则实数a 的取值范围为________.[微题型2] 构造函数(主辅元转换)解决恒成立问题【例2－2】已知f (t )＝log 2t ，t ∈[2，8]，对于f (t )值域内的所有实数m ，不等式x 2＋mx ＋4＞2m ＋4x 恒成立，求x 的取值范围.【训练2】 (1)(2015·合肥模拟)已知a ＞0，b ＞0，若不等式m 3a ＋b －3a －1b ≤0恒成立，则m 的最大值为( )A.4B.16C.9D.3(2)若不等式x 2－ax ＋1≥0对于一切a ∈[－2，2]恒成立，则x 的取值范围是________. 热点三简单的线性规划问题[微题型1] 已知约束条件，求目标函数最值【例3－1】设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －3y ＋1≤0，3x －y －5≥0，则z ＝2x －y 的最大值为( )A.10B.8C.3D.2[微题型2] 已知最值求参数问题【例3－2】 (2015·山东卷)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤2，y ≥0，若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a ＝( )A.3B.2C.－2D.－3[微题型3] 非线性规划问题【例3－3】已知动点P (x ，y )在过点⎝⎛⎭⎫－32，－2且和圆M ：(x －1)2＋(y ＋2)2＝5相切的两条直线和x －y ＋1＝0所围成的区域内，则z ＝|x ＋2y －3|的最小值为( ) A.55B.1C. 5D.5【训练3】若x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0，x ＋y ≥0，y ≤a ，且z ＝2x ＋3y 的最大值是5，则实数a 的值为________.1.使用不等式的性质时应注意的两点(1)两个不等式相加的前提是两个不等式同向；两个不等式相乘的前提是两个不等式同向，且不等式两边均大于0；不等式原则上不能相减或相除.(2)不等式的性质是不等式变形的依据，但要注意区分不等式各性质的是否可逆性. 2.多次使用基本不等式的注意事项当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，也是检验转换是否有误的一种方法.3.均值不等式除了在客观题考查外，在解答题的关键步骤中也往往起到“巧解”的作用，但往往需先变换形式才能使用.4.解决线性规划问题首先要作出可行域，再注意目标函数表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决.5.解答不等式和导数、数列的综合问题时，不等式作为一种工具常起到关键的作用，往往涉及到不等式的证明方法(如比较法、分析法、综合法、放缩法、换元法等).在求解过程中，要以数学思想方法为思维依据，并结合导数、数列的相关知识解题，在复习中通过解此类问题，体会每道题中所蕴含的思想方法及规律，逐步提高自己的逻辑推理能力.一、选择题1.(2015·天津卷)设x ∈R ，则“|x －2|＜1”是“x 2＋x －2＞0”的( ) A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.(2015·临汾模拟)若点A (m ，n )在第一象限，且在直线x 3＋y4＝1上，则mn 的最大值是( )A.3B.4C.7D.123.(2015·广东卷)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ≥8，1≤x ≤3，0≤y ≤2，则z ＝3x ＋2y 的最小值为( )A.315B.6C.235D.44.已知正数x ，y 满足x ＋22xy ≤λ(x ＋y )恒成立，则实数λ的最小值为( ) A.1 B.2 C.3 D.45.已知约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≤0，ax －y ≥0，x ≤1表示的平面区域为D ，若区域D 内至少有一个点在函数y ＝e x 的图象上，那么实数a的取值范围为( )A.[e ，4)B.[e ，＋∞)C.[1，3)D.[2，＋∞)二、填空题6.(2015·福建卷改编)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，x －2y ＋2≥0，则z ＝2x －y 的最小值等于________.7.(2015·浙江卷)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x －3，x ≥1，lg （x 2＋1），x ＜1，则f (f (－3))＝________，f (x )的最小值是________.8.(2015·南昌模拟)已知x ＞0，y ＞0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________. 三、解答题9.已知函数f (x )＝2xx 2＋6.(1)若f (x )＞k 的解集为{x |x ＜－3，或x ＞－2}，求k 的值；(2)对任意x ＞0，f (x )≤t 恒成立，求t 的取值范围.10.如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程y ＝kx －120(1＋k 2)x 2(k ＞0)表示的曲线上，其中k 和发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由.11.已知函数f (x )＝13ax 3－bx 2＋(2－b )x ＋1在x ＝x 1处取得极大值，在x ＝x 2处取得极小值，且0＜x 1＜1＜x 2＜2.(1)证明：a ＞0；(2)若z ＝a ＋2b ，求z 的取值范围.第3讲导数和函数的单调性、极值、最值问题高考定位高考对导数计算的考查贯穿于和之有关的每一道题目之中，函数的单调性，函数的极值和最值均是高考命题的重点内容，在选择题、填空题、解答题中都有涉及，试题难度不大.真题感悟(2015·全国Ⅱ卷)设函数f (x )＝e mx ＋x 2－mx .(1)证明：f (x )在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增；(2)若对于任意x 1，x 2∈[－1，1]，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤e －1，求m 的取值范围.考点整合1.导数和函数的单调性(1)函数单调性的判定方法：设函数y ＝f (x )在某个区间内可导，如果f ′(x )＞0，则 y ＝f (x )在该区间为增函数；如果f ′(x )＜0，则y ＝f (x )在该区间为减函数.(2)函数单调性问题包括：①求函数的单调区间，常常通过求导，转化为解方程或不等式，常用到分类讨论思想；②利用单调性证明不等式或比较大小，常用构造函数法. 2.极值的判别方法当函数f (x )在点x 0处连续时，如果在x 0附近的左侧f ′(x )＞0，右侧f ′(x )＜0，那么f (x 0)是极大值；如果在x 0附近的左侧f ′(x )＜0，右侧f ′(x )＞0，那么f (x 0)是极小值.也就是说x 0是极值点的充分条件是点x 0两侧导数异号，而不是f ′(x )＝0.此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点，而且极值是一个局部概念，极值的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小. 3.闭区间上函数的最值在闭区间上连续的函数，一定有最大值和最小值，其最大值是区间的端点处的函数值和在这个区间内函数的所有极大值中的最大者，最小值是区间端点处的函数值和在这个区间内函数的所有极小值中的最小者.热点一导数和函数的单调性[微题型1] 求含参函数的单调区间【例1－1】设函数f (x )＝a ln x ＋x －1x ＋1，其中a 为常数.(1)若a ＝0，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)讨论函数f (x )的单调性. [微题型2] 已知单调性求参数的范围【例1－2】 (2015·重庆卷)设函数f (x )＝3x 2＋axe x(a ∈R ).(1)若f (x )在x ＝0处取得极值，确定a 的值，并求此时曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)若f (x )在[3，＋∞)上为减函数，求a 的取值范围. 【训练1】函数f (x )＝ax 3＋3x 2＋3x (a ≠0).(1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )在区间(1，2)上是增函数，求a 的取值范围. 热点二导数和函数的极值、最值[微题型1] 求含参函数的极值(或最值)【例2－1】 (2015·南昌模拟)设函数f (x )＝x 3－kx 2＋x (k ∈R ).(1)当k ＝1时，求函数f (x )的单调区间；(2)当k <0时，求函数f (x )在[k ，－k ]上的最小值m 和最大值M . [微题型2] 和极值点个数有关的参数问题【例2－2】 (2015·合肥模拟)已知函数f (x )＝ax 2－e x ，a ∈R ，f ′(x )是f (x )的导函数(e 为自然对数的底数).若f (x )有两个极值点x 1，x 2，求实数a 的取值范围.【训练2】设函数f (x )＝ln(x ＋1)＋a (x 2－x )，其中a ∈R .讨论函数f (x )极值点的个数，并说明理由.1.如果一个函数具有相同单调性的区间不止一个，这些单调区间不能用“∪”连接，而只能用逗号或“和”字隔开.2.可导函数在闭区间[a ，b ]上的最值，就是函数在该区间上的极值及端点值中的最大值和最小值.3.可导函数极值的理解(1)函数在定义域上的极大值和极小值的大小关系不确定，也有可能极小值大于极大值；(2)对于可导函数f (x )，“f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x )＝0”是“f (x )在x ＝x 0处取得极值”的必要不充分条件； (3)注意导函数的图象和原函数图象的关系，导函数由正变负的零点是原函数的极大值点，导函数由负变正的零点是原函数的极小值点.4.求函数的单调区间时，若函数的导函数中含有带参数的有理因式，因式根的个数、大小、根是否在定义域内可能都和参数有关，则需对参数进行分类讨论.5.求函数的极值、最值问题，一般需要求导，借助函数的单调性，转化为方程或不等式问题来解决，有正向思维——直接求函数的极值或最值；也有逆向思维——已知函数的极值或最值，求参数的值或范围，常常用到分类讨论、数形结合的思想.一、选择题1.函数f (x )＝12x 2－ln x 的单调递减区间为( )A.(－1，1]B.(0，1]C.[1，＋∞)D.(0，＋∞)2.(2015·武汉模拟)已知函数f (x )＝12mx 2＋ln x －2x 在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围是( )A.[－1，1]B.[－1，＋∞)C.[1，＋∞)D.(－∞，1]3.(2015·临沂模拟)函数f (x )＝x 3－3ax －a 在(0，1)内有最小值，则a 的取值范围是( ) A.[0，1)B.(－1，1)C.⎝⎛⎭⎫0，12D.(0，1)4.对二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a 为非零整数)，四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是( )A.－1是f (x )的零点B.1是f (x )的极值点C.3是f (x )的极值D.点(2，8)在曲线y ＝f (x )上 5.函数f (x )的定义域是R ，f (0)＝2，对任意x ∈R ，f (x )＋f ′(x )＞1，则不等式e x ·f (x )＞e x ＋1的解集为( ) A.{x |x ＞0} B.{x |x ＜0} C.{x |x ＜－1，或x ＞1} D.{x |x ＜－1，或0＜x ＜1} 二、填空题6.(2015·陕西卷)设曲线y ＝e x 在点(0，1)处的切线和曲线y ＝1x (x ＞0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________.7.若f (x )＝x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋1在R 上单调递增，则a 的取值范围是________.8.(2015·衡水中学期末)若函数f (x )＝－12x 2＋4x －3ln x 在[t ，t ＋1]上不单调，则t 的取值范围是________.三、解答题9.已知函数f (x )＝e x (ax ＋b )－x 2－4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋4. (1)求a ，b 的值；(2)讨论f (x )的单调性，并求f (x )的极大值. 10.(2015·长沙模拟)已知函数f (x )＝x 3－ax 2－3x .(1)若f (x )在[1，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围； (2)已知函数g (x )＝ln(1＋x )－x ＋k2x 2(k ≥0)，讨论函数g (x )的单调性.11.(2014·山东卷)设函数f (x )＝e x x2－k ⎝⎛⎭⎫2x ＋ln x (k 为常数，e ＝2.718 28…是自然对数的底数). (1)当k ≤0时，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在(0，2)内存在两个极值点，求k 的取值范围.第4讲导数和函数图象的切线及函数零点问题高考定位在高测试题的导数压轴题中，把求切线和研究函数的性质交汇起来是一个命题热点；两个函数图象的交点问题可以转化为一个新的函数的零点问题，函数图象和函数零点是函数中的两个重要问题，在高测试题导数压轴题中涉及两个函数图象的交点问题是高考命题的另一热点.真题感悟(2015·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝x 3＋ax ＋14，g (x )＝－ln x .(1)当a 为何值时，x 轴为曲线y ＝f (x )的切线；(2)用min{m ，n }表示m ，n 中的最小值，设函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}(x >0)，讨论h (x )零点的个数.考点整合1.求曲线y ＝f (x )的切线方程的三种类型及方法(1)已知切点P (x 0，y 0)，求y ＝f (x )过点P 的切线方程：求出切线的斜率f ′(x 0)，由点斜式写出方程.(2)已知切线的斜率为k ，求y ＝f (x )的切线方程：设切点P (x 0，y 0)，通过方程k ＝f ′(x 0)解得x 0，再由点斜式写出方程. (3)已知切线上一点(非切点)，求y ＝f (x )的切线方程：设切点P (x 0，y 0)，利用导数求得切线斜率f ′(x 0)，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x 0，再由点斜式或两点式写出方程. 2.三次函数的零点分布三次函数在存在两个极值点的情况下，由于当x →∞时，函数值也趋向∞，只要按照极值和零的大小关系确定其零点的个数即可.存在两个极值点x 1，x 2且x 1＜x 2的函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)的零点分布情况如下：a 的符号零点个数充要条件 a ＞0(f (x 1)为极大值， f (x 2)为极小值) 一个 f (x 1)＜0 两个 f (x 1)＝0或者f (x 2)＝0 三个 f (x 1)＞0且f (x 2)＜0a ＜0(f (x 1)为极小值， f (x 2)为极大值)一个 f (x 2)＜0 两个 f (x 1)＝0或者f (x 2)＝0 三个f (x 1)＜0且f (x 2)＞03.研究两条曲线的交点个数的基本方法(1)数形结合法，通过画出两个函数图象，研究图象交点个数得出答案.(2)函数和方程法，通过构造函数，研究函数零点的个数得出两曲线交点的个数.热点一函数图象的切线问题[微题型1] 单一考查曲线的切线方程【例1－1】在平面直角坐标系xOy 中，设A 是曲线C 1：y ＝ax 3＋1(a ＞0)和曲线C 2：x 2＋y 2＝52的一个公共点，若C 1在A 处的切线和C 2在A 处的切线互相垂直，则实数a 的值是________. [微题型2] 综合考查曲线的切线问题【例1－2】 (2014·北京卷)已知函数f (x )＝2x 3－3x .(1)求f (x )在区间[－2，1]上的最大值；(2)若过点P (1，t )存在3条直线和曲线y ＝f (x )相切，求t 的取值范围；(3)问过点A (－1，2)，B (2，10)，C (0，2)分别存在几条直线和曲线y ＝f (x )相切？(只需写出结论). 【训练1】已知函数f (x )＝x 3－x .(1)设M (λ0，f (λ0))是函数f (x )图象上的一点，求点M 处的切线方程； (2)证明：过点N (2，1)可以作曲线f (x )＝x 3－x 的三条切线. 热点二利用导数解决和函数零点(或方程的根)有关的问题 [微题型1] 讨论方程根的个数【例2－1】 (2015·广州模拟)已知函数f (x )＝(x 2－3x ＋3)·e x 的定义域为[－2，t ](t ＞－2). (1)试确定t 的取值范围，使得函数f (x )在[－2，t ]上为单调函数； (2)当1＜t ＜4时，求满足f ′（x 0）e x 0＝23(t －1)2的x 0的个数.[微题型2] 根据零点个数求参数范围【例2－2】 (2015·保定模拟)已知函数f (x )＝x ln x ，g (x )＝－x 2＋ax －2(e 为自然对数的底数，a ∈R ).(1)判断曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线和曲线y ＝g (x )的公共点个数； (2)当x ∈⎣⎡⎦⎤1e ，e 时，若函数y ＝f (x )－g (x )有两个零点，求a 的取值范围. 【训练2】已知函数f (x )＝ax sin x －32(a ＞0)，且在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值为π－32. (1)求函数f (x )的分析式；(2)判断函数f (x )在(0，π)内的零点个数，并加以证明.1.求曲线的切线方程的方法是利用切线方程的公式y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)，它的难点在于分清“过点P 的切线”和“在点P 处的切线”的差异.突破这个难点的关键是理解这两种切线的不同之处在哪里，在过点P (x 0，y 0)的切线中，点P 不一定是切点，点P 也不一定在已知曲线上，而在点P (x 0，y 0)处的切线，必以点P 为切点，则此时切线的方程是y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0).2.我们借助于导数探究函数的零点，不同的问题，比如方程的解、直线和函数图象的交点、两函数图象交点问题都可以转化为函数零点问题.3.研究函数图象的交点、方程的根、函数的零点，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路，因此使用的知识还是函数的单调性和极值的知识.4.求函数零点或两函数的交点问题，综合了函数、方程、不等式等多方面知识，可以全面地考察学生对函数性质、函数图象等知识的综合使用能力，同时考察学生的变形、转化能力.因此在高考压轴题中占有比较重要的地位.一、选择题1.曲线y ＝xx ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( )A.y ＝2x ＋1B.y ＝2x －1C.y ＝－2x －3D.y ＝－2x －22.(2015·太原模拟)若曲线f (x )＝a cos x 和曲线g (x )＝x 2＋bx ＋1在交点(0，m )处有公切线，则a ＋b 的值为( ) A.－1B.0C.1D.23.(2015·邯郸模拟)直线y ＝kx ＋1和曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点A (1，3)，则2a ＋b 的值为( ) A.2B.－1C.1D.－24.(2015·武汉模拟)曲线y ＝x ln x 在点(e ，e)处的切线和直线x ＋ay ＝1垂直，则实数a 的值为( ) A.2B.－2C.12D.－125.已知e 是自然对数的底数，函数f (x )＝e x ＋x －2的零点为a ，函数g (x )＝ln x ＋x －2的零点为b ，则下列不等式中成立的是( )A.f (a )＜f (1)＜f (b )B.f (a )＜f (b )＜f (1)C.f (1)＜f (a )＜f (b )D.f (b )＜f (1)＜f (a ) 二、填空题6.已知f (x )＝x 3＋f ′⎝⎛⎭⎫23x 2－x ，则f (x )的图象在点⎝⎛⎭⎫23，f ⎝⎛⎭⎫23处的切线斜率是________. 7.(2015·成都模拟)关于x 的方程x 3－3x 2－a ＝0有三个不同的实数解，则实数a 的取值范围是________.8.设x 3＋ax ＋b ＝0，其中a ，b 均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是________(写出所有正确条件的编号).①a ＝－3，b ＝－3；②a ＝－3，b ＝2；③a ＝－3，b >2；④a ＝0，b ＝2；⑤a ＝1，b ＝2. 三、解答题9.已知曲线C ：y ＝e ax .(1)若曲线C 在点(0，1)处的切线为y ＝2x ＋m ，求实数a 和m 的值；(2)对任意实数a ，曲线C 总在直线l ：y ＝ax ＋b 的上方，求实数b 的取值范围. 10.(2015·济南模拟)已知函数f (x )＝2ln x －x 2＋ax (a ∈R ). (1)当a ＝2时，求f (x )的图象在x ＝1处的切线方程；(2)若函数g (x )＝f (x )－ax ＋m 在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上有两个零点，求实数m 的取值范围. 11.(2015·江苏卷)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋b (a ，b ∈R ).(1)试讨论f (x )的单调性；(2)若b ＝c －a (实数c 是和a 无关的常数)，当函数f (x )有三个不同的零点时，a 的取值范围恰好是(－∞，－3)∪⎝⎛⎭⎫1，32∪⎝⎛⎭⎫32，＋∞，求c 的值. 第5讲导数和不等式、存在性及恒成立问题高考定位在高考压轴题中，函数和不等式交汇的试题是考查的热点，一类是利用导数证明不等式，另一类是存在性及恒成立问题.真题感悟(2015·福建卷改编)已知函数f (x )＝ln(1＋x )，g (x )＝kx (k ∈R ).(1)证明：当x ＞0时，f (x )＜x ；(2)证明：当k ＜1时，存在x 0＞0，使得对任意的x ∈(0，x 0)，恒有f (x )＞g (x ).考点整合1.常见构造辅助函数的四种方法(1)移项法：证明不等式f (x )＞g (x )(f (x )＜g (x ))的问题转化为证明f (x )－g (x )＞0(f (x )－g (x )＜0)，进而构造辅助函数h (x )＝f (x )－g (x ).(2)构造“形似”函数：对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数，把不等式转化为左右两边是相同结构的式子的结构，根据“相同结构”构造辅助函数.(3)放缩法：若所构造函数最值不易求解，可将所证明不等式进行放缩，再重新构造函数.(4)主元法：对于(或可化为)f (x 1，x 2)≥A 的不等式，可选x 1(或x 2)为主元，构造函数f (x ，x 2)(或f (x ，x 1)). 2.利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法(1)分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，f (x )≥a 恒成立，只需f (x )min ≥a 即可；f (x )≤a 恒成立，只需f (x )max ≤a 即可.(2)函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解.3.不等式的恒成立和能成立问题(1)f (x )＞g (x )对一切x ∈I 恒成立⇔I 是f (x )＞g (x )的解集的子集⇔[f (x )－g (x )]min ＞0(x ∈I ).(2)f (x )＞g (x )对x ∈I 能成立⇔I 和f (x )＞g (x )的解集的交集不是空集⇔[f (x )－g (x )]max ＞0(x ∈I ).(3)对∀x 1，x 2∈I 使得f (x 1)≤g (x 2)⇔f (x )max ≤g (x )min .(4)对∀x 1∈I ，∃x 2∈I 使得f (x 1)≥g (x 2)⇔f (x )min ≥g (x )min .热点一导数和不等式[微题型1] 利用导数证明不等式【例1－1】已知函数f (x )＝e x －ln(x ＋m ).(1)设x ＝0是f (x )的极值点，求m ，并讨论f (x )的单调性；(2)当m ≤2时，证明f (x )>0.[微题型2] 不等式恒成立求参数范围问题【例1－2】 (1)已知函数f (x )＝ax －1－ln x ，a ∈R .①讨论函数f (x )的单调区间；②若函数f (x )在x ＝1处取得极值，对∀x ∈(0，＋∞)，f (x )≥bx －2恒成立，求实数b 的取值范围.(2)设f (x )＝x ln xx ＋1，若对∀x ∈[1，＋∞)，f (x )≤m (x －1)恒成立，求m 的取值范围.【训练1】 (2015·武汉模拟)设函数f (x )＝1－x 2＋ln(x ＋1). (1)求函数f (x )的单调区间；(2)若不等式f (x )＞kxx ＋1－x 2(k ∈N *)在(0，＋∞)上恒成立，求k 的最大值. 热点二存在和恒成立问题【例2】 (2015·南昌模拟)已知函数f (x )＝ln x －ax ＋1－a x－1(a ∈R ).(1)当a ≤12时，讨论f (x )的单调性；(2)设g (x )＝x 2－2bx ＋4，当a ＝14时，若对任意x 1∈(0，2)，存在x 2∈[1，2]，使f (x 1)≥g (x 2)，求实数b 的取值范围.【训练2】 (2015·秦皇岛模拟)已知函数f (x )＝ln x ＋x 2－ax (a 为常数).(1)若x ＝1是函数f (x )的一个极值点，求a 的值；(2)当0＜a ≤2时，试判断f (x )的单调性；(3)若对任意的a ∈(1，2)，x 0∈[1，2]，不等式f (x 0)＞m ln a 恒成立，求实数m 的取值范围.1.不等式恒成立、能成立问题常用解法有： (1)分离参数后转化为最值，不等式恒成立问题在变量和参数易于分离的情况下，采用分离参数转化为函数的最值问题，形如a ＞f (x )max 或a ＜f (x )min .(2)直接转化为函数的最值问题，在参数难于分离的情况下，直接转化为含参函数的最值问题，伴有对参数的分类讨论.(3)数形结合.2.利用导数证明不等式的基本步骤(1)作差或变形；(2)构造新的函数h (x )；(3)利用导数研究h (x )的单调性或最值； (4)根据单调性及最值，得到所证不等式.3.导数在综合使用中转化和化归思想的常见类型 (1)把不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题； (2)把证明不等式问题转化为函数的单调性问题； (3)把方程解的问题转化为函数的零点问题.一、选择题1.已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋3m ，x ∈[0，＋∞)，若f (x )＋5≥0恒成立，则实数m 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫179，＋∞ B.⎝⎛⎭⎫179，＋∞C.(－∞，2]D.(－∞，2)2.若存在正数x 使2x (x －a )＜1成立，则a 的取值范围是( ) A.(－∞，＋∞) B.(－2，＋∞) C.(0，＋∞) D.(－1，＋∞)3.(2015·合肥模拟)当x ∈[－2，1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( )。

