万学海文2015年考研数学必考题型——数学三
2015【考研数三】真题及解析
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题解析一、选择题：1LI 8小题,每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）设｛x n｝是数列，下列命题中不正确的是（）(A) 若lim X n = a ,贝U lim x2^ lim X2n+ = a n n^^ n_^ 下(B) 若lim X2n =lim X2^^ =a,贝U lim x^an^^ n_^(C) 若lim X n = a,贝U lim x3^ lim x3n= an_^ T(D) 若lim X3n = lim Xg^^ = a ,贝U limx^ a【答案】（D）【解析】答案为D,本题考查数列极限与子列极限的关系数列X n T a（n T处戶对任意的子列｛x n k ｝均有Xn^ a（k T处），所以A、B、C正n k确；D错（D选项缺少x3n半的敛散性），故选D⑵ 设函数f（X肚（=，址）内连续，其2阶导函数f”（X ）的图形如右图所示贝恤线y = f（X ）的拐点个数为（(A) 0 (B) 1【答案】(C)(C) 2 (D) 3【解析】根据拐点的必要条件，拐点可能是f"（X）不存在的点或L（x） =0的点处产生.所以y = f（X）有三个点可能是拐点，根据拐点的定义，即凹凸性改变的点；二阶导函数「'（X）符号发生改变的点即为拐点.所以从图可知，拐点个数为2, 故选C.⑶ 设D ={(x, y j x2+y2< 2x,x2+ y2兰2y}，函数f (x,y )在D 上连续,则JJ f (x,y dxdy =()D(A) 丑2COS0 - 2sin QJ0 f (r cos日,r sin日ydr + J和日J o f (r cos日,r si^dr4(B)丑2si^ 2cos 日『d叫 f (rcos日,rsin日「dr + £d叫f (r co少，rsin日『dr4f (X, y )dy1J 2x _x2(D) 2.tdx；Xf(x,y)dy【答案】（B ）【解析】根据图可得，在极坐标系下该二重积分要分成两个积分区域—,0 <r <2sin 日 > D 2 = 4(r,0)— <日 <一，0 <r <2cos9 >4 114 2 I所以故选B.下列级数中发散的是D i 詔(r,8) 0 <e JJ f (X, y)dxdy =『d日 J 。
15年数学三考研真题
15年数学三考研真题15年数学三考研真题是考研数学科目中的一道难题，涵盖了多个数学领域的知识点。
在解答这道题目时，考生需要综合运用数学分析、线性代数、概率统计等多个学科的知识。
下面将从不同的角度来分析这道考题。
首先，我们来看一下这道题目的具体内容。
题目要求考生证明一个函数的连续性和可导性，并根据函数的性质求出其特定值。
这涉及到数学分析中的极限、连续性和可导性的概念。
考生需要运用数学分析的基本原理和定理，结合函数的定义和性质，来进行证明和计算。
其次，我们来分析这道题目所涉及的数学知识点。
首先是极限的概念和性质。
考生需要掌握极限的定义、极限存在的条件以及极限的运算法则。
在解答这道题目时，考生需要运用极限的性质来证明函数的连续性和可导性。
其次是函数的连续性和可导性的概念和判定条件。
连续性是指函数在某一点上的极限等于函数在该点的函数值。
可导性是指函数在某一点上存在导数。
考生需要掌握函数连续性和可导性的定义和判定条件，以及相关的定理和性质。
在解答这道题目时，考生需要根据函数的性质和定义，运用相关的定理和性质，来证明函数的连续性和可导性。
最后是函数的特定值的计算。
在解答这道题目时，考生需要根据函数的性质和定义，以及已知的条件，来计算函数的特定值。
这涉及到数学分析中的函数的极值和最值的求解方法，以及函数的导数和高阶导数的计算方法。
考生需要综合运用这些方法，来求解函数的特定值。
综上所述，15年数学三考研真题是一道综合性较强的数学题目，涵盖了数学分析、线性代数、概率统计等多个学科的知识点。
解答这道题目需要考生综合运用不同学科的知识，结合相关的定理和性质，进行证明和计算。
这道题目的解答过程需要考生有较强的数学思维能力和分析能力，能够灵活运用所学的数学知识解决实际问题。
在备考过程中，考生应该注重对数学基础知识的掌握和理解，加强对数学定理和性质的学习和运用，提高数学分析和推理的能力。
同时，要注重练习和模拟考试，提高解题速度和准确性。
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学三真题及详解
D1 (r , ) 0 , 0 r 2sin 4 D2 (r , ) , 0 r 2cos 4 2
所以
D
f ( x, y)dxdy 4 d
0
2sin
0
f (r cos , r sin )rdr 2 d
(8) 设总体 X ~ B m, , X1 , X 2 , 值,则 E X i X (A)
, X n 为来自该总体的简单随机样本, X 为样本均
n i 1
2
(
) (B) m n 1 1 (D) mn 1
m 1 n 1
判别法可得
n
n 1
n!
n
收敛；
(1)n 1 (1)n 1 (1) n 对于选项 C， ，根据莱布尼茨判别法知 收敛， ln n n 1 n 1 ln n n 1 ln n n 1 ln n
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d (e x2 y 3 z xyz) e x2 y 3 z d ( x 2 y 3z ) d ( xyz ) e x2 y 3 z (dx 2dy 3dz ) yzdx xzdy xydz 0
把 x 0 ， y 0 ， z 0 代入上式，得 dx 2dy 3dz 0 所以 dz (0,0) dx
【解析】原极限 lim
x 0
(10)设函数 f ( x) 连续， ( x)
x2
0
xf (t )dt , 若 (1) 1, (1) 5, 则 f (1) ________ .
考研数学三真题完整版 .doc
2015考研数学（三）真题（完整版）一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项 是符合题目要求的.（1）设{}n x 是数列.下列命题中不正确的是 （A ）若lim n →∞x n =a ，则lim n →∞x 2n =lim n →∞x 2n +1= a.（B ）若lim n →∞x 2n =lim n →∞x 2n +1= a ，则lim n →∞x n = a.（C ）若lim n →∞x n =a ，则lim n →∞x 3n =lim n →∞x 2n +1= a.（D ）若lim n →∞x 3n =lim n →∞x 3n +1=a ，则lim n →∞x n = a.（2）设函数f(x)在（-∞，+∞）内连续，其2价导函数f″(x )的图形如右图所示，则曲线y=f(x)的拐点个数为 （A ）0. （B ）1. （C ）2. （D ）3.（3）设D ={(x ,y )|x 2+y 2≤2x ，x 2+y 2≤2y }，函数f(x ，y)在D 上连续，则(,)Df x y dxdy =⎰⎰（A ）40d πθ⎰2cos 204(cos ,sin )f r r rdr d πθπθθθ+⎰⎰2sin 0(cos ,sin ).f r r rdr θθθ⎰（B ）40d πθ⎰2sin 204(cos ,sin )f r r rdr d πθπθθθ+⎰⎰2cos 0(cos ,sin ).f r r rdr θθθ⎰（C ）102dx⎰211(,).xx f x y dy --⎰（D ）102dx⎰22(,).x x xf x y dy -⎰（4）下列级数中发散的是（A ）13n n n∞=∑.（B ）11ln(1).n n n∞=+∑（C ）2(1)1.ln n n n ∞=-+∑（D ）1!n n n n ∞=∑. (5)设矩阵A =21111214a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，b =21d d ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭.若集合Ω={1,2}，则线性方程组Ax =b 有无穷多解的充分必要条件为 （A ）,.a d ∉Ω∉Ω （B ）,.a d ∉Ω∈Ω （C ）,.a d ∈Ω∉Ω（D ）,.a d ∈Ω∈Ω（6）设二次型123(,,)f x x x 在正交交换x py =下的标准形为2221232.y y y +-，其中123(,,)p e e e =.若132(,,)Q e e e =-，则123(,,)x x x 在正交交换下x Qy =的标准形为（A ）2221232.y y y -+ （B ）2221232.y y y +- （C ）2221232y y y --（D ）2221232y y y ++（7）若A ,B 为任意两个随机事件，则 （A ）()()().P AB P A P B ≤（B ）()()().P AB P A P B ≥（C ）()P AB ≤()().2P A P B +（D ）()P AB ≥()().2P A P B +（8）设总体X ~B （m ,θ）,x 1，x 2…，x n 为来自该总体的简单随机样本，X 为样本均值，则21()n i i E X X =⎡⎤-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑ （A ）()()11m n θθ--（B ）()()11m n θθ-- （C ）()()1(1)1m n θθ---（D ）()1mn θθ-二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分. （9）2ln(cos )limx x x→∞= . （10）设函数()f x 连续，2()().x x xf t dt ϕ=⎰若(1)1ϕ=，(1)ϕ'=5,则()1f = .（11）若函数(),z z x y =由方程23e1x y zxyz +++=确定，则()0,0d z= .（12）设函数()y y x =是微分方程20y y y '''+-=的解，且在0x =处()y x 取得极值3,则()y x = .（13）设3阶矩阵A 的特征值为2，-2，1，B=A 2- A+E ，其中E 为3阶单位矩阵，则行列式B = .（14）设二维随机变量（X ，Y ）服从正态分布N （1,0;1,1;0），则P {XY -Y <0}= .三、解答题：15~23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.（15）（本题满分10分）设函数3()ln(1)sin ,().f x x a x bx x g x kx =+++=若()f x 与()g x 在0x →时是等价无穷小，求,,a b k 的值.（16）（求本题满分10分）计算二重积分()d d ,Dx x y x y +⎰⎰其中222{(,)|2,}.D x y x y y x =+≤≥（17）（本题满分10分） 为了实现利润最大化，厂商需要对某商品确定其定价模型，设Q 为该商品的需求量，p 为价格，MC 为边际成本，η为需求弹性（η>0）. （Ⅰ）证明定价模型为:11MCp η=-（Ⅱ）若该商品的成本函数为2()1600,C Q Q =+需求函数为40,Q p =-试由（Ⅰ）中的定价模型确定此商品的价格.（18）（本题满分10分）设函数()f x 在定义域I 上的导数大于零.若对任意的0,x I ∈曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线与直线0x x =及x 轴所围成区域的面积恒为4，且(0)2,f =求()f x 的表达式.（19）（本题满分10分）（Ⅰ）设函数(),()u x v x 可导，利用导数定义证明[()()]()()()():u x v x u x v x u x v x '''=+ （Ⅱ）设函数12(),(),,()n u x u x u x K 可导，12()()()(),n f x u x u x u x =L 写出()f x 的求导公式. （20）（本题满分11分）设矩阵1011,01a A a a ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭且30.A =（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）若矩阵X 满足22,X XA AX AXA E --+=其中E 为3阶单位矩阵，求X . （21）（本题满分11分）设矩阵02313312A a -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭相似于矩阵12000.031B b -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（Ⅰ）求,a b 的值;（Ⅱ）求可逆矩阵P ，使1P AP -为对角矩阵.（22）（本题满分11分）设随机变量X 的概率密度为2ln 2,0,()0,0x x f x x -⎧>=⎨≤⎩对X 进行独立重复的观测，直到第2个大于3的观测值出现时停止，记Y 为观测次数.（Ⅰ）求Y 的概率分布； （Ⅱ） 求EY .（23）（本题满分11分） 设总体X 的概率密度为1,1,(:)10,x f x θθθ⎧≤≤⎪=-⎨⎪⎩其他, 其中θ为未知参数，12,,,n X X X L 为来自该总体的简单随机样本. （Ⅰ）求θ的矩估计量;（Ⅱ）求θ的最大似然估计量.。
