功能梯度材料稳态热传导方程的分层精细指数法
稳态热传导问题的路径分析与最优解研究
稳态热传导问题的路径分析与最优解研究热传导是物体内部热量传递的一种方式。
在工程和科学领域中，热传导问题是一个重要的研究领域，对于优化能源利用和提高热设备性能具有重要意义。
稳态热传导问题指的是在稳态条件下，热量沿着特定路径传导的问题。
路径分析是稳态热传导问题中的重要工具。
通过路径分析，我们可以确定热量在物体内部传导的路径和比例，从而获得系统中不同部位的温度分布。
路径分析可以帮助我们了解热传导过程中的热量流动规律，从而为优化热设备的结构和材料提供指导。
最优解研究是稳态热传导问题中的另一个重要方面。
通过寻找最优解，我们可以找到在给定条件下使热设备性能达到最佳的设计方案。
最优解研究可以帮助我们优化热设备的结构和材料选择，提高能源利用效率，降低能源消耗。
在研究稳态热传导问题的路径分析和最优解时，可以采用数学建模和数值计算的方法。
首先，我们可以通过对热传导微分方程的建模，将问题转化为数学形式。
然后，可以使用数值方法，如有限差分法或有限元法，求解数学模型，得到物体内部温度分布的数值解。
路径分析的关键是确定物体内部热量传导的路径。
在实际问题中，物体的几何形状、材料特性、边界条件等会影响热量传导的路径选择。
通过分析这些因素，我们可以确定热传导路径的选择和权重分配。
路径分析可以帮助我们理解热设备中不同部位的热流分布情况，为优化设备性能提供依据。
最优解研究的关键是寻找使热设备性能达到最佳的设计方案。
在确定问题的数学模型后，我们可以通过数学优化方法对模型进行求解。
常用的数学优化方法包括最小二乘法、梯度下降法、遗传算法等。
通过这些方法，我们可以找到使热设备性能达到最佳的结构和材料组合。
稳态热传导问题的路径分析和最优解研究对于优化能源利用和提高热设备性能具有重要意义。
通过路径分析，我们可以了解热传导路径的选择和权重分配，从而优化热设备的结构和材料选择。
最优解研究可以帮助我们找到使热设备性能达到最佳的设计方案，提高能源利用效率。
功能梯度材料热传导问题的仿真
滑 连续地变 化。Ｆ Ｍ 因其 良好 的热力学 性能被 广泛应 用于 Ｇ
航 空航 天 、 核能 、 械等 领域 … 。由于功能 梯度 材料 大多在 机 高温环境下 工作 ， 故对其进行热传导分 析以 了解其 温度分布
３ ｃ ｏｌ ｆ ｔｒ ｓＳｉｎｅａｄＥ ｇｎｅ ｎ Ｃ ａｇ ｎＵ ｉｅｓｙ Ｘ’ ｈｎ ｉ １０４， ｈｎ ） ．Ｓ ｈｏ ｏ ｅ ａ ｃｅｃ ｎ ｎ ｅｒ ｇ， ｈ ｎ’ ｎｖｒｔ， ｉｎＳ ａｘ ７０ ６ Ｃ ｉ Ｍａ ｉ ｌ ｉ ｉ ａ ｉ ａ ａ
ＡＢＳ ＲＡＣＴ ： ｈ ｕ ｄ ｍｅ ｔ ｏｕ ｉｎ ｏ ｓｅ ｄ Ｔ Ｔ ｅ ｆ ｎ ａ ｎ ａ ｓ ｌ ｔ ｓ ｔ ｔ ａ ｙ—ｓａｅ ｈ ａ ｏ ｄ ｃｉｎ ｐ ｏ ｌｍ ｒｔ ｒｅ ｔｐ ｓｆ ｎ ｔ ｎ ｌ ｒ ｄ ｄ ｌ ｏ ｔ ｔ ｅ ｔｃ ｎ ｕ ｔ ｒ ｂｅ ｆ ｅ ｙ ｅ ｕ ｃ ｉ ａ ｙ ｇ ａ ｅ ｏ ｏ ｈ ｏｌ
Ｃ Ｏ Ｌ ｉ ｌｉ， Ｅ ｉｎ—ｚｏ ｇ ， ＨＡ Ｇ Ｘ ｅ—ｍ ｎ ， Ｉ ｉ ｇ Ａ ｅ—ｅ Ｐ Ｉ ａ Ｊ ｈｎ Ｚ Ｎ ｕ ｉ ＬＵ Ｑｏ ｎ
（ ．Ｋｅ ａ ｏａｏｙｆｒＲ ａ ｏ ｓｒｃｉｎＴ ｃ ｎ ｌｇ １ ｙＬ ｂ ｒｔｒ ｏ ｄ Ｃ ｎｔｕ ｔ ｅ ｈ ｏｏ ｙ＆ Ｅｑ ｉｍｅ ｔ ｈ ｎ ’ｎＵｎｖ ｒｉ ，Ｘｉ ｎ Ｓ ａｘ ０ ４，Ｃ ｉａ； ｏ ｏ ｕｐ ｎ ，Ｃ ａ ｇａ ｉｅｓｔ ｙ ’ ｈｎ ｉ １ ６ ａ ７０ ｈｎ
１ （ ） ２ｒ ） （ ） ７ （ “
（２ １）
因此 ， 于指数型 Ｆ Ｍ， 对 Ｇ 其热传导方程 的基本解为
功能梯度材料分层法研究
功能梯度材料分层法研究摘要功能梯度材料具有随空间位置呈梯度变化的材料属性，这一性能引起了材料科学家和工程师研究的兴趣。
基于分层法，将功能梯度材料平面结构划分成若干层，每层的材料参数按函数形式变化。
在此分层模型基础上得到同一层的材料参数为常数，然后各层按照常规的有限元方法进行网格划分，建立有限元模型进行功能梯度材料平面结构的力学分析。
通过设计组分材料弹性模量的三种工况，讨论了弹性模量梯度系数对有限元计算结果的影响，有一定的误差。
于是引入线性分层法，该模型基于任意一条连续曲线可用一系列的分片连续直线段来逼近的事实，将梯度材料层分成若干子层，在各子层界面处材料参数连续并且等于实际值。
将此模型应用于实际问题推导，我们发现与指数模型结果吻合的很好。
关键词：功能梯度材料；分层法；梯度系数；线性分层法1 FGM研究背景FGM概念是在1984年前后，由在日本仙台地区的二位材料科学家，日本航天技术研究所的新野正之博士、东北大学的平井敏雄教授和渡边龙三教授首先提出的。
当初提出FGM概念的目的是为了解决在设计制造新一代航天飞机的热保护系统中出现的许多问题。
据估计，航天飞机工作时，机体外部有些部位最高温度将达1800℃，因此对航天飞机表面的材料要求是要能耐高达1800℃的温度和1600℃的温度落差。
已知的工业材料没有能忍受如此苛刻的热机负载的，能用于这种环境条件的材料必须具备以下三个特征:材料的高温表面层能耐热和抗氧化,低温侧具有力学韧性及整个材料中能有效地缓和热应力。
面对这种材料要求,FGM这一新概念被提了出来。
这种新材料的高温侧是能耐热的陶瓷,低温侧是具有高热导率的韧性金属,并具有从陶瓷到金属的梯度成分变化。
这种FGM的特征其热膨胀系数可以通过控制两个表面之间的成分、微结构、微孔的比率来加以调节。
FGM概念一提出就受到日本和世界材料界的高度重视。
日本科技厅授予此概念的发明者特别奖。
FGM也被列入各种国际国内会议的报告范围。
基于自然元法和精细积分法的功能梯度材料瞬态热传导问题求解
算例验 证 该数值 算 法的 正确性 和有 效性 ．
关 键词 ：功 能梯度 材料 ；热传 导 ；自然单元 法 ；精 细积 分法
中 图分 类 号 ： Ｂ ３ ； Ｂ １ ． Ｔ ３ ３ Ｔ １５ １ 文献 标 志码 ： Ａ
盖Ｋ） （ （ ＋， ＝ ｃ 驯ｄ
（Ｏ—） （ ｐ Ｔ Ｑｎ ７ ｃ ｄ ）
对式（） ７ 进行 分部 积分 并考 虑式 （ ） ２ 的第 二个 条 件 ，
可 得
Ｑ＝Ｑ（ ｔ为单位 体 积 的 内部 热 源． 应 的边 界 条 Ｘ，） 对
件 和初 始条 件 为
，
ｆ ａ一， ｓｑ （ ） ＝ ｒ ｃ 警 ＋ ｄ