《创新设计》2016高考数学(浙江专用,理科)二轮专题精讲：专题一函数不等式 1-2

知识整合·方法提炼热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华专题训练·对接高考
热点二函数与方程的综合应用
【例 2】 (2015·天津卷)已知函数 f(x)＝2x－－|x2|，2，x≤x＞2，2，函数 g(x)
＝b－f(2－x)，其中 b∈R，若函数 y＝f(x)－g(x)恰有 4 个零点，
则 b 的取值范围是
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• 1．函数与方程 • 函数f(x)有零点⇔方程f(x)＝0有根⇔函数
f(x)的图象与x轴有交点． • 2．函数综合题的求解往往应用多种知识和技
能．因此，必须全面掌握有关的函数知识，并且严谨审题，弄清题目的已知条件，尤其要挖掘题目中的隐含条件．要认真分析，处理好各种关系，把握问题的主线，运用相关的知识和方法逐步化归为基本问题来解决．
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(2)当 0<x≤500 时，f(x)＝－20x0200＋41090x－12＝－20 1000(x－475)2＋33425，故当 x＝475 时，f(x)max＝33425. 当 x>500 时，f(x)＝12－4100x<12－54＝33424<33425. 故当该公司的年产量为 475 件时，当年获得的利润最大.
与函数有关的应用题，经常涉及到物价、路程、产值、环保等
实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题．解
答这类问题的关键是确切的建立相关函数解析式，然后应用函
数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答．
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2016版优化方案高考数学(浙江版·理科)二轮专题复习课件第一部分专题一集合、常用逻辑用语、函

－
足 f(x)≤2. 当 x≥ 1 时，x ≤ 2，x≤ 23＝ 8，所以 1≤x≤ 8. 综上可知 x∈ (－∞，8]．
1 3
2．已知函数 f(x)与 g(x)的图象关于直线 x＝ 2 对称，若 f(x)＝
1 ， 1 ( －∞，－ 1) ∪ g（x） 4 4x－15，则不等式 ≥ 0 的解集是 _________________ ．
方法归纳不等式的求解技巧 (1)对于一元二次不等式，应先化为一般形式 ax2＋ bx＋ c＞ 0(a≠ 0)，再求相应一元二次方程 ax2＋ bx＋ c＝0(a≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与 x 轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集． (2)解简单的分式、指数、对数不等式的基本思想是把它们等价转化为整式不等式 (一般为一元二次不等式 )求解．
(3)容易忽视使用基本不等式求最值的条件，即“一正、二定、三相等”，导致错解，如求函数 f(x)＝ x ＋2＋
2
1 x ＋2
2
的最
3 值，就不能利用基本不等式求解最值；求解函数 y＝ x＋ (x<0) x 时应先转化为正数再求解． (4)解线性规划问题，要注意边界的虚实；注意目标函数中 y 的系数的正负；注意最优整数解．
1． (2014· 高考课标全国卷Ⅰ )设函数 f(x)＝
x 1 e ，x<1，
－
x ， x≥ 1，
1 3
则使
(－∞，8] 得 f(x)≤2 成立的 x 的取值范围是 ______________ ．
解析：当 x<1 时，x－1<0， ex 1<e0＝ 1≤ 2，所以当 x<1 时满
围，便可求出不等式的解集． (2)利用换元法与函数的单调性求解．

浙江省2016届高三数学专题复习-专题一-函数、不等式及其应用过关提升-理

专题一函数、不等式及其应用专题过关·提升卷第Ⅰ卷 (选择题)一、选择题1．(2015·全国卷Ⅱ)已知集合A ＝{－2，－1，0，1，2}，B ＝{x |(x －1)(x ＋2)<0}，则A ∩B ＝( ) A ．{－1，0} B ．{0，1} C ．{－1，0，1}D ．{0，1，2}2．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上是减函数的是( ) A ．y ＝－x 3B ．y ＝2|x |C ．y ＝－lg|x |D ．y ＝e x－e －x3．设p ：|2a －1|<1，q ：f (x )＝log a (1－x )在(－∞，1)上是增函数，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．充要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分又不必要条件4．(2015·湖南高考)设函数f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，则f (x )是( ) A ．奇函数，且在(0，1)上是增函数 B ．奇函数，且在(0，1)上是减函数 C ．偶函数，且在(0，1)上是增函数 D ．偶函数，且在(0，1)上是减函数5．(2015·湖南高考)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥－1，2x －y ≤1，y ≤1，则z ＝3x －y 的最小值为( )A ．－7B ．－1C ．1D ．26．(2015·天津高考)已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x －m |－1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f (log 0.53)，b＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a <b <c B ．a <c <b C ．c <a <bD ．c <b <a7．设函数g (x )＝|x ＋2|＋1，φ(x )＝kx ，若函数f (x )＝g (x )－φ(x )仅有两个零点，则实数k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1 C.()－∞，－1D.⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12 8．若函数y ＝f (x )(x ∈A )满足：∃x 0∈A ，使x 0＝f [f (x 0)]成立，则称“x 0是函数y ＝f (x )的稳定点”．若x 0是函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x（0<x <1），1－log 2 x （1<x <2）的稳定点，则x 0的取值为( )A. 2B.12C.12或 2 D.22或 2 第Ⅱ卷 (非选择题)二、填空题9．(2015·全国卷Ⅰ)若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则实数a ＝________．10．(2015·全国卷Ⅰ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －y ≤0，x ＋y －4≤0，则yx的最大值为________．11．(2015·福建高考)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x ＞2(a ＞0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．12．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，－x 2，x ≥0.若f (f (a ))≤2，则实数a 的取值范围是________．13．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，4x ，x ≤0，则f (f (－1))＝________；若函数g (x )＝f (x )－k 存在两个零点，则实数k 的取值范围是________．14．已知f (x )是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0，3)时，f (x )＝|x 2－2x ＋12|.若函数y ＝f (x )－a 在区间[－3，4]上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是________． 15．设x ，y 为实数，若4x 2＋y 2＋xy ＝1，则2x ＋y 的最大值是________．三、解答题16．(2015·温州模拟)已知函数f (x )＝－x |x －a |＋1(x ∈R )． (1)当a ＝1时，求使f (x )＝x 成立的x 的值；(2)当a ∈(0，3)，求函数y ＝f (x )在x ∈[1，2]上的最大值．17．(2015·杭州七校联考)设向量p ＝(x ，1)，q ＝(x ＋a ，2)，其中x ∈R ，函数f (x )＝p·q . (1)若不等式f (x )≤0的解集为[1，2]，求不等式f (x )≥1－x 2的解集；(2)若函数g (x )＝f (x )＋x 2＋1在区间(1，2)上有两个不同的零点，求实数a 的取值范围．18．已知函数f (x )＝2x－12|x |. (1)若f (x )＝2，求x 的值；(2)若2tf (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈[1，2]恒成立，求实数m 的取值范围．19．(2015·杭州高级中学模拟)已知f (x )＝2x 2－tx ，且|f (x )|＝2有且仅有两个不同的实根α和β(α<β)．(1)求实数t 的取值范围；(2)若x 1、x 2∈[α，β]，且x 1≠x 2，求证：4x 1x 2－t (x 1＋x 2)－4<0；(3)设g (x )＝4x －tx 2＋1，对于任意x 1、x 2∈[α，β]上恒有|g (x 1)－g (x 2)|≤λ(β－α)成立，求λ的取值范围．20．(2015·金华一中模拟)已知函数f (x )＝x 2＋2x |x －a |，其中a ∈R . (1)求函数f (x )的单调区间；(2)若不等式4≤f (x )≤16在x ∈[1，2]上恒成立，求a 的取值范围．专题过关·提升卷1．A [由A ＝{－2，－1，0，1，2}，B ＝{x |(x －1)(x ＋2)<0}＝{x |－2<x <1}，得A ∩B ＝{－1，0}．] 2．C [选项A ，D 中，y ＝－x 3为奇函数，y ＝e x －e －x 也为奇函数．又y ＝2|x |＝2x(x >0)是增函数，B 不满足．易知y ＝－lg|x |是偶函数，且当x >0时，y ＝－lg x 为减函数．] 3．B [p ：|2a －1|<1⇔0<a <1.q ：f (x )在(－∞，1)内是增函数⇔0<a <1.∴p 是q 的充要条件．]4．A [易知函数定义域为(－1，1)，f (－x )＝ln(1－x )－ln(1＋x )＝－f (x )，故函数f (x )为奇函数，又f (x )＝ln 1＋x 1－x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－2x －1，由复合函数单调性判断方法知，f (x )在(0，1)上是增函数，故选A.] 5．A [不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥－1，2x －y ≤1，y ≤1表示的平面区域如图所示，平移直线y ＝3x －z ，过点M (－2，1)时，直线的截距最大，此时z 有最小值、∴z min ＝3×(－2)－1＝－7.]6．C [因为函数f (x )＝2|x －m |－1为偶函数可知，m ＝0，所以f (x )＝2|x |－1.当x >0时，f (x )为增函数，log 0.53＝－log 23， ∴log 25>|－log 0.53|>0，∴b ＝f (log 25)>a ＝f (log 0.53)>c ＝f (2m )．]7．D [在同一坐标系内作函数y ＝g (x )与y ＝φ(x )的图象，依题意知，两个函数的图象有两个交点．则直线φ(x )＝kx 应介于两直线y ＝－x 与y ＝－x 2之间，应有－1<k <－12.]8．C [(1)当x 0∈(0，1)时，1<2x 0<2. ∴f [f (x 0)]＝f (2x 0)＝1－log 22x0＝x 0，则x 0＝12.(2)当x 0∈(1，2)时，0<1－log 2x 0<1， ∴f [f (x 0)]＝f (1－log 2x 0)＝21－log 2x＝x 0，则x 0＝ 2.因此x 0的取值为12或 2.]9．1 [f (x )为偶函数，则ln(x ＋a ＋x 2)为奇函数，所以ln(x ＋a ＋x 2)＋ln(－x ＋a ＋x 2)＝0，即ln(a ＋x 2－x 2)＝0，则ln a ＝0，a ＝1.]10．3 [由约束条件可画出可行域，利用y x的几何意义求解．画出可行域如图阴影所示，∵y x表示过点(x ，y )与原点(0，0)的直线的斜率， ∴点(x ，y )在点A 处时y x最大．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x ＋y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3.∴A (1，3)．∴y x的最大值为3.]11．(1，2] [由题意f (x )的图象如图，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，3＋log a 2≥4，∴1＜a ≤2.]12．(－∞，2] [由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f （a ）<0，f 2（a ）＋f （a ）≤2或⎩⎪⎨⎪⎧f （a ）≥0，－f 2（a ）≤2，解之得f (a )≥－2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a <0，a 2＋a ≥－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，－a 2≥－2，解得a ≤ 2.]13．－2 (0，1] [f (f (－1))＝f (4－1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝log 214＝－2.令f (x )－k ＝0，即f (x )＝k ，设y ＝f (x )，y ＝k ，画出图象，如图所示，函数g (x )＝f (x )－k 存在两个零点，即y ＝f (x )与y ＝k 的图象有两个交点，由图象可得实数k 的取值范围为(0，1]．]14.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 [∵当x ∈[0，3)时，f (x )＝|x 2－2x ＋12|，作出函数的图象如图所示，可知f (0)＝f (1)＝12，f (3)＝72.若使得f (x )－a ＝0在x ∈[－3，4]上有10个零点，由于f (x )的周期为3，则只需直线y ＝a 与函数f (x )＝|x 2－2x ＋12|，x ∈[0，3)应有4个交点，则有a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.]15.2105 [∵4x 2＋y 2＋xy ＝1，∴(2x ＋y )2－3xy ＝1，即(2x ＋y )2－32·2xy ＝1，∴(2x ＋y )2－32·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋y 22≤1，解之得(2x ＋y )2≤85，即2x ＋y ≤2105.等号当且仅当2x ＝y ＞0，即x ＝1010，y ＝105时成立．] 16．解 (1)当a ＝1时，f (x )＝－x |x －1|＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ＋1，x ≥1，x 2－x ＋1，x <1，由f (x )＝x 可得：⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ＋1＝x ，x ≥1，x 2－x ＋1＝x ，x <1.解得x ＝1，(2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋ax ＋1，x ≥a ，x 2－ax ＋1，x <a 作出示意图，注意到几个关键点的值：f (0)＝f (a )＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝1－a 24，当0<a ≤1时，f (x )在[1，2]上单调递减，函数的最大值为f (1)＝a ； 1<a <2时，f (x )在[1，a ]上单调递增，在[a ，2]上单调递减，函数的最大值为f (a )＝1；当2≤a <3时，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，a 2上单调递减，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤a2，2上单调递增，且直线x ＝a 2是函数的对称轴，由于⎝ ⎛⎭⎪⎫2－a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a2－1＝3－a >0，故函数的最大值为f (2)＝5－2a .综上可得，f (x )max ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，0<a ≤1，1，1<a <2，5－2a ，2≤a <3.17．解 (1)f (x )＝p·q ＝x (x ＋a )＋2＝x 2＋ax ＋2，不等式f (x )≤0的解集为[1，2]，得a ＝－3，于是f (x )＝x 2－3x ＋2.由f (x )≥1－x 2得1－x 2≤x 2－3x ＋2，解得x ≤12或x ≥1，∴不等式f (x )≥1－x 2的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≤12或x ≥1.(2)g (x )＝2x 2＋ax ＋3在区间(1，2)上有两个不同的零点，则⎩⎪⎨⎪⎧g （1）＞0，g （2）＞0，1＜－a4＜2，a 2－24＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋5＞0，2a ＋11＞0，－8＜a ＜－4，a ＜－26或a ＞26，解得－5＜a ＜－2 6. ∴a 的取值范围是(－5，－26)． 18．解 (1)当x ≥0时，f (x )＝2x－12x ＝2，则（2x）2－12x＝2，即(2x )2－2·2x－1＝0，解得2x＝1＋2或2x＝1－2(舍去)，则x ＝log 2(1＋2)．当x <0时，f (x )＝2x－12－x ＝2，即2x－2x ＝2，无解．故x ＝log 2(1＋2)．(2)因为2tf (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈[1，2]恒成立，而f (t )在区间[1，2]上恒为正数，故m ≥－2t·f （2t ）f （t ）对于t ∈[1，2]恒成立．令y ＝－2t ·f （2t ）f （t ）＝－2t·⎝ ⎛⎭⎪⎫22t －122t 2t－12t＝－(22t ＋1)，函数y ＝－(22t＋1)在R 上为减函数，当t ＝1时，y max ＝－22－1＝－5.所以m ≥y max ＝－5，故m 的取值范围为[－5，＋∞)．19．(1)解根据f (x )＝2x 2－tx 在x 轴下方的图象沿x 轴翻折后顶点值t 28<2，得－4<t <4，即有t 的取值范围是(－4，4)．(2)证明由韦达定理知α＋β＝t2，αβ＝－1，不妨设α<x 1<x 2<β，由于x 1、x 2∈[α，β]，故(x 1－α)(x 2－β)≤0，x 1x 2－(αx 2＋βx 1)＋αβ≤0，即4x 1x 2－4(αx 2＋βx 1)－4≤0.4x 1x 2－t (x 1＋x 2)－4≤4(αx 2＋βx 1)－t (x 1＋x 2)＝4(αx 2＋βx 1)－2(α＋β)(x 1＋x 2)＝2(αx 2＋βx 1)－2(αx 1＋βx 2)＝2(x 2－x 1)(α－β)<0. (3)解任取x 1、x 2∈[α，β]，x 1<x 2，则g (x 1)－g (x 2)＝4x 1x 2－t （x 1＋x 2）－4（x 21＋1）（x 22＋1）(x 2－x 1)<0，所以g (x )在[α，β]上是增函数，故|g (x 1)－g (x 2)|≤λ(β－α)等价于λ≥g （β）－g （α）β－a＝－4αβ－t （α＋β）－4（α2＋1）（β2＋1）＝2，故λ≥2.20．解 (1)因为f (x )＝x 2＋2x |x －a |＝⎩⎨⎧－（x －a ）2＋a 2，x ≤a ，3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 32－a23，x >a ，当a ≥0时，f (x )在(－∞，a )和(a ，＋∞)上均递增；当a <0时(如图)，f (x )在(－∞，a )和⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，＋∞上递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a3上递减．(2)由题意知，只需f (x )min ≥4，f (x )max ≤16，首先，由(1)可知，f (x )在x ∈[1，2]上递增，则f (x )min ＝f (1)＝1＋2|1－a |≥4，解得a ≤－12或a ≥52；其次，当a ≥52时，f (x )在R 上递增，故f (x )max ＝f (2)＝4a －4≤16，解得52≤a ≤5；当a ≤－12时，f (x )在[1，2]上递增，故f (x )max ＝f (2)＝12－4a ≤16，解得－1≤a ≤－12.1 2或52≤a≤5.综上：－1≤a≤－。

