九年级数学基础计算专题
解直角三角形(1)(知识讲解)九年级数学下册基础知识专项讲练(浙教版)
专题1.8解直角三角形（1）（知识讲解）【学习目标】1．了解解直角三角形的含义，会综合运用平面几何中有关直角三角形的知识和锐角三角函数的定义解直角三角形；2．会运用有关解直角三角形的知识解决实际生活中存在的解直角三角形问题．【要点梳理】要点一、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形.在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角.设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有：①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理).②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°.③边角之间的关系：，，，，，.④，h为斜边上的高.要点诠释：(1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°)，是已知值.(2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系).(3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解.求∠A，(如∠A，a)，斜边、锐角(如c，∠A)∠B=90°－∠A，，要点诠释：1．在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算.2．若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为边.【典型例题】类型一、解直角三角形1．如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC=14，AD=12，tan∠BAD=3 4则sin C=_______.【点拨】此题考查了解直角三角形，勾股定理，锐角三角函数，求出BD是解本题的关键．举一反三：【变式1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是BC边的中点，CD＝2，tan B＝3 4(1)求AD和AB的长；(2)求∠B的正弦、余弦值．【变式2】如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AD为∠BAC的平分线，且AD=2，AC解这个直角三角形．类型二、解非直角三角形2．如图，在ABC △中，6AB =，1sin 2B =，1tan 3C =，求ABC △的面积．1AD 举一反三：【变式1】如图，一艘货船以20n mile /h 的速度向正南方向航行，在A 处测得灯塔B 在南偏东40 方向，航行5h 后到达B 在北偏东60 方向，求C 处距离灯塔B的距离BC （结果精确到0.1，参考数据：sin 400.64≈ ，cos400.77≈ ，tan 400.84≈ 1.73≈）．【答案】65.4nmile【分析】过点B 作BH AC ⊥，在Rt △CBH 和Rt △BAH 中，根据三角函数的定义即可计算出C 处距离灯塔B 的距离BC ．【点拨】本题考查的是解直角三角形的应用，化为解直角三角形的问题是解题的关键．【变式2】如图，已知一居民楼AD 前方30m 处有一建筑物BC ，小敏在居民楼的顶部D 处和底部A 处分别测得建筑物顶部B 的仰角为19︒和41︒，求居民楼的高度AD 和建筑物的高度BC (结果取整数)．(参考数据:tan190.34︒≈，tan 410.87︒≈)【答案】居民楼的高度AD约为16米，建筑物的高度BC约为26米．【分析】通过作垂线，构造直角三角形，分别在Rt△BDE和RtABC中，根据锐角三角函数的意义求出BC、BE，进而求出AD，得出答案．解：过点D作DE⊥BC于点E，则DE＝AC＝30，AD＝EC，由题意得，∠BDE＝19︒，∠BAC＝41︒，在Rt△ABC中，BC＝AC•tan∠BAC＝30×tan41︒≈26.1≈26，在Rt△BDE中，BE＝DE•tan∠BDE＝30×tan19︒≈10.2，∴AD＝BC−BE＝26.1−10.2＝15.9≈16．答：居民楼的高度AD约为16米，建筑物的高度BC约为26米．【点拨】考查直角三角形的边角关系，锐角三角函数，构造直角三角形利用锐角三角函数是解决问题的关键．类型三、构造直角三角形求不规则图形的边长或面积3．如图，四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠A＝120°，AB＝12，CD＝求AD的长．【答案】6【分析】延长DA交CB的延长线于E，根据已知条件得到∠ABE=90°，根据邻补角的定义得到∠EAB=60°，得到∠E=30°，根据直角三角形的性质即可得到结论．解：延长DA交CB的延长线于E，∵∠ABC=90°，【点拨】本题考查了含30°角的直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．举一反三：【变式1】如图，AB是长为10m，倾斜角为30°的自动扶梯，平台BD与大楼CE垂直，且与扶梯AB的长度相等，在B处测得大楼顶部C的仰角为65°，求大楼CE的高度（结果保留整数）．【参考数据：sin65°＝0.90，tan65°＝2.14】【答案】大楼CE的高度是26m．【分析】作BF⊥AE于点F,根据三角函数的定义及解直角三角形的方法求出BF、CD即可.解：作BF⊥AE于点F．则BF＝DE．【变式2】一种可折叠的医疗器械放置在水平地面上，这种医疗器械的侧面结构如图实线所示，底座为ABC ，点B 、C 、D 在同一条直线上，测得90ACB ∠=︒，60ABC ∠=︒，32cm AB =，75BDE ∠=︒，其中一段支撑杆84cm CD =，另一段支撑杆70cm DE =，(1)求BC 的距离；(2)求支撑杆上的E 到水平地面的距离EF 是多少？（用四舍五入法对结果取整数，参考数据sin150.26︒≈，cos150.97︒≈，tan150.27︒≈ 1.732≈）【答案】(1)16cm (2)105cm【分析】（1）根据直角三角形中60°角解直角三角形即可；（2）如图作DG ⊥EF ，PQ EF ∥，证明EF =EG +QC +CP ，再分别运用解直角三角形求出EG 、QC 、CP 即可．∵DG ⊥EF ，AF ⊥EF ，PQ ∴DG ⊥PQ ，AF ⊥PQ ，∴四边形FPQG 是矩形，∴3sin 60842CQ CD =⋅︒=⨯∵75,60BDE BDQ ∠=︒∠=︒∴∠EDG =75°-60°=15°。
锐角三角函数的计算-特殊角的三角函数值(知识讲解)-2022-2023学年九年级数学下册基础知识讲练
专题1.4 锐角三角函数的计算——特殊角的三角函数值（知识讲解）【学习目标】1.会推算30°、45°、60°角的三角函数值，并熟练准确的记住特殊角的三角函数值；2.会进行有关三角函数的计算应用【要点梳理】特殊角的三角函数值锐角30°45° 160°特别说明：(1)通过该表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角．(2)仔细研究表中数值的规律会发现：、、的值依次为12、22、32，而、、的值的顺序正好相反，、、的值依次增大，其变化规律可以总结为：①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小)；②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)．【典型例题】类型一、特殊角三角函数计算1．计算：(1)sin230°+sin60°-sin245°+cos230°；(2)tan30tan45 tan60?tan45︒+︒︒︒.【答案】(1)32+12；(2)133+.【分析】（1）将特殊角的三角函数值代入求解；（2）将特殊角的三角函数值代入求解．特殊值：sin 30° =12；sin 60° = 32；sin 45° = 22；cos 30° = 32；tan 60° = 3；tan 45° = 1解：(1)原式=1342+-12+34=32 + 12； 3133?1+（2）原式= =133+. 【点拨】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．举一反三：【变式1】计算：222sin 60cos 60︒︒︒︒-﹣sin45°•tan45° 【答案】3232+ 【分析】把特殊角的三角函数值代入计算即可．解：222sin 60cos 60tan 604cos 45︒︒︒︒--﹣sin45°•tan45° ()22312222122342⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭=-⨯-⨯ 122322=-- 23222=+-=3232+． 【点拨】本题考查了特殊角的三角函数值及分母有理化、二次根式的化简，牢记特殊角的三角函数值，是解决本题的关键．【变式2】计算：2cos45°﹣tan60°+sin30°﹣12tan45°【答案】2-3【分析】将各特殊角的三角函数值代入即可得出答案．解：原式=2×22﹣3+12﹣12×1 =2-3【点拨】此题考查特殊角的三角函数值，属于基础题，熟练记忆一些特殊角的三角函数值是关键．类型二、特殊角三角函数计算2．计算：()2012sin 451220202π-︒⎛⎫----+- ⎪⎝⎭ 【答案】-2【分析】直接利用特殊角的三角函数值、绝对值的性质、零指数幂的性质、负整数指数幂的性质分别代入化简即可．解：原式＝24121-+-+=-2【点拨】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．举一反三：【变式1】计算：0113tan 30(2014π)32()3-︒---． 【答案】-2试题分析：分别计算033tan3033=⨯，(2014-π)0=1，32-=2﹣11333-⎛⎫= ⎪⎝⎭，，再用实数的混合运算法则计算.解：原式=3×33﹣1+2﹣3﹣3=﹣2. 【变式2】计算：()()2(31)3tan3052522sin60+--++． 【答案】3试题分析：用完全平方公式、平方差公式去括号，计算出特殊角三角函数值，再进行乘法运算，最后进行加减运算即可.解：(3－1)2+3tan 30°－(5－2)( 5+2)+2sin 60°=4－23+3×33－(5－4)+2×32=4－23+3－1+3=3.【点拨】掌握二次根式的加减乘除运算法则.类型三、三角函数计算3． 已知A ∠为锐角，且24sin 30A -=，则A ∠=______． 【答案】60︒【分析】计算，并结合A ∠是个锐角，即可求解．解：∵24sin 30A -=，∵23sin 4A =， ∵3sin 2A =±， ∵A ∠为锐角，∵3sin 2A =， ∵60A ∠=︒故答案是：60°【点拨】本题主要考察计算和锐角三角函数与角度关系，属于基础的计算题，难度不大．解题的关键是结合角度范围确定三角函数值范围．举一反三：【变式1】已知矩形ABCD 的周长为()232cm ，对角线2cm AC =，求BAC ∠与DAC ∠的度数． 【答案】30BAC ∠=︒，60=︒∠DAC 或60BAC ∠=︒，30DAC ∠=︒．【分析】设AB=x,将BC 表示出来，再利用勾股定理可求出x=1或x=3,再利用三角函数求出一个角为30°，另一个角为60°.解：∵矩形ABCD 的周长为232+，∵AB+BC= 3+1,∵对角线AC=2,∵设AB=x,则BC=3+1-x,∵AB 2+BA 2=AC 2,∵x 2+(3+1-x)2=22,解得：x 1=1,x 2=3,∵当AB=1,则BC=3,∵tan∵BAC=3,∵∵BAC=60°,∵DAC=30°,当AB=3,则BC=1,∵tan∵BAC= 33, ∵∵BAC=30°,∵DAC=60°,故30BAC ∠=︒，60=︒∠DAC 或60BAC ∠=︒，30DAC ∠=︒． 【点拨】此题主要考查了勾股定理和特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握特殊角的三角函数值．【变式2】计算(1)23602cos 30tan 45︒-︒+︒(2)已知α是锐角，且()1sin 152α-︒=84cos α的值． 【答案】(1)1 (2)0【分析】（1）把特殊角的三角函数值代入代数式进行计算即可；（2）先利用锐角的正弦求解α的大小，再代入代数式进行计算即可．(1)解：23sin 602cos 30tan 45︒-︒+︒ 23332122331122(2) α是锐角，且()1sin 152α-︒=，1530,=45,∴ 84cos α-2224222220=-=【点拨】本题考查的是特殊角的三角函数值的混合运算，已知三角函数值求解锐角的大小，熟记特殊角的三角函数值是解本题的关键．类型四、三角函数计算4．（1）计算：21122cos453-⎛⎫--︒+-⎪⎝⎭．（2）如图，在△ABC中，∵ACB=90°，角平分线AE与高CD交于点F，求证：CE=CF．【答案】（1）8；（2）见分析【分析】（1）计算绝对值、特殊角的三角函数值、负整数指数幂，再合并即可；（2）根据直角三角形两锐角互余求得∵B=∵ACD，然后根据三角形外角的性质求得∵CEF=∵CFE，根据等角对等边求得CE=CF．（1）解：21 122cos453-⎛⎫--︒+-⎪⎝⎭221292=--⨯+2129=--+=8；（2）证明：∵在△ABC中，∵ACB=90°，∵∵B+∵BAC=90°，∵CD是AB边上的高，∵∵ACD+∵BAC=90°，∵∵B=∵ACD，∵AE是∵BAC的角平分线，∵∵BAE=∵EAC，∵∵B +∵BAE =∵ACD +∵EAC ，即∵CEF =∵CFE ，∵CE =CF ．【点拨】本题考查了特殊角的三角函数值，负整数指数幂，直角三角形的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的判定等，熟练掌握性质定理是解题的关键．举一反三：【变式1】如图，将∵ABC 沿射线AB 平移4cm 后能与∵BDE 完全重合，连接CE 、CD 交BE 于点O ，OB ＝OC ．(1)求证：四边形CBDE 为矩形；(2)若S △BOC 432，求∵ACD 的度数． 【答案】(1)见分析(2)120°【分析】（1）由平移的性质及ASA判定定理可证得OCE ODB ≌，根据全等三角形的性质即可求证结论．（2）根据矩形的性质及面积公式即可求得BC ，进而可利用特殊三角函数值可求得60BCD ∠=︒，根据垂直平分线的性质即可求解．（1）证明：由题意可知：△BDE 由△ABC 平移后得到，∵//BC DE ，且BC DE =，∵四边形CBDE 是平行四边形，∵//CE BD ，且CE BD =，∵ECD CDB ∠=∠，CEB EBD ∠=∠，在OCE 和ODB △中 ECD CDB CE BDCEB EBD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∵ ()OCE ODB ASA ≌∵OC OD =，OB OE =，又∵OB OC =，∵CD BE =，∵ 平行四边形CBDE 为矩形．（2）由（1）可知四边形CBDE 为矩形，∵90CBD ∠=︒，且4BD =cm ，在OBC 中过点O 作BC 的垂线，垂足为F ，则2OF =，∵143223BOC S BC =⨯⨯=，∵433BC =cm ， ∵在Rt CBD △，43433BD tan BCD CB ∠===，∵60BCD ∠=︒，又∵在△ACD 中，BC 是AD 的垂直平分线，∵60ACB BCD ∠=∠=︒，∵120ACD ∠=︒，∴∵ACD 的度数为120︒．【点拨】本题考查了平移的性质、全等三角形的判定及性质、矩形的判定及性质、特殊三角函数值求角度，熟练掌握相关性质及判定定理是解题的关键．【变式2】将矩形ABCD 对折，使AD 与BC 重合，得到折痕EF ，展开后再一次折叠，使点A 落在EF 上的点A '处，并使得折痕经过点B ，得到折痕BG ，连接AA '，如图1，问题解决：(1)试判断图1中ABA '△是什么特殊的三角形？并说明理由；(2)如图2，在图1的基础上，AA '与BG 相交于点N ，点P 是BN 的中点，连接AP 并延长交BA '于点Q ，求BQ BA '的值．【答案】(1)ABA '△是等边三角形，理由见分析(2)13BQ BA =' 【分析】（1）等边三角形，解法一利用垂直平分线性质得出AA ′=BA ′，利用折叠得出BA BA '=即可，解法二：根据折叠得出12BE BA =，BA BA '=，90A EB '∠=︒然后利用锐角三角函数定义得出1cos 2BE A BE BA '∠==' ，求出60A BE '∠=︒即可； （2）解法一：过点N 作NH A B '∥交AP 于H ，先证PHN PQB ≌△△（AAS ），再证AHN AQA '∽△△，得出12BQ QA =' 即可 解法二：由折叠可知A N AN '=，由点P 是BN 的中点 ，得出BP PN =，利用平行线等分性质得出1A M A N QM AN ''==，1BQ BP QM PN ==，证出BQ QM A M '==即可．(1)解：ABA '△是等边三角形．解法一：理由是：由折叠可知EF 垂直平分AB ；∵AA ′=BA ′，∵∵ABG 折叠得△A ′BG ，∵BA BA '=，∵AA BA BA ''==；∵ABA '△是等边三角形；解法二：理由是：由折叠可知12BE BA =，BA BA '=，90A EB '∠=︒， ∵1cos 2BE A BE BA '∠==' ， ∵60A BE '∠=︒，∵ABA '△是等边三角形；(2)解法一：过点N 作NH A B '∥交AP 于H ，∵HNP QBP ∠=∠，NHP BOP ∠=∠， 又∵点P 是BN 的中点 ， ∵BP NP =，在△PHN 和△PQB 中， HNP QBP NHP BQP PN PB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∵PHN PQB ≌△△（AAS ）， ∵HN BQ =，又∵NH A B '∥，∵ANH AA Q '∠=∠，AHN AQA '∠=∠， ∵AHN AQA '∽△△， 由折叠可知12A N AN AA ''==， ∵12HN AN QA AA =='' ， ∵12BQ QA ='， ∵13BQ BA ='； 解法二：由折叠可知A N AN '=， 又∵点P 是BN 的中点 ， ∵BP PN =，过点N 作NM AQ ∥交BA '于M ， ∵1A M A N QM AN''==，1BQ BP QM PN ==， ∵BQ QM A M '==， ∵13BQ BA ='．【点拨】本题考查一题多解，等边三角形的判定，折叠性质，线段垂直平分线性质，平行线等分线段定理，三角形相似判定与性质，锐角三角函数值求角，掌握一题多解，等边三角形的判定，折叠性质，线段垂直平分线性质，平行线等分线段定理，三角形相似判定与性质是解题关键．。
九年级数学下册基础知识专项讲练(北师大版)专题 三角函数的应用
专题1.8 三角函数的应用（知识讲解）【学习目标】会运用有关解直角三角形的知识解决实际生活中存在的解直角三角形问题．【要点梳理】要点一、锐角三角函数之间的关系如图所示，在Rt△ABC 中，△C ＝90°．（1）互余关系：sin cos A B =，0c sin(9)s n os i A A B ︒=-∠=；（2）平方关系：22sin cos 1A A +=；（3）倒数关系：tan(90)1tan A A ︒⋅-∠=或1t n an a t A B=；（4）商数关系：i t n an s cos A A A=． 要点诠释：锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便．【典型例题】类型一、利用同角三角函数关系求值1．计算：（1）2tan452sin30cos 30-+； （2）22tan1tan89sin 1sin 89⋅++．举一反三：【变式1】2．已知△A 为锐角且sinA=12，则4sin 2A －4sinAcosA ＋cos 2A 的值是多少。
【变式2】3．如图，在ABCD 中，E ，F 是对角线BD 上的两点（点E 在点F 左侧），且90AEB CFD ∠=∠=︒．（1）求证：四边形AECF 是平行四边形．（2）当5AB =，3tan 4ABE ∠=，CBE EAF ∠=∠时，求BD 的长．【变式3】4．求值：(1)260453456cos sin tan tan +-⋅； ()2已知2tanA =，求245sinA cosA sinA cosA-+的值． 类型二、求证同角三角函数关系式5．已知：1sin15cos15sin302⋅=，1sin20cos20sin402⋅=，1sin30cos30sin602⋅=，请你根据上式写出你发现的规律________．举一反三：【变式1】6．已知：实常数a b c d 、、、同时满足下列两个等式：△sin cos 0a b c θθ+-=；△cos sin 0a b d θθ-+=（其中θ为任意锐角），则a b c d 、、、之间的关系式是：___________【变式2】7．△sin 2A+cos 2A=________，△tanA•cotA=________．类型三、互余两角的三角函数的关系8．在Rt△ABC 中，已知△C ＝90°，sin A ＝35，求cos A 、tan A 以及△B 的三个三角函数值． 举一反三：【变式1】9．在Rt △ABC 中，△C ＝90°，sin B ＝35，求cos A 的值．10．在Rt△ABC中，△C=90°，sinA=34，求cosA，sinB，cosB，tanA，tanB的值．【变式3】11．在Rt△ABC中，△C＝90°，cosB＝35，求tanA的值．类型四、三角函数综合12．如图，在△ABC中，△ACB＝90°，sin A＝45，BC＝8，D是AB中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为点E.(1)求线段CD的长；(2)求cos △ABE的值．举一反三：【变式1】13．如图，海中一渔船在A处且与小岛C相距70nmile，若该渔船由西向东航行30nmile 到达B处，此时测得小岛C位于B的北偏东30°方向上；求该渔船此时与小岛C之间的距离．14．如图，已知四边形ABCD 中，△ABC=90°，△ADC=90°，AB=6，CD=4，BC 的延长线与AD 的延长线交于点E ．（1）若△A=60°，求BC 的长；（2）若sinA=45，求AD 的长． （注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）【变式3】15．如图，在Rt ABC 中，90,30,B A AC ∠=︒∠=︒=（1）利用尺规作线段AC 的垂直平分线DE ，垂足为E ，交AB 于点D ；（保留作图痕迹，不写作法）（2）若ADE 的周长为a ，先化简()()211T a a a =+--，再求T 的值．参考答案：1．（1）34；（2）2. 【分析】(1)根据特殊角的三角函数值计算即可；(2)根据直角三角形中tanA=1tanB，sin 2A+cos 2A=1，sinA=cosB 计算.【详解】()1原式21331211244=-⨯+=-+=； ()2原式()221tan1sin 1cos 1tan1=⨯++ 11=+2=.故答案为（1）34；（2）2. 【点睛】本题考查了三角函数值的计算.2．74【分析】先求出A ∠的度数，再求出cos A 的值，最后代入计算即可.【详解】A ∠为锐角，且1sin 2A = 30A ∴∠=︒cos cos30A ∴=︒=22224117 44()4224sin A sinAcos A A cos ∴-+⨯-⨯== 【点睛】本题考查了锐角三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题关键.3．（1）见解析；（2）【分析】（1）由平行四边形的性质得到AB =CD ，ABE CDF ∠=∠，和已知条件一起，用于证明三角形全等，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定定理得出结论； （2）根据平行四边形的性质得到一组对角相等，通过等量代换，得到CBE ECF ∠=∠，则相等的角正切值也相等，根据比值算出结果．【详解】（1）证明=90AEB CFD ， △//AE CF ，在ABCD 中，//AB CD ，=AB CD ，△ABE CDF ∠=∠，△ABE ≌CDF ()AAS ，△AE CF =，△四边形AECF 是平行四边形．（2）解：△ABE ≌CDF ，△BE =DF ，△四边形AECF 是平行四边形，△EAF FCE ，在Rt ABE 中5AB =，3tan 4ABE ∠=，△AE =3，BE =4．△BE =DF ，AE =CF ，△BE =DF =4，AE =CF =3，EAF FCE ，CBE EAF ∠=∠，△CBE ECF ∠=∠，△tan△CBF =34CF BE EF EF =++，tan△ECF =3EF EF CF =，△343EF EF =+，得到EF 2，或EF =2（舍去），△BD 2=6，即BD =6．【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定以及相等的角的正切值也相等．解决本题的关键在于等量代换出角相等，应用相等的角的正切值也相等来解题．4．（1）0；（2）313. 【分析】（1）根据特殊角的三角函数值及互余两角三角函数值相互间的关系计算．（2）根据同角三角函数值相互间的关系计算．【详解】（1）原式12=+）2﹣11122=+-1=0； （2）△tan A =2，△sin cos A A =2，△sin A =2cos A ，△原式=22cos 42cos 5A cosA A cosA ⨯-⨯+=3cos 13cos A A =313． 【点睛】本题考查了特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主．5．1sin cos sin22ααα⋅= 【分析】从角度的倍数关系方面考虑并总结写出结论．【详解】根据题意发现：同一个角正弦与余弦的积等于这个角的2倍的正弦的一半， 规律为：1sin cos sin22ααα⋅=. 故答案为1sin cos sin22ααα⋅=. 【点睛】本题考点：同角三角函数的关系.6．a 2+b 2=c 2+d 2【分析】把两个式子移项后，两边平方，再相加，利用sin 2θ+cos 2θ=1，即可找到这四个数的关系．