文考研数学必考知识点数学三
万学海文2015年考研数学必考知识点——数学三
考研临近，万学海文集合考研数学名师团队，深入研究2015年数学考试大纲，并结合考研数学的命题趋势及特点，在经过反复锤炼之后，分析总结知识要点，为广大考研学子潜心搜集整理了最新信息和多方面精华资料，进一步对当年的考研数学命题进行预测，帮助学员把握出题重中之重。
希望通过我们总结的以上资料，帮助广大考生在最后的这段关键时间里，梳理好知识体系，准确把握考点，直击命题要害，做好最终的考前冲刺。
2015年考研数学(三)真题及答案详解
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题解析一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1)设{}n x 是数列,下列命题中不正确的是 ( ) (A) 若lim →∞=n n x a ,则221lim lim +→∞→∞==n n n n x x a(B) 若221lim lim +→∞→∞==n n n n x x a , 则lim →∞=n n x a(C)若lim →∞=n n x a ,则331lim lim +→∞→∞==n n n n x x a(D) 若331lim lim +→∞→∞==n n n n x x a ,则lim →∞=n n x a【答案】(D)【解析】答案为D, 本题考查数列极限与子列极限的关系.数列()n x a n →→∞⇔对任意的子列{}k n x 均有()k n x a k →→∞,所以A 、B 、C 正确； D 错(D 选项缺少32n x +的敛散性),故选D(2) 设函数()f x 在(),-∞+∞内连续,其2阶导函数()f x ''的图形如右图所示,则曲线()=y f x 的拐点个数为 ( )(A) 0 (B) 1 (C)2 (D) 3 【答案】(C)【解析】根据拐点的必要条件，拐点可能是不存在的点或的点处产生.所以有三个点可能是拐点，根据拐点的定义，即凹凸性改变的点；二阶导函数符号发生改变的点即为拐点.所以从图可知，拐点个数为2，故选C.(3) 设(){}2222,2,2=+≤+≤D x y xy x x y y ,函数(),f x y 在D 上连续,则(),d d Df x y x y =⎰⎰ ( )(A)()()2cos 2sin 4204d cos ,sin d d cos ,sin d f r r r r f r r r r θθθθθθθθπππ+⎰⎰⎰⎰ (B)()()2sin 2cos 420004d cos ,sin d d cos ,sin d f r r r r f r r r r θθθθθθθθπππ+⎰⎰⎰⎰()f x ''()0f x ''=()y f x =()f x ''(C)()1012d ,d xxf x y y ⎰⎰(D) ()102d ,d xxf x y y ⎰【答案】(B)【解析】根据图可得，在极坐标系下该二重积分要分成两个积分区域所以，故选B.(4) 下列级数中发散的是( )(A) 13n n n∞=∑ (B)1)n n ∞=+(C)2(1)1ln n n n ∞=-+∑(D)1!n n n n∞=∑ 【答案】(C)【解析】A 为正项级数，因为，所以根据正项级数的比值判别法收敛；B，根据级数收敛准则，知收敛；C ，，根据莱布尼茨判别法知收敛，发散，所以根据级数收敛定义知，发散；D 为正项级数，因为，所以根据正项级数的比值判别法收敛，所以选C. 1(,)0,02sin 4D r r πθθθ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭2(,),02cos 42D r r ππθθθ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭2sin 2cos 4204(,)(cos ,sin )(cos ,sin )Df x y dxdy d f r r rdr d f r r rdr ππθθπθθθθθθ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰11113lim lim 1333n n n nn n n n +→∞→∞++==<13nn n∞=∑3211)n n+P 11)n n ∞=+111(1)1(1)1ln ln ln n n n n n n n n ∞∞∞===-+-=+∑∑∑1(1)ln n n n ∞=-∑11ln n n ∞=∑1(1)1ln n n n ∞=-+∑11(1)!(1)!1(1)lim lim lim 1!!(1)1nn n n n n n nn n n n n n n n n en ++→∞→∞→∞+++⎛⎫===< ⎪++⎝⎭1!n n n n ∞=∑(5)设矩阵21111214a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ,21d d ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭b .若集合}{1,2Ω=，则线性方程组=Ax b 有无穷多解的充分必要条件为 ( )(A) ,a d ∉Ω∉Ω (B) ,a d ∉Ω∈Ω (C),a d ∈Ω∉Ω(D) ,a d ∈Ω∈Ω 【答案】(D)【解析】2211111111(,)1201111400(1)(2)(1)(2)A b ad a d a d a a d d ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭，由()(,)3r A r A b =<，故1a =或2a =，同时1d =或2d =.故选（D ） (6)设二次型()123,,f x x x 在正交变换=x Py 下的标准形为2221232y y y +-，其中123(,,)=P e e e ，若132(,,)=-Q e e e 则123(,,)f x x x =在正交变换=x Qy 下的标准形为( )(A)2221232y y y -+ (B) 2221232y y y +- (C)2221232y y y --(D) 2221232y y y ++ 【答案】(A)【解析】由x Py =，故222123()2T T T f x Ax y P AP y y y y ===+-. 且200010001TP AP ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭.又因为100001010Q P PC ⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭故有200()010001T T TQ AQ C P AP C ⎛⎫⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭所以222123()2T T T f x Ax y Q AQ y y y y ===-+.选（A ）(7) 若,A B 为任意两个随机事件,则: ( )(A)()()()≤P AB P A P B (B)()()()≥P AB P A P B (C)()()()2+≤P A P B P AB (D) ()()()2+≥P A P B P AB【答案】(C)【解析】由于,AB A AB B ⊂⊂，按概率的基本性质，我们有()()P AB P A ≤且()()P AB P B ≤，从而()()()2P A P B P AB +≤≤，选(C) .(8) 设总体()~,,X B m θ12,,,n X X X 为来自该总体的简单随机样本,X 为样本均值,则()21n i i E X X =⎡⎤∑-=⎢⎥⎣⎦( ) (A) ()()11θθ--m n (B)()()11θθ--m n (C)()()()111θθ---m n (D)()1θθ-mn 【答案】(B)【解析】根据样本方差2211()1ni i S X X n ==--∑的性质2()()E S D X =，而()(1)D X m θθ=-，从而221[()](1)()(1)(1)ni i E X X n E S m n θθ=-=-=--∑，选(B) .二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 20ln(cos )lim__________.x x x→= 【答案】 【解析】原极限(10)设函数()f x 连续，2()()d ,x x xf t t ϕ=⎰若(1)1,(1)5,ϕϕ'==则(1)________.f =【答案】【解析】因为连续，所以可导，所以；因为，所以12-2200ln(1cos 1)cos 11limlim 2x x x x x x →→+--===-2()f x ()x ϕ2220()()2()x x f t dt x f x ϕ'=+⎰(1)1ϕ=1(1)()1f t dt ϕ==⎰又因为，所以故(11)若函数(,)z z x y =由方程23e 1x y z xyz +++=确定，则(0,0)d _________.z=【答案】 【解析】当，时带入，得. 对求微分，得把，，代入上式，得所以 (12)设函数()y y x =是微分方程20y y y '''+-=的解，且在0x =处取得极值3，则()________.y x =【答案】【解析】的特征方程为，特征根为，，所以该齐次微分方程的通解为，因为可导，所以为驻点，即，，所以，，故(13)设3阶矩阵A 的特征值为2,2,1-，2,=-+B A A E 其中E 为3阶单位矩阵，则行列式________.=B【答案】21【解析】A 的所有特征值为2,2,1.-B 的所有特征值为3,7,1. 所以||37121B =⨯⨯=.(14)设二维随机变量(,)X Y 服从正态分布(1,0;1,1;0)N ，则(1)5ϕ'=1(1)()2(1)5f t dt f ϕ'=+=⎰(1)2f =1233dx dy --0x =0y =231x y z e xyz +++=0z =231x y z e xyz +++=2323()(23)()x y z x y z d e xyz e d x y z d xyz +++++=+++23(23)x y z e dx dy dz yzdx xzdy xydz ++=+++++0=0x =0y =0z =230dx dy dz ++=(0,0)1233dz dx dy =--2()2x x y x e e -=+20y y y '''+-=220λλ+-=2λ=-1λ=212()xx y x C eC e -=+()y x 0x =(0)3y =(0)0y '=11C =22C =2()2x x y x e e -=+{0}_________.P XY Y -<=【答案】12【解析】由题设知，~(1,1),~(0,1)X N Y N ，而且X Y 、相互独立，从而{0}{(1)0}{10,0}{10,0}P XY Y P X Y P X Y P X Y -<=-<=-><+-<>11111{1}{0}{1}{0}22222P X P Y P X P Y =><+<>=⨯+⨯=.三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分10 分)设函数3()ln(1)sin ,()f x x a x bx x g x c kx =+++==.若()f x 与()g x 在0x →时是等价无穷小，求,,a b k 的值.【答案】111,,23a b k --=-== 【解析】法一：因为，， 则有，， 可得：，所以，．