高考数学二轮复习(浙江专用)习题专题一函数与导数、不等式第1讲Word版含答案

一、选择题1.(2016 临·沂模拟 )以下函数中，既是奇函数，又在区间( －1，1)上单一递减的函数是 ()A.f(x)＝sin xB.f(x)＝ 2cos x＋1C.f(x)＝2x－ 11－x D.f(x)＝ ln1＋x分析由函数 f(x)为奇函数清除 B、C，又 f(x)＝sin x 在(－1，1)上单一递加，排除 A，应选 D.答案D2.(2015 湖·南卷 )设函数 f(x)＝ln(1＋x)－ ln(1－x)，则 f(x)是()A.奇函数，且在 (0，1) 上是增函数B.奇函数，且在 (0，1)上是减函数C.偶函数，且在 (0， 1)上是增函数D.偶函数，且在 (0，1) 上是减函数分析易知函数定义域为 (－1， 1)， f(－ x)＝ ln(1－ x)－ln(1＋ x)＝－ f(x)，故函数f(x)为奇函数，又 f(x)＝ ln 1＋x－ 1－2＝lnx－ 1，由复合函数单一性判断方法知，1－xf(x)在(0，1)上是增函数，应选 A.答案A3.已知二次函数f(x)＝x2－ bx＋a 的部分图象如下图，则函数 g(x)＝ e x＋f′(x)的零点所在的区间是 ()A.( －1，0)B.(0，1)C.(1，2)D.(2 ，3)分析由函数 f(x)的图象可知， 0＜f(0)＝a＜1，f(1)＝1－b＋a＝0，所以 1＜b＜2.又f′(x)＝2x－ b，所以 g(x)＝ e x＋2x－b，所以 g′(x)＝e x＋2＞0，即 g(x)在R上单调递加，又 g(0)＝1－b＜0，g(1)＝e＋ 2－ b＞ 0，依据函数的零点存在性定理可知，函数 g(x)的零点所在的区间是 (0，1)，应选 B.答案Bx34.(2016 西·安八校联考 )函数 y＝3x－1的图象大概是 ()分析由 3x－≠0得≠ ，1x0∴函数y＝xx3的定义域为 { x|x≠ 0} ，可清除 A ；－13（－ 1）33当 x＝－ 1 时， y＝1＝2＞ 0，可清除 B；3－ 14当 x＝ 2 时， y＝1，当 x＝ 4 时， y＝5，但从 D 中函数图象能够看出函数在(0，＋∞)上是单一递加函数，二者矛盾，可清除 D. 应选 C.答案C5.(2015 全·国Ⅱ卷 )如图，长方形 ABCD 的边 AB＝ 2，BC＝ 1，O 是 AB 的中点，点 P 沿着边 BC，CD 与 DA 运动，记∠ BOP＝x.将动点 P 到 A，B 两点距离之和表示为 x 的函数 f(x)，则 y＝f(x)的图象大概为 ()分析π△中，＝当点 P 沿着边 BC 运动，即 0≤ x≤时，在4Rt POB|PB||OB|tan∠POB＝tan x，在 Rt △PAB 中， |PA|＝22＝2|AB| ＋ |PB|4＋ tan x，则 f(x)＝|PA|＋|PB|＝4＋tan2x＋tan x，它不是对于 x 的一次函数，图象不是线段，故ππ2π π清除 A 和 C；当点 P 与点 C 重合，即 x＝4时，由以上得 f4＝4＋tan 4＋ tan4π＝5＋1，又当点 P 与边 CD 的中点重合，即 x＝2时，△PAO 与△PBO 是全等的π＝|PA|＋|PB|＝2＋2＝22，知 f ππ腰长为 1 的等腰直角三角形，故 f＜f，224故又可清除 D.综上，选 B.答案B二、填空题6.(2016 浙·江卷 )已知 a＞ b＞ 1.若 log a b＋log b a＝52，a b＝ b a，则 a＝________，b＝________.1 52b2 b 分析设 log b a＝t，则 t＞1，因为 t＋t＝2，解得 t＝ 2，所以 a＝b ，所以 a ＝ (b )2b a2＝b ＝b ，∴a＝2b， b ＝2b，又 b＞1，解得 b＝2，a＝4.已知函数x－[x] ，x≥0，f(x)＝此中 [x]表示不超出 x 的最大整数 .若直线 y7.f（x＋1）， x＜0，＝k(x＋1)(k＞0)与函数 y＝ f(x)的图象恰有三个不一样的交点，则实数k 的取值范围是 ________.分析依据 [x] 表示的意义可知，当 0≤x＜ 1 时， f(x)＝x，当 1≤x＜2 时， f(x)＝ x －1，当 2≤ x＜ 3时， f(x)＝x－2，以此类推，当 k≤x＜k＋1 时， f(x)＝x－k，k∈Z ，当－1≤x＜0时，f(x)＝x＋1，作出函数f(x)的图象如图，直线y＝k(x＋1)过点(－1，0)，当直线经过点 (3，1)时恰有三个交点，当直线经过点(2，1)时恰巧有两1 1个交点，在这两条直线之间时有三个交点，故k∈4，3 .1 1答案4，32x－a，x＜1，8.(2016 海·淀二模 )设函数 f(x)＝4（x－ a）（ x－2a）， x≥ 1.(1)若 a＝1，则 f(x)的最小值为 ________；(2)若 f(x)恰有 2 个零点，则实数 a 的取值范围是 ________.2x－ 1， x<1，分析(1)当 a＝1 时， f(x)＝4（x－1）（ x－2）， x≥ 1.当 x<1 时， f(x)＝ 2x－1∈(－ 1， 1)，当 x≥1 时， f(x)＝4(x2－ 3x＋2)＝ 4 x－32≥－1，－124∴f(x)min＝－ 1.(2)因为 f(x)恰有 2 个零点，分两种状况议论：当 f(x)＝ 2x－a，x<1 没有零点时， a≥2 或 a≤ 0.当 a≥2 时， f(x)＝4(x－a)(x－ 2a)， x≥ 1 时，有 2 个零点；当 a≤0 时， f(x)＝4(x－a)(x－ 2a)， x≥ 1 时无零点 .所以 a≥ 2 知足题意 .当 f(x)＝ 2x－a，x<1 有一个零点时，0<a<2.1f(x)＝4(x－a)(x－2a)， x≥1 有一个零点，此时a<1, 2a≥ 1，所以2≤a<1.1综上知实数 a 的取值范围是a|2≤a<1或a≥2 .1答案(1)－1(2) 2，1 ∪[2，＋∞ )三、解答题9.已知函数 f(x)＝mx2－ 2x＋1 有且仅有一个正实数的零点，务实数 m 的取值范围 .解当 m＝0 时， f(x)＝－ 2x＋ 1，它明显有一个为正实数的零点.当 m≠ 0 时，函数 f(x)＝mx2－ 2x＋1 的图象是抛物线，且与y 轴的交点为 (0，1)，1由 f(x)有且仅有一个正实数的零点，则得：①m＞0，或②x＝m1＜0，x＝＝0解①，得 m＝1；解②，得 m＜0.综上所述， m 的取值范围是 (－∞， 0]∪{1}.22(1)求函数 f(x)的极值；(2)设函数 k(x)＝f(x)－h(x)，若函数 k(x)在[1 ，3]上恰有两个不一样零点，务实数 a 的取值范围 .2解(1)函数 f(x)的定义域为 (0，＋∞ )，令 f′(x)＝2x－x＝ 0，得 x＝1.当 x∈(0， 1)时， f′(x) ＜0，当 x∈(1，＋∞ )时， f′(x)＞0，所以函数 f(x)在 x＝1 处获得极小值为 1，无极大值 .(2)k(x)＝ f(x)－h(x)＝x－2ln x－a(x＞0)，2所以 k′(x)＝1－x，令 k′(x)＞ 0，得 x＞2，所以 k(x)在[1， 2)上单一递减，在 (2，3] 上单一递加，所以当 x＝2 时，函数 k(x)获得最小值， k(2)＝2－2ln 2－a，因为函数 k(x)＝ f(x)－h(x)在区间 [1 ，3] 上恰有两个不一样零点 .即有 k(x)在[1， 2)和(2，3] 内各有一个零点，k（1）≥ 0，1－a≥0，所以 k（2）＜ 0，即有2－2ln 2－a＜0，k（3）≥ 0，3－2ln 3－a≥0，解得 2－ 2ln 2＜ a≤ 3－ 2ln 3.所以实数 a 的取值范围为 (2－ 2ln 2， 3－ 2ln 3].x－ m(1)若对随意 x∈R有 f(x)≥0 建立，求 m 的取值范围；(2)当 m＞1 时，判断 f(x)在[0 ，2m] 上零点的个数，并说明原因.解 (1)f′(x)＝e x－m－1，令 f′(x)＝0，得 x＝m.故当 x∈ (－∞， m)时， e x－m＜ 1， f′(x)＜0，f(x)单一递减；当 x∈(m，＋∞ )时， e x－m＞1，f′(x)＞ 0， f(x) 单一递加 .∴当 x＝ m 时， f(m)为极小值，也是最小值 .令 f(m)＝1－m≥0，得 m≤1，即若对随意 x∈R有 f(x)≥ 0 建立，则 m 的取值范围是 (－∞， 1].(2)由 (1)知 f(x)在[0，2m] 上至多有两个零点，当m＞1 时， f(m)＝1－ m＜ 0.∵f(0)＝e－m＞ 0， f(0)f(m)＜0，∴f(x)在(0， m)上有一个零点 .∵f(2m)＝e m－2m，令 g(m)＝e m－ 2m，∵当 m＞1 时， g′ (m)＝e m－2＞0，∴g(m)在(1，＋∞ )上单一递加，∴g(m)＞g(1)＝ e－2＞0，即 f(2m)＞0.∴f(m) ·f(2m)＜0，∴f(x)在(m，2m)上有一个零点 .∴故 f(x)在[0，2m] 上有两个零点 .。