【详解】由△得asinθ+bcosθ=c ，两边平方，a 2sin 2θ+b 2cos 2θ+2absinθcosθ=c 2△，由△得acosθ-bsinθ=-d ，两边平方，a 2cos 2θ+b 2sin 2θ-2absinθcosθ=d 2△，△+△得a 2（sin 2θ+cos 2θ）+b 2（sin 2θ+cos 2θ）=c 2+d 2，△a 2+b 2=c 2+d 2．【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式的应用，sin 2θ+bcos 2θ=1的应用是解题的关键，属于基础题．7． 1 1【详解】如图，设Rt△ABC 中，△C=90°，△A 、△B 、△C 所对的边分别为a b c 、、，则sinA=a c，cosA=b c ，tanA=a b ，cotA=b a ，222+=a b c ， △（1）sin 2A+cos 2A=2222222()()1a b a b c c c c c++===； （2）tanA•cotA=1a b b a ⋅=.点睛：解答本题的要点是：画出符合要求的图形，结合锐角三角形函数的定义和勾股定理进行推理计算即可得到答案.8．见解析．【分析】根据已知角A 的正弦设()30BC k k =>，得出5AB k =，由勾股定理求出4AC k =，根据锐角三角函数的定义求出即可．【详解】△sin A ＝35＝BC AB ， △设()30BC k k =>，5AB k =，由勾股定理得：4AC k =，则cos A ＝4554AC k AB k ==， tan A ＝3344BC k AC k ==， sin B ＝45AC AB =， cos B ＝35BC AB =， tan B ＝43AC BC =．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义的应用，熟练掌握定义是关键．9．cos A ＝35. 【分析】先根据三角形内角和定理得出△A+△B=90°，再根据互余两角的三角函数的关系求解．【详解】解：在△ABC 中，△△C ＝90°，△△A ＋△B ＝90°，△cos A ＝sin B ＝35. 故答案为：35. 【点睛】本题考查直角三角形中互为余角的两角的三角函数的关系及三角形内角和定理．解题关键是一个角的正弦值等于它的余角的余弦值，一个角的余弦值等于它的余角的正弦值；三角形内角和是180°．1034【分析】已知直角三角形中一个锐角的某个三角函数值，求这个锐角的其他三角函数值和它的余角的各三角函数值，可以先画出直角三角形，结合图形和已知条件，利用设“k”法，将直角三角形的各边长用含“k”的代数式表示出来，其中k ＞0，然后根据锐角三角函数的定义，求得锐角的各三角函数值．【详解】解:如图因为Rt △ABC 中，△C=90°，3sin 4A =， 所以34BC AB =， 设BC ＝3k(k ＞0)，则AB ＝4k ．在Rt△ABC 中，由勾股定理得AC ．所以cos AC A AB ===，sin AC B AB== 33cos 44BC k B AB k ===，tanBC A AC ==，tan AC B BC === 11．34【分析】在Rt △ABC 中，△C ＝90°，根据，cosB ＝BC AB ＝35，设BC ＝3x ，AB ＝5x ，再根据勾股定理，可得AC 的长 再根据正切等于对边比邻边，可得答案．【详解】解 由在Rt △ABC 中，△C ＝90°，cosB ＝35，得 cosB ＝BC AB ＝35， 设BC ＝3x ，AB ＝5x ，勾股定理得AC 4x ，由正切等于对边比邻边，得tanA ＝BC AB =3x 4x =34. 【点睛】本题考查了余弦函数的定义，勾股定理，正切函数的定义．熟练掌握相关知识是解题的关键．12．（1）5；（2）2425. 【详解】试题分析：（1）利用正弦定义很容易求得AB =10，然后由已知D 为斜边AB 上的中点，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解.（2）cos△ABE =BE BD，则求余弦值即求BE ，BD 的长，易求得BD =5.再利用等面积法求BE 的长.试题解析：(1)在△ABC 中，△△ACB ＝90°，sin A ＝45BC AB =，而BC ＝8，△AB ＝10.△D 是AB 的中点，△CD ＝12AB ＝5.(2)在Rt△ABC 中，△AB ＝10，BC ＝8，△AC ＝6.△D 是AB 中点，△BD ＝5，S △BDC ＝S △ADC ，△S △BDC ＝12S △ABC ，即12CD ·BE ＝12·12AC ·BC ，△BE ＝6824255⨯=⨯. 在Rt△BDE 中，cos△DBE ＝BE BD ＝ 2455＝2425，即cos△ABE 的值为2425. 点睛：在直角三角形中求长度，一般可通过勾股定理或全等三角形来求；若已知角度则可用锐角三角函数来求；若这些方法均不可行，又是求高或已知高的长度则可利用等面积法来求.13．渔船此时与C 岛之间的距离为50海里．【分析】过点C 作CD△AB 于点D ，由题意得：△BCD=30°，设BC=x ，解直角三角形即可得到结论．【详解】过点C 作CD△AB 于点D ，由题意得：△BCD=30°，设BC=x ，则：在Rt △BCD 中，BD=BC•sin30°=12x ，；△AD=30+12 x，△AD2+CD2=AC2，即：（30+12x）2+）2=702，解得：x=50（负值舍去），【点睛】注意能借助于方向角构造直角三角形，并利用解直角三角形的知识求解是解此题的关键．14．（1）8；（2）143．【分析】（1）根据锐角三角函数求得BE和CE的长，根据BC=BE﹣CE即可求得BC的长；（2）根据题意求得AE和DE的长，由AD=AE﹣DE即可求得AD的长．【详解】（1）△△A=60°，△ABE=90°，AB=6，tanA=，△△E=30°，BE=tan60°•6=6，又△△CDE=90°，CD=4，sinE=，△E=30°，△CE==8，△BC=BE﹣8；（2））△△ABE=90°，AB=6，sinA==，△设BE=4x，则AE=5x，得AB=3x，△3x=6，得x=2，△BE=8，AE=10，△tanE====，解得，DE=，△AD=AE﹣DE=10﹣=，即AD的长是．考点：解直角三角形．15．（1）作图见解析；（2）10.【分析】（1）尺规作图——作线段的垂直平分线；（2）化简求值，利用三角函数求其余两边的长度．【详解】解：（1）如图所示：（2）2(1)(1)31T a a a a =+--=+，△1122AE AC ==⨯△2cos cos30AE AE AD A ====︒， △1sin sin 30=212DE AD A AD ==︒⨯=，△123a =+=3110T a ∴=+=．。
九年级数学基础知识计算复习试题
Ａ D FCBE复习试题（一）一、选择题（每小题3分，共30分）1、下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ） Ａ．2210x x +-= Ｂ．2x +22x+2=0Ｃ．2210x x ++= Ｄ．220x x -++=2、如图，将三角尺ABC （其中∠ABC ＝60°，∠C ＝90°）绕B 点按顺时针方向转动一个角度到△A 1BC 1的位置，使得点A ，B ，C 1在同一条直线上，那么这个角度等于（ ）A ．120°B ．90°C ．60°D ．30°3、在成都市二环路在某段时间内的车流量为30.6万辆，用科学记数法表示为（ ）A ．430.610⨯辆 B ．33.0610⨯辆 C ．43.0610⨯辆 D ．53.0610⨯辆 4、给出下列命题：（1）平行四边形的对角线互相平分；（2）对角线相等的四边形是矩形；（3）菱形的对角线互相垂直平分；（4）对角线互相垂直的四边形是菱形．其中，真命题的个数是（ ） Ａ．4 Ｂ．3 Ｃ．2 Ｄ．1 5、下列各函数中，y 随x 增大而增大的是（ ） ①1y x =-+． ②3y x=-（x < 0） ③21y x =+． ④23y x =-A ．①②B ．②③C ．②④D ．①③6、在△ABC 中，90C ∠= ，若4BC =，2sin 3A =，则AC 的长是（ ）Ａ．6Ｂ．25Ｃ．35Ｄ．2137、若点A （－2，y 1）、B （－1，y 2）、C （1，y 3）在反比例函数xy 1-=的图像上，则（ ）Ａ． y 1＞y 2 ＞y 3 Ｂ．y 3＞ y 2 ＞y 1 Ｃ．y 2 ＞y 1 ＞y 3 Ｄ． y 1 ＞y 3＞ y 2 8、如图，EF 是圆O 的直径，5cm OE =，弦8cm M N =，则E ，F 两点到直线MN 距离的和等于（ ） Ａ．12cm Ｂ．6cmＣ．8cm Ｄ．3cm9、若抛物线22y x x c =-+与y 轴的交点坐标为(0,3)-，则下列说法不正确的是（ ）Ａ．抛物线的开口向上 Ｂ．抛物线的对称轴是直线1x =Ｃ．当1x =时y 的最大值为4- Ｄ．抛物线与x 轴的交点坐标为(1,0)-、(3,0) 10、反比例函数k y x=的图象如左图所示，那么二次函数221y kx k x =--的图象大致为（ ）y y y yx x x x二、填空题：（每小题4分，共16分）11、2008年8月5日，奥运火炬在成都传递，其中8位火炬手所跑的路程（单位：米）如下：60，70，100，65，80，70，95，100，则这组数据的中位数是 ．12、方程2(34)34x x -=-的根是．13、如图，有一块边长为4的正方形塑料摸板A B C D ，将一块足够大的直角三角板的直角顶点落在A 点，两条直角边分别与CD 交于点F ，与CB 延长线交于点E ．则四边形AECF 的面积是 ．14、在Rt △ABC 中，90C ∠= ，D 为B C 上一点，30DAC ∠= ，2B D =，23AB =，则A C 的长是 ．三、解答题15、解答下列各题： （1）323+—02）（-+2cos30°—23— （2）12012cos 30(2)(1)|12|3-⎛⎫-+-⨯--- ⎪⎝⎭．（3）解方程：22570x x --= （4）解方程：2430x x +-=．16、求不等式组的整数解：3(21)4213212x x x x ⎧--⎪⎪⎨+⎪>-⎪⎩，①． ②≤17、先化简，再求值：22424412x x x x x x x -+÷--++-，其中x ＝2－2．OO A ．O Ｂ．OＣ．O yxD ．_ C _1 _ A _1_ A _ B _ C（第2题图）ＦＯＫ Ｍ Ｇ ＥＨＮ （第8题图）ＡＤＣＢ18、把一副扑克牌中的3张黑桃牌（它们的正面牌面数字分别是3、4、5、）洗匀后正面朝下放在桌面上。
九年级数学计算专题含答案
九年级数学基础计算专题一．解答题（共30小题）1．求值：|﹣2|+20090﹣（﹣）﹣1+3tan30°．2．计算：﹣22+（tan60°﹣1）×+（﹣）﹣2+（﹣π）0﹣|2﹣|3．计算：4cos30°﹣|﹣2|+（）0﹣+（﹣）﹣2．4．（1）计算：2cos60°﹣（2009﹣π）0+；（2）解方程：．5．（1）︳﹣3|﹣2cos30°﹣﹣2﹣2+（3﹣π）0（2）先化简，再求值．，其中x=36．（1）（﹣2010）0+﹣2sin60°．（2）已知x2﹣2x=1，求（x﹣1）（3x+1）﹣（x+1）2的值．7．计算：（2+）（2﹣）2+（）0+﹣2（cos30°+sin30°）+（0.5）﹣1．8．（1）计算：（﹣2010）0+（sin60°）﹣1﹣|tan30°﹣|+；（2）先化简：，若结果等于，求出相应x的值．9．（1）计算：cos60°+|1﹣|﹣（2﹣tan30°）+（）﹣1；（2）先化简，再求值：（其中a=3，b=）．10．分解因式：m2﹣n2+2m﹣2n 11．分解因式：x3﹣2x2y+xy2．11．分题因式：a2+2ab+b2﹣c2．化简：（﹣）÷．14．化简：﹣÷12．15．计算：（1）（x+2y）2﹣（x+y）（x﹣y）；（2）（a﹣1﹣）÷16．化简：（﹣）÷．（1）计算：﹣sin60°+|2﹣|+（2）解分式方程：+2= 17．18．解方程：．19．解方程：+=1．19．解方程：．21．解分式方程：+=﹣1．解不等式组：23．解不等式组：22．24．解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．25．解不等式组：．26．解方程：（x﹣3）（x﹣1）=3．26．解方程：x（2x+1）=8x﹣3．28．用配方法解方程：2x2﹣x﹣1=0．29．解方程：3x2﹣2x﹣2=0．30．解方程：（x+2）（x+3）=1．九年级数学基础计算专题参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．求值：|﹣2|+20090﹣（﹣）﹣1+3tan30°．【解答】解：原式=2﹣+1+3+3•=6．2．计算：﹣22+（tan60°﹣1）×+（﹣）﹣2+（﹣π）0﹣|2﹣|【解答】解：原式=﹣4+（﹣1）+4+1﹣2+=﹣4+3﹣+3+=2．3．计算：4cos30°﹣|﹣2|+（）0﹣+（﹣）﹣2．【解答】解：4cos30°﹣|﹣2|+（）0﹣+（﹣）﹣2=（3分）=（5分）=8．（6分）4．（1）计算：2cos60°﹣（2009﹣π）0+；（2）解方程：．【解答】解：（1）原式=2×﹣1+3=3．（2）去分母得：2﹣x+3（x﹣3）=﹣2，化简得2x=5，解得x=．经检验，x=是原方程的根．∴原方程的根是x=．5．（1）︳﹣3|﹣2cos30°﹣﹣2﹣2+（3﹣π）0（2）先化简，再求值．，其中x=3【解答】（1）解：原式=3﹣﹣2﹣+1 （3分）=；（5分）（2）解：=（1分）=（3分）=．（4分）当x=3时，原式=1．（5分）6．（1）（﹣2010）0+﹣2sin60°．（2）已知x2﹣2x=1，求（x﹣1）（3x+1）﹣（x+1）2的值．【解答】（1）解：原式=1+﹣1﹣2×=0．（2）解：原式=3x2+x﹣3x﹣1﹣x2﹣2x﹣1=2x2﹣4x﹣2．当x2﹣2x=1时，原式=2（x2﹣2x）﹣2=2×1﹣2=0．7．计算：（2+）（2﹣）2+（）0+﹣2（cos30°+sin30°）+（0.5）﹣1．【解答】解：原式=（2﹣）+1÷2﹣2（）+2（3分）=（2+1﹣1+2）+（2﹣﹣2×）（5分）=4．（6）8．（1）计算：（﹣2010）0+（sin60°）﹣1﹣|tan30°﹣|+；（2）先化简：，若结果等于，求出相应x的值．【解答】解：（1）原式=1++2=1++2=1++2=3；（2）原式==；由=，得：x（x﹣3）=2，解得x=．9．（1）计算：cos60°+|1﹣|﹣（2﹣tan30°）+（）﹣1；（2）先化简，再求值：（其中a=3，b=）．【解答】解：（1）原式===；（2）解：原式====当a=3，b=时，原式=．10．分解因式：m2﹣n2+2m﹣2n【解答】解：m2﹣n2+2m﹣2n，=（m2﹣n2）+（2m﹣2n），=（m+n）（m﹣n）+2（m﹣n），=（m﹣n）（m+n+2）．11．分解因式：x3﹣2x2y+xy2．【解答】解：x3﹣2x2y+xy2，=x（x2﹣2xy+y2），=x（x﹣y）2．12．分题因式：a2+2ab+b2﹣c2．【解答】解：a2+2ab+b2﹣c2=（a+b）2﹣c2=（a+b+c）（a+b﹣c）．13．化简：（﹣）÷．【解答】解：原式=[﹣]÷=÷=•=．14．化简：﹣÷【解答】解：原式=﹣•=﹣==．15．计算：（1）（x+2y）2﹣（x+y）（x﹣y）；（2）（a﹣1﹣）÷【解答】解：（1）原式=x2+4xy+4y2﹣x2+y2=4xy+5y2；（2）原式=•=•=．16．化简：（﹣）÷．【解答】解：（﹣）÷=====．17．（1）计算：﹣sin60°+|2﹣|+（2）解分式方程：+2=【解答】解：（1）原式=×3﹣×+2﹣+=+2﹣=2；（2）去分母得，x﹣1+2（x﹣2）=﹣3，3x﹣5=﹣3，解得x=，检验：把x=代入x﹣2≠0，所以x=是原方程的解．18．解方程：．【解答】解：两边乘x﹣2得到，1+3（x﹣2）=x﹣1，1+3x﹣6=x﹣1，x=2，∵x=2时，x﹣2=0，∴x=2是分式方程的增根，原方程无解．19．解方程：+=1．【解答】解：方程的两边同乘（x﹣1）（x+1），得（x+1）2﹣4=（x﹣1）（x+1），解得x=1．检验：把x=1代入（x﹣1）（x+1）=0．所以原方程的无解．20．解方程：．【解答】解：方程两边乘（x﹣2）（x+2），得x（x+2）﹣8=x﹣2，x2+x﹣6=0，（x+3）（x﹣2）=0，解得x1=﹣3，x2=2．经检验：x1=﹣3是原方程的根，x2=2是增根．∴原方程的根是x=﹣3．21．解分式方程：+=﹣1．【解答】解：去分母得：﹣（x+2）2+16=4﹣x2，去括号得：﹣x2﹣4x﹣4+16=4﹣x2，解得：x=2，经检验x=2是增根，分式方程无解．22．解不等式组：【解答】解：由①，得3x﹣2x＜3﹣1．∴x＜2．由②，得4x＞3x﹣1．∴x＞﹣1．∴不等式组的解集为﹣1＜x＜2．23．解不等式组：【解答】解：，∵解不等式①得：x≤﹣1，解不等式②得：x＞﹣7，∴原不等式组的解集为﹣7＜x≤﹣1．24．解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．【解答】解：解不等式①得：x＞﹣1，解不等式②得：x≤3，则不等式组的解集是：﹣1＜x≤3，不等式组的解集在数轴上表示为：25．解不等式组：．【解答】解：，解①得x＜2，解②得x≥﹣1，则不等式组的解集是﹣1≤x＜2．26．解方程：（x﹣3）（x﹣1）=3．【解答】解：方程化为x2﹣4x=0，x（x﹣4）=0，所以x1=0，x2=4．27．解方程：x（2x+1）=8x﹣3．【解答】解：去括号，得：2x2+x=8x﹣3，移项，得：2x2+x﹣8x+3=0合并同类项，得：2x2﹣7x+3=0，∴（2x﹣1）（x﹣3）=0，∴2x﹣1=0或x﹣3=0，∴，x2=3．28．用配方法解方程：2x2﹣x﹣1=0．【解答】解：两边都除以2，得．移项，得．配方，得，．∴或．∴x1=1，．29．解方程：3x2﹣2x﹣2=0．【解答】解：=即，∴原方程的解为，30．解方程：（x+2）（x+3）=1．【解答】解：化简得，x2+5x+5=0∴a=1，b=5，c=5∴b2﹣4ac=5＞0∴x=∴x1=，x2=．。
专题27.2 比例的性质及成比例线段(基础篇)(专项练习)-2022-2023学年九年级数学下册基础
专题27.2 比例的性质及成比例线段（基础篇）（专项练习）一、单选题1．地图上乐山到峨眉的图上距离为3.8厘米，比例尺是1：1000000，那么乐山到峨眉的实际距离是（ ）A ．3800米B ．38000米C ．380000米D ．3800000米2．已知线段b 是线段a 和线段c 的比例中项，若3a =，4c =，则b 的值是（ ）A ．3.5B ．6C ．D ．3．某地图上1cm 2面积表示实际面积900m 2，则该地图的比例尺是（ ） A ．1:30B ．1:3000C ．1:900D ．1:900000004．已知线段d 是线段a 、b 、c 的第四比例项，其中a ＝2cm ，b ＝4cm ，c ＝5cm ，则d 等于（ ）A ．1cmB ．10cmC ．52cmD ．85cm5．下面的四个数中能组成比例的是（ ）A ．14、34、0.6和0.3B ．20、14、4和5C ．3、4、12和13D ．6、10、9和156．如果4a ＝5b (ab ≠0)，那么下列比例式变形正确的是（ ） A ．54a b = B ．45a b = C ．45a b = D ．45b a = 7．已知a cb d=，则下列各式成立的是（ ） A ．a d c b = B ．b a c d=C ．a ca d c b=++ D ．a b ac d c+=+ 8．下列四组线段中，是成比例线段的是（ ） A ．0.5，3，2，10 B ．3，4，6，2 C ．5，6，15，18D ．1.5，4，1.2，59．如果:12:8a b =，且b 是a ，c 的比例中项，那么:b c 等于（ ）A ．4:3B ．3:2C ．2:3D ．3:410．如图，P 是线段AB 的黄金分割点，且P A >PB ，S 1表示P A 为一边的正方形的面积，S 2表示长为AB 、宽为PB 的矩形面积，则S 1、S 2的大小关系是（ ）A ．S 1>S 2B ．S 1=S 2C ．S 1<S 2D ．无法确定二、填空题11．已知线段a ＝2厘米，c ＝8厘米，则线段a 和c 的比例中项b 是_______厘米． 12．已知点B 在线段AC 上，2AB BC =，那么:AC AB 的比值是_________． 13．若32a b =，则235a b a b +-＝_____．14．若234a b c ==，则63a bb c +=-___________．15．已知线段8a =，2b =，线段c 是线段a ，b 的比例中项，则c =_______． 16．已知52a b =，则():a b b +的值为_________．17．在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感按此比例，如果雕像的高为3m ，那么它的下部应设计为多高？设它的下部设计高度为x m ，根据题意，可列方程为__________．18．两地的实际距离是1200千米，在地图上量得这两地的距离为2厘米，则这幅地图的比例尺是1∶___．19．已知三条线段a 、b 、c ，其中1a cm =，4b cm =，c 是a 、b 的比例中项，则c =_____cm ．20．如图1）一次又一次对开，按图2叠放，可以发现，这些叠放起来的矩形的右上顶点与左下顶点在同一直线上． 若以图2最大矩形的左下顶点为原点，以宽和长所在直线分别为x 轴和y 轴，则这组矩形的右上顶点所在直线的函数表达式为______．三、解答题21．（1）已知线段a ＝2，b ＝9，求线段a ，b 的比例中项． （2）已知x ：y ＝4：3，求y xy-的值．22．已知x ：y ：z ＝3：5：7，求234532x y zx y z-++-的值．23．线段a 、b 、c ,且234a b c ==． （1）求a bb+的值． （2）如线段a 、b 、c 满足27a b c ++=,求a b c -+的值．24．已知线段a 、b 、c 满足a ：b ：c ＝3：2：6，且a +2b +c ＝26． （1）求a 、b 、c 的值；（2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值．参考答案1．B【分析】设乐山到峨眉的实际距离为x cm ，利用比例尺的定义得到3.8：x =1：1000000，然后利用比例的性质求出x ，再化单位化为米即可．解：设乐山到峨眉的实际距离为x 厘米，根据题意得3.8：x =1：1000000， 解得x =3800000，所以乐山到峨眉的实际距离是3800000厘米，即38000米． 故选：B ．【点拨】本题考查了比例线段，正确理解比例尺的定义是解决问题的关键． 2．C 【分析】根据题意列出比例式，计算即可求得答案 解：23412b ac ==⨯=∴b =故选C【点拨】本题考查了成比例线段，比例中项的概念，理解比例的性质是解题的关键．比例式为 ::a b b c =，则内项 b 称为外项 a 和c 的比例中项．3．B 【分析】先设该地图的比例尺是1：x ，根据面积比是比例尺的平方比，列出方程，求得x 的值即可．解：设该地图的比例尺是1：x ，根据题意得：1：x 2＝1：9000000，解得x 1＝3000，x 2＝−3000（舍去）． 则该地图的比例尺是1：3000； 故选：B ．【点拨】此题考查了线段的比，根据面积比是比例尺的平方比，列出方程是解题的关键． 4．B 【分析】根据第四比例项的概念，得a ：b ＝c ：d ，再根据比例的基本性质，求得第四比例项．解：∶线段d 是线段a 、b 、c 的第四比例项，∶a ：b ＝c ：d ∶bc d a=∶a ＝2cm ，b ＝4cm ，c ＝5cm ， ∶45102bc da cm ∶线段a ，b ，c 的第四比例项d 是10cm ． 故选：B ．【点拨】本题考查的是比例的基本性质，熟悉第四比例项的概念，写比例式的时候一定要注意顺序．再根据比例的基本性质进行求解是关键．5．D 【分析】根据比例的性质依次判断四个选项即可．解：A 、因为14：0.3≠0.6：34，所以A 选项不符合题意；B 、因为4：5≠14：20，所以B 选项不符合题意；C 、因为13：12≠3：4，所以C 选项不符合题意；D 、因为6：9＝10：15，所以D 选项符合题意． 故选：D ．【点拨】本题考查比例的性质，熟练掌握该知识点是解题关键． 6．A 【分析】根据等式的性质：两边都除以同一个不为零的数（或整式），结果不变，可得答案． 解：两边都除以20，得54a b=，故A 正确； B 、两边都除以20，得54a b=，故B 错误； C 、两边都除以4b ，得54a b =，故C 错误； D 、两边都除以5a ，得45ba=，故D 错误． 故选：A ．【点拨】本题考查了比例的性质，利用两边都除以同一个不为零的数（或整式），结果不变是解题关键．7．D 【分析】根据比例的性质解答并判断． 解：∶a cb d=， ∶a b c d b d ++=，b ad c=， ∶a b bc d d+=+， ∶a b ac d c+=+， 故选：D ．【点拨】此题考查了比例的性质，熟记比例的性质是解题的关键． 8．C 【分析】根据各个选项中的数据可以判断哪个选项中的四条线段不成比例，本题得以解决． 解：∶052310≠.，故选项A 中的线段不成比例，不符合题意； ∶3642≠，故选项B 中的线段不成比例，不符合题意； ∶515=618，故选项C 中的线段成比例，符合题意； ∶151245≠..，故选项D 中的线段不成比例，不符合题意， 故选：C【点拨】本题考查比例线段，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 9．B 【分析】由b 是a 、c 的比例中项，根据比例中项的定义，即可求得=b ac b，又由a ：b =12：8，即可求得答案．解：∶b 是a 、c 的比例中项，∶b 2=ac ，b ac b∴=∶a:b=12:8，∶12382ab==，:3:2b c∴=，故选：B．【点拨】此题主要考查了比例线段，正确把握比例中项的定义是解题关键．10．B【分析】根据黄金分割的定义得到P A2=PB•AB，再利用正方形和矩形的面积公式有S1=P A2，S2=PB•AB，即可得到S1=S2．解：∶P是线段AB的黄金分割点，且P A＞PB，∶P A2=PB•AB，又∶S1表示P A为一边的正方形的面积，S2表示长是AB，宽是PB的矩形的面积，∶S1=P A2，S2=PB•AB，∶S1=S2．故选B．【点拨】本题考查了黄金分割的定义：一个点把一条线段分成较长线段和较短线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点．11．4【分析】根据线段比例中项的概念，可得a：b=b：c，可得b2=ac=16，故b的值可求．解：∶线段b是a、c的比例中项，∶b2＝ac＝2×8＝16，解得b＝±4，又∶线段是正数，∶b＝4．