Ｔ，＝ ｛ ∈ Ｒ ： （ ， ／ ｄ ， ） ＜ｄ ， ） （ ， ＜ ｄ ， ） ＶＪ≠ ，≠ Ｋ｝ （ ， （） ４
在几 何意 义上 ， 是那 些 以 ， 为最 近点 ， ， 第 以 为 二 近点 的空 间点 的位 置集合 ．
当采 用 Ｓｂｏ ｉｓｎ插值 时 ， 计算 点 对 节点 ， 的形
ｃ 一
７ ） ： ， １ （
∈ 厂ｒ
｛ ＋ ）ｑ） Ｋ ＝ｘ （ （，
Ｌ ， Ｔ（ ｔ： ０） ＝ ７ （ ） ＇ ， ｏ ∈
（ ２ ）
ｆ Ｑ２ （ ｄ ８ Ｓｇ ） Ｔ
由于 只对空 间域 进 行离 散 ， 解 域 内的试 函 求 数 （ 可 由式 （ ） ，） ６ 表示 为
第２ Ｏ卷 第 ３期
２ １ 年 ９月 ０１
计 算 机 辅 助 工 程
Ｃｏ ｍｐｕ ｅ ｄ ｄ Ｅｎ ｉ ｅ ｎ ｔｒＡｉ ｅ ｇｎｅ ｒ ｇ ｉ
边界不同恒温时功能梯度板平面稳态温度场
边界不同恒温时功能梯度板平面稳态温度场许杨健;王飞;杜海洋;任鹏飞【期刊名称】《河北工程大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2013(030)002【摘要】假设热导率沿功能梯度板高呈指数函数形式分布,基于该板的平面稳态热传导基本方程,用分离变量法,导出边界不同恒温时该板的平面稳态温度场的级数解析解,与有限元解对比,两种方法的最大节点温度误差0.86％.通过数值计算,获得了该板的平面稳态温度场分布,研究了板的梯度参数和几何组成对温度场的影响.主要结果表明:板内的温度场分布对称于过形心的y轴；随着梯度参数值的增加,板内的高温区向左右两边界和下边界逐步扩展；随着板高的递减,板内中下部的温度分布趋于平缓.因此,可选择适合的梯度参数和几何组成来满足设计、应用和热应力分析的需要,所获得的解析解可作为检验其他近似方法的参考标准.【总页数】5页(P4-8)【作者】许杨健;王飞;杜海洋;任鹏飞【作者单位】河北工程大学土木工程学院,河北邯郸056038;河北工程大学土木工程学院,河北邯郸056038;河北工程大学土木工程学院,河北邯郸056038;哈尔滨工业大学航天学院,黑龙江哈尔滨150001;河北工程大学土木工程学院,河北邯郸056038【正文语种】中文【中图分类】TB330.1;TK124【相关文献】1.不同边界条件功能梯度矩形板固有频率解的一般表达式 [J], 曹志远2.换热边界下梯度功能材料板稳态温度场研究 [J], 许杨健;涂代惠3.不同力学边界下梯度功能材料板稳态热应力 [J], 许杨健;涂代惠4.边界变温时梯度板稳态热传导及影响因素 [J], 许杨健;王飞;杜海洋;任鹏飞5.不同力学边界下梯度功能材料板瞬态热应力 [J], 许杨健;涂代惠因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
物理实验技术中的稳态与非稳态热传导分析
物理实验技术中的稳态与非稳态热传导分析热传导是物质中热能传递的一种方式，它在物理学、化学和工程等领域都有广泛的应用。
在研究热传导过程中，我们经常会涉及到稳态和非稳态热传导。
本文将探讨物理实验技术中如何进行稳态和非稳态热传导的分析。
稳态热传导是指在热传导过程中，系统的温度分布不随时间变化，达到了一个稳定的状态。
在物理实验中，我们可以通过建立稳态热传导模型来研究热传导的规律。
一个常用的实验技术是热平衡法。
这种方法通过测量材料不同位置的温度，并利用热平衡的原理，可以计算出材料的热导率。
在实验过程中，我们通常会使用热传导仪器，如热电偶、红外热像仪和热流计等，来测量温度、热流和功率等参数。
通过测量得到的数据，我们可以建立稳态热传导方程，进而计算材料的热传导性质。
非稳态热传导是指在热传导过程中，系统的温度分布随时间变化。
非稳态热传导通常涉及到传导方程的解析求解或数值模拟。
在物理实验中，我们可以利用热脉冲法进行非稳态热传导的分析。
该方法通过向材料中注入一个热脉冲，然后测量不同位置的温度随时间的变化，来研究热传导的过程。
通过测量得到的温度数据，我们可以使用非稳态热传导方程进行拟合，从而求解材料的热传导性质。
同时，也可以借助计算机模拟软件，如有限元分析软件，来进行非稳态热传导的数值模拟。
这种方法能够更加直观地观察热传导的过程，并提供详细的热传导参数。
除了热平衡法和热脉冲法，还有一些其他的实验技术可以用于研究稳态和非稳态热传导，例如电热杆法、热交换器法和恒温绝热法等。
这些实验方法有各自的特点和适用范围，可以根据实际需要选择合适的方法。
同时，实验过程中也需要注意控制实验条件，例如温度梯度、材料性质和实验环境等因素，以确保实验的准确性和可重复性。
在实际应用中，稳态和非稳态热传导的分析在材料科学、工程设计和节能减排等方面都有重要的意义。
例如，在材料热防护设计中，我们需要了解材料的热传导性能，以提高材料的隔热性能。
在能源利用方面，我们也可以通过研究热传导的机制，优化能源传输和利用的效率。
用边界元分析功能梯度材料的稳态热传导
外很多研究 者的重视 Ｊ ， 该方 法用于传统 的匀质
材料 的数 值计 算 也 已经 取 得 了一 定 的成 果 。然 而 ， 由于边界 积分 方程 需要 寻 找基 本解 或 应 用 Ｇ ｒ ｅ ｅ ｎ函 数选 择适 当 的权 函 数 把 空 问求 解 域 上 的 偏 微 分 方 程进 行转 换 得 到 ， 并没有 准确的表达形式 ， 因此 其 在功 能梯 度 材 料 领 域 的 应 用 研 究 值 得 深 入 探 讨 且
时， 第 二 项为零 。这 种 近似 方 法 使 得边 界 积 分 插 值 简单 而有 效 。 二维 空 间 Ｇ ｒ ｅ ｅ ｎ函数 为
ｍ ａ ｉ ｌ ： ｆ ｅ ｉ ｘ ｉ ｎ ｇ ｊ ｉ ｓ ｈ ｕ ＠１ ２ ６ ． ｃ ｏ ｎ。 ｒ
ｇ （ 【 ｐ Ｑ ， Ｚ Ｑ ； ， Ｘ ｐ ， ）＝ ÷ ｚ Ｈ ～ ’ ｏ （ Ｌ ｒ ）
边界 元法对其进行 了稳态热传 导分析 ， 并通过 与有 限元方法所 得分析结果进行对 比验证此方法 的正确性。
关键词
功能梯度材料
Ｔ Ｂ ３ ４ ；
稳 态热传 导
文献标 志码
边 界元法
Ａ
格林 函数
中图法分类号
功 能梯 度材 料 是 新一 代 高 性 能 材 料 系 统 ， 工 程 应用 范 围广 泛 ， 用 有 限元 法 对其 热 物理 性 质 进 行 分
界 积分 方 程 。以某 具 有 曲线 外 形 的梯 度 转 子 为 例 ，
式（ ３ ）中 Ｒ ： 。一 ， ｒ是 尺 的 范 数 ，即 ｒ ＝