[推荐学习]浙江省2016届高三数学专题复习专题一函数、不等式及其应用过关提升理

专题一函数、不等式及其应用专题过关·提升卷第Ⅰ卷 (选择题)一、选择题1．(2015·全国卷Ⅱ)已知集合A ＝{－2，－1，0，1，2}，B ＝{x |(x －1)(x ＋2)<0}，则A ∩B ＝( ) A ．{－1，0} B ．{0，1} C ．{－1，0，1}D ．{0，1，2}2．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上是减函数的是( ) A ．y ＝－x 3B ．y ＝2|x |C ．y ＝－lg|x |D ．y ＝e x－e －x3．设p ：|2a －1|<1，q ：f (x )＝log a (1－x )在(－∞，1)上是增函数，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．充要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分又不必要条件4．(2015·湖南高考)设函数f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，则f (x )是( ) A ．奇函数，且在(0，1)上是增函数 B ．奇函数，且在(0，1)上是减函数 C ．偶函数，且在(0，1)上是增函数 D ．偶函数，且在(0，1)上是减函数5．(2015·湖南高考)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥－1，2x －y ≤1，y ≤1，则z ＝3x －y 的最小值为( )A ．－7B ．－1C ．1D ．26．(2015·天津高考)已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x －m |－1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f (log 0.53)，b ＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a <b <cB ．a <c <bC ．c <a <bD ．c <b <a7．设函数g (x )＝|x ＋2|＋1，φ(x )＝kx ，若函数f (x )＝g (x )－φ(x )仅有两个零点，则实数k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1 C.()－∞，－1D.⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12 8．若函数y ＝f (x )(x ∈A )满足：∃x 0∈A ，使x 0＝f [f (x 0)]成立，则称“x 0是函数y ＝f (x )的稳定点”．若x 0是函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x（0<x <1），1－log 2 x （1<x <2）的稳定点，则x 0的取值为( )A. 2B.12C.12或 2 D.22或 2 第Ⅱ卷 (非选择题)二、填空题9．(2015·全国卷Ⅰ)若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则实数a ＝________．10．(2015·全国卷Ⅰ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －y ≤0，x ＋y －4≤0，则yx的最大值为________．11．(2015·福建高考)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x ＞2(a ＞0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．12．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，－x 2，x ≥0.若f (f (a ))≤2，则实数a 的取值范围是________． 13．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，4x ，x ≤0，则f (f (－1))＝________；若函数g (x )＝f (x )－k 存在两个零点，则实数k 的取值范围是________．14．已知f (x )是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0，3)时，f (x )＝|x 2－2x ＋12|.若函数y ＝f (x )－a 在区间[－3，4]上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是________． 15．设x ，y 为实数，若4x 2＋y 2＋xy ＝1，则2x ＋y 的最大值是________．三、解答题16．(2015·温州模拟)已知函数f (x )＝－x |x －a |＋1(x ∈R )． (1)当a ＝1时，求使f (x )＝x 成立的x 的值；(2)当a ∈(0，3)，求函数y ＝f (x )在x ∈[1，2]上的最大值．17．(2015·杭州七校联考)设向量p ＝(x ，1)，q ＝(x ＋a ，2)，其中x ∈R ，函数f (x )＝p·q . (1)若不等式f (x )≤0的解集为[1，2]，求不等式f (x )≥1－x 2的解集；(2)若函数g (x )＝f (x )＋x 2＋1在区间(1，2)上有两个不同的零点，求实数a 的取值范围．18．已知函数f (x )＝2x－12|x |. (1)若f (x )＝2，求x 的值；(2)若2tf (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈[1，2]恒成立，求实数m 的取值范围．19．(2015·杭州高级中学模拟)已知f (x )＝2x 2－tx ，且|f (x )|＝2有且仅有两个不同的实根α和β(α<β)． (1)求实数t 的取值范围；(2)若x 1、x 2∈[α，β]，且x 1≠x 2，求证：4x 1x 2－t (x 1＋x 2)－4<0；(3)设g (x )＝4x －tx 2＋1，对于任意x 1、x 2∈[α，β]上恒有|g (x 1)－g (x 2)|≤λ(β－α)成立，求λ的取值范围．20．(2015·金华一中模拟)已知函数f (x )＝x 2＋2x |x －a |，其中a ∈R . (1)求函数f (x )的单调区间；(2)若不等式4≤f (x )≤16在x ∈[1，2]上恒成立，求a 的取值范围．专题过关·提升卷1．A [由A ＝{－2，－1，0，1，2}，B ＝{x |(x －1)(x ＋2)<0}＝{x |－2<x <1}，得A ∩B ＝{－1，0}．]2．C [选项A ，D 中，y ＝－x 3为奇函数，y ＝e x －e －x 也为奇函数．又y ＝2|x |＝2x(x >0)是增函数，B 不满足．易知y ＝－lg|x |是偶函数，且当x >0时，y ＝－lg x 为减函数．] 3．B [p ：|2a －1|<1⇔0<a <1.q ：f (x )在(－∞，1)内是增函数⇔0<a <1.∴p 是q 的充要条件．]4．A [易知函数定义域为(－1，1)，f (－x )＝ln(1－x )－ln(1＋x )＝－f (x )，故函数f (x )为奇函数，又f (x )＝ln 1＋x 1－x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－2x －1，由复合函数单调性判断方法知，f (x )在(0，1)上是增函数，故选A.]5．A [不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥－1，2x －y ≤1，y ≤1表示的平面区域如图所示，平移直线y ＝3x －z ，过点M (－2，1)时，直线的截距最大，此时z 有最小值、∴z min ＝3×(－2)－1＝－7.]6．C [因为函数f (x )＝2|x －m |－1为偶函数可知，m ＝0，所以f (x )＝2|x |－1.当x >0时，f (x )为增函数，log 0.53＝－log 23， ∴log 25>|－log 0.53|>0，∴b ＝f (log 25)>a ＝f (log 0.53)>c ＝f (2m )．]7．D [在同一坐标系内作函数y ＝g (x )与y ＝φ(x )的图象，依题意知，两个函数的图象有两个交点．则直线φ(x )＝kx 应介于两直线y ＝－x 与y ＝－x 2之间，应有－1<k <－12.]8．C [(1)当x 0∈(0，1)时，1<2x 0<2. ∴f [f (x 0)]＝f (2x 0)＝1－log 22x0＝x 0，则x 0＝12.(2)当x 0∈(1，2)时，0<1－log 2x 0<1， ∴f [f (x 0)]＝f (1－log 2x 0)＝21－log 2x＝x 0，则x 0＝ 2.因此x 0的取值为12或 2.]9．1 [f (x )为偶函数，则ln(x ＋a ＋x 2)为奇函数，所以ln(x ＋a ＋x 2)＋ln(－x ＋a ＋x 2)＝0，即ln(a ＋x 2－x 2)＝0，则ln a ＝0，a ＝1.]10．3 [由约束条件可画出可行域，利用y x的几何意义求解．画出可行域如图阴影所示，∵y x表示过点(x ，y )与原点(0，0)的直线的斜率， ∴点(x ，y )在点A 处时y x最大．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x ＋y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3.∴A (1，3)．∴y x的最大值为3.]11．(1，2] [由题意f (x )的图象如图，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，3＋log a 2≥4，∴1＜a ≤2.]12．(－∞，2] [由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f （a ）<0，f 2（a ）＋f （a ）≤2或⎩⎪⎨⎪⎧f （a ）≥0，－f 2（a ）≤2，解之得f (a )≥－2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a <0，a 2＋a ≥－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，－a 2≥－2，解得a ≤ 2.]13．－2 (0，1] [f (f (－1))＝f (4－1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝log 214＝－2.令f (x )－k ＝0，即f (x )＝k ，设y ＝f (x )，y ＝k ，画出图象，如图所示，函数g (x )＝f (x )－k 存在两个零点，即y ＝f (x )与y ＝k 的图象有两个交点，由图象可得实数k 的取值范围为(0，1]．]14.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 [∵当x ∈[0，3)时，f (x )＝|x 2－2x ＋12|，作出函数的图象如图所示，可知f (0)＝f (1)＝12，f (3)＝72.若使得f (x )－a ＝0在x ∈[－3，4]上有10个零点，由于f (x )的周期为3，则只需直线y ＝a与函数f (x )＝|x 2－2x ＋12|，x ∈[0，3)应有4个交点，则有a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.]15.2105 [∵4x 2＋y 2＋xy ＝1，∴(2x ＋y )2－3xy ＝1，即(2x ＋y )2－32·2xy ＝1，∴(2x ＋y )2－32·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋y 22≤1，解之得(2x ＋y )2≤85，即2x ＋y ≤2105.等号当且仅当2x ＝y ＞0，即x ＝1010，y ＝105时成立．] 16．解 (1)当a ＝1时，f (x )＝－x |x －1|＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ＋1，x ≥1，x 2－x ＋1，x <1，由f (x )＝x 可得：⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ＋1＝x ，x ≥1，x 2－x ＋1＝x ，x <1.解得x ＝1，(2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋ax ＋1，x ≥a ，x 2－ax ＋1，x <a 作出示意图，注意到几个关键点的值：f (0)＝f (a )＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝1－a 24，当0<a ≤1时，f (x )在[1，2]上单调递减，函数的最大值为f (1)＝a ； 1<a <2时，f (x )在[1，a ]上单调递增，在[a ，2]上单调递减，函数的最大值为f (a )＝1；当2≤a <3时，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，a 2上单调递减，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤a2，2上单调递增，且直线x ＝a 2是函数的对称轴，由于⎝ ⎛⎭⎪⎫2－a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a2－1＝3－a >0，故函数的最大值为f (2)＝5－2a .综上可得，f (x )max ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，0<a ≤1，1，1<a <2，5－2a ，2≤a <3.17．解 (1)f (x )＝p·q ＝x (x ＋a )＋2＝x 2＋ax ＋2，不等式f (x )≤0的解集为[1，2]，得a ＝－3，于是f (x )＝x 2－3x ＋2.由f (x )≥1－x 2得1－x 2≤x 2－3x ＋2，解得x ≤12或x ≥1，∴不等式f (x )≥1－x 2的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≤12或x ≥1.(2)g (x )＝2x 2＋ax ＋3在区间(1，2)上有两个不同的零点，则⎩⎪⎨⎪⎧g （1）＞0，g （2）＞0，1＜－a4＜2，a 2－24＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋5＞0，2a ＋11＞0，－8＜a ＜－4，a ＜－26或a ＞26，解得－5＜a ＜－2 6. ∴a 的取值范围是(－5，－26)． 18．解 (1)当x ≥0时，f (x )＝2x－12x ＝2，则（2x）2－12x＝2，即(2x )2－2·2x－1＝0，解得2x＝1＋2或2x＝1－2(舍去)，则x ＝log 2(1＋2)．当x <0时，f (x )＝2x－12－x ＝2，即2x－2x ＝2，无解．故x ＝log 2(1＋2)．(2)因为2tf (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈[1，2]恒成立，而f (t )在区间[1，2]上恒为正数，故m ≥－2t·f （2t ）f （t ）对于t ∈[1，2]恒成立．令y ＝－2t ·f （2t ）f （t ）＝－2t·⎝ ⎛⎭⎪⎫22t －122t 2t－12t＝－(22t ＋1)，函数y ＝－(22t＋1)在R 上为减函数，当t ＝1时，y max ＝－22－1＝－5.所以m ≥y max ＝－5，故m 的取值范围为[－5，＋∞)． 19．(1)解根据f (x )＝2x 2－tx 在x 轴下方的图象沿x 轴翻折后顶点值t 28<2，得－4<t <4，即有t 的取值范围是(－4，4)．(2)证明由韦达定理知α＋β＝t2，αβ＝－1，不妨设α<x 1<x 2<β，由于x 1、x 2∈[α，β]，故(x 1－α)(x 2－β)≤0，x 1x 2－(αx 2＋βx 1)＋αβ≤0，即4x 1x 2－4(αx 2＋βx 1)－4≤0.4x 1x 2－t (x 1＋x 2)－4≤4(αx 2＋βx 1)－t (x 1＋x 2)＝4(αx 2＋βx 1)－2(α＋β)(x 1＋x 2)＝2(αx 2＋βx 1)－2(αx 1＋βx 2)＝2(x 2－x 1)(α－β)<0.(3)解任取x 1、x 2∈[α，β]，x 1<x 2，则g (x 1)－g (x 2)＝4x 1x 2－t （x 1＋x 2）－4（x 21＋1）（x 22＋1）(x 2－x 1)<0，所以g (x )在[α，β]上是增函数，故|g (x 1)－g (x 2)|≤λ(β－α)等价于λ≥g （β）－g （α）β－a＝－4αβ－t （α＋β）－4（α2＋1）（β2＋1）＝2，故λ≥2.20．解 (1)因为f (x )＝x 2＋2x |x －a |＝⎩⎨⎧－（x －a ）2＋a 2，x ≤a ，3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 32－a23，x >a ，当a ≥0时，f (x )在(－∞，a )和(a ，＋∞)上均递增；当a <0时(如图)，f (x )在(－∞，a )和⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，＋∞上递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a3上递减．(2)由题意知，只需f (x )min ≥4，f (x )max ≤16，首先，由(1)可知，f (x )在x ∈[1，2]上递增，则f (x )min ＝f (1)＝1＋2|1－a |≥4，解得a ≤－12或a ≥52；其次，当a ≥52时，f (x )在R 上递增，故f (x )max ＝f (2)＝4a －4≤16，解得52≤a ≤5；当a ≤－12时，f (x )在[1，2]上递增，故f (x )max ＝f (2)＝12－4a ≤16，解得－1≤a ≤－12.综上：－1≤a ≤－12或52≤a ≤5.。

高考数学二轮复习第一部分专题篇专题一集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数第四讲不等式课件理

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考点(kǎo diǎn)二
试题(shìt解í)析(jiě
考点一
考点二考点三
2．(2016·贵阳模拟)若点 A(a，b)在第一象限且在直线 x＋2y＝4 上
移动，则 log2a＋log2b( C )
A．有最大值 2
B．有最小值 1
C．有最大值 1
D．没有最大值和最小值
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考点(kǎo diǎn) (1)a＋b≥2 ab(a>0，b>0)，当且仅当 a＝b 时，等号成立；
一考点二
(2)a2＋b2≥2ab，ab≤a＋2 b2(a，b∈R)，当且仅当 a＝b 时，等号成立；
考点三
(3)ba＋ab≥2(a，b 同号且均不为零)，当且仅当 a＝b 时，等号成立；
(4)a＋1a≥2(a>0)，当且仅当 a＝1 时，等号成立；a＋1a≤－2(a<0)，当
考点三
(2)以点定域：取特殊点(x0，y0)，由 Ax0＋By0＋C 的正负即可判断 Ax＋By＋C>0(<0)表示的是直线哪一侧的平面区域．当 C 不为零
时，常取原点定域．
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考点(kǎo diǎn)三
考点(kǎo diǎn) 一
考点(kǎo diǎn) 二
考点三
2．求线性目标函数取最优解常用的两种方法 (1)平移直线法：先画可行域，然后平移目标函数图象，再求最优解． (2)检验优解法：当可行域是封闭区域时，最优解落在区间的端点或边界处，所以只需把封闭区域的端点值代入检验，即可得最
考点(kǎo diǎn) 一
考点(kǎo diǎn) 二
考点三
根据上面所做题目，请填写诊断评价

