慈溪市杨贤江中学高二数学期中测试试卷
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1a = 3b = a a b =+ b a b =- PRINT a ，b浙江省慈溪市高二上学期期中联考(数学)（联考学校：龙中，云中，逍中，周中，但不统批！）（时间：1，满分：1注：本次考试不能使用计算器！一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案写在答题卷中的相应位置上）1．用“辗转相除法”求得360和504的最大公约数是 （ ）A.72B.36C.24D.25 2.将两个数8,17a b ==交换,使17,8a b ==,下面语句中正确的一组是 （ ）3．若让计算机执行下面的程序段，则输出的结果是 （ ）A ．1,3B ．4,1C ．0,0D ．6,0 4.容量为的样本数据，按从小到大的顺序分为组，如下表：则第三组的频数和频率分别是 （ ） A ．14和0.14 B ．0.14和14 C ．141和0.14 D ． 31和1415．10名工人某天生产同一零件，生产的件数分别是：15,17,14,10,15,17,17,16,14,12,若设其平均数为a ,中位数为b ,众数为c ，则三数,,a b c 的大小关系为 ( ) A ． c b a >> B ．a c b >> C ．b a c >> D ．a b c >>6．下列五种对某生活现象发生的表示：①“一定发生的”， ②“很可能发生的”， ③“可能发生的”，④“不可能发生的”，⑤“不太可能发生的”，则其发生的概率由小到大的排列为 （ ） A ．①②③④⑤B ．④⑤③②①C ．①③②⑤④D ．②③④⑤①7．如果从装有2个红球和2个黒球的口袋内任取2个球，那么下列各组中的两个事件是“互斥而不对立”是（ ） A ．“至少有一个黒球”与“都是黒球” B ．“至少有一个黒球”与“都是红球”C ．“至少有一个黒球”与“至少有1个红球”D ．“恰有1个黒球”与“恰有2个黒球”8．若数据1x 、2x 、……n x 的平均值为x ，方差为2S ，则数据：135x +，235x +，…… 35n x +的平均值和方差分别为 （ ） A ．x 和2S B ．3x +5和92S C ．3x +5和2S D ．3x +5 和92S +30S +259．下列说法中正确的是 （ ）A.若甲乙两个班期末考试数学平均成绩相同，则表明这两个班数学学习情况一样B.若期末考试数学成绩的方差甲班比乙班的小，则表明甲班的数学学习情况比乙班好C.若期末考试数学平均成绩甲、乙两班相同，方差甲班比乙班大，则数学学习甲班比乙班好D.若期末考试数学平均成绩甲、乙两班相同，方差甲班比乙班小，则数学学习甲班比乙班好 10．某初级中学有学生270人，其中初一年级108人，初二、三年级各有81人，现要利用抽样方法取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按初一、二、三年级依次统一编号为1,2,...,270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号为1,2,...,270，并将整个编号依次分为10段.如果抽得号码（10个）有下列四种情况： ①7，34，61，88，115，142，169，196， 223， 250； ②5，9，100，107，111，121，180，195， 265； ③11，38，65，92，119，146，173， 227，254；④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270；关于上述样本的下列结论中，正确的是 （ ） A ．②、③都不能为系统抽样 B ．②、④都不能为分层抽样 C ．①、④都可能为系统抽样 D ．①、③都可能为分层抽样二、填充题（本大题共9小题，每小题4分，共36分，把答案填在答题卷中的相应位置上）11．若线性回归方程为yˆ=4.4x +838，则当10x =时，y 的估计值为___ 。
浙江省宁波市慈溪市2021-2022高二数学上学期期中试题(含解析)
浙江省宁波市慈溪市2021-2022高二数学上学期期中试题（含解析）一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.经过A (5，0)，B (2，3)两点的直线的倾斜角为（ ） A. 45° B. 60° C. 90° D. 135°【答案】D 【解析】 【分析】先根据两点的斜率公式求出斜率,结合斜率与倾斜角的关系可得倾斜角. 【详解】因为A (5，0)，B (2，3),所以过两点的直线斜率为30125k -==--, 所以倾斜角为135︒. 故选：D.【点睛】本题主要考查直线倾斜角的求解,明确直线和倾斜角的关系是求解本题的关键,侧重考查数学运算的核心素养.2.直线l 过点(1,2)-且与直线2340x y -+=垂直，则l 的方程为（ ） A. 3210x y +-= B. 2310x y C. 3210x y ++= D. 2310x y --= 【答案】C 【解析】 【分析】根据所求直线与已知直线垂直,可以设出直线,结合所过点可得. 【详解】因为直线l 与直线2340x y -+=垂直, 所以设直线:l 320x y c ++=,因为直线l 过点(1,2)-,所以1c =,即方程为3210x y ++=. 故选：C.【点睛】本题主要考查两直线的位置关系，与已知直线0ax by c 平行的直线一般可设其方程为0ax by m ++=；与已知直线0ax by c垂直的直线一般可设其方程为0bx ay m -+=.3.一条直线与两条平行线中的一条为异面直线，则它与另一条( ) A. 相交 B. 异面C. 相交或异面D. 平行【答案】C 【解析】如下图所示,,,a b c 三条直线平行,a 与d 异面,而b 与d 异面,c 与d 相交,故选C.4. 不在3x+2y ＞3表示的平面区域内的点是（ ） A. （0，0） B. （1，1） C. （0，2） D. （2，0）【答案】A 【解析】试题分析：将各个点的坐标代入，判断不等式是否成立，可得结论．解：将（0，0）代入，此时不等式3x+2y ＞3不成立，故（0，0）不在3x+2y ＞3表示的平面区域内，将（1，1）代入，此时不等式3x+2y ＞3成立，故（1，1）在3x+2y ＞3表示的平面区域内， 将（0，2）代入，此时不等式3x+2y ＞3成立，故（0，2）在3x+2y ＞3表示的平面区域内， 将（2，0）代入，此时不等式3x+2y ＞3成立，故（2，0）在3x+2y ＞3表示的平面区域内， 故选A ．考点：二元一次不等式（组）与平面区域．5.已知点M (-2，1，3)关于坐标平面xOz 的对称点为A ，点A 关于y 轴的对称点为B ，则|AB |=( )A. 2B.C. D. 5【答案】B 【解析】 【分析】先根据对称逐个求出点,A B 的坐标,结合空间中两点间的距离公式可求. 【详解】因为点M (-2，1，3)关于坐标平面xOz 的对称点为A , 所以(2,1,3)A --,因为点A 关于y 轴的对称点为B ,所以(2,1,3)B --,所以AB ==. 故选：B.【点睛】本题主要考查空间点的对称关系及两点间的距离公式,明确对称点间坐标的关系是求解的关系,侧重考查直观想象和数学运算的核心素养.6.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别是棱BB 1，B 1C 1的中点，若∠CMN =90°，则异面直线AD 1和DM 所成角为（ ）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°【答案】D 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，结合90CMN ∠=︒，求出1,AD DM 的坐标，利用向量夹角公式可求. 【详解】以1D 为坐标原点,11111,,D A D C D D 所在直线分别为,,x y z 轴,建立空间直角坐标系,如图,设11111,,D A a D C b D D c ===,则(0,,),(,,),(,,0)22c a C b c M a b N b ,(,0,),(0,0,)A a c D c ,(,0,)(,0,)222c a c CM a MN =-=--，,1(,,)(,0,)2cDM a b D A a c =-=， 因为90CMN ∠=︒,所以0CM MN ⋅=,即有222c a =.因为2222102c DM D A a a a ⋅=-=-=,所以1DM AD ⊥,即异面直线1AD 和DM 所成角为90︒.故选：D.【点睛】本题主要考查异面直线所成角的求解，异面直线所成角主要利用几何法和向量法，几何法侧重于把异面直线所成角平移到同一个三角形内，结合三角形知识求解；向量法侧重于构建坐标系，利用向量夹角公式求解.7.点M ，N 在圆x 2+y 2+kx -2y =0上，且关于直线y =kx +1对称，则k =（ ） A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】A 【解析】 【分析】根据圆的对称性可知，直线y =kx +1一定经过圆心，从而可求. 【详解】由题意可知圆心(,1)2k-,因为点M ,N 在圆x 2+y 2+kx -2y =0上,且关于直线y =kx +1对称, 所以直线y =kx +1一定经过圆心,所以有2112k -+=,即0k =.故选：A.【点睛】本题主要考查利用圆的性质求解参数，若圆上的两点关于某直线对称，则直线一定经过圆心，侧重考查直观想象和数学运算的核心素养.8.设α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，且l α⊂，m β⊂（ ） A. 若l β⊥，则αβ⊥ B. 若αβ⊥，则l m ⊥ C. 若//l β，则//αβ D. 若//αβ，则//l m【答案】A 【解析】试题分析：由面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一平面的一条垂线，则两面垂直，可得l β⊥，l α⊂ 可得αβ⊥考点：空间线面平行垂直的判定与性质9.动点P 到点A (6，0)的距离是到点B (2，0)倍，则动点P 的轨迹方程为（ ）A. (x +2)2+y 2=32 B. x 2+y 2=16 C. (x -1)2+y 2=16 D. x 2+(y -1)2=16 【答案】A 【解析】 【分析】先设出动点P 的坐标，根据条件列出等量关系，化简可得.【详解】设(,)P x y ,则由题意可得PA ,=化简可得22(2)32x y ++=. 故选：A.【点睛】本题主要考查轨迹方程的求法,建系,设点,列式,化简是这类问题的常用求解步骤,侧重考查数学运算的核心素养.10.若直线2y x b =+与曲线3y =b 的取值范围是（ ）A. [1,1--+B. [1--C. 11⎡⎣---+D. [1- 【答案】B 【解析】 【分析】先作出曲线3y =,结合图形可求b 的取值范围.【详解】因为3y =所以22(2)(3)4-+-=x y (3)y ≤,如图,观察图形可得,直线过点(0,3)及与半圆相切时可得b 的临界值, 由22(2)(3)4-+-=x y 与2y x b =+相切可得125b =--所以b 的取值范围是[15,3]--. 故选：B.【点睛】本题主要考查利用直线与圆的位置关系求解参数，准确作图是求解本题的关键，注意曲线是半圆,侧重考查直观想象和数学运算的核心素养.二、填空题(本大题共7小题，单空题每小题4分，多空题每小题6分，共36分) 11.已知直线1:10l ax y --=，直线2:30l x y +-=.若直线1l 的倾斜角为4π，则a =_________;若12l l //，则1l ，2l 之间的距离为_____.【答案】 (1). 1 (2). 2【解析】 【分析】利用直线1l 的倾斜角和斜率的关系可求a ；根据两条直线平行可得a ，再结合平行直线间的距离公式可求.【详解】因为直线1l 的倾斜角为4π,所以所以它的斜率为1,即1a =; 因为12l l //，所以1a =-,即1:10l x y ++=, 所以1l ，2l 之间的距离为12224222c cd A B-===+故答案为：1；【点睛】本题主要考查直线的倾斜角与方程的关系，平行直线间的距离，明确斜率和直线倾斜角的关系是求解的关键，两条直线平行的条件使用是思考的方向，侧重考查数学运算的核心素养.12.圆C :x 2+y 2-8x -2y =0的圆心坐标是____;关于直线l :y =x -1对称的圆C '的方程为_. 【答案】 (1). (4，1) (2). (x -2)2+(y -3)2=17 【解析】 【分析】根据圆的一般式方程和圆心的关系可求，先求解对称圆的圆心，结合对称性，圆的半径不变可得对称圆的方程.【详解】由圆的一般式方程可得圆心坐标(4,1),半径r ==设(4,1)关于直线l 的对称点为(,)x y ,则11414122y x y x -⎧=-⎪⎪-⎨++⎪=-⎪⎩,解得23x y =⎧⎨=⎩,所以圆C 关于直线l 对称的圆C '的方程为22(2)(3)17x y -+-=. 故答案为：(4,1)；22(2)(3)17x y -+-=.【点睛】本题主要考查利用圆的一般式方程求解圆心，半径；点关于直线对称的问题一般是利用垂直关系和中点公式建立方程组求解，侧重考查数学运算的核心素养.13.在平面直角坐标系xOy 中，直线l :mx -y -2m -1=0(m ∈R )过定点__，以点(1，0)为圆心且与l 相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为_.【答案】 (1). (2，-1) (2). (x -1)2+y 2=2 【解析】 【分析】先整理直线的方程为(2)10m x y ---=,由2010x y -=⎧⎨+=⎩可得定点;由于直线过定点(2,1)-,所以点(1，0)为圆心且与l 相切的所有圆中,最大半径就是两点间的距离.【详解】因为21(2)10mx y m m x y ---=---=,由2010x y -=⎧⎨+=⎩可得21x y =⎧⎨=-⎩,所以直线l经过定点(2,1)-;以点(1,0)为圆心且与l 相切的所有圆中,最大圆的半径为22(21)(10)2-+--=, 所以所求圆的标准方程为22(1)2x y -+=. 故答案为：(2,1)-;22(1)2x y -+=.【点睛】本题主要考查直线过定点问题和圆的方程求解，直线恒过定点问题一般是整理方程为()0m Ax By C ax by c +++++=，由0Ax By C ++=且0ax by c可求.14.若x ，y 满足约束条件1122x y x y x y +⎧⎪--⎨⎪-⎩，则目标函数12z x y =-的最小值为_____ ;若目标函数z =ax +2y 仅在点(1，0)处取得最小值，则a 的取值范围是_. 【答案】 (1). 52- (2). 42a -<< 【解析】 【分析】作出可行域，平移目标函数，可得最小值；根据可行域形状，结合目标函数2z ax y =+仅在点(1，0)处取得最小值可得a 的取值范围. 【详解】作出可行域,如图,由图可知,平移102x y -=（图中虚线）,12z x y =-在点A 处取到最小值,联立122x y x y -=-⎧⎨-=⎩可得(3,4)A ,所以12z x y =-的最小值为52-.当0a >时,如图,由图可知,当斜率12a->-时,即02a <<时,符合要求； 当0a =时,显然符合要求； 当0a <时,如图,由图可知,当斜率22a-<时,即40a 时,符合要求； 综上可得,a 的取值范围是42a -<<. 故答案为：52-；42a -<<. 【点睛】本题主要考查线性规划求解最值和利用最值点求解参数，准确作出可行域是求解的关键，侧重考查直观想象和数学运算的核心素养.15.