§2.1.2椭圆的简单几何性质导学案lyt
2.1.2《椭圆的简单几何性质》教学设计
2.1.2《椭圆的简单几何性质》第一课时科目：高二数学****************完成时间：2022年4月25日课型：新授课教学工具：多媒体设备◆知识与技能目标通过对椭圆标准方程的讨论,理解并掌握椭圆的几何性质，用方程的方法研究图形的对称性；理解椭圆的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点的概念.◆过程与方法目标能够根据椭圆的标准方程求焦点、顶点坐标、离心率并能根据其性质画图.引导学生复习由函数的解析式研究函数的性质或其图像的特点，在本节中要通过对椭圆的标准方程的讨论，研究椭圆的几何性质的理解,而且还注意对这种研究方法的培养．①由椭圆的标准方程和非负实数的概念能得到椭圆的范围；②由方程的性质得到椭圆的对称性；③先定义圆锥曲线顶点P的思考问题，探究椭的概念，容易得出椭圆的顶点的坐标及长轴、短轴的概念；④通过39圆的扁平程度量椭圆的离心率．◆情感、态度与价值观目标在合作、互动的教学氛围中，通过师生之间、学生之间的交流、合作、互动实现共同探究，教学相长的教学活动情境，结合教学内容，培养学生科学探索精神、审美观和科学世界观，激励学生创新．培养学生分析问题、解决问题的能力,并为学习其它圆锥曲线作方法上的准备.必须让学生认同和掌握：椭圆的简单几何性质，能由椭圆的标准方程能直接得到椭圆的范围、对称性、顶点和离心率；必须让学生认同与理解：已知几何图形建立直角坐标系的两个原则，①充分利用图形对称性，②注意图形的特殊性和一般性；让学生参与并掌握利用信息技术探究点的轨迹问题，培养学生学习数学的兴趣和掌握利用先进教学辅助手段的技能．◆能力目标（1）分析与解决问题的能力：通过学生的积极参与和积极探究,培养学生的分析问题和解决问题的能力．（2）思维能力：会把几何问题化归成代数问题来分析，反过来会把代数问题转化为几何问题来思考；培养学生的会从特殊性问题引申到一般性来研究，培养学生的辩证思维能力．（3）实践能力：培养学生实际动手能力，综合利用已有的知识能力．（4）创新意识能力：培养学生思考问题、并能探究发现一些问题的能力，探究解决问题的一般的思想、方法和途径．教学过程设计教学步骤教师活动学生活动设计意图（一）导入一、情景导入：1.国家大剧院的半椭圆正视图；1. 2.椭圆的标准方程.在解析几何里，是利用曲线的方程来研究曲线的几何性质的，我们现在利用焦点在x轴上的椭圆的标准方程来研究其几何性质.通过提出问题、分析问题、解决问题激发学生的学习兴趣,在掌握新知识的同时培养能力.（二）椭圆的大小思考1：如何将一个长、宽分别为10cm，８cm的矩形纸板制作成一个最大的椭圆呢？1.范围由椭圆的标准方程可知，椭圆上点的坐标(x,y)都适合不等式22ax≤1,22by≤1即x2≤a2,y2≤b2所以|x|≤a，|y|≤b即－a≤x≤a, －b≤y≤b这说明椭圆位于直线x＝±a, y＝±b所围成的矩形里。
2.1.2椭圆的简单几何性质(导学案)
2.1.2椭圆的简单几何性质（导学案）一、课前导读（一）学习目标：1.理解椭圆的简单几何性质①范围②对称性③顶点④离心率；2.掌握ea,,的几何意义及相互关系；,bc3.会通过椭圆的方程求椭圆的范围、对称性、顶点、离心率；4.会通过椭圆的性质求椭圆的标准方程；5.体会用代数方法研究几何问题的思想方法.（二）学法指导：通过几何图形观察，代数方程验证椭圆几何性质的学习过程，体会数形结合的数学思想.（三）学习重点及难点：1.由椭圆的方程求其相关几何性质；2.利用椭圆的性质求椭圆方程.二、学习过程（一）复习案：1.椭圆的定义： .2.椭圆的标准方程：（1）焦点在x轴上时：；（2）焦点在y轴上时：；3.椭圆中,,a b c的关系是 .（二）探究案：[学生活动1]①在稿纸上作出一个椭圆；②类比椭圆标准方程的建立过程，将所作椭圆置于直角坐标系中.探究一：椭圆的对称性[问题1]观察所作椭圆，它具有对称性吗？如果有,是什么？能否用椭圆的标准方程论证其对称性？[结论]从图形上看，椭圆关于，，对称.[论证]在椭圆的标准方程)0(12222>>=+b a by a x 中：①把x 换成x -方程不变，说明图像关于 轴对称； ②把y 换成y -方程不变，说明图像关于 轴对称；③把x 换成x -，同时把y 换成y -方程不变，说明关于 对称，因此 是椭圆的对称轴， 是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做 .探究二：椭圆的顶点坐标[问题2]所作椭圆与对称轴有交点吗？若有，有几个交点？从方程如何求出交点？[结论]椭圆与对称轴有 个交点.[求解]由椭圆的标准方程)0(12222>>=+b a by a x 知：交点为：( , ) 、 ( , ) 、 ( , ) 、 ( , ). [定义]线段12A A 叫做椭圆的 ，其长度为 . 线段12B B 叫做椭圆的 ，其长度为 .a b 和分别叫做椭圆的 和 . 探究三：椭圆的范围[问题3]请同学们观察所作椭圆，结合椭圆的对称性和顶点坐标，考察椭圆横纵坐标的取值范围是什么？从方程如何求出椭圆的范围呢？[结论]从图形上看，椭圆上点的横坐标的范围是 ；椭圆上点的纵坐标的范围是 .[求解]由椭圆的标准方程)0(12222>>=+b a b y a x 知：①222210y x b a =-⇒22ax 1，即 ≤≤x ；②222210x y a b=-⇒22by 1，即 ≤≤y .因此)0(12222>>=+b a by a x 位于直线 和 围成的矩形里.探究四：椭圆的离心率[定义]椭圆与之比称为椭圆离心率，用表示，即 .[意义]刻画椭圆的量.[范围] .[问题4]离心率是如何影响椭圆形状的呢？若e越接近1，椭圆越；若e越接近0，椭圆越接近于 .[学生活动2]度量自己所作椭圆，写出其标准方程、长轴和短轴长、离心率、焦点和顶点的坐标.（三）考点透析案：求椭圆221625400x y+=的长轴长、离心率、焦点和顶点坐标.求适合下列条件的椭圆的标准方程:（1）经过点(3,0),(0,2)P Q--；（2）长轴长等于20，离心率35.三、总结提升（一）知识要点：（二）思想方法：四、检测与反馈1.已知椭圆方程为121222=+y x ，则它的：长轴长： ；短轴是： ； 焦距是： ；离心率： ； 焦点坐标是：_________________________； 顶点坐标是：_________________________.2.已知椭圆长轴长是短轴长的3倍，且经过点(3,0)P ，求该椭圆的标准方程.3.已知中心在原点的椭圆的右焦点为(1,0)F ，离心率等于12，求椭圆的标准方程.4.已知椭圆221:1124x y C +=，222:1168x y C +=，比较12C C 、哪个更圆，哪个更扁？并说明理由.5.椭圆的中心在原点，一个顶点是（0，2），离心率 23=e ，求椭圆的标准方程.。
椭圆的简单几何性质第二课时导学案11.17
§2.2.2椭圆的简单几何性质第二课时导学案（理普）命题人：盛俊伟 时间：2010-11-14学习目标：1、进一步掌握椭圆的几何性质。
2、使学生初步能利用椭圆的有关知识来解决有关的实际问题；3、掌握椭圆的参数方程，会用参数方程解一些简单的问题． 学习重点： 椭圆上的点的特性。
学习难点：更加深刻的理解和熟练的掌握椭圆的几何性质。
温故知新：问题1．上节我们学了椭圆的哪些几何性质？问题2：圆的参数方程是什么？新课探究：例1、 如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面的一部分．过对对称的截口BAC 是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点1F 上，片门位于另一个焦点2F 上，由椭圆一个焦点1F 发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点2F ．已知12BC F F ⊥，1 2.8F B cm =，12 4.5F F cm =．建立适当的坐标系，求截口BAC 所在椭圆的方程．解法剖析：建立适当的直角坐标系，设椭圆的标准方程为22221x y ab+=，算出,,a b c 的值；此题应注意两点：①注意建立直角坐标系的两个原则；②关于,,a b c 的近似值，原则上在没有注意精确度时，看题中其他量给定的有效数字来决定．例2、如图，设(),M x y 与定点()4,0F 的距离和它到直线l ：254x =的距离的比是常数45，求点M 的轨迹方程．分析：若设点(),M x y ，则M F =，到直线l ：254x =的距离254d x =-，则容易得点M 的轨迹方程．引申：若点(),M x y 与定点(),0F c 的距离和它到定直线l ：2ax c=的距离比是常数c e a=()0a c >>，则点M 的轨迹方程是椭圆．其中定点(),0F c 是焦点，定直线l：2axc=相应于F的准线；由椭圆的对称性，另一焦点(),0F c'-，相应于F'的准线l'：2axc=-．例3 如图，以原点心圆心，分别以、为半径作两个圆，点是大圆半径与小圆的交点，过点作，垂足为，过点作，垂足为，求当半径绕点旋转时点的轨迹的参数方程．解：设点的坐标为，是以为始边，为终边的正角．取为参数，那么即这就是所求点．．．．．．的轨迹的参数方程．．．．．．．．．．消去参数后得到，由此可知，点的轨迹是椭圆．总结：椭圆(a>b>0) 的参数方程为（其中，是参数）。
高中数学 2.1.2 第1课时 椭圆的简单几何性质教案 选修1-1
2.1.2 椭圆的简单几何性质第1课时椭圆的简单几何性质(教师用书独具)●三维目标1.知识与技能掌握椭圆的简单几何性质，了解椭圆标准方程中a，b，c的几何意义，明确其相互关系．2．过程与方法能够画出椭圆的图形，会利用椭圆的几何性质解决相关的简单问题．3．情感、态度与价值观从离心率大小变化对椭圆形状的影响，体现数形结合，体会数学的对称美、和谐美．●重点、难点重点：由标准方程分析出椭圆几何性质．难点：椭圆离心率几何意义的导入和理解．对重难点的处理：为了突出重点，突破难点，应做好①让学生自主探索新知，②重难点之处进行反复分析，③及时巩固(教师用书独具)●教学建议根据教学内容并结合学生所具备的逻辑思维能力，为了体现学生的主体地位，遵循学生的认知规律，宜采用这样的教学方法：启发式讲解，互动式讨论，研究式探索，反馈式评价．●教学流程创设问题情境，引出问题：椭圆有哪些简单几何性质？⇒引导学生结合椭圆的图形，观察、比较、分析，导出焦点在x轴上的椭圆的简单几何性质.⇒引导学生类比导出焦点在y轴上椭圆的简单几何性质.⇒通过例1及其互动探究，使学生掌握已知椭圆方程求几何性质的方法.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握由椭圆的几何性质求其标准方程的方法.⇒探究离心率对椭圆形状的影响及求解方法，完成例3及其变式训练，从而解决如何求离心率问题.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.(对应学生用书第22页)课标解读1.掌握椭圆的简单几何性质及应用．(难点)2．掌握椭圆离心率的求法及a ，b ，c 的几何意义．(难点)3．理解长轴长、短轴长、焦距与长半轴长、短半轴长、半焦距的概念．(易混点)椭圆的简单几何性质已知两椭圆C 1、C 2的标准方程：C 1：x 225＋y 216＝1，C 2：y 225＋x 216＝1.1．椭圆C 1的焦点在哪个坐标轴上，a 、b 、c 分别是多少？椭圆C 2呢？ 【提示】 C 1：焦点在x 轴上，a ＝5，b ＝4，c ＝3，C 2：焦点在y 轴上，a ＝5，b ＝4，c ＝3.2．怎样求C 1、C 2与两坐标轴的交点？交点坐标是什么？【提示】 对于方程C 1：令x ＝0，得y ＝±4，即椭圆与y 轴的交点为(0,4)与(0，－4)；令y ＝0得x ＝±5，即椭圆与x 轴的交点为(5,0)与(－5,0)．同理得C 2与y 轴的交点(0,5)，(0，－5)，与x 轴的交点(4,0)(－4,0). 焦点的 位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上焦点的位置 焦点在x 轴上 焦点在y 轴上顶点 A 1(－a,0)，A 2(a,0) B 1(0，－b )，B 2(0，b )A 1(0，－a )，A 2(0，a )B 1(－b,0)，B 2(b,0)轴长 短轴长＝2b ，长轴长＝2a焦点 F 1(－c,0)，F 2(c,0)F 1(0，－c )，F 2(0，c )焦距 |F 1F 2|＝2c对称性 对称轴为坐标轴，对称中心为(0,0)离心率e ＝ca椭圆的离心率观察不同的椭圆，其扁平程度各不一样，如何刻画椭圆的扁平程度呢？ 【提示】 利用椭圆的离心率． 1．定义椭圆的焦距与长轴长的比e ＝c a，叫做椭圆的离心率． 2．性质离心率e 的范围是(0,1)．当e 越接近于1，椭圆越扁，当e 越接近于0，椭圆就越接近于圆．(对应学生用书第23页)由椭圆方程研究几何性质已知椭圆16x 2＋9y 2＝1，求椭圆的顶点坐标、焦点坐标、长轴长、短轴长、焦距和离心率．【思路探究】 (1)所给椭圆方程是标准形式吗？(2)怎样由椭圆的标准方程求得a 、b 、c 的值进而写出其几何性质中的基本量？