法二： 由已知可得得由分母，得分子，求得233ln(1)()23x x x x o x +=-++33sin ()3!x x x o x =-+23333000(1)()()()ln(1)sin 231lim lim lim ()x x x a aa xb x x o x f x x a x bx x g x kx kx→→→++-+++++===100213a ab ak⎧⎪+=⎪⎪-=⎨⎪⎪=⎪⎩11213a b k ⎧⎪=-⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩300sin )1ln(lim )()(lim1kxxbx x a x x g x f x x +++==→→203cos sin 11lim kxx bx x b x ax ++++=→03lim 20=→kx x )cos sin 11(lim 0x bx x b xax ++++→0)1(lim 0=+=→a xc ；于是由分母，得分子，求得； 进一步，b 值代入原式，求得 (16)(本题满分10 分) 计算二重积分()d d Dx x y x y +⎰⎰，其中222{(,)2,}.D x y x y y x =+≤≥ 【答案】245π-【解析】)()(lim10x g x f x →=23cos sin 111lim kx x bx x b x x +++-=→）（x kx xx bx x x b x x +++++=→13cos )1(sin )1(lim223cos )1(sin )1(limkx xx bx x x b x x ++++=→kxxx bx x bx x x b x x b x b x 6sin )1(cos cos )1(cos )1(sin 1lim0+-++++++=→06lim 0=→kx x ]sin )1(cos cos )1(2sin 1[lim 0x x bx x bx x x b x b x +-++++→0)cos 21(lim 0=+=→x b x 21-=b )()(lim 10x g x f x →=kxx x x x x x x x x 6sin )1(21cos 21cos )1(sin 211lim 0++-+--=→k xx x x x x x x x x x x x x x 6cos )1(21sin 21sin )1(21sin 21cos 21sin )1(cos cos 21lim 0++++++-++--=→k621-=.31-=k 2()DDx x y dxdy x dxdy +=⎰⎰⎰⎰21202xdx x dy =⎰12202)x x dx =⎰(17)(本题满分10分)为了实现利润的最大化，厂商需要对某商品确定其定价模型，设Q 为该商品的需求量，P 为价格，MC 为边际成本，η为需求弹性(0)η>.(I) 证明定价模型为11MCP η=-； (II) 若该商品的成本函数为2()1600C Q Q =+，需求函数为40Q P =-，试由（I ）中的定价模型确定此商品的价格.【答案】(I)略(II) .【解析】(I)由于利润函数,两边对求导，得. 当且仅当时，利润最大，又由于,所以,故当时，利润最大. (II)由于,则代入(I)中的定价模型，得,从而解得.(18)(本题满分10 分)设函数()f x 在定义域I 上的导数大于零，若对任意的0x I ∈，曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线与直线0x x =及x 轴所围成区域的面积恒为4，且(0)2f =，求()f x 表达式.【答案】()84f x x=-12240022222sin 2cos 55x t xt tdt π=--⎰⎰22242002222sin 2sin .5545u t tdt udu πππ==-=-=-⎰⎰30P =()()()()L Q R Q C Q PQ C Q =-=-Q ()dL dP dP P Q C Q P Q MC dQ dQ dQ'=+-=+-0dL dQ =()L Q P dQ Q dP η=-⋅1dP PdQ Q η=-⋅11MCP η=-()22(40)MC C Q Q P '===-40P dQ PQ dP Pη=-⋅=-2(40)401P P P P-=--30P =【解析】曲线的切线方程为，切线与轴的交点为故面积为：. 故满足的方程为,此为可分离变量的微分方程,解得，又由于，带入可得，从而 (19)(本题满分 10分)（I ）设函数(),()u x v x 可导，利用导数定义证明[()()]()()()();u x v x u x v x u x v x '''=+ （II ）设函数12(),(),,()n u x u x u x 可导，12()()()()n f x u x u x u x =，写出()f x 的求导公式.【答案】【解析】（I ）（II ）由题意得(20) (本题满分 11分)设矩阵101101a a a ⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭A =，且3=A O .(I) 求a 的值；()()()000y f x f x x x '-=-x ()()000,0f x x f x ⎛⎫- ⎪ ⎪'⎝⎭()()200142f x S f x =='()f x ()()28f x f x '=()8f x x C -=+()0=2f 4C =-()84f x x=-12()[()()()]n f x u x u x u x ''=121212()()()()()()()()()n n n u x u x u x u x u x u x u x u x u x '''=+++0()()()()[()()]limh u x h v x h u x v x u x v x h→++-'=0()()()()()()()()limh u x h v x h u x h v x u x h v x u x v x h→++-+++-=00()()()()lim ()lim ()h h v x h v x u x h u x u x h v x h h→→+-+-=++()()()()u x v x u x v x ''=+12()[()()()]n f x u x u x u x ''=121212()()()()()()()()()n n n u x u x u x u x u x u x u x u x u x '''=+++(II)若矩阵X 满足22--+=X XA AX AXA E ，其中E 为3阶单位矩阵，求X .【答案】3120,111211a X -⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪-⎝⎭【解析】(I)323100100111100011a A O A a a a a a a a a=⇒=⇒-=--==⇒=-(II)由题意知()()()()()()()()()222211122212X XA AX AXA E X E A AX E A E E A X E A E X E A E A E A E A X E A A ------+=⇒---=⎡⎤⇒--=⇒=--=--⎣⎦⇒=--2011111112E A A -⎛⎫⎪--=- ⎪ ⎪--⎝⎭，011100111010111010011100112001112001----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭MM M M M M 111010111010011100011100021011001211------⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭M M M M M M 110201100312010111010111001211001211---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭M M M M M M 312111211X -⎛⎫ ⎪∴=- ⎪ ⎪-⎝⎭(21) (本题满分11 分)设矩阵02313312a -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭A 相似于矩阵12000031b -⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭B =.(I) 求,a b 的值；（II ）求可逆矩阵P ，使1-P AP 为对角矩阵.【答案】2314,5,101011a b P --⎛⎫ ⎪===- ⎪ ⎪⎝⎭【解析】(1) ~()()311A B tr A tr B a b ⇒=⇒+=++0231201330012031--=⇒--=-A B ba 14235-=-=⎧⎧∴⇒⎨⎨-==⎩⎩a b a a b b 023100123133010123123001123---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪∴=--=+--=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭A E C()123112*********---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭CC 的特征值1230,4λλλ===0λ=时(0)0-=E C x 的基础解系为12(2,1,0);(3,0,1)ξξ==-T T 5λ=时(4)0-=E C x 的基础解系为3(1,1,1)ξ=--TA 的特征值1:1,1,5λλ=+A C令123231(,,)101011ξξξ--⎛⎫⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭P ，1115-⎛⎫⎪∴= ⎪ ⎪⎝⎭P AP(22) (本题满分11 分)设随机变量X 的概率密度为()2ln 2,00,0x x f x x -⎧>⎪=⎨≤⎪⎩,对X 进行独立重复的观测,直到第2个大于3的观测值出现时停止，记Y 为观测次数(I)求Y 的概率分布； (II)求()E Y .【答案】(I)12221171188n n n P Y n C p p p n ---==-=-{}()()()()，23,,n =；(II)16E Y =().【解析】(I) 记p 为观测值大于3的概率，则313228()ln x p P X dx +∞-=>==⎰，从而12221171188n n n P Y n C p p p n ---==-=-{}()()()()，23,,n =为Y 的概率分布；(II) 法一:分解法:将随机变量Y 分解成=Y M N +两个过程,其中M 表示从1到()n n k <次试验观测值大于3首次发生，N 表示从1n +次到第k 试验观测值大于3首次发生.则M Ge n p ~(,)，NGe k n p -(,)(注：Ge 表示几何分布)所以1122168E Y E M N E M E N p p p =+=+=+===()()()(). 法二:直接计算22212221777711288888n n n n n n n E Y n P Y n n n n n ∞∞∞---====⋅==⋅-=⋅--+∑∑∑(){}()()()()[()()()]记212111()()n n S x n n xx ∞-==⋅--<<∑，则2113222211n n n n n n S x n n xn xx x ∞∞∞--==='''=⋅-=⋅==-∑∑∑()()()()()， 12213222111()()()()()n n n n xS x n n xx n n x xS x x ∞∞--===⋅-=⋅-==-∑∑， 2222313222111()()()()()nn n n x S x n n x xn n xx S x x ∞∞-===⋅-=⋅-==-∑∑， 所以212332422211()()()()()x x S x S x S x S x x x-+=-+==--， 从而7168E Y S ==()(). (23) (本题满分11 分)设总体X 的概率密度为,1,(,),x f x θθθ⎧≤≤⎪=-⎨⎪⎩110其他,其中θ为未知参数，12n X ,X ,,X 为来自该总体的简单随机样本.(I)求θ的矩估计量； (II)求θ的最大似然估计量. 【答案】(I)1121ni i X X X n θ==-=∑,；(II)12n X X X θ=min{,,,}.【解析】(I)11112()(;)E X xf x dx x dx θθθθ+∞-∞+==⋅=-⎰⎰， 令()E X X =，即12X θ+=，解得1121ni i X X X n θ==-=∑,为θ的矩估计量；(II)似然函数11110,()(;),n ni i i x L f x θθθθ=⎧⎛⎫≤≤⎪ ⎪==-⎨⎝⎭⎪⎩∏其他， 当1i x θ≤≤时，11111()()nni L θθθ===--∏，则1ln ()ln()L n θθ=--.从而1ln ()d L nd θθθ=-，关于θ单调增加，所以12n X X X θ=min{,,,}为θ的最大似然估计量.。
2015年数学_三_试题+详版答案
1
x
(C) 2 dx
f x, ydy
0
1 1 x2
1
2 x x2
(D) 2 dx
f x, y dy
0
x
【答案】(B)
【解析】根据图可得，在极坐标系下该二重积分要分成两个积分区域
D1
(r, )
0
4
,0
r
2
sin
D2
(r, )
4
2
,0
r
2
cos
所以
f (x, y)dxdy
所以 f xT Ax yT (QT AQ) y 2 y12 y22 y32 。选（A）
【王老师点评】本题考查二次型在正交变换（可逆变换）下的标准型，也可以认为是考查矩阵乘 法。
(7) 若 A, B 为任意两个随机事件,则: ( )
(A) P AB P A P B
(B) P AB P A P B
2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题及解析
2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题
一、选择题:1 8 小题,每小题 4 分,共 32 分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要
求的,请将所选项前的字母填在答．题．纸．指定位置上.