正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，截面A 1BD 与底面ABCD 所成二面角A 1－BD －A 的正切值等于 【答案】2 【解析】如图，连接AC 交BD 于点O ，连接1A O ．因为1111ABCD A B C D -是正方体，所以1,AO BD AA ⊥⊥面ABCD ，从而可得1AA DB ⊥，所以DB ⊥面1AOA ，从而有1DB A O ⊥，所以1A OA ∠是二面角1A BD A --的平面角．设正方体的边长为1，则11,A A AO ==，所以在1Rt A OA ∆中有11tan A A AOA OA∠==16.设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出如下命题:①若α⊥β，m //α，则m ⊥β;②若α⊥γ，β⊥γ，则α//β;③若α⊥β，m ⊥β，m α⊄，则m //α;④若α⊥β，α∩β=m ，n ⊂α，n ⊥m ，则n ⊥β.其中正确的是_.【答案】③④【解析】【分析】对于①②，结合反例可得不正确；对于③，若α⊥β，m ⊥β，m α⊄，则m //α； 对于④，由面面垂直的性质定理可得正确.【详解】对于①, α⊥β，m //α，可得直线m 可能与平面β平行，相交，故不正确； 对于②，α⊥γ，β⊥γ，可得平面,αβ可能平行和相交，故不正确；对于③，α⊥β，m ⊥β，可得直线m 可能与平面α平行或者直线m 在平面内，由于m α⊄，所以//m α，故正确； 对于④，由面面垂直的性质定理可得正确. 故答案为：③④.【点睛】本题主要考查空间位置关系的判定，构建模型是求解此类问题的关键，考虑不全面是易错点，侧重考查直观想象和逻辑推理的核心素养. 17.将一张坐标纸折叠一次，使得点P (1，2)与点Q (-2，1)重合，则直线y =x +4关于折痕对称的直线为_.【答案】x +7y -20=0【解析】【分析】根据点P (1，2)与点Q (-2，1)重合可得折痕所在直线的方程，然后结合直线关于直线对称可求.【详解】因为点P (1，2)与点Q (-2，1)重合，所以折痕所在直线是PQ 的中垂线，其方程为30x y +=；联立304x y y x +=⎧⎨=+⎩可得交点(1,3)-. 在直线4y x =+取一点(0,4)A ，设(0,4)A 关于折痕的对称点为(,)A x y '， 则410334022y x x y -⎧=⎪⎪-⎨+⎪+=⎪⎩，解得1216(,)55A '-； 由直线两点式方程可得3116123155y x -+=--+，整理得7200x y +-=. 故答案为：7200x y +-=.【点睛】本题主要考查直线关于直线的对称问题，相交直线的对称问题一般转化为点关于直线的对称问题，利用垂直关系和中点公式可求，侧重考查数学运算的核心素养.三、解答题(本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)18.已知直线l 在两坐标轴上的截距相等，且点P (2，3)到直线l 的距离为2，求直线l 的方程.【答案】直线l 的方程为5x -12y =0或x +y -5+或x +y -5-【解析】【分析】分为直线经过原点和直线不过原点两种情况分别求解，可以采用待定系数法，结合点到直线的距离可求.【详解】解:由题意知，若截距为0，可设直线1的方程为y =kx .2=，解得k =512.若截距不为0，设所求直线l 的方程为x +y -a =0.2=，解得a =5-a =5+.故所求直线l 的方程为5x -12y =0，x +y -5+或x +y -5-【点睛】本题主要考查直线方程的求解，求解直线方程时一般是选择合适的方程形式，利用待定系数法建立方程（组）进行求解，侧重考查数学运算的核心素养.19.在平面直角坐标系中，已知点A (-4，2)是Rt △OAB 的直角顶点，点O 是坐标原点，点B 在x 轴上.(1)求直线AB 的方程;(2)求△OAB 的外接圆的方程.【答案】（1）2x -y +10=0.（2）x 2+y 2+5x =0.【解析】【分析】(1)利用AB OA ⊥可得AB 的斜率，结合点斜式可求方程；(2)先确定B (-5，0)，结合直角三角形的特征可知△OAB 的外接圆是以OB 为直径的圆，易求圆心和半径得到方程.【详解】解:(1)∵点A (-4，2)是Rt OAB ∆的直角顶点,∴OA ⊥AB ，又201402OA k -==---, 2AB k ∴=,∴直线AB 的方程为y -2=2(x +4)，即2x -y +10=0.(2)由(1)知B (-5，0),∵点A (-4，2)是Rt OAB ∆的直角顶点,∴△OAB 的外接圆是以OB 中点为圆心，12OB 为半径的圆, 又OB 中点坐标为5,02⎛⎫- ⎪⎝⎭，15||22OB = ∴所求外接圆方程是2252524x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，即x 2+y 2+5x =0.【点睛】本题主要考查利用直线垂直求解直线方程和求解圆的方程，圆的方程求解的关键是确定圆心和半径，侧重考查数学运算的核心素养.20.如图，边长为4的正方形ABCD所在平面与正△PAD所在平面互相垂直，M，Q分别为PC，AD的中点.(1)求证:PA//平面MBD.(2)试问:在线段AB上是否存在一点N，使得平面PCN⊥平面PQB?若存在，试指出点N的位置，并证明你的结论;若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析;（2）存在点N，当N为AB中点时，平面PQB⊥平面PNC，证明见解析.【解析】【分析】(1) 连接AC交BD于点O,证明MO//PA，可得PA//平面MBD；(2)先利用正方形ABCD所在平面与正△PAD所在平面互相垂直可得PQ⊥平面ABCD，结合PQ⊥NC，可得NC⊥平面PQB.【详解】解:(1)证明:连接AC交BD于点O，连接MO，.由正方形ABCD 知O 为AC 的中点，∵M 为PC 的中点，∴MO //PA .∵MO ⊂平面MBD ，PA ⊄平面MBD ，∴PA //平面MBD .(2)存在点N ，当N 为AB 中点时，平面PQB ⊥平面PNC ，证明如下:∵四边形ABCD 是正方形，Q 为AD 的中点，∴BQ ⊥NC .∵Q 为AD 的中点，△PAD 为正三角形，∴PQ ⊥AD .又∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且面PAD ∩面ABCD =AD ，PQ ⊂平面PAD∴PQ ⊥平面ABCD .又∵NC ⊂平面ABCD ，∴.PQ ⊥NC .又BQ PQ Q ⋂=，∴NC ⊥平面PQB .∵NC ⊂平面PCN ，∴平面PCN ⊥平面PQB.【点睛】本题主要考查线面平行的判定和探索平面与平面垂直，线面平行一般转化为线线平行或者面面平行来证明，面面垂直一般转化为线面垂直来证明，侧重考查直观想象和逻辑推理的核心素养.21.已知圆M :x 2+y 2-2y -4=0与圆N :x 2+y 2-4x +2y =0.(1)求证:两圆相交;(2)求两圆公共弦所在的直线方程及公共弦长; (3)在平面上找一点P ，过点P 引两圆的切线并使它们的长都等于1.【答案】（1）证明见解析;（2）直线方程x -y -1=0，公共弦长为（3）点P 坐标为，)或-2).【解析】重点中学试卷 可修改 欢迎下载 【分析】(1)先求两圆的圆心距和半径，结合圆心距与半径间的关系可证；(2)联立两圆方程可得两圆公共弦所在的直线方程，结合勾股定理可得公共弦长；(3)结合切线长与半径可得点P 到圆心的距离，建立方程组可求P 的坐标.【详解】解:(1)由己知得圆M :x 2+(y -1)2=5，圆N :(x -2)2+(y +1)2=5,圆心距||MN ==∴12120||r r MN r r =-<<+=∴两圆相交.(2)联立两圆的方程得方程组2222240420x y y x y x y ⎧+--=⎨+-+=⎩两式相减得x -y -1=0，此为两圆公共弦所在直线的方程.法一:设两圆相交于点A ，B ，则A ，B 两点满足方程组2222240420x y y x y x y ⎧+--=⎨+-+=⎩解得1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以||AB ==法二:22240x yy +--=，得x 2+(y -1)2=5，其圆心坐标为(0，1)，半径长r，圆心到直线x -y -1=0的距离为d ==设公共弦长为2l ，由勾股定理得222r d l =+，即225l =+，解得l =，故公共弦长2l =P 点所引的两条切线长均为1,∴点P 到两圆心的距离||||PM PN ===设P点坐标为(x，y)，则2222(1)6(2)[(1)]6x yx y⎧+-=⎪⎨-+--=⎪⎩解得122xy⎧=+⎪⎨=⎪⎩或122xy⎧=-⎪⎨=-⎪⎩.点P坐标为(12,2)+或(12,2)--.【点睛】本题主要考查两圆的位置关系及公共弦的问题，两圆位置关系的判定主要是依据圆心距和两圆半径间的关系，公共弦长通常利用勾股定理求解，侧重考查逻辑推理和数学运算的核心素养.22.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90°，PA⊥底面ABCD，且PA ＝AD=AB=2BC，M、N分别为PC、PB的中点.（1）求证：PB⊥DM；（2）求CD与平面ADMN所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）10【解析】【详解】（1）证明：建立坐标系，如图设BC=1P（0，0，2） B（2，0，0） D（0，2，0） C（2，1，0） M（1，12，1）∴PB⊥DM（2）设平面ADMN的法向量002yn AD yyx zx zn AM⎧=⎧⋅==⎧⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨=-++=⋅=⎩⎪⎪⎩⎩取z=-1 ，设直线CD与平面ADMN成角为θ。
慈溪高二期中考试数学试卷
一、选择题（每题5分，共30分）1. 下列各数中，有理数是（）A. √3B. πC. 0.1010010001…D. -√22. 已知a，b是方程x^2-2x+1=0的两根，则a+b的值为（）A. 2B. 1C. 0D. -23. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=3，b=4，c=5，则△ABC的面积为（）A. 6B. 8C. 12D. 244. 若函数f(x)=ax^2+bx+c（a≠0）的图像开口向上，且顶点坐标为（-1，2），则a的取值范围是（）A. a>0B. a<0C. a≥0D. a≤05. 下列命题中，正确的是（）A. 若a>b，则a^2>b^2B. 若a>b，则a^2>b^2（a，b为负数）C. 若a>b，则a^2>b^2（a，b为正数） D. 若a>b，则a^2>b^2（a，b为非负数）二、填空题（每题5分，共20分）6. 若函数f(x)=x^2-2x+1在x=1时的切线斜率为k，则k=______。
7. 已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，若a1=2，d=3，则第10项an=______。
8. 在△ABC中，若∠A=60°，a=8，b=10，则c=______。
9. 若函数f(x)=ax^2+bx+c（a≠0）的图像与x轴交于点（1，0），则a的值为______。
10. 若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，若a1=3，q=2，则第5项an=______。
三、解答题（共50分）11. （10分）已知函数f(x)=x^2-4x+4，求f(x)在x=2时的导数。
12. （10分）已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，若a1=1，d=2，求第10项an。
13. （10分）在△ABC中，若∠A=30°，∠B=45°，a=6，求b和c。
14. （10分）若函数f(x)=ax^2+bx+c（a≠0）的图像开口向上，且顶点坐标为（-1，2），求a、b、c的值。
浙江省宁波市慈溪中学高二上学期期中数学试卷(2-10班)
2015-2016学年浙江省宁波市慈溪中学高二（上）期中数学试卷（2-10班）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的表面积是( )A．90cm2B．129cm2C．132cm2D．138cm22．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如不计容器的厚度，则球的体积为( )A．B．C．D．3．设a，β，γ是三个互不重合的平面，m，n是直线，给出下列命题①若a⊥β，β⊥γ，则a⊥γ；②若a∥β，m⊂β，m∥a，则m∥β；③若m，n在γ内的射影互相垂直，则m⊥n；④若m∥a，n∥β，a⊥β则m⊥n．其中正确命题的个数为( )A．0 B．1 C．2 D．34．如图在一个二面角的棱上有两个点A，B，线段AC，BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，AB=4cm，AC=6cm，BD=8cm，CD=2cm，则这个二面角的度数为( )A．30°B．60°C．90°D．120°5．三棱锥O﹣ABC中，OA⊥OB，OB⊥OC，OC⊥OA，若OA=OB=a，OC=b，D是该三棱锥外部（不含表面）的一点，则下列命题正确的是( )①存在无数个点D，使OD⊥面ABC；②存在唯一点D，使四面体ABCD为正三棱锥；③存在无数个点D，使OD=AD=BD=CD；④存在唯一点D，使四面体ABCD有三个面为直角三角形．A．①③B．①④C．①③④ D．①②④6．一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为V1，V2，V3，V4，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有( )A．V1＜V2＜V4＜V3B．V1＜V3＜V2＜V4C．V2＜V1＜V3＜V4D．V2＜V3＜V1＜V47．如图，矩形ABCD中，AB=2AD，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE，若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻折过程中，下面四个命题中不正确的是( )A．|BM|是定值B．点M在某个球面上运动C．存在某个位置，使DE⊥A1CD．存在某个位置，使MB∥平面A1DE8．如图，棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为线段A1B上的动点，则下列结论错误的是( )A．DC1⊥D1P B．平面D1A1P⊥平面A1APC．∠APD1的最大值为90° D．AP+PD1的最小值为二、填空题（本大题共7小题，第9，10，11，12题每空3分，第13，14，15题每空4分，共36分．）9．已知O（0，0，0），A（﹣2，2，﹣2），B（1，4，﹣6），C（x，﹣8，8），若OC⊥AB，则x=__________；若O、A、B、C四点共面，则x=__________．10．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，B1D与BC1夹角的大小是__________；若E、F分别为AB、CC1的中点，则异面直线EF与A1C1夹角的大小是__________．11．在三棱锥A﹣BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，△ABC，△ACD，△ABD的面积分别为、、，则△BCD的面积为__________；三棱锥A﹣BCD的内切球半径为__________．