【自主解答】 将椭圆方程化为x 2116＋y 219＝1，则a 2＝19，b 2＝116，椭圆焦点在y 轴上，c2＝a 2－b 2＝19－116＝7144，所以顶点坐标为(0，±13)，(±14，0)，焦点坐标为(0，±712)，长轴长为23，短轴长为12，焦距为76，离心率为74.1．已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式的先化成标准形式，再确定焦点的位置，进而确定椭圆的类型．2．焦点位置不确定的要分类讨论，找准a 与b ，正确利用a 2＝b 2＋c 2求出焦点坐标，再写出顶点坐标．同时要注意长轴长、短轴长，焦距不是a ，b ，c ，而应是a ，b ，c 的两倍．本例中，若把椭圆方程改为“25x 2＋16y 2＝400”，试求其长轴长、短轴长、离心率、焦点与顶点坐标．【解】 将方程变形为y 225＋x 216＝1，得a ＝5，b ＝4，所以c ＝3.故椭圆的长轴长和短轴长分别为2a ＝10和2b ＝8，离心率e ＝c a ＝35，焦点坐标为F 1(0，－3)，F 2(0,3)，顶点坐标为A 1(0，－5)，A 2(0,5)，B 1(－4,0)，B 2(4,0).由椭圆的几何性质求其标准方程求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，－6)；(2)过(3,0)点，离心率e ＝63. 【思路探究】 (1)椭圆的焦点位置确定了吗？(2)你将怎样求得a 2、b 2并写出标准方程？【自主解答】 (1)由题意知2a ＝4b ，∴a ＝2b .设椭圆标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1或y 2a 2＋x 2b2＝1，代入点(2，－6)得，4a 2＋36b 2＝1或36a 2＋4b2＝1，将a ＝2b 代入得，a 2＝148，b 2＝37或a 2＝52，b 2＝13， 故所求的椭圆标准方程为x 2148＋y 237＝1或y 252＋x 213＝1. (2)当椭圆焦点在x 轴上时，有a ＝3，c a ＝63， ∴c ＝6，∴b 2＝a 2－c 2＝9－6＝3， ∴椭圆的标准方程为x 29＋y 23＝1； 当椭圆焦点在y 轴上时，b ＝3，c a ＝63， ∴a 2－b 2a ＝63，∴a 2＝27，∴椭圆的标准方程为x 29＋y 227＝1.故所求椭圆标准方程为x 29＋y 227＝1或x 29＋y 23＝1.求标准方程的常用方法是待定系数法，基本思路是“先定位、再定量”． 1．定位即确定椭圆焦点的位置，若不能确定，应分类讨论．2．定量即通过已知条件构建关系式，用解方程(组)的方法求a 2、b 2.其中a 2＝b 2＋c 2，e ＝c a是重要关系式，应牢记．分别求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)长轴长是6，离心率是23；(2)在x 轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6. 【解】 (1)设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)或y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)．由已知得2a ＝6，a ＝3.e ＝c a ＝23，∴c ＝2.∴b 2＝a 2－c 2＝9－4＝5.∴ 椭圆的标准方程为x 29＋y 25＝1或x 25＋y 29＝1.(2)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．如图所示，△B 1FB 2为一等腰直角三角形，OF 为斜边A 1A 2的中线(高)，且|OF |＝c ，|B 1B 2|＝2b ，∴c ＝b ＝3，∴a 2＝b 2＋c 2＝18， 故所求椭圆的标准方程为x 218＋y 29＝1.求椭圆的离心率(1)已知椭圆的焦距与短轴长相等，求其离心率．(2)若一个椭圆长轴长度、短轴的长度和焦距成等差数列，求该椭圆的离心率． 【思路探究】 (1)由焦距与短轴长相等，你能得出a 、b 、c 的关系吗？可以用离心率公式求离心率吗？(2)由题意得2b ＝a ＋c ，如何使用这一关系式求e? 【自主解答】 (1)由题意得：b ＝c ，∴e 2＝c 2a 2＝c 2b 2＋c 2＝c 22c 2＝12.∴e ＝22. (2)∵椭圆的长轴长度、短轴长度与焦距成等差数列， ∴2b ＝a ＋c ，∴4b 2＝(a ＋c )2.又∵a 2＝b 2＋c 2，∴4(a 2－c 2)＝a 2＋2ac ＋c 2， 即3a 2－2ac －5c 2＝0， ∴(a ＋c )(3a －5c )＝0.∵a ＋c ≠0，∴3a －5c ＝0，∴3a ＝5c ，∴e ＝c a ＝35.求椭圆离心率的常用方法：1．直接法：求出a 、c 后用公式e ＝ca求解；或求出a 、b 后，用公式e ＝1－b 2a2求解． 2．转化法：将条件转化为关于a 、b 、c 的关系式，用b 2＝a 2－c 2消去b ，构造关于c a的方程来求解．(1)求椭圆x 216＋y 28＝1的离心率．(2)已知椭圆的两个焦点F 1、F 2，点A 为椭圆上一点，且AF 1→·AF 2→＝0，∠AF 2F 1＝60°，求椭圆的离心率．【解】 (1)e ＝1－b 2a2＝1－816＝12＝22. (2)设F 1F 2＝2c ，由题意知，△AF 1F 2中，∠A ＝90°，∠AF 2F 1＝60°，∴|AF 1|＝3c ，|AF 2|＝c .∵|AF 1|＋|AF 2|＝3c ＋c ＝2a ， 即(3＋1)c ＝2a ，∴e ＝ca＝23＋1＝3－1.(对应学生用书第25页)混淆长轴长与长半轴长、短轴长与短半轴长的概念致误 求椭圆25x 2＋y 2＝25的长轴长和短轴长．【错解】 将方程化为标准方程得：x 2＋y 225＝1，∴a ＝5，b ＝1，∴长轴长是5，短轴长是1.【错因分析】 错解中将长半轴长、短半轴长与长轴长、短轴长混淆了，从而导致错误． 【防范措施】 根据定义，长轴长为2a ，短轴长为2b ，往往与长半轴长a 、短半轴长b 混淆，解题时要特别注意．【正解】 将已知方程化成标准方程为x 2＋y 225＝1.∴a ＝5，b ＝1，∴2a ＝10,2b ＝2. 故长轴长为10，短轴长为2.1．通过椭圆方程可讨论椭圆的简单几何性质；反之，由椭圆的性质也可以通过待定系数法求椭圆的方程．2．椭圆的离心率反映了椭圆的扁平程度，离心率可以从关于a 、b 、c 的一个方程求得，也可以用公式求得．(对应学生用书第25页)1．椭圆6x 2＋y 2＝6的长轴的顶点坐标是( ) A ．(－1,0)、(1,0) B ．(－6,0)、(6,0)C ．(－6，0)、(6，0)D ．(0，－6)、(0，6)【解析】 椭圆的标准方程为x 2＋y 26＝1，焦点在y 轴上，其长轴的端点坐标为(0，±6)．【答案】 D2．椭圆x 2＋4y 2＝1的离心率为( ) A.32 B.34 C.22 D.23【解析】 椭圆方程可化为x 2＋y 214＝1，∴a 2＝1，b 2＝14，∴c 2＝34，∴e 2＝c 2a 2＝34，∴e ＝32. 【答案】 A3．若焦点在x 轴上的椭圆x 22＋y 2m ＝1的离心率为12，则m 等于( )A. 3B.32C.83D.23【解析】 ∵椭圆焦点在x 轴上， ∴0＜m ＜2，a ＝2，c ＝2－m ，e ＝c a ＝2－m 2＝12. 故2－m 2＝14，∴m ＝32.【答案】 B4．已知椭圆的中心在坐标原点，离心率为45，一个焦点是(0,4)，求此椭圆的标准方程．【解】 由题意：c ＝4，e ＝45，∴a ＝5，∴b 2＝a 2－c 2＝9. 又椭圆的焦点在y 轴上，∴其标准方程为y 225＋x 29＝1.一、选择题1．(2013·济南高二检测)若椭圆的长轴长为10，焦距为6，则椭圆的标准方程为( ) A.x 2100＋y 236＝1 B.x 225＋y 216＝1 C.x 2100＋y 264＝1或y 2100＋x 264＝1 D.x 225＋y 216＝1或y 225＋x 216＝1 【解析】 由题意2a ＝10,2c ＝6，∴a ＝5，b 2＝16，且焦点位置不确定，故应选D. 【答案】 D2．椭圆x 225＋y 29＝1与椭圆x 2a 2＋y 29＝1有( )A ．相同短轴B ．相同长轴C ．相同离心率D ．以上都不对【解析】 由于椭圆x 2a 2＋y 29＝1中，焦点的位置不确定，故无法确定两椭圆的长轴、短轴、离心率的关系．【答案】 D3．曲线x 225＋y 29＝1与x 29－k ＋y 225－k ＝1(0<k <9)的关系是( )A ．有相等的焦距，相同的焦点B ．有相等的焦距，不同的焦点C ．有不等的焦距，不同的焦点D ．以上都不对【解析】 曲线x 225＋y 29＝1焦距为2c ＝8，而曲线x 29－k ＋y 225－k (10＜k ＜9)表示的椭圆的焦距也是8，但由于焦点所在的坐标轴不同，故选B.【答案】 B4．过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为( )A.22 B.33C.12D.13【解析】 Rt △PF 1F 2中，|F 1F 2|＝2c ，∠F 1PF 2＝60°，∴|PF 1|＝2c 3，|PF 2|＝4c3，∴|PF 1|＋|PF 2|＝6c3＝2a ，a ＝3c . ∴e ＝ca＝13＝33. 【答案】 B5．设AB 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的长轴，若把线段AB 分为100等份，过每个分点作AB 的垂线，分别交椭圆的上半部分于点P 1，P 2，…，P 99，F 1为椭圆的左焦点，则|F 1A |＋|F 1P 1|＋|F 1P 2|＋…＋|F 1P 99|＋|F 1B |的值是( )A ．98aB ．99aC ．100aD ．101a【解析】 由椭圆的定义及其对称性可知，|F 1P 1|＋|F 1P 99|＝|F 1P 2|＋|F 1P 99|＝…＝|F 1F 49|＋|F 1P 51|＝|F 1A |＋|F 1B |＝2a ，F 1P 50＝a ，故结果应为50×2a ＋|F 1P 50|＝101a .【答案】 D 二、填空题6．(2013·兰州高二检测)若椭圆x 2k ＋8＋y 29＝1的离心率为23，则k 的值为________． 【解析】 若焦点在x 轴上，则9k ＋8＝1－(23)2＝59，k ＝415；若焦点在y 轴上，则k ＋89＝59，∴k ＝－3. 【答案】415或－3 7．椭圆的一个顶点和两个焦点构成等腰直角三角形，则此椭圆的离心率为________． 【解析】 如图所示，△AF 1F 2为等腰直角三角形． ∴OA ＝OF 1，即c ＝b ， 又∵a 2＝b 2＋c 2＝2c 2，∴c a ＝22. 【答案】228．一个顶点为(0,2)，离心率e ＝12，坐标轴为对称轴的椭圆方程为________．【解析】 (1)当椭圆焦点在x 轴上时，由已知得b ＝2，e ＝c a ＝12，∴a 2＝163，b 2＝4，∴方程为3x 216＋y 24＝1.(2)当椭圆焦点在y 轴上时，由已知得a ＝2，e ＝c a ＝12，∴a 2＝4，b 2＝3，∴方程为y 24＋x 23＝1.【答案】 3x 216＋y 24＝1或y 24＋x23＝1三、解答题9．(1)求与椭圆x 29＋y 24＝1有相同的焦点，且离心率为55的椭圆的标准方程；(2)已知椭圆的两个焦点间的距离为8，两个顶点坐标分别是(－6,0)，(6,0)，求焦点在x 轴上的椭圆的标准方程．【解】 (1)∵c ＝9－4＝5，∴所求椭圆的焦点为(－5，0)，(5，0)．设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．∵e ＝c a ＝55，c ＝5，∴a ＝5，b 2＝a 2－c 2＝20. ∴所求椭圆的标准方程为x 225＋y 220＝1.(2)因椭圆的焦点在x 轴上，设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．∵2c ＝8，∴c ＝4， 又a ＝6，∴b 2＝a 2－c 2＝20. ∴椭圆的标准方程为x 236＋y 220＝1.10．已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，若△ABF 2是正三角形，求该椭圆的离心率．【解】 如图，不妨设椭圆的焦点在x 轴上， ∵AB ⊥F 1F 2，且△ABF 2为正三角形， ∴在Rt △AF 1F 2中，∠AF 2F 1＝30°. 令|AF 1|＝x ，则|AF 2|＝2x .∴|F 1F 2|＝|AF 2|2－|AF 1|2＝3x ＝2c . 由椭圆定义，可知|AF 1|＋|AF 2|＝2a .∴e ＝2c 2a ＝3x 3x ＝33.图2－1－211．如图2－1－2所示，在Rt △ABC 中，∠CAB ＝90°，AB ＝2，AC ＝22，一曲线E 过点C ，动点P 在曲线E 上运动，且保持|PA |＋|PB |的值不变．(1)建立适当的坐标系，求曲线E 的方程；(2)试判断该方程是否为椭圆方程，若是，请写出其长轴长、焦距、离心率．