(1)设xn 是数列,下列命题中不正确的是
【王老师点评】本题关键： AB A, AB B P( AB) P( A), P( AB) P(B)
(8) 设总体 X ~ B m, , X1, X 2 ,, X n 为来自该总体的简单随机样本, X 为样本均
4
2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题及解析
值,则 E in1
f x, ydxdy
2015数三真题答案
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. 1.设{k x }是数列，下列命题中不正确的是（） (A)若lim k k x a →∞=，则221lim lim k k k k x x a +→∞→∞==.(B)若221lim lim k k k k x x a +→∞→∞==，则lim k k x a →∞=(C) 若lim k k x a →∞=，则321lim lim k k k k x x a +→∞→∞==(D)若331lim lim k k k k x x a +→∞→∞==，则lim k k x a →∞=2.设函数()f x 在(,)-∞+∞连续，其二阶导函数()f x ''的图形如右图所示，则曲线()y f x =的拐点个数为（）（A ）0 (B)1 (C)2 (D)33.设{}2222(,)2,2D x y x y x x y y =+≤+≤，函数(,)f x y D 上连续， 则(,)Df x y dxdy⎰⎰=（）2cos 2sin 4200042sin 2cos 42000410110()(cos ,sin )(cos ,sin )()(cos ,sin )(cos ,sin )()2(,)()2(,)xXA d f r r rdr d f r r rdrB d f r r rdr d f r r rdrC dx f x y dyD dx f x y dyππθθπππθθπθθθθθθθθθθθθ++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰4.下列级数中发散的是（）（A ）13n n n ∞=∑(B)1)n n ∞=+ (C)2(1)1ln n n n ∞=-+∑(D)1!n n n n ∞=∑ 5.设矩阵22111112,,14A a b d a d ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭若集合(1,2)Ω=，则线性方程组Ax b =有无穷多解的充分必要条件为（）(),A a d ∉Ω∉Ω (),B a d ∉Ω∈Ω (),C a d ∈Ω∉Ω (),D a d ∈Ω∈Ω6.设二次型1,23(,)f x x x 在正交变换x py =下的标准形为2221232y y y +-，其中123(,,)p e e e =，若132(,,),Q e e e =-则123(,,)x x x 在正交变换x Qy =下的标准形为（）（A ）2221232y y y -+ (B)2221232y y y +- (C)2221232y y y -- (D)2221232y y y ++ 7.设A,B 为任意两个随机事件，则（）（A ）()()()P AB P A P B ≤ (B)()()()P AB P A P B ≥(C) ()()()2P A P B P AB +≤ (D)()()()2P A P B P AB +≥8.设总体(,)XB m θ，12,,n x x x 为来自该总体的简单随机样本，X 为样本均值，则21()n i i E x X =⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦∑（） （A ）(1)(1)m n θθ-- (B) (1)(1)m n θθ-- (C) (1)(1)(1)m n θθ--- (D) (1)mn θθ-二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. 92ln(cos )limx x x →∞= 。
考研数学三历年真题及解析
3n1 n
lim n 1 1 1 ，所以根据正项级数的比值 n 3n 3
3n
n
判别法 n1 3n 收敛；B 为正项级数，因为
1 n
ln(1
1) n
1
3
n2
，根据 P 级数收敛准则，知
1 ln(1 1 ) 收敛；C， (1)n 1 (1)n
1
，根据莱布尼茨判别法知
n1 n
n
n
1 1 e
，所以根据正项级数
nn
n!
的比值判别法 n1 nn 收敛，所以选 C.
1
(5)设矩阵
A
1
1
1 2 4
1
a a2
,
b
1
d
d
2
.若集合
1, 2 ，则线性方程组 Ax b 有无穷
多解的充分必要条件为 ( )
(A) a , d
(B) a , d
(C) a , d
x0
x
b(1
x) sin x bx(1 3kx（2 1 x）
x)
cos
x
lim
x0
x
b(1
x)
sin x bx(1 3kx 2
x)
cos
x
lim 1 b sin x b(1 x) cos x b(1 x) cos x bx cos x bx(1 x) sin x
x0
6kx
由分母 lim 6kx 0 ，得分子 x0
行列式 B ________ . 【答案】 21 【解析】 A 的所有特征值为 2, 2,1. B 的所有特征值为 3, 7,1.
所以 | B | 3 7 1 21.
(14)设二维随机变量 ( X ,Y ) 服从正态分布 N (1, 0;1,1; 0) ，则
2015年考研数学三真题与答案详细讲解
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题解析一、选择题:1:8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1)设{}n x 是数列,下列命题中不正确的是 ( ) (A) 若lim →∞=n n x a ,则 221lim lim +→∞→∞==n n n n x x a(B) 若221lim lim +→∞→∞==n n n n x x a , 则lim →∞=n n x a(C) 若lim →∞=n n x a ,则 331lim lim +→∞→∞==n n n n x x a(D) 若331lim lim +→∞→∞==n n n n x x a ,则lim →∞=n n x a【答案】(D)【解析】答案为D, 本题考查数列极限与子列极限的关系.数列()n x a n →→∞⇔对任意的子列{}k n x 均有()k n x a k →→∞,所以A 、B 、C 正确； D 错(D 选项缺少32n x +的敛散性),故选D(2) 设函数()f x 在(),-∞+∞连续,其2阶导函数()f x ''的图形如右图所示,则曲线()=y f x 的拐点个数为 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 【答案】(C)【解析】根据拐点的必要条件，拐点可能是()f x ''不存在的点或()0f x ''=的点处产生.所以()y f x =有三个点可能是拐点，根据拐点的定义，即凹凸性改变的点；二阶导函数()f x ''符号发生改变的点即为拐点.所以从图可知，拐点个数为2，故选C.(3) 设 (){}2222,2,2=+≤+≤D x y xy x x y y ,函数(),f x y 在D 上连续,则( )【答案】(B)【解析】根据图可得，在极坐标系下该二重积分要分成两个积分区域所以故选B.(4) 下列级数中发散的是( )(A)(B)(D) 【答案】(C)【解析】ABCD为正项C.(5)穷多解的充分必要条件为( )【答案】(D)故选（D）(6) 设二次型( )【答案】(A)选（A ） (7) ,则: ( )【答案】(C)(C) .(8)值,( )【答案】(B)(B) .二、填空题：小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上.(10)(11)(12)3，则(13)设3E为3阶单位矩阵，则【答案】(14)【答案】指定位置上.解答应写出文字三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分10 分).【答案】【解析】法一：则有，法二：由已知可得得c；求进一步，b值代入原式(16)(本题满分10 分)【答案】(17)(本题满分10分)MC(I)(II)试由（I ）中的定价模型确定此商品的价格.【答案】(I)略【解析】(I). (II)(I)中的定价模(18)(本题满分10 分)4，表达式.此为可分离变量的微分方程,(19)(本题满分10分)（I（II求导公式.【解析】（I（II）由题意得(20) (本题满分11分)(I)(II)3【解析】(II)由题意知(21) (本题满分11 分)(I)（II.【解析】A(22) (本题满分11 分),直到第2个大于3(I)(II)【答案】；【解析】(I)3(II) 法一:分解法:,.注：Ge表示几何分布)法二:直接计算(23) (本题满分11 分).(I) (II).【答案】；【解析】(I)；(II).文档容由金程考研网整理发布。
2015考研数学(三)真题解析：求函数的极限
2015考研数学（三）真题解析：求函数的极限函数极限是研究生入学考试的一个高频考点，无论是大题还是小题，都有可能出现。
2015年数三试题考察函数极限时，小题第1题以选择题的形式考察（分值4分），考察极限的敛散性的判定，小题第9题以填空题的形式考察（分值4分），考察利用等价无穷小求极限，解答题15题通过求解函数极限确定未知参数（分值为10分），考察利用泰勒公式求极限，总分18分，占12%。
老师提醒考生，在复习时，一定要熟练掌握求函数的极限。
一、回顾知识点求函数极限的常规方法有以下几种：利用等价无穷小求极限；利用洛必达法则求极限；利用泰勒公式；利用单调有界存在准则求极限；利用夾逼存在准则求极限；利用中值定理求极限二、真题解析（1）设是数列.下列命题中不正确的是{}n x （A ）若x n =a ，则x 2n =x 2n +1= a. lim n →∞lim n →∞lim n →∞（B ）若x 2n =x 2n +1= a ，则x n = a. lim n →∞lim n →∞lim n →∞（C ）若x n =a ，则x 3n =x 2n +1= a. lim n →∞lim n →∞lim n →∞（D ）若x 3n =x 3n +1=a ，则x n = a. lim n →∞lim n →∞lim n →∞【解析】选择（D ）方法：举反例：，， 131,31133+-=+=+n a x n a x n n 231223++=+n a x n 显然，但。
a x a x x n n n n n n 2lim ,lim lim 23133===+∞→+∞→∞→a x n n ≠∞→lim 本题主要考察数列收敛的条件，属于基础题型。
（9）= .2ln(cos )lim x x x →∞【解析】 211cos lim )]1(cos 1ln[lim )ln(cos lim 202020-=-=-+=→→→x x x x x x x x x 本题主要考察利用等价无穷小求极限，必须掌握常见的等价无穷小量，属于基础题型。
2015年考研数学三真题详解