12．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为1，P为BC中点，Q为线段CC1上动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得截面记为S．当CQ=时，S的面积为__________；若S为五边形，则此时CQ取值范围__________．13．已知某几何体的三视图如图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，则该几何体的体积为__________．14．两条异面直线a，b所成角为60°，则过一定点P，与直线a，b都成60°角的直线有__________条．15．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若A1P∥平面AEF，则线段A1P长度的取值范围是__________．又A1N∩MN=N，∴平面A1MN∥平面AEF，∵P是侧面BCC1B1内一点，且A1P∥平面AEF，则P必在线段MN上，在Rt△A1B1M中，A1M===，同理，在Rt△A1B1N中，求得A1N=，∴△A1MN为等腰三角形，当P在MN中点O时A1P⊥MN，此时A1P最短，P位于M、N处时A1P最长，A1O===，A1M=A1N=，所以线段A1P长度的取值范围是．故答案为：．【点评】本题考查点、线、面间的距离问题，考查学生的运算能力及推理转化能力，属中档题，解决本题的关键是通过构造平行平面寻找P点位置．三.解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（14分）如图，在七面体ABCDMN中，四边形ABCD是边长为2的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=2，NB=1，MB与ND交于P点，点Q在AB上，且BQ=．（I）求证：QP∥平面AMD；（Ⅱ）求七面体ABCDMN的体积．【考点】直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（I）由MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，利用线面垂直的性质可得MD∥NB．进而得到，又已知=，可得，于是在△MAB中，QP∥AM．再利用线面平行的性质即可得出QP∥平面AMD．（II）连接BD，AC交于点O，则AC⊥BD．又MD⊥平面ABCD，利用线面垂直的性质可得MD⊥AC，再利用线面垂直的判定即可得出AC⊥平面MNBD．于是AO为四棱锥A﹣MNBD的高，进而得到V A﹣MNBD 的体积．即可得出V几何体ABCDMN=2V A﹣MNBD．【解答】（I）证明：∵MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，∴MD∥NB．∴，又=，∴，∴在△MAB中，QP∥AM．又QP⊄平面AMD，AM⊂平面AMD．∴QP∥平面AMD．（II）连接BD，AC交于点O，则AC⊥BD．又MD⊥平面ABCD，∴MD⊥AC，又BD∩MD=D，∴AC⊥平面MNBD．∴AO 为四棱锥A ﹣MNBD 的高，又=． ∴=2． ∴V 几何体ABCDMN =2V A ﹣MNBD =4．【点评】熟练掌握线面平行于垂直的判定与性质、线线平行的判定与性质、四棱锥的体积等是解题的关键．17．如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，AB=2AD=2，BD=，PD ⊥底面ABCD ． （1）证明：平面PBC ⊥平面PBD ；（2）若二面角P ﹣BC ﹣D 为，求AP 与平面PBC 所成角的正弦值．【考点】用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定．【专题】综合题；空间位置关系与距离．【分析】（1）证明BC ⊥平面PBD ，利用面面垂直的判定定理，即可证明平面PBC ⊥平面PBD ； （2）确定∠PBD 即为二面角P ﹣BC ﹣D 的平面角，分别以DA 、DB 、DP 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，用坐标表示向量及平面PBC 的法向量，利用向量的数量积公式，即可求得AP 与平面PBC 所成角的正弦值．【解答】（1）证明：∵CD 2=BC 2+BD 2，∵BC ⊥BD∵PD ⊥底面ABCD ，∴PD ⊥BC又∵PD ∩BD=D ，∴BC ⊥平面PBD而BC ⊂平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面PBD …（2）解：由（1）所证，BC ⊥平面PBD ，所以∠PBD 即为二面角P ﹣BC ﹣D 的平面角，即∠PBD=而BD=，所以PD=1… 分别以DA 、DB 、DP 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则A （1，0，0），B （0，，0），P （0，0，1）所以，，1）设平面PBC的法向量为，∴…即可解得）∴AP与平面PBC所成角的正弦值为sinθ=…【点评】本题考查面面垂直，考查线面角，解题的关键是掌握面面垂直的判定定理，正确运用向量法求线面角．18．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PG⊥平面ABCD，垂足为G，G在线段AD上，AG=GD，BG⊥GC，BG=GC=2，E是BC的中点，四面体P﹣BCG的体积为．（1）求异面直线GE与PC所成角的余弦值；（2）棱PC上是否存在一点F，使DF⊥GC，若存在，求的值，若不存在，请说明理由．【考点】直线与平面垂直的性质；异面直线及其所成的角．【专题】证明题；数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离；空间角．【分析】（1）由已知考查PG，在平面ABCD内，过C点作CH∥EG交AD于H，连结PH，则∠PCH （或其补角）就是异面直线GE与PC所成的角．在△PCH中，由余弦定理即可求得cos∠PCH的值．（2）在平面ABCD内，过D作DM⊥GC，M为垂足，连结MF，可证FM∥PG，由GM⊥MD得：GM=GD•cos45°=，由DF⊥GC，即可求得的值．【解答】解：（1）由已知==，∴PG=4，在平面ABCD内，过C点作CH∥EG交AD于H，连结PH，则∠PCH（或其补角）就是异面直线GE与PC所成的角．在△PCH中，CH=，PC=，PH=，由余弦定理得，cos∠PCH=．（2）在平面ABCD内，过D作DM⊥GC，M为垂足，连结MF，又因为DF⊥GC，∴GC⊥平面MFD，∴GC⊥FM，由平面PGC⊥平面ABCD，∴FM⊥平面ABCD，∴FM∥PG，由GM⊥MD得：GM=GD•cos45°=，∵，∴由DF⊥GC，可得．【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的性质，异面直线及其所成的角，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．19．如图，边长为2的正方形ABCD绕AB边所在直线旋转一定的角度（小于180°）到ABEF的位置．（1）若∠CBE=120°，求三棱锥B﹣ADF的外接球的表面积；（2）若K为线段BE上异于B，E的点，CE=2．设直线AK与平面BDF所成角为φ，当30°≤φ≤45°时，求BK的取值范围．【考点】直线与平面所成的角；球的体积和表面积．【专题】计算题；数形结合；转化思想；空间位置关系与距离；空间角．【分析】（1）求出外接球的半径，利用取得面积公式求解即可．（2）证明BE⊥平面ABCD．=以B为原点，BC、BA、BE的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，求出相关点的坐标，求出平面BDF的一个法向量为=（x，y，z）．推出sinφ==，结合sinφ，即求出BK的取值范围．【解答】解：（1）三棱锥B﹣ADF的外接球就是三棱柱DFA﹣CEB的外接球，球的半径为R，R==，外接球的表面积为：4πR2=20π．（2）解：∵BE=BC=2，CE=2，∴CE2=BC2+BE2，∴△BCE为直角三角形，BE⊥BC，…又BE⊥BA，BC∩BA=B，BC、BA⊂平面ABCD，∴BE⊥平面ABCD．…以B为原点，BC、BA、BE的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则B（0，0，0），F（0，2，2），A（0，2，0），=（2，2，0），．设K（0，0，m），平面BDF的一个法向量为=（x，y，z）．由，，得，可取，…又=（0，﹣2，m），于是sinφ==，∵30°≤φ≤45°，∴sinφ，即…结合0＜m＜2，解得，即BK的取值范围为（0，．…【点评】本题考查几何体的外接球的表面积的求法，直线与平面所成角的求法与应用，考查空间想象能力以及计算能力，20．已知矩形ABCD中，AB=2，AD=5．E，F分别在AD，BC上．且AE=1，BF=3，沿EF将四边形AEFB折成四边形A′EFB′，使点B′在平面CDEF 上的射影H在直线DE上．（Ⅰ）求证：A′D∥平面B′FC（Ⅱ）求二面角A′﹣DE﹣F的大小．【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；二面角的平面角及求法．【专题】空间位置关系与距离；空间角．【分析】（I）利用线面平行的判定定理可得A′E∥平面B′FC，DE∥平面B′FC，又A′E∩DE=E．由面面平行的判定定理可得平面A′ED∥平面B′FC，再利用面面平行的性质定理可得线面平行；（II）建立如图所示的空间直角坐标系，利用B′在平面CDEF上的射影H在直线DE上，设B′（0，y，z）（y，z∈R+）及F（2，2，0），，B′F=3，可得到点B′的坐标，分别求出平面A′DE 的法向量、平面CDEF的法向量，利用法向量的夹角即可得到二面角．【解答】（I）证明：∵A′E∥B′F，A′E⊄平面B′FC，B′F⊂平面B′FC．∴A′E∥平面B′FC，由DE∥FC，同理可得DE∥平面B′FC，又∵A′E∩DE=E．∴平面A′ED∥平面B′FC，∴A′D∥平面B′FC．（II）解：如图，过E作ER∥DC，过E作ES⊥平面EFCD，分别以ER，ED，ES为x，y，z轴建立空间直角坐标系．∵B′在平面CDEF上的射影H在直线DE上，设B′（0，y，z）（y，z∈R+）．∵F（2，2，0），，B′F=3．∴解得．∴B′（0，1，2）．∴．∴=．设平面A′DE的法向量为，又有．∴得，令x=1，则z=1，y═0，得到．又∵平面CDEF的法向量为．设二面角A′﹣DE﹣F的大小为θ，显然θ为钝角∴=．∴θ=135°．【点评】熟练掌握线面平行的判定定理、面面平行的判定和性质定理、通过建立空间直角坐标系利用两个平面的法向量的夹角求二面角是解题的关键．。
浙江省宁波市慈溪市2024届第二学期高三数学试题期中考试试题
浙江省宁波市慈溪市2024届第二学期高三数学试题期中考试试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．执行如图所示的程序框图，若输出的值为8，则框图中①处可以填（ ）．A ．7?S ≥B ．21?S ≥C ．28?S ≥D ．36?S ≥2．()()()()()*121311x x x nx n N+++⋅⋅⋅+∈的展开式中x 的一次项系数为（ ） A ．3n C B ．21n C + C ．1n n C - D ．3112n C + 3．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右两个焦点分别为1F ，2F ，若存在点P 满足1212::4:6:5PF PF F F =，则该双曲线的离心率为（ ）A ．2B ．52C ．53D ．54．已知集合{}1A x x =<，{}1x B x e =<，则（ ）A ．{}1AB x x ⋂=<B ．{}A B x x e ⋃=<C ．{}1A B x x ⋃=<D ．{}01A B x x ⋂=<<5．设a=log 73，13b log 7=，c=30.7，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．b a c << 6．函数的图象可能是下面的图象( )A ．B ．C ．D ．7．过抛物线22x py =（0p >）的焦点且倾斜角为α的直线交抛物线于两点A B ，.2AF BF =，且A 在第一象限，则cos2α=（ ）A 5B ．35C ．79D ．358．若双曲线E ：22221x y a b-=（0,0a b >>）的一个焦点为(3,0)F ，过F 点的直线l 与双曲线E 交于A 、B 两点，且AB 的中点为()3,6P --，则E 的方程为（ ）A ．22154x y -=B ．22145x y -=C ．22163x y -=D ．22136x y -= 9．已知函数()ln a f x x a x=-+在[]1,e x ∈上有两个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．e ,11e ⎡⎤-⎢⎥-⎣⎦B ．e ,11e ⎡⎫⎪⎢-⎣⎭C ．e ,11e ⎡⎫-⎪⎢-⎣⎭D ．[)1,e - 10．已知实数ln333,33ln 3(n ),l 3a b c ==+=，则,,a b c 的大小关系是( ) A ．c b a << B ．c a b << C ．b a c << D ．a c b <<11．已知:|1|2p x +> ，:q x a >，且p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，则a 的取值范围是（ ）A ．1a ≤B ．3a ≤-C ．1a ≥-D ．1a ≥ 12．已知函数()2x f x x a =+⋅，()ln 42x g x x a -=-⋅，若存在实数0x ，使()()005f x g x -=成立，则正数a 的取值范围为（ ）A ．(]01，B ．(]04，C ．[)1+∞，D ．(]0,ln2 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
浙江省宁波市慈溪市2020-2021学年高二上学期期中数学试题