ｌ ｌ 尺Ｊ Ｉ＝ ｌ ｌ Ｑ —Ｐ ｌ ｌ 。 那么 以下式 （ ９） 中 的第 一 项
就是 匀质 材 料 Ｇ ｒ ｅ ｅ ｎ函数 的 Ｌ ａ ｐ ｌ ａ ｃ ｅ 方 程 ，即 Ｇ 一 。 ； 第 二项是 由梯 度 属 性 所 得 的 Ｇ ｒ ｅ ｅ ｎ函数
用PTI分析功能梯度材料的热传导灵敏度
用PTI分析功能梯度材料的热传导灵敏度张驰,吴斌:用PT1分析功能梯度材料的热传导灵敏度?33?用PT1分析功能梯度材料的热传导灵敏度张驰,吴斌(西北工业大学航天学院,西安710072)摘要:较详尽的介绍了精细时程积分方法(PreciseTimeIntegration,以下简称PI1)的运算过程,并针对功能梯度材料这种新型材料的灵敏度分析问题,以热传导问题为例,建立了P.I1方法的灵敏度计算公式,结果表明方法的精确度与有效性.关键词:功能梯度材料:PTI;灵敏度SensitivityanalysisofheatconductionforFGMwithPTImethodZhangChi,WuBin(Collegeofastronautics,NorthwestPolytechnicUniversity,Xi‟an710072,China)Abstract:TheoperationprocessofPTImethodisintroducedindetailedinthepaper.Asforthe sensitivityanalysisoftheFunctionallyGradedMaterials,theformulationispresentedwithPTImethod fortheexampleoftransientheatconduction.Theresultsdemonstratetheprecisionandefficiencyofthe method.Keywords:FGM;P11;sensitivityanalysisVII¨方法是结合有限元方法发展起来的,对线性瞬态系统,如结构动力学问题或线性瞬态热传导问题的分析极为有效.一些成功的数值运算结果表明该方法与传统的对时间差分的计算方法相比具有更高的精度,并且这种方法有着许多其他方法所不具备的优点,例如对于瞬态系统求解具有无条件稳定,高分辨力以及适用于常微分方程中的刚性问题等.在结构动力学领域对于有阻尼系统的求解,普通迭代方法计算复杂,而P11方法对结构的阻尼不作要求,计算简单,迅速,结果精确.因此,这种数值求解的方法越来越受到广泛的关注,特别是PTI方法大量使用矩阵乘法,随着计算机的高速发展,该方法对数值运算具有很大的潜力和发展空间.近几年来,材料科学中出现了新的研究热点——功能梯度材料(FunctionallyGradedMaterial,FGM).它以其组分或结构呈有规律的空间变化,收稿日期:2005—01—18克服了传统意义上的非均匀(non-homogeneous)材料在热学和结构性能等方面的不足,对于这种新型材料物理,热学特性及结构分析等成为有待研究的新领域.本文采用了文献[3]中提出的建立功能梯度材料的有限元方法,应用PTI方法对功能梯度材料在瞬态温度场的灵敏度进行了分析, 验证了VII方法的有效性.1】P,n法提出这种数值方法早在1994年,它的应用限于定常系统.其基本思想如下:无论是结构动力学问题还是线性瞬态热传导这类n自由度的线性瞬态系统,经过一定的变换后,都可以转化成下列形式:=Hp+,(1)其中,日是已知的2n×2n常数矩阵,是2n维的系统状态向量,r是外部作用向量.通常34?飞机设计第3期2005年9月情况下向量的解包含两部分,(1)和(2),这根据非齐次项,(t)来确定.(t):1(t)+2(t)(2)(t)=exp(Ht)?(3a):(…)=上.xp[H(t—s)]‟,(s)ds(36)其中,是初始向量.那么,系统在t时刻的响应为:=exp(HtI)+ff]exp[H(I—s)].,(s)pdsexptds(4)[H(一s)]?,(s)(4) 系统在t㈩时刻的响应为:“1=exp(Ht”1)l,0+ep[H(一s)].r(s)as(5)令:=t+一tI表示时间步长.这样通过推导及+之间的关系可以得到如下的迭代关系式:“1=exp(Ht”1)≯-0+广”[H(一s)].,(s)as0:exp(HtI+1)‟0+广exp[(一s)]?r(s)ds+0;.texp[(+一)].,()(6)=exp(){exp(HtI)‟+广exp[日(一s)].r(s)ds}+0上exp[H(—s)].,(…t+s)as=expfHI”)vk+上exp[H(—s)].,(…t+s)as以上就是P11精细积分方法的迭代公式,只要已知初始条件未知向量就可以通过一步一步的迭代求出.但是对于PrrI方法的关键在于指数矩阵的计算.令:A=exp(H?)(7)对于指数矩阵A的求解比较精确快速的算法是2算法.如令N=20,2=1048576,那么,At=z12就是无穷小的时间段,则:A=exp(H?)=[exp(H?z12)](8)将上式进行泰勒展开并舍弃二次项后的余项,得:exp(H?At)兰,+H?△‟+(H?At)/2:,+Aa(9)上式中因为△‟是无穷小量,为了避免”大数吃小数”造成的误差问题:首先(,+Aa)=,+2Aa+Aa×Aa(1O)然后执行算法for(i:l;≤=rt;++)(11)Aa=2Aa+Aa×Aa循环结束后,就可以得到A=,+A口f12)2瞬态温度场灵敏度分析瞬态温度场的有限元方程可以表示为MT+KT=R(13)其中,M是热容矩阵,K是热传导矩阵,是温度向量,R是等效右端项.构造关于设计变量的目标函数g(x,T):Jp(x,T,t)dt(14)那么,灵敏度就可以表示为:出dg=(Ox+筹T塑dx)(15)出J0,a厂.,一对方程(13)直接对变量求导,有_dTOx+K=一一警(Ix(16)ddd戈其初始条件为:塑I:0(17)出l:0令:(18)ddd那么,方程(16)就可以写成如下的形式:dT:HdT+M～F,H:一一K(19)假定在时间间隔[t,t…]内是线性变化,根据册方法就可以得到:乳=A省.一MK-1F1)】+K[Fo—MK～F1+](2O)其中,Fo=F(tI),F1=[F(t川)一F(tI)]/下一步就是通过计算时间间隔内的积分来求得目标函数的灵敏度,如果该时间间隔划分为m个步长,那么,(15)式的结果就可以通过下式求得:虹dx-Jo~Oxop)Z.