故答案为4．【点拨】本题考查了比例中项的概念，注意：求两个数的比例中项的时候，应开平方．求两条线段的比例中项的时候，负数应舍去．12．32【分析】根据题意作出图形，进而即可求解． 解：如图，∶2AB BC = 设,BC a =则2AB a =23AC AB BC a a a ∴=+=+=∶:3:2AC AB = 故答案为：3:2【点拨】本题考查了比例线段，数形结合是解题的关键． 13．1213【分析】根据32a b =，设3,2a k b k ==，代入代数式求值即可． 解：∶32a b =，设3,2a k b k ==，∶235a b a b +-661215213k k k k +==-， 故答案为：1213【点拨】本题考查了比例的性质，掌握比例的性质是解题的关键． 14．3 【分析】 设234a b ck ===，则2a k =，3b k =，4c k =，然后代入所求的代数式即可求解． 解：设234a b ck ===，则2a k =，3b k =，4c k =， ∶662315333345a b k k kb c k k k+⨯+===-⨯-， 故答案为：3【点拨】本题考查了比例的性质，根据题意设k 法是比较好的解题方法． 15．4【分析】利用比例中项的定义得到c 2=ab =16，然后求出16的算术平方根即可． 解：∶线段c 是线段a ，b 的比例中项，∶c 2=ab ，而线段a =8，b =2， ∶c 2=8×2=16， 而c ＞0， ∶c =4． 故答案为：4．【点拨】本题考查了成比例线段，掌握比例中项的定义是解决问题的关键． 16．75【分析】首先得到a =25b ，然后代入代数式求值．解：∶5a =2b ，∶a =25b ，∶277555b b ba b b b b ++===， 故答案为：75．【点拨】本题考查比例的性质和分式的化简求值，解题的关键是掌握分子和分母都除以同一个不为0的数．17．33x xx -=或()233x x =- 【分析】设雕像的下部高为x m ，则上部长为（2-x ）m ，然后根据题意列出方程即可． 解：设雕像的下部高为x m ，则上部长为（3-x ）m ，由题意得：33x xx -=， 即()233x x =-，故答案为：33x xx -=或()233x x =-．【点拨】本题考查了线段的比，解题的关键在于读懂题目信息并列出方程． 18．60000000【分析】根据比例尺＝图上距离：实际距离列式计算即可．解：1200千米＝120000000厘米，2：120000000＝1：60000000．故答案为：60000000．【点拨】本题考查了比例线段，掌握比例尺的定义是解题的关键，注意单位的换算问题．19．2【分析】由c 是a 、b 的比例中项，根据比例中项的定义，列出比例式即可得出线段c 的长，注意线段的长度不能为负．解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段长度的乘积．∶c 是a 、b 的比例中项，∶2144c ab ==⨯=，解得：2c =±（线段的长度是正数，负值舍去），则2c cm =．故答案为：2【点拨】本题考查了比例线段；理解比例中项的概念，这里注意线段的长度不能是负数．20．y =【分析】设直线为y =kx +b .解：设直线为y =kx +b ，∶直线经过原点，∶b =0.由矩形的性质可知：矩形的右上顶点的坐标为该矩形的宽和长，∶长∶宽，∶y ∶x ∶1，∶y x ，故答案为y =；【点拨】本题考查了一次函数解析式，矩形的性质，比例的性质；掌握一次函数的性质是解题关键．21．（1）2）1 3 -【分析】（1）设线段x是线段a，b的比例中项，根据比例中项的定义列出等式，利用两内项之积等于两外项之积即可得出答案．（2）设x＝4k，y＝3k，代入计算，于是得到结论．解：（1）设线段x是线段a，b的比例中项，∶a＝3，b＝6，x2＝3×6＝18，x＝±∶线段a，b的比例中项是（2）设x＝4k，y＝3k，∶y xy-＝343k kk-＝13-．【点拨】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．22．19 16【分析】根据x：y：z＝3：5：7设x＝3k、y＝5k、z＝7k，然后代入234532x y zx y z-++-化简求解即可．解：∶x：y：z＝3：5：7，∶设x＝3k、y＝5k、z＝7k，∶234 532 x y z x y z-++-＝233547 533527k k kk k k ⨯-⨯+⨯⨯+⨯-⨯＝19 16【点拨】此题考查了比例的性质，解题的关键是根据比例的性质转化成含同一字母的式子．23．（1）53；（2）9【分析】(1) 根据比例的性质得出23a b =, 即可得出a b b +的值; (2) 首先设234a b c ===k, 则a=2k, b=3k, c=4k,利用a+b+c=27求出的值即可得出答案. 解：（1）23a b =，∴23a b = ∴53a b b +=； （2）设234a b c ===k, 则a=2k, b=3k, c=4k ， 由a+b+c=27，由2k+3k+4k=27，得：k=3，∴a=6，b=9，c=12故a b c -+ =6-9+12=9， 故答案：53；9. 【点拨】这是一道考查代数式求值的题目, 属于中等难度的题目, 只要同学们认真分析就可以求出答案.24．（1）a ＝6，b ＝4，c ＝12；（2）x 的值为【分析】（1）设比值为k ，然后用k 表示出a 、b 、c ，再代入等式求解得到k ，然后求解即可； （2）根据比例中项的定义列式求解即可．解：（1）∶a ：b ：c ＝3：2：6，∶设a ＝3k ，b ＝2k ，c ＝6k ，又∶a +2b +c ＝26，∶3k +2×2k +6k ＝26，解得k ＝2，∶a ＝6，b ＝4，c ＝12；（2）∶x 是a 、b 的比例中项，∶x 2＝ab ，∶x 2＝4×6，x =∶x =x =-（舍去），即x 的值为【点拨】本题考查比例与比例中项问题，掌握比例性质以及比例中项定义，如果a 、b 、c三个量成连比例即a:b=b:c，b叫做a和c的比例中项．。
九年级上册数学计算题30道
九年级上册数学计算题30道一、一元二次方程相关计算（10道）1. 解方程公式解析：对于一元二次方程公式（这里公式，公式，公式），我们可以使用因式分解法。
公式，则公式或者公式，解得公式或者公式。
2. 解方程公式解析：同样用因式分解法，公式，即公式或公式，解得公式或公式。
3. 用配方法解方程公式解析：首先将方程变形为公式，然后在等式两边加上一次项系数一半的平方，即公式，公式，则公式，解得公式。
4. 用公式法解方程公式解析：对于一元二次方程公式（这里公式，公式，公式），判别式公式。
根据求根公式公式，可得公式。
5. 已知关于公式的一元二次方程公式的一个根是公式，求公式的值。
解析：把公式代入方程公式，得到公式，公式，解得公式。
6. 解方程公式解析：先将左边展开得到公式，即公式，因式分解为公式，解得公式或公式。
7. 求方程公式与公式的公共根。
解析：分别解方程。
对于公式，因式分解得公式，解得公式或公式；对于公式，因式分解得公式，解得公式或公式。
所以公共根为公式。
8. 若方程公式是关于公式的一元二次方程，则公式的取值范围是多少？解析：将方程化为标准形式公式，因为是一元二次方程，所以二次项系数公式，解得公式。
9. 已知一元二次方程公式的两根为公式和公式，且公式，公式。
若方程公式的两根为公式和公式，求公式的值。
解析：由方程公式可知公式，公式，公式。
根据韦达定理公式，公式。
公式。
10. 解方程公式解析：利用平方差公式公式，原方程可化为公式，即公式，解得公式或公式。
二、二次函数相关计算（10道）1. 已知二次函数公式，求当公式，公式，公式时公式的值。
解析：当公式时，公式；当公式时，公式；当公式时，公式。
2. 求二次函数公式的顶点坐标。
解析：对于二次函数公式（公式），其顶点坐标的横坐标公式，这里公式，公式，则公式。
把公式代入函数得公式，所以顶点坐标为公式。
3. 把二次函数公式化为顶点式。
解析：公式。
4. 已知二次函数公式的图象经过点公式，公式，公式，求这个二次函数的表达式。
人教版数学九年级上学期课时练习-一元二次方程(基础篇)(人教版)
专题21.2 一元二次方程（基础篇）（专项练习）一、单选题知识点一、一元二次方程的定义1．下列是关于x 的一元二次方程的是（ ） A ．212021x x-= B ．()60x x += C ．250a x -= D ．342x x -=2．下列方程，是一元二次方程的是（ ）A 0B ．213x x-＝1 C ．x 2＋y 2＝1 D ．x 2＝13．关于x 的方程22(1)20m x x -+-=是一元二次方程，则m 满足（ ） A ．1m ≠B ．1m ≠-C ．1m ≠±D ．m 为任意实数4．若方程（m ﹣2）x |m |+3mx +1＝0是关于x 的一元二次方程，则m 的值为（ ） A ．±2B ．+2C ．﹣2D ．以上都不对知识点二、一元二次方程的一般形式5．一元二次方程2250x x +-=的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A ．2，1，5B ．2，1，－5C ．2，0，－5D ．2，0，56．关于x 的方程2324x x -=中，二次项系数和一次项系数分别是（ ） A ．3，－2B ．3，4C ．3，－4D ．－4，－27．把一元二次方程(x 1)3x 2x +=+化为一般形式，其中正确的是（ ） A ．2420x x ++= B ．2220x x +=-C ．2220x x --=D ．222x x -=8．把一元二次方程(()2210x x x +-=化成一般形式，正确的是（ ） A ．25440x x +=- B ．25440x x --= C ．25210x x -+=D ．25460x x -+=知识点三、一元二次方程的解9．若关于x 的一元二次方程260x ax -+=的一个根是2，则a 的值为（ ） A ．2B ．3C ．12D ．510．已知a 是方程22350x x --=的一个解，则246a a -+的值为（ ） A ．10B ．－10C ．2D ．－4011．若0x =是关于x 的一元二次方程22(1)210m x x m -++-=的解，则m 的值为（ ） A ．1m =±B ．0m =C ．1m =D ．1m =-12．a 是方程x 2+x ﹣1＝0的一个根，则代数式﹣3a 2﹣3a +2021的值是（ ） A ．2018 B ．2019C ．2021D ．2022二、填空题知识点一、一元二次方程的定义13．只含有__________个未知数，并且未知数的__________次数是2的方程，叫做一元二次方程，它的一般形式为____________________．14．下面三个方程：x ²＋2x －4＝0，x ²－75x ＋350＝0，x ²－x ＝56，它们有什么共同点？ 特点：（1）都是_________方程； （2）只含有______个未知数； （3）未知数的最高次数是______．15．若关于x 的一元二次方程（a - 1）x 2 - ax + a 2 = 1的一个根为0．则a = ________． 16．若关于x 的方程()2230mm x x ---=是一元二次方程，则m =______．知识点二、一元二次方程的一般形式17．一元二次方程(2)(34)5x x +-=化为一般形式为___________________________，它的二次项系数是_______，一次项系数是_______，常数项是_______．18．方程23810x x -+=的一次项系数是______．19．一元二次方程5x 2– 3x = 4＋2x 化为一般形式是_______． 20．把一元二次方程()212x +=化为一般形式为______．知识点三、一元二次方程的解21．已知关于x 的方程20x bx a ++=有一个根是1，则代数式a b +的值是___． 22．若x ＝－1是方程20ax bx c -+=的根，则a ＋b ＋c ＋2022的值为______． 23．若m 是方程22310x x --=的一个根，则2462021m m -+的值为_____．24 x =1的根是_________． 三、解答题25．已知关于x 的方程(2k ＋1)x 2＋4kx ＋k －1＝0，问： （1）k 为何值时，此方程是一元一次方程？（2）k 为何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项．26．把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：27．已知m 是方程x 2﹣x ﹣1＝0的一个根，代数式5m 2﹣5m +2016的值．28．（1）关于x 的一元二次方程22(1)10a x x a -++-=的一个根为0，则求a 的值； （2）如果关于x 的一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 中的二次项系数与常数项之和等于一次项系数，求证：1-必是该方程的一个根．29．阅读理解：定义：如果关于x 的方程21110a x b x c ++=（a 1≠0，a 1、b 1、c 1是常数）与22220a xb xc ++=（a2≠0，a2、b2、c2是常数），其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则这两个方程互为“对称方程”．比如：求方程2x2﹣3x+1＝0的“对称方程”，这样思考：由方程2x2﹣3x+1＝0可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根据a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2就能确定这个方程的“对称方程”．请用以上方法解决下面问题：（1）填空：写出方程x2﹣4x+3＝0的“对称方程”是．（2）关于x方程5x2+（m﹣1）x﹣n＝0与﹣5x2﹣x＝1互为“对称方程”，求（m+n）2的值．参考答案1．B【分析】根据一元二次方程的概念判断即可．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．解：A ．是分式方程，不是一元二次方程，不符合题意；B ．是一元二次方程，符合题意；C ．当a =0时，不是一元二次方程，不符合题意；D ．是一元三次方程，不符合题意； 故选：B ．【点拨】本题考查的是一元二次方程的概念，掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解题的关键．2．D 【分析】根据一元二次方程的定义（含有一个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程）进行判断即可．解：A ．不是一元二次方程，故此选项不符合题意；B ．是分式方程，故此选项不符合题意；C ．是二元二次方程，故此选项不符合题意；D ．20x =是一元二次方程，故此选项符合题意． 故选：D ．【点拨】本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是掌握一元二次方程包括三点：①是整式方程，①只含有一个未知数，①所含未知数的项的最高次数是2；一元二次方程的一般形式是20(a 0)++=≠ax bx c ．3．C 【分析】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程可得m 2-1≠0，再解即可．解：由题意得：m 2-1≠0， 解得：m ≠±1， 故选：C ．【点拨】此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式，方程中如果没有分母，那么分母中无未知数；①只含有一个未知数；①未知数的最高次数是2（二次项系数不为0）．4．C【分析】根据一元二次方程的定义，一元二次方程必须满足三个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．解：由题意，得|m|＝2，且m﹣2≠0，解得m＝﹣2，故选：C．【点拨】本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．5．B【分析】根据一元二次方程的基本概念，找出一元二次方程的二次项系数，一次项系数，以及常数项即可．解：①一元二次方程2x2+x-5=0，①二次项系数、一次项系数、常数项分别是2、1、-5，故选：B．【点拨】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0（a≠0）．6．C【分析】根据一元二次方程的概念，方程的解的概念即可求求解．一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．解：2x x--=3420-=，化为一般式为2324x x则二次项系数和一次项系数分别是3,4-故选C【点拨】本题考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 7．C 【分析】方程移项变形即可得到结果. 解：①(x 1)3x 2x +=+，①232x xx，①2220x x --=， 故选：C ．【点拨】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确变形是解题关键． 8．B 【分析】直接利用完全平方公式以及平方差公式去括号，进而得出答案．解：(()2210x x x +-=， 去括号得：x 2-5+4x 2-4x +1=0， 整理得：5x 2-4x -4=0． 故选：B ．【点拨】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确应用乘法公式是解题关键． 9．D 【分析】由题意将2x =代入原方程求解即可．解：关于x 的一元二次方程260x ax -+=的一个根是222260a ∴-+=解得5a = 故选：D ．【点拨】本题考查了一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，熟练掌握知识点是解题的关键．10．B 【分析】将a 代入方程得到2235a a -=，再将其整体代入所求代数式即可得解．解：①a是方程的一个解，①有2a a235-=，--=，即，22350a a①22-+=--=-⨯=-，462(23)2510a a a a故选：B．【点拨】本题考查了一元二次方程的解的定义，此类题的特点是利用方程的解的定义找到相等关系，再将其整体代入所求代数式，即可快速作答，盲目解一元二次方程求a值再代入计算，此方法耗时费力不可取．11．D【分析】根据一元二次方程的解的定义、一元二次方程的定义求解，把x＝0代入一元二次方程即可得出m的值．解：把x＝0代入方程（m﹣1）x2+2x+m2﹣1＝0，得m2﹣1＝0，解得：m＝±1，①m﹣1≠0，①m≠1，m＝﹣1，故选：D．【点拨】本题考查了一元二次方程的解的定义、一元二次方程的定义，解题的关键是运用一元二次方程解的定义易得出m的值，但不能忽视一元二次方程成立的条件m﹣1≠0．12．A【分析】利用一元二次方程根的定义得到a2+a=1，再把﹣3a2﹣3a+2021变形为﹣3（a2+a）+2021，然后利用整体代入的方法计算．解：①a是方程x2+x-1=0的根，①a2+a-1=0，①a2+a=1；①223320213()20213120212018--+=-++=-⨯+=；a a a a故选：A．【点拨】本题考查了一元二次方程的解的问题，解题的关键是利用整体代换的思想求解.13． 一 最高 20(a 0)++=≠ax bx c 【分析】根据一元二次方程的定义和标准形式进行填空即可．解：根据一元二次方程的定义可知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元一次方程．，它的一般形式是ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）．故答案为：一；最高；ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）．【点拨】本题考查了一元二次方程的定义和它的标准形式，熟练一元一次方程的定义是解题的关键．14． 整式 一 2 略 15．-1 【分析】根据一元二次方程的定义及根的意义，得到21,10a a =-≠，求解即可． 解：关于x 的一元二次方程（a - 1）x 2 - ax + a 2 = 1的一个根为021,10a a ∴=-≠1a ∴=-故答案为：-1．【点拨】本题考查了一元二次方程的定义及一元二次方程的解，熟练掌握知识点是解题的关键．16．﹣2 【分析】本题根据一元二次方程的定义求解，一元二次方程必须满足两个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0.由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．解：由题意，得2m =且20m -≠，解得2m =-， 故答案是：2-．【点拨】本题主要考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是()200.ax bx c a ++=≠特别要注意0a ≠的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．17． 232130x x +-= 3 2 13- 【分析】首先利用完全平方公式进行计算，然后再把5移到等号左边，合并同类项即可得到232130x x +-=，然后再确定二次项、一次项系数和常数项．解：方程()()2345x x +-=整理为一般形式为232130x x +-=，①二次项系数是3，一次项系数是2，常数项是13-， 故答案为：232130x x +-=，3，2，13-．【点拨】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握一元二次方程的一般形式是：20ax bx c ++=（a ，b ，c 是常数且a ≠0）特别要注意a ≠0的条件．在一般形式中ax 2叫二次项，bx 叫一次项，c 是常数项．其中a ，b ，c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．18．-8 【分析】根据一元二次方程的一般形式解答．解：方程23810x x -+=的一次项是8x -，其系数是8-． 故答案是：8-．【点拨】本题考查一元二次方程的一般式，解题的关键是掌握一次项系数的定义． 19．5x 2– 5x -4=0 【分析】根据一元二次方程一般式的形式化简即可． 解：5x 2– 3x = 4＋2x 化为一般式为5x 2– 5x -4=0， 故答案为：5x 2– 5x -4=0．【点拨】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是20ax bx c ++=．20．2210x x +-= 【分析】先展开完全平方式、再移项，变成一般形式即可． 解：()212x +=，即2212x x ++=即2210x x +-=故答案为：2210x x +-=【点拨】考查了一元二次方程的一般形式．一元二次方程的一般形式为：ax 2+bx +c =0（a ≠0）21．-1【分析】把1x =代入原方程，可得10,b a 从而可得答案． 解： 关于x 的方程20x bx a ++=有一个根是1，10,b a1,a b ∴+=-故答案为：1-【点拨】本题考查的是一元二次方程的根的含义，掌握“一元二次方程的根使方程的左右两边相等”是解本题的关键．22．2022【分析】根据x =-1是方程ax 2-bx +c =0根，得到a +b +c =0，整体代入即可求得答案．解：①x =-1是方程ax 2-bx +c =0根，①a +b +c =0，①原式=0+2022=2022，故答案为：2022．【点拨】此题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是把已知方程的根直接代入方程得到待定系数的方程即可求得代数式的值．`23．2023【分析】由题意知22310m m --=，即2231m m -=，再将2462021m m -+整理并将2231m m -=整体代入计算求解即可．解：22310m m --=，即2231m m -=，①2462021m m -+()22232021m m =-+ 212021=⨯+=2023．故答案为：2023．【点拨】本题考查了一元二次方程的解及代数式的求值的知识，解题的关键在于理解一元二次方程的解的定义．24．2x =【分析】先对已知方程进行变形．然后结合二次方程即可求解．1x =+，两边平方得2721x x x +=++，即260x x +-=，解得3x =-或2x =，根据二次根式的性质可得1x ≥-，所以原方程的根是2x =．故答案为：2x =．【点拨】本题主要考察了二次根式的性质以及含有根式方程的一般解法．二次根式的性0(0)a ≥，含有根式方程的一般解法：先移项，然后两边同时平方，再利用一元二次方程的知识求解即可．25．（1）12k =-；（2）12k ≠-，二次项系数为21k +，一次项系数为4k ，常数项为1k - 【分析】（1）根据一元一次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次为1的整式方程进行求解即可；（2）根据一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程进行求解即可；解：（1）①()221410k x kx k +++-=是关于x 的一元一次方程，①21040k k +=⎧⎨≠⎩，解得12k =- （2）①()221410k x kx k +++-=是关于x 的一元二次方程，①210k +≠即12k ≠-， ①这个一元二次方程的二次项系数为21k +，一次项系数为4k ，常数项为1k -．【点拨】本题主要考查了一元一次方程和一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式，解题的关键在于能够熟练掌握一元一次方程和一元二次方程的定义．26．见分析【分析】根据一元二次方程的一般形式：ax 2+bx +c =0（a ，b ，c 是常数且a ≠0），ax 2叫二次项，bx 叫一次项，c 是常数项．其中a ，b ，c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．解：把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．【点拨】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax 2+bx +c =0（a ，b ，c 是常数且a ≠0）特别要注意a ≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax 2叫二次项，bx 叫一次项，c 是常数项．其中a ，b ，c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．27．2021【分析】根据一元二次方程解的定义，将m 代入210x x --=中，可得21m m -=,将2552016m m -+变形求解即可．解：①m 是方程x 2﹣x ﹣1＝0的一个根①210m m --=①21m m -=①2552016m m -+=()252016m m -+ =52016+2021=【点拨】本题考查一元二次方程解的定义，以及代数式化简求值．根据定义解题关键．28．（1）1a =-；（2）证明见分析．【分析】（1）把x =0代入方程得到a 2-1=0，解得a =±1，然后利用一元二次方程的定义确定满足条件的a 的值．（2）由题意得到a +c =b ，变形后得到a -b +c =0，可得出x =-1是方程的根．解：（1）①一元二次方程22(1)10a x x a -++-=的一个根为0，①a -1≠0且a 2-1=0，①a=-1．（2）证明：根据题意，得：a +c =b ，即a -b +c =0；当x =-1时，ax2+bx +c =a （-1）2+b （-1）+c =a -b +c =0，①-1必是关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c =0的一个根．【点拨】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．29．（1）﹣x 2﹣4x ﹣3＝0；（2）1【分析】（1）根据对称方程的定义可得答案；（2）由题意得m ﹣1＝﹣1，﹣n +（﹣1）＝0，再解即可．解：（1）由题意得：方程x 2﹣4x +3＝0的“对称方程”是﹣x 2﹣4x ﹣3＝0，故答案为：﹣x 2﹣4x ﹣3＝0；（2）由﹣5x 2﹣x ＝1，移项可得：﹣5x 2﹣x ﹣1＝0，①方程5x 2+（m ﹣1）x ﹣n ＝0与﹣5x 2﹣x ﹣1＝0为对称方程，①m ﹣1＝﹣1，﹣n +（﹣1）＝0，解得：m ＝0，n ＝﹣1，①（m+n）2＝（0﹣1）2＝1，答：（m+n）2的值是1．【点拨】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是正确理解题意，理解对称方程的定义．。
