信号与系统Lecture_6

f (t )dt

例：
判断命题 f (t )
1
[ f (t )] 是否成立？
结合线性性质和比例变换性质比较两个信号的频谱 ：
f1 (t ) f 2 (t ) F1 (ω) 1 u (t ) F2 (ω) 2πδ(ω) u( t ) f1 (t ) F1 (ω) [ 1 πδ(ω)] [ jω f 2 (t ) 1 jω πδ( ω)] 2πδ(ω) F2 (ω)
对信号进行无线传输时 要考虑哪些基本问题？
f (t )
F (ω)
设基带信号为： f (t )
F (ω) 其信号带宽为：ωm
实际发射信号为经过调制(脉冲幅度调制)的信号：
f 0 (t ) f (t ) cos 0 t
1 1 f (t )(e j0t e j0t ) [ F ( 0 ) F ( 0 )] 2 2
时离散谱线有可能转变成连续谱，周期信号则转变为非周期，从这一点开始分析： 为避免由于T→∞ 时使得： Fk
1 T1
T1
f (t )e
0
T1 2
jk
1t
dt
0
F( ) f (t )e
j t
lim T Fn lim f (t )e jn t dt 选取新的频谱函数： F ( ) T T
信号与系统
信息学院 2012 秋季学期
上节课内容要点回顾
* * * 傅里叶级数的定义 傅里叶级数的存在条件 周期信号的傅里叶分析
第 六 讲
第三章
• §3.2
傅里叶分析
非周期信号的傅氏分析_傅里叶变换
• §3.3
• §3.4
典型非周期信号的频谱
傅里叶变换的基本性质
傅立叶理论的两个核心思想 :
• 周期信号均可被表示为各种简谐波的加权和

1 对于时、频傅氏积分的原点值： f (0) 2 1 可将频域积分面积 f (0) 2


F ( )d、

F (0)


f (t )dt

（等效看成为)高× F ( )d 1 2

宽 F (0) 2 B0
其中B 0可被看作为是频域中“带宽”的量度： B0
举例……
无线传感器在应用中选择什么频段？
ISM(Industrial Scientific Medical) BANDS
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频率范围（Hz）
6.765–6.795 MHz 13.553–13.567 MHz 26.957–27.283 MHz 40.66–40.70 MHz 433.05–434.79 MHz 902–928 MHz 2.400–2.500 GHz 5.725–5.875 GHz 24–24.25 GHz
k (ω)dω
lim
a 0
a a
2
ω
2
dω
lim
a 0
a a
2
ω
2
dω
ω lim arctg ( ) a 0 a
π
综合上述分析： u (t ) F ( )
1 ( ) j
四、符号函数：
sgn( t ) 2u(t ) 1
{sgn(t )} 1 2[ jω π (ω)] 2π (ω) 2 jω
根据时间信号的奇偶分量关系式： f e (t ) 1 2 [ f (t ) f ( t )]
可将因果信号用其偶分量表示为： f (t ) 2 f e (t )u (t )
因为偶函数的频谱为实函数且偶对称，根据对称性关系即可从 G2ω0(ω)求得fe(t) ： 根据对称性性质：
{F (t )}
F
g (t )
2a a2 2
e |t|
2 1 2
a| | f ( t ) 2 g ( ) 2 e F
F ( )
f (t )

t
例：已知因果信号f(t)的频谱函数的实部 Re[ F ()] 如图中G2ω 0(ω )，试求f(t)。


F ( )d
2 F (0)

f (0) 2 F (0)
将时域积分面积 F (0)


f (t )dt （也等效看成为)高× 宽 f (0) T0
F (0) f (0) f (0) F (0) f (0) 1 则信号时域持续时间与频域带宽乘积就可等效定量计算：T0 B0 f (0) 2 F (0) 2 其中T0可被看作为是时域中持续时间的量度：T0
f (t )e 1 2
dt | F ( ) | e j
( )
称作傅里叶变换对，记为：
F ( )e j t d
傅里叶变换存在条件(即傅里叶积分收敛性条件)：
若
f (t ) 在(-∞,∞)上满足狄式条件且绝对可积，则有：
F ( )
f (t ) 1 2



f (t )e jt dt
lim e at u (t )
a 0
2
{lim e u(t )} lim
a 0 a 0
at
1 a j
lim(
a 0
a a
2
j
a
2
2
)
lim
a 0
a a2
2
1 j
1 lim a a 0 0 a lim 其中： a0 2 2 a 0 0
这表明频谱的实部类似在ω =0处的 冲激，以下确定其冲激强度：
五、冲激信号：
F ( ) (t )e jt dt 1


§3.4
一、对称性：
傅里叶变换的基本性质
时频变换对的对称性：若：F(ω)
{ f (t )} 则：

{F(t)} 2πf ( ω)
F (0)

1 时频中心纵坐标的对称性： f (0) 2
对于实函数时间信号f(t)：
0

1 1 2a 2 a j a j a 2
f (t ) e
a t
F ( )
t

§3.3
典型非周期信号的频谱
一、矩形脉冲信号：
若令矩形脉宽无限„
主要能量集中在第一个过零点的波形内，通常认为其带宽为：
B
2 或： Bf τ
1 τ
二、直流信号：
设： A
τ
lim f (t )
A =
2 A ωτ lim f (t ) = lim F(ω)= lim sin = k (ω) τ τ τ ω 2
k (ω)dω
τ
lim
2 A ωτ sin dω ω 2
π
2 Aπ
利用特殊函数的积分： 所以： k
sin ax dx x
2 A ωτ sin dω ω 2
τ
lim
三、阶跃信号：
将阶跃信号看作指数函数的极限： u (t )
设： 求：
f (t ) f 0 (t T ) f 0 (t ) f 0 (t T )
1 F0 ( ) A Sa( ) 2
F ( ) F0 ( ) e jT 1 e jT A Sa(
1 ) 1 2 cos T 2
中心频率（Hz）
6.780 MHz 13.560 MHz 27.120 MHz 40.68 MHz 433.92 MHz 915 MHz 2.450 GHz 5.800 GHz 24.125 GHz
SI4432
举例：关于常用信号线
用于视频信号传输时双绞线与同轴电缆的比较
D135-G
600m
900m
jt F ( ) e d
F( )
F( ) e j F( ) ( )
( )
幅频特性
相频特性
例:
a t 试求双边指数信号 f (t ) e , a 0 的傅氏变换
F ( )



f (t )e jt dt

at jt at jt e e dt e e dt 0
MF
HF
VHF
UHF SHF
Ultra Super
EHF
Medium High
f
The bands listed before are the official ITU (International Telecommunications Union) names and based on the wav(t )
F (ω) 其信号带宽为：ωm
在接收端进行相反的“解调”过程：
f1 (t ) f 0 (t ) cos 0 t f (t ) cos2 0 t
F1 ( )
f (t ) (1 cos 2 0 t ) 2
1 1 F ( ) [ F ( 2 0 ) F ( 2 0 )] 2 4
F ( )d
f (t )dt
F( )
f (t )e j t dt
f (t ) cos tdt
j
f (t )sin tdt
具有如下共轭对称性：
F( ω) F (ω)、 ReF(ω) ReF( ω)、 ImF(ω)
ImF( ω)
例:
试求信号 f (t )
2 的傅氏变换 2 t 1
g (t ) e a|t| F ( )
？
在不连续点处傅里叶积分取值为 ：1 2 [ f (t 0 0) f (t 0 0)]
设： 则有：
f (t ) F ( )
四、时移性质： f (t t 0 ) F ( )e jt 五、频移性质：