【解】 (1)以AB 所在直线为x 轴，AB 的中点O 为原点建立直角坐标系，则A (－1,0)，B (1,0)，由题设可得|PA |＋|PB |＝|CA |＋|CB |＝22＋22＋222＝2 2.由椭圆定义知动点P 的轨迹为椭圆．不妨设动点P 的轨迹方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，则a ＝2，c ＝1，b ＝a 2－c 2＝1， ∴曲线E 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由(1)的求解过程知曲线E 的方程是椭圆方程，其长轴长为22，焦距为2，离心率为22. (教师用书独具)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，若椭圆上存在一点P 使a sin ∠PF 1F 2＝csin ∠PF 2F 1，求该椭圆的离心率的取值范围．【解】 在△PF 1F 2中，由正弦定理得|PF 2|sin ∠PF 1F 2＝|PF 1|sin ∠PF 2F 1，则结合已知，得a|PF 2|＝c |PF 1|，即|PF 1|＝c a |PF 2|.由椭圆的定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，则ca|PF 2|＋|PF 2|＝2a ，即|PF 2|＝2a 2c ＋a ，由椭圆的几何性质和已知条件知|PF 2|＜a ＋c ，则2a 2c ＋a ＜a ＋c ，即c 2＋2ac －a 2＞0，所以e 2＋2e －1＞0，解得e ＜－2－1或e ＞2－1.又e ∈(0,1)，故椭圆的离心率e ∈(2－1,1)．椭圆M ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为椭圆M 上任一点，且PF 1→·PF 2→的最大值的取值范围是[c 2,3c 2]，其中c ＝a 2－b 2，则椭圆M 的离心率e 的取值范围是( )A ．[14，12]B ．[12，22]C ．(22，1) D ．[12，1)【解析】 设P (x ，y )，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，则PF 1→＝(－c －x ，－y )，PF 2→＝(c －x ，－y )，PF 1→·PF 2→＝x 2＋y 2－c 2.又x 2＋y 2可看作P (x ，y )到原点的距离的平方，所以(x 2＋y 2)max ＝a 2，所以(PF 1→·PF 2→)max ＝b 2，所以c 2≤b 2＝a 2－c 2≤3c 2，即14≤e 2≤12，∴12≤e ≤22. 【答案】 B。
椭圆的简单几何性质学案
椭圆的简单几何性质（第一课时）学案【学习目标】1、知识目标：⑴掌握椭圆的简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）。
⑵能根据椭圆的几何性质解决一些简单问题。
2、能力目标：培养学生的解析几何观念，培养学生观察、概括能力，以及分析问题、解决问题的能力。
3、情感目标：培养学生对待知识的科学态度和主动探索精神，激发学生学习激情，提高学生数学素养,培养学生对立统一的辩证唯物主义思想。
【学习重点】椭圆的简单几何性质。
【学习难点】椭圆的简单几何性质的应用。
【学习过程】自主学习:复习题：已知方程12322=++kykx—表示椭圆，则k 的范围是_____________椭圆的简单几何性质（以)0(12222>>=+b a by ax 为例）知识探究一:1． 椭圆的范围：若椭圆的方程为)0(12222>>=+b a by ax 则x 的取值范围为__________________ y 的取值范围为_______________ 探究练习题1．椭圆14922=+yx的范围是___________________________________变式1． 椭圆的方程为14922=+yx,求x-y 的范围2. 椭圆的对称性：从图形上看，椭圆关于x 轴、y 轴、原点对称。
从方程上看：（1）以-x 代x 方程不变，椭圆关于____________ 轴对称；（2）以-y 代y 方程不变，椭圆关于____________ 轴对称；（3）以-x 代x ，同时以-y 代y 方程不变，椭圆关于____________成中心对称。
__________是椭圆的对称轴， __________ 是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。
探究练习题2．若方程)0(2≠++=a c bx ax y 所表示的曲线关于y 轴对称，则=b ___变式题2．在下列方程所表示的曲线中，关于x 轴、y 轴都对称的是( )A.x 2＝yB.x 2＋2xy ＋y ＝0C.x 2－4y 2＝5xD.9x 2＋y 2＝43．椭圆的顶点：在12222=+by ax （)0(>>b a 中令 x=0，得 y=___________，说明椭圆与 y 轴的交点？令 y=0，得 x=___________，说明椭圆与 x 轴的交点？顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的____________。
高中数学《椭圆的简单几何性质》导学案
2.1.2椭圆的简单几何性质椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程□01x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)□02y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)范围□03－a≤x≤a且－b≤y≤b□04－b≤x≤b且－a≤y≤a顶点□05A(±a,0)，B(0，±b)□06A(0，±a)，B(±b,0)轴长短轴长＝□072b，长轴长＝□082a焦点□09(±c,0)□10(0，±c)焦距|F1F2|＝□112c对称性对称轴□12x轴、y轴，对称中心□13(0,0)离心率e＝□14c a(0<e<1)1．椭圆几何性质的应用(1)椭圆的焦点决定椭圆的位置，范围决定椭圆的大小，离心率决定了椭圆的扁圆程度，对称性是椭圆的重要特征，顶点是椭圆与对称轴的交点，是椭圆重要的特殊点；若已知椭圆的标准方程，则根据a，b的值可确定其性质．(2)明确a，b的几何意义，a是长半轴长，b是短半轴长，不要与长轴长、短轴长混淆，由c2＝a2－b2，可得“已知椭圆的两个顶点，求焦点”的几何作图法，只要以短轴的端点B1(或B2)为圆心，以a为半径作弧交长轴于两点，这两点就是焦点．(3)如图所示椭圆中的△OF2B2中，a，b，c，e对应的线段或量为a＝|F2B2|，b＝|OB2|，c＝|OF2|，e＝ca＝|OF2||F2B2|＝cos∠OF2B2.(4)若椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，则椭圆与x轴的交点A1，A2到焦点F2的距离分别最大和最小，且|A1F2|＝a＋c，|A2F2|＝a－c.2．椭圆的离心率对椭圆形状的影响椭圆的焦距与长轴长的比称作椭圆的离心率，记作e＝2c2a＝ca.∵a>c>0，∴0<e<1.e越接近于1，则c就越接近于a，从而b＝a2－c2越小，因此椭圆越扁；反之，e越接近于0，c就越接近于0，从而b越接近于a，这时椭圆就越接近于圆，当且仅当a＝b时，c＝0，这时两个焦点重合，这时图形就变为圆，此时方程即为x2＋y2＝a2.3．利用方程研究曲线对称性的方法若把曲线方程中的x换成－x，y换成－y，方程不变，则曲线关于原点对称；若把曲线方程中的y换成－y，方程不变，则曲线关于x轴对称；若把曲线方程中的x换成－x，方程不变，则曲线关于y轴对称．4．点P(x0，y0)和椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的关系(1)P(x0，y0)在椭圆内⇔x20a2＋y20b2<1；(2)P(x0，y0)在椭圆上⇔x20a2＋y20b2＝1；(3)P(x0，y0)在椭圆外⇔x20a2＋y20b2>1.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的长轴长等于a.()(2)椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a－c.()(3)椭圆的离心率e越小，椭圆越圆．()答案(1)×(2)√(3)√2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)椭圆x2＋9y2＝36的短轴的端点为________．(2)椭圆x24＋y29＝1的离心率e＝________.(3)设P(m，n)是椭圆x225＋y29＝1上任意一点，则m的取值范围是________．答案(1)(0,2)，(0，－2)(2)53(3)[－5,5]探究1 椭圆的简单几何性质例1 已知椭圆x 2＋(m ＋3)y 2＝m (m >0)的离心率e ＝32，求m 的值及椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标．[解] 椭圆方程可化为x 2m ＋y 2m m ＋3＝1，∵m －m m ＋3＝m (m ＋2)m ＋3>0，∴m >mm ＋3.∴椭圆焦点在x 轴上．∴a 2＝m ，b 2＝mm ＋3，c ＝a 2－b 2＝m (m ＋2)m ＋3.由e ＝32得，m ＋2m ＋3＝32，∴m ＝1. ∴椭圆的标准方程为x 2＋y 214＝1.∴a ＝1，b ＝12，c ＝32.∴椭圆的长轴长为2；短轴长为1；两焦点坐标分别为F 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0，F 2⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0；四个顶点分别为A 1(－1,0)，A 2(1,0)，B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，B 2⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.拓展提升1.用标准方程研究几何性质的步骤 (1)将椭圆方程化为标准形式． (2)确定焦点位置． (3)求出a ，b ，c .(4)写出椭圆的几何性质．2．根据椭圆的几何性质求标准方程此类问题通常采用待定系数法，其步骤仍然是“先定型，后计算”，即首先确定焦点位置，其次根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求得参数．【跟踪训练1】 (1)求椭圆4x 2＋9y 2＝36的长轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标；解 椭圆方程变形为x 29＋y 24＝1，∴a ＝3，b ＝2， ∴c ＝a 2－b 2＝9－4＝ 5.∴椭圆的长轴长和焦距分别为2a ＝6,2c ＝25， 焦点坐标为F 1(－5，0)，F 2(5，0)，顶点坐标为A 1(－3,0)，A 2(3,0)，B 1(0，－2)，B 2(0,2)． (2)求适合下列条件的椭圆的标准方程． ①长轴长是短轴长的5倍，且过点A (5,0)； ②离心率e ＝35，焦距为12.解 ①若椭圆焦点在x 轴上，设其标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由题意得⎩⎨⎧2a ＝5×2b ，25a 2＋0b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝1，故所求椭圆的标准方程为x 225＋y 2＝1；若焦点在y 轴上，设其标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，由题意，得⎩⎨⎧2a ＝5×2b ，0a 2＋25b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝25，b ＝5，故所求椭圆的标准方程为y 2625＋x 225＝1.综上所述，所求椭圆的标准方程为x 225＋y 2＝1或y 2625＋x 225＝1.②由e ＝c a ＝35，2c ＝12，得a ＝10，c ＝6， ∴b 2＝a 2－c 2＝64.当焦点在x 轴上时，所求椭圆的标准方程为x 2100＋y 264＝1；当焦点在y 轴上时，所求椭圆的标准方程为y 2100＋x 264＝1. 综上所述，所求椭圆的标准方程为x 2100＋y 264＝1或y 2100＋x 264＝1. 探究2 椭圆的离心率问题例2 直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为( )A.13B.12C.23D.34[解析] 不妨设直线l 过椭圆的上顶点(0，b )和左焦点(－c,0)，b >0，c >0，则直线l 的方程为bx －cy ＋bc ＝0，由已知得bc b 2＋c 2＝14×2b ，解得b 2＝3c 2，又b 2＝a 2－c 2，所以c 2a 2＝14，即e 2＝14，所以e ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫e ＝－12舍去.故选B.[答案] B[解法探究] 例2有没有其他解法呢？ 解 如图，由题意得在椭圆中，OF ＝c ，OB ＝b ，OD ＝14×2b ＝12b ，BF ＝a .在Rt △OFB 中，|OF |·|OB |＝|BF |·|OD |，即c ·b ＝a ·12b ，解得c a ＝12，所以椭圆的离心率e ＝12.拓展提升求椭圆离心率及范围的两种方法(1)直接法：若已知a ，c 可直接利用e ＝ca 求解．若已知a ，b 或b ，c 可借助于a 2＝b 2＋c 2求出c 或a ，再代入公式e ＝ca 求解．(2)方程法：若a ，c 的值不可求，则可根据条件建立a ，b ，c 的关系式，借助于a 2＝b 2＋c 2，转化为关于a ，c 的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a 的最高次幂，得到关于e 的方程或不等式，即可求得e 的值或范围．【跟踪训练2】 (1)已知F 1(－c,0)，F 2(c,0)为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的两个焦点，P 为椭圆上一点且PF 1→·PF 2→＝c 2，则此椭圆离心率的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，12 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，22 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22答案 C解析 设P (m ，n )，PF 1→·PF 2→＝c 2＝(－c －m ，－n )·(c －m ，－n )＝m 2－c 2＋n 2，∴m 2＋n 2＝2c 2,2c 2－m 2＝n 2①，把P (m ，n )代入椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1得b 2m 2＋a 2n 2＝a 2b 2②，把①代入②得m 2＝a 2b 2－2a 2c 2b 2－a 2≥0，∴a 2b 2≤2a 2c 2，∴b 2≤2c 2，∴a 2≤3c 2，∴e ＝c a ≥33.又m 2＝a 2b 2－2a 2c 2b 2－a 2≤a 2，∴a 2≥2c 2，∴e ＝c a ≤22.综上知此椭圆离心率的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，22.故选C.(2)已知F 1为椭圆的左焦点，A ，B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，P 为椭圆上的点，当PF 1⊥F 1A ，PO ∥AB (O 为椭圆中心)时，求椭圆的离心率．解 解法一：由已知可设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，c 2＝a 2－b 2，F 1(－c,0)，∵PF 1⊥F 1A ， ∴P ⎝⎛⎭⎪⎫－c ，b 1－c 2a 2，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a ， ∵AB ∥PO ，∴k AB ＝k OP ，即－b a ＝－b 2ac ，∴b ＝c ，∴a 2＝2c 2，∴e ＝c a ＝22.解法二：由解法一知P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a ，又△PF 1O ∽△BOA ，∴PF 1BO ＝F 1OOA ，∴b 2a b ＝c a ，即b ＝c ，∴a 2＝2c 2， ∴e ＝c a ＝22.探究3 直线与椭圆的位置关系例3 已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12在椭圆E 上．(1)求椭圆E 的方程；(2)设不过原点O 且斜率为12的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为M ，直线OM 与椭圆E 交于C ，D ，证明：|MA |·|MB |＝|MC |·|MD |.[解] (1)由已知，a ＝2b .又椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12，故34b 2＋14b 2＝1，解得b 2＝1，所以a 2＝4， 所以椭圆E 的方程是x 24＋y 2＝1.(2)证明：设直线l 的方程为y ＝12x ＋m (m ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝12x ＋m ，得x 2＋2mx ＋2m 2－2＝0， ① 方程①的判别式为Δ＝4(2－m 2)， 由Δ>0，即2－m 2>0，解得－2<m < 2. 由①得x 1＋x 2＝－2m ，x 1x 2＝2m 2－2，所以M 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－m ，m 2，直线OM 的方程为y ＝－12x ，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝－12x ，得C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，22，D ⎝⎛⎭⎪⎫2，－22或C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－22，D ⎝⎛⎭⎪⎫－2，22，所以|MC |·|MD |＝52(－m ＋2)·52(2＋m )＝54(2－m 2)，又|MA |·|MB |＝14|AB |2＝14[(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2]＝516[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝516[4m 2－4(2m 2－2)]＝54(2－m 2)，所以|MA |·|MB |＝|MC |·|MD |.拓展提升1.利用设而不求的方法解决直线与椭圆位置关系问题的解题步骤 (1)设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． (2)联立直线与椭圆的方程．(3)消元得到关于x 或y 的一元二次方程． (4)利用根与系数的关系设而不求．(5)把题干中的条件转化为x 1＋x 2，x 1x 2或y 1＋y 2，y 1y 2，进而求解． 2．直线与椭圆相交弦长的有关问题(1)当弦的两端点的坐标易求时，可直接求出交点坐标，再用两点间距离公式求弦长．(2)当弦的两端点的坐标不易求时，可用弦长公式． (3)如果直线方程涉及斜率，要注意斜率不存在的情况．【跟踪训练3】 (1)在椭圆x 24＋y 27＝1上求一点P ，使它到直线l ：3x －2y －16＝0的距离最短，并求出最短距离．解 设与椭圆相切并与l 平行的直线方程为y ＝32x ＋m ，代入x 24＋y 27＝1，并整理得4x 2＋3mx ＋m 2－7＝0，Δ＝9m 2－16(m 2－7)＝0⇒m 2＝16⇒m ＝±4，故两切线方程为y ＝32x ＋4和y ＝32x －4，显然y ＝32x －4距l 最近，d ＝|16－8|32＋(－2)2＝813，切点为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－74.(2)已知椭圆4x 2＋y 2＝1及直线y ＝x ＋m .(ⅰ)当直线和椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围； (ⅱ)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．解 (ⅰ)由⎩⎪⎨⎪⎧4x 2＋y 2＝1，y ＝x ＋m ，得5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0，因为直线与椭圆有公共点，所以Δ＝4m 2－20(m 2－1)≥0，解得－52≤m ≤52.(ⅱ)设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点， 由(ⅰ)知：5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0， 所以x 1＋x 2＝－2m 5，x 1x 2＝15(m 2－1)， 所以|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝2(x 1－x 2)2＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤4m 225－45(m 2－1) ＝2510－8m 2.所以当m ＝0时，|AB |最大，此时直线方程为y ＝x .探究4 椭圆的中点弦问题例4 已知椭圆x 216＋y 24＝1，过点P (2,1)作一弦，使弦在这点被平分，求此弦所在直线的方程．[解] 解法一：如图，易知直线斜率存在，设所求直线的方程为y －1＝k (x －2)，代入椭圆方程并整理，得(4k 2＋1)x 2－8(2k 2－k )x ＋4(2k －1)2－16＝0，(*) 又设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1，x 2是(*)方程的两个根， ∴x 1＋x 2＝8(2k 2－k )4k 2＋1.∵P 为弦AB 的中点，∴x 1＋x 22＝4(2k 2－k )4k 2＋1＝2.解得k ＝－12，且满足Δ>0. ∴所求直线的方程为x ＋2y －4＝0.解法二：设直线与椭圆交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∵P 为弦AB 的中点， ∴x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2.又∵A ，B 在椭圆上，∴x 21＋4y 21＝16，x 22＋4y 22＝16. 两式相减，得(x 21－x 22)＋4(y 21－y 22)＝0，即(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0. ∴y 1－y 2x 1－x 2＝－(x 1＋x 2)4(y 1＋y 2)＝－12，即k AB ＝－12.∴所求直线方程为y －1＝－12(x －2)， 即x ＋2y －4＝0.解法三：设所求直线与椭圆的一交点为A (x ，y )，另一交点为B (4－x,2－y )，∵A ，B 在椭圆上，∴x 2＋4y 2＝16，① (4－x )2＋4(2－y )2＝16.②①－②得x ＋2y －4＝0，则A ，B 在直线x ＋2y －4＝0上，而过A ，B 的直线只有一条，∴所求直线的方程为x ＋2y －4＝0. 拓展提升解决椭圆中点弦问题的三种方法(1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决．(2)点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系．(3)共线法：利用中点坐标公式，如果弦的中点为P (x 0，y 0)，设其一交点为A (x ，y )，则另一交点为B (2x 0－x ，2y 0－y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，(2x 0－x )2a 2＋(2y 0－y )2b 2＝1，两式作差即得所求直线方程．这三种方法中又以点差法最为常用，点差法中体现的设而不求思想还可以用于解决对称问题，因为这类问题也与弦中点和斜率有关．与弦中点有关的问题有平行弦的中点轨迹、过定点且被定点平分的弦所在的直线方程等．这类问题的解决，从不同的角度体现了判别式、根与系数的关系、点差法、椭圆的性质、线段的垂直平分线的性质等知识在直线与椭圆的位置关系中的作用，解法多、方法活．【跟踪训练4】 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，点(2，2)在C 上．(1)求C 的方程；(2)直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．解 (1)由题意有a 2－b 2a ＝22，4a 2＋2b 2＝1，解得a 2＝8，b 2＝4. 所以C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)证法一：设直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0，b ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M )．将y ＝kx ＋b 代入x 28＋y 24＝1，得 (2k 2＋1)x 2＋4kbx ＋2b 2－8＝0.故x M ＝x 1＋x 22＝－2kb 2k 2＋1，y M ＝k ·x M ＋b ＝b2k 2＋1.