初中几何证明公式及经典例题
(完整版)初中几何几个著名定理及证明
① AC(BP+DP)=AD ・ BC+AB ・ DC ・ 即 AC ・ BD=AB ・ CD+AD ・ BC.2.托勒密定理的逆定理若一个凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，则这 个凸四边形內接于一圆。
己知：在凸四边形ABCD 中，AB • CD+AD • BC 二 BD • AC 。
求证：A 、B 、C 、D 四点共圆。
证明：分别以E 、A 为顶点，在 四边形ABCD初屮见何甩个著名炙龌及证明 识玻堵泗阳展療口屮曇蒐疋屮 一.托勒密定理 1.托勒密定理 圆內接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和。
己知：圆內接四边形AECD,求证：AC ・BD 二AB • CD+AD ・BC 。
证明：如图所示，过C 作CP 交BD 于P, 使Z1=Z2,又Z3=Z4, AACD^ABCP. 冴 BP BC EP • AC 二 AD • BC 又 ZACB=ZDCP, Z5= Z6,,即 •：A ACB S A DCP . 得需=舘，即DP ・AC =AB ・DC内，作ZABF= ZDBC> ZBAF=ZBDC,—=—=> AB CD^BD-AF则厶ABF^ADBC 〜Ar CDAH _Bn亦—斎又•，• ZABD = Z ABF +ZEBF= ZEBF + ZDBC = ZFBC•'•△ABD S A FB C =x> —=—=>JD-/R-=Hzrc/--HC CF•••AB ・ CD+AD ・ BC=BD* （AF+CF）又VAB・CD+AD ・BC=BD・AC （己知〉,•••AC=AF + CF；「.A、F、C三点共线；ZBAC=ZBAF = ZBDC；：4、B、C、D 四点共圆。
3.托勒密不等式在任意凸四边形中，两组对边乘积的和不小于其两条对角线的乘积。
〈托勒密定理可视作托勒密不等式的特殊情况。
）即在任意凸四边形ABCD中，必有AC ・BDWAB • CD+AD * BC,当且仅当A、B、C、D四点共圆（托勒密定理）或共线（欧扌立几何定理）时取等号。
初三几何证明练习题和答案
初三几何证明练习题和答案几何证明是初中数学中的重要内容，通过练习不同类型的几何证明题，可以帮助学生理解并掌握几何证明的基本方法与技巧。
本文将为大家提供一些初三几何证明的练习题和答案，希望对同学们的学习有所帮助。
1. 题目：已知ABCD是平行四边形，证明∠ABC + ∠ADC = 180°。
证明：解：连接AC，根据平行四边形的性质可知∠ADC = ∠ACB，所以要证明∠ABC + ∠ADC = 180°，只需证明∠ABC + ∠ACB = 180°。
由角的内外（对顶、同旁）定理可知∠ACB + ∠ABC = 180°，即∠ABC + ∠ACB = 180°。
所以，∠ABC + ∠ADC = 180°得证。
2. 题目：已知直角三角形ABC中，∠ACB = 90°，AC = 5cm，BC= 12cm，证明AB = 13cm。
证明：解：根据勾股定理可得AB² = AC² + BC²。
代入已知条件，即可得AB² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169。
开方可得AB = 13cm。
所以，AB = 13cm得证。
3. 题目：已知直角三角形ABC中，∠ACB = 90°，AC = BC，证明∠ABC = 45°。
证明：解：连接AB，根据等腰直角三角形的性质可知∠ACB = ∠CAB。
所以，∠ABC = 180° - ∠ACB - ∠CAB = 180° - ∠ACB - ∠ACB = 180° - 2∠ACB。
由于∠ACB = 90°，代入得∠ABC = 180° - 2 × 90° = 0°。
所以，∠ABC = 0°，即∠ABC = 45°得证。
4. 题目：已知ABCD是一个平行四边形，E为AD的中点，证明BE平分∠CBD。
(完整版)初中几何证明题五大经典(含答案)
经典题（一）1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ．（初二）证明：过点G 作GH ⊥AB 于H ，连接OE ∵EG ⊥CO ，EF ⊥AB∴∠EGO=90°，∠EFO=90° ∴∠EGO+∠EFO=180° ∴E 、G 、O 、F 四点共圆 ∴∠GEO=∠HFG∵∠EGO=∠FHG=90° ∴△EGO ∽△FHG ∴FG EO =HGGO∵GH ⊥AB ，CD ⊥AB ∴GH ∥CD∴CD COHG GO =∴CDCO FG EO = ∵EO=CO ∴CD=GF2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内部的一点，∠PAD ＝∠PDA ＝15°。
求证：△PBC 是正三角形．（初二） 证明：作正三角形ADM ，连接MP ∵∠MAD=60°，∠PAD=15° ∴∠MAP=∠MAD+∠PAD=75° ∵∠BAD=90°，∠PAD=15°∴∠BAP=∠BAD-∠PAD=90°-15°=75° ∴∠BAP=∠MAP ∵MA=BA ，AP=AP ∴△MAP ≌△BAP∴∠BPA=∠MPA ，MP=BP 同理∠CPD=∠MPD ，MP=CP ∵∠PAD ＝∠PDA ＝15°∴PA=PD ，∠BAP=∠CDP=75° ∵BA=CD∴△BAP ≌∠CDP ∴∠BPA=∠CPD∵∠BPA=∠MPA ，∠CPD=∠MPD ∴∠MPA=∠MPD=75°∴∠BPC=360°-75°×4=60°∵MP=BP ，MP=CP ∴BP=CP ∴△BPC 是正三角形3、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线交MN于E 、F ．求证：∠DEN ＝∠F ．证明:连接AC ，取AC 的中点G ,连接NG 、MG ∵CN=DN ，CG=DG ∴GN ∥AD ，GN=21AD ∴∠DEN=∠GNM ∵AM=BM ，AG=CG ∴GM ∥BC ，GM=21BC ∴∠F=∠GMN ∵AD=BC ∴GN=GM∴∠GMN=∠GNM ∴∠DEN=∠F经典题（二）1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O 为外心，且OM ⊥BC 于M ． （1）求证：AH ＝2OM ；（2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二） 证明：（1）延长AD 交圆于F ，连接BF ，过点O 作OG ⊥AD 于G ∵OG ⊥AF ∴AG=FG ∵AB⌒ =AB ⌒ ∴∠F=∠ACB又AD ⊥BC ，BE ⊥AC ∴∠BHD+∠DBH=90° ∠ACB+∠DBH=90° ∴∠ACB=∠BHD ∴∠F=∠BHD∴BH=BF 又AD ⊥BC ∴DH=DF∴AH=AG+GH=FG+GH=GH+DH+DF+GH=2GH+2DH=2（GH+DH ）=2GD 又AD ⊥BC ，OM ⊥BC ，OG ⊥AD ∴四边形OMDG 是矩形 ∴OM=GD ∴AH=2OM （2）连接OB 、OC∵∠BAC=60∴∠BOC=120° ∵OB=OC ，OM ⊥BC ∴∠BOM=21∠BOC=60°∴∠OBM=30° ∴BO=2OM由（1）知AH=2OM ∴AH=BO=AO2、设MN 是圆O 外一条直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 引圆的两条割线交圆O 于B 、C 及D 、E ，连接CD 并延长交MN 于Q ，连接EB 并延长交MN 于P. 求证：AP ＝AQ ．证明：作点E 关于AG 的对称点F ，连接AF 、CF 、QF ∵AG ⊥PQ ∴∠PAG=∠QAG=90°又∠GAE=∠GAF ∴∠PAG+∠GAE=∠QAG+∠GAF 即∠PAE=∠QAF∵E 、F 、C 、D 四点共圆 ∴∠AEF+∠FCQ=180° ∵EF ⊥AG ，PQ ⊥AG ∴EF ∥PQ∴∠PAF=∠AFE ∵AF=AE∴∠AFE=∠AEF ∴∠AEF=∠PAF ∵∠PAF+∠QAF=180° ∴∠FCQ=∠QAF ∴F 、C 、A 、Q 四点共圆 ∴∠AFQ=∠ACQ 又∠AEP=∠ACQ ∴∠AFQ=∠AEP3、设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）证明：作OF ⊥CD 于F ，OG ⊥BE 于G ，连接OP 、OQ 、OA 、AF 、AG ∵C 、D 、B 、E 四点共圆 ∴∠B=∠D ，∠E=∠C ∴△ABE ∽△ADC ∴DFBGFD 2BG 2DC BE AD AB === ∴△ABG ∽△ADF ∴∠AGB=∠AFD ∴∠AGE=∠AFC ∵AM=AN ， ∴OA ⊥MN 又OG ⊥BE ，∴∠OAQ+∠OGQ=180° ∴O 、A 、Q 、E 四点共圆 ∴∠AOQ=∠AGE 同理∠AOP=∠AFC ∴∠AOQ=∠AOP又∠OAQ=∠OAP=90°，OA=OA ∴△OAQ ≌△OAP ∴AP=AQ 在△AEP 和△AFQ 中 ∠AFQ=∠AEP AF=AE ∠QAF=∠PAE ∴△AEP ≌△AFQ ∴AP=AQ4、如图,分别以△ABC 的AB 和AC 为一边,在△ABC 的外侧作正方形ABFG 和正方形ACDE ，点O 是DF 的中点，OP ⊥BC求证：BC=2OP （初二）证明：分别过F 、A 、D 作直线BC 的垂线，垂足分别是L 、M 、N ∵OF=OD ，DN ∥OP ∥FL ∴PN=PL∴OP 是梯形DFLN 的中位线 ∴DN+FL=2OP ∵ABFG 是正方形∴∠ABM+∠FBL=90° 又∠BFL+∠FBL=90° ∴∠ABM=∠BFL又∠FLB=∠BMA=90°，BF=AB ∴△BFL ≌△ABM ∴FL=BM同理△AMC ≌△CND ∴CM=DN∴BM+CN=FL+DN ∴BC=FL+DN=2OP经典题（三）1、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ． 求证：CE ＝CF ．（初二）证明：连接BD 交AC 于O 。
专题04 几何计算与几何证明(解析版)