人教版数学九年级上学期课时练习-解一元二次方程100题(基础篇)(人教版)
专题21.25 解一元二次方程100题（基础篇）（专项练习）1．解下列方程．(1)x 2＋2x ＝0； (2)2x 2－3x －1＝0．2．解下列方程(1)220x x -= (2)2690x x -+=3．解方程： 21142x x x =--+．4．用适当的方法解下列方程：(1)()22242x x x -=- (2)()()124x x -+=5．解方程(1)x 2+4x ﹣2＝0； (2)3（x ﹣2）2＝x （x ﹣2）.6．解方程(1)()242-9x = (2)()32180x -+=7．用适当的方法解方程：(1)()()215140x x ---+= (2)21x +=8．解方程． (1)3x 2﹣1＝4x ； (2)（x ＋4）2＝5（x ＋4）．9．解方程： (1)222(3)9x x -=- (2)22310x x +-=（公式法）10．解方程(1)配方法解方程2x 2﹣12x ﹣12＝0； (2)（x ＋2）（x ＋3）＝111．解下列一元二次方程． (1)2247x x +=(2)()22239x x -=-12．解方程：（1）x 2＋4x ﹣1＝0 （2）x （x －2）＋x －2＝013．解下列方程： （1）x 2+4x +3＝0； （2）3x 2﹣x ﹣1＝0．14．用适当的方法解下列方程 （1）2（x －1）2＝18； （2）x 2－2x ＝2x ＋115．用适当的方法解方程： （1）2430x x -+=； （2）23110x x -=16．用适当的方法解方程： （1）()231250x --= （2）2260x x --=17．解方程： （1）2314x x -=（2）()2(21)321x x +=+18．解方程： （1）2x 2﹣3x ﹣1＝0． （2）x 2﹣7x ＝﹣10．19．解方程：（1）用配方法解方程：2640x x -+=；（2）解方程：2(3)2(3)x x x -=-．20．解方程：（1）解方程：9x 2﹣1＝3． （2）用配方法解方程：x 2﹣10x +22＝0．21．解方程： （1）2430x x --= （2）2450x x -=+22．用适当的方法解下列方程：①2x 2﹣2x ﹣1＝0； ①x （2x ﹣5）＝4x ﹣10；23．解方程： （1）22980x x -+=；（2）()()223423x x +=+．24．用适当的方法解方程 （1）2230x x +-= （2）2250x x -=25．解方程（1）()()22120211x -=-， （2）2450x x --=，（3）()72y 140y y -+-=，（4）22530x x --=26．解方程： （1）x 2+x ﹣1＝0；（2）()()2424x x -=-．27．解方程（1）2560x x ++=．（2）2240x x --=28．解下列方程： （1） x 2 =2x（2）x 2-4x +1=0(用配方法求解)29．解下列方程： （1）（x ＋3）2－9＝0； （2）x 2＋2x －3＝0．30．解下列一元二次方程： （1）2280x x -=；（2）()()21321x x x -=-；（3）()234x +=．31．解一元二次方程 （1）x 2﹣4x ＝0； （2）3x 2﹣x ﹣1＝0．32．解方程： （1）x 2﹣4x ﹣5＝0； （2）2x （x +1）＝x +1．33．解方程： （1）2430x x -+=；（2）()()226280x x ---+=34．解方程（1）()2190x --= （2）2250x x --=35．解方程：（1）2280x x --=（2）()221160x --=（3）()()23530x x x ---=36．用适当的方法解下列一元二次方程 （1）()229x -=（2）()33x x x -+=（3）2314x x -=（4）()()22311-=-x x37．用公式法解下列方程： （1）22410x x --=；（2）2523x x +=；（3）(2)(35)1x x --=；（4）230.252x x +=．38．解方程：（1）27180x x --=； （2）2414x x +=．39．解方程： （1）x 2﹣5x +4＝0；（2）x 2+x ﹣1＝0．40．解方程：（1）23410x x ++=（公式法） （2）22730x x -+=（配方）（3）()2222x x -=-（4）()29140x --=41．解下列方程： （1）x 2﹣2x ＋1＝25；（2）x 2﹣4x ＋1＝0．42．解方程： （1）（2x ﹣1）2＝9． （2）x 2﹣4x ﹣12＝0．43．不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积：（1）2210x x ++=； （2）230x -=；（3）22237x x x +=+； （4）25564x x -=-．44．解下列方程： （1）x 2+4x ﹣1＝0； （2）(x ﹣1)(x +3)＝5(x ﹣1)．45．解下列方程： （1）2289x x x -=-； （2）24490x x ++=．46．用直接开平方法解下列方程． （1）2160x -=；（2）2(2)9x -=．47．解方程：（1）22310x x --=，（2）34x 2﹣2x ﹣12＝048．用适当的方法解下列方程． （1）x 2+4x ＝2； （2）2x （x ﹣3）＝7（3﹣x ）．49．解方程：（1）x （x －3）－5（3－x ）＝0（2）()()222230x x +-+-=50．解下列一元二次方程： （1）（2x +1）2+4（2x +1）+4＝0；（2）(31)(1)(41)(1)x x x x --=+-．51．解方程：（1）22(2)180x +-=（2）22530x x --=52．解方程： （1）x 2﹣2x ﹣5＝0；（2）（x +1）﹣2（x 2﹣1）＝0．53．解下列一元二次方程： （1）3x （x ﹣1）＝2﹣2x ； （2）2x 2﹣x ﹣1＝0（配方法）．54．解方程： （1）()2219x +=； （2）210240x x -+=．55．计算：解方程：（1）2(1)4x x +=；（2）2(4)5(4)x x +=+；56．解方程：（1）2412x x -=（2）2310x x -+=57．解方程（1）22-0x x =（2）x 2―6x +4＝058．解方程： （1）2820x -=；（2）()22x x x -=-．59．解方程：（1）228100x x --=（2）()()22213x x -=+60．解方程：（1）210250x x ++=，（2）2410x x -+=．61．解方程： （1）230x x -=（2）2410x x --=62．解下列一元二次方程： （1）2(1)4x -=（2）(5)x x x +=63．解方程： （1）2660x x --=（2）22(3)(3)x x x =++64．解方程： （1）256x x -=（2）()()2333x x x -=-65．解方程： （1）24120x x +-=．（2）()()2454x x +=+．66．解方程： （1）24x 9=； （2）2x -x-20=．67．解方程 (1)2610x x --=(2)()()22213x x -=-68．用适当的方法解下列方程： (1)x 2－x －1＝0；(2)3x (x －2)＝x －2；(3)x 2－＋1＝0；(4)(x ＋8)(x ＋1)＝－12．69．按要求完成下列各小题， (1)解方程：2(3)(21)(3)x x x -=--(2)解方程：2320x x -+=70．解方程： (1)x 2－2x －3＝0 (2)（x ﹣3）2＝2x ﹣671．解方程： (1)x 2－x －2＝0； (2)3x (x －2)＝2－x ．72．解下列方程： (1)()()2121x x -=-；(2)()2322x x +=+．73．选择适当方法解下列方程： (1)220x x +=； (2)232x x +=．74．解下列方程：(1)2410x x -+=（配方法） (2)24630x x --=（运用公式法）(3)()()223523x x -=-（分解因式法）75．解一元二次方程： (1)()()31231x x x +=+ (2)23410x x --=76．解方程： (1)245x x -=(2)()()2312x x --=77．解下列方程 (1)22410x x -+=(2)()()21210x x x ---=．78．用合适的方法解下列方程 (1)2510x x -+=(2)()()22550x x x -+-=79．用适当的方法解下列方程： (1)2-430x x(2)()3-2-2x x x =80．用适当方法解下列方程： (1)3x 2﹣2x ﹣1＝0；(2)x （x +2）＝2x +4．81．请选择适当的方法解下列一元二次方程： (1)2x 2﹣x ﹣3＝0；(2)（x +2）2＝3（x +2）．82．解方程： (1)22x x =(2)2450x x -=+83．解下列方程： (1)28x x =(2)3(1)22x x x -=-84．解方程： (1)x 2－2x －3＝0(2)2x 2＋1＝3x85．解方程： (1)260x x -=；(2)24120x x --=．86．解方程： (1)24250x -=(2)2240x x --=87．解方程：（1）解方程：2420x x--=；（2）解方程：53 212x x=+-．88．解方程：(1)2420x x++=（配方法）(2)2551x x x+=--（公式法）89．解方程．(1)()222180x--=；(2)24810x x-+=．90．解方程，(1)2x2＋2x－1＝0(2)5（x＋3）2＝x2－991．用适当的方法解一元二次方程．(1)x（x－3）＝－（x－3）(2)x2＋4x－3＝092．解方程：(1)x（x-2）＋x-2＝0(2)x2﹣8x＋6＝0（配方法）93．我们已经学习了一元二次方程的四种解法：因式分解法，开平方法，配方法和公式法，请你任意挑选择两个方程，并选择你认为适当的方法解方程．①210x x +-=；①2(1)2x -=；①2(1)(1)0x x +++=； ①222x x -=.94．用适当的方法解下列方程：(1)214x （）-=；(2)2340x x --=．95．解方程： (1)230x x +=；(2)212(1)x x -=+．96．解下列方程： (1)22350x x --=；(2)(32)23x x x -=-．97．解方程：(1)220x x -= (2)2310x x ++=98．用适当的方法解下列一元二次方程 (1)22730x x -+=(2)()2362x x -=-99．解方程： (1)2234x x -=(2)()252156x x -=-100．解方程： (1)241x x -=(2)()2133x x +=+参考答案1．(1)x 1＝－2，x 2＝0．(2)x 1，x 2【分析】（1）采用因式分解法即可求解； （2）直接用公式法即可求解． 解：(1)原方程左边因式分解， 得：(2)0x x +=， 即有：x 1＝－2，x 2＝0； (2)①24942(1)170b ac ⨯⨯>－＝－－＝，①x =①1x =，2x =． 【点拨】本题考查了用因式分解法和公式法解一元二次方程的知识，掌握求根公式是解答本题的关键．2．(1)10x =，22x = (2)123x x ==【分析】 （1）直接利用因式分解法解方程即可；（2）用因式分解法解方程即可．(1)解：x (x −2)=0，x 1=0，x 2=2；(2)解： (x −3)2=0，x 1=x 2=3．【点拨】此题考查了一元二次方程的解法，解题的关键是熟练掌握各种解法．3．11x =，2=1x 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．解：去分母得：24(2)x x x =--- ，解得：11x =，2=1x经检验11x =，2=1x①原分式方程的解为11x =，2=1x【点拨】本题考查了解分式方程以及解一元二次方程，熟练掌握步骤是解题的关键，需要注意的是最后要记得检验是不是分式方程的解．4．(1)x 1＝23，x 2＝2(2)：x 1＝﹣3，x 2＝2【分析】（1）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可；（2）整理后分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可．(1)解：（1）（x ﹣2）2＝4x ﹣2x 2，（x ﹣2）2+2x （x ﹣2）＝0，（x ﹣2+2x ）（x ﹣2）＝0，x ﹣2+2x ＝0或x ﹣2＝0，解得：x1＝23，x2＝2；(2)解：（x﹣1）（x+2）＝4，整理，得x2+x﹣6＝0，（x+3）（x﹣2）＝0，x+3＝0或x﹣2＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝2．【点拨】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法求解是解此题的关键，解一元二次方程的方法有直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等．5．(1)x1＝﹣，x2＝﹣2(2)x1＝2，x2＝3【分析】（1）先把常数项移到方程的右边，然后把方程进行配方得到（x+2）2＝6，再直接开方即可；（2）先移项再提取公因式（x﹣2）得到（x﹣2）（x﹣3）＝0，然后解两个一元一次方程即可．(1)解：①x2+4x﹣2＝0①x2+4x＝2①x2+4x+4＝6①（x+2）2＝6①x+2＝①x1＝﹣x2＝﹣2；(2)解：①3（x﹣2）2＝x（x﹣2）①（x﹣2）（3x﹣6﹣x）＝0①（x﹣2）（x﹣3）＝0①x﹣2＝0或x﹣3＝0①x1＝2，x2＝3．【点拨】此题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法；解题的关键是要根据方程的特点灵活选用合适的方法．6．(1)12x=或72x=(2)12x=-【分析】（1）先将二次项系数化为1，再根据平方根的定义即可求解；（2）先将常数项移到等式右边，再根据立方根的定义即可求解．(1)解：()242-9x =，二次项系数化1得：()292-4x =， 开平方得：322x -=±， 解得：12x =或72x =． (2)解：()32180x -+=移项得：()3218x -=-，开立方得：212x -=-， 解得：12x =-．【点拨】本题主要考查了利用平立方根及立方根解方程，解题的关键是熟记开平方及开立方的定义．7．(1)122,5x x == (2)1222x x ==-【分析】（1）用因式分解法解方程即可；（2）用配方法解方程即可．(1)解：()()215140x x ---+=， ()()14110x x ----=，()()520x x --=，20x -=，50x -=，122,5x x ==．(2)解：21x +=，21x -=-，2515x -+=-+，2(4x =，2x =±，1222x x ==-【点拨】本题考查了一元二次方程的解法，解题关键是熟练掌握因式分解法和配方法，准确解方程．8．(1)12x x ==x 1=-4，x 2=1 【分析】（1）先计算判别式的值，然后利用公式法解方程；（2）先移项得到（x +4）2-5（x +4）=0，然后利用因式分解法解方程．(1)解： 3x 2-4x -1=0，①a =3，b =-4，c =-1，①Δ=b 2-4ac =（-4）2-4×3×（-1）=16+12=28＞0．①x ==，①12x x = (2)解：（x +4）2=5（x +4），（x +4）2-5（x +4）=0，（x +4）（x +4-5）=0，①x +4=0或x -1=0，①x 1=-4，x 2=1．【点拨】本题主要考查解一元二次方程的能力，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法．9．(1)13x =，29x =(2)1x =2x = 【分析】（1）先移项，然后利用平方差公式及因式分解法解方程即可得；（2）利用公式法解一元二次方程即可得．(1)解：()22239x x -=-，()()()223330x x x --+-=， ()()()32330x x x ⎡⎤---+=⎣⎦，()()390x x --=，∴30x -=或90x -=，∴13x =，29x =；(2)解：22310x x +-=，其中2a =，3b =，1c =-，∴()2243421170b ac =-=-⨯⨯-=>，x =，∴1x =2x =． 【点拨】题目主要考查解一元二次方程的方法：因式分解法与公式法，熟练掌握解方程的方法是解题关键．10．(1)x 1＝x 2＝3(2)x 1x 2【分析】（1）先将二次项系数化为1，再将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得；（2）利用公式法求解即可．(1)解：∵2x 2﹣12x ﹣12＝0，∴x 2﹣6x ﹣6＝0，∴x 2﹣6x ＝6，∴x 2﹣6x +9＝6+9，即（x ﹣3）2＝15，∴x ﹣3∴x 1＝x 2＝3(2)解：整理成一般式，得：x 2+5x +5＝0，∴a ＝1，b ＝5，c ＝5，∴Δ＝52﹣4×1×5＝5＞0，则x∴x 1x 2 【点拨】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．11．(1)1x =，2x =(2)13x =，29x =． 【分析】（1）用公式法解方程即可；（2）用因式分解法解方程即可．(1)解：2247x x +=化简得，22740x x -+=，274a b c ==-=，，，224(7)424170b ac -=--⨯⨯=>，方程有两个不相等的实数根，x ==1x =，2x =． (2)解：()22239x x -=-，()223(3)(3)0x x x ---+=， ()(3)90x x --=，3090x x -=-=，，13x =，29x =．【点拨】本题考查了一元二次方程的解法，解题关键是熟练运用公式法和因式分解法解方程．12．（1）x 1＝﹣x 2＝﹣22）x 1＝2，x 2＝－1【分析】（1）利用公式法解方程即可；（2）利用因式分解法解方程即可．解：（1）①x 2＋4x ﹣1＝0，①a ＝1，b ＝4，c ＝﹣1，①①＝16+4＝20，①x 2=-①12x =-22x =-（2）x （x －2）＋x －2＝0，因式分解得：（x ﹣2）（x +1）＝0，可得x ﹣2＝0或x +1＝0，解得：x 1＝2，x 2＝﹣1．【点拨】本题主要考查了一元二次方程的求解，掌握解一元二次方程的方法与步骤，准确利用公式法和因式分解法解方程是关键．13．（1）121,3x x =-=-；（2）12x x == 【分析】（1）利用因式分解法解方程即可得；（2）利用公式法解方程即可得．解：（1）2430x x ++=，(1)(3)0x x ++=，10x +=或30x +=，1x =-或3x =-，即121,3x x =-=-；（2）2310x x --=，此方程中的3,1,1a b c ==-=-，则x =x =，12x x == 【点拨】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握方程的解法是解题关键．14．（1）4x =或2x =-；（2）2x =2x =【分析】（1）根据题意利用直接开方法进行一元二次方程的求解即可；（2）根据题意利用配方法进行一元二次方程的求解即可.解：（1）2（x －1）2＝182(1)9x -=所以13x -=或13x -=-，解得：4x =或2x =-；（2）x 2－2x ＝2x ＋12410x x --=2(2)410x ---=2(2)5x -=所以2x -=2x -=解得：2x =2x =【点拨】本题考查解一元二次方程，熟练掌握并适当地选择一元二次方程求解的方法是解题的关键.15．（1）11x =，23x =；（2）10x =，2113x =． 【分析】（1）利用十字相乘法解一元二次方程求解即可；（2）利用提公因式法解一元二次方程求解即可．解：（1）2430x x -+= ()()310x x --=30x -=或10x -=，解得：11x =，23x =；（2）23110x x -=()3110x x -=0x =或3110x -=，解得：10x =，2113x =．【点拨】本题考查了一元二次方程的解法．解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．16．（1）12x =，243x =-；（2）11x =，21x = 【分析】（1）先移项，然后利用开平方法解一元二次方程即可；（2）利用配方法解一元二次方程即可．解：（1）①()231250x --=，①()23125x -=，①315x -=±，①12x =，243x =-； （2）①2260x x --=，①226x x -=，①2217x x -+=即()217x -=，①1x -=①11x =21x =【点拨】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握解一元二次方程的方法．17．（1）1x =2x =（2）112x =-，21x = 【分析】（1）用公式法解方程即可；（2）利用因式分解法解方程即可．解：（1）2314x x -=23410x x --= 341a b c ==-=-，，224=(4)43(1)28b ac ---⨯⨯-=x ==1x =2x =（2）()2(21)321x x +=+()2(21)3210x x +-+=(21)(213)0x x ++-=210x +=或220x -=112x =-，21x = 【点拨】本题考查了一元二次方程的解法，解题关键是熟练运用恰当的方法解一元二次方程．18．（1）x 1，x 22）x 1＝2，x 2＝5 【分析】（1）利用公式法求解即可；（2）先移项，然后利用因式分解法求解即可．解：（1）①22310x x --=，①a ＝2，b ＝﹣3，c ＝﹣1，①()()2243421170b ac ∆=-=--⨯⨯-=>，①x ==①x 1x =2x = （2）①x 2﹣7x ＝﹣10，①x 2﹣7x +10＝0，则（x ﹣2）（x ﹣5）＝0，①x ﹣2＝0或x ﹣5＝0，解得x 1＝2，x 2＝5．【点拨】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握解一元二次方程的方法．19．（1）135x ，235x ；（2）13x =，21x =【分析】（1）根据配方法对方程进行配方再解出方程即可．（2）移项后提取公因式，用因式分解法求出两个解即可．解：（1）2640x x -+=，264x x ∴-=-，26949x x ∴-+=-+，即()235x -=， 则35x ，13x ∴=235x ； （2）()()2323x x x -=--，()()23230x x x ∴-+-=，则()()3330x x --=，30x ∴-=或330x -=，解得13x =，21x =．【点拨】本题考查用配方法，因式分解法解一元二次方程，掌握这些解题方法是解决本题的关键．20．（1）1222,33x x ==-；（2）1255x x ==【分析】（1）移项、合并，然后把二次项系数化为1，再开平方即可；（2）将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得．解：（1）9x 2﹣1＝3，9x 2＝4，x 2＝49， ①x ＝23， ①x 1＝23，x 2＝﹣23；（2）x 2﹣10x +22＝0，x 2﹣10x ＝﹣22，x 2﹣10x +25＝﹣22+25，即（x ﹣5）2＝3，①x ﹣5＝①x 1＝x 2＝5【点拨】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．21．（1）12x =，22x = ；（2）15x =-，21x =．【分析】（1）首先把常数项移到右边，方程两边同时加上一次项系数一半的平方配成完全平方公式，然后开方求解即可；（2）根据十字相乘法解一元二次方程求解即可．