运筹学基础-线性规划(应用)

对该线性规划问题进行求解得：
x1 350 件 x2 400 件 x4 150 件 x6 750 件 x 7 100 件 x 8 200 件 x x x 0 件 5 9 3
【解】如图所示设变量
设备 A1 A2 B1 B2 B3
产品
Ⅰ
x11 x21 x31 x41 x51
Ⅱ
x12 x22 x32
Ⅲ
x23 x43
利润 = [（销售单价 - 原料单价）* 产品件数]之和 - （每台时的设备费用*设备实际使用 的总台时数）之和。
Maxz (1.25 0.25) ( x11 x 21 ) (2 0.35) ( x12 x 22 ) (2.8 0.5) x 23 0.05 (5 x11 10 x12 ) 0.03 (7 x 21 9 x 22 12 x 23 ) 0.06 (6 x 31 8 x 32 ) 0.11 (4 x 41 11x 43 ) 0.05 7 x 51 5 x11 10 x12 6000 7 x 21 9 x 22 12 x 23 10000 6 x 31 8 x 32 4000 4 x 41 11x 43 7000 7 x 51 4000 x x x x x 0 21 31 41 51 11 x12 x 22 x 32 0 x 23 x 43 0 x11 , , x 51 0
解：设工厂1生产大、中、小型产品的数量分别为 x1， x2， x3件； 工厂2生产大、中、小型产品的数量分别为 x ， x6 件； 4 x5， 工厂3生产大、中、小型产品的数量分别为 x7， x8， x9件； 总的利润为z ，则
x1 + x2 + x3 750 z 420( x1 + x4 + x x360( x + 12 x x ) 300( x3 + x6 + x9 ) 7) 2x 5+ 813000 20 + 15 x + x x + 900 1 2 3 x 4 5 6 x 生产能力的约束 20 15 x+ +12 x 12000 x 4 5x 6 600 7 8 9x 450 x x + x 1 4 7 存储空间的约束 x7 15 x 8 12 x9 5000 20 x2 x5 +x8 600 销售能力的约束
对上述模型进行求解得：在航班1、2、3、4、5开始工作的代理商数分别 是48人、31人、39人、43人和15人，需要的总代理成本为$30,610。
五、投资问题
例．某部门现有资金200万元，今后五年内考虑给以下的项目投资。已知：项 目A：从第一年到第五年每年年初都可投资，当年末能收回本利110%；项目B：从第 一年到第四年每年年初都可投资，次年末能收回本利125%，但规定每年最大投资额 不能超过30万元；项目C：需在第三年年初投资，第五年末能收回本利140%，但规 定最大投资额不能超过80万元；项目D：需在第二年年初投资，第五年末能收回本 利155%，但规定最大投资额不能超过100万元； 项目 风险指数（次/万元） 据测定每万元每次投资的风险指数如右表： A 1 问： a）应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年年末拥有资金的本利金额为最大？ b）应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年年末拥有资金的本利在330万元的 基础上使得其投资总的风险系数为最小？
总的利润为693000元
另例、生产计划的问题
【例】永久机械厂生产Ⅰ、Ⅱ、 产品单件工时 设备的 设备加工费 设备 有效台时 用（元/h） Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅲ三种产品，均要经过A、B两道工 A1 5 10 6000 0.05 序加工。设有两种规格的设备A1、A2 A2 7 9 12 10000 0.03 B1 6 8 4000 0.06 能完成 A 工序；有三种规格的设备 B2 4 11 7000 0.11 B3 7 4000 0.05 B1、B2、B3能完成 B 工序。Ⅰ可在A、 0.25 0.35 0.50 原料（元/件） B的任何规格的设备上加工；Ⅱ可在 1.25 2.00 2.80 售价（元/件） 任意规格的A设备上加工，但对B工序， 只能在B1设备上加工；Ⅲ只能在A2与B2 设备上加工；数据如右上表。问：为使该厂获得最大利润，应如何制定产品加工方案？
（2）打开工具栏中的“规划求解”对话框，指定存有目标函数的
单元格为目标单元格，指定表示变量的单元格为可变单元格，建立 约束条件。
（3）在规划求解对话框中按下“求解”按钮，即可求出最优解和
最优值。推出规划求解对话框。
利用EXCEL求线性规划的步骤
1、激活“工具栏”中的“规划求解”
利用EXCEL求线性规划的步骤
用计算机软件求解线性规划问题
关于线性规划问题的求解，有许多好的专业软件和商务软件， 通过计算机可十分方便地完成求解过程。其中简便易行的求解软件 是Excel，下面介绍其使用方法。
（1）建立Excel工作表。用 一组单元格表示变量，作为可变单元格
（空）；用几组单元格分别表示各约束条件和目标函数的系数；用一 些单元格输入公式表示各组系数和变量的关系。
对该线性规划问题进行求解得x1=2, x2=1, x3=1, x4=2/3, x5=1,总成本为 265/3美分。,
四、工作人员排程
联邦航空公司（Union Airway）正准备增加其中心机场的往来航 班，因此需要雇佣更多的客户服务代理商，但是不知道到底要雇佣多 少数量的代理商。管理层意识到在向公司的客户提供令人满意的服务 水平的同时必须进行成本控制，因此，必须寻找成本与收益之间的平 衡。于是，要求管理科学小组研究如何规划人员才能以最小的成本提 供令人满意的服务。分析研究新的航班时间表，以确定一天之中不同 时段为客户提供满意服务水平必须在岗位上的代理商数目。规定要求 每一代理商工作8小时为一班。