专题04几何计算与几何证明【提要】平面几何是培养训练人的逻辑思维能力的很好的工具，也是初中数学学习内容的重要组成部分，因此它是初中数学学业考试的重要内容之一．在平面几何中，除了一些证明题外，还有一些计算问题，它也是要经过一定的逻辑推理后，再进行计算．因此熟练掌握几何中的一些重要定义、定理，是解决问题的前提．另外还需注意的是，要把解决常见问题的基本方法加以归类整理，比如证明角相等有哪些常见的方法？证明线段相等有哪些常见的方法？这样在遇到复杂问题时，我们才能运用化归的思想，分析和解决问题．【范例】【例1】如图，在▱ABCD中，E为BC边上一点，且AB＝AE.(1)求证：△ABC≌△EAD；(2)若AE平分∠DAB，∠EAC＝25°，求∠AED的度数．【解析】(1)【证明】∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC.∵AB＝AE，∴∠AEB＝∠B.∴∠CBA＝∠DAE.∴△ABC≌△EAD.(2)【解析】∵∠DAE＝∠BAE，∠DAE＝∠AEB，∴∠BAE＝∠AEB＝∠B.∴△ABE为等边三角形．∴∠BAE＝60°.∵∠EAC＝25°，∴∠BAC＝85°.∵△ABC≌△EAD，∴∠AED＝∠BAC＝85°.【例2】两个全等的含30°，60°角的三角板ADE和三角板ABC如图所示放置，E、A、C三点在一条直线上，连接BD，取BD的中点M，连接ME、MC，试判断△EMC的形状，并说明理由．【解析】△EMC的形状是等腰直角三角形．证明：连接AM.∵∠DAE＝∠ABC＝30°，∠BAC＝∠ADE＝60°.又∵DM ＝MB ， ∴MA ＝12DB ＝DM .∵AD ＝AB ，∴∠MAD ＝∠MAB ＝∠MDA ＝45°，∠DMA ＝90°. ∴∠MDE ＝∠MAC ＝105°. ∴△EDM ≌△CAM .∴EM ＝MC ，∠DME ＝∠AMC . 又∠DME ＋∠EMA ＝90°， ∴∠EMA ＋∠AMC ＝90°. ∴CM ⊥EM .∴△EMC 是等腰直角三角形．【例3】如图，已知：在△ABC 中，D 是边BC 上的中点，且AD ＝AC ，DE ⊥BC ， DE 与AB 相交于点E ，EC 与AD 相交于点F . (1)求证：CF ＝12AB ；(2)若△FCD 的面积＝5，BC ＝10，求DE 的长．(1)【证明】取AC 的中点G ，连接DG .∵D 是BC 的中点，∴DG ∥AB ，DG ＝12AB∵DE ⊥BC ，∴DE 是BC 的垂直平分线，BE ＝CE ， ∠EBC ＝∠ECB ，∵∠GDC ＝∠EBC ，∴∠GDC ＝∠ECB . 由AD ＝AC ，得∠ACD ＝∠ADC 在△GDC 和△FCD 中，∠GDC ＝∠FCD ，∠GCD ＝∠FDC ， DC ＝CD ，得△GDC ≌△FCD ， ∴DG ＝CF ，∴CF ＝12AB .(2)【解析】作AH ⊥DC ，垂足为H ，则DH ＝CH . ∵△GDC ≌△FCD ， ∴CG ＝DF ＝12AC ＝12AD ，∴F 是AD 的中点，∵S △FCD ＝5，BC ＝10， ∴S △FCA ＝5，DC ＝5，DH ＝52，S △ADC ＝10∵S △ADC ＝12DC ·AH ，∴AH ＝4，∵ED ∥AH ， ∴ED AH ＝BD BHED ＝AH ·BD BH ＝4×5152＝83，∴DE ＝83.【例4】如图(1)，已知⊙O 的弦AB 垂直于直径CD ，垂足为F ，点E 在AB 上，且EA ＝EC . (1)求证：AC 2＝AE ·AB ；(2)延长EC 到点P ，连接PB ，如果PB ＝PE ，试判断PB 与⊙O 的位置关系，并说明理由．(1)【证明】连接BC.∵直径CD⊥AB，∴AF＝BF.∴AC＝BC.∴∠A＝∠ABC.又∵EA＝EC，∴∠A＝∠ACE.∴∠ABC＝∠ACE.∵∠A＝∠A，∴△ACE∽△ABC.∴AEAC＝ACAB，即AC2＝AE·AB.(2)【解析】连接OB.∵PB＝PE，∴∠PBE＝∠PEB，即∠PBC＋∠EBC＝∠A＋∠ECA.∴∠PBC＝∠EBC＝∠A＝∠ECA.又∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB.而∠OCB＋∠EBC＝90°.∴∠OBC＋∠PBC＝90°，即∠OBP＝90°.∴OB⊥PB，∴PB与⊙O的位置关系是相切．【例5】如图(1)，正方形ABCD的边长为1，G为CD边上的一个动点(点G与C、D不重合)，以CG 为一边向正方形ABCD外作正方形GCEF，连接DE交BG的延长线于点H.(1)求证：①△BCG≌△DCE；②BH⊥DE.(2)试问当点G运动到什么位置时，BH垂直平分DE？请说明理由．(1)【证明】∵四边形ABCD 、四边形GCEF 都是正方形， ∴BC ＝DC ，∠BCG ＝∠DCE ＝90°，CG ＝CE ， ∴△BCG ≌△DCE . ∴∠CBG ＝∠CDE . ∵∠BGC ＝∠DGH ，∴∠DHG ＝∠BCG ＝90°，即BH ⊥DE . (2)【解析】连接EG .(如图(2))要使BH 垂直平分DE ，必须有GE ＝GD . 设CG ＝x .那么GE ＝2x ，DG ＝1－x . ∴2x ＝1－x .解得x ＝2－1，即当CG ＝2－1时，BH 垂直平分DE .【训练】1．（2020•宝山区一模）如图，直线:l y =，点1A 坐标为(1,0)，过点1A 作x 轴的垂线交直线l 于点1B ，以原点O 为圆心，1OB 为半径画弧交x 轴于点2A ；再过点2A 作x 的垂线交直线l 于点2B ，以原点O 为圆心，2OB 长为半径画弧交x 轴于点3A ，⋯，按此做法进行下去．求：（1）点1B 的坐标和11AOB ∠的度数； （2）弦43A B 的弦心距的长度．【分析】（1）求出11tan AOB ∠的值，11A B 即可解决问题． （2）连接43A B ，作43OH A B ⊥于H ．求出OH 即可．【解答】解：（1）Q 直线的解析式y =，11111tan A B AOB OA ∴∠== 1160AOB ∴∠=︒，11OA =，11A B ∴=212OA OB ==，1B ∴．（2）连接43A B ，作43OH A B ⊥于H ． 由题意11OA =，22OA =，34OA =，48OA =， 43OA OB =Q ，43OH A B ⊥，4431302A OH A OB ∴∠=∠=︒，4cos308OH OA ∴=︒==g2．（2020•奉贤区一模）如图，已知AB 是O e 的直径，C 是O e 上一点，CD AB ⊥，垂足为点D ，E 是¶BC的中点，OE 与弦BC 交于点F ．（1）如果C 是¶AE 的中点，求:AD DB 的值；（2）如果O e 的直径6AB =，:1:2FO EF =，求CD 的长．【分析】（1）连接OC ，根据垂径定理的推论得到OE BC ⊥，¶¶¶AC ECEB ==，根据含30︒的直角三角形的性质计算；（2）根据勾股定理求出BF ，得到BC 的长，证明BFO BDC ∆∆∽，根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算得到答案．【解答】解：（1）连接OC ， E Q 是¶BC的中点， ∴¶¶ECEB =，OE BC ⊥， C Q 是¶AE 的中点， ∴¶¶AC EC=， ∴¶¶¶AC ECEB ==， 60AOC COE EOB ∴∠=∠=∠=︒， 30OCD ∴∠=︒，在Rt COD ∆中，30OCD ∠=︒， 12OD OC ∴=，:1:3AD DB ∴=；（2）6AB =Q ，:1:2FO EF =， 1OF ∴=，在Rt BOF ∆中，BF =，BC ∴=，CD AB ⊥Q ，OE BC ⊥，90BDC BFO ∴∠=∠=︒，又B B ∠=∠， BFO BDC ∴∆∆∽，∴BO OFBC CD =1CD=，解得，CD =．3．（2020•黄浦区一模）如图，ABC ∆是边长为2的等边三角形，点D 与点B 分别位于直线AC 的两侧，且AD AC =，连接BD 、CD ，BD 交直线AC 于点E ．（1）当90CAD ∠=︒时，求线段AE 的长．（2）过点A 作AH CD ⊥，垂足为点H ，直线AH 交BD 于点F ， ①当120CAD ∠<︒时，设AE x =，BCEAEFS y S ∆∆=（其中BCE S ∆表示BCE ∆的面积，AEF S ∆表示AEF ∆的面积），求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围； ②当7BCEAEFS S ∆∆=时，请直接写出线段AE 的长．【分析】（1）过点E 作EG BC ⊥，垂足为点G ．AE x =，则2EC x =-．根据BG EG =构建方程求出x 即可解决问题．（2）①证明AEF BEC ∆∆∽，可得22BCE AEF S BE S AE ∆∆=，由此构建关系式即可解决问题． ②分两种情形：当120CAD ∠<︒时，当120180CAD ︒<∠<︒时，分别求解即可解决问题． 【解答】解：（1）ABC ∆Q 是等边三角形，2AB BC AC ∴=-=，60BAC ABC ACB ∠=∠=∠=︒．AD AC =Q ，AD AB ∴=，ABD ADB ∴∠=∠，180ABD ADB BAC CAD ∠+∠+∠+∠=︒Q ，90CAD ∠=︒，15ABD ∠=︒，45EBC ∴∠=︒．过点E 作EG BC ⊥，垂足为点G ．设AE x =，则2EC x =-． 在Rt CGE ∆中，60ACB ∠=︒，∴sin )EG EC ACB x =∠=-g ，1cos 12CG EC ACB x =∠=-g ， 1212BG CG x ∴=-=+， 在Rt BGE ∆中，45EBC ∠=︒，∴11)2x x +=-，解得4x =-所以线段AE 的长是4-（2）①设ABD α∠=，则BDA α∠=，1202DAC BAD BAC α∠=∠-∠=︒-． AD AC =Q ，AH CD ⊥，∴1602CAF DAC α∠=∠=︒-， 又60AEF α∠=︒+Q ， 60AFE ∴∠=︒，AFE ACB ∴∠=∠，又AEF BEC ∠=∠Q ， AEF BEC ∴∆∆∽，∴22BCE AEF S BE S AE ∆∆=， 由（1）得在Rt CGE ∆中，112BG x =+，)EG x -，222224BE BG EG x x ∴=+=-+，∴2224(02)x x y x x -+=<<．②当120CAD ∠<︒时，7y =，则有22247x x x -+=， 整理得2320x x +-=， 解得23x =或1-（舍弃）， 23AE =． 当120180CAD ︒<∠<︒时，同法可得2224x x y x++= 当7y =时，22247x x x ++=，整理得2320x x --=，解得23x =-（舍弃）或1，1AE ∴=．4．（2020•闵行区一模）如图，梯形ABCD 中，//AD BC ，90ADC ∠=︒，2AD =，4BC =，tan 3B =．以AB 为直径作O e ，交边DC 于E 、F 两点．（1）求证：DE CF =； （2）求：直径AB 的长．【分析】（1）直接利用垂径定理结合平行线分线段成比例定理得出DH HC =，进而得出答案； （2）过点A 作AG BC ⊥，垂足为点G ，再利用已知结合勾股定理得出答案． 【解答】（1）证明：过点O 作OH DC ⊥，垂足为H ． //AD BC Q ，90ADC ∠=︒，OH DC ⊥， 90BCN OHC ADC ∴∠=∠=∠=︒．////AD OH BC ∴．又OA OB =Q ． DH HC ∴=．