于是直线OM 的斜率k OM ＝y M x M＝－12k ，即k OM ·k ＝－12.所以直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值． 证法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M )，则⎩⎪⎨⎪⎧x 218＋y 214＝1，①x 228＋y 224＝1，②①－②得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)8＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)4＝0，∴k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－4(x 1＋x 2)8(y 1＋y 2)＝－12·x My M .又k OM ＝y M x M，∴k AB ·k OM ＝－12.所以直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．1.求椭圆离心率及范围的两种方法 (1)直接法；(2)方程法.2.判断直线与椭圆的位置关系的方法3.求弦长的两种方法(1)求出弦两端点的坐标，然后利用两点间的距离公式求解； (2)结合根与系数的关系，利用弦长公式 l ＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] 或l ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2]求解. 4.两个特殊结论(1)如图，过椭圆的一个焦点且与长轴垂直的弦|AB |＝2b 2a ，称为通径. (2)椭圆上的点到一焦点的最大距离为a ＋c ，最小距离为a －c . 5.解决椭圆中点弦问题的三种方法(1)根与系数的关系法. (2)点差法. (3)共线法.1．椭圆4x 2＋49y 2＝196的长轴长、短轴长、离心率依次是( ) A ．7,2，357 B ．14,4，357 C ．7,2，57 D ．14,4，－57答案 B解析 先将椭圆方程化为标准形式：x 249＋y 24＝1，其中b ＝2，a ＝7，c ＝35，则2a ＝14,2b ＝4，e ＝c a ＝357.故选B.2．点A (a,1)在椭圆x 24＋y 22＝1的内部，则a 的取值范围是( ) A ．－2<a < 2 B ．a <－2或a > 2 C ．－2<a <2 D ．－1<a <1 答案 A解析 由已知可得a 24＋12<1，∴a 2<2，即－2<a < 2.3．过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为( )A.52B.33C.12D.13 答案 B解析 ∵PF 1⊥F 1F 2，F 1F 2＝2c ，∠F 1PF 2＝60°，∴|PF 1|＝233c ，|PF 2|＝433c ，∵|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，∴233c ＋433c ＝2a ，得e ＝c a ＝33.4．直线y ＝x ＋1被椭圆x 24＋y 22＝1所截得的弦的中点坐标是________． 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，13解析 把y ＝x ＋1代入椭圆方程，整理得3x 2＋4x －2＝0，所以弦的中点坐标(x 0，y 0)满足x 0＝x 1＋x 22＝－23，y 0＝x 0＋1＝－23＋1＝13，所以中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，13.5．已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ：(1)有两个公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点．解 直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，得方程组⎩⎨⎧y ＝2x ＋m ，x 24＋y 22＝1，消去y ，得9x 2＋8mx ＋2m 2－4＝0.①方程①的判别式Δ＝(8m )2－4×9×(2m 2－4)＝－8m 2＋144.(1)当Δ>0，即－32<m <32时，方程①有两个不同的实数解，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个公共点．(2)当Δ＝0，即m ＝±32时，方程①有两个相同的实数解，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点．(3)当Δ<0，即m <－32或m >32时，方程①没有实数解，可知原方程组没有实数解．这时直线l 与椭圆C 没有公共点．A 级：基础巩固练一、选择题1．已知椭圆C 1：x 212＋y 24＝1，C 2：x 216＋y 28＝1，则( ) A ．C 1与C 2顶点相同 B ．C 1与C 2长轴长相同 C ．C 1与C 2短轴长相同 D ．C 1与C 2焦距相等答案 D解析 由两个椭圆的标准方程可知，C 1的顶点坐标为(±23，0)，(0，±2)，长轴长为43，短轴长为4，焦距为42；C 2的顶点坐标为(±4,0)，(0，±22)，长轴长为8，短轴长为42，焦距为4 2.故选D.2．椭圆E 的焦点在x 轴上，中心在原点，其短轴上的两个顶点和两个焦点恰为边长是2的正方形的顶点，则椭圆E 的标准方程为( )A.x 22＋y 22＝1B.x 22＋y 2＝1 C.x 24＋y 22＝1 D.y 24＋x 22＝1答案 C解析 设椭圆E 的左、右焦点分别为F 1，F 2，上顶点为A ，则由题意得|AF 1|＝|AF 2|＝a ＝2，|F 1F 2|＝22，c ＝b ＝2，所以椭圆E 的标准方程为x 24＋y 22＝1.3．若直线y ＝kx ＋2与椭圆x 23＋y 22＝1相切，则斜率k 的值是( ) A.63 B ．－63 C ．±63 D ．±33 答案 C解析 把y ＝kx ＋2代入x 23＋y 22＝1得(2＋3k 2)x 2＋12kx ＋6＝0，由于Δ＝0，∴k 2＝23，∴k ＝±63.4．椭圆x 24＋y 2＝1的两个焦点为F 1，F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则|PF 2|为( )A.32B. 3C.72 D ．4 答案 C解析 ∵|PF 1|＋|PF 2|＝4，|PF 1|＝b 2a ＝12，∴|PF 2|＝4－12＝72.5．已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，满足MF 1→·MF 2→＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( )A ．(0,1) B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 答案 C解析 由MF 1→·MF 2→＝0知MF 1⊥MF 2，∴椭圆上的点均满足∠F 1MF 2<90°，∴只需F 1，F 2与短轴端点形成的角为锐角，所以c <b ⇒c 2<b 2＝a 2－c 2，即2c 2<a 2，解得e ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，22.6．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为e ＝12，右焦点为F (c,0)，方程ax 2＋bx －c ＝0的两个实根分别为x 1和x 2，则点P (x 1，x 2)的位置( )A ．必在圆x 2＋y 2＝2内B ．必在圆x 2＋y 2＝2上C ．必在圆x 2＋y 2＝2外D ．以上三种情形都有可能 答案 A解析 由e ＝12知c a ＝12，a ＝2c .由a 2＝b 2＋c 2得b ＝3c ，代入ax 2＋bx －c ＝0，得2cx 2＋3cx －c ＝0，即2x 2＋3x －1＝0，则x 1＋x 2＝－32，x 1x 2＝－12，x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝74<2.二、填空题7．已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 上的点到焦点的距离的最大值为3，最小值为1，则椭圆C 的标准方程为________．答案 x 24＋y 23＝1解析 由题意可知a ＋c ＝3，a －c ＝1，解得a ＝2，c ＝1，则b 2＝3，又焦点在x 轴上，∴椭圆C 的标准方程是x 24＋y 23＝1.8．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为________．答案 6解析 由椭圆x 24＋y 23＝1可得F (－1,0)，O (0,0)．设P (x ，y )，－2≤x ≤2，则OP →·FP →＝x 2＋x ＋y 2＝x 2＋x ＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14x 2＝14x 2＋x ＋3＝14(x ＋2)2＋2，当且仅当x ＝2时，OP →·FP →取得最大值6.9．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点和上顶点分别为A 和B ，右焦点为F .若|AF |，|AB |,3|BF |成等比数列，则该椭圆的离心率为________．答案3－52解析 ∵|AF |＝a －c ，|AB |＝a 2＋b 2，3|BF |＝3a ，∴由|AF |·3|BF |＝|AB |2得，a 2＋b 2＝3a (a －c )， ∵b 2＝a 2－c 2，∴c 2－3ac ＋a 2＝0，则e 2－3e ＋1＝0，解得e ＝3－52或e ＝3＋52(舍去)．三、解答题10．已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率e ＝13，又知椭圆上一点M ，它的横坐标等于焦点的横坐标，纵坐标是4，求此椭圆的方程．解 ∵椭圆的焦点在x 轴上，∴设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，∵e ＝c a ＝13，∴a ＝3c .∵b 2＝a 2－c 2，∴b 2＝9c 2－c 2＝8c 2. 又∵M (c,4)在椭圆上，∴c 29c 2＋168c 2＝1， 解之得c 2＝94， ∴a 2＝814，b 2＝18， ∴所求椭圆的方程为x 2814＋y 218＝1.B 级：能力提升练1．焦点分别为(0,52)和(0，－52)的椭圆截直线y ＝3x －2所得弦的中点的横坐标为12，求此椭圆的方程．解 解法一：设椭圆的方程为x 2b 2＋y 2a 2＝1(a >b >0)，且a 2－b 2＝(52)2＝50.①由⎩⎨⎧x 2b 2＋y 2a 2＝1，y ＝3x －2，消去y 得(a 2＋9b 2)x 2－12b 2x ＋4b 2－a 2b 2＝0.设弦两端点横坐标分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝12b 2a 2＋9b 2. ∵x 1＋x 22＝12，∴6b 2a 2＋9b 2＝12， 即a 2＝3b 2.②由①②得a 2＝75，b 2＝25，此时Δ>0. ∴椭圆的方程为x 225＋y 275＝1.解法二：设椭圆方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，直线y ＝3x －2与椭圆交于A ，B 两点，且A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21a 2＋x 21b 2＝1， ①y 22a 2＋x 22b 2＝1.②①－②得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)a 2＝－(x 1＋x 2)(x 1－x 2)b 2，即y 1－y 2x 1－x 2＝a 2(x 1＋x 2)－b 2(y 1＋y 2)＝－a 2(x 1＋x 2)b 2(y 1＋y 2). ∵k AB ＝3，AB 中点为(x 0，y 0)，x 0＝12，y 0＝－12， ∴3＝－a 2b 22×122×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝a 2b 2，即a 2＝3b 2.又a 2－b 2＝(52)2＝50， ∴a 2＝75，b 2＝25， ∴椭圆方程为y 275＋x 225＝1.数学•选修1－12．如图，F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是椭圆C 的顶点，B 是直线AF 2与椭圆C 的另一个交点，∠F 1AF 2＝60°.(1)求椭圆C 的离心率；(2)已知△AF 1B 的面积为403，求a ，b 的值．解 (1)由题意可知，△AF 1F 2为等边三角形，a ＝2c ，所以e ＝12. (2)直线AB 的方程为y ＝－3(x －c )． 将其代入椭圆方程3x 2＋4y 2＝12c 2，得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫85c ，－335c . 所以|AB |＝1＋3·⎪⎪⎪⎪⎪⎪85c －0＝165c . 由S △AF 1B ＝12|AF 1|·|AB |sin ∠F 1AB ＝12a ·165c ·32＝235a 2＝403，解得a ＝10，b ＝a 2－c 2＝32a ＝5 3.。