材料C 4 2 80kg
利润 12元/件 8元/件
令产品甲的产量为x1,产品甲的产量为x2,得如下线性规划模型 maxZ= 12 x1 + 8 x2 5x1+2 x2≤ 150 2 x1+3 x2≤ 100 4x1+2 x2≤ 80 x1, x2 ≥0
§1.6 线性规划的应用举例
一、原材料合理利用
2、根据线性规划模型建立计算模板
maxZ=3x1 +5x2 x1 ≤8 2x2 ≤ 12 3x1 +4 x2 ≤ 36 x 1、 x 2 ≥ 0
利用EXCEL求线性规划的步骤
3、定义决策变量及目标函数、约束条件 调用函数sumproduct定义实际值
注：sumproduct表示对应乘积之和
利用EXCEL求线性规划的步骤
解：设每个儿童吃x1片面包，x2汤匙花生黄油，x3汤匙果酱， x4个苹果，x5杯牛奶，x6杯酸果蔓果汁，总的成本为z，则有
min z 6 x1 5 x2 8 x3 35x4 20x5 40x6 300 80x1 100x2 70x3 90x4 120x5 110x6 500 4 x 6 x 2 x 80x 60 4 5 6 3 4 x1 3 x3 10x4 x6 10 x1 2 x2 1 x 1 3 x5 x6 1 15x1 80x2 60x5 30%80x1 100x2 70x3 90x4 120x5 110x6 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 0
例1．某工厂要做100套钢架，每套用长为2.9 m,2.1 m,1.5 m的圆钢各 一根。已知原料每根长7.4 m，问：应如何下料，可使所用原料最省？
线长（m） 方案1 方案2 方案3 方案4 方案5 方案6 方案7 方案8
2.9
2.1 1.5 合计
1
0 3 7.4
2
0 1 7.3
0
2 2 7.2
1
2 0 7.1
0
1 3 6.6
1
1 1 6.5
0
3 0 6.3
0
0 4 6
剩余零头
百度文库
0
0.1
0.2
0.3
0.8
0.9
1.1
1.4
解：设 xi 表示第i种方案的原材料根数。
目标函数： Min z=0x1+0.1x2+0.2x3+0.3x4+0.8x5+0.9x6+1.1x7+1.4x8 约束条件：s.t. x1 + 2x2 + x4 + x6 =100 2x3 + 2x4 + x5 + x6 +3x7 =100 3x1 +x2 + 2x3 + 3x5 + x6 +4x8 =100 x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8 ≥ 0 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ Ⅶ Ⅷ 结果不唯一，其中一解为： 30 10 0 50 0 0 0 0
x x x 750 6 9 3
该问题的数学模型为
max z 420( x1 + x4 + x7 ) 360( x2 + x5 + x8 ) 300( x3 + x6 + x9 )
x +x + x3 750 1 2 x4 x5 +x6 900 x7 x 8 x9 450 20 x + 15x + 12x 13000 1 2 3 s.t. 20 x4 15 x5 +12x6 12000 20x7 15 x 8 12 x9 5000 x1 + x4 + x7 600 x2 +x5 +x8 600 x3 x6 x9 750 x1 ,x2 , x3 , x4 ,x5 , x 6 , x7 , x8 ,x9 0
4、利用“工具栏”之“规划求解”求解
利用EXCEL求线性规划的步骤
利用EXCEL求线性规划的步骤
最优解为：x1=4,x2=6 maxZ=42
【练习】
由下表数据，列出使总利润最大的生产计划模型，并求 利润最大的生产方案
kg/ 件 产品甲 产品乙 资源量
材料A 5 2 150kg
材料B 2 3 100kg
三、营养配方问题
为了满足营养需求，要求每一个儿童的热量摄入量应当在300500卡之间，但是从脂肪中摄入的热量不能超过30%；每个儿童至少 要摄入60毫克的维生素C以及10克的纤维素。 为了保证三明治可口，希望每个儿童至少吃掉2片面包，1汤匙 花生黄油，1汤匙果酱，以及一杯饮品（牛奶或酸果蔓果汁）。 应如何对食品进行选择，在满足营养需求的前提下使成本最小 ？
二、生产计划安排的问题
某公司正准备利用它下设的三个工厂（记为１、２、３），生 产一种新产品。据调查，三个工厂都能生产该产品，该产品分为大 、中、小三个型号，其单位净收益分别为420元，360元，300元。而 工厂1、2和3每天拥有的生产能力分别为750、900和450件（不管何 种型号或各种型号的组合），工厂1、2和3每天可以为该产品提供 13000、12000和5000平方米加工过程的存储空间，每单位的大、中 、小型的产品所需要的存储空间分别为20、15和12平方米。来自销 售部门的数据表明：每天估计可销售大、中、小型的产品分别为600 、600和750件。 管理层希望知道每个工厂能生产的各种型号的产品数量，使得 公司利润达到最大化。
各航班时间安排如下
解：设xj表示在航班j开始时工作的代理商数（j=1,2,…,5 ），z表示 需要的总的成本，则 min z 170 x1 160 x2 175 x3 180 x4 195 x5
x1 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x3 x2 x3 s.t x3 x4 x3 x4 x4 x4 x5 x5 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 0且为整数 48 79 65 87 64 73 82 43 52 15