OH DC ⊥Q ，OH 过圆心，EH HF ∴=，DH EH HC HF ∴-=-．即：DE CF =．（2）解：过点A 作AG BC ⊥，垂足为点G ，90AGB ∠=︒， 90AGB BCN ∠=∠=︒Q ， //AG DC ∴． //AD BC Q ，AD CG ∴=．2AD =Q ，4BC =，2BG BC CG ∴=-=．在Rt AGB ∆中，tan 3B =Q ， tan 236AG BG B ∴==⨯=g ．在Rt AGB ∆中，222AB AG BG =+AB ∴=5．（2020•奉贤区一模）如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边AD 上，点F 在边CB 的延长线上，连接CE 、EF ，2CE DE CF =g． （1）求证：D CEF ∠=∠；（2）连接AC ，交EF 于点G ，如果AC 平分ECF ∠，求证：AC AE CB CG =g g ．【分析】（1）根据2CE DE CF =g 且DEC ECF ∠=∠可证明CDE CEF ∆∆∽，即可得结论；（2）根据AC 平分ECF ∠，//AD BC ，可得EAC ECA ∠=∠，进而得E EC =，再证明CGE CAB ∆∆∽，对应边成比例即可．【解答】（1）证明：2CE DE CF =Q g ，即CE CFDE CE=Q 四边形ABCD 为平行四边形，//AD BC ∴，DEC ECF ∴∠=∠， CDE CEF ∴∆∆∽， D CEF ∴∠=∠．（2）如图所示：AC Q 平分ECF ∠，ECA BCA ∴∠=∠，D CEF ∠=∠Q ，D B ∠=∠， CEF B ∴∠=∠，CGE CAB ∴∆∆∽，∴CG CEAC CB=， //AD BC Q ，DAC BCA ∴∠=∠， ECA DAC ∠=∠Q ， AE CE ∴=，∴CG AEAC CB=，即AC AE CB CG =g g ． 6．（2020•崇明区一模）如图，AC 是O e 的直径，弦BD AO ⊥于点E ，连接BC ，过点O 作OF BC ⊥于点F ，8BD =，2AE =．（1）求O e 的半径； （2）求OF 的长度．【分析】（1）连接OB ，根据垂径定理求出BE ，根据勾股定理计算，得到答案； （2）根据勾股定理求出BC ，根据垂径定理求出BF ，根据勾股定理计算，得到答案． 【解答】解：（1）连接OB ， 设O e 的半径为x ，则2OE x =-， OA BD ⊥Q ， 142BE ED BD ∴===， 在Rt OEB ∆中，222OB OE BE =+，即222(2)4x x =-+， 解得，5x =，即O e 的半径为5；（2）在Rt CEB ∆中，BC = OF BC ⊥Q ，12BF BC ∴==OF ∴=7．（2020•嘉定区一模）如图，在O e 中，AB 、CD 是两条弦，O e 的半径长为rcm ，弧AB 的长度为1l cm ，弧CD 的长度为2l cm （温馨提醒：弧的度数相等，弧的长度相等，弧相等，有联系也有区别）．当12l l =时，求证：AB CD =．【分析】根据弧长公式求得AOB COD ∠=∠，然后利用ASA 证得AOB COD ∆≅∆，即可证得结论． 【解答】解：设AOB m ∠=︒，COD n ∠=︒， 由题意，得1180mr l π=，2180nr l π=， QBG FH DG CH =，∴180180mr nr ππ=， m n ∴=，即AOB COD ∠=∠，OA Q 、OB 、OC 、OD 都是O e 的半径， OA OB OC OD ∴===，OA OC =Q ，AOB COD ∠=∠，OB OD =，()AOB COD SAS ∴∆≅∆ AB CD ∴=．8．（2020•徐汇区一模）如图，在ABC ∆中，5AB AC ==，6BC =，点D 是边AB 上的动点（点D 不与点AB 重合），点G 在边AB 的延长线上，CDE A ∠=∠，GBE ABC ∠=∠，DE 与边BC 交于点F ． （1）求cos A 的值；（2）当2A ACD ∠=∠时，求AD 的长；（3）点D 在边AB 上运动的过程中，:AD BE 的值是否会发生变化？如果不变化，请求:AD BE 的值；如果变化，请说明理由．【分析】（1）作AH BC ⊥于H ，BM AC ⊥于M ．解直角三角形求出BM ，AM 即可解决问题． （2）设AH 交CD 于K ．首先证明AK CK =，设AK CK x ==，在Rt CHK ∆中，理由勾股定理求出x ，再证明ADK CDA ∆∆∽，理由相似三角形的性质构建方程组即可解决问题． （3）结论：:5:6AD BE =值不变．证明ACD BCE ∆∆∽，可得56AD AC BE BC ==． 【解答】解：（1）作AH BC ⊥于H ，BM AC ⊥于M ． AB AC =Q ，AH BC ⊥，3BH CH ∴==，4AH ∴=， 1122ABC S BC AH AC BM ∆==Q g g g g ，245BC AH BM AC ∴==g ，75AM ∴==， 7cos 25AM A AB ∴==．（2）设AH 交CD 于K ．2BAC ACD ∠=∠Q ，BAH CAH ∠=∠，CAK ACK ∴∠=∠，CK AK ∴=，设CK AK x ==，在Rt CKH ∆中，则有222(4)3x x =-+， 解得258x =，258AK CK ∴==， ADK ADC ∠=∠Q ，DAK ACD ∠=∠， ADK CDA ∴∆∆∽，∴255858AD AK DK CD AC AD ====，设AD m =，DK n =， 则有25258825()8mn m n n ⎧=⎪+⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得12539m =，625312n =． 12539AD ∴=．（3）结论：:5:6AD BE =值不变．理由：GBE ABC ∠=∠Q ，2180BAC ABC ∠+∠=︒，180GBE EBC ABC ∠+∠+∠=︒， EBC BAC ∴∠=∠，EDC BAC ∠=∠Q ， EBC EDC ∴∠=∠，D ∴，B ，E ，C 四点共圆，EDB ECB ∴∠=∠，EDB EDC ACD DAC ∠+∠=∠+∠Q ，EDC DAC ∠=∠， EDB ACD ∴∠=∠， ECB ACD ∴∠=∠， ACD BCE ∴∆∆∽，∴56AD AC BE BC ==．9．（2019•杨浦区三模）已知，在ACB ∆和DCE ∆中，90ACB DCE ∠=∠=︒，AC BC =，DC EC =，M 为DE 的中点，连接BE ．（1）如图1，当点A 、D 、E 在同一直线上，连接CM ，求证：22AE BECM =-； （2）如图2，当点D 在边AB 上时，连接BM ，求证：222()()22AD BD BM =+．【分析】（1）先证明ACD BCE ∆≅∆，根据全等三角形的性质得出，AD BE =，得出AE AD AE BE DE -=-=，根据直角三角形斜边上的中线性质求出12CM DE =，即可得出结论； （2）同（1）得：ACD BCE ∆≅∆，得出AD BE =，45DAC EBC ∠=∠=︒，得出90ABE ABC EBC ∠=∠+∠=︒，由勾股定理得出222DE BE BD =+，由直角三角形斜边上的中线性质得出2DE BM =，即可得出结论． 【解答】（1）证明：90ACB DCE ∠=∠=︒Q ，AC BC =， 90ACD BCE DCB ∴∠=∠=︒-∠，45BAC ABC ∠=∠=︒， 在ACD ∆和BCE ∆中，AC BCACD BCEDC EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ACD BCE SAS ∴∆≅∆，AD BE ∴=，AE AD AE BE DE ∴-=-=， M Q 为DE 的中点，90DCE ∠=︒，11()2222AE BECM DE AE AD ∴==-=-； （2）证明：同（1）得：ACD BCE ∆≅∆，AD BE ∴=，45DAC EBC ∠=∠=︒，90ABE ABC EBC ∴∠=∠+∠=︒，222DE BE BD ∴=+， M Q 为DE 的中点， 2DE BM ∴=，222224BM BE BD AD BD ∴=+=+，222()()22AD BD BM ∴=+． 10．（2019•静安区二模）已知：如图，ABC ∆内接于O e ，AB AC =，点E 为弦AB 的中点，AO 的延长线交BC 于点D ，连接ED ．过点B 作BF DE ⊥交AC 于点F ． （1）求证：BAD CBF ∠=∠；（2）如果OD DB =．求证：AF BF =．【分析】（1）由等腰三角形的性质得出ABC C ∠=∠，由垂径定理得出AD BC ⊥，BD CD =，证出DE 是ABC ∆的中位线．得出//DE AC ，证出90BFC ∠=︒，由角的互余关系即可得出结论；（2）连接OB ．证出ODB ∆是等腰直角三角形，得出45BOD ∠=︒．再由等腰三角形的性质得出OBA OAB ∠=∠．即可得出结论．【解答】（1）证明：如图1所示： AB AC =Q ，ABC C ∴∠=∠， Q 直线AD 经过圆心O ，AD BC ∴⊥，BD CD =， Q 点E 为弦AB 的中点，DE ∴是ABC ∆的中位线．//DE AC ∴，BF DE ⊥Q ，90BPD ∴∠=︒，90BFC ∴∠=︒， 90CBF ACB ∴∠+∠=︒． AB AC =Q ， ABC ACB ∴∠=∠，90CBF ABC ∴∠+∠=︒，又AD BC ⊥Q ， 90BAD ABC ∴∠+∠=︒， BAD CBF ∴∠=∠；（2）证明：连接OB ．如图2所示： AD BC ⊥Q ，OD DB =， ODB ∴∆是等腰直角三角形， 45BOD ∴∠=︒．OB OA =Q ， OBA OAB ∴∠=∠． BOD OBA OAB ∠=∠+∠Q ，122.52BAO BOD ∴∠=∠=︒，AB AC =Q ，且AD BC ⊥，245BAC BAO ∴∠=∠=︒． 290∠=︒Q ，即BF AC ⊥，∴在ABF ∆中，904545ABF ∠=︒-︒=︒，ABF BAC ∴∠=∠，AF BF ∴=．11．（2019•嘉定区二模）如图已知：ABC ∆中，AD 是边BC 上的高、E 是边AC 的中点，11BC =，12AD =，DFGH 为边长为4的正方形，其中点F 、G 、H 分别在AD 、AB 、BC 上．（1）求BD 的长度； （2）求cos EDC ∠的值．【分析】（1）由四边形DFGH 为边长为4的正方形得GF AFBD AD=，将相关线段的长度代入计算可得； （2）先求出CD 、AC 的长，再由E 是边AC 的中点知ED EC =，据此得EDC ACD ∠=∠，再根据余弦函数的定义可得答案．