高中数学-椭圆的几何性质(-)导学案doc
椭圆的几何性质（一）（导学案）完成导学案以前先阅读教材页学习导航通过几何图形观察，代数方程验证的学习过程，体会数形结合的数学思想.通过几何性质的代数研究，养成辩证统一的世界观.学习目标1.理解椭圆的简单几何性质.2.利用椭圆的简单几何性质解决一些简单问题.椭圆的几何性质（一）重点: 理解椭圆的简单几何性质.难点:利用椭圆的简单几何性质解决一些简单问题.独立学习新知初探·思维启动想一想：做一做：1.椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在y轴上焦点在x轴上图形标准方程范围顶点轴长短轴长＝，长轴长＝焦点(±a2－b2，0)(0，±a2－b2)焦距|F1F2|＝2a2－b2对称性对称轴：对称中心：离心率e＝ca∈，则椭圆越扁；当椭圆离心率越，则椭圆越接近于圆.探究点一椭圆的简单几何性质问题1观察椭圆x2a2＋y2b2＝1 (a>b>0)的形状，你能从图中看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？问题2如何用椭圆的标准方程(代数方法)研究你观察到的几何性质？问题3观察不同的椭圆，椭圆的扁平程度不一样，怎样刻画椭圆的扁平程度呢？结论我们把椭圆的焦距与长轴长的比ca称为椭圆的离心率，用e表示，即e＝ca.e越接近于1，椭圆越扁；e越接近于0，椭圆越接近于圆.问题4(1)ba或cb的大小能刻画椭圆的扁平程度吗？为什么？(2)你能运用三角函数的知识解释：为什么e＝ca越大，椭圆越扁？e＝ca越小，椭圆越圆吗？问题5比较下列各组中椭圆的形状，哪一个更圆，哪一个更扁？为什么？(1)4x2＋9y2＝36与x225＋y220＝1； (2)9x2＋4y2＝36与x212＋y216＝1.小组交流.展示提升.例1求椭圆m2x2＋4m2y2＝1 (m>0)的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率.例2椭圆过点(3,0)，离心率e＝63，求椭圆的标准方程.强化训练1.已知椭圆方程为4x2＋9y2＝36，求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率2.求适合下列条件的椭圆的标准方程.(1)长轴在x轴上，长轴的长等于12，离心率等于23；(2)长轴长是短轴长的2倍，且椭圆过点(－2，－4).反思拓展本节课收获：.本节课不足：.以后努力方向：.堂清训练1.椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是（）A.5、3、0.8B.10、6、0.8C.5、3、0.6D.10、6、0.62.已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，且长轴长为12，离心率为13，则椭圆的方程是()A.x2144＋y2128＝1 B.x236＋y220＝1 C.x232＋y236＝1 D.x236＋y232＝13.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是()A.45B.35C.25D.154.若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为________. 拓展题如图，A 、B 、C 分别为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的顶点与焦点，若∠ABC ＝90°，则该 椭圆的离心率为( ) A.－1＋52B.5－1C.2＋12D.2＋1 附加题如图所示，椭圆的中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，A ，B 是椭圆的顶点，P 是椭圆上且PF 1⊥x 轴，PF 2∥AB ，求此椭圆的离心率.。
椭圆的简单几何性质导学案
椭圆的简单几何性质导学案（复习课）教学目标：1.深入了解椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等简单几何性质。
2.掌握a、b、c几何意义以及a、b、c、e 的相互关系。
3.能利用椭圆的有关知识解释实际问题。
4.贯彻数形结合思想，运用曲线方程研究几何性质。
教学重、难点：重点：椭圆的简单几何性质。
难点：运用椭圆的几何性质解决有关椭圆的综合问题。
椭圆的标准方程及其几何性质：常见题型一:椭圆几何性质的简单应用例1 已知椭圆方程为16x 2+25y 2=400,它的长轴长是： 。
短轴长是：焦距是 。
离心率等于： 。
焦点坐标是： 。
顶点坐标是： 。
例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程(1)与椭圆4x 2+9y 2=36有相同的焦点，且离心率为 55 ；(2)长轴长是短轴长的2倍，且过点A （2，0）；练习：(1) 在x 轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6，求椭圆的标准方程；(2) 椭圆的一个焦点到长轴两端点的距离之比为1:4，短轴长为8，求椭圆的标准方程。
常见题型二：有关椭圆的离心率例3（1）已知椭圆C: 14222=+y a x 的一个焦点（2,0），求椭圆的离心率。
（2）若椭圆的焦距、短轴长、长轴长构成一个等比数列，求椭圆的离心率.练习：1、若椭圆长轴长、短轴长和焦距成等差数列，求该椭圆的离心率．2. (13四川)从椭圆 22221(0)x y a b a b +=>>上一点Ｐ向ｘ轴作垂线，垂足恰为左焦点，A 是椭圆与ｘ轴正半轴的交点，Ｂ是椭圆与ｙ轴正半轴的交点，且 //AB OP ，Ｏ是坐标原点，则该椭圆离心率是（ ）Ａ．4 Ｂ． 12Ｃ．2 Ｄ.2目标测试：1. 椭圆以坐标轴为对称轴，离心率 e= 32，长轴长为6，则椭圆的方程为（ ）A. 1203622=+y xB.15922=+y xC.15922=+y x 或15922=+x yD.1203622=+x y 或1203622=+y x2.椭圆 12222=+b y a x 和 k b y a x =+2222 （k>0）具有（ ）A.相同的长轴B.相同的焦点C.相同的顶点D.相同的离心率思考： 设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为21F F 、，如果椭圆上存在点P ，使︒=∠90PF F 21，求离心率e 的取值范围。
椭圆的简单几何性质导学案(定稿)
2.2.2椭圆的几何性质导学案学习目标1、掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率、理解a,b,c,e的几何意义2 、通过对椭圆标准方程的讨论，理解在解析几何中是怎样用代数方法研究几何问题的。
3 、初步利用椭圆的几何性质解决问题。
学习重点与难点学习重点：椭圆的几何性质学习难点：椭圆的几何性质的探讨以及a,b,c,e的关系复习旧知（1）椭圆的定义: .（2）椭圆的标准方程：焦点在x轴上时：.焦点在y轴上时：.（3）椭圆中a,b,c的关系是: .学习过程一、课内探究探究一：观察椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的形状，你能从图形上看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？1 、范围：x y（1）从图形上看，椭圆上点的横坐标的范围是_________________。
椭圆上点的纵坐标的范围是.____________________。
（2）由椭圆的标准方程)0(12222>>=+b a by a x 知：① 22a x ____1,即____ ≤≤x ____ ，② 22b y ____ 1；即____≤≤y ___因此)0(12222>>=+b a by a x 位于直线 和__________围成的矩形里。
2 、对称性（1）从图形上看，椭圆关于_________，__________，__________对称（2）从方程上看，在椭圆的标准方程)0(12222>>=+b a by a x 中① 把x 换成-x 方程不变，说明图像关于__________轴对称。
②把y 换成-y 方程不变，说明图像关于__________轴对称。
③把x 换成-x ，同时把y 换成-y 方程不变，说明图形关于__________对称， 因此____________是椭圆的对称轴，_________是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做___________。
高中数学第二章2.1.2椭圆的几何性质同步导学案新人教B版选修78
2.1.2椭圆的几何性质学习目标：1使学生能根据椭圆的标准方程指出椭圆的范围、顶点、对称轴及对称中心2 让学生能熟练掌握基本量c b a ,,之间的关系及其几何意义3.使学生掌握离心率的概念及其几何意义，能够熟练地利用基本量求离心率和利用离心率求基本量。
德育目标：通过本节课的学习，使学生进一步体会曲线与方程的对应关系，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用重点：通过图形和方程两个角度的认识，掌握椭圆的简单几何性质难点：结合不同椭圆形状变化，体会离心率的大小与椭圆扁平程度的关系。
能够熟练地求离心率以及利用离心率解决问题活动一：自主预习，知识梳理一．焦点在x 轴，y 轴上的椭圆的几何性质与特征的比较二．离心率的大小对椭圆形状的影响1.当e 趋近于1时，c 趋近于 ，从而22c a b -=越小，因此椭圆越 ；2.当e 趋近于0时，c 趋近于0，从而b 趋近于a ，因此椭圆越接近与 。
椭圆与圆是两种不同的曲线，椭圆的离心率满足不等式10<<e 时。
当0=e 时，曲线就变为圆了。
活动二：问题探究如图所示，在椭圆中的22B OF ∆中，能否找出e c b a ,,,对应的线段或量活动三：要点导学，合作探究要点一：利用椭圆的标准方程研究其几何性质例1：求椭圆369422=+y x 的长轴长和短轴长、焦点坐标及顶点坐标，并用描点法画出它的图形练习：P42练习A要点二利用椭圆的几何性质求其标准方程例2： （1）椭圆的长轴长为102，一个焦点坐标为（2,0），则它的标准方程为 （2）已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为23，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为要点三 与椭圆的离心率有关的问题例3：设21,F F 是椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x E 的左右焦点，P 为直线23a x =上一点，12PF F ∆是底角为 30的等腰三角形，求E 的离心率要点四：椭圆中的最值问题例4：如图所示，点A,B 分别是椭圆1203622=+y x 长轴的左右顶点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，PF PA ⊥.(1) 求P 点的坐标(2) 设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于MB ，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值小结：反思：作业：P43练习B。
高中数学 3.1《椭圆的简单几何性质》导学案 北师大版选修2-1