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题解析一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1)设{}n x 是数列,下列命题中不正确的是 ( ) (A) 若lim →∞=n n x a ,则 221lim lim +→∞→∞==n n n n x x a(B) 若221lim lim +→∞→∞==n n n n x x a , 则lim →∞=n n x a(C) 若lim →∞=n n x a ,则 331lim lim +→∞→∞==n n n n x x a(D) 若331lim lim +→∞→∞==n n n n x x a ,则lim →∞=n n x a【答案】(D)【解析】答案为D, 本题考查数列极限与子列极限的关系.数列()n x a n →→∞⇔对任意的子列{}k n x 均有()k n x a k →→∞,所以A 、B 、C 正确； D 错(D 选项缺少32n x +的敛散性),故选D(2) 设函数()f x 在(),-∞+∞内连续,其2阶导函数()f x ''的图形如右图所示,则曲线()=y f x 的拐点个数为 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 【答案】(C)【解析】根据拐点的必要条件，拐点可能是不存在的点或的点处产生.所以有三个点可能是拐点，根据拐点的定义，即凹凸性改变的点；二阶导函数符号发生改变的点即为拐点.所以从图可知，拐点个数为2，故选C.(3) 设 (){}2222,2,2=+≤+≤D x y xy x x y y ,函数(),f x y 在D 上连续,则(),d d Df x y x y =⎰⎰ ( )(A)()()2cos 2sin 4204d cos ,sin d d cos ,sin d f r r r r f r r r r θθθθθθθθπππ+⎰⎰⎰⎰()f x ''()0f x ''=()y f x =()f x ''(B)()()2sin 2cos 420004d cos ,sin d d cos ,sin d f r r r r f r r r r θθθθθθθθπππ+⎰⎰⎰⎰(C) ()1012d ,d xxf x y y ⎰⎰(D) ()102d ,d xxf x y y ⎰【答案】(B)【解析】根据图可得，在极坐标系下该二重积分要分成两个积分区域所以，故选B.(4) 下列级数中发散的是( )(A) 13n n n∞=∑ (B)1)n n ∞=+∑(C) 2(1)1ln n n n ∞=-+∑ (D)1!n n n n ∞=∑【答案】(C)【解析】A 为正项级数，因为，所以根据正项级数的比值判别法收敛；B，根据级数收敛准则，知收敛；C ，，根据莱布尼茨判别法知收敛，发散，所以根据级数收敛定义知，发散；D 为正项级数，因为，所以根据正项级数1(,)0,02sin 4D r r πθθθ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭2(,),02cos 42D r r ππθθθ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭2sin 2cos 4204(,)(cos ,sin )(cos ,sin )Df x y dxdy d f r r rdr d f r r rdr ππθθπθθθθθθ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰11113lim lim 1333n n n n n n n n +→∞→∞++==<13n n n∞=∑3211)n n+P 11)n n ∞=+111(1)1(1)1ln ln ln n n n n n n n n∞∞∞===-+-=+∑∑∑1(1)ln nn n ∞=-∑11ln n n ∞=∑1(1)1ln n n n ∞=-+∑11(1)!(1)!1(1)lim lim lim 1!!(1)1nn n n n n n n n n n n n n n n n e n++→∞→∞→∞+++⎛⎫===< ⎪++⎝⎭的比值判别法收敛，所以选C. (5)设矩阵21111214a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ,21d d ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭b .若集合}{1,2Ω=，则线性方程组=Ax b 有无穷多解的充分必要条件为 ( )(A) ,a d ∉Ω∉Ω (B) ,a d ∉Ω∈Ω (C) ,a d ∈Ω∉Ω (D) ,a d ∈Ω∈Ω 【答案】(D)【解析】2211111111(,)1201111400(1)(2)(1)(2)A b ad a d a d a a d d ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭，由()(,)3r A r A b =<，故1a =或2a =，同时1d =或2d =.故选（D ） (6) 设二次型()123,,f x x x 在正交变换=x Py 下的标准形为2221232y y y +-，其中123(,,)=P e e e ，若132(,,)=-Q e e e 则123(,,)f x x x =在正交变换=x Qy 下的标准形为( )(A)2221232y y y -+ (B) 2221232y y y +- (C) 2221232y y y -- (D) 2221232y y y ++ 【答案】(A)【解析】由x Py =，故222123()2T T T f x Ax y P AP y y y y ===+-. 且200010001TP AP ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭.又因为100001010Q P PC ⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭故有200()010001T T TQ AQ C P AP C ⎛⎫⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭1!n n n n ∞=∑所以222123()2T T T f x Ax y Q AQ y y y y ===-+.选（A ） (7) 若,A B 为任意两个随机事件,则: ( ) (A)()()()≤P AB P A P B (B)()()()≥P AB P A P B (C) ()()()2+≤P A P B P AB (D) ()()()2+≥P A P B P AB【答案】(C)【解析】由于,AB A AB B ⊂⊂，按概率的基本性质，我们有()()P AB P A ≤且()()P AB P B ≤，从而()()()2P A P B P AB +≤≤，选(C) .(8) 设总体()~,,X B m θ12,,,n X X X 为来自该总体的简单随机样本, X 为样本均值,则()21ni i E X X =⎡⎤∑-=⎢⎥⎣⎦( ) (A) ()()11θθ--m n (B)()()11θθ--m n (C)()()()111θθ---m n (D)()1θθ-mn 【答案】(B)【解析】根据样本方差2211()1ni i S X X n ==--∑的性质2()()E S D X =，而()(1)D X m θθ=-，从而221[()](1)()(1)(1)ni i E X X n E S m n θθ=-=-=--∑，选(B) .二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 20ln(cos )lim__________.x x x→= 【答案】 【解析】原极限 (10)设函数()f x 连续，2()()d ,x x xf t t ϕ=⎰若(1)1,(1)5,ϕϕ'==则(1)________.f =【答案】【解析】因为连续，所以可导，所以；12-2200ln(1cos 1)cos 11limlim 2x x x x x x →→+--===-2()f x ()x ϕ2220()()2()x x f t dt x f x ϕ'=+⎰因为，所以又因为，所以故(11)若函数(,)z z x y =由方程23e1x y zxyz +++=确定，则(0,0)d _________.z=【答案】 【解析】当，时带入，得.对求微分，得把，，代入上式，得 所以 (12)设函数()y y x =是微分方程20y y y '''+-=的解，且在0x =处取得极值3，则()________.y x =【答案】【解析】的特征方程为，特征根为，，所以该齐次微分方程的通解为，因为可导，所以为驻点，即，，所以，，故(13)设3阶矩阵A 的特征值为2,2,1-，2,=-+B A A E 其中E 为3阶单位矩阵，则行列式________.=B【答案】 21【解析】A 的所有特征值为2,2,1.-B 的所有特征值为3,7,1. 所以||37121B =⨯⨯=.(1)1ϕ=1(1)()1f t dt ϕ==⎰(1)5ϕ'=1(1)()2(1)5f t dt f ϕ'=+=⎰(1)2f =1233dx dy --0x =0y =231x y ze xyz +++=0z =231x y zexyz +++=2323()(23)()x y z x y z d e xyz e d x y z d xyz +++++=+++23(23)x y z e dx dy dz yzdx xzdy xydz ++=+++++0=0x =0y =0z =230dx dy dz ++=(0,0)1233dz dx dy =--2()2xx y x ee -=+20y y y '''+-=220λλ+-=2λ=-1λ=212()xx y x C eC e -=+()y x 0x =(0)3y =(0)0y '=11C =22C =2()2x x y x e e -=+(14)设二维随机变量(,)X Y 服从正态分布(1,0;1,1;0)N ，则{0}_________.P XY Y -<=【答案】12【解析】由题设知，~(1,1),~(0,1)X N Y N ，而且X Y 、相互独立，从而{0}{(1)0}{10,0}{10,0}P XY Y P X Y P X Y P X Y -<=-<=-><+-<>11111{1}{0}{1}{0}22222P X P Y P X P Y =><+<>=⨯+⨯=. 三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分10 分)设函数3()ln(1)sin ,()f x x a x bx x g x c kx =+++==.若()f x 与()g x 在0x →时是等价无穷小，求,,a b k 的值.【答案】 111,,23a b k --=-==【解析】法一：因为，， 则有，， 可得：，所以，．法二： 由已知可得得233ln(1)()23x x x x o x +=-++33sin ()3!x x x o x =-+23333000(1)()()()ln(1)sin 231lim lim lim ()x x x a aa xb x x o x f x x a x bx x g x kx kx→→→++-+++++===100213a ab ak⎧⎪+=⎪⎪-=⎨⎪⎪=⎪⎩11213a b k ⎧⎪=-⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩300sin )1ln(lim )()(lim1kx xbx x a x x g x f x x +++==→→203cos sin 11limkx x bx x b x ax ++++=→由分母，得分子，求得c ；于是由分母，得分子，求得； 进一步，b 值代入原式，求得(16)(本题满分10 分) 计算二重积分()d d Dx x y x y +⎰⎰，其中222{(,)2,}.D x y x y y x =+≤≥ 【答案】245π-【解析】03lim 2=→kx x )cos sin 11(lim 0x bx x b xax ++++→0)1(lim 0=+=→a x )()(lim10x g x f x →=23cos sin 111lim kxx bx x b x x +++-=→）（x kx xx bx x x b x x +++++=→13cos )1(sin )1(lim223cos )1(sin )1(limkx xx bx x x b x x ++++=→kxxx bx x bx x x b x x b x b x 6sin )1(cos cos )1(cos )1(sin 1lim0+-++++++=→06lim 0=→kx x ]sin )1(cos cos )1(2sin 1[lim 0x x bx x bx x x b x b x +-++++→0)cos 21(lim 0=+=→x b x 21-=b )()(lim 10x g x f x →=kxx x x x x x x x x 6sin )1(21cos 21cos )1(sin 211lim0++-+--=→k xx x x x x x x x x x x x x x 6cos )1(21sin 21sin )1(21sin 21cos 21sin )1(cos cos 21lim 0++++++-++--=→k621-=.31-=k 2()DDx x y dxdy x dxdy +=⎰⎰⎰⎰21202xdx dy =⎰(17)(本题满分10分)为了实现利润的最大化，厂商需要对某商品确定其定价模型，设Q 为该商品的需求量，P 为价格，MC 为边际成本，η为需求弹性(0)η>.