2016届高三一轮复习数学理科(浙江专用)知识梳理第六章《不等式》6.2

§6.2 一元二次不等式及其解法1．“三个二次”的关系2.(x －【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若ax ＋b >0，则x >－ba.( × )(2)不等式－x 2－5x ＋6<0的解集为{x |x <－6或x >1}．( √ ) (3)不等式x －2x ＋1≤0的解集是[－1,2]．( × )(4)若不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集是(－∞，x 1)∪(x 2，＋∞)，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根是x 1和x 2.( √ )(5)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)没有实数根，则不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为R .( × ) (6)不等式ax 2＋bx ＋c ≤0在R 上恒成立的条件是a <0且Δ＝b 2－4ac ≤0.( × )1．函数f (x )＝3x －x 2的定义域为( ) A ．[0,3]B ．(0,3)C ．(－∞，0]∪[3，＋∞)D ．(－∞，0)∪(3，＋∞)答案 A解析由3x －x 2≥0得 x (x －3)≤0，∴0≤x ≤3，∴函数f (x )＝3x －x 2的定义域为[0,3]．2．已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是⎣⎡⎦⎤－12，－13，则不等式x 2－bx －a <0的解集是( ) A ．(2,3) B ．(－∞，2)∪(3，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫13，12 D.⎝⎛⎭⎫－∞，13∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 答案 A解析由题意知－12，－13是方程ax 2－bx －1＝0的根，所以由根与系数的关系得－12＋⎝⎛⎭⎫－13＝b a ，－12×⎝⎛⎭⎫－13＝－1a .解得a ＝－6，b ＝5，不等式x 2－bx －a <0即为x 2－5x ＋6<0，解集为(2,3)．3．不等式x －3x －1≤0的解集为( )A ．{x |x <1或x ≥3}B ．{x |1≤x ≤3}C ．{x |1<x ≤3}D ．{x |1<x <3}答案 C解析原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧(x －3)(x －1)≤0，x ≠1，∴1<x ≤3.故原不等式的解集为{x |1<x ≤3}．4．已知不等式x 2－2x ＋k 2－1>0对一切实数x 恒成立，则实数k 的取值范围为______________．答案 (－∞，－2)∪(2，＋∞)解析由题意，知Δ＝4－4×1×(k 2－1)<0，即k 2>2，∴k >2或k <－ 2.题型一一元二次不等式的解法例1 求下列不等式的解集：(1)－x 2＋8x －3>0； (2)ax 2－(a ＋1)x ＋1<0.解 (1)因为Δ＝82－4×(－1)×(－3)＝52>0，所以方程－x 2＋8x －3＝0有两个不相等的实根x 1＝4－13，x 2＝4＋13. 又二次函数y ＝－x 2＋8x －3的图象开口向下，所以原不等式的解集为{x |4－13<x <4＋13}． (2)若a ＝0，原不等式等价于－x ＋1<0，解得x >1. 若a <0，原不等式等价于(x －1a )(x －1)>0，解得x <1a 或x >1.若a >0，原不等式等价于(x －1a )(x －1)<0.①当a ＝1时，1a ＝1，(x －1a )(x －1)<0无解；②当a >1时，1a <1，解(x －1a )(x －1)<0得1a <x <1；③当0<a <1时，1a >1，解(x －1a )(x －1)<0得1<x <1a .综上所述：当a <0时，解集为{x |x <1a或x >1}；当a ＝0时，解集为{x |x >1}；当0<a <1时，解集为{x |1<x <1a }；当a ＝1时，解集为∅；当a >1时，解集为{x |1a<x <1}．思维升华含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论．(1)若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论；(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，确定不等式是不是二次不等式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式； (3)对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集．(1)若不等式ax 2＋bx ＋2>0的解为－12<x <13，则不等式2x 2＋bx ＋a <0的解集是________．(2)不等式x －12x ＋1≤0的解集是________．答案 (1)(－2,3) (2)(－12，1]解析 (1)由题意，知－12和13是一元二次方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根且a <0，所以⎩⎨⎧－12＋13＝－b a，－12×13＝2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝－2.则不等式2x 2＋bx ＋a <0即2x 2－2x －12<0，其解集为{x |－2<x <3}．(2)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)(2x ＋1)≤0，2x ＋1≠0，(*)由(*)解得－12<x ≤1.题型二一元二次不等式的恒成立问题例2 设函数f (x )＝mx 2－mx －1.(1)若对于一切实数x ，f (x )<0恒成立，求m 的取值范围； (2)若对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围．解 (1)要使mx 2－mx －1<0恒成立，若m ＝0，显然－1<0；若m ≠0，则⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝m 2＋4m <0⇒－4<m <0. 所以－4<m ≤0.(2)要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立，即 m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立．有以下两种方法：方法一令g (x )＝m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]．当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数，所以g (x )max ＝g (3)⇒7m －6<0，所以m <67，所以0<m <67；当m ＝0时，－6<0恒成立；当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数，所以g (x )max ＝g (1)⇒m －6<0，所以m <6，所以m <0. 综上所述：m 的取值范围是{m |m <67}．方法二因为x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34>0，又因为m (x 2－x ＋1)－6<0，所以m <6x 2－x ＋1.因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝⎛⎭⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m <67即可．所以，m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m |m <67.思维升华 (1)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方．另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值．(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．(1)若不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( ) A ．[－1,4]B ．(－∞，－2]∪[5，＋∞)C ．(－∞，－1]∪[4，＋∞)D ．[－2,5](2)已知a ∈[－1,1]时不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a >0恒成立，则x 的取值范围为( ) A ．(－∞，2)∪(3，＋∞) B ．(－∞，1)∪(2，＋∞) C ．(－∞，1)∪(3，＋∞) D ．(1,3)答案 (1)A (2)C解析 (1)x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4的最小值为4，所以x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，只需a 2－3a ≤4，解得－1≤a ≤4.(2)把不等式的左端看成关于a 的一次函数，记f (a )＝(x －2)a ＋(x 2－4x ＋4)，则由f (a )>0对于任意的a ∈[－1,1]恒成立，易知只需f (－1)＝x 2－5x ＋6>0，且f (1)＝x 2－3x ＋2>0即可，联立方程解得x <1或x >3. 题型三一元二次不等式的应用例3 某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x 成(1成＝10%)，售出商品数量就增加85x 成．要求售价不能低于成本价．(1)设该商店一天的营业额为y ，试求y 与x 之间的函数关系式y ＝f (x )，并写出定义域； (2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x 的取值范围．解 (1)由题意得，y ＝100⎝⎛⎭⎫1－x 10·100⎝⎛⎭⎫1＋850x . 因为售价不能低于成本价，所以100⎝⎛⎭⎫1－x10－80≥0. 所以y ＝f (x )＝40(10－x )(25＋4x )，定义域为x ∈[0,2]． (2)由题意得40(10－x )(25＋4x )≥10 260，化简得8x 2－30x ＋13≤0.解得12≤x ≤134.所以x 的取值范围是⎣⎡⎦⎤12，2.思维升华求解不等式应用题的四个步骤(1)阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系．(2)引进数学符号，将文字信息转化为符号语言，用不等式表示不等关系，建立相应的数学模型．(3)解不等式，得出数学结论，要注意数学模型中自变量的实际意义． (4)回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果．某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x %，八月份销售额比七月份递增x %，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月份至十月份销售总额至少达7 000万元，则x 的最小值是________．答案 20 解析由题意得，3 860＋500＋[500(1＋x %)＋500(1＋x %)2]×2≥7 000，化简得(x %)2＋3·x %－0.64≥0，解得x %≥0.2，或x %≤－3.2(舍去)．∴x ≥20，即x 的最小值为20.转化与化归思想在不等式中的应用典例：(1)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________．(2)已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋a x ，若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，则实数a 的取值范围是________．思维点拨 (1)考虑“三个二次”间的关系； (2)将恒成立问题转化为最值问题求解．解析 (1)由题意知f (x )＝x 2＋ax ＋b ＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 22＋b －a 24. ∵f (x )的值域为[0，＋∞)，∴b －a 24＝0，即b ＝a 24.∴f (x )＝⎝⎛⎭⎫x ＋a22. 又∵f (x )<c .∴⎝⎛⎭⎫x ＋a 22<c ，即－a 2－c <x <－a2＋c .∴⎩⎨⎧－a2－c ＝m ， ①－a2＋c ＝m ＋6. ②②－①，得2c ＝6，∴c ＝9.(2)∵x ∈[1，＋∞)时，f (x )＝x 2＋2x ＋ax >0恒成立，即x 2＋2x ＋a >0恒成立．即当x ≥1时，a >－(x 2＋2x )＝g (x )恒成立．而g (x )＝－(x 2＋2x )＝－(x ＋1)2＋1在[1，＋∞)上单调递减， ∴g (x )max ＝g (1)＝－3，故a >－3. ∴实数a 的取值范围是{a |a >－3}．答案 (1)9 (2){a |a >－3}温馨提醒 (1)本题的解法充分体现了转化与化归思想：函数的值域和不等式的解集转化为a ，b 满足的条件；不等式恒成立可以分离常数，转化为函数值域问题． (2)注意函数f (x )的值域为[0，＋∞)与f (x )≥0的区别.方法与技巧1．“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础；一般可把a <0的情形转化为a >0时的情形．2．f (x )>0的解集即为函数y ＝f (x )的图象在x 轴上方的点的横坐标的集合，充分利用数形结合思想．3．简单的分式不等式可以等价转化，利用一元二次不等式解法进行求解．失误与防范1．对于不等式ax 2＋bx ＋c >0，求解时不要忘记讨论a ＝0时的情形． 2．当Δ<0时，ax 2＋bx ＋c >0 (a ≠0)的解集为R 还是∅，要注意区别． 3．含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论.A 组专项基础训练 (时间：40分钟)1．函数f (x )＝1－xx ＋2的定义域为( )A ．[－2,1]B ．(－2,1]C ．[－2,1)D ．(－∞，－2]∪[1，＋∞)答案 B 解析1－x x ＋2≥0⇔x －1x ＋2≤0 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧ (x －1)(x ＋2)≤0，x ＋2≠0⇔⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤1，x ≠－2⇔－2<x ≤1. 2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6，x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是( )A ．(－3,1)∪(3，＋∞)B ．(－3,1)∪(2，＋∞)C ．(－1,1)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1,3)答案 A解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，x 2－4x ＋6>3或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，x ＋6>3，解得－3<x <1或x >3.3．设a >0，不等式－c <ax ＋b <c 的解集是{x |－2<x <1}，则a ∶b ∶c 等于( ) A ．1∶2∶3 B ．2∶1∶3 C ．3∶1∶2 D ．3∶2∶1答案 B解析 ∵－c <ax ＋b <c ，又a >0， ∴－b ＋c a <x <c －ba.∵不等式的解集为{x |－2<x <1}， ∴⎩⎨⎧ －b ＋ca＝－2，c －ba ＝1，∴⎩⎨⎧b ＝a 2，c ＝32a ，∴a ∶b ∶c ＝a ∶a 2∶3a2＝2∶1∶3.4．若不等式mx 2＋2mx －4<2x 2＋4x 对任意x 都成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－2,2]B ．(－2,2)C ．(－∞，－2)∪[2，＋∞)D ．(－∞，2] 答案 A解析原不等式等价于(m －2)x 2＋2(m －2)x －4<0， ①当m ＝2时，对任意x 不等式都成立； ②当m －2<0时，Δ＝4(m －2)2＋16(m －2)<0，∴－2<m <2，综合①②，得m ∈(－2,2]．5．若集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1<0}＝∅，则实数a 的值的集合是( ) A ．{a |0<a <4} B ．{a |0≤a <4} C ．{a |0<a ≤4} D ．{a |0≤a ≤4}答案 D解析由题意知a ＝0时，满足条件．a ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a 2－4a ≤0得0<a ≤4，所以0≤a ≤4. 6．已知一元二次不等式f (x )<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－1或x >12，则f (10x )>0的解集为______________．答案 {x |x <－lg 2}解析由已知条件0<10x <12，解得x <lg 12＝－lg 2.7．若0<a <1，则不等式(a －x )(x －1a )>0的解集是________________．答案 {x |a <x <1a}解析原不等式即(x －a )(x －1a )<0，由0<a <1得a <1a ，∴a <x <1a.8．(2013·江苏)已知f (x )是定义在R 上的奇函数．当x >0时，f (x )＝x 2－4x ，则不等式f (x )>x 的解集用区间表示为________________．答案 (－5,0)∪(5，＋∞)解析由已知得f (0)＝0，当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－x 2－4x ，因此f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ，x ≥0，－x 2－4x ，x <0.不等式f (x )>x 等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，x 2－4x >x ，或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，－x 2－4x >x .解得：x >5，或－5<x <0.9．已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6. (1)解关于a 的不等式f (1)>0；(2)若不等式f (x )>b 的解集为(－1,3)，求实数a 、b 的值．解 (1)∵f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6， ∴f (1)＝－3＋a (6－a )＋6＝－a 2＋6a ＋3>0，即a 2－6a －3<0，解得3－23<a <3＋2 3.∴不等式的解集为{a |3－23<a <3＋23}． (2)∵f (x )>b 的解集为(－1,3)，∴方程－3x 2＋a (6－a )x ＋6－b ＝0的两根为－1,3， ∴⎩⎨⎧－1＋3＝a (6－a )3，－1×3＝－6－b3，解得⎩⎨⎧a ＝3±3，b ＝－3.10．某农贸公司按每担200元收购某农产品，并每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a 万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x (x ≠0)个百分点，预测收购量可增加2x 个百分点． (1)写出降税后税收y (万元)与x 的函数关系式；(2)要使此项税收在税率调节后不少于原计划税收的83.2%，试确定x 的取值范围．解 (1)降低税率后的税率为(10－x )%，农产品的收购量为a (1＋2x %)万担，收购总金额为200a (1＋2x %)万元．依题意得y ＝200a (1＋2x %)(10－x )% ＝150a (100＋2x )(10－x )(0<x <10)． (2)原计划税收为200a ·10%＝20a (万元)．依题意得150a (100＋2x )(10－x )≥20a ×83.2%，化简得x 2＋40x －84≤0，解得－42≤x ≤2. 又∵0<x <10，∴0<x ≤2. 即x 的取值范围为(0,2]．B 组专项能力提升 (时间：25分钟)11．已知函数f (x )＝(ax －1)(x ＋b )，如果不等式f (x )>0的解集是(－1,3)，则不等式f (－2x )<0的解集是( )A ．(－∞，－32)∪(12，＋∞)B ．(－32，12)C ．(－∞，－12)∪(32，＋∞)D ．(－12，32)答案 A解析 f (x )＝0的两个解是x 1＝－1，x 2＝3且a <0，由f (－2x )<0得－2x >3或－2x <－1，∴x <－32或x >12. 12．(2013·重庆)关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a 等于( )A.52B.72C.154D.152答案 A解析由x 2－2ax －8a 2<0，得(x ＋2a )(x －4a )<0，因a >0，所以不等式的解集为(－2a,4a )，即x 2＝4a ，x 1＝－2a ，由x 2－x 1＝15，得4a －(－2a )＝15，解得a ＝52. 13．设0≤α≤π，不等式8x 2－(8sin α)x ＋cos 2α≥0对x ∈R 恒成立，则α的取值范围为________．答案 [0，π6]∪[5π6，π] 解析由题意，要使8x 2－(8sin α)x ＋cos 2α≥0对x ∈R 恒成立，需Δ＝64sin 2α－32cos 2α≤0，化简得cos 2α≥12. 又0≤α≤π，∴0≤2α≤π3或5π3≤2α≤2π，解得0≤α≤π6或5π6≤α≤π. 14．设函数f (x )＝x 2－1，对任意x ∈[32，＋∞)，f (x m)－4m 2·f (x )≤f (x －1)＋4f (m )恒成立，则实数m 的取值范围是________________．答案 {m |m ≤－32或m ≥32} 解析依据题意得x 2m 2－1－4m 2(x 2－1)≤(x －1)2－1＋4(m 2－1)在x ∈[32，＋∞)上恒成立，即1m 2－4m 2≤－3x 2－2x ＋1在x ∈[32，＋∞)上恒成立．当x ＝32时，函数y ＝－3x 2－2x ＋1取得最小值－53，所以1m 2－4m 2≤－53，即(3m 2＋1)(4m 2－3)≥0，解得m ≤－32或m ≥32. 15．求使不等式x 2＋(a －6)x ＋9－3a >0，|a |≤1恒成立的x 的取值范围．解将原不等式整理为形式上是关于a 的不等式(x －3)a ＋x 2－6x ＋9>0. 令f (a )＝(x －3)a ＋x 2－6x ＋9.因为f (a )>0在|a |≤1时恒成立，所以(1)若x ＝3，则f (a )＝0，不符合题意，应舍去．(2)若x ≠3，则由一次函数的单调性，可得⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)>0，f (1)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－7x ＋12>0，x 2－5x ＋6>0，解得x <2或x >4.所以x 的取值范围是{x |x <2或x >4}．。