-~Lf(ti-1)+f(ti(21)张驰,吴斌:用P11分析功能梯度材料的热传导灵敏度?35? 3算例分析以参考文献[6]中的7.3为例,事实上它可以简化为方向的一维问题,∈[0,1].边界条件为:r(=0,t)=0,r(=1,t)=100(22)r(z,O)=0,E(O,1)初始条件:后()=k0exp(~)=5?exp(3z)(23)c(z)=C0exp(~)=1?exp(3z)温度瞬态解析解为:=∑Bsin(n‟rcz)exp[-flz-(n2rr2+ff)?f](24)其中:一×[Bsin(-n~eos(圳=ko/c0(25)如果令为设计变量,那么,瞬态温度灵敏度即为:苦=扣(exp[一霄2+)]【等”Z~nn?()](26)等一/7,(+)×[flsin(凳-n~rcos(训一(27)皇星2(2『±坚巳(=望2一+n霄l1一exp(一)一卢】计算结果如图1所示,可见数值积分解精度非常高,与解析解非常接近.4结论PTI方法应用于瞬态问题的分析是精确而有效的,整个过程通过矩阵的运算实现,算法简单,方便程序的编制.另外,功能梯度材料以其独有的特性必将在未来的各个领域得到广泛的应用,因此关于功能梯度材料的物理性能评估及测试技术亟待发展.n00n11040.060.080.10时问图1灵敏度分析精确解与数值积分解参考文献[1]GuYx,ChenBS,ZhangHW,GrandhiRV.Asensitivitya—nalysismethodforlinearandnonlinearlmansientheatconduction withprecisetimeintegration.StruetmultidiscipOptimation,2002,(24):23—37.[2]ZhongWX.Onp~putationaland appliodMathematics,2004,(163):59—78.[3]KimJH,PaulinoGH.Iseparametriegradedfiniteelementsfor nonhomogeneousisotropieandorthotropiematerials.IntJSolids Struet,2002,(39):3175—97.[4]ChenBS,TongLY.Sensitivityanalysi8ofheatconductionfor functionallyedmaterials.Materials&Design,2004,(25):663—缶72.[5]LeeWY,StintonDP,BemdtCC.conceptoffunctionally GradedMaterialsforAdvancedThermalBarrierCoatingAppliea—tions.Am.Ceram.Soc,1996,79(12):3o03—12.[6]SutraclharA,PaulinoGH,GrayLJ.Transientheatconduction inhomogeneousandnonhomogeneousmaterialsbytheLaplace transformGalerkinboundaryelementmethod.EngineeringAnaly一8i8,2002,(26):119—132.作者简介张驰(1981一),女,硕士研究生,研究方向:飞行器结构设计.吴斌(1965一),男.副教授,研究生导师,研究方向:飞行器设计及其相关方面.曾在<弹箭与制导学报),<上海航天>,<机械设计与制造>等核心期刊上发表论文数篇. (责任编辑:陈宝义)。
微分方程在材料学科研究中的应用论文
微分方程在材料学科研究中的应用论文【摘要】微分方程是一项有效的数学工具，在材料科学研究中得到了广泛的应用。
本文综述了微分方程在研究材料力学性能、物理性能、热传导和质量传输方面的应用。
【关键词】微分方程材料学科应用微分方程指含有自变量、自变量的函数及其导数的等式，是常微分方程和偏微分方程的总称。
20世纪以来，随着大量边缘科学的产生和开展，也出现不少新型的微分方程。
20世纪70年代随着数学向化学和生物学的渗透，出现了大量的反响扩散方程。
常微分方程的解会含有一个或多个任意常数，其个数就是方程的阶数。
偏微分方程的解会含有一个或多个任意函数，其个数随方程的阶数而定。
微分方程在物理学、力学中的重要应用，不在于求方程的任一解，而是求得满足某些补充条件的解，称为求解定解问题。
随着微分方程的开展和在各学科研究中的应用，微分方程也逐渐应用于材料科学的研究。
本文综述了微分方程在研究材料的力学性能、物理性能、热传导和质量传输方面的应用情况。
王秀芬利用微分方程模型对温控材料受力弯曲变形进展了研究。
结合数学建模思想及材料力学相关知识对温控设备受力时发生弯曲变化情况，通过实例建立微分方程模型，通过对模型的分析研究寻求温控设备能自动调节温度的最正确规律。
她利用求解细杆弯曲变形的问题时常建立挠曲轴近似微分方程然后求解，带入条件后推导出模型。
通过对模型的分析她发现，当细杆发生弯曲时，弹簧与钢臂的夹角不为90°，且弹簧的长度相对于未发生变形时发生变化，因此她结合条件后改良了模型。
通过计算结果发现，相对误差很小，实际值与计算值吻合程度很高，模型相当准确，可用于准确求解细杆的弯曲情况。
金伟良利用微分方程。
研究了锈蚀钢筋混凝土梁受弯承载力计算模型。
综合考虑锈蚀钢筋混凝土梁中材料性能的退化和钢筋与混凝土黏结性能的退化，根据梁截面平衡方程和钢筋与混凝土的变形协调方程建立梁中受拉钢筋轴力微分方程，给出了微分方程的滑移边界条件和钢筋轴力连续边界条件，定义梁弯曲破坏的两种极限状态：混凝土压碎和钢筋屈服，通过计算推导出钢筋轴力微分方程通过研究发现，模型计算结果与试验结果吻合很好，说明本模型的计算结果是可靠的，可以将本模型的计算结果运用到实际的工程之中，为混凝土构造耐久性评估提供了理论根底。
热传导的规律和计算方法
热传导的规律和计算方法【热传导的规律和计算方法】热传导是物质中热量从高温区传递到低温区的过程。
了解热传导的规律和计算方法，不仅可以帮助我们更好地理解热传导的机制，还可以在实际应用中进行热传导问题的计算和分析。
本文将介绍热传导的规律以及常用的计算方法。
一、热传导的规律热传导的规律可以用热传导定律来描述，即傅里叶热传导定律。
该定律可以表示为：q = -kA(dT/dx)式中，q表示热量传导速率，单位为瓦特（W）；k表示导热系数，单位为瓦特/米·摄氏度（W/m·°C）；A表示传热的截面积，单位为平方米（m^2）；dT/dx表示温度梯度，即温度随空间位置x的变化率，单位为摄氏度/米（°C/m）。