(I) 证明定价模型为11MCP η=-； (II) 若该商品的成本函数为2()1600C Q Q =+，需求函数为40Q P =-，试由（I ）中的定价模型确定此商品的价格.【答案】(I)略(II) .【解析】(I)由于利润函数,两边对求导，得. 当且仅当时，利润最大，又由于,所以, 故当时，利润最大. (II)由于,则代入(I)中的定价模型，得,从而解得.(18)(本题满分10 分)设函数()f x 在定义域I 上的导数大于零，若对任意的0x I ∈，曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线与直线0x x =及x 轴所围成区域的面积恒为4，且(0)2f =，求()f x 表达式.12202)x x dx =⎰12240022222sin 2cos 55x t xt tdt π=--⎰⎰22242002222sin 2sin .5545u t tdt udu πππ==-=-=-⎰⎰30P =()()()()L Q R Q C Q PQ C Q =-=-Q ()dL dP dP P Q C Q P Q MC dQ dQ dQ'=+-=+-0dL dQ =()L Q P dQ Q dPη=-⋅1dP PdQ Q η=-⋅11MCP η=-()22(40)MC C Q Q P '===-40P dQ P Q dP Pη=-⋅=-2(40)401P P P P-=--30P =【答案】()84f x x=- 【解析】曲线的切线方程为，切线与轴的交点为故面积为：. 故满足的方程为,此为可分离变量的微分方程,解得，又由于，带入可得，从而 (19)(本题满分 10分)（I ）设函数(),()u x v x 可导，利用导数定义证明[()()]()()()();u x v x u x v x u x v x '''=+ （II ）设函数12(),(),,()n u x u x u x 可导，12()()()()n f x u x u x u x =，写出()f x 的求导公式.【答案】【解析】（I ）（II ）由题意得(20) (本题满分 11分)()()()000y f x f x x x '-=-x ()()000,0f x x f x ⎛⎫- ⎪ ⎪'⎝⎭()()200142f x S f x =='()f x ()()28f x f x '=()8f x x C -=+()0=2f 4C =-()84f x x=-12()[()()()]n f x u x u x u x ''=121212()()()()()()()()()n n n u x u x u x u x u x u x u x u x u x '''=+++0()()()()[()()]limh u x h v x h u x v x u x v x h→++-'=0()()()()()()()()limh u x h v x h u x h v x u x h v x u x v x h→++-+++-=00()()()()lim ()lim ()h h v x h v x u x h u x u x h v x h h→→+-+-=++()()()()u x v x u x v x ''=+12()[()()()]n f x u x u x u x ''=121212()()()()()()()()()n n n u x u x u x u x u x u x u x u x u x '''=+++设矩阵101101a a a ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭A =，且3=A O .(I) 求a 的值；(II)若矩阵X 满足22--+=X XA AX AXA E ，其中E 为3阶单位矩阵，求X .【答案】3120,111211a X -⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪-⎝⎭【解析】(I)323100100111100011a A O A a a a a a aaa=⇒=⇒-=--==⇒=-(II)由题意知()()()()()()()()()222211122212X XA AX AXA E X E A AX E A E E A X E A E X E A E A E AE A X E A A ------+=⇒---=⎡⎤⇒--=⇒=--=--⎣⎦⇒=--2011111112E A A -⎛⎫ ⎪--=- ⎪ ⎪--⎝⎭，011100111010111010011100112001112001----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭MM M M M M 111010111010011100011100021011001211------⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭M M M M M M 110201100312010111010111001211001211---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭M M M M M M 312111211X -⎛⎫ ⎪∴=- ⎪ ⎪-⎝⎭(21) (本题满分11 分)设矩阵02313312a -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭A 相似于矩阵12000031b -⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭B =.11(I) 求,a b 的值；（II ）求可逆矩阵P ，使1-P AP 为对角矩阵.【答案】2314,5,101011a b P --⎛⎫ ⎪===- ⎪ ⎪⎝⎭【解析】(1) ~()()311A B tr A tr B a b ⇒=⇒+=++23120133001231--=⇒--=-A B b a14235-=-=⎧⎧∴⇒⎨⎨-==⎩⎩a b a a b b 023100123133010123123001123---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪∴=--=+--=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭A E C()123112*********---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭CC 的特征值1230,4λλλ===0λ=时(0)0-=E C x 的基础解系为12(2,1,0);(3,0,1)ξξ==-T T 5λ=时(4)0-=E C x 的基础解系为3(1,1,1)ξ=--TA 的特征值1:1,1,5λλ=+A C令123231(,,)101011ξξξ--⎛⎫⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭P ，1115-⎛⎫⎪∴= ⎪ ⎪⎝⎭P AP(22) (本题满分11 分)设随机变量X 的概率密度为()2ln 2,00,0xx f x x -⎧>⎪=⎨≤⎪⎩,对X 进行独立重复的观测,直到12第2个大于3的观测值出现时停止，记Y 为观测次数(I)求Y 的概率分布； (II)求()E Y .【答案】(I)12221171188n n n P Y n C p p p n ---==-=-{}()()()()，23,,n = ；(II)16E Y =().【解析】(I) 记p 为观测值大于3的概率，则313228()ln x p P X dx +∞-=>==⎰，从而12221171188n n n P Y n C p p p n ---==-=-{}()()()()，23,,n = 为Y 的概率分布；(II) 法一:分解法:将随机变量Y 分解成=Y M N +两个过程,其中M 表示从1到()n n k <次试验观测值大于3首次发生，N 表示从1n +次到第k 试验观测值大于3首次发生.则M Ge n p ~(,)，NGe k n p -(,)(注：Ge 表示几何分布)所以11221618E Y E M N E M E N p p p =+=+=+===()()()(). 法二:直接计算22212221777711288888n n n n n n n E Y n P Y n n n n n ∞∞∞---====⋅==⋅-=⋅--+∑∑∑(){}()()()()[()()()]记212111()()n n S x n n xx ∞-==⋅--<<∑，则2113222211n n n n n n S x n n xn xx x ∞∞∞--==='''=⋅-=⋅==-∑∑∑()()()()()，12213222111()()()()()n n n n xS x n n xx n n x xS x x ∞∞--===⋅-=⋅-==-∑∑， 2222313222111()()()()()nn n n x S x n n x xn n xx S x x ∞∞-===⋅-=⋅-==-∑∑， 所以212332422211()()()()()x x S x S x S x S x x x-+=-+==--，从而7168E Y S ==()().13(23) (本题满分11 分)设总体X 的概率密度为,1,(,),x f x θθθ⎧≤≤⎪=-⎨⎪⎩110其他,其中θ为未知参数，12n X ,X ,,X 为来自该总体的简单随机样本.(I)求θ的矩估计量； (II)求θ的最大似然估计量. 【答案】(I)1121ni i X X X n θ==-=∑,；(II)12n X X X θ=min{,,,}.【解析】(I)11112()(;)E X xf x dx x dx θθθθ+∞-∞+==⋅=-⎰⎰， 令()E X X =，即12X θ+=，解得1121ni i X X X n θ==-=∑,为θ的矩估计量 ；(II)似然函数11110,()(;),n ni i i x L f x θθθθ=⎧⎛⎫≤≤⎪ ⎪==-⎨⎝⎭⎪⎩∏其他， 当1i x θ≤≤时，11111()()nni L θθθ===--∏，则1ln ()ln()L n θθ=--. 从而1ln ()d L nd θθθ=-，关于θ单调增加，所以12n X X X θ=min{,,,}为θ的最大似然估计量.。
2015年考研数学三真题与解析