浙江省宁波市慈溪市2020-2021学年高二上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．经过A (5，0)，B (2，3)两点的直线的倾斜角为（ ） A ．45° B ．60° C ．90°D ．135°2．直线l 过点(1,2)-且与直线2340x y -+=垂直，则l 的方程为（ ） A ．3210x y +-= B ．2310x y C ．3210x y ++= D ．2310x y --=3．一条直线与两条平行线中的一条为异面直线，则它与另一条( ) A ．相交B ．异面C ．相交或异面D ．平行4．不在3x+2y ＞3表示的平面区域内的点是（ ） A ．（0，0） B ．（1，1） C ．（0，2） D ．（2，0）5．已知点M (-2，1，3)关于坐标平面xOz 的对称点为A ，点A 关于y 轴的对称点为B ，则|AB |=( )A ．2B ．C ．D ．56．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别是棱BB 1，B 1C 1的中点，若∠CMN =90°，则异面直线AD 1和DM 所成角为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°7．点M ，N 在圆x 2+y 2+kx -2y =0上，且关于直线y =kx +1对称，则k =（ ） A ．0B ．1C ．2D ．38．设α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，且l α⊂，m β⊂（ ） A ．若l β⊥，则αβ⊥ B ．若αβ⊥，则l m ⊥ C ．若//l β，则//αβD ．若//αβ，则//l m9．动点P 到点A (6，0)的距离是到点B (2，0)倍，则动点P 的轨迹方程为（ ） A ．(x +2)2+y 2=32 B ．x 2+y 2=16 C ．(x -1)2+y 2=16 D ．x 2+(y -1)2=1610．若直线2y x b =+与曲线3y =b 的取值范围是（ ）A ．[1,1--+B ．[1--C ．11⎡⎣---+D ．[1-+二、双空题11．已知直线1:10l ax y --=，直线2:30l x y +-=.若直线1l 的倾斜角为4π，则a=_________;若12l l //，则1l ，2l 之间的距离为_____.12．圆C :x 2+y 2-8x -2y =0的圆心坐标是____;关于直线l :y =x -1对称的圆C '的方程为_. 13．在平面直角坐标系xOy 中，直线l :mx -y -2m -1=0(m ∈R )过定点__，以点(1，0)为圆心且与l 相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为_.14．若x ，y 满足约束条件1122x y x y x y +⎧⎪--⎨⎪-⎩，则目标函数12z x y =-的最小值为_____ ;若目标函数z =ax +2y 仅在点(1，0)处取得最小值，则a 的取值范围是_.三、填空题15．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，截面A 1BD 与底面ABCD 所成二面角A 1－BD －A 的正切值等于16．设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出如下命题: ①若α⊥β，m //α，则m ⊥β; ②若α⊥γ，β⊥γ，则α//β; ③若α⊥β，m ⊥β，m α⊄，则m //α;④若α⊥β，α∩β=m ，n ⊂α，n ⊥m ，则n ⊥β. 其中正确的是_.17．将一张坐标纸折叠一次，使得点P (1，2)与点Q (-2，1)重合，则直线y =x +4关于折痕对称的直线为_.四、解答题18．已知直线l 在两坐标轴上的截距相等，且点P (2，3)到直线l 的距离为2，求直线l 的方程.19．在平面直角坐标系中，已知点A (-4，2)是Rt △OAB 的直角顶点，点O 是坐标原点，点B 在x 轴上. (1)求直线AB 的方程; (2)求△OAB 的外接圆的方程.20．如图，边长为4的正方形ABCD 所在平面与正△P AD 所在平面互相垂直，M ，Q 分别为PC ，AD 的中点.(1)求证:P A//平面MBD.(2)试问:在线段AB上是否存在一点N，使得平面PCN⊥平面PQB?若存在，试指出点N 的位置，并证明你的结论;若不存在，请说明理由.21．已知圆M:x2+y2-2y-4=0与圆N:x2+y2-4x+2y=0.(1)求证:两圆相交;(2)求两圆公共弦所在的直线方程及公共弦长;(3)在平面上找一点P，过点P引两圆的切线并使它们的长都等于1.22．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD=AB=2BC，M、N分别为PC、PB的中点.（1）求证：PB⊥DM；（2）求CD与平面ADMN所成角的正弦值．参考答案1．D 【分析】先根据两点的斜率公式求出斜率,结合斜率与倾斜角的关系可得倾斜角. 【详解】因为A (5，0)，B (2，3),所以过两点的直线斜率为30125k -==--, 所以倾斜角为135︒. 故选：D. 【点睛】本题主要考查直线倾斜角的求解,明确直线和倾斜角的关系是求解本题的关键,侧重考查数学运算的核心素养. 2．C 【分析】根据所求直线与已知直线垂直,可以设出直线,结合所过点可得. 【详解】因为直线l 与直线2340x y -+=垂直, 所以设直线:l 320x y c ++=, 因为直线l 过点(1,2)-,所以1c =,即方程为3210x y ++=. 故选：C. 【点睛】本题主要考查两直线的位置关系，与已知直线0ax by c平行的直线一般可设其方程为0ax by m ++=；与已知直线0ax by c 垂直的直线一般可设其方程为0bx ay m -+=.3．C 【解析】如下图所示,,,a b c 三条直线平行,a 与d 异面,而b 与d 异面,c 与d 相交,故选C.4．A【解析】试题分析：将各个点的坐标代入，判断不等式是否成立，可得结论．解：将（0，0）代入，此时不等式3x+2y＞3不成立，故（0，0）不在3x+2y＞3表示的平面区域内，将（1，1）代入，此时不等式3x+2y＞3成立，故（1，1）在3x+2y＞3表示的平面区域内，将（0，2）代入，此时不等式3x+2y＞3成立，故（0，2）在3x+2y＞3表示的平面区域内，将（2，0）代入，此时不等式3x+2y＞3成立，故（2，0）在3x+2y＞3表示的平面区域内，故选：A．考点：二元一次不等式（组）与平面区域．5．B【分析】先根据对称逐个求出点,A B的坐标,结合空间中两点间的距离公式可求.【详解】因为点M(-2，1，3)关于坐标平面xOz的对称点为A,A--,所以(2,1,3)因为点A关于y轴的对称点为B,B--,所以AB==所以(2,1,3)故选：B.【点睛】本题主要考查空间点的对称关系及两点间的距离公式,明确对称点间坐标的关系是求解的关系,侧重考查直观想象和数学运算的核心素养. 6．D 【分析】建立空间直角坐标系，结合90CMN ∠=︒，求出1,AD DM 的坐标，利用向量夹角公式可求. 【详解】以1D 为坐标原点,11111,,D A D C D D 所在直线分别为,,x y z 轴,建立空间直角坐标系,如图,设11111,,D A a D C b D D c ===,则(0,,),(,,),(,,0)22c a C b c M a b N b ,(,0,),(0,0,)A a c D c ,(,0,)(,0,)222c a c CM a MN =-=--，,1(,,)(,0,)2cDM a b D A a c =-=， 因为90CMN ∠=︒,所以0CM MN ⋅=,即有222c a =.因为2222102c DM D A a a a ⋅=-=-=,所以1DM AD ⊥,即异面直线1AD 和DM 所成角为90︒. 故选：D. 【点睛】本题主要考查异面直线所成角的求解，异面直线所成角主要利用几何法和向量法，几何法侧重于把异面直线所成角平移到同一个三角形内，结合三角形知识求解；向量法侧重于构建坐标系，利用向量夹角公式求解. 7．A 【分析】根据圆的对称性可知，直线y =kx +1一定经过圆心，从而可求. 【详解】 由题意可知圆心(,1)2k-,因为点M ,N 在圆x 2+y 2+kx -2y =0上,且关于直线y =kx +1对称, 所以直线y =kx +1一定经过圆心,所以有2112k -+=,即0k =.故选：A. 【点睛】本题主要考查利用圆的性质求解参数，若圆上的两点关于某直线对称，则直线一定经过圆心，侧重考查直观想象和数学运算的核心素养. 8．A 【解析】试题分析：由面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一平面的一条垂线，则两面垂直，可得l β⊥，l α⊂ 可得αβ⊥考点：空间线面平行垂直的判定与性质 9．A 【分析】先设出动点P 的坐标，根据条件列出等量关系，化简可得. 【详解】设(,)P x y ,则由题意可得PA PB =,=化简可得22(2)32x y ++=. 故选：A. 【点睛】本题主要考查轨迹方程的求法,建系,设点,列式,化简是这类问题的常用求解步骤,侧重考查数学运算的核心素养. 10．B 【分析】先作出曲线3y =,结合图形可求b 的取值范围. 【详解】因为3y =所以22(2)(3)4-+-=x y (3)y ≤,如图,观察图形可得,直线过点(0,3)及与半圆相切时可得b 的临界值, 由22(2)(3)4-+-=x y 与2y x b =+相切可得1b =--所以b的取值范围是[1--. 故选：B. 【点睛】本题主要考查利用直线与圆的位置关系求解参数，准确作图是求解本题的关键，注意曲线是半圆,侧重考查直观想象和数学运算的核心素养. 11．1【分析】利用直线1l 的倾斜角和斜率的关系可求a ；根据两条直线平行可得a ，再结合平行直线间的距离公式可求. 【详解】因为直线1l 的倾斜角为4π,所以所以它的斜率为1,即1a =; 因为12l l //，所以1a =-,即1:10l x y ++=, 所以1l ，2l之间的距离为d ===故答案为：1；【点睛】本题主要考查直线的倾斜角与方程的关系，平行直线间的距离，明确斜率和直线倾斜角的关系是求解的关键，两条直线平行的条件使用是思考的方向，侧重考查数学运算的核心素养. 12．(4，1) (x -2)2+(y -3)2=17 【分析】根据圆的一般式方程和圆心的关系可求，先求解对称圆的圆心，结合对称性，圆的半径不变可得对称圆的方程. 【详解】由圆的一般式方程可得圆心坐标(4,1),半径r ==设(4,1)关于直线l 的对称点为(,)x y ,则11414122y x y x -⎧=-⎪⎪-⎨++⎪=-⎪⎩,解得23x y =⎧⎨=⎩, 所以圆C 关于直线l 对称的圆C '的方程为22(2)(3)17x y -+-=. 故答案为：(4,1)；22(2)(3)17x y -+-=. 【点睛】本题主要考查利用圆的一般式方程求解圆心，半径；点关于直线对称的问题一般是利用垂直关系和中点公式建立方程组求解，侧重考查数学运算的核心素养. 13．(2，-1) (x -1)2+y 2=2 【分析】先整理直线的方程为(2)10m x y ---=,由2010x y -=⎧⎨+=⎩可得定点;由于直线过定点(2,1)-,所以点(1，0)为圆心且与l 相切的所有圆中,最大半径就是两点间的距离. 【详解】因为21(2)10mx y m m x y ---=---=,由2010x y -=⎧⎨+=⎩可得21x y =⎧⎨=-⎩,所以直线l 经过定点(2,1)-;以点(1,0)为圆心且与l 相切的所有圆中,=所以所求圆的标准方程为22(1)2x y -+=.故答案为：(2,1)-;22(1)2x y -+=.【点睛】本题主要考查直线过定点问题和圆的方程求解，直线恒过定点问题一般是整理方程为()0m Ax By C ax by c +++++=，由0Ax By C ++=且0ax by c 可求.14．52- 42a -<< 【分析】作出可行域，平移目标函数，可得最小值；根据可行域形状，结合目标函数2zax y =+仅在点(1，0)处取得最小值可得a 的取值范围.【详解】作出可行域,如图,由图可知,平移102x y -=（图中虚线）,12z x y =-在点A 处取到最小值, 联立122x y x y -=-⎧⎨-=⎩可得(3,4)A ,所以12z x y =-的最小值为52-. 当0a >时,如图,由图可知,当斜率12a ->-时,即02a <<时,符合要求； 当0a =时,显然符合要求；当0a <时,如图,由图可知,当斜率22a -<时,即40a 时,符合要求； 综上可得,a 的取值范围是42a -<<. 故答案为：52-；42a -<<. 【点睛】本题主要考查线性规划求解最值和利用最值点求解参数，准确作出可行域是求解的关键，侧重考查直观想象和数学运算的核心素养.15【解析】如图，连接AC 交BD 于点O ，连接1A O ．因为1111ABCD A B C D -是正方体，所以1,AO BD AA ⊥⊥面ABCD ，从而可得1AA DB ⊥，所以DB ⊥面1AOA ，从而有1DB A O ⊥，所以1A OA ∠是二面角1A BD A --的平面角．设正方体的边长为1，则11,2A A AO ==，所以在1Rt A OA ∆中有11tan A A AOA OA∠==16．③④【分析】对于①②，结合反例可得不正确；对于③，若α⊥β，m ⊥β，m α⊄，则m //α； 对于④，由面面垂直的性质定理可得正确.【详解】对于①, α⊥β，m //α，可得直线m 可能与平面β平行，相交，故不正确；对于②，α⊥γ，β⊥γ，可得平面,αβ可能平行和相交，故不正确；对于③，α⊥β，m ⊥β，可得直线m 可能与平面α平行或者直线m 在平面内，由于m α⊄，所以//m α，故正确；对于④，由面面垂直的性质定理可得正确.故答案为：③④.【点睛】本题主要考查空间位置关系的判定，构建模型是求解此类问题的关键，考虑不全面是易错点，侧重考查直观想象和逻辑推理的核心素养.17．x +7y -20=0【分析】根据点P (1，2)与点Q (-2，1)重合可得折痕所在直线的方程，然后结合直线关于直线对称可求.【详解】因为点P (1，2)与点Q (-2，1)重合，所以折痕所在直线是PQ 的中垂线，其方程为30x y +=；联立304x y y x +=⎧⎨=+⎩可得交点(1,3)-. 在直线4y x =+取一点(0,4)A ，设(0,4)A 关于折痕的对称点为(,)A x y '， 则410334022y x x y -⎧=⎪⎪-⎨+⎪+=⎪⎩，解得1216(,)55A '-； 由直线的两点式方程可得3116123155y x -+=--+，整理得7200x y +-=.故答案为：7200x y +-=.【点睛】本题主要考查直线关于直线的对称问题，相交直线的对称问题一般转化为点关于直线的对称问题，利用垂直关系和中点公式可求，侧重考查数学运算的核心素养.18．直线l 的方程为5x -12y =0或x +y -5+或x +y -5-【分析】分为直线经过原点和直线不过原点两种情况分别求解，可以采用待定系数法，结合点到直线的距离可求.【详解】解:由题意知，若截距为0，可设直线1的方程为y =kx .2=，解得k =512. 若截距不为0，设所求直线l 的方程为x +y -a =0.2=，解得a =5-a =5+故所求直线l 的方程为5x -12y =0，x +y -5+或x +y -5-【点睛】本题主要考查直线方程的求解，求解直线方程时一般是选择合适的方程形式，利用待定系数法建立方程（组）进行求解，侧重考查数学运算的核心素养.19．（1）2x -y +10=0.（2）x 2+y 2+5x =0.【分析】(1)利用AB OA ⊥可得AB 的斜率，结合点斜式可求方程；(2)先确定B (-5，0)，结合直角三角形的特征可知△OAB 的外接圆是以OB 为直径的圆，易求圆心和半径得到方程.【详解】解:(1)∵点A (-4，2)是Rt OAB ∆的直角顶点,∴OA ⊥AB ，又201402OA k -==---,2AB k ∴=,∴直线AB 的方程为y -2=2(x +4)，即2x -y +10=0.(2)由(1)知B (-5，0),∵点A (-4，2)是Rt OAB ∆的直角顶点,∴△OAB 的外接圆是以OB 中点为圆心，12OB 为半径的圆, 又OB 中点坐标为5,02⎛⎫- ⎪⎝⎭，15||22OB = ∴所求外接圆方程是2252524x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，即x 2+y 2+5x =0. 【点睛】本题主要考查利用直线垂直求解直线方程和求解圆的方程，圆的方程求解的关键是确定圆心和半径，侧重考查数学运算的核心素养.20．（1）证明见解析;（2）存在点N ，当N 为AB 中点时，平面PQB ⊥平面PNC ，证明见解析.【分析】(1) 连接AC 交BD 于点O ,证明MO //P A ，可得P A //平面MBD ；(2)先利用正方形ABCD 所在平面与正△P AD 所在平面互相垂直可得PQ ⊥平面ABCD ， 结合PQ ⊥NC ，可得NC ⊥平面PQB.【详解】解:(1)证明:连接AC 交BD 于点O ，连接MO ，.由正方形ABCD 知O 为AC 的中点，∵M 为PC 的中点，∴MO//P A.