根据傅里叶热传导定律，热量传导速率正比于截面积和温度梯度的乘积，并与导热系数成反比。
这意味着截面积越大、温度梯度越大以及导热系数越小，热量传导速率就越大。
热传导的规律可以总结为以下几点：1. 热传导是由高温区到低温区的热量传递过程；2. 热传导速率与截面积和温度梯度的乘积成正比；3. 热传导速率与导热系数成反比。
二、热传导的计算方法热传导的计算方法主要包括两种情况：稳态热传导和非稳态热传导。
1. 稳态热传导计算方法稳态热传导是指热传导过程中温度分布保持不变的情况。
在这种情况下，我们可以根据物体两端的温度差和导热系数来计算热量传导速率。
热量传导速率的计算公式为：q = -kA(T2-T1)/L式中，q表示热量传导速率，单位为瓦特（W）；k表示导热系数，单位为瓦特/米·摄氏度（W/m·°C）；A表示传热的截面积，单位为平方米（m^2）；T2和T1分别表示物体的两端温度，单位为摄氏度（°C）；L表示物体的长度，单位为米（m）。
2. 非稳态热传导计算方法非稳态热传导是指热传导过程中温度分布会随时间变化的情况。
在这种情况下，我们需要根据物体的初始温度分布、导热系数和边界条件来求解热传导的温度分布和热量传导速率。
《梯度功能材料》课件
• 梯度功能材料的概述 • 梯度功能材料的制备方法 • 梯度功能材料的性能研究 • 梯度功能材料的发展趋势与展望 • 案例分析：梯度功能材料在航空
航天领域的应用
目录
01
梯度功能材料的概述
定义与特性
定义
梯度功能材料（Gradient Function Materials，GFM）是一种新型材料 ，其性能在空间上呈连续变化，从而 在材料内部实现了一种特殊的梯度结 构。
航空航天
用于制造高性能的航空发动机和 航天器部件，提高其耐高温、抗 腐蚀和减轻重量的性能。
生物医疗
用于制造人工关节、牙科种植体 等医疗器械，提高其生物相容性 和耐久性。
能源环保
用于制造高效能电池、燃料电池 等能源器件，提高其能量密度和 使用寿命。同时，在环保领域可 用于治理污染和修复生态。
02
梯度功能材料的制备方法
总结词
高强度、低密度、抗辐射
详细描述
卫星结构材料需要承受发射过程中的巨大应力和振动，同时在轨运行时还要承受太空中 的各种恶劣环境，如高真空、强辐射等。梯度功能材料通过优化材料成分和结构，实现 了高强度、低密度和抗辐射等多重性能的完美结合，为卫星结构提供了更加可靠和高效
的材料选择。
感谢观看
THANKS
01
通过优化材料组成和结构设计，开发具有优异性能的复合材料
，以满足各种工程应用的需求。
智能材料
02
研究和发展能够感知外部刺激并作出响应的材料，如形状记忆
合金、压电陶瓷等，用于制造智能传感器和执行器。
多功能材料
03
探索和开发具有多种功能的材料，如导电、导热、磁性、光学
等，以实现单一材料的多重应用。
梯度材料三维稳态温度场的改进分层计算方法
作者简介： 田云德 （９ ９） 男 。 １ ６ 一 ， 重庆市永川人 。 讲师 ， 硕士 ， 主要从事建筑复合材料研究。
维普资讯
第６ 期
田云德 等 ： 梯度材料三维稳态温度场的改进分层计算方法
毗 ＋ ’
ｏ（ ） （ 。 鼢 ｓ ｅ
（ 一 ｚ一ｅ ｚ ｅ 一 ）
把梯度材料分为 ，层 ， ｉ ｚ 第 层的 ｋ都令其为 ｋ
＝ｋ ｚ）且为常数（ 图 ２ ， （ ， 见 ）则第 ｉ 的方程为 层
等
＋ ＝ ０㈩
边界条件为 ：
ｚ＝０ Ｔ（ ， ０ ＝Ｔ （ ， Ｙ， ） ｏ Ｙ）
褰 ｚ 寄 害＝ 。
ｌ ● ｎ２ －
ｚ ＝Ｈ Ｔ（ ， Ｈ） ５ Ｙ， ＝ＴＨ ５， ） Ｃ （Ｃ Ｙ
在 两层 的共 同 边 界 上 应 满 足 连 续 性 条 件 ， 以 ｚ＝ 所
２＋ 时 ， １ 有
－
（ ， ＝０ １２ ３ ４ ｍ ， ， ， ， ……）
同理 ， 可以推导 出第 ｉ 层 的解 。 ＋ｌ
当 ｚ １ ， ：ｚ＋ 时 在两层 的共 同边界上应满足 连
续 性 条件 ， 有
摘
要 ： 每层 热传导 系数 为常数的分层计算 模型 ， 针对 采用功 能梯 度材料 （ （ 每层 热传 导系数 为指数 变化 Ｆ； Ｍ）
规律 ， 计算模 型进行 改造 ， 了每层热传导系数跳跃性 ， 对原 消除 得到稳态温度场 的温度分布计 算公式 。计算 结果表 明， 精度相 同时 ， 热传导系数 为指数变化规律分层计 算模型 收敛 速度是 热传导 系数为 常数 的分 层计算 模型 的 ３ 倍 多， 精度越 高 ， 收敛速度越快。
＝ ０ ＝ 口； ＝０； ； Ｙ Ｙ＝ ｂ Ｔ ：０
边界不同恒温时功能梯度板平面稳态温度场
Ｊ ｕ ｎ ． ２ ０ １ ３
文章编号 ： １ ６ ７ ３— ９ ４ ６ ９ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ２— ０ ０ ０ ４— ０ ５
ｄ ｏ ｉ ： １ ０ ． ３ ９ ６ ９ ／ ｊ ． ｉ ｓ ｓ ｎ ． １ ６ ７ ３—９ ４ ６ ９ ． ２ ０ １ ３ ． ０ ２ ． ０ ０ ２
第３ ０卷 第 ２期 ２ ０ １ ３年 ６月
河
北
工
程
大
学
学
报
（ 自
然
科
学
版）
Ｖｏ １ ． ３ Ｏ Ｎｏ ． ２
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｈ ｅ ｂ ｅ ｉ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ｏ ｆ Ｅ ｎ ｇ ｉ ｎ ｅ ｅ ｒ ｉ ｎ ｇ（ Ｎ ａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ Ｅ ｄ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ ）
Ａｂｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ： Ｔｈ ｅ ｈｅ ａ ｔ ｃ ｏ ｎ ｄ ｕ ｃ ｔ ｉ ｖ ｉ ｔ ｙ ｉ ｎ ｔ ｈ ｅ ＦＧＭ ｐ ｌ ａ ｔ ｅ ｗａ ｓ ｅ ｘ ｐ ｒ ｅ ｓ ｓ ｅ ｄ ｂ ｙ ｅ ｘ ｐｏ ｎ ｅ ｎ ｔ ｉ ａ ｌ ｆ ｕ ｎｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｌ ｏ ｎ ｇ ｔ ｈ ｅ ｈ ｅ ｉ ｇ ｈ ｔ ｄ ｉ ｒ ｅ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ｐ ｌ ａ ｔ ｅ，ｂ ａ ｓ ｅ ｄ ｏ ｎ ｔ ｈｅ ｐ ｌ ａ ｎｅ ｓ ｔ ｅ ａ ｄ ｙ ｈ ｅ ａ ｔ ｃ ｏ ｎ ｄ ｕｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ｂａ ｓ ｉ ｃ ｅ ｑ ｕ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ｐ ｌ ａ ｔ ｅ，