【解答】解：（1）Q 四边形DFGH 为顶点在ABD ∆边长的正方形，且边长为4， //GF BD ∴，4GF DF ==，∴GF AFBD AD=， 12AD =Q ，8AF ∴=，则4812BD =， 解得：6BD =；（2）11BC =Q ，6BD =， 5CD ∴=，在直角ADC ∆中，222AC AD DC =+， 13AC ∴=，E Q 是边AC 的中点，ED EC ∴=，EDC ACD ∴∠=∠，∴5cos cos 13EDC ACD ∠=∠=． 12．（2019•松江区二模）如图，已知ABCD Y 中，AB AC =，CO AD ⊥，垂足为点O ，延长CO 、BA 交于点E ，连接DE ．（1）求证：四边形ACDE 是菱形；（2）连接OB ，交AC 于点F ，如果OF OC =，求证：22AB BF BO =g ．【分析】（1）首先证明四边形AEDC 是平行四边形，再证明AE AC =即可解决问题． （2）证明BAF BOE ∆∆∽，可得BA BFBO BE=解决问题． 【解答】（1）证明：CO BC ⊥Q ， 90BCE ∴∠=︒，AB AC =Q ， B ACB ∴∠=∠，90AEC B ∠+∠=︒Q ，90ACE ACB ∠+∠=︒， ACE AEC ∴∠=∠，AE AC ∴=，AE AB ∴=，Q 四边形ABCD 是平行四边形，//BE CD ∴，AB CD AE ==，∴四边形AEDC 是平行四边形，AE AC =Q ，∴四边形AEDC 是菱形．（2）解：连接OB 交AC 于F ． Q 四边形AEDC 是菱形，AEC ACE ∴∠=∠， OF OC =Q ，OFC OCF AFB ∴∠=∠=∠， AFB AEO ∴∠=∠，ABF OBE ∠=∠Q ， BAF BOE ∴∆∆∽，∴BA BFBO BE=， BA BE BF BO ∴=g g ，2BE BA =Q ，22AB BF BO ∴=g ．13．（2019•奉贤区二模）已知：如图，正方形ABCD ，点E 在边AD 上，AF BE ⊥，垂足为点F ，点G 在线段BF 上，BG AF =． （1）求证：CG BE ⊥；（2）如果点E 是AD 的中点，连接CF ，求证：CF CB =．【分析】（1）证明AFB BGC ∆≅∆，通过角的代换即可得到90BGC ∠=︒，即CG BE ⊥； （2）先证明AEB FAB ∆∆∽，得到AE AFAB BF=，根据中点线段关系结合比例式推导出FG BG =，又CG BE ⊥，所以CF CB =．【解答】证明：（1）Q 四边形ABCD 是正方形，AB BC ∴=，90ABC ∠=︒．AF BE ⊥Q ，90FAB FBA ∴∠+∠=︒． 90FBA CBG ∠+∠=︒Q ， FAB CBG ∴∠=∠．又AF BG =Q ， ()AFB BGC SAS ∴∆≅∆． AFB BGC ∴∠=∠．90BGC ∴∠=︒，CG BE ∴⊥．（2）ABF EBA ∠=∠Q ，90AFB BAE ∠=∠=︒，AEB FAB ∴∆∆∽．∴AE AFAB BF=． Q 点E 是AD 的中点，AD AB =，∴12AE AF AB BF ==． AF BG =Q ，∴12BG BF =，即FG BG =． CG BE ⊥Q ，CF CB ∴=．14．（2019•金山区二模）已知：如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，若CAD DBC ∠=∠． （1）求证：四边形ABCD 是正方形．（2）E 是OB 上一点，DH CE ⊥，垂足为H ，DH 与OC 相交于点F ，求证：OE OF =．【分析】（1）由菱形的性质得出//AD BC ，2BAD DAC ∠=∠，2ABC DBC ∠=∠，得出180BAD ABC ∠+∠=︒，证出BAD ABC ∠=∠，求出90BAD ∠=︒，即可得出结论； （2）由正方形的性质得出AC BD ⊥，AC BD =，12CO AC =，12DO BO =，得出90COB DOC ∠=∠=︒，CO DO =，证出ECO EDH ∠=∠，证明()ECO FDO ASA ∆≅∆，即可得出结论．【解答】（1）证明：Q 四边形ABCD 是菱形， //AD BC ∴，2BAD DAC ∠=∠，2ABC DBC ∠=∠， 180BAD ABC ∴∠+∠=︒，CAD DBC ∠=∠Q ， BAD ABC ∴∠=∠，2180BAD ∴∠=︒，90BAD ∴∠=︒，∴四边形ABCD 是正方形；（2）证明：Q 四边形ABCD 是正方形， AC BD ∴⊥，AC BD =，12CO AC =，12DO BO =， 90COB DOC ∴∠=∠=︒，CO DO =， DH CE ⊥Q ，垂足为H ，90DHE ∴∠=︒，90EDH DEH ∠+∠=︒，90ECO DEH ∠+∠=︒Q ， ECO EDH ∴∠=∠，在ECO ∆和FDO ∆中，90ECO EDHCO DO COE DHE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩，()ECO FDO ASA ∴∆≅∆， OE OF ∴=．15．（2019•奉贤区二模）如图，已知梯形ABCD 中，//AD BC ，90ABC ∠=︒，28BC AB ==，对角线AC 平分BCD ∠，过点D 作DE AC ⊥，垂足为点E ，交边AB 的延长线于点F ，连接CF ． （1）求腰DC 的长； （2）求BCF ∠的余弦值．【分析】（1）根据勾股定理求出AC ，求出CE ，解直角三角形求出DE ，根据勾股定理求出DC 即可； （2）根据相似三角形的性质和判定求出AF ，求出CF ，解直角三角形求出即可． 【解答】解：（1）90ABC ∠=︒Q ，28BC AB ==，4AB ∴=，AC ==//AD BC Q ， DAC BCA ∴∠=∠， AC Q 平分BCD ∠，DCA ACB ∴∠=∠， DAC DCA ∴∠=∠， AD CD ∴=， DE AC ⊥Q ，1122CE AC ∴==⨯= 在Rt DEC ∆中，90DEC ∠=︒，tan DEDCE CE∠=， 在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，41tan 82AB ACB BC ∠===， ∴12DE CE =，CE =QDE ∴在Rt DEC ∆中，由勾股定理得：5DC =； 即腰DC 的长是5；（2）设DF 与BC 相交于点Q ，90FBC FEC ∠=∠=︒Q ，BQF EQC ∠=∠，∴由三角形内角和定理得：AFE ACB∠=∠，90FAD ABC∠=∠=︒Q，AFD BCA∴∆∆∽，∴AD AB AF BC=，5 AD DC==Q，12 ABBC=，∴512 AF=，解得：10AF=，AE CE=Q，FE AC⊥，10CF AF∴==，在Rt BCF∆中，90CBF∠=︒，84 cos105BCBCFCF∠===．16．已知：如图，在ABC∆中，AB BC=，90ABC∠=︒，点D、E分别是边AB、BC的中点，点F、G是边AC的三等分点，DF、EG的延长线相交于点H，连接HA、HC．求证：（1）四边形FBGH是菱形；（2）四边形ABCH是正方形．【分析】（1）由三角形中位线知识可得//DF BG，//GH BF，根据菱形的判定的判定可得四边形FBGH是菱形；（2）连结BH，交AC于点O，利用平行四边形的对角线互相平分可得OB OH=，OF OG=，又AF CG=，所以OA OC=．再根据对角线互相垂直平分的平行四边形得证四边形ABCH是菱形，再根据一组邻边相等的菱形即可求解．【解答】证明：（1）Q点F、G是边AC的三等分点，AF FG GC∴==．又Q点D是边AB的中点，//DH BG∴．同理：//EH BF ．∴四边形FBGH 是平行四边形，连结BH ，交AC 于点O ， OF OG ∴=， AO CO ∴=， AB BC =Q ，BH FG ∴⊥，∴四边形FBGH 是菱形；（2）Q 四边形FBGH 是平行四边形， BO HO ∴=，FO GO =．又AF FG GC ==Q ，AF FO GC GO ∴+=+，即：AO CO =．∴四边形ABCH 是平行四边形．AC BH ⊥Q ，AB BC =，∴四边形ABCH 是正方形．17．（2019•普陀区一模）如图，1O e 和2O e 相交于A 、B 两点，12O O 与AB 交于点C ，2O A 的延长线交1O e 于点D ，点E 为AD 的中点，AE AC =，连接OE ． （1）求证：11O E O C =；（2）如果1210O O =，16O E =，求2O e 的半径长．【分析】（1）连接1O A ，根据垂径定理得到1O E AD ⊥，根据相交两圆的性质得到1O C AB ⊥，证明Rt △1O EA Rt ≅△1O CA ，根据全等三角形的性质证明结论；（2）设2O e 的半径长为r ，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案． 【解答】（1）证明：连接1O A ， Q 点E 为AD 的中点， 1O E AD ∴⊥，1O Q e 和2O e 相交于A 、B 两点，12O O 与AB 交于点C ， 1O C AB ∴⊥，在Rt △1O EA 和Rt △1O CA 中， 11O A O AAE AC =⎧⎨=⎩， Rt ∴△1O EA Rt ≅△1()O CA HL 11O E O C ∴=；（2）解：设2O e 的半径长为r ， 116O E O C ==Q ， 21064O C ∴=-=，在Rt △12O EO 中，28O E =，则8AC AE r ==-，在2Rt ACO ∆中，22222O A AC O C =+，即222(8)4r r =-+， 解得，5r =，即2O e 的半径长为5．。
全等三角形证明经典30题
全等三角形证明经典30题1. 两角和相等定理证明：设△ABC 和△DEF 是两个三角形，如果∠A = ∠D 且∠B = ∠E，则可以通过以下步骤证明△ABC ≌△DEF：步骤一：通过顶角顶点 C 、 F、和共边 CF 作直线段 CF，延长直线段 CF 至点 X，使得 CX = CE。
步骤二：连接线段 AX。
步骤三：证明∠AXB = ∠EXF：由于∠A = ∠D，所以∠AXB = ∠DXE（共同的角度）。
又由于∠B = ∠E，所以∠DXE = ∠EXF。
因此，∠AXB = ∠EXF。
步骤四：证明∠ABX = ∠EFX：由于∠B = ∠E，所以∠ABX = ∠EXF（共同的角度）。
因此，∠ABX = ∠EFX。
步骤五：证明 AB = EF：由于 CX = CE，且∠ABX = ∠EFX，根据 SSS（边-边-边）全等三角形定理，则可得∆ABX ≌ ∆EFX。
因此，AB = EF。
综上所述，根据两角和相等定理，已经证明了△ABC ≌△DEF。
2. SAS全等三角形定理证明：设△ABC 和△DEF 是两个三角形，如果 AB = DE，∠A = ∠D，且 AC = DF，则可以通过以下步骤证明△ABC ≌△DEF：步骤一：连接线段 BC 和 EF。