解：（1）2430x x --=()222434434272x x x x x x -=-+=+-=-=解得：12x =22x =；（2）2450x x -=+()()510x x +-=解得：15x =-，21x =．【点拨】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．配方法的步骤：配方法的一般步骤为：(1)把常数项移到等号的右边；(2)把二次项的系数化为1；(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方．22．①x 1x 2；①x 1＝52，x 2＝2 【分析】①用公式法解方程即可得出答案；①利用因式分解法解方程即可；解：①①a ＝2，b ＝﹣2，c ＝﹣1，①Δ＝（﹣2）2﹣4×2×（﹣1）＝12＞0，则x ，即x 1x 2 ①①x （2x ﹣5）＝4x ﹣10，①x （2x ﹣5）﹣2（2x ﹣5）＝0，①（2x ﹣5）（x ﹣2）＝0，则2x ﹣5＝0或x ﹣2＝0，解得x 1＝52，x 2＝2； 【点拨】本题考查了公式法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程，熟悉各方法并合理运用是解题的关键．23．（1）1x =2x =2）132x =-，212x = 【分析】（1）用公式法求解即可；（2）用因式分解法求解即可．解：（1）①a =2，b =-9，c =8①224(9)428170b ac ∆=-=--⨯⨯=>①x①1x =2x =（2）移项得：()()2234230x x +-+=左边分解因式得：(23)(21)0x x +-=①230x +=或210x -= ①132x =-，212x = 【点拨】本题考查解一元二次方程，要根据方程的特点选用恰当的方法来解． 24．（１）1231x x ，=-=；（２）120 2.5x x ==，【分析】（1）使用十字相乘法进行因式分解解方程；（2）使用提公因式法进行因式分解解方程；解：（1）2230x x +-=()()310x x +-=①3010x x +=-=；①1231x x ，=-=（2）2250x x -=()250x x -=①0250x x =-=；①120 2.5x x ==，【点拨】本题考查的是一元二次方程的解法，解题的关键是会选择合适的解法解方程．25．（1）x 1=2021，x 2=﹣2019；（2）x 1=﹣1，x 2=5；（3）y 1=﹣2，y 2=7；（4）x 1=﹣12，x 2=3【分析】（1）利用直接开平方法解一元二次方程即可求解；（2）利用因式分解法解一元二次方程即可求解；（3）利用因式分解法解一元二次方程即可求解；（4）利用因式分解法解一元二次方程即可求解；解：（1）直接开平方得：x ﹣1=±2020，①x 1=2021，x 2=﹣2019；（2）原方程化为：（x +1）（x ﹣5）=0，①x +1=0或x ﹣5=0，①x 1=﹣1，x 2=5；（3）原方程化为：（y +2）（y ﹣7）=0，①y +2=0或y ﹣7=0，①y 1=﹣2，y 2=7；（4）原方程化为：（2x +1）（x ﹣3）=0，①2x +1=0或x ﹣3=0，①x 1=﹣12，x 2=3． 【点拨】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法并灵活运用是解答的关键．26．（1）1x =，2x =2）14x =，26x =． 【分析】 （1）直接利用公式法解方程得出答案．（2）移项后直接利用分解因式解方程即可；解：（1）210x x +-=，其中：1a =，1b =，1c =-，∴22=4=141-1=5b ac --⨯⨯()，①x =解得：1x ，2x =； （2）()()2424x x -=-(4)2(4)0x x ---=，()()460x x --=则40x -=或60x -=，解得：14x =，26x =．【点拨】此题主要考查了因式分解法以及公式法解方程，正确掌握相关解方程的方法是解题关键．27．（1）122,3x x =-=-（2）1211x x ==【分析】（1）用因式分解法解方程即可；（2）用配方法解方程即可．解：（1）2560x x ++=．(2)(3)0x x ++=，20,30x x +=+=，122,3x x =-=-（2）2240x x --=．224x x -=，2215x x -+=，2(1)5x -=，1x -=，1211x x ==【点拨】本题考查了一元二次方程的解法，解题关键是熟练运用因式分解法和配方法解方程．28．（1）120,2x x ==；（2）122x x ==【分析】（1）用因式分解法求解即可；（2）用配方法求解即可．解：（1）x 2=2x ，x 2﹣2x =0，x （x ﹣2）=0，解得：x 1=0，x 2=2；（2）x 2-4x +1=0，x 2-4x +4-3=0，（x -2）2=3，x -2=解得：x 1x 2=2【点拨】本题考查了因式分解法和配方法解解一元二次方程．掌握配方法的一般步骤是解答本题的关键．29．（1）x 1＝－6，x 2＝0；（2）x 1＝－3，x 2＝1．【分析】(1)根据题意直接利用因式分解法进行方程的求解即可；(2)根据题意直接进行十字交叉相乘利用因式分解法进行方程的求解即可.(1)解： (x ＋3＋3)(x ＋3－3)＝0．(x ＋6)x ＝0，x ＋6＝0或x ＝0，①x 1＝－6，x 2＝0．(2)解： (x ＋3)(x －1)＝0，x ＋3＝0或x －1＝0，①x 1＝－3，x 2＝1．【点拨】本题考查解一元二次方程，熟练掌握并灵活运用一元二次方程的各种解法是解题的关键.30．（1）10x =，24x =．（2）112x =，23x =．（3）15x =-，21x =- 【分析】（1）根据因式分解法解一元二次方程求解即可；（2）首先把等式右边的()321x -移到左边，然后根据因式分解法解一元二次方程求解即可；（3）首先把等式右边的4移到左边，然后根据因式分解法解一元二次方程求解即可． 解：（1）因式分解，得()240x x -=．于是有20x =或40x -=，①10x =，24x =．（2）原方程整理，得：(21)3(21)0x x x ---=，(21)(3)0x x --=， 210x -=或30x -=， ①221,32x x ==． （3）原方程整理，得()2340x +-=．因式分解，得()()32320x x +++-=．于是有50x +=或10x +=．①15x =-，21x =-．【点拨】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．31．（①）x 1＝0，x 2＝4；（①）x 1x 2【分析】（1）利用因式分解法求解即可；（2）利用公式法求解即可．解：（1）x 2﹣4x ＝0，分解因式得：x （x ﹣4）＝0，解得：x 1＝0，x 2＝4；（2）3x 2﹣x ﹣1＝0，①a ＝3，b ＝﹣1，c ＝﹣1，①①＝b 2﹣4ac ＝1﹣4×3×（﹣1）＝13，①x =①x 1x 2 【点拨】本题考查了解一元二次方程，灵活运用简便的方法来求解一元二次方程是解决本题的关键．32．（1）1x ＝5，2x ＝﹣1；（2）1x ＝－1，2x ＝0.5【分析】（1）利用配方法求解即可；（2）利用因式分解法求解即可．解：（1）①2x ﹣4x ＝5，①2x ﹣4x ＋4＝5＋4，即2(2)x -＝9，则x ﹣2＝3±，①1x ＝5，2x ＝﹣1；（2）①2x （x ＋1）﹣（x ＋1）＝0，①（x ＋1）（2x ﹣1）＝0，则x ＋1＝0或2x ﹣1＝0，解得1x ＝－1，2x ＝0.5．【点拨】本题考查了一元二次方程的配方法，因式分解法求解，根据方程的特点，灵活选择解题方法是解题的关键．33．（1）13x =，21x =；（2）14x =，26x =【分析】（1）利用因式分解法求解一元二次方程即可；（2）将2x -看成整体，利用因式分解法求解一元二次方程即可．解：（1）2430x x -+=(3)(1)0x x --=解得：13x =，21x =（2）()()226280x x ---+= ()()22240x x ----=604)()(x x --=解得：14x =，26x =【点拨】此题考查了因式分解法求解一元二次方程，解题的关键是掌握因式分解的方法以及整体思想的利用．34．（1）14x =，22x =-，（2）11x =21x =【分析】（1）用直接开方法解方程即可；（2）用公式法解方程即可．解：（1）()2190x --= ， ()219x -=，13x -=±，13x -=或13x -=-，14x =，22x =-，（2）2250x x --=，1=25a b c =-=-，，，224(2)41(5)24b ac -=--⨯⨯-=，22x ==11x =21x =【点拨】本题考查了一元二次方程的解法，解题关键是熟练运用直接开方法和公式法解一元二次方程．35．（1）2x =-或4x =；（2）52x =或32x =-；（3）3x =或52x =- 【分析】（1）根据十字相乘法解一元二次方程求解即可；（2）根据直接开方法解一元二次方程求解即可；（3）根据提公因式法解一元二次方程求解即可．解：（1）2280x x --= ()()240x x +-=20x ∴+=或40x -=，解得：2x =-或4x =；（2）()221160x --= ()22116x -=，214x ∴-=或214x -=-， 解得52x =或32x =-； （3）()()23530x x x ---=` 解：2(3)5(3)0x x x -+-=，(3)(25)0x x ∴-+=，30x ∴-=或250x +=，解得：3x =或52x =-． 【点拨】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．36．（1）15=x ，21x =-；（2）13x =，21x =-；（3）1x =2x =（4）10x =，212x = 【分析】（1）本题利用直接开平方法解方程即可；（2）本题将3移项到等号的左边，通过因式分解法解方程即可；（3）先将4x 移项到等号左边，化成一般式，利用公式法解方程即可；（4）将2(1)x -移项到等号左边，利用因式分解法解方程即可．解：（1）直接开平方得23x -=±，解得15=x ，21x =-；（2）由已知得(3)(3)0x x x -+-=，则(1)(3)0x x +-=，解得11x =-，23x =；（3）由已知得23410x x --=，2(4)43(1)28∆=--⨯⨯-=，①x =解得1x =，2x = （4）由已知得22(31)(1)0x x ---=，利用因式分解法可得2(42)0x x -=，解得10x =，212x =． 【点拨】本题考查解一元二次方程的方法，可以利用直接开平方法，公式法或因式分解法，选择正确的方法解方程是解题的关键．37．（1）1211x x ==（2）12312x x ==-,；（3）12x x ==（4）没有实数根．【分析】先把各方程整理成一般形式()200++=≠ax bx c a ，然后计算24b ac ∆=-，再用求根公式x =计算即可． （1）解：22410x x --=，①241a b c ==-=-，，，① ()()224442124b ac ∆=-=--⨯⨯-=，① x =，即：1211x x == （2）解：23520x x --=，①352a b c ==-=-，，，① ()()2245432=49b ac ∆=-=--⨯⨯-，① 576x ±=， 即：12312x x ==-,； （3）解：2311+90x x -=，①3119a b c ==-=，，，① ()22411439=13b ac ∆=-=--⨯⨯，① x =，①12x x == （4）2250015x x +-=，①21550a b c ==-=，，，① ()2241542501750b ac ∆=-=-⨯⨯=-<，①此方程没有实数根．【点拨】本题考查求根公式法解一元二次方程，比较基础．38．（1）129,2x x ==-；（2）1212x x ==【分析】找出a ，b ，c 的值，计算出根的判别式的值，代入求根公式计算即可求出解．（1）解：①1,7,18a b c ==-=-，①224(7)41(18)1210b ac -=--⨯⨯-=>，①7112x ±==， 即129,2x x ==-；（2）解：24410x x -+=，①4,4,1a b c ==-=，①224(4)4410b ac -=--⨯⨯=， ①(4)01242x --±==⨯， 即1212x x ==． 【点拨】此题考查了解一元二次方程−公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键．39．（1）11x =，24x =；（2）1x ，2x =． 【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；（2）利用公式法解一元二次方程即可．解：（1）将左边分解因式得：()()140x x --=，①10x -=或40x -=，①11x =，24x =；（2）①1a =，1b =，1c =-，①()224141150b ac ∆=-=-⨯⨯-=>，①x ===，①1x =，2x =． 【点拨】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 40．（1）121,13x x ；（2）12317,44x x =-=（3）1252,2x x ==（4）1215,33x x == 【分析】（1）先计算4,= 再利用求根公式计算即可；（2）把原方程化为：273022x x -+=，再配方可得：272544x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，再利用直接开平方法解方程即可；（3）先移项，再提取公因式：()2,x - 再解方程即可；（4）可移项后把方程化为：()2419x -=，再利用直接开平方法解方程即可． （1）解：由24b ac ∆=-=16-4×3×1=4>0，故原方程有两个不同的解．x =42,6x -±= 121,13x x ∴=-=- （2）解：273022x x -+= 222777302442x x ⎛⎫⎛⎫-+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 272544x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 7542x ∴-=或75,42x -=- 12317,.44x x ∴=-= （3）解：()()22210x x ⎡⎤---=⎣⎦()()2250x x --=20x ∴-=或250,x -=1252,.2x x ∴== （4）解：()2419x -= 所以：213x -=± 1215,.33x x ∴== 【点拨】本题考查一元二次方程的各种解法，熟练掌握每种解法是解本题关键．41．（1）126,4x x ==-；（2）1222x x ==【分析】（1）根据配方法解一元二次方程的步骤计算可得答案；（2）移项后根据配方法解一元二次方程的步骤计算可得答案；．解：（1）22125x x -+=2(1)25x ∴-=15x ∴-=±126,4x x ∴==-；（2）①x 2﹣4x ＋1＝0①2443x x -+=①()223x -=①2x -=①1222x x ==【点拨】本题考查解一元二次方程，涉及配方法等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．42．（1）12x =，21x =-；（2）16x =，22x =-．【分析】（1）用直接开平方法求解即可；（2）根据分解因式法求解．解：（1）①（2x ﹣1）2＝9，①2x ﹣1＝3或2x ﹣1＝﹣3，解得：12x =，21x =-；（2）x 2﹣4x ﹣12＝0原方程可变形为()()620x x -+=，①x －6=0或x +2=0，①16x =，22x =-．【点拨】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法由直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键.43．（1）12122,1x x x x +=-=；（2）12123x x x x +==-；（3）121213,55x x x x +=-=-；（4）121251,66x x x x +==． 【分析】（1）（2）是一般式，先根据判别式确定根的情况，再利用韦达定理即可；（3）(4)先整理成一般式，再根据判别式确定根的情况，然后利用韦达定理即可．解：（1）①1,2,1a b c ===，且24440b ac -=-=， ①12122,1b c x x x x a a+=-=-==；（2）①1,3a b c ===-，且24212140b ac -=+=>，①12123b c x x x x a a+=-===-； （3）方程化为2530x x +-=，①5,1,3a b c ===-，且24160610b ac -=+=>， ①121213,55b c x x x x a a +=-=-==-； （4）方程化为26510x x -+=，①6,5a b ==-,1c =，且24252410b ac -=-=>，①121251,66b c x x x x a a +=-===． 【点拨】本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，掌握相关公式是解决本题的关键．44．（1）x 1＝﹣x 2＝﹣22）x 1＝1，x 2＝2．【分析】（1）利用公式法求解即可；（2）利用因式分解法求解即可．解：（1）x 2+4x ﹣1＝0，①a ＝1，b ＝4，c ＝﹣1，①①＝42﹣4×1×(﹣1)＝20＞0，则x ＝﹣2即x 1＝﹣x 2＝﹣2（2）(x ﹣1)(x +3)＝5(x ﹣1)，(x ﹣1)(x +3)﹣5(x ﹣1)＝0，(x ﹣1)(x ﹣2)＝0，则x ﹣1＝0或x ﹣2＝0，解得x 1＝1，x 2＝2．【点拨】本题考查了一元二次方程的解法，解题关键是熟记求根公式，熟练运用因式分解法解一元二次方程．45．（1）121,9x x ==；（2）无解【分析】（1）先将原方程整理为一般式，然后运用公式法求解即可；（2）先求出原方程的根的判别式∆<0，即可求解．解：（1）原方程化为 21090x x -+= ，2241049640b ac ∆=-=-⨯=> ，由求根公式得，=x 1082±=， 所以原方程的解为121,9x x == ；（2）22444491280b ac ∆=-=-⨯⨯=-< ，∴原方程无实数根．【点拨】本题主要考查了解一元二次方程——公式法，理解运用公式法解一元二次方程时要先求出根的判别式以确定根的情况是解题的关键．46．（1）14x =，24x =-；（2）15=x ，21x =-【分析】（1）移项，得216x =，根据平方根的定义，得4x =±．即14x =，24x =-．（2）根据平方根的定义，得23x -=±，即15=x ，21x =-．解：（1）2160x -=①2=16x①4x =±解得14x =，24x =-（2）2(2)9x -=①23x -=±①15=x ，21x =-【点拨】本题主要考查了用开方法解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握开方法.47．（1）1x =，2x =；（2）12x x ==． 【分析】（1）先判断0∆>，然后利用公式法解一元二次方程，即可得到答案；（2）先整理方程，判断0∆>，然后利用公式法解一元二次方程，即可得到答案； 解：（1）22310x x --=，224(3)42(1)170b ac ∆=-=--⨯⨯-=>，①x =①1x =，2x =； （2）2312042x x --=，则23820x x --=224(8)43(2)6424880b ac ∆=-=--⨯⨯-=+=>，则x ，解得：124433x x ==． 【点拨】本题考查了公式法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握公式法解方程．48．（1）1222x x =-=-2）1273,2x x ==- 【分析】（1）利用配方法求解可得答案；（2）利用因式分解法求解即可．解：（1）①x 2+4x ＝2，①x 2+4x +4＝2+4，即（x +2）2＝6，①x +2＝，①1222x x =-=-（2）①2x （x ﹣3）＝7（3﹣x ），①2x （x ﹣3）+7（x ﹣3）＝0，则（x ﹣3）（2x +7）＝0，①x ﹣3＝0或2x +7＝0， ①1273,2x x ==-． 【点拨】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．49．（1）123,5x x ==-；（2）121,3x x ==-．【分析】根据因式分解法解一元二次方程的方法求解即可．解：（1）x （x －3）－5（3－x ）＝0()()3530x x x -+-=()()350x x -+=解得：123,5x x ==-．（2）()()222230x x +-+-= ()()23210x x +-++=()()130x x -+=解得：121,3x x ==-．【点拨】此题考查了因式分解法解一元二次方程的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解法解一元二次方程的方法．50．（1）1232x x ==-；（2）11x =，22x =- 【分析】（1）可以用完全平方公式因式分解解一元二次方程；（2）可以用提公因式法解一元二次方程．解：（1）（2x +1）2+4（2x +1）+4＝0，（2x +1+2）2＝0．即2(23)0x +=，①1232x x ==-． （2）移项，得（3x -1）（x -1）-（4x +1）（x -1）＝0，即 -（x -1）（x +2）＝0，所以11x =，22x =-．【点拨】本题考查了一元二次方程的解法，熟练因式分解法解一元二次方程是解题的关键．51．（1）x 1=1，x 2=-5；（2）x 1=12-，x 2=3 【分析】（1）移项后利用直接开平方法求解可得；（2）利用公式法求解可得．解：（1）22(2)180x +-=，①22(2)18x +=，①2(2)9x +=，①23x +=或23x ，解得：x 1=1，x 2=-5；（2）22530x x --=，①a =2，b =-5，c =-3，①①=25-4×2×（-3）=49＞0，①x 解得：x 1=12-，x 2=3． 【点拨】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．52．（1）x 1＝x 2＝2）x 1＝﹣1，x 2＝32． 【分析】（1）利用配方法法解方程；（2）利用因式分解法解方程．解：（1）∵x 2﹣2x ﹣5＝0，。
用配方法求解一元二次方程解法(知识讲解)九年级数学上册基础知识讲与练
专题2.6 用配方法求解一元二次方程（知识讲解）【学习目标】1．了解配方法的概念，会用配方法解一元二次方程；2．掌握运用配方法解一元二次方程的基本步骤；3．通过用配方法将一元二次方程变形的过程，进一步体会转化的思想方法，并增强数学应用意识和能力.【要点梳理】知识点一、一元二次方程的解法---配方法在比较大小中二配方法解一元二次方程通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解；1、配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开；2、把常数项移到等号的右边；3、方程两边都除以二次项系数；4、方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式；5、若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解。