∵MO⊂平面MBD，PA⊄平面MBD，∴P A//平面MBD.(2)存在点N，当N为AB中点时，平面PQB⊥平面PNC，证明如下:∵四边形ABCD是正方形，Q为AD的中点，∴BQ⊥NC.∵Q为AD的中点，△P AD为正三角形，∴PQ⊥AD.又∵平面P AD⊥平面ABCD，且面P AD∩面ABCD=AD，PQ⊂平面P AD∴PQ⊥平面ABCD.又∵NC⊂平面ABCD，∴.PQ⊥NC.⋂=，又BQ PQ Q∴NC⊥平面PQB.∵NC⊂平面PCN，∴平面PCN⊥平面PQB.【点睛】本题主要考查线面平行的判定和探索平面与平面垂直，线面平行一般转化为线线平行或者面面平行来证明，面面垂直一般转化为线面垂直来证明，侧重考查直观想象和逻辑推理的核心素养.21．（1）证明见解析;（2）直线方程x-y-1=0，公共弦长为（3）点P坐标为，)或，-2).【分析】(1)先求两圆的圆心距和半径，结合圆心距与半径间的关系可证；(2)联立两圆方程可得两圆公共弦所在的直线方程，结合勾股定理可得公共弦长；(3)结合切线长与半径可得点P到圆心的距离，建立方程组可求P的坐标.【详解】解:(1)由己知得圆M:x2+(y-1)2=5，圆N:(x-2)2+(y+1)2=5,圆心距||MN ==,∴12120||r r MN r r =-<<+=∴两圆相交.(2)联立两圆的方程得方程组2222240420x y y x y x y ⎧+--=⎨+-+=⎩两式相减得x -y -1=0，此为两圆公共弦所在直线的方程.法一:设两圆相交于点A ，B ，则A ，B 两点满足方程组2222240420x y y x y x y ⎧+--=⎨+-+=⎩解得1x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以||AB ==法二:22240x y y +--=，得x 2+(y -1)2=5，其圆心坐标为(0，1)，半径长r线x -y -1=0的距离为d ==设公共弦长为2l ，由勾股定理得222r d l =+，即225l =+，解得l =，故公共弦长2l =(3)P 点所引的两条切线长均为1,∴点P到两圆心的距离||||PM PN ===设P 点坐标为(x ，y )，则⎧=⎪=解得1x y ⎧=+⎪⎨=⎪⎩或1x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩.点P坐标为(1+或(1-.【点睛】本题主要考查两圆的位置关系及公共弦的问题，两圆位置关系的判定主要是依据圆心距和两圆半径间的关系，公共弦长通常利用勾股定理求解，侧重考查逻辑推理和数学运算的核心素养.22．（1）证明：设BC=1P （0，0，2） B （2，0，0） D （0，2，0） C （2，1，0） M （1，12，1） (2,0,2)PB =- 3(1,,1)2DM =-0PB DM ∴⋅= ∴PB ⊥DM（2）(2,1,0)CD =- (0,2,0)AD =1(1,,1)2AM = 设平面ADMN 的法向量(,,)n x y z =2002y n AD y y x x z n AM =⎧⎧⋅==⎧⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨=-++=⋅=⎩⎪⎪⎩⎩取z=-1 (1,0,1)n ∴=-设直线CD 与平面ADMN 成角为θsin |cos ,|5n CD θ=<>==【解析】略。
浙江省宁波市慈溪市六校高二下学期期中联考数学试题(解析版)
浙江省宁波市慈溪市六校高二下学期期中联考数学试题一、单选题1．已知i 为虚数单位，则12iz i=-在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】试题分析：()()()12221121212555i i i i z i i i i ⋅+-+====-+--+Q ，故12iz i=-在复平面内对应的点位于第二象限，选B 【考点】复数及其运算2．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（ ） A ．144 B ．120 C ．72 D ．24【答案】D【解析】试题分析：先排三个空位，形成4个间隔，然后插入3个同学，故有3424A =种【考点】排列、组合及简单计数问题 3．若2132020x x C C -+=，则x 的值为（ ）A ．4B ．4或5C ．6D ．4或6【答案】D 【解析】因为2132020x x C C -+=，所以213x x -=+ 或21320x x -++=，所以4x = 或6x =，选D.4．设2()24ln f x x x x =--，则()f x 的递减区间为（ ）． A ．(1,2)-B ．(0,2)C ．(,1)-∞-，(2,)+∞D ．(2,)+∞【答案】B【解析】求函数的定义域，然后求函数导数，解导数不等式即可． 【详解】函数2()24ln f x x x x =--的定义域为{|0}x x >，则24224()22x x f x x x x --'=--=，由题意，2224()0x x f x x--'=<，得220x x --<，解得12x -<<，∵0x >， ∴不等式的解为02x <<， 故选：B ． 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，解题关键是正确求导及解不等式，易错点为容易忽略定义域的选取，属于基础题.5．用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（ ） A ．324 B ．328C ．360D ．648【答案】B【解析】【考点】排列、组合及简单计数问题．分析：本题是一个分类计数问题，若个位数字为0，前两位的排法种数为9×8，若个位数字不为0，则确定个位数字有4种方法，确定百位数字有8种方法，确定十位数字有8种方法，排法种数为4×8×8，根据分类加法原理得到结果． 解答：解：由题意知本题是一个分类计数问题， 若个位数字为0，前两位的排法种数为9×8=72， 若个位数字不为0，则确定个位数字有4种方法，确定百位数字有8种方法，确定十位数字有8种方法，∴排法种数为4×8×8=256， ∴256+72=328，∴可以组成328个没有重复数字的三位偶数 故答案为B点评：本题考查排列组合及简单计数问题，本题解题的关键是看清楚对于数字0的特殊情况，在最后一位可以得到偶数又不能排在第一位．6．用反证法证明“已知22,,0x y R x y ∈+=，求证：0x y ==.”时，应假设( ) A ．0x y ≠≠B ．0x y =≠C ．0x ≠且0y ≠D ．0x ≠或0y ≠【答案】D【解析】分析：根据反证法证明数学命题的方法，应先假设要证命题的否定成立，求得要证命题的否定，可得结论.详解：根据反证法证明数学命题的方法， 应先假设要证命题的否定成立，而0x y ==的否定为“,x y 不都为零”，故选D.点睛：本题主要考查用反证法证明数学命题的方法和步骤，求一个命题的否定，属于简单题.7．将5种不同的花卉种植在如图所示的四个区域中，每个区域种植一种花卉，且相邻区域花卉不同，则不同的种植方法种数是（ ）．A ．420B ．180C ．64D ．25【答案】B【解析】由于规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，可分步进行，区域A 有5种涂法，B 有4种涂法，讨论A ，D 同色和异色，根据乘法原理可得结论． 【详解】由题意，由于规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，可分步进行 区域A 有5种涂法，B 有4种涂法，A ，D 不同色，D 有3种，C 有2种涂法，有5432120⨯⨯⨯=种， A ，D 同色，D 有1种涂法，C 有3种涂法，有54360⨯⨯=种，共有180种不同的涂色方案． 故选：B ． 【点睛】本题考查计数原理的应用，解题关键是分步和分类的方法选取，属于中等题. 8．已知()21ln (0)2f x a x x a =+>，若对任意两个不等的正实数1x ，2x ，都有()()12122f x f x x x ->-恒成立，则a 的取值范围是（ ）A ．(]0,1B ．()1,+∞C ．()0,1D ．[)1,+∞【答案】D【解析】【详解】试题分析：根据1212()()2f x f xx x->-可知112212()2[()]2f x x f x xx x--->-，令()21()2ln()202g x f x x a x axx=-=+>-为增函数，所以()()'200,0ag x x x ax=+-≥>>恒成立，分离参数得()2a x x≥-，而当0x>时，()2x x-最大值为1，故1a≥.【考点】函数导数与不等式，恒成立问题．9．如图所示，在著名的汉诺塔问题中，有三根高度相同的柱子和一些大小及颜色各不相同的圆盘，三根柱子分别为起始柱、辅助柱及目标柱.已知起始柱上套有n个圆盘，较大的圆盘都在较小的圆盘下面.现把圆盘从起始柱全部移到目标柱上，规则如下：每次只能移动一个圆盘，且每次移动后，每根柱上较大的圆盘不能放在较小的圆盘上面，规定一个圆盘从任一根柱上移动到另一根柱上为一次移动.若将n个圆盘从起始柱移动到目标柱上最少需要移动的次数记为()p n，则(4)p=（）A．33 B．31 C．17 D．15【答案】D【解析】由简单的合情推理得：()P n⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以P（1）+1＝2为首项，2为公比的等比数列，由等比数列通项公式可得：P（n）+1＝2n，所以P（n）＝2n﹣1，得解．【详解】设把圆盘从起始柱全部移到目标柱上最少需要移动的次数记为p（n），则把起始柱上的（除最底下的）圆盘从起始柱移动到辅助柱最少需要移动的次数记为p（n﹣1），则有P（n）＝2P（n﹣1）+1，则有P（n）+1＝2[P（n﹣1）+1]，又P（1）＝1，即()P n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以P （1）+1＝2为首项，2为公比的等比数列， 由等比数列通项公式可得：P （n ）+1＝2n ，所以P （n ）＝2n ﹣1， 即P （4）＝24﹣1＝15， 故选：D ． 【点睛】本题考查了数列的递推公式及等比数列的通项公式，属中档题．10．定义在R 上的可导函数()f x ，当(1,)x ∈+∞时，()'()'()f x f x xf x +<恒成立，1(2),(3),1)2a fb fc f ===，则,,a b c 的大小关系为 （ ） A ．c a b << B ．b c a <<C ．a c b <<D ．c b a <<【答案】A【解析】试题分析：当(1,)x ∈+∞时，()'()'()f x f x xf x +<恒成立知，当(1,)x ∈+∞时, ,所以()()1f xg x x =-在(1,)x ∈+∞上是增函数.因为23,(2)(3),1)g g g c f <∴<<∴==()()(2)(3)12,321312f f a f b f c a b ====∴<<--．故选A ． 【考点】函数的单调性点评：对于比较复杂的函数，求其单调性常用到导数，在求解过程中要用到的结论是：'()0,(,)(),(,)f x x a b f x x a b >∈⇔∈为增函数；'()0,(,)(),(,)f x x a b f x x a b <∈⇔∈为减函数．二、双空题11．在如图所示的74⨯的方格纸上（每个小方格均为正方形），共有________个矩形、________个正方形．【答案】280 60【解析】对于第一空：分析可得在方格纸上，有5条水平方向的线，8条竖直方向的线，在5条水平方向的线中任选2条，在8条竖直方向的线中任选2条，就可以组成一个矩形，由分步计数原理计算可得答案；对于第二空：设方格纸上的小方格的边长为1，按正方形的边长进行分类讨论，求出每种情况下正方形的个数，由加法原理即可得答案． 【详解】根据题意，7×4的方格纸上，有5条水平方向的线，8条竖直方向的线， 在5条水平方向的线中任选2条，在8条竖直方向的线中任选2条，就可以组成一个矩形，则可以组成2258280C C =个矩形；设方格纸上的小方格的边长为1，当正方形的边长为1时，有7×4=28个正方形， 当正方形的边长为2时，有6×3=18个正方形， 当正方形的边长为3时，有5×2=10个正方形， 当正方形的边长为4时，有4×1=4个正方形， 则有28+18+10+4=60个正方形； 故答案为：280，60. 【点睛】本题考查排列、组合及简单计数问题，是排列组合问题结合分步、分类计数原理的考查，考查分析推理能力，属于中等题.12．实数(0,1,2,3,4,5)i a i =满足：对任意x ∈R ，都有52345012345(1)x a a x a x a x a x a x +=+++++，则0a =________，123452345a a a a a ++++=________．【答案】1 80【解析】由二项式展开式系数的求法得：由52345012345(1)x a a x a x a x a x a x +=+++++，令x =0得：a 0=1；等式两边同时求导得：()423412345512345x a a x a x a x a x +=++++，令x =1得：a 1+2a 2+3a 3+4a 4+5a 5=80，得解． 【详解】由52345012345(1)x a a x a x a x a x a x +=+++++，令x =0得：a 0=1.由52345012345(1)x a a x a x a x a x a x +=+++++，等式两边同时求导得；()423412345512345x a a x a x a x a x +=++++，令x =1得：123452345a a a a a ++++=80， 故答案为：1，80. 【点睛】本题考查二项式定理系数问题，二项式展开式系数和等问题通常采用赋值法进行解决，属于中等题.13．已知函数32153y x x ax =++-．若函数在(,)-∞+∞上是单调函数，则实数a 的取值范围是________；若函数在[1,)+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是________．【答案】[)1,+∞ [)3,-+∞【解析】函数f （x ）求导得f ′（x ）=x 2+2x +a ，①函数在（-∞，+∞）上是单调函数，可得f ′（x ）=x 2+2x +a ≥0在R 上恒成立，化简，分离参数解出a 即可得出；②函数在[1，+∞）上是增函数，利用二次函数的单调性求出其最大值即可． 【详解】 函数()32153f x x x ax =++-，22f x x x a '=++（）， ①函数在(−∞,+∞)上是单调函数,220f x x x a '=++≥（）恒成立,化为：()()22211f x a x x x '=≥-+=-++（）的最大值. ∴a ≥1.②函数在[1,+∞)上是增函数,则a ≥−22+1=−3. 故答案为：[1,+∞),[−3,+∞). 【点睛】本题考查导数的应用，已知函数的单调性求参数的取值范围，此类型题目通常利用分离参数或构造函数，转化为求函数最值问题求解，属于中等题.三、填空题 14．若复数121i z i i -=-+（i 是虚数单位），则z 的虚部为________，z =________. 【答案】-3 3【解析】化简可得3z i =-即可求虚部与模长. 【详解】由题得()21222322i iz i i i --=-=-=-,z ∴的虚部为3-,3z ==. 故答案为：3-,3 【点睛】本题主要考查了复数的除法运算与虚部的定义和模长的计算等.属于基础题型.15．函数1()1x x e f x e +=-的导函数为()f x '=________．【答案】()221xxe e--【解析】利用商的导数运算法则求出函数的导函数即可． 