（ １ ．Ｃ ｏ ｌ ｌ ｅ ｇ ｅ ｏ ｆ Ｃ ｉ ｖ ｉ ｌ Ｅ ｎ ｇ ｉ ｎ ｅ ｅ ｒ ｉ ｎ ｇ ， Ｈ ｅ ｂ ｅ ｉ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ｏ ｆ Ｅ ｎ ｇ ｉ ｎ ｅ ｅ ｒ ｉ ｎ ｇ ， Ｈ ｅ ｂ ｅ ｉ Ｈ ａ ｎ ｄ ａ ｎ ０ ５ ６ ０ ３ ８ ， Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ ；
稳态热传导方程范文
稳态热传导方程范文稳态热传导方程是描述物质内部温度分布情况的方程，它描述了热量在物体内部的传递过程。
稳态热传导是指物质内部的温度分布保持不变，热量的输入与输出相等。
这类问题通常涉及热平衡、热传导、温度分布等方面的内容。
∇·(k∇T)=0其中，∇表示空间导数算子，k为热导率，T为温度。
这个方程可以通过热平衡原理来推导。
考虑物体内部一点的热平衡，热导率k的定义是热流密度q与温度梯度的比率：q=-k∇T其中，负号表示热量从高温区流向低温区。
根据能量守恒定律，物体内部的热源产生的热量应该等于从其他区域流入的热量减去从这一点流出的热量。
我们可以通过描述物体内部的热传导来完成这个计算。
考虑一个微小的体积元素dV，在单位时间内流入该体积元素的热量是∇·(k∇T)dV。
我们假设该体积元素内无热源，那么流入的热量等于从该点流出的热量，即：∇·(k∇T)dV=-∇·(q)dV=-∇·(k∇T)dV两边去掉dV，并使用散度定理，得到：∇·(k∇T)=0这就是稳态热传导方程。
解决稳态热传导方程的方法有很多种，常见的方法包括分析解法和数值解法。
分析解法常用于求解简单几何形状的物体的稳态热传导问题，可以利用边界条件和初始条件得到解析解。
这种方法通常适用于几何形状规则、边界条件简单的情况。
数值解法则适用于复杂几何形状和复杂边界条件的情况。
数值解法将物体分成很多小区域，利用差分方法近似表示方程，通过迭代求解得到近似解。
常见的数值解法包括有限差分法、有限元法等。
稳态热传导方程在科学研究和工程应用中具有重要的意义。
它可以用于研究材料的热传导性质，优化传热设备的设计，预测材料的温度分布等。
在工程领域，热传导方程与其他方程（如流体力学方程）相结合，可以用于模拟热交换器、管道和冷却系统等设备的工作原理。
第六讲 梯度功能材料 ppt课件
竹子
•ppt课件 竹节中纤维素含量变化
•7
人体长骨结构示意图
•ppt课件
•8
• 人造梯度功能材料也不是新事物。越王勾践剑深埋地下2400多 年，1965年出土时依旧寒光逼人，锋利无比。
• 剑的主要成分是铜、锡及少量铝、铁、镍、硫。
• 剑的各部位铜和锡的比例不一，形成良好的成分梯度。剑脊含 铜较多，韧性好，不易折断；剑刃含锡高，硬度大，非常锋利； 护手花纹处含硫高，硫化铜可防锈蚀。
梯度功能材料制备的耐磨轴承，外表为陶瓷， 内表面为金属
•ppt课件
•6
• 梯度功能材料早就出现在自然界中。 • 竹子是一种典型的梯度功能材料，人类和动物身体中的骨骼也是
一种梯度材料，其特点是结构中的最强单元承受最高的应力。
• 生物的梯度结构与人造梯度结构之间存在很大差异。有生命的 FGMs是“有智能的”，它们能感受所处环境的变化(包括局部应 力集中)，产生相应的结构修改，而人造梯度材料至少在目前还缺 乏这种功能。
•ppt课件
ZrO2-CrNi合金FGM横截 面，白色的陶瓷粉末与黑 色的合金粉末含量呈连续 性梯度变化，没有明显的 界面，
•16
• 金属-陶瓷构成的热应力缓和梯度功能材料，对高温侧壁采用耐 热性好的陶瓷材料，低温侧壁使用导热和强度好的金属材料。 材料从陶瓷过渡到金属的过程中，耐热性逐渐降低，机械强 度逐渐升高。 热应力在材料两端均很小，在材料中部过渡区达到峰值(比突 变界面的应力峰值小得多)， 具有缓和热应力的功能。
功能梯度材料梁结构的稳定性分析
功能梯度材料梁结构的稳定性分析王捷【摘要】基于一阶剪切变形非线性梁理论,运用物理中面的概念推出功能梯度材料(FGM)梁稳定性问题的基本方程,分析了功能梯度材料梁在面内热荷载作用下的稳定性.分析中假设功能梯度材料性质只沿梁厚度方向、并按成分含量的幂指数形式变化;利用打靶法对所得方程进行数值求解.结果表明,两端夹紧的FGM梁在均匀热载荷或非均匀热荷载作用下时都会发生过屈曲变形.【期刊名称】《甘肃科学学报》【年(卷),期】2016(028)001【总页数】5页(P12-15,54)【关键词】功能梯度材料;屈曲;稳定性;打靶法【作者】王捷【作者单位】兰州理工大学理学院,甘肃兰州 730050【正文语种】中文【中图分类】TB301近年来,功能梯度材料(FGM,functionally graded materials)因其优越的性能在诸多领域都有广泛的应用。
国内外许多学者对功能梯度材料梁的屈曲行为进行了研究。
Birman等[1]介绍了功能梯度材料中的主要进展,包括颗粒材料的同质化、传热问题、稳定性和动态分析、设计和制造以及应用和断裂。
Huang等[2,3]基于弹性力学平面问题的基本方程,假设应力函数是长度坐标的多项式函数,用弹性力学的方法推出了功能梯度各向异性悬臂梁在受到线性均布载荷作用时的解析解,同时假设热传导问题为沿厚度方向的一位热传导问题推出了在热载荷和非均匀载荷作用下的功能梯度各向异性悬臂梁的解析解。
张靖华等[4]应用微分求积法(DQM,differential-quadrature method)分析了变截面功能梯度梁的弯曲。
马连生等[5]基于一阶剪切变形梁理论,求出面内热载荷作用下梁过屈曲问题的精确解。
文献[6]中利用相同的理论引用物理中面的概念导出了FGM 梁的基本方程,分析了热载荷作用下简支FGM 梁的弯曲行为。
Ma等[7]推导了均匀面内热载荷作用下功能梯度梁的非线性静动态力学行为,并用打靶法数值的求解了控制方程,详细的讨论了材料常数、横向剪切变形、温度相关的材料特性、面内热载荷以及边界条件的影响。