步骤二：证明∠ABC = ∠DEF：由于 AB = DE，且∠A = ∠D，根据线段角度定理，可得∠ABC = ∠DEF。
步骤三：证明 BC = EF：由于 AC = DF，且∠ABC = ∠DEF，根据 SAS（边-角-边）全等三角形定理，可得△ABC ≌△DEF。
综上所述，根据SAS全等三角形定理，已经证明了△ABC ≌△DEF。
3. SSS全等三角形定理证明：设△ABC 和△DEF 是两个三角形，如果 AB = DE，BC = EF，且AC = DF，则可以通过以下步骤证明△ABC ≌△DEF：步骤一：连接线段 AC 和 DF。
步骤二：连接线段 BC 和 EF。
八年级上册几何证明题
八年级上册几何证明题一、三角形内角和定理相关证明题。
1. 已知：在△ABC中，∠A = 50°，∠B = 60°，求证：∠C = 70°。
解析：根据三角形内角和定理，三角形内角和为180°。
在△ABC中，因为∠A+∠B +∠C=180°，已知∠A = 50°，∠B = 60°，所以∠C=180°∠A ∠B = 180°-50° 60° = 70°。
2. 如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，∠B = 70°，∠C = 30°，求∠ADC的度数。
解析：根据三角形内角和定理，在△ABC中，∠BAC=180°∠B ∠C = 180°-70° 30° = 80°。
因为AD是∠BAC的平分线，所以∠BAD = 1/2∠BAC = 40°。
在△ABD中，根据三角形外角性质，∠ADC = ∠B+∠BAD，所以∠ADC = 70°+40° = 110°。
二、等腰三角形性质证明题。
3. 已知：在等腰△ABC中，AB = AC，∠A = 80°，求∠B和∠C的度数。
解析：因为AB = AC，所以△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形两底角相等的性质，设∠B =∠C=x。
根据三角形内角和定理，∠A+∠B +∠C = 180°，即80°+x + x = 180°，2x=180° 80°，2x = 100°，x = 50°，所以∠B =∠C = 50°。
4. 如图，在等腰三角形ABC中，AB = AC，BD⊥AC于点D，求证：∠CBD=(1)/(2)∠A。
解析：设∠A=x。
因为AB = AC，所以∠ABC =∠ACB=(1)/(2)(180° x)=90°-(x)/(2)。
初中数学42个几何模型证明
初中数学42个几何模型证明初中数学中有许多几何模型需要通过证明来推导出相应的结论。
下面是42个几何模型的证明，按照题目的难易程度进行排列。
1. 证明平行线之间的距离在任意两个平行线上的点处相等。
2. 证明对角线相等的平行四边形是矩形。
3. 证明等腰三角形的底角相等。
4. 证明直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和。
5. 证明等腰梯形两底角相等。
6. 证明三角形内角和为180度。
7. 证明一个等边三角形的内角都是60度。
8. 证明在一个同心圆中，半径较长的弦对应的圆心角较大。
9. 证明1/4圆面积公式：S = πr²/4。
10. 证明与弦垂直的半径平分弦。
11. 证明一个等腰三角形的高既是中位线也是角平分线。
12. 证明平行四边形的对角线互相平分。
13. 证明垂直于同一条直线的两条直线必相互垂直。
14. 证明等腰三角形的高通过顶点平分底边。
15. 证明两圆相切于切点处的半径互相垂直。
16. 证明正方体的面对角线相等。
17. 证明对角线的垂直平分线是平行四边形的对称轴。
18. 证明两直线平行，其上的任一点到另一直线的距离是相等的。
19. 证明半径等长的两圆相交，交点到两圆圆心的连线互相垂直。
20. 证明正方形的对边互相平分。
21. 证明矩形的对角线互相相等。
22. 证明底边垂直于直线平分子午线的梯形是等腰梯形。
23. 证明两对顶点互相对顶的平行四边形是全等的。
24. 证明外接圆的两切线互相垂直。
25. 证明两个互相垂直的直线的交角互为90度。
26. 证明外接圆的直径是角平分线。
27. 证明两条平行线割圆所得弦长度相等。
28. 证明两条互相垂直的直线之间的角度是90度。
29. 证明一个等腰梯形的中线平行于底边且长度等于底边长度之和的一半。
30. 证明三角形的外角等于不相邻的两个内角之和。
31. 证明一个等边三角形的外角都是120度。
32. 证明相似三角形的对应角相等。
33. 证明互余角和互补角之和等于180度。
初中数学几何证明题经典例题(超全)
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9
• 已知：如图正方形ABCD，P、Q分别是BC、 DC上的点，若∠1=∠2 求证：PB+QD=PA
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10
• 已知：如图正方形ABCD，AC、BD交于点 O，E、F分别是BC、OD的中点 求证： AF⊥EF
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11
• 已知：如图，，AB=BC，D、E分别是AB、 BC上一点，DM⊥AE交AC于M， BN⊥AE 交AC于N，若BD=BE求证：MN=NC。
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20
• 如图，在四边形ABCD中，AB=DC，E、F 分别是AD、BC的中点，G、H分别是BD、 AC的中点，猜一猜EF与GH的位置关系， 并证明你的结论．
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21
• 如图，分别以△ABC的三边为边长，在BC 的同侧作等边三角形ABD，等边三角形 BCE，等边三角形ACF，连接DE，EF。求 证：四边形ADE 2，AB=3AC，BE⊥AD，
求证：AD=DE
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15
• 已知：如图，AB//CD， D=90 o， BE=EC=DC，求证： AEC=3 BAE
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16
• 已知如图，AB=DC，AE=DE，BF=FC，
FE交BA、CD的延长线于G、H，求证：1= 2。
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17
• 已知:如图，正方形ABCD中，E是DC上一 点，DF⊥AE交BC于F 求证：OE⊥OF
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18
• 已知：如图，AB//CD， ADC=90o ， BE=EC，求证： AED=2 EDC
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19
• 已知:如图，正方形ABCD中，E是DC上一 点，DF⊥AE交BC于F 求证：OE⊥OF
初中几何证明常用定理
初中几何证明常用定理几何学是一门关于空间形状、大小、位置、变换等的数学学科。
在几何学中，证明常用定理是解决几何问题的关键步骤。
常用定理是几何学中的基本原理，它们通过逻辑推理和几何推理来证明，并且在解决各种几何问题中具有广泛的应用。
下面是几个常用的几何学定理及其证明。
1.直线的性质：定理1：两条垂直直线之间的夹角是90度。
证明：设直线AB和CD相交于点O，要证明∠AOB=90度。
首先，连接OC和OD，由于OC⊥AB且OD⊥AB，所以OC和OD是两条垂直直线。
其次，由∠COD=90度可知OC⊥OD。
因此，由垂直线与直线的性质可知∠AOB=90度。
定理2：两条直线垂直的充分必要条件是它们的斜率的乘积为-1证明：设直线AB的斜率为k1，直线CD的斜率为k2、若直线AB与直线CD垂直，则k1*k2=-1、反之，若k1*k2=-1，则可由直线的斜率公式得知，直线AB和CD的斜率互为相反数，即两条直线垂直。
2.三角形的性质：定理3：三角形内角和等于180度。
证明：设三角形ABC的三个内角分别为∠A，∠B，∠C。
在边AC上延长一条线段AD，使AD=AB。
则∠ADB=∠ABC。
同时，在边AB上延长一条线段AE，使AE=AC。
则∠AEC=∠ACB。
由于平行线之间的对应角相等，可得∠BAC=∠BDA和∠ABC=∠CAE。
因此，∠BAC+∠ABC+∠ACB=∠BDA+∠ABC+∠CAE=180度。
定理4：三角形的外角等于其不相邻内角之和。
证明：设三角形ABC的外角ACD的度数为x，内角A的度数为∠A，内角B的度数为∠B，内角C的度数为∠C。
由三角形内角和等于180度的性质可知∠A+∠B+∠C=180度。
又由平行线之间的对应角相等可得∠C=∠ACD。
因此，∠A+∠B+∠C+x=180度。
3.圆的性质：定理5：在一个圆上，圆心到圆上任意一点的距离都相等。
证明：设圆O的圆心为O，圆上一点为A。
连接OA，并假设圆上还有另一点B。
初中数学所有几何证明定理精编版
初中数学所有几何证明定理精编版一、直线垂直定理定理：如果两条直线互相垂直，那么它们的斜率乘积为-1证明：设直线L1的斜率为k1，直线L2的斜率为k2、由于两条直线互相垂直，则L1与L2的斜率乘积为-1，即k1×k2=-1二、垂直平分线定理定理：如果一条直线垂直平分一条线段，那么它必过这条线段的中点。
证明：设直线L垂直平分线段AB，即将线段AB分成等长的线段AC和CB。
假设直线L不过线段AB的中点D，那么必然存在一点E在线段AB的另一侧，使得直线LE与线段AB垂直，这与直线L垂直平分线段AB的前提相矛盾，所以直线L必过线段AB的中点D。
三、三角形角平分线定理定理：三角形中，角的平分线上的点到边的距离成比例。
证明：设三角形ABC的角A的平分线交边BC于点D，AD是直线BC的角A平分线。
利用三角形相似性可以得到以下等式：AD/BD=AC/BCAD/CD=AB/BC将两个等式相加得到(AD/BD)+(AD/CD)=(AC/BC)+(AB/BC)，化简后可得到AD/BD+CD=AC/BC+AB/BC，再进一步整理得到AD/(BD+CD)=AC/BC，即AD和BC上的点到边的距离成比例。
四、三角形相似条件定理定理：如果两个三角形的对应角相等，则这两个三角形相似。
证明：设△ABC和△DEF是两个具有对应相等角A,B,C和D,E,F的三角形。
根据角度相等和三角形内角和为180°的性质，可知∠A+∠B+∠C=∠D+∠E+∠F=180°。
再根据第三个内角为180°的三角形内角和为180°的性质，得知∠C=∠F。