【详解】()()()()()()2211112()11xx x x xxxe e e e ef x ee''+--+-'==---，故答案为：()221xx e e --【点睛】本题考查导数的运算法则，解题关键是商的求导运算法则的应用，属于基础题. 16．用数学归纳法证明“()*1111,12321n n n N n ++++<∈>-L ”时，由(1)n k k =>不等式成立，推证1n k =+时，则不等式左边增加的项数共__项 【答案】2k【解析】由题意有：由(1)n k k =>不等式成立，推证1n k =+时，则不等式左边增加的项数共12121k k +--+项，得解. 【详解】解：当(1)n k k =>时，不等式左边为11112321k ++++-L ，当1(1)n k k =+>时，不等式左边为11111112321221k k k ++++++++--L L ， 则由(1)n k k =>不等式成立，推证1n k =+时，则不等式左边增加的项数共121212k k k +--+=项，故答案为：2k . 【点睛】本题考查了数学归纳法，重点考查了运算能力，属基础题.17．将5名上海世博会的志愿者分配到中国馆、美国馆、英国馆工作，要求每个国家馆至少分配一名志愿者且其中甲、乙两名志愿者不同时在同一个国家馆工作，则不同的分配方案有________种． 【答案】114【解析】本题是一个分类计数问题，每个国家馆至少分配一名志愿者，则有两种不同的情况，当按照2，2，1安排时，共有223533902C C A =，当按照1，1，3安排时，有335360C A =，其中包括甲和乙在一个馆里的情况，减去不合题意的结果即可． 【详解】由题意知本题是一个分类计数问题，每个国家馆至少分配一名志愿者，则有两种不同的情况， 每一个馆的人数分别是2，2，1；1，1，3当按照2，2，1安排时，共有223533902C C A =，当按照1，1，3安排时，有335360C A =，其中包括甲和乙在一个馆里的情况，当甲和乙在同一个馆里时，共有234336C A =，∴满足条件的排列法共有906036114+-=， 故答案为：114. 【点睛】本题考查计数原理的应用，解题的关键是先分组再做分配，考查加法原理和乘法原理的实际应用，属于中等题.四、解答题18．已知函数3()2f x x x =+-．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(2,8)处的切线方程；（Ⅱ）直线l 为曲线()y f x =的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标. 【答案】(1) 13180x y --= (2) 切线方程为4y x =,切点为(1,4)--【解析】（I ）先求得函数在2x =处的导数，利用点斜式写出切线方程.（II ）设出切点的坐标，利用导数求得切线的斜率，写出切线的方程，将原点坐标代入切线方程求得切点的坐标以及切线方程. 【详解】（Ⅰ）()231f x x ='+，所以()213f '=∴ ()8132y x -=-，即13180x y --=（Ⅱ）设切点为3000,2)x x x （+-，则()20031f x x ='+ 所以切线方程为()()()320000231y x x x x x -+-=+-因为切线过原点，所以 ()()320000231x x x x -+-=-+，所以3022x =-，解得01x =-，所以()14f '-=，故所求切线方程为4y x =， 又因为()14f -=-，切点为()1,4-- 【点睛】本小题主要考查利用导数求曲线上某点的切线方程，考查已知切线过某点来求切线方程的方法，属于中档题.19．在2(n x+的展开式中，第4项的系数与倒数第4项的系数之比为12. （1）求n 的值；（2）求展开式中所有的有理项； （3）求展开式中系数最大的项.【答案】（1）7n =； （2）14x ，984x ，4560x ，1448x -； (3)32672x .【解析】(1)由二项展开式的通项公式分别求出第4项的系数与倒数第4项的系数，然后计算出结果(2)由通项公式分别计算当0246r =、、、时的有理项 (3)设展开式中第1r +项的系数最大，列出不等式求出结果【详解】（1）由题意知：52212n r r r r n T C x-+=，则第4项的系数为332n C ， 倒数第4项的系数为332n n n C --， 则有33332122n n n n C C --=即61122n -=，7n ∴=. （2）由（1）可得()51421720,1,,7r rr r T C x r -+==L ，当0,2,4,6r =时所有的有理项为1357,,,T T T T即001414172T C x x ==，229937284T C x x ==，4444572560T C x x ==，6611772448T C x x --==.（3）设展开式中第1r +项的系数最大，则117711772222r r r r r r r r C C C C ++--⎧≥⇒⎨≥⎩ ()()12728r r r r ⎧+≥-⎪⎨-≥⎪⎩ 131633r ⇒≤≤， 5r ∴=，故系数最大项为335522672672T C x x ==.【点睛】本题考查了二项式定理的展开式，尤其是通项公式来解题时的运用一定要非常熟练，针对每一问求出结果，需要掌握解题方法．20．己知函数2()x f x x e -=.(I)求f(x)的极小值和极大值；(II)当曲线y = f(x)的切线l 的斜率为负数时，求l 在x 轴上截距的取值范围.【答案】(I)()f x =极小值0，()f x =极大值24e -；(II) ()),03⎡-∞⋃++∞⎣【解析】【详解】（Ⅰ）由题意知，()f x 的定义域为R ，由2()(2)x f x e x x -=-'，令2()(2)0x f x e x x --'=>，解得02x <<；令()0f x '<，解得0x <或2x >，所以当0x =时，()f x =极小值0；当2x =时，()f x =极大值24e -；（Ⅱ）设切点为()(),t f t ，则2()(2)0t f t e t t --'=<，即0t <或2t >，l 的方程为()()()'y f t x t f t =-+，令0y =，()()'f t x t f t =-则l 在x 轴上截距()()()'2f t t m t t t f t t =-=+- 则()2232m t t t =-++-， 令2s t =-，则2s <-或0s >，故23y s s =++ 当0s >时，2333y s s =++≥=+，当且仅当2s s=，即s = 当2s <-时， 23y s s=++在(),2-∞-单调递增， 所以2232302y s s =++<-++=-所以函数23y s s =++的值域为()),03⎡-∞⋃++∞⎣则l 在x 轴上截距的取值范围为()),03⎡-∞⋃++∞⎣本题第（Ⅰ）问，要求函数()f x 的极值，先求函数()f x 的定义域、导数、判断导数的正负，可以得出结果;第（Ⅱ）问,先由导数小于0，解得x 的取值范围，然后结合直线的截距式方程写出直线，即可求出．对第（Ⅰ）问，一部分同学们容易忽视定义域的求解；第（Ⅱ）问,一部分同学找不思路，所以在日常复习中，要加强导数基本题型的训练.【考点定位】本小题考查利用导数研究函数的单调性、极值、最值、证明不等式等知识，综合性较强，考查函数与方程、分类讨论等数学思想，考查同学们分析问题、解决问题的能力，熟练函数与导数的基础知识以及基本题型是解答好本类题目的关键.21．在班级活动中，4 名男生和3名女生站成一排表演节目：（写出必要的数学式，结果用数字作答）（1）三名女生互不相邻，有多少种不同的站法？（2）四名男生相邻有多少种不同的排法？（3）女生甲不能站在左端，女生乙不能站在右端，有多少种不同的排法？（4）甲乙丙三人按高低从左到右有多少种不同的排法？（甲乙丙三位同学身高互不相等）【答案】（1）1440（2）576（3）3720（4）840【解析】（1）根据题意，用插空法分2步进行分析：①，将4名男生全排列，有A44＝24种情况，②，在5个空位中任选3个，安排3名女生，由分步计数原理计算可得答案；（2）根据题意，用捆绑法分2步进行分析：①，将4名男生看成一个整体，考虑4人间的顺序，②，将这个整体与三名女生全排列，由分步计数原理计算可得答案；（3）根据题意，分2种情况讨论：①，女生甲站在右端，其余6人全排列，②，女生甲不站在右端，甲有5种站法，女生乙有5种站法，将剩余的5人全排列，安排在剩余的位置，由加法原理计算可得答案；（4）根据题意，首先把7名同学全排列，再分析甲乙丙三人内部的排列共有A33种结果，要使的甲乙丙三个人按照一个高矮顺序排列，结果数只占6种结果中的一种，由倍分法分析可得答案．【详解】解：（1）根据题意，分2步进行分析：①，将4名男生全排列，有A44＝24种情况，排好后有5个空位，②，在5个空位中任选3个，安排3名女生，有A53＝60种情况，则三名女生不能相邻的排法有24×60＝1440种；（2）根据题意，分2步进行分析：①，将4名男生看成一个整体，考虑4人间的顺序，有A44＝24种情况，②，将这个整体与三名女生全排列，有A44＝24种情况，则四名男生相邻的排法有24×24＝576种；（3）根据题意，分2种情况讨论：①，女生甲站在右端，其余6人全排列，有A66＝720种情况，②，女生甲不站在右端，甲有5种站法，女生乙有5种站法，将剩余的5人全排列，安排在剩余的位置，有A55＝120种站法，则此时有5×5×120＝3000种站法，则一共有720+3000＝3720种站法；（4）根据题意，首先把7名同学全排列，共有A 77种结果，甲乙丙三人内部的排列共有A 33＝6种结果，要使的甲乙丙三个人按照一个高矮顺序排列，结果数只占6种结果中的一种，则有7733A A =840种． 点睛：本题主要考查排列的应用，属于中档题.常见排列数的求法为：（1）相邻问题采取“捆绑法”；（2）不相邻问题采取“插空法”；（3）有限制元素采取“优先法”；（4）特殊顺序问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.22．已知函数()f x =21(12)2ln 2ax a x x +--，a R ∈； (1)讨论()f x 的单调性;(2)若不等式()f x ≥32在(0,1)上恒成立,求实数a 的取值范围. 【答案】（1）见解析（2）1(,]3-∞- 【解析】（1）求出导函数后，按a≤0，0＜a ＜12，a=12，a ＞12分类讨论，根据导数和函数的单调性的关系即可求单调区间（2）由（1）的单调性分类求f （x ）的最小值，用最小值使不等式成立代替恒成立．【详解】（1）∵f （x ）=ax 2+（1﹣2a ）x ﹣2lnx ，x ＞0，∴f′（x ）==，①当a≥0时，令f′（x ）＜0，得0＜x ＜2；令f′（x ）＞0，得x ＞2；②当a ＜0时，令f′（x ）=0，得x=﹣或x=2；（Ⅰ）当﹣＞2，即﹣时，令f′（x ）＜0，得0＜x ＜2或x ＞﹣；令f′（x ）＞0，得 2＜x ＜﹣；（Ⅱ）当﹣=2时，即a=﹣时，则f′（x ）＜0恒成立；（Ⅲ）当﹣＜2时，即a ＜﹣时，令f′（x ）＜0，得0＜x ＜﹣或x ＞2； 令f′（x ）＞0，得﹣＜x ＜2；综上所述：当a≥0时，f （x ）在（0，2）上递减，在（2，+∞）上递增；当﹣时，f （x ）在（0，2）和（﹣，+∞）上递减，在（2，﹣）上递增；当a=﹣时，f（x）在（0，+∞）上递减；当a＜﹣时，f（x）在（0，﹣）和（2，+∞）上递减，在（﹣，2）上递增．（2）由（1）得①当a≥﹣时，f（x）在（0，1）上递减，∴f（1）=1﹣a≥，∴﹣；②当a＜﹣时，（Ⅰ）当﹣≤1，即a≤﹣1时，f（x）在（0，﹣）上递减，在（﹣，1）上递增，∴f（﹣）=2﹣+2ln（﹣a）≥2﹣≥，∴a≤﹣1符合题意；（Ⅱ）当﹣＞1，即﹣1＜a＜﹣时，f（x）在（0，1）上递增，∴f（1）=1﹣a＞，∴﹣1＜a＜﹣符合题意；综上，实数a的取值范围为（﹣∞，﹣]．【点睛】本题主要考查函数单调性的判断，先求出函数的导数，用二次函数开口和根的大小讨论导数和函数单调性之间的关系是解决本题的关键，注意要对a进行分类讨论，最后求最值，属于中档题．。
浙江省慈溪市高二数学上学期期中联考试题新人教A版
一.选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把答案写在答题卷中的相应位置上)1、直线3x －y+1=0的倾斜角为 ( ▲ )A.60ºB.120ºC.150ºD.30º2．下列说法正确的是( ▲ )A 、三点确定一个平面B 、四边形一定是平面图形C 、梯形一定是平面图形D 、平面α和平面β有不同在一条直线上的三个交点3．已知直线1:2(1)20l x y λ++-=，2:10l x y λ+-=，若1l ∥2l，则λ的值是：（ ▲ ）A ． 1B ．2-C ．1或2-D ．13-4．直线kx-y+1-3k=0,当k 变动时，所有直线都通过定点( ▲ )A. (1,0)B.(0,1)C.(3,1)D. (1,3)5. 如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形，且直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为（ ▲ ）A ．16B ．13C ．12D ．1 6. 在同一直角坐标系中，表示直线y ax =与y x a =+正确的是（ ▲ ）7．已知直线m 、n 与平面βα,，给出下列三个命题：①若;//,//,//n m n m 则αα ②若;,,//m n n m ⊥⊥则αα ③若.,//,βαβα⊥⊥则m m 其中真命题的个数是(▲ )A ．0B ．1C ．2D ．38．在正方体1111D C B A ABCD -中，O 是底面ABCD 的中心，E 为1CC 的中点，那么异面直线OE 与1AD 所成角的余弦值等于（ ▲ ）A. 62B. 22C. 33D. 639．如图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长相等的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体是（ ）.A.棱柱B.圆柱C.圆台D.圆锥10．已知正方体的八个顶点中，有四个点恰好为正四面体的顶点，则该正四面体的体积与正方体的体积之比为( ▲ )二.填空题(本大题共7小题,每小题4分,共28分,把答案填在答题卷中的相应位置上)11．球的表面积扩大为原来的4倍，则它的体积扩大为原来的____▲_______倍．12、若直线210ax y ++=与直线20x y +-=互相垂直，那么a 的值等于 ▲13．已知正三棱锥的侧面积为36 cm 2,高为1cm. 求它的体积 ▲ ．14．过点（1，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为 ▲ ．15．己知正三棱柱ABC －A 1B 1C l 的侧棱长与底面边长相等，则AB 1与侧面ACCA 1所成角的正弦值等于 ▲ ____.16．光线从点（―1，3）射向x 轴，经过x 轴反射后过点（4，6），则反射光线所在直线方程的一般式是 ▲ ．17、如图，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M ∈1A B ，N ∈1B C ，11A M B N =，有以下四个结论： ①1A A MN ⊥；②//AC MN ；③MN 与平面ABCD 成0°角；④MN 与AC 是异面直线． 其中正确结论的序号是 ▲ .(把你认为正确命题的序号都填上）三.解答题(本大题共5小题,共52分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤,把解答写在答题卷中的相应位置上)18 、 （本小题满分8）设直线l 的方程为（m 2-2m-3）x+(2m 2+m-1)y-2m-8=0，根据下列条件求m 的值.(1)直线l 的斜率为1；（2）直线l 经过点)1,1(-P .19、（本小题满分10分）如图，在平行四边形ABCD 中，边AB 所在直线方程为220x y --=，点(2,0)C 。