知识点二、配方法的应用1．用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．3．用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值．4．用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用．特别说明：“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同时对后期学习二次函数有着重要的作用，同学们一定要把它学好．【典型例题】类型一、用配方法解一元二次方程1.用配方法解方程：2+-=．23220x x【答案】1x =2x =- 【分析】将原方程二次项系数化1，用配方法求解.2x ⎫=⎪⎭22x = 299288x +=+ 2258x ⎛= ⎝x =∴ 1x 2x =-【点拨】本题考查一元二次方程的解法，配方法是常用方法，掌握配方法解方程的步骤是解答此题的关键.举一反三：【变式1】 用配方法解方程：22310x x -+=． 【答案】112x =，21x =． 【分析】利用配方法得到（x ﹣34）2=116，然后利用直接开平方法解方程即可． 解：x 2﹣32x =﹣12， x 2﹣32x +916=﹣12+916， （x ﹣34）2=116x ﹣34=±14， 所以x 1=12，x 2=1． 【点拨】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x +m ）2=n 的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．【变式2】 用配方法解方程：2x 2－4x －1＝0.【答案】x 11，x 2＝1解：根据配方法解方程即可．移项得，2x 2-4x =1，将二次项系数化为1得，2122x x -=， 配方得，x 2-2x +1=12+1，2312x -=（），∴1x -=，∴1211x x =+= 类型二、配方法在代数中的应用2．我们在学习一元二次方程的解法时，了解到配方法．“配方法”是解决数学问题的一种重要方法．请利用以上提示解决下题：求证：()1不论m 取任何实数，代数式()24419m m -++的值总是正数()2当m 为何值时，此代数式的值最小，并求出这个最小值．【答案】(1)证明见分析；（2）4.【分析】（1）此题考查了配方法，若二次项系数为1，则常数项是一次项系数的一半的平方，若二次项系数不为1，则可先提取二次项系数，将其化为1后再计算．（2）根据（1）4m 2-4（m+1）+9=（2m -1）2+4得出m 取12时代数式的值最小，最小值是4．解：（1）()24419m m -++ 24449m m =--+2445m m =-+2(21)4m =-+；∴不论m 取任何实数，代数式()24419m m -++的值总是正数．()2由（1）()224419(21)4m m m -++=-+得：12m =时，此代数式的值最小，这个最小值是：4． 【点拨】此题考查了配方法的应用，解题时要根据配方法的步骤进行解答，注意在变形的过程中不要改变式子的值．举一反三：【变式1】 我们可以用以下方法求代数式265x x ++的最小值．()22222652333534x x x x x ++=+⋅⋅+-+=+-∴()230x +≥∴()2443x -≥-+∴当3x =-时，265x x ++有最小值4-．请根据上述方法，解答下列问题：(1)求代数式242x x -+的最小值；(2)求代数式269x x -++的最大或最小值，并指出它取得最大值或最小值时x 的值；(3)求证：无论x 和y 取任何实数，代数式2221066211x y xy x y +---+的值都是正数．【答案】(1)-2 (2)当3x =时，269x x -++有最大值18 (3)证明见分析【分析】（1）根据题中所给方法进行求解即可；（2）由题中所给方法可得()2269318x x x -++=--+，然后问题可求解；（3）由题意可得()()()22222210662113131x y xy x y x y x y +---+=-+-+-+，进而问题可求解．(1) 解：由题意得： ()22222422222222x x x x x -+=-⋅⋅+-+=--，∴()220x -≥∴()2222x --≥-∴当2x =时，242x x -+有最小值2-．(2) 由题意得：()2269318x x x -++=--+，∴()230x --≤∴()231818x --+≤∴当3x =时，269x x -++有最大值18．(3) 由题意得：2221066211x y xy x y +---+ =22222169169x y y x xy y x +-++++--+=()()()2223131x y x y -+-+-+；∴()()()22230,10,30x y x y -≥-≥-≥∴()()()22231311x y x y +-+--+≥，∴无论x 和y 取任何实数，代数式2221066211x y xy x y +---+的值都是正数．【点拨】本题主要考查配方法的应用及完全平方公式，熟练掌握配方法及完全平方公式是解题的关键．【变式2】 先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：例题：求代数式y2+4y+8的最小值．解：y2+4y+8＝y2+4y+4+4＝（y+2）2+4∴（y+2）2≥0∴（y+2）2+4≥4∴y2+4y+8的最小值是4．（1）求代数式m2+m+4的最小值；（2）求代数式4﹣x2+2x的最大值；（3）某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m）的空地上建一个长方形花园ABCD，花园一边靠墙，另三边用总长为20m的栅栏围成．如图，设AB＝x（m），请问：当x取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？【答案】（1）154；（2）5；（3）当x＝5m时，花园的面积最大，最大面积是50m2【分析】（1）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最小值；（2）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最大值；（3）根据题意列出关系式，配方后根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最大值以及x的值即可．解：（1）m2+m+4＝（m+12）2+154，∴（m+12）2≥0，∴（m+12）2+154≥154，则m2+m+4的最小值是154；（2）4﹣x2+2x＝﹣（x﹣1）2+5，∴﹣（x﹣1）2≤0，∴﹣（x﹣1）2+5≤5，则4﹣x2+2x的最大值为5；（3）由题意，得花园的面积是x（20﹣2x）＝﹣2x2+20x，∴﹣2x2+20x＝﹣2（x﹣5）2+50∴﹣2（x﹣5）2≤0，∴﹣2（x﹣5）2+50≤50，∴﹣2x2+20x的最大值是50，此时x＝5，则当x＝5m时，花园的面积最大，最大面积是50m2．【点拨】此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．类型三、配方法在几何中的应用3．如图所示，点P的坐标为（1，3），把点P绕坐标原点O逆时针旋转90°后得到点Q．（1）写出点Q的坐标是________；M m n落（2）若把点Q向右平移a个单位长度，向下平移a个单位长度后，得到的点(,)在第四象限，求a的取值范围；（3）在（2）条件下，当a取何值，代数式2+25m n+取得最小值.【答案】（1）Q(-3，1)（2）a>3（3）0【分析】(1)如图，作PA∴x轴于A，QB∴x轴于B，则∴PAO=∴OBQ=90°，证明∴OBQ∴∴PAO(AAS)，从而可得OB=PA，QB=OA，继而根据点P的坐标即可求得答案；(2)利用点平移的规律表示出Q′点的坐标，然后根据第四象限点的坐标特征得到a的不等式组，再解不等式即可；(3)由(2)得，m=-3+a，n=1-a，代入所求式子得225=-（），继而根据偶次方a++2m n4的非负性即可求得答案.解：(1)如图，作PM∴x轴于A，QN∴x轴于B，则∴PAO=∴OBQ=90°，∴∴P+∴POA=90°，由旋转的性质得：∴POQ=90°，OQ=OP，∴∴QOB+∴POA=90°，∴∴QOB=∴P，∴∴OBQ∴∴PAO(AAS)，∴OB=PA，QB=OA，∴点P的坐标为(1，3)，∴OB=PA=3，QB=OA=1，∴点Q的坐标为(-3，1)；(2)把点Q(-3，1)向右平移a个单位长度，向下平移a个单位长度后，得到的点M的坐标为(-3+a，1-a)，而M在第四象限，所以-30 10aa+>⎧⎨-<⎩，解得a>3，即a的范围为a>3；(3)由(2)得，m=-3+a，n=1-a，∴2225(3)2(1)5m n a a++=-+-+269225a a a=-++-+2816a a=-+24a=-（），∴240a-≥（），∴当a=4时，代数式225m n++的最小值为0.【点拨】本题考查了坐标与图形变换-旋转，象限内点的坐标特征，解不等式组，配方法在求最值中的应用等，综合性较强，熟练掌握相关知识是解题的关键.举一反三：【变式1】我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．例：已知x可取任何实数，试求二次三项式x2+6x﹣1最小值．解：x2+6x﹣1＝x2+2×3•x+32﹣32﹣1＝（x+3）2﹣10∴无论x取何实数，总有（x+3）2≥0．∴（x+3）2﹣10≥﹣10，即x2+6x﹣1的最小值是﹣10．即无论x取何实数，x2+6x﹣1的值总是不小于﹣10的实数．问题：（1）已知：y ＝x 2﹣4x +7，求证：y 是正数．知识迁移：（2）如图，在Rt △ABC 中，∴C ＝90°，AC ＝6cm ，BC ＝4cm ，点P 在边AC 上，从点A 向点C 以2cm/s 的速度移动，点Q 在CB的速度从点C 向点B 移动．若点P ，Q 均以同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，设△PCQ 的面积为S cm 2，运动时间为t 秒，求S 的最大值．【答案】（1）见分析；（2）当t ＝32时，S 【分析】（1）根据例题中的配方求最值；（2）根据三角形的面积公式求出S 和t 的关系式，再利用配方求最值．解：（1）y ＝x 2﹣4x +7＝x 2﹣4x +4+3＝（x ﹣2）2+3．∴（x ﹣2）2≥0．∴y ≥0+3＝3．∴y ＞0．∴y 是正数．（2）由题意：AP ＝2t ，CQ，PC ＝6﹣2t ．（0≤t ∴S ＝12PC •CQ ．＝12（6﹣2t ）2t 2﹣3t ）t ﹣32）2 ∴（t ﹣32）2≥0．∴当t ＝32时，S 【点拨】本题考查利用配方求最值，正确配方是求解本题的关键．【变式2】 已知a 、b 是等腰∴ABC 的两边长，且满足a 2+b 2-8a -4b+20=0，求a 、b 的值．【答案】a=4，b=2．【分析】利用配方法把原式化为平方和的形式，根据偶次方的非负性求出a、b，计算即可解：a2+b2-8a-4b+20=0，a2-8a+16+b2-4b+4=0，(a-4)2+(b-2)2=0a-4=0，b-2=0，a=4，b=2．【点拨】本题考查的是配方法的应用、非负数的性质，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键．。
九年级上册数学基础训练题
九年级上册数学基础训练题前言本文档为九年级上册数学基础训练题，旨在帮助学生巩固数学基础知识，提高数学解题能力。
以下内容包括了常见的数学基础训练题目，每题皆配有详细的解题步骤，希望能对学生有所帮助。
一、整数运算1.计算：$(-45) + (-72) = $?解：(−45)+(−72)=−1172.计算：$(-98) - 43 = $?解：(−98)−43=−1413.计算：$(-32) \times 5 = $?解：$(-32) \\times 5 = -160$4.计算：$(-75) \div 3 = $?解：$(-75) \\div 3 = -25$二、代数运算1.化简：$2x + 5y - 3x + 2y = $?解：2x+5y−3x+2y=−x+7y2.求解方程：3(x−4)=2x+5解：3(x−4)=2x+53x−12=2x+5x=17三、几何1.计算三角形的面积：已知底边长为6cm，高为8cm，求三角形的面积。
解：三角形的面积$S = \\frac{1}{2} \\times 底 \\times 高 = \\frac{1}{2} \\times 6 \\times 8 = 24 cm^2$2.计算正方体的体积：一边长为5cm的正方体的体积是多少？解：正方体的体积V=边长3=53=125cm3四、实数运算1.计算：$\sqrt{16} + \sqrt{25} = $?解：$\\sqrt{16} + \\sqrt{25} = 4 + 5 = 9$2.计算：$\frac{3}{5} + \frac{1}{3} = $?解：$\\frac{3}{5} + \\frac{1}{3} = \\frac{9}{15} + \\frac{5}{15} = \\frac{14}{15}$五、方程方程组1.求解方程组：2x+3y=85x−2y=1解：2x+3y=85x−2y=1解得$x = \\frac{17}{19}$，$y = \\frac{10}{19}$六、综合题1.小明用一个长方形围成了一块正方形的围墙，长方形的长是正方形边长的$2\\sqrt{2}$倍，宽是正方形边长的$\\sqrt{2}$倍，已知围墙的周长是56m，求围墙的面积。
九年级数学经典计算题
人教版数学九年级上学期课时练习- 实际问题与一元二次方程(基础篇)(人教版)
专题21.19 实际问题与一元二次方程（基础篇）（专项练习）一、单选题类型一、传播问题1．台山某学校某个宿舍同学毕业时都将自己的照片向全宿舍其他同学各送一张表示留念，全宿舍共送56张照片，设该宿舍共有x 名同学，根据题意，列出方程为（ ）A ．(1)56x x +=B ．(1)56x x -=C ．2(1)56x x +=D ．(1)562x x -=⨯2．鸡瘟是一种传播速度很快的传染病，一轮传染为一天的时间，某养鸡场于某日发现一例鸡瘟病例，两天后发现共有169只鸡患有这种病．若每例病鸡传染健康鸡的只数均相同，则每只病鸡传染健康鸡的只数为（ ）A ．11只B ．12只C ．13只D ．14只类型二、增长率问题3．某企业去年的年产值为42亿元，预计今年比去年增长x ，假设明年的增长率与今年相同，则明年的年产值可表示为（ ）亿元.A ．84xB ．42(1+2x )C ．42(1+x )2D ．42(1+x )4．以2008年我国第一条设计时速350千米的京津城际铁路建成运营为标志，一大批高铁相继建成投产，“高铁里程世界第一”支撑起一个充满繁荣与发展活力的“流动中国”．据统计，从2019年至2021年我国高铁的运营总里程由3.5万千米增加到4万千米．设我国2019年至2021年高铁总里程的年平均增长率为x ，则可列方程为（ ）A ．()23.514x += B ．()3.5124x +=C ．()3.5214x ⨯+=D ．()()23.5 3.51 3.514x x ++++=类型三、与图形有关的问题5．南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除算法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步．”意思是：一块矩形田地的面积是864平方步，它的宽和长共60步，问它的宽和长各多少步？设它的宽为x 步，则可列方程为（ ）A ．()60864x x ⋅+=B ．()602864x x ⋅-=C ．()30864x x ⋅-=D ．()60864x x ⋅-=6．如图，一次函数y ＝2x +3的图像交y 轴于点A ，交x 轴于点B ，点P 在线段AB 上（不与A ，B 重合），过点P 分别作OB 和OA 的垂线，垂足分别为C ，D ．当矩形OCPD 的面积为1时，点P 的坐标为（）A ．(,)122-B ．（-1，1）C ．(,)122-或（-1，1） D ．不存在类型四、数字问题7．一个两位数的两个数字的和为9，把这个两位数的个位数字与十位数字互换得到一个新的两位数，它与原两位数的积为1458，设原两位数的个位数字为x ，则可列方程（ ）A ．()()91091458x x x x -++-=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦B ．()()991458x x x x -++-=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦C ．()()1091091458x x x x -++-=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦D ．()()10991458x x x x -++-=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 8．如图所示的是某月的日历表，在此日历表上可以按图示形状圈出位置相邻的6个数(如：8，14，15，16，17，24)．如果圈出的6个数中，最大数x 与最小数的积为225，那么根据题意可列方程为( )A ．x (x +8)=225B ．x (x +16)=225C ．x (x ﹣16)=225D ．(x +8)(x ﹣8)=225类型五、营销问题9．某种服装平均每天可销售20件，每件盈利44元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售5件，如果每天要盈利1600元，每件降价多少元？设每件降价x 元，则可列方程为（ ）A ．()()442051600x x ++=B ．()()442051600x x -+=C ．()()442051600x x --=D ．()()44102051600x x -+=10．某超市购进一批商品，单价40元．经市场调查，销售定价为52元时，可售出180个，定价每增加1元，销售量减少10个，因受库存的影响，每批次进货个数不得超过180个，超市若将准备获利2000元，则定价为多少元？（ ）A ．50B ．60C ．50或60D ．100类型六、动态几何问题11．如图，AB⊥BC ，AB ＝10 cm ，BC ＝8 cm ，一只蝉从C 点沿CB 方向以每秒1 cm 的速度爬行，蝉开始爬行的同时，一只螳螂由A 点沿AB 方向以每秒2 cm 的速度爬行，当螳螂和蝉爬行x 秒后，它们分别到达了M ，N 的位置，此时，△MNB 的面积恰好为24 cm2，由题意可列方程( )A ．2x·x ＝24B ．(10－2x)(8－x)＝24C ．(10－x)(8－2x)＝24D ．(10－2x)(8－x)＝48 12．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝4cm ，BC ＝3cm ，动点P ，Q 分别从点A ，B 同时开始移动（移动方向如图所示），点P 的速度为12cm /s ，点Q 的速度为1cm /s ，点Q 移动到点C 后停止，点P 也随之停止运动，若使△PBQ 的面积为2154cm ，则点P 运动的时间是（ ）A ．2sB ．3sC ．4sD ．5s类型七、其他问题13．某校九年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，每两班之间都进行两场比赛，共需比赛12场，则九年级班级的个数为（ ）A ．6B ．5C ．4D ．314．中国——东盟博览会、商务与投资峰会期间，在某个商品交易会上，参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了450份合同．设共有x 家公司参加商品交易会，根据题意，可列方程为（ ）A ．(1)450x x +=B ．(1)450x x -=C ．1(1)4502x x +=D ．1(1)4502x x -=二、填空题类型一、传播问题15．由于许多国外国家直接放开防空政策，导致新冠肺炎疫情至今没能得到缓解，疫情难以消停.新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未尽进行有效隔离，经过两轮传染后共有121人患新冠肺炎（假设每轮传染的人数相同），则每轮传染中平均每个人传染了__________人.16．已知3人患流感，经过两轮传染后，患流感总人数为108人，则平均每人每轮感染_____个人．类型二、增长率问题17．某厂家2021年1～5月份的口罩产量统计图如图所示，3月份口罩产量不小心被墨汁覆盖，已知2月份到4月份该厂家每个月口罩产量的月增长率都相同，则3月份口罩产量为_______万只．18．受益于电子商务的发展以及法治环境的改善等多重因素，“快递业”成为我国经济的一匹“黑马”．2018年我国快递业务量为500亿件，2020年快递量预计将达到740亿件，若设快递量平均每年增长率为x ，则所列方程为_________．类型三、与图形有关的问题19．要利用一面很长的围墙和100米长的隔离栏建三个如图所示的矩形羊圈，若计划建成的三个羊圈总面积为400平方米，则羊圈的边长AB 为多少米?设AB=x 米，根据题意可列出方程的为_________．20．公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图阴影部分），原空地一边减少了1m ，另一边减少了2m ，剩余空地的面积为20m 2，设原正方形空地的边长为x m ．则可列出的方程是______．类型四、数字问题21．已知一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位上的数字与十位上的数字的平方和比这个两位数小4，则这个两位数是___．22．两个相邻偶数的积是168．求这两个偶数．若设较小的偶数为x ，列方程为______．类型五、营销问题23．某商店以30元的价格购进了一批服装，若按每件50元出售，一个月内可销售100件；当售价每提价1元时，其月销售量就减少5件．当利润达到1875元时，设售价提价x 元，则可列方程为____________．24．某商品进价为3元，当售价为x 元时可销售商品（x ＋3）个，此时获利160元，则该商品售价为____________元．类型六、动态几何问题25．如图，在矩形ABCD 中，10cm,8cm AB AD ==，点P 从点A 出发沿AB 以2cm /s 的速度向点B 运动，同时点Q 从点B 出发沿BC 以1cm/s 的速度向点C 运动，点P 到达终点后，P 、Q 两点同时停止运动，则__秒时，BPQ ∆的面积是26cm ．26．如图，在Rt ABC 中，50m AC =，40m CB =，90C ∠=︒，点P 从点A 开始沿AC 边向点C 以2m /s 的速度移动，同时另一个点Q 从点C 开始沿CB 以3m /s 的速度移动，当⊥PCQ 的面积等于450m 2时，经过的时间是____．类型七、其他问题27．八年级的一个兴趣小组新成员见面时相互握手表示友好，共握了15次手，则该小组共有成员_______人．28．已知正比例函数()0y kx k =≠的图象经过第一、三象限，且经过点（k ，k +2），则k =________．三、解答题29．为了响应“践行核心价值观，传递青春正能量”的号召，小颖决定走入社区号召大家参加“传递正能量志愿服务者”．假定从一个人开始号召，每一个人每周能够号召相同的m 个人参加，被号召参加的人下一周会继续号召，两周后，将有121人被号召成为“传递正能量志愿服务者”．(1)求出m 的值；(2)经过计算后，小颖、小红、小丽三人开始发起号召，但刚刚开始，他们就发现了问题，实际号召过程中，不是每一次号召都可以成功，而他们三人的成功率也各不相同，已知小红的成功率比小颖的两倍少10%，第一周后小丽比小颖多号召2人，三人一共号召17人，其中小颖号召了n 人．请分别求出他们三人号召的成功率．30．随着我国数字化阅读方式的接触率和人群持续增多，数字阅读凭借独有的便利性成为了更快获得优质内容的重要途径，目前，数字阅读已经成为当下更环保、更年轻的阅读方式，2019年中国数字阅读市场规模为293亿元，2021年为421.92亿元．(1)求2019到2021年中国数字阅读市场规模的年平均增长率；(2)预计2022年中国数字阅读市场规模是否可以达到510亿元？31．如图，在一块长为7米，宽为6米的长方形花坛里，栽种同样宽度的两条粉色花带，剩余部分栽种黄色花，要使栽种黄色花的面积为30平方米，求粉色花带的宽应为多少米？32．解读诗词(通过列方程算出周瑜去世时的年龄)：大江东去浪淘尽，千古风流数人物，而立之年督东吴，早逝英年两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符，哪位学子算得快，多少年华属周瑜？诗词大意：周瑜三十岁当东吴都督，去世时的年龄是两位数，十位数字比个位数字小三，个位数字的平方等于他去世时的年龄．33．在刚刚过去的“五一”假期中，某超市为迎接“五一”小长假购物高潮，经销甲、乙两种品牌的洗衣液．市场上甲种品牌洗衣液的进价比乙种品牌洗衣液的进价每瓶便宜10元，该超市用6000元购进的甲种品牌洗衣液与用8000元购进的乙种品牌洗衣液的瓶数相同．(1)求甲、乙两种品牌的洗衣液的进价；(2)在销售中，该超市决定将甲种品牌的洗衣液以每瓶45元售出，每天固定售出100瓶；但调查发现，乙种品牌的洗衣液每瓶售价50元时，每天可售出140瓶，并且当乙种品牌的洗衣液每瓶售价每提高1元时，乙种品牌的洗衣液每天就会少售出2瓶，当乙种品牌的洗衣液的每瓶售价为多少元时，两种品牌的洗衣液每天的利润之和可达到4700元？34．如图，已知AB⊥BC，AB＝12 cm，BC＝8 cm．动点M从点A沿AB方向以2 cm/s 的速度向点B运动，同时动点N从点C沿CB方向以1 cm/s的速度也向点B运动，其中一点到达B点时另一点也随之停止．当⊥MNB的面积为24 cm2时，求它们运动的时间．n（n－3）．如35．阅读下面内容，并答题：我们知道，计算n边形的对角线条数公式为12n（n－3）＝20．解得n＝8或n＝－5果一个n边形共有20条对角线，那么可以得到方程12（舍去），⊥这个n边形是八边形．根据以上内容，问：(1)若一个多边形共有9条对角线，求这个多边形的边数；(2)小明说：“我求得一个n边形共有10条对角线”，你认为小明同学的说法正确吗？为什么？参考答案1．B【分析】如果宿舍有x名同学，那么每名同学要送出（x-1）张，共有x名学生，那么总共送的张数应该是x（x-1）张，即可列出方程．解：⊥宿舍有x名同学，⊥每名同学要送出（x-1）张；又⊥是互送照片，⊥总共送的张数应该是x（x-1）=56．故选B．【点拨】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，计算宿舍共送多少张，首先确定一个人送出多少张是解题关键．2．B【分析】设每只病鸡传染健康鸡x只，则第一天有x只鸡被传染，第二天有x（x+1）只鸡被传染，所以经过两天的传染后感染患病的鸡共有：x +1 +x（x+1）只，根据经过两天的传染后使鸡场感染患病的鸡169，为等量关系列出方程求出符合题意的值即可．解：设每只病鸡传染健康鸡x只，由题意得：x+1+x（x+1）＝169，整理，得x2+2x﹣168＝0，解，得x1＝12，x2＝﹣14（不符合题意舍去）．答：设每只病鸡传染健康鸡12只．故选：B．【点拨】本题主要考查一元二次方程的应用，关键在于找出等量关系（经过两天感染患病的鸡一定）列出方程求解．3．C【分析】根据等量关系：去年的年产值×（1+x）2=明年的年产值列出代数式即可．解：明年的年产值可表示为42（1+x）2，故选：C．【点拨】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系是解答的关键．4．A【分析】先用x表示出2020年我国高铁的运营总里程，再表示出2021年我国高铁的运营总里程，然后根据已知条件列方程即可．解：2020年我国高铁的运营总里程：()3.51x +，2021年我国高铁的运营总里程：()()()23.511 3.51x x x ++=+，根据题意，可列方程为：()23.514x +=．故选A ．【点拨】本题考查了一元二次方程的应用中的增长率问题，解题的关键是要读懂题目的意思，找到等量关系．5．D【分析】设它的宽为x 步，则长为(60-x )步，根据面积列出方程即可得出结果．解：设它的宽为x 步，则长为(60-x )步，∴x (60-x )=864，故选：D ．【点拨】题目主要考查一元二次方程的应用，理解题意是解题关键．6．C【分析】设(,23)P a a +，由题意可得302a -<<，则23PC a =+，PD a =-，列方程求解即可． 解：设(,23)P a a +， 由题意可得：3(,0)2B ，(0,3)A 点P 在线段AB 上（不与A ，B 重合），则302a -<< ⊥23PC a =+，PD a =-，由题意可得：(23)1a a -+=，即22310a a ++=，解得：1a =-或12a =-，均符合题意， 即(1,1)P -，或1(,2)2P - 故选：C【点拨】此题考查了一元二次方程的应用，涉及了一次函数的性质，解题的关键是设点P 坐标，根据题意列出方程．7．C【分析】根据题意易得原两位数的十位数字为9-x，然后可根据题意进行列方程排除选项．解：由题意得：原两位数的十位数字为9-x，则有，()()x x x x-++-=1091091458⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦；故选C．