2015年考研数学三真题与解析一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分． 1．设{}n x 是数列，则下列命题中不正确的是（ ）（A ）若lim n n x a →∞=，则221lim lim n n n n x x a -→∞→∞==（B ）若221lim lim n n n n x x a -→∞→∞==，则lim n n x a →∞=（C ）若lim n n x a →∞=，则331lim lim n n n n x x a -→∞→∞== (D) 若331lim lim n n n n x x a -→∞→∞==，则lim n n x a →∞=【详解】选择（D ）2．设函数()f x 在(,)-∞+∞上连续，其二阶导数()f x ''的图形如右图所示，则曲线()y f x =在(,)-∞+∞的拐点个数为（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3【详解】对于连续函数的曲线而言，拐点处的二阶导数等于零或者不存在．从图上可以看出有两个二阶导数等于零的点，以及一个二阶导数不存在的点0x =．但对于这三个点，左边的二阶导数等于零的点的两侧二阶导数都是正的，所以对应的点不是拐点．而另外两个点的两侧二阶导数是异号的，对应的点才是拐点，所以应该选（C ）3．设{}222222(,)|,D x y x y x x y y =+≤+≤，函数(,)f x y 在D 上连续，则(,)Df x y dxdy =⎰⎰（A ）224204cos sin (cos ,sin )(cos ,sin )d f r r rdr d f r r rdr ππθθπθθθθθθ+⎰⎰⎰⎰（B ）224204sin cos (cos ,sin )(cos ,sin )d f r r rdr d f r r rdr ππθθπθθθθθθ+⎰⎰⎰⎰（C）112(,)xdxf x y dy ⎰⎰（D）12(,)xdx f x y dy ⎰【详解】应该选（B ） 4．下列级数发散的是（ ）（A ）13n n n ∞=∑ （B）111)n n ∞=+ （C ）211()ln n n n ∞=-+∑（D ）1!n n n n ∞=∑ 【详解】应该选（C ）５．设矩阵2211111214,A a b d a d ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若集合{}12,Ω=，则线性方程组Ax b =有无穷多解的充分必要条件是（A ）,a d ∉Ω∉Ω （B ）,a d ∉Ω∈Ω （C ）,a d ∈Ω∉Ω （D ）,a d ∈Ω∈Ω 【详解】对线性方程组的增广矩阵进行初等行变换：22221111111111111201110111140311001212(,)()()()()B A b ad a d a d a d a d a a d d ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪==→--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭方程组无穷解的充分必要条件是3()(,)r A r A b =<，也就是120120()(),()()a a d d --=--=同时成立，当然应该选（D ）．6．设二次型123(,,)f x x x 在正交变换x Py =下的标准形为2221232y y y +-，其中()123,,P e e e =，若()132,,Q e e e =-，则123(,,)f x x x 在x Qy =下的标准形为（A ）2221232y y y -+ （B ）2221232y y y +- （C ）2221232y y y -- （D ） 2221232y y y ++ 【详解】()()132123100100001001010010,,,,Q e e e e e e P ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，100001010T T Q P ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ 211T T T T f x Ax y PAPy y y⎛⎫⎪=== ⎪ ⎪-⎝⎭所以100100100210020010010011001101001001010101T T Q AQ P AP ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选择（A ）．7．若,A B 为任意两个随机事件，则（ ）（A ）()()()P AB P A P B ≤ （B ）()()()P AB P A P B ≥（C ）2()()()P A P B P AB +≤（D ）2()()()P A P B P AB +≥【详解】．()(),()(),P A P AB P B P AB ≥≥所以2()()()P A P B P AB +≤故选择（C ）．8．设总体12~(.),,,,n X B m X X X θ为来自总休的简单随机样本，X 为样本均值，则()21ni i E X X =⎡⎤-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑ （A ）11()()m n θθ-- （B ）11()()m n θθ-- （C ）111()()()m n θθ--- （D ）1()mn θθ- 【详解】~(.),X B m θ所以1(),()()E X m D X m θθθ==-．设2S =()2111n ii X Xn =--∑，则2S 一定是总体方差的无偏估计，所以21()()E S m θθ=-，从而()21111()()()()ni i E X X n D X m n θθ=⎡⎤-=-=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑ 故应该选择（B ）．二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） 9．20ln(cos )limx x x→= 【详解】200122ln(cos )tan limlim x x x x x x →→-==-．10．设函数()f x 连续，20()()x x xf t dt ϕ=⎰，若1115(),()ϕϕ'==，则1()f = ． 【详解】22()()()x x x xf t dt x f t dt ϕ==⎰⎰，22202()()()x x f t dt x f x ϕ'=+⎰所以1101121512()(),()()()()f t dt f t dt f f ϕϕ'==+=⇒=⎰⎰11．若函数(,)z z x y =由方程231x y z e xyz +++=确定，则00(,)|dz = ． 【详解】当00,x y ==时，，0z =设231(,,)x y z F x y z e xyz ++=+-，则23232323,,,x y z x y z x y z x y z F e yz F e xz F e xy ++++++=+=+=+在点000(,,)处，1233,y x z z F F z z x F y F ∂∂=-=-=-=-∂∂，所以001233(,)|dz dx dy =--12．设函数()y y x =是微分方程20y y y '''+-=的解，且在0x =处()y x 取极值3，则()y x = ．【详解】20y y y '''+-=的通解为212x xy C e C e -=+，由条件0x =处()y x 取极值3可知1221212312220,,()x x C C C C y x e e C C -+=⎧⇒===+⎨-=⎩ 13．设三阶矩阵A 的特征值为221,,-，2B A A E =-+，其中E 为三阶单位矩阵，则行列式B = ．【详解】矩阵B 的三个特征值分别为371,,，所以21.B =14．设二维随机变量(,)X Y 服从正态分布10110(,;,;)N ，则{}0P XY Y -<= ． 【详解】由于相关系数等于零，所以X ，Y 都服从正态分布，1101~(,),~(,)X N Y N ，且相互独立． 则101~(,)X N -．{}{}{}{}1111101001001022222(),,P XY Y P Y X P Y X P Y X -<=-<=<->+>-<=⨯+⨯= 三、解答题15．（本题满分10分）设函数1()ln()sin f x x a x bx x =+++，3()g x kx =在0x →时为等价无穷小，求常数,,a b k 的取值．【详解】当0x →时，把函数1()ln()sin f x x a x bx x =+++展开到三阶的马克劳林公式，得233332331236123()(())(())()()()()x x f x x a x o x bx x x o x a aa xb x x o x =+-+++-+=++-+++ 由于当0x →时，(),()f x g x 是等价无穷小，则有10023a ab a k ⎧⎪+=⎪⎪-+=⎨⎪⎪=⎪⎩，解得，11123,,.a b k =-=-=- 16．（本题满分10分） 计算二重积分()dxdy Dx x y -⎰⎰，其中{}2222(,)|,D x y xy y x =+≤≥【详解】由对称性可知0dxdy Dxy =⎰⎰，22()dxdy dxdy dxdy dxdy DDDDx x y xxy x -=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2112220011402224402202221124225522545)()(sin cos )(sin )sin x dx x dy x x dxx x dx t tdt tdt udu ππππ===-=-=-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 17．（本题满分10分）为了实现利润最大休，厂商需要对某商品确定其定价模型，设Q 为该商品的需求量，P 为价格，MC 为边际成本，η为需求随意性0()η>．（1）证明定价模型为11MCp η=-； （2）若该商品的成本函数为21600()C Q Q =-，需求函数40Q p =-，试由（1）中的定价模型确定此的价格．【详解】（１）总收益为R PQ =．收益对价格的弹性为：111dRER R dR dQ P dQdP Q P EP R P dP Q dP Q dPη⎛⎫===+=+=- ⎪⎝⎭ 收益对需求的弹性为：111(),dRER E PQ dP dQ P Q R EQ EQ P dQ Qη⎛⎫===+=- ⎪⎝⎭ 又11,ER Q dR Q dR EQ R dQ PQ dQ η===- 而边际成本为：11dRP MC dQ η⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以11.MC P η=- （２）2140,()P PMC Q Q Pη==--=-由11240()()P P η-=-，得30.P =18．（本题满分10分）设函数)(x f y =在定义域I 上的导数大于零，若对任意的0x I ∈，曲线)(x f y =在点00(,())x f x 处的切线与直线0x x =及x 轴所围成区域的面积恒为4，且02()f =，求()f x 的表达式． 【详解】)(x f y =在点00(,())x f x 处的切线方程为000()()()y f x x x f x '=-+ 令0y =，得000()()f x x x f x =-'曲线)(x f y =在点00(,())x f x 处的切线与直线0x x =及x 轴所围成区域的面积为00000142()()(()()f x S f x x x f x =--='整理，得218y y '=，解方程，得118C x y =-，由于02()f =，得12C = 所求曲线方程为84.y x=- 19．（本题满分10分）（1）设函数(),()u x v x 都可导，利用导数定义证明(()())()()()()u x v x u x v x u x v x '''=+； （2）设函数12(),(),,()n u x u x u x 都可导，12()()()()n f x u x u x u x =，写出()f x 的求导公式．