2.2.2《椭圆的简单几何性质》导学案【学习目标】1.了解用方程的方法研究图形的对称性；2.理解椭圆的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点的概念；3.掌握椭圆的标准方程、会用椭圆的几何性质解决实际问题.【导入新课】复习导入1. 椭圆的定义；椭圆的标准方程的推导；2. 椭圆的标准方程中字母,a b 的大小与其焦点的位置情况的判断.新授课阶段1.椭圆的简单几何性质①范围：由椭圆的标准方程可得，222210y x b a=-≥，进一步得 ，同理可得： 即椭圆位于直线x a =±和y b =±所围成的矩形框图里；②对称性：由以x -代x ，以y -代y 和x -代x ，且以y -代y 这三个方面来研究椭圆的标准方程发生变化没有，从而得到椭圆是以 为对称轴， 为对称中心；③顶点：先给出圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对轴与称圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶点．因此椭圆有四个顶点，由于椭圆的对称轴有长短之分，较长的对称轴叫做 ，较短的叫做 ；④离心率： 椭圆的焦距与长 轴长的比 叫做椭圆的离心率.1,0e c a b →→→⎧⎨⎩当时 椭圆图形越扁；⎩⎨⎧→→→椭圆越接近于圆时当a ，b ，c e 00 ． 注：离心率的取值范围为 .2.椭圆性质的运用例1 求椭圆221625400x y +=的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标.分析：由椭圆的方程化为标准方程，容易求出,,a b c ．引导学生用椭圆的长轴、短轴、离心率、焦点和顶点的定义即可求相关量.解：依题意，0,5m m >≠，但椭圆的焦点位置没有确定，应分类讨论：①当焦点在x 轴上，即05m <<时，有,,a b m =，=，得3m =；②当焦点在y 轴上，即5m >时，有a b c ===，253m =⇒=. 例2过椭圆C ：)0(12222>>=+b a bx a y 上一点P 引圆O ：222b y x =+的两条切线PA 、PB ，切点为A 、B ，直线AB 与x 轴、y 轴分别相交于M 、N 两点.（1）设),(00y x P ，且000≠y x ，求直线AB 的方程；（2）若椭圆C 的短轴长为8，且1625||||2222=+ON b OM a ，求此椭圆的方程；（3）试问椭圆C 上是否存在满足PA → ·PB → =0的点P ，说明理由.解：（1）直线AB 的方程：)0(00200≠=+y x b y y x x ；（2）椭圆C 的方程：)0(1251622≠=+xy y x ； （3）假设存在点),(00y x P 满足PA → ·PB → =0，连结OA 、OB ，由|PA|=|PB|，知四边形PAOB 为正方形， |OP|=2|OA| ， ∴220202b y x =+. ①又P 在椭圆上，∴22202202b a y b x a =+ . ② 由①②得2222220)2(b a b a b x --=，222220b a b a y -=. ∵0>>b a ， ∴22b a >.∴当0222>≥b a 即b a 2≥时，椭圆C 上存在点P 满足题设条件； 当222b a <即b a b 2<<时，椭圆C 上不存在满足题设的点P.课堂小结1.掌握椭圆的简单几何性质；2.能由椭圆的标准方程能直接得到椭圆的范围、对称性、顶点和离心率；3.理解已知几何图形建立直角坐标系的两个原则，①充分利用图形对称性，②注意图形的特殊性和一般性.作业见同步练习部分拓展提升1．点(31)P -，在椭圆22221(0)y x a b a b+=>>的左准线上，过点P 且方向为(25)a =-，的光线经直线2-=y 反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（ ）A B ．13 C ．12 2．一个中心在原点的椭圆，其一条准线的方程是x=4，对应的焦点F （2，0），则椭圆的方程是 .3．已知AB 是过椭圆22419x y +=左焦点F 1的弦，且|AF 2|＋|BF 2|=4，其中F 2为椭圆的右焦点，则弦AB 的长是 .4．已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆2213x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是 .5．把椭圆2212516x y +=的长轴AB 分成8等分，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于P 1，P 2，…，P 7七个点，F 是椭圆的一个焦点，求|PF 1|＋|PF 2|＋…＋|PF 7|的值.6．在直角坐标平面内，已知两点A （－3，0）及B （3，0），动点P 到点A 的距离为8，线段BP 的垂直平分线交AP 于点Q .（1）求点Q 的轨迹T 的方程；（2）若过点B 且方向向量为（－1，3）的直线l ，与（1）中的轨迹T 相交于M 、N 两点，试求△AMN 的面积.7．已知椭圆的中心在原点，离心率为12，一个焦点是F （－m,0）(m 是大于0的常数). (1)求椭圆的方程；(2)设Q 是椭圆上的一点，且过点F 、Q 的直线l 与y 轴交于点M. =，求直线l 的斜率.8.已知点P 是⊙O ：229x y +=上的任意一点，过P 作PD 垂直x 轴于D ,动点Q 满足23DQ DP =. （1）求动点Q 的轨迹方程；（2）已知点(1,1)E ，在动点Q 的轨迹上是否存在两个不重合的两点M 、N ，使1()2OE OM ON =+ (O 是坐标原点)，若存在，求出直线MN 的方程，若不存在，请说明理由.参考答案1.椭圆的简单几何性质a x a -≤≤b y b -≤≤ x 轴和y 轴，原点 长轴，短轴；ac e = 10<<e .2.椭圆性质的运用例1分析：由椭圆的方程化为标准方程，容易求出,,a b c ．引导学生用椭圆的长轴、短轴、离心率、焦点和顶点的定义即可求相关量．解：依题意，0,5m m >≠，但椭圆的焦点位置没有确定，应分类讨论：①当焦点在x 轴上，即05m <<时，有,,a b m =，=，得3m =；②当焦点在y 轴上，即5m >时，有a b c ===，2553m =⇒=. 例2 解：（1）直线AB 的方程：)0(00200≠=+y x b y y x x ；（2）椭圆C 的方程：)0(1251622≠=+xy y x ； （3）假设存在点),(00y x P 满足PA → ·PB → =0，连结OA 、OB ，由|PA|=|PB|，知四边形PAOB 为正方形， |OP|=2|OA| ， ∴220202b y x =+ .①又P 在椭圆上，∴22202202b a y b x a =+ . ② 由①②得2222220)2(b a b a b x --=，222220b a b a y -=. ∵0>>b a ， ∴22b a > .∴当0222>≥b a 即b a 2≥时，椭圆C 上存在点P 满足题设条件； 当222b a <即b a b 2<<时，椭圆C 上不存在满足题设的点P.拓展提升 1．A 【解析】求出入射光线所在直线方程及椭圆焦点坐标准线方程.2．221164x y +=【解析】直接用公式. 3．2【解析】数形结合用定义.4．4 3 【解析】用椭圆定义.5．35【解析】用焦半径公式：|PF i |= a ＋ex i .6．解：（1）由于QB=QP ，故AQ+BQ=AP ＞AB ，Q 点的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆. 其中2a=8,a=4,a 2=16, c=3,c 2=9, b 2=a 2－c 2=7， 椭圆方程为171622=+y x . （2）∵l 过点B 且方向向量为（－1，3），∴l 的方程为y=－3（x －3）. 将直线方程代入椭圆方程化简得：55x 2－288x ＋320=0， x 1+x 2=55288,x 1x 2=55320. |x 1－x 2|=212214)(x x x x -+=55112， |MN |=2)3(1-+|x 1－x 2|=55224 . A 到MN 的距离333136=+=d .S △AMN =55333621=MN d . 7．分析：（1）直接求出a 、b ，用m 表示；（2）F 是MQ 的中点.答案：（1） 2222143x y m m +=； （2）k =±0. 8.解：（1）设()00(,),,P x y Q x y ，依题意，则点D 的坐标为0(,0)D x ，00(,),(0,)DQ x x y DP y =-=，又 23DQ DP =， ∴ 00000,,23,.32x x x x y y y y -==⎧⎧⎪⎪⎨⎨==⎪⎪⎩⎩即 ∵ P 在⊙O 上，故22009x y +=， ∴ 22194x y +=. ∴ 点Q 的轨迹方程为221.94x y += （2）假设椭圆22194x y +=上存在两个不重合的两点()1122(,),,M x y N x y 满足 1()2OE OM ON =+，则(1,1)E 是线段MN 的中点，且有121212121,2,2 2.1,2x x x x y y y y +⎧=⎪+=⎧⎪⎨⎨++=⎩⎪=⎪⎩即 又 ()1122(,),,M x y N x y 在椭圆22194x y +=上， ∴ 221122221,941,94x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 两式相减，得 ()()()()12121212094x x x x y y y y -+-++=. ∴ 121249MN y y k x x -==--. ∴ 直线MN 的方程为 49130x y +-=.∴ 椭圆上存在点M 、N 满足1()2OE OM ON =+，此时直线MN 的方程为 49130x y +-=.。
甘肃省兰州新区舟曲中学高中数学 椭圆的简单几何性质导学案 新人教版选修2-1
§2.1.2椭圆的简单几何性质学习目标（1）通过对椭圆标准方程的讨论，理解椭圆的简单几何性质①范围②对称性③顶点 ④离心率； （2）掌握e c b a ,,,的几何意义及相互关系． 学习过程一．课前准备：1： 椭圆2211612x y +=上一点P 到左焦点的距离是2，那么它到右焦点的距离是 ．2：方程2215x y m +=表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是 ．二．新课导学：1．阅读课本P65—P66内容并填写以下表格：椭圆的简单几何性质2.研究椭圆12516+=的几何性质范围：x ： ，y ： 对称性：椭圆关于 轴、 轴和 都对称；顶点：（ ），（ ），（ ），（ ）；长轴长为 ；短轴长为 ；离心率：ce a== ． 离心率：刻画椭圆 程度．（椭圆的焦距与长轴长的比c a 称为离心率，记ce a=，且01e <<）． 三．新知探究：利用性质求椭圆的方程例1求椭圆221625400x y +=的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标课堂检测1、求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）16,3a e ==（2）椭圆的一个焦点到长轴两端点的距离分别为10和42．椭圆的对称轴为坐标轴，若长、短轴之和为18，焦距为6，求椭圆的方程。
课后作业1．若椭圆2215x y m+=的离心率e =，求m 的值。
2．椭圆的焦距、短轴长、长轴长组成一个等到比数列，求其离心率。
3、若椭圆过点(M 和(1N ，求椭圆的标准方程。
课堂小结本节课我们是通过什么途径研究椭圆的几何性质的？从中你有何启发？研究椭圆的性质，类似于研究函数的性质：（定义域、值域、奇偶性、单调性等）本节课主要以曲线的方程为工具，利用 方法（即坐标法）研究曲线的性质，这是解析几何的基本思想方法。
椭圆的简单几何性质导学案(修改后)
2.2.2 椭圆的简单几何性质第一课时学习目标：知识与技能①熟悉椭圆的几何性质（对称性，范围，顶点，离心率）②理解离心率的大小对椭圆形状的影响③能利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程及相关量（轴长，焦点，顶点，离心率）过程与方法通过学生的积极参与和积极探究,培养学生的分析问题和解决问题的能力．情感态度与价值观培养学生科学探索精神、审美观和科学世界观，激励学生创新学习过程：复习旧知：1.椭圆的定义2.椭圆的标准方程3.标准方程中a,b,c三者之间的关系新知探究观察图形的形状，你能从图上看出他的范围吗?它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？知识点各个击破一、椭圆的范围(方程中变量x，y的范围)1.观察图形，得出结论：2.从方程角度再次探究得出结论：二、椭圆的对称性1.观察图形，从点对称角度出发得出：2，从方程形式上再看，得出结论：想一想：椭圆的对称轴一定是ｘ轴和ｙ轴吗？对称中心一定是原点吗？小试身手：1.已知点P (3，6)在 上,则( )三、顶点与长短轴从图形得出与坐标轴交点坐标：长轴，短轴，长半轴，短半轴：小试牛刀：根据前面所学有关知识画出下列图形（1） （2）新知探究：思考：圆的形状都是相同的，而椭圆却有些比较“扁”，有些比较“圆”，用什么样的量来刻画椭圆扁平的程度呢？四、椭圆的离心率1. 概念2. 取值范围3. 对椭圆扁平程度的影响 小试牛刀：比较下面两个椭圆的扁平程度 1162522=+y x 142522=+y x 22221x y a b +=(A) 点(-3,-6)不在椭圆上 (B) 点(3,-6)不在椭圆上 (C) 点(-3,6)在椭圆上 (D) 无法判断点(-3,-6), (3,-6), (-3,6)是否在椭圆上五：知识汇总六：例题讲解例1已知椭圆方程为16x2+25y2=400,长轴长是： 。
短轴长是： 。
焦距是 。
离心率等于： 。
焦点坐标是： 。
顶点坐标是： 。
外切矩形的面积等于：巩固练习1. 已知椭圆方程为6x2+y2=6它的长轴长是： 。