【点拨】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键．8．C【分析】最大数为x，则我们只需要将最小数用x表示出来即可列出方程．解：⊥最大数为x，⊥最小数用x表示为：x-16，⊥列方程为：x(x﹣16)=225，故选：C【点拨】本题考查列一元二次方程，解题关键是根据题干找出等量关系式，然后根据等量关系式来列方程．9．B【分析】关系式为：每件服装的盈利×（原来的销售量+增加的销售量）=1600，为了减少库存，计算得到降价多的数量即可．解：设每件服装降价x元，根据题意，得：（44-x）（20+5x）=1600，故选：B．【点拨】此题主要考查了一元二次方程的应用，得到现在的销售量是解决本题的难点；根据每天盈利得到相应的等量关系是解决本题的关键．10．B【分析】设每个定价为x元，则销售量为（700-10x）个，根据总利润=销售每个的利润×销售数量，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．解：设每个定价为x 元，则销售量为180-10（x -52）=（700-10x ）个，依题意得：（x -40）（700-10x ）=2000，整理得：x 2-110x +3000=0，解得：x 1=50，x 2=60．当x =50时，700-10x =200＞180，不合题意，舍去；当x =60时，700-10x =100，符合题意．答：每个定价为60元．故选：B ．【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．11．D解：设x 秒后，螳螂走了 2x ,蝉走了x ,MB =10-2x ,NC =8-x, 由题意知12(10－2x )(8－x )＝24, (10－2x)(8－x)＝48,选D.12．B【分析】设出动点P ，Q 运动t 秒，能使△PBQ 的面积为2154cm ，用t 分别表示出BP 和BQ 的长，利用三角形的面积计算公式即可解答．解：设动点P ，Q 运动t 秒后，能使△PBQ 的面积为2154cm ， 则BP 为（4﹣12t ）cm ，BQ 为tcm ，由三角形的面积计算公式列方程得，12×（4﹣12t ）×t ＝154， 解得t 1＝3，t 2＝5（当t ＝5时，BQ ＝10，不合题意，舍去）．∴动点P ，Q 运动3秒时，能使△PBQ 的面积为2154cm ． 故选B ．【点拨】此题考查一元二次方程的应用，借助三角形的面积计算公式来研究图形中的动点问题．13．C【分析】设九年级共有x 个班，根据“每两班之间都进行两场比赛，且共需安排12场比赛”，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出九年级的班级数．解：设九年级共有x 个班，依题意得： x （x -1）=12，整理得：2120x x --=，解得：13x =-（不合题意，舍去），24x =．故选：C ．【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．14．D【分析】每家公司都与其他公司鉴定了一份合同，设有x 家公司参加，则每个公司要签(x －1) 份合同，然后根据题意即可列出方程．解：设有x 家公司参加， 由题意得：1(1)4502x x -=． 故选：D ．【点拨】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是明确甲、乙之间互签合同，只能算一份，本题属于不重复记数问题，类似于若干个人，每两个人之间都握手，握手总次数；或者平面内，n 个点(没有三点共线)之间连线，所有线段的条数．15．10【分析】设每轮传染中平均每个人传染了x 个人，根据“若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有121人患新冠肺炎”，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．解：设每轮传染中平均每个人传染了x 个人，根据题意得：()21121x +=，解得：110x =，212x =-（舍去），即每轮传染中平均每个人传染了10人．故答案为：10．【点拨】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题目中的等量关系列出方程是解题的关键．16．5【分析】设1个人传染x 人，第一轮共传染（x +1）人，第二轮共传染（x +1）2人，由此列方程解答，再进一步求问题的答案．解：设每个人传染x 人，根据题意列方程得，3（x +1）2=108，解得：x 1=5，x 2=-8（不合题意，舍去），故答案为：5．【点拨】此题考查了一元二次方程的应用，解答此题的关键是找出题目中蕴含的数量关系：1个人传染x 人，n 轮共传染（x +1）n 人．17．240【分析】设2月份到4月份的增长率为x ，利用2月份的口罩数量214⨯+=（增长率）月份的口罩数量，列方程求出x 的值，然后求出3月份口罩产量；解：设2月份到4月份的增长率为x ，根据题意得22001288x +=（），解得：120.220 2.2x x ===-％,（舍去），⊥3月份口罩产量为()200120240⨯+％=万只，故答案为：240．【点拨】本题考查折线统计图，一元二次方程的实际应用-百分率问题，解题关键正确理解题意．18．2500(1)740x +=【分析】设快递量平均每年增长率为x ，根据“2018年我国快递业务量为500亿件，2020年快递量预计将达到740亿件”，即可得到关于x 的一元二次方程．解：由题意可列方程：2500(1)740x +=故答案为：2500(1)740x +=．【点拨】本题考查了一元二次方程的增长率问题，找准数量关系是解题的关键． 19．x （100-4x ）=400【分析】由题意，得BC 的长为（100-4x ）米，根据矩形面积列方程即可.解：设AB 为x 米，则BC 的长为（100-4x ）米由题意，得x （100-4x ）=400故答案为：x （100-4x ）=400.【点拨】本题主要考查了一元二次方程的实际问题，解决问题的关键是通过图形找到对应关系量，根据等量关系式列方程.20．()()1220x x --=【分析】可设原正方形的边长为x m ，则剩余的空地长为()1x -m ，宽为()2x -m ．根据长方形的面积公式列出方程即可．解：设原正方形空地的边长为xm ，根据题意，得：()()1220x x --=．故答案为()()1220x x --=．【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，应熟记长方形的面积公式，另外求得剩余的空地的长和宽是解决本题的关键．21．84【分析】等量关系为：个位上的数字与十位上的数字的平方和＝这个两位数﹣4，把相关数值代入求得整数解即可．解：设十位上的数字为x ，则个位上的数字为（x ﹣4）．可列方程为：x 2+（x ﹣4）2＝10x +（x ﹣4）﹣4解得：x 1＝8，x 2＝1.5（舍），⊥x ﹣4＝4，⊥10x+（x﹣4）＝84．答：这个两位数为84．故答案为：84【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．x x+=22．()2168【分析】设较小的偶数为x，则较大的偶数是(x+2)，列方程即可．解：设较小的偶数为x，则较大的偶数是(x+2)，⊥两个相邻偶数的积是168，x x+=，⊥()2168x x+=．故答案为：()2168【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意，表示出较大的相邻偶数是解题的关键．23．5x2-125=0【分析】根据“每月售出服装的利润=每件的利润×每周的销售量”可得1875=(50+x-30)(100-5x)，然后整理即可解答．解：根据题意得出：1875=(50+x−30)（100-5x）整理得：5x2-125=0故答案为：5x2-125=0．【点拨】本题主要考查了根据实际问题列一元二次方程，理解每件利润以及其销量是解答本题的关键．24．13【分析】由题意直接根据“获利是160元”，即销售商品的个数×每件的盈利=获利，可列出方程，解方程即可求解．解：根据题意得（x-3）（x+3）=160解方程得x=13或x=-13（负值舍去）所以该商品的售价为13元．故答案为：13．【点拨】本题考查一元二次方程的实际应用，找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．25．2或3##3或2【分析】设t 秒后BPQ ∆的面积是26cm ，则()102PB t cm =-，BQ t =cm ，列方程即可求解． 解：设运动时间为t 秒，则()102PB t cm =-，BQ t =cm ， 依题意得：()110262t t -=， 整理得：2560t t -+=，解得：12t =，23t =．2∴或3秒时，BPQ ∆的面积是26cm ．故答案为：2或3．【点拨】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．26．10s【分析】设当⊥PCQ 的面积等于450m 2时，经过的时间是s t ，根据题意得：2cm AP t = ，3cm CQ t = ，从而得到()502cm PC t =-，再由12PCQ S PC QC =⋅△ ，可得到关于t 的方程，即可求解．解：设当⊥PCQ 的面积等于450m 2时，经过的时间是s t ，根据题意得：2cm AP t = ，3cm CQ t = ，⊥50m AC =，40m CB =，⊥()502cm PC t =- ，⊥90C ∠=︒， ⊥12PCQ S PC QC =⋅△ ， ⊥⊥PCQ 的面积等于450m 2，⊥()150234502t t -⋅= ， 解得：1210,15t t == ，⊥点Q 从点C 开始沿CB 以3m /s 的速度移动， ⊥403t ≤ ， ⊥10t = ，即当⊥PCQ 的面积等于450m 2时，经过的时间是10s ．故答案为：10s【点拨】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，得到关于t 的方程是解题的关键．27．6【分析】设八年级的一个兴趣小组一共有x 个人，则一共握手的次数为()12x x -，得到方程(1)152x x -=即可解决问题. 解：设八年级的一个兴趣小组一共有x 个人，根据题意得：(1)152x x -= ， 解得x 1=-5（舍去），x 2=6，答：这个兴趣小组一共有6人.【点拨】本题考查列一元二次方程解决实际问题，解决问题的关键是确定满足题意的等量关系.28．2【分析】先根据正比例函数的图象可得0k >，再将点(,2)k k +代入函数的解析式可得一个关于k 的一元二次方程，解方程即可得． 解：正比例函数()0y kx k =≠的图象经过第一、三象限，0k ∴>，由题意，将点(,2)k k +代入函数()0y kx k =≠得：22k k =+，解得2k =或10k =-<（舍去），故答案为：2．【点拨】本题考查了正比例函数的图象、一元二次方程的应用，熟练掌握正比例函数的图象特点是解题关键．29．(1)10 (2)所以小颖的成功率为40%，小红的成功率为70%，小丽的成功率为60%【分析】（1）根据“每一个人每周能够号召相同的m 个人参加，被号召参加的人下一周会继续号召，两周后，将有121人被号召成为“传递正能量志愿服务者”．”列出方程，即可求解；（2）根据题意，得小颖号召了n 人.小丽号召了（n +2）人，小红号召了[17-（n +2）-n ]=（15-2n ）人，从而得到小颖的成功率为10n ，小红的成功率为15210n -，小丽的成功率为210n +，再根据“小红的成功率比小颖的两倍少10%，”列出方程，即可求解．(1)解：根据题意得：m （m +1）+m +1=121，即（m +1）2=121，⊥m +1=±11，解得：m 1=10，m 2=-12（舍去）答：m 的值为10；(2)解：根据题意，得小颖号召了n 人，小丽号召了（n +2）人，小红号召了[17-（n +2）-n ]=（15-2n ）人，⊥小颖的成功率为10n ，小红的成功率为15210n -，小丽的成功率为210n +， ⊥小红的成功率比小颖的两倍少10%， ⊥152210%1010n n -⨯-=， 解得：n =4，⊥所以小颖的成功率为440%10=，小红的成功率为152470%10-⨯=，小丽的成功率为4260%10+=， 答：所以小颖的成功率为40%，小红的成功率为70%，小丽的成功率为60%．【点拨】本题主要考查了一元二次方程的应用，一元一次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．30．(1)20% (2)不可以【分析】（1）设2019到2021年中国数字阅读市场规模的年平均增长率为x ．根据题意列出一元二次方程并求解即可．（2）根据题意求出2022年中国数字阅读市场规模，再进行判断即可．(1)解：设2019到2021年中国数字阅读市场规模的年平均增长率为x ．根据题意可得()22931421.92x +=．解得10.2x =，2 2.2x =-（舍）．所以0.2=20%．答：2019到2021年中国数字阅读市场规模的年平均增长率为20%．(2)解：()421.92120%506.304⨯+=亿元．⊥506.304<510，⊥2022年中国数字阅读市场规模不可以达到510亿元．答：2022年中国数字阅读市场规模不可以达到510亿元．【点拨】本题考查一元二次方程的实际应用，有理数的混合运算，熟练掌握这些知识点是解题关键．31．1米【分析】设粉色花带的宽为x 米，则剩余部分可合成长（7-x ）米，宽（6-x ）米的长方形，根据栽种黄色花的面积为30平方米，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其合适的值即可得出结论．解：设粉色花带的宽为x 米，则剩余部分可合成长（7-x ）米，宽（6-x ）米的长方形，依题意得：（7-x ）（6-x ）=30，整理得：x 2-13x +12=0，解得：x 1=1，x 2=12（不合题意，舍去）．答：粉色花带的宽应为1米．【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．32．周瑜去世时的年龄为36岁【分析】设周瑜去世时的年龄的个位数字为x ，则十位数字为3x -根据题意建立方程()2310x x x +=-求出其值即可．解：设周瑜去世时的年龄的个位数字为x ，则十位数字为3x -，依题意得：()2310x x x +=-，解得15=x ，26x =，当5x =时，2530<，（不合题意，舍去），当6x =时，3630>（符合题意），答：周瑜去世时的年龄为36岁．【点拨】本题是一道数字问题的应用题，考查了列一元二次方程解实际问题的运用，在解答中根据题意设未知数，列出正确的方程是解题的关键．33．(1)甲种品牌的洗衣液的进价为30元，乙种品牌的洗衣液的进价为40元．(2)当乙种品牌的洗衣液的每瓶售价为80元时，两种品牌的洗衣液每天的利润之和可达到4700元．【分析】（1）设甲种品牌的洗衣液的进价为x 元，乙种品牌的洗衣液的进价为（x +10）元，然后根据题意可列方程进行求解；（2）设当乙种品牌的洗衣液的每瓶售价为m 元时，两种品牌的洗衣液每天的利润之和可达到4700元，然后根据题意可列方程进行求解．(1)解：设甲种品牌的洗衣液的进价为x 元，乙种品牌的洗衣液的进价为（x +10）元，由题意得：6000800010x x =+， 解得：30x =，经检验：x =30是原方程的解，⊥乙种品牌的进价为：30+10=40（元），答：甲种品牌的洗衣液的进价为30元，乙种品牌的洗衣液的进价为40元．(2)解：设当乙种品牌的洗衣液的每瓶售价为m 元时，两种品牌的洗衣液每天的利润之和可达到4700元，由题意得：()()()4530100401402504700m m -⨯+---=⎡⎤⎣⎦整理得：216064000m m -+=，。
绵阳九年级数学计算练习题
1.计算（12（2）2.解方程组（1）()()12=16321=132x y x y --⎧-⎪⎨⎪--+⎩（2）3.解不等式组，并把解集在数轴上表示出来（1）()111233121x x x x +-⎧-≤⎪⎨⎪-<+⎩．（2）4.如图，AB ∥CD ，点E 是BC 的延长线上的一点，AE 交CD 于点F ，∠1＝∠2，∠3＝∠4．（1）求证：AD ∥BE ；（2）若∠B ＝60°，∠E ＝50°，求∠CAE 的度数．1.计算（1）．（2）．2.解方程组（1）（2）3.解不等式组（1），并把解集在数轴上表示出来．（2）求不等式组的整数解．4.如图，点O在直线AB上，点E、F、G在直线CD上，AB∥CD，连接OE、OF、OG，其中OE⊥OG，∠OEF＝∠FOG．（1）证明：OF⊥AB；（2）当∠FHB：∠OFH＝6：2时，请求出∠DFH的度数．1.计算（1）﹣12+﹣﹣|﹣|．（2）．2.解方程组（1）；（2）．3.解不等式组（1）．（2），并写出该不等式组的整数解．4.如图，D，E，G分别是AB，AC，BC边上的点，∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B．（1）请说明DE∥BC的理由；（2）若DE平分∠ADC，∠2＝2∠B，判断CD与EG的位置关系，并说明理由．1.计算（1）．（2）．2.解方程组（1）．（2）．3.解不等式组，（1）23331136x xx x+>⎧⎪+-⎨-≥⎪⎩．（2），并写出所有非负整数解．4.如图，已知∠DEF＝∠B，EF∥AB．（1）求证：DE∥BC；（2）若DE平分∠ADC，∠BDC＝3∠B，求∠EFC的度数．1.计算：（1）；（2）．2.解方程组：（1）（2）3.（1）解不等式组：．（2）解不等式组．4.某商场上周购进2022年冬奥会吉祥物冰墩墩与冬残奥会吉祥物雪容融两种毛绒玩具共100个，共花去12000元，这两种吉祥物毛绒玩具的进价、售价如表：（1）求冰墩墩、雪容融这两种毛绒玩具分别购进了多少个？（2）上周五售出这两种吉祥物毛绒玩具，共获利210元．那么这一天售出的冰墩墩、雪容融两种毛绒玩具分别是多少个？进价（元/个）售价（元/个）冰墩墩150195雪谷融751051．（1）．+﹣．（2）．；2．解下列方程组：（1）；（2）．3．（1）解不等式组：．（2）解不等式组，并写出满足条件的正整数解．4．广东省梅大高速2024年5月1日2时10分左右发生塌方灾害，造成23辆车陷落，48人遇难，30人受伤，群众生命和财产受到了极大的危害．“众志成城，共克时艰”，某市筹集了大量的救援物资，用甲、乙两种型号的货车，分两批运往医院和事故现场，具体运输情况如表：已知第一批、第二批每辆货车均满载，第一批累计运输救援物资47吨，第二批累计运输救援物资60吨．（1）求甲、乙两种型号货车每辆满载分别能运多少吨救援物资？（2）该市后续又筹集了150吨救援物资，计划同时使用两种货车一次性运完（每辆货车都满载），已知甲型货车每辆运输成本500元/次，乙型货车每辆运输成本700元/次，请问共有哪几种运输方案？第一批第二批批次货车辆数甲型货车的数量（单位：辆）34乙型货车的数量（单位：辆）451．计算（1）；（2）．2．解方程组：（1）；（2）．3．（1）解不等式组．（2）解不等式组：，并把解集在数轴上表述出来．4．端午节是中国四大传统节日之一，粽子是端午节期间不可缺少的美食．小超妈妈了解到包3个蜜枣粽子和4个鲜肉粽子，需要糯米390克；包2个蜜枣粽子和5个鲜肉粽子，需要糯米400克．（1）求包1个蜜枣粽子和1个鲜肉粽子各需要糯米多少克？（2）家中现有2.1千克糯米，以及足量的蜜枣和鲜肉，小超妈妈计划包蜜枣粽子和鲜肉粽子共40个，她最多能包多少个鲜肉粽子？1．（1）计算：（﹣1）2024﹣+|﹣|+．（2）计算：．2．解下列方程组．（1）；（2）．3．（1）解不等式组．（2）解不等式组，并写出不等式组的正整数解．4．重庆被称为“三大火炉”城市之一，夏天尤其炎热，空调成为了重庆人民必不可少的电器．某电器超市销售每台进价分别为2800元、2000元的A、B两种型号的空调，该超市近两周的销售情况如表：（进价、售价均保持不变，利润＝销售收入﹣进货成本）（1）求A、B两种型号的空调的销售单价；（2）若超市准备用不超过13万元的金额再采购这两种型号的空调共50台，求A种型号的空调最多能采购多少台？（3）在（2）的条件下，超市销售完这50台空调能否实现利润不低于57000元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．销售时段销售数量销售收入/元A种型号/台B种型号/台第1周4325000第2周55350001．计算：（1）．（2）：．2.解方程组：（1）．（2）3解不等式组：（1）．（2），4某超市准备购进A，B两种商品，进3件A，4件B需要270元；进5件A，2件B需要310元；该超市将A种商品每件的售价定为80元，B种商品每件的售价定为45元．（1）A种商品每件的进价和B种商品每件的进价各是多少元？（2）商店计划用不超过1560元的资金购进A，B两种商品共40件，其中A种商品的数量不低于B种商品数量的一半，该商店有几种进货方案？1计算：（1）．（2）2．已知关于x，y的方程组和有相同的解，求2a+b值．3解不等式组：．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．3．牡丹江某县市作为猴头菇生产的“黄金地带”，年总产量占全国总产量的50%以上，黑龙江省发布的“九珍十八品”名录将猴头菇列为首位．某商店准备在该地购进特级鲜品、特级干品两种猴头菇，购进鲜品猴头菇3箱、干品猴头菇2箱需420元，购进鲜品猴头菇4箱、干品猴头菇5箱需910元．请解答下列问题：（1）特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇每箱的进价各是多少元？（2）某商店计划同时购进特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇共80箱，特级鲜品猴头菇每箱售价定为50元，特级干品猴头菇每箱售价定为180元，全部销售后，获利不少于1560元，其中干品猴头菇不多于40箱，该商店有哪几种进货方案？（3）在（2）的条件下，购进猴头菇全部售出，其中两种猴头菇各有1箱样品打a（a为正整数）折售出，最终获利1577元，请直接写出商店的进货方案．1计算：（1）；（2）2．解方程：（1）3.已知不等式组．（1）若该不等式组的解集为2≤x≤4，求a的值；（2）若该不等式组无解，求a的取值范围．4某中学为落实体育中考的要求，决定购进一批篮球和足球．已知购买2个篮球和3个足球共需费用430元；购买3个篮球和5个足球共需费用690元．（1）求篮球和足球的单价分别是每个多少元？（2）学校计划采购篮球，足球共100个，并要求篮球个数不超过足球个数的三倍，且总费用不超过8300元．求有几种购买方案？（不要求写出具体方案）（3）购买时发现，每个篮球上涨了a元，足球价格不变，在（2）的条件下，最低费用需8625元，请直接写出a的值．1计算：（1）．（2）2解方程3（1）解方程组：；（2）解不等式组．4．已知点A 的坐标为（3，2），设点A 关于y 轴对称点为B ，点A 关于原点的对称点为C ，点A 绕点O 顺时针旋转90°得点D ．（1）点B 的坐标是；点C 的坐标是；点D 的坐标是；（2）顺次连接点A 、B 、C 、D ，那么四边形ABCD 的面积是；（3）在y 轴上找一点F ，使S △ABF ＝S △ABC ，那么点F 的所有可能位置是（用坐标表示）．1计算（1）；（2）；2嘉嘉和淇淇同解一个关于x，y的二元一次方程组，嘉嘉把方程①抄错，求得方程组的解为，淇淇把方程②抄错，求得方程组的解为．（1）求m和n的值；（2）求方程组的正确的解．3解不等式组，并写出该不等式组的整数解．4．已知a﹣1的平方根是±6，b的立方根是﹣3，c是的整数部分．（1）直接写出a、b、c的值；（2）若x是的小数部分，求的算术平方根．1.已知正数m的两个平方根分别为3a﹣3和1﹣2a．（1）求a的值；（2）求的值．2已知方程组和有相同的解，求a，b的值．3解方程4．解不等式组，并写出不等式组的正整数解．5如图，在长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，点A坐标为（a，0），点C的坐标为（0，b），且a、b满足，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O—C—B—A—O的线路移动．（1）a＝，b＝，点B的坐标为；（2）当点P移动4秒时，求出点P的坐标；（3）在移动过程中，当点P到x轴的距离为5个单位长度时，求点P移动的时间．。
【专题训练】九年级数学：计算-专题训练及答案