【详解】（1）证明：设)()(x v x u y =)()()()(x v x u x x v x x u y -++=∆∆∆()()()()()()()()u x x v x x u x v x x u x v x x u x v x =+∆+∆-+∆++∆-v x u x x uv ∆∆∆)()(++=xux u x x v x u x y ∆∆∆∆∆∆∆)()(++= 由导数的定义和可导与连续的关系00'limlim[()()]'()()()'()x x y u uy v x x u x u x v x u x v x x x x∆→∆→∆∆∆==+∆+=+∆∆∆（2）12()()()()n f x u x u x u x =1121212()()()()()()()()()()()n n nf x u x u x u x u x u x u x u x u x u x u x ''''=+++ 20．（本题满分11分）设矩阵101101a A a a ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，且30A =．（1）求a 的值；（2）若矩阵X 满足22X XA AX AXA E ---=，其中E 为三阶单位矩阵，求X ．【详解】（１）先计算Ａ的行列式：2310011111011a a a A a a a aa-=-=-=， 由于30,A =所以0A =，可得0a =，010101010A ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭（２）由条件22X XA AX AXA E ---=，可知2()()E A X E A E --=所以1212121()()(()())()X E A E A E A E A E A A ----=--=--=--由于010101010A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，2101000101A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，2011111112E A A -⎛⎫⎪--=- ⎪ ⎪--⎝⎭， 112121011312111111112211()()()X E A E A E A A ------⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=--=--=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭21．（本题满分11分）设矩阵02313312A a -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭相似于矩阵12000031B b -⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭．（1）求,a b 的值；（2）求可逆矩阵P ，使1P AP -为对角矩阵．【详解】（1）因为两个矩阵相似，所以有trA trB =，A B =．也就是324235a b a a b b +=+=⎧⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩． （2）由212050150031()()E B λλλλλλ--=-=--=--，得A ，B 的特征值都为12315,λλλ===解方程组0()E A x -=，得矩阵A 的属于特征值121λλ==的线性无关的特征向量为12231001.ξξ-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；解方程组50()E A x -=得矩阵A 的属于特征值35λ=的线性无关的特征向量为3111ξ-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭令()123231101011,,P ξξξ--⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭，则1100010005.P AP -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭22．（本题满分11分）设随机变量X 的概率密度为22000ln ,(),x x f x x -⎧>=⎨≤⎩对X 进行独立重复的观测，直到第2个大于3的观测值出现时停止，记Y 为次数．求Y 的分布函数；（1） 求Y 的概率分布； （2） 求数学期望.EY 【详解】（1）X 进行独立重复的观测，得到观测值大于3的概率为313228()ln x P X dx +∞->==⎰显然Y 的可能取值为234,,,且2211117171234888648()(),,,,k k kP Y k C k k ---⎛⎫⎛⎫==⨯⨯=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）设22322221111()()(),()n nn n n n x S x n n xx x x x x ∞∞∞-===''''⎛⎫⎛⎫''=-====< ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭∑∑∑2221717116648648()()()k k n E Y kP Y k k k S -∞∞==⎛⎫⎛⎫===-== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑ 23．（本题满分11分）设总体X 的概率密度为1110,(;),x f x θθθ⎧≤≤⎪=-⎨⎪⎩其他其中θ为未知参数，12,,,n X X X 是来自总体的简单样本．（1）求参数θ的矩估计量；（2）求参数θ的最大似然估计量． 【详解】（1）总体的数学期望为111112()()E X xdx θθθ==+-⎰ 令()E X X =，解得参数θ的矩估计量：21ˆX θ=-． （2）似然函数为12121110,,,,()(,,,;),n nn x x x L x x x θθθ⎧≤≤⎪-=⎨⎪⎩其他显然()L θ是关于θ的单调递增函数，为了使似然函数达到最大，只要使θ尽可能大就可以，所以参数θ的最大似然估计量为12ˆmin(,,,).n x x x θ=。
2015考研数学三真题和答案解析
2014年考研数学三真题一、选择题（18小题，每小题4分，共32分。
下列媒体给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
）(1)设且≠0，则当充分大时有(A)(B)(C)(D)【答案】A。
【解析】【方法1】直接法：由且≠0，则当充分大时有【方法2】排除法：若取显然,且(B)和(D)都不正确；取显然，且(C)不正确综上所述，本题正确答案是(A)【考点】高等数学—函数、极限、连续—极限的概念与性质(2)下列曲线中有渐近线的是(A)(B)(C)(D)【答案】C。
【解析】【方法1】由于所以曲线有斜渐近线，故应选(C)解法2考虑曲线与直线纵坐标之差在 时的极限则直线是曲线的一条斜渐近线，故应选(C)综上所述，本题正确答案是(C)【考点】高等数学—一元函数微分学—曲线的凹凸、拐点及渐近线(3)设当0时，若是比高阶的无穷小，则下列选项中错误的是(A)0(B)(C)0(D)【答案】D。
【解析】【方法1】当0时，知，的泰勒公式为又0则00【方法2】显然，0，000由上式可知，,否则等式右端极限为 ，则左端极限也为 ，与题设矛盾。
000故0综上所述，本题正确答案是(D)。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小量及其阶的比较(4)设函数具有二阶导数， 0,则在区间[0,1]上(A)当0时，(B)当0时，(C)当0时，(D)当0时，【答案】D。
【解析】【方法1】由于00则直线0过点00和(),当0时，曲线在区间[0,1]上是凹的，曲线应位于过两个端点00和的弦0的下方，即【方法2】令0,则0,,当0时，0。
则曲线在区间0上是凹的，又00，从而，当0时，0,即【方法3】令0,则0,=当0时,单调增，，从而，当0时，0,即综上所述，本题正确答案是D。
【考点】高等数学—一元函数微分学—函数不等式证明(5)行列式0(A)(B) (C)(D)【答案】B。
【解析】灵活使用拉普拉斯公式0 000000000==综上所述，本题正确答案是(B)【考点】线性代数—行列式—数字型行列式的计算(6)设均为三维向量，则对任意常数,向量组线性无关是向量组线性无关的(A)必要非充分条件(B)充分非必要条件(C)充分必要条件(D)既非充分又非必要条件【答案】A。
2015考研数学三真题
2015考研数学三真题（正文）2015考研数学三真题一、选择题1. 设函数f(x) = x^2 + bx + c，其中b，c为常数，且对任意实数x满足f(x)f(x + 1) ≤ 0，那么f(x) = 0的一个实根的取值范围是（）A. (0, ∞)B. (–∞, 0)C. (–∞, 1] ∪ (0, ∞)D. [0, 1]E. [–1, 0]分析：根据题意，只需找到一个实根即可。
对于f(x)从负数到正数的变化过程，如果存在f(x)≤0的区间，那么一定包含一个实根。
根据选项分析，只有选项C满足题意。
答案：C2. 若小于正整数n的正整数中，有k个的约数个数为偶数，n的约数个数是奇数，那么k的值为（）A. 0B. 1C. 2D. n - 1E. n分析：根据题目描述，小于n的正整数中k个的约数个数是偶数，即k个数都是完全平方数。
若n的约数个数是奇数，根据数论中完全平方数的特性可知，n本身也是一个完全平方数。
因此，k的值为n - 1。
答案：D二、填空题3. 设数列an满足an = 2an-1 - 1，其中a1 = 4，则a5 = ______。
分析：根据数列的递推关系可得，a2 = 7，a3 = 13，a4 = 25，a5 = 49。
答案：494. 设A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}，则A的不同划分数为______。
分析：根据集合的划分原理可得，A的不同划分数为Bell数B(7) = 877。
答案：877三、解答题5. 已知复数z满足|z + 1| = |z - 1|，求z的所有可能值。
解析：根据复数的绝对值定义，|z + 1| = |z - 1|等价于对应实部和虚部的平方和相等。
设z = x + yi，其中x，y为实数，则可得到方程组：(x + 1)^2 + y^2 = (x - 1)^2 + y^2解得x = 0，即z为纯虚数。
因此，z的所有可能值为z = yi，其中y 为实数。
答案：z = yi，其中y为实数。
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万学海文2015年考研数学必考题型——数学三
考研临近，万学海文集合考研数学名师团队，深入研究2015年数学考试大纲及修订内容，并结合考研数学的命题趋势及特点，在经过反复锤炼之后，分析总结知识要点，为广大考研学子潜心搜集整理了最新信息和多方面精华资料，进一步对当年的考研数学命题进行预测，帮助学员把握出题重中之重。
目
大纲章节知识点题型重要度等级
高等数学第一章函数、极
限、连续
等价无穷小代换、洛必达法则、
泰勒展开式
求函数的极限★★★★★函数连续的概念、函数间断点的
类型
判断函数连续性与间断点的类型★★★
第二章一元函数
微分学
导数的定义、可导与连续之间的
关系
按定义求一点处的导数，可导与
连续的关系
★★★★函数的单调性、函数的极值讨论函数的单调性、极值★★★★
闭区间上连续函数的性质、罗尔
定理、拉格朗日中值定理、柯西
中值定理和泰勒定理
微分中值定理及其应用★★★★★
第三章一元函数
积分学
积分上限的函数及其导数变限积分求导问题★★★★★
定积分的应用用定积分计算几何量★★★★
第四章多元函数
微积分学
隐函数、偏导数、全微分的存在
性以及它们之间的因果关系
函数在一点处极限的存在性，连
续性，偏导数的存在性，全微分
存在性与偏导数的连续性的讨论
与它们之间的因果关系
★★★二重积分的概念、性质及计算二重积分的计算及应用★★★★★
希望通过我们总结的以上资料，帮助广大考生在最后的这段关键时间里，梳理好知识体系，准确把握考点，直击命题要害，做好最终的考前冲刺。