4-3常见分布随机变量的数学期望和方差
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•3
例 3.3
设甲袋中有 70 只黄色乒乓球和 30 只白色乒乓球，乙
袋中有 45 只黄色乒乓球和 5 只白色乒乓球，现从两袋中各取 一只乒乓球， 记 X 为两只乒乓球中白球的个数， 求 EX ，DX ．
解 设 X 1 表示从甲袋中所取一个乒乓球中白球的个数， X 2 表示从乙袋中所取一个乒乓球中白球的个数， 则 X X1 X 2 ， 又由题意知 X 1 与 X 2 相互独立，且 X1 ~ B(1, 0.3) ，
x 2
2 2
2
2
•2
例 3.1 设随机变量 X ~ U [0 ， 6] , Y ~ E (0.5) ，计算
EX EY
DX DY
．
1 1 06 (6 0)2 2, DY 2 4 ， 解 EX 3, DX 3 ， EY 0.5 0.5 2 12 EX DX 3 3 所以 6． EY DY 2 4
解 由于 Z 为独立正态随机变量 X 与 Y 的非零线性组合， 由第三章结论 7.3 ⑴和第二章结论 4.1 正态分布的性质知，
Z 服从正态分布．又因为 EX 1, EY 0, DX 2, DY 1 ，
所以
EZ 2 EX EY 3 2 1 0 3 5 ，
例 3.2 设随机变量 X ~ P(1) ，求 P{X E( X 2 )} ．
解 因为 X ~ P(1) ，所以 EX 1, DX 1，因此
E( X 2 ) DX ( EX )2 2 ，
故
2 1 1 P{ X E ( X 2 )} P{ X 2} e 1 ． 2! 2e
DZ 22 DX DY 4 2 1 9 ，
故 Z ~ N (5,9) ，因此 Z 的密度函数为
f Z ( z)
1 2 3
e
( z 5)2 29
1 e 3 2
( z 5)2 18
, z ．
•5
wenku.baidu.com
X 2 ~ B(1, 0.1) ，则有 EX EX1 EX 2 0.3 0.1 0.4 ， DX DX1 DX 2 0.3 0.7 0.1 0.9 0.3 ．
•4
例 3.4 设随机变量 X 与 Y 独立， 且 X ~ N (1, 2) ， Y ~ N (0,1). 试求 Z 2 X Y 3 的密度函数 f Z ( z) ．
1 ， a x b, f ( x) b a 其它. 0，
(b a ) 2 12
指数分布
X ~ E ( )
e x , x 0, f ( x) x 0. 0,
1
1
正态分布
X ~ N ( , )
2
f ( x)
1 e 2
EX
p
DX
p(1 p)
二项分布
X ~ B(n, p)
np
np(1 p )
泊松分布
X ~ P ( )
P{ X k}
k
几何分布
X ~ G ( p)
k! k 0,1, 2,
e
1 p
ab 2
1 p p2
均匀分布
X ~ U [a, b]
P{X k} (1 p)k 1 p k 1, 2,
§3 常见分布随机变量的数学期望和方差
（结论证明部分主要自学） 计算工具：高等数学中的积分计算和幂级数求和
要求：熟记其结论
•1
分 布 0-1分布
X ~ B(1, p)
分布律或概率密度
P{X k} pk (1 p)1k k 0,1
k k P{X k} Cn p (1 p)nk k 0,1,, n
例 3.3
设甲袋中有 70 只黄色乒乓球和 30 只白色乒乓球，乙
袋中有 45 只黄色乒乓球和 5 只白色乒乓球，现从两袋中各取 一只乒乓球， 记 X 为两只乒乓球中白球的个数， 求 EX ，DX ．
解 设 X 1 表示从甲袋中所取一个乒乓球中白球的个数， X 2 表示从乙袋中所取一个乒乓球中白球的个数， 则 X X1 X 2 ， 又由题意知 X 1 与 X 2 相互独立，且 X1 ~ B(1, 0.3) ，
x 2
2 2
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例 3.1 设随机变量 X ~ U [0 ， 6] , Y ~ E (0.5) ，计算
EX EY
DX DY
．
1 1 06 (6 0)2 2, DY 2 4 ， 解 EX 3, DX 3 ， EY 0.5 0.5 2 12 EX DX 3 3 所以 6． EY DY 2 4
解 由于 Z 为独立正态随机变量 X 与 Y 的非零线性组合， 由第三章结论 7.3 ⑴和第二章结论 4.1 正态分布的性质知，
Z 服从正态分布．又因为 EX 1, EY 0, DX 2, DY 1 ，
所以
EZ 2 EX EY 3 2 1 0 3 5 ，
例 3.2 设随机变量 X ~ P(1) ，求 P{X E( X 2 )} ．
解 因为 X ~ P(1) ，所以 EX 1, DX 1，因此
E( X 2 ) DX ( EX )2 2 ，
故
2 1 1 P{ X E ( X 2 )} P{ X 2} e 1 ． 2! 2e
DZ 22 DX DY 4 2 1 9 ，
故 Z ~ N (5,9) ，因此 Z 的密度函数为
f Z ( z)
1 2 3
e
( z 5)2 29
1 e 3 2
( z 5)2 18
, z ．
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X 2 ~ B(1, 0.1) ，则有 EX EX1 EX 2 0.3 0.1 0.4 ， DX DX1 DX 2 0.3 0.7 0.1 0.9 0.3 ．
•4
例 3.4 设随机变量 X 与 Y 独立， 且 X ~ N (1, 2) ， Y ~ N (0,1). 试求 Z 2 X Y 3 的密度函数 f Z ( z) ．
1 ， a x b, f ( x) b a 其它. 0，
(b a ) 2 12
指数分布
X ~ E ( )
e x , x 0, f ( x) x 0. 0,
1
1
正态分布
X ~ N ( , )
2
f ( x)
1 e 2
EX
p
DX
p(1 p)
二项分布
X ~ B(n, p)
np
np(1 p )
泊松分布
X ~ P ( )
P{ X k}
k
几何分布
X ~ G ( p)
k! k 0,1, 2,
e
1 p
ab 2
1 p p2
均匀分布
X ~ U [a, b]
P{X k} (1 p)k 1 p k 1, 2,
§3 常见分布随机变量的数学期望和方差
（结论证明部分主要自学） 计算工具：高等数学中的积分计算和幂级数求和
要求：熟记其结论
•1
分 布 0-1分布
X ~ B(1, p)
分布律或概率密度
P{X k} pk (1 p)1k k 0,1
k k P{X k} Cn p (1 p)nk k 0,1,, n