功能梯度材料二维静态热传导问题的简单边界元法的开题报告
功能梯度材料二维静态热传导问题的简单边界元法的开题报告一、研究背景功能梯度材料（FGMs）是一种特殊的材料，其材料性质在空间上呈梯度分布，可以在不同应力、温度等条件下使用。
因此，FGMs极具应用前景。
然而，由于其复杂的材料结构和特殊的材料性质，对其进行热传导分析需要更为复杂的方法。
在本文中，我们将使用边界元法（BEM）来研究二维静态热传导问题，为研究FGMs提供一种简单快速的方法。
二、研究内容本文将使用BEM来求解二维静态热传导问题，研究FGMs的热传导行为。
在计算中，将材料分为若干个小区域，每个小区域中的热传导系数不同。
对于每个小区域，利用BEM求解出其温度分布，并解析计算出整个材料的热传导情况。
最终，我们将比较不同热传导系数分布条件下的材料温度分布情况，分析不同条件下的热传导机制。
三、研究意义本文研究了二维静态热传导问题，解决了FGMs在不同热传导系数分布下的热传导机制问题。
所研究的分析方法简明、清楚，可以为以后的热传导分析提供一个新思路和一个新方法。
四、研究难点本文研究的难点在于如何将FGMs的材料结构和材料性质作为边界条件引入BEM 分析中，并确定热传导系数的分布形式。
五、研究方法本文将使用BEM对FGMs的热传导问题进行分析，并通过分析FGMs的热传导机制来探讨其应用前景。
六、论文结构本文将分为以下章节：第一章为绪论，介绍FGMs的研究背景和意义；第二章为相关理论介绍，介绍研究中用到的BEM理论和热传导的基本理论知识；第三章为模型建立和数值计算，介绍模型建立的过程和数值计算的方法；第四章为结果分析，对数值计算结果进行分析；第五章为结论和展望，对本文的研究思路和方法进行总结，并展望未来的研究方向。
功能梯度材料组份
功能梯度材料组份功能梯度材料是一种特殊的材料，它在组成成分上呈现出梯度变化的特点。
这种材料的独特性质使其在许多领域具有广泛的应用前景。
本文将介绍功能梯度材料的组份以及其在不同领域中的应用。
一、功能梯度材料的组份功能梯度材料的组份主要包括两个或多个不同的材料。
这些材料在组份上呈现出梯度变化，即从一个材料逐渐过渡到另一个材料。
这种组份的变化可以是连续的，也可以是离散的。
例如，一种常见的功能梯度材料是由陶瓷和金属组成的。
陶瓷具有优异的耐磨性和耐高温性能，而金属则具有良好的导电性和可塑性。
将这两种材料组合在一起，可以得到既具有良好耐磨性又具有良好导电性的材料。
二、功能梯度材料的应用领域1. 功能梯度材料在航空航天领域中的应用航空航天领域对材料的要求非常高，需要具有轻质、高强度、高温耐受性等特点的材料。
功能梯度材料可以满足这些要求。
例如，在航空发动机中使用功能梯度陶瓷涂层，可以提高发动机的燃烧效率和耐久性。
2. 功能梯度材料在医疗领域中的应用医疗领域对材料的要求也非常严格，需要具有生物相容性、耐腐蚀性等特点的材料。
功能梯度材料可以满足这些要求。
例如，在人工关节中使用功能梯度金属材料，可以提高关节的生物相容性和耐磨性。
3. 功能梯度材料在能源领域中的应用能源领域对材料的要求包括高效转化能源、储能和传输等。
功能梯度材料可以满足这些要求。
例如，利用功能梯度材料制备高效的太阳能电池，可以提高太阳能的转化效率。
4. 功能梯度材料在电子领域中的应用电子领域对材料的要求包括高导电性、低电阻率等。
功能梯度材料可以满足这些要求。
例如，在集成电路中使用功能梯度材料，可以提高电路的性能和稳定性。
三、功能梯度材料的优势功能梯度材料具有以下几个优势：1. 梯度变化的组份可以使材料在不同区域具有不同的性能，从而满足多种需求。
2. 功能梯度材料可以减少不同材料之间的界面应力，提高材料的韧性和可靠性。
3. 功能梯度材料可以实现材料的轻量化，提高材料的性能和效率。
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对 于 常 数 型 或 指 数 型 热 扩 散 系 数
口ｚ （）＝五 ，比值 旦 为一 常数 人。取 厚度 方 向 ｅ
以
为解 析方 向 ，另外 两个方 向为离散 方 向 ，网格步 长 为ｈ ×ｈ ，离散 网格 数为 （ ＋１ ×（ ｍ ） ｎ＋１ ），如
图 １所示 。
‘ ｙ
比较粗糙 ，但形式简单 ，便于应用 ，有一定的适用
ｄ ｔｏ ｑ ａ ｉｎ ｉ ｉｃ ｅ ｉｅ ｑ ｉ ｉｔｎ ｌ ｌ ｎ ｈ ｈ ｃ ｎ ｓ ｉｅ ｔｏ ｔ ｈ ｉｃ ｅ ｅ ｎ ｍｂ ｒＭ ｎ ｕｃｉｎ ｅ ｕ ｔ ｓｄ ｓ ｒ ｔ ｄ ｅ ｕ ｄ ｓａ ｔｙ ａｏ ｇ ｔ ｅ ｔ ｉ ｋ ｅ ｓｄ ｒ ｃｉｎ ｗｉｈ ｔ ｅ ｄｓ ｒ ｔ ｕ ｅ ａ ｄ ｏ ｚ
其 中 ， （ ｙｚ 是 所要 求 的温度 分布 场 ， （）为热 ，，） ａｚ
扩散系数 ， Ｑ为区域 内部 ｛ ＜ｘ； ＜Ｙ＜Ｙ； ０＜ ｓ Ｏ ｓ
０ ＜ｚ＜ ｝ Ｑ 为 区 域 边 界 ， （ Ｙｚ ， ｇ ，，）为 空 间 热 源场 ， （ ，，）为 已知 的边界 温度 场 。 ｖ ｘｙｚ
ｆｒ ｅｉ ｎ ｔ ｎ ｉ ｇｖ ｎ ｆ ｍ ｐ ｅ ｇ ｂ ａｃ ｅ ｕ ｔ ｎ ．Ｔ ｅ ｒ ｓ ｌ ｆ ａ ｅ ｅ ｒ ｃｓ ｘ ｏ ｅ ｔ ｌＭｅｈ ｏ ｌ ｍｉ ａ ｉ ｓ ｉｅ ｒ ｕ ｐ ｒａ ｅ ｒ ｉ ｑ ａｉ ｓ ｈ ｅ ｕ ｔ ｏ ｙ ｒ ｄ Ｐ ｅ ｉｅ Ｅ ｐ ｎ ｎ ｉ ｔ — ｏ ｏ ｌ ｏ ｓ Ｌ ａ
功 能 梯度 材 料 （ ｕｃｏａｙＧａｅ ｔ ａｓ Ｆ ｎｔｎｌ ｒｄｄＭａｅｌ ， ｉ ｌ ｉ ｒ 简称 Ｆ Ｍｓ ，是 一 种 材 料 性 质 和 功 能 沿 厚 度 方 向 Ｇ ） 呈 连续 变化 的新 型材 料 ，它通 过连 续改 变两 种材 料
强 度 、缓和 热应力 等 目的。这一 概念 和设想 最早 是 由 日本 学 者 新 野正 之 、平 井 敏雄 于 １８ ９４年提 出 来 的 ， 目前 功能梯 度材 料 的研究 已经成 为材 料科 学
ｔｅ ｈｎ ｅ ｔ ａ ａ ｔ ｒｉａｙＤｆ ｒｎｉ ｏｎ ａｙＶ ｌｅＰ ｏｌ （ Ｄ Ｖ ） ｅ ｏｄｙａ ｅ ｈ ｎｉ ｃ ａ ｇｄｉ ｏ ｎ ｌ ｉ Ｏ ｄ ｒ ｉｅｅｔ Ｂ ｕ ｄｒ ａｕ ｒｂｅ Ｏ Ｂ Ｐ ．Ｓ ｃｎ ｌ ｌ — ｓ ｎ ｙｃ ｎ ｆ ｌ ａ ｍ ｇ