因此，这两个三角形具有两对相等角，所以根据三角形相似的定义，△ABC和△DEF相似。
五、等腰三角形性质定理定理：等腰三角形的两个底角相等。
证明：设△ABC是一个等腰三角形，AB=AC。
假设∠A≠∠B，那么根据三角形内角和为180°的性质，必存在一个角∠C使得∠A+∠B+∠C=180°。
初一几何证明题
初一几何证明题1.已知AB∥CD，∠1=∠2，证明：∠XXX∠XXX。
根据平行线内角相等的性质，可得∠1=∠2=∠XXX。
同时，因为AB∥CD，所以∠BEF+∠EFC=180°，即∠BEF=180°-∠XXX。
代入前面的等式，可得∠XXX∠XXX。
2.如图2，AB∥CD，∠3∶∠2＝3∶1，求∠1的度数。
根据平行线内角相等的性质，可得∠1=180°-∠2.又因为∠3∶∠2＝3∶1，所以∠3=3x，∠2=x。
代入前面的等式，可得∠1=180°-x。
因此，∠1+∠2+∠3=180°，即4x=180°，x=45°。
代入前面的等式，可得∠1=135°。
3.如图3，C在AB的延长线上，CE⊥AF于E，交FB于D，若∠F=40°，∠C=20°，求∠XXX的度数。
根据直角三角形的性质，可得∠CEA=90°。
又因为CE⊥AF，所以∠EAF=90°-∠F=50°。
根据三角形内角和为180°的性质，可得∠EFA=180°-∠F-∠EAF=90°。
因为AB∥CD，所以∠XXX∠EFA=90°。
4.如图4，EF∥AD，∠1=∠2，∠BAC=80°。
求证：∠AGD=100°。
因为EF∥AD，所以∠AGD=∠AGE。
又因为∠BAC=80°，所以∠XXX°-∠BAC/2=50°。
因为∠1=∠2，所以∠DGE=∠AGE=180°-∠1-∠GAC=50°。
因此，∠AGD=∠AGE=50°+∠DGE=100°。
5.如图5，B处在A处的南偏西57°的方向，C处在A处的南偏东15°方向，C处在B处的XXX°方向。
求∠C的度数。
根据题意，可画出如图6所示的图形。
几何证明练习题及答案
几何证明练习题及答案题目1：已知三角形ABC中，AB=AC，点D在BC上，且AD垂直于BC。
证明：三角形ABD与三角形ACD全等。
答案：由于AB=AC，所以三角形ABC是等腰三角形。
根据等腰三角形的性质，角BAD等于角CAD。
又因为AD垂直于BC，所以角ADB和角ADC都是直角。
因此，我们有：- AD=AD（公共边）- ∠BAD=∠CAD（等腰三角形的性质）- ∠ADB=∠ADC=90°（直角）根据SAS（边角边）全等条件，三角形ABD与三角形ACD全等。
题目2：已知三角形ABC中，AB=AC，点E在AB上，点F在AC上，且BE=CF。
证明：三角形AEF是等腰三角形。
答案：由于AB=AC，三角形ABC是等腰三角形。
根据等腰三角形的性质，角ABC等于角ACB。
又因为BE=CF，我们可以得出：- AB=AC（已知）- BE=CF（已知）- ∠ABC=∠ACB（等腰三角形的性质）根据SSS（边边边）全等条件，三角形BEC与三角形CFB全等。
因此，角BEC等于角CFB。
由于角AEF是三角形AEF的外角，根据外角定理，角AEF等于角BEC加角CFB。
因此：- ∠AEF=∠BEC+∠CFB- ∠AEF=2∠BEC（因为∠BEC=∠CFB）由于角AEF是三角形AEF的两个相等的角，所以三角形AEF是等腰三角形。
题目3：已知四边形ABCD中，AB平行于CD，BC平行于AD，且AB=CD。
证明：四边形ABCD是平行四边形。
答案：由于AB平行于CD且BC平行于AD，根据平行四边形的定义，我们可以推断出AD也平行于BC。
因此，四边形ABCD的对边都是平行的。
又因为AB=CD，根据平行四边形的判定条件，我们可以得出四边形ABCD是平行四边形。
题目4：已知三角形ABC中，角A等于角C，点D在BC上，且AD垂直于BC。
证明：三角形ABD与三角形CBD是等腰三角形。
答案：由于角A等于角C，根据三角形内角和定理，我们可以得出角A+角C+角B=180°。
初三证明题经典例题
初三证明题经典例题有很多，比如：1. 已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E。
求证：DE=BD+CE。
2. 已知：在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，EF为AB的垂直平分线，EF交BC 于点F，交AB于点E。
求证：BF=1/2FC。
3. 已知：△ABC中，D是BC上的一点，∠BAD=∠C。
求证：∠ADC=∠BAC。
4. 已知：在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AE平分∠CAB交CD于E，交BC于F，FH⊥AB于H，连接EH。
求证：CE=FH。
5. 已知：在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB 于点E，且AB=6cm。
求证：△DEB的周长等于6cm。
6. 已知：在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，点E在AD上，且AE=DE。
求证：四边形BCEF是平行四边形。
7. 已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D在BC上，且BD=BA。
点E在BC的延长线上，且CE=CA。
求证：AD=DE。
8. 已知：在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB 于点E。
求证：△ACD≌△ADE。
9. 已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，点E在AC上，且AE=AD。
求证：BE=CE。
10. 已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BD是AC上的中线，AF⊥BD于点F，交BC于点G。
求证：∠CGA=∠ABG。
以上是一些初三证明题的经典例题，希望对你有所帮助。
初中几何证明题五大经典(含答案)
经典题（一）1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ．（初二）证明：过点G 作GH ⊥AB 于H ，连接OE ∵EG ⊥CO ，EF ⊥AB∴∠EGO=90°，∠EFO=90° ∴∠EGO+∠EFO=180° ∴E 、G 、O 、F 四点共圆 ∴∠GEO=∠HFG∵∠EGO=∠FHG=90° ∴△EGO ∽△FHG ∴FG EO =HGGO∵GH ⊥AB ，CD ⊥AB ∴GH ∥CD∴CD COHG GO =∴CDCO FG EO = ∵EO=CO ∴CD=GF2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内部的一点，∠PAD ＝∠PDA ＝15°。
求证：△PBC 是正三角形．（初二） 证明：作正三角形ADM ，连接MP ∵∠MAD=60°，∠PAD=15° ∴∠MAP=∠MAD+∠PAD=75° ∵∠BAD=90°，∠PAD=15°∴∠BAP=∠BAD-∠PAD=90°-15°=75° ∴∠BAP=∠MAP ∵MA=BA ，AP=AP ∴△MAP ≌△BAP∴∠BPA=∠MPA ，MP=BP 同理∠CPD=∠MPD ，MP=CP ∵∠PAD ＝∠PDA ＝15°∴PA=PD ，∠BAP=∠CDP=75° ∵BA=CD∴△BAP ≌∠CDP ∴∠BPA=∠CPD∵∠BPA=∠MPA ，∠CPD=∠MPD ∴∠MPA=∠MPD=75° ∴∠BPC=360°-75°×4=60°∵MP=BP ，MP=CP ∴BP=CP ∴△BPC 是正三角形3、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线交MN于E 、F ．求证：∠DEN ＝∠F ．证明:连接AC ，取AC 的中点G,连接NG 、MG ∵CN=DN ，CG=DG ∴GN ∥AD ，GN=21AD ∴∠DEN=∠GNM ∵AM=BM ，AG=CG ∴GM ∥BC ，GM=21BC ∴∠F=∠GMN ∵AD=BC ∴GN=GM∴∠GMN=∠GNM ∴∠DEN=∠F经典题（二）1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O 为外心，且OM ⊥BC 于M ． （1）求证：AH ＝2OM ；（2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二） 证明：（1）延长AD 交圆于F ，连接BF ，过点O 作OG ⊥AD 于G ∵OG ⊥AF ∴AG=FG ∵AB⌒ =AB ⌒ ∴∠F=∠ACB又AD ⊥BC ，BE ⊥AC ∴∠BHD+∠DBH=90° ∠ACB+∠DBH=90° ∴∠ACB=∠BHD ∴∠F=∠BHD∴BH=BF 又AD ⊥BC ∴DH=DF∴AH=AG+GH=FG+GH=GH+DH+DF+GH=2GH+2DH=2（GH+DH ）=2GD 又AD ⊥BC ，OM ⊥BC ，OG ⊥AD ∴四边形OMDG 是矩形 ∴OM=GD ∴AH=2OM （2）连接OB 、OC∵∠BAC=60∴∠BOC=120° ∵OB=OC ，OM ⊥BC ∴∠BOM=21∠BOC=60°∴∠OBM=30° ∴BO=2OM由（1）知AH=2OM ∴AH=BO=AO2、设MN 是圆O 外一条直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 引圆的两条割线交圆O 于B 、C 及D 、E ，连接CD 并延长交MN 于Q ，连接EB 并延长交MN 于P. 求证：AP ＝AQ ．证明：作点E 关于AG 的对称点F ，连接AF 、CF 、QF ∵AG ⊥PQ ∴∠PAG=∠QAG=90°又∠GAE=∠GAF ∴∠PAG+∠GAE=∠QAG+∠GAF 即∠PAE=∠QAF∵E 、F 、C 、D 四点共圆 ∴∠AEF+∠FCQ=180° ∵EF ⊥AG ，PQ ⊥AG ∴EF ∥PQ∴∠PAF=∠AFE ∵AF=AE∴∠AFE=∠AEF ∴∠AEF=∠PAF ∵∠PAF+∠QAF=180° ∴∠FCQ=∠QAF ∴F 、C 、A 、Q 四点共圆 ∴∠AFQ=∠ACQ 又∠AEP=∠ACQ ∴∠AFQ=∠AEP3、设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）证明：作OF ⊥CD 于F ，OG ⊥BE 于G ，连接OP 、OQ 、OA 、AF 、AG ∵C 、D 、B 、E 四点共圆 ∴∠B=∠D ，∠E=∠C ∴△ABE ∽△ADC ∴DFBGFD 2BG 2DC BE AD AB === ∴△ABG ∽△ADF ∴∠AGB=∠AFD ∴∠AGE=∠AFC ∵AM=AN ， ∴OA ⊥MN 又OG ⊥BE ，∴∠OAQ+∠OGQ=180° ∴O 、A 、Q 、E 四点共圆 ∴∠AOQ=∠AGE 同理∠AOP=∠AFC ∴∠AOQ=∠AOP又∠OAQ=∠OAP=90°，OA=OA ∴△OAQ ≌△OAP ∴AP=AQ 在△AEP 和△AFQ 中 ∠AFQ=∠AEP AF=AE ∠QAF=∠PAE ∴△AEP ≌△AFQ ∴AP=AQ4、如图,分别以△ABC 的AB 和AC 为一边,在△ABC 的外侧作正方形ABFG 和正方形ACDE ，点O 是DF 的中点，OP ⊥BC求证：BC=2OP （初二）证明：分别过F 、A 、D 作直线BC 的垂线，垂足分别是L 、M 、N ∵OF=OD ，DN ∥OP ∥FL ∴PN=PL∴OP 是梯形DFLN 的中位线 ∴DN+FL=2OP ∵ABFG 是正方形 ∴∠ABM+∠FBL=90° 又∠BFL+∠FBL=90° ∴∠ABM=∠BFL又∠FLB=∠BMA=90°，BF=AB ∴△BFL ≌△ABM ∴FL=BM同理△AMC ≌△CND ∴CM=DN∴BM+CN=FL+DN ∴BC=FL+DN=2OP经典题（三）1、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ． 求证：CE ＝CF ．（初二）证明：连接BD 交AC 于O 。