浙江省慈溪中学高二上学期期中考试数学(1班)试题
慈溪中学2015学年第一学期期中检查高二（1）班数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共40分）1．设23(1)(1)(1)(1)nx x x x ++++++⋅⋅⋅++2012,n n a a x a x a x =+++⋅⋅⋅+当012254n a a a a +++⋅⋅⋅+=时,n 等于（ ）A. 5B.6C.7D.82．6个人排成一排，甲乙两人中间至少有一个人的排法种数有( ) A.480 B.720 C.240 D.360 3．在2(2)3n x x-的展开式中含常数项,则正整数n 的最小值是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．54．设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题中正确．．的是( ) A ．若//,m n αβ⊥且αβ⊥，则m n ⊥ B ．若,m n αβ⊥⊥且m n ⊥，则αβ⊥ C ．若/,/n m αβ⊥且n β⊥，则//m α D ．若,m n αβ⊂⊂且//m n ，则//αβ5．有一个公用电话亭，在观察使用这个电话的人的流量时，设在某一时刻，有n 个人正在使用电话或等待使用的概率为()P n ，且()P n 与时刻t 无关，统计得到1()(0)(15)()20(6)nP n P n n ⎧⋅≤≤⎪=⎨⎪≥⎩，那么在某一时刻这个公用电话亭里一个人也没有的概率(0)P 的值是（ ） A ．0 B ．1 C ．3263 D ．126．设双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的左焦点F(－c ，0)，圆x 2+y 2=c 2与双曲线的一条渐近线交于点A ，直线AF 交另一条渐近线于点B 。
若12FB FA =，则双曲线的离心率为（ ）A.2B.3C.32D.512+7．已知直线1:4360l x y -+=和直线0:2=x l ，抛物线24y x = 上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 8. 如果正整数a 的各位数字之和等于8，那么称a 为 “幸运数”（如：8，26，2015等均为“幸运数”），将所有“幸运数”从小到大排成一列123,,,,a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 若2015n a =，则=n （ ） A ．80B ．81C ．82D ．83二、填空题（本大题共7小题，9－12小题每小题6分，13－15每小题4分，共36分）9．多项式(1)(2)(3)(4)(5)x x x x x -----的展开式中，4x 项的系数=____▲_____, x 项的系数= _____▲_______．10. 在二项式nx x )21(32-的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则=n ▲ _；展开式中的第4项＝_▲_ .11．一个四棱锥的三视图如图所示，则该几何体的 体积＝ ▲ ，表面积＝_ ▲__. 12．已知抛物线23x y =上两点,A B 的横坐标恰是方程2510x x ++=的两个实根，则直线AB 的 斜率＝ ▲ ；直线AB 的方程为 ▲ .13．某种产品有4只次品和6只正品,每只产品均不同且可区分,今每次取出一只测试,测试后不放回，直到4只次品全测出为止,则最后一只次品恰好在第五次测试时被发现的不同情形有 ▲ 种. 14．设F 1、F 2是椭圆Γ的两个焦点，S 是以F 1为中心的正方形，则S 的四个顶点中能落在椭圆Γ上的个数最多有 ▲ 个（S 的各边可以不与Γ的对称轴平行）． 15. 甲、乙两位同学玩游戏，对于给定的实数1a ，按下列方法操作一次产生一个新的实数：由甲、乙同时各掷一枚均匀的硬币，如果出现两个正面朝上或两个反面朝上，则把1a 乘以２后再减去12；如果出现一个正面朝上，一个反面朝上，则把1a 除以２后再加上12，这样就可得到一个新的实数2a .对实数2a 仍按上述方法进行一次操作，又得到一个新的实数3a ，当31a a >时，甲获胜，否则乙获胜.若甲胜的概率为34，则1a 的取值范围是1a ∈ ▲ ．三、解答题（本大题共5小题,依次为15、15、15、15、14分，共74分）16．某班共有36名学生，其中有班干部6名.现从36名同学中任选2名代表参加某次活动.求: (1) 恰有1名班干部当选代表的概率；(2) 至少有1名班干部当选代表的概率；(3) 已知36名学生中男生比女生多，若选得同性代表的概率等于12，则男生比女生多 几人？17．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为,F A 为短轴的一个端点，且OA OF =，AOF ∆的面积为1（其中O 为坐标原点）． （1）求椭圆的方程；（2）若,C D 分别是椭圆长轴的左、右端点，动点M 满足MD CD ⊥，连接CM ，交椭圆于点P ，证明：OM OP ⋅为定值． 18．在三棱柱111ABC A B C -中，已知15AB AC AA ===,4BC =,BC 的中点为O ,1A O 垂直于底面ABC .(1) 证明：在侧棱1AA 上存在一点E ，使得OE ⊥平面11BB C C ，并求出AE 的长；(2) 求二面角11A B C B --的平面角的余弦 值．19．如图，椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点MCD FOxyAPOC 1B 1A 1CBA为21,F F ，过1F 的直线l 与椭圆相交于A 、B 两点。
浙江省慈溪中学高二上学期期中考试(数学文)4-5班.doc
浙江省慈溪中学高二上学期期中考试（数学文）4-5班本试卷共4页，22小题，满分150分．考试用时1．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．若()2z +⋅=，则复数z 对应的点在复平面内的（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2．与命题“若a M ∈，则b M ∉”等价的命题是（ ） A ．若a M ∉，则b M ∉ B ．若b M ∈，则a M ∉ C ．若a M ∉，则b M ∈ D ．若b M ∉，则a M ∈ 3. 设集合01x A xx ⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭，{}03B x x =<<，那么“m A ∈”是“m B ∈”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．为了在运行下面图（1）的程序之后得到输出16，键盘输入x 应该是（ ） A ． 3或-3 B ． -5或3 C ．5或-3 D ． 5或-55．为了解初中生的身体素质，某地区随机抽取了n 名学生进行跳绳测试，根据所得数据画样本的频率分布直方图如下图（2）所示，且从左到右第一小组的频数是100，则n =（ ） A ．1000 B ．10000 Ｃ． Ｄ．30006．某程序框图如下图（3）所示，该程序运行后输出的k 的值是 ( )A ．4B ．5C ．6D ．77．已知命题p ：函数()log 2a y ax a =+ ()01a a >≠且的图像必过点()1,1-;命题q ：如果函数(3)y f x =-的图像关于原点对称，那么函数()y f x =的图像关于点()3,0对称，则（ ）A ．“p q ∧”为真B ．“p q ∨”为假C ．p 真q 假D ．p 假q 真8．从数字１，２，３，４，５中，随机抽取３个数字（允许重复）组成一个三图（1）图（3）图（2）位数，其各位数字之和等于９的概率为 （ ）Ａ．12513 Ｂ． 12516 Ｃ． 12518Ｄ． 125199. 通过右图的程序：若输入a=333，k=5，则输出的b 为（ ） A ．(5)2313 B. (5)3132 C. (5)93 D. (10)9310.已知0{(,)|y x y y ≥⎧⎪Ω=⎨≤⎪⎩，直线2y mx m =+和曲线y =有两个不同的交点，它们围成的平面区域为M ，向区域Ω上随机投一点A ，点A 落在区域M 内的概率为()P M ，若2()[,1]2P M ππ-∈，则实数m 的取值范围为（ ） A ．1[,1]2B ．[0,]3 C．3 D ． [0,1] 二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，满分28分．11. 设复数112z i =-，()2z x i x R =+∈。
浙江省慈溪中学0910学年高二下学期期中考试(数学)13班144785
浙江省慈溪中学09-10学年高二下学期期中考试(数学) 1-3班符合题目要求的) 1.已知复数 乙=3-bi, Z 2 =1 - 2i,若勺 是实数，则实数b 的值为()Z 21 (A ) 6( B ) - 6(C ) 0(D )-62. 设X 0是方程In x • x = 4的解，贝U X 0属于区间()(A ) ( 0, 1) (B) ( 1, 2) (C) (2, 3) (D) (3, 4)3. 已知集合 A 二{x|y - - 2X-X 2}, B 二{y|y =2x ,x 0} , R 是实数集，则(C R B )n A =4.若点P 是曲线y=x 2- Inx 上任意一点，则点 P 到直线y=x — 2的最小距离为()(A) ■ 2(B) , 3(C) 2(D)53 、 15. 若函数f(x) =log a (x 「ax) (a .0,a=1)在区间(-y 0)内单调递增，则a 的取值范围是(1 39 — 9(A ) [-,1)(B) [3,1)(C)(二,；)(D) (1,9)4 444方程x 3 - 6x 2 • 9x -10 =0的实根的个数是()(A ) 0 ::: a ::: 1(B ) 0 ：：： a -1 (C ) a 1(D ) a _19•函数f(x)的定义域为R ,若f(x ，1)与f(x-1)都是奇函数，则( )(B) f(x)是奇函数 (C) f(x) = f(x 2)(D) f (x 3)是奇函数210 .函数f (x) = ax + bx+ ca°),对任意的非零实数a , b , c , m , n , p ,关于x、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中 有且只有 ，项是(A) R(B) 1,2 16. 7. (A )0 (B )l (C )2(D )3若函数y仪.4> (x € [a,b])2的值域为［1 , e ］，则点(a ,b )的轨迹是图中的 ((A ) (C ) AB 和 AD AD 和(B ) AB 和 CD (D ) AC 和 BD&函数x —1二1为奇函数的充要条件是(A) f (x)是偶函数 的方程m〔f(x)f，nf(x) • p =0的解集都不可能是()(A) d,2? (B) d,4?(C) d,2,3,4?(D) 11,4,16,64?二、填空题： (本大题有7小题，每小题 4分,共28分)11.已知 f(x)5x^,且 f[g(x )] =4 x —3-x ，则 g(1)=▲14.已知集合M ={a,b,c} , N -{ -1,0,1}，从M 到N 的映射f 满足f (a) - f (b)二f (c)，那么映射f 的个数为 ▲. 15. 已知函数f (x) =,x 2 ax b ( a,b 为实常数且a = 0)，若f (x)的值域为[0, •::，则常数a,b 应满足的条件为▲.x 2 x € (— 1 1]16.已知以T =4为周期的函数f(x) = < 1 '，其中m>0。
慈溪中学期中检查高二数学答案(2-10)
慈溪中学期中检查高二（2-10）班数学答案一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
DABB BCCC二、填空题（本大题共7小题，第9，10，11，12题每空3分，第13，14，15题每空4分，共36分．）9. 16; 8 10. 90° ; 60° 11.211; 116326+++12.683; )1,21( 13. 316014. 3 15.⎥⎦⎤⎢⎣⎡25,423 三.解答题：本大题共5小题，共74分。
解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
16.（1）PQ//AM（2）4 17.18.解法一： （1）由已知38213131=⋅⋅⋅=⋅=∆-PG GC BG PG S V BCG BGC P∴PG=4如图所示，以G 点为原点建立空间直角坐标系 o —x yz ，则B （2，0，0），C （0，2，0），P （0，0，4） 故E （1，1，0）(1,1,0),(0,2,4)GE PC ==-210cos ,10||||220GE PC GE PC GE PC ⋅<>===⋅⋅ （2）设F （0，y , z ）3333(0,,)(,,0)(,,)(0,2,0)2222,03333(,,0)(0,2,0)2()02222DF OF OD y z y z GC DF GC DF GC y y y =-=--=-=⊥∴⋅=∴-⋅=-=∴=则在平面PGC 内过F 点作FM ⊥GC ，M 为垂足，则21,23==MC GM 3==∴MCGMFC PF解法二：（1）由已知38213131=⋅⋅⋅=⋅=∆-PG GC BG PG S V BCG BGC P ∴PG=4在平面ABCD 内，过C 点作CH//EG 交AD 于H ，连结PH ，则∠PCH （或其补角）就是异面直线GE 与PC 所成的角.在△PCH 中，18,20,2===PH PC CH由余弦定理得，cos ∠PCH=1010（2）在平面ABCD 内，过D 作DM ⊥GC ，M 为垂足，连结MF ，又因为DF ⊥GC∴GC ⊥平面MFD ， ∴GC ⊥FM由平面PGC⊥平面ABCD ，∴FM ⊥平面ABCD ∴FM//PG由GM ⊥MD 得：GM=GD ·cos45°=23332123=⊥∴===FCPFGC DF MC GM FC PF 可得由19.(1)20π(2)解： BE=BC=2，CE=22，∴222BE BC CE +=，∴∆BCE 为直角三角形，BE ⊥BC ，……………又BE ⊥BA ，BC ⋂BA=B ，BC 、BA ⊂平面ABCD ，∴BE ⊥平面ABCD ． ……………以B 为原点，BC 、BA 、BE 的方向分别 为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，则B （0，0，0），F （0，2，2），A （0，2，0），)0,2,2(=BD ，)2,2,0(=BF ． 设K （0，0，m ），平面BDF 的一个法向量为),,(z y x n =． 由0=⋅BD n ，0=⋅BF n ，得220,220,+=⎧⎨+=⎩x y y z 可取)1,1,1(-=n ，………… …又),2,0(m AK -=，于是sin AKn AK n ⋅⋅=ϕ=2432mm +⋅+，︒︒≤≤4530ϕ，∴22sin 21≤≤ϕ，即2221,23422,234m m m m +≤⋅++≤⋅+⎧⎪⎨⎪⎩…………11分结合20<<m ，解得3240-≤<m ，即BK 的取值范围为（0，324-]．………… …20.1．（I ）∵'A E ∥',B F DE ∥FC∴'A E ∥平面'B FC ，DE ∥平面'B FC 'A E D E E=I ∴平面'A ED ∥平面'B FC∴'A D ∥平面'B FC ……………………………………………………6分 （II ）方法一：由（I ）可知平面'A ED ∥平面'B FC∴二面角'A DE F --与二面角'B FC E --互补……………………8分过'B 作'B K EF ⊥于K ，连结HK∵'B H ⊥平面CDEF ∴'B H EF ⊥ ∴EF ⊥平面'B KH ∴EF KH ⊥ ∵'45B FE ∠=o，'90B KF ∠=o，'3B F =∴322FK =∵22EF = ∴22EK = 又∵45KEH ∠=o，90HKE ∠=o∴1EH =∵'5B E =∴'2B H =…………10分过H 作HL CF ⊥交CF 延长线于点L ，连结'B L ∵'B H ⊥平面CDEF ∴'B H CF ⊥∴CF ⊥平面'B HL ∴'CF B L ⊥∴'B LH ∠为二面角'B CF E --的平面角…………………………12分 ∵2'HL B H == ∴'45B LH ∠=o∴二面角'A DE F --的大小为135o……………………………………14分方法二：如图，过E 作ER ∥DC ，过E 作ES ⊥平面EFCD分别以ER ，ED ，ES 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系…………8分 ∵'B 在平面CDEF 上的射影H 在直线DE 上，设'(0,,)B y z （,y z R +∈） ∵(2,2,0)F ，'5B E =，'3B F =∴22221524(2)9y y z z y z =⎧+=⎧⇒⎨⎨=+-+=⎩⎩ ∴'(0,1,2)B ………………………………10分∴'(2,1,2)FB =--u u u r∴1212''(,,)3333EA FB ==--u u u r u u u r设平面'A DE 的法向量为000(,,)n x y z =r 又有(0,4,0)ED =u u u r∴2120(1,0,1)33340x y z n y ⎧--+=⎪⇒=⎨⎪=⎩r …………………………………12分 又∵平面CDEF 的法向量为(0,0,1)m =u r设二面角'A DE F --的大小为θ，显然θ为钝角∴2cos |cos ,|2n m θ=-<>=-r u r ∴135θ=o………………。