2016届高三一轮复习数学理科(浙江专用)高考专题突破高考中的不等式问题

高考题专突破高考中的不等式问题考点自测1．若a ，b ，c ∈R ，且a >b ，则下列不等式一定成立的是( ) A ．a ＋c ≥b －c B ．(a －b )c 2≥0 C ．ac >bc D.c 2a －b>0 答案 B解析 A 项：当c <0时，不等式a ＋c ≥b －c 不一定成立；C 项：c ＝0时，ac ＝bc ；D 项：c ＝0时，c 2a －b＝0；B 项：a >b ⇒a －b >0，因为c 2≥0，所以(a －b )c 2≥0.故选B.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x <0，x －1，x ≥0，则不等式x ＋(x ＋1)f (x ＋1)≤1的解集是( )A ．{x |－1≤x ≤2－1}B ．{x |x ≤1}C ．{x |x ≤2－1}D ．{x |－2－1≤x ≤2－1}答案 C解析由题意不等式x ＋(x ＋1)f (x ＋1)≤1等价于(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<0，x ＋(x ＋1)[－(x ＋1)＋1]≤1或 (2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，x ＋(x ＋1)[(x ＋1)－1]≤1，解不等式组(1)得x <－1；解不等式组(2)得－1≤x ≤2－1. 故原不等式的解集是{x |x ≤2－1}，选C. 3．若x 、y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －5y ＋6≥0，2x ＋3y －15≤0，y ≥0，当且仅当x ＝y ＝3时，z ＝ax ＋y 取得最大值，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－23，35 B.⎝⎛⎭⎫－∞，－35∪⎝⎛⎭⎫23，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫－35，23 D.⎝⎛⎭⎫－∞，－23∪⎝⎛⎭⎫35，＋∞ 答案 C解析直线3x －5y ＋6＝0和直线2x ＋3y －15＝0的斜率分别为k 1＝35，k 2＝－23.作可行域如图所示，当且仅当直线z ＝ax ＋y 过点(3,3)时，z 取得最大值，则直线z ＝ax ＋y 的斜率－a 满足－23<－a <35，解得－35<a <23，故选C.4．已知正项等比数列{a n }满足：a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m 、a n 使得a m a n ＝4a 1，则1m ＋4n 的最小值为( ) A.32 B.53 C.256 D ．不存在答案 A解析由题意可知，a 5q 2＝a 5q ＋2a 5(q >0)，化简得q 2－q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－1(舍去)．由a m a n ＝4a 1，得a 1q m －1·a 1q n －1＝16a 21，∴q m＋n －2＝16＝24，∴m ＋n ＝6， ∴1m ＋4n ＝(1m ＋4n )·m ＋n 6 ＝16(5＋4m n ＋n m )≥16(5＋24m n ·n m )＝32，当且仅当4m n ＝nm，即m ＝2，n ＝4时，取“＝”．5．(2013·课标全国Ⅱ)若存在正数x 使2x (x －a )<1成立，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，＋∞) B ．(－2，＋∞) C ．(0，＋∞) D ．(－1，＋∞)答案 D解析因为2x >0，所以由2x (x －a )<1得x －a <12x ＝2－x ，在坐标系中，作出函数f (x )＝x －a ，g (x )＝2－x 的图象，当x >0时，g (x )＝2－x <1，所以如果存在x >0，使2x (x －a )<1，即f (x )<g (x )，则有－a <1，即a >－1，所以选D.题型一含参数不等式的解法例1 解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (a ∈R )．解原不等式可化为ax 2＋(a －2)x －2≥0⇒(ax －2)(x ＋1)≥0. ①当a ＝0时，原不等式化为x ＋1≤0⇒x ≤－1. ②当a >0时，原不等式化为⎝⎛⎭⎫x －2a (x ＋1)≥0⇒x ≥2a或x ≤－1. ③当a <0时，原不等式化为⎝⎛⎭⎫x －2a (x ＋1)≤0. 当2a >－1，即a <－2时，解得－1≤x ≤2a ；当2a ＝－1，即a ＝－2时，解得x ＝－1；当2a <－1，即a >－2，解得2a≤x ≤－1. 综上所述，当a <－2时，原不等式的解集为⎣⎡⎦⎤－1，2a ；当a ＝－2时，原不等式的解集为{－1}；当－2<a <0时，原不等式的解集为⎣⎡⎦⎤2a ，－1；当a ＝0时，原不等式的解集为(－∞，－1]；当a >0时，原不等式的解集为(－∞，－1]∪⎣⎡⎭⎫2a ，＋∞. 思维升华解含参数的一元二次不等式的步骤(1)若二次项含有参数应讨论是否等于0，小于0，和大于0.然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．(2)判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系．(3)当方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式． (1)若0<a <1，则不等式(a －x )(x －1a)>0的解集是______．(2)关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a 等于________．答案 (1)(a ，1a ) (2)52解析 (1)原不等式即为(x －a )(x －1a )<0，由0<a <1得a <1a ，∴a <x <1a .(2)由x 2－2ax －8a 2<0，得(x ＋2a )(x －4a )<0， ∵a >0，∴不等式x 2－2ax －8a 2<0的解集为(－2a,4a )．又∵不等式x 2－2ax －8a 2<0的解集为(x 1，x 2)， ∴x 1＝－2a ，x 2＝4a . ∵x 2－x 1＝15，∴4a －(－2a )＝15，解得a ＝52.题型二线性规划问题例2 制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%.若投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？解设投资人分别用x 万元、y 万元投资甲、乙两个项目，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤10，0.3x ＋0.1y ≤1.8，x ≥0，y ≥0，目标函数z ＝x ＋0.5y .上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分(含边界)即为可行域．将z ＝x ＋0.5y 变形为 y ＝－2x ＋2z ，这是斜率为－2、随z 变化的一族平行线，当直线y ＝－2x ＋2z 经过可行域内的点M 时，直线y ＝－2x ＋2z 在y 轴上的截距2z 最大，z 也最大．这里M 点是直线x ＋y ＝10和0.3x ＋0.1y ＝1.8的交点．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝10，0.3x ＋0.1y ＝1.8，得x ＝4，y ＝6，此时z ＝4＋0.5×6＝7(万元)．即当x ＝4，y ＝6时，z 取得最大值，所以投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大．思维升华对线性规划问题的实际应用，关键是建立数学模型，要找准目标函数及两个变量，准确列出线性约束条件，然后寻求最优解，最后回到实际问题． (1)实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x －y －5≤0，x ＋y －4≥0，则z ＝|x ＋2y －4|的最大值为________．(2)一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4吨，硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1吨，硝酸盐15吨．现库存磷酸盐10吨，硝酸盐66吨，在此基础上生产这两种混合肥料．如果生产1车皮甲种肥料产生的利润为10 000元，生产1车皮乙种肥料产生的利润为5 000元，那么适当安排生产，可产生的最大利润是________元．答案 (1)21 (2)30 000解析 (1)方法一作出不等式组表示的平面区域．如图中阴影部分．z ＝|x ＋2y －4|＝|x ＋2y －4|5·5，即其几何含义为阴影区域内的点到直线x ＋2y －4＝0的距离的5倍．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0，2x －y －5＝0，得点B 的坐标为(7,9)，显然，点B 到直线x ＋2y －4＝0的距离最大，此时z max ＝21.方法二由图可知，阴影区域内的点都在直线x ＋2y －4＝0的上方，显然此时有x ＋2y －4>0，于是目标函数等价于z ＝x ＋2y －4，即转化为一般的线性规划问题．显然，当直线经过点B 时，目标函数取得最大值，z max ＝21.(2)设生产甲种肥料x 车皮，生产乙种肥料y 车皮，则z ＝10 000x ＋5 000y ，约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋y ≤10，18x ＋15y ≤66，x ≥0，y ≥0，画出图形如图所示，由图可知，在D (2,2)处有最大值，且z max ＝10 000×2＋5 000×2＝30 000(元)．题型三基本不等式的应用例3 近年来，某企业每年消耗电费约24万元，为了节能减排，决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备接入本企业电网，安装这种供电设备的工本费(单位：万元)与太阳能电池板的面积(单位：平方米)成正比，比例系数约为0.5.为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式．假设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费C (单位：万元)与安装的这种太阳能电池板的面积x (单位：平方米)之间的函数关系是C (x )＝k 20x ＋100(x ≥0，k 为常数)．记y 为该企业安装这种太阳能供电设备的费用与该企业15年共将消耗的电费之和． (1)试解释C (0)的实际意义，并建立y 关于x 的函数关系式． (2)当x 为多少平方米时，y 取得最小值？最小值是多少万元？解 (1)C (0)的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为0时的用电费用，即未安装太阳能供电设备时，该企业每年消耗的电费．由C (0)＝k100＝24，得k ＝2 400，所以y ＝15× 2 40020x ＋100＋0.5x ＝1 800x ＋5＋0.5x ，x ≥0.(2)因为y ＝1 800x ＋5＋0.5(x ＋5)－2.5≥2 1 800×0.5－2.5＝57.5，当且仅当1 800x ＋5＝0.5(x ＋5)，即x ＝55时取等号，所以当x 为55平方米时，y 取得最小值为57.5万元．思维升华 (1)此类问题的背景往往是人们关心的社会热点问题，题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解．(2)应用基本不等式求最值要注意检验等号成立的条件，不要忽视问题的实际意义． (1)设x ，y 均为正实数，且32＋x ＋32＋y＝1，则xy 的最小值为( ) A ．4 B ．4 3 C ．9D ．16(2)某栋楼的建筑成本由土地使用权费和材料工程费构成，已知土地使用权费为2 000元/m 2；材料工程费在建造第一层时为400元/m 2，以后每增加一层费用增加40元/m 2.要使平均每平方米建筑面积的成本费最低，则应把楼盘的楼房设计成________层．答案 (1)D (2)10解析 (1)由32＋x ＋32＋y＝1可得xy ＝8＋x ＋y .∵x ，y 均为正实数，∴xy ＝8＋x ＋y ≥8＋2xy (当且仅当x ＝y 时等号成立)，即xy －2xy －8≥0，解得xy ≥4，即xy ≥16，故xy 的最小值为16.(2)设应把楼房设计成x 层，每层有面积y m 2，则平均每平方米建筑面积的成本费为 k ＝2 000y ＋y ×400＋y ×440＋…＋y ×[400＋40(x －1)]xy＝2 000x＋20x ＋380≥2 2 000x ·20x ＋380＝780，当且仅当2 000x＝20x ，即x ＝10时取等号，故应把楼房设计成10层．题型四不等式恒成立问题例4 (1)已知任意非零实数x ，y 满足3x 2＋4xy ≤λ(x 2＋y 2)恒成立，求实数λ的最小值． (2)已知函数f (x )＝mx 2－mx －1，对x ∈[1,3]，f (x )<5－m 恒成立，求实数m 的取值范围．解 (1)∵3x 2＋4xy ＝3x 2＋2·x ·2y ≤3x 2＋(x 2＋4y 2) ＝4(x 2＋y 2)，x ，y 为非零实数 ∴3x 2＋4xyx 2＋y2≤4，又∵λ≥3x 2＋4xyx 2＋y 2对任意非零实数x ，y 恒成立，∴λ的最小值为4.(2)要使f (x )<－m ＋5在[1,3]上恒成立，即 m (x －12)2＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立．有以下两种方法：方法一令g (x )＝m (x －12)2＋34m －6，x ∈[1,3]．当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数，所以g (x )max ＝g (3)⇒7m －6<0，所以m <67，则0<m <67；当m ＝0时，－6<0恒成立；当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数，所以g (x )max ＝g (1)⇒m －6<0，所以m <6，所以m <0.综上所述，m 的取值范围是(－∞，67)．方法二 ∵f (x )<－m ＋5⇔m (x 2－x ＋1)<6， ∵x 2－x ＋1>0，∴m <6x 2－x ＋1对于x ∈[1,3]恒成立，只需求6x 2－x ＋1的最小值，记g (x )＝6x 2－x ＋1，x ∈[1,3]，记h (x )＝(x －12)2＋34，h (x )在[1,3]上为增函数．则g (x )在[1,3]上为减函数，∴[g (x )]min ＝g (3)＝67，∴m <67.所以m 的取值范围是(－∞，67)．思维升华含参数的不等式恒成立问题的两种基本解法： (1)通过分离参数，参数的范围化归为函数的最值问题． a >f (x )恒成立⇔a >f (x )max ； a <f (x )恒成立⇔a <f (x )min .(2)构造函数，利用函数最值法求解，即f (x )≥0恒成立⇔f (x )min ≥0； f (x )≤0恒成立⇔f (x )max ≤0.(1)设函数f (x )＝lg[ax 2＋x ＋(b 2－b ＋12)](a ≠0)，若对任意实数b ，函数f (x )的定义域为R ，则a 的取值范围为________．(2)若不等式x 2＋ax ＋4≥0对于一切x ∈(0,1]恒成立，则a 的取值范围是________．答案 (1)(1，＋∞) (2)[－5，＋∞)解析 (1)函数f (x )的定义域为R ，则满足⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝1－4a (b 2－b ＋12)<0，即⎩⎨⎧a >0，4a >1b 2－b ＋12＝1(b －12)2＋14.对任意实数b 恒成立，只要4a 大于1(b －12)2＋14的最大值即可，而1(b －12)2＋14的最大值为4，即4a >4，a >1. (2)x 2＋ax ＋4≥0变形为ax ≥－(x 2＋4)． ∵x >0，∴a ≥－x 2＋4x 恒成立．∵x ∈(0,1]，∴－x 2＋4x ＝－(x ＋4x)≤－5，∴a ≥－5.(时间：70分钟)1．解关于x 的不等式x 2－(2＋m )x ＋2m <0. 解原不等式可化为(x －2)(x －m )<0.①当m >2时，不等式(x －2)(x －m )<0的解集为{x |2<x <m }； ②当m <2时，不等式(x －2)(x －m )<0的解集为{x |m <x <2}； ③当m ＝2时，不等式(x －2)(x －m )<0的解集为∅. 综上所述：当m >2时，不等式的解集为{x |2<x <m }；当m <2时，不等式的解集为{x |m <x <2}；当m ＝2时，不等式的解集为∅.2．已知抛物线y ＝(m －1)x 2＋(m －2)x －1(x ∈R )． (1)当m 为何值时，抛物线与x 轴有两个交点？(2)若关于x 的方程(m －1)x 2＋(m －2)x －1＝0的两个不等实根的倒数平方和不大于2，求m 的取值范围．解 (1)根据题意，m ≠1且Δ>0，即Δ＝(m －2)2－4(m －1)(－1)>0，得m 2>0，所以m ≠1且m ≠0.(2)在m ≠0且m ≠1的条件下，设两根为x 1、x 2，则 ⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝m －21－m ，x 1·x 2＝11－m，因为1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝m －2，所以1x 21＋1x 22＝(1x 1＋1x 2)2－2x 1x 2＝(m －2)2＋2(m －1)≤2. 得m 2－2m ≤0，所以0≤m ≤2.所以m 的取值范围是{m |0<m <1或1<m ≤2}．3．某小型工厂安排甲、乙两种产品的生产，已知工厂生产甲、乙两种产品每吨所需要的原材料A ，B ，C 的数量和一周内可用资源数量如下表所示：每周才可获得最大利润？解设工厂一周内安排生产甲产品x 吨、乙产品y 吨，所获周利润为z 元．依据题意，得目标函数为z ＝300x ＋200y ，约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤50，4x ≤160，2x ＋5y ≤200.y ≥0，x ≥0，欲求目标函数z ＝300x ＋200y ＝100(3x ＋2y )的最大值，先画出约束条件的可行域，如图中阴影部分所示，则点A (40,0)，B (40,10)，C (503，1003)，D (0,40)．作直线3x ＋2y ＝0，当移动该直线过点B (40,10)时，3x ＋2y 取得最大值，则z ＝300x ＋200y 取得最大值(也可通过代入凸多边形端点进行计算，比较大小求得)．故z max ＝300×40＋200×10＝14 000.所以工厂每周生产甲产品40吨，乙产品10吨时，才可获得最大周利润，为14 000元． 4．提高大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．一般情况下，大桥上的车流速度v (单位：千米/小时)是车流密度x (单位：辆/千米)的函数．当车流密度不超过50辆/千米时，车流速度为30千米/小时．研究表明：当50<x ≤200时，车流速度v 与车流密度x 满足v (x )＝40－k250－x.当桥上的车流密度达200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时． (1)当0<x ≤200时，求函数v (x )的表达式；(2)当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上观测点的车辆数，单位：辆/小时)f (x )＝x ·v (x )可以达到最大，并求出最大值．(精确到个位，参考数据5≈2.236) 解 (1)由题意：当0<x ≤50时，v (x )＝30；当50<x ≤200时，v (x )＝40－k250－x，由已知可知，当x ＝200时，v (x )＝0代入解得k ＝2 000. 故函数v (x )的表达式为v (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧30，0<x ≤50，40－2 000250－x ，50<x ≤200. (2)依题意并由(1)可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 30x ，0<x ≤50，40x －2 000x 250－x ，50<x ≤200. 当0<x ≤50时，f (x )＝30x ，当x ＝50时，取得最大值1 500.当50<x ≤200时，f (x )＝40x －2 000x 250－x＝－40(250－x )＋40×250＋2 000(250－x )－2 000×250250－x＝12 000－⎣⎡⎦⎤40(250－x )＋500 000250－x ≤12 000－240(250－x )500 000250－x＝12 000－4 000 5 ≈12 000－4 000×2.236＝3 056.当且仅当40(250－x )＝500 000250－x，即x ＝250－505≈138(x ＝250＋505舍)时，等号成立，f (x )取最大值．综上，当车流密度为138辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 056辆/小时．5．已知f (x )＝2x x 2＋6. (1)若f (x )>k 的解集为{x |x <－3或x >－2}，求k 的值；(2)若对任意x >0，f (x )≤t 恒成立，求实数t 的范围．解 (1)f (x )>k ⇔kx 2－2x ＋6k <0，由已知其解集为{x |x <－3或x >－2}，得x 1＝－3，x 2＝－2是方程kx 2－2x ＋6k ＝0的两根，所以－2－3＝2k ，即k ＝－25. (2)∵x >0，f (x )＝2x x 2＋6＝2x ＋6x ≤66，由已知f (x )≤t 对任意x >0恒成立，故实数t 的取值范围是⎣⎡⎭⎫66，＋∞. 6.如图，长方体物体E 在雨中沿面P (面积为S )的垂直方向做匀速移动，速度为v (v >0)，雨速沿E 移动方向的分速度为c (c ∈R )．E 移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：①P 或P 的平行面(只有一个面淋雨)的淋雨量，假设其值与|v －c |×S 成正比，比例系数为1；②其他面的淋雨量之和，其值为12.记y 为E 移动过程中的总淋雨量，设移动距离d ＝100，面积S ＝32. (1)写出y 的表达式；(2)若0<v ≤10,0<c ≤5，试根据c 的不同取值范围，确定移动速度v ，使总淋雨量y 最少．解 (1)由题意知， E 移动时单位时间内的淋雨量为32|v －c |＋12，从而y ＝100v (32|v －c |＋12)＝50v (3|v －c |＋1)．当0<v ≤c 时，y ＝50v [－3(v －c )＋1]＝50v [－3v ＋(3c ＋1)]＝50(－3＋3c ＋1v )；当v >c 时，y ＝50v [3(v －c )＋1]＝50v [3v ＋(1－3c )]＝50(3＋1－3c v )．故y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 50(－3＋3c ＋1v )，0<v ≤c ，50(3＋1－3c v )，v >c .(2)由(1)知，当0<v ≤c 时，因为3c ＋1>0，所以y 是关于v 的减函数，当v ＝c 时，y min ＝50(－3＋3c ＋1c )＝50c. 当c <v ≤10时，y ＝50(3＋1－3c v )，若1－3c <0，即c >13，则y 是关于v 的增函数， y >50c ，故当0<c ≤13时，在v ＝c 时y 取最小值为 y min ＝50c；若1－3c ≥0，即0<c ≤13，则0<c <13时，y 是关于v 的减函数，当v ＝10时，y min ＝5(31－3c )．c ＝13时，y ＝150. 在0<c ≤13时，50c －5(31－3c )＝5c(10－31c ＋3c 2) ＝5c(c －10)(3c －1)≥0，即50c≥5(31－3c )．故当0<c ≤13时，y min ＝155－15c . 综上所述，当0<c ≤13时，在v ＝10时总淋雨量y 有最小值155－15c ；当13<c ≤5时，在v ＝c 时总淋雨量y 有最小值50c.。