2.1.2椭圆的简单几何性质导学案(新部编)
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校2.1.2 椭圆的简单几何性质导学案知能自主梳理椭圆的简单几何性质对称轴____________，对称中心____________预习效果展示1．点(2,3)在椭圆y 2a 2＋x 2b2＝1上，则 ( )A ．点(－2,3)不在椭圆上B ．点(－2，－3)不在椭圆上C ．点(2，－3)在椭圆上D ．无法判断点(－2,3)、(－2，－3)、(2，－3)是否在椭圆上2．椭圆5x 2＋k y 2＝5的一个焦点是(0,2)，那么k 的值为 ( )A ．－1B ．1 C. 5 D ．－ 53．(2016·辽宁大连高二检测)椭圆9x 2＋y 2＝36的短轴长为 ( )A ．2B ．4C ．6D ．124．(2016·四川资阳高二检测)曲线x 225＋y 29＝1与曲线x 225－k ＋y 29－k＝1(k <9)的 ( )A ．长轴长相等B ．短轴长相等C ．焦距相等D ．离心率相等5．(2016·浙江温州高二检测)若椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点P (0，3)，且椭圆的长轴长是焦距的两倍，则a ＝__________.6．求椭圆9x 2＋y 2＝81的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率.思路方法技巧命题方向1.根据椭圆的方程研究几何性质例1.求椭圆9x 2＋16y 2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标.跟踪训练1.设椭圆方程mx 2＋4y 2＝4m (m >0)的离心率为12，试求椭圆的长轴长和短轴长、焦点坐标及顶点坐标．命题方向2.利用椭圆的几何性质求标准方程 例2.求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)椭圆过点(3,0)，离心率e ＝63；(2)在x 轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8.跟踪训练2.已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为__________．命题方向3.求椭圆的离心率例3. A 为y 轴上一点，F 1、F 2是椭圆的两个焦点，△AF 1F 2为正三角形，且AF 1的中点B 恰好在椭圆上，求此椭圆的离心率.跟踪训练3.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( )A ．45B ．35C ．25D ．15命题方向4. 直线与椭圆的位置关系例4. 若直线y ＝kx ＋1与焦点在x 轴上的椭圆x 25＋y 2m ＝1总有公共点，求m 的取值范围.跟踪训练4. (2016·广西南宁高二检测)已知椭圆：x 29＋y 2＝1，过左焦点F 作倾斜角为π6的直线交椭圆于A 、B 两点，则弦AB 的长为____________．疑难误区警示忽视焦点位置致误例5. 已知椭圆的中心在原点，对称轴是坐标轴，离心率e＝32，且过点P(2,3)，求此椭圆的标准方程.。
椭圆几何性质导学案
2.1.2椭圆的简单几何性质导学案数学组 弓爱芳学习目标：1.通过图形直观感知椭圆的几何性质2.会用代数方法研究椭圆的几何性质3.理解离心率对椭圆形状的影响学习重点：通过方程探究几何性质学习难点：离心率学习过程：一、复习回顾1. 椭圆的定义？2. 椭圆的标准方程？3. 椭圆中a 、b 、c 的几何意义及其关系？二、性质探究观察椭圆, 你能看出椭圆有哪些几何性质？（一）对称性1）曲线的对称性与点的对称性有什么关系？2）如果曲线关于y 轴对称，那么曲线上的点的对称点在哪里？3）点P （X ，Y ）关于x 轴，y 轴，原点的对称点的坐标是什么？4）椭圆的方程与椭圆有什么关系？5）曲线的方程与方程的曲线什么关系？6）能否从方程角度去判断椭圆的对称性？曲线的对称性？练习1.下列方程所表示的曲线中，关于原点对称的是（ ），关于y 轴对称的是（ ），关于x 轴对称的是（ ）。
C. x 2-4y 2=5x （二）范围1）曲线的范围从代数的角度指的是什么？2）能否根据方程求变量x ，y 的取值范围？y x A 2.2=04.2=+x y B 49.22=+y x D3）根据线性规划知识，该范围表示什么区域？（三）顶点1）椭圆上那些点比较特殊？2）这些点决定了椭圆的什么几何性质？3）这些点坐标如何求？4）过椭圆中心做椭圆的弦，有没有最长的弦，最短的弦？几何意义是什么？ 5）练习2 . 求 的顶点坐标，长轴长短轴长，并画出这个椭圆。
（四）形状1）为什么有的椭圆圆一些，有的扁一些？2）什么量决定着椭圆的形状？3）这个量的大小与椭圆形状有什么关系？练习3.下面两个椭圆哪个更圆，哪个更扁？三、巩固推广1.例1：见课本P40，例42.四、小结提升1. 知识上有什么收获？2. 思想方法上有什么收获？14922=+y x 112161392222=+=+y x y x。
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1.2椭圆的几何性质一课堂导学案
教学资料范本高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1.2椭圆的几何性质一课堂导学案编辑：__________________时间：__________________2.1.2 椭圆的几何性质（一）课堂导学三点剖析一、椭圆的几何性质【例1】已知椭圆x2+(m+3)y2=m(m＞0)的离心率e=,求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标.解析：椭圆的方程可化为：=1∵∴m＞即a2=m,b2=,c=由e=∴m=1∴椭圆的标准方程为∴a=1 b=c=∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1，两焦点坐标分别为F1(-，0)，F2(，0)，四个顶点分别为A1(-1，0)A2(1，0)B1(0，-)B(0，).2二、求椭圆的离心率【例2】在R t△ABC中，AB=AC=1.如果一个椭圆通过A，B两点，它的一个焦点为点C，另一个焦点在AB上，则这个椭圆的离心率为()A. B.-1 C.D.解析：设另一个焦点为C′，则有AC+AC′=2a,BC+BC′=2a,又∵BC=，BC′=1-AC′，∴解得AC′=，a=,∴离心率e=,故选A.答案：A温馨提示本题运用椭圆的定义、离心率公式先列出关于某些特征量的方程组，然后通过解方程求出这些特征量，最后求出离心率的值，这是解圆锥曲线问题的常用方法.三、离心率的应用【例3】已知椭圆的对称轴是坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，若椭圆的长轴长是6，且c o s∠OFA=,求椭圆的方程.解析：∵椭圆的长轴长是6,c o s∠OFA=,∴点A不是长轴的端点(是短轴的端点).∴|OF|=c,|AF|=a=3,∴.∴c=2,b2=32-22=5.∴椭圆的方程是温馨提示△OFA是椭圆的特征三角形，它的两直角边长分别为b、c,斜边的长为a,∠OFA的余弦值是椭圆的离心率.各个击破类题演练1求椭圆25x2+y2=25的长轴和短轴的长、焦点和顶点坐标.解：把已知方程化成标准方程：+x2=1,这里a=5,b=1,所以c==2.因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是2a=10和2b=2,两个焦点分别是F1(0，-2)、F2(0，2)，椭圆的四个顶点是A1(0，-5)、A2(0，5)、B1(-1，0)和B2(1，0).变式提升1已知点P(3，6)在以两坐标轴为对称轴的椭圆上，你能根据P点的坐标最多可写出椭圆上几个点的坐标(P点除外)？这几个点的坐标是什么？解：根据椭圆关于两坐标轴对称及P点的坐标，最多可以写出椭圆上三个点的坐标.这三个点的坐标分别是(3，-6)、(-3，-6)、(-3，6).类题演练2设椭圆=1(a＞b＞0)的右焦点为F1，右准线为l1,若过点F1且垂直于x轴的弦长等于点F1到准线l1的距离，则椭圆的离心率是_________.解析：由题意知，过F1且垂直于x轴的弦长为∴∴∴即e=∴应填：变式提升2椭圆(k＞0)具有()A.相同的长轴长B.相同的焦点C.相同的离心率D.相同的顶点解析：=k可化为=1故与=1有相同的离心率答案:C类题演练3已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率e=，又知椭圆上一点M，它的横坐标等于焦点的横坐标，纵坐标是4，求此椭圆的方程.解：∵e=,∴∴可设所求椭圆方程为=1(t＞0),∴c2=9t-8t=t,c=t,M(t,4).∵M在椭圆上，∴∴t=.故所求椭圆的方程是变式提升3若椭圆经过原点，且焦点为F1(1，0)、F2(3，0)，则其离心率为() A. B. C. D.解析：由F1，F2的坐标得2c=3-1 ∴c=1∵椭圆过原点a-c=1 a=1+c=2∴e=故选C。
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§2.1.2椭圆的简单几何性质导学案
学习目标
（1）通过对椭圆标准方程的讨论，理解椭圆的简单几何性质①范围②对称性③顶点④离心率；
（2）掌握e c b a ,,,的几何意义及相互关系． （3）利用轨迹探求法求动点的轨迹．
学习重点及难点：由椭圆的方程求其相关几何性质；利用椭圆的性质求椭圆方程
学习过程
一．知识链接
1： 椭圆22
11612x y +=上一点P 到左焦点的距离是2，
那么它到右焦点的距离是 ． 2：方程22
15x y m
+=表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是 ．
二．新知导学
1．教材助读： 椭圆的简单几何性质
2.直线与椭圆
直线y ＝kx ＋b 与椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1 (a>b>0)的位置关系：
直线与椭圆相切⇔⎩⎪⎨⎪
⎧
y ＝kx ＋b x 2a 2＋y 2b
2＝1有______组实数解，即Δ______0.直线与
椭圆相交⇔⎩⎪⎨⎪
⎧
y ＝kx ＋b x 2a 2＋y 2
b 2＝1有______组实数解，即Δ______0，直线与椭圆相
离⇔⎩⎪⎨⎪
⎧
y ＝kx ＋b x 2a 2＋y 2
b
2＝1________实数解，即Δ______0.
三．典例精析
例1.已知椭圆的标准方程为
164
1002
2=+y x ，O 为坐标原点，则椭圆上的点P 到椭圆中心O 的距离OP 的范围是（ ）
A ． []10,6 B. []8,6 C. []10,8 D. []20,16
例2.求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）与椭圆22195
x y +=；
（2）长轴长是短轴长的2倍，且过点(2,4)--
例3.已知一椭圆的焦距是长轴长和短轴长的等比中项，则该椭圆的离心率为
例4.椭圆122=+my x 是焦点在y 轴上的椭圆，且长轴长是短轴长的2倍，则m=
例5.已知斜率为1的直线L 过椭圆14
22
=+y x 的右焦点，交椭圆于A,B 两点，求弦AB 的长。
延伸与拓展：直线与椭圆相交，得到弦，
弦长12l x =-
=其中k 为直线的斜率，1122(,),(,)x y x y 是两交点坐
标．
课后巩固
1．若椭圆2215x y m
+=的离心率e =，则m 的值是（ ）．
A ．3
B ．3或25
3
C D 2．若椭圆经过原点，且焦点分别为1(1,0)F ，2(3,0)F ，则其离心率为（ ）．
A ．34
B ．23
C ．12
D ．14
3．设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，
若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ）．
A.
2 B. 1
2
- C. 2 D. 1 4．椭圆
14
162
2=+y x 上的点到直线022=-+y x 的最大距离是
（ ） A ．3 B ．11 C ．22 D ．10
5．椭圆的焦距、短轴长、长轴长组成一个等到比数列，则其离心率为 ．
6．直线1
2
y x =-被椭圆2244x y +=截得的弦长为
7．已知点P 是椭圆22
154
x y +=上的一点，且以点P 及焦点12,F F 为顶点的三角形
的面积等于1，则点P 的坐标是 ．
8．求与椭圆369422=+y x 有相同的焦点，且离心率为
5
5
的椭圆的标准方程为_____________．
9. P 为
120402
2=+y x 上的一点，则21PF F ∠为直角的点P 有 个． 10.椭圆22
14924
x y +
=上一点P 与椭圆两焦点F 1, F 2的连线的夹角为直角，则12Rt PF F ∆的面积为 ．
四．我的疑惑。