计算一、选择题（本大题共6小题，共18.0分） 1. 化简a 2−b 2ab-ab−b 2ab−a 等于（ ）A. baB. abC. −baD. −ab2. 已知14m 2+14n 2=n -m -2，则1m -1n 的值等于（ ） A. 1B. 0C. −1D. −143. 化简（1a +1b ）÷(1a 2−1b 2)•ab ，其结果是（ ） A.a 2b 2a−bB.a 2b 2b−aC.1a−bD.1b−a4. 化简(√3−2)2006⋅(√3+2)2007的结果为( ) A. −1B. √3−2C. √3+2D. −√3−25. 当0＜x ＜3时，化简√(x +1)2-√(x −3)2的正确结果是（ ） A. 4B. −4C. 2−2xD. 2x −26. 若关于x 的分式方程3x−4+x+m4−x =1有增根，则m 的值是（ ） A. m =0或m =3 B. m =3 C. m =0 D.m =−1二、填空题（本大题共4小题，共12.0分） 7. 使式子√x+1x−1有意义的x 的取值范围是______．8. 已知A x−1+Bx−2=3x−4(x−1)(x−2)，则3A +2B = ______ ． 9. 若1x -1y =2，则2x+3xy−2y x−2xy−y 的值是______ ．10. 若分式方程xx−1+m1−x =2无解，则m =______． 三、计算题（本大题共53小题，共318.0分） 11.12. 13. 先化简x−1x+2÷x 2−2x x 2−4−xx−1，再选取一个合适的x 的值代入，求出代数式的值．14. 化简：3−x 2x−4÷（x +2-5x−2）．15.（1）（1-11−x ）÷xx−1．（2）ba−b +b3a3−2a2b+ab2÷ab+b2b2−a2．（3）（a−ba+b -a+ba−b）÷（1-a2+b2a2−2ab+b2）（4）a2a−1-a-1．16.先化简，再求值：a2−2a+1a2−1+（a-1-a−1a+1），其中a=2√2．17. 计算与化简：（1）2x y 2•2yx ；（2）a−1a 2−4a+4÷a 2−1a 2−4；（3）（x 2-4y 2）÷2y+xxy •1x(2y−x)．18. 先化简，再求值． （1-3x+1）÷x 2−4x+1，其中x 是方程x 2-5x +6=0的根．19. 先化简，再求值：a 2−b 2a 2−ab÷(a +2ab+b 2a)，其中a =-2，b =3．20. 根据题目条件，求代数式的值： （1）已知1x -1y =3，求5x+xy−5y x−xy−y的值；（2）若x =√11+√72，y =√11−√72，求代数式x 2-xy +y 2的值．21.22. 请你先化简(a 2a+2−a +2)÷4aa 2−4，再从-2，2，√2中选择一个合适的数代入求值．23. 先化简，再求值：(1+1x−2)÷x 2−12x−4，其中x =3．24. 先化简，再求值：(1−a a−3)÷a 2+3a a −9，其中a =-2．25.计算：×√12+√24（1）√48÷√3-√12（2）（3√2+2√3）（3√2-2√3）-（√3-√2）2．26.计算：（1）（√+√18）-（√45-√8）√6）÷√12．（2）（√48+1427.计算：（1）3√3-（√12+√1）328. 计算：（1）2√12−6√13+3√48（2）（√2+1）（√2−1）-(√3−2)2． 29. 计算：（1）√5-（√3+√15）÷√6×√2（2）（√48-4√18）-（3√13-2√0.5）（3）（3+√5）（3-√5）-（√3-1）2 （4）（-√3+1）（√3-1）-√(−3)2+2−√5．30.（1）√48÷√3-√12×√12+√2431.计算（1）√48÷√3−√12×√12+√24（2）√−√118+√2−1．32.（1）√12−(√33)−1+√3(√3−1)−20130−|√3−2|（2）(2√6−√3+√2)×(2√6−√3−√2)．33.12√3÷√112×√27．34.35√xy5÷(−415√yx)×(−56√x3y)．35. （1）化简：（-x 3）2+（2x 2）3+（x -3）-2 （2）计算：√2-√8+（√2-1）0．36. 计算：（1）5√3+√3；（2）√123÷√213×√125．37.计算：38.计算：（√3-√2）2+（√5+3）（√5-3）．39.40.41.42.分式方程：（1）2x−3−1x=0（2）x+1x−1−4x2−1=1．43.解分式方程1−xx−2=12−x+1．44. （1）解方程：1x−2+1=x+12x−4；（2）解不等式组：{2x −1＞15x+12≤x +5．45.46.47. 解方程：6x−1=x+5x(x−1)−3x ．48. 解方程x x−1=32(x−1)+2．49. 解方程：x x−1=2-32x−2．50.解分式方程：2x−1x−2−12−x=3．51.解方程：（1）4+xx−1−5=2xx−1；（2）x−8x−7−17−x=8．52.解分式方程：3x−x +1=xx−1．53.解方程：3x−3−1x=2x2−3x．54.解分式方程：（1）2xx−1+31−x=1（2）x−2x+2-1=3x2−4．55. 解方程：1−x x−2-2=12−x ．56. 化简或解方程：（1）x 2−1x 2+2x÷x−1x （2）x 2x−1-x -1 （3）2x x−2−22−x =1．57. 解方程：（1）2x−1-x+2x−1=158.1x−2+3=1−x2−x59.解分式方程：（1）2x−3=1x；（2）22x−1=44x2−1．60.解下列方程：（1）6xx+2-2=0（2）3x−2=2x+6x−2x．61.解答下列各题：（1）计算：（2x-7）（x-1）+（2x-3）（2x+3）（2）解方程：61−x2=31−x．62.解方程：（2）3x−1-2x+1=1x −1．63. （1）先化简代数式(a+1a−1+1a 2−2a+1)÷a a−1，然后选取一个使原式有意义的a 的值代入求值．（2）解方程式：x x+1=2x 3x+3+1．四、解答题（本大题共13小题，共104.0分）64. 先化简，再求值：（x 2−2x+1x −x +x 2−4x +2x ）÷1x ，且x 为满足﹣3＜x ＜2的整数．65. 先化简，再求值：(1x−y +2x 2−xy )÷x+22x ，其中实数x 、y 满足y =√x −2−√4−2x +1．66. （1）计算：-22+（-13）-1+2sin60°-|1-√3| （2）先化简，再求值：（x 2−1x −2x+1-x -1）÷x+1x−1，其中x =-2．67. 化简分式：（x 2−2xx 2−4x+4-3x−2）÷x−3x 2−4，并从1，2，3，4这四个数中取一个合适的数作为x 的值代入求值．68.计算（1）√18-√12-√8（2）（2√3+3√2）（2√3-3√2）69.（1）计算：a−ba ÷（a-2ab−b2a）；（2）解方程：xx−1−1=3x+1．70. 解方程：x+2x−2−x x+2=16x 2−4．71. 解方程：x+1x−1+41−x 2=1．72. 解下列方程：（1）2x x−2-22−x =1（2）x+1x−1-4x 2−1=1．73.解方程（1）3x+1=5x+3（2）2x2−4+xx−2=1．74.解方程：（1）2x−1=4 x2−1（2）x−3x−2+1=32−x．75. 解方程：（1）1-32−x =5−x x−2；（2）x+14x −1=32x+1-44x−2．76. 解分式方程：2x+3+13−x =1x 2−9．答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式第二项约分后两项通分并利用同分母分式的加法法则计算即可得到结果．【解答】解：原式=+=+==，故选B．2.【答案】C【解析】【分析】此题主要考查了分式的化简求值、偶次方的非负性、完全平方公式的知识点，把所给等式整理为2个完全平方式的和为0的形式是解决本题的突破点；用到的知识点为：2个完全平方式的和为0，这2个完全平方式的底数为0把所给等式整理为2个完全平方式的和为0的形式，得到m，n的值，代入求值即可.【解答】解：由，得，则m=-2，n=2，∴.故选C.3.【答案】B【解析】【分析】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式括号中两项通分并利用同分母分式的加减法则计算，约分即可得到结果．【解答】解：原式=••ab=，故选B4.【答案】C【解析】【分析】此题主要考查了二次根式的混合运算有关知识，利用积的乘方以及同底数幂的乘法运算法则将原式变形求出即可.【解答】解：原式=（-2）2006•（+2）2007=[(-2）2006•（+2）2006]×（+2）=[(-2）•（+2）]2006×（+2）=+2．故选C.5.【答案】D【解析】【分析】本题考查的是二次根式的化简，掌握二次根式的性质：=|a|是解题的关键．根据题意判断x+1和x-3的符号，根据二次根式的性质化简即可．【解答】解：∵0＜x＜3，∴x+1＞0，x-3＜0，则-=x+1-3+x=2x-2，故选：D．6.【答案】D【解析】解：去分母得：3-x-m=x-4，由分式方程有增根，得到x-4=0，即x=4，把x=4代入整式方程得：3-4-m=0，解得：m=-1，故选：D．分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，得到x-4=0，求出x的值，代入整式方程求出m的值即可．本题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．7.【答案】x≥-1且x≠1【解析】解：∵式子有意义，∴，解得：x≥-1且x≠1．故答案为：x≥-1且x≠1．根据分式及二次根式有意义的条件，即可得出x的取值范围．本题考查了二次根式有意义及分式有意义的条件，关键是掌握二次根式的被开方数为非负数，分式有意义分母不为零．8.【答案】7【解析】解：已知等式整理得：=，可得（A+B）x-2A-B=3x-4，即，解得：A=1，B=2，则3A+2B=3+4=7．故答案为：7已知等式左边通分并利用同分母分式的加法法则计算，再利用分式相等的条件求出A与B的值，代入原式计算即可得到结果．此题考查了分式的加减法，以及分式相等的条件，熟练掌握运算法则是解本题的关键．9.【答案】14【解析】解：由题意可知：y-x=2xy即x-y=-2xy，∴原式===故答案为：先将-=2进行通分，然后化为x-y=2xy，然后将原式进行适当的变形后将x-y代入即可求出答案．本题考查分式的加减运算，解题的关键是由条件得出y-x=2xy，然后整体代入原式求出答案，本题属于基础题型．10.【答案】1【解析】解：方程去分母，得：x-m=2（x-1），解x-1=0得：x=1，把x=1代入x-m=2（x-1），解得：m=1．故答案是：1．首先把方程去分母转化为整式方程，然后把能使方程的分母等于0的x的值代入即可求解．本题考查了分式方程无解的条件，理解分式方程的增根产生的原因是关键．11.【答案】解：原式=2x2(x−1)÷(2x+1)(x−1)+x+1(x+1)(x−1)=2x2 (x−1)2÷2x2 (x+1)(x−1)=2x2 (x−1)2•(x+1)(x−1)2x=x+1x−1，当x=2时，原式=2+12−1=3．【解析】先把括号内通分，再把除法运算化为乘法运算，约后后得到原式=，然后把x=2代入计算即可．本题考查了分式的化简求值：先把分式的分子或分母因式分解，再进行通分或约分，得到最简分式或整式，然后把满足条件的字母的值代入计算得到对应的分式的值．12.【答案】解：原式=2x−1−(x+1)(x−1)x+1•(x+1)2x−2=−x(x−2)x+1•(x+1)2x−2=-x （x +1）=-x 2-x ． 【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．13.【答案】解：原式=x−1x+2•(x+2)(x−2)x(x−2)-xx−1 =x−1x-xx−1=(x−1)2−x 2x(x−1)=1−2x x 2−x，当x =12时，原式=1−2×1214−12=0．【解析】原式第一项除数分子提取x 分解因式，分母利用平方差公式分解因式，再利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分后通分得到最简结果，将x=（注意x 不能为2，-2，0，1）代入计算，即可求出值．此题考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，约分时分式的分子分母出现多项式，应将多项式分解因式后再约分．14.【答案】解：原式=-x−32(x−2)÷(x+2)(x−2)−5x−2=-x−32(x−2)•x−2 (x+3)(x−3)=-12x+6．【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．15.【答案】解：（1）原式=x−1＋1x−1·x−1x=1；（2）原式=ba−b +b3a(a−b)2·−(a+b)(a−b)b(a+b)=ba−b−b2a(a−b)=ab−b2a(a−b)=b(a−b)a(a−b)=ba；（3）原式=(a−b)2−(a＋b)2(a＋b)(a−b)÷a2−2ab+b2−a2−b2(a−b)=a2−2ab+b2−a2−2ab−b2()()÷−2ab()2=−4ab(a ＋b)(a −b)·(a −b )2−2ab=2a−2b a ＋b；（4）原式=a 2−(a 2−1)a−1=a 2−a 2+1a −1=1a−1.【解析】本题考查了分式的混合运算，需掌握的知识点：分式的混合运算的顺序和法则，分式的约分、通分以及因式分解；熟练掌握分式的混合运算顺序和因式分解是解决问题的关键.（1）根据分式的加减乘除混合运算顺序进行计算，注意进行因式分解和约分；（2）根据分式的加减乘除混合运算顺序进行计算，注意进行因式分解和约分；（3）根据分式的加减乘除混合运算顺序进行计算，注意进行因式分解和约分；（4）根据分式的加减法法则进行计算，注意通分.16.【答案】解：a 2−2a+1a −1+（a -1-a−1a+1）=(a−1)2(a+1)(a−1)+a 2−a a+1=a−1a+1+a 2−a a+1=a 2−1a+1=a -1 当a =2√2时原式=2√2-1 【解析】 首先化简+（a-1-），然后把a=2代入化简后的算式，求出算式的值是多少即可．此题主要考查了分式的化简求值问题，要熟练掌握，注意先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值． 17.【答案】解：（1）原式=4y ； （2）原式=a−1(a−2)•(a+2)(a−2)(a+1)(a−1)=a+2(a−2)(a+1)； （3）原式=-（x +2y ）（x -2y ）•xyx+2y •1x(x−2y)=-y ． 【解析】（1）原式约分即可得到结果；（2）原式利用除法法则变形，约分即可得到结果； （3）原式利用除法法则变形，约分即可得到结果．此题考查了分式的乘除法，分式乘除法的关键是约分，约分的关键找出分子分母的公因式．18.【答案】解：原式=x−2x+1•x+1(x+2)(x−2)=1x+2，方程x 2-5x +6=0，变形得：（x -2）（x -3）=0， 解得：x =2（舍去）或x =3， 当x =3时，原式=15． 【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，求出方程的解得到x的值，代入计算即可求出值．此题考查了分式的化简求值，以及解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．19.【答案】解：a2−b2a−ab ÷(a+2ab+b2a)=(a+b)(a−b)a(a−b)÷（a2a+2ab+b2a），=(a+b)(a−b)a(a−b)÷a2+2ab+b2a，=(a+b)(a−b)a(a−b)÷a2+2ab+b2a，=(a+b)(a−b)a(a−b)×a(a+b)，=1a+b，当a=-2，b=3时，原式=1a+b，=1−2+3，=1．【解析】这道求代数式值的题目，不应考虑把a、b的值直接代入，通常做法是先把代数式化简，然后再代入求值．分式的四则运算是整式四则运算的进一步发展，是有理式恒等变形的重要内容之一．在计算时，首先要弄清楚运算顺序，先去括号，再进行分式的乘除．本题考查了分式的化简求值，为了降低计算的难度，杜绝繁琐的计算，本题代数式结构简单，化简后的结果简单，计算简单，把考查重点放在化简的规则和方法上．20.【答案】解：（1）∵1x -1y=3，∴y−xxy=3，∴x -y =-3xy ，∴5x+xy−5y x−xy−y =5(x−y)+xy x−y−xy =5×(−3xy)+xy −3xy−xy =72； （2）∵x =√11+√72，y =√11−√72，∴x +y =√11，xy =1，∴x 2-xy +y 2=（x +y ）2-3xy =11-3=8． 【解析】（1）先变形已知条件得到x-y=-3xy ，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算；（2）先计算出x+y=，xy=1，再利用完全平方公式变形得到x 2-xy+y 2=（x+y ）2-3xy ，然后利用整体代入的方法计算．本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．也考查了分式的化简求值． 21.【答案】解：原式=2m+1-m−2(m+1)(m−1)÷m 2−2m+1−1m 2−2m+1=2m+1-m−2(m+1)(m−1)•(m−1)2m(m−2)=2m+1-m−1m(m+1)=2m−m+1m(m+1) =m+1m(m+1) =1m． 【解析】原式第二项括号中通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分后两项通分并利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果．此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．22.【答案】解：(a2a+2−a+2)÷4aa−4=[a2a+2−(a−2)(a+2)a+2]×(a+2)(a−2)4a=4 a+2×(a+2)(a−2)4a=a−2a；为使分式有意义，a不能取±2；当a=√2时，原式=√2−2√2=1−√2．【解析】此题只需先进行分式运算得到最简结果，再挑选出一个使分式有意义的值代入求得结果即可．本题考查了分式的化简求值．注意：取喜爱的数代入求值时，要特注意原式及化简过程中的每一步都有意义．23.【答案】解：原式=x−2+1x−2⋅2(x−2) (x−1)(x+1)=2x+1；∴当x=3时代入，得：原式=12．【解析】此题考查分式的化简求值，应先化简再代入求值．分式化简的运算顺序：先括号里，经过通分，再把除法转化为乘法，约分化为最简．此题比较容易．24.【答案】解：原式=（a−3a−3-aa−3）•(a+3)(a−3)a(a+3)=−3a−3•(a+3)(a−3)a(a+3)=-3a，当a=-2时，原式=32．【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．25.【答案】解：（1）原式=√48÷3-√12×12+2√6=4-√6+2√6=4+√6；（2）原式=18-12-（3-2√6+2）=6-5+2√6=1+2√6.【解析】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可.（1）先进行二次根式的乘除运算，然后化简后合并即可；（2）利用完全平方公式和平方差公式将给出的式子进行变形，然后再计算即可.26.【答案】解：（1）原式=5√5+3√2-3√5+2√2=2√5+5√2；√6）÷2√3（2）原式=（4√3+14=2+√2．8【解析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后去括号后合并即可；（2）先把各二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的除法运算．本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．27.【答案】解：（1）原式=3√3-2√3-√33=2√3；3（2）原式=1-12-（3-2√3+1）=-11-4+2√3=-15+2√3．【解析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后去括号后合并即可；（2）利用平方差公式和完全平方公式进行计算．本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．28.【答案】解：（1）原式=4√3-2√3+12√3=14√3；（2）原式=2-1-（3-4√3+4）=1-3+4√3-4=4√3-6．【解析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（2）利用平方差公式和完全平方公式计算．本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．×√229.【答案】解：（1）原式=√5-（√3+√15）×√6=√5-（√3+√15）×√3=√5-1-√5=-1；（2）原式=4√3-√2-√3+√2=3√3；（3）原式=9-5-（3-2√3+1）=4-4+2√3=2√3；（4）原式=-（3-2√3+1）-3-（√5+2）=-4+2√3-3-√5-2=2√3-√5-9．【解析】（1）先进行二次根式的乘除运算得到原式=-（+）×，然后进行二次根式的除法运算后合并即可；（2）先把各二次根式化简为最简二次根式，然后合并即可；（3）利用平方差公式和完全平方公式计算；（4）利用完全平方公式和分母有理化得到原式=-（3-2+1）-3-（+2），然后去括号后合并即可．本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．30.【答案】解：（1）原式=√48÷3-√12×12+2√6=4-√6+2√6=4+√6；（2）原式=2x−1(x−1)2•（x-1）=2x−1x−1，当x=√2+1时，原式=√2+1)−1√2+1−1=4+√22．【解析】（1）利用二次根式的乘法法则运算；（2）先把分母因式分解，再约分得到原式=，然后把x的值代入后分母有理化即可．本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．31.【答案】解：（1）原式=√48÷3-√1×12+2√62=4-√6+2√6=4+√6；+√2-1（2）原式=5-√26=4+5√2．6【解析】（1）先根据二次根式的乘除法则运算，然后合并即可；（2）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可．本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．32.【答案】解：（1）原式=2√3-√3+3-√3-1+√3-2=√3；（2）原式=[（2√6-√3）+√2][（2√6-√3）-√2]=（2√6-√3）2-（√2）2=24-12√2+3-2=25-12√2．【解析】（1）根据绝对值、零指数幂和负整数整数幂的意义得到原式=2-+3--1+-2，然后合并即可；（2）先根据平方差公式得到原式=（2-）2-（）2，然后利用完全平方公式计算．本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了零指数幂与负整数整数幂．33.【答案】解：原式=√32÷√36×3√3 =√32×√3×3√3 =9√3．【解析】先化简，再根据二次根式的乘法进行计算即可．本题考查了二次根式的乘除法，化简二次根式是解此题的关键．34.【答案】解：原式=35×（-154）×（-56）×√xy 5·x y ·x 3y=158x 2y 2√xy ． 【解析】先进行二次根式的乘除运算，然后将所得二次根式化为最简即可． 此题考查了二次根式的乘除法，属于基础题，解答本题的关键是掌握二次根式的乘除法则及二次根式的化简．35.【答案】解：（1）原式=x 6+8x 6+x 6=10x 6；（2）原式=√2-2√2+1=1-√2．【解析】（1）先利用幂的乘方和积的乘方得到原式=x6+8x6+x6，然后合并同类项即可；（2）先把二次根式化为最简二次根式，再利用零指数的意义计算，然后合并即可．本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．也考查了整式运算．36.【答案】解：（1）原式=6√3；（2）原式=√53×37×75=1．【解析】（1）直接合并同类二次根式即可；（2）利用二次根式的乘除法则运算．本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．37.【答案】解：（1）原式=4√3-2√3+12√3=14√3；（2）原式=12-12√6+18-（6-5）=30-12√6-1=29-12√6．【解析】（1）先把各二次根式化简为最简二次根式，然后合并即可；（2）利用完全平方公式和平方差公式计算．本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．38.【答案】解：原式=3-2√6+2+5-9=1-2√6．【解析】利用完全平方公式和平方差公式计算．本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．39.【答案】解：（1）去分母得：5x+2=3x，解得：x=-1，经检验x=-1是增根，原方程无解；（2）去分母得：x（x-2）-（x+2）（x-2）=x+2，，解得：x=23经检验x=2是分式方程的解．3【解析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．40.【答案】解：（1）去分母得：2x-2+3x+3=6，解得：x=1，经检验x=1是增根，分式方程无解；（2）去分母得：1-2x=2x-4，，解得：x=54经检验x=5是分式方程的解．4【解析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．41.【答案】解：去分母得：x+2+k（x-2）=3，由分式方程有增根，得到（x+2）（x-2）=0，即x=2或x=-2，把x=2代入整式方程得：4=3，不成立；把x=-2代入整式方程得：-4k=3，即k=-0.75．分式方程去分母转化为整式方程，由最简公分母为0求出x的值，代入整式方程计算即可求出k的值即可．此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．42.【答案】解：（1）去分母得：2x-x+3=0，解得：x=-3，经检验x=-3是分式方程的解；（2）去分母得：x2+2x+1-4=x2-1，解得：x=1，经检验x=1是增根，分式方程无解．【解析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．43.【答案】解：方程的两边同乘（x-2），得1-x=-1+x-2，解得x=2．检验：把x=2代入（x-2）=0，x=2是原方程的增根，∴原方程无解．本题考查了分式方程的解法，观察可得最简公分母是（x-2），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解；（2）解分式方程一定注意要验根．44.【答案】解：（1）去分母得，2+2x -4=x +1，移项得，2x -x =1+4-2，合并同类项得，x =3，经检验，x =3是原方程的根；（2）{2x −1＞1①5x+12≤x +5②，由①得，x ＞1；由②得，x ≤3， 故原不等式组的解集为：1＜x ≤3．【解析】（1）先去分母，再移项、合并同类项即可求出x 的值；（2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．本题考查的是解分式方程及解一元一次不等式组，在解（1）时要验根，这是此题的易错点．45.【答案】解：（1）去分母得：x -5=6x ，解得：x =-1，经检验x =-1是分式方程的解；（2）去分母得：-15x +12-4x -10=6-3x ，解得：x =-1，经检验x=-1是分式方程的解．4【解析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．46.【答案】解：方程两边同乘以2（x+3），得7-4=3（x+3），解得：x=-2，经检验x=-2是分式方程的解．【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．47.【答案】解：去分母得：6x=x+5-3（x-1），去括号得：6x=x+5-3x+3，整理得：8x=8，解得：x=1，经检验得x=1是增根，∴原方程无解．【解析】。