初中几何证明题公式(基础教资)
1 过两点有且只有一条直线2 两点之间线段最短3 同角或等角的补角相等4 同角或等角的余角相等5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行9 同位角相等，两直线平行10 内错角相等，两直线平行11 同旁内角互补，两直线平行12两直线平行，同位角相等13 两直线平行，内错角相等14 两直线平行，同旁内角互补15 定理三角形两边的和大于第三边16 推论三角形两边的差小于第三边17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°18 推论1 直角三角形的两个锐角互余19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角21 全等三角形的对应边、对应角相等22边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角）31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°34 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形36 推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半39 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等40 逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形43 定理 2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线44定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上45逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称46勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a^2+b^2=c^247勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2 ，那么这个三角形是直角三角形48定理四边形的内角和等于360°49四边形的外角和等于360°50多边形内角和定理 n边形的内角的和等于（n-2）×180°51推论任意多边的外角和等于360°52平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等53平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等54推论夹在两条平行线间的平行线段相等55平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分56平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形57平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形58平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形59平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形60矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角61矩形性质定理2 矩形的对角线相等62矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形63矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形64菱形性质定理1 菱形的四条边都相等65菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角66菱形面积=对角线乘积的一半，即S=（a×b）÷267菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形68菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形69正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等70正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角71定理1 关于中心对称的两个图形是全等的72定理2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分73逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称74等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等75等腰梯形的两条对角线相等76等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形77对角线相等的梯形是等腰梯形78平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等79 推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰80 推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边81 三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半82 梯形中位线定理梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半 L=（a+b）÷2 S=L ×h83 (1)比例的基本性质如果a:b=c:d,那么ad=bc 如果ad=bc,那么a:b=c:d84 (2)合比性质如果a／b=c／d,那么(a±b)／b=(c±d)／d85 (3)等比性质如果a／b=c／d=…=m／n(b+d+…+n≠0),那么(a+c+…+m)／(b+d+…+n)=a ／b86 平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例87 推论平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例88 定理如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边89 平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例90 定理平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似91 相似三角形判定定理1 两角对应相等，两三角形相似（ASA）92 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似93 判定定理2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS）94 判定定理3 三边对应成比例，两三角形相似（SSS）95 定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似96 性质定理1 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比97 性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比98 性质定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方99 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值100任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值101圆是定点的距离等于定长的点的集合102圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合103圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合104同圆或等圆的半径相等105到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆106和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线107到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线108到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线109定理不在同一直线上的三点确定一个圆。
初中数学几何证明题经典例题(超全)
（1）求证：BN=DN （2）求△ABC的周长.