Ａｂｔａ ｔ ｎｅ ｃｅｔ ｌｏ ｔｍ （ ａ ｅ ｄＰｅｉ ｘ ｏｅ ｔ ｌ ｔｏ ， Ｐ Ｍ） ｏ ｅｄ ｅｔ ｏ ｄ ｃ ｓ ｃ：Ａ ｆ ｉ ｇｒｈ Ｌ ｙｒ ｒｃｓ Ｅ ｐｎ ｎｉ ｈ ｄ Ｌ Ｅ ｒ ｉ ｆ ｎａ ｉ ｅ ｅ ａ Ｍｅ ｆ ｔ ｙｈ ａ ｃ ｎ ｕ － ｓａ
Ｌ Ｅ 。首先将稳态热传导方程单 向离散 ，转化为沿厚 度解析 的常微分边值 问题 。然后将厚度 等分 ，利用相 Ｐ Ｍ） 邻结 点间状态参量 的精 细积分关系式 ，将常微分边值 问题转 化为一个 几乎无 离散误 差的代数 方程组 ，并给 出合
并 消元 的递推公式。对 于热传导系数沿厚度指数或者分段指数规律变化 的情况 ，该 方法具有 极高的精度 与效率 ；
ｐｅｉ ｔ ｒｌ ｅ ｔ ｎ ｆ ｈ ｔｔ ｐ ｒｍ ｔ ｅ ｅｎａｊｃｎ ｏ ｔ， ｎ ｅ ｅｒｃｒｉ ｒ ｕａ ｒｃｓ ｉ ｅ ａ ｒｌ ｉ ｓｏ ｅｓ ｅ ａａ ｅｅ ｂ ｔ ｅ ｄａｅｔ ｉ ｓ ａ ｄｔ ｎｔ ｅｕｓ ｎｆ ｍ ｌ ｅ ｎ ｇ ａｏ ｔ ａ ｒ ｗ ｐｎ ｈ ｈ ｏ ｏ
ｏ ａ ｅｂ ｔ ｏ ｄ ａ ｃ ａ ｙ ａ ｄ ｇ ｏ ｆ ｃｅ ｃ ｄ ｈ ｖ ｏ ｈ ｇ ｏ ｃ ｕｒ ｃ ｎ ｏ ｄ ｅｆ ｉ ｎ ｙ ｗｈｅ ｈｅｆ ｃｉｎ ｏ ｒ ｌｃ ｎ ｕ ｔ ｉ ｓ ｃ ｎ ｔｎ －ｙ ｅ ｉ ｎ ｔ ｕｎ ｔｏ ｆｔ ｍａ ｏ ｄ ｃ ｉ ｔ ｉ ｏ ｓａ ｔｔｐ ｈｅ ｖｙ ｏ ｘ ｏ ｅ ｔａ ，ａ ｄ ｗｈｅ ｈ ｕ ｃｉ ｎ ｏ ｈ ｒ ａ ｏ ｄ ｃ ｉｉ ｓ ｏｈ ｒ ｆｒ ｓ ｏ ｏ ｔｎ ｏ ｓ ａ ｓ ｏｈ ｒｅ ｐ ｎ ｎ ｉ ｌ ｎ ｎ ｔ ｅ ｆ ｎ ｔ ｆｔ ｅ ｏ ｍ ｌｃ ｎ ｕ ｔ ｔ ｉ ｔ ｅ ｍ ｆ ｃ ｎ ｉ ｕ ｕ ｎｄ ｍｏ ｔ ｖｙ ｏ
的组成和结构 ，使其 内部界面消失 ，从而达到增强
领域 的前沿热点之一。
收 稿 日期 ：２ １ ０ ０ ０— ７—１ ９
基金项 目：国家 自然科学基金 资助项 目 （ ０７ １４ ；中俄 Ｎ Ｆ — Ｆ Ｒ协议资助 项 目；中山大学 优秀研究 生导师逸 １６ ２９ ） Ｓ ＣＲ Ｂ 仙创新人才培养计划 Ｓ ２ ０ Ｙ ０９资助项 目 （９ ０ ３ ００—３ ２２ ０ １６ ０ ） 作者简介 ：蓝林华 （ ９ ２年生） １８ ，男 ，博士 ；通讯作者 ：富明慧 ；Ｅ ｍ ｉ ｔｍ ＠ｍ ｉ ｓｓ．ｄ ．ｎ － ａ ：ｓ ｆｈ ａ ．ｙｕ ｅｕ ｃ ｌ ｓ ｌ
第５ ０卷
２１ ０ １年
第 ４期
７月
中山大学学报 （ 自然科学版 ）
ＡＣ Ａ Ｓ Ｉ ＮＴ ＡＲ Ｔ Ｃ Ｅ Ｉ ＵＭ ＮＡＴ ＡＬ ＵＭ ＵＮＩ ＥＲＳ Ｔ Ｔ Ｓ Ｓ ＵＲ Ｉ Ｖ Ｉ Ａ Ｉ ＵＮＹＡ Ｓ ＮＩ Ｔ Ｅ
Ｖ １ ５ Ｎｏ ４ ｏ． ０ ．
Ｊ １ ２ １ ｕ． ０ １
２
中山大学学 报 （ 自然科学 版）
第５ ０卷
在 过去 的 ２ ０年 里 ，各 国学 者 开 展 了大 量 的研 究 工作 ，Ｗａｇ等 用 无 网格 来自 法 对 功 能梯 度 材 料 ｎ
进 行 了热 力学 分析 ，该 文利 用模 拟方程 理 论从 原始 的非 均质 系统 得到 等效 的均 质系 统 ，随后 利用基 本
对 于更一般 的情况 ，提 出了将 热传导系数沿厚度分段指数化 的求解方法 。算例 的结果证 明了该文方法 的有效性 。
关 键词 ：功能梯度材料； 稳态热传导方程；分层精细指数法；两点边值问题；递推消元
中图分 类号 ：００ 文献标 志码 ：Ａ 文章 编号 ：０２ — ５９（Ｏ１ ４ ００ —６ ３２ ５９ ６７ ２ｌ）０ — ０１ ０ Ｌａ ｅ ｅ ｅ ｉｅ Ｅｘ ｎ ｎｔａ ｅｈｏ ｆＳ ｅ ｄ ｅ ｔＣｏ ｄ ｔｏ ｙ ｒ ｄ Ｐｒ ｃｓ ｐｏ ｅ ｉ ｌＭ ｔ ｄ ｏ ｔ ａ ｙ Ｈ ａ ｎ ｕｃｉ ｎ Ｅｑ ｔｏ ｆ ｒ Ｆｕｎ ｔｏ ｌ ｒ ｄｅ ａ ｅ ｉ ｌ ｕａ ｉ ｎ ｏ ｃ ｉｎａｌ Ｇ ａ ｄ Ｍ ｔ ｒａ ｓ ｙ
功能梯度材 料稳态热传导方程 的分层精细指数法
蓝 林 华 ，富 明 慧 ，高 文 乐
（ 中山 大学应 用力 学与 工程 系，广 东 广 州 ５０７ ） １２５
摘 要 ：提出 了功能梯度材料稳态热传导方程的分层精 细指数 化法 （ ａ ｒ ｘｏｅｔｌ ｒ ｉ ｅ ｏ， Ｌｙ ｅ Ｅｐｎｎａ Ｐ ｃ ｅＭ ｔ ｄ ｅｄ ｉ ｅ ｓ ｈ
ｂ ａｃ ｅ ｕ ｔ ｎ ｈ ｃ ａ ｅ ａ ｍｏ ｔｎ ｉ ｒｔ ａ ｉｎ ｅ ｒｒａ ｅ ｅ ｔｂ ｉｈ ｄ ｆ ｍ ｈ ＢＶ ｙ ｕ ｉ ｇ ｏ ｅ ｒ ｉ ｑ ａ ｉ ｓ ｗ ｉ ｈ ｈ ｖ ｌ ｓ ｏ ｄ ｓ ｅｉ ｔ ｒｏ ｒ ｓａ ｌ ｅ ｒ ｔ ｅ ＯＤ Ｐ ｂ ｓ ｆ ｈ ｏ ｃ ｚ ｏ ｓ ｏ ｎ ｔ
） ） （ 磐＋ ＝ （ ＋ ＋ ） ） （ ０ 老 ｇ
Ｌ ， ，） Ｑ （ Ｙ ｚ ＝ ／ Ｙ ｚ ， ，） （ Ｙｚ∈ ， ，） ｒ（ ，）（ Ｙ ｚ ∈ Ｑ ，
（） １
解 方 法 和径 向基 函数分 别构 造 了系统 的近似部 分 和 补充 部分 ，最 后根 据位 移 和边界 条件 求得 满 足控制 方 程 的 所 有 边 界 条 件 。 陈 建 桥 等 将 无 网 格 Ｐｔ ｖＧ ｌｋｎ方 法 应 用 于 功能 梯 度 材 料 的三 维 热 ｅｒ —ａｅ ｉ ｏ ｒ 传 导 问题 ，文 中讨论 了物 性变 化和 材料 组成 对计算 结果 的影 响。Ｏ ｈ ｉ 用 边 界 元方 法 讨 论 了含 热 ｃｉ ＿采 ａ４ 源 的稳 态热传 导 问题 ，同时用 区域 积分 法改 进 了边
ｆ ｎ ｔ ｎ ｈ ｔ ｏ ｓ ｐ ｌ ｓａ ｏ ｇ ａ ｅｌ ｙ ｒ ｄ ｅ ｐ ｎ ｎ ｉｌ ｐ ｒ ｘｍａｉｎ ｍｏ ｅ ｉ ｄ ｐ ｅ ．Ｔ ｅ ｕ ｃ ｉ ．Ｔ ｅ ｍｅｈ ｄ ａ ｏ ａ ｐ ｉ ｓｌｎ ｓｔ ｅ ｅ ｘ ｏ ｅ ｔ ｐ ｏ ｉ ｔ ｄ ｌ ｓａ ｏ ｔ ｄ ｈ ｏ ｌ ｅ ｈ ａ ａａ ｏ ｎ ｍｅ ｃ ｌｅ ａ ｌ ｓａ ｅｐ ｅ ｅ ｔ ｄ ｔ ｅ ｎ ｔａｅ ｔ ｅ ｅｆ ｃｉｅ ｅ ｓａ ｄ ｒ ｌ ｂ ｌ ｙ ｏ ｅ ｐ ｏ ｏ ｅ ｔｏ ． ｕ ｒ ａ ｘ ｍｐ ｅ ｒ ｒ ｓ ｎ ｅ ｏ ｄ ｍｏ ｓ ｔ ｈ ｆ ｔ ｎ ｓ ｎ ｅ ｉ ｉ ｔ ｆ ｈ ｒ ｐ ｓ ｄ ｍｅｈ ｄ ｉ ｒ ｅ ｖ ａ ｉ ｔ
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