浙江省慈溪中学高二上学期期中考试(数学)1-3班.doc
浙江省慈溪中学高二上学期期中考试（数学）1-3班一、选择题 : (本大题共10小题, 每小题5分, 共50分. 在每小题给出的四个选项中, 有且只有一项是符合题目要求的) 1．已知211(),(),()5410P A P B P AB ===，则()P B A =（ ） A ．110B ．14C ．25D ．13202．若从数字1、2、3、4、5中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于40的概率为（ ）A.45B.35C.25 D.153． 2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是 （ ）A. 60B. 48C. 42D. 364．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k 的值是 ( )A ．4 B. 5 C. 6 D. 7 5．在2(2n x 的展开式中含常数项,则正整数n 的最小值是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．56．设23(1)(1)(1)(1)nx x x x ++++++⋅⋅⋅++2012,n n a a x a x a x =+++⋅⋅⋅+当012254n a a a a +++⋅⋅⋅+=时,n 等于（ ）A ． 5B ．6C ．7D ．87． 某种产品有4只次品和6只正品,每只产品均不同且可区分,今每次取出一只测试,取后不放回，直到次品全测出则停止测试,则最后一只次品恰好在第五次测试时被发现的不同情形有（ ） A ．24种 B ．144种 C ．576种 D ．7 8． 已知全集}9,,3,2,1{••••••••U=集合A 、B 都是U 的子集，当}3,2,1{••••B A =⋂时，我们把这样的（A ，B ）称为“理想集合对”，那么这样的“理想集合对”一共有（ ）A ．36对B ．6！对C ．63对D ．36对9．设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作.若一周5个工作日里均无故障，可获利润3万元；发生一次故障可获利润2万元；发生两次故障 可获利润1万元；发生三次故障获利润0万元；发生四次故障就要亏损1万元；发生五次故障就要亏损2万元。
浙江省慈溪中学0910学年高二下学期期中考试(数学)610班144783
浙江省慈溪中学09-10学年高二下学期期中考试(数学)6-10班一、选择题：本大题共 10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的2 21.如果复数z = a a - 2 (a -3a 2)i 为纯虚数，那么实数 a 的值为()A . - 2B . 1C . 2D . 1 或—22、已知两条直线 m,n ，两个平面:/■，给出下面四个命题：②：// :, m 二：£, n 匸=■ m// n则 f(14) =19 ^17 ,记 fdn) = f(n), f ?(n) = f(f 1(n)),…f k1(n)=f(f k (n)), k N*，则 f 2°1°(8)=()(A) 1(B) 5(C) 8(D) 118、设f (x)是函数f(x)的导函数，将y 二f (x)和y 二f (x)的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正 确的是③ m 〃 n,m 〃 ： = n // ： ④：// -, m// n, m _ :-=3、 4、 其中正确命题的序旦旦 A .①③ B函数 y = x cos x 二 3 ■:设 a,b R ,a 2号是 •②④.①④-si nx 在下列哪个区间内是增函数(3兀 B.(二，2 二) C.(--2b 2 =6,则a b 的最小值是(T )D.( ).②③(2 二，3二)A. -2 27 C.2D.5、 =x 3 - ax 2 (a 6)x 1有极大值和极小值，则实数6、已知函数f (x)(A ) -1<a <2 (B) -3< a <6(C ) a <-3 或 a >6(D) a <-1曲线y =1 n(2x-1)上的点到直线2x-y ，3=0的最短距离是(A 八 5(B)2、、5(C) 3 5a 的取值范围是或 a >2 ()( )(D)07、 若f(n)为n 21(N*)的各数位上的数字之和，如2141 =197 ,19、在数列g｝中，& =2 , a n a n In(1 )，则a.二nA. 2 ln n B . 2 - (n —1)ln n C . 2 n In n D . 1 n In n10、若z C，且z^z \z- \z - 0??则| z • 1 -i |的最大值为(C. 6 2 5A . 3B . 2D. .5-1① 设方程a°x+ a1 = 0的1个根是X1,则X1 =—色;a o②设方程a °x 2+ a r x + a 2=0的2个根是X 1, X 2,则X 1 X 2=邑；a o③ 设方程 a o x 3 + a i x 2+ a ?x + a 3 = 0 的 3 个根是 X i , X 2, X 3,则 x i X 2X 3= —④ 设方程 a °x 4+ a 1X 3+ a 2X 2 + a 3x + a 4= 0 的 4 个根是 X 1, X 2, X 3, X 4,则 X 1 X 2 X 3 X 4 = a 4 ； ---- ； a o 由以上结论，推测出一般的结论： 设方程 a °x n + a 1x n-1 + a 2x n-2 + …+ a n_1x + a n = 0 的 n 个根是 X j , X 2,…,X n ,贝 y X 1 X 2 …X n = _ ▲ _______ . 15、设f(x) = X 1厂，利用课本中推导等差数列前 n 项和公式的方法，可求得2^2 f (―5) + f(V) + …+ f (0) + …+ f (5) + f (6)的值是__________ ▲ 16、如图，对于命题：点 P , Q 是线段AB 的三等分点，则 T T T T有OP O^ OA OB ，把此命题推广： 设点A 1, A 2 , A 3,…,A n-1是AB 的n 等分点(n 》3T —I —j 则OAO“ |H = ____ ▲(OA OB) f (x) , x • R 满足f (2) = 3,且f (x)在R 上的导数满足 17、已知函数f (x 2) VX 2 +1 的解集为 __ ▲__.三、解答题：本大题共5小题，共72分。
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出卷：陈铁辉 审校： 孙建强
杨贤江中学2013学年第二学期
高二年级期中测试试卷
学科 数学 （理）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．每小题仅一
项符合题目要求）
1.已知全集)(},3,2{},2,1{},4,3,2,1{Q C P Q P U U 则集合====（ ▲ ）
A ．{1}
B ．{2，3}
C ．{1，2，4}
D ．{2，3，4}
2.命题“存在0x ∈R ，0
2
x ≤0”的否定是（ ▲ ）
A.不存在0x ∈R, 02x
>0 B.存在0x ∈R, 0
2
x ≥0
C.对任意的x ∈R, 2x
≤0 D.对任意的x ∈R, 2x
>0 3.“1x >”是“2
1x >”的 （ ▲ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
4.若tan α=sin cos αα= （ ▲ ）
A.
B.
2 C.
3 D.4
5. 为了得到函数2sin(),3
6
x y x R π
=+
∈的图像，只需把函数 2s i n ,y x x R =∈的图像上
所有的点（ ▲ ） A ．向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的3
1
倍（纵坐标不变） B ．向右平移
6
π
个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的3倍（纵坐标不变）
C ．横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），再把所得各点向左平移6
π
个单位长度
D ．横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），再把所得各点向左平移2
π
个单位长度 6.下列函数中，图象的一部分如右图所示的是（ ▲ ）
A ．cos 26y x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
B ．sin 26y x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
C ．cos 43y x π⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭
D ．sin 6y x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
7. 方程x x 28lg -=的根)1,(+∈k k x ，k ∈Z ，则k =（ ▲ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 8．0＜a ＜1，且函数|log |)(x x f a =，则下列各式中成立的是（ ▲ ）
A ．)41()3
1()2(f f f >> B ．)3
1()2()41(f f f >> C ．)41()2()31(f f f >> D ．)2()3
1
()41(f f f >>
9. △ABC 中，cos cos a b
A B
=
，则△ABC 一定是（ ▲ ） A 、直角三角形 B 、等腰直角三角形 C 、等腰三角形 D 、等边三角形
10. 设集合A=⎪⎭⎫⎢⎣⎡21,0, B=⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡1,21, 函数()1
,2
()21,,x x A
f x x x B ⎧+∈⎪=⎨⎪-∈⎩
若0x A ∈, 且0[()]f f x A ∈,则0x 的取值范围是（ ▲ ）
A ．⎥⎦⎤ ⎝
⎛
41,0 B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡83,0 C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛2
1,41 D ．⎥⎦
⎤
⎝⎛21,41
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）
11.函数()lg(1)f x x =-的定义域是______▲__ _ 。
12. cos 43cos77sin 43sin 77o o o o -的值为______▲__ _ 13. 幂函数)(x f y =的图像过点)2
2,
2(，则1
()4f =______▲__ _
14.函数2sin cos y x x =-的最小值是______▲__ _
15.已知A 船在灯塔C 北偏东80°处，且A 到C 的距离为2km ，B 船在灯塔C 北偏西40°，A 、B 两船的距离为3 km ，则B 到C 的距离为______▲__ _ km ．
16.已知βα
t a n ,t a n 是方程04332
=++x x 的两根，且)2
,
2
(,π
π
βα-∈，则
=+βα____▲__ _
17.下列四个命题：①“若0xy =，则0x =且0y =”的逆否命题；②在△ABC 中，三边
a 、
b 、
c 所对的角分别为A 、B 、C ，则角C 的大小为
③“若22,a b ac bc 则>>”的否命题； ④若命题“p q ∧”为假，且“p ⌝”为假，则q 真.⑤ 1
cos 2
ααα∃+=使sin 成立，其中真命题为______▲__ _ （把你
认为是真命题的都填上）
三、解答题（共5小题，计72分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
18.已知： p ：{}
2
|230,,x A x x x x R ∈=--≤∈
q ：{}
22|240,,x B x x mx m x R m R ∈=-+-≤∈∈
(Ⅰ).若[]0,3A
B =,求实数m 的值；
(Ⅱ).若⌝p 是q 的必要条件，求实数m 的取值范围.
19. 已知定义域为R 的奇函数1
13()3x
x f x a +-=+
(Ⅰ).求a 的值
(Ⅱ).若存在m ∈[-1，2]，使
2219(1)42636f k m m ⎡⎤++≥+⎢⎥⎣⎦
成立，求k 的取值范围。
20.已知函数.1cos sin 3cos )(2+-=x x x x f (Ⅰ).求函数)(x f 的单调递增区间； (Ⅱ).若65)(=
θf ，θπ
πθ2sin )3
23(，求，∈的值.
21. 在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且2cos 20a C c b +-=. (Ⅰ).求角A 的大小；
(Ⅱ).若1a =,求ABC ∆的周长l 的取值范围.
22.已知函数9
()||f x x a a x
=--
+，[1,6]x ∈，a R ∈． (Ⅰ).若1a =，试判断并证明函数()f x 的单调性；
(Ⅱ).当(1,6)a ∈时，求函数()f x 的最大值的表达式()M a （结果用a 表示）．。