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【合集】浙江省2016届高三数学（理）专题复习检测（真题体验+模拟演练+过关提升）专题一函数、不等式及其应用目录真题体验.引领卷 (1)经典模拟.演练卷 (4)专题过关.提升卷 (8)参考答案 (13)真题体验·引领卷一、选择题1．(2015·浙江高考)已知集合P＝{x|x2－2x≥0}，Q＝{x|1＜x≤2}，则(∁R P)∩Q＝()A．[0，1) B．(0，2]C．(1，2) D．[1，2]2．(2015·浙江高考)命题“∀n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是()A．∀n∈N*，f(n)∉N*且f(n)＞nB．∀n∈N*，f(n)∉N*或f(n)＞nC．∃n0∈N*，f(n0)∉N*且f(n0)＞n0D．∃n0∈N*，f(n0)∉N*或f(n0)＞n03．(2015·浙江高考)存在函数f(x)满足：对任意x∈R都有() A．f(sin 2x)＝sin x B．f(sin 2x)＝x2＋xC ．f (x 2＋1)＝|x ＋1|D ．f (x 2＋2x )＝|x ＋1|4．(2015·山东高考)已知x ，y满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤2，y ≥0，若z ＝ax ＋y的最大值为4，则a ＝( )A ．3B ．2C ．－2D ．－35．(2015·全国卷Ⅱ)如图，长方形ABCD 的边AB ＝2，BC ＝1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP ＝x .将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数f (x )，则y ＝f (x )的图象大致为()6．(2015·天津高考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－|x |，x ≤2，（x －2）2，x ＞2，函数g (x )＝b －f (2－x )，其中b ∈R ，若函数y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点，则b 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫74，＋∞ B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，74C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，74D.⎝ ⎛⎭⎪⎫74，2 二、填空题7．(2015·浙江高考)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋2x －3，x ≥1，lg （x 2＋1），x ＜1，则f (f (－3))＝________，f (x )的最小值是________．8．(2015·浙江高考)若实数x ，y 满足x 2＋y 2≤1，则|2x ＋y －2|＋|6－x －3y |的最小值是________．9．(2015·湖南高考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤a ，x 2，x >a ，若存在实数b ，使函数g (x )＝f (x )－b 有两个零点，则a 的取值范围是________．三、解答题10．(2015·湖北高考改编)a 为实数，函数f (x )＝|x 2－ax |在区间[0，1]上的最大值记为g (a )．当a 为何值时，g (a )的值最小？11．(2015·浙江高考)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )，记M (a ，b )是|f (x )|在区间[－1，1]上的最大值． (1)证明：当|a |≥2时，M (a ，b )≥2；(2)当a ，b 满足M (a ，b )≤2时，求|a |＋|b |的最大值．12．(2015·浙江高考(文))设函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )． (1)当b ＝a 24＋1时，求函数f (x )在[－1，1]上的最小值g (a )的表达式； (2)已知函数f (x )在[－1，1]上存在零点，0≤b －2a ≤1，求b 的取值范围．专题一函数、不等式及其应用经典模拟·演练卷一、选择题1．(2015·济南模拟)已知集合P ＝{1，m }，Q ＝{1，3，5}，则“m ＝5”是“P ⊆Q ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．(2015·西安模拟)已知f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当x ∈(0，1)时，f (x )＝3x－1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0152＝( )A.3＋1B.3－1 C ．－3－1D ．－3＋13．(2015·安徽“江南十校”联考)已知向量a ＝(3，－2)，b ＝(x ，y －1)，且a ∥b ，若x ，y 均为正数，则3x ＋2y 的最小值是( ) A.53 B.83 C ．8D ．244．(2015·台州十校联考)函数f (x )＝2x |log 0.5 x |－1的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．45．(2015·东北三省四市联考)在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界)，若目标函数z ＝x ＋ay 取得最小值的最优解有无数个，则y x －a的最大值是( )A.25B.23C.16D.146．(2015·杭州模拟)已知f (x )为偶函数，当x ≥0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12，2x －1，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，则不等式f (x －1)≤12的解集为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，23∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤43，74 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，－13∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，23 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，34∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤43，74 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，－13∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，34 二、填空题7．(2015·镇江二模)若正实数x ，y 满足2x ＋y ＋6＝xy ，则xy 的最小值是________.8．(2015·西安八校联考)已知函数f (x )＝213,1,log ,1x x x x x ⎧-+≤⎪⎨>⎪⎩若关于x 的不等式f (x )≥m 2－34m 有解，则实数m 的取值范围是________．9．(2015·温州联考)当实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1时，1≤ax ＋y ≤4恒成立，则实数a 的取值范围是________．三、解答题10．(2015·杭州二中模拟)设a 为实数，函数f (x )＝(x －a )2＋|x －a |－a (a －1)．(1)若f (0)≤1，求a 的取值范围； (2)讨论f (x )的单调性；(3)当a ≥2时，讨论f (x )＋4x 在区间(0，＋∞)内的零点个数．11．(2015·绍兴一中模拟)已知函数f (x )＝x 2－1，g (x )＝a |x －1|. (1)若当x ∈R 时，不等式f (x )≥g (x )恒成立，求实数a 的取值范围； (2)求函数h (x )＝|f (x )|＋g (x )在区间[0，2]上的最大值．12．(2015·杭州七校联考)已知a ∈R ，设函数f (x )＝x |x －a |－x . (1)若a ＝1时，求函数f (x )的单调区间；(2)若a ≤1时，对于任意的x ∈[0，t ]，不等式－1≤f (x )≤6恒成立，求实数t的最大值及此时a的值．专题一函数、不等式及其应用专题过关·提升卷第Ⅰ卷(选择题)一、选择题1．(2015·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{－2，－1，0，1，2}，B＝{x|(x－1)(x＋2)<0}，则A∩B＝()A．{－1，0} B．{0，1}C．{－1，0，1} D．{0，1，2}2．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上是减函数的是() A．y＝－x3B．y＝2|x|C．y＝－lg|x| D．y＝e x－e－x3．设p：|2a－1|<1，q：f(x)＝log a(1－x)在(－∞，1)上是增函数，则p是q的()A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分又不必要条件4．(2015·湖南高考)设函数f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，则f (x )是( ) A ．奇函数，且在(0，1)上是增函数 B ．奇函数，且在(0，1)上是减函数 C ．偶函数，且在(0，1)上是增函数 D ．偶函数，且在(0，1)上是减函数5．(2015·湖南高考)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥－1，2x －y ≤1，y ≤1，则z ＝3x－y 的最小值为( ) A ．－7 B ．－1 C ．1D ．26．(2015·天津高考)已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x －m |－1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f (log 0.53)，b ＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a <b <c B ．a <c <b C ．c <a <bD ．c <b <a7．设函数g (x )＝|x ＋2|＋1，φ(x )＝kx ，若函数f (x )＝g (x )－φ(x )仅有两个零点，则实数k 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝⎛⎭⎪⎫－12，1 C.()－∞，－1D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12 8．若函数y ＝f (x )(x ∈A )满足：∃x 0∈A ，使x 0＝f [f (x 0)]成立，则称“x 0是函数y ＝f (x )的稳定点”．若x 0是函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x （0<x <1），1－log 2x （1<x <2）的稳定点，则x 0的取值为( ) A. 2 B.12 C.12或 2D.22或 2 第Ⅱ卷 (非选择题)二、填空题9．(2015·全国卷Ⅰ)若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则实数a ＝________．10．(2015·全国卷Ⅰ)若x ，y满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －y ≤0，x ＋y －4≤0，则yx 的最大值为________．11．(2015·福建高考)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x ＞2(a ＞0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．12．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，－x 2，x ≥0.若f (f (a ))≤2，则实数a 的取值范围是________．13．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，4x ，x ≤0，则f (f (－1))＝________；若函数g (x )＝f (x )－k 存在两个零点，则实数k 的取值范围是________． 14．已知f (x )是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0，3)时，f (x )＝|x 2－2x ＋12|.若函数y ＝f (x )－a 在区间[－3，4]上有10个零点(互不相同)，则实数a的取值范围是________．15．设x，y为实数，若4x2＋y2＋xy＝1，则2x＋y的最大值是________．三、解答题16．(2015·温州模拟)已知函数f(x)＝－x|x－a|＋1(x∈R)．(1)当a＝1时，求使f(x)＝x成立的x的值；(2)当a∈(0，3)，求函数y＝f(x)在x∈[1，2]上的最大值．17．(2015·杭州七校联考)设向量p＝(x，1)，q＝(x＋a，2)，其中x∈R，函数f(x)＝p·q.(1)若不等式f(x)≤0的解集为[1，2]，求不等式f(x)≥1－x2的解集；(2)若函数g(x)＝f(x)＋x2＋1在区间(1，2)上有两个不同的零点，求实数a的取值范围．18．已知函数f(x)＝2x－12|x|.(1)若f(x)＝2，求x的值；(2)若2t f(2t)＋mf(t)≥0对于t∈[1，2]恒成立，求实数m的取值范围．19．(2015·杭州高级中学模拟)已知f(x)＝2x2－tx，且|f(x)|＝2有且仅有两个不同的实根α和β(α<β)．(1)求实数t的取值范围；(2)若x1、x2∈[α，β]，且x1≠x2，求证：4x1x2－t(x1＋x2)－4<0；(3)设g(x)＝4x－tx2＋1，对于任意x1、x2∈[α，β]上恒有|g(x1)－g(x2)|≤λ(β－α)成立，求λ的取值范围．20．(2015·金华一中模拟)已知函数f(x)＝x2＋2x|x－a|，其中a∈R.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若不等式4≤f(x)≤16在x∈[1，2]上恒成立，求a的取值范围．参考答案第一部分专题集训专题一函数、不等式及其应用真题体验·引领卷1．C [∵P ＝{x |x ≥2或x ≤0}，∁R P ＝{x |0＜x ＜2}， ∴(∁R P )∩Q ＝{x |1＜x ＜2}，故选C.]2．D [由全称命题与特称命题之间的互化关系知选D.]3．D [排除法，A 中，当x 1＝π2，x 2＝－π2时，f (sin 2x 1)＝f (sin 2x 2)＝f (0)，而sin x 1≠sin x 2，∴A 不对；B 同上；C 中，当x 1＝－1，x 2＝1时，f (x 21＋1)＝f (x 22＋1)＝f (2)，而|x 1＋1|≠|x 2＋1|，∴C 不对，故选D.]4．B [不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，易知A(2，0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x ＋y ＝2，得B (1，1)．由z ＝ax ＋y ，得y ＝－ax ＋z .∴当a ＝－2或a ＝－3时，z ＝ax ＋y 在O (0，0)处取得最大值，最大值为z max ＝0，不满足题意，排除C ，D 选项；当a ＝2或3时，z ＝ax ＋y 在A(2，0)处取得最大值，∴2a ＝4，∴a ＝2，排除A ，只有B 项满足．]5．B [当点P 沿着边BC 运动，即0≤x ≤π4时，在Rt △POB 中，|PB |＝|OB |tan ∠POB ＝tan x ，在Rt △P AB 中，|P A |＝|AB |2＋|PB |2＝4＋tan 2x ，则f (x )＝|P A |＋|PB |＝4＋tan 2x ＋tan x ，它不是关于x 的一次函数，图象不是线段，故排除A 和C ；当点P 与点C 重合，即x ＝π4时，由上得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝4＋tan 2π4＋tan π4＝5＋1，又当点P 与边CD 的中点重合，即x ＝π2时，△P AO 与△PBO是全等的腰长为1的等腰直角三角形，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝|P A |＋|PB |＝2＋2＝22，知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，故又可排除D.综上，选B.]6．D [法一当x >2时，g (x )＝x ＋b －4，f (x )＝(x －2)2；当0≤x ≤2时，g (x )＝b －x ，f (x )＝2－x ；当x <0时，g (x )＝b －x 2，f (x )＝2＋x .由于函数y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点，所以方程f (x )－g (x )＝0恰有4个根．当b ＝0时，当x >2时，方程f (x )－g (x )＝0可化为x 2－5x ＋8＝0，无解；当0≤x ≤2时，方程f (x )－g (x )＝0可化为2－x －(－x )＝0，无解；当x <0时，方程f (x )－g (x )＝0可化为x 2＋x ＋2＝0，无解．所以b ≠0，排除答案B.当b ＝2时，当x >2时，方程f (x )－g (x )＝0可化为(x －2)2＝x －2，得x＝2(舍去)或x ＝3，有1解；当0≤x ≤2时，方程f (x )－g (x )＝0可化为2－x ＝2－x ，有无数个解；当x <0时，方程f (x )－g (x )＝0可化为2－x 2＝x ＋2，得x ＝0(舍去)或x ＝－1，有1解．所以b ≠2，排除答案A.当b ＝1时，当x >2时，方程f (x )－g (x )＝0可化为x 2－5x ＋7＝0，无解；当0≤x ≤2时，方程f (x )－g (x )＝0可化为1－x ＝2－x ，无解；当x <0时，方程f (x )－g (x )＝0可化为x 2＋x ＋1＝0，无解．所以b ≠1，排除答案C.因此答案选D.法二记h (x )＝－f (2－x )在同一坐标系中作出f (x )与h (x )的图象如图，直线AB ：y ＝x －4，当直线l ∥AB 且与f (x )的图象相切时，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ′，y ＝（x －2）2，解得b ′＝－94，－94－(－4)＝74，所以曲线h (x )向上平移74个单位后，所得图象在y 轴右边与f (x )的图象有两个公共点，同理，在y 轴左方也有两个公共点，平移2个单位后，两图象有无数个公共点，因此，当74＜b ＜2时，f (x )与g (x )的图象有4个不同的交点，即y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点．选D.]7．0 22－3 [f (f (－3))＝f (1)＝0，当x ≥1时，f (x )＝x ＋2x －3≥22－3，当且仅当x ＝2时，取等号；当x ＜1时，f (x )＝lg(x 2＋1)≥lg 1＝0，当且仅当x ＝0时，取等号，∴f (x )的最小值为22－3.]8．3 [设z ＝|2x ＋y －2|＋|6－x －3y |.∵x 2＋y 2≤1，∴6－x －3y >0， ∴z ＝|2x ＋y －2|＋6－x －3y .①若2x ＋y －2≥0，则z ＝x －2y ＋4.由数形结合知，x ＝35，y ＝45时，z min ＝3；②若2x ＋y －2≤0，则z ＝－3x －4y ＋8.由数形结合知，x ＝35，y ＝45时，z min ＝3；由①②知，z min ＝3.故答案为3.]9．(－∞，0)∪(1，＋∞) [若0≤a ≤1时，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3（x ≤a ），x 2 （x >a ）在R 上递增，其与直线y ＝b 至多有一个公共点；若a >1或a <0时，由图象知y ＝f (x )－b 存在b 使之有两个零点，故a ∈(－∞，0)∪(1，＋∞)．]10．解 (1)当a ＝0时，f (x )＝x 2，函数f (x )在区间[0，1]上单调递增，故g (a )＝f (1)＝1.(2)当a <0时，函数f (x )的图象如图(1)所示，函数f (x )在区间[0，1]上单调递增，故g (a )＝f (1)＝1－a .(3)当0<a <1时，函数f (x )的图象如图(2)所示，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝a24，f (1)＝1－a ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－f (1)＝a 24－(1－a )＝（a ＋2）2－84.①当0<a <22－2时，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－f (1)<0，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2<f (1)，所以g (a )＝f (1)＝1－a ；②当22－2≤a <1时，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－f (1)≥0，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2≥f (1)，所以g (a )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝a 24.(4)当1≤a <2时，函数f (x )的图象如图(3)所示，因为函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，a 2上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 2，1上单调递减，故g (a )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝a 24.(5)当a ≥2时，函数f (x )的图象如图(4)所示，因为函数f (x )在区间[0，1]上单调递增，故g (a )＝f (1)＝a －1.综上，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－a ，a <22－2，a24，22－2≤a <2，a －1，a ≥2，当a <22－2时，g (a )>g (22－2)＝3－22；当22－2≤a <2时，g (a )≥g (22－2)＝3－22；当a ≥2时，g (a )≥g (2)＝1>3－2 2. 综上，当a ＝22－2时，g (a )min ＝3－2 2.11．(1)证明由f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋b －a 24，得对称轴为直线x ＝－a2.由|a |≥2，得|－a2|≥1，故f (x )在[－1，1]上单调，所以M (a ，b )＝max{|f (1)|，|f (－1)|}．当a ≥2时，由f (1)－f (－1)＝2a ≥4，得max{f (1)，－f (－1)}≥2，即M (a ，b )≥2.当a ≤－2时，由f (－1)－f (1)＝－2a ≥4，得max{f (－1)，－f (1)}≥2，即M (a ，b )≥2.综上，当|a |≥2时，M (a ，b )≥2.(2)解由M (a ，b )≤2得|1＋a ＋b |＝|f (1)|≤2， |1－a ＋b |＝|f (－1)|≤2，故|a ＋b |≤3，|a －b |≤3.由|a |＋|b |＝⎩⎪⎨⎪⎧|a ＋b |，ab ≥0，|a －b |，ab ＜0，得|a |＋|b |≤3.当a ＝2，b ＝－1时，|a |＋|b |＝3，且|x 2＋2x －1|在[－1，1]上的最大值为2.即M (2，－1)＝2.所以|a |＋|b |的最大值为3.12．解 (1)当b ＝a 24＋1时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋1，故对称轴为直线x ＝－a2.当a ≤－2时，g (a )＝f (1)＝a 24＋a ＋2.当－2＜a ≤2时，g (a )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝1.当a ＞2时，g (a )＝f (－1)＝a 24－a ＋2. 综上，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a 24＋a ＋2，a ≤－2，1，－2＜a ≤2，a 24－a ＋2，a ＞2.