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• （1）求证：四边形OCED是菱形；
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4
• 如图，△ABC、△CDE均为等腰直角三角形， ∠ACB=∠DCE=90°，点E在AB上．求证： △CDA≌△CEB
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5
• 如图,在△ABC中,BD、CE分别是AC、AB 上的高。G、F分别是BC、DE的中点,试证 明FG⊥DE
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6
• 如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，E 是CD上一点，BE交AC于F，连接DF．
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22
• 如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上 任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG， 线段EB和GD相交于点H．
• （1）求证：EB=GD；
• （2）判断EB与GD的位置关系，并说明理由；
• （3）若AB=2，AG= 2 ，求EB的长
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23
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14
• 已知：如图，1= 2，AB=3AC，BE⊥AD，
求证：AD=DE
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15
• 已知：如图，AB//CD， D=90 o， BE=EC=DC，求证： AEC=3 BAE
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16
• 已知如图，AB=DC，AE=DE，BF=FC，
FE交BA、CD的延长线于G、H，求证：1= 2。
• （1）若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形；
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5.一条直线垂直于平行线中的一条，则必垂直于另一条。
6.两条直线相交成直角则两直线垂直。
7.利用到一线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上。
8.利用勾股定理的逆定理。
9.利用菱形的对角线互相垂直。
*10.在圆中平分弦（或弧）的直径垂直于弦。
*11.利用半圆上的圆周角是直角。
例1.已知：如图1所示， 中， 。
求证：DE＝DF
分析：由 是等腰直角三角形可知， ，由D是AB中点，可考虑连结CD，易得 ， 。从而不难发现
证明：连结CD
说明：在直角三角形中，作斜边上的中线是常用的辅助线；在等腰三角形中，作顶角的平分线或底边上的中线或高是常用的辅助线。显然，在等腰直角三角形中，更应该连结CD，因为CD既是斜边上的中线，又是底边上的中线。本题亦可延长ED到G，使DG＝DE，连结BG，证 是等腰直角三角形。
例2.已知：如图2所示，AB＝CD，AD＝BC，AE＝CF。求证：∠E＝∠F
证明：连结AC
在 和 中，
在 和 中，
说明：利用三角形全等证明线段求角相等。常须添辅助线，制造全等三角形，这时应注意：
（1）制造的全等三角形应分别包括求证中一量；
（2）添辅助线能够直接得到的两个全等三角形。
二.证明直线平行或垂直
7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。
8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。
*9.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。
*10.圆外一点引圆的两条切线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等。
11.两前项（或两后项）相等的比例式中的两后项（或两前项）相等。
在两条直线的位置关系中，平行与垂直是两种特殊的位置。证两直线平行，可用同位角、内错角或同旁内角的关系来证，也可通过边对应成比例、三角形中位线定理证明。证两条直线垂直，可转化为证一个角等于90°，或利用两个锐角互余，或等腰三角形“三线合一”来证。
例3.如图3所示，设BP、CQ是 的内角平分线，AH、AK分别为A到BP、CQ的垂线。求证：KH∥BC
证明 角的和差倍分
1.与证明线段的和、差、倍、分思路相同。
2.利用角平分线的定义。
3.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
证明线段不等
1.同一三角形中，大角对大边。
2.垂线段最短。
3.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
4.在两个三角形中有两边分别相等而夹角不等，则夹角大的第三边大。
教师:李老师学生:年级:科目：数学
时间:2012年月日
内容：
初中几何证明技巧（分类）
证明两线段相等
1.两全等三角形中对应边相等。
2.同一三角形中等角对等边。
3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。
4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。
证明线段的和差倍分
1.作两条线段的和，证明与第三条线段相等。
2.在第三条线段上截取一段等于第一条线段，证明余下部分等于第二条线段。
3.延长短线段为其二倍，再证明它与较长的线段相等。
4.取长线段的中点，再证其一半等于短线段。
5.利用一些定理（三角形的中位线、含30度的直角三角形、直角三角形斜边上的中线、三角形的重心、相似三角形的性质等）。
*7.圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
8.相似三角形的对应角相等。
*9.圆的内接四边形的外角等于内对角。
10.等于同一角的两个角相等。
证明两条直线互相垂直
1.等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。
2.三角形中一边的中线若等于这边一半，则这一边所对的角是直角。
3.在一个三角形中，若有两个角互余，则第三个角是直角。
*5.同圆或等圆中，弧大弦大，弦心距小。
6.全量大于它的任何一部分。
证明两角的不等
1.同一三角形中，大边对大角。
2.三角形的外角大于和它不相邻的任一内角。
3.在两个三角形中有两边分别相等，第三边不等，第三边大的，两边的夹角也大。
*4.同圆或等圆中，弧大则圆周角、圆心角大。
5.全量大于它的任何一部分。
分析：由已知，BH平分∠ABC，又BH⊥AH，延长AH交BC于N，则BA＝BN，AH＝HN。同理，延长AK交BC于M，则CA＝CM，AK＝KM。从而由三角形的中位线定理，知KH∥BC。
证明：延长AH交BC于N，延长AK交BC于M
∵BH平分∠ABC
又BH⊥AH BH＝BH
*3.同底边等顶角的三角形的顶点共圆（顶角在底边的同侧）。
*4.同斜边的直角三角形的顶点共圆。
*5.到顶点距离相等的各点共圆
一.证明线段相等或角相等
两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。很多其它问题最后都可化归为此类问题来证。证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质，其它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常用到。
证明两直线平行
1.垂直于同一直线的各直线平行。
2.同位角相等，内错角相等或同旁内角互补的两直线平行。
3.平行四边形的对边平行。
4.三角形的中位线平行于第三边。
5.梯形的中位线平行于两底。
6.平行于同一直线的两直线平行。
7.一条直线截三角形的两边（或延长线）所得的线段对应成比例，则这条直线平行于第三边。
*12.两圆的内（外）公切线的长相等。
13.等于同一线段的两条线段相等。
证明两个角相等
1.两全等三角形的对应角相等。
2.同一三角形中等边对等角。
3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角。
4.两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等。
5.同角（或等角）的余角（或补角）相等。
*6.同圆（或圆）中，等弦（或弧）所对的圆心角相等，圆周角相等，弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。
证明比例式或等积式
1.利用相似三角形对应线段成比例。
2.利用内外角平分线定理。
3.平行线截线段成比例。
4.直角三角形中的比例中项定理即射影定理。
*5.与圆有关的比例定理---相交弦定理、切割线定理及其推论。
6.利用比利式或等积式化得。
证明四点共圆
*1.对角互补的四边形的顶点共圆。
*2.外角等于内对角的四边形内接于圆。