(2)设s ，t 为方程f (x )＝0的解，且－1≤t ≤1，则⎩⎪⎨⎪⎧s ＋t ＝－a ，st ＝b ，由于0≤b －2a ≤1，因此－2t t ＋2≤s ≤1－2t t ＋2(－1≤t ≤1)．当0≤t ≤1时，－2t 2t ＋2≤st ≤t －2t 2t ＋2，由于－23≤－2t 2t ＋2≤0和－13≤t －2t 2t ＋2≤9－45，所以－23≤b ≤9－4 5.当－1≤t ＜0时，t －2t 2t ＋2≤st ≤－2t 2t ＋2，由于－2≤－2t 2t ＋2＜0和－3≤t －2t 2t ＋2＜0，所以－3≤b ＜0.故b 的取值范围是[－3，9－45]．经典模拟·演练卷1．A [当m ＝5时，P ⊆Q ；若“P ⊆Q ”，则“m ＝3或m ＝5”，∴“m ＝5”是“P ⊆Q ”的充分不必要条件．] 2．D [∵f (x )是在R 上的周期为2的奇函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0152＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1 007＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×503＋32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12. 又当x ∈(0，1)时，f (x )＝3x －1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0152＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－(312－1)＝－3＋1.] 3．C [∵a ∥b ，∴3(y －1)＋2x ＝0，即2x ＋3y ＝3.∵x >0，y >0， ∴3x ＋2y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋2y ·13(2x ＋3y )＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋6＋9y x ＋4x y ≥13(12＋2×6)＝8，当且仅当3y ＝2x 时取等号．∴当x ＝34且y ＝12时，3x ＋2y 取得最小值8.]4．B [当0<x <1时，f (x )＝2x log 0.5x －1，令f (x )＝0，则log 0.5x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，由y ＝log 0.5x ，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象知，在(0，1)内有一个交点，即f (x )在(0，1)上有一个零点．当x >1时，f (x )＝－2x log 0.5x －1＝2x log 2x －1，令f (x )＝0得log 2x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，由y ＝log 2x ，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象知在(1，＋∞)上有一个交点，即f (x )在(1，＋∞)上有一个零点，故选B.]5．A [目标函数可化为y ＝－1a x ＋1a z .要使目标函数z ＝x ＋ay 取得最小值的最优解有无数个，则－1a ＝k AC ＝1.则a ＝－1，故y x －a ＝y x ＋1，其几何意义为可行域内的点(x ，y )与点M (－1，0)的连线的斜率，可知⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋1max ＝k MC ＝25.] 6．A [先画出y 轴右边的图象，如图所示．∵f (x )是偶函数，∴图象关于y 轴对称，∴可画出y 轴右边的图象，再画y 轴左侧图象及直线y ＝12.设y ＝12与f (x )图象交于点A ，B ，C ，D ，先分别求出A ，B 两点的横坐标．令cos πx ＝12，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12，∴πx ＝π3，∴x ＝13. 令2x －1＝12，∴x ＝34，∴x A ＝13，x B ＝34.根据对称性可知直线y ＝12与f (x )图象另外两个交点的横坐标为x C ＝－34，x D ＝－13.∵f (x －1)≤12，则在直线y ＝12下方的f (x )图象及其交点满足，∴13≤x －1≤34或－34≤x －1≤－13，∴43≤x ≤74或14≤x ≤23.]7．18 [∵x ＞0，y ＞0，2x ＋y ＋6＝xy ，∴22xy ＋6≤xy ，即xy －22xy －6≥0，解得xy ≥18.当且仅当x ＝3，y ＝6时，取等号．]8.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，1 [当x ≤1时，f (x )＝－x 2＋x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14≤14，当x >1时，f (x )＝log 13x <0，∴f (x )的最大值为14，因此原不等式为14≥m 2－34m ，解之得－14≤m ≤1.]9.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32 [画可行域如图所示，设目标函数z ＝ax ＋y ，即y ＝－ax ＋z ，要使1≤z ≤4恒成立，则a ＞0，数形结合知，满足⎩⎪⎨⎪⎧1≤2a ＋1≤4，1≤a ≤4即可，解得1≤a ≤32，所以a 的取值范围是1≤a ≤32.]10．解 (1)f (0)＝a 2＋|a |－a 2＋a ＝|a |＋a ，因为f (0)≤1，所以|a |＋a ≤1，当a ≤0时，|a |＋a ＝－a ＋a ＝0≤1，显然成立；当a >0时，则有|a |＋a ＝2a ≤1，所以a ≤12，所以0<a ≤12，综上所述，a 的取值范围是a ≤12.(2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－（2a －1）x ，x ≥a ，x 2－（2a ＋1）x ＋2a ，x <a . 对于u 1＝x 2－(2a －1)x ，其对称轴为x ＝2a －12＝a －12<a ，开口向上，所以f (x )在(a ，＋∞)上单调递增；对于u 2＝x 2－(2a ＋1)x ＋2a ，其对称轴为x ＝2a ＋12＝a ＋12>a ，开口向上，所以f (x )在(－∞，a )上单调递减，综上，f (x )在(a ，＋∞)上单调递增，在(－∞，a )上单调递减．(3)由(2)得f (x )在(a ，＋∞)上单调递增，在(0，a )上单调递减，所以f (x )min ＝f (a )＝a －a 2.(ⅰ)当a ＝2时，f (x )min ＝f (2)＝－2，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ，x ≥2，x 2－5x ＋4，x <2，令f (x )＋4x ＝0，即f (x )＝－4x (x >0)，因为f (x )在(0，2)上单调递减，所以f (x )>f (2)＝－2，而y ＝－4x 在(0，2)上单调递增，y <f (2)＝－2，所以y ＝f (x )与y ＝－4x 在(0，2)无交点．当x ≥2时，f (x )＝x 2－3x ＝－4x ，即x 3－3x 2＋4＝0，所以x 3－2x 2－x 2＋4＝0，所以(x －2)2(x ＋1)＝0，因为x ≥2，所以x ＝2，即当a ＝2时，f (x )＋4x 有一个零点x ＝2.(ⅱ)当a >2时，f (x )min ＝f (a )＝a －a 2，当x ∈(0，a )时，f (0)＝2a >4，f (a )＝a －a 2，而y ＝－4x 在x ∈(0，a )上单调递增，当x ＝a 时，y ＝－4a ，下面比较f (a )＝a －a 2与－4a 的大小，因为a －a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－4a ＝－（a 3－a 2－4）a ＝－（a －2）（a 2＋a ＋2）a<0，所以f (a )＝a －a 2<－4a .结合图象不难得当a >2时，y ＝f (x )与y ＝－4x 有两个交点，综上，当a ＝2时，f (x )＋4x 在(0，＋∞)上有一个零点x ＝2；当a >2时，f (x )＋4x 在(0，＋∞)上有两个零点．11．解 (1)不等式f (x )≥g (x )对x ∈R 恒成立，即x 2－1≥a |x －1|(*)对x ∈R 恒成立，①当x ＝1时，(*)显然成立，此时a ∈R ；②当x ≠1时，(*)可变形为a ≤x 2－1|x －1|，令φ(x )＝x 2－1|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x >1，－（x ＋1），x <1，因为当x >1时，φ(x )>2，当x <1时φ(x )>－2，所以φ(x )>－2，故此时a ≤－2，综合①②，得所求实数a 的取值范围是a ≤－2.(2)h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－ax ＋a ＋1，0≤x ≤1，x 2＋ax －a －1，1≤x ≤2，当－a 2≤0时，即a ≥0，(－x 2－ax ＋a ＋1)max ＝h (0)＝a ＋1，(x 2＋ax －a －1)max ＝h (2)＝a ＋3，此时h (x )max ＝a ＋3；当0<－a 2≤1时，即－2≤a <0，(－x 2－ax ＋a ＋1)max＝h ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝a 24＋a ＋1， (x 2＋ax －a －1)max ＝h (2)＝a ＋3，此时h (x )max ＝a ＋3；当1<－a 2≤2时，即－4≤a <－2，(－x 2－ax ＋a ＋1)max ＝h (1)＝0.(x 2＋ax －a －1)max ＝max{h (1)，h (2)}＝max{0，3＋a }＝⎩⎪⎨⎪⎧0，－4≤a <－3，3＋a ，－3≤a <－2，此时h (x )max ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，－4≤a <－3，3＋a ，－3≤a <－2，当－a 2>2时，即a <－4，(－x 2－ax ＋a ＋1)max ＝h (1)＝0，(x 2＋ax －a －1)max ＝h (1)＝0，此时h (x )max ＝0，综上h (x )max ＝⎩⎪⎨⎪⎧3＋a ，a ≥－3，0，a <－3. 12．解 (1)当a ＝1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2，x <1，x 2－2x ，x ≥1，函数f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，(1，＋∞)，单调递减区间为(0，1)．(2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋（a －1）x ，x <a ，x 2－（a ＋1）x ，x ≥a ， ①当a ≤－1时，a ≤a －12<a ＋12≤0，f (x )在[0，t ]上单调递增，f (x )min＝f (0)＝0，f (x )max ＝f (t )＝t 2－(a ＋1)t ，由题意得f (x )max ≤6，即t 2－(a ＋1)t ≤6，解得0≤t ≤（a ＋1）＋（a ＋1）2＋242，令m ＝－(a ＋1)≥0，h (m )＝m 2＋24－m 2＝12m 2＋24＋m 在[0，＋∞)上单调递减，∴h (m )max ＝h (0)＝6，即当a ＝－1时，t max ＝ 6.②当－1<a ≤0时，a －12<a ≤0<a ＋12，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，a ＋12上单调递减，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫a ＋12，＋∞上单调递增，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12＝－（a ＋1）24∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，0，满足f (x )min ≥－1，f (x )max ＝f (t )＝t 2－(a ＋1)t ，由题意得f (x )max ≤6，即t 2－(a ＋1)t ≤6，解得0≤t ≤（a ＋1）＋（a ＋1）2＋242，令m ＝a ＋1>0，h (m )＝m ＋m 2＋242在(0，1]上单调递增， ∴h (m )max ＝h (1)＝3，即当a ＝0时，t max ＝3.③当0<a ≤1时，a －12≤0<a ≤a ＋12，f (x )在[0，a ]，⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ，a ＋12单调递减，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫a ＋12，＋∞上单调递增，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12＝－（a ＋1）24∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，－14，满足f (x )min ≥－1，f (x )max ＝f (t )＝t 2－(a ＋1)t ，由题意得f (x )max ≤6，即t 2－(a ＋1)t ≤6，解得0≤t ≤（a ＋1）＋（a ＋1）2＋242，同②得h (m )＝m ＋m 2＋242在(1，2]上单调递增， ∴h (m )max ＝h (2)＝1＋7，即当a ＝1时，t max ＝1＋7，综上所述，t max ＝1＋7，此时a ＝1.专题过关·提升卷1．A [由A ＝{－2，－1，0，1，2}，B ＝{x |(x －1)(x ＋2)<0}＝{x |－2<x <1}，得A ∩B ＝{－1，0}．]2．C [选项A ，D 中，y ＝－x 3为奇函数，y ＝e x －e －x 也为奇函数．又y ＝2|x |＝2x (x >0)是增函数，B 不满足．易知y ＝－lg|x |是偶函数，且当x >0时，y ＝－lg x 为减函数．]3．B [p ：|2a －1|<1⇔0<a <1.q ：f (x )在(－∞，1)内是增函数⇔0<a <1.∴p 是q 的充要条件．]4．A [易知函数定义域为(－1，1)，f (－x )＝ln(1－x )－ln(1＋x )＝－f (x )，故函数f (x )为奇函数，又f (x )＝ln 1＋x 1－x ＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫－1－2x －1，由复合函数单调性判断方法知，f (x )在(0，1)上是增函数，故选A.]5．A[不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥－1，2x －y ≤1，y ≤1表示的平面区域如图所示，平移直线y ＝3x －z ，过点M (－2，1)时，直线的截距最大，此时z 有最小值、∴z min ＝3×(－2)－1＝－7.]6．C [因为函数f (x )＝2|x －m |－1为偶函数可知，m ＝0，所以f (x )＝2|x |－1.当x >0时，f (x )为增函数，log 0.53＝－log 23， ∴log 25>|－log 0.53|>0，∴b ＝f (log 25)>a ＝f (log 0.53)>c ＝f (2m )．]7．D [在同一坐标系内作函数y ＝g (x )与y ＝φ(x )的图象，依题意知，两个函数的图象有两个交点．则直线φ(x )＝kx 应介于两直线y ＝－x 与y ＝－x 2之间，应有－1<k <－12.]8．C [(1)当x 0∈(0，1)时，1<2x 0<2.∴f [f (x 0)]＝f (2x 0)＝1－log 22x 0＝x 0，则x 0＝12.(2)当x 0∈(1，2)时，0<1－log 2x 0<1，∴f [f (x 0)]＝f (1－log 2x 0)＝21－log 2x 0＝x 0，则x 0＝ 2.因此x 0的取值为12或 2.]9．1 [f (x )为偶函数，则ln(x ＋a ＋x 2)为奇函数，所以ln(x ＋a ＋x 2)＋ln(－x ＋a ＋x 2)＝0，即ln(a ＋x 2－x 2)＝0，则ln a ＝0，a ＝1.]10．3 [由约束条件可画出可行域，利用y x 的几何意义求解．画出可行域如图阴影所示，∵y x 表示过点(x ，y )与原点(0，0)的直线的斜率，∴点(x ，y )在点A 处时y x 最大．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x ＋y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3.∴A (1，3)．∴y x 的最大值为3.]11．(1，2] [由题意f (x )的图象如图，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，3＋log a2≥4，∴1＜a ≤2.]12．(－∞，2] [由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f （a ）<0，f 2（a ）＋f （a ）≤2或⎩⎪⎨⎪⎧f （a ）≥0，－f 2（a ）≤2，解之得f (a )≥－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a <0，a 2＋a ≥－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，－a 2≥－2，解得a ≤ 2.]13．－2 (0，1] [f (f (－1))＝f (4－1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝log 214＝－2.令f (x )－k ＝0，即f (x )＝k ，设y ＝f (x )，y ＝k ，画出图象，如图所示，函数g (x )＝f (x )－k 存在两个零点，即y ＝f (x )与y ＝k 的图象有两个交点，由图象可得实数k 的取值范围为(0，1]．] 14.⎝⎛⎭⎪⎫0，12 [∵当x ∈[0，3)时，f (x )＝|x 2－2x ＋12|，作出函数的图象如图所示，可知f (0)＝f (1)＝12，f (3)＝72.若使得f (x )－a ＝0在x ∈[－3，4]上有10个零点，由于f (x )的周期为3，则只需直线y ＝a 与函数f (x )＝|x 2－2x ＋12|，x ∈[0，3)应有4个交点，则有a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.] 15.2105 [∵4x 2＋y 2＋xy ＝1，∴(2x ＋y )2－3xy ＝1，即(2x ＋y )2－32·2xy ＝1，∴(2x ＋y )2－32·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋y 22≤1，解之得(2x ＋y )2≤85，即2x ＋y ≤2105.等号当且仅当2x ＝y ＞0，即x ＝1010，y ＝105时成立．]16．解 (1)当a ＝1时，f (x )＝－x |x －1|＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ＋1，x ≥1，x 2－x ＋1，x <1，由f (x )＝x 可得：⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ＋1＝x ，x ≥1，x 2－x ＋1＝x ，x <1.解得x ＝1，(2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋ax ＋1，x ≥a ，x 2－ax ＋1，x <a作出示意图，注意到几个关键点的值：f (0)＝f (a )＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝1－a24，当0<a ≤1时，f (x )在[1，2]上单调递减，函数的最大值为f (1)＝a ； 1<a <2时，f (x )在[1，a ]上单调递增，在[a ，2]上单调递减，函数的最大值为f (a )＝1；当2≤a <3时，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，a 2上单调递减，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 2，2上单调递增，且直线x ＝a2是函数的对称轴，由于⎝ ⎛⎭⎪⎫2－a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－1＝3－a >0，故函数的最大值为f (2)＝5－2a .综上可得，f (x )max ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，0<a ≤1，1，1<a <2，5－2a ，2≤a <3.17．解 (1)f (x )＝p·q ＝x (x ＋a )＋2＝x 2＋ax ＋2，不等式f (x )≤0的解集为[1，2]，得a ＝－3，于是f (x )＝x 2－3x ＋2.由f (x )≥1－x 2得1－x 2≤x 2－3x ＋2，解得x ≤12或x ≥1，∴不等式f (x )≥1－x 2的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≤12或x ≥1. (2)g (x )＝2x 2＋ax ＋3在区间(1，2)上有两个不同的零点，则⎩⎪⎨⎪⎧g （1）＞0，g （2）＞0，1＜－a4＜2，a 2－24＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋5＞0，2a ＋11＞0，－8＜a ＜－4，a ＜－26或a ＞26，解得－5＜a ＜－2 6. ∴a 的取值范围是(－5，－26)． 18．解 (1)当x ≥0时，f (x )＝2x －12x ＝2，则（2x ）2－12x ＝2，即(2x )2－2·2x －1＝0，解得2x ＝1＋2或2x ＝1－2(舍去)，则x ＝log 2(1＋2)．当x <0时，f (x )＝2x－12－x ＝2，即2x －2x ＝2，无解．故x ＝log 2(1＋2)．(2)因为2t f (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈[1，2]恒成立，而f (t )在区间[1，2]上恒为正数，故m ≥－2t·f （2t ）f （t ）对于t ∈[1，2]恒成立．令y ＝－2t·f （2t ）f （t ）＝－2t·⎝ ⎛⎭⎪⎫22t －122t 2t －12t＝－(22t ＋1)，函数y ＝－(22t ＋1)在R 上为减函数，当t ＝1时，y max ＝－22－1＝－5.所以m ≥y max ＝－5，故m 的取值范围为[－5，＋∞)．19．(1)解根据f (x )＝2x 2－tx 在x 轴下方的图象沿x 轴翻折后顶点值t 28<2，得－4<t <4，即有t 的取值范围是(－4，4)．(2)证明由韦达定理知α＋β＝t2，αβ＝－1，不妨设α<x 1<x 2<β，由于x 1、x 2∈[α，β]，故(x 1－α)(x 2－β)≤0，x 1x 2－(αx 2＋βx 1)＋αβ≤0，即4x 1x 2－4(αx 2＋βx 1)－4≤0.4x 1x 2－t (x 1＋x 2)－4≤4(αx 2＋βx 1)－t (x 1＋x 2)＝4(αx 2＋βx 1)－2(α＋β)(x 1＋x 2)＝2(αx 2＋βx 1)－2(αx 1＋βx 2)＝2(x 2－x 1)(α－β)<0.(3)解任取x 1、x 2∈[α，β]，x 1<x 2，则g (x 1)－g (x 2)＝4x 1x 2－t （x 1＋x 2）－4（x 21＋1）（x 22＋1）(x 2－x 1)<0，所以g (x )在[α，β]上是增函数，故|g (x 1)－g (x 2)|≤λ(β－α)等价于λ≥g （β）－g （α）β－a＝－4αβ－t （α＋β）－4（α2＋1）（β2＋1）＝2，故λ≥2.20．解 (1)因为f (x )＝x 2＋2x |x －a |＝⎩⎨⎧－（x －a ）2＋a 2，x ≤a ，3⎝⎛⎭⎪⎫x －a 32－a 23，x >a ，当a ≥0时，f (x )在(－∞，a )和(a ，＋∞)上均递增；当a <0时(如图)，f (x )在(－∞，a )和⎝⎛⎭⎪⎫a 3，＋∞上递增，在⎝⎛⎭⎪⎫a ，a 3上递减．(2)由题意知，只需f (x )min ≥4，f (x )max ≤16，首先，由(1)可知，f (x )在x ∈[1，2]上递增，则f (x )min ＝f (1)＝1＋2|1－a |≥4，解得a ≤－12或a ≥52；其次，当a ≥52时，f (x )在R 上递增，故f (x )max ＝f (2)＝4a －4≤16，解得52≤a ≤5；当a ≤－12时，f (x )在[1，2]上递增，故f (x )max ＝f (2)＝12－4a ≤16，解得－1≤a ≤－12.综上：